Загрузил thelast2019

Лекция 14 Качество регулирования.

Реклама
Лекция 14
Качество регулирования
Помимо требования быть устойчивой, к системе автоматического
регулирования предъявляется требование по качеству регулирования.
Качество
показателей,
переходного
процесса
характеризующих
определяется
приближение
реального
совокупностью
процесса
к
желаемому. О показателях судят, измеряя ряд величин в переходном процессе
при единичном ступенчатом воздействии.
Показатели качества в переходном режиме подразделяют на прямые и
косвенные. Прямые получают непосредственно по переходной функции.
Косвенные рассчитывают.
Прямые показатели качества
Основной характеристикой качества САР является точность, которая
оценивается ошибкой регулирования
 (t )  u(t )  y(t ) .
(6.1)
Ошибка регулирования зависит от управляющего и возмущающего
воздействий, а так же от характеристик САР. Обратимся к схеме на рис. 6.1.
(W1(p) , W2(p) передаточные функции регулятора и объекта регулирования
соответственно).
Z(p)
U(t)
E(p)
X(p)
W1(p)
Y(p)
W2(p)
Рис. 6.1. Замкнутая система
автоматического регулирования.
Методом обратного движения построим операторное уравнение
E ( p)  U ( p)  Y ( p)  U ( p)  W2 ( p)Z ( p)  W1( p)W2 ( p) E ( p) ,
или
(1 + W1(p)W2(p) ) E(p) = U(p)  W2(p)Z(p) .
Учтем формулу (4.12) передаточной функции по ошибке
W 
1
1  W1 ( p)W2 ( p)
и получим:
E ( p)  W ( р)U ( p)  W ( р)W2 ( р)Z ( p) .
Первое слагаемое делает вклад в ошибку регулирования от управляющего
воздействия, второе – от возмущения. Передаточные функции представляют
свойства системы.
Рассмотрим оценку точности в переходном процессе. Введем в
формулу (6.1) условие единичного ступенчатого воздействия,
u(t) = 1(t) .
Тогда переходной функцией будет h(t) . Ошибка получает вид
 (t )  1(t )  h(t ) .
(6.2)
Формула (6.2) показывает, что ошибка отличается от переходной функции
на
постоянную
величину.
(При
импульсном
воздействии
ошибка
регулирования будет отличаться от таковой при единичном ступенчатом
воздействии) .
С течением времени h(t) стремится к установившемуся значению
h(∞) , а ошибка регулирования – к некоторому постоянному значению
 0  lim  (t) .
t 
Это значение ошибки называют статической ошибкой. Статическая ошибка
есть рассогласование между установившемся значением регулируемой
величины и ее заданным значением:
 0  1(t )  h() .
Смысл статической ошибки заключается в следующем. Система
исполняет регулирующую команду не до конца: когда достигается
установившееся состояние, остается некоторое остаточное отклонение
регулируемого параметра от заданного значения. Остаточное отклонение
зависит от конструктивных особенностей САР и от величины управляющего
воздействия.
Разность
 д (t )   (t )   0
(6.3)
называют динамической ошибкой.
Систему автоматического регулирования с остаточной ошибкой в
установившемся режиме называют статической системой.
Систему
автоматического
регулирования,
которая
исполняет
регулирующую команду точно, называют астатической. В астатической
системе регулируемый параметр по достижении равновесия принимает точно
заданное значение.
Подводя итог сказанному, можно констатировать:
- показатель
качества
«точность»
оценивается
двумя
ошибками:
статической и динамической;
- регулирование статической системы происходит с ошибкой.
- астатическая система регулируется без ошибки.
Быстродействие. Оценивается временем регулирования tp, рис. 6.2.
Это промежуток времени, по истечении которого отклонение выходной
величины от установившегося значения
h()
не превышает некоторой
заранее заданной величины
Δ . Последняя носит название «порог
нечувствительности». Обычно назначают Δ в пределах (0,01 … 0,05) h(∞).
h(t)
hmax
2Δ
h(∞)
0
tн
tм
tp
Рис. 6.2. Переходная функция
Наряду с tp для колебательных процессов используют две другие
оценки быстродействия. Одна из них – время tн от начала процесса до
первого пересечения кривой h (t) с прямой h = у() , рис. 6.2. Время tн
называют временем нарастания переходного процесса. Другая – время tм
достижения первого максимума, рис. 6.2.
Перерегулирование.
Это максимальное отклонение регулируемой
величины от установившегося значения h(). Определяется в процентах:

hmax  h()
h( )
(6.4)
hmax – максимальное значение переходной функции h(t) в момент времени tм,
рис. 6.2.
Чем больше , тем более система склонна к колебаниям.
Число
колебаний
регулируемого параметра
регулирования tp. Период колебаний определяется как
h(t)
за
время
2/ . Число
колебаний рассчитывается как отношение времени регулирования к периоду
колебаний:

t p
2
.
(6.5)
Числом колебаний характеризуют такое свойство системы, как
колебательность. Колебательность системы больше, если больше число
колебаний регулируемого параметра. И наоборот.
Специфические
потребовать
особенности
дополнительные
системы
оценки
качества.
регулирования
Например,
могут
точность
воспроизведения входного сигнала, величина ошибки от возмущения и др.
Косвенные показатели качества
Корневые показатели
Рассмотрим, как влияет на переходной процесс расположение корней
характеристического уравнения на комплексной плоскости.
В качестве
примера рассмотрим систему, описываемую дифференциальным уравнением
третьего порядка.
Характеристическое уравнение имеет три корня и соответствующее
решение имеет три слагаемых:
y(t )  C1e p1 t  C2e p2 t  C3e p3 t .
Пусть все корни имеют отрицательную действительную часть.
Для действительных корней (р1 = -1 , р2 = -2 , р3 = -3 ) кривая у(t)
переходного процесса монотонная, рис. 6.3.
Если два корня комплексных и один действительный (р1,2 = -1
± j1 , р3 = -3) , причем действительный расположен ближе к мнимой оси, а
комплексные дальше, то кривая переходного процесса приобретает слабо
выраженную колебательность, рис. 6.4.
Если комплексные корни
р1,2 = -1 ± j1
располагаются вблизи
мнимой оси, а действительный р3 = -3 на отдалении, переходной процесс
приобретает ярко выраженный колебательный характер, рис.6.5. Чем ближе
комплексные корни к мнимой оси, тем медленнее затухают колебания, тем
длительнее переходной процесс (больше время tp ) . Чисто мнимые корни
дают незатухающие гармонические колебания.
y(t)

С
0
t
0 

Рис. 6.3. Монотонная кривая переходного процесса.

V
y(t)
0
U
0
t
6.4. Апериодический процесс с колебательной составляющей.

y(t)
0

0
Рис. 6.5. Затухающий колебательный процесс.
t
По рисункам можно заключить, что точность, время регулирования,
перерегулирование и число колебаний зависят от распределения корней
характеристического уравнения на комплексной плоскости. Очевидно,
количественные соотношения, характеризующие расположение корней, так
же будут являться показателями качества регулирования.
Получим связанные с распределением корней показатели качества.
Чем дальше отстоят корни от мнимой оси, тем быстрее затухают
колебания и сокращается время регулирования tp . Пусть величина отрезка
отрицательной оси абсцисс до ближайшего корня есть  , рис. 6.6. По
другому,
    . (В данном случае - изображает собой действительный
корень характеристического уравнения пятой степени). Предположим, что
корень - влияет на tp намного больше, чем все остальные. Тогда влиянием
других корней можно пренебречь.
Построим переходную функцию для этого корня, рис. 6.7.
ω
y(t)
y(0) = C
0

σ
М
y(tp) = Δ
0
Рис. 6.6.
tp
t
Рис. 6.7.
Кривая переходного процесса имеет уравнение
y(t )  Ce σt .
В начальный момент y(0) = C. В момент времени tp кривая пересечет порог
нечувствительности. В точке М, где кривая пересекается с прямой y = 
y(t p )  Ce
 σt p
 .
За время регулирования величина y(tp) станет меньше в m раз по
сравнению с величиной в начальный момент. То есть,
y (0)
C
C


m .
y (tp ) C e  σt p 
Откуда, вводя в рассмотрение абсолютную величину корня
   ,
получаем:
t p
e

C
 m , или

tp  ln m .
Величина действительной части корня, обеспечивающего заданное время
регулирования, должна быть:
1
ln m .
tp

(6.6)
Формула (6.6.) дает приближенную оценку , потому что остались без
внимания другие слагаемые полного решения уравнения.
Параметр
устойчивости».

называют
Это
«запас
абсолютное
устойчивости»
значение
или
«степень
действительной
части
ближайшего к мнимой оси корня. Чем меньше  , тем ближе система к
границе устойчивости, тем больше время регулирования. При
 = 0
(система на границе устойчивости) время регулирования становится
бесконечно большим.
Рассмотрим еще одну характеристику распределения корней: угол 
между отрицательной полуосью абсцисс и прямой, проведенной из начала
координат к корню с максимальной мнимой частью, рис. 6.8 . В этот угол
вписывается половина всех наиболее удаленных от мнимой оси корней.
Корень с максимальной мнимой частью дает наибольший вклад в колебания.
Величину
  tgθmax  max


=


(6.7)
называют колебательностью системы. Чем меньше угол , тем меньше
колебательность.
ω

max

Рис. 6.8.
0
σ
Скачать