Домашнее задание к Семинарам 1,2,3

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. II СЕМЕСТР
Домашнее задание к семинару №1
1
.
Определить, является ли данная совокупность векторов линейно зависимой.
Найти базис данной системы векторов и разложение каждого из векторов
данной совокупности в этом базисе.
1 
1 
 1
 10 
  
  


   
a1   2  , a 2   3  , a3   1  , a 4   22  .
 4
 5
3
 42 
 
 
 


2 Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
1  2 

А = 
1 4 
3 Показать, что матрицы
1  2 
 1
 и B = 
А = 
1 4 
 2
4
Найти собственные векторы матрицы В.
5
Показать, на примере матрицы В, что
1

4 
- подобны.
А)сумма собственных значений матрицы равна сумме ее диагональных членов.
В)произведение собственных значений матрицы равно ее Определителю.
6
7
8
Показать на примере матрицы А, что, если матрица An имеет n попарно различных
собственных чисел, ее ранг равен числу отличных от нуля собственных значений
матрицы.
2 3 7


А = 1 2 4 
1 1 3 


1  2 
 - линейно независимы.
Показать, что собственные векторы матрицы А = 
1 4 
1  2 
 что, если матрица An имеет n различных
Показать на примере матрицы А = 
1
4


V 1 An V   ,
собственных чисел, справедливо равенство:
где V – матрица, столбцами которой служат n собственных векторов матрицы
 - диагональная матрица, составленная из всех собственных чисел матрицы
 0 
 , где
Здесь  =  1
 0 2 
1 , 2 - собственные значения
матрицы А
An ,
An .
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. II СЕМЕСТР
Домашнее задание к семинару №2-3
1. . Комплексные числа в алгебраической форме изобразить векторами на плоскости и
представить в тригонометрической форме.
Z1   4  4i ; Z 2   3  i 3 .
А)Записать в алгебраической форме
Z 0  Z1  Z 2 .
В)Записать в алгебраической и тригонометрической формах.
Z 3  Z1  Z 2 ; Z 4  Z14 .
С)Записать в тригонометрической форме.
Z
Z5  1
; Z 6  3 Z1
Z2
2.
Комплексные числа в алгебраической форме изобразить векторами на плоскости и
представить в тригонометрической форме.
Z1   3  i ; Z 2  9  9 i .
А)Записать в алгебраической форме
Z 0  Z1  Z 2 .
В)Записать в алгебраической и тригонометрической формах.
Z 3  Z1  Z 2 ; Z 4  Z15 .
С)Записать в тригонометрической форме.
Z
Z5  1
; Z 6  4 Z1
Z2
3
Задана структурная матрица торговли трех стран:
2
4 
1
 4
6
12 
2
3 
1
А= 
4
6
12 


3
5 
1
6
12 
 4
Требуется найти вектор национальных доходов этих трех стран, обеспечивающий
бездефицитную торговлю между ними.
4
Записать квадратичную форму в матрично-векторном виде.
Выяснить, является ли квадратичная форма положительно определенной,
отрицательно определенной, неопределенной.
  2 x22  4 x32  12 x1 x2  4 x1 x3  2 x2 x3 .
5
Записать квадратичную форму в матрично-векторном виде.
Выяснить, является ли квадратичная форма положительно определенной,
отрицательно определенной, неопределенной.
  x12  3x22  3x32  8x1 x2  6 x1 x3  4 x2 x3 .