Лекция по курсу «Моделировани

ЛЕКЦИЯ ЯКОВЕНКО П.Г.
«ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНЕ ЛИНЕЙНЫМИ И НЕЛИНЕЙНЫМИ
СИСТЕМАМИ С ОГРАНИЧЕНИИ КООРДИНАТ»
Интенсификация технологических процессов требует создания новых
систем управления, реализующих в полной мере достоинства цифровой вычислительной техники. Для этого приходится ставить и решать ряд задач,
связанных с использованием нелинейных математических моделей объектов
и новых алгоритмов управления.
Напряженный режим работы оборудования предполагает строгое выполнение ограничений, накладываемых на допустимые значения фазовых
координат. Эти ограничения определяются заданным технологическим регламентом протекания тех или иных процессов, когда тепловые нагрузки,
механические напряжения и скорости изменения координат приближаются к
предельно допустимым значениям. Учет ограничений позволяет повышать
производительность и надежность работы технологических установок. До
настоящего времени является актуальной задача оптимального по быстродействию управления нелинейными объектами высоких порядков с выполнением технологических требований и ограничением фазовых координат.
На практике в большинстве случаев приходится иметь дело с нелинейными динамическими системами. Порой для достижения желаемых законов функционирования в системы умышленно вводят нелинейные звенья.
Однако, при проектировании управляющих устройств лишь ограниченный
класс автоматических систем допускает линеаризацию нелинейных характеристик и возможность использования линейной теории без значительных погрешностей. Необходимо учитывать особенности работы всех элементов системы и применять новые приемы при разработке управляющих устройств.
Высокая размерность и нелинейность математических моделей, и сложность
алгоритмов управления затрудняют создание высокопроизводительных ав-
томатических систем без широкого привлечения средств цифровой вычислительной техники.
Повышение эффективности управления предполагает использование
математических моделей объектов. Возникает проблема разработки точных
моделей и прикладных методов конструирования систем управления нелинейными системами с использованием микропроцессорных средств. Снимается вопрос о сложности реализации нелинейных регуляторов и основная задача в проектировании систем сводится к синтезу алгоритмов управления с
учетом свойств объектов, технологических требований и ограничений координат.
Новые методики синтеза оптимальных управлений линейными и нелинейными объектами с ограничением фазовых координат могут быть созданы
на основе методов динамического программирования и имитационного моделирования, принципов «перемены цели» и «ведущего слабого звена».
Объект считается управляемым, если существует хотя бы одно допустимое управление (т.е. управление, удовлетворяющее заданным ограничениям), переводящее его из заданного начального в заданное конечное состояние за конечный промежуток времени.
Для синтеза управлений микропроцессорными средствами целесообразно использовать применяемый в методе динамического программирования принцип оптимальности: «Оптимальное поведение обладает тем свойством, что, каковы бы ни были первоначальное состояние и решение в
начальный момент, последующие решения должны составлять оптимальное
поведение относительно состояния, получающегося в результате первоначального решения». Этот принцип оптимальности справедлив для систем, у
которых оптимальная траектория не зависит от предыстории системы, а целиком определяется ее исходным состоянием. Для таких систем синтез
сложной функциональной зависимости можно свести к последовательному
определению оптимальных управлений на заданных интервалах и тем самым
значительно упростить задачу.
Имитационное моделирование позволяет воспроизводить с высокой
точностью переходные процессы в объектах с учетом специфики их функционирования при различных управляющих воздействиях, контролировать изменение фазовых координат и выполнение технологических требований. На
имитационных моделях возможен поиск оптимальных управлений путем исследования переходных процессов в системе, получаемых в результате приложения пробных управляющих воздействий.
Принцип «перемены цели» служит в качестве средства приспособления системы к изменению параметров, фазовых координат, ограничений и
требований к переходным процессам. Так в системе, где необходимо обеспечить максимум быстродействия и отсутствие колебательности, следует в
первой части переходного процесса при формировании управления исходить
из цели обеспечения только требования к быстродействию, а на заключительном участке переходного процесса формировать управление, исходя из
цели обеспечения отсутствия колебательности. При таком подходе устраняется противоречие требований и достигается оптимум главного показателя
переходного процесса. Важной проблемой является определение момента
времени, когда следует начинать формировать управление исходя из новой
цели (отсутствия колебательности в системе).
Принцип «ведущего слабого звена» подразумевает объединение слабых и сильных звеньев для достижения цели, причем сильные звенья, имеющие большие адаптационные возможности, подстраиваются под слабые звенья. В системе со многими ограничениями в любой момент времени переходного процесса можно выделить одно главное ограничение («слабое звено»), которое и определяет величину управляющего воздействия. Другие
ограничения в этот момент времени не сказываются на синтезе оптимально-
го управления и их можно не учитывать, так как главное ограничение оказывается «сильнее» всех остальных. Сложность состоит в определении того
ограничения, которое является главным в данный момент времени.
В течение переходного процесса главными на разных этапах становятся разные ограничения и требования, причем, некоторые ограничения могут
и не стать главными для конкретного процесса и не участвовать в формировании оптимального управления. Все зависит от величины задания по главной координате и начального режима работы системы. Наличие в любой момент времени переходного процесса только одного «слабого звена» позволяет существенно упростить синтез оптимальных управлений как линейными,
так и нелинейными системами. Выполняя синтез оптимального управления в
ходе переходного процесса, всегда можно ограничиться учетом только одного главного ограничения или требования.
Последовательный многошаговый синтез оптимальных
управлений в системах с ограничением координат
Создана методика синтеза оптимальных управлений линейными и нелинейными системами путем многократного численного решения дифференциальных уравнений. Оптимальный закон управления системой составляется из оптимальных управлений, найденных во время переходного процесса для малых интервалов. Расчет этих управлений осуществляется с учетом технологических требований, ограничений фазовых координат, принятого критерия оптимальности, заданного конечного состояния системы и
начальных состояний системы на малых интервалах. Величину малых интервалов, на которых определяются оптимальные управления, целесообразно
выбирать постоянной и равной шагу интегрирования при численном решении дифференциальных уравнений. Методика предполагает действия над
разностными уравнениями, которыми описывается поведение системы. В
общем случае она представляет собой методику составления программы для
численного решения задачи на цифровых вычислительных машинах.
Поиск оптимальных управлений на малых интервалах ведется последовательно по шагам с учетом координат системы, полученных при оптимальном управлении на предыдущих шагах. Синтез оптимального управления системой сводится к последовательной оптимизации более простых процессов управления. Характерно, что каждый последующий участок управления усложняется, но формируется всегда путем определенной последовательности включения более простых участков управления.
Определение оптимального управления на очередном шаге выполняется в несколько этапов.
1. Методом динамического программирования по разностным уравнениям последовательно от выхода к входу системы с учетом принятых ограничений рассчитывается прогнозируемое оптимальное управление для очередного шага. Это управление в дальнейшем может быть скорректировано
после проведения проверок на отсутствие нарушений ограничений координат во время переходного процесса.
2. Определяются координаты системы в результате выполнения пробного шага с найденным прогнозируемым оптимальным управлением. Расчеты ведутся по разностным уравнениям последовательно от входа к выходу
системы.
3. Методом имитационного моделирования выполняется перевод системы по оптимальному закону с учетом принятых ограничений из состояния, полученного в результате выполнения пробного шага, в равновесное состояние. Под равновесным ( установившимся ) состоянием понимается состояние системы, в котором она может оставаться длительное время без изменения фазовых координат.
4. Сравниваются значения координат системы при переводе ее по оптимальному закону в равновесное состояние с допустимыми значениями фазовых координат. Если нет нарушений принятых ограничений, то использованное на пробном шаге управление считается оптимальным и его можно
использовать для расчета реальных координат системы на очередном шаге
интегрирования. Эти координаты соответствуют координатам системы, полученным после расчета пробного шага, и используются в качестве начальных условий для определения оптимального управления на следующем шаге.
Если наблюдаются нарушения принятых ограничений, то использованное на пробном шаге управление не является оптимальным, его следует
скорректировать и повторить расчеты по описанному циклу, начиная со второго этапа. В этом случае управление на пробном шаге следует выбирать исходя из необходимости выполнения принятых ограничений во время перевода системы в равновесное состояние.
Таким образом, оптимальные управления на отдельных шагах интегрирования составляют в конечном итоге оптимальный закон управления системой с учетом ограничений координат. Проверка оптимальности найденного для пробного шага управления необходима, так как прогнозируемое
управление определяется исходя из принятых ограничений и критерия оптимальности по главной координате системы только для одного шага интегрирования без учета дальнейшего изменения координат. Определение координат системы в результате выполнения пробного шага позволяет оценить оптимальность прогнозируемого управления на имитационной модели без подачи пробных управляющих воздействий на реальную систему. Пределы
возможного изменения прогнозируемого оптимального управления для очередного шага интегрирования, как правило, известны. С учетом специфики
численного решения дифференциальных уравнений это управление может
определяться из условия выхода на заданное значение фазовой координаты с
такой производной, изменение которой до нуля возможно за шаг интегрирования.
Перевод системы в равновесное состояние выполняется методом имитационного моделирования путем изменения в иерархической последовательности всех фазовых координат до установившихся значений. Под установившимся значением фазовой координаты подразумевается такое ее значение, которого она может достичь при изменении по оптимальным законам
всех предшествующих фазовых координат до уровней, соответствующих
прекращению дальнейшего изменения анализируемой фазовой координаты.
При изменении фазовых координат до установившихся значений по оптимальным законам могут формироваться различные цели, отличные от использованной при расчете пробного шага цели, однако всегда используется
принцип «ведущего слабого звена» и идет подстройка под самое «сильное» в
данный момент ограничение.
Сложность состоит в необходимости одновременного выхода на установившееся значение, как анализируемой координаты, так и всех предшествующих координат. Задача усложняется с повышением порядка системы,
приходится использовать большее количество пробных шагов, формируя
различные цели. Все расчеты выполняются по циклическим алгоритмам, для
одной и той же координаты могут формироваться цели выхода по оптимальным законам на разные заданные установившиеся значения. Изменение целей связано с необходимостью выполнения предъявляемых к системе порой
противоречивых требований.
Особенностью предложенной методики, в отличие от других методов
решения многошаговых задач, в которых приходится анализировать на каждом шаге все возможные варианты управления, является использование промежуточных критериев, позволяющих сразу отсечь заведомо неприемлемые
управления и тем самым сократить объем вычислений. Эти критерии доста-
точно просто определить для реальных управляемых объектов. Вычисления
выполняются по циклическим алгоритмам, обеспечивающим перевод фазовых координат в установившиеся состояния, поэтому для решения частных
задач в процессе поиска оптимального управления можно использовать подпрограммы.
В некоторых случаях удается получить простые аналитические выражения для расчета процесса перевода фазовых координат объекта в установившиеся состояния после выполнения пробного шага, что открывает широкие перспективы по разработке алгоритмов синтеза в реальном масштабе
времени микропроцессорными средствами оптимальных управлений объектами высоких порядков.
Синтезируемый закон управления может оказаться релейной или непрерывной «гладкой» функцией,
для практической реализации которого
предпочтительно использовать микропроцессорные средства, так как управляющее воздействие меняется в зависимости от начального и заданного состояния управляемого объекта, технологических требований и ограничений.
Уменьшение шага интегрирования повышает точность синтезируемого оптимального закона управления, но увеличивает время расчетов.
Методика позволяет синтезировать оптимальные управления при переводе объекта не только в заданное равновесное, но и в любое другое требуемое состояние. При этом изменяется только понятие «установившегося значения фазовой координаты» и промежуточные критерии. Общий подход при
синтезе оптимальных управлений системами любого порядка остается прежним. Это еще больше расширяет области применения методики последовательного многошагового синтеза.
Предложенная методика обеспечивает синтез нелинейных корректирующих звеньев для реализации предельных динамических возможностей
линейных и нелинейных автоматических систем с элементами дискретного
действия в различных режимах работы. Фактически она позволяет отказаться при выборе нелинейных корректирующих звеньев от малоэффективного
метода проб и последовательных приближений, использования опыта и известных рекомендаций по применению отдельных частных приемов и схем
нелинейной коррекции.
Методика позволяет проводить параметрическую оптимизацию сложных линейных и нелинейных систем, определять рациональные ограничения
на фазовые координаты, синтезировать оптимальные законы управления,
выбирать типовые элементы и структурные схемы систем автоматического
управления.
Методика может быть использована для оптимизации дискретных и
непрерывных систем путем предварительной их дискретизации. Она может
быть развита и на случай непрерывных систем, однако, поскольку практически решение осуществляется на цифровых вычислительных машинах, последние все равно требуют проведения дискретизации.
Рассмотрим работу предложенной методики последовательного многошагового синтеза оптимальных управлений на примере (рис. 1). Управляемый
линейный объект третьего порядка описывается системой дифференциальных уравнений
 dX 1(t )
 dt  X 2(t )

 dX 2(t )
 X 3(t )

dt

 dX 3(t )
 dt  U (t )

(1)
Х1(t), Х2(t), Х3(t) – координаты системы.
На управляющее воздействие U(t) и главную координату Х1(t) наложены ограничения
| U(t) |  Uм ,
(2)
| X1(t) |  Хм ,
(3)
В качестве ограничения по главной координате может выступать любое значение, превышение которого недопустимо. Для простоты рассуждений считаем отсутствующими ограничения на другие координаты, хотя
предложенная методика позволяет легко их учитывать. Решим задачу определения оптимального управления U(t), минимизирующего время Т перевода объекта из исходного состояния Х1(0) = 0; Х2(0) = 0; Х3(0) = 0 в заданное Х1(Т) = Хм ; Х2(Т) = 0 ;
Х3(Т) = 0 с помощью предложенной ме-
тодики.
В общем случае для линейного объекта N – го порядка с действительными, отрицательными корнями характеристического уравнения оптимальное управление, при наличии ограничения управляющего сигнала, состоит из
N интервалов, в каждом из которых этот сигнал принимает свое предельное
значение, т.е. управление является релейным. В конце каждого интервала
происходит изменение знака управляющего сигнала. Знак управляющего
сигнала в начале процесса управления определяется требуемым направлением изменения выходного сигнала.
Вывод справедлив для нулевых начальных условий. В случае произвольных начальных условий число интервалов может быть меньше N . Это
положение впервые было доказано А.А. Фельдбаумом и носит название теоремы об N интервалах.
Численное решение задачи по предложенной методике предполагает,
что речь идет о системе с квантованием координат по уровню и по времени.
Тогда о текущем времени можно судить по номеру шага интегрирования,
равного периоду квантования. При этом управляемый объект описывается
системой разностных уравнений
 X 1
 t  X 2

 X 2
 X3


t

 X 3
 t  U ,

(4)
где Х1, Х2, Х3 – приращения координат системы за шаг интегрирования t. Задача заключается в определении управления U (t) в виде последовательности значений U0 , U1, ... UC , обеспечивающих перевод объекта в заданное состояние за минимальное время Т.
Для устранения противоречий между быстродействием и колебательностью в методике последовательного многошагового синтеза оптимальных
управлений используются принципы «перемены цели» и «ведущего слабого
звена». Они позволяют, учитывая главные требования минимума времени
переходного процесса и отсутствие перерегулирования по главной координате, формировать управление, меняя частные задачи на отдельных интервалах времени. Учитывается возможность представления сложных систем,
устроенных по иерархическому принципу, набором более простых подсистем. Сложная задача синтеза оптимального управления в этом случае заме-
няется набором более простых задач. Поиск оптимальных управлений для
этих задач не представляет значительных трудностей.
Согласно методике последовательного многошагового синтеза оптимальных управлений для исходного состояния системы на n – ом шаге интегрирования X1(n), X2(n), X3(n) (рис. 1) первоначально рассчитывается прогнозируемое оптимальное управление U(n+1) для очередного шага и определяются координаты системы в результате выполнения первого пробного шага
X1(n+1), X2(n+1), X3(n+1). Затем осуществляется перевод системы с предельным
быстродействием в равновесное состояние.
Ставится задача изменения координаты X2 с предельными возможностями до уровня X2(t) = 0 ( с одновременным выходом координаты X3 на
уровень X3(t) = 0 ) . Для этого находится оптимальное управление U(n+2) и
рассчитываются значения координат системы X1(n+2), X2(n+2), X3(n+2) в результате выполнения второго пробного шага. Затем по циклическому алгоритму решается задача изменения координаты X3 с предельными возможностями ( при максимальном управлении ) до уровня X3(k) = 0 . Определяются координаты системы X1(к) и X2(к) при X3(к) = 0 ( рис. 1 ). Производится
оценка значения координаты X2(к) .
Если оно не равно нулю, то рассчитывается еще один пробный шаг по
скорейшему достижению координатой X2 нулевого значения, причем, в качестве начальных условий используются координаты системы
X1(n+1),
X2(n+1), X3(n+1) с предыдущего второго пробного шага. Снова по циклическому алгоритму изменяется координата X3 с предельными возможностями до
нулевого значения, оценивается значение координаты X2 и далее по описанному циклу.
При расчете вторых пробных шагов значения координаты X3 могут
менять знак. Независимо от этого всегда ставится задача выхода за минимальное время на значение X3(t) = 0 . Таким способом последовательно
рассчитываются кривые 1, 2, 3 изменения координат системы (рис. 1). Для
шага интегрирования m после выполнения очередного второго пробного шага удается достичь значений X2(p) = 0 и X3(p) = 0 , соответствующих равновесному состоянию системы (кривые 3). Оценивается значение главной координаты системы X1(p) .
Если оно не превышает заданного значения Xм, то использованное на
первом пробном шаге управление считается оптимальным. В рассматриваемом примере управление U(n+1) может быть использовано для расчета реальных координат системы на (n+1) шаге интегрирования. В случае нарушения
ограничения ( X1(p) > Xм ) следует изменить прогнозируемое оптимальное
управление U(n+1) и повторить расчеты по описанному циклу, начиная со
второго этапа.
Практическое решение поставленной задачи выполнено с использованием численного метода Эйлера первого порядка. Подробно рассмотрен
синтез оптимального управления для одного шага интегрирования. Для последующих шагов синтез управления выполняется по аналогичной методике.
Начальное состояние объекта характеризуется координатами Х1(n), Х2(n), Х3(n).
Определение оптимального управления для (n + 1) шага интегрирования
(рис. 1) выполняется в следующей последовательности. Методом динамического программирования рассчитывается управление, обеспечивающее максимальное приращение координаты Х1 на (n+1) шаге интегрирования.
Первоначально определяется требуемое приращение по координате Х1
Х1(n+1) = Xм – X1(n) ,
(5)
затем вычисляется значение координаты Х2, способное обеспечить это приращение
X2(n+1) = X1(n+1)  t.
(6)
Следующим этапом определяется требуемое приращение по координате Х2
X2(n+1) = X2(n+1) – X2(n)
(7)
и значение координаты Х3, способное обеспечить это приращение
X3(n+1)= X2(n+1)  t.
(8)
Затем вычисляется требуемое приращение по координате Х3
X3(n+1) = X3(n+1) – X3(n)
(9)
и обеспечивающее его управление
U(n+1) = X3(n+1)  t
(10)
Это управление ограничивается, при необходимости, на уровне Uм с
соответствующим знаком. Рассчитываются координаты объекта после выполнения первого пробного шага ( X11(n+1), X21(n+1), X31(n+1) ) с найденным
управлением
X31(n+1) = X3(n) + U(n+1) t
(11)
X21(n+1) = X2(n) + X31(n+1) t
(12)
X11(n+1) = X1(n) + X21(n+1) t
(13)
Они используются в качестве начальных условий для перевода объекта в равновесное состояние. Это необходимо сделать с целью проверки выполнения требования к координате Х1, которая не должна превышать значения Хм. Если это требование не будет нарушено, то найденное управление
можно считать оптимальным для очередного шага интегрирования.
Перевод объекта в равновесное состояние начинается с расчета второго пробного шага (n+2), выполняемого с целью скорейшего достижения координатой Х2 значения Х2(t) = 0. В качестве начальных условий используются координаты системы X11(n+1), X21(n+1), X31(n+1) , полученные в результате расчета первого пробного шага. Расчет ведется методом динамического
программирования, аналогично первому пробному шагу, только теперь из-
менена цель управления. По аналогичной методике определяются координаты системы в результате выполнения второго пробного шага Х12(n+2) ,
Х22(n+2), Х32(n+2) . В качестве «ведущего слабого звена» вновь выступает ограниченное напряжение управления.
Новые координаты объекта Х32(n+2) , Х22(n+2), Х12(n+2) используются в
качестве начальных условий в циклическом алгоритме, обеспечивающем изменение координаты X3 до значения Х3(t) = 0, соответствующего установившемуся значению координаты Х2. Расчеты выполняются методом динамического программирования.
После достижения координатой Х3 значения Х3(t) = 0 оценивается значение координаты Х2. Если оно оказывается больше Х2(Т), то рассчитывается новый пробный шаг по скорейшему достижению координатой Х2 значения Х2(Т), только в качестве начальных условий используются координаты
объекта Х32(n+2), Х22(n+2), Х12(n+2) , полученные в результате выполнения
предыдущего второго пробного шага. Вновь используется циклический алгоритм, обеспечивающий изменение координаты Х3 до значения Х3(t) = 0, и
оценивается значение координаты Х2.
Расчеты по такому циклу (алгоритм на рис. 2) продолжаются до тех
пор, пока координата Х2 не достигнет значения Х2(t) = 0. Иногда для одновременного достижения координатами Х2 и Х3 значений Х2(t) = 0 и Х3(t) = 0
приходится использовать метод последовательных приближений. Полученные значения Х2(t) = 0 и Х3(t) = 0 соответствуют установившемуся состоянию объекта, можно оценить значение координаты Х1. Если оно не превышает значение Хм, то найденное на первом пробном шаге управление U(n+1)
считается оптимальным. В противном случае управление на (n+1) шаге
определяется методом последовательных приближений из диапазона (- Uм 
 Uм) с использованием прежней методики, исходя из условия одновременного обеспечения значений координат Х1(Т) = Хм; Х2(Т)= 0; Х3(Т) = 0.
Начало
Расчет предельного управления
на 1 пробном шаге
UP1
Расчет 1 пробного шага
Расчет предельного управления
на 2 пробном шаге
UP2
Расчет 2 пробного шага
Расчет предельного управления
на 3 пробном шаге
UP3
Расчет 3 пробного шага
Х3 = Х3К
НЕТ
ДА
Х2 = Х2К
НЕТ
ДА
ДА
Х1  Х1К
Управление на 1 пробном
шаге оптимальное.
UP1 используется для
расчета реального шага
на модели
НЕТ
Управление на 1 пробном
шаге не оптимальное.
UP1 используется для
расчета реального шага
на модели
Вывод результатов
НЕТ
Х3 = Х3К
Х2 = Х2К
Х1 = Х1К
ДА
Конец
Рис. 2 Блок-схема алгоритма синтеза оптимального управления
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРИ СТУПЕНЧАТЫХ
ВОЗМУЩЕНИЯХ
 dX 1(t )
 dt  X 2(t )

 dX 2(t )
 X 3(t )  F

 dt
 dX 3(t )
 dt  U (t )
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ГЛУБИНОЙ ПОГРУЖЕНИЯ
ПОДВОДНОГО АППАРАТА
m
dV
 F   V  V ,
dt
где F – сила, действующая на подводный аппарат; m – масса аппарата;
V – скорость движения;  - коэффициент сопротивления.
Полагаем, что силовые воздействия на аппарат F 1 и F 2 имеют форму
прямоугольных импульсов, воздействия внешней среды от изменения плотности и солености воды, а также сжатия корпуса незначительны, а коэффициент сопротивления не меняется во время переходного процесса.
Импульс, создаваемый силой F 1 разгоняет аппарат на погружение или
всплытие, а импульс, создаваемый силой F 2 , тормозит движение аппарата,
стабилизируя его на определенной глубине. Знаки F 1 и F 2 определяют
направление перемещения аппарата.
Машинными экспериментами доказана работоспособность предложенного алгоритма управления подводным аппаратом с параметрами
m =1800, F 1  120 , F 2  100 и  =20 при различных глубинах погружения и
ограничениях скорости.
На рис. 1, рис. 2 и рис. 3 приведены переходные процессы при перемещении подводного аппарата с глубины 20 м. на глубину 80 м. при ограничениях скорости на уровне 1.2 м/с., 1,0 м/с. и 0,8 м/с.
V
0,6
U
150
L
60
0,4
100
40
0,2
t, c
20
100
0
0
50
t, c
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
-50
-0,2
t, c
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
-0,4
0
-20
-0,6
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
-40
-0,8
-100
-60
-1
-150
-1,2
-80
Рис. 1. Переходные процессы при перемещении аппарата
с глубины 20 м. на 80 м. с ограничением скорости 1,2 м/с.
U
150
V
0,6
L
60
0,4
100
40
0,2
50
t, c
0
0
-50
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
-0,2 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
t, c
20
100
0
-0,4
-20
-0,6
-150
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
-40
-0,8
-100
t, c
0
-1
-60
-1,2
-80
Рис. 2. Переходные процессы при перемещении аппарата
с глубины 20 м. на 80 м. с ограничением скорости 1,0 м/с.
U
150
V
0,6
100
40
0,2
50
t, c
0
-50
L
60
0,4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90 100 110 120
0
-0,2 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
t, c
20
100 110 120
0
-0,4
-20
-0,6
-150
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100 110 120
-40
-0,8
-100
t, c
0
-1
-60
-1,2
-80
Рис. 3. Переходные процессы при перемещении аппарата
с глубины 20 м. на 80 м. с ограничением скорости 0,8 м/с.
На рис. 4 и рис. 5 приведены переходные процессы при перемещении
подводного аппарата с глубины 20 м. на глубины 70 м. и 60 м. при ограничении максимальной скорости на уровне 1,2 м/с.
U
150
V
0,6
100
-150
t, c
0
t, c
0
-100
40
0,2
50
-50
L
60
0,4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
-0,2 0
-0,4
-0,6
-0,8
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
20
t, c
0
-20
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
-40
-1
-60
-1,2
-80
Рис. 4. Переходные процессы при перемещении аппарата
с глубины 20 м. на 70 м. с ограничением скорости 1,2 м/с.
V
0,6
U
150
100
0
t, c
0
-100
-150
40
0,2
50
-50
L
60
0,4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
-0,2 0
10
20
-0,4
-0,6
-0,8
30
40
50
60
70
80
90
t, c
20
100
0
-20
t, c
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
-40
-1
-60
-1,2
-80
Рис. 5. Переходные процессы при перемещении аппарата
с глубины 20 м. на 60 м. с ограничением скорости 1,2 м/с.
В отдельных случаях могут быть получены аналитические выражения,
позволяющие упростить расчеты по переводу объекта в установившееся состояние, предложены дополнительные критерии, уменьшающие объем вычислений. В рассматриваемом примере, например, можно после расчета первого пробного шага сразу начать формирование симметричного графика изменения координаты Х3, который позволит достичь значения Х2(t) = 0 и
провести анализ установившегося значения координаты X1. Однако подобных упрощений чаще всего не удается добиться в системах с нелинейностями и многими ограничениями.
Введение дополнительных ограничений на координаты предполагает
проведение сравнений установившихся значений координат объекта с их
максимальными значениями и коррекцию управления, при необходимости,
на пробных шагах. В этом случае объемы вычислений могут сократиться, а
решение задачи упростится. Поиск оптимального управления на любом шаге
интегрирования выполняется по одному алгоритму, даже при наличии нелинейных ограничений. Решение рассмотренной задачи предполагает использование интуитивного подхода.
В системах со строгой иерархией большого порядка обычно удается
определять направление изменения координат при переходном процессе.
Полученные с помощью предложенной методики последовательного многошагового синтеза законы оптимального управления для рассмотренной си-
стемы и других линейных систем без ограничения координат совпадают с
полученными традиционными методами законами управления, например,
решение линейной задачи быстродействия в книге Р.П. Федоренко “ Приближенное решение задач оптимального управления ”. – М.: Наука, 1978.
– с.227–233., в работе А.Я. Дубовицкого и В.А. Рубцова “ Линейные быстродействия ”. – ЖВМ и МФ, 1968, 8,N5, с. 937.
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СИСТЕМОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ПАРАМЕТРОВ И ОГРАНИЧЕНИЙ ВО ВРЕМЯ
ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА
X 2ì
K1
T1P  1
U
K U  T
1
1
K  X T
2
2
X2
K2
T2 P  1
 dX 2  X 2 ,
(1)
 dX 1  X 1 ,
(2)
dt
2
dt
Максимальные значения управляющего воздействия
ординаты первого элемента
чений
U
м
и
X
2м
X
2
X1
U
и выходной ко-
не должны превышать соответственно зна-
. Ограничения, задание по координате
X
z1
, параметры
инерционной системы
K
1
и
T
1
,
K
2
и
T
2
могут изменяться в момент вре-
мени T з в течение переходного процесса.
Определим оптимальное управление
U (t ) ,
обеспечивающее мини-
мальное время перевода системы из исходного состояния с реальными координатами
X
2

X
X /K
z1
1i
2
и
X
2i
в заданное состояние с координатами
с учетом ограничений
T  X
t
T  X
t
U
и
м
X
2м
X
1

X
z1
и
.
 K 1 U  X 2,
2
1
(3)
1
2
 K 2  X 2  X 1,
Определение управления на очередном шаге предполагает расчет требуемого приращения выходной координаты второго элемента
X
1 p1

X
z1
X
1 p1
 X 1i .
(5)
По разностному уравнению определяется значение выходной координаты первого элемента
X
2 p1
, способное обеспечить такое приращение
X
2 p1
 (T 2 
X
t
1 p1
 X 1i ) 
1
K
.
X
2м
1 p1
(6)
2
Полученное значение выходной координаты первого элемента
необходимости ограничивается значением
X
X
2 p1
при
с соответствующим знаком.
Затем вычисляется требуемое приращение выходной координаты первого элемента
X
2 p1
на шаге
X
2 p1

X
2 p1
 X 2i .
(7)
По разностному уравнению определяется управление на первом пробном шаге U p1 , способное обеспечить такое приращение
U
p1
 (T 1 
X
t
2 p1
 X 2i ) 
1
K
.
1
X
2 p1
на шаге
(8)
Полученное значение управления
ется значением
U
м
U
при необходимости ограничива-
p1
с соответствующим знаком. Чтобы обеспечить соблюде-
ние ограничения по координате
X
выполняется расчет первого пробного
1
шага.
X
2 p1
 ( K 1 U p1  X 2i )  t ,
X
X
1 p1
T
2 p1
 X 2i  X
p1
(9)
1
,
(10)
 ( K 2  X 2 p1  X 1i )  t ,
T
X
(11)
2
 X 1i  X 1 p1 .
1 p1
(12)
Полученные значения координат позволяют задать начальные условия
для второго пробного шага при переводе системы в равновесное состояние
X
1p2

X
X
2 p2

X
1 p1
,
(13)
.
(14)
2 p1
Расчет управления для второго пробного шага начинается с определения
по разностному уравнению требуемого приращения выходной координаты
первого элемента
X
2 p2
X
2 p2
 ( X 1p2  K 2  X
Если модуль суммы значений
чение
чина
X

2 p2
1
K
.
(15)
2
и X 2 p 2 не превышает
превышения этой суммой значения
Если сумма значений
2 p2
2 p2
)
X
2м
, то зна-
остается неизменным. В противном случае определяется вели-

X
X
2 p2
X

2 p2
2м
 X 2 p 2  X 2 м .
X
2 p2
и
X
определяется по выражению
X
2 p2
(16)
окажется больше нуля, то значение
X
 X 2 p 2   .
2 p2
X
В противном случае значение
X
2 p2
2 p2
(17)
определяется по выражению
 X 2 p 2   .
(18)
По разностному уравнению определяется управление
пробном шаге, способное обеспечить такое приращение
U
p2
 (T 1 
X
t
2 p2
Полученное значение управления
ется значением
U
p2
U
м
 X 2 p 2) 
U
p2
1
K
X
на втором
U
p2
2 p2
на шаге
.
(19)
1
при необходимости ограничива-
с соответствующим знаком. С найденным управлением
выполняется расчет второго пробного шага.
X
2 p2
 ( K 1 U p 2  X 2 p 2)  t ,
X
X
1p2
T
2 p2

X
2 p2
(20)
1
 X 2 p 2 ,
(21)
 ( K 2  X 2 p 2  X 1 p 2)  t ,
T
X
1p2

X
1p2
(22)
2
 X 1 p 2 .
(23)
Проводится проверка, находится система в равновесном состоянии или
нет. Для этого оценивается значение
X
1p2
. Если модуль
X
1p2
окажется
больше нуля, то выполняется расчет по ранее описанной методике (15) - (23)
следующего второго пробного шага. Расчеты вторых пробных шагов по такому циклу каждый раз с новыми начальными условиями, полученными в
результате выполнения предыдущего второго пробного шага, продолжаются
до тех пор, пока модуль
X
1p2
не станет равным нулю и система не будет
переведена в равновесное состояние.
После этого контролируется выполнение ограничения по координате
X
1
. Если значение
X
1p2
превышает значение
X
z1
, то найденное на первом
пробном шаге управление U p1 не является оптимальным для очередного шага. Следует вычислить приращение
X
2
по координате
X
2
за шаг, исходя
из условия нахождения системы в состоянии равновесия, и определить обеспечивающее его управление
, которое при необходимости ограничивает-
U
ся значением U м с соответствующим знаком
X
2

X
K
z1
 X 2i ,
(24)
2
U
Управление
 (T 1  X 2  X 2i ) 
t
X
1i
и
X
.
(25)
1
считается оптимальным и используется в дальнейшем в
U
качестве управляющего воздействия
системы
1
K
2i
U
i
при расчете реальных координат
на шаге.
Если после контроля выполнения ограничения по выходной координате
X
1
значение
X
1p2
не превышает значение
вом пробном шаге управление
U
p1
X
z1
, то ранее найденное на пер-
считается оптимальным для очередного
шага и используется в дальнейшем в качестве управляющего воздействия U i
при расчете реальных координат системы
X
1i
и
X
2i
на очередном шаге.
Выполняется расчет координат системы по выражениям (26) - (29) после выполнения реального шага.
X
2i
 ( K 1 U i  X 2i )  t ,
X
T
2i

X
2i
 X 2i ,
(26)
1
(27)
X
1i
 ( K 2  X 2i  X 1i )  t ,
X
T
1i

X
1i
(28)
2
 X 1i .
(29)
Затем происходит возврат в начало алгоритма для расчета оптимального
управления по выражениям (5) - (25) на следующем шаге с начальными
условиями, полученными в результате выполнения предыдущего реального
шага. Таким способом последовательно составляется оптимальный по быстродействию закон с учетом принятых ограничений из управлений
U
найденных во время переходного процесса для малых интервалов времени.
Рис. 2 DT=1; XZ1=42; UM=10; K1=2; K2=3; T1=5; T2=7; X2M=15
i
,
Рис. 3 DT=1; XZ1=42; UM=10; K1=2; K2=3; T1=5; T2=7; X2M=22
Рис. 4 TP=8; K21=7; DT=1; XZ1=42; UM=10; K1=2; K2=3;
T1=5; T2=7; X2M=15
Рис. 5 TP=12; X2M1=14.5; DT=1; XZ1=41; UM=10; K1=2; K3=3;
T1=5; T2=7; X2M=15
Рис. 6 TP=5; XZ11=42; DT=1; XZ1=15; UM=10; K1=2; K2=3; T1=5;
T2=7; X2M=15
Рис. 7 TP=15; K21=14; DT=1; XZ1=42; UM=10; K1=2; K2=3;
T1=5; T2=7; X2M=15.
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ИСПОЛНИТЕЛЬНЫМИ
ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИМИ УСТРОЙСТВАМИ
Переходные
процессы
в
исполнительных
электромеханических
устройствах могут существенно влиять на технологические процессы. Обычно стремятся свести к минимуму время переходных процессов и перерегулирования по координатам при строгом выполнении технологических требований и полном использовании динамические возможности устройств.
В большинстве электромеханических устройств легко прослеживается
взаимосвязанность составных частей, структурированность и подчиненность
отдельных координат определенной цели. Процессы протекают не в произ-
вольном порядке, а в определенной последовательности, наблюдается строгая взаимозависимость координат. Возможна полная формализация нахождения оптимального управления для таких устройств по описанной ранее методике.
Синтезируем оптимальное по быстродействию управление двигателем
постоянного тока независимого возбуждения, который описывается дифференциальными уравнениями
U  i  R  C   L
J
di
;
dt
d
 С  (i  ic ) ,
dt
(14)
(15)
где R, L – активное сопротивление и индуктивность якорной цепи
двигателя;
J, C – момент инерции и конструктивный коэффициент
двигателя;
 – частота вращения двигателя;
U, i – напряжение и ток якоря двигателя;
ic – ток статической нагрузки двигателя;
t – время.
Параметры двигателя считаются постоянными, а момент статической
нагрузки – реактивным, т.е. вращение двигателя из заторможенного состояния может начаться только после превышения током якорной цепи значения
статического тока. В качестве
управляющего воздействия используется
напряжение на якоре двигателя.
Необходимо найти управление U (t), обеспечивающее минимум времени перевода двигателя из исходного состояния с координатами U(0), i(0) и
 (0) в новое заданное состояние. Оно характеризуется координатами U(T),
i(T) = ic ,  (T )   м . При этом значения частоты вращения  (t ) , тока i(t),
напряжения U(t) и скорости изменения напряжения
dU (t )
не должны преdt
 dU( t ) 
вышать предельных значений, соответственно,  м , iм , U м и 
 м.
 dt 
Решение задачи с помощью предложенной методики синтеза оптимальных управлений предполагает представление объекта управления конечно – разностными уравнениями
U  i  R  C   L
J
i
,
t
Δω
 C  (i  ic ) ,
Δt
(16)
(17)
где t – интервал вычислений.
Для решения разностных уравнений воспользуемся методом Эйлера
первого порядка. Ограничение на скорость изменения напряжения на якоре
при постоянном интервале вычислений может быть реализовано путем ограничения приращения напряжения на якоре за интервал вычислений на
уровне U м . Синтез оптимальных управлений ведется последовательно по
шагам. Исходное состояние объекта на (i –1) шаге характеризуется координатами i(i 1) ,  (i 1) , U (i 1) , t (i 1) . Для определения оптимального управления на i – ом шаге рассчитывается методом динамического программирования с учетом принятых ограничений последовательно от выхода к входу
объекта предельное управление U(i) на первом пробном шаге.
Определяется требуемое приращение частоты вращения двигателя на
очередном шаге интегрирования
Δω(i)  ωм -ω(i-1 ) .
(18)
Затем вычисляется значение тока, способного обеспечить такое приращение
частоты вращения за интервал вычислений
i(i)  J 
Δω(i)
C  Δt
 ic .
(19)
Найденный ток, при необходимости, ограничивается на уровне iм. Вычисляется требуемое приращение тока
i(i )  i(i )  i(i 1)
(20)
и обеспечивающее его напряжение на якоре двигателя
U (i )  R  i(i 1)  C   (i 1)  L
i(i )
t
.
(21)
Это напряжение, при необходимости, ограничивается на уровне U м . Вычисляется требуемое приращение напряжения
U (i )  U (i )  U (i 1) .
(22)
Оно ограничивается, при необходимости, на предельном уровне U м .
После этого находится предельное управление на первом пробном шаге
U (i )  U (i 1)  U (i ) .
(23)
Для расчета первого пробного шага при реактивном моменте нагрузки
двигателя управление U1(i ) принимается равно U (i ) . Последовательно вычисляется приращение тока

 Lt ,
i1(i )  U1(i )  R  i(i 1)  C   (i 1) 
(24)
ток двигателя
i1(i )  i(i 1)  i1(i ) ,
(25)
приращение частоты вращения двигателя


1(i )  i1(i )  ic  C 
t
.
J
(26)
Приращение частоты вращения двигателя, с учетом характера нагрузки, при оптимальном разгоне двигателя из заторможенного состояния до положительного значения  м не может принимать отрицательного значения.
Рассчитывается частота вращения двигателя в результате выполнения первого пробного шага
1(i )   (i 1)  1(i ) .
(27)
После этого производится расчет процесса изменения с предельными возможностями управления с целью выхода на установившееся значение тока. В
качестве начальных условий U 2(i ) , i2(i ),  2(i ) для этого алгоритма используются координаты объекта, соответственно, U1(i ) , i1(i ), 1(i ) , полученные в результате выполнения первого пробного шага. Определяется напряжение, соответствующее установившемуся значению тока,
U 2(i 1)  R  i2(i )  C   2(i )
(28)
и требуемое приращение напряжения на очередном шаге
U 2(i 1)  U 2(i 1)  U 2(i ) .
(29)
Приращение ограничивается, при необходимости, на уровне U м с соответствующим знаком. Находится напряжение на якоре двигателя
U 2(i 1)  U 2(i )  U 2(i 1) ,
(30)
приращение тока

 Lt ,
i2(i 1)  U 2(i 1)  R  i2(i )  C   2(i ) 
(31)
i2(i 1)  i2(i )  i2(i 1) ,
(32)
ток двигателя
приращение частоты вращения двигателя


 2(i 1)  i2(i 1)  ic  C 
t
.
J
(33)
Приращение скорости с учетом характера нагрузки двигателя для положительного значения  м не может быть отрицательным. В случае получения
отрицательного приращения скорости по выражению (33) следует принять
нулевое значение приращения скорости. Вычисляется значение частоты
вращения двигателя
 2(i 1)   2(i )   2(i 1) .
(34)
После этого оценивается значение приращения тока i2(i 1) . Если оно не
равно нулю, то необходимо продолжить расчеты с целью выхода на установившееся значение тока. Переменным U 2(i ) , i2(i ),  2(i ) присваиваются, соответственно, найденные значения U 2(i 1) , i2(i 1) ,  2(i 1) и вновь определяется напряжение (28), соответствующее установившемуся значению тока. Далее расчеты повторяются по описанному циклу.
После выхода на установившееся значение тока i2(i 1) производится
проверка выполнения ограничения по максимальному току (i м ) . Если i2(i 1)


больше i м , то выбранное на первом пробном шаге управление U (i ) считается недопустимым.
Методом последовательных приближений или другим способом U (i )
уменьшается, и расчеты повторяются по описанному циклу до получения
значения установившегося тока без нарушения ограничения.
После выполнения условия i2(i 1)  i м производится сравнение установившегося значения тока и тока статического. Если значение тока двигателя
не достигло значения ic , то отсутствует приращения скорости. Нет смысла
осуществлять проверку выполнения ограничения по максимальной частоте
вращения  м  . Использованное на последнем 1 – ом пробном шаге управление U (i )
считается оптимальным, найденные координаты объекта
U1(i ) , i1(i ) , 1(i )
присваиваются,
соответственно,
переменным
U (i 1) , i(i 1) ,  (i 1) , производится вывод результатов и переход к расчету
предельного управления на 1 – ом пробном шаге с целью поиска оптимального управления на очередном интервале вычислений.
Если установившееся значение тока i2(i 1) превышает ic , то необходимо произвести расчет перевода объекта с предельными возможностями в
равновесное состояние. Для этого координаты объекта U1(i ) , i1(i ) , 1(i ) , полученные в результате выполнения первого пробного шага, присваиваются,
соответственно, переменным U 3(i 1) , i3(i 1) ,  3(i 1) . Рассчитывается предельное управление на втором пробном шаге с целью скорейшего достижения статического тока двигателя.
В начале определяется требуемое приращение тока на очередном шаге
i3(i )  ic  i3(i 1) ,
(35)
а затем само управление
U 3(i )  R  i3(i 1)  C   3(i 1)  L 
i3(i )
t
.
(36)
Оно ограничивается, при необходимости, на уровне Uм с соответствующим
знаком. Вычисляется требуемое приращение напряжения
U 3(i )  U 3(i )  U 3(i 1) .
(37)
Приращение ограничивается, при необходимости, на уровне U м с соответствующим знаком.
После этого определяется предельное управление на втором пробном
шаге
U 3(i )  U 3(i 1)  U 3(i ) .
(38)
Переменной U4(i) присваивается значение U 3(i ) и рассчитывается второй
пробный шаг. Последовательно вычисляется приращение тока

i4(i )  U 4(i )  R  i3(i 1)  C   3(i 1)
 Lt ,
(39)
ток двигателя
i4(i )  i3(i 1)  i4(i ) ,
(40)
приращение частоты вращения двигателя


4(i )  i4(i )  ic  C 
t
,
J
(41)
которое не должно быть отрицательным. Приращение скорости, при необходимости, принимается равно нулю.
Определяется значение частоты вращения двигателя
 4(i )   3(i 1)   4(i ) .
(42)
После этого ставится задача проверки допустимости найденного управления,
исходя из необходимости выхода без перерегулирования на значение тока ic.
Переменным U 5(i ) , i5(i ) ,  5(i ) присваиваются, соответственно, значения полученных в результате второго пробного шага U 4(i ) , i4(i ) ,  4(i ) координат
объекта.
Производится расчет процесса изменения с предельными возможностями управления с целью выхода на установившееся значение тока. Определяется напряжение, соответствующее установившемуся значению тока,
U 5(i 1)  R  i5(i )  C   5(i )
(43)
и требуемое приращение напряжения на очередном шаге
U 5(i 1)  U 5(i 1)  U 5(i ) .
(44)
Приращение при необходимости ограничивается на уровне U м с соответствующим знаком. Рассчитывается напряжение на якоре
U 5(i 1)  U 5(i )  U 5(i 1) ,
(45)
приращение тока двигателя

i5(i 1)  U 5(i 1)  R  i5(i )  C   5(i )
Lt
,
(46)
ток двигателя
i5(i 1)  i5(i )  i5(i 1) ,
(47)
приращение частоты вращения двигателя
 5(i 1)  (i5(i 1)  ic )  C 
t
,
J
(48)
и значение частоты вращения двигателя
 5(i 1)   5(i )   5(i 1) .
(49)
Оценивается значение приращения тока i5(i 1) . Если оно не равно нулю, то
переменным U5(i) i5(i) , ω5(i) присваиваются, соответственно, найденные значения U5(i+1) i5(i+1) , ω5(i+1) и вновь определяется напряжение (2.43), соответствующее установившемуся значению тока. Далее расчеты повторяются по
описанному циклу.
После выхода на установившееся значение тока i5(i 1) производится
его сравнение с ic.. Если i5(i 1) окажется меньше ic, то выбранное на последнем 2 – ом пробном шаге управление (U4(i)) считается недопустимым. Методом последовательных приближений изменяется U4(i) с целью точного выхода на значение статического тока, вновь рассчитывается второй пробный
шаг, и далее расчеты повторяются по описанному циклу. Таким образом,
обеспечивается выход на значение статического тока с напряжением на якоре двигателя, соответствующим равновесному состоянию объекта.
Если установившееся значение тока i5(i 1) окажется больше статического тока, то выполняется очередной 2 – ой пробный шаг с целью скорейшего
достижения
значения
тока
ic .
Для
этого
переменным
U 3(i 1) , i3(i 1) ,  3(i 1) присваиваются, соответственно, значения координат
объекта U 4(i ) , i4(i ) ,  4(i ) , полученные в результате выполнения последнего
2–го пробного шага. Вновь рассчитывается предельное управление на 2–ом
пробном шаге с учетом ограничений, и далее выполняются расчеты по ранее
описанному циклу.
После перевода в равновесное состояние сравнивается полученное
значение частоты вращения  5(i 1) двигателя с заданным значением  м частоты. Превышение значением  5(i 1) значения  м свидетельствует о
нарушении заданного ограничения при использовании на 1–ом пробном шаге ранее определенного напряжения управления U1(i ) . Методом последовательных приближений это напряжение изменяется в сторону уменьшения,
вновь рассчитывается первый пробный шаг и далее расчеты повторяются по
описанному циклу.
Если  5(i 1) оказывается меньше или равно значению  м , то использованное на последнем 1–ом пробном шаге управление U1(i ) считается оптимальным, найденные координаты объекта U1(i ) , i1(i ) , 1(i ) присваиваются,
соответственно, переменным U1(i 1) , i1(i 1) , 1(i 1) , производится вывод результатов и переход к расчету предельного управления на 1–ом пробном шаге с целью поиска оптимального управления на очередном интервале вычислений. Таким образом, путем коррекции управления на первом пробном шаге удается достичь равновесного состояния объекта с координатами
U (T ), i (T )  ic ,  (T )   м при строгом соблюдении принятых ограничений.
Изменение в ходе переходного процесса ограничений, параметров объекта (J, R, L, C) или возмущающего воздействия ic  просто учитывается при
синтезе оптимального управления предложенным методом, так как поиск
управления на очередном шаге ведется с использованием имитационного
моделирования. Необходимо только обладать достоверной информацией о
происшедших изменениях.
Уменьшение шага вычислений позволяет свести к минимуму погрешности решения дифференциальных уравнений численным методом и синтезировать практически оптимальный закон управления, однако объем вычислений при этом возрастает. Необходим разумный компромисс между точностью вычислений и затратами машинного времени.
Расчеты оптимальных управлений по описанному алгоритму для двигателя с другими параметрами и при других ограничениях показали, что в
качестве «ведущего слабого звена» могут выступать различные ограничения
не в строго заданной последовательности, однако всегда обеспечивается оптимальный разгон двигателя до заданной частоты вращения.
Численным методом определяется управление U (t ) , обеспечивающее
минимум времени перевода двигателя из исходного состояния с координатами U (0), i (0) и  (0) в новое состояние с координатами U (T ), i(T )  ic и
 (T )   m . При этом значения частоты вращения  (t ) , тока i(t ) , напряжения
dU (t )
не должны превышать преdt
dU (t ) 
дельных значений, соответственно,  m , im , U м и 
 m.
 dt 
U (t )
и скорости изменения напряжения
Оп-
тимальный по
быстродействию процесс разгона электродвигателя с учетом принятых ограничений до частоты 100 рад/с. Параметры системы: R=1,5 Ом; L=0,09 Гн;
J=0,0522
кг•м2;
С=1,28
В•с
/рад;
ic=10
А;
iм=40
A;
Uм=150
В;
 dU( t ) 

м  10000 В/с., расчеты выполнялись с шагом 0,001 с.
 dt 
Объем вычислений может быть существенно сокращен путем использования информации, полученной при расчете управления на предыдущем
интервале вычислений. Например, после начала уменьшения тока в двигателе до известного момента времени можно уменьшать управляющее воздействие с предельным темпом без расчета пробных шагов. Возможно применение и других искусственных приемов. Поскольку синтезируется оптимальное
управление всегда для очередного интервала вычислений, просто устраняются возможные отклонения от оптимального закона, обусловленные погрешностями численного решения дифференциальных уравнений на цифровых вычислительных машинах.
Описанный алгоритм позволяет с помощью машинного эксперимента
проводить исследования предельных динамических возможностей электродвигателей постоянного тока независимого возбуждения, исследовать влияние изменения параметров на характеристики электродвигателей, проектировать регуляторы.
Синтез в реальном масштабе времени оптимальных управлений электродвигателем постоянного тока независимого возбуждения по предложенной методике требует введения дополнительных логических условий в алгоритм, высокого быстродействия микропроцессорных средств и наличия датчиков информации о координатах системы.
УПРАВЛЕНИЕ СЛЕДЯЩИМИ
ЭЛЕКТРОПРИВОДАМИ
100
ω, 1/c
75
ω1(t)
50
ω2(t)
25
t, c
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
-25
-50
0
t, c
-50
-100
-150
-200
L(t)
-250
-300
-350
-400
L, ед.
50
ω, 1/c
25
ω1(t)
t, c
0
0
0,1
0,2
0,3
ω2(t)
0,4
0,5
0,6
-25
-50
-75
400
L, ед.
350
300
250
L(t)
200
150
100
50
t, c
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
1  70; 2  0; LДОП   ; M УСК  10; M  100;
0,6
100
ω, 1/c
ω1(t)
75
ω2(t)
50
25
t, c
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
120
L, ед.
100
80
L(t)
60
40
20
t, c
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
1  35; 2  70; LДОП   ; M УСК  10; M  100;
125
ω, 1/c
100
ω1(t)
75
ω2(t)
50
25
t, c
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
-25
400
L, ед.
350
300
250
L(t)
200
150
100
50
t, c
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
125
ω, 1/c
ω1(t)
100
75
50
ω2(t)
25
t, c
0
-25
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
-50
-75
-100
-125
800
L, ед.
700
600
500
L(t)
400
300
200
100
t, c
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
125
ω, 1/c
100
ω1(t)
75
50
ω2(t)
25
t, c
0
-25
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
-50
-75
-100
-125
1400
L, ед.
1200
1000
800
L(t)
600
400
200
t, c
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1  70; 2  70; LДОП   ; M УСК  10; M  100;
1
АВТОМАТИЗАЦИЯ ПЛАНИРОВАНИЯ РАБОЧЕГО ВРЕМЕНИ
ИСПОЛНИТЕЛЯ
На выполнение задания исполнителю обычно отводится определенное
число часов и число дней, необходимых для завершения работы в установленный срок. Эти требования формируются с учетом уровня подготовки
специалиста и его возможности ежедневно работать над выполнением задания не более определенного времени. При планировании сложно учесть
непредвиденные обстоятельства в ходе выполнения работы, поэтому на
предварительном этапе желательно предусмотреть резерв времени в графике
выполнения задания, а также индивидуальные особенности исполнителя.
Самым простым является равномерное распределение работы на все
отведенные дни. Но не всегда исполнитель способен с первого дня работы
над заданием уделять ему ежедневно одинаковое число часов. Порой прихо-
дится равномерно увеличивать время занятия заданием от дня ко дню, при
котором за оставшиеся дни при одинаковой ежедневной работе будет выполнено задание в установленный срок. Возможно, увеличение времени занятия заданием от дня ко дню по нелинейной зависимости, при котором за
оставшиеся дни при одинаковой ежедневной работе задание будет выполнено в установленный срок. На заключительном этапе исполнитель должен работать ежедневно одинаковое число часов.
Для составления графика планирования выполнения задания в установленный срок по любому из трех описанных вариантов разработана программа, позволяющая в автоматическом режиме рассчитывать время ежедневного занятия работой после ввода исходных данных в виде чисел.
От пользователя требуется в режиме диалога ответить на пять вопросов:
1.
Сколько часов необходимо на выполнение работы?
2.
Сколько дней планируете на выполнение работы?
3.
Какое максимальное число часов в день можете уделить работе?
4.
На сколько возможно предельное увеличение числа часов заня-
тия работой для очередного дня в сравнении с предыдущим днем?
5.
Сколько часов планируете заниматься работой в первый день?
После ввода ответов на вопросы в режиме диалога производится расчет графика выполнения задания в установленный срок с выводом информации о времени ежедневного занятия работой и остатка работы по дням.
В случае возможности выполнения задания в установленный срок в
конце расчета выводится сообщение
«ЖЕЛАЕМ УСПЕШНОЙ РАБОТЫ ПО СОСТАВЛЕННОМУ ГРАФИКУ!!!».
Если задание не может быть выполнено в установленный срок при заданных условиях, то в конце расчета выводится сообщение
«ПРИ ТАКИХ УСЛОВИЯХ НЕЛЬЗЯ ВЫПОЛНИТЬ РАБОТУ
В УСТАНОВЛЕННЫЙ СРОК!!!».
ПРИМЕР 1: 100, 19, 7, 7, 7
День N 1 Работа на день (в часах) 5.26 Остаток работы (в часах)
94.74
День N 2 Работа на день (в часах) 5.26 Остаток работы (в часах)
89.47
День N 3 Работа на день (в часах) 5.26 Остаток работы (в часах)
84.21
День N 4 Работа на день (в часах) 5.26 Остаток работы (в часах)
78.95
День N 5 Работа на день (в часах) 5.26 Остаток работы (в часах)
73.68
День N 6 Работа на день (в часах) 5.26 Остаток работы (в часах)
68.42
День N 7 Работа на день (в часах) 5.26 Остаток работы (в часах)
63.16
День N 8 Работа на день (в часах) 5.26 Остаток работы (в часах)
57.89
День N 9 Работа на день (в часах) 5.26 Остаток работы (в часах)
52.63
День N 10 Работа на день (в часах) 5.26 Остаток работы (в часах)
47.37
День N 11 Работа на день (в часах) 5.26 Остаток работы (в часах)
42.11
День N 12 Работа на день (в часах) 5.26 Остаток работы (в часах)
36.84
День N 13 Работа на день (в часах) 5.26 Остаток работы (в часах)
31.58
День N 14 Работа на день (в часах) 5.26 Остаток работы (в часах)
26.32
День N 15 Работа на день (в часах) 5.26 Остаток работы (в часах)
21.05
День N 16 Работа на день (в часах) 5.26 Остаток работы (в часах)
15.79
День N 17 Работа на день (в часах) 5.26 Остаток работы (в часах)
10.53
День N 18 Работа на день (в часах) 5.26 Остаток работы (в часах)
5.26
День N 19 Работа на день (в часах) 5.26 Остаток работы (в часах)
0.00
ЖЕЛАЕМ УСПЕШНОЙ РАБОТЫ
ПО СОСТАВЛЕННОМУ ГРАФИКУ !!!
Для расчета нового задания ВВЕДИТЕ 1 и нажмите клавишу "ENTER"
Ввод другого числа приведет к выходу из программы
ПРИМЕР 2: 100, 19, 5.2, 5.2, 5.2
День N 1 Работа на день (в часах) 5.20 Остаток работы (в часах)
94.80
День N 2 Работа на день (в часах) 5.20 Остаток работы (в часах)
89.60
День N 3 Работа на день (в часах) 5.20 Остаток работы (в часах)
84.40
День N 4 Работа на день (в часах) 5.20 Остаток работы (в часах)
79.20
День N 5 Работа на день (в часах) 5.20 Остаток работы (в часах)
74.00
День N 6 Работа на день (в часах) 5.20 Остаток работы (в часах)
68.80
День N 7 Работа на день (в часах) 5.20 Остаток работы (в часах)
63.60
День N 8 Работа на день (в часах) 5.20 Остаток работы (в часах)
58.40
День N 9 Работа на день (в часах) 5.20 Остаток работы (в часах)
53.20
День N 10 Работа на день (в часах) 5.20 Остаток работы (в часах)
48.00
День N 11 Работа на день (в часах) 5.20 Остаток работы (в часах)
42.80
День N 12 Работа на день (в часах) 5.20 Остаток работы (в часах)
37.60
День N 13 Работа на день (в часах) 5.20 Остаток работы (в часах)
32.40
День N 14 Работа на день (в часах) 5.20 Остаток работы (в часах)
27.20
День N 15 Работа на день (в часах) 5.20 Остаток работы (в часах)
22.00
День N 16 Работа на день (в часах) 5.20 Остаток работы (в часах)
16.80
День N 17 Работа на день (в часах) 5.20 Остаток работы (в часах)
11.60
День N 18 Работа на день (в часах) 5.20 Остаток работы (в часах)
6.40
День N 19 Работа на день (в часах) 5.20 Остаток работы (в часах)
1.20
ПРИ ТАКИХ УСЛОВИЯХ НЕЛЬЗЯ ВЫПОЛНИТЬ РАБОТУ
В УСТАНОВЛЕННЫЙ СРОК !!!
Для расчета нового задания ВВЕДИТЕ 1 и нажмите клавишу "ENTER"
Ввод другого числа приведет к выходу из программы
ПРИМЕР 3: 100, 19, 7, 0.7, 0.7
День N 1 Работа на день (в часах) 0.70 Остаток работы (в часах)
99.30
День N 2 Работа на день (в часах) 1.40 Остаток работы (в часах)
97.90
День N 3 Работа на день (в часах) 2.10 Остаток работы (в часах)
95.80
День N 4 Работа на день (в часах) 2.80 Остаток работы (в часах)
93.00
День N 5 Работа на день (в часах) 3.50 Остаток работы (в часах)
89.50
День N 6 Работа на день (в часах) 4.20 Остаток работы (в часах)
85.30
День N 7 Работа на день (в часах) 4.90 Остаток работы (в часах)
80.40
День N 8 Работа на день (в часах) 5.60 Остаток работы (в часах)
74.80
День N 9 Работа на день (в часах) 6.30 Остаток работы (в часах)
68.50
День N 10 Работа на день (в часах) 6.85 Остаток работы (в часах)
61.65
День N 11 Работа на день (в часах) 6.85 Остаток работы (в часах)
54.80
День N 12 Работа на день (в часах) 6.85 Остаток работы (в часах)
47.95
День N 13 Работа на день (в часах) 6.85 Остаток работы (в часах)
41.10
День N 14 Работа на день (в часах) 6.85 Остаток работы (в часах)
34.25
День N 15 Работа на день (в часах) 6.85 Остаток работы (в часах)
27.40
День N 16 Работа на день (в часах) 6.85 Остаток работы (в часах)
20.55
День N 17 Работа на день (в часах) 6.85 Остаток работы (в часах)
13.70
День N 18 Работа на день (в часах) 6.85 Остаток работы (в часах)
6.85
День N 19 Работа на день (в часах) 6.85 Остаток работы (в часах)
0.00
ЖЕЛАЕМ УСПЕШНОЙ РАБОТЫ ПО СОСТАВЛЕННОМУ
ГРАФИКУ !!!
Для расчета нового задания ВВЕДИТЕ 1 и нажмите клавишу "ENTER"
Ввод другого числа приведет к выходу из программы
ПРИМЕР 4: 100, 19, 7, 0.5, 0.5
День N 1 Работа на день (в часах) 0.50 Остаток работы (в часах)
99.50
День N 2 Работа на день (в часах) 1.00 Остаток работы (в часах)
98.50
День N 3 Работа на день (в часах) 1.50 Остаток работы (в часах)
97.00
День N 4 Работа на день (в часах) 2.00 Остаток работы (в часах)
95.00
День N 5 Работа на день (в часах) 2.50 Остаток работы (в часах)
92.50
День N 6 Работа на день (в часах) 3.00 Остаток работы (в часах)
89.50
День N 7 Работа на день (в часах) 3.50 Остаток работы (в часах)
86.00
День N 8 Работа на день (в часах) 4.00 Остаток работы (в часах)
82.00
День N 9 Работа на день (в часах) 4.50 Остаток работы (в часах)
77.50
День N 10 Работа на день (в часах) 5.00 Остаток работы (в часах)
72.50
День N 11 Работа на день (в часах) 5.50 Остаток работы (в часах)
67.00
День N 12 Работа на день (в часах) 6.00 Остаток работы (в часах)
61.00
День N 13 Работа на день (в часах) 6.50 Остаток работы (в часах)
54.50
День N 14 Работа на день (в часах) 7.00 Остаток работы (в часах)
47.50
День N 15 Работа на день (в часах) 7.00 Остаток работы (в часах)
40.50
День N 16 Работа на день (в часах) 7.00 Остаток работы (в часах)
33.50
День N 17 Работа на день (в часах) 7.00 Остаток работы (в часах)
26.50
День N 18 Работа на день (в часах) 7.00 Остаток работы (в часах)
19.50
День N 19 Работа на день (в часах) 7.00 Остаток работы (в часах)
12.50
ПРИ ТАКИХ УСЛОВИЯХ НЕЛЬЗЯ ВЫПОЛНИТЬ РАБОТУ
В УСТАНОВЛЕННЫЙ СРОК !!!
Для расчета нового задания ВВЕДИТЕ 1 и нажмите клавишу "ENTER"
Ввод другого числа приведет к выходу из программы
ПРИМЕР 5: 100, 19, 7, 1, 0.5
День N 1 Работа на день (в часах) 0.50 Остаток работы (в часах)
99.50
День N 2 Работа на день (в часах) 1.50 Остаток работы (в часах)
98.00
День N 3 Работа на день (в часах) 2.50 Остаток работы (в часах)
95.50
День N 4 Работа на день (в часах) 3.50 Остаток работы (в часах)
92.00
День N 5 Работа на день (в часах) 4.50 Остаток работы (в часах)
87.50
День N 6 Работа на день (в часах) 5.50 Остаток работы (в часах)
82.00
День N 7 Работа на день (в часах) 6.31 Остаток работы (в часах)
75.69
День N 8 Работа на день (в часах) 6.31 Остаток работы (в часах)
69.38
День N 9 Работа на день (в часах) 6.31 Остаток работы (в часах)
63.08
День N 10 Работа на день (в часах) 6.31 Остаток работы (в часах)
56.77
День N 11 Работа на день (в часах) 6.31 Остаток работы (в часах)
50.46
День N 12 Работа на день (в часах) 6.31 Остаток работы (в часах)
44.15
День N 13 Работа на день (в часах) 6.31 Остаток работы (в часах)
37.85
День N 14 Работа на день (в часах) 6.31 Остаток работы (в часах)
31.54
День N 15 Работа на день (в часах) 6.31 Остаток работы (в часах)
25.23
День N 16 Работа на день (в часах) 6.31 Остаток работы (в часах)
18.92
День N 17 Работа на день (в часах) 6.31 Остаток работы (в часах)
12.62
День N 18 Работа на день (в часах) 6.31 Остаток работы (в часах)
6.31
День N 19 Работа на день (в часах) 6.31 Остаток работы (в часах)
0.00
ЖЕЛАЕМ УСПЕШНОЙ РАБОТЫ ПО СОСТАВЛЕННОМУ
ГРАФИКУ !!!
Для расчета нового задания ВВЕДИТЕ 1 и нажмите клавишу "ENTER"
Ввод другого числа приведет к выходу из программы
ПРИМЕР 6: 100, 19, 7, 1, 0.2
День N 1 Работа на день (в часах) 0.20 Остаток работы (в часах)
99.80
День N 2 Работа на день (в часах) 0.60 Остаток работы (в часах)
99.20
День N 3 Работа на день (в часах) 1.20 Остаток работы (в часах)
98.00
День N 4 Работа на день (в часах) 2.00 Остаток работы (в часах)
96.00
День N 5 Работа на день (в часах) 3.00 Остаток работы (в часах)
93.00
День N 6 Работа на день (в часах) 4.00 Остаток работы (в часах)
89.00
День N 7 Работа на день (в часах) 5.00 Остаток работы (в часах)
84.00
День N 8 Работа на день (в часах) 6.00 Остаток работы (в часах)
78.00
День N 9 Работа на день (в часах) 7.00 Остаток работы (в часах)
71.00
День N 10 Работа на день (в часах) 7.00 Остаток работы (в часах)
64.00
День N 11 Работа на день (в часах) 7.00 Остаток работы (в часах)
57.00
День N 12 Работа на день (в часах) 7.00 Остаток работы (в часах)
50.00
День N 13 Работа на день (в часах) 7.00 Остаток работы (в часах)
43.00
День N 14 Работа на день (в часах) 7.00 Остаток работы (в часах)
36.00
День N 15 Работа на день (в часах) 7.00 Остаток работы (в часах)
29.00
День N 16 Работа на день (в часах) 7.00 Остаток работы (в часах)
22.00
День N 17 Работа на день (в часах) 7.00 Остаток работы (в часах)
15.00
День N 18 Работа на день (в часах) 7.00 Остаток работы (в часах)
8.00
День N 19 Работа на день (в часах) 7.00 Остаток работы (в часах)
1.00
ПРИ ТАКИХ УСЛОВИЯХ НЕЛЬЗЯ ВЫПОЛНИТЬ РАБОТУ
В УСТАНОВЛЕННЫЙ СРОК !!!
Для расчета нового задания ВВЕДИТЕ 1 и нажмите клавишу "ENTER"
Ввод другого числа приведет к выходу из программы
га координаты системы яв ляются начальными услови ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Методика последовательного многошагового синтеза оптимальных
управлений, основанная на элементах методов динамического программирования и имитационного моделирования, принципах «перемены цели» и
«ведущего слабого звена», позволяет синтезировать оптимальные законы
управления линейными и нелинейными системами с учетом технологических требований, ограничений управлений и координат. Поиск оптимального управления для систем с известной взаимосвязанностью и подчиненностью определенной цели составных частей значительно упрощается при использовании дополнительных промежуточных критериев, которые позволяют исключать заведомо неприемлемые варианты и производить выбор
управления на очередном шаге вычисления из ограниченного диапазона.
Увеличение числа нелинейностей и ограничений координат системы существенно не влияет на сложность алгоритма синтеза оптимальных управлений
по предложенной методике и порой приводит к уменьшению объема вычислений. Расчет оптимальных управлений линейными системами с постоянными ограничениями координат возможен по простым аналитическим выражениям. Повышение порядка системы не вызывает принципиальных трудностей при синтезе оптимальных управлений по предложенной методике,
однако приводит к увеличению объема вычислений по циклическим алгоритмам перевода системы в равновесные состояния после выполнения пробных шагов. Определение предельных динамических возможностей линейных
и нелинейных систем с одним управляющим воздействием и постоянными
ограничениями координат возможно микропроцессорными средствами на
основе предложенной методики синтеза оптимальных управлений по простым алгоритмам в реальном масштабе времени.