Министерство образования Республики Беларусь Министерство образования и науки Российской Федерации Учреждение образования

Министерство образования Республики Беларусь
Министерство образования и науки Российской Федерации
Учреждение образования
БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра «Автоматизированные системы управления»
С.К. Крутолевич
«ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ»
Тема 1
Моделирование хозяйственной деятельности как средства для принятия
эффективных управленческих решений
Конспект лекций
для студентов экономических специальностей
Могилев 2006
1. Моделирование хозяйственной деятельности как средства для принятия
эффективных управленческих решений
1.1. Предмет изучения дисциплины
1.2. Виды математических моделей
1.3. Этапы построения математических моделей как оптимизационных
1.1 Предмет изучения дисциплины
Модель - набор элементов адекватно описывающих поведение объекта
моделирования при подаче управляющего воздействия.
Цель моделирования – рассмотреть возможность различных
управляющих воздействий с целью выбора оптимального.
Математическая модель – это модель, которая для своего описания
использует совокупность неравенств и уравнений.
Математическая модель должна содержать в себе следующие
величины:

F – вектор выходных функций;
У

х1
x – вектор входных воздействий;
F1
xi – входные величины, значение которых мы
х2
F2
изменяем в процессе управления.
х3
Выходные функции F1 и F2 описывают значение
критерия оптимальности, и по этому критерию мы
принимаем управленческое воздействие.

 
Fi (x i )  b i , где b - объем имеющихся ресурсов.
Аксиома возрастания потребностей:
Потребности индивидуума всегда возрастают быстрее, чем
методы их удовлетворения.
Аксиома о недоступности ресурсов:
Необходимые ресурсы всегда ограничены.
1.2. Виды математических моделей
Они подразделяются:
1. По степени учета разброса параметров:
–
детерминированные
–
статистические

В детерминированных моделях входные величины x и выходные

критерии F определяются действительными числами.
В статистических моделях учитывается колебание значений входных
величин и соответственно выходных критериев. В этом случае входные
величины распределяются с помощью закона распределения.
Р
Детерминированная
модель
Статистическая
модель
х
По влиянию случайного фактора.
На экономическую ситуацию всегда влияют случайные факторы. К
ним относятся воздействия, влияние которых исследователь не может или не
хочет учитывать.
Y – вектор случайных воздействий
Модели, не учитывающие влияние случайного фактора:
– балансовые
– линейные
2. Случайное воздействие учитывается путем рассмотрения нескольких
возможных вариантов. При этом составляются игровые модели.
3. Случайное воздействие велико и мы описываем экономическую ситуацию
с помощью уравнения регрессии.
Классификация по иерархии:
– макроэкономические модели (мир, страна, отрасль)
– микроэкономические (локальные) модели (производство,
производственная ситуация).
1.3.
Этапы построения математических моделей как оптимизационных
Для принятия научно-обоснованного управления решения необходимо
выполнить следующие этапы:
1). Цель – это состояние экономической системы желаемой одним из
участников этой системы. Цели различных участников экономического
процесса не совпадают, а также противоречивы и даже антагонистичны.
2). Критерии – это численная величина, по значению которой оценивается
управленческое решение. Если в задаче используется 1 критерий, то
оптимальным признается решение, максимизирующее данный критерий.
x1
x2
x1
x2
1. f( 24; 1 )  500 ;
2. f(18; 2 )  550 .
х1
х2
F1
При векторной оптимизации, когда несколько выходных критериев
х1
количество
х2
время
F1
себестоимость
F2
качество
При векторной оптимизации (F1 и F2 – несколько критериев) используют
следующие приемы:
– проводят нормирование – это прием, позволяющий избавиться от
размерности выходного критерия, что позволяет использовать значение
разнородных критериев в одном уравнении.
Нормирование происходит по формуле:
Fimax
*
Fi  äîï ;
Fi
– максимальное значение критерия в натуральных единицах
– значение данного критерия согласно технического задания (или
среднее значение данного критерия основных конкурентов).
Нормированное значение показывает, на сколько наш образец приближается
к средним требованиям.
После нормирования используется 2 метода определения вектора выходных
критериев:
1.Метод учета приоритетов критериев. В этом случае создается уравнение:
F  a1F1*  a 2 F2* ;
F1 , F2 – нормированные критерии
ai – весовые коэффициенты приоритетов критериев
 ai  1.
2. Метод ведущего критерия. В этом случае один из критериев назначается
ведущим и его значения улучшаются до тех пор, пока второй критерий
находится в области допустимых значений.
F1*  min ;
F2*  1 ;
Согласно принципа Парето оптимальным называется решение, при котором
значение критерия F при наборе входных параметров x0 больше, чем при
любом другом наборе входных параметров


F(x 0 )  F(x1 ) .
3. Выбор входных переменных.
Входными переменными xi называются управляющие факторы, изменяя
значения которых управляющий надеется изменить значение критерия
оптимальности F. К управляющим воздействиям предъявляются следующие
требования:
– Изменчивость. Значение (численное) данного фактора может
изменяться по желанию управляющего и стабильно удерживаться в
течении определенного времени. В этом случае говорим об активном
управлении. А если можем лишь фиксировать значение входной
величины – это пассивное наблюдение. А если не можем фиксировать
– это случайный фактор.
– Независимость – изменение одной входной величины не должно
вызывать изменение другой величины, т.е. эти величины должны быть
функционально независимы.
Свойство безопасности – сочетание воздействий входных факторов не
должно приводить к опасным последствиям.
4.Ограничение
На значения входных величин накладываются определенные ограничения,
как правило, на объем ресурсов.
x i_min  x i  x i_max .
Ограничения подразделяются на физические и юридические.
Физические ограничения налагаются природой вещей и для их
преодоления используются ИТР.
Юридические ограничения накладываются нормативно-правовой
документацией и для их преодоления привлекаются юридические работники.
Для преодоления ограничений требуется понести материальные затраты,
которые называются штрафами.
Набор ограничений по всем входным величинам формирует область
допустимых значений и смысл управления – выбор из данной области
значения с максимальным критерием.
х2
60
30
20
х1
80
Целевая функция – это уравнение, связывающее значение критериев
оптимальности со значениями входных величин
F  f ( x1 , x2 ,...)
Целевые функции подразделяются:
1. По направлению:
– монотонно возрастающие
– монотонно убывающие
F
2
1
3
4
xmin
x*
x
xmax
Если целевая функция монотонна на данном интервале, то максимальное
значение критериев будет достигнуто, если значение входной величины
равно значению одного из ограничений, т.е. нет смысла исследовать все
значения величин х, достаточно исследовать xmin и xmax. Все значения
линейной функции (3) являются монотонными.
Экстремальная функция – это функция (4) у которой экстремум
находится в диапазоне от xmin до xmax. Данная функция должна быть
степенной. Цель исследования – найти x* – это минимальное или
максимальное значение.
2. По области определения:
– непрерывные – существующие во всем диапазоне изменения величины
х
– целочисленные
– дискретные
5. Нахождение таких значений входной величины х, при котором критерий
достигает желаемого результата и это называется критерием оптимального
управленческого решения.
Задача
Частный предприниматель определяет оптимальную стратегию изготовления
продукции.
Из 1
Из 2
Расход ресурса (х)
5
2
1000
Цена
20
10
ai
200
500
Fприбыли
(20-5)·200=3000
(10-2)·500=4000
Цель: получение максимальной прибыли.
Критерий: прибыль от реализации, выпускаемой продукции. В модели
принято допущение, что реализуется прибыль вся выпускаемая
продукция.
Входная переменная (х1) – затраты на 1 изделие.
Ограничения:
 a x 1000
i i
Произведение количества выпускаемых изделий х на расход ресурса
должно быть меньше, чем объем этого ресурса ai, xi должно быть больше 0.
Составление математической модели
1) Определимся с объемом выпускаемой продукции (ai)
F  b0  b1 x
3000  b0  5b1;

4000  b0  2b1.
F
4000
3000
x
2
5