Задания лабораторной работы №3

2014/2015 уч. год
Курс « Методы вычислений »
для студентов III курса ДО математического факультета
Задания лабораторной работы № 3
Тема «Интерполирование функций»
Цели лабораторной работы:
- изучение способов построения интерполяционного многочлена для приближения
функции, заданной таблицей её значений; сравнение удобства использования
интерполяционного многочлена в форме Лагранжа и Ньютона в процессе их
построения и использования для вычисления значений;
- изучение способов построения интерполяционного многочлена для приближения
аналитической функции и оценки погрешности найденного приближения;
- изучение применения интерполяционного кубического сплайна для приближения
функции.
Задание 3.1.
Функция y=f(x) задана таблицей ее значений:
xi
x0
x1
x2
yi
y0
y1
y2
1) Постройте интерполяционные многочлены второй степени L2 и N2 Лагранжа и
Ньютона. Приводить многочлены к разложению по степеням x не нужно.
2) Выберите точки z1(x0, x1) и z2(x1, x2). Вычислите значения L2 и N2 в выбранных
точках. Сделайте вывод о том, насколько удобны многочлены L2 и N2 для вычисления
значений в точках, отличных от узлов интерполяции.
3) Приведите многочлены к разложению по степеням x. Сделайте вывод.
Задание 3.2.
Функция y=f(x) задана таблицей ее значений:
xi
x0
x1
x2
x3
yi
y0
y1
y2
y3
1) Постройте интерполяционные многочлены третьей степени L3 и N3.
2) Приведите многочлены к разложению по степеням x. Сделайте вывод.
3) Сделайте выводы об удобстве использования формул Лагранжа и Ньютона для
построения интерполяционных многочленов при добавлении новых узлов.
Варианты задания 3.1 и 3.2
В заданиях 3.1 и 3.2 номер варианта N необходимо представить в виде N = 10i + j, где
i – число десятков в номере варианта, а j – число единиц.
i
x0
x1
x2
x3
0
–1
1
3
5
1
0
2
4
6
2
1
2
3
4
j
y0
y1
y2
y3
0
3
4
5
1
1
3
6
5
2
2
4
3
1
5
1
3
2
3
3
6
4
7
2
3
5
5
2
3
5
9
6
1
4
3
1
7
6
4
2
3
8
2
5
6
3
9
1
2
5
4
Задание 3.3.
Для функции
y
1
x
2
 sin 5 x , заданной на отрезке [a, b], a = 0,1 + 0,05 N,
b = a + 0,2, на сетке с шагом h 
ba
выполните следующее:
4
1) Учитывая связь погрешностей значений функции и коэффициентов многочлена
выберите точность, с которой необходимо вычислять значения функции. Составьте
таблицу значений функции.
2) Постройте интерполяционные многочлены Ньютона степени n = 4 с конечными
~
разностями N4(x) и N 4 ( x) для интерполирования вперед и назад. Округлите
коэффициенты, оставив в них только верные цифры.
3) Возьмите контрольную точку zi внутри каждого отрезка [xi1, xi]. Вычислите i –
локальные погрешности интерполяции в выбранных контрольных точках. Сделайте
вывод о том, в какой части отрезка получено лучшее приближение.
4) Возьмите контрольные точки za и zb+ слева и справа от заданного отрезка [a, b]
соответственно. Вычислите a и b+ – локальные погрешности экстраполяции в
выбранных контрольных точках. Сделайте вывод.
5) Оцените глобальную погрешность (модуль остатка по всему отрезку), используя
конечные разности. Ответьте на вопрос: как соотносятся полученные Вами локальные
погрешности с глобальной погрешностью? Какое соотношение должно быть
теоретически?
Задание 3.4*
Для функции и отрезка [a, b] из предыдущего задания на той же сетке постройте
натуральный интерполяционный кубический сплайн. Вычислите погрешности
приближения сплайном в контрольных точках из предыдущего задания, сделайте выводы.
2