PEAx

УДК 004.021, 004.896, 519.612.2, 004.514.
Бегляров В.В.
Гибридный алгоритм решения систем линейных алгебраических
уравнений PEA
В статье рассмотрены главные проблемы схемотехнического моделирования.
Приведены методы решения математических моделей на этапе схемотехнического
проектирования. Рассмотрена проблема решения плохообусловленных систем линейных
алгебраический уравнений (СЛАУ). Описан разработанный эволюционного метод
решения СЛАУ основанный на принципе Парето. Приведены результаты тестирования и
сравнения с другими методами решения СЛАУ.
Ключевые слова: Система линейных алгебраических уравнений, генетические
операторы, эволюционный алгоритм, многокритериальная оптимизация.
Введение.
В
связи
с
переходом
на
субмикронный
уровень
проектирования математический аппарат САПР стал узким местом в
концепции развития САПР.
Следствием должна стать разработка нового
поколения САПР СБИС, поддерживающего
новые методологии, новые
библиотеки и включающего новые методы и алгоритмы моделирования. Так
же резко возросла актуальность точного схемотехнического (SPICE-подобного)
моделирования для электронных схем больших размерностей. Одной из
острых проблем остается проблема решения плохо обусловленных систем
линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), возникающих в процессе
схемотехнического моделирования. [1,2,3]
Алгоритм решения СЛАУ PEA (Pareto evolutionary algorithm)
Разработанный алгоритм представляет собой гибридный алгоритм,
сочетающий в себе эволюционную стратегию и подход определения
оптимального решения Парето. Цель создания алгоритма – снижение затрат
на решение плохообусловленных СЛАУ путем подготовки максимально
близких начальных условий.
СЛАУ в матричной форме:
Ax = b [4,5]
Суть предлагаемого подхода заключается в сведении задачи решения
систем уравнений к задаче многоцелевой (мноокритериальной) оптимизации.
Требуется
найти
решение
минимизирующее
значение
следующего
функционала:
𝑀 = ‖𝐷𝑥 − 𝑏‖ + 0,1‖𝑥‖ + 𝐹 → 𝑚𝑖𝑛,
где D – это матрица, являющаяся частью матрицы А за вычетом одного
или нескольких уравнений системы (𝐷 ∈ 𝐴).
F- значение функции пригодности, полученное по принципу Парето.
Разработанный метод работает с набором решений, полученных на
этапе инициализации. Данный подход позволяет найти компромисс по
различным критериям и пошагово приближаться к искомому решению.
Рассмотрим два решения x1 и x2. Рассмотрим неравенство:
𝑓𝑖 (𝑥1) ≤ 𝑓𝑖 (𝑥2), 𝑖 = 1. . 𝑛.,
где fi – значение i-ой целевой функции.
Если по крайней мере одно из неравенств выполняется строго, тогда
решение x2 предпочтительнее решения x1. С другой стороны, если ни одно
неравенство не выполняется строго, то в таких случаях оба решения x1и x2
представляют интерес. Если для некоторого решения не существует более
предпочтительных
решений,
то
такое
решение
называют
Парето-
оптимальным или эффективным. Этот набор решений представляет фронт
Парето (границу Парето) в пространстве решений. [6,7]
В качестве метода для определения качества решения используется
понятие слабости, т.е. суммарную общую силу всех решений, являющихся
лучше данной. Сила решения определяется количеством менее эффективных
решений.
Wimpiness(i) = ∑g∈G Strength(g).
Решения находящиеся на фронте Парето обладают нулевой слабостью. В
качестве приспособленности будем использовать следующее выражение:
F(i) =
1
1 + Wimpness(i)
Схема алгоритма представлена на рисунке 1.
Начало
Ввод данных
Инициализация
начальной
популяции
Определение
приспособленно
сти популяции и
упорядочение
i=0;i<Количества
поколений;1
Турнирная селекция
Выбор и применение
оператора кроссинговера
Турнирная селекция
Мутация
+
Определение
приспособленности
популяции и
упорядочение
элитной селекции
+
Итерационный
метод решения
СЛАУ
Погрешность
больше
допустимой
Определение лучшего и
худшего решения
Погрешность
больше допустимой
Вывод
результата
Конец
Рисунок 1 – Схема алгоритма PEA (Pareto evolutionary algorithm)
Основой разработанного алгоритма является эволюционная стратегия. В
терминологии
генетического
алгоритма
каждое
полученное
решение
называется хромосомой, а весь набор решений – популяцией. Алгоритм
содержит следующие генетические операторы: турнирная и элитная
селекции, арифметический, расширенный, двухточечный и дискретный
кроссинговер, вещественная мутация.[8,9]
В качестве тестового примера рассмотрим резистивную схему на
ϕ1
E
ϕ2
ϕ3
ϕ4
Y6
Y5
Y4
Y3
Y2
Y1
Y7
рисунке 2.
ϕ5
Рисунок 2 – Тестовая схема
Результаты вычислительного эксперимента приведены в таблицы 1.
Значение всех проводимостей, кроме Y7 приравняем к 1. Значение Y7 будем
изменять, в результате чего будет ухудшаться обусловленность матрицы.
Точность решения 0.0000001. Результаты тестирования показывают высокую
эффективность полученного алгоритма.
Таблица 1 – Результаты тестирования
Y7
10
100
1000
10000
100000
Кол-во итераций
Гаусса-Зейделя
333
2000
23700
236430
2344786
Заключение.
Кол-во итераций разработанный
алгоритм с использованием
Гаусса-Зейделя
Лучш.
122
766
4500
46349
312768
Средн.
145
850
7300
55700
490764
Худш.
160
1000
8000
66890
520768
Эффективность
2.29
2.35
3.24
4.24
4.5
В результате тестирования было установлено, что
данный алгоритм показывает достаточно хорошие результаты. Предлагаемый
алгоритм лишен некоторых недостатков других методов. Он лишен
недостатка прямых методов – сложности, т.к. в нем не производится
сложных вычислений. Так же он увеличивает эффективность итерационных
методов (в данной статье, метода Гаусса-Зейделя), т.к. в качестве начального
решения в него подается решение достаточно близкое к искомому.
Список литературы
1. Казеннов Г.Г. Основы проектирования интегральных схем и систем
[Текст] / Г.Г.Казеннов. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний. 2005 -295с.
2. Гридин В.Н. Численно –аналитическое моделирование радиоэлектронных
схем. [Текст] / В.Н. Гридин. – М.: Наука, 2008 – 339с.
3. Актуальные
проблемы
моделирования
в
системах
автоматизации
схемотехнического проектирования.[Текст] / А.Л. Глебов и др. – М.: Наука,
2003 -430с.
4. Баландин М.Ю., Шурина Э.П. Методы решения СЛАУ большой
размерности. [Текст] / М.Ю. Баландин, Э.П. Шурина. – Новосибирск: Изд-во
НГТУ. 2000 – 70с.
5. Рено, Н.Н.Численные методы [Текст]/ Н.Н.Рено. – М.: КДУ, 2007. – 100 с.
6. Черноруцкий И.Г. Методы управления в теории оптимизации. [Текст] /
И.Г.Черноруцкий. – Спб.:Питер, 2004 – 256с.
7. AshishGhpsh. Evolutionary Algorithms for Multi-Criterion Optimization: A
Survey. Machine Intelligence Unit, Indian Statical Institute, Kolkata-108, India.
2005 -20.
8. Гладков Л. А., Курейчик В. В., Курейчик В. М. Генетические алгоритмы.
[Текст] / Л. А. Гладков, В. В.Курейчик,
В. М.
Курейчик. - Физико-
математическаялитература. 2006 – 339с.
9. Панченко Т.В. Генетические алгоритмы. [Текст] / Т.В. Панченко. –
Астрахань: Издательский дом «Астраханский универсиет», 2007 -88с.