1 Важными эксплуатационными характеристиками транс-

1
Лекция 3. Эксплуатационные характеристики
трансформаторов
3.1. Внешние характеристики трансформаторов
Важными эксплуатационными характеристиками трансформаторов являются внешние характеристики, которые показывают, каким образом изменяется выходное напряжение при
изменении величины и характера нагрузки. Общее выражение
вторичного напряжения можно получить на основании упрощенной схемы замещения и соответствующей векторной диаграммы трансформатора (рис. 1).
r’к
к  2
х’к
2
к
I’2  -I1
I' 2
2
U’20 = -U1
Z’2
U’2
2
U ' 20
 U'к
а)
U' 2
б)
Рис. 1. Упрощенная схема замещения (а) и векторная диаграмма (б) трансформатора
Для модуля напряжения холостого хода трансформатора
на основании векторной диаграммы (рис. 1 – б) и теоремы косинусов можно записать следующее выражение:
U'220  U'22 Uк   2Uк U'2 cosк   2 ,
2
(1)
где U'20 , U'2 – приведенные значения вторичных напряжений в
I'
I
 1
режимах холостого хода и нагрузки;   2
– коI'2ном
I1ном
2
эффициент нагрузки, характеризующий модуль тока; U'к , к –
напряжение и фазовый угол короткого замыкания трансформатора;  2 – фазовый угол нагрузки;  U'к  I' 2 z'к   I' 2ном z'к –
модуль полного падения напряжения в трансформаторе при
определенном значении тока и коэффициента нагрузки.
Запишем это уравнение в относительных единицах, причем за базовые значения принимаем напряжение холостого хода
U’20, и ток установившегося короткого замыкания I’2к. В результате получаем:
U *2 
U' 2
U' 20
;
I *2 
I' 2
I' 2к
.
Учтем также следующие соотношения для токов, напряжений и сопротивлений короткого замыкания трансформаторов:
I' 2к 
I' 2ном
I *2 
uк
I' 2
zк 
;
I' 2к

Uк
I' 2 u к
I 2ном
I' 2ном

U 20
I 2к
 u к ;
;
(2)
U к  I' 2 z к  u к I' 2к z к  u к U' 20 .
где uк  uк2 .а.  uк2 .r – паспортное значение напряжения короткого замыкания в относительных единицах.
В результате подстановок и сокращений получаем уравнение (1) в относительных единицах:
1  U * 22   u к   2 u к U * 2 cos к   2 
2
(3)
В общем случае эта зависимость представляет собой
уравнение эллипса с осью, развернутой на 450.
3
Эллипс вырождается в прямую линию: если выполняются следующие условия:
 к   2 ; cos  к   2   1; U * 2  u к  1.
(4)
Эллипс превращается в окружность в том случае, если
выполняются условия:
к   2  90о ;
cos  к   2   0;
1  U * 22   u к  .
2
(5)
Если нагрузка имеет емкостный характер, и выполняется
условие  2   к  90о , вторичное напряжение на рабочем участке возрастает. В силовых трансформаторах полное напряжение
короткого замыкания близко к реактивной составляющей, а угол
к – к 90о, поэтому такой режим возможен только при очень
большой емкостной составляющей тока нагрузки. Влияние характера нагрузки на выходное напряжение удобно анализировать с помощью векторных диаграмм, в которых модуль тока
нагрузки остается неизменным, а фазовый сдвиг 2 между током
и напряжением изменяется (рис. 2).
I' 2
jI’2x’к I’2r’к
U' 20
U' 20
jI’2x’к
I’2r’к
U' 2
2 > 0
U' 2
2 = 0
2 < 0
U' 20
jI’2x’к
I’2r’к
U' 2
Рис. 2. Векторные диаграммы при характерных значениях
фазовых углов: а – 2 = к; б – 2 = к – 90о; в – 2 < к – 90о
4
Положение треугольника падений напряжения относительно вектора тока I' 2 остается неизменным, а первая его вершина при изменении фазового угла скользит по полуокружности, которую описывает вектор напряжения холостого хода.
Вектора выходных напряжений получаем, соединяя вторую
вершину с началом координат. Из векторной диаграммы
наглядно видно, что модуль выходного напряжения при неизменном модуле тока существенно U*
2
2 < к - 90о
зависит от угла 2. Внешние харак1
2=к - 90о
теристики при различных значениях
угла  к   2  показаны на рис. 3.
2 = к
Они имеют важное теоретическое
значение, поскольку описывают выходное напряжение во всем диапазоне изменения тока во вторичной
uк
1 I*2
цепи. Аналитическое их выражение
можно получить, решив уравнение
Рис. 3. Внешние характе(3) относительно напряжения U*2 на
ристики трансформатора
выходе трансформатора:
в относительных единицах
U * 2   u к cos к   2  
 u к 2 cos 2  к   2   1  u к 2
  u к cos к   2   1   u к  sin2  к   2 .
2

(6)
Знак минус опускаем исходя из физического смысла, поскольку выходное напряжение трансформатора не может быть
отрицательным. Учтем известные формулы тригонометрических
преобразований для синуса и косинуса разности углов  к   2  :
cos к   2   cos  к cos  2  sin  к sin  2 ;
sinк   2   sin к cos  2  cos к sin ,
и в результате подстановок и преобразований (6) получим:
5
U * 2   u к cos  к cos  2  sin  к sin  2  
 1   u к  sin2  к   2  .
2
(7)
Это уравнение справедливо для всех трансформаторов, в
том числе – имеющих большие значения напряжения короткого
замыкания и работающих не только в режиме источников
напряжения, но и в режиме источников тока, – например в сварочных. В силовых трансформаторах на практике ток нагрузки
обычно не превышает 2Iном, и в основном рабочем диапазоне
uк < 0,1. В этом случае с высокой точностью можно пользоваться известной приближенной формулой: 1  x  1  x 2 . Кроме того, учтем, что: u к sin  к  u кr ; u к cos  к  u ка . В результате
подстановок и преобразований получаем:
U * 2  1  u ка cos  2  u кr sin  2  
 2 u кr cos  2  u ка sin  2 
.
2
2
(8)
Погрешность вычислений по этой формуле находится в
пределах 1%, если uк  0,5. Она может использоваться практически для всех трансформаторов, работающих в режиме источников напряжения, но далее погрешность резко возрастает. При
характерных для двухобмоточных силовых трансформаторов
малых значениях напряжения короткого замыкания (uк = 0,05 –
0,07) последний член в выражении (8) также весьма мал, и потому часто используется следующее приближение:
U * 2  1  u ка cos  2  u кr sin  2 
U 2  U 20 1  u ка cos  2  u кr sin  2  .
(9)
Погрешность расчета по этим формулам не превышает
3% при uк  0,25.
6
Общий вид внешних характеристик выражающих зависимость выходного напряжения от модуля тока нагрузки (коэффициента загрузки): U 2  f (I 2 , ) при неизменном ее характере
(cos2 = const) показан на рис. 4.
U2
емкостный
U20
активный
индуктивный
I2ном 2I2ном
I2к I2()
Рис 4. Общий вид внешних характеристик трансформатора
при различном характере нагрузки
В некоторых случаях пользуются вторым типом внешних
характеристик, которые показывают зависимость отклонений
напряжения от фазового угла нагрузки 2 при неизменном модуле тока: U 2  f ( 2 ) . Чаще всего эта зависимость выражается
в относительных единицах (или в процентах):
U * 2 
U 20  U 2
 u ка cos  2  u кr sin  2 .
U 20
(10)
Поскольку косинус является четной функцией, независимо от знака угла 2 активная составляющая напряжения короткого замыкания uка дает положительное значение отклонения и
вызывает уменьшение выходного напряжения. Принципиально
по-иному проявляется влияние реактивной составляющей uкr.
Если 2  0 (индуктивный характер нагрузки), имеем положительное отклонение: u кr sin  2  0 и дополнительное умень-
7
шение выходного напряжения. При 2  0 (емкостный характер
нагрузки) реактивная составляющая напряжения короткого замыкания вызывает отрицательное отклонение: u кr sin  2  0 и,
следовательно, определенное увеличение выходного напряжения по сравнению с активной нагрузкой. Если 2  0 и выполняется условие: u ка cos  2  u кr sin  2  0 , напряжение на выходе
трансформатора остается неизменным (в пределах точности
упрощенной формулы). Типичный вид внешних характеристик
U 2  f ( 2 ) показан на рис. 5.
+ U*2
U*2max
+ 2
- 2
r = 2
- U*2
Рис. 5. Типовая зависимость отклонений напряжения от
фазового угла 2 при неизменном коэффициенте загрузки
Максимальному значению отклонения напряжения соответствует равенство фазовых углов короткого замыкания трансформатора и нагрузки.
Все полученные результаты можно отнести не только к
однофазным, но и к трехфазным трансформаторам, но только в
случае симметричной их нагрузки.
8
3.2. Потери и к.п.д. трансформаторов
Для энергоснабжающих организаций большое значение
имеет энергетическая эффективность применения трансформаторов. Основным критерием ее оценки является коэффициент
полезного действия, численно равный отношению активной
мощности на выходе к активной мощности на входе:

Р 1   Р
Р2
Р2
 Р ,


 1
Р 1 Р 2   Р
Р1
Р1
(11)
где  Р  Р 0  Р к – сумма потерь активной мощности в
трансформаторе.
К.п.д. силовых трансформаторов очень высок и достигает
98 – 99%, поэтому его определение по прямым замерам мощности может дать большую погрешность. ГОСТ регламентирует
косвенный метод расчета, в основу которого положено измерение потерь. Потери Р0 называются постоянными, поскольку
очень мало зависят от нагрузки. Они практически равны потерям в стали трансформатора, и определяются на основании опыта холостого хода. Переменные потери пропорциональны квадрату тока нагрузки. Они называются также электрическими потерями или потерями короткого замыкания. При расчетах к.п.д.
переменные потери вычисляются через коэффициент загрузки и
номинальные потери короткого замыкания, определенные в результате проведения соответствующего опыта, по формуле:
2
 I 
Р к  I r   2  I 22номrк   2 Р к .ном
 I 2ном 
2
2 к
(12)
В рабочем диапазоне вторичное напряжение трансформатора изменяется очень мало, поэтому активную мощность на
9
выходе можно выразить через коэффициент загрузки, номинальную полную мощность и коэффициент мощности нагрузки:
Р 2  U 2 I 2 cos  2  U 2ном I 2ном cos  2  S ном cos  2 .
(13)
Подставляя в исходное уравнение значения Р2, Р0 и Рк,
получаем зависимость к.п.д от коэффициента загрузки:
  1
Р 0   2 Р к .ном
.
 S ном cos  2  Р 0   2 Р к .ном
(14)
В режимах холостого хода и короткого замыкания полезная мощность равна нулю, поскольку в первом случае равен нулю ток нагрузки, а во втором – напряжение на ней. К.п.д. в этих
крайних случаях также равен нулю. Исследуем функцию
  f  на экстремум, для чего необходимо приравнять к нулю
числитель первой производной  d ' :
 d 


S ном cos  2  S ном cos  2  Р 0   2 Р к .ном 
 S ном cos  2  2 Р к .ном  S ном cos  2  0,
2
Р к .ном  Р 0 . Таким образом,
В результате получаем:  опт
к.п.д имеет максимальное значение при равенстве постоянных и
переменных потерь, а оптимальный коэффициент загрузки численно равен:
 опт 
Р 0
Р к .ном
.
(15)
10
Значение опт не зависит от характера нагрузки. Обычно
трансформаторы проектируются таким образом, чтобы он находился в пределах: 0,5   опт  0,7 . Это соответствует наиболее
вероятной степени загрузки в течение длительного времени.
Значение максимального к.п.д., напротив, зависит от характера
нагрузки, что следует из анализа уравнения (14). Абсолютный
максимум достигается при чисто активной нагрузке (cos2 = 1).
При нарушении этого условия независимо от характера нагрузки
(индуктивный или емкостный) имеем: cos2 < 1. В результате
знаменатель дроби уменьшается, а сама дробь – увеличивается,
что приводит к снижению к.п.д. Типовые характеристики
  f ( ) показаны на рис. 6.

max
’max
cos2 = 1
cos2 < 1
опт
1,0

Рис. 6. Типовые зависимости к.п.д. от коэффициента загрузки
К.п.д трансформаторов резко возрастает при малых
нагрузках, и уже при   0,2 – 0,3 приближается к максимальному значению, после чего его изменения очень незначительны
в широком диапазоне. Это является весьма ценным свойством,
поскольку позволяет обеспечить высокую эффективность работы трансформаторов при значительных колебаниях нагрузки.