Ошибки на экзаменах по математике О.Н.Пирютко
advertisement
Пирютко О.Н.
Ошибки на экзаменах по математике
1
Оглавление
Предисловие ...................................................................................................................................3
Раздел 1 ...........................................................................................................................................4
Вычислительные ошибки .........................................................................................................4
Раздел 2 .........................................................................................................................................26
Ошибки в тождественных преобразованиях ........................................................................26
Раздел 3 .........................................................................................................................................35
Ошибки при решении уравнений...........................................................................................35
Раздел 4 .........................................................................................................................................64
Ошибки при решении неравенств ..........................................................................................64
Раздел 5 .........................................................................................................................................93
Функции и их свойства ...........................................................................................................93
Раздел 6 .......................................................................................................................................108
Логические ошибки ...............................................................................................................108
Раздел 7 .......................................................................................................................................114
Рациональные решения .........................................................................................................114
Раздел 8 .......................................................................................................................................154
Задания тестов........................................................................................................................154
2
Предисловие
Книга адресована школьникам для подготовки к конкурсным экзаменам.
В ней классифицированы ошибки, которые допускают абитуриенты на
вступительных экзаменах в Вузы, указаны причины таких ошибок, приведена
теория и алгоритмы, исключающие возможность их появления.
Книга ориентирована на школьников различных уровней подготовленности.
В первых пяти главах рассматриваются как грубые ошибки, которые
допускаются при слабой подготовленности абитуриентов, так и ошибки,
которые могут допустить школьники с высокими оценками по математике в
экзаменационных заданиях.
Как правило, такие ошибки допускаются в заданиях, которых нет в
школьных учебниках, но для их решения нужны только знания школьной
программы.
Кроме того, в книге уделено внимание особенностям подготовки к тестам. В
разделе «Рациональные решения» предлагаются приемы решения задач,
которые способствуют успешному решению тестовых заданий.
Задачи этого раздела решены несколькими способами, среди которых и
наиболее короткие и рациональные, знание методов таких решений
особенного актуально в условиях тестирования.
3
Раздел 1
Вычислительные ошибки
§1. Действия с обыкновенными и десятичными дробями
1. Ошибки при выполнении действий с обыкновенными дробями:
2 3 5
2 3 2 5 3 3 10 9 19
4
, правильное решение:
1
3 5 8
3 5 35 53
15
15
15
2
2
2
2
7 2
72
5
2
б) 3 2 , правильное решение: 3 2 1 2 2
7
7
7
7
7 7
7
7
1
1
1
в) 4 2 2 , правильное решение:
3
2
6
1
1
1 1
1 2 1 3
23
1
1
5
4 2 2 2
2
2 11 1 .
3
2
3 2
3 2 23
6
6
6
6
а)
2. При выполнении совместных действий с десятичными и обыкновенными
дробями довольно часто обыкновенные дроби заменяются их десятичными
приближениями, тогда результат выполнения всех действий оказывается
приближенным, а не точным.
Например,
1
0,3 0,3 0,3 0,6 . 0,6- приближенное значение суммы.
3
1
1 3 10 3 13 13
0,3
. - точное значение суммы.
3
3 10 30 30 30 30
3. При упрощении выражений, содержащих бесконечные периодические
дроби, следует эту бесконечную десятичную дробь не округлять, а записать в
виде обыкновенной дроби, так как результат округления есть приближенное
значение бесконечной периодической дроби.
Например:
а)
б)
6
6
6
0,6
0,6 6 2
...
.
10 100 1000
1 0,1 0,9 9 3
24 0,0065
1, 24(65)=1,24+0,0065+ 0,000065+0,00000065+…=1
=
100 1 0,01
24
65
281
1
=1
100 900
900
0,(6) =0,66666…=
4
4. При выполнении действий с десятичными дробями:
а) 2,6
1,17 - неправильно; правильно будет:
1,57
2,60
1,17
1,43
б) 1,9 ∙ 0,01 ≠ 0,19; правильно будет: 1,9∙ 0,01 = 0,019 ;
в) 7,6 : 0,02 ≠ 38; правильно будет: 7,6 : 0,02=380.
Для справки
Правила действий с обыкновенными дробями.
a
обыкновенная дробь, a, b – натуральные числа.
b
а – числитель дроби, b – её знаменатель;
если а<b, то дробь называется правильной:
2 34 1
, , - правильные дроби.
3 45 37
если а≥b, то дробь называется неправильной:
20 47 100
, ,
- неправильные
3 45 37
дроби.
смешанным числом называется число, состоящее из целой и
дробной частей:
2 34
1
3 ,1 ,24 - смешанные числа
3 45
37
1. а)
Чтобы смешанное число записать в виде неправильной дроби,
надо:
1. целую часть
умножить на знаменатель, к полученному
произведению прибавить числитель;
2. результат записать в числителе новой дроби;
3. в знаменателе новой дроби записать прежний знаменатель.
Примеры:
3 4 8 3 35
1 6 7 1 43
4
,6
.
8
8
8
7
7
7
5
b) Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби, надо:
1) разделить числитель на знаменатель: получится частное и
остаток;
2) частное записать в целую часть;
3) остаток записать в числитель новой дроби;
4) в знаменателе новой дроби записать прежний знаменатель.
Примеры:
29
3
(29 : 13 2(остаток3)) 2 ;
13
13
9
1
(9 : 4 2(остаток1)) 2 .
4
4
2. а) Сокращение дробей – это деление числителя и знаменателя дроби
одно и то же число, не равное нулю, т.е. это
знаменателя на их наибольший общий делитель.
Примеры:
на
деление числителя и
24
(замечаем, что числитель и знаменатель дроби делятся на одно и то же
28
число 4 и делим числитель и знаменатель на это число).
24 : 4 6 35 : 7 5
.
.
28 : 4 7 42 : 7 6
b) Приведение дробей к общему знаменателю.
Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, надо:
1) разложить знаменатель каждой дроби на простые множители;
2) умножить числитель и знаменатель первой дроби на недостающие
множители из разложения второго знаменателя;
3) умножить числитель и знаменатель второй дроби на недостающие
множители из первого разложения.
Примеры: приведите дроби к общему знаменателю
5 2
и .
18 15
Разложим знаменатели на простые множители: 18=3∙3∙2, 15=3∙5
55
умножили числитель и знаменатель дроби на недостающий множитель
18 5
5 из второго разложения.
числитель и знаменатель дроби на недостающие множители 3 и 2 из первого
разложения.
5
5 5 25 2
23 2
12
5 2
,
= , 90 – общий знаменатель дробей и .
18 18 5 90 15 15 3 2
18 15
90
3. а) Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.
Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, надо:
6
1. записать их с общим знаменателем;
2. сложить (вычесть) числители получившихся дробей,
записать в числитель новой дроби;
3. в знаменатель новой дроби записать общий знаменатель.
Примеры:
результат
1 1 1 3 1 2 3 2 5
.
2 3 2 3 3 2
6
6
3
2
33
22
9 4 13
.
14 21 14 3 21 2
42
42
5 3 5 2 3 3 10 9
1
.
12 8 12 2 8 3
24
24
b) Умножение дробей.
Чтобы умножить дроби, надо:
1. перемножить их числители и результат записать в числитель новой
дроби;
2. перемножить знаменатели и результат записать в знаменатель новой
дроби;
3. сократить (если можно) полученную дробь.
Примеры:
14 3 14 3 14 3 : 2 7 3 21
17 4 17 4 17 4 : 2 17 2 34
4 39 4 39
4 39 : 4 : 13
3
.
13 44 13 44 13 44 : 4 : 13 11
11 3 11 3 33
17 4 17 4 68
Деление дробей.
Чтобы разделить одну дробь на другую, надо:
1. Делимое (первую дробь) оставить без изменения;
2. делитель (вторую дробь) заменить на обратную ей (поменять
числитель и знаменатель местами);
3. выполнить умножение первой дроби на вторую по правилу 5.
Примеры:
5 6
5 13 5 13 65
:
14 13 14 6 14 6 84
7
15 5 15 11 15 11 15 11 : 5 : 11 3
1
:
1 .
22 11 22 5
22 5 22 5 : 5 : 11 2
2
4. Действия со смешанными числами.
а) При сложении и вычитании смешанных чисел целые и дробные части
складываются (вычитаются) отдельно.
Примеры:
2
1
2 1
3
2 3 23 5
5
5
5 5
5
3
2
3 2
3 7 2 4
21 8
29
1
1
4 1 4 1 5
5
5
5 1 6
4
7
4 7
47 74
28
28
28
28
4
1
4 1
4 3 1 7
12 7
5
3 1 3 1 2
2
2
7
3
7 3
7 3 37
21
21
1
1
1 3 1 2
2 1 2 1 1
3
3
3 3 3 3
1
1
1 5 1 4
54
1
1
19
5 3 52
3
3
2 1
2
5
4
45 54
20
20
20
20
b) При умножении и делении смешанные числа записываются в виде
неправильных дробей, и действия выполняются по правилам 5 и 6.
Примеры:
1 3 5 23 5 23 23
1
2 4
11
2 5 2 5
25
2
2
1 2 3 9
39
27
1 :3
.
2 9 2 29 2 29 58
1
3
11 4 11 4 11 11
4
11.
4
4 1 4
1 4
1
2
17 1 17 1 : 17
1
3 : 34
5
5 34 5 34 : 17 10
42
8
Правила действий с десятичными дробями.
1. Сложение дробей.
Чтобы сложить (вычесть) десятичные дроби
( например, 0,6 + 2,15), надо:
1) записать слагаемые друг под другом так, чтобы запятая
оказалась под запятой: 0,6
2,15
2) уравнять число знаков после запятой, дописывая нули:
0,60
2,15
3) выполнить сложение (вычитание), не обращая внимание на
запятую; в полученном результате запятую поставить под
запятыми в данных дробях:
0,60
2,15
2,75
Примеры:
2,3 – 1,45 = 2,30
1,45
0,85
1,316+ 7,45=1,316
1,450
2,766
2.
Умножение дробей.
Чтобы умножить одну десятичную
дробь на другую ( например, 0,43 ∙ 0,2), надо:
1) выполнить умножение, не обращая внимание на запятую:
43 ∙ 2=86
2) в полученном результате отделить справа запятой столько
цифр, сколько их в обоих сомножителях вместе после
запятой ( в первой дроби 0,23 после запятой 2 цифры, во
второй дроби 0,2 после запятой 1 цифра; 2+1=3, значит,
отделить надо 3 цифры):
0,43 ∙ 0,2=0,046
Примеры:
3,15∙ 2 = (315∙ 2=630, отделить надо 2 цифры)=
=6,30=6,3;
9
Деление десятичной дроби на натуральное число.
Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число
( например, 18,24:6) надо:
1) разделить на это число целую часть дроби ( 18,24:6=3 ) ;
2) поставить в частное запятую ( 18,24:6=3, );
3) далее делить как на натуральное число ( 18,24:6=3,58 ).
Примеры:
0,15 : 5= 0,03;
65,13 : 13=5,01 .
Деление десятичной дроби на десятичную дробь.
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь
(например, 0,43 : 0,2) , надо:
1) в делимом и делителе перенести запятую на столько цифр
вправо, сколько их в делителе после запятой (в делителе 0,2
после запятой одна цифра, значит, надо перенести запятую на 1
цифру, получим:4,3 : 2);
2) выполнить деление на натуральное число ( 4,3 : 2=2,15 ).
Примеры:
45,03 : 0.003=45030 : 3 = 15010;
0,033 : 1,1 = 0,03.
3. а) Чтобы обыкновенную дробь представить в виде десятичной,
надо числитель дроби разделить на знаменатель
Примеры:
4
2
4 : 5 0,8 . 3
3 2 : 25 3 0,04 3,04
5
25
Чтобы выполнить действия с обыкновенными и десятичными дробями,
можно десятичные дроби перевести в обыкновенные.
Примеры:
4
4 2 20 14 34
5
5 7
57
7
0,4
0,7
.
7
7 5
35
35 36
36 10 36 10 72
10
§2. Вычисление значений выражений, содержащих степени
1. Часто допускаются ошибки при выполнении действий со степенями с
отрицательными и дробными показателями.
Примеры
а) Вычислить значение выражения : ( 2-1+3-1)-1.
( 2-1+3-1)-1≠( 2-1)-1+(3-1)-1, так степень суммы не равна сумме
степеней слагаемых.
Для вычисления значения этого выражения выполним указанные действия
по порядку, т.е.
сначала в скобках выполним возведение в степень: 2-1=
1 1 5
,
2 3 6
затем – сложение:
5
последнее действие – возведение суммы с степень
6
1
2
1 -1 1
,3 = ,
2
3
1
6
1
1 .
5
5
1
2
б) Вычислить: 2 2 .
1
1
1
2 2 2 2 2 4 ,так как при умножении степеней с одинаковыми
основаниями показатели складываются
1
1
Правильное решение: 2 2 2 2 21 2 .
1
3
в) Вычислить: 125 .
125
1
3
125 3 , так как при возведении числа в степень с
отрицательным показателем показатель степени меняется на
1
3
1
3
противоположный ( на ), а не на обратный, а основание степени
– на обратное число (125 на 1/125).
1
Правильное решение: 125 3 1
1
1
1
1
(125 3 ) 3
125 3
1
1
1
или125 3 (5 3 ) 3 5 1
5
5
г) Вычислить: 2∙3-1.
2∙3-1≠
1
, т.к. в минус первую степень возводится только множитель
6
3.
1
3
2
3
Правильное решение: 2∙3-1=2∙ = .
1
д) Вычислить: 2 2 .
11
1
22
1
, так как степень числа с дробным показателем m/n (m –
22
целое, n – натуральное, большее 1) равна корню n -ой степени и
этого числа в степени m.
1
2
Правильное решение: 2 2 .
Для справки
Определение и свойства степени с рациональным
показателем
1. Степень числа a c натуральным показателем n>1 (an) равна
произведению n множителей, каждый их которых равен a.
Например, a3=a∙a∙a, 54=5∙5∙5∙5=625.
Степень числа а≠0, с показателем, равным нулю, равна 1.
Например, 60=1; (-5)0=1.
Степень числа а≠0, с отрицательным целым показателем равна
дроби, в числители которой 1, а в знаменателе - степень с тем же
основанием и противоположным показателем, т. е a n
натуральное число.
1 1 3
Например, 3 = 3 2 9 , 4
1
-2
1
,n–
an
4
.
3
Степень числа a> 0, c дробным показателем
m
, где n – натуральное,
n
n >1, m- целое, равна корню n-ой степени из числа a в n- ой степени, т.е.
m
n
a n am .
2
Например, 10 3 3 10 2 3 100.
8
1
3
3 8 1 3
1 1
.
8 2
12
Свойства степеней
1. an∙am=an+m;
2. an:am=an-m, a≠0;
3. (an)m=anm;
4. (ab)n=an bn;
5. (a:b)n=an :bn, b≠0.
Эти свойства выполняются для всех рациональных показателей и
оснований, указанных в определениях.
Пример
1, 5
2
3
1
8
9
Найдите значение выражения: 4
( 0,25 1)( 4 0,25 1)
Решение:
2
1, 5
1
83
9
=
4
( 0,25 1)( 4 0,25 1)
2 9
2
3 3
1
4
2 1, 5
1
4
(0,25 1)(0,25 1)
2 2 33
1
4
(0,25 ) 2 1)
4 27
1
2
0,25 1
13
23
23
46 .
0,5 1 0,5
§3. Вычисление значений выражений, содержащих корни
1.Большое число ошибок допускается при применении тождества,
справедливого для любого действительного a и натурального n.
2n
a, еслиa 0,
a 2n a
a, еслиa 0.
Пример:
Найдите значение выражения : 4 2 3 4 2 3 .
Вначале выполняются верные преобразования:
4 2 3 4 2 3 = (1 3) 2 (1 3) 2 , далее заменяя (1 3 ) 2 на 1- 3 ,
получают неверное решение 1- 3 +1+ 3 =2.
Ошибка заключается в том, что число (1- 3 ) отрицательное ( 3 >1), а,
следовательно, (1 3 ) 2 = 3 -1.
Тогда правильное решение будет таким:
4 2 3 4 2 3 = (1 3) 2 (1 3) 2 = 3 -1+ 3 +1 =2 3 .
2. Неверно применяются свойства корней.
а)
3
6 4 36 7 216 , т.к. при умножении корней с разными
показателями следует привести их к одинаковым показателям, т.е.
б)
в)
3
4 3
6 4 36 34 6 4 43 363 12 6 4 12 363 = 7 6 4 36 3 12 6 4 (6 2 ) 3 12 6 4 6 6 12 610 6 6 5 .
5 7 5 , так при извлечении корня из корня показатели корней
перемножаются, т.е.
1. 4 3 5 43 5 12 5 .
г) -2 4 3 4 (2) 4 3 , т.к. под знак арифметического корня вносится
только положительный множитель, т. е.
1. -2 4 3 4 2 4 3 .
д)
4
(3) 4 a 4 3a , так как арифметический корень из числа есть число
неотрицательное, т.е.
4
е)
4
(3) 4 a 4 3 a .
(2) 4 2 , правильное решение :
14
4
(2) 4 2 .
ж) 4 a 6 a 3 при a <0, правильное решение : 4 a 6 a 3 , при a <0.
з) 4 ab 4 a 4 b при a<0 и b<0, правильное решение : 4 ab 4 a 4 b при a<0
и b<0.
и) 3 3 3 6 3 , правильное решение: 33 3 6 33 6 32 6 243 .
Для справки
1.Арифметическим корнем n- ой степени из числа a называется
неотрицательное число, n- ая степень которого равна a.
Обозначается n a x, x n a, x 0 .
Например, 4 81 3 -это равенство верно, так как 34 =81, 3>0, но
4
81 3 , так как – 3<0.
2.Корнем n- ой степени из числа a называется число, n- ая степень
которого равна a.
Например, корень четвертой степени из числа 81 – это число 3, а также и
число -3, так как 34 =81 и (-3)4 =81. Корень пятой степени из числа 32
только один, он равен 2, так как 25=32.
Примеры:
а) Решить уравнение x4 =15.
По определению корня четвертой степени число x – корень четвертой
степени из числа 15.
Таких корней два - арифметический и ему противоположный 4 15и 4 15
Ответ: 4 15.
б) Решить уравнение x6 =0, 000001.
По определению корня шестой степени число x – корень шестой степени
из числа 0, 000001.
Таких корней два - арифметический и ему противоположный
6
0,000001и 6 0,000001 или 0,1 и -0,1.
Ответ: 0,1 и -0,1.
в) Решить уравнение x5 =243.
По определению корня пятой степени число x – корень пятой степени из
числа 243, т. е. 3.
Ответ: 3.
15
3.Свойства корней n- ой степени
Для любого натурального n, целого k и любых неотрицательных чисел a
и b выполняются равенства:
а)
mk
a nk m a n , к>0,
например,
12
6253 4 625 5 .
б) n ab n a n b ,
например, 3 3 3 9 3 3 9 3 27 3
a
b
в) n
n
a
n
b
, b 0,
например,
3
3
4
256
3
4
1
1
3
.
256
64 4
г) m a n mk a nk , k>0,
например, 3 2 5 4 2 5 12 2 = 12 2 20 12 215 12 2 12 2 36 2 3 8
д) k n a nk a ,
например,
4 3
212 12 212 2 .
4. Основные тождества
а)Для любого действительного числа a и для n – четного верно
равенство:
n
a, если a неотрицательное
an
a.
.
a, если n отрицательное
б)Для любого действительного числа a и для n – нечетного верно
равенство:
n
an a .
Например,
6
36 3, 6 (3) 6 3, 5 (3) 5 3, 5 35 3.
в)Для любого неотрицательного числа a и n – натурального верно
равенство:
a
n
n
a.
Например,
16
разложить на множители x-4, где x>0.
2
2
Представим x в виде x , тогда получим x-4= x -4 = ( x 2)( x 2).
17
§4. Вычисления, связанные с логарифмами
а) log20,5≠√2, т. к. 2√2≠0,5.
Правильное решение: log20,5=-1, т. к. по определению логарифма
числа 0,5 по основанию 2, 2-1=0,5.
б) log23 + log27 ≠ log210, т. к. сумма логарифмов не равна логарифму
суммы.
Правильное решение: log23+ log27= log221, т.к. сумма логарифмов
равна логарифму произведения.
в) log221- log27≠ log214, т. к. разность логарифмов не равна логарифму
разности.
Правильное решение: log221- log27= log23, т.к. разность
логарифмов равна логарифму частного.
г) 2 -log25 ≠-5.
Правильное решение: 2 -log25 =(2 log25)-1 =5-1=0,2, так как по
основному логарифмическому тождеству a logab =b, b>0, a>0, a ≠1.
д) 2
log5 2
2
1
log2 5
1
2
log2 5
1
- это неверно, ошибка в неверном применении
5
определения степени с дробным показателем.
1
е) 2 n
1
1
, 2 n n 2 , где n – натуральное число, большее 1.
n
2
ж) Вычислите 12
13
log12 13
log13 12
≠ 13 12
Правильное решение:
12
log12 13
13
log13 12
=
log12 13
12
log12 13
1
13
log13 12
(12
log12 13
)
log12 13
13
log13 12
13
1
log12 13
13
log13 12
13
log13 12
13
log13 12
Для справки
1.Логарифмом числа b по основанию a, где b > 0, a > 0, a ≠ 1,
называется показатель степени, в которую нужно возвести число a,
чтобы получить число b.
Например, log216=4, так как 24=16, log39=2, так как 32 = 9.
18
0
Обозначение: logab, читается: логарифм числа b по основанию a.
Если основание a равно 10, то логарифм называется десятичным и
обозначается lgb, если основание равно числу e, то логарифм
называется натуральным и обозначается lnb.
Например,
lg100 = 2 , так как 102 =100,
lg0,1 = -1, так как 10 -1= 0,1
lne =1, так как e1=e.
2. Основное логарифмическое тождество:
a log b b , b > 0, a > 0, a ≠ 1.
Например, 4log47 =7;
8log87 =7;
0,1log0,17=7.
a
3. Свойства логарифмов
а) logab + logac = logabc, где b>0, c>0, a>0, a≠ 1.
Например, log2⅔ +log21,5= log2 (2/3)∙(1,5) = log21=0.
б) logab - logac = loga (b:c), где b>0, c>0, a>0, a≠ 1.
Например, log23-log21,5= log2 (3:1,5) = log22 =1.
в) logabn =nloga b, где b>0, a>0, a≠ 1.
Например, log445 =5 log44 =5∙1=5.
г) формула перехода от одного основания логарифма к другому
log c b
, где b>0, a>0, a≠ 1, с>0, c≠ 1.
log c a
log 3 9
2
Например, log29 =
.
log 3 2 log 3 2
loga b =
1
r
4. logarx = log a x, x>0, a>0, a 1 .
1
2
Например, log 2 9 log 2 9
2
5. logarxr = log a x, x>0, a>0, a 1 .
Например, log 2 9 log 2 32 log 2 3
2
2
19
6. clogab = blogac, a>0, a 1 , b > 0, c >0, b 1 , c 1 .
Например, 2log35 = 5log32.
20
§5. Вычисления, связанные с тригонометрическими
функциями
1. Ошибки, связанные с неверным применением формул приведения:
а) sin (3π-α) = cosα. Это неверно.
Следует помнить, что формулы приведения применяются к
2
2
тригонометрическим функциям от выражений вида (n + α) или (n α),где n – целое число. Поэтому аргумент, если это возможно, приводится к
такому виду.
2
В данном случае получим: 3π- α =6 -α. 6 – четное число, поэтому название
функции синус не меняется: sin(3π-α) = sinα - это верное решение.
3
π) = ctgx. Это неверно.
2
3
3
3
Следует аргумент x - π привести к виду n - α, т.е. x - π = - ( π-x).
2
2
2
2
3
3
Верно будет: tg(x - π) =- tg( π-x) =-ctgx.
2
2
б) tg (x -
4
6
в) sin ( ) = sinα, sin ( ) = cosα - это неверно выполненные
преобразования.
Ошибка заключается в том, что применены формулы приведения, которые
здесь применить нельзя: числа
целого числа n и числа
.
2
, нельзя представить в виде произведения
4 6
2. При вычислении значений тригонометрических функций по значению
одной из них ошибки допускаются при определении знака значения
тригонометрической функции.
a) Найдите значение cosx, если tgx =0,75, x [π; 3/2π].
Ответ: 0,8 - неверный.
Правильное решение:
21
Из формулы tg²x + 1 = 1/ cos²x найдем cosx = -
1
tg x 1
2
1
0.75 2 1
0.8 ,
причём знак «- » берется потому, что при x [π; 3/2π] cosx < 0.
б) Найдите cos (x+y), если cos x = -3/5, а cos y = ⅓ , x [ π; 3/2π], y [0; π/2].
Ответ cos (x+y) = - 3/5-1/3= -14/15 является неверным.
Правильное решение:
Запишем формулу cos(x+y) = cosx cosy – sinx siny. В правой части этой
формулы значения sinx и siny не известны .Найдем их:
2
sin x = - 1 sin x
3
= 1
5
2
4
, знак «-» ставится потому, что
5
x [ π; 3/2π], а в третьей четверти косинус отрицательный.
sin y = + 1 cos y
2
2
1
2 2
= 1
, знак «+» ставится потому, что
3
3
y [0; π/2], а в первой четверти синус положительный.
Подставим найденные значения в формулу cos(x+y) = cosxcosy – sinx siny,
3 1
5 3
4 2 2
38 2
.
5 3
15
получим: cos(x + y)=
3. Большое число ошибок допускается при вычислении значений обратных
тригонометрических функций.
а) arccos(-0,5)=- 60º- это неверный ответ.
По определению arccosx – это угол, заключенный в промежутке [0; 180º],
поэтому arccos(-0,5)=180º-60º=120º - правильный ответ.
б) arccoscos 370º = 370º- это неверно найденное значение,
так как хотя cos 370º = cosα (arccoscos370º=α, cosα =cos370º), но угол α не
принадлежит промежутку [0; 180º], поэтому следует заменить 370º другим
углом, косинус которого равен косинусу 370º, а сам угол принадлежал бы
промежутку [0; 180º].
cos370º = cos (360º + 10º) = cos10º.
Таким образом, arccoscos 370º =10º- верный ответ.
в) аналогично предыдущему, аrсsinsin20 =20 – неверно найденное значение.
Следует обратить внимание, что число 20 – это не градусная мера угла (не
20º), а радианная ( 1 радиан =
180
57 ).
22
sin 20= sin(20-2π∙3), (20-2π∙3) [0; π/2], поэтому аrсsinsin20=20-6π.
4.Ошибки, связанные с неправильным определением промежутка,
содержащего заданный угол.
а) Определить знак числа sin4.
Ответ sin4>0 - неверный, так как 4 радиана – это угол, принадлежащий
третьей четверти (4≈57º∙4=228º) , а в третьей четверти синус отрицательный,
т.е. sin4<0.
б) Сравните значения выражений сos 34º и сos 330º.
Ответ сos34º >сos 330º - неверный, так как углы 34º и 330º не принадлежат
одному промежутку монотонности функции y=cosx. Заменим сos330º на
равное значение сosα так, чтобы α принадлежал одному промежутку
монотонности с углом 34º. Используя свойство периодичности косинуса,
получим: сos330º= сos(330º-360º) = cos30º.
Далее 30º<34º и оба этих угла принадлежат одному и тому же промежутку
монотонности (в промежутке [0; 90º] косинус убывает), поэтому
cos 34º< сos 30º, а, значит, и сos34º <сos 330º.
в) Сравните значения выражений sin4 и сos 3.
Ответ: sin4 >сos 3.
Проще сравнивать значения одноименных тригонометрических функций,
поэтому заменим например, синус на косинус, по формулам приведения
sin 4 = -сos(3/2π- 4), (3/2π- 4) [0; π/2]. сos 3 = - сos (π-3), (π- 3) [0; π/2].
Так как, 3/2π- 4 > π- 3 (перенесем в правую часть число 4, а в левую – π,
получим π/2 > 1), то сos(3/2π- 4) < сos (π-3), а -сos(3/2π- 4) > -сos (π-3),
следовательно, sin4 > сos 3.
Для справки
1.a)Область определения (D) тригонометрических функций :
D(sin x) = (-∞; +∞); D(cosx) = (- ∞; +∞); D(tgx) : х ≠ π/2 +πk , k – целое
число.
b) Множество значений (E) тригонометрических функций:
E(sinx) = [-1; 1]; E(cosx) = [-1; 1]; E (tgx) = (-∞; +∞).
2.Период функций y =sinx и y =cosx равен 2π, период функции y=tgx равен π.
3.Функции y= sinx и y=tgx являются нечетными, функция cosx – четная:
23
sin(-x)=-sinx; tg(-x) = -tgx; cos(-x) =cosx.
4.Промежутки знакопостоянства и нули функции.
Промежутки знакопостоянства функции – числовые промежутки, на
которых функция сохраняет свой знак (т.е. остается положительной или
отрицательной).
y
Промежутки знакопостоянства функции sinx:
sinx
sinx > 0 х (2πk; π +2πк), k – любое целое
число;
sinx < 0 х (π +2πк; 2πk), k – любое целое
число.
Промежутки знакопостоянства функции cosx:
сosx > 0 х (-π/2 +2πk; π/2 +2πк), k – любое
целое число;
cosx < 0 х (π/2 +2πк; 3π/2+2πk), k – любое
целое число.
х
y
cosx
х
y
Промежутки знакопостоянства функции tgx:
tgx > 0
х (πk; π/2 +πк), k – любое целое число;
tgx
tg x < 0
х (-π/2 +πк; πk), k – любое целое число.
Нулями функции называются значения аргумента, при которых значение
функции равно нулю.
Нули функции sinx: sinx=0, x= πк, k – любое целое число.
Нули функции cosx: cosx= 0, x = π/2 +πк, k – любое целое число.
Нули функции tgx: tgx =0, x= πк, k – любое целое число.
5. Функция f(x) называется возрастающей на множестве М, если для любых
двух значений аргумента из множества М (х1 и x2), большему значению
аргумента соответствует большее значение функции (если х1>x2, то
f(x1)>f(x2), а если х1<x2, то f(x1)<f(x2)).
Функция f(x) называется убывающей на множестве М, если для любых
двух значений аргумента из множества М (х1 и x2), большему значению
аргумента соответствует меньшее значение функции (если х1>x2, то
f(x1) <f(x2), а если х1<x2, то f(x1) >f(x2)).
24
Функция, только возрастающая или только убывающая на множестве М,
называется монотонной на этом множестве.
Функция y=sinx возрастает на промежутках (- π/2 +2πк; π/2+2πk), k – любое
целое число.
Функция y=cosx возрастает на промежутках (- π+2πк; 2πk), k – любое целое
число.
Функция y=sinx убывает на промежутках (π/2 +2πк; 3π/2+2πk), k – любое
целое число.
Функция y=cosx убывает на промежутках (2πк; π+2πk), k – любое целое
число.
Функция y=tgx возрастает на промежутках (- π/2 +πк; π/2+πk), k – любое
целое число.
25
Раздел 2
Ошибки в тождественных преобразованиях
§1. Ошибки в действиях с многочленами
1. Большое число ошибок допускается при расскрытии скобок, если перед
скобками стоит знак «минус».
Пример:
- (х - 2y +3) ≠ x + 2y - 3,
правильное решение: -(х - 2y + 3) = - x + 2y -3.
2. При умножении многочлена на многочлен допускаются ошибки в знаках,
если перед произведением стоит знак «минус».
Пример:
- (х-3)(2х-5) ≠ - 2х² - 6х - 5х +15,
правильное решение: - (х-3)(2х-5) =-2х² + 6х + 5х -15 = -2х² + 11х -15.
3. Ошибки при разложении многочленов на множители.
Пример:
n6- n3+ n2+n+1=n3(n3-1)(n2+n+1)- это неверно,
так как при разложении на множители способом группировки
группы слагаемых заключаются в скобки ((n6- n3 )+ (n2+n+1)),
затем из каждого многочлена в скобках выносится общий
множитель (n3(n3-1)+(n2+n+1) = n3(n-1)(n2+n+1)+ (n2+n+1)),
затем выносится общий множитель (n2+n+1) полученных
произведений.
Правильное решение: n6- n3+ n2+n+1 = (n6- n3 )+ (n2+n+1) =
= n3(n3-1)+(n2+n+1) = n3(n-1)(n2+n+1) +(n2+n+1) = (n2+n+1)( n3(n-1)+1) =
(n2+n+1)( n4 –n3+1).
4. Ошибки в разложении квадратного трехчлена на множители.
Пример:
2x2 + 5x +3 = (x-1)(x-1,5)- это неверное решение.
Две типичные ошибки: нет числового множителя 2, неверно поставлены
знаки в скобках.
Правильное решение: корни трехчлена -1 и -1,5.
2x2 +5x+3 =2(x+1)(x+1,5) = (x+1)(2x+3).
5. Ошибки в применении формул сокращенного умножения.
Грубые ошибки:
a 2 - b2 ≠ ( a- b)2 ,
a 2 + b2 ≠ (a-b)(a+b),
26
a3- b3 ≠ (a-b)(a2- ab+ b2),
a2+ab+ b2≠ ( a+ b)2.
Для справки
Чтобы разложть квадратный трёхчлен на множители, надо:
1) найти корни х1 и х2 уравнения ах² + bх + с=0 (если корней нет,то
квадратный трёхчлен разложить на множители нельзя);
2) разложить квадратный трёхчлен на множители по формуле:
ах² + bх + с = а ( х – х1) ( х – х2).
§2. Ошибки в действиях с алгебраическими дробями
1. Ошибки при сокращении дробей.
a2 a a2
,
2a
2
такая ошибка - самая распространенная: «сокращение на слагаемое».
Правильное решение:
a 2 a a(a 1) a(a 1) : a a 1
.
2a
2a
2a : a
2
Для справки
Сократить алгебраическую дробь – это значит числитель и
знаменатель дроби разделить на их общий множитель.
Чтобы сократить алгебраическую дробь ( например,
a 2 36
)
5a 30
надо:
1) разложить числитель и знаменатель на множители:
числитель: а² - 36 = (а-6)(a+6);
знаменатель: 5а +30 = 5(а-6)
2) определить общий множитель: это (а+6);
3) разделить числитель и знаменатель на этот общий множитель:
a 2 36 (a 6)( a 6) (a 6)( a 6) : (a 6) a 6
5
a
30
5
(
a
6
)
5
(
a
6
)
:
(
a
6
)
5
иногда пишут:
(а-6)(а+6)
5(а+6)
27
2. Ошибки при сложении алгебраических дробей:
а)
a4
2
a4
2(a 2)
a 2 2a 4
.
2
a 4 a 2 (a 2)( a 2) (a 2)( a 2) (a 2)( a 2)
Распространеннная ошибка допущена при вычитании числителя второй
дроби из числителя первой дроби.
Если перед дробью стоит знак «-», то следует поменять знак перед
каждым слагаемым в числителе вычитаемого;
правильно будет так:
a4
2
a4
2(a 2)
a 2 2a 4
a6
.
2
a 4 a 2 (a 2)( a 2) (a 2)( a 2) (a 2)( a 2) (a 2)( a 2)
б)Другая распространенная ошибка - при отыскании общего знаменателя
дробей:
x 25
3x 5
( x 25) x 2
(3x 5)25
.
2
2
5 x 25 5 x x
(5 x 25) x
(5 x x 2 )25
Дополнительные множители для каждой дроби определены неправильно
(выбраны недостающие слагаемые, а нужны – недостающие множители).
Правильное решение:
x 25
3x 5 ( x 25) x (3x 5)5 x 2 25x 15x 25 x 2 10 x 25 ( x 5) 2
x 5
2
5x 25 5x x
5( x 5) x x( x 5)5
5x( x 5)
5x( x 5)
5x( x 5)
5x
Для справки
Приведение дробей к общему знаменателю.
Чтобы привести две алгебраические дроби к общему знаменателю надо:
1) разложить знаменатель каждой дроби на множители;
2) умножить числитель и знаменатель первой дроби на недостающие
множители из разложения второго знаменателя;
3) умножить числитель и знаменатель второй дроби на недостающие
множители из первого разложения.
в)Еще одна грубая ошибка:
x y
3xy
( x y) 2
3xy
( x y ) 2 3xy
x y 3xy
2
2
2
3
3
2
2
3
3
2
2
x xy y
x y
( x xy y )( x y) x y
( x xy y )( x y ) x xy y 2
Выполнено неверное сокращение дроби
28
( x y ) 2 3xy
на x – y,
( x 2 xy y 2 )( x y )
так как сокращать можно только на общий множитель числителя и
знаменателя, а числитель не разложен на множители.
Следует разложить числитель дроби на множители, а затем выполнить
сокращение, если это возможно.
Правильное решение:
x y
3xy
( x y) 2
3xy
( x y) 2 3xy
x 2 y 2 xy
x 2 xy y 2 x3 y 3 ( x 2 xy y 2 )( x y) x3 y 3 ( x 2 xy y 2 )( x y) ( x 2 xy y 2 )( x y)
1
=
.
x y
г) Еще одна грубая ошибка. «Почленное деление»:
x2
x2 x2
x 2 x - это ошибочные преобразования.
1 x 1
x
На самом деле, почленное деление означает представление дроби в виде
суммы дробей с тем же самым знаменателем, т.е.
x2
x 2 1 1 ( x 1)( x 1)
1
1
.
x 1
1 x
x 1
x 1
x 1
x 1
§3.Ошибки в преобразованиях, содержащих степени с
дробными показателями и корни.
Примеры:
1.Сокращение дроби выполнено неправильно
3
2
3
2
1
2
1
2
x y
x y
x3 y3 .
Допущено сразу две ошибки: отдельно сокращены соответственно
уменьшаемые и вычитаемые разностей; при делении степеней с
одинаковыми основаниями показатели были также разделены.
3
Правильное решение:
3
x2 y2
1
2
x y
1
2
1
1
1
1
( x 2 y 2 )( x x 2 y 2 y )
1
2
x y
1
2
1
2
1
2
xx y y.
1
1
2.Разложение на множители выполнено неправильно x 2 x 2 x 2 (1 x 4 ) .
29
Следует помнить, что выносить за скобки следует множитель с
1
наименьшим показателем ( x 2 ), а при делении степеней с одинаковыми
1
3
основаниями показатели степенпй вычитаются x 2 : x 2 x 2 .
1
2
1
2
3
2
Правильное решение: x x x ( x 1).
2
3. Выражение x 2 x 1 x 2 x 1 тождественно равно 2 x 1
только при x≥2.
Действительно, x 2 x 1 = ( x 1) 2 x 1 1 ( x 1 1) 2 = x 1 1 .
x 1 1 x 1 1, если
Если 1 ≤ x <2, то
x 1 1 0 , т.е.
x 1 1 или x ≥2.
x 1 1 1 x 1.
Поэтому
x 2 x 1 x 2 x 1 = 2 x 1 , если x ≥2 и
x 2 x 1 x 2 x 1 = 2, если 1 ≤ x <2.
4.Известно, что x 4 x 1 3 . Найдите x 4 x 1 .
Ответ x 4 x 1 = -3 - неверный.
Правильное решение:
x 4 x 1
( x 4 x 1)( x 4 x 1)
( x 4 x 1)
5
x 4 x 1
.
3
откуда получаем
5
x 4 x 1
3,
5.Грубые ошибки допущены при выполнении
3
34
x y4
преобразований: 1
1
x4 y4
2
x
x
3
2
1
2
y
x
3
2
1
2
x3 y3 .
Правильное решение:
3
34
x y4
1
1
x4 y4
2
1
14
x y4
3
3
x4 y4
1
2
2
2
1
1
x4 y4
1
1
.
1
1
1
1 1
1
1 1
1
2
( x 4 y 4 )( x 2 x 4 y 4 y 2 )
(x 2 x 4 y 4 y 2 )
1
4
1
4
1
2
1
2 2
1
2
6. Грубая ошибка ( x x y y ) x x y y .
Степень суммы не равна сумме степеней слагаемых.
30
Правильное представление степени в виде многочлена :
1
1
1
1
1
1
1
1
3
1
3
1
( x 2 x 4 y 4 y 2 )2 = x y x 2 y 2 2x 2 y 2 2x 4 y 2 2 y 4 x 2 .
Для справки
Формула квадрата суммы трех слагаемых
(a+b+c)2 = a2+b2+c2 +2ab+2ac+2bc.
7. ab a a ( b a ) - такое разложение на множители без
дополнительных условий неверно.
Заметим, что ab a b , если a ≥ 0 и b ≥ 0,
если же a ≤ 0 и b ≤ 0, то ab a b .
Поэтому ab a a ( b a ) при условии a ≥ 0 и b ≥0,
но ab a a ( b a ) при a < 0 и b < 0.
8. Грубая ошибка 6 (a 3) 2 3 a 3 ,
правильное решение 6 (a 3) 2 3 a 3 , или
6
(a 3) 2 3 a 3 , åñëèa 3 и
6
(a 3) 2 3 a 3 , åñëèa 3.
Для справки
Свойство корня
2n
a 2 k n a , где n N , k Z .
k
§4. Ошибки в тождественных преобразованиях
тригонометрических выражений
1.Грубая ошибка:
sin x sin 3 x
1 3
.
sin 2 x sin 6 x 2 6
31
Правильное решение:
sin x sin 3x
2 sin 2 x cos x
cos x
.
sin 2 x sin 6 x 2 sin 2 x cos 4 x
cos 4 x
Для справки
Сумма синусов двух углов:
x y
x y
cos
2
2
sinx +siny =2sin
Разность синусов двух углов:
sinx - siny =2sin
x y
x y
cos
2
2
Сумма косинусов двух углов:
cosx +cosy =2cos
x y
x y
co s
2
2
Разность косинусов двух углов:
cosx – cosy = -2 sin
x y
x y
sin
2
2
2. Результат упрощения выражения (1 cos cos ) 2 sin 2 sin 2 при
не равен cos β - cos α.
2
Правильное решение: (1 cos cos ) 2 sin 2 sin 2
0
= 1 2 cos cos cos 2 cos 2 (1 cos 2 )(1 cos 2 ) cos 2 2 cos cos cos 2
= (cos cos ) 2 = cos α- cos β,
так как косинус в первой четверти убывает, то из условия 0
cos β < cos α, тогда по тождеству
2n
следует
2
a, еслиa 0,
(cos cos ) 2 =
a 2n a
a, еслиa 0.
=cosα- cos β.
3.
sin 6 cos 6
sin 2 cos 2 .
4
4
sin cos
Грубая ошибка: отдельно сокращены соответственно уменьшаемые и
вычитаемые разностей, тогда как сокращение возможно только на общий
множитедь числителя и знаменателя.
Правильное решение:
sin 6 cos 6 (sin 2 cos 2 )(sin 4 sin 2 cos 2 cos 4 )
=
sin 4 cos 4
(sin 2 cos 2 )(sin 2 cos 2 )
32
= (sin2α +cos2α)2-2 sin2α cos2α= 1-0,5 sin22α.
Для справки
Формулы двойного аргумента
Синус двойного аргумента: sin2x = 2sinxcosx
Косинус двойного аргумента: cos2x = cos2 x - sin2 x
Тангенс двойного аргумента:
2tgx
, x k , k Z , x n, n Z ,
tg2x =
2
4 2
1 tg 2 x
4. arcsinx(sinx)= x, ошибка в том, что это равенство справедливо только для
-π/2 ≤ x ≤ π/2.
Если ׀x > ׀π/2, то arcsinx(sinx)= (-1)к-1(k π-x), где k выбрано таким образом,
что ׀k π-x≤׀π/2.
5. arccosx(cosx)= x, ошибка в том, что это равенство справедливо только для
0≤ x ≤ π.
Если ׀x > ׀π или - π≤ x <0. , то arcсos(cosx)= ׀x± 2 k π׀, где k выбрано
таким образом, что 0 ≤ ׀x± 2k π ≤׀π.
6. arctg (tgx)= x, ошибка в том, что это равенство справедливо только для
-π/2 <x < π/2.
Если ׀x > ׀π/2, то arctg (tgx)=k π+x, где k выбрано таким образом, чтo
│k π+x│<π/2.
7.cos2(arccosx )≠ 2x.
Правильное решение: cos2(arccosx )= cos2(arccosx) – sin2 (arccosx)= x2 – 1+
x2 =2x2 –1.
Для справки
Арксинусом числа a называется угол, заключенный в промежутке ; ,
2 2
синус которого равен a: аrcsina = α, sin α = a, ; .
2 2
33
Арккосинусом числа a называется угол, заключенный в промежутке 0; ,
косинус которого равен a: аrcсоs a = α, cos α =a, 0; .
Арктангенсом числа a называется угол, заключенный в промежутке
; тангенс которого равен a: аrctg a = α, tgα=a, ;
2 2
2 2
§5. Ошибки в тождественных преобразованиях выражений,
содержащих логарифмы.
1. Если n N, то logab2n ≠2nlogab.
Ошибка в том, что равенство logab2n =2nlogab справедливо только для b>0.
Если b<0, то logab2n =2nloga (-b).
Вообще говоря, справедливо равенство: logab2n =2nloga ׀b׀.
2. log2 22x ≠1+ log2 2x.
Правильное решение:
log2 22x = (log22+ log2 x)2 =(1+ log2 x)2 = 1+ 2log2 x+ log2 2x.
3.
a
lg lg a
lg a
a.
Правильное решение: a
lg lg a
lg a
a loga lg a lg a , так как по формуле перехода от
lg lg a
одного основания к другому получим:
log a lg a , а затем применим
lg a
основное логарифмическое тождество.
4.Упростите выражение: (7 log
x >y.
49 (
(7 log49 (
x y )2
5 log25 (
y x )2
x y )2
5 log25 (
y x )2
) 2 4 ( x y ) 2 при условии, что
) 2 4 ( x y ) 2 4( x y ) .
Правильное решение:
(7 log49 (
x y )2
5 log25 (
y x )2
) 2 4 ( x y ) 2 (7 log7 (
x y)
5 log5 (
x y)
( x y x y ) 2 4( x y) 4( x y ) 2 4( x y) 8 xy
34
) 2 4( x y ) =
Раздел 3
Ошибки при решении уравнений
Задание 1
Неверный
ответ
Ошибка
Верный
ответ
корень
2–
числа 1 и 2
уравнения
посторонний
- корни
- число 1.
корень
x 1(2 x) 0 .
Решите
уравнение
Условие равенства нулю произведения нескольких
множителей: для того,чтобы произведение нескольких
множителей равнялось нулю, достаточно, чтобы хотя бы
один из них равнялся нулю, а другие при этом не теряли
смысла.
Для справки
Упражнение 1
Решите уравнение:
Решите
уравнение
x 1
1.
x 1
Неверно применяется
условие равенства
произведения двух
множителей нулю:
произведение двух
множителей равно
нулю, если хотя бы
один из множителей
равен нулю, а другой
при этом не теряет
смысла.
2 x 0
x 1(2 x) 0 x 1 0 x=1
x 1 0
Решение
Задание 2
Причина ошибки
x 4 (2 x) 0 .
Неверный
ответ
Ошибка
x R
x=1- не
корень
уравнения
Верный ответ
x (;1) (1;)
Причина ошибки
Не учтено условие
существования
дроби
35
x 1
x 1
1 1
x 1
1
x (;1) (1;)
x 1
x 1 0
Решение
Условие равенства дроби нулю: для того, чтобы дробь равнялась
Для
нулю, необходимо и достаточно, чтобы ее числитель был равен
справки
нулю, а знаменатель – отличен от нуля.
Упражнение 2
x2 1
1.
x2 1
Решите уравнение
Задание 3
Решите
уравнение
x 1
0.
x 1
Неверный
ответ
Ошибка
x=1
x=1- не
корень
уравнения
Упражнение 3
Решите уравнение
Решите
уравнение
x 3x
2
x
0.
Корней
нет
Причина ошибки
Не учтено условие
существование дроби
x 1
x 1
x 1 0
x 1
0
x Ø
x 1
x 1 0
Решение
Задание 4
Верный
ответ
2x 1
0.
2x 1
Неверный
ответ
Ошибка
Корни:
3;0;-3
x = 0- не
корень
уравнения
36
Верный
ответ
Корни:
3;-3
Причина ошибки
Не учтено условие
существования дроби
x2 3 x
x
x2 3 x
Решение
x
x 2 3 x 0
( x 3) x 0
x 3,
0
x 3
x 3.
x 0
x 0
Упражнение 4
Решите уравнение
Задание 5
x2 3 | x |
0.
x3
Неверный
ответ
Ошибка
Решите
уравнение
x=2- не
Корни: 2; 3 корень
x 3 ( x 2)
уравнения
0
x
Верный
ответ
Причина ошибки
Корень
уравнения
x=3
Не учтено
условие
существования
корня
x 3 0
x 0
x 3 ( x 2)
0
x =3
x
x
3
0
x 2 0
Решение:
Упражнение 5
Решите уравнение
Задание 6
x 3 ( x 2)
0.
x3
Неверный
ответ
Ошибка
Верный
ответ
Решите
Потерян
Корни
уравнение Корни:-1;
корень
уравнения:
(x-3)(x2 +1)
1
уравнения
-1;1;3
=2(x-3)
x=3
37
Причина ошибки
Потерян корень при
делении обеих частей
уравнения на выражение
x-3, которое обращается в
ноль при х = 3, число 3
служит корнем уравнения
(x-3)(x2 +1) =2(x-3).
x 3,
(x-3)(x +1) =2(x-3) ((x-3)(x -1=0) x 1,
x 1.
2
Решение:
2
Упражнение 6
Решите уравнение: (x-6)(x2 - 3) =(x-6).
Задание 7
Неверный
Ошибка Верный ответ
ответ
Решите
уравнение
Корни: Число 7│x-10│·
7; 10; 3,25 не корень
·(log2(x -3))
=2(x-10)
Корни
уравнения:
10; 3,25.
Причина ошибки
Корень 7 был найден при
условии x > 10 и этому
условию не
удовлетворяет.
x 10
log 2 ( x 3) 2
x 10
x 10,
│x-10│ (log2(x -3)) =2(x-10) x 3
x 3,25
x
10
log 2 ( x 3) 2
.
Решение:
Упражнение 7
Решите уравнение: ׀x - 1 (׀log2(x-2)) = x-1.
Задание 8
Неверный
Ошибка
ответ
Верный
ответ
Причина ошибки
Корень
1 17
был найден при
2
Корни
Корни: 1 17
Решите
- уравнения: условии x ≥ 1 и этому условию
уравнение 1 17
2
-1;
;
не удовлетворяет, а корень 2
x2 + ׀x-1 =׀
не
2
1 17
найден при условии x <1 и этому
3
.
-1; 2
корень
условию не удовлетворяет
2
38
Решение
x 1
2
1 17
x
,
x x 4 0
2
x + ׀x-1 =׀3
2
x 1
x 1
x 2 x 2 0
Упражнение 8
Решите уравнение x2 + ׀x+1 =׀2.
Задание 9
Решите
уравнение
5 x2 1 x
Неверный
Ошибка
ответ
Корни:
-1; 2
Верный
ответ
Причина ошибки
x =2 – посторонний корень,
получен при решении
уравнения 5-x2 = (1-x)2
неравносильного данному.
Корень
не уравнения:
корень -1
2-
x 1
x 2 .
5 x 1 x 5-x = (1-x)
2
2
Решение
2
Проверка: x=-1, 5 (1) 2 1 (1),2 2 равенство верное,
значит x=2 – корень данного уравнения.
x=2, 5 2 2 1 2,1 1 равенство неверное, значит x=2 – не
корень данного уравнения.
Упражнение 9
Решите уравнение 5 6x x 2 1 x
Задание 10
Решите
уравнение
Неверный
ответ
Корни:
Верный
ответ
4- не
Корень
корень уравнения 0
Ошибка
39
Причина ошибки
x=4
не удовлетворяет
(x-4) log2(1-x) =
=0
условию существования
логарифма:
1-x > 0, при х = 4 первый
множитель равен нулю, а
второй при этом
значении переменной не
имеет смысла.
4; 0
x 4 0
(x-4) log2(1-x) = 0 1 x 0
log 2 (1 x) 0 x 1
log 2 (1 x) 0
Решение
Упражнение 10
Решите уравнение (x2-4) log2(2-x) = 0.
Задание
11
Неверный
ответ
Ошибка
Верный
ответ
Причина ошибки
Переход от данного
уравнения к уравнению
2
x 3 1 не равносилен. Корни
Решите
уравнение
3
Корень:
x2 1
1
Потерян Корни
корень уравнения:
x=-1
1 и -1
Решение
3
x2 1
x 1
3
Упражнение 11
Решите уравнение 3 x 2 4 .
40
2
3
данного уравнения 1 и -1, а
второе уравнение имеет
только один корень 1, так
как по определению
степени с дробным
показателем основание
степени положительно.
.
x 1,
x2 1
x 1
Задание
12
Решите
уравнение
2
x 5 =1
Неверный
Ошибка
ответ
Корни:
1 и -1.
Верный
ответ
Корень
x=-1- не
уравнения:
корень
1
x =1 x
2
5
Решение:
Причина ошибки
2
5
Переход от данного
уравнения к уравнению
3
x 2 1 не равносилен.
Корень данного уравнения
=1, так как по определению
степени с дробным
показателем основание
степени положительно . а
второе уравнение имеет
корени 1 и -1.
5
2
5
12 x 1
Упражнение 12
2
5
Решите уравнение x =4.
Задание
13
Решите
уравнение
x x 3 1 .
Решение
Неверный
ответ
Корень:
3
Верный
ответ
Ошибка
Потеряны Корни
корни 1 и уравнения:
-1
-1; 1;3.
Причина ошибки
Корень x = 3 получен
при условии x > 0,
x ≠1, по определению
степени с целым
показателем основание
степени может быть
равным 1 и
отрицательному числу
При условии x > 0, x ≠1, имеем x x 3 1 0, откуда x =3
По определению степени с целым показателем основание
41
степени может быть равным 1 и отрицательному числу.
Проверяем 1, получаем 11-4 = 1, т.е.
1 – корень уравнения. Среди отрицательных чисел только -1 в
четной степени равняется 1. Поэтому возможный
отрицательный корень -1.
Проверим: получим (-1)-1-3 = 1, значит x = -1 – корень уравнения.
x x 3
x 0,
x 1,
x 3 0
x 1
1 13
1
1
x 1
(1) 13 1
x 3,
x 1,
x 1.
Упражнение 13
Решите уравнение (1 x) 3 x 1 .
Задание 14
Решите
уравнение
x2 -1 =
(x-1) x 2 9 .
Неверный
ответ
Корни:
x=1 и x=-5 –
Корней
посторонние
нет
корни
1 и -5.
Причина ошибки
При x =1 не выполняется
условие существования
квадратного
корня x2 – 9 ≥ 0; при x = 5 левая часть уравнения
положительна, а правая –
отрицательна.
2
x 9
x -1 = (x - 1) x 9
2
( x 1)( x 1 x 9) ) 0
x 1
x Ø
2
2
(
x
1
)
x
9
2
Решение
Верный
ответ
Ошибка
2
Упражнение 14
42
Решите уравнение x2 -16 = (x - 4) x 2 1 .
Неверный
Верный
Ошибка
ответ
ответ
Задание 15
Причина ошибки
Потеря корня x = 1 произошла
при делении обеих частей
Корень Потерян Корни
уравнения на x-1. Это
корень уравнения выражение обращается в ноль
4
x=1 4 и 1
при x =1, х =1 корень данного
уравнения.
Решите
уравнение
x2 -1 =
(x - 1) x 2 9 .
x2 -1 = (x - 1) x 2 9
x 1
x 1
( x 1) 2 x 2 9
x 4
x 1
Решение
Упражнение 15
Решите уравнение: 4x2 -1 = (2x - 1) x 2 5 .
Задание
16
Решите
уравнение
lg x2 = 4
Решение
Неверный
Ошибка Верный ответ
ответ
Корень:
100
Потерян
корень
x =-100
Корни
уравнения
100 и -100
Причина ошибки
Ошибка в применении
формулы lg x2 = 2lgx. Эта
формула верна только
при x > 0. Если же x < 0,
то lg x2 = 2lg(-x), поэтому
второй корень получен
из уравнения lg(-x) = 2, а
первый из уравнения
lgx = 2.
x 100
lg x2 = 4 2lg│x│=4 lg│x│=2 │x│=100
x 100
43
Упражнение 16
Решите уравнение lg x2 = 6.
Задание 17
Решите
уравнение
sin x·
·tg0,5x= 0.
Неверный
ответ
x = πn,
n Z
Ошибка
Верный
ответ
Посторонние
решния
x=π(2k+1),
n Z .
x=2πn,
n Z .
Причина ошибки
Неверно применяется
условие равенства
произведения двух
множителей нулю:
при x = πn первый
множитель равен
нулю, а второй при
этом значении
переменой не
определен, если n –
нечетное целое число.
tg 0,5 x 0
sin x tg0,5x = 0 sin x 0
x =2πn, n Z .
0,5 x k , k Z
2
Решение
Упражнение 17
Решите уравнение sin2x x tg x = 0.
Задание
18
Неверный ответ
Ошибка
Решите
уравнение
sinx =-2
x (1) k arcsin( 2) k ,
где k Z
Не
существует
arcsin(-2)
44
Верный
ответ
Уравнение
не имеет
корней
Причина
ошибки
Это
уравнение
не имеет
корней, так
как
множество
значений
синуса
отрезок
[-1;1].
Решение
sinx =-2, так как E(sinx) = [-1;1], то данное уравнение не имеет
решения.
Уравнение sinx = a, x- неизвестная переменная, a-некоторое
постоянное число.
а)Если a>1 или a< -1 , то уравнение sinx = a не имеет решений.
Например, уравнения sinx = 4, sinx = -2,4 не имеют решений.
б)Ecли a= 1, то решение уравнения : x=
2
2n, n Z .
2n, n Z .
2
г) Ecли a= 0, то решение уравнения: x= n, n Z .
д) Ecли |a| 1, то x=(-1)narcsina+πn, n Z .
в) Ecли a= -1, то решение уравнения: x= -
Например, решение уравнения sinx = 0,3 записывается в виде
x=(-1)narcsin0,3+πn, n Z .
Для
справки
Уравнение соsx = a, x- неизвестная переменная, a-некоторое
постоянное число.
а)Если a>1 или a< -1 , то уравнение cosx = a не имеет решений.
Например, уравнения cosx = 1,4, sinx = -2,5 не имеют решений.
б)Ecли a = 1, то решение уравнения: x= 2n, n Z .
в) Ecли a= -1, то решение уравнения: x= 2n, n Z .
г) Ecли a= 0, то решение уравнения: x=
n, n Z .
2
д) Ecли a 1, то x= arccosa+2πn, n Z .
Например, решение уравнения cosx = 0,3 записывается в виде
x= arccos0,3+2πn, n Z .
Уравнение tgx = a, x- неизвестная переменная, a-некоторое
постоянное число.
Решение уравнения x=arctga + πn, n Z .
Например, решение уравнения tgx=3, будет x=arctg3 + πn, n Z .
Замечание: если a=0, то x= πn, n Z .
Упражнение 18
Решите уравнение sin 5x = 5.
45
Задание 19
Неверный
Ошибка
ответ
Верный
ответ
Причина ошибки
в делении обеих частей
уравнения на sinx.
x =π/4+πn,
Решите
Потеряно
При x = πk, n Z sinx = 0 и
n Z ,
уравнение x = π/4+πn, решение
уравнение обращается в
2
sin x –
n Z
x = πk,
верное равенство т.е.
x = πk,
sinxcosx = 0
k Z
x = πk, k Z - решение
k Z .
данного уравнения.
sin2x – sinxcosx=0
x n, n Z
x n, n Z
Решение sin x 0
sin x cos x 0
tgx 1
x k , k Z
4
Упражнение 19
Решите уравнение cos2x – sinxcosx = 0.
Задание 20
Решите
уравнение
tg3x= tg 5x
Решение
Неверный
ответ
x = πk/2,
k Z
Ошибка
Постороннее
решение
x =π/2+ πk,
k Z
Верный
ответ
x = πn,
n Z .
3x 5 x k , k Z
tg3x= tg 5x cos 3x 0
cos 5 x 0
46
Причина ошибки
Не при всех x из
серии
x = πk/2, k Z
определены tg3x и
tg5x (иначе – не все
корни из серии
x = πk/2, k Z входят
в ОДЗ данного
уравнения).
x
k, k Z
2
cos(3 k ) 0
2
cos(5 2 k ) 0
x k , k Z
x = πn, n Z .
2
k 2n 1, n N
Условие равенства тангенсов двух углов:
Для
справки
2 k , k Z
tgα = tg β n, n Z
2
m, m Z
Упражнение 20
Решите уравнение: tg2x= tg 6x.
Задание
21
Неверный
ответ
Решите
уравнение x= 2k , k Z
12
сos4x =
0,5
Ошибка
3
x =
Упражнение 21
Решите уравнение tg 4x = 3
47
Причина
ошибки
Для
отыскания
x
в левой
части
k
x , k Z . равенства
12 2
только
первое
слагаемое
разделили
на 4.
Неверно
найдено
второе
слагаемое
сos4x = 0,5 4x =
Решение
Верный ответ
2k , k Z
12
2k , k Z
26
2k
,k Z ,
4
Задание
22
Решите
уравнение
cosx+sinx
=1
Решение
Неверный
ответ
x = πn/2,
n Z
Верный
ответ
Ошибка
Причина ошибки
Метод решения
заключался в возведении
Посторонние
обеих частей уравнения
x =2πn,
решения:
в квадрат, т.е. от данного
n Z ,
x = π+ 2πn,
уравнения перешли к
x = π/2+
n Z ,
уравнению - следствию
2πk,
x = -π/2+ 2πk,
sin 2x = 0, не все корни
k Z .
k Z .
которого являются
корнями данного.
sin x + cos x = 1(1).Поскольку период функциии y= sin x + cosx
равен 2π, то найдем решения уравнения (1) на этом периоде,
например на отрезке [0; 2π] Поскольку │sinx│≤1 и │cosx│≤1, и
для x из промежутка (π/2; 2π) по крайней мере, одна из
функций ( синус или косинус ) неположительна и не принимает
значения, равные 1, то в этом интервале рашений нет. На
оставшемся отрезке [0; π/2] очевидные решения x = 0, x = π/2,
других решений на интервале (0; π/2) нет, поскольку значения
синуса и косинуса на этом интервале численно равны катетам
прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 1.
С учетом периода решения данного уравнения: x =2πn, n Z ,
x= π/2+ 2πk, k Z .
Упражнение 22
Решите уравнение 3sin x + cos x = 1.
Задание
23
Неверный
ответ
Решите
уравнение x = π k,
2sin x +
kZ.
cos x = 1.
Верный
ответ
Ошибка
x=(-1)k
На cos x
1
разделили
arcsin только левую
5
часть
arctg 0,5 +
данного
πk, k Z .
уравнения.
48
Причина ошибки
При решении
уравнения 2sinx +cosx
= 1 получают
2
sin x cos x
1 , это неcos x cos x
верно.
Уравнение 2sinx +cosx
= 1 – не однородное
относительно sinx и
cosx, поэтому деление
на соsx, при том только
левой части уравнениягрубая ошибка.
2sin x + cos x = 1 5 sin( x arctg 0,5) 1 sin( x arctg 0,5)
Решение
x=(-1)k arcsin
1
5
1
5
- arctg 0,5 + πk, k Z .
Уравнение вида asinx+bcosx=c
Чтобы решить уравнение такого вида ( например,
3sin x + 4cos x =2), можно:
1.Записать его в виде sin(x +t) =
sin(x +t) =
Для
справки
2
3 4
2
2
c
a b2
2
( в нашем случае
2
5
, sin(x +t) = ).
2.Решить простейшее тригонометрическое уравнение:
sin(x +t) =
c
a b2
2
2
5
k
x = (-1) arcsin 0,4 – t + πk, k Z );
( в нашем случае sin(x +t) = , x+t =(-1)karcsin 0,4 +πk, k Z ;
3. Определить t, t = arctg b/a ( в нашем случае t = arctg4/3);
4. Записать ответ: x = (-1)k arcsin 0,4 – arctg4/3+πk, k Z .
Упражнение 23
Решите уравнение sin x - cos x = -1.
Задание 24
Решите
уравнение
Неверный
ответ
Ошибка
x = 3
Посторонний
корень x=3
49
Верный
ответ
x= -3.
Причина ошибки
При переходе log5(2-x)
+ log5(-2-x) =1 к
уравнению
log5(2-x) +
log5(-2-x) =1
Решение
log5(2-x) (-2-x)=1
расширяется область
определения уравнения
(в данном уравнении
область определения
x < -2, а после
преобразования –
расширяется: x < -2,
x > 2).
log5(2-x) + log5(-2-x) =1 log5(2-x) (-2-x)=1 (2-x) (-2-x)=5
x2=9 x= 3.
Проверка x=3. log5(-2-3) не определен, x=3 – не корень.
x=-3, log5(2-(-3)) + log5(-2-(-3)) =1- равенство
верно, значит x =-3 – корень уравнения.
Упражнение 24
Решите уравнение: log5(4-x2) + log0,2(2-x) =1.
Задание
25
Решите
уравнение
2x 51/x=2·5
Неверный
ответ
x=1
Верный
ответ
Ошибка
Потерян
корень
log25.
x =1,
x = log25
Причина ошибки
Из равенства произведений
степеней не следует равенство
показателей этих степеней,
например, 2log28 5 log51,25 =2·5
Прологарифмируем левую и правую части уравнения 2x 51/x =2·5
по основанию 2, получим уравненеие, равносильное данному:
Решение
1
x
1
x
log 2 2 5 log 2 2 5 log 2 2 log 2 5 log 2 2 log 2 5 x
x
x
x 0
x 1
2
x log 2 5
x x(1 log 2 5) log 2 5 0
Упражнение 25
Решите уравнение 7x 41/x =7·4.
50
1
log 2 5 1 log 2 5
x
Задание 26
Решите
уравнение
2x 8 x 5 7 .
Неверный
ответ
Ошибка
x = 4,
x=284
Посторонний
корень x = 4
Верный
ответ
Причина
ошибки
Ошибка
появилась от
того, что при
возведении
обеих частей
данного
уравнения в
квадрат
x=284.
получилось
уравнение –
следствие, не все
корни которого
являются
корнями данного
уравнения.
2x 8 x 5 7 ( 2x 8 x 5 ) 2 7 2
Решение:
3x 13 (2 x 8)( x 5) 49 (2 x 8)( x 5) (18 1,5x) 2
x 4
x 284 .
Проверка:
2 4 8 4 5 7 , значит , x = 4 не корень данного
уравнения. 2 284 8 284 5 7 , значит , x =284 корень
данного уравнения.
Упражнение 26
Решите уравнение 4 x 7 2 x 11.
Задание
Неверный
Ошибка
Верный
51
Причина ошибки
27
Решите
уравнение
׀x+1(׀x-1)
= 1.
ответ
x= 2 , 0
ответ
Посторонние
решения:
числа 0 и -
x= 2
2
x 1
( 1 x)( x 1) 1
׀x+1(׀x-1) = 1
x 1
( x 1)( x 1) 1
Решение
Числа 0 и - 2 не
являются корнями
данного уравнения, так
как при снятии модуля
рассматривались два
случая:
1) x < -1;
2) x ≥ -1.
Число 0, полученое в
первом случае не
удовлетворяет первому
условию, число - 2 ,
полученное во втором
случае не
удовлетворяет второму
условию.
x 1
x 0
x 1 x=
x 2
2
Упражнение 27
Решите уравнение ׀x-2(׀x-3) = 2.
Задание 28
Решите
уравнение
lg2x = 6
Неверный
ответ
x=1000
Ошибка
Верный
ответ
Причина ошибки
В неверном
применении формулы
logab2n =2nloga ׀b׀.
Неверно
x =10 6 , Эта формула
найдено
6
применяется к
значение lgx x =10 .
логарифму степени, а не
к степени логарифма.
52
Решение
x 10 6
lg x 6
lg x = 6
x 10 6
lg x 6
2
Упражнение 28
Решите уравнение lg2x = 16.
Неверный
ответ
Задание 29
Решите уравнение
x 1 3
2 3 x 1 3 x 7 2 5( 0, 6 x 1,8) 0
x=5/3
x 1 3
Верный
ответ
2 3 x 1 3 x 7 2 5( 0, 6 x 1,8) 0
3 x 1 5(0,6 x 1,8)
5 ( 0 , 6 x 1,8 )
33( xx 11)
3( x 1)
3 x 7
2
3x 7
2
x Ø
x 1 N , x 1 1, x 1 N , x 1 1
3 x 7 N ,3 x 7 1
3x 7 N ,3x 7 1
Решение
Упражнение 29
Решите уравнение:
Причина
ошибки
В неправильном
применении
определения
корня n- ой
степени. По
определению
числа x-1 и 3x-7
В
должны быть
неравносильном
натуральными.
переходе от
Решений
При x =5/3корня к степени нет
показатели
с дробным
корней
показателем
x- 1=5/31=2/3, 3x7=3·5/3-7=-2
не являются
натуральными
числами.
Ошибка
x 2
56 x4 x1 53 x3 0
53
Неверный
Верный
Ошибка
Причина ошибки
ответ
ответ
Рассмотрено
только одно
x=0,5 –
условие
не
равенства
корень
логарифмов, у
Решите уравнение
данного x = 8,
которых числа
x= 8; 0,5 уравнен π/2;
равны, и не
log x sin x log (98 x x ) sin x
ия и не 5π/2.
учтена область
( 5 )
2
все
определения
корни
логарифмической
найдены.
функции.
Задание 30
2
log
Решение
x
( 5 )
2
sin x log (98 x x 2 ) sin x
sin x 1
5 x 0
2
9 8 x x 2 0
x 9, x 2 8 x 9 1
sin x 0
5 x 0
2
x
5 1
2
x
2
9 8 x x 5
2
x 8
x
2
5
x
2
Ответ: 8, π/2; 5π/2.
Упражнение 30
54
x 2 2k , k Z
x 10
1 x 9
x 9, x 2 8 x 9 1
x (2k ; 2k ), k Z
x 10
x 9
x 8, x 0,5.
Решите уравнение log (32 x ) cos 6 x log ( x 2 x ) cos 6 x .
2
Задание 31
Найдите
наименьший
корень
уравнения
Неверный
ответ
x= -1
( x ) 2 5x 2 4 x 2
Решение
Ошибка
Число x=-1
– не корень
данного
уравнения
Верный
ответ
x = 0,4
Причина ошибки
– 1 не корень данного
уравнения, а корень
уравнения –
следствия. Причина
ошибки – в том, что
что не учтена область
определения функции
y =( x )2.
x 0,
( x ) 2 5x 2 4 x 2
2
x 5 x 4 x 2.
x 0,
x 0,
2
2
5
x
3
x
2
0
.
x
5
x
4
x
2
.
x 0,
x 0,4 .
x 1; x 0,4
Упражнение 31
Найдите наименьший корень уравнения ( x 2 ) 2 x 2 4 x 2
Задание 32
Найдите cумму
корней уравнения
(x2-20,25)log3(3,6x) = 0
Неверный
ответ
2,6
Ошибка
Число 4,5 –
не корень
данного
уравнения
55
Верный
ответ
-1,9
Причина ошибки
x = 4,5
не удовлетворяет
условию
существования
логарифма:
3, 6-x > 0, т.е. при х
= 4,5 первый
множитель равен
нулю, а второй при
этом
значении переменной
не имеет смысла.
Решение
x 2 20,25 0
(x2-20,25)log3(3,6-x) = 0 3,6 x 0
log (3,6 x) 0
3
x 4,5
x 2,6
Сумма корней данного уравнеия равна -4,5+2,6 = -1,9.
Упражнение 32
Найдите cумму корней уравнения (x2-0,25)log3(0,1-x) = 0
Задание 33
Решите
уравнение:
log9(37-12x)·
log7-2x3 = 1.
Неверны
й ответ
Ошибка
Верный
ответ
Число 3 – не
x=1, x = 3 корень данного -1,9
уравнения
Причина ошибки
Неверно найдена
область
определения
функции y =
log9(37-12x)log7-2x3.
log9(37-12x)log7-2x3 = 1
Решение
37 12 x 0,
7 2 x 1,
7 2 x 0
log 9 (37 12 x) log ( 7 2 x ) 2 3 2 1
log 9 (37 12 x) log 9 (7 2 x) 2
1
x
(
;
3
)
(
3
;
3
)
12
37 12 x (7 2 x) 2
x 1, x 3
1 x 1
1
x
(
;
3
)
(
3
;
3
)
x
(
;
3
)
(
3
;
3
)
12
12
Ответ: x=1
56
Упражнение 33
log5(3-x)· log6-2x25 = 1
Ответы к упражнениям
1. Ответ: числа – 4 и - 2 корни уравнения – неверный.
Число x = -2 не является корнем уравнения, так как при x = -2 выражение
x 4 не определено. Неверно применяется условие равенства
произведения двух множителей нулю: произведение двух множителей равно
нулю, если один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет
смысла.
Правильный ответ – корень уравнения только число -4.
2. Ответ: х - любое число – неверный.
Правильный ответ x (;1) (1;1) (1;) , так как при x=1 и x=-1 дробь
x2 1
не определена.
x2 1
3. Ответ: х = -0,5 – неверный, так как при x = -0,5 дробь
2x 1
не определена.
2x 1
Неверно применено условие равенства дроби нулю: дробь равна нулю, если
числитель этой дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Правильный ответ: корней нет.
4. Ответ: 0; 3; -3 - неверный. Правильный ответ: 0, -3, так как при x = 3 дробь
x2 3 | x |
x 3 не определена - знаменатель этой дроби равен нулю.
5.Ответ: 2; 3 - неверный.
Правильный ответ: корней нет , так как при x = 3 дробь
x 3 ( x 2)
не
x3
определена – знаменатель дроби равен нулю, а при x = 2 корень из
отрицательного числа не существует.
57
6.Ответ: 3; 3 ; – неверный .
Правильный ответ: 6;2; -2.
Ошибка в том, что был потерян корень при делении обеих частей уравнения
на выражение x-6, которое обращается в ноль при х=6, а значит число 6
служит корнем уравнения (x-6)(x2 -3) =(x-6).
7. Ответ: 1; 4;2,5– неверный.
Правильный ответ: 4
Ошибка в том, что корень 2,5 был найден при условии x < 1 и этому условию
не удовлетворяет, а корень x =1 не входит в область определения функции
y =log2(x-2).
1 5 1 13
;
; , -– неверный.
2
2
1 5 1 13
;
Правильный ответ
.
2
2
8.Ответ:
Ошибка в том, что при снятии модуля получаются уравнения, корни
которых должны удовлетворять условиям: в одном случае x ≥ -1; в другом
1 5
был найден при условии x ≥ -1 и этому
2
1 13
условию не удовлетворяет, а корень
был найден при условии x < -1 и
2
случае x- <1, корень
этому условию не удовлетворяет.
9.Ответ: -1; -3– неверный.
Правильный ответ: -1.
Ошибка в том, что x =-3 – посторонний корень, получен при решении
уравнения -5- 6x - x2 = (1+x)2 (2), неравносильного данному.
Следует проверить условие 1+x ≥ 0, поскольку только при этом условии
данное уравнения и уравнение (2) равносильны.
10. Ответ: 2;-2; 0 – неверный .
Правильный ответ: корни уравнения – 0; -2.
Ошибка в том, что x = 2 не удовлетворяет условию существования
логарифма: 2-x > 0, т.е. при х = 2 первый множитель равен нулю, а второй
при этом значении переменной не имеет смысла.
58
2
11. Решение: переход от данного уравнения к уравнению x 3 2 не
равносилен. Корни первого уравнения 8 и -8, а второе уравнение имеет
только один корень 8, так как по определению степени с дробным
показателем основание степени положительно.
Правильный ответ: 8 и -8.
12. Ответ: х = 32; -32- неверный.
Правильное решение: x =32, так как по определению степени с дробным
показателем основание степени положительно.
13. Ответ: x = -3 – неверный.
Правильный ответ: x = -3, x = 0, так как корень x = 3 получен при условии
x > 0, x ≠1, но по определению степени с целым показателем основание
степени может быть равным 1 и отрицательному числу, а по определению
степени с натуральным показателем, основание степени может быть и нулем.
Проверяем 1, получаем 13+0 = 1, т.е. 1 – корень уравнения. Среди
отрицательных чисел только -1 в четной степени равняется 1. Поэтому
проверим число 2, (-1)3-2 ≠ 1, значит 2 – не корень уравнения.
14. Ответ: x =4 неверный.
Правильный ответ: уравнение не имеет корней.
Ошибка: при x =4 не выполняется условие существования квадратного корня
-x2 +1 ≥ 0;
15.Ответ: x = - 2;2/3 - неверный.
Правильный ответ: корни уравнения 0,5 и 2/3.
Потеря корня x = 0,5 произошла при делении обеих частей уравнения на 2x-1.
Это выражение обращается в ноль при x =0,5, а поэтому х =0,5 корень
данного уравнения. x = -2 – посторонний корень, при x = -2 правая часть
неравенства отрицательна, а левая – положительна.
16.Ответ x = 1000 – неверный.
Правильный ответ x=1000 и x = -1000.
Ошибка в применении формулы lg x2 = 2lgx. Эта формула верна только
при x > 0. Если же x < 0, то lg x2 = 2lg(-x), поэтому второй корень получен
из уравнения lg(-x) = 3, а первый из уравнения lg x =3.
17. Ответ: x = π/2n, n Z - неверный .
Правильное решение x =πn, n Z .
59
Ошибка в том, что при x = π/2n первый множитель равен нулю, а второй при
этом значении переменой не определен, если n – нечетное целое число.
18.Ответ x
(1) k arcsin 5 k ,
где k Z - неверный.
5
Правильный ответ: это уравнение не имеет корней, так как множество
значений синуса - отрезок [-1;1].
19. Ответ: x = π/4+πn, n Z - неверный.
Правильный ответ: x = π/4+πn, n Z , x = π/2 π +k, k Z .
Ошибка – в делении обеих частей уравнения на cosx.
При x = π /2+πk, n Z cosx = 0 и уравнение обращается в верное равенство
т.е.
x = π /2+πk, k Z - решение данного уравнения.
20. Ответ x = πk/4, k Z - неверный.
Правильный ответ: x = π/2n, n Z .
Ошибка в том, что не при всех x из серии x = πk/4, k Z определены tg2x и
tg6 x (иначе – не все корни из серии x = πk42, k Z входят в ОДЗ данного
уравнения). Следует исключить те значения x при которых соs2x и сos6x
обращаются в ноль, это происходит при нечетных k. Исключая нечетные k,
получим правильный ответ x = π/2n, n Z .
21.Ответ: x =
12
k , k Z - неверный.
Правильный ответ: x
12
k
4
, k Z.
Ошибка в том, что для отыскания x в левой части равенства только первое
слагаемое разделили на 4.
22.Ответ: πn, n Z ; -arctg4/3 + πk, k Z ; - неверный.
Ошибка появилась от того, что метод решения заключался в возведении
обеих частей уравнения в квадрат, т.е. от данного уравнения перешли к
уравнению – следствию 4sin2x + 3sinx·cosx =0 не все корни которого
являются корнями данного.
Правильный ответ x =2πn, n Z , x = - arctg3/4 + 2πk, k Z .
60
23. Ответ: x = π k, k Z . Ошибка в том, что на cos x разделили только левую
часть данного уравнения.
Правильный ответ: x = -π/2+ 2π k, k Z ; x =2πn, n Z ,
Ошибка в том, что решении уравнения sinx - cosx = -1 делят на cosx и
получают
sin x cos x
1 - это неверно.Уравнение sinx - cosx = -1 – не
cos x cos x
однородное относительно sinx и cosx и деление на cosx при чем только его
левой части – грубая ошибка.
24. Ответ: x = 3- неправильный
Правильный ответ – решений нет
Ошибка в том, что при переходе от уравнения log5(4-x2) + log0,2(2-x) =1 к
уравнению log5(2+x)=1 изменяется область определения уравнения
(в данном уравнении область определения -2< x < 2, а после преобразования
область определения x > - 2).
Поэтому x = 3 - посторонний корень.
25.Ответ: x = 1- неверный.
Правильный ответ: корни уравнения: x =1 и x = log7 4.
Ошибка заключается в том, что из равенства произведений степеней не
следует равенство показателей этих степеней, например, 2log28 5 log51,25 =2·5.
26. Решите уравнение 4 x 7 2 x 11.
Ответ: 4;8- неправильный.
Правильный ответ: x = 4
Ошибка появилась от того, что при возведении обеих частей данного
уравнения в квадрат получилось уравнение – следствие, не все корни
которого являются корнями данного уравнения.
При таком методе решения требуется сделать проверку найденных корней.
4 4 7 2 4 11 , значит, x = 4 корень данного уравнения.
4 8 7 2 8 11 , значит, x =8 корень данного уравнения.
27.Ответ: x =1; 4 – неверный .
Число 1 – не корень данного уравнения, так как при снятии модуля
рассматривались два случая: 1) x ≥ 2; 2) x < 2;
Число 1, полученое в первом случае не удовлетворяет первому условию.
61
28.Ответ: x = 108 – неверный .
Правильный ответ: x =104, x = 10-4.
Ошибка в неверном применении формулы logab2n =2nloga ׀b׀.
Эта формула применяется к логарифму степени, а не к степени логарифма.
29.Ответ: x = -2 – неверный. Правильный – решений нет.
Ошибка в неправильном применении определения корня n- ой степени. По
определению числа x-1 и x-2 должны быть натуральными.
При x = -2 показатели корней x- 1=-2-1=-3, x-2 = -2- 2 =-4 не являются
натуральными числами.
30.
Ответ x =-1; -3- неверный. Правильный ответ: -π/3;. Ошибка в том, что
рассмотрено только одно условие равенства логарифмов, у котрых числа
равны, и не учтена область определения логарифмической функции.
Решение
k
cos 6 x 1
x 3 , k Z
3 2 x 0
x 3
3 2 x 1
2
2
x 2x 1
2 x 0
2
log (3 2 x ) cos 6 x log ( x 2 2 x ) cos 6 x x 2 x 0
cos 6 x 0
x ( k ; k ), k Z
12 3 12 3
3 2 x 0
x 1,5
3 2 x 1
x 1
2 x x 2 3 2 x
x 3, x 1.
x = -π/3. Ответ: - π/3.
31.
Ответ: 1 – неверный. Ошибка в том, что 1- не корень данного уравнения, а
корень уравнения – следствия. Причина ошибки – в том, что что не учтена
область определения функции y = ( x 2 )2.
Решение:
x 2,
x 2,
( x 2) 2 x 2 4 x 2
2
2
x 2 x 4 x 2 0.
x 5 x 4 0.
x 2,
x 4.
x 1; x 4
62
32.
Ответ: x = - 0,9 – неверный.
Правильный ответ:сумма корней данного уравнеия равна -0,5-0,9 = -1,4.
Ошибка в том, что число 0,5 – не корень данного уравнения.
x = 0,5 не удовлетворяет условию существования логарифма:
0,1-x > 0, т.е. при х = 0,5 первый множитель равен нулю, а второй при этом
значении переменной не имеет смысла.
33.
Ответ: x=1, x = 3 – неверный. Ошибка в том, что x = 3 – посторонний корень.
Причина ошибки в неверно найденной области определения функции
y= log5(3-x)log6 -2x25.
63
Раздел 4
Ошибки при решении неравенств
Задание 1
Неверный
ответ
a)Решите
неравенство
-3х >-6.
а)(2;+∞)
б)Решите
б) (-2;+∞)
неравенство
-8х < 4
Решение
Ошибка
неверно определен
промежуток
изменения
переменной
Верный
ответ
а)(-∞; 2).
Причина
ошибки
а)При делении
обеих частей
неравенства на
отрицательное
число -3 знак
неравенства не
был изменен.
б)(0,5;+∞).
б) Для решения
этого
неравенства
надо обе его
части разделить
на -8 и изменить
знак неравенства
а)-3х >-6 x 2 x (;2) . б) -8х < 4 x < -0,5
x (-0,5;+∞).
Решение линейных неравенств вида ax>b, ax<b, ax≥b, ax≥b,
b<ax<c.
Для
справки
ax>b (1)
Если a>0, то неравенство (1) равносильно неравенству x> b/a,
x (b/a;+∞).
Если a<0, то неравенство (1) равносильно неравенству x<b/a,
x (-∞; b/a).
Eсли a=0, то 0x>b, если b<0, то x (-∞; +∞),
если b>0, то решений нет,
если b = 0, то решений нет.
ax<b (2)
Если a>0, то неравенство (1) равносильно неравенству x<b/a,
x (-∞; b/a). Если a<0, то неравенство (1) равносильно
64
неравенству x> b/a, x (b/a;+∞).
Eсли a=0, то 0x<b, если b<0, то решений нет,
если b>0, x (-∞; +∞),
если b = 0, то решений нет.
ax≤b (3)
Если a>0, то неравенство (1) равносильно неравенству x< b/a,
x (-∞; b/a]. Если a<0, то неравенство (1) равносильно
неравенству x > b/a, x [b/a;+∞).
Eсли a=0, то 0x≤b, если b<0, то решений нет,
если b>0, x (-∞; +∞),
если b = 0, x (-∞; +∞).
ax≥b(4)
Если a>0, то неравенство (1) равносильно неравенству x > b/a,
x [b/a;+∞). Если a<0, то неравенство (1) равносильно
неравенству x< b/a, x (-∞; b/a].
Eсли a=0, то 0x≥b, если b>0, то решений нет,
если b<0, x (-∞; +∞),
если b = 0, x (-∞; +∞).
b<ax<c (5)
Если a>0, то неравенство (1) равносильно неравенству
b/a<x<c/a, x (b/a;c/a).
Если a<0, то неравенство (1) равносильно неравенству c/a<x<
b/a, x (c/a; b/a).
Если a=0, то b<0x<c, если b<0, c>0, то x (-∞; +∞),
если b>0, c>0 или b<0, c<0 или b>0, c<0,
то решений нет.
Упражнение 1
Решите неравенство: а) -2,5х ≤ 10;
б) -х ≥ -4.
65
Задание 2
Решите
неравенство
1
1.
x
Решение
Неверный
ответ
Ошибка
(-∞;1)
неверно определен
промежуток
изменения
переменной
1
1
1 x
0
1 1 0
x
x
x
x (0;1)
Верный
ответ
(0; 1).
-
Причина
ошибки
Ошибка в том,
что обе части
данного
неравенства
умножили на x,
без учета его
знака (число х
может быть как
положительным,
так и
отрицательным
+
0
1
Чтобы решить неравенство методом интервалов (например,
х² + х > 6) , надо:
1) перенести все слагаемые в левую часть так, чтобы правая
часть оказалась равной нулю ( получим: х² + х – 6 > 0);
2) найти область определения функции, стоящей в левой
части ( для данной функции y= х² + х – 6 х – любое число);
3) приравнять левую часть к нулю и решить полученное
уравнение (х² + х – 6 = 0, D = 25, x1=2, x2= -3);
Для
справки
4) отметить на числовой прямой область определения и
полученные решения уравнения , в результате прямая
разобъётся на некоторое число промежутков (на 3):
-3
2
5) в каждом из получившихся промежутков выбрать по
точке
(возьмём в первом промежутке -4, во втором 0, в третьем 3);
6) вычислить значение функции, стоящей в левой части
неравенства пункта 1 (х² + х – 6 > 0), в каждой из
выбранных точек ( в точке х =-4:
х² + х – 6 = 6, в точке х = 0: х² + х – 6 =-6, в точке х=3: х² +
х – 6 = 6);
7) над каждым из промежутков на числовой прямой
66
поставить знак ‘+’, если вычисленное значение в
соответствующей точке положительно, и знак ‘-’ - если
отрицательно (в первом и третьем промежутке получились
положительные значения, во втором – отрицательное):
+
-3
+
2
в ответе записать промежутки, знак которых совпадает со
знаком неравенства
(-∞; -3) или (2; +∞)).
Упражнение 2
Решите неравенство
Задание 3
1
1 .
x2
Неверный
ответ
Ошибка
Верный
ответ
Решите
Пропущены
неравенство (0;1)U
(-∞;1)
решения:
2
x (x-1)(x-3) (3; + ∞)
U(3; +
(-∞;0].
> 0.
∞).
Решение
Для справки
Причина ошибки
Ошибка в том, при решении
неравенства методом
интервалов не учтено, что при
переходе через точку x = 0
знак функции у = x2(x-1)(x+3)
не меняется .
x2(x-1)(x-3) > 0
Чтобы решить рациональное неравенство методом
интервалов, надо:
1.Привести неравенство к виду f(x) = 0
2.Найдите нули числителя и знаменателя
3.Отметить на оси нули функции и область ее определения
4.Определить знак функции f(x) по схеме ее графика.
Упражнение 3
Решить неравенство x3(x-1)2(x-3) < 0
67
Задание 4
Неверный
ответ
Решите
неравенство
(x+2)2(x1)(x-3) ≤ 0.
Решение
[1;3]
Верный
ответ
Ошибка
Пропущено
решение:
x = -2
[1;3]
2
Причина ошибки
При решении нестрогого
неравенства в ответе
следует записать все
значения переменной,
при которых неравенство
обращается в верное
числовое неравенство, в
данном случае
необходимо включить все
нули функции
y = (x+2)2(x-1)(x-3).
(x+2)2(x-1)(x-3) ≤ 0
Упражнение 4
Решите неравенство (x-9)2(x+6)(x+5)2 ≤ 0 .
Задание 5
Решите
неравенство
Неверный
ответ
(-∞; -3)
( x 5) 2
U(1;+∞)
0.
(1 x)(3 x)
Ошибка
Число 5 из
(-∞; -3)U
интервала (1;+∞)
(1; 5) U
не является
(5;+∞).
решением.
( x 5) 2
0
(1 x)(3 x)
Решение
Верный
ответ
1.Нули числителя x=5.
2. Нули знаменателя
x=1, x=-3.
68
Причина
ошибки
При решении
этого
неравенства
методом
интервалов из
множества
решений не
исключено
число 5, при
этом значении x
неравенство
обращается в
равенство.
3.Отмечаем найденные точки на оси.
4.Определяем знак функции, стоящей в левой части
неравенства в каждом из полученных интервалов.
5. Записываем ответ в соответствии со знаком неравенства:
(-∞; -3)U(1; 5) U (5;+∞).
Упражнение 5
( x 5) 3
Решите неравенство:
0
( x 8)( x 3) 2
Задание 6
Укажите
наименьшее
натуральное
число, которое
удовлетворяет
неравенству:
│1-x│>2
Решение
Для справки
Неверный
ответ
3
Ошибка
В
определении
границ
интервала
Верный
ответ
4
Причина ошибки
Ошибка в том, что
число 3 не
принадлежит
интервалу (3; +∞),
наименьшее
натуральное число,
принадлежащее
этому интервалу это
4.
│1-x│>2 │1-x│2>22 (1-x-2)(1-x+2) > 0
(-1-x)(3-x) > 0 x (-∞; -1) U(3; +∞), наименьшее
натуральное число, которое принадлежит интервалу
(3; +∞)- это число 4.
Интервал ( a; +∞) - это множество действительных
чисел, строго больших a.
Упражнение 6
Укажите наименьшее натуральное число, которое удовлетворяет
неравенству: │x + 5│>2.
69
Задание 7
Решите
неравенство
(2 x 3) x 3x 2 0 .
2
Неверный
ответ
[2;+∞)
Ошибка
Верный
ответ
Причина ошибки
Ошибка заключается
в том, что при
решени этого
неравенства методом
интервалов
пропущена точка х
Потеряно
=1, в которой
[2;+∞) и
решение
значение функции,
x =1.
х =1
стоящей в левой
части неравенства
равно нулю, при
этом знак второго
множителя не имеет
значения
(2 x 3) x 2 3x 2 0 .
Решение
1.Найдем область определения функции, стоящей в
левой части неравенства: подкоренное выражение
должно быть неотрицательным x2-3x+2≥0,
решение этого неравенства (-∞;1] [2;+∞),
2.Найдем нули функци x=1, x=2( x=1,5 не входит в
указанную область определения ).
Определяем знаки функции y = (2 x 3) x 2 3x 2
на каждом из промежутков (-∞;1] и [2;+∞). В
ответе запишем значения x, при которых значения
функции y = (2 x 3) x 2 3x 2 неотрицательны, т.е.
[2;+∞) и x =1.
Упражнение 7
Решите неравенство: (3 x) x 2 3x 2 0
70
Задание 8
Решите
неравенство
0,2x-3 >1.
Решение
Неверный
ответ
(3; +∞)
Верный
ответ
Ошибка
Не изменен
знак
неравенства
(-∞;3).
Причина ошибки
Ошибка в том, что
показательная функция
y = 0,2x – убывающая,
поэтому при переходе от
значений функции к
значениям аргумента
знак неравенства
изменяется
0,2x-3 >1 x-3 < 0 x <3 x (-∞;3).
Если a >1, то неравенство af(x)> ag(x) равносильно
неравенству
f(x) > g(x), (неравенство af(x)< ag(x) равносильно
неравенству f(x)< g(x))
Для
справки
Если 0< a<1, то неравенство af(x)> ag(x) равносильно
неравенству
f(x) < g(x), (неравенство af(x)< ag(x) равносильно
неравенству f(x)> g(x))
Упражнение 8
Решите неравенство 0,1x-4 ≤ 1.
Задание 9
Решите
неравенство
0,1x >0,01.
Неверный
ответ
(2; +∞)
Верный
ответ
Ошибка
Не изменен
знак
неравенства
71
(-∞;2)
Причина ошибки
Ошибка в том, что при
решении неравенства
неверно использовалось
свойство монотонности
функции y = 0,1x.
Показательная функция y
= 0,1x – убывающая,
поэтому, если
0,1x >0,12, то x<2 .
0,1x >0,01, так как показательная функция y = 0,1x –
убывающая, то x<2, то x (-∞;2)
Решение
Упражнение 9
Решите неравенство 0,5x <0,25.
Задание 10
Неверный
ответ
Решите
неравенство
(⅓)2x-8∙(⅓) x
-9>0
Ошибка
Верный
ответ
Причина ошибки
Неравенство
y2 -8y – 9>0.
(-2; +∞)
(-∞;-2)
не решено
относительно y.
2x
x
x
(⅓) -8∙(⅓) -9>0, пусть (1/3) =y, тогда данное
неравенство будет иметь вид:
y2 -8y – 9>0,
решим это неравенство методом итервалов, получим y>9
или y <-1.
Возвращаясь к замене, получим (1/3)x >9 или( 1/3)x <-1.
Решение первого неравенства: x < -2, x (-∞;-2) (основание
показательной функции 1/3 <1), второе неравенство
решений не имеет.
Ответ: (-∞;-2).
Не решено
неравенство
(1/3)x >9
Решение
Упражнение 10
Решите неравенство: 0,04x + 0,2x - 2 ≤ 0.
Задание 11
Решите
неравенство
log2x < 3
Неверный
ответ
(-∞;8)
Ошибка
Верный
ответ
Не учтена область
определения
(0;8)
логарифмической
функции
72
Причина ошибки
Не учтена область
определения
логарифмической
функции y = log2x,
D(log2x) = (0; +∞),
решение данного
неравенства –
пересечение
промежутков (-∞;8)
и (0; +∞).
x 0
log2x < 3
Решение
x 2
3
(0;8)
Упражнение 11
log0,5x > -1
Задание 12
Решите
неравенство
log 0,5x >3
Неверный
ответ
(1/8; + ∞)
Решение
Верный
ответ
Ошибка
Не изменен
знак
неравенства
x 0
log 0,5x >3
x 0,5
3
Причина ошибки
Логарифмическая
функции y = log0,5x –
убывающая, поэтому
при переходе от
значений функции к
(0;1/8)
значениям аргумента
знак неравенства
изменяется.
(0;1 / 8)
Неравенство loga f(x)> loga g(x) равносильно неравенству
f(x)> g(x), при a>1 и дополнительных условиях g(x)>0,
f(x)>0.
Для справки Неравенство loga f(x)> loga g(x) равносильно неравенству
f(x)< g(x),при 0<a<1 и дополнительных условиях g(x)>0,
f(x)>0.
Упражнение 12
log0,1x ≤2.
73
Задание13
Решите
неравенство
lgx +
lg(x - 3) > 1
Неверный
ответ
(6,5;+ ∞)
Верный
ответ
Ошибка
Неверно
применяются
свойст ва
логарифмов
(5;+ ∞).
Причина ошибки
Сумма логарифмов
равна не логарифму
суммы, а равна
логарифму
произведения, поэтому
нужно сравнивать не
сумму, а произведение
аргументов с числом
10.
lgx + lg(x - 3) >1
Решение
lg x( x 3) lg 10 x 0
x 3
x o
x (5;+ ∞).
2
x 3 0
x
3
x
10
0
x 3 0
x( x 3) 10
Упражнение 13
Решите неравенство lg(x - 4) + lg(x +4) < 1
Задание
14
Решите
неравенст
во
sin x >0,5.
Решение
Неверный
ответ
Ошибка
Верный
ответ
Причина ошибки
неверно
Решение
определ ( 2n;
тригонометрических
6
ен
неравенств не
x> (1) k k ,
5
6
промеж
аналогично решению
2n ),
6
уток
линейных неравенств
k Z
изменен n Z
( 3х =6, х=2. 3х >6, x >
ия для x
2).
Так как период функции y = sinx равен 2π, то рассмотрим
решение неравенства
sin x > 0,5 на этом периоде, например, на
отрезке [0;2π].
1.Отметим ординату, равную 0,5.
2.На единичной окружности отметим две
точки, ординаты которых равны 0,5.
3.Запишем угол, соответствующий одной из
74
этих точек из отрезка [0;2π], это угол
.
6
4.Двигаясь от этой точки по окружности вверх (проходим
через точку
), называем угол, соответствующий второй
2
точке.
5. Второй угол будет
5
6.x ( ;
6
6
) , с учетом периодичности функции y = sinx
получим ответ:
Для
справки
5
.
6
5
2n n Z .
2n;
6
6
Алгоритм решения неравенства sinx >a (sinx <a),│a│<1 с
помощью единичной окружности:
1.Отметить ординату, равную a.
2. Найти на окружности две точки, у которых такая ордината.
3.Записать угол, соответствующий одной из таких точек.
4. Определить в соответствии со знаком неравенства по какой из
двух дуг окружности нужно двигаться к другой отмеченной
точке.
5. Называя промежуточные углы, определить угол,
соответствующий второй отмеченной точке.
6. Записать ответ от меньшего угла к большему, добавляя период.
Упражнение 14
Решите неравенство: cosx <
Задание
15
Решите
неравенст
во
cosx < 0,5.
Решение
3
.
2
Неверный
ответ
Ошибк
Верный
Причина ошибки
а
ответ
неверно
определ
Ошибка в выборе
5
ен
интервала между двумя
2n
2n;
( 2k ; 2k ,
3
3
3
3
значениями аргумента, в
промеж
k Z)
nZ
уток
которых значение функции
изменен
равно 0,5.
ия для x
Так как период функции y = cosx равен 2π, то рассмотрим решение
неравенства cosx < 0,5 на этом периоде., например, на [0;2π].
1. Отметим абсциссу 0,5.
2. На единичной окружности отметим две точки, у которых такие
75
абсциссы.
3. Запишем угол, соответствующий одной из этих точек из
отрезка [0;2π], это угол
.
3
4. Двигаясь по окружности вверх через точки
2
, ,
3
, назовем
2
угол, соответствующий второй точке.
5. Это угол
5
6. x ( ;
3
ответ:
Для
справки
3
5
3
) , с учетом периодичности функции y = cosx получим
5
2n n Z
2n;
3
3
Алгоритм решения неравенства cosx >a (cosx <a),│a│<1 с помощью
единичной окружности:
1.Отметить абсциссу, равную a.
2. Найти на окружности две точки, у которых такая абсцисса.
3.Записать угол, соответствующий одной из таких точек.
4. Определить в соответствии со знаком неравенства по какой из двух
дуг окружности нужно двигаться к другой отмеченной точке.
5. Называя промежуточные углы, определить угол, соответствующий
второй отмеченной точке.
6. Записать ответ от меньшего угла к большему, добавляя период.
Упражнение 15
Решите неравенство sinx <- 0,5.
Задание16
Неверный
Ошибка
76
Верный ответ
Причина ошибки
ответ
Число 2πk,
k Z не
Решите
2k ; 2k , принадлежит
неравенство 4
2
множеству
tg x ≥ 1
k Z
решений
неравенства
4 2n; 2 2n ,
nZ
Ошибка в том, что
при решении
неравенства не
учтена область
определения
функции у = tg x.
Так как функция y = tg x периодическая с периодом π и определена для
всех x R/ k, k Z , то рассмотрим решение неравенства на
2
Решение
периоде, например, на интервале (-π/2;π/2). На этом интервале функция
y= tg x возрастает, а значение,равное 1 принимает при x = π/4,
следовательно, решение на этом периоде есть интервал [ π/4; π/2).
C учетом периода, решение данного неравенства – это серии
промежутков вида: 2n; 2n, n Z .
4
2
Упражненеие 16
Решите неравенство tg x ≤ 3
Задание 17
Решите
неравенство
3 2x x .
Решение
Для
Неверный
ответ
[0; 1)
Верный
ответ
Ошибка
Пропущены
решения:
(-∞;0).
(-∞;1).
Причина ошибки
При решении
рассмотрен лишь
случай, когда правая
часть неравенства
неотрицательна.
x 0
2
x 0;1
3 2 x x
3 2 x x
x (-∞; 1)
x (;0)
x0
3 2 x 0
Неравенство вида
f ( x) g ( x) равносильно следующей
77
справки
g ( x) 0
f ( x) 0
совокупности неравенств:
g ( x) 0
f ( x) g 2 ( x)
Упражнение 17
Решите неравенство: 11 2 x x 2 .
Задание18
Решите
неравенство
(x-5)·
log2 (x/2)<0.
Решение
Для
справки
Неверный
ответ
(-∞;2) U
(2;5).
Ошибка
Интервал (-∞;2) не
является решением
данного
неравенства.
Верный
ответ
(2;5)
Причина
ошибки
Не учтена
область
определения
функции
y=(x-5)log2 (x/2)
(x-5)log2 (x/2)< 0 .
Решим неравенство методом интервалов.
1. D((x-5)log2 (x/2)) =(0; + ∞).
2. Нули функции y = (x-5)log2 (x/2): x=5, x=2.
3.Отмечаем на оси D((x-5)log2 (x/2)) и нули функции.
4. Определяем знак в каждом из промежутков (0;2), (2;5), (5;
+ ∞).
5. Выбираем промежуток в соответствии со знаком данного
неравенства: (2;5)
Чтобы решить неравенство методом интервалов надо:
1.Привести неравенство к виду f(x) = 0
2.Найти область определения функции y=f(x)
3.Найдите нули функци y=f(x)
4.Отметить на оси OX нули функции и область ее
определения
5.Определить знак функции f(x) в каждом из промежутков,
на которые нули функции и область ее определения
разбивают ось.
6. Записать ответ в соответствии со знаком неравенства.
78
Упражнение 18
Решите неравенство: (x+1)log0,5 (x-4) < 0.
Задание 19
Неверный
ответ
Решите
неравенство :
x x9
0
sin 2 x
Причина ошибки
При решени не
x R /n, n Z учтена область
определения дроби.
x = πn,
xR
2
Верный
ответ
Ошибка
nZ
x 2 x 9 0
2
x x9
0
x R /n, n Z
sin x 0
sin 2 x
2
Решение
Для справки
Дробь
a
определена при условии: b ≠ 0.
b
Упражнение 19
Решите неравенство:
x2 1
0
cos 2 0,5 x
Причина
ошибки
Не при всех
При решении не
Решите неравенство :
x R
учтена область
x 1 3 x 2 x 0
определены [1;3]
определения
xR
подкоренные
арифметического
выражения
корня.
Решение
Поскольку по определению арифметического
Задание 20
Неверный
ответ
Ошибка
79
Верный
ответ
квадратного корня каждый из корней суммы
x 1 3 x 2 x неотрицателен, то эта сумма
положительна (каждый корень обращается в ноль при
разных значениях x) для всех x, удовлетворяющих
x 1 0
системе: 3 x 0 .
x 2 0
Решение этой системы и будет решением данного
неравенства.
Арифметическим квадратным корнем из числа a
называется неотрицательное число, квадрат
которого равен a. Область определения функции
y = x есть множество неотрицательных чисел, т.е.
x [0;) .
Для справки
Упражнение 20
Решите неравенство 1 x 2,5 x 2,4 x 0
Задание 21
Неверный
ответ
Решите
неравенство
x 1
x2 x 4
0
x R
Ошибка
При x=1 левая
часть
неравенства
равна нулю
Знаменатель дроби
Решение
x 1
x x4
2
Верный
ответ
Причина ошибки
Числитель
дроби, стоящей в
левой части
неравенства больше
x R /1 нуля или равен ему
при x=1, это
значение не было
исключено из
решения
трехчлен с положительным
первым коэфффициентом и отрицательным дискриминантом,
значит при всех x он принимает положительные значения.
Числитель этой дроби, больше нуля при всех x, кроме 1.
Значит решения данного неравенства: x R /1
80
Для справки
│x│≥ 0, равенство выполняется, если x = 0.
Упражнение 21
Решите неравенство
Задание 22
x5
x 2 2x 5
0
Неверный
ответ
Ошибка
x R
Не при всех
x определены
логарифмы
в левой части
неравенства
Решите
неравенство:
lg sinx +
lg cosx < 0
Верный ответ
Причина
ошибки
(2πn;π/2+2πn),
n Z
Не найдена
область
определения
левой части
неравенства
Найдем область определения функции, стоящей в левой части
sin x 0
x 2n; 2n , n Z .При
2
cos x 0
данного неравенства:
Решение
этих значениях x sin x и cosx больше нуля и меньше 1, а
поскольку основание логарифма 10>1, то по свойству
логарифмической функции с таким основанием каждый из
логарифмов отрицателен, следовательно, решения
неравенства - это все x из найденной области определения,
т.е. 2n; 2n , n Z .
2
Знаки логарифмической функции y = logax с основанием
a >1:
Для справки если x >1, то logax >0;
если 0 < x <1, то logax < 0.
Упражнение 22
Решите неравенство lоg 0,5sinx + lоg0,5cosx > 0
Задание23
Неверный
Ошибка
81
Верный
Причина
ответ
Решите
неравенство:
( x 1) 2 0
Решение
x R
ответ
При x=1 левая
часть неравенства x R /1
равна нулю
ошибки
Не учтено, что
неравенство нестрогое
( x 1) 2 0 │x-1│>0 x R /1
Упражнение 23
Решите неравенство:
(2 x 1) 2 0
Задание 24
Решите
неравенство
logx+2(5-│x-3│) ≥ 0
Решение
Неверный
ответ
(-2;7]
Ошибка
x =-1- не
решение
данного
неравенства
Верный
ответ
(-2;1)U(1;7].
Причина ошибки
Ошибка в том, что при
решении неравенства
не учтено, что x = -1
не входит в область
определения функции
y = logx+2(5-│x-3│.
( x 2 1)(5 x 3 1) 0
x 2 0,
logx+2(5-│x-3│)≥ 0
x
2
1
,
x3 5
(;1] [1;7],
x 2,
(2;1) (1;7]
x 1,
x (2;8)
Неравенство loga b > 0 равносильно нервенству (a-1)(b-1) > 0
Для справки при условии b>0, a>0, a ≠ 1.
Упражнение 24
Решите неравенство: logx +3(5x-3)≥ 0
82
Неверный
ответ
Задание25
Решите
неравенство:
[-2- 3 ;-1]
x 2 2x 1 2x
2 3;1
Верный
ответ
Ошибка
отрезок [-2- 3 ;
-1] – не
решения
данного
неравенства
2
3;1
Причина ошибки
Не учтено необходимое
условие, при котором
данное неравенство
имеет решение:
1+2x ≥ 0
1 2 x 0
x 0,5
x 2 2x 1 2x 2
2
2
2
x 2 x (1 2 x) 2
( x 2 x 1 2 x)( x 2 x 1 2 x) 0
x 0,5
x 0,5,
[2 3;1]
2
2
( x 1)( x 4 x 1) 0
(;2 3 ] [2 3;1]
Решение
Упражнение 25
Решите неравенство: │x2 -7│< -x -5.
Задание26
Неверный
ответ
Решите
неравенство:
( x 1) x
2
3 x 2
1
Решение
(1;2)U(2;
+∞) .
( x 1) x
2
3 x 2
Верный
ответ
Ошибка
Причина ошибки
Решения (1;2)U(2; +∞)
найдены при условии, что
x-1>0, x ≠1. По
Ошибка в
(1;2)U(2; определению степени с
том, что не
+∞) U
целым показателем
все
{ -1, -2,
основание этой степени
решения
-3…}. может быть и
найдены.
отрицательным, и равным
1.
1
83
x 1
x 2
(1;2) (2;)
( x 1 1)( x 2 3 x 2) 0
x öåëîå _ îòðèöàòåëü íîå _ ÷èñëî
x 2 3 x 2 öåëîå _ ÷¸òíîå ;
õ 1 öåëîå _ îòðèöàòåëü íîå
Упражнение 26
Решите неравенство (2x 5) x 6 x16 1 .
2
Задание27
Решите
неравенство:
sin(πcosx) >
0.
Решение
Неверный
ответ
Решений
нет.
Ошибка
Верный ответ
При
некоторых x
неравенство
верно.
Причина ошибки
Причина ошибки в
том, что решение
неравенства
2πk < π cosx < π
+2πk (1), k Z - это
2n;2n
объединение
2
, решений этого
2n; 2n
неравенства для
2
каждого k Z ,а не
n Z.
общие решения для
всех k Z . Для k = 0
неравенство (1)
имеет решения.
Так как функция y = cosx периодическая с периодом 2π, то
рассмотрим решение на периоде, например, на отрезке [-π;π].
Положительные значения функция y = sin (πcosx) принимает,
если
2πk < π cosx < π +2πk, k Z или 2k < cosx < 1+2k, k Z .
При k = 0, 0 < cosx < 1, на [-π;π] косинус принимает
2
2
положительные значения для x ( ;0) (0; ) или с учетом
периода 2n;2n 2n; 2n , n Z .
2
2
При остальных целых │k│≥1 неравенство k < cosx < 1 +2k,
решений не имеет.
84
Упражнение 27
Решите неравенство: cos(πcosx) > 0.
Задание28
Решите
неравенство:
sin x 4 2 x 2 0
Неверный
ответ
Ошибка
Потеряно
;0 ;2 . решение x
=-2π.
Верный
ответ
Причина ошибки
2
;0
;2
Решения данного
неравенства - не только
значения x из отрезков,
в которых sinx ≤ 0, но и
отдельные значения x,
при которых sinx = 0, a
4π2 – x2 ≥ 0.
1. Найдем область определения функции y sin x 4 2 x 2 :
4π2 – x2 ≥ 0 x 2 ;2
Решение
2.Найдем нули функции y sin x 4 2 x 2 : sinx = 0 или
4π2 – x2 =0 для x 2 ;2 , x =-2π; -π, 0, π; 2π.
3. Отметим область определения и нули функции на оси ox.
4. В каждом из интервалов определим знаки функции
y sin x 4 2 x 2
5.Запишем ответ в соответствии со знаком неравенства :
sin x 4 2 x 2 0 : 2 ;0 ;2
Упражнение 28
Решите неравенство: - cos 2x 2 x 2 0
Задание29
Решите
Неверный
ответ
Верный
ответ
Ошибка
Причина ошибки
Решения x [0,5; n; n]
Потеряно
85
неравенство:
│1+log2 x│
≤1
sin2πx
x [0,5; n; n]
n N , n 2;
решение x
x [0,5; n; n] = 1
n N , n 2;
[0,25;0,5],
x=1.
[0,25;0,5]
│1+log2 x│sin2πx ≤1
Решение
x 0
1 log 2 x 1
x 1
sin 2x 0
0 x 1
x 0
4
0 1 log 2 x 1
0,5 n x n, n Z
sin 2x 0
1
4 x 1
1 log 2 x 0
1
sin 2x N
n x n, n Z
2
sin 2x
1
1 log 2 x
1
x
4
1 log 2 x 1
x 1
sin 2x R
sin 2x
1
1 log 2 x
1 1
x [ 4 ; 2]
x 1
x [0,5 n; n], n N , n 2
Упражнение 29
Решите неравенство:
│1+ lg x│сos0,5πx ≥ 1.
86
n N , n 2;
[0,25;0,5] найдены
при условии, что
основание > 0,
│1+log2x│≠1. По
определению
степени с целым
показателем
основание этой
степени может быть
и нулем, и равным
1.
Ответы к упражнениям
1. а)Ответ (-∞; -4] неправильный.
Ошибка в том, что при делении обеих частей неравенства на отрицательное
число -2,5 знак неравенства не был изменен.
Правильный ответ: [-4;+∞).
б).Ответ: (4;+∞) – неправильный.
Для решения этого неравенства надо обе его части разделить на -1 и при этом
изменить знак неравенства ( ≥ на ≤).
Правильный ответ: (-∞;4].
2. Ответ: (-∞;-3) – неверный.
Ошибка в том, что обе части данного неравенства умножили на x+2, без
учета его знака (число х+2 может быть как положительным, так и
отрицательным).
Правильный ответ: (-3; -1).
3.Ответ: (-∞;1)U(1;3 ) – неверный.
Ошибка в том, что при решении неравенства методом интервалов не учтено,
что при переходе через точку x = 1 знак функции у = x3(x-1)2(x-3) не
меняется .
Правильный ответ (0;1)U(1; 3).
4.Ответ: (-∞;-6] – неверный.
Ошибка в том, что при решении нестрогого неравенства в ответе следует
записать все значения переменной, при которых неравенство обращается в
верное числовое неравенство , в данном случае нужно не потерять никакие
нули функции y = (x-2)2(x+6)(x+3)2.
Правильный ответ: (-∞;-6] 5;9.
5.Ответ: (3;5)U(8;+∞) – неверный .
87
Ошибка заключается в том, что при решении этого неравенства методом
интервалов неверно определен знак в интервале (-∞; 3).
Правильный ответ (-∞; 3)U(3; 5] U (8;+∞).
6. Ответ 7 – неверный.
Ошибка в том, что число 7 не принадлежит интервалу (7; +∞), наименьшее
натуральное число, принадлежащее этому интервалу, это число 8.
Правильный ответ x = 8.
7. Ответ: (-∞;-3] – неверный.
Ошибка заключается в том, что при решени этого неравенства не учтена
область определения функции, стоящей в левой части уравнения: -x2 - 3x – 2
≥ 0, т.е. x [-2;-1], при x (-∞;-3] эта функция не определена.
При x = -1 и x =-2 второй множитель равен нулю, а при этом знак первого
множителя не имеет значения.
Правильный ответ: x =-1, -2.
8. Ответ: (- ∞;4]. – неверный.
Ошибка в том, что показательная функция y = 0,1x – убывающая, поэтому
при переходе от значений функции к значениям аргумента знак неравенства
изменяется.
Правильный ответ: [4; +∞)
9.Ответ: (-∞;2)- неверный .
Ошибка в том, что при решении неравенства неверно использовалось
свойство монотонности функции y = 0,5x. Показательная функция y = 0,5x –
убывающая, поэтому, если 0,5 x < 0,52, то x >2 .
Правильный ответ : (2; +∞).
10. Ошибочное решение:
0,042x +0,2∙ x -1 ≤ 0, пусть (0,2)x =y, тогда данное неравенство будет иметь
вид: y2 +y –2≤ 0.
Найдем корни уравнения y2 +y – 2=0, получим: y =-2 или y=1.
Cледовательно, 0,2x =1 или 0,2x =-2. Уравнение 0,2x =1 имеет один корень,
равный 0, уравнение 0,2x = -2 не имеет решений, учитывая знак неравенства,
получим ответ x ≤ 0. Это решение неверно.
Правильное решение:
y2 +y – 2≤0 решим это неравенство методом итервалов, получим
или -2 ≤y ≤1. Возвращаясь к замене, получим 0,2x ≥ -2 или 0,2x ≤1.
88
Решение первого неравенства: x (-∞;+∞) (основание показательной функции
0,2 ≤ 1), решение второго неравенства x [0;+∞)
Ответ: [0;+∞)
11.Ответ: (-∞;2) – неверный.
Ошибка в том, что не учтена область определения логарифмической функции
y = log0,5x, D(log0,5x) = (0; +∞), решение данного неравенства – пересечение
промежутков (-∞;2) и (0; +∞).
Правильный ответ: (0;2).
12. Ответ: (0;0,01).– неверный.
Ошибка в том, что логарифмическая функции y = log0,1x – убывающая,
поэтому при переходе от значений функции к значениям аргумента знак
неравенства изменяется.
Правильный ответ: (0,01; + ∞)
13. Решение x -4 + x + 4 < 10, x < 10 и ответ (0;5) - неверный .
Ошибка в том, что сумма логарифмов равна не логарифму суммы, а
логарифму произведения, поэтому нужно сравнивать не сумму, а
произведение аргументов с числом 10, т.е. (x-4) (x +4) < 10 с учетом области
определения получим правильный ответ: (4; 26 ).
14.Ответ: x <
5
2k , k Z - неверный.
6
Допущена грубая ошибка: решение тригонометрических неравенств не
аналогично решению линейных неравенств ( 3х =6, х=2. 3х <-6, x <-2).
5
7
Правильный ответ: 2n; 2n , n Z .
6
15. Ответ: ( 2k ;
6
6
7
2k , k Z ) - неверный.
6
Ошибка в выборе интервала между двумя значениями аргумента, в которых
значение функции равно
- 0,5.
Правильный ответ: (
16.Ответ:
2
2k ;
5
2k ; 2k , k Z ) .
6
6
2k , k Z - неверный .
3
89
Ошибка в том, что при решении неравенства не учтена область определения
функции у = tg x:
D(tg x) = n; n , n Z .
2
2
Правильный ответ: 2n; 2n, n Z .
2
3
17. Ответ: (-7; -2] – неверный.
Ошибка в том, что при решении рассмотрен лишь случай, когда правая часть
неравенства неотрицательна.
Правильный ответ (-7;5,5].
18.Ответ: (-∞; -1)U (5;+∞)- неверный.
Не учтена область определения функции
y=(x+1)log0,5 (x-4).
Правильный ответ: (5;+∞)
19.Ответ x R - неверный .
Ошибка в том, что при решении неравенства не учтена область определения
дроби: cos2 0,5x ≠ 0, x ≠ 2n, n Z .
Правильный ответ: x R / 2n, n Z
20. Ответ x R - неверный.
Ошибка в том, что при решении неравенства не учтена область определения
арифметического корня.
Верный ответ: решение неравенства [-2,5;-2,4].
21. Ответ x R - неверный.
Ошибка втом, что числитель дроби, стоящей в левой части неравенства
больше нуля или равен ему.
При x = -5 числитель обращается в ноль, это значение не было исключено из
решения.
Правильный ответ: x R / 5 .
22.Ответ x R - неверный.
Ошибка втом, что не найдена область определения левой части неравенства.
Правильный ответ (2πn;π/2+2πn), n Z .
90
23.Ответ x R - неверный.
При решении не учтено,что неравенство нестрогое, из решений следует
исключить те значения x, при которых левая часть неравенства обращается в
ноль.
Правильный ответ: x R / 0,5.
24.Неверный ответ: (- ∞;-2] U[ 0,8;+ ∞). x =-2- не решение данного
неравенства.
Ошибка в том, что при решении неравенства методом интервалов не учтено,
что x = -2 не входит в область определения функции y = logx +3(5x-3).
Правильный ответ: (- ∞;-2) U[ 0,8;+ ∞)
25.Ответ ( -2;1) – неверный.
Ошибка в том, что не учтено необходимое условие, при котором данное
неравенство имеет решение: -x-5 > 0.
Правильный ответ – решений нет.
26.Ответ (3;8) - неверный. Ошибка в том, что не все решения найдены.
Правильный ответ: (3;8)U { -1, -3, -5…}.
Причина ошибки – в том, что решения (3;8) найдены при условии, что
2x-5 > 0, 2x -5 ≠ 1. По определению же степени с целым показателем
основание этой степени может быть и отрицательным, и равным 1.
Решение.
(2 x 5) x
2
616
1
x 2,5
x 3
(1;2) (2;)
(2 x 5 1)( x 2 6 x 16) 0
x öåëîå _ îòðèöàòåëü íîå _ íå÷åòíîå _ ÷èñëî
x 2 6 x 16 öåëîå _ íå÷¸òíîå ;
2 õ 5 öåëîå _ îòðèöàòåëü íîå
Необходимо также рассмотреть случаи, когда основание равно 1 и когда
основание равно 0, но, очевидно, для данного неравенства они не дают
решений.
Ответ: (3;8)U { -1, -3, -5,…}.
27.Неверный ответ: решений нет.
2
Правильный ответ: k ; k k Z
3
3
91
Ошибка в том, что при некоторых x неравенство верно. Причина ошибки в
том, что решение неравенства
-1/2+2k < cosx < 1/2 +2k (1), k Z - это объединение решений этого
неравенства для каждого k Z , а не общие решения для всех k Z .
Для k = 0 неравенство (1) имеет решения.
Решение
Положительные значения функция y = сos πcosx принимает, если
-π/2+2πk < -π/2+π cosx < π +2πk, k Z или - ½+ 2k < cosx < 1/2+2k, k Z .
При k = 0, -1/2 < cosx < 1/2, косинус принимает эти значения для
2
n n Z . При остальных целых k неравенство
3
3
- ½+ 2k < cosx < 1/2+2k, k Z решений не имеет.
x n;
3
3
28. Неверный ответ: ; ; .
4
4
4
4
Ошибка - в потере решения x =-π и x = π .
Причина ошибки в том, что решения данного неравенства - не только
значения x из отрезков, в которых cosx ≤ 0, a π2 – x2 > 0, но и отдельные
значения x, при которых π2 – x2 =0.
Правильный ответ:
3 3
4 ; 4 4 ; 4 ;
29. Неверный ответ: x [1 4n;4n] , (0,01;1)
Ошибка - в потере решения x =1. Необходимо также рассмотреть случай,
когда основание равно 1 и когда основаение равно 0.
Правильный ответ: x [1 4n;4n]
n N , x (0,01;1] 1
92
Раздел 5
Функции и их свойства
Задание 1
Найдите
множество
значений
функции y =
sinx +cosx
Неверный
ответ
E= [-2;2].
Ошибка
Значений 2
и -2
функция не
достигает
Верный
ответ
Причина ошибки
Ошибка в том,
что значения 1 и
-1 синус и
косинус
достигают при
различных
значениях
аргумента.
E 2; 2
y = sinx +cosx =
2
2
sin x
cos x) 2 sin( x ) .
2
2
4
2(
Решение
Поскольку 1 sin( x ) 1 , то 2 2 sin( x ) 2 , т.е.
E 2; 2
4
4
Упражнение 1
Найдите множество значений функции y =2 sin x + 3cos x.
Задание 2
Найдите область
определения
функции: y =
log2x2
Решение
Неверный
ответ
Ошибка
x R
x = 0 – не входит
в область
определения
этой функции
Верный
ответ
Причина
ошибки
Ошибка в том,
что неверно
решено
(-∞;0) U
неравенство
(0;+∞).
x2 > 0.
Область определения логарифмической функции: y =
log2t D: t > 0, для данной функции: x2 > 0. Последнее
93
неравенство справедливо при всех x, кроме x=0.
Упражнение 2
Найдите область определения функции: y = log2 (x+2)2
Задание 3
Неверный
ответ
Ошибка
Найдите
область
определения [2n; 2n], n Z
функции: y
= lg sin x
Верный ответ
При x из
указанного
промежутка
(например,
при x = π,
2π)
функция не
определена
x= 2n, n Z
2
Причина
ошибки
Неверно
решено
неравенство
lg sinx ≥ 0.
sin x 0,
x 2n, n Z
2
sin x 1
lg sinx ≥ 0
Решение
Упражнение 3
Найдите область определения функции: y = lg cos x
Задание 4
Найдите
множество
значений
функции: y
= x2 + x + 1
Неверный
ответ
Ошибка
(0;+ ∞)
Не все
значения y из
этого
промежутка
принадлежат
множеству
значений
данной функци
(например, y≠
0,1 ни при
94
Верный
ответ
[0,75;
+ ∞).
Причина ошибки
Трехчлен x2 + x + 1
имеет
отрицательный
дискриминант, и это
значит, что он
принимает
положительные
значения, но не все,
а начиная с
каком x).
ординаты вершины
параболы
y = x2 + x + 1.
Так как дискриминант трехчлена x2 + x + 1 отрицателен, а
первый коэффициент положителен, то трехчлен x2 + x + 1
принимает положительные значения, начиная с ординаты
вершины параболы y = x2 + x + 1. Aбсцисса параболы
определяется по формуле x = Решение
b
, для данной параболы она
2a
равна - 0,5, а ординату находим, подставив x =- 0,5 в
уравнение параболы. Получим y = 0,75. Значит, множество
значений данной функции E = [0,75;+ ∞).
Упражнение 4
Найдите множество значений функции: y = -x2 - x - 2
Задание5
Найдите
множество
значений
функции:
y=
x 2 2x 7
x 2 2x 2
Решение
Неверный
ответ
(0;+ ∞)
Ошибка
Верный
ответ
Не все
значения y из
этого
промежутка
принадлежат
множеству
(1;6].
значений
данной функци
( например, y≠
1 ни при каком
x).
Причина ошибки
y=
x 2 2x 7
x 2 2x 2
принимает
положительные
значения, (так как
числитель и
знаменатель ее
положительные
трехчлены), но не
все, а определяемые
другими свойствами
этой функции
5
x 2 2x 7
y= 2
= 1+
, так как
( x 1) 2 1
x 2x 2
(x+1)2 +1 ≥ 1, и при неограниченном увеличении │ x│,
знаменатель (x+1)2 +1 неограниченно увеличивается, то
95
0
5
5
5 , а 1 1
6.
2
( x 1) 2 1
( x 1) 1
x 2 2x 7
Таким образом D(y = 2
) = (0;6]
x 2x 2
Упражнение 5
Найдите множество значений функции: y =
Задание 6
Найдите
множество
значений
функции:
y = sin2x +
2sinx -3
Решение
Неверный
ответ
[-4; +∞)
x 2 4 x 10
x 2 4x 8
Верный
ответ
Ошибка
Не все значения y
из этого
промежутка
принадлежат
множеству
значений данной
функци
( например, y≠ 5
ни при каком x).
Причина ошибки
Найдено
множество
значений
трехчлена y = t2+
2t -3 на всей
области
определения (для
t (;) , а для
данной функции
t = sinx 1;1
[-4;0]
Введем замену переменной t = sinx 1;1.
Трехчлен y = t2 + 2t -3 убывает при t (;1) от + ∞ до -4
и возрастает при t (1;) от -4 до+ ∞ . Следовательно, при t
1;1 y = t2 + 2t -3 возрастает от - 4 до значения этого
трехчлена в точке 1, т.е. до 0.Таким образом, множество
значений этой функции отрезок [-4;0].
Упражнение 6
Найдите множество значений функции: y = cos2x + 5cos -6
Задание7
Неверный
Ошибка
ответ
[0,75;+ ∞) Не все
96
Верный
ответ
[0,75;3)U(
Причина ошибки
Oшибка в том, что
Найдите
множество
значений
функции:
y=
значения y из
3;+ ∞)
этого
промежутка
принадлежат
множеству
значений
данной
функции,
например, y≠ 3
ни при каком
x.
x3 1
x 1
x3 1
y=
=
x 1
Решение
найдено множество
значений не данной
функции, а
полученной после
нетождественых
преобразований,
функции y = x2 –x
+1.
x 2 - x 1,
, поэтому значение данной функции
x -1
совпадают со значениями функции y = x2 –x +1 при всех x,
кроме x = -1. Множество значений функци y = x2 –x +1
[0,75;+ ∞)
При x = -1 значение y = x2 –x +1 равно 3, его следует
исключить из множества [0,75;+ ∞).
Получим: [0,75;3)U( 3;+ ∞) .
Упражнение 7
Найдите множество значений функции y =
Задание8
Неверный
ответ
x 2 3x 2
x 1
Ошибка
Верный
ответ
Причина ошибки
Внешний
Функция вид
Функци
не является формулы
я
Не выполнены
log 3 ( 16 x 2 9 4 x) -1
ни четной, не всегда
является тождественные
на четность и
ни
дает
нечетно
преобразования
нечетность
нечетной очевидного й.
ответа.
1.Область определения данной функции – все
действительные числа, так как 16 x 2 9 4 x ,4 x 4 x .
9
Решение
2. f(-x) = log ( 16 x 2 9 4 x) 1 log
1 1Исследуйте
функцию f(x) =
3
log3 ( 16 x 2 9 4 x) =- f(x).
97
3
16 x 2 9 4 x
Следовательно, данная функция – нечетная.
Упражнение8
Исследуйте функцию f(x) = lg ( x 2 100 x) 1 на четность и нечетность.
Задание 9
a) Найдите
производную
функции у =
sin(2x-5)
Решение:
б) Найдите
производную
функции у =
sin2x
Решение:
в) Найдите
производную
функции у =
3x 2 5
Неверный
ответ
cos(2x-5)
Верный
ответ
Ошибка
Не найдена
производная 2cos(2xфункции
5).
y =2x-5
Причина ошибки
К сложной
функции y=sin(2x 5) применено
правило
дифференцирования
не сложной
функции, а функции
y = sinx
(sin (2x-5))΄ = cos(2x-5) (2x-5)΄= 2cos(2x-5).
Неверно
В сложной функции
примена
f(g(x))= sin2x не
формула
выделены
2cosx
производной sin2x
промежуточная
сложной
функции y = g(x) и
функции y =
функция f(y);
2
sin x
2
(sin x)΄ = 2sinx (sinx)΄= 2 sinxcosx = sin2x
К сложной функции
у = 3x 2 5
Не найдена
применено
1
3
x
производная
правило
2
2
функции
дифференцирования
2 3x 5
3x 5
2
y =3x + 5
не сложной
функции, а функции
y
Решение:
( 3x 2 5 )
98
1
2 3x 5
2
(3x 2 5) =
3x
3x 2 5
x
г) Найдите
производную
функции y =
tg(1-2x)
В
2
знаменателе cos 2 (1 2 x)
должно быть
cos2(1-2x)
1
(2)
cos 2 x
Производная от
tg(1-2х)
найдена не по
промежуточной
функции g(x)=
1-2x
f'(g(x)) = f'(y) g'(x).
Чтобы найти производную сложной функции, надо:
Для справки:
1.Определить функцию f(y);
2. Определить функцию y =g(x);
3. Найти f'(y) g'(x).
Упражнение 9
Найдите производную функции:
a) у = сos(-8x+3);
б) у = сos3x;
в) у =
x 2 3x 2 ;
г) у = tg(-8x+3);
Задание10
Неверный
ответ
а) Найдите
производную
функции
у = x -5
-5x-4
Решение:
б) Найдите
производную
функции
у = x5
Решение:
5x 4
Ошибка
В определении
показателя
Верный Причина ошибки
ответ
-5x-6
В неверном
вычислении
разности: -5-1
(x -5)΄ =-5x-5-1=-5x-6
Производная
Данная функция не
5 3
найдена от
x
представлена в виде
подкоренного 2
степенной
выражения
5
3
52
5 2 1 5 2 5 3
( x )΄= x x x
x
2
2
2
5
99
в) Найдите
производную
функции
1
x2
у=
1
2x
2
x3
Данная функция не
представлена в виде
степенной
2
1
2
2 1
2 x 3 3
2 x 2 x
x
x
Решение:
г) Найдите
производную
функции y =
Производная
найдена от
знаменателя
дроби
Производная
найдена от
знаменателя
2 x
1
x
Данная функция не
представлена в виде
2x x
степенной
1
1
3
1
1 2
1
2
( x )
x
2
x
2 x3
Решение:
Производная степенной функции y= x α равна
произведению показателя (α) на степень с тем же
Для справки: основанием (x) и показателем на 1 меньше, т.е.
(x α )΄ = α x α -1
Упражнение 10
Найдите производную функции:
а) у = x -9 ;
б) у = x 7 ;
в) у =
г) y =
1
;
x3
1
3
x
.
Задание11
а) Найдите
производную
функции у =
x4(3x2+2)
Решение:
Неверный
ответ
Верный
Причина ошибки
ответ
К функции
Найдена
y = x4(3x2+2)
производная
18x5
неправильно
4x33·2x
каждого
3
+8x
применено правило
множителя
дифференцирования
произведения
произведения
4
2
4
2
2
4
3
(x (3x +2))΄= (x )΄(3x +2)+(3x +2)΄x =4x (3x2 +2) +6x·x4
=18x5 +8x3
или
4
2
6
4
(x (3x +2))΄= (3x +2x )΄=(3x6 )΄+(2 x4)΄=18x5 +8x3
Ошибка
100
б) Найдите
производную
функции у =
x x
Найдена
производная
каждого
множителя
произведения
1
2 x
3
x
2
( x x )΄ = ( x)΄ x + x( x )΄=
Решение:
в) Найдите
производную
функции
у=x2+ln5
Решение:
г) Найдите
производную
функции
y=sinx+cosπ
К функции
y = x x неправильно
применено правило
дифференцирования
произведения
x +x·
1
2 x
=
3
x
2
1
12 32
3 2 3
( x x )΄ = xx x x
x
2
2
Неверно найдена
производная
второго
слагаемого: ln5Постоянная величина
1
2x или +
2x
постоянная
ln5- принята за
5
величина, а
переменную
производная
постояной равна
нулю
2
(x +ln5)΄= (x2)΄+( ln5)΄=2x+0 =2x
Неверно
найдена
производная
второго
Постоянная
слагаемого:
величина cosπ
cosx-sinπ
cosπ cosx
принята за
постоянная
переменную
величина, а
производная
постояной
равна нулю
д) Найдите
производную
функции
f ( x) 3 a 2 3 x 2
8
в точке x =
27
0
Решение:
f΄(x) =
Производная
данной
функции от x
найдена
неверно
a x
3
2
3
2
101
1
1
Постоянная
величина
3
a принята
за
переменную
1
2
8
2
8
x 3 . f ( ) ( ) 3 1
3
27
3 27
Производная суммы двух функций (U и V) вычисляется по
формуле
Для справки
(U + V)' = U' + V',
в предположении, что производные слагаемых(U' и V')
существуют.
Иначе: производная суммы двух дифференцируемых
функций равна сумме производных этих функций.
Производная поизведения двух функций (U и V)
вычисляется по формуле
(U ∙ V)' = U'V + V'U,
в предположении, что производные множителей (U' и
V') существуют.
Упражнение 11
Найдите производную функции
а) у = x 6 (4x-3 - 1);
б) у = x3 x ;
в) у=4x+ln8;
г) y=cosx+sin3.
x2
x
12. Постройте график функции y =
Неверный ответ:
2
Y
1
X
-2
-1
0
1
2
-1
-2
Ошибка в том, что выражение
x2
не равно 1.
x
102
x 2 x , поэтому
x
x2
= .
x
x
x 1, åñëèxx 0
x2
=
x 1, åñëèx 0
x
Правильный ответ: y =
2
Y
1
X
-2
0
-1
1
2
-1
-2
13. Постройте график функции y =
x2 1
x 1
Неверный ответ:
3
Y
2
1
-3
-2
-1
X
0
-1
1
2
3
-2
-3
Ошибка в том, что данная дробь тождественно равна выражению x-1, не при
всех значениях x, а при тех значениях x, при которых знаменатель дроби не
равен нулю, т.е. при x ≠ -1
Правильный ответ:
y=
x2 1
=
x 1
x 1,
x 1
3
Y
2
1
-3
-2
-1
0
-1
X
1
2
3
-2
-3
14. Постройте график уравнения y ·│x│=│y│
103
Неверный ответ:
3
Y
2
1
-3
-2
-1
X
0
-1
1
2
3
-2
-3
Ошибка в том, что не рассмотрен случай, когда y=0.
Правильный ответ:
если у = 0, то x R, т.е. график – ось OX;
при y < 0, данное уравнение не имеет решения;
при y > 0 имеем y ·│x│=│y│ или│x│=1.
3
Y
2
1
-3
-2
-1
0
-1
X
1
2
3
-2
-3
Ответы
1.
Неверный ответ E= [-5;5].
Ошибка в том, что значение 1 и -1 синус и косинус достигают при различных
значениях аргумента.
Правильное решение: y = 2sinx +3cosx =
13 sin( x ) . Поскольку 1 sin( x ) 1, то 13 2 sin( x ) 13 , т.е.
E 13; 13
Ответ: E 13; 13 .
104
2.
Ответ x R - неверный.
Ошибка в том, что неверно решено неравенство (x+2)2 > 0.
Правильный ответ: (-∞;-2)U(-2;+∞).
3.
2
2
Ответ [ 2n; 2n], n Z - неверный.
Ошибка в том, что неверно решено неравенство lg сosx ≥ 0.
Правильное решение:
cos x 0,
x 2n, n Z
cos x 1
lg cosx ≥ 0
Ответ: x = 2n, n Z
4.
Ответ:(- ∞;0) – неверный.
Ошибка в том, что трехчлен -x2 - x - 2 имеет отрицательный дискриминант,
и это значит, что трехчлен принимает отрицательные значения, но не все, а
до ординаты вершины параболы y = -x2 -x - 2. Aбсцисса параболы
определяется по формуле x =-
b
, для данной параболы она равна - 0,5, а
2a
ординату найдем, подставив x =- 0,5 в уравнение параболы, получим y = 2,25.
Правильный ответ: (+ ∞;-2,25].
5.
Ответ: (0;+ ∞) – неверный.
Ошибка в том, что дробь y =
x 2 4 x 10
принимает положительные
x 2 4x 8
значения, (так как числитель и знаменатель ее положительные трехчлены),
но не все, а определяемые другими свойствами этой функции. y =
2
x 2 4 x 10
= 1+
, так как (x+2)2 +4 ≥ 4, и при увеличении │ x│
2
2
( x 2) 4
x 4x 8
2
0,5 ,
знаменатель (x+2)2 +4 неограниченно увеличивается, то 0
( x 2) 2 4
2
1,5 .
а 1 1
( x 2) 2 4
Правильный ответ (1;1,5].
6.
105
Ответ [-12,75; +∞) – неверный.
Ошибка в том, что найдено множество значений трехчлена y = t2 + 5t -6 на
всей области определения, а для данной функции t = cosx 1;1
Правильное решение:
Введем замену переменной t = cosx 1;1. Трехчлен y = t2 + 5t -6 убывает
при t (;2,5) от + ∞ до -12,75 и возрастает при t (2,5;) от -12,75 до
+∞ . Следовательно, при t 1;1 y = t2 + 5t -6 возрастает от значения
функции в точке x = -1 ( f(-1) = -10 до значения этого трехчлена в точке 1,
т.е. до 0.
Ответ: [-10;0].
7.
Ответ: (-∞;+ ∞) – неверный .
Oшибка в том, что найдено множество значений не данной функции, а
полученной после нетождественых преобразований, функции y = x -2.
Правильный ответ(-∞;-1)U( -1;+ ∞).
8.
Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной – неверный.
Ошибка в том, что не выполнены тождественные преобразования.
Правильное решение:
1.Область определения данной функции – все действительные числа, так
как x 2 100 x , x x .
2. f(-x) = lg ( x 2 100 x) 1 lg
100
x 2 100 x
1 1- log3 ( x 2 100 x) =
- f(x). Следовательно, данная функция – нечетная.
Ответ: функция является нечетной.
9. a) Ответ sin(-8x+3) – неверный ; ошибка в том, что не найдена производная
промежуточной функции g(x) = -8x+3 .
Правильный ответ: 8sin(-8x+3).
б) Ответ 3sin2x – неверный ; ошибка в том, данная функция не рассмотрена
как сложная f(g(x)), где g(x) =cosx, f(t)=t3. Правильный ответ: -3cos2sinx.
106
в) Ответ:
1
2 x 3x 2
2
- неверный; ошибка в том, что не найдена производная
промежуточной функции g(x) = x2 +3x -2. Правильный ответ: -
г) у = tg(-5x-1); Ответ
2x 3
2 x 2 3x 2
.
1
– неверный ; ошибка в том, что не найдена
cos (5 x 1)
2
производная промежуточной функции g(x) = -5x- 1. Правильный ответ:
5
.
cos (5 x 1)
2
10.
а) Ответ -9x -8 - неверный, ошибка в вычислении показателя степени ( нужно
-9- 1= -10), правильный ответ: -9x -10.
б) Ответ 7x 6 - неверный, ошибка в том, что производная найдена от
подкоренного выражения, для нахождения производной нужно представить
7
2
выражение x в виде x ; правильный ответ
7
в) Ответ
7 5
x .
2
1
- неверный, ошибка в том, что производная найдена от
3x 2
знаменателя дроби, для нахождения производной нужно представить
выражение
г) Ответ
1
в виде x -3; правильный ответ -3x - 4.
3
x
1
1 / 3x
- неверный, ошибка в том, что производная найдена от
2
3
знаменателя дроби, для нахождения производной нужно представить
выражение
3
1
3
4
1
в виде x ; правильный ответ x 3 правильный ответ .
3
x
1
11.
а) 36x8 – 6x5;
б) 3x2 x +
x3
2 x
;
в)4;
г) –sinx.
107
Раздел 6
Логические ошибки
Задача 1
y x 2 a
При каких значениях параметра a система
(1) имеет
x y 2 a
единственное решение?
Приводится решение.
Замечая, что если (x0; y0) – решение системы (1), то и (y0 ;x0) – также
решение системы, приходим к выводу, что условие x = y – это необходимое
условие существования у системы (1) единственного решения. А тогда,
подставляя y=x в рассматриваемую систему, приходим к неравенству x2 –x +
a ≤ 0, которое имеет единственное решение, только при условии, когда
дискриминант его левой части D = 1-4a равен нулю, т.е.когда a = 0,25.
Подставляя полученное значение параметра в систему (1), имеем
y x 2 0,25,
(2).
x y 2 0,25
Складывая почленно эти неравенства, приходим к неравенству (x0,25) +( y - 0,25)2 ≤ 0,(3), которое имеет единственное решение x = y = 0,5.
Ответ: a = 0,25.
2
Логическая ошибка в решении.
Условие равенства нулю дискриминанта 1-4a действительно является
лишь необходимым для единственности решения данной системы.
Требуется проверить, является ли это условие и достаточным. Для этого надо
убедится в том, что при a = 0,25 данная система имеет единственное
решение.
Далее: неравенства системы (2), складываются и из того, что
неравенство ( 3) имеет единственное решение делается вывод, что и система
(2) имеет единственное решение. В этом и есть логическая ошибка.
Неравенство (3) является следствием системы (2), поэтому следовало
отметить, что поскольку неравенство-следствие имеет решений не менее,
чем система (2), то система имеет не более одного решения. Убедиться в том,
что система имеет решение x = y = 0,5 следует проверкой каждого
уравнения системы.
108
Задача 2
Найдите все значения m, при которых оба корня квадратного
уравнения ( m-1)x2 +(2m -3)x – m = 0 больше 1.
Приводится решение.
Изобразим график квадратного трехчлена y =( m-1)x2 +(2m -3)x – m,
удовлетворяющего требованию задачи.
Y
X
1
Тогда по графику запишем условия, при которых обе точки
пересечения параболы с осью абсцисс расположены правее точки x = 1.
m 1 0
D 0
f (1) 0
2 m 3 1
2(m 1)
m 1 0
D 0
f (1) 0
2 m 3 1
2(m 1)
Решая эту совокупность двух систем, получим, что требуемое условие
не выполняеися ни при каких значениях x.
Ответ: не при каких значениях m.
Логическая ошибка в решении.
Сформулированые условия получены из рассмотрения графика,
удовлетворяющего требованиям задачи, т.е. если график расположен таким
образом, то выполняются перечисленные условия.
Логическая ошибка в том, что не проверено обратное: если
сформулированные условия выполняются , то корни квадратного уравнения
будут больше 1. Убедимся в этом для случая m >1. Условие D ≥ 0 означает,
что корни данного уравнения существуют; f(1) > 0 – это условие означает,
что корни уравнения либо больше числа 1, либо меньше 1, поскольку между
корнями квадратного трехчлена с первым положительным коэффициентом
его значения отрицательны; последнее условие означает, что среднее
арифметическое корней больше 1, а это означает, что больший корень тоже
больше 1, а поскольку f(1) > 0, то и меньший корень больше 1. Таким
109
образом, сформулированные условия достаточны для того, чтобы оба корня
уравнения были больше 1.
Задача 3
Найдите длину наибольшего отрезка, на котором графики функций
f(x) = 3- x 3 2 x 4 и g(x) = x 4 x 4 совпадают.
Приводится решение.
Преобразуем выражения, задающие функции:
f(x) = 3- x 3 2 x 4 = 3- ( x 4) 2 x 4 1 3 (1 x 4 ) 2 3- 1 x 4 =
2- x 4 , так как 1 x 4 >0 для x ≥ 4.
g(x) = x 4 x 4 = x 4 4 x 4 4 (2 x 4 ) 2
2 x 4 , åñëè4 x 8
2 x4
2 x 4 , åñëèx 8
Выражения, задающие функции, совпадают на отрезке [4;8].
Следовательно, на этом отрезке совпадают их графики. Длина его равна 4.
Логическая ошибка
2 x 4 , åñëè4 x 8
2 x4
2 x 4 , åñëèx 8
Знак совокупности здесь использован неверно. Правильным будет знак
системы, т.е.
2 x 4 , åñëè4 x 8
2 x4
2 x 4 , åñëèx 8
Для справки
x, åñëèx 0,
x
x, åñëèx 0
110
Задача 4
Доказать, что функция y = cos x + sin( 2 x) не периодическая.
Приводится решение.
Функция y = cosx имеет период T1=2π, а функция y = sin( 2 x) имеет
период T2=2π/ 2 = 2 π. Тогда 2πn – периоды функции y= cosx, а 2 πkпериод функции y = sin( 2 x) (n, k – целые, отличные от нуля). Тогда для
существования периода данной функции необходимо выполнение условия
2 πk =2πn, откуда 2 = 2n/k. Получили противоречие, которое доказывает,
что данная функция не имеет периода.
Логическая ошибка:
показано, что среди чисел такого вида, как 2πn и 2 πk
нет периода данной функции, однако, это еще не значит, что нет никакого
периода вообще.
Пример:
каждая из функций y =1-sinx и y =1+ sinx имеет период 2π, а сумма этих
функций имеет периодом любое действительное число.
Верное решение
Докажем методом от противного. Предположим,что существует число
T ≠ 0, такое, что cos(x + T) + sin( 2 (x+T))= cosx + sin( 2 x) для всех x.
Пусть x = 0, тогда cos T + sin( 2 T) = 1(1).
Пусть x = -T, тогда cos T - sin( 2 T) = 1(2).
Соотношения (1) и (2) выполняются одновременно. Из этих
соотношений следует, что T = 2πk и T = πn/ 2 . Приравнивая эти значения
(T≠0, и поэтому k ≠0, n ≠ 0), найдем 2
n
, то есть
2k
2 - рациональное
число. Полученное противоречие доказывает, что функция y = cosx +
sin( 2 x) не периодическая.
Задача 5
Найдите наименьший период функции y = sin 3x + tg 2x.
Решение
Основной (наименьший) период функции y = sin3x равен 2π/3, а
основной период y= tg2x равен π/2. Период суммы sin 3x + tg 2x будем искать
111
среди чисел, являющихся периодами каждой из функций, содержащих целое
число раз оба этих периода. Для отыскания среди таких периодов
наименьшего следует взять наименьшее общее кратное периодов-слагаемых,
т.е. найти наименьший отрезок, содержащий целое число отрезков длины
2π/3 и π/2.
Таким отрезком будет отрезок длины 2π.
Логическая ошибка:
Период суммы не обязательно является периодом каждого слагаемого
отдельно, например, f1(x)= sinx и f2(x)= tgx – sinx .Основной период функций
f1(x) и f2(x) равен 2π, а период суммы равен π.
Правильное решение.
Покажем, что 2π- наименьшее общее кратное периодов функций y =
sin3x и y = tg 2x является наименьшим периодом функции y = sin 3x + tg 2x
(1).
На отрезке, равном длине периода этой функции ( например, [0;2π] )
данная функция не определена в точках π/2 и 3π/2. Поэтому, основной
период должен быть кратен числу π /2. Это могут быть числа π/2, π, 3π/2,
меньшие, чем 2π. Подставляя эти значения в формулу (1) убеждаемся, что
определение периодической функции не выполняется. Следовательно,
наименьший период данной функции – 2π.
Задача 6
cos x cos y 1
Решить систему уравнений:
2
2
sin x sin y 1
Ответ: 2n; 2n, n Z ; 2n;2n, n Z - неверный.
2
2
Логическая ошибка в том, что произвольные целые числа в ответе
везде обозначаются одной и той же буквой, от этого многие решения
потеряны.
Например, при n = 0 значению x = 0 соответствует только y = π/2.
Однако, при x=0 значения y = π/2+ 2πk, где k – целое тоже удовлетворяют
данной сиистеме.
Решение
Из первого уравнения системы следует, что cos x ≥ 0, cos y ≥ 0.
112
Возведем первое уравнение в квадрат и сложим со вторым. Получим
2cosxcosy 0,
cosx cosy 1,
равносильную систему
cosx 0,
cosy 0
( k ;2n), n, k Z , (2l ; m), m, l Z
2
2
Задача 7
sin x cos y 0
Решите систему уравнений:
1
cos x sin y 2
Ответ: n; n, n Z ; n; n, n Z - неверный.
6
3
Логическая ошибка в том, что произвольные целые числа в ответе
везде обозначаются одной и той же буквой, от этого многие решения
потеряны.
Например, в данном ответе значению переменной x = 0 при n = 0
, а, на самом деле, нет зависимости между
6
целыми числами в серииях x = n, n Z и y = k , k Z , т.е. значению
6
переменной x = 0 соответствуют значения y = k , k Z .
6
соотвествует значение y =
Приведем полное решение:
cos y 0
x n, n Z
3
1
cos x
sin x cos y 0
y k , k Z
2
2
1
cos
x
sin
y
sin
x
0
2
x l , l Z
1
sin y
y m, m Z
2
6
Ответ l; m, m Z ; n; k , k Z
6
2
3
113
Раздел 7
Рациональные решения
Понятие рационального решения задачи подразумевает в
общепринятом смысле получение ответа кратчайшим путем. В отношении
же к различным конкурсным заданиям оно зависит от учебного опыта и
уровня развития школьника, цели испытания, особенностей и вида конкурса,
наконец, от специфики конкретного задания и его целей.
Рациональное решение задачи, как правило, основывается на
особенностях условия каждой конкретной задачи. Чаще всего, решающую
роль играют не те черты, на основании которых задача относится к
некоторому классу упражнений, а те, которые выделяют ее из этого класса.
Именно внимание к числовым значениям параметров, к особенностям
конфигурации, описанной условиями задачи, открывает путь простого
решения.
Решение задачи по шаблону как правило ведет к значительному
увеличению объема работы, громоздкие решения увеличивают шансы
появления ошибок.
В условиях тестового контороля признаком рационального решения
следует считать краткость решения, которая может быть достигнута за счет:
1) сокращения вычислительной части решения и громоздких
преобразований;
2) применения свойств функций, множеств;
3) графического представления математических объектов;
4)интеграции методов различных разделов алгебры и геометрии при
решени задач;
5) применения обобщенных результатов к конкретному случаю, а также
применения логических операций.
6) анализ предложенных ответов и выбор правильного.
Проиллюстрируем сказанное на примерах.
1. Сокращение вычислительной части решения и громоздких
преобразований:
a)Вычислить катет треугольника, если его гипотенуза равна c =45, а другой
катет – a =27. Вычисления выполнить без калькулятора.
Традиционно значение выражения вычисляется в указанном порядке
действий b= 452 27 2 2025 729 1296 36 ;
114
проще: b = 45 2 27 2 (45 27)( 45 27) 72 18 36 36 36 .
б)Вычисление корней квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 с четным
2
b
b
ac
2
2
вторым коэффициентом по формуле: x
сокращает
a
вычисления.
Пример:
Решить уравнение 5x2 -28x + 32 = 0
2
D
b
ac 14 2 32 5 196 160 36 6
4
2
14 6
14 6 8
4 ; x2=
.
x1 =
5
5
5
в)Применение теоремы Виета для отыскания корней квадратного уравнения.
г)Применение теоремы Виета для решения систем вида
xy n
x y m
д) Громоздкие преобразования получаются при вычислении площади
треугольника по формуле Герона.
Например, если стороны треугольника имеют длины 61,4 5 , 13 , то его
площадь равна
61 4 5 13) ( 61 4 5 13) ( 61 4 5 13) (4 5 13 61)
2
16
2
=
2
( 61 4 5 ( 13) )( 13) (4 5 61) 2 )
=
16
(61 8 5 61 80 13)( 61 8 5 61 80 13)
=
16
(8 5 61) 2 128 2
16
8 2 (305 16 2 )
16
(8 5 61 128)(8 5 61 128)
16
4 49 14 .
Задача упростится, если найти высоту треугольника. Заметим, что если BD
высота треугольника ABC, то AB2-BC2 =AD2-CD2
или 61-13 = AD2 – (4 5 -AD)2, 48 = AD2 - 80 + 8 5 AD - AD2, AD =
115
16
5
.
Из треугольника ABD найдем высоту BD =
Тогда площадь треугольника равна
61
256
7
.
5
5
1
7
4 5
14 .
2
5
2. Применение свойств функций, множеств:
a)Решите уравнение
3 x 2 9 4 x 2 16 5 x 2 25
120
x
Решение
Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, то и правая часть не
меньше нуля, а с учетом области определения дроби и корня x ≥ 5 .
При этих значениях x левая часть уравнения – функция возрастающая, а
правая - убывающая, следовательно, данное уравнение может иметь не более
одного корня. Подставим минимально возможное значение x =5, убедимся
что уравнение обращается в верное числовое равенство. Значит, x = 5 –
корень данного уравнения и других действительных корней нет.
Ответ: x =5
б) Для каждого значения a >1 решить неравенство:
ax (a-1)x -2ax+1 –(a-1)x +2a ≤ 0
Решение
ax (a-1)x -2ax+1 –(a-1)x +2a ≤ 0 (ax -1) (a-1)x -2a(ax-1) ≤ 0
(ax -1) ((a-1)x -2a) ≤ 0 (a -1)x (a-2) (x- log a-12a) ≤ 0, a ≠ 2
a 2
a 2,
x (0; log a 1 2a )
x( x log a 1 2a) 0
x (; log 2a ) (0;)
a 1
a 2, x 0;
0 a 2
1 a 2
x( x log 2a) 0
a 2, x 0;)
a 1
a (1;2), x (; log a 1 a) (0;)
Ответ: a 2, x 0;
a (2;), x (0; log a 1 2a)
116
Для справки
Знак выражения ax –at при a >1, a ≠ 1 совпадает со знаком выражения
(a-1)(x-t).
в) При каких натуральных значениях n число m =
4n 3
является целым
5n 2
числом?
Приводится решение:
m=
4
4
7
. Умножим обе части равенства на 5, получим: 5m =
5 5(5n 2)
7
.
5n 2
Теперь, очевидно, что решения задачи будут среди тех
натуральных n, при которых число 5n + 2 является делителем числа 7. Т.е. n
= 1. При этом n целым будет число 5m.
4
5
Проверим, будет ли целым число m. При n = 1: m =
7
=
5(5n 2)
4
7
1. Значит, n =1 удовлетворяет требованию задачи.
5 5(5 1 2)
Ответ: n=1
Рациональное решение
Необходимым условием того, чтобы при натуральных n число
4n 3
было
5n 2
целым является 4n+3 ≥5 n+2.
Откуда: n ≤ 1. Остается только убедиться, что при при n =1 число
4n 3
5n 2
целое.
3. Графическое представление математических объектов:
а)Решите уравнение x 3 x 4 8 .
Решение 1
Решим это уравнение методом интервалов:
a) при x <-4: -x + 3 - x- 4 = 8: x = -4,5 (-∞; -4), -4,5- корень уравнения.
117
б) при x [4;3] : -x + 3 + x+4 = 8. 7=8. Так как полученное равенство является
неверным, то на данном отрезке уравнение решений не имеет.
в) при x >3: x - 3 + x + 4 = 8: x =3,5 (3;+ ∞), т.е. 3,5- корень уравнения
Ответ: -4,5;3,3.
Решение 2
График функции h(x) =│x-3│+│x+4│ представляет собой объединение
двух лучей и отрезка, параллельного оси OX. Ординаты точек отрезка равны
│-3-4│=7.
Y
10
8
6
4
2
-6
-4
-2
X
0
2
4
6
Следовательно, прямая y = 8 пересекает график функции h(x) в двух точках –
точках пересечения с лучами. Значит, данное уравнение имеет два решения:
x-3+x+4 = 8, x =3,5; -x+3-x-4 = 8, x =- 4,5;
Ответ: -4,5;3,3.
Для справки
График уравнения h(x) =│x-a│+│x-b│, a>b.
1. при x=a h(x) =│b-a│;
2. при x=b h(x) =│b-a│;
3. при x > a, x = a+1 h(x) =│a+1-a│+│a+1-b│= 1+│a+1-b│;
4. при x <b, x = b-1 h(x) =│b-1-a│+│a+1-a│= 1+│a+1-b│;
5. при x [a; b] - отрезок, параллельный оси oX, проходящий через точку
( 0;│b-a│).
Y
X
С помощью графических представлений решается уравнение
│x-a│+│x-b│= с.
1. Если с =│b-a│, то решение – отрезок [a;b]
2. Если с < │b-a│, то уравнение решений не имеет.
118
3. Если с >│b-a│, уравнение имеет два корня.
б)При каких a уравненние (a x 2 cos
11x
) 8 ax 0 имеет на [-2;3] нечетное
4
число решений?
Решение
Произведение двух множителей равно нулю, если один из них равен нулю, а
другой при этом не теряет смысл. Поэтому данное уравнение на [-2;3]
равносильно совокупности двух систем:
8 ax 0
a x 2 cos 11x 0, (1)
4
x 2;3
8 ax 0, (2)
x 2;3
Замечаем , что функция f(x) = a –x2 –cos11π/4x четная и поэтому уравнение
(1) на симметричном множестве [-2;2] может иметь нечетное число решений
только, если x=0 – корень уравнения (1). Найдем значения a, при которых x =
0 – корень этого уравнения.
a - 0 + cos0 =0, откуда a = 1.
При a = 1 уравнение 1 имеет вид: cos11π/4x = –x2 +1и на [-2;2] имеет
нечетное число решений. Проверим, сколько решений имеет уравнение (1)
на [2;3] .
Так как (– x2 +1) [-1;1] для x [2;3] , то на [2;3] уравнение (1) решений не
имеет.
Условие 8 –ax ≥ 0 для a = 1 и x [-2;2] выполняется.
Уравнение (2) при a = 1 имеет вид 8 – x = 0 и на [-2;3] решений не имеет.
Таким образом, при a = 1 данное уравнение имеет на [-2;3] нечетное
число решений.
При a ≠1 уравненние (1) на симметричном множестве [-2;2] , если и имеет,
то четное число корней, а уравнение (2) имеет один корень, если a ≠0.
Если a = 0, то уравнение (2) не имеет корней, а уравнение (1) имеет вид
cos11π/4x = –x2 и на [-2;2] может иметь лишь четное число корней, а на [2;3]
решений не имеет, так как (– x2 +1) [-1;1], для x [2;3].
Таким образом, при a = 0 данное уравнение не имеет на [-2;3] нечетного
числа решений.
119
Если a ≠0, то уравнение (2) имеет единственный корень x = 8/a.Найдем
значения a, при которых этот корень попадает в промежуток [-2;3], т.е.
решим неравенство
-2 ≤ 8/a ≤ 3. Получим a ;4 ; .
8
3
Исследуем, сколько корней, удовлетворяющих условию задачи, для
8
a ;4 ; имеет данное уравнение, при этом будем следить за
3
возможными совпадениями корней уравнений (1) и (2).
Представим уравнение (1) в виде cos11π/4x = a – x2.
Построим график функции g(x)= cos11π/4x на [0;3] . T= 8/11. (рис.1) .
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
-4
Y
X
1
2
3
4
График функции h(x) = a – x2 если пересекает график функции на [-2;2], то в
симметричных точках относительно начала координат, поэтому будем
рассматривать этот график только на [0;3]
Будем наблюдать за абсциссами точек пересечения этих графиков при
различных значениях a.
Если a ;4, то точек пересечения нет, значит при этих a уравнение (1)
не имеет решений, а данное уравнение имеет только одно решение.
Если a 4;1 , то графики функций g и h либо не пересекаются, либо имеют
четное число точек пересечения на [-2;3], значит данное уравнение не имеет
на [-2;3] нечетного числа решений.
Если a = 1, то как уже отмечалось, данное уравнение имеет нечетное число
решений на [-2;3]. Это можно увидеть и на графиках.
Если a 1;8 / 3 , то графики функций g и h пересекаются только на [-2;2], а
значит уравнение (1) имеет четное число решений, а данное уравнение не
имеет на [-2;3] нечетного числа решений.
Если a 8 / 3;4 , то графики функций g и h пересекаются только на [-2;2], а
значит уравнение (1) имеет четное число решений на [-2;3]. Тогда данное
уравнение имеет на [-2;3] нечетное число решений.
Если a = 4, то графики функций g и h пересекаются в точках 2 и -2 на оси
абсцисс, а значит уравнения (1) и (2) имеют совпадающий корень x = 2, и
если уравнение (1) имеет корни на [2;3], то они не удовлетворяют условию
120
8-ax ≥ 0
Таким образом, при a = 4 данное уравнение не имеет на [-2;3] нечетного
числа решений.
Если a 4; , то уравнение (1) если имеет, на [-2;2] корни, то их четное
число, а если есть решения на [2;3], то они не удовлетворяют условию
8-ax ≥ 0.
Таким образом, при a 4; данное уравнение имеет на [-2;3] нечетное
число решений.
Ответ: ( -∞;-4]U 1 ;4 (4;) .
8
3
4. Интеграция методов различных разделов алгебры и геометрии при
решени задач:
а)Решите в действительных числах уравнение:
x 2 12 x 72 x 2 6 x 18
y 2 12 y 72 y 2 6 y 18
Решение
Запишем данное неравенство в виде:
( x 6) 2 36 ( x 3) 2 9 ( y 3) 2 9 ( y 6) 2 36
Левую часть равенства можно рассматривать как сумму длин звеньев
ломанной с вершинами в точках A(-6;6), B(x;0), C( 3;3), D(0;y), а правую как отрезок, соединяющий начало и конец этой ломанной.
121
По свойству ломанной ее длина больше отрезка, соединяющего ее концы.
Равенство возможно, если все точки A(6;-6), B(x;0), C( 3;3), D(0;y) лежат на
одной прямой . Точки A(6;-6) и C( 3;3) определяют эту прямую. Запишем
уравнение прямой, проходящей через эти две точки: y = -3x +12.
Точки B(x;0), D(0;y) – это точки пресечения найденной прямой с
кординатными осями. Тогда x = 4,y = 12.
Ответ: x = 4,y = 12.
б) Найдите угол наклона касательной, проведенной из точки (1,5;0,5) к
графику функции y = 2 x 2 .
Приводится решение
Так как точка A (1,5;0,5) не принадлежит графику функции, то для
определения угла наклона касательной нужно определить абсциссу точки
касания прямой с графиком функции. Обозначим эту точку M (x0;y0).
Запишем уравнение касательной к графику функции y = f(x). в точке (x0;y0):
y = f’(x0)x - f’(x0)x0 +f(x0) . Если f(x) = 2 x 2 , то f’(x0) =
уравнение касательной будет иметь вид y =
x0
2 x0
2
x-
x0
2 x0
x0
2 x0
2
2
и
2 x0 .
2
x0 +
Поскольку точка A(1,5;0,5) принадлежит касательной , то ее координаты
удовлетворяют последнему уравнеию. Подставим координаты этой точки в
уравнение, получим уравнение относительно x0:
0,5=
x0
2 x0
2
1,5-
x0
2 x0
2
x0 +
2 x0 .
2
Решая это уравнение, получаем единственный корень x0 =1.
Найдем значение производной в этой точке
f’(x0) = -1- это тангенс угла наклона касательной к оси OX, угол будет равен
135о.
Ответ 135о.
Рациональное решение:
Построим график функции y = 2 x 2 , это полуокружность с центром в
y 0,
начале координат и радиусом, равным 2 (у = 2 x 2 ,
2
2
y x 2
Проведем касательную к окружности из точки A (1,5;0,5), см. рис.
122
).
Треугольники OMB и ACB подобны. Тогда
2
OM OB
или
AC
AB
0,5
1,5 CB
0,25 CB 2
.
Решая это уравнение, получаем CB = 1. Тогда OB = 2 и из прямоугльного
треугольника OMB находим, что угол OBM равен 45˚, а смежный с ним
угол между касательной и осью OX равен 135˚.
Ответ 135о.
в) Решите неравенство
2x 2 4 x x 1 x 2
Решение
Заметим, что x = 2 – решение данного неравенства. Заменим левую часть
неравенства на большее выражения при x > 2. По неравенству между
средним арифметическим и средним квадратичным будем иметь:
2
2x 2 4 x3 x 2
x 2 2( x 3 x 2 4) x 4
2
x 4 2 x 3 2 x 2 8 0 ( x 2) 2 ( x 2 2 x 2) 0 .
Последнее неравенство
справедливо только при x = 2, поскольку это неравенство является
следствием данного, то данное неравенство других решений не имеет.
Ответ: x = 2
5. Применения обобщенных результатов к конкретному случаю, а также
применения логических операций:
а) Сравните log34 и log56
123
Приводится решение
Сравним log34 с числом 5/4. 5/4 = log3 35/4 =
log 3 4 35 log 3 4 243 log 3 4 4 4 log 3 4 256 , т.е. log34 > 5/4.
Сравним log5 6 с числом 5/4. 5/4 = log5 55/4 =
log 5 4 5 5 log 5 4 3125 log 5 4 6 4 log 3 4 1296 , т.е. log56 < 5/4.
Таким образом, log34 > log56.
Рациональное решение
Рассмотрим функцию f(x) =logx (x+1). Нужно сравнить f(5) и f(3).
Исследуем эту функцию на монотонность:
1
x(ln( 1 ) ln( x 1)
x
log x ( x 1) ln( x 1)
0 для x >1, значит для
x( x 1) ln( x 1)
ln x
натуральных n эта функция монотонно убывает, т.е. f(5) <f(3).
Таким образом, log34 > log56.
б) При каких значениях параметра a система
x 2 4ax 3a 2 1 2a
(1) имеет хотя бы одно решение ?
2
x 2ax 3a 2 8a 4
Решение 1
Рассмотрим квадратные трехчлены f(x) = x2 + 4ax +3a2 -1-2a (1) и
g(x) = x2 +2ax - 3a2 +8a -4 (2).
Корни первого трехчлена x1= -3a -1, x2=-1+a.
Тогда решение первого неравенства системы будет объединение двух
промежутков (-∞;-3a-1) и (-a +1; +∞) при условии -3a-1 ≤ -a +1, или (-∞;-a+1)
и (-3a -1;+∞) при условии -3a-1 ≥-a +1.
У второго трехчлена корни так же существуют: x3 = -3a+2 и
x4 = a-2. Поэтому решение второго неравенства - интервал ( -3a+2;a-2) при
условии -3a+2 ≤ a -2 или ( a-2;-3a+2) при условии -3a+2 ≥a -2.
Для того, чтобы система имела хотя бы одно решение достаточно, чтобы
объединение двух промежутков и интервал имели общие точки. Рассматрим
все возможные случаи:
124
3a 1 a 1
1. 3a 2 a 2
3a 1 3a 2
a 1 a 2
a 1
a 1
3 0
2a.3
a 1
3 0 a (1,5;)
a 1,5
3a 1 a 1
2. 3a 2 a 2
a 1 a 2
3a 1 3a 2
a 1
a 1 a ;1
a 1,5
3 0
3a 1 a 1
3. 3a 2 a 2
3a 1 a 2
3a 2 a 1
a 1
a 1;0,5
a 1
a 0,25
a 0,5
Объединяя все найденные промежутки, получим ответ a (;0,5) (1,5;) .
Ответ: a (;0,5) (1,5;) .
Решение 2
Рассмотрим противоположную задачу: при каких значениях параметра a
система (1) не имеет решений? Это значит, что корни второго трехчлена
дожны находиться между корнями первого или совпадать с ними. Для этого
достаточно, чтобы выполнялось условие ( см. рис.)
Y
X
x1
x4
125
x3
x2
6a 3 0
f ( x4 ) 0
2
a (0,5;1,5)
f ( x3 ) 0
8a 14a 3 0
Тогда система (1) будет иметь хотя бы одно решение при
a (;0,5) (1,5;) .
Ответ: a (;0,5) (1,5;) .
Далее приводятся примеры задач с несколькими решениями.
Решения с номером 1 встречаются во многих учебных пособиях,
приводятся абитуриентами на экзаменах. Решения с номером 2 или 3 –
рациональные.
6.Решите уравнение :
x 3 2 x 1 2 3x 0
Решение1
Найдем нули многочленов, стоящих под знаком модуля:
x- 3 = 0, x =3. 2x + 1= 0, x = -0,5.
Эти точки разбивают ось OX на три промежутка. Решим данное уравнение
на каждом из промежутков.
x 0,5
x 0,5
x 3 2 x 1 2 3 x 0
x 1
0,5 x 3
0,5 x 3
x 3; .
x 3 2 x 1 2 3 x 0
x 3
x 3
x 3
x 3 2 x 1 2 3 x 0
3x 2 2 3 x 0
Ответ: x 3;
Решение 2
x 3 2x 1 2 3x x 3 2x 1 ( x 3) (2 x 1)
x 3
x [3;) .
x 0,5
Ответ: x 3;
126
Для справки:
Свойство модулей: │a│+ │b│≥ a + b, равенство достигается при условии
a ≥ 0, b ≥ 0.
7.Решите уравнение:
x 2 3 2x 5 x 2 2x 5 2 2
Решение 1
Сделаем замену: 2 x 5 y, y 0 тогда y 2 2 x 5.
Выразим переменную x через y. x = (y2 +5)/2. Подставим в исходное
уравнение:
y2 5
2 3y
2
y2 5
2 y 2 2
2
y2 5 4 6y
2
y2 5 4 2y
2 2
2
Приведя подобные слагаемые и умножив обе части уравнения на 2 ,
получим равносильное уравнение
y 2 6 y 9 y 2 2 y 1 4 ( y 3) 2 ( y 1) 2 4 y 3 y 1 4.
Воспользуемся тем, что y ≥0. Тогда уравнение примет вид
y 0,
y 1 y 3 4
По определению модуля 0 ≤ y ≤ 1 . Вернемся к
y 1 1 y
подстановке: 0 2 x 5 1,0 2 x 5 1, тогда 2,5 x 3 . Ответ: [2,5;3].
Решение 2
Выделим под знаком корней квадраты двучленов, предварительно
умножим и разделим подкоренные выражения на 2:
2( x 2 3 2 x 5 )
2
x 2 2x 5
2 2 , далее
2
2x 4 6 2x 5)
2x 4 2 2x 5
2 2,
2
2
(2 x 5) 2 3 2 x 5 ) 9
2x 5 2 2x 5 1
2 2,
2
2
( 2 x 5 3) 2 ( 2 x 5 1) 2 4 , откуда
2x 5 3
2x 5 1 4 .
2 x 5 1 1 2 x 5 , по свойству модуля числа будем иметь: 0 2 x 5 1 ,
решение этого неравенства:
x 2,5;3
127
8.Решите уравнение:
x 5 3 3x 1 100 x 5 3 3x 1 104 (1)
Решение 1
Все корни исходного уравнения содержатся среди корней совокупности
уравнений:
x 5 3 3 x 1 100 x 5 3 3 x 1 104
, которые запишем в виде
x 5 3 3 x 1 100 x 5 3 3 x 1 104
x 5 3 3x 1 x 5 3 3x 1 4
.
x 5 3 3 x 1 x 5 3 3 x 1 204
Корни полученной совокупности уравнений содержаться среди корней
совокупности уравнений:
x5
5
x
5
x
x5
3 3x 1 x 5 3 3x 1 4
3 3x 1 x 5 3 3x 1 4
3 3 x 1 x 5 3 3 x 1 204
3 3 x 1 x 5 3 3 x 1 204
5
Решая полученные уравнения, найдем : x1 =3, x2 = 5 2 , x3 = 102 ,
1
3
x4 = (102 3 1) . Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся , что
подходит только x1 =3.
Ответ: 3
Решение 2
Уравнение (1) имеет решение, если его правая часть неотрицательна, т.е.
x5 3 3x 1 104 ≥ 0. Поскольку функция y = x 5 3 3x 1 104 возрастающая, то
она принимает положительные значения при x , не меньших двух ( при x =2
y= 32 3 5 104 0 ), и - навярняка при x ≥3 ( при x = 3, 243 3 8 104 0 , т.е.
решения уравнения (1) необходимо удовлетворяют условию x > 2.
При этих x x5 3 3x 1 = x 5 3 3x 1 , и уравнение (1) сводится к решению
уравнения x 5 3 3x 1 100 x 5 3 3x 1 104 (2) при x > 2.
128
Корни уравнения (2) содержатся среди решений совокупности двух
уравнений:
x 5 3 3x 1 100 x 5 3 3x 1 104
(3)
5 3
5
3
x 3x 1 100 x 3x 1 104
Первое уравнение совокупности имеет решение x = 3, а второе - x = 5 102 .
Очевидно, что x = 3 – корень уравнения (2), а следовательно, и (1). Второй
корень следует проверить.
Проверка: 102 3 35 102 1 100 = 102 3 35 102 1 104 ,
2 3 35 102 1 =
3
35 102 1 2 , полученные числовые равенства неверны, так
как 3 3x 1 2, при x =3, а 5 102 <3, т.е. 3 35 102 1 2 <0 ; значит, число 5 102 не корень данного уравнения.
Ответ: x =3
9. Найдите сумму корней уравнения sinx + cosx = 1, принадлежащих
промежутку [0;π].
Решение 1
2
2
2
sinx +
cosx =
.
2
2
2
2
2
Заменим
на sinπ/4 и cos π/4: cos π/4sinx + sin π/4cosx =
или по
2
2
2
формуле синуса суммы sin(x+ π/4) = . Далее по формуле для решения
2
Умножим обе части урвнения на
2
, получим
2
простейшего тригонометрического уравнения будем иметь:
x+ π/4 = (-1)k π/4 +πk, k Z , x = - π/4 + (-1)k π/4 +πk, k Z . Найдем, какие из
корней этой серии принадлежат отрезку [0;π].
При k=0:
x = - π/4 + (-1)0 π/4 , x = 0;
при k=1: x = - π/4 + (-1)1 π/4 + π = π/2;
при k=2: x = - π/4 + (-1)2 π/4 + 2π =2 π.
Корни 0 и π/2 принадлежат отрезку [0;π]. Их сумма равна π/2.
Ответ: π/2.
Решение 2
Используем свойства функций y =sinx и y = cosx на [0;π].
129
Так как множество значений этих функций отрезок [-1;1], а для х из (π/2; π]
значения cosx отрицательны, то на этом интервале уравнение sinx + cosx = 1
не имеет решений. В интервале (0; π/2) решений нет, поскольку значения
синуса и косинуса на этом интервале численно равны катетам
прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 1. Остается
проверить x=0 и x= π/2. Эти значения являются решениями данного
уравнения на отрезке [0;π]. Их сумма равна π/2.
Ответ: π/2.
10.Решите уравнение:
4
17 x 4 x 15 4 (1)
Решение 1
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим равносильное уравнение
17 x x 15 16 24 (17 x)( x 15) (2). После возведения этого уравнения в
квадрат, перейдем к уравнению 112 324 (17 x)(15 x) (17 x)(15 x) 0 (3),
являющемуся следствием уравнения (2). Сделав замену переменной
y 4 (17 x)(15 x) получим уравнение u2 - 32u +112 =0.
Решения этого уравнения u1= 4, u2= 28.
Следовательно, приходим к совокупности двух уравнений
4 (17 x)( x 15) 4,
,
4 (17 x)( x 15) 28
которая является следствием уравнения (3).
Первое уравнение совокупности имеет единственное решение x=1.
А второе – решений не имеет. Подставив в исходное уравнение x=1,
убеждаемся что он является корнем исходного уравнения.
Ответ: 1.
Решение 2
Заметим, что сумма подкоренных выражений равна 32, поэтому
целесообразна такая замена:
4
17 x m,
тогда m 4 n 4 32, а m + n = 4 и данное уравнение равносильно
15 x n
m 0,
n 0,
системе 4 4
m
n
32
,
m n 4.
4
m 0
m 0,
n 0
n 0,
2
2 2
2 2
m n 4,
(m n ) 2m n 32
(16 2mn) 2 2m 2 n 2 32
m 2 n 2 16 2mn
Последнее уравнение имеет решения mn = 28 или mn = 4, учетом с
130
уравнения m + n = 4. Получаем, m =n =2.
4
17 x 2,
4
15 x 2
откуда x=1.
Решение 3
Пременим к левой части уравнения неравенство между средним
арифметическим и средним квадратичным двух неотрицательных чисел:
4
17 x 4 15 x
2
17 x 15 x 4 17 x 15 x
2 . Равенство достигается
2
2
при условии равенства слагаемых, т.е. 17-x = 15+x, откуда x =1.
Для справки:
Неравенство между средним арифметическим и средним квадратичным двух
ab
положительных чисел:
2
a2 b2
, a > 0, b>0.
2
11. Найдите, при каких значениях р уравнение 1+ рsinx = р2 – sin2x имеет
решения.
Решение 1
Обозначив sinx через y, получим уравнение 1+ рy= р2 –y2 или
y2 + py – p2 +1= 0.
Тогда, c учетом множеств значений sinx и cosx, задача сведется к следующей:
при каком значении p хотя бы один корень данного уравнения принадлежит
промежутку [-1;1] ?
Это условие выполняется в двух случаях:
1. Ровно один корень принадлежит этому промежутку.
2. Оба корня принадлежат этому промежутку.
Рассмотрим сначала случаи, когда корень уравнения равен 1 или -1, т.е. 1+ p
- p2 +1 = 0 или 1- p - p2 +1 = 0, откуда p = -2, -1, 1,2.
Теперь условия 1. и 2. будем рассматривать на интервале (-1;1).
131
Условие 1. выполняется тогда и только тогда, когда значения квадратного
трехчлена y2 + py – p2 +1 на концах интервала (-1;1) разных знаков, т.е.
(p2-p-2) (p2+p-2) < 0.
Решая это неравенство, получим p (2;1) (2;1)
Для второго случая должны выполняться следующие условия:
значения квадратного трехчлена в точках x = 1 и x =1 должны быть
положительны; дискриминант квадратного трехчлена неотрицателен;
абсцисса вершины параболы также принадлежала промежутку(-1;1).
Все эти условия запишем в виде системы:
2 p p 2 0,
2
2 p p 0,
2 5 2 5
p 1;
;1
5 p 2 4 0,
5
5
1 p 1
2
2 5
2 5
Объединяя все найденные решения, получим ответ: p 2;
2;
5
5
Решение 2
Обозначив sinx через y, получим уравнение 1+ рy= р2 –y2 или
y2 + py – p2 +1= 0.
Тогда, c учетом множеств значений sinx и cosx, задача сведется к следующей:
при каком значении p хотя бы один корень данного уравнения принадлежит
промежутку [-1;1] ? Сформулируем и решим противоположную задачу:
при каком значении p ни один корень данного уравнения не принадлежит
промежутку [-1;1] ?
Это условие выполняется тогда и только тогда, когда значение квадратного
трехчлена y2 + py – p2 +1 в точках x =-1 и x = 1 отрицательны, т.е. найдем
значения p, удовлетворяющие системе:
2 p p 2 0
p (;2; ) (2;)
2 p p 2 0
Логическая ошибка допускается, если в качестве значений p,
132
при которых хотя бы один корень данного уравнения принадлежит
промежутку [-1;1], берутся все p, принадлежащие интервалу (-2;2).
Причина в том, что отрицанием условия «ни один корень данного уравнения
не принадлежит промежутку [-1;1]» будет объединение двух условий : либо
корней нет вообще, либо хотя бы один корень данного уравнения
принадлежит промежутку [-1;1].
Поскольку нужен ответ на второй вопрос, то исключим из интервала (-2;2).
те значения параметра p, при которых корни уравнения y2 + py – p2 +1= 0.
2 5 2 5
.
;
не существуют, т.е. D < 0 . D = 5p2 -4<0 p
5
5
2 5
2 5
Получим ответ p 2;
2;
5
5
12. Решите уравнение
x a a x (1)
Решение 1
Проведем цепочку равносильных преобразований
x a ( x 2 a) 2 ,
a 2 (2 x 2 1)a ( x 4 x) 0
x 0
xa a x
x 0,
x 0,
2
xa a x
x 2 a 0.
x 2 a 0.
Решая первое уравнение последней системы как квадратное относительно a,
получим равносильную систему:
a 0,
x 2 x 1 a,
2
2
x x 1 a 0
x 1 1 4a
x
x
a
1
1
4
a
2
2
x
x 0, x 1 0
x a 0,
2
x 0,
0 a 0,25
x 0
x 0, a 0,25
x 2 x a 0
x 1 1 4a
2
Решение 2
Левую часть данного выражения можно рассматривать как функцию
y = f(f(x)), где f(x) = x a .
Тогда данное уравнение (1) имеет вид f(f(x)) = x Поскольку функция
f(x) = x a монотонно возрастает, то уравнение (1) равносильно уравнению
x a = x (2). (cм. справку).
133
Возведем обе части уравнения (2) в квадрат и решим полученное уравнение
x2 – x + a = 0 (3) относительно x .
D = 1-4a ≥ 0 при a ≤ 0,25 поэтому уравнение (3) имеет корни
x1,2 =
1 1 4a
при a ≤ 0,25. Уравнение (2) имеет корни уравнения (3), если
2
они удовлетворяют условию x ≥ 0. При a < 0 такой корень только один
1 1 4a
, при 0≤a < 0,25 корней два, при a = 0,25 корень равен 0,5.
2
1 1 4a
Окончательно получаем ответ: при a (;0) x =
,
2
1 1 4a
при a [0;25) x1,2 =
,
2
x=
при a = 0,25 x =0,5,
при a (0,25;) решений нет.
Для справки
Уравнение f(f(x))= x равносильно на области определения функции f(x)
уравнению f(x) = x, если функция y = f(x) строго возрастающая на области
определения.
Доказательство:
Если xo – корень уравнения f(x) = x, то f(xo) = xo – верное числовое
равенство. Покажем, что f(f(xo))= xo - тоже верное числовое равенство, т.е.
xo – корень уравнения f(f(x))= x.
Так как f(xo) = xo верное числовое равенство, а функция y = f(x) строго
возрастающая, то верно и равенство f(f(xo)) = f(xo). Поскольку f(xo) = xo, то
f(f(xo)) = xo- верное числовое равенство, таким образом, xo – корень
уравнения f(f(x))= x.
Покажем обратное: если xo- корень уравнения f(f(x))= x, т.е. f(f(xо))= xо –
верное числовое равенство, то f(xo) = xo – тоже верное числовое равенствао,
т.е. xo- корень уравнения f(x) = x.
Предположим, что это не так, т.е. f(xo) ≠ xo . Пусть f(xo) > xo.
Тогда, так как функция f(x) сторого возрастающая, получим f(f(xo)) > f(xo).
По предположению f(xo) > xo, тогда по свойству числовых неравенств
f(f(xo)) > xo, что противоречит данному условию f(f(xо))= xо.
Пусть f(xo) <xo.
Тогда, так как функция f(x) сторого возрастающая, получим f(f(xo)) < f(xo).
По предположению f(xo) < xo, тогда по свойству числовых неравенств
f(f(xo)) < xo, что противоречит данному условию f(f(xо))= xо.
Таким образом, остается только случай равенства f(f(xо))= xо.
134
Итак, каждый корень уравнения f(x) = x является корнем уравнения f(f(x))= x
и обратно: каждый корень уравнения f(f(x))= x является корнем уравнения
f(x) = x. Таким образом, уравнения f(f(x))= x и f(x) = x равносильны.
Замечание.
Утверждение, аналогичное приведенному, неверно в случае, если функция
f(x) – убывающая. Например, пусть f(x) = -x убывающая функция на всей
област определенеия. Тогда уравнение f(x) = x имеет вид x = -x и имеет
единственный корень x = 0. Уравнение f(f(x))= x имеет вид
x = x и имеет бесчисленное множество корней.
13. Решите уравнение:
x 3 x 1 1 (1)
Решение 1
Перепишем исходное уравнение в виде: 1 x 3 x 1 .
Возведем в куб левую и правую части уравнения :
x-1 = 1- 3 x 3x x x x (3 x) 2 2 x , которое с учетом О.Д.З. переменной
равносильно системе
x 0
x 0
3
2
x(3 x) (2 2 x)
x 2x x 4 0
x 0
x 1.
2
( x 3x 4)( x 1) 0
Ответ:1
Решение 2
Заметим, что число x = 1- корень данного уравнения
Расмотрим функцию f(x) = x 3 x 1 (2)
На всей области определения [0; +∞ ) функция возрастает и непрерывна.
По теореме о промежуточном значении функции каждое свое значение
функция принимает только один раз, значит x=1 – единственный корень
данного уравнения.
Ответ:1
135
14. Решите уравнение
3
x 1 3 x 2 3 x 3 0 (1)
Решение 1
Перепишем уравнение в виде 3 x 1 3 x 2 3 x 3 . Возведя обе части в куб,
получим равносильное уравнение
x 1 x 2 33 x 2 3 x 1(3 x 1 3 x 2 ) x 3.
(2)
Воспользовавшись тем,что по условию 3 x 1 3 x 2 3 x 3 , получим
уравнение 3 x 13 x 2 3 x 3 2 x (3), которое является следствием
уравнения (2).
Возведя обе части уравнения (3) в третью степень, получим:
(x+1)(x+2)(x+3)=-(x+2)3 ( x 2)( x 2 4 x 3 x 2 4 x 4) 0,
корни последнего уравнения -2,
1
2
2.
Подстановкой убеждаемся, что корнем является только x = -2.
Ответ: x=-2
Решение 2
Заметим, что x = -2 – корень данного уравнения .
Расмотрим функцию f(x) = 3 x 1 3 x 2 3 x 3 (2)
На всей области определения (-∞; + ∞ ) функция возрастает и непрерывна.
По теореме о промежуточном значении функции, каждое свое значение
функция принимает только один раз, значит x = -2 – единственный корень
данного уравнения.
Ответ: x = -2
15.Решите уравнение
x3 8 4 x3 8 6
Решение 1
136
4 x 3 8 y
4 x 3 8 y
y 2
3
4
Полагаем у= x 8 . Тогда y 0
y2 y 6 0
y 3
y 0
Итак, 4 x3 8 =2 х=2.
Ответ: x = 2
Решение 2
Заметим, что x = 2 – корень данного уравнения .
Расмотрим функцию f(x) = x 3 8 4 x 3 8 (2)
На всей области определения [-2; +∞ ) функция возрастает и непрерывна.
По теореме о промежуточном значении функции каждое свое значение
данная функция принимает только один раз, значит x = 2 – единственный
корень данного уравнения.
Ответ: x = 2
16. Решите неравенство:
logx+2 (9x2+15x-6) <2
Решение 1
Неравенство равносильно совокупности двух систем:
x 2
x 5
8
x 2 1,
2 x 1
x 2 1,
2
8 x 11x 10 0
2
2
0 9 x 15 x 6 ( x 2)
2
3 x 5 x 2 0
0 x 2 1,
x 1
2 x 1,
9 x 2 15 x 6 ( x 2) 2
2
2 x 5
8 x 11x 10 0
8
x 2
1
x
3
137
1
x 3
1 5
;
3 8
x 5
8
Решение 2
Данное неравенство равносильно системе:
x 2 0
2
9 x 15 x 6 0
x 2 1
( x 1)(9 x 2 15 x 6 x 2 2 ) 0
x 2
x 2
1
x
1 5
3
x( ; )
3 8
x 1
5
1 x
8
x 2
x 2
2
3 x 5 x 2 0
x 1
( x 1)(8 x 2 11x 10) 0
Для справки
Знак выражения loga t1- loga t2 совпадает со знаком выражения (a-1)(t1-t2) при
условии, что a > 0, a ≠ 1, t1>0, t2>0. Покажем это:
1.Пусть a >1, тогда функция y= loga t – возрастающая и если t1>t2>0, то
loga t1- loga t2 > 0, а если t2>t1>0, то loga t1- loga t2 < 0. При a >1 a-1> 0 и если
t1>t2, то (a-1)(t1-t2) > 0, а если t2>t1, то (a-1)(t1-t2) <0, т.е. знак выражения
loga t1- loga t2 совпадает со знаком выражения (a-1)(t1-t2).
2. Пусть 0 <a <1, тогда функция y= loga t - _ убывающая и если t1>t2>0, то
loga t1- loga t2 , 0, а если t2 > t1>0, то loga t1- loga t2 > 0. При a <1 a-1< 0 и если
t1>t2, то (a-1)(t1-t2) <0, а если t2>t1, то (a-1)(t1-t2) >0, т.е. знак выражения
loga t1- loga t2 совпадает со знаком выражения (a-1)(t1-t2).
17. При каких значениях параметра a неравество
x a x 4 8 равносильны?
138
2 x 8 x и уравнение
Решение 1
Решим неравенство 2 x 8 x . При x < 0 решениями неравенства будут
все x, принадлежащие области допустимых значений: 2x + 8 ≥0, т.е.[-4;0).
При x ≥ 0 возведем обе части неравенства в квадрат: 2x + 8 ≥ x2.
Откуда x2 -2x-8 ≤ 0 или (x-4)(x+2) ≤ 0, тогда x [0;4] . Объединив
полученные результаты, получаем x [4;4] . Значит решением уравнения
должны быть любые значения x, изпромежутка [-4;4].
Найдем «подозрительные» значения параметра a, потребовав чтобы
уравнение обращалось в верное равенство при некотором «удобном»
значении x из отрезка [-4;4].
Положив x=0, получим │a│+4 = 8, откуда a = ± 4. Таким образом, если
уравнение и имеет решением отрезок [-4;4], то только при a = ± 4.Провери
эти значения a. При a = 4 уравнение имеет вид 2│x+4│=8, т.е.x1=0; x2 =-8,
Cледовательно, a = 4 не является решением задачи.
При a = -4 имеем x 4 x 4 8 .
Решая последнее уравнение методом интервалов, получим:
a)при x <-4: -x + 4 - x- 4 = 8: x= -4 (-∞; -4), т.е. если x < -4, то уравнение
решений не имеет.
б)при x [4;4] : -x + 4 + x+4 = 8. Так как полученное равенство является
тождеством, то решением является весь отрезок.
в) при x >4: x - 4 + x + 4 = 8: x =4 (4;+ ∞), т.е. если x >4, то уравнение
решений не имеет.
Итак, при a = -4 решением уравнения является отрезок [-4;4], т.е. a=-4 –
решение задачи.
Ответ: a =-4
Решение 2
Решим неравенство 2 x 8 x . Для этого построим графики функций
f(x) = 2 x 8 , и g(x) = x .
6
Y
4
2
-6
-4
-2
0
-2
X
2
4
6
-4
-6
График f(x) = 2( x 4) получен параллельным переносом графика функции y
= 2 x на 4 единицы влево вдоль оси оX.
График g(x) = x- прямая, проходящая через начало координат.
Ясно, что решениями неравенства будут те значения x, для которых первый
график расположен выше второго, т.е. x [4;4] .
139
График левой части уравнения x a x 4 8 , т.е. функции h(x)
=│x+a│+│x+4│ представляет собой объединение двух лучей и отрезка
длины │a-4│, параллельного оси OX и проходящего через точку (0; │a-4│),
Для того, чтобы решением данного уравнения был отрезок
необходимо, чтобы │a-4│=8, а для того, чтобы отрезок имел концы в точках
-4 и 4 достаточно, чтобы a = -4.
Ответ: a =-4
18.Найдите количество целых решений неравенства
log2+x (6-│x│) ≥ 0
Решение 1
Перепишем данное неравенство, заменив значение 0 на log2+x 1, получим
log2+x (6-│x│) ≥ log2+x1.
Следует учитывать, что логарифмическая функция y = loga x возрастает
при a >1 и убывает при 0 < a <1. Поэтому от исходного неравенства перейдем
к двум системам:
2 x 1,
6 x 1
x 1,
или
x 5
x 1,
5 x 5
x 1;5
0 2 x 1,
06 x 1
2 x 1,
5 x 6
2 x 1,
6 x 5
5 x 6
xO
Целыми числами неравенства являются: 0,1,2,3,4,5.
Ответ: 6.
Решение 2
Заметим, что целые числа из области определения функции
y = log2+x (6-│x│) – это числа от нуля до шести ( включая ноль и не включая
шесть). Действительно, условия x + 2 > 0, x+2 ≠ 1, 6-│x│> 0 определяют
эти целые числа. При этих x функция y = log2+x (6-│x│) убывает, а так как
при x=5 значение функции равны нулю, то при x < 5 log2+x (6-│x│) > 0.
Т.е. целые решения – это целые числа из области определения функции:
0;1;2;3;4;5;
Ответ: 6
140
19. Решите уравнение:
cos 2 sin x sin 2 x
0 .
1 sin 3 x
В ответ запишите количество корней на промежутке
[0;2π]
Решение 1
cos x 2 sin x sin 2 x 0 cos x 2 sin x 2 sin x cos x 0 cos x(1 2 sin x 2 sin x) 0
,
,
,
1 sin 3x 0
1 sin 3x 0
1 sin 3x 0
Таким образом, система уравнений распадается на две системы:
cos x 0
1 2 2 cos 2 x 0
, или
,
3
x
2
n
,
n
Z
3
x
2
n
,
n
Z
2
2
2
1
x
n
,
n
Z
cos
2
x
6 3
2
,
2
n
x m, m Z
x
,n Z
1 2
6
3
2
x 2,3 6 3 k , k Z
,
x 2n , n Z
6
3
Используя тригонометрический круг единичного радиуса, найдем корни
уравнения, принадлежащие заданному в условии промежутку [0; 2π]
Такими корнями являются числа
5 3
6
,
6
,
2
. В ответе запишем количество
корней.
Ответ: 3
Решение 2
Заметим, что отрезок [0;2π] имеет длину периода функции, стоящей в левой
части данного уранения. Поэтому решим уравнение на этом периоде.
cos x 2 sin x sin 2 x 0,
cos x 2 sin x sin 2 x
0
К произведению 2sinx·sin2x
1 sin 3x 0,
1 sin 3x
x [0;2 ]
x [0;2 ]
применим формулу произведения синусов: 2sinxsin2x = сosx-cos3x,
получим систему,равносильную предыдущей:
141
x 6
cos 3 x 0,
x [0;2 ]
x [0;2 ]
5
x
sin 3 x 1,
2k
6
x [0;2 ]
3 x 2 2k , k Z
x 6 3 , k Z
x 3
2
Ответ: 3
20.Решить уравнение
2 x 18 4 x 3 15
Решение 1
Используя метод возведения обеих частей уравнения в одну и туже степень,
решим данное иррациональное уравнение:
О.Д.З. x ;
4
3
2 x 18 15 4 x 3 ,
4( x 8) 225 30 4 x 3 4 x 3,
150 30 4 x 3 ,
5 4 x 3,
25 4 x 3,
x 7.
Проверка:
2 7 18 4 7 3 15
2 5 5 15
15 15
Значит, значение x =7 является корнем уравнения.
Ответ: 7
Решение 2
Заметим, что функция y =2 x 18 4 x 3 возрастает на всей области
определения, поэтому, если данное уравнение имеет корень, то только один.
Поищем его среди целых чисел, не больших 7. Как раз 7 – подходит, по
теореме о корне – 7 – единственный корень данного уравнения.
Ответ: 7
142
21. Дано двузначное число. Число его единиц на 3 меньше числа десятков.
Произведение этого числа на число, записанное теми же цифрами в обратном
порядке, равно 574. Найдите это число.
Решение1
Пусть x – цифра десятков этого числа, y – цифра единиц, тогда по условию
задачи получаем уравнение x - y =3. Данное число имеет вид 10 x + y,
число, записанное этими же цифрами, но в обратном порядке имеет вид
10 y + x. Тогда по условию задачи имеем уравнение:
(10 x + y) (10 y + x)=574. Имеем систему:
x y 3
(10 x y )(10 y x) 574
Решая эту систему, получим x = 4 , y = 1.
Ответ: 41
Решение 2
Представим число 574 в виде произведения двух двузначных чисел.
574 = 2·7·41= 14·41 – и это единственный способ разложения этого числа на
произведение двух двузначных чисел. При этом число единиц у 41 на 3
меньше числа десятков. Значит, число 41 – искомое.
Ответ: 41
22. Найти натуральные числа, образующие арифметическую прогрессию,
если произведение трех и четырех первых ее членов равны соответственно 6
и 24.
Решение 1
По условию задачи a1 a2 a3 = 6, a1 a2 a3a4 = 24. Разделим второе уравнение на
первое, получим, что четвертый член равен a4 = 4, или 4 = a1+3d, откуда
a1 = 4 - 3d. Подставим выражение для a1 в первое уравнение, получим:
(4-3d)(4-2d) (4-d) =6 или (4-3d)(2-d) (4-d) =3 или -3d3 +22d2 -48d +29 = 0,
решая это уравнение, получим d = 1. Тогда a1 = 4 - 3d =1, a2 =2, a3 = 3.
Ответ: 1; 2;3.
Решение 2
Очевидно, что число 6 может быть представлено в виде произведения трех
натуральных чисел только двумя различными способами: 1·2·3 и 1·1·6.
143
Но числа 1, 1, 6 не являются членами арифметической прогрессии, а числа
1,2,3, записанные в указанном порядке, являются членами арифметической
прогрессии. Как видно, второе условие, касающееся произведения четырех
членов является даже лишним.
Ответ: 1; 2;3.
23. После деления некоторого двузначного числа на сумму его цифр в
частном получается 7 и в остатке 6. После деления этого двузначного числа
на произведение его цифр в частном получается 3 и в остатке 11. Найдите это
двузначное число.
Решение 1
Пусть x – число десятков искомого числа, y – число единиц. Тогда данное
число имеет вид: 10x + y. Так как после деления некоторого двузначного
числа на сумму его цифр в частном получается 7 и в остатке 6, то
10x + y = 3x·y + 11
После деления этого двузначного числа на после деления этого двузначного
числа на произведение его цифр в частном получается 3 и в остатке 11, то
10x + y = 7(x+y) + 6.
Решим систему:
x 8;
x 2 y 2
x 2 y 2
10 x y 3xy 11
y 3
2
x 1;
y 3; y 0,5
10 x y 7( x y ) 6
6 y 15 y 9 0
y 0,5
Так как x и y – это цифры числа, то подходят только значения x=8; y=3.
Искомое число 83.
Ответ: 83.
Решение 2
Обозначим x и y соответственно число десятков и число единиц данного
числа, тогда по второму условию 10x + y = 3xy + 11. Из этого равенства
выразим x =
11 y
, так как x и y – это цифры числа, то у может принимать
10 3 y
только значения 0, 1, 2, 3. Подставляя в это равенство указанные значения,
получим, что только при y = 3, получается натуральное число x=8.
Следовательно, 83- искомое число. Как видно, первое условие
является даже лишним.
Ответ: 83.
144
24.Два велосипедиста выехали одновременно из пунктов A и B навстречу
друг другу и встретились в 70 км от А. Продолжая движение с теми же
скоростями, они достигли конечных пунктов и, отдохнув равное время,
вернулись назад. Вторая встреча произошла в 90 км от B. Найдите
расстояние от A до B.
Решенеие 1
Пусть расстояние между городами S. Cорость первого велосипедиста x,
второго - y. Время движения первого велосипедиста до первой встречи
70
s 70
70 s 70
, второго
. По условию задачи получаем уравнение:
.
x
y
x
y
Расстоянине, пройденное первым велосипедистом до второй встречи равно
s+90, а вторым – 2s - 90 Время движения первого велосипедиста до
s 90
2s 90
, второго
. По условию задачи получаем
x
y
s 90 2s 90
уравнение:
. Из каждого уравнения выразим отношения:
x
y
y s 70
y 2 s 90
2 s 90 s 70
и
. Далее
.
x
70
x
s 90
s 90
70
второй встречи
Решая это уравнение, получим s = 0, s =120. По условию задачи подходит
только корень s=120.
Ответ: 120 км
Решение 2
К моменту первой встречи оба велосипедиста вместе проехали расстояние
AB, а к моменту второй встречи – вместе проехали расстояние, втрое
большее,чем AB. Так как скорости велосипедистов не менялись, то и каждый
из них до второй встречи проехал расстояние, втрое большее, чем AB. Так
как первый велосипедист до первой встречи прехал 70 км, следовательно,
первый велосипедист до второй встречи проехал расстояние
70·3 =210 (км). А так как вторая встреча произошла в 90 км от B, то
расстояние от A до B равно 210 – 90 = 120(км).
Ответ: 120 км.
25. Найдите четырехзначное число по следующим данным:
cумма квадратов крайних цифр равна 13, сумма квадратов средних цифр
равна 85; если из искомого числа вычесть 1089, то получится число,
написанное теми же цифрами в обратном порядке.
145
Решение 1
Пусть x, y, z, t – цифры тычяч, сотен, десятков и единиц соответственно
данного числа, тогда данное число имет вид 1000 x+ 100y + 10z +t.
По условию задачи составим уравнения: x2 + t2 =13, y2 +z2 = 85,
1000 x+ 100y + 10z +t – 1089 =1000 t+ 100z + 10y +x.
Последнее уравнение приведем к виду: 111(x-t) +10(y-z) = 121.
Ясно, что 0 < x-t ≤ 2, т.е. x-t =1, откуда x = t + 1 или x-t =2.
Рассматривая эти два случая с двумя другими уравнениями системы,
получим x = 3, t = 4, y = 7, z = 6. Тогда искомое число 3762.
Ответ: 3762.
Решение 2
Учитывая, что цифры числа – неотрицательные целые числа, не большие,
чем 9, получим, что такими крайними цифрами могут быть только 2 и 3,
(только 22+32 =13 ), а средние 9 и 2 или 7и 6. По условию цифра тысяч
больше цифры единиц, а цифра сотен больше цифры десятков. Значит
искомое число 3922 или 3762.
Непосредственная проверка последнего условия показывает, что ему
удовлетворяет только второе число.
Ответ: 3762.
26. Упростите выражение:
tg20˚+tg40˚+√3tg20˚tg40˚
Решение 1
sin 20 sin 40
sin 20 sin 40
3
cos 20 cos 40
cos 20 cos 40
1
3
(cos 20 cos 60) sin 60
(cos 20 cos 60)
sin 20 cos 40 sin 40 cos 20
2
=
32
cos 20 cos 40
cos 20 cos 40
cos 20 cos 40
3
3
3
cos 20
(cos 20 cos 60)
3 (cos 20 cos 40)
2
4 2
3
cos 20 cos 40
cos 20 cos 40
cos 20 cos 40
tg20˚+tg40˚+√3tg20˚tg40˚ =
Решение 2
Заметим, что из формулы тангенса суммы
tg20˚+tg40˚=tg(20˚+40˚)(1-3tg20˚tg40˚), тогда
tg20˚+tg40˚+√3tg20˚tg40˚ = tg(20˚+40˚)(1-tg20˚tg40˚)+√3tg20˚tg40˚ =
146
tg(60˚)(1-tg20˚tg40˚)+√3tg20˚tg40˚ = √3 -√3tg20˚tg40˚ +√3tg20˚tg40 =√3.
27. Если 4x + 4-x =3, то величина 64x + 64-x равна
1) 27; 2) 18; 3) 9; 4)24;
5)36
Решение 1
Чтобы найти искомую величину, необходимо применить две формулы
сокращенного умножения:
а) квадрат суммы: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ;
б)сумма кубов a3 + b3 = (a+b)(a2 – ab + b2).
Заметим, что (4x +4-x )2 = 9, т.е. 42x +4 -2x +2=9, откуда 42x +4 -2x = 7.
64x + 64-x =4 3x+4-3x =(4x+4-x)(42x –1+ 4 -2x) = 3(7-1) =18
Oтвет:18
Решение 2
Применим формулу (a + b)3 = a3 + 3a 2b +3b2a + b3.
Заметим, что (4x +4-x )3 = 27, т.е. 64x + 64-x +3(4x+4-x) =27,
Откуда 64x + 64-x = 27 -3(4x+4-x) = 27-9=18
28. Решите уравнение │x+1│ +│2x-4│- │x+3│=2x- 6
Решение 1
В точках x=-3, x=-1, x=2 значения выражений x+3; x+1; 2x-4 равны нулю
соответственно. Они разбивают числовую прямую на промежутки
знакопостоянства выражений x+3; x+1; 2x-4 . Рассмотрим исходное
уравнение на каждом из этих промежутков.
a) пусть x < -3. Учитывая знаки выражений под каждым модулем, получим
- x -1 - 2x + 4 + x +3 = 2x-6 x 3 . Однако значение x= 3 не принадлежит
рассматриваемому промежутку.Следовательно, исходное уравнение не имеет
решений.
б) пусть -3 ≤ x <-1. На этом промежутке раскроем модули с учетом знаков
подмодульных выражений . Тогда исходное уравнение равносильно
уравнению: - x -1 - 2x + 4 - x - 3 = 2x-6 x 1. Значение x = 1 не
147
принадлежит рассматриваемому промежутку и поэтому не является корнем
исходного уравнения.
в) пусть -1 ≤ x <2. На этом промежутке раскроем модули с учетом знаков
подмодульных выражений . Тогда исходное уравнение равносильно
уравнению: x +1 - 2x + 4 - x - 3 = 2x-6 x 2 . Значение x = 2 не
принадлежит рассматриваемому промежутку и поэтому не является корнем
исходного уравнения.
г) пусть x ≥ 2. На этом промежутке раскроем модули с учетом знаков
подмодульных выражений . Тогда исходное уравнение равносильно
уравнению: x +1 +2x +-4 - x - 3 = 2x-6 2x 6 2x 6 x [2;) , т.е. каждое
значение переменной из данного промежутка является корнем исходного
уравнения.
Ответ: x [2;)
Решение 2
Данное уравнение запишем в виде │x+1│ +│2x - 4│= 2x- 6 + │x+3│.
Далее заметим, что при x ≥ -3 │x+1│ +│2x - 4│= (x+1) +(2x-4), по свойству
x 1 0
,
2
x
4
0
модулей данное уравнение при x ≥ -3 равносильно системе
откуда получаем все x ≥ 2 – решения данного уравнения.
При x < -3 данное уравнение равносильно следующему:
│x+1│ +│2x - 4│= 2x- 6 – x - 3 или │x+1│ +│2x - 4│= x– 9, которое при
x < -3 решений не имеет. Таким образом, получаем
ответ: x [2;)
24.Для каждого значения параметра a решить уравнение:
│x-2a│ +│x +2a│= 4a.
Решение.
Заметим, что левая часть уравнения неотрицательна, следовательно, при
a < 0 данное уравнение не имеет решений. При a = 0 находим │x│=0, а
значит, x = 0. При a > 0 имеем │2a –(-2a)│ = 4a, это значит, что решение
данного неравенства – отрезок [-2a;2a].
148
Для справки
При решении уравнений и неравенств, содержащих модули каких- либо
выражений, как правило, можно значительно сократить вычислительную
часть решения, внимательно анализируя числовые данные конкретной
задачи, применяя свойства модулей суммы, разности, геометрическую и
графическую интерпретации.
Так, значительно упростится решение уравнений и неравенств вида
│x-a│ +│x -b│=c (1), │x-a│ +│x -b│>c(2), │x-a│ +│x -b│< c(3),
если рассматривать сумму модулей как сумму расстояний от двух данных
точек координатной прямой A(a), B(b) до некоторой точки M с переменной
координатой x - M(x).
Ясно, что:
уравнение (1) не имеет решений, если число c меньше, чем расстояние
между точками A(a) и B(b), т.е. c <│b-a│, т.е. не найдется на координатной
прямой такой точки, чтобы сумма расстояний от нее до двух заданных точек
была меньше расстояния между этими точками;
уравнение имеет два решения, если сумма расстояний больше, чем
расстояние между этими точками, т. е. c <│b-a│.
Таких точек две – одна правее точки с большей координатой, ( пусть точки
A(a) ), а другая – левее, координаты этих точек легко определить;
уравнение имеет бесконечное множество решений, принадлежащих
отрезку [a; b], если сумма расстояний от искомой точки до двух заданных
точек равна расстоянию между этими точками, т. е. │b-a│= с.
29. Найдите наименьшее целое решение неравенства
5
x2 2
x2 2
Решение 1
При снятии модуля рассмотрим два случая:
1. x +2 ≥ 0,
2. 2. x + 2 < 0.
149
Если x +2 ≥ 0, т.е.x ≥ -2, то │x+2│ = x+2 и тода данное неравенство имеет
вид
5
x 2 2 или
x22
5
x,
x4
решая его методом интервалов, получим:
5
x 2 4x 5
x
0 x (4;1) ,
x4
x4
учитывая условие x ≥ -2, получим x [2;1) .
Если x < 2, то данное неравенство имеет вид:
5
x 2 4x 5
x 4
0 x (5;0) (1;) ,
x
x
учитывая x < -2, получим x (5;2) .
Объединим решения, полученные в первом и втором случаях, получим
окончательный ответ: ( -5;1)
Решение 2
Поскольку │x+2│+2 > 0, то умножим обе части неравенства на │x+2│+2 .
Получим неравенство, равносильное данному: 5>(│x+2│)2 – 4 или
5>(x+2)2 – 4, последнее неравенство равносильно неравенству (x+2)2 – 9<0,
разложив левую часть этого неравенства на множители, получим
(x+5) (x-1) < 0, решение последнего неравенства - интервал ( -5;1)
Ответ: ( -5;1)
150
30. Решите уравнение:
││x-2│-3│=1
Решение 1
Выражение x-2 равно нулю при x = 2, а выражение под знаком внешнего
модуля обращается в нуль, если x-2-3=0 или –x+2-3=0, т.е. если x=5 и x=-1.
Данные точки разбивают числовую прямую на промежутки: x < -1, -1 ≤ x <2,
2 ≤ x <5, x ≥ 5.
Пусть x < -1. Освобождаясь последовательно сначала от внутреннего модуля,
а затем от внешнего, имеем: x 2 3 1 x 1 1 x 2
Найденное значение x принадлежит рассматриваемому интервалу, поэтому
является корнем исходного уравнения.
Пусть -1 ≤ x <2. Последовательно расскрывая модули, получим:
x 2 3 1 x 1 1 x 0. Найденное значение x принадлежит
рассматриваемому интервалу, поэтому является корнем исходного
уравнения.
Пусть -1 ≤ x <2. Последовательно расскрывая модули, получим:
x 2 3 1 x 1 1 x 0. Данное значение x является корнем исходного
уравнения на рассматриваемом множестве.
Пусть 2 ≤ x <5. Последовательно раскрывая модули, получим:
x 2 3 1 x 5 1 x 4.
Видно, что полученное значение x является корнем исходного уравнения на
указанном помежутке.
Пусть x ≥ 5. Исходное уравнение равносильно на данном множестве
уравнению x 2 3 1 x 5 1 x 6. Значение x =6 принадлежит
рассматриваемому интервалу, поэтому является корнем уравнения.
Ответ -2; 0; 4; 6.
Решение 2
Выражение под знаком внешнего модуля может принимать только значения
1 и -1, тогда │x-2│= 4 или │x-2│= 2. Откуда из первого уравнения - x =6
или x = -2, а из второго - x =4 или x = 0. Отсюда
ответ:-2; 0; 4; 6.
151
1
1
35
2
x
12
1 x
31. Решите неравенство
Решение 1
Поскольку по области определения левой части уравнения │x│<1, то
< t < , тогда данное уравнение будет имет вид:
2
2
обозначим x = sint, где -
1
1
35
,(1) откуда 12(sin t +│cost│) =
sin t cos t 12
35sint│cost│ 24( cos t sin t ) 70 sin t cos t 24( cos t sin t ) 35(1 sin t cos t ) 35 .
Последнее уравнение – квадратное относительно (sin t +│cost│).
Решая его, получим sin t +│cos t│= -5/7 или sin t +│cos t│= 7/5.
Откуда sin(t ± π/4) =
5
7 2
73
, а cos(t ± π/4) =
, или sin(t ± π/4) =
7
,
5 2
1
2 5
73
5 73
а cos(t ± π/4) =
.Тогда x= sin t = sin(t ± π/4 ) =
(
)
4
2 7 2 7 2
14
5 2
2 7
1
7 1
или x = sin t = sin(t ± π/4 ) =
.
(
)
4
2 5 2 5 2
10
7 2
Проверка показывает, что из найденных решений уравнению 1, а значит и
данному уравнению удовлетворяют только: x = 0,8; 0,6;
Ответ: 0,8; 0,6;
5 73
.
14
5 73
.
14
Решение 2
2
1
1
1
1
1
35
35
2 2
, выполним тождественные
2
x
x
12
x 1 x2 1 x
1 x 2 12
преобразования в левой части уравнения, получим:
2
1
1
35
2
0.
2
2
x (1 x )
x 1 x 2 12
Решим это уравнение как квадратное, получим
x 1 x2
12
12
, x 1 x 2 . (1)
25
49
152
x 2 0,64
x 0,8
12
12
x4 x2 0 2
, учитывая, что корни
25
25
x 0,36
x 0,6
2
x 1 x2
первого уравнения положительны, будем иметь x = 0,8, x = 0,6
2
5 73
2
5 73
x
x
2
14
12
12
14 , учитывая,
x 1 x2
x4 x2 2 0
2
49
49
5 73
2 5 73
x
x
14
14
что корни второго уравнения отрицательны, будем иметь x =
x=
5 73
,
14
5 73
. Поскольку уравнения (1) являются следствиями данного
14
уравнения, то найденные четыре корня следует проверить. Проверка
показывает, что корнями данного уравнения являются числа 0,8; 0,6;
5 73
.
14
153
Раздел 8
Задания тестов
Тест 1
A1. Результат упрощения выражения 16 6 7 11 4 7 равен:
1) 1; 2) -1; 3) 2 7 5 ; 4) 5- 2 7 ; 5) 5.
Решение
Традиционным и рациональным способом решения будет выделение
квадрата двучлена под знаком корня, т.е. 16 6 7 11 4 7 =
(3 7 ) 2 (2 7 ) 2 = 3 7 7 2 1 .
Наиболее возможный ошибочный ответ: 5- 2 7 . Ошибка в том, что
2 - 7 < 0, а поэтому (2 7 ) 2 7 2 .
Ответ: 1)
A2. Найдите x из равенства
0,1(6) 0, (3)
x 10
0, (3) 1,1(6)
1) 29,2; 2) 31,74; 3)30; 4) 13,(3); 5)20.
Решение
0,1(6) 0, (3)
следует от бесконечных
0, (3) 1,1(6)
0,1(6) 0, (3)
периодических дробей перейти к обыкновенным:
=
0, (3) 1,1(6)
1 1
1 1 1
1
0,1
15 3 10 15 3 2 1 , тогда 1 x 10, x = 30.
1
1
1
1 1
3 3
3
1,1
1
3
15 3 10 15 2
При вычислении значения выражения
Ответ 3)
A3 .Значение выражения
log 2 24
27 log 0,125 0,25 равно:
6 log 4 81
154
1) 9,5; 2)18,5; 3)27,5; 4) 20; 5)правильный ответ не указан.
Решение
log 2 8 log 2 3
3 log 2 3
log 2 24
2
1
1
27 log 1
27 = 18, 5.
27 log 0,125 0,25 =
2
3
4 6 2 log 2 3 2
6 log 2 3
6 log 4 81
8
Ответ 2)
A4 .Сократите дробь
x 3 2 x 2 16 x 32
( x 1) 5 (1 x) 5 ( x 1) 2 9
1)1; 2) x - 2; 3)x-3; 4)x +4; 5) x-4.
Решение
Для сокращения дроби разложим ее числитель и знаменатель на множители.
В числителе применим способ группировки:
x3 +2x2 -16x – 32 = x2(x +2) – 16(x + 2) = (x+2)(x2-16) = (x+2)(x-4)(x+4)
В знаменателе заметим,что (x-1)5 = -(1- x )5, поэтому
(x-1)5 + (1- x )5 +(x-1)2 – 9 = (x-1)2 – 9 = (x-1-3)(x-1+3) = (x-4)(x+2)
Таким образом,
x 3 2 x 2 16 x 32
( x 2)( x 4)( x 4)
=
x4
5
5
2
( x 4)( x 2)
( x 1) (1 x) ( x 1) 9
Ответ: 4).
A5 .Если a2x +a -2x = 6, то выражение │a3x – a-3x│равно
1) 14; 2) 2 6 ; 3) 4 2 ; 4) 12; 5) 3.
Решение
Воспользуемся тем, что ax ·a -x =1, тогда из данного равенства получим:
a2x +a -2x -2 ax ·a -x = 4 или (ax - a -x )2 =4, извлекая корень из обеих частей
последнего равенства, получим: │ax - a -x │=2
│a3x – a-3x│ =│ (ax – a-x) ( a2x +a -2x +1)│ =│ (ax – a-x)││( a2x +a -2x +1)│=14
Ответ: 1)
A6 . Чему равна сумма всех двузначных натуральных чисел, которые при
делении на 3 дают в остатке 2?
1)1624; 2)1568; 3) 1680; 4)1635; 5)1744.
Решение 1
Заметим, что натуральные двузначные числа, которые при делении на 3
дают в остатке 2 имеют вид : 11, 14, 17, …, 98 и образуют арифметическую
155
прогрессию, первый член которой равен 11, а последний – 98. Разность этой
прогрессии равна 3. Тогда n- ый член прогресси имеет вид:
an = 11+ 3(n-1).
Для вычисления суммы членов этой прогресии определим количество ее
членов, т.е. номер ее последнего члена. Для этого в формулу n- ого члена
подставим значение an = 98: 98= 11+ 3(n-1), откуда n-1 = (98-11):3, n = 30.
Тогда S30 =
(11 98) 30
1635
2
Ответ: 4)
Решение 2
Заметим, что сумма всех двузначных чисел от 10 до 99 равна (10 + 99)· 90/2.
Среди этих чисел ровно третья часть при делении на 3 дает в остатке 2,
третья часть при делении на 3 дает в остатке 1, третья часть при делении на 3
дает в остатке 0. Эти суммы равны между собой. Поэтому искомая сумма
равна (10 +99)· 90/6 = 109·15. Из представленных ответов выберем тот,
который оканчивается на 5. Такой только один, т.е. 1635.
Ответ: 4)
A7. Число (log32· log43·…· log109)-1 лежит в интервале
1) 0;1); 2) (1;2); 3) ( 2;3); 4) (3;4); 5) (4;5).
Решение1
1
1
1
1
1
=
log 5 4
log 7 6
log 9 8
(log32· log43·…· log109) = (log32
log 3 4
log 5 6
log 7 8
log 9 10
-1
= (log 4 2 log 6 4 log 8 6 log 10 81 = (0,5 log 8 4 log 10 81 (0,5 log 10 41 (log 10 21 log 2 10
3 < log210 < 4
Ответ: 4)
Решение 2
(log32· log43·…· log109)-1 =
log 10 2 log 10 3 log 10 4 log 10 5 log 10 6 log 10 7 log 10 8 log 10 9
log 10 3 log 10 4 log 10 5 log 10 6 log 10 7 log 10 8 log 10 9 log 10 10
3 < log210 < 4
Ответ: 4)
156
1
(log102)-1 = log210
A8 . Если x < -1, то результат упрощения выражения x2
x2 2
1
равен
x2
1)x3 - x; 2) -x3 - x; 3) x-x3; 4)x3 +x; 5)x2 -1.
Решение 1
Упростим данное выражение x2
x2 2
1
1
1
= x2 (x )2
2
x
x
x2 x x . Для снятия модуля выясним, какой знак имеет выражение под
1
x
знаком модуля при x < -1. Для этого решим неравенство x 0
Получим, что при x < -1 это выражение отрицательно,
1
x
тогда x
x
2
=
1
x2 x x x3 .
x
Ответ 3).
Решение 2
Выполним тождественные преобразования данного выражения при x < -1.
x2 x2 2
1
x 6 2 x 4 x 2 ( x 3 x) 2 x 3 x ( x 1)( x 1) x
2
x
Ясно, что при x <-1 выражение под знаком модуля отрицательно, поэтому
x3 x x x3 .
Ответ 3.
A9. Вычислить tg2(
2 3
3
) , если sinα - cos α =
.
4
3
1) 0,5; 2) 1; 3) 1,5; 4) 2; 5) 2,5.
Решение 1
Применим формулу тангенса суммы двух углов:
3
2
tg
tg
1 tg
4
3
tg2( ) =
3
1 tg .
1
tg
tg
4
4
2
157
Перейдем от тангенса к синусу и косинусу, получим tg2(
3
) =
4
sin cos
1 2 sin cos
=
.
1 2 sin cos
sin cos
2 3
Из равенства sinα - cos α =
определим 2sinαcosα.
3
2 3 2
4
1
(sinα - cos α)2 = (
) , 1-2sinαcosα = , 2sinαcosα = - .
3
3
3
3
1 2 sin cos
Подставим найденное значение в отношение tg2( )
=
4
1 2 sin cos
1
1
3 2
=
1
1
3
2
Ответ 2).
Решение 2
2
2
2
, получим: - sinα + cos α =
2
2
2
6
2
2
6
3
- . Заметим,что sin 3π/4=
, а cos 3π/4 = - , получим sin( ) =- ,
4
3
2
2
3
3
3
3
1
6
тогда cos( ) = , tg( ) =
, а tg2( ) =2.
4
4
4
3
3
Умножим обе части второго равенства на -
Ответ 2).
A10 .Произведение корней уравнения x2 + 3x = 1- x 2 3x 5 равно
1)-4; 2) 4; 3)3; 4)-1; 5)1.
Решение 1
Обозначим x2 + 3x через y. Получим y 5 1 y (1).
Возведем обе части последнего уравнения в квадрат. Получим уравнение –
следствие:
y+5 = 1-2y+y2 или y2 -3y -4 =0.
Корни этого квадратного уравнения 4 и -1.
Проверка показывает, что 4 5 1 4 , т.е. 4 – не корень уравнения (1).
1 4 1 (1) , 2=2, т.е. - 1 – корень уравнения
(1). Вернемся к замене x2 + 3x = -1 или x2 + 3x +1 = 0. Последнее уравнение
имет корни (D = 5) . По теореме Виета их произведение равно 1.
158
Ответ 5).
Решение 2
Обозначим x2 + 3x через y. Получим y 5 1 y (1)
Функция f(x) = y 5 - возрастает, на всей области определения, а функция
g(x) = 1- убывает на R. Тогда уравнение (1) имеет не более одного корня. Он
легко угадывается у =1. Вернемся к замене x2 + 3x = -1 или x2 + 3x +1 = 0.
Последнее уравнение имет корни (D = 5) . По теореме Виета их произведение
равно 1.
Ответ 5).
A11 Сумма корней уравнения
x2 x 2
x2 x 6
равна
3x 2 5 x 14 3x 2 5 x 10
1) 1; 2) 2; 3) -2; 4) -1; 5) 3.
Решение 1
x2 x 2
x2 x 6
x2 x 2
x2 x 6
0
3x 2 5 x 14 3x 2 5 x 10
3x 2 5 x 14 3x 2 5 x 10
( x 2 x 2)(3x 2 5 x 10) ( x 2 x 6)(3x 2 5 x 14)
0
(3x 2 5 x 14)(3x 2 5 x 10)
3x 4 5 x 3 10 x 2 3x 3 5 x 2 10 x 6 x 2 10 x 20 3x 4 5 x 3 10 x 2 3x 3 5 x 2 10 x 6 x 2 10 x 20
(3x 2 5 x 14)(3x 2 5 x 10)
=0
2
8 x 2 16 x 64
x 2x 8 0
0
2
2
(3 x 2 5 x 14)(3x 2 5 x 10)
(3x 5 x 14)(3 x 5 x 10) 0
Корни уравнения x2 + 2x -8 = 0 не обращают знаменатель в ноль, их сумма
равна -2.
Ответ 2).
Решение 2
Представим дроби уравнения в виде
( x 2 x 6) 4
x2 x 6
.
(3x 2 5 x 10) 4 3x 2 5 x 10
159
Тогда ясно, что при приведении их к общему знаменателю уничтожатся
произведения одинаковых трехчленов, и числитель будет иметь вид:
-4(3x2 +5x -10)+4(x2 +x+6)=0, последовательно упрощая, получим
-(3x2 +5x -10) + (x2 + x + 6) = 0,
-2x2 -4x+16 = 0, x2 +2x – 8 = 0.
Корни последнего уравнения не обращают знаменатели дробей в ноль,
следовательно, являются корнями данного уравнения. Их сумма равна -2.
Ответ 2).
A12 . Сколько целых решений неравенства
x4
x 1
2
x x 6 x 2x
2
удовлетворяют условию │x│≤ 4 ?
1) 6; 2) 5; 3)4; 4)3; 5)2.
Решение 1
Разложим знаменатели на множтели, приведем дроби к общему знаменателю,
получим:
( x 4) x ( x 1)( x 3)
( x 4) x ( x 1)( x 3)
3
0
0
0
x( x 3)( x 2)
x( x 3)( x 2)
x( x 3)( x 2)
Решим последнее неравенство методом интервалов, получим:
x (;3) (0;2) .
Количество целых решений неравенства
x4
x 1
2
, которые
x x 6 x 2x
2
удовлетворяют условию │x│≤ 4 будет 2 ( -4 и 1).
Ответ 5)
Решение 2
Заметим, что из целых чисел, удовлетворяющих условию │x│≤ 4 числа
0, 2 и -3 не являются решениями неравенства как нули знаменателя.
Легко проверяются числа -4 и -1, - 4 - решение. Остается проверить числа 1,
3 и 4. Из них только 1 – решение.
Ответ 5)
160
A13. Катер прошел 15 км по течению реки и 4 км по озеру, затратив на весь
путь 1 час. Если скорость течения реки равна 4 км/час, то скорость
катера по озеру равна ( в км/час)
1)12; 2) 20; 3)16; 4)32; 5)24.
Решение 1
Обозначим скорость катера по озеру x км/ час, тогда скорость катера по
течению реки (x +4) км/ час.
15
4
÷àñ , а по озеру- ÷àñ . По условию задачи на
x4
x
15
4
1.
весь путь затрачено 1 час, поэтому составим уравнение
x4 x
Время движения по реке
Решим это уравнение:
x 16
15
4
15 x 4 x 16 x 2 4 x
x 2 15x 16
1
0
0 x 1
x4 x
( x 4) x
( x 4) x
x( x 4) 0;
16 км/час – скорость катера по озеру.
Ответ 3)
Решение 2
Выполним проверку ответов:
15 4
15 4
15 4
1,
1,
1, следовательно, 16 км/час – скорость
16 16
24 20
20 16
катера по озеру.
Ответ 3)
A14 . Найдите все значения параметра a, при которых уравненеие
(x+1)│x-2│= a 2 имеет три корня.
1)a <1,5; 2)a = ±1;
3) │a│<1,5;
4) a (0;1,5) ;
5) │a│<1,5; a ≠ 0.
Решение 1
При снятии модуля рассмотрим два случая:
1) при x≥2 , данное уравнение равносильно квадратному уравнению
x2 - x -2-a2 = 0.
Дискриминант этого уравнения D = 9+4a2 >0 следовательно, оно имеет два
корня любых a. Проверим выполнение условия:
161
x≥2 . x1 2
1 9 4a 2
1 9 4a 2
2 a R , x2 2
2 ðåøåíèé íåò
2
2
Следовательно, при x ≥ 2 данное уравнение имеет единственный корень
для любого a.
2) Заметим, что уравнение не имеет решений, если a ≠ 0, x < -1,
поэтому рассмотрим второй случай: -1< x < 2. Для таких x данное уравнение
равносильно квадратному уравнению
x2 - x -2-a2 = 0.
Дискриминант этого уравнения D = 9- 4a2 > 0 при │a│<1,5, следовательно,
оно имеет два корня при │a│<1,5. Проверим выполнение условия -1< x < 2.
1 9 4a 2
2 a (1,5;1,5) ,
2
1 9 4a 2
1 x2 2 1
2 a 0 Следовательно, при -1< x < 2. данное
2
1 x1 2 1
уравнение имеет два корня для │a│<1,5; a ≠ 0.
Таким образом, данное уравнение имеет три корня для │a│<1,5; a ≠ 0.
Ответ 5)
Решение 2
Построим график функции y = (x+1)│x-2│ при x > -1.
( x 1)( x 2)ïðèx 2
y
( x 1)( x 2)ïðè 1 x 2
Рассмотрим прямую y= a2.
5
Y
4
3
9/ 4
2
1
X
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
Уравнение имеет три решения, если прямая y= a2
пересекает график функции y = (x+1)│x-2│ в торех точках, т.е. когда
0<a2 < 9/4 или │a│<1,5; a ≠ 0.
162
Ответ 5)
B1. Укажите количество корней уравнения x 1 x 1 x .
Решение 1
Возведем в квадрат обе части уравнения, получим уравнение – следствие
x 1 x 1 2 x x или 1 x 1 2 x . Последнее уравнение еще раз
возведем в квадрат, получим: 1-x = 1+4 x + 4x, -5x = 4 x , это уравнение
имеет только одно решение x=0. Проверим, является ли это число корнем
данного уравнения. Действительно подстановкой убеждаемся, что 0 – корень.
Ответ 1 корень.
Решение 2
После возведения в квадрат получим уравнение – следствие 1 x 1 2 x .
В левой части этого уравнения – возрастающая на всей области определения
функция, а в правой – убывающая, значит, если данное уравнение имеет
корень, то только один. Этот корень легко угадывается x = 0.
Ответ 1 корень.
B2. Решите неравенство
( x 2 3x 2) x 4
x2 1
0 . В ответ запишите среднее
арифметическое целых решений.
Решение 1
Решим это неравенство методом интервалов:
1. Найдем область определения функции, стоящей в левой части
неравенства: x≠1, x≠ -1.
2. Найдем нули этой функции: x= 2; x=4.
3. Отметим нули функции и область определения на оси.
4. Определим знаки функции в каждом из получившихся промежутков:
5. Запишем ответ в соответствии со знаком данного неравенства:
x (1;1) (1;2] 4
6. Выберем из решений только целые: 0;2;4. Найдем их среднее
арифметическое: ( 0+2+4): 3 = 2.
Ответ: 2
163
Решение 2
Заметим, что числа 1 и -1 не являются решениями неравенства и сократим
дробь, получим
( x 2) x 4
x 1
0 , поскольку x = 4 – решение, а при x ≠4
последнее неравенство равносильно неравенству
x2
0 , то решим его,
x 1
x (-1;2].
Исключая из этого промежутка 1 и включая в целые решения 4, получим,что
целые решения данного неравенства – это числа 0; 2; 4. Найдем их среднее
арифметическое: ( 0+2+4): 3 = 2.
Ответ 2.
B3. Решите уравнение:
2x 9 3 x 8 5
Решение 1
Дважды возведем данное уравнение в степень, сначала во вторую, а затем - в
третью, получим:
2x + 9 =( 5- 3 x 8 ) 2 , 2x -16 = 3 ( x 8) 2 103 x 8 ,
8 x 3 16 3 4 x 2 256 3 2 x 16 3 ( x 8)( x 8 303 ( x 8) 2 30 103 x 8 1000) ,
8x 3 3 64 x 2 512 3 x 4096 ( x 8)( x 8 30(2 x 16) 1000) ,
8x 3 3 64 x 2 512 3 x 4096 ( x 8)(59 x 512) ,
x(8x2-133x+4568) = 0.
x=0 или 8x2-133x+4568 =0
D = 1332 -32·4568<0.
Проверка показывет, что 0 – корень уравнения.
Ответ 0.
Решение2
Рассмотрим функцию f(x) = 2 x 9 3 x 8 , она возрастает на области
определения как сумма двух возрастающих функций, поэтому уравнение
164
2 x 9 3 x 8 5 имеет не более одного решения. Легко угадывается, что
решение есть x = 0.
Ответ: 0.
165
