2. Разделы дисциплин

Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования Московской области
МЕЖДУНАРОДНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИРОДЫ, ОБЩЕСТВА И ЧЕЛОВЕКА “ДУБНА”
_____________________________________________________________________________
УТВЕРЖДАЮ
Ректор
______________Д.В. Фурсаев
“_____”___________2011 г.
ПРОГРАММА
МЕЖДИСЦИПЛИНАРНОГО ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА
(наименование дисциплины)
ПО МАГИСТЕРСКОЙ ПРОГРАММЕ
«МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ»
по направлению
010400.68
«ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА»
(№, наименование направления, специальности)
Разработана:
Кафедра прикладной математики и информатики
(наименование кафедры)
Заведующий кафедрой
Л.А. Муравей_____________________
1. Требования к поступающим
Междисциплинарный экзамен по математике и информатике является видом аттестации
поступающего в магистратуру по программе «Математическое моделирование» и призван
дать возможность установить уровень образованности, полноту знаний и навыков,
уровень интеллектуальных способностей поступающего, его творческие возможности для
дальнейшего продолжения образования в магистратуре.
Поступающий в магистратуру по программе «Математическое моделирование» должен:
 знать теоретические основы геометрии и алгебры, математического анализа
(действительного комплексного переменного), обыкновенных дифференциальных
уравнений, дискретной математики, теории вероятностей и теории
программирования. Понимать роль прикладной математики и информатики в
системе наук, как теоретического фундамента современных естественных науках;
 знать свойства определителей и уметь вычислять определители, используя
разложение по определённой стоке или столбцу; знать линейные операции над
матрицами и уметь их выполнять; знать определение обратной матрицы и уметь
вычислять её; знать определение ранга матрицы и уметь его вычислять; знать
определение совместности и несовместности систем линейных алгебраических
уравнений; знать методы решения линейных алгебраических систем и уметь
находить решения таких систем; знать определение скалярного и векторного
произведения векторов и уметь вычислять их; знать общее, каноническое,
параметрическое уравнение прямой в пространстве и уметь составлять их; знать
общее уравнение плоскости в пространстве и уравнение плоскости, проходящей
через три точки пространства, и уметь составлять их; знать условия
параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости и уметь применять их
на практике; знать условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
и уметь применять их на практике; знать определение собственных значений и
собственных векторов матрицы и уметь находить их;
 знать определения пределов функций и последовательностей, непрерывности
функции, основные теоремы о непрерывных функциях; знать основные
элементарные функции и их свойства; знать определение дифференцируемости
функции, уметь вычислять производные и дифференциалы, знать формулы
Тейлора и Маклорена; знать определение неопределенный интеграл и основные
методы интегрирования; знать понятие определенного интеграла, формулу
Ньютона-Лейбница; знать определения несобственных интегралов; знать понятие
числового ряда и уметь анализировать сходимость числовых рядов;
 Знать основные понятия функций нескольких переменных, уметь вычислять
частные производные, исследовать функции на экстремум; знать определение
двойного интеграла и способ его сведение к повторным; уметь выполнять замену
переменных в двойном интеграле; знать понятие криволинейных интегралов;
 знать понятие комплексного числа, уметь записывать комплексные числа в
различных формах и преобразовывать их и с одной формы в другую; уметь
выполнять арифметические операции над комплексными числами – складывать,
вычитать, умножать, делить, возводить в степень и извлекать корни;
 знать понятие обыкновенного дифференциального уравнения, уметь решать
уравнения первого порядка – с разделяющимися переменными, однородные, в
полных дифференциалах, линейные, неразрешенные относительно производной;
знать определения и основные теоремы о линейных уравнения высших порядков,




уметь решать линейные однородные и неоднородные уравнения методами
неопределенных коэффициентов и вариации постоянных;
знать закон больших чисел и центральную предельную теоремы и применять их на
практике; знать определение характеристических функций и их свойства; владеть
навыками построения достаточных статистик и оптимальных оценок; уметь
вычислять условные распределения и условные математические ожидания; владеть
методами построения доверительных оценок; знать лемму Неймана-Пирсона и
уметь строить оптимальные параметрические критерии;
знать определение и основные классы логических функций и их представления в
виде СДНФ и СКНФ; уметь пользоваться аппаратом булевой алгебры для решения
прикладных логических задач; знать определение, способы описания и
алгоритмические возможности машин Тьюринга и уметь строить машины
Тьюринга для реализации основных алгоритмов; знать понятие кодирования и
способы построения оптимальных по средней длине кодов Хаффмана; иметь общее
представление о помехоустойчивом кодировании и знать коды Хемминга;
знать основы программирования на языке С++; понятие и виды операторов;
понятие функций; определение указателей и массивов; уметь организовывать вводвывод с использованием стандартной библиотеки; уметь определять составные
типы – структуры, объединения и классы;
знать определения классических структур данных – списков, стеков, очередей,
хеш-таблиц, деревьев и графов; знать стандартные алгоритмы решения задач
сортировки и поиска.
В экзаменационных билетах содержатся три теоретических вопроса и одна задача.
Максимальная оценка за экзамен – 100 баллов. Проходной оценкой является оценка
свыше 80 баллов.
2. Разделы дисциплин
В материалах, выносимых на междисциплинарный экзамен, представляются основные
разделы дисциплин.
2.1. Математический анализ: дифференциальное и интегральное исчисление
функции одной переменной
Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Непрерывность функций.
Классификация точек разрыва. Основные элементарные функции и их свойства.
Дифференцируемость функции, производная, дифференциал. Правила
дифференцирования. Формулы Тейлора и Маклорена. Неопределенный интеграл,
основные методы интегрирования. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
Несобственные интегралы. Необходимый признак сходимости числового ряда. Признак
Даламбера сходимости знакопостоянных рядов.
Признак Коши сходимости знакопостоянных рядов. Интегральный признак Коши
сходимости знакопостоянных рядов. Абсолютная сходимость знакопеременного
числового ряда. Условная сходимость знакопеременного числового ряда
Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.
2.2. Математический анализ: дифференциальное и интегральное исчисление
функций нескольких переменной
Функции нескольких переменных. Частные производные и дифференцируемость.
Исследование функций на экстремум. Двойной интеграл, сведение его к повторным.
Замена переменных в двойном интеграле. Криволинейные интегралы.
2.3. Теория функций комплексного переменного
Тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Возведение комплексных чисел в
степень. Функции комплексного переменного. Дифференцирование и интегрирование
функции комплексного переменного. Преобразование Лапласа.
2.4. Геометрия и алгебра
Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов. Матрицы и
определители. Системы линейных уравнений и методы их решения. Взаимное
расположение двух прямых на плоскости. Собственные значения и собственные векторы
матриц. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Взаимное
расположение прямой и плоскости в пространстве. Каноническое уравнение прямой в
пространстве. Параметрическое уравнение прямой в пространстве. Уравнение плоскости,
проходящей через три точки пространства. Общее уравнение прямой в пространстве.
Общее уравнение плоскости в пространстве. Умножение матриц. Обратная матрица.
2.5. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Решение линейных неоднородных уравнений первого порядка. Решение линейных
неоднородных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами. Решение систем
линейных неоднородных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.
2.6. Теория вероятностей и математическая статистика
Закон больших чисел. Центральная предельная теорема. Характеристические функции и
их свойства. Достаточные статистики. Оптимальные оценки. Условные распределения и
условные математические ожидания. Доверительное оценивание. Лемма НейманаПирсона
2.7. Дискретная математика
Системы счисления, кодирование чисел в компьютерах. Совершенная дизъюнктивная и
конъюнктивная форма логической функции. Машины Тьюринга. Оптимальный код
Хаффмана. Помехоустойчивый код Хемминга.
2.8. Программирование
Понятие оператора в C++. Виды операторов. Операторы цикла. Операторы выбора.
Функции в языке C++. Объявление, определение и вызов функции. Язык C++. Указатели.
Массивы. Ввод-вывод в C++. Понятие потока. Составные типы данных в C++. Описание и
инициализация структур. Доступ к компонентам структуры. Определение класса, его
свойств и методов. Создание класса. Интерфейс класса.
2.9. Алгоритмы и структуры данных
Алгоритмы сортировки (вставкой, слиянием). Алгоритмы поиска (последовательный,
двоичный). Связанные списки. Стеки и очереди. Хеш-таблицы. Деревья двоичного
поиска.
3. Список примерных задач, выносимых на экзамен
3.1. Математический анализ: дифференциальное и интегральное исчисление
функции одной переменной
Тема: Производные
 Написать уравнения касательной и нормали в точке M(6; 6,4) к кривой
x2
y2

 1.
100 64



Написать уравнения касательной и нормали в точке M(1;1) к кривой xy  lnx  1 .
Под каким углом пересекаются кривые y  sin x, y  cos x, x  [0,  ].
Написать уравнения касательной и нормали в точке A(-1;0) к кривой
y  ( x  1)3 3  x .

В каких точках кривой y  2  x  x 2 касательная а) параллельна оси х, б)
параллельна биссектрисе первого координатного угла.
Тема: Определенные интегралы

3
x
x 2  1 dx
3
1

1
xdx
 1 x
4
0


2
e1 / x
1 x 2 dx
1
e
x e x
dx
0

e / 2
 cos ln xdx
1

 /6
sin 2 x
dx
cos x

0


2 ln 2

dx
e 1
x
ln 2
2
 cos 5x cos 3xdx
0

 /3
 cos
3
x cos 2 xdx
0

 /3


x sin 2 x
dx
cos 2 2 x
/3


 /4

0


3x  sin 3 x
dx
1  cos 3x
3
x 2 sin 2 x
3 x 2  1 dx
1
 xarctgxdx
1
Тема: Исследование несобственных интегралов.
1
dx
  2
1 x

1

0
dx
1 x4

1

0



dx
1 x2
3
1
x
p
e x dx
0

x
1


dx
 3 10  x 4
xdx
2
x5  1

ln 1  x 
1 x dx
0




e
1


 x2
dx
sin x
3
0
x2
dx

xarctgx
0 1  x 5 dx
Тема: Исследовать сходимость числовых рядов

n


 3n 

 .

n 1  3n  1 

 2n  1 



n 1  3n  1 





2

n
n 1 n


.
2
( n! )
.

n 1 ( 2n )!


1
n ln n  ln 3 n

n

n


.
2
n! .

n
n 1 n
3
n! .

n
n 1 n


n n1
n 1
2
n 1

.
n 1

n 2

n/2
.
(2n 2  n  1)
3 35 35 7
3  5  7  ...  (2n  1)


 ... 
 ... .
2 25 258
2  5  8  ...  (3n  1)
1 1 4 1 4  7
1  4  7  ...  (3n  2)


 ... 
 ... .
7 7  9 7  9  11
7  9  11  ...  (2n  5)

2n
 n 

 .

n 1  n  1 


 (1)
n2 n
2
n 1


 (1)
n
n
.
2n
n 1
(n  1) n  1  1
n 1

 2n  1 
(1) 
 .

 3n  1 
n 1

Найти сумму ряда
.
n

n

1
 n(n  3) .
n 1

1
.
1
n2
Тема: Разложить в ряд Маклорена
3x  5

.
2
x  4x  3
 sin 3x  x cos 3x .
x

.
9  x2
1

.
4  x2
 ln( 1  x  2 x 2 ) .
Тема: Написать три первых отличных от нуля члена разложения по степеням х
 e cos x .
 e sin x .
 ln cos x .

Найти сумму ряда

ln tg x .
n
2
3.2. Математический анализ: дифференциальное и интегральное исчисление
функций нескольких переменной
Тема: Экстремумы.
 Найти экстремумы функции z  3x  6 y  x 2  xy  y 2 .

Найти экстремумы функции z  x 2  y 2  2 x  4 xy  2 y  8 .

Найти экстремумы функции z  2 x 3  xy2  5x 2  y 2 .

Найти экстремумы функции z  3x 2  2 x y  y  8x  8 .

Найти экстремумы функции z  (2 x 2  y 2 )e ( x  y ) .
Найти экстремумы функции z  x 2  y 2  2 ln x  18 ln y .
Найти экстремумы функции z  x 3  3xy 2  15x  12 y .
Найти экстремумы заданной неявно функции z(x,y) 2 x 2  2 y 2  z 2  8 yz  z  8  0 .
Найти экстремумы заданной неявно функции z(x,y) x 2  y 2  z 2  3x  4 y  z  8  0 .
Найти на эллипсе x2 +4y2=4 точки, наиболее и наименее удаленные от прямой
2x +3y – 6 = 0.
Найти на параболе y2=4x точку, наименее удаленную от прямой x – y + 4 = 0.
x2 y2
В эллипс 2  2  1 вписать прямоугольник наибольшей площади и найти эту
a
b
площадь.







2
2

Определить размеры конуса наибольшего объема при условии, что площадь его
боковой поверхности равна S.
 Найти условный экстремум функции u = xyz при условиях x+y+z = 5, xy+yz+zx = 8.
 Найти наибольшее и наименьшее значение функции z  x 2  y 2  xy  x  y в
области   {x  0; y  0; x  y  3} .
 Найти наибольшее и наименьшее значение функции z  xy 2  x / 4 в области
  {x 2  y 2  1} .
 Найти наибольшее и наименьшее значение функции z=x3+y3–3xy в области
  {0  x  2,  1  y  2} .
Тема:Двойные интегралы.
Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями
 (x+y)2 + a z = a2 , x = y = z = 0.
 x2 + y2 = a2 , x2 + z2 = a2.
 z = m x, x2 + y2 = a2, z = 0.
 az = a2– x2 – y2, z = 0.
 x2 + y2 + z2 = 4a2, x2 + y2 = a2 (вне цилиндра).
 x2 + y2 + z2 = a2, x2 + y2 ± a x = 0 (внутри цилиндров).
 z2 = 2 a x, x2 + y2 = a x.
 z2 = (x+y)2, x2 + y2 = a2.
 Вычислить площадь поверхности цилиндра x2 + z2 = a2, расположенной внутри
цилиндра x2 + y2 = a2.
 Вычислить площадь поверхности шара x2 + z2 + z2 = a2, расположенной внутри
цилиндров x2 + y2 ± a x = 0 .
1
 Двойной интеграл  f ( x, y)dxdy по области   { y  x; y  ; x  2} свести к
x

повторному двумя способами.
 Двойной интеграл  f ( x, y)dxdy по области   {x 2  y 2  1; y  0; x  y  1}

свести к повторному двумя способами.
 Двойной интеграл  f ( x, y)dxdy по области   {0  x  y  3; 2  y  4} свести к

повторному двумя способами.
 Двойной интеграл  f ( x, y)dxdy по области   {x 2  y 2  2 x; y  0; y 2  2 x}

свести к повторному двумя способами.
2
2 4 x 2
0
4 x x2
 Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле  dx
2
 Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
 ( x
2
y2 / 2
 dy  f ( x, y)dx .
 2
 Вычислить интеграл:
 f ( x, y)dy .
y 2 1
 y 2 )dxdy , если Ω - параллелограмм со сторонами y=x,

y=x+a, y=a, y=3a (a>0).
 Вычислить интеграл  ( x  y)dxdy , если Ω ограничена кривой
х2+у2=х+у.

 Вычислить интеграл
 ( x  y)dxdy , если Ω ограничена кривыми

x+y=12.
у2=2х, x+у=4,
 Найти площадь, ограниченную кривой (х-у)2 +х2 =а2 (а>0).
 Найти площадь части плоскости x+y+z=1, вырезаемой цилиндром y 2  x и
плоскостью x=1.
 Найти площадь части поверхности цилиндра x 2  z 2  1 , z≥0, вырезаемой
цилиндрической поверхностью y 2  1  x .
 Найти площадь части поверхности параболоида y² +z² =2x, заключенной между
цилиндром y² = x и плоскостью x = 1.
 Найти площадь части поверхности конуса x 2  z 2  y 2 , z≥0, вырезаемой
цилиндрической поверхностью y 2  2 x .
Тема: Криволинейные интегралы.
 Даны точки O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(a; a; 0), C(a; a; a). Вычислить  ( ydx  zdy  xdz)


по прямой OC и по ломаной OABC.
Поле образовано силой F(x, y, z). Вычислить работу по перемещению единицы
массы по ломаной OABCO, где O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(a; a; 0), C(a; a; a).
Применив формулу Грина, вычислить  y 2 dx  ( x  y ) 2 dy по периметру ΔABC с

вершинами A(a; 0), B(a; a), C(0; a).
Даны точки A(–a; a), B(a; a). С какой силой притягивает масса M, равномерно
распределенная по отрезку АВ, массу m, сосредоточенную в начале координат.
Показать с помощью формулы Стокса, что  yzdx  zxdy  xydz равен 0 по любому

замкнутому контуру L. Проверить это вычислением интеграла по периметру ΔAОВ
с вершинами O(0; 0; 0), A(1; 1; 0), B(1; 1; 1).
Написать и проверить формулу Стокса для
 ( z  y)dx  ( x  z)dy  ( y  x)dz ,

L
L

взятого по периметру ΔABC, A(a; 0; 0), B(0; a; 0), C(0; 0; a).
Написать и проверить формулу Стокса для  x( z  y)dx  y( x  z )dy  z ( y  x)dz ,
L
взятого по периметру ΔABC, A(a; 0; 0), B(0; a; 0), C(0; 0; a).
3.3. Теория функций комплексного переменного
 Найти все значения 4 1 и i i
 Найти образы линий x = c и y = c, при отображении функцией w = z2.
dz
 Вычислить  4 , где С – окружность x2 + y2 = 2x.
z 1
C
3.4. Геометрия и алгебра
 Найти длины сторон и величины углов треугольника АВС, где
.
 

 7
 15 

j  4k . При каком значении λ
 Даны векторы a  6i  j  7k ; b    i 
2
2
 
 
векторы a  b и a  b перпендикулярны?
 Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
  
 

a  2i  j , b  2 j  k .

 

 Найти координаты и длину векторного произведения векторов a  3i  2 j  k и




b  10i  4 j  6k .

Найти площадь треугольника
ABC, если
.
 
 
 Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах 2 p  q и p  q ,



 
если известно, что p  2 , q  3,   , где – угол между векторами p, q .
4
2 1 3
 Вычислить:  2 3 2 .
0 2 5
 Вычислить определитель, используя разложение по строке или столбцу:
2 4 1 3
0 1 7 2
1 4
5
3
.
3 9 3 8
1 1 2 3
 Вычислить при помощи элементарных преобразований:
1 2 3 1
2 3 6 4
.
3 5 9 4
 2 x  y  4 z  10,

 Решить систему по формулам Крамера:  3x  y  3z  1,
7 x  2 y  z  7.







 x  4 y  z  8,

Решить систему матричным методом: 5 x  2 y  2 z  22,
7 x  3 y  2 z  25.

 2 x1  7 x 2  3x 3  x 4  6,

Решить систему методом Гаусса: 3x1  5 x 2  2 x 3  2 x 4  4,
 9 x  4 x  x  7 x  2.
2
3
4
 1
 x1  x 2  x 3  x 4  0,

Найти общее решение однородной системы  x1  x 2  2 x 3  x 4  0,
3x  x  3x  x  0.
2
3
4
 1
 3  1
 .
Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А  
2 6 
 4  5 2


Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А   5  7 3  .
 6  9 4


Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
.
 Найти расстояние между плоскостями
.
 Найти угол между плоскостями
и
.
 При каких значениях параметра а плоскости
и
1) пересекаются; 2) параллельны; 3) совпадают.
 Найти угол между прямой
 Найти угол между прямой
и плоскостью
.
и плоскостью
 Составить уравнение прямой, проходящей через две точки
и
.
 Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(1, 3, 1) и параллельной
 x  y  z  2  0,
прямой: 
2 x  3 y  z  0.
 Вычислить расстояние между скрещивающимися прямыми:
x7 y4 z4
x  1 y  8 z  12
L1 :


; L2 :


.
3
2
3
1
2
1
 Найти точку пересечения прямой
и плоскости
.
 Найти расстояние от точки А(2, -1, 0) до прямой
 Составить параметрическое уравнение прямой, заданной общим уравнением:
 Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки А(2,1,3), В(-1 2,5),
С(3,0,1).
 Составить каноническое уравнение прямой, заданной общим уравнением:
 Составить уравнение плоскости , проходящей через точку М(1, -1, 2) параллельно
плоскости :
.
 Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(-1, 0, 2) параллельно


векторам а1  2,  3, 1 и а2  0,  1, 2.
 Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1 (1, 2, 1) и М 2 (2, 1, 0)

параллельно вектору а  1,  2, 0 .
 2 3  1


 Найти A B  B , если A    1 1 0 ,
 1 2  1


T
1 2 1


B   0 1 2 .
3 1 1


 1  2
T


 4 2  2


D

AB

2
E
 .
 Найти
, если A   3  2 , B  
2
1
3


2 1 


 2 3
  2
T
T
, B    .
 Найти D  B  A  A  B , если A  
 1 4
 1 
 Найти обратную матрицу, используя метод присоединенной матрицы:
1 
2 1


A  1 2
3 .
1  3  2


 Найти обратную матрицу, используя метод элементарных преобразований:
 1 2  3


A   3 2  4
 2 1 0 


 1 2  3
 1  3 0




 Решить матричное уравнение:  3 2  4   X  10 2 7  .
 2 1 2 
10 7 8 




3.5. Обыкновенные дифференциальные уравнения
 Решить уравнение y   2 y   3 y  2e 3 x
 Решить уравнение y   5 y   6 y  3  e 2 x
 Решить уравнение y   2 y   y  xe x
 Решить уравнение y   6 y   13 y  e 3 x cos x.
 Решить уравнение y   y  1 / sin 2 x
 Решить уравнение y   2 y   5 y  2 sin x.
 Решить уравнение y   2 y   5 y   sin 2 x
 Решить уравнение y   6 y   13 y  4 x.







Решить уравнение
Решить уравнение
Решить уравнение
Решить уравнение
Решить уравнение
Решить уравнение
y   y  ctg 2 x
y   2 y   3  4 x
y   2 y   e x sin x  cos x 
y   y   sin x
y   y   e  x
y   y  2 sin 2 x
Решить уравнение y   4 y  2  x 2
3.6. Теория вероятностей
 В лифт 9-этажного дома на первом этаже вошли 5 человек. Известно, что каждый из
них с равной вероятностью может выйти на каждом из этажей, начиная со второго.
Описать пространство элементарных исходов. Найти вероятность, что все пятеро
выйдут: 1) на пятом этаже; 2) одновременно (на одном этаже); 3) на разных этажах.
 В первом ящике 3 белых и 5 черных шаров, а во втором 6 белых и 8 черных. Из
первого ящика во второй перекладывают два наудачу извлечённых шара. После
этого из второго ящика наугад извлекается один шар. 1) Найти вероятность, что он
белый; 2) Известно, что он белый; найти вероятность того, что извлечённые из
первого ящика шары белые.
 В соревнованиях по футболу участвуют 20 команд. Случайным образом они делятся
на две подгруппы по 10 команд в каждой. Какова вероятность того, что две наиболее
сильные команды при этом окажутся в одной группе?
 В круг вписан квадрат. Чему равна вероятность того, что поставленные наугад
внутри круга две точки окажутся внутри вписанного в круг квадрата?
 В торговую фирму поступили телевизоры от трёх поставщиков: от первого – 10%, от
второго – 40%, от третьего – 50%. Практика показала, что телевизоры,, поступающие
от первого поставщика, не требуют ремонта в течение гарантийного срока в 98%
случаев, от второго – в 88% случаев, от третьего – в 92% случаев. 1) Найти
вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор не потребует
ремонта в течение гарантийного срока.2) Проданный телевизор потребовал ремонта
в течение гарантийного срока. От какого поставщика вероятнее всего поступил этот
телевизор?
3.7. Дискретная математика





Перевести число 30157 в двоичную систему счисления.
Представить числа 13 и -13 в дополнительном коде в 6 двоичных разрядах.
Разложить в СДНФ функцию (x → y) (
).
Построить машину Тьюринга, реализующую логическую функцию xy.
Построить оптимальный код Хаффмана для набора вероятностей 0,4; 0,3; 0,16;
0,07; 0,07.
 Восстановить исходное сообщение по полученному с помощью кода Хемминга
сообщению 0110010.
3.8. Программирование
 Напишите функцию, которая вычисляет среднее арифметическое элементов
заданного массива.
 Напишите функцию, которая вычисляет максимум и минимум элементов заданного
массива.
 Напишите функцию, которая решает (в действительных числах) заданное
квадратное уравнение.
 Напишите функцию, которая вычисляет скалярное произведение двух заданных
векторов;
 Напишите функцию, которая решает методом Гаусса заданную квадратную
систему линейных алгебраических уравнений.
 Опишите класс для представления рациональны чисел.
 Опишите класс для представления многочленов с целочисленными
коэффициентами.
 Опишите класс для представления целых чисел произвольной разрядности.
3.9. Алгоритмы и структуры данных
 В последовательности AB*C*DE**F*GH*** буква означает операцию PUSH, а
звездочка – операцию POP. Напишите последовательность букв, возвращаемых
операциями POP.
 Выполните упорядочивание последовательности [1, 7, 3, 2, 4] с помощью
алгоритма пузырьковой сортировки.
 Выполните упорядочивание последовательности [2, 9, 5, 4, 7] с помощью
алгоритма сортировки выбором.
 Выполните упорядочивание последовательности [3, 8, 6, 5, 7] с помощью
алгоритма сортировки вставками.
 Выполните упорядочивание последовательности [1, 6, 1, 3, 2, 4, 1, 6, 2, 4] с
помощью алгоритма сортировки подсчетом.
 Для хеширования целых чисел в 7-элементную хеш-таблицу с закрытой схемой
хеширования используется хеш-функция h(i) = i mod 7. Приведите
результирующую хеш-таблицу, если в нее вставляются в следующем порядке
числа 1, 8, 13, 10, 20, 6, 21.
 Постройте двоичное дерево поиска по входной последовательности [7, 5, 3, 6, 9, 1,
8, 10].
 Постройте пирамиду по входной последовательности [8, 5, 3, 6, 9, 1, 7].
 Выполните поиск образца abacab в тексте ababbabcabacab с помощью алгоритма
Хорспула.
 Выполните поиск образца abba в тексте ababbabcabacab с помощью массива
остатков.
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х т. Т.1.-М.:
Физматлит, 2004.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х т. Т.2.-М.:
Физматлит, 2004.
Сборник задач по математике для ВТУЗов. В 4-х частях. Ч. 1. Под ред. А.В.
Ефимова, Б.П. Демидовича. -М.: Наука, 1993.
Сборник задач по математике для ВТУЗов. В 4-х частях. Ч. 1. Под ред. А.В.
Ефимова, А.С. Поспелова. -М.: Изд-во Физматлитературы, 2004.
Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения. . –М.: Изд-во ЛКИ, 2008.
Эльсгольц Л.З. Вариационное исчисление. -М.: Комкнига, 2008.
Ильин В.А. Линейная алгебра. – М.: Физматлит, 2009.
Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. –
М.:Физматлит, 2002.
Беклемишев Л.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. –
М.:Физматлит, 2001.
Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. М., Высшая Школа, 1984.
Зубков А.М., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П.. Сборник задач по теории
вероятностей. М., Наука, 1989.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Высшая
школа, 2000; Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. М., Высшая Школа, 2000.
Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М., Физматлит, 1962.
Шведенко С.В. Начала математическогоанализа на комплексной плоскости. – М.:
МИФИ, 2006.
Волковысский Л.И. и др. Сборник задач по теории функций комплексной
переменной. - М.: Наука, 1970.
Акулов О.А. Информатика: Учебник / Акулов Олег Анатольевич, Медведев Николай
Викторович. - 5-е изд.,доп. - М.: Омега-Л, 2008.
Дехтярь М.И. Лекции по дискретной математике: Учебное пособие / Дехтярь
Михаил Иосифович. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний: ИНТУИТ.РУ, 2009.
Павловская Т.А. C/C++. Программирование на языке высокого уровня: Учебник для
вузов / Павловская Татьяна Александровна. - СПб.: Питер, 2002.
Ахо А. и др. Структуры данных и алгоритмы, М.: Вильямс, 2007.