Лекция 12. Элементы квантовой механики 12.1. Соотношение неопределенностей

1
Лекция 12. Элементы квантовой механики
12.1. Соотношение неопределенностей
Современная трактовка корпускулярно-волнового дуализма может быть выражена
словами: для атомного объекта существует потенциальная возможность проявлять себя, в
зависимости от внешних условий, либо как волна, либо как частица, либо промежуточным
образом. Именно в этой потенциальной возможности различных проявлений свойств,
присущих микрообъекту, и состоит дуализм волна - частица.
Существует критерий, показывающий в каких случаях можно ограничиться
классическими представлениями. Этот критерий связан с постоянной Планка ħ. Анализ
причин существования этого предела, который называют принципом неопределенности,
провел В. Гейзенберг (1927). Количественные соотношения, выражающие этот принцип в
конкретных случаях, называют соотношениями неопределенностей. Наиболее важными
являются два соотношения.
Первое из них ограничивает точности одновременного измерения координаты (х, у, z)
и соответствующих проекций импульса частицы (px, py, pz), причем неопределенности этих
величин удовлетворяют условию:
∆x ∆px ≥ ћ
∆y ∆py ≥ ћ
(12.1)
∆z ∆pz ≥ ћ
(В точных соотношениях слева под ∆x и ∆px и других координат и импульсов должны
пониматься среднеквадратичные отклонения от средних величин, а справа - ћ/2. Так как для
принципиальных вопросов важно знать лишь порядок величины, то можно не пользоваться
точными соотношениями.)
Второе соотношение устанавливает неопределенность измерения энергии, ∆E, за
данный промежуток времени ∆t:
∆E·∆t ≥ ћ
(12.2)
Первое из этих двух соотношений утверждает, что если положение частицы,
например, по оси X известно с неопределенностью ∆x, то в тот же момент проекцию
импульса частицы на эту же ось можно измерить только с неопределенностью ∆px ≈ ћ/(∆x).
Заметим, что эти ограничения не касаются одновременного измерения координаты частицы
по одной оси и проекции импульса — по другой: величины х и ру, у и рг и т. д. могут иметь
2
одновременно точные значения. Таким образом, для микрочастицы не существует
состояний, в которых ее проекция импульса и координата на этой же оси проекций имели
бы одновременно точные значения. Не возможно одновременно точно определить
координату и соответствующую ей проекцию импульса. Это ограничение не связано с
несовершенством методов измерения или измерительных приборов, а является следствием
специфики микрообъектов, а именно их двойственной корпускулярно-волновой природы
Соотношения неопределенностей связывают между собой пары динамических
переменных. В классической механике такие пары величин называются канонически
сопряженными.
Утверждение о том, что произведение неопределенностей значений двух
сопряженных переменных не может быть по порядку величины меньше постоянной
Планка ћ, называется принципом неопределенности Гейзенберга.
Энергия и время являются канонически сопряженными величинами. Согласно
второму соотношению (12.2) для измерения энергии с погрешностью ∆E необходимо время,
не меньшее, чем ∆t ≈ ћ/(∆E). То есть из-за конечности времени жизни атомов в
возбужденном состоянии энергия возбужденных состояний атомов не является точно
определенной, а потому соответствующий энергетический уровень характеризуется
конечной шириной.
Соотношение неопределенностей указывает, в какой мере можно пользоваться
понятиями классической механики применительно к микрочастицам, то есть является
квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.
Соотношение неопределенностей (12.1) является одним из фундаментальных
положений квантовой теории. Одного этого соотношения достаточно, чтобы получить
ряд важных результатов, в частности:
Соотношение неопределенностей позволяет объяснить тот факт, что электрон не
падает на ядро атома, а также оценить размеры простейшего атома и минимальную
возможную энергию электрона в таком атоме.
Пусть частица «заперта» в одномерной области размером l. При нахождении
возможного значения минимальной энергии Eмин частицы мы обычно считаем, что
импульс частицы по порядку величины равен его неопределенности, т. е. р ~ ∆р. Чтобы
понять, почему это так, представим себе, что частица в этой области имеет энергию Е >
Eмин. Тогда ее импульс может быть представлен как р = <р> + ∆р. Теперь начнем
мысленно уменьшать энергию Е, а значит и импульс <р>. При этом ∆р не меняется,
поскольку ∆р ≈ ћ/l согласно соотношению (12.1). Когда Е станет равной Eмин, величина
3
<р> обратится в нуль и останется только ∆р. Эту величину и принимают за р. Теперь
перейдем к важному примеру атома водорода.
Точное положение электрона в данном атоме запрещено принципом
неопределенности: был бы бесконечно большой разброс в его импульсе. Поэтому для
оценки наименьшей возможной энергии Eмин электрона в кулоновском поле ядра можно
положить разброс расстояний электрона от ядра ∆ r ≈ r и ∆р ≈ р. Тогда согласно (12.1) р ≈
ћ/r, и энергия Е может быть представлена как
p2 e2
2
e2
E


 .
2m r
r
2mr 2
(12.3)
Значение r, при котором Е = мин, можно найти, приравняв производную dE/dr к нулю:
2
e2


 0.
mr 3 r 2
Отсюда следует, что
r = ћ2/me2.
(12.4)
Полученный результат полностью совпадает с воровским радиусом.
Подставив (12.4) в (12.3), найдем энергию Eмин:
E мин
e2
me 4

  2  13,6эВ,
2r
2
(12.5)
что также совпадает с энергией основного состояния атома водорода.
Совпадение этих грубых оценок с точными значениями r и E следует считать
случайным. Важно лишь то, что получен верный порядок этих величин и что, основываясь
на волновых представлениях, или принципе неопределенности, можно понять, почему
атомный электрон не падает на ядро. Размер атома является результатом компромисса двух
слагаемых
энергии
отрицательное
(12.3),
слагаемое
имеющих
противоположные
(потенциальную
энергию),
знаки.
уменьшив
r,
Если
увеличить
то
увеличится
кинетическая энергия, и наоборот.
Таким образом, соотношение неопределенностей позволяет сделать ряд важных
выводов:
1. Невозможно состояние, в котором частица находилась бы в состоянии покоя.
2. При рассмотрении движения квантового объекта необходимо во многих случаях
отказаться от самого понятия классической траектории.
3. Часто теряет смысл деление полной энергии Е частицы (как квантового объекта) на
4
потенциальную U и кинетическую К. В самом деле, первая, т. е. U, зависит от
координат, а вторая — от импульса. Эти же динамические переменные не могут
иметь одновременно определенного значения.
4. Соотношение неопределенностей проявляет себя в атоме подобно силам
отталкивания на малых расстояниях. В результате электрон находится в среднем на
таком расстоянии от ядра, на котором действие этих сил отталкивания
компенсируется силой кулоновского притяжения.
12.2. Волновая функция и ее интерпретация
Для микрочастиц из-за соотношения неопределенностей классическое определение
состояния частицы (координаты и импульс), вообще говоря, утрачивает смысл. Это
относится и к понятию силы, которая по определению является функцией классического
состояния.
В соответствии с корпускулярно-волновым дуализмом в квантовой теории состояние
частицы задается пси-функцией Ψ(r, t), которая является комплексной величиной и
формально обладает волновыми свойствами.
Для понимания физического смысла пси-функции рассмотрим результаты опытов при
прохождении пучка моноэнергетических электронов через двойную щель шириной порядка
1 мкм (рис.12.1).
Рис. 12.1.
Места попадания электронов регистрируются на фотопластинке в виде точек. На
фотопластинке проявляется четкое распределение интенсивности, подобное дифракционной
картине волн , что доказывает наличие у электронов волновых свойств. Отметим, что при
5
уменьшении потока электронов, падающих на щель, но при увеличении времени экспозиции
характер дифракционной картины не меняется.
Согласно волновым представлениям о природе света, интенсивность дифракционной
картины пропорциональна квадрату амплитуды световой полны. По представлениям
фотонной теории, интенсивность определяется числом фотонов, попадающих в данную
точку дифракционной картины. Следовательно, число фотонов в данной точке
дифракционной картины задается квадратом амплитуды световой волны, в то время как для
одного фотона квадрат амплитуды определяет вероятность попадания фотона в ту или иную
точку.
Наличие максимумов в дифракционной картине с точки зрения волновой теории
означает, что эти направления соответствуют наибольшей интенсивности волн де Бройли. С
другой стороны, интенсивность волн де Бройля оказывается больше там, где имеется
большее число частиц, т. е. интенсивность волн де Бройли и данной точке пространства
определяет число частиц, попавших в эту точку. Таким образом, дифракционная картина для
микрочастиц является проявлением статистической (вероятностной) закономерности,
согласно которой частицы попадают в те места, где интенсивность волн де Бройля
наибольшая. Необходимость вероятностного подхода к описанию микрочастиц является
важнейшей отличительной особенностью квантовой теории.
Как уже указывалось, с движением частицы, обладающей определенной энергией и
импульсом, связывается плоская волна де Бройля. Однако в общем случае (произвольное
движение частицы в произвольных силовых полях) состояние частицы в квантовой механике
задается более сложной, вообще говоря комплексной, функцией Ψ(r, t), зависящей от
координат и времени. Эту функцию называют волновой функцией (или пси-функцией). В
частном случае свободного движения частицы волновая функция переходит в плоскую волну
де Бройля.
Движение любой микрочастицы по отдельности подчиняется вероятностным законам
(М. Борн, 1926 г.). В квантовой теории постановка вопроса состоит не в точном
предсказании событий, а в определении вероятностей этих событий. Пси-функция Ψ(r, t) и
является той величиной, которая позволяет находить все вероятности. Например,
вероятность нахождения частицы в интересующем нас объеме dV в момент t определяется
как
dP = |Ψ|2dV = ΨΨ*dV,
(12.6)
где Ψ* — комплексно-сопряженная функция. Поскольку в общем случае Ψ — комплексная
функция, а вероятность должна быть всегда действительной и положительной величиной,
6
то за меру интенсивности принимается квадрат модуля волновой функции. Отсюда
плотность вероятности, т. е. вероятность нахождения частицы в единице объема,
Р =|Ψ|2 = ΨΨ* .
(12.7)
Эта величина является экспериментально наблюдаемой, в то время как сама пси-функция,
будучи комплексной, не доступна наблюдению. Таким образом, физический смысл имеет не
сама Ψ-функция, а квадрат ее модуля |Ψ|2, которым задается интенсивность волн де Бройля.
Вероятность найти частицу в момент времени t в конечном объеме V, согласно теореме
сложения вероятностей, равна
(12.8)
Проинтегрировав выражение (12.4) в бесконечных пределах или по той области, где Ψ
отлично от нуля, получим вероятность того, что частица в момент времени t находится гдето в пространстве. Это есть вероятность достоверного события, а ее в теории вероятностей
считают равной 1. Поэтому принимают, что
∫ |Ψ|2dV = ∫ ΨΨ*dV = 1,
(12.9)
где интеграл берется по всему пространству или по той области, в которой Ψ отлична
от нуля. Условие нормировки (12.5) означает, что во всей области, где Ψ ≠ 0, частица
находится с достоверностью. Пси-функцию, удовлетворяющую условию (12.9), называют нормированной.
Условие (12.9) может оказаться невозможным, например, в случае, если Ψ -функция
представляет собой плоскую волну де-Бройля, когда вероятность обнаружения частицы
одинакова во всех точках пространства. Такие случаи следует рассматривать как идеализацию
реальной ситуации, где частица находится в большой, но ограниченной области
пространства, и тогда трудность устраняется.
В квантовой теории принимается как один из основных постулатов принцип
суперпозиции пси-функций. Если у некоторой системы возможными являются
состояния Ψ1 и Ψ2, то для нее существует также состояние
Ψ = c1Ψ1 + c2Ψ2
(12.10)
где с1 и с2 — некоторые постоянные коэффициенты. Найдя таким образом Ψ, можно
далее определить и плотность вероятности ΨΨ* пребывания системы в этом состоянии.
7
12.3. Уравнение Шрёдингера
Развивая идеи де-Бройля о волновых свойствах вещества, Э.Шрёдингер
постулировал в 1926 г. уравнение — основное уравнение нерелятивистской квантовой
теории: уравнение Шредингера. Данное уравнение было именно найдено, оно является
новым фундаментальным законом, который невозможно вывести из прежних
представлений и теорий. Справедливость этого уравнения установлена тем, что все
вытекающие из него следствия подтверждены экспериментом. Уравнение Шредингера
играет в квантовой теории такую же роль, как основное уравнение динамики (2-й закон
Ньютона) в нерелятивистской механике.
Сформулировав это уравнение, Шредингер сразу же применил его к атому водорода и
получил для уровней энергии спектр, точно совпадающий со спектром по первоначальной
теории Бора и соответственно — с результатами наблюдений.
Уравнение Шредингера имеет следующий вид:
i

2 2

   U,
t
2m
(12.11)
где i — мнимая единица (√ -1), т — масса частицы, U(x, y, z, t) — потенциальная функция
частицы в силовом поле, в котором она движется; Ψ(х, у, z, t) — искомая волновая функция
частицы;  2 ≡ ∆ — оператор Лапласа, результат действия которого на некоторую функцию
представляет собой сумму вторых частных производных по координатам:
(12.12)
Уравнение (12.11) называют общим уравнением Шредингера или временным уравнение
Шредингера. Уравнение Шредингера справедливо для любой частицы, движущейся с малой
(по сравнению со скоростью света) скоростью, т. е. со скоростью υ << с. Оно дополняется
условиями, накладываемыми на волновую функцию:
1) Так как волновая функция — объективная характеристика состояния микрочастиц, то
она должна удовлетворять ряду ограничений. Она должна быть конечной (вероятность не
может быть больше единицы), однозначной (вероятность не может быть неоднозначной
величиной) и непрерывной (вероятность не может изменяться скачком).
2) Производные ∂Ψ/∂x, ∂Ψ/∂y, ∂Ψ/∂z, ∂Ψ/∂t должны быть непрерывны;
3) Функция |Ψ|2 должна быть интегрируема; это условие в простейших условиях сводится
к условию нормировки вероятностей (12.9).
8
Особую роль в квантовой теории играют стационарные состояния — состояния,
в которых все наблюдаемые физические величины не меняются с течением времени.
Сама Ψ -функция, как уже говорилось, принципиально ненаблюдаемая. В стационарных
состояниях она имеет вид
Ψ(r, t) = Ψ(r) e-iωt,
ω = E/ћ,
(12.13)
где функция Ψ(r) не зависит от времени.
При таком виде Ψ -функции плотность вероятности Р остается постоянной. В самом деле,
(12.14)
т. е. действительно, плотность вероятности Р от времени не зависит.
Для нахождения функции Ψ(r) в стационарных состояниях подставим выражение
(12.13) в уравнение (12.11), получим
(12.15)
Это уравнение называют уравнением Шредингера для стационарных состояний.
Обратим внимание на следующую особенность уравнения (12.15). В то время как,
согласно интерпретации пси-функции, частица, как говорят, «размазана» в пространстве,
потенциальная энергия U рассматривается в (12.15) как функция локализованной
точечной частицы в силовом поле. То есть потенциальная энергия — функция U(r) —
здесь определяется классически, как если бы никакими волновыми свойствами частица
не обладала.
Перепишем уравнение (12.15) в виде
(12.16)
Квантование. Физический смысл имеют лишь те решения уравнения (12.16),
которые удовлетворяют естественным или стандартным условиям. Эти условия состоят
в том, что пси-функция Ψ(r) должна быть конечной, однозначной, непрерывной и гладкой (т.
е. без изломов) во всем пространстве, даже в тех точках (линиях, поверхностях), где
потенциальная энергия U(r) терпит разрыв.
Решения, удовлетворяющие этим условиям, оказываются возможными лишь при
некоторых значениях энергии Е. Их называют собственными значениями, а функции Ψ(r),
являющиеся решениями уравнения (12.16) при этих значениях энергии, — собственными
9
функциями, принадлежащими собственным значениям Е. В этом и состоит естественный
и общий принцип квантования.
Собственные значения энергии Е и принимаются за возможные значения энергии в
соответствующих стационарных состояниях. Эти значения энергии Е могут быть
дискретными (квантованными) или непрерывными, образуя дискретный или
непрерывный энергетический спектр.
12.4. Частица в потенциальном ящике.
Квантование энергии
Рассмотрение частицы в потенциальном ящике — одномерной прямоугольной
потенциальной яме с бесконечно высокими стенками — имеет большое значение, так как
потенциальная яма есть первое приближение силового поля, связывающего электроны в
атоме, а также атомы в кристаллической решетке.
Потенциальная энергия частицы, например электрона, вне и внутри потенциального
ящика (рис. 12) в предположении ее движения вдоль оси х имеет следующие значения:
где l — ширина ямы, а энергия отсчитывается от дна ямы.
Рис. 12.2.
Пси-функция частицы зависит только от координаты х, поэтому стационарное уравнение
Шредингера [см. (12.16)] имеет вид
(12.17)
Частица за пределы ямы не проникает, т. е. в областях х < 0 и х > l функция ψ(х) ≡ 0, а из
условия непрерывности следует, что и на границах ямы
10
(12.18)
В пределах ямы (0 < х < l) уравнение Шредингера (12.17) сведется к уравнению
(12.19)
где
(12.20)
Общее решение уравнения (12.19) имеет вид
(12.21)
где а и α — произвольные постоянные.
Теперь нужно потребовать от функции ψ(х), чтобы она удовлетворяла естественным
(стандартным) условиям. Видно, что ψ(х) в виде (12.21) однозначна и конечна. Она
должна быть еще и непрерывной, а именно, вне ямы частица быть не может, значит там
ψ(х) = 0, и для непрерывности ψ-функции необходимо, чтобы при х = 0 и х = l функция
(12.21) была бы равна нулю. Из условия
следует, что α = 0. Из условия же
свою очередь следует, что kl= πn, где п — целые числа, т. е. необходимо, чтобы
(12.22)
(п = 0 отпадает, так как при этом ψ(х) = 0 — частицы вообще нет, а отрицательные значения
п приводят к тем же функциям, что и для положительных n, но с отрицательным знаком, что
не дает новых физических решений).
Исключив k из уравнений (12.20) и (12.22), найдем собственные значения энергии
частицы:
(12.23)
т. е. спектр энергии частицы является дискретным (или квантованным). Квантованные
значения Е называют уровнями энергии, а число и, их определяющее, — главным
квантовым числом.
11
Итак, собственные значения Е найдены — это (12.23). Теперь найдем соответствующие
им собственные функции. Для этого подставим значения k из (12.22) в (12.21), где α = 0,
тогда
Для нахождения коэффициента а воспользуемся условием нормировки (12.9), которое в данном
случае запишется следующим образом:
На концах промежутка интегрирования подынтегральная функция обращается в нуль.
Поэтому значение интеграла можно получить, умножив среднее значение sin2 (nπx/l) (равное
1/2) на длину промежутка l. В результате получим а2l/2 = 1, откуда а = √(2/l). Таким образом,
собственные функции имеют вид
(12.24)
Из формулы (12.23) следует, что существует минимальная, не равная нулю энергия
соответствующая основному состоянию частицы. Волновая функция основного состояния
ψ1(х) = а sin πx/l
В отличие от классики минимальное значение энергии Е частицы в яме согласно
(12.23) не равно нулю. Это полностью согласуется с принципом неопределенности. Ведь у
частицы в яме ограничена область возможных значений ее координаты, поэтому должен
существовать разброс по импульсам, а значит, отлична от нуля и энергия. Состояние с
энергией Е1, называют основным состоянием, а остальные состояния — возбужденными.
На рис. 12.3 изображены уровни энергии частицы в одномерной прямоугольной
потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Здесь же представлены для n = 1, 2, 3
собственные функции (12.24) и плотности вероятности обнаружения частицы на различных
расстояниях от стенок ямы, равные |ψn (x)|2 = ψn*(х) ψn(х).
12
Рис. 12.3.
Из графиков, например, следует, что в состоянии с п = 2 частица не может быть
обнаружена в середине ямы и вместе с тем одинаково часто бывает как в левой, так и в
правой половине ямы. Такое поведение частицы, очевидно, несовместимо с представлением
о траекториях. Отметим, что согласно классическим представлениям все положения частицы
в яме равновероятны. Несколько другой вид этих же графиков показан на рис. 12.4, где
собственные функции обозначены пунктирными линиями, а распределение плотности
вероятности — сплошными. Из этих графиков видно, что в низшем энергетическом
состоянии (п = 1) с наибольшей вероятностью частицу можно обнаружить в середине ямы, а
вероятность нахождения ее вблизи краев ямы весьма мала. Такое поведение частицы резко
отличается от поведения классической частицы.
Рис. 12.4.
С увеличением же энергии (т. е. с ростом квантового числа п) максимумы
распределения ψ2n(х) располагаются все ближе друг к другу. При очень больших значениях п
картина распределения ψ2n(х) практически «сливается» и представляется равномерным —
частица начинает вести себя совсем «как классическая».
12.5. Квантовый гармонический осциллятор
Линейный гармонический осциллятор — система, совершающая движение под
действием квазиупругой силы. Осциллятор называют одномерным, если система, например
частица, может двигаться только вдоль одной прямой.
13
Задача об уровнях энергии одномерного гармонического осциллятора является одной из
наиболее важных задач о собственных значениях.
В квантовой теории понятие силы теряет смысл, поэтому квантовый
гармонический осциллятор следует определить как поведение частицы массы т с
потенциальной энергией U(x) такой же, как у классического осциллятора, а именно
(12.25)
Собственная частота классического гармонического осциллятора равна ωо = √k/т, где т —
масса частицы (см. Cавельев, кн. 1).
Выразив в формуле (12.25) k через т и ωо, получим
(12.26)
где х — отклонение от положения равновесия. Зависимость (12.26) имеет вид параболы (рис.
12.5), т. е. «потенциальная яма» в данном случае является параболической.
Рис.12.5.
С классической точки зрения амплитуда малых колебаний осциллятора определяется
его полной энергией Е (см. рис. 12.5). В точках с координатами ± хmax кинетическая энергия
осциллятора равна нулю и вся энергия переходит в потенциальную энергию осциллятора.
Поэтому с классической точки зрения частица не может выйти за пределы области (-xmax,
+xmax). Такой выход означал бы, что ее потенциальная энергия больше полной, что абсурдно,
так как приводит к выводу, что кинетическая энергия отрицательна. Таким образом,
классический осциллятор находится в «потенциальной яме» с координатами –хmax ≤ х≤ хmax
«без права выхода» из нее.
14
Гармонический осциллятор в квантовой механике — квантовый осциллятор —
описывается уравнением Шредингера (12.16), учитывающим выражение (12.26) для
потенциальной энергии. Тогда стационарные состояния квантового осциллятора
определяются уравнением Шредингера вида
(12.27)
где Е — полная энергия осциллятора.
В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнение (12.27)
имеет однозначные, конечные и непрерывные решения при собственных значениях
(12.28)
Из формулы (12.28) следует: энергия квантового осциллятора может иметь лишь
дискретные значения, т. е. квантуется.
Из формулы (12.28) также следует, что уровни энергии расположены на одинаковых
расстояниях друг от друга (на рис. 12.6 они изображены горизонтальными прямыми), а
именно расстояние между соседними энергетическими уровнями равно ћωо, причем
минимальное значение энергии Е0 = (1/2) ћωо. При n >> 1 En = пћωо (т. е. энергетические
уровни осциллятора совпадают с величинами квантованной энергии осциллятора,
постулируемыми Планком в теории излучения черного тела.
Как следует из выражения (12.28), минимальная энергия квантового осциллятора
(12.29)
она называется энергией нулевых колебаний.
Наличие энергии нулевых колебаний типично для квантовых систем и является
следствием соотношения неопределенностей: частица не может находиться на дне
потенциальной ямы независимо от ее формы. Если бы это было возможно, то импульс, а
также его неопределенность обращались бы в нуль. Тогда неопределенность координаты
∆х→ ∞, что противоречит пребыванию частицы в потенциальной яме.
Плотность вероятности обнаружить частицу на оси х определяется квадратом модуля
волновой функции |ψ(х)|2. На рис. 12.6 представлены кривые распределения плотности
вероятности |ψn(х)|2 для различных состояний квантового осциллятора (для п = 0, 1 и 2).
15
Рис.12.6.
В точках А и А', В и В', Си С' потенциальная энергия равна полной энергии (U = E), причем,
как известно, классический осциллятор не может выйти за пределы этих точек.
Для квантового осциллятора |ψn(х)|2 и за пределами этих точек имеет конечные
значения. Это означает, в свою очередь, что имеется конечная, хотя и небольшая,
вероятность обнаружить частицу за пределами «потенциальной ямы». Этот результат не
противоречит выводам квантовой механики, поскольку, как уже отмечалось, равенство Т =
Е— U в квантовой механике не имеет силы, так как кинетическая (Т) и потенциальная (U)
энергии не являются одновременно измеримыми величинами.
Рис. 12.7.
При больших значениях п квантовое распределение плотности вероятности проявляет
все большее сходство с классическим (рис. 12.8), где представлены квантовое (сплошная
кривая) и классическое (пунктир) распределение плотности вероятности для п = 10.
16
Рис. 12.8.
В этом находит свое выражение постулат квантовой механики — принцип
соответствия Бора: выводы и законы квантовой механики при больших значениях
квантовых чисел должны соответствовать выводам и законам классической физики.
Существование нулевой энергии подтверждается экспериментами по изучению
рассеяния света кристаллами при низких температурах. Оказывается, что интенсивность
рассеянного света по мере понижения температуры стремится не к нулю, а к некоторому
конечному значению, указывающему на то, что и при абсолютном нуле колебания атомов в
кристаллической решетке не прекращаются.
Более детальный расчет, выходящий за рамки уравнения Шредингера, показывает,
что для квантового осциллятора возможны переходы лишь между соседними
«стационарными» уровнями, при которых квантовое число n изменяется на единицу:
(12.30)
Это условие называют правилом отбора для квантового гармонического осциллятора.
Из правила (12.30) вытекает, что энергия гармонического осциллятора может
изменяться только порциями ћω. Планк предполагал, что энергия гармонического
осциллятора может быть лишь целой кратной ћω. В действительности же имеется еще
нулевая энергия, существование которой было установлено только после создания
квантовой механики.
12.6. Прохождение частиц через потенциальный барьер.
Туннельный эффект
Потенциальным барьером называют область пространств, в которой
потенциальная энергия больше, чем в окружающих областях пространства.
17
Пусть частица, движущаяся слева направо, встречает на своем пути потенциальный
барьер высоты U0 и ширины l (рис. 12.9). По классическим представлениям поведение
частицы имеет следующий характер. Если энергия частицы больше высоты барьера Е > U0,
частица беспрепятственно проходит над барьером (на участке
0 < х < l лишь уменьшается скорость частицы, но затем при х
> l снова принимает первоначальное значение). Если же Е
меньше U0 (как изображено на рисунке), то частица
отражается от барьера и летит в обратную сторону; сквозь
барьер частица проникнуть не может.
Рис. 12.9.
В случае Е < U0 уравнение (12.16) имеет вид
(12.31)
для областей I и III и
(12.32)
для области II, причем Е - U0 < 0.
Ищем решение уравнения (12.31) в виде ψ = ехр(λх). Подстановка этой функции в
(12.31) приводит к характеристическому уравнению
2 
2m
E0
2
Отсюда λ = ±iα, где
(12.33)
Таким образом, общее решение уравнения (12.31) имеет вид
(12.34)
Решив подстановкой ψ = ехр(λх) уравнение (12.32), получим общее решение этого уравнения
в виде
(12.35)
Здесь
18
(12.36)
В квантовой механике принято, что решение вида ехр (iαx) соответствует волне,
распространяющейся в положительном направлении оси х, а решение вида ехр (-iαx) —
волне, распространяющейся в противоположном направлении.
В области III имеется только волна, прошедшая через барьер и
распространяющаяся слева направо. Поэтому коэффициент B3 в выражении (12.34) для
ψ3 следует положить равным нулю. Для нахождения остальных коэффициентов
воспользуемся условиями, которым должна удовлетворять функция ψ. Для того чтобы ψ
была непрерывна во всей области изменений х от -∞ до +∞, должны выполняться
условия ψ1(0) = ψ2(0) и ψ2(l) = ψ3(l). Для того чтобы ψ была гладкой, т. е. не имела
изломов, должны выполняться условия ψ'1(0) = ψ'2(0) и ψ'2(l) = ψ'3(l). Из этих условий
вытекают соотношения
(12.37)
Разделим все уравнения на А и введем обозначения:
а также
(12.38)
Тогда уравнения (12.37) примут вид
(12.39)
Отношение квадратов модулей амплитуд отраженной и падающей волн
19
определяет вероятность отражения частицы от потенциального барьера и может быть
названо коэффициентом отражения.
Отношение квадратов модулей амплитуд прошедшей и падающей волн
(12.40)
определяет вероятность прохождения частицы через барьер и может быть названо
коэффициентом прохождения (или коэффициентом прозрачности).
Нас будет интересовать только прохождение частиц через барьер, и мы ограничимся
нахождением величины D. Правда, найдя D, легко найти R, поскольку эти коэффициенты
связаны очевидным соотношением R + D = 1.
Умножим первое из уравнений (12.39) на i и сложим с третьим. В результате получим
(12.41)
Теперь умножим второе из уравнений (12.39) на i и вычтем его из четвертого. Получим
(12.42)
Решив совместно уравнения (12.41) и (12.42), найдем, что
Наконец, подставив найденные нами значения a2 и b2 во второе из уравнений (4.52), получим
выражение для а3:
Величина
обычно бывает много больше единицы. Поэтому в знаменателе выражения для а3 слагаемым,
содержащим множитель ехр (-βl), можно пренебречь по сравнению со слагаемым,
содержащим множитель ехр (βl) (комплексные числа n + i и n - i имеют одинаковый модуль).
Итак, можно положить
20
Согласно (12.40) квадрат модуля этой величины дает вероятность прохождения частицы
через потенциальный барьер. Учтя, что |п - i| = √(п2 + 1), получим
где (см. (12.38))
Выражение 16n2/(n2 + 1)2 имеет значение порядка единицы. Поэтому можно считать, что
(12.43)
Из полученного нами выражения следует, что вероятность прохождения частицы через
потенциальный барьер сильно зависит от ширины барьера l и от его превышения над Е, т. е.
от Uо - Е. Коэффициент прохождения резко уменьшается при увеличении массы частицы т.
Рассмотрим потенциальный барьер произвольной формы (рис. 12.10). В данном
случае его можно приближенно представить в виде суммы узких прямоугольных барьеров.
Рис. 12.10.
Если потенциальный барьер произвольной формы удовлетворяет условиям так называемого
квазиклассического приближения (достаточно гладкая форма кривой), то коэффициент
прозрачности с достаточно хорошим приближением определяется формулой
(12.44)
При преодолении потенциального барьера частица как бы проходит через «туннель» в
этом барьере (см. заштрихованную область на рис. 12.10), в связи с чем рассмотренное
явление называют туннельным эффектом.
21
Качественный характер функций ψ1(x), ψ2(x) и ψ3(x) иллюстрируется на рис. 12.11,
откуда следует, что волновая функция не равна нулю и внутри барьера, а в области 3, если
барьер не очень широк, будет опять иметь вид волн де
Бройля с тем же импульсом, т. е. с той же частотой, но с
меньшей амплитудой. Следовательно, получили, что
частица имеет отличную от нуля вероятность
прохождения сквозь потенциальный барьер конечной
ширины.
Туннельный эффект — специфически квантовое
явление, не имеющее аналога в классической физике (где
такого в принципе не может быть). Этим эффектом
объясняются многие физические явления; например,
холодная эмиссия электронов из металлов, альфа-распад,
спонтанное деление ядер и др.
Рис. 12.11.
12.7. Операторы физических величин. Собственные состояния
Операторы. Оператором называют символическое обозначение математической
операции, которую необходимо совершить с интересующей нас функцией. Операторы

принято обозначать буквами со «шляпкой», например Q , и его действие на некоторую

функцию f(x) записывают как Q f(x).
Общее утверждение квантовой теории заключается в том, что среднее значение
любой физической величины Q находится по формуле

Q   Qdx,

(12.45)

где Q -оператор физической величины Q. Операторами величин x и px являются


x  x, p x  i





.
x
Аналогично для операторов у, z , p у , p z .
(12.46)
22
Общее правило, позволяющее находить операторы других физических величин,
таково:
формулы классической физики для связи между величинами в квантовой теории следует
рассматривать как формулы, связывающие операторы этих величин.

Оператор полной энергии частицы — гамильтониан H имеет вид:



H  KU  

2 2
 U,
2m
(12.47)

где K и U - операторы кинетической потенциальной энергии,  2 - это лапласиан.
Найдем с помощью оператора полной энергии (12.47) связь между средними
значениями полной <E>, кинетической <K> и потенциальной <U> энергий:
 


 E   * ( K  U )dV   * KdV   * UdV .
(12.48)
Отсюда, используя определение среднего значения (12.45) получаем
<E> = <K> + <U>.
(12.49)
Полученное равенство не эквивалентно Е = К + U классической механики. Действительно,
в силу соотношения неопределенностей величины К и U не могут одновременно иметь
определенные значения, поскольку К зависит от импульса р, a U — от координаты х.
Формула (12.49) показывает, однако, что в квантовой механике классическая связь
сохраняется между средними значениями Е, К и U.
Собственные состояния. Одним из основных постулатов квантовой теории
является утверждение, что состояние, в котором физическая величина Q имеет
определенное значение, описывается Ψ-функцией, являющейся решением уравнения

Q Ψ = QΨ,
(12.50)

где Q — оператор физической величины Q.
Физический смысл могут иметь лишь такие решения (12.50), которые всюду
конечные, однозначные, непрерывные и гладкие. Эти условия, как уже говорилось,
называют естественными или стандартными.
23
Функции, являющиеся решением уравнения (12.50) и удовлетворяющие

естественным условиям, называют собственными функциями оператора Q . Те значения
Q, при которых такие решения существуют, называют собственными значениями
физической величины Q. Такие состояния и называют собственными.
12.8. Квантование момента импульса
Момент импульса. Момент импульса М является одной из важнейших
характеристик движения. Однако в квантовой теории момент импульса существенно
отличается от классического. А именно, модуль момента импульса может быть задан сколь
угодно точно только с одной из проекций, например, Мг. Другие две проекции оказываются
полностью неопределенными.
Это означает, что направление момента М в пространстве является неопределенным.
Наглядно подобную ситуацию можно попытаться
представить так: вектор М как-то «размазан» по
образующим конуса, ось которого совпадает с
направлением координатной оси Z (рис. 12.12). В этом
случае вполне определенное значение имеет лишь
проекция Мг. Другие две проекции, Мх и Му, оказываются
полностью неопределенными.
Рис. 12.12.
Модуль момента импульса. Для определения квадрата момента необходимо
решить уравнение

M 2   M 2 .
(12.51)

Оператор M 2 достаточно сложный, и решение этого уравнения является очень
громоздким. Поэтому ограничимся приведением окончательных результатов, причем
только для собственных значений данного оператора:
М2 = l( l + 1)ћ2,
l = 0, 1, 2, …,
(12.52)
24
где l — орбитальное (или азимутальное) квантовое число. Отсюда модуль момента
M   l (l  1) ,
l = 0, 1, 2, …,(n-1).
(12.53)
Видно, что эта величина является дискретной (квантованной).
Следует отметить, что между классическим моментом импульса и соответствующим ему
оператором имеется существенное различие. Классический момент [r р] зависит от выбора
точки О, относительно которой берется радиус-вектор r. Оператор же момента импульса не
зависит от выбора точки О (в этом можно убедиться, записав проекции момента в
сферических координатах). Оператор момента импульса зависит только от направления
координатных осей. Поэтому его называют оператором углового момента. Собственные


значения операторов квадрата и проекции углового момента, M 2 и M z также не зависят от
выбора точки О.
Проекция момента М z. Рассмотрим решение уравнения
(12.54)
В сферических координатах (r, θ, φ) оператор проекции момента импульса на полярную
ось z (от которой отсчитывается полярный угол θ) имеет вид
(12.54)
Для определения собственных значений и собственных функций этого оператора надо,
согласно (12.50) и (12.54), решить уравнение
 i

  M z ,

(12.55)
где φ – азимутальный угол в полярной системе координат.
Подстановка ψ = C exp (αφ) приводит после сокращения на общий множитель ехр (αφ) к
алгебраическому уравнению,
из которого α = iМ z /ћ. Значит, решение уравнения (12.55) таково:
(12.56)
Эта функция конечна, непрерывна и гладкая. Она должна быть и однозначной, для чего
должно быть выполнено условие ψ (φ + 2π) = ψ (φ) или
25
Это условие будет выполнено, если положить M z = mћ, где т —целое положительное или

отрицательное число либо нуль. Следовательно, оператор M z обладает дискретным
спектром:
Mz = m ħ,
m = 0, ± 1, ± 2, …
(12.57)
Поскольку ось Z выбирают произвольно, равенство (12.57) означает, что проекция углового
момента на любое направление квантуется. Схематически это показано на рис. 12.13.
Число т называют магнитным квантовым числом. С точки
зрения квантовой теории волновая функция ψl, соответствующая
определенному квантовому числу l, представляет собой
суперпозицию состояний (ψlm -функций), отличающихся друг от
друга квантовым числом т. Иначе говоря, состояние с заданным l
является вырожденным по т, причем кратность вырождения, т. е.
число различных значений т, как следует из (12.57), равно 2l + 1.
Как будет показано в дальнейшем, вырождение снимается при
помещении атома в магнитное поле.
Рис. 12.13.
Проекция вектора не может быть больше модуля этого вектора, т. е. |Mz| ≤ М, поэтому в
соответствии с (12.53) и (12.57) должно выполняться условие
Отсюда следует, что максимальное значение |т| равно l.
Видно, что при заданном l число т принимает 2l + 1 значений:
образующих спектр величины Мz. В квантовой теории при указании орбитального момента
принято называть только l, поскольку оно задает как модуль углового момента, так и все
возможные значения его проекций на ось Z. Так например, когда говорят, что орбитальный
момент l= 2, то имеется в виду модуль М момента и спектр Мz:
Напишем вместе полученные результаты:
(12.58)
26
(12.59)
Полученные результаты, определяющие возможные значения М и Мz, называют
пространственным квантованием. Для наглядности пространственное квантование
обычно представляют графически (см. рис. 12.13).