Введение В данное время в радиотехнике продолжается освоение диапазонов УВЧ и СВЧ. В этих диапазонах размеры устройств соизмеримы с длиной волны, поэтому приходится учитывать волновой характер ЭМП. В таком случае теряется понятие электрической цепи, которое позволяло абстрагироваться от существующего в системе электромагнитного поля (ЭМП). Законы теории цепей, справедливые на низких и высоких частотах, перестают действовать. Поэтому при изучении быстропеременных электрических процессов необходим анализ именно ЭМП с учетом его волнового характера и конечной скорости распространения электромагнитных волн (ЭМВ). В основу учебного пособия положена вводная часть курса лекций, читаемых автором в ОмГТУ по курсам «Теория ЭМП», «Электромагнитные поля и волны», «Электродинамика и распространение радиоволн». Цель данного учебного пособия – познакомить студентов с основами теории ЭМП и подготовить к изучению более сложных дисциплин: «Электродинамика и распространение радиоволн», «Техническая электродинамика», «Антенны и устройства СВЧ», «Антенно-фидерные устройства и распространение радиоволн». Учебное пособие предназначено для студентов радиотехнических и связных специальностей (201200, 200700 и т. п.) всех форм обучения. Предполагается, что студентами уже пройден курс высшей математики и изучены явления электромагнетизма в курсе общей физики. Для улучшения адаптации студентов заочной и ускоренной форм обучения к математическому аппарату векторного анализа основные понятия векторной алгебры приведены в приложении 1. Список сокращений и обозначений ЭМ – электромагнитный; ЭМВ – электромагнитная волна; ЭМП – электромагнитное поле; ВЧ – высокие частоты (диапазон ВЧ – 3…30 МГц); ОВЧ – очень высокие частоты (30…300 МГц); УВЧ – ультравысокие частоты (0,3…3 ГГц); СВЧ – сверхвысокие частоты (3…30 ГГц); КВЧ – крайне высокие частоты (30…300 ГГц); КБВ – коэффициент бегущей волны; КСВ – коэффициент стоячей волны; – магнитная индукция (Т); – электрическая индукция (Кл/м2); – напряженность электрического поля (В/м); – напряженность магнитного поля (А/м); – намагниченность вещества; – поляризованность вещества; – единичный вектор (орт) по соответствующей координате (x); – плотность потока мощности (Вт/м2); – магнитный поток (Вб); I – сила тока (А); U – напряжение (В); P – мощность (Вт); W – энергия (Дж); c – скорость света в вакууме = 3108 (2,9979…108) (м/с); С – емкость (Ф); L – индуктивность (Гн); Mik – взаимная индуктивность (Гн); f – частота (Гц); i – мнимая единица (i=√−1); j – плотность тока (А/м2); k – волновое число (1/м); – постоянная затухания (1/м); – постоянная фазы (1/м); – комплексный коэффициент распространения ( = +i ); 𝜒м – магнитная восприимчивость вещества; 𝜒э – диэлектрическая восприимчивость вещества; – толщина скин-слоя (м) (глубина проникновения ЭМП в вещество); – относительная диэлектрическая проницаемость (для вакуума =1); 0 – электрическая постоянная = 1/3610-9 (8,85410-11) (Ф/м); a – абсолютная диэлектрическая проницаемость (a= 0); – длина волны (м); – относительная магнитная проницаемость (для вакуума =1); 0 – магнитная постоянная = 410-7 (1,25710-6) (Гн/м); a – абсолютная магнитная проницаемость (a= 0); – удельная проводимость (См/м); l – линейная плотность заряда (Кл/м); S –плотность поверхностного заряда (Кл/м2); – объемная плотность заряда (Кл/м3); – циклическая частота (=2f) (рад/с). Краткая история развития теории ЭМП Понятие поля (электрического и магнитного) впервые было введено М. Фарадеем в 30-х годах XIX века. Концепция поля была принята им как альтернатива теории дальнодействия, то есть взаимодействия частиц без какого-либо промежуточного агента [1]. Согласно концепции поля частицы, участвующие в каком-либо взаимодействии, создают в каждой точке окружающего их пространства особое состояние – поле сил, проявляющееся в силовом воздействии на другие частицы, помещенные в данную точку пространства. Математическую формулировку законов электромагнитного (ЭМ) поля (ЭМП) дал Дж. К. Максвелл в 60-х годах XIX века. Система уравнений Максвелла (1864 г.) объединила все известные в то время законы электромагнетизма. На основании своих уравнений Максвелл в 1865 г. теоретически показал, что ЭМ колебания не остаются локализованными в пространстве, а распространяются в вакууме со скоростью света во все стороны от источника в виде ЭМ волн (ЭМВ), существование которых было предсказано Фарадеем в 1832 г. Первым практически применившим теорию Максвелла в своей научной работе был Г. Лоренц (1875 г.) [6]. В 1888 ЭМВ были экспериментально получены Г. Герцем. Опыты Г. Герца и П. Н. Лебедева доказали общую физическую природу света и ЭМВ, что подтвердило выводы теории Максвелла об ЭМ природе света. В 1900 г. П. Н. Лебедев экспериментально измерил давление света и установил наличие инерционной массы у ЭМП [1]. Началом практического применения ЭМВ считаются опыты А. С. Попова, в которых в 1895 г. была продемонстрирована возможность беспроволочной связи. (В иностранной литературе приоритет отдается Г. Маркони, но заявка на патент была подана им в конце 1896 г. Советские историки утверждают, что он был знаком с работами А. Попова, и отмечают только его организаторские способности и заслуги в развитии связи с помощью ЭМВ (радиосвязи) [1].) Теория относительности придала фундаментальный смысл понятию поля как первичной физической реальности. В системе взаимодействующих частиц сила, действующая в данный момент на какую-либо частицу, сказывается на другой частице не сразу, а через определенный промежуток времени. Таким образом, на скоростях, соизмеримых со скоростью света, взаимодействие частиц можно описывать только через создаваемые ими поля [1-3]. Один из важнейших выводов теории А. Эйнштейна – взаимосвязь массы и энергии (W=mc2). Квантовый эффект аннигиляции электронно-позитронной пары с выделением фотона (и обратный переход) отражает существующую в микромире связь различных видов материи (вещества и поля) [2, 3]. В масштабах микромира проявляется корпускулярноволновой дуализм ЭМП. Протяженное ЭМП в этом случае следует рассматривать как систему независимых дискретных микрообъектов – фотонов. В этом случае действуют законы квантовой электродинамики. Классическая (макроскопическая) электродинамика теория поведения ЭМП, осуществляющего взаимодействие между электрическими зарядами [1]. В этом случае ЭМП приписывают только волновые свойства и считают его непрерывным, что очень удобно в макромире. Подробнее об истории развития теории ЭМП и электродинамики можно прочитать в литературе [112]. 1. Основные понятия теории электромагнитного поля Физическое поле - это особая форма материи, существующая в каждой точке пространства, проявляющаяся воздействием на вещество, обладающее свойством, родственным с тем, которое создало это поле. тело + заряд поле тело + заряд Например, в случае излучения одиночного радиоимпульса при значительном расстоянии между передающей и приемной антеннами в какой-то момент времени окажется, что сигнал уже излучен передающей антенной, но еще не принят приемной. Следовательно, в данный момент времени энергия сигнала будет локализована в пространстве. В этом случае очевидно, что носитель энергии не является привычной материальной средой, а представляет собой иную физическую реальность, которая называется полем. Существует принципиальная разница в поведении вещества и поля. Основное отличие - это плавность. Вещество всегда имеет резкую границу того объема, который оно занимает, а поле принципиально не может иметь резкой границы (макроскопический подход), оно изменяется плавно от точки к точке. В одной точке пространства может существовать бесконечное количество физических полей, не влияющих друг на друга, чего нельзя сказать о веществе. Поле и вещество могут взаимно проникать друг в друга. ЭМП и электрический заряд представляют собой основные понятия, относящиеся к физическим явлениям электромагнетизма. ЭМП – это особая форма материи, посредством которой осуществляется взаимодействие между электрическими зарядами, отличающаяся непрерывным распределением в пространстве (ЭМВ, ЭМП заряженных частиц) и обнаруживающая дискретность структуры (фотоны), характеризующаяся способностью распространяться в вакууме со скоростью, близкой к с, оказывающая на заряженные частицы силовое воздействие, зависящее от их скорости [2, 5]. ЭМП может быть полностью описано с помощью скалярного и векторного потенциалов, составляющих согласно теории относительности единый четырехмерный вектор в пространстве-времени, компоненты которого преобразуются при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую в соответствии с преобразованиями Г. Лоренца [1]. Электрический заряд – свойство частиц вещества или тел, характеризующее их взаимосвязь с собственным ЭМП и их взаимодействие с внешним ЭМП; имеет два вида, известные как положительный заряд (заряд протона) и отрицательный (заряд электрона) заряд; количественно определяется по силовому взаимодействию тел, обладающих электрическими зарядами [2, 5]. Для анализа ЭМП удобна идеализация «точечный заряд» – заряд, сосредоточенный в точке. Наименьшим зарядом в природе считается заряд электрона eэл=1,60210-19 Кл, поэтому заряды тел должны быть кратны eэл. Однако часто удобно считать заряд непрерывно распределенным (макроскопический подход). Существует понятие объемной (𝜌, Кл/м3), поверхностной ( S , Кл/м2) и линейной ( l , Кл/м) плотности заряда. . (1.1) . (1.2) . (1.3) ЭМП неподвижных электрических зарядов неразрывно связано с частицами, порождающими его, но ЭМП заряженной частицы, движущейся ускоренно, может существовать независимо от вещества в виде ЭМВ [1, 2]. ЭМВ – ЭМ колебания, распространяющиеся в пространстве с течением времени с конечной скоростью [1]. При исследовании ЭМП обнаруживаются две формы его проявления – электрическое и магнитное поля, которым можно дать следующие определения. Электрическое поле – одно из проявлений ЭМП, обусловленное электрическими зарядами и изменением магнитного поля, оказывающее силовое воздействие на заряженные частицы и тела, выявляемое по силовому воздействию на неподвижные заряженные тела и частицы. Магнитное поле – одно из проявлений ЭМП, обусловленное электрическими зарядами движущихся заряженных частиц (и тел) и изменением электрического поля, оказывающее силовое воздействие на движущиеся заряженные частицы, выявляемое по силовому воздействию, направленному нормально к направлению движения этих частиц и пропорциональному их скорости [2, 5]. Разделение ЭМП на электрическое и магнитное поля имеет относительный характер, поскольку зависит от выбора инерциальной системы отсчета, в которой исследуется ЭМП. Например, если некоторая система состоит из покоящихся электрических зарядов, то при исследовании ЭМП в данной системе будет установлено наличие электрического поля и отсутствие магнитного. Однако если другая система координат будет двигаться относительно данной системы, то во второй системе будет обнаружено и магнитное поле [2]. Основными характеристиками ЭМП считаются 𝐸⃗ (напряженность электрической составляющей поля) ⃗ (магнитная индукция), которые описывают и𝐵 проявление механических сил в ЭМП и могут быть непосредственно измерены. Напряженность электрического поля можно определить как силу, действующую на точечный заряд известной величины (силу Ш. Кулона): (1.4) Магнитная индукция определяется через силу, действующую на точечный заряд q известной величины, движущийся в магнитном поле со скоростью 𝑣, (силу Г. Лоренца) (1.5) Вспомогательными характеристиками ЭМП являются ⃗ (электрическая индукция или электрическое 𝐷 ⃗ (напряженность магнитной смещение) и 𝐻 составляющей ЭМП). Названия характеристик ЭМП не бесспорны, но они сложились исторически. Единицы измерения основных характеристик ЭМП приведены на стр. 3. Мы будем пользоваться Международной системой единиц СИ, наиболее удобной для практических применений. Связь между и основными и вспомогательными характеристиками осуществляется с помощью материальных уравнений: . (1.6) . (1.7) В большинстве сред векторы Е и D, как и B и D коллинеарны (Приложение 1). Но в случае гироэлектрических (сегнетоэлектрики) и гиромагнитных (ферромагнетики) сред и становятся тензорными величинами, и указанные в парах векторы могут утратить коллинеарность. Величина называется магнитным потоком. Величина - удельная проводимость среды. С учетом этой величины можно связать плотность тока проводимости (jпр) и напряженность поля: (1.8) Уравнение (1.8) представляет собой дифференциальную форму закона Г. Ома для участка цепи. Поля разделяются на скалярные, векторные и тензорные. Скалярное поле – это непрерывно распределенная в каждой точке пространства некая скалярная функция с областью определения (рис. 1.1). Скалярное поле характеризуется 3в 2в 1в поверхностью уровня (например, на рис. 1.1 – эквипотенциальными Рис. 1.1. линиями), которую задает уравнение: Векторное поле – это заданное в каждой точке пространства непрерывная векторная величина с областью определения (рис. 1.2) Основной характеристикой этого поля является векторная линия, в каждой точке которой вектор поля направлен по касательной. Физическая запись силовых линий: 𝑑𝑟 ⋅ 𝐴 = 0. Тензорное поле – это распределенная в пространстве непрерывная тензорная величина. Например, для анизотропного диэлектрика его относительная диэлектрическая проницаемость становится тензорной величиной: 2. Описание свойств векторных полей Математический аппарат, применяемый для описания свойств векторных полей, называется векторным анализом. Наибольшую наглядность понятия и величины векторного анализа имеют в случае поля вектора скорости текущей несжимаемой жидкости [3, 8, 9]. В дальнейшем будут рассматриваться примеры и аналогии именно из этой области. 2.1. Интегральные характеристики физических полей Важные характеристики векторного поля – циркуляция и поток. В случае текущей жидкости предполагается, что во всем объеме, кроме канала, образованного контуром L (рис. 2.1), жидкость мгновенно замораживается. В зависимости от характера поля жидкость в канале окажется либо неподвижной, либо будет циркулировать (двигаться вдоль контура) [8]. В данном случае мера циркуляции – произведение скорости жидкости в канале на длину контура. После преобразований [8] приходим к формуле (2.1). . (2.1) Для силового поля циркуляция – это работа силы по контуру L. Потоком (Фп) векторного поля 𝐹 через поверхность S (рис. 2.2) называется число, равное значению поверхностного интеграла второго рода . В случае текущей жидкости ее потоком через поверхность S будет объем жидкости, протекающей в единицу времени через эту поверхность. Элементарный поток через dS (рис. 2.2) за единицу времени будет равен скалярному произведению вектора поля на вектор dS⋅ 𝑛⃗. После преобразований [8] получим: Фп = . (2.2) Знак потока зависит от выбора направления нормали к dS. В случае замкнутых поверхностей принято вычислять поток, «вытекающий» наружу, поэтому выбирается внешняя нормаль [8]. Для анализа векторного поля в конкретной точке пространства необходимо перейти к дифференциальным характеристикам. 2.2. Дифференциальные характеристики физических полей В векторном анализе удобно использовать дифференциальные операторы градиент, дивергенцию, ротор. Градиент – векторная характеристика скалярного поля. Градиентом скалярной функции называется вектор, численно равный производной от этой функции по направлению нормали к поверхности уровня и направленный по этой нормали: . Градиент численно равен максимальной скорости изменения функции (Направление градиента совпадает с направлением быстрейшего изменения функции В декартовой системе координат (2.3) Таким образом, градиент представляет собой скорость пространственного изменения скалярной величины, - каждая его компонента показывает скорость изменения вектора по соответствующей координате. Градиент ориентирован в таком направлении, где он имеет самую длинную проекцию [3]. Дивергенция – это скалярная характеристика векторного поля. Дивергенция векторного поля 𝐹 - это скалярная величина, равная пределу отношения потока через замкнутую поверхность S к объему, заключенному внутри этой поверхности (рис. 2.4), при условии, что поверхность стягивается в точку. . (2.4) Дивергенция характеризует интенсивность источников поля. Если 𝑑𝑖𝑣𝐹 = 0, это значит, что в данной точке нет источников. В декартовой системе координат . (2.5) Данная формула выводится путем анализа потока через поверхность, охватывающую объем V (рис. 2.4). Анализируя потоки внутрь и наружу для составляющей Fy , получаем: . (2.6) Аналогичные результаты получаются для Fx и Fz , что дает в результате . (2.7) . (2.8) Ротор характеризует способность поля к образованию вихрей. Если в какой-то точке поля rotF не ровняется 0, то в этой точке находится вихрь или замкнутая силовая линия (рис. 2.7). Наглядное представление о роторе можно получить для поля вектора скорости текущей жидкости, представив себе крыльчатку (колесо с прямыми лопастями), помещенную в данную точку жидкости. В тех местах, где ротор отличен от нуля, крыльчатка будет вращаться, причем с тем большей скоростью, чем больше по величине проекция ротора на ось крыльчатки [8]. В декартовой системе координаты ротора вычисляются по формуле (2.9), которая выводится из (2.8) с помощью анализа циркуляции поля по элементарному прямоугольному контуру (отрезки 1-4 на рис. 2.8). . (2.9) Разность F z 3 F z1 представляет собой приращение среднего значения Fz на отрезке z при смещении этого отрезка по оси y на y. Ввиду малости y и z это приращение можно представить в виде производной в центральной точке. После выполнения аналогичной операции со вторым слагаемым получим: . (2.10) После подстановки в (2.8) получаем x-составляющую (2.9), при этом неточности допущений исчезают при стягивании контура в точку. Другие составляющие ротора вычисляются аналогичным способом [8]. Любое слагаемое (2.9) получается из предыдущего путем циклической перестановки переменных: x y z x. Переход между дифференциальными и интегральными характеристиками поля осуществляется с помощью следующих теорем векторного анализа. 2.3. Основные теоремы векторного анализа Рассматриваемые теоремы требуют, чтобы функция векторного поля была непрерывно дифференцируема в области вычисления, что для реальных ЭМП всегда выполняется [9]. Теорема М. Остроградского – К. Гаусса Данная теорема расширяет понятие дивергенции для конечного объема. Поток векторного поля 𝐹 через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали равен тройному (объемному) интегралу от дивергенции 𝐹 по области V , ограниченной поверхностью S : . (2.11) Рассмотрим доказательство теоремы для потока жидкости [8]. Произведение 𝑑𝑖𝑣𝐹 𝑑𝑉 дает мощность источников в элементарном объеме dV, поэтому полная мощность источников поля в объеме V определяется объемным интегралом в правой части (2.11). Поток через замкнутую поверхность состоит из суммы входящего и выходящего потоков (точнее из разности выходящего и входящего из-за противоположных направлений нормалей к S). Итоговый поток будет положительным, если в объеме преобладают источники поля, и отрицательным, если преобладают «стоки». Таким образом, выходящий наружу поток для несжимаемой жидкости (объем жидкости проходящий через S за единицу времени) равен мощности источников в объеме V. Формула (2.11) позволяет свести задачу вычисления поверхностного интеграла второго рода по замкнутой поверхности к более простой: вычислению тройного интеграла по области V [9]. Обратный переход по (2.11) осуществляется аналогично (2.4). Теорема Д. Стокса Данная теорема позволяет рассчитывать циркуляцию вектора по контуру конечной длины с помощью ротора этого вектора. Циркуляция векторного поля 𝐹 по замкнутому положительно ориентированному контуру L равна потоку ротора этого поля через любую гладкую поверхность S, опирающуюся на данный контур : (2.12) Для доказательства теоремы рассмотрим контур с охватываемой им площадью (рис. 2.6). Весь контур разбивается на элементарные контуры той же ориентации (рис. 2.10). Все смежные контура (1 и 2 на рис. 2.10) имеют такую особенность: на общей границе при том же значении поля вклад в циркуляцию по каждому из смежных контуров будет происходить с изменением знака (для контура 1 - ab, а для 2 - ba). В результате вклад в циркуляцию всех внутренних участков контуров взаимно компенсируется, и нескомпенсированными останутся только участки принадлежащие контуру L, что в итоге дает (2.12) [8]. Частным случаем (2.12) в случае расположения контура на плоскости является формула Д. Грина (М. Остроградского- Д. Грина [9]): . (2.13) Формулы (2.12) и (2.13) позволяют свести вычисление криволинейного интеграла второго рода к вычислению двойного интеграла по области S. Обратный переход по (2.12) осуществляется аналогично (2.8). 2.4. Оператор набла и оператор П. Лапласа Написание формул векторного анализа упрощается при использовании оператора набла (оператора У. Гамильтона), представляющего собой вектор x0 y0 z0 . Сам по себе этот вектор x y z смысла не имеет, но позволяет компактно записать формулы (2.3), (2.5) и (2.9): (2.14) 2.5. Классификация векторных полей Векторное поле 𝐴 задано однозначно, если известны его ротор и дивергенция как функции пространственных координат. В зависимости от значений данных функций различают потенциальное, вихревое (соленоидальное) поле и поле общего типа [2]. Векторное поле потенциально, если существует некоторая скалярная функция U, которая связана с следующим образом:. Функцию U называют скалярным потенциалом поля Необходимым и достаточным условием потенциальности является равенство ротора нулю Соленоидальным (вихревым) называется векторное поле 𝐴, в каждой точке которого (необходимое и достаточное условие), Соленоидальное векторное поле А можно представить как root B. В этом случае векторную величину F называют векторным потенциалом поля ( Название поля данного типа можно объяснить тем, что оно было обнаружено в соленоиде, – катушке индуктивности (она может быть как с сердечником, так и без сердечника), длина которой значительно превышает диаметр. Теперь, после изучения интегральных и дифференциальных операций и основных теорем векторного анализа, можно приступить к изучению базиса теории ЭМП – системы уравнений Максвелла. 3. Система уравнений Максвелла Система уравнений Максвелла предложена в 1864 г. Дж. К. Максвеллом как результат обобщения экспериментальных законов электромагнетизма и опубликована в виде 12 уравнений в 1873 г. Современная форма системы уравнений Максвелла (7 уравнений) была получена О. Хевисайдом и Г. Герцем [6]. Из высказываний современников Максвелла о его теории и системе уравнений стоит упомянуть высказанную Л. Больцманом цитату из «Фауста»: «Не бог ли эти знаки начертал? Таинственен их скрытый дар!..», а также Г. Герца: «Трудно избавиться от чувства, что эти математические формулы живут независимой жизнью и обладают своим собственным интеллектом, что они мудрее, чем мы сами и их первооткрыватели, и что мы извлекаем из них больше, чем было в них заложено первоначально» [6, 7]. Ниже будут рассмотрены четыре уравнения системы Максвелла, в которую также входят материальные уравнения (1.5)-(1.7). 3.1. Уравнения Максвелла в интегральной форме . (3.1) . (3.2) . (3.3) . (3.4) Первое уравнение Максвелла (3.1) является обобщением закона Био-Савара-Лапласа (I - ток в проводе длиной dl, r - расстояние от оси провода): ,(3.5) на случай переменного тока. Закон Био-Савара – результат экспериментальных исследований магнитных полей тонких проводников с током, проведенных Ж. Био и Ф. Саваром в 1820 г., который П. Лаплас сформулировал в виде (3.5) [8]. Для прямолинейного проводника с током . Таким образом, было доказано, что вокруг проводника с током существует магнитное поле, индукция которого (B) пропорциональна силе тока, протекающего в проводнике. Максвелл предположил, что магнитное поле порождается не только током проводимости, но и током смещения (рис. 3.1.) В некоторых источниках в качестве основы первого уравнения Максвелла считают закон Ампера, но он определяет силу, действующую на элемент тока: . (3.6) В случае двух прямолинейных параллельных проводников , где d - расстояние между проводниками 1 и 2. Введенный Максвеллом ток смещения – это по существу изменяющееся во времени электрическое поле. Основанием назвать эту величину «током» служит лишь совпадение ее размерности с размерностью тока. Из физических свойств действительного тока ток смещения обладает лишь одним – способностью создавать магнитное поле. Введение тока смещение позволило «уравнять в правах» электрическое и магнитное поля [8]. Сумму тока проводимости и тока смещения называют полным током. Второе уравнение Максвелла (3.2) является обобщением закона электромагнитной индукции М. Фарадея (левая часть (3.2) – электродвижущая сила, наводимая в контуре L; правая часть (3.2) – изменение во времени магнитного потока). Знак «минус» в правой части соответствует правилу Ленца: «Наведенный ток всегда направлен так, чтобы противодействовать причине, его вызывающей» [8]. Заслуга Максвелла состоит в том, что из закона ЭМ индукции он вывел понятие материального контура: контур не обязательно должен быть проводящим, а может быть воображаемым, проходящим через ⃗ связаны в любые среды, - в этом случае векторы 𝐸⃗ и 𝐵 точке пространства без участия вещества. Третье уравнение Максвелла (3.3) является обобщением теоремы Гаусса (левая часть – поток ⃗ через S, правая часть – полный заряд, вектора 𝐷 заключенный в S, для непрерывного и дискретного распределения заряда). Теорема Гаусса была доказана для электростатического поля. Максвелл постулировал справедливость этого закона для произвольных веществ, зарядов и полей. Силовые линии электрического поля начинаются и заканчиваются на зарядах – носителях электрического поля (рис. 2.5) . При отсутствии электрических зарядов силовые линии электрического поля будут замкнутыми. Четвертое уравнение Максвелла (3.4) является аналогом теоремы Гаусса для магнитного поля и выражает принцип непрерывности магнитного потока. Входящий и выходящий потоки через S ⃗ замкнуты. равны. Силовые линии 𝐵 Интегральные уравнения Максвелла верны для физических объектов. Для получения уравнений в дифференциальной форме необходимо осуществить предельный переход, при котором данный объект стягивается в точку. 3.2. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме Уравнения Максвелла в дифференциальной форме выполняются в любой (не особой) точке пространства. . (3.7) . . (3.8) (3.9) . (3.10) Первое (3.7) и второе (3.8) уравнения Максвелла выводятся из (3.1) и (3.2) соответственно с использованием формулы Стокса (2.12). Например, для (3.1): . (3.11) После преобразования левой части (3.1) получаем интегралы по одной и той же поверхности, что позволяет приравнять подынтегральные функции. После выполнения предельного перехода при S0 получаем (3.7). Аналогичным образом выводится (3.8). Операции интегрирования и дифференцирования у непрерывной функции можно менять местами. Обратный переход к (3.1) и (3.2) от (3.7) и (3.8) выполняется интегрированием последних по площади, охватываемой замкнутым контуром, и преобразованием ротора по формуле Стокса (2.12). Второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме показывает, что вихревое электрическое поле создается изменением во времени индукции магнитного поля. Третье (3.9) и четвертое (3.10) уравнения Максвелла выводятся из (3.3) и (3.4) соответственно с использованием формулы Остроградского-Гаусса (2.11). Например, для (3.3) после преобразования левой части по (2.11): . (3.12) После предельного перехода при V0 получаем (3.9). Обратный переход к (3.3) и (3.4) от (3.9) и (3.10) выполняется интегрированием последних по объему V, охватываемому замкнутой поверхностью S, и преобразованием дивергенции по формуле Остроградского-Гаусса (2.11). Третье и четвертое уравнения Максвелла в дифференциальной форме показывают наличие носителей у электрического поля (3.9) и отсутствие носителей у магнитного поля (3.10). В случае появления сторонних величин (jст, ст и т. п.) они суммируются с соответствующими величинами системы уравнений Максвелла. 3.3. Уравнение непрерывности Уравнением непрерывности называют дифференциальную форму закона сохранения заряда : . (3.13) Кроме того, (3.13) можно вывести из (3.7), применив операцию «div» : . (3.14) После преобразования левой части по (2.15), замены порядка выполнения операции дифференцирования по времени и дивергенции в правой части и применения затем (3.9) мы получим уравнение непрерывности. Без введения тока смещения (3.13) и уравнения системы Максвелла в дифференциальной форме не выполняются. Если приравнять нулю ток смещения в (3.1), то получается, что если контур L не охватывает провода с током. Аналогично с (3.7), если jпр=0, то из (3.14) следует, что всегда . В обоих случаях явно не хватает слагаемого для случая переменного тока. Введение Максвеллом тока смещения сняло указанные противоречия при соблюдении (3.13) [8]. 3.4. Уравнения Максвелла в комплексной форме В радиотехнике часто используются гармонические колебания. В линейных и линеаризованных системах удобно использовать метод комплексных амплитуд. В этом случае считают, что кроме реального сигнала cos (t+z) действует и мнимый isin (t+z). После преобразования по формуле Л. Эйлера: cos (t+z) exp (i(t+z)). Когда вычисления завершены, для получения окончательного ответа из комплексного сигнала достаточно выделить действительную часть. В комплексной форме операции интегрирования и дифференцирования по времени существенно упрощаются: . (3.15) Кроме того, переход к комплексному сигналу позволяет четко разделить амплитуду и фазу: cos (…) 1, а exp (i(…))=1. Комплексную амплитуду (кроме амплитуды в нее входит и начальная фаза) мы будем обозначать точкой сверху. В комплексной форме уравнения (3.7) и (3.8) будут иметь вид: (3.16) (3.17) Введение 𝜀̃ делает уравнения (3.16) и (3.17) похожими. В случае наличия магнитных потерь аналогичная замена (𝜇 ⇒ 𝜇̃) проводится с (3.17). (3.18) Третье и четвертое уравнения записывать в комплексной форме не обязательно, поскольку в них принципиальных изменений не произойдет. Кроме того, данные уравнения могут быть выведены после применения операции «дивергенция» к (3.16) и (3.17) [2, 8] . 3.5. Тангенс угла диэлектрических потерь. Классификация сред Для оценки соотношения между током проводимости и током смещения удобно ввести величину тангенс угла диэлектрических потерь: . (3.19) На практике при измерении на высоких частотах tg обычно оказывается больше, чем результаты по (3.19). Это происходит в основном из-за влияния поляризационных потерь [11], которые суммируются с tg (3.19). Для типичных диэлектриков на высоких частотах именно данный вид потерь является преобладающим [11], поэтому более точно определение tg как отношение активной части плотности полного тока смещения к реактивной [12]: , (3.20) ⃗ от 𝐸⃗ (линейный где Э – угол запаздывания по фазе 𝐷 электрический гистерезис) [12]. Подобные эффекты, связанные с поляризованностью вещества будут рассмотрены при анализе ЭМП в диэлектриках. В зависимости от значения 𝑡𝑔𝛿 среды можно классифицировать так: (3.21) Из (3.19) и (3.20) следует, что tg зависит от частоты. Из этого следует, что одно и то же вещество может на низких частотах вести себя как проводник, а на высоких – как диэлектрик. Например, морская вода с параметрами =1 См/м и =80 на частотах <23 МГц проявляет себя как проводник, а на частотах >2,3 ГГц – как диэлектрик. Параметры (, и т. д.) некоторых веществ приведены в Приложении 3. Параметры большинства веществ зависят от частоты (имеют частотную дисперсию). У сложных по составу веществ данная дисперсия существенна [12]. Следует отметить, что такие типичные диэлектрики как фарфор, эбонит, слюда из-за очень малой (<10-12 См/м) даже на очень низких частотах остаются диэлектриками, а металлы из-за очень высокой (>106 См/м) остаются проводниками на высоких частотах вплоть до диапазона гамма-излучения. 4. Граничные условия для векторов ЭМП Поскольку уравнения Максвелла в дифференциальной форме нельзя применять на границе раздела сред, где векторы ЭМП претерпевают разрыв, необходимо найти граничные условия для векторов ЭМП с помощью уравнений Максвелла в интегральной форме. Исследуемые векторы удобно разлагать на нормальные и тангециальные составляющие (рис. 4.1). 4.1. Нормальные составляющие При выводе формул для нормальных составляющих векторов электрического поля третье уравнение Максвелла в интегральной форме (3.3) применяется к элементарному цилиндру, проходящему через границу раздела сред (рис. 4.2). Будем считать, что граница раздела может быть заряжена с поверхностной плотностью заряда S (1.2). В этом случае заряд, сосредоточенный внутри цилиндра, Q=S S. . (4.1) ⃗ на границе Нормальная составляющая вектора 𝐷 раздела сред претерпевает скачок, равный плотности поверхностного заряда. При отсутствии поверхностного заряда (S=0) нормальная составляющая вектора электрической индукции на границе раздела сред непрерывна, а нормальная составляющая вектора напряженности (𝐸⃗ ) претерпевает скачок, равный обратному отношению диэлектрических проницаемостей сред: ; . (4.2) Если обе среды обладают электропроводностью, то необходимо связать между собой и нормальные составляющие векторов плотностей тока (1.7). Применяя закон сохранения заряда в интегральной форме к тому же элементарному цилиндру (рис. 4.2) при стягивании его в точку, получим [5]: . (4.3) Граничные условия для нормальных составляющих векторов магнитного поля выводятся применением четвертого уравнения Максвелла в интегральной форме (3.4) к элементарному цилиндру (рис. 4.2). Аналогично выводу (4.1) ; . (4.4) Таким образом, нормальная составляющая вектора магнитной индукции на границе раздела сред непрерывна, а нормальная составляющая вектора напряженности магнитного поля Н претерпевает скачок, равный обратному отношению магнитных проницаемостей сред. 4.2. Тангециальные составляющие При выводе формул для тангециальных (касательных) составляющих векторов электрического поля второе уравнение Максвелла в интегральной форме (3.2) применяется к элементарному прямоугольному контуру abcd, проходящему перпендикулярно через границу раздела сред (рис. 4.3): . (4.5) При стягивании контура к границе раздела (h0) циркуляция h и правая часть (4.5) стремятся к нулю. В результате получаем: . (4.6) Таким образом, тангециальная составляющая вектора напряженности электрического поля на границе раздела сред непрерывна, а тангециальная составляющая вектора электрической индукции претерпевает скачок, равный отношению диэлектрических проницаемостей сред. При выводе формул для тангециальных составляющих векторов магнитного поля первое уравнение Максвелла в интегральной форме (3.1) применяется к элементарному прямоугольному контуру abcd (рис. 4.3): . (4.7) При стягивании контура к границе раздела (h0) циркуляция h и правая часть (4.7) стремятся к нулю. В результате получаем: (4.8) Таким образом, тангециальная составляющая вектора напряженности магнитного поля на границе раздела сред непрерывна, а тангециальная составляющая вектора магнитной индукции претерпевает скачок, равный отношению магнитных проницаемостей сред. На границе идеального проводника () возможно существование поверхностного тока проводимости (Iпов). (Как будет показано в разделе 9, ЭМП высоких частот в металлическом проводнике действительно концентрируется в очень тонком поверхностном слое – скин-слое.) В этом случае правая часть (4.7) при h0 стремится не к нулю, . (4.9) Таким образом, при наличии поверхностного тока тангециальная составляющая вектора напряженности магнитного поля претерпевает скачок, равный плотности поверхностного тока. Полученные граничные условия позволяют найти соотношения между углами падения и прохождения при отсутствии поверхностных токов и зарядов. Для векторов электрического поля из векторных соотношений (рис. 4.1) и граничных условий (4.2) и (4.6) следует: (4.10) Аналогично для векторов магнитного поля из (4.4) и (4.8) следует: (4.11) Из (4.10) и (4.11) следует, что если параметры сред отличаются существенно (2>>1 или 2>>1), то соответствующий вектор во второй среде будет направлен почти по нормали (на рис. 4.1 290) независимо от угла наклона вектора в первой среде. Например, если 2/1=100, то 2>89 при 1>30. 5. Теорема Умова-Пойтинга. Баланс ЭМ энергии. Каждое слагаемое в (5.4) имеет размерность мощности: . (5.5) Закон сохранения ЭМ энергии, доказанный Дж. Пойтингом в 1884 г., можно сформулировать так: «Мощность стороннего источника в данном объеме расходуется на излучение, тепловые потери и изменение запаса энергии ЭМП». Ранее, в 1874 г. Н. А. Умовым была доказана аналогичная теорема для упругих сред, поэтому выведенные формулы носят имя обоих ученых [11, 12]. Мощность тепловых потерь (потерь проводимости) подчиняются закону Дж. Джоуля-Э. Ленца. Изменение запаса энергии имеет размерность мощности: , (5.6) где WЭМ – энергия ЭМП, а wЭМ – объемная плотность энергии Вектор называется вектором Пойтинга. По теореме (2.11) . Таким образом, вектор Пойтинга указывает направление распространения излучения, а его модуль представляет собой плотность потока мощности излучения (рис. 5.1). Для получения формул в комплексной форме используются (3.16) и (3.17). При этом умножаем Е на уравнение, комплексно сопряженное (3.16) с учетом стороннего тока, а (3.17) на Н После преобразований, аналогичных (5.3), и интегрирования по объему получаем: . (5.7) , (5.8) магнитного и электрического поля соответственно, [12]. Выражение (5.8) – баланс комплексных мощностей в объеме V. Рассмотрим понятия мгновенной, средней, комплексной мощности на примере тока (I(t)= и напряжения (U(t)= [12]. Мгновенной мощностью называют P(t)=U(t)I(t). После подстановки и преобразований получим: . (5.9) Постоянная составляющая P(t) – средняя мощность (Pср). Pср зависит от фазового сдвига между U и I и равна средней за период измеряемой мощности. Для комплексных амплитуд: . (5.10) Действительная часть комплексной мощности (активная мощность): . (5.11) Реактивная мощность как известно из теории цепей, характеризует процесс обмена энергией между источником и цепью. При Pр>0 энергия запасается в магнитном поле, а при Pр<0 – в электрическом. Мгновенная, средняя (активная) мощность измеряются в ваттах [Вт], комплексная – в вольтамперах [ВА], реактивная мощность – в реактивных вольт-амперах [вар]. Хотя все мощности имеют размерность [Дж/с], физический смысл этих понятий различен [12]. Выделим действительную и мнимую часть (5.8): , (5.12) . (5.13) Из (5.12) следует, что средняя мощность стороннего источника тратится на тепловые потери в объеме V и на создание ЭМП за пределами V (рис. 5.1). Из (5.13) следует, что реактивная мощность стороннего источника расходуется на создание потока реактивной мощности через границу V и на создание запасов реактивной энергии в объеме V. Даже при отсутствии стороннего источника в V возможны колебания энергии при переходе электрической энергии в магнитную и наоборот подобно тому, как это происходит в колебательном LC-контуре без потерь [12]. . (5.14) Для нахождения скорости движения гармонического сигнала в (5.14) следует подставлять средние за период значения [11]. 6. Волновые уравнения для векторов ЭМП. Для анализа распространяющихся ЭМВ из системы уравнений Максвелла в дифференциальной форме целесообразно выделить уравнения, которые зависят либо только от Е, либо только от Н. При выводе будем полагать, что параметры среды не зависят от координат и времени. Возьмем ротор от (3.7): . (6.1) После преобразования левой части по (2.15) и правой части по (3.8): . (6.2) С учетом (3.10) после преобразований получим: . (6.3) Мы учли следующее соотношение для скорости света в вакууме: . (6.4) Аналогичным образом из (3.8) с использованием (3.7) и (3.9) получаем: . (6.5) Уравнения (6.3) и (6.5) называют волновыми уравнениями Ж. Д’Аламбера [5, 12]. Если правая часть равна нулю, то уравнение называют однородным, а если нет – неоднородным. При отсутствии электрических зарядов (=0) уравнения (6.3) и (6.5) практически совпадают, что подтверждает равноправие векторов Е и Н у распространяющегося в пространстве ЭМП. Несмотря на кажущуюся независимость (6.3) и (6.5) следует помнить о том, что у переменного ЭМП векторы Е и Н связаны и не могут существовать друг без друга (следует из (3.7)-(3.10)). Волновые уравнения в комплексной форме выводятся из уравнений Максвелла в комплексной форме (3.16)(3.18) или из (6.3) и (6.5) после замены производных по времени согласно (3.16). , (6.6) , (6.7) ̃ где 𝑘– волновое число: . (6.8) Уравнения (6.6)-(6.7) называют волновыми уравнениями Г. Гельмгольца [1-5]. В случае отсутствия потерь проводимости (=0) исчезают вторые слагаемые в (6.3) и (6.5), а также в (6.6)-(6.8) возможно упрощение – 𝜀̃ = 𝜀. При отсутствии магнитных потерь 𝜇̃ = 𝜇. При наличии сторонних источников ЭМП или наличии зависимости параметров среды от координат левая часть уравнения не изменяется, но в правой части появляются дополнительные слагаемые. Например, если проводимость среды зависит от координат ((x, y, z)), то ее нельзя выносить за rotE в (6.1), а следует выполнить преобразование по (2.15). В итоге (6.3) запишется в виде: . (6.9) Для вакуума (=0, ==1) уравнение Д’Аламбера (6.3) упрощается : . (6.10) Рассмотренные уравнения называются волновыми потому, что их решениями являются волны, и, в частности, – ЭМВ (волновые уравнения вида (6.10) в физике были получены задолго до обнаружения ЭМВ). Как показали расчеты и эксперименты, «произвольная» в физических аналогах (6.10) константа с для ЭМП удивительным образом совпадает со значением скорости света в вакууме. Из этого был сделан вывод о том, что ЭМВ и свет имеют одну и ту же природу. Как будет показано ниже, в пространстве без потерь ЭМВ распространяются со скоростью света. Полученные волновые уравнения относятся к классу дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных гиперболического типа [14-16]. Для произвольной формы волны и произвольной системы координат волновые уравнения решить весьма трудно, поскольку вид решения и методы его получения зависят от начальных условий и т. п. В дальнейшем будем считать, что направление распространения ЭМВ совпадает с осью z. 7. Решение волновых уравнений. Плоские волны Решением однородного одномерного волнового уравнения (в (6.10)) (7.1) является функция вида (F1 и F2 – произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции) [16]: . (7.2) Каждое из слагаемых (7.2) описывает возмущение, исходящее из точки z0 в момент t=0 и к моменту времени t приходящее в точку z= z0-vt для F1 и в точку z= z0+vt для F2 со скоростью v (рис. 7.1) [16]. Решения вида (7.2) для (7.1) получены Ж. Д’Аламбером еще в 1747 г. [1]. Общие решения для более сложных случаев (неоднородные, двух- и трехмерные волновые уравнения) приведены в [16, С. 348-350]. Частные решения, представляющие интерес для теории ЭМП приведены в приложении 4. Фазовым фронтом волны называют поверхность, проходящую через точки с одинаковыми фазами, по форме этой поверхности определяется название волны (сфера – сферическая ЭМВ, плоскость – плоская и т. д.) [11]. Рассмотрим частный случай трехмерного волнового уравнения, решением которого являются сферические волны. Для сферической функции F(r) (F(r) имеет только радиальную составляющую, запишем (6.10). После замены переменных, рассмотренной в приложении 4, получаем одномерное уравнение относительно r [3]: . (7.3) Умножив (7.3) на r, мы получим уравнение вида (7.1) относительно функции rF(r): , решение которого известно – (7.2): следует: , откуда . (7.4) Первое слагаемое (7.4) представляет собой сферическую волну, расходящуюся от источника (рис. 7.2). Второе слагаемое следует отбросить, поскольку волна, движущаяся внутрь источника, физического смысла не имеет [3]. В отличие от (7.2) амплитуда сферической волны (7.4) уменьшается при удалении от источника как 1/r (мощность соответственно как 1/r2). Это связано с тем, что мощность изотропного источника (Pист) равномерно распределяется по расходящимся сферам. С учетом того, что площадь сферы 4r2 получаем : . (7.5) Таким образом, даже при отсутствии потерь в пространстве плотность потока мощности сферической волны уменьшается с расстоянием как 1/r2. На практике ЭМВ обычно применяют для передачи на дальние расстояния. В этом случае удобно применение идеализации «плоская волна». На большом расстоянии от источника ЭМВ (в дальней зоне антенны) сферический волновой фронт можно в области приемной антенны аппроксимировать плоскостью, подобно тому, как земную поверхность можно считать плоской при малых высотах и на дистанциях, много меньших расстояния прямой видимости. Плоская ЭМВ – идеализированная волна, имеющая плоский фазовый фронт (z=const), у которой существуют две взаимно перпендикулярные составляющие Е и Н зависящие только от координаты z и расположенные в плоскости, перпендикулярной z (рис. 7.3). ЭМВ называется однородной, если ее амплитуда постоянна во всех точках фазового фронта, и неоднородной, если ее амплитуда зависит от координат точек фазового фронта. Применение идеализации «плоская ЭМВ» позволяет во многих практических случаях свести задачу анализа от трехмерной к одномерной: пространство вокруг источника разбивается на участки, на каждом из которых ЭМВ можно считать плоской, после чего каждый из участков анализируется независимо. (Одно из частных решений трехмерного волнового уравнения – суперпозиция плоских волн вида (7.2) для каждой декартовой координаты (Приложение 4).) 7.1. Плоские ЭМВ как частные решения волновых уравнений Уравнения Максвелла в комплексной форме (3.16)(3.17) для составляющих векторов плоской волны в декартовой системе координат имеют вид: ;;; . (7.6) 7.2. Коэффициенты затухания и фазы Из анализа (7.11) и (7.12) очевидно, что – это коэффициент затухания, а – коэффициент фазы. Подставляя (7.12) в (6.3),(6.5) или (7.11) в (6.6),(6.7), после решения уравнений относительно и получаем : , (7.13) . (7.14) Множитель в (7.11) и (7.12) показывает затухание ЭМВ, при распространении ее вдоль оси z. Чем больше , тем больше затухание ЭМВ. Ослаблением (A) ЭМВ по полю называют величину . (7.15) На практике часто используют ослабление в децибелах (дБ): . (7.16) С ослаблением непосредственно связана глубина проникновения ЭМП в вещество (), называемая также толщиной поверхностного слоя (скин-слоя, но это понятие логичнее использовать для металлов). . (7.17) При прохождении слоя вещества z= амплитуда ЭМП ослабляется в е (е=2,71828…) раз, и соответственно в следующий слой (рис. 7.6) проходит лишь 1/е2 мощности ЭМП. Получается, что в поверхностном слое концентрируется 86,5% энергии ЭМП, в слое 2 – 98,2%, а в слое 3 – 99,8%. Таким образом, зная коэффициент затухания можно определить слой вещества, где преимущественно концентрируется энергия ЭМП. В случае диэлектриков толщина поверхностного слоя значительна, в то время как для проводников на высоких частотах она составляет доли миллиметра. Если минимальный размер объекта превышает 3, то следует учитывать неравномерность распределения ЭМП в веществе. Например, если в микроволновую печь положить вещество толщиной много больше 3, то во внутренние слои ЭМП не проникает, и они останутся «сырыми». 7.3. Параметры ЭМВ Длиной волны () называется расстояние между двумя фронтами ЭМВ, различающимися по фазе на 2 (360). На рис. 7.5 период (Т) взят между двумя максимумами ЭМВ. . С учетом того, что , получаем: . (7.18) Фазовой скоростью (vф) называется скорость перемещения фазового (волнового) фронта ЭМВ. При анализе (7.12) мы выше определили направление движения ЭМВ, зафиксировав волновой фронт в какой-то момент времени. Дифференцирование 𝛹0 по времени дает фазовую скорость ЭМВ: . (7.19) Фазовая скорость может изменяться в любых пределах (может быть больше с!), поскольку не является скоростью переноса энергии. Групповой скоростью (vгр) называют скорость движения фронта (например, максимума) огибающей модулированного сигнала. Информационный сигнал не является монохроматическим, он занимает полосу частот (на рис. 7.7 2 = в–н , 0(центральная или несущая циклическая частота сигнала) = (в+н)/2). Каждая спектральная составляющая может иметь свою скорость распространения, что в диспергирующих средах приводит к искажениям сигнала. Рассмотрим ЭМВ узкополосного сигнала [11]: . (7.20) Разложим () в ряд Тейлора около точки: . (7.21) Понятие «групповая скорость» вводится только для сред с малыми потерями, поэтому при <<0 можно отбросить члены ряда, начиная с третьего. Для бигармонического сигнала получается наглядное представление (рис. 7.8): , где первый множитель описывает огибающую суммарного сигнала (биений), а второй – высокочастотное заполнение с циклической частотой несущей (0). Таким образом, для узкополосного сигнала . (7.22) Для неискаженной передачи необходимо, чтобы групповая скорость системы передачи была неизменной в полосе частот, занимаемой сигналом [11]. Групповая скорость узкополосного сигнала – это скорость передачи энергии, она не может быть выше скорости света. Характеристическое сопротивление (Zс) ЭМВ равно отношению амплитуд поперечных составляющих электрического и магнитного полей: . (7.23) При комплексном Zс вектор Н отстает по фазе от Е на некоторый угол (на рис. 7.4 данные векторы синфазны). Получается, что характеристическое сопротивление зависит только от параметров среды. Zв называют волновым сопротивлением среды. Для ЭМВ, распространяющейся в некоторой среде, Zc=Zв. Волновое сопротивление вакуума (=0, ==1) (Z0): (7.25) Тогда (7.24) можно записать в виде : . (7.26) 8.2. Поведение диэлектриков в ЭМП Еще М. Фарадей обнаружил, что, помещая диэлектрик между обкладками конденсатора, можно увеличить емкость конденсатора в раз. Поскольку ток проводимости в диэлектрике практически отсутствует, данное явление можно объяснить поляризацией диэлектрика [3]. Напомним, что электрическим диполем (𝑝э) называется совокупность двух точечных разноименных электрических зарядов (q), равных по величине и разнесенных на малое расстояние (l – плечо диполя). Моментом электрического диполя (𝑝э = 𝑞𝑙 ) называется вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному, модуль которого равен произведению заряда на плечо [11]. Поляризованность диэлектрика – векторная величина, равная пределу отношения электрического момента (суммарного момента электрических диполей) некоторого объема к величине этого объема, который стягивается в точку (V0) : . Поляризованность вещества характеризует его электрическое состояние; обычно она линейно зависит от Коэффициент 𝜒э называется диэлектрической восприимчивостью вещества [2]. С учетом соотношения (1.5) можно переписать в виде: . (8.8) Поведение диэлектриков в ЭМП зависит от его молекулярной структуры. Неполярные диэлектрики имеют молекулы или атомы, у которых центры положительных и отрицательных зарядов совпадают. Под влиянием внешнего электрического поля возникает электронная поляризация (смещение электронных орбит) и индуцируется дипольный момент. Полярные диэлектрики имеют молекулы, обладающие постоянными дипольными моментами. Центры положительного и отрицательного зарядов в данных молекулах не совпадают, поскольку в молекулах содержатся атомы различных веществ. Согласно [17] у полярных диэлектриков можно выделить атомную и упругую поляризации. Атомная поляризация характерна для твердых веществ типа хлорида натрия (NaCl). Хотя каждая отдельная пара ионов Na+Cl– представляет собой диполь, в целом из-за образования ионной решетки такой диполь свободно вращаться не может. Под действием внешнего поля происходит изменение дипольного момента из-за того, что ЭМП «растягивает» ионы диполя [17]. Упругая дипольная поляризация характерна для воды и других полярных жидкостей, дипольные моменты которых могут вращаться. Из-за теплового движения дипольные моменты направлены хаотически. Под действием электрического поля происходит ориентационная поляризация вещества: дипольные моменты стремятся ориентироваться по полю [17]. Эффект усиливается с понижением температуры. С ростом частоты ЭМП из-за инерционности молекул (молекулы не успевают поворачиваться в такт с изменением ЭМП) эффект ослабляется [11]. Из-за взаимодействия между молекулами энергия ЭМП преобразуется во внутреннюю (тепловую) энергию вещества. Данный вид поляризации более подробно рассматривается в разделе 8.3. Сегнетоэлектрики (сегнетова соль, титанат бария) – монокристаллы, имеющие области (домены) с самопроизвольной поляризацией. Появление ЭМП приводит к лавинообразному ориентированию дипольных моментов всех доменов, поэтому у сегнетоэлектриков достигает значительных величин. Хотя принципиально каждая среда под влиянием внешнего магнитного поля намагничивается, магнитные свойства диэлектриков (в отличие от ферромагнетиков) проявляются слабо и практически не принимаются в расчет. Аналогично понятиям электрического поля (моменту диполя, поляризованности, диэлектрической восприимчивости) для магнетиков (магнитодиэлектриков, в состав которых входят и металлы) вводятся понятия магнитного момента, намагниченности и магнитной восприимчивости (𝜒м ). Магнитный момент (𝑝м) создается в веществе под влиянием магнитного поля в результате упорядоченной ориентации молекулярных токов [11]. ⃗⃗ ) называется предел Намагниченностью вещества (𝑀 отношения суммы магнитных моментов некоторого объема вещества к этому объему при стягивании его в точку ( 0) : [11]. Интенсивность намагниченности вещества характеризует его магнитное состояние; в линейном приближении она пропорциональна Коэффициент 𝜒м называется магнитной восприимчивостью вещества [2]. С учетом соотношения (1.6) можно переписать в виде: . (8.9) Изотропные линейные магнетики разделяют на две группы – парамагнетики и диамагнетики. В диамагнетиках (углерод, ртуть, серебро, медь, инертные газы и т. п. [2]) внешнее магнитное поле индуцирует внутриатомные кольцевые токи, ослабляющие результирующее поле, поэтому <1 (𝜒м <0). Диамагнетизм проявляется во всех веществах, но его влияние может оказаться пренебрежимо малым по сравнению с парамагнетизмом и ферромагнетизмом. В парамагнетиках (кислород, редкоземельные элементы, алюминий, платина и т. п. [2]) атомы имеют собственные магнитные моменты, создаваемые орбитальным движением электронов. Под действием внешнего магнитного поля данные моменты ориентируются, и результирующее поле увеличивается, поэтому >1 (𝜒м >0). Магнитные свойства парамагнетиков и диамагнетиков проявляются весьма слабо, поэтому часто полагают, что для этих веществ 1. Ферромагнетизм является частным случаем ферримагнетизма. Кристаллическая решетка ферримагнетиков состоит из подрешеток ионов одного типа, каждая из подрешеток имеет свой магнитный момент. Итоговый магнитный момент вещества определяется суммой векторов магнитных моментов подрешеток, которые обычно противоположно направлены. Таким образом, ферромагнетик – это ферримагнетик с одной единственной подрешеткой [1]. В технике СВЧ используют анизотропные свойства ферритов. Феррит представляет собой твердый раствор углерода в железе. Известно явление ферромагнитного резонанса, при котором энергия ЭМП поглощается в феррите. Подробное исследование физических процессов в ферритах и ферритовых устройствах проводится в курсах «Электродинамика» [11] и «Устройства СВЧ». 8.3. Поглощение ЭМП веществом. Диэлектрический нагрев Многие вещества, подвергаемые тепловой обработке, (пищевые продукты, глина и т. п.) содержат в себе значительное количество воды или имеют схожий с водой механизм поляризации. Упругая дипольная поляризация, характерная для воды и других полярных жидкостей, позволяет использовать энергию ЭМП для нагрева веществ. Под действием ЭМП дипольные моменты стремятся ориентироваться по полю, при этом им необходимо преодолевать сопротивление трения вязкой среды. В результате энергия ЭМП с малыми потерями переходит в тепловую энергию вещества, что используется в технике диэлектрического нагрева. Исследование явления поглощения ЭМП веществом и диэлектрического нагрева начались еще в 30-х годах ХХ-го века [17]. Как известно, в молекуле воды положительный заряд сосредоточен около атомов водорода, а отрицательный – около атома кислорода, что позволяет представить молекулы воды в виде диполей .Момент вращения системы из N усредненных диполей в однородном поле 𝐸⃗ определяется формулой: . (8.10) Для перехода диполя из состояния неупорядоченного теплового возбуждения в упорядоченное состояние и обратно требуется некоторое время, которое называется временем релаксации (абсорбции) (р). Процесс релаксации описывается экспоненциальной зависимостью: exp(-(t/р)). Величина р=1/р определяет собственную частоту релаксации. Если период колебаний переменного ЭМП будет меньше времени релаксации, то получить упорядоченное состояние диполей невозможно [17]. Предположив наличие процесса абсорбции, П. Дебай впервые получил теоретическую частотную зависимость действительной () и мнимой () составляющих комплексной диэлектрической проницаемости (см. (3.18), (3.20))[17]: . (8.12) Зависимости (8.11) и (8.12) приведены на рис. 8.1 в логарифмическом масштабе по (н=(0), =(). Как видно из графиков, на частоте =р имеет место максимум диэлектрических потерь () и резкое изменение . Одна из моделей диэлектрика с потерями, используемая при анализе однородных по составу веществ, - вращающаяся под действием ЭМП сфера в вязкой среде. В этом случае время релаксации прямо пропорционально вязкости данной среды и обратно пропорционально абсолютной температуре [17]. Более точной и существенно более сложной моделью является замена сферы эллипсоидом вращения, имеющего вместо одного дипольного момента три независимых для каждой оси эллипсоида. Выделяя мощность потерь проводимости из (5.8) с учетом (3.18) и (3.20), получим мощность тепловых потерь в объеме вещества при однородном 𝐸⃗ : . (8.13) Из (8.13) следует, что энергия ЭМП, превращающаяся в тепло, увеличивается пропорционально частоте и квадрату напряженности электрического поля. Увеличение напряженности ограничено электрической прочностью диэлектрика. При превышении некоторой напряженности Епроб , называемой напряженностью пробоя, наступает электрический пробой диэлектрика, приводящий к его разрушению. Например, для сухого чистого воздуха Епроб =3МВ/м. Таким образом, энергию преобразования можно повышать с помощью увеличения частоты. В этом и заключается основной смысл использования в диэлектрическом нагреве ЭМВ диапазонов УВЧ и СВЧ. Отсюда и появились названия СВЧ-нагрев и микроволновый нагрев. Скорость нагрева вещества определяется по формуле [17]: , (8.14) где суд – удельная теплоемкость (Дж/кг/С), m – масса (кг). Мощность, требуемая на нагрев m (кг) вещества на Т (С), равна . (8.15) Формулы (8.14) и (8.15) носят приближенный характер, поскольку используют упрощенную модель диэлектрика, не учитывают отражение и затухание ЭМВ (считается, что вся энергия проникла в вещество, и ЭМП равномерно распределено во всем объеме вещества). На практике из-за невозможности построения оптимальных моделей сложных веществ часто оказывается удобнее экспериментально измерить частотную зависимость параметров диэлектрика ( и ). Повышение частоты имеет ограничение, связанное с поверхностным эффектом. С увеличением частоты размер скин-слоя уменьшается, поэтому, если минимальный размер объекта превышает 2, то ЭМП во внутренние слои вещества не проникает. Данная особенность заставляет в каждой конкретной задаче искать компромисс при выборе рабочей частоты. Явление поглощения ЭМВ веществом широко применяется в электротермии. Микроволновый нагрев, кроме электротермии, находит применение и в других областях: обеззараживание воды и молока, дробление горных пород, геологические разработки в районах вечной мерзлоты. Особенности практического применения диэлектрического нагрева будут рассмотрены в курсе электродинамики, из специализированной литературы можно рекомендовать [17]. 9. ЭМП в проводниках. Скин-эффект Если , то в (7.13) и (7.14) можно пренебречь «1»: ; откуда следует . (9.1) Анализ показывает, что при высоких частотах коэффициент затухания в проводнике достигает значительных величин Соответственно глубина проникновения ЭМП в проводник () составляет мкм (УВЧ) и мм (на ВЧ). Таким образом, ЭМП в проводник не проникает, концентрируясь в тонком поверхностном слое, называемом скин-слоем. Данное явление называют скин-эффектом (skin (англ.) – оболочка, кожа). . (9.2) . (9.3) Волновое сопротивление проводника имеет примерно одинаковые по модулю активную и реактивную части, поскольку при tg>10 для проводников >84. Комплексное волновое сопротивление проводника имеет индуктивный характер, поскольку Н отстает по фазе от Е на 45. Например, для меди (Приложение 3) при частоте ЭМП 1МГц (0=300м) получаем: ==1,5104(1/м), vф=420 (м/с), =4,210-4(м), =67(мкм), vгр=0, Zc=3,710-4exp(i/4) (Ом) [2]. 9.1. Сопротивление проводников на высоких частотах В случае постоянного тока сопротивление проводника цилиндрической формы можно описать формулой (a – радиус проводника): . (9.5) На высоких частотах (при сильном скин-эффекте) ЭМП концентрируется в тонком поверхностном слое, что приводит к уменьшению площади сечения проводника (Sэкв = S0 – Sвн), по которой протекает ток: . (9.6) Обобщая (9.6) для проводника с произвольной формой сечения, получим: , (9.7) где pr – периметр поперечного сечения проводника. Из отношения (9.6) к (9.5) можно найти относительное увеличение активного сопротивления проводника с ростом частоты: . (9.8) 9.2. Сопротивление цилиндрического проводника (общий случай) Рассмотрим распространение плоской ЭМВ вдоль одиночного цилиндрического проводника (рис. 9.2). Анализ удобно проводить в цилиндрических координатах. ЭМП вокруг проводника направлено вдоль оси провода и имеет составляющие Er и H. Преломляясь на границе с проводником, затухающая ЭМВ распространяется в нем по нормали к поверхности. Вектор Пойтинга этой ЭМВ имеет радиальную составляющую ([EzH]) и соответствует тепловым потерям ЭМВ. . (9.9) С учетом (9.1), (7.10) и (7.17) получаем, что . (9.10) После деления (9.9) на получаем уравнение Бесселя (формула (30) Приложения 5) нулевого порядка (n=0) с комплексным аргументом . (9.11) 10. ЭМВ в реальных средах В данном разделе будут рассмотрены общая схема анализа ЭМВ, распространяющихся в реальной среде, и вопросы поляризации ЭМВ. 10.1. Общая схема анализа ЭМВ в реальных средах ЭМП, представленное в виде плоских ЭМВ, в заданной среде удобно анализировать по следующей схеме. 1. Находим tg (3.19). Классифицируем среду (диэлектрик, проводник, полупроводник) в зависимости от значения tg (3.21). 2. Находим и по формулам для соответствующего вида среды: общий случай и полупроводник – (7.13) и (7.14); диэлектрик – (8.1) и (8.2); проводник – (9.1). 3. Находим характеристики ЭМВ (групповая и фазовая скорость, длина волны, затухание, волновое сопротивление и т. п.) и записываем формулу плоской ЭМВ (7.11) или (7.12) для соответствующего вида среды: полупроводник – подразделы 7.2 и 7.3; диэлектрик – подраздел 8.1; проводник – подраздел 9.1. Оценим погрешность приближенных формул для и в случае проводника и диэлектрика. На рис. 10.1 приведены графики этих формул вместе с графиками для общего случая. гр – циклическая частота, на которой tg=1. На рис. 10.2 приведены графики относительных погрешностей формул (в процентах) с логарифмическим масштабом по частоте. Анализ показывает, что погрешность для проводника (tg>10) составляет меньше 5%, а для диэлектрика (tg<0,1) – меньше 0,2%. Рассмотрим, насколько уменьшится погрешность, если мы ужесточим понятие «много больше» и «много меньше». Ранее в (3.21) мы решили, что вместо >>1 можно принять >10 (то есть на порядок больше). Теперь посмотрим, что изменится, если принять, что >>1 соответствует >100 (на два порядка больше). Анализ показывает, что погрешность для проводника при tg>100 составляет менее 0,6%, а для диэлектрика (tg<0,01) – менее 0,002%. Поскольку вычисления по общим формулам (7.13) и (7.14) на современном этапе трудностей не представляют, можно считать примененное в (3.21) деление сред правомочным. Если необходимы вычисления высокой точности, то следует воспользоваться (7.13) и (7.14) независимо от значения tg. 10.2. Поляризация ЭМВ Поляризацию ЭМВ определяют по ориентации вектора 𝛦⃗ . Плоскостью поляризации называют плоскость, проходящую через направление распространения и вектор Е Рассмотрим поведение векторов Е и Н у плоской ЭМВ, распространяющейся вдоль оси z. Будем считать, что ось x ориентирована горизонтально, а ось y – вертикально. Нам достаточно рассмотреть поведение Е, так как связь векторов Е и Н (данные векторы лежат в плоскости x0y) известна (7.23)-(7.26): . (10.1) Запишем мгновенное значение E в декартовых координатах: . (10.2) Линейно поляризованной называют волну, у которой направление вектора Е не изменяется с течением времени. Если в (10.2) B=0, то Е имеет только горизонтальную составляющую, в этом случае ЭМВ имеет горизонтальную поляризацию. Если в (10.2) A=0, то Е имеет только вертикальную составляющую, в этом случае ЭМВ поляризована вертикально. Если фазовый сдвиг между Ex и Ey (=y–x) составляет n, то ЭМВ также будет линейно поляризованной, но в этом случае E составит некоторый постоянный угол с осью x [2, 4]. Из (10.3) следует, что в каждой фиксированной точке наблюдения в плоскости z=const угол линейно возрастает (или убывает) со скоростью с течением времени, изменяясь на 2 за время одного периода T (T=2). Направление вращения E определяется поведением проекции данного вектора на плоскость x0y (z=const). Если смотреть в направлении распространения ЭМВ, и вектор E вращается по часовой стрелке, то такая поляризация называется правовинтовой (или правой). Если вращение происходит против часовой стрелки, то эта поляризация – левовинтовая (или левая) [11]. Круговая поляризация может быть получена суммированием двух ортогональных линейных поляризаций с равными амплитудами. Верно и обратное свойство: эллиптически или линейно поляризованную ЭМВ можно получить суммированием двух волн с круговой поляризацией и противоположными направлениями вращения [11]. Разделение ЭМВ по поляризации позволяет выполнять поляризационную селекцию сигналов. В каждом конкретном случае выбирается основная поляризация. В этом случае поляризация, ортогональная основной, будет паразитной. В идеале ЭМВ паразитной поляризация не должна приниматься антенной, настроенной на основной вид поляризации. Однако реально полностью подавить паразитную поляризацию не удается. На неоднородностях на трассе распространения ЭМВ и линии передачи может происходить изменение характеристик поляризации, что приводит к кросс-поляризации. Например, в радиолокации для уменьшения влияний водяных паров в атмосфере (гидрометеоров) используют разделение по поляризации. Если правовинтовая поляризация выбрана как основная, то в конструкцию антенны включают поляризационную решетку, которая с минимальным ослаблением пропускает ЭМВ основной поляризации, но существенно ослабляет паразитную (левовинтовую) поляризацию. 10.3. Классификация ЭМВ ЭМВ разделяют по наличию или отсутствию продольных составляющих. Если продольные составляющие отсутствуют (Ez=0, Hz=0), волна имеет только поперечные составляющие ES и HS. Такую ЭМВ называют поперечной или Т-волной (от латинского «transversus» - поперечный [2]). У Тволны вектор распространения имеет только радиальную ( ) или z-составляющую ( ). Если Ez=0, но Hz0, то такую волну называют H-волной. Если Hz=0, но Ez0, то это – E-волна. Волна называется гибридной, если Hz0 и Ez0 . При наличии хотя бы одной продольной составляющей векторов ЭМП у вектора появляется и поперечная составляющая ( ). В этом случае характер распространения ЭМВ существенно усложняется. H-волны и E-волны характерны для односвязных волноводов. Гибридные волны характерны для диэлектрических волноводов и световодов (волоконно-оптические линии). 11. Скалярный и векторный потенциалы ЭМП При решении задач излучения необходимо решать систему уравнений Максвелла при наличии сторонних источников ЭМП, что является сложной задачей. Введение электродинамических потенциалов позволяет упростить расчет ЭМП излучающих систем. Из условия соленоидальности магнитного поля (3.10) можно записать: (11.1) где введенную функцию А называют векторным потенциалом. , . (11.4) 11.1. Волновые уравнения для электродинамических потенциалов. Условия калибровки Лоренца и Кулона Подставляя (11.4) в систему уравнений Максвелла для однородной линейной среды при наличии сторонних источников ЭМП, получаем: . (11.5) Потенциальную часть можно определить произвольно. Удобно выбрать так, чтобы в (11.5) исчезло слагаемое в скобках. . (11.6) Условие (11.6) называют калибровкой Лоренца. В случае равенства нулю правой части (11.6) получается калибровка Кулона. С учетом (11.6) из системы уравнений Максвелла получаются неоднородные волновые уравнения для электродинамических потенциалов [2]. . (11.7) . (11.8) Если расписать (11.7) в декартовых координатах, получатся три скалярных уравнения, абсолютно подобных (11.8). Реален ли А или это только лишь «полезное приспособление» для расчета ЭМП? В классической электродинамике А и – лишь вспомогательные величины, поскольку для реального представления ЭМП нам все равно необходим переход к векторам Е и В Любопытное доказательство реальности А как физического поля приводится в [3]. Векторный потенциал А может существовать, даже если В=0. Как известно из физики, магнитное поле вне бесконечного соленоида равно нулю. Векторные линии А представляют собой концентрические окружности вокруг соленоида, подобно векторным линиям В вокруг проводника с током. Для того, чтобы определить наличие тока в соленоиде (а также магнитного поля в соленоиде) достаточно обойти его по замкнутому пути, даже не приближаясь. Проанализируем результаты опыта, приведенного в [3, т. 6, стр. 22]. Через две очень близко расположенные на экране весьма узкие щели пропускаются потоки электронов от точечного источника. На некотором расстоянии от экрана анализируют интерференционную картину. Между щелями за экраном расположен миниатюрный соленоид. Когда через соленоид пропускают ток, интерференционная картина смещается. Поскольку ⃗ =0, получается, что силовое действие вне соленоида 𝐵 на потоки электронов оказывает именно поле 𝐴 [3]. В квантовой электродинамике электродинамические потенциалы считаются фундаментальными величинами, и векторы 𝐴 и вытесняют из записи физических законов Е и В [3]. 11.2. Электродинамические потенциалы в безграничном пространстве Решения волновых уравнений для потенциалов (11.7) и (11.8) имеют наиболее простой вид для сторонних источников ЭМП в безграничном пространстве. Рассмотрим сначала решение скалярного неоднородного уравнения (11.8) для точечного заряда (q=стV, V0). Поскольку потенциал точечного заряда обладает сферической симметрией, удобно перейти к сферической системе координат (Прил. 2 и Прил. 4). В пространстве вне точечного источника ст=0. С учетом того, что не зависит от угловых координат, а только от радиуса r, получаем однородное волновое 𝑐 уравнение аналогичное (7.3), где v= : √𝜀𝜇 (11.9) Решение имеет тот же вид, что и (7.4): . (11.10) Функция F2 не имеет физического смысла, как и в (7.4), поскольку волна внутрь точечного источника не проникает. При v (мгновенное распространение действия ЭМП) из (11.8) получается уравнение С. Пуассона [2, 4] : (11.11) ст . a (11.16) Волновое уравнение для векторного потенциала (11.7) в декартовой системе координат распадается на три скалярных вида (11.8). Для координаты х векторного потенциала получаем (для координат y и z аналогично): . (11.17) Возвращаясь к векторному уравнению, получаем [2]: . (11.18) Полученные решения (11.15) и (11.18) отражают конечность скорости распространения ЭМП от своих источников. В точке наблюдения значения электродинамических потенциалов (а значит, и векторов ЭМП) определяются значением не в текущий момент времени (t), а в предшествующий момент (t-r/v). Поэтому решения (11.15) и (11.18) называют запаздывающими потенциалами. Время запаздывания (r/v) как раз показывает, какое время требуется ЭМВ, чтобы пройти расстояние r с конечной скоростью v [2]. Сравнивая (11.15) и (11.18) с (7.2) и (7.4), можно сделать вывод, что полученные решения имеют характер сферических волн. Использование электродинамических потенциалов для расчета ЭМП не дает выигрыша в простых случаях. При анализе ЭМП излучающих систем (антенны в режиме передачи) необходимо решать неоднородные волновые уравнения, которые для е и н имеют очень сложную правую часть [18]. Например, при отсутствии сторонних зарядов и потерь проводимости, но с учетом магнитного и электрического токов, плотности которых дописываются в правую часть (3.17) и (3.16) соответственно, получаются такие неоднородные волновые уравнения [18] : , (11.19) . (11.20) В этом случае оказывается удобнее ввести векторный потенциал для электрических и магнитных токов. (Напомним, что магнитный ток является фиктивным (эквивалентным). ) В этом случае получаются волновые уравнения вида (11.7) для магнитного и электрического векторных потенциалов [18] : , . (11.21) После решения задачи для векторных потенциалов можно перейти к векторам Е и Н по следующим формулам перехода [18]: , (11.22) . (11.23) 12. Классификация ЭМП ЭМ явления в макроскопической теории классифицируются следующим образом: электростатическое и магнитостатическое поля, стационарное ЭМП, квазистационарное ЭМП и быстропеременное ЭМП [2]. 12.1. Электростатическое и магнитостатическое поля Статические явления характеризуются постоянством величин ЭМП во времени (/ t=0) и отсутствием макроскопических электрических токов. При этих условиях систему уравнений Максвелла можно разделить на электростатическую и магнитостатическую подсистемы. В этом случае электрические и магнитные явления можно рассматривать независимо друг от друга. Уравнения электростатики (магнитное поле отсутствует) : (12.1) Если в электростатическое поле внести незаряженное проводящее тело, то под действием сил поля из-за перемещения свободных зарядов на его поверхности возникнут поверхностные заряды. Данное перемещение зарядов продолжается до тех пор, пока не установится электростатическое равновесие, при котором поле поверхностных зарядов компенсирует внешнее поле внутри тела. Таким образом, для того, чтобы защитить некоторый объем от действия электростатического поля, его необходимо окружить проводящей поверхностью, которую называют электростатическим экраном. При анализе электростатического поля в диэлектриках удобно воспользоваться скалярным электрическим потенциалом (r). (r) удовлетворяет уравнениям Пуассона (11.11) и Лапласа (11.16), а (11.3) записывается в виде: (12.2) Для точечного заряда (заряда, линейные размеры много меньше расстояния до точки наблюдения) получается следующая формула : (12.3) Для точечного заряда в сферических координатах (12.2) (12.4) Работа сил электростатического поля по перемещению пробного заряда из точки А в точку В равна разности потенциалов данных точек [2]: . (12.5) В электростатическом поле нет движения энергии. Полная энергия электростатического поля в объеме V (с выводом можно ознакомиться в [2]) равна: (12.6) Первое слагаемое (12.6) соответствует непрерывному распределению заряда в диэлектрике, а второе – дискретному заряду системы из n проводящих тел. Отношение заряда уединенного проводящего тела к его потенциалу есть величина постоянная, которая называется электрической емкостью (С) тела. (12.7) В случае системы заряженных тел, находящихся в однородном диэлектрике, необходимо учитывать не только собственную, но и взаимную емкость тел. В случае двух проводников получается конденсатор, емкость которого (12.8) Энергия электростатического поля конденсатора (q=q1=-q2) равна [2] : . (12.9) Погонная емкость (емкость на единицу длины) двухпроводной линии передачи (а – радиус проводника (рис. 12.1), D – расстояние между осями проводников): . (12.10) Если между проводниками расстояние значительно (D/a>10), то (12.10) упрощается (погрешность менее 1%) : . (12.11) Погонная емкость коаксиальной линии передачи (а – радиус внутреннего проводника (рис. 12.2), а b – внешнего) определяется формулой: (12.12) Вывод данных формул, а также другие примеры вычисления электростатических полей можно найти в [2, 4, 11]. Прямая задача электростатики состоит в определении 𝐸⃗ по заданному распределению заряда. Если известна функция объемной плотности заряда, то функция потенциала (r,…) находится аналогично (12.3). В обратной задаче электростатики по известному 𝐸⃗ находят распределение заряда (или зарядов). Исходные данные краевых задач электростатики единственным образом определяют решение уравнения Лапласа [2]. При расчете электростатических полей часто используют теорему Гаусса (3.3) и метод зеркальных изображений. Более подробные сведения по данному вопросу можно найти в [2-5, 11]. Уравнения магнитостатики (электрическое поле отсутствует) : (12.13) Магнитостатическое поле обусловлено неподвижными постоянными магнитами. В первом приближении намагниченность этих магнитов можно представить как сумму постоянной (собственной) ⃗⃗ 0 ), которая не зависит от Н, и намагниченности (𝑀 ⃗ линейно (8.9) [2]. индуцированной, зависящей от 𝐻 . (12.14) С учетом (12.13) (12.12) можно переписать в виде : (12.15) С помощью введения понятия магнитных зарядов (М) задачи магнитостатики можно решать методами электростатики. 12.2. Стационарное и квазистационарное ЭМП В отличие от электростатического поля стационарное электрическое поле существует не только в диэлектрике, но и в проводнике при наличии постоянного тока проводимости. Уравнения стационарного электрического поля похожи на уравнения электростатического поля (=const): . (12.16) Потенциал стационарного поля определяется уравнением Пуассона (11.11). Объемная плотность заряда выражается формулой: (12.17) Из (12.16) следует, что объемные электрические заряды могут существовать только в тех областях проводящей среды, где отсутствуют сторонние токи. На границе раздела двух проводящих сред линии тока преломляются в соответствии с граничным условием (4.3) [2] : (12.18) Если проводимости сред различаются сильно (2>>1), то в слабо проводящей среде 𝑗пр проходит практически по нормали, независимо от расположения вектора плотности тока в среде с большей проводимостью. В таком случае поверхность металлических тел, находящихся в диэлектрике, можно считать эквипотенциальной (=const). В некоторых случаях для стационарного электрического поля в области свободной от сторонних зарядов и токов применим метод электростатической аналогии, который позволяет свести задачу стационарного электрического поля к задачам электростатики. В этом случае граничные условия для составляющих вектора плотности тока аналогичны граничным условиям для вектора электрической индукции. Переход к уравнениям электростатики для систем с одинаковыми геометрическими размерами осуществляется с помощью следующей замены переменных [11] : (12.19) Метод электростатической аналогии используется при анализе ЭМП линий передачи с Т-волной (коаксиальная линия и т. п.). С другой стороны электростатическая аналогия позволяет экспериментально исследовать сложные электростатические поля с помощью их моделирования в ванне со слабо проводящей жидкостью (электролитом) [2, 11]. Уравнения стационарного магнитного поля записываются в виде: (12.20) В (12.20) уже заметна связь между электрическим и магнитным полями. Наиболее распространенной задачей является определение стационарного магнитного поля по заданному распределению токов. Для изотропной линейной однородной среды анализ ЭМП удобно проводить с помощью 𝐴. Для векторного потенциала стационарного магнитого поля условие калибровки (11.6) и волновое уравнение (11.7) записываются в виде: (12.21) Решение (12.21) относительно A(r) соответствует решению волнового уравнения Гельмгольца при k=0 : . (12.22) В простых случаях при наличии симметрии поля более удобным может оказаться прямой расчет Н по (3.4). Например, магнитное поле круглого провода с током и коаксиальной линии в силу цилиндрической симметрии удобно находить именно по (3.4). Контур интегрирования удобно совмещать с векторными линиями Н. Для круглого провода радиуса а с электрическим током I: . (12.23) График распределения магнитного поля в проводнике H(r) приведен на рис. 12.3. Для коаксиальной линии передачи (рис. 12.2) : . (12.24) График распределения магнитного поля в коаксиальной линии приведен на рис. 12.4. Вывод данных формул, а также другие примеры стационарных магнитных полей можно найти в [2-5, 11]. Энергия стационарного магнитного поля: (12.25) Сравнивая с (12.6) можно заметить определенное сходство уравнений стационарного магнитного поля с уравнениями электростатики. Полную энергию стационарного магнитного поля системы из n контуров с токами удобно выражать через токи и индуктивности (см. пояснение к (9.18)): (12.26) Первое слагаемое (12.26) представляет сумму собственных энергий магнитных полей контуров, а второе слагаемое (12.26) – взаимную энергию магнитных полей создаваемых токами в данных контурах. С помощью анализа запаса магнитной энергии в системе можно вычислять индуктивность проводников и линий передачи Т-волны. Магнитный поток, проходящий через поперечное сечение линии передачи удобно разложить на внутренний и внешний. Внутренний поток, проходящий внутри проводников, связан с собственными индуктивностями проводников. ⃗ Внешний магнитный поток определяется линиями 𝐵 во внешней по отношению к проводникам среде [5] и связан с взаимной индуктивностью. Например, погонная индуктивность коаксиальной линии передачи (рис. 12.2) при постоянном токе определяется формулой (1 – диэлектрика, а 2 – проводников) [4, 11]: (12.27) Первое слагаемое (12.27) соответствует взаимной индуктивности проводников, а второе – собственной индуктивности. Обычно в справочниках приводится формула (12.28), соответствующая току высокой частоты: (12.28) следует помнить о том, что в данной формуле a – это абсолютная магнитная проницаемость диэлектрика. Аналогичным образом вычисляется индуктивность двухпроводной линии передачи (рис. 12.1) (1 – диэлектрика, а 2 – проводников) [5] : (12.29) Первое слагаемое (12.29) соответствует взаимной индуктивности проводников, а второе – собственной индуктивности двух цилиндрических проводников. Обычно в справочниках приводится формула (12.30), соответствующая переменному току высокой частоты [4, 5, 11] : (12.30) При анализе многосвязных линий передачи Т-волны (количество проводников в данных линиях больше двух) и соединений с их использованием составляют матрицы взаимных емкостей и индуктивностей проводников линии на основании (12.6) и (12.26). Квазистационарным ЭМП в области V называют ЭМП, для которого можно пренебречь волновым характером. Для квазистационарного поля время, в течение которого источники поля успевают заметно измениться, велико по сравнению со временем запаздывания волнового фронта (l/v). (l – расстояние в области V, которое со скоростью v проходит распространяющаяся ЭМВ.) Время запаздывания – это время, необходимое для распространения ЭМ возмущения от одного конца системы до другого [2]. Для квазистационарного ЭМП справедливы следующие соотношения: (12.31) В случае монохроматических колебаний плоская волна превращается в колебание во времени : cos [(tl/v)] = cos (t), откуда следует еще одно условие квазистационарности поля: l/v<<1 l<<. Таким образом, при монохроматических процессах ЭМ системы можно исследовать с помощью законов квазистационарного ЭМП в тех случаях, когда их протяженность много меньше длины волны [2]. Быстропеременное ЭМП описывается системой уравнений Максвелла без каких-либо упрощений, характеризуется глубокой взаимосвязью между электрическими и магнитными явлениями и имеет волновой характер. 12.3. ЭМП для весьма высоких частот При весьма высоких частотах от уравнений Максвелла можно перейти к более простым уравнениям геометрической оптики. Для этого необходимо найти решения системы уравнений Максвелла в виде [18] : (12.32) где Le – скалярная функция координат, описывающая изменение фазы ЭМП и называемая эйконалом, а 𝐸⃗0 и ⃗ 0 соответствуют ориентации векторов ЭМП для 𝐻 плоской волны. После подстановки (12.32) в (3.16), (3.17) и преобразований, приведенных в [18], для неоднородной среды получаем : . (12.33) Поскольку при весьма высоких частотах k0 , (12.33) упрощается : (12.34) Условием разрешимости системы (12.34) является уравнение эйконала : (12.35) где единичный вектор, сонаправленный с вектором 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝐿𝑒 . С учетом (12.35) (12.34) можно записать в виде: (12.36) Выражение для вектора Пойтинга в приближении геометрической оптики: (12.37) Из полученных результатов следует, что энергия ЭМП распространяется вдоль лучей (𝐿⃗𝑒 ), а само ЭМП в приближении геометрической оптики в каждой точке пространства носит характер плоской волны. Величина √𝜀𝜇 в оптике соответствует показателю преломления среды. Применение законов геометрической оптики позволяет рассматривать распространение ЭМВ весьма высоких частот как распространение светового луча. Некоторые эффекты геометрической оптики (ход лучей в параболоиде или эллипсоиде) находят практическое применение в конструкциях антенн. Из уравнения эйконала (12.35) можно вывести широко используемый в оптике принцип Ферма: оптическая длина пути вдоль луча меньше, чем вдоль любой другой линии. Для этого достаточно рассмотреть скалярное произведение 𝐿⃗𝑒 и вектора элемента линии оптического пути [11, 18]. Условия применимости уравнений геометрической оптики определяются из (12.33) с помощью оценки отбрасываемых членов : (12.38) Смысл данных условий состоит в том, что относительные изменения величин на расстоянии, равном длине волны в рассматриваемой среде, должны быть малы по сравнению с 2 [18]. 13. ЭМВ на границе раздела сред ЭМ явления на границе раздела двух разнородных сред (преломление, отражение и т. п.) играют большую роль в теории ЭМП. Границу раздела будем считать плоской и бесконечно протяженной, что позволяет использовать для анализа приближения геометрической оптики и рассматривать ЭМВ в виде лучей. Полученные результаты справедливы и для криволинейных граничных поверхностей и неплоских ЭМВ, если их радиус кривизны значительно больше . Расположим координатные оси так, чтобы оси y и z лежали в плоскости границы раздела сред (рис. 13.1), а ось x совпадала с направлением вектора нормали (𝑛⃗) для второй среды (2, 2). 13.1. Наклонное падение ЭМВ. Законы Снеллиуса Направление распространения падающей ЭМВ определяется ортом 𝑠0+ . Плоскостью падения (распространения) называют плоскость, проходящую через вектор распространения падающей ЭМВ и нормаль к поверхности раздела сред. На рис. 13.1 плоскость падения совпадает с плоскостью x0z. Волновой вектор распространения для падающей ⃗ + = 𝑠0+ 𝑒𝑥𝑝( 𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘̃𝑟)). Энергия ЭМВ имеет вид: 𝑘 падающей ЭМВ распределяется между ЭМВ, прошедшей во вторую среду (прошедшая ЭМВ имеет ⃗ 2 ), и ЭМВ, отраженной от границы волновой вектор 𝑘 ⃗ −) . раздела сред (вектор отраженной ЭМВ – 𝑘 Рассмотрим явления, возникающие при падении плоской однородной волны на плоскую границу раздела двух произвольных сред (рис. 13.1). Волновые векторы падающей, отраженной и преломленной волн соответственно равны [11]. При заданном угле падения 𝜙 определим угол отражения 𝜙 − (для отраженного луча) и угол преломления 𝜓 (для прошедшего луча). Векторы напряженностей ЭМП этих трех волн должны удовлетворять граничным условиям во всех точках плоскости границы раздела в любой момент времени. Поэтому независимо от характера граничных условий должны совпадать фазовые множители данных ЭМВ: (13.1) При фиксированном r из (13.1) вытекает равенство ⃗ +, а частот всех ЭМВ 𝜔+ = 𝜔− = 𝜔2 . Проекция 𝑘 ⃗−и𝑘 ⃗ 2 на ось у равны следовательно, и проекции 𝑘 нулю. Это означает, что все волновые векторы лежат в плоскости распространения, поэтому их проекции на ось z должны быть равны между собой: , (13.2) что позволяет сформулировать законы, открытые еще в XVII веке в приближении геометрической оптики В. Снеллиусом и уточненные Р. Декартом [1]: векторы падающей, отраженной и прошедшей ЭМВ лежат в одной плоскости (плоскости распространения); угол падения равен углу отражения (𝜙 ′ = 𝜙); отношение синусов углов падения и преломления равно отношению комплексных коэффициентов распространения во второй и первой средах (закон преломления В. Снеллиуса): (13.3) Из этого равенства следует, что в общем случае угол преломления 𝜓 может быть комплексным. Если ограничиться анализом диэлектриков с несущественными потерями (𝑘̃ → 𝛽), то (13.3) запишется в виде: (13.4) Для диэлектриков синусы углов наклона лучей относительно нормали пропорциональны фазовым скоростям ЭМВ в соответствующих средах и обратно пропорциональны их коэффициентам преломления. 13.2. Коэффициенты отражения и преломления. Рассмотрим динамические характеристики падающей линейно поляризованной волны на границу раздела двух сред. Интенсивности отраженной и преломленной волн определим через коэффициенты отражения и преломления. Коэффициентом отражения Г называется отношение комплексных значений напряженностей электрического поля отраженной (𝐸̇− ) и падающей (𝐸̇+ ) волн на границе раздела (х=0). Коэффициентом прохождения Т во вторую среду из первой называется аналогичное отношение (при x=0) преломленной и падающей волн (13.5) Значения коэффициентов Г и Т зависят от поляризации падающей волны относительно плоскости падения. Плоскую однородную ЭМВ, падающую на плоскую поверхность границы раздела двух сред, целесообразно разложить на перпендикулярную и параллельную поляризации. Поэтому ниже будут рассмотрены два случая, в которых плоскость поляризации перпендикулярна и параллельна плоскости падения ЭМВ [11]. 13.5. Явление полного прохождения Для ЭМВ с параллельной поляризацией существует угол падения, именуемый углом Д. Брюстера при котором отраженная волна отсутствует, а значит, ЭМВ полностью переходит во вторую среду. Рассмотрим немагнитные диэлектрики с малыми потерями (<<), исключив тривиальный случай равенства параметров сред По закону Снеллиуса (13.4) отсюда находим: откуда следует (13.23) Угол Брюстера можно найти для любого соотношения между 𝜀1 и 𝜀2 . Из формул (13.10) вытекает, что для перпендикулярной поляризации (при 𝜇1 = 𝜇2 ) угол полного прохождения между разнородными диэлектриками не существует, и |Г⊥ | всегда больше нуля. На рис. 13.5 приведены графики зависимостей коэффициента отражения ЭМВ обеих поляризаций от угла падения при различных соотношениях параметров диэлектрических сред [19]. Угол Брюстера называют также углом полной поляризации. Если ЭМВ с произвольной поляризацией направлена на диэлектрическую пластину под углом 𝜙Бр , отраженный луч имеет только перпендикулярную поляризацию, так как параллельно поляризованная компонента полностью проходит через пластину [11]. Диэлектрические пластины и шайбы, служащие для герметизации и крепления в различных устройствах СВЧ, часто ставят под углом Брюстера. В этом случае в определенном диапазоне частот они полностью прозрачны для проходящих волн. Аналогичным образом поступают, если необходимо обеспечить минимальный уровень отраженной волны при падении ЭМВ из воздуха на вещество с волновым сопротивлением, существенно отличающимся от волнового сопротивления воздуха. 13.6. Стоячая волна. КСВ. КБВ При нормальном падении ЭМВ на границу раздела сред в первой среде складываются падающая и отраженная волны. Эти волны имеют противоположные направления распространения, а соотношение их амплитуд равно Г̇ 0 . Суперпозиция ЭМВ в первой среде (рис. 13.2) с учетом (13.6) определяется следующим образом (для параллельной поляризации из (13.11) получаются аналогичные соотношения, только изменяется ориентация в пространстве (13.24) С учетом (13.5) выражения (13.24) можно преобразовать так: . (13.25) Выражение в квадратных скобках можно назвать множителем стоячей волны, поскольку данная величина показывает периодически изменяющуюся вдоль координаты х «волнистую структуру» ЭМП (рис. 13.6). Рассмотрим данную величину при отсутствии потерь в среде [4]. (13.26) При монотонном изменении х второе слагаемое (13.26) вращается вокруг «1» с удвоенной (по сравнению с падающей волной) частотой. Максимальное значение составляет 1 + |Г0 |, а минимальное 1 Г0 . Расстояние между соседними экстремумами стоячей волны составляет /k1=1/2 [4]. Из (13.24) и (13.25) получаем : (13.27) На рис. 13.7 показана структура ЭМП стоячей волны. Из рис. 13.7 и (13.27) следует, что магнитная и электрическая составляющие имеют фазовый сдвиг на четверть длины волны (90). Среднее значение вектора Пойтинга в любой точке стоячей волны равно нулю, и передачи энергии нет [4]. На практике удобно оценивать неравномерность пространственного распределения ЭМП с помощью коэффициента стоячей волны (КСВ=1… при |Г0 | = 0. . .1) и коэффициента бегущей волны (КБВ=1…0): (13.28) 14. Связь между продольными и поперечными составляющими ЭМП Волновое число k ЭМВ, распространяющейся в направляющей системе вдоль оси z при наличии продольных составляющих векторов поля (см. подраздел 10.3), целесообразно разложить на поперечный (kS) и продольный () волновые коэффициенты (рис. 14.1). Из векторных соотношений получаем: (14.1) Если потери в направляющей системе малы, то (14.1) запишется в виде: (14.2) Волновые уравнения для поперечных составляющих ЭМП имеют вид: (14.3) где 𝛻⊥ – оператор Гамильтона по поперечным координатам [11]. В линиях передачи удобно от векторных волновых уравнений перейти к скалярным для продольных и поперечных составляющих. При этом оказывается, что достаточно решить эти уравнения только для продольных составляющих Еz и Hz, поскольку поперечные составляющие Е и H в направляющих системах являются однозначными функциями продольных. Для вывода соотношений между продольными и поперечными составляющими ЭМП векторы поля и оператор набла разложим на продольную и поперечную составляющие: (14.4) Найдем проекции уравнений Максвелла в комплексной форме (3.16) и (3.17) на поперечную плоскость: (14.5) Представим ротор с учетом (14.4) в виде (14.6) С учетом (14.6) уравнения (14.5) запишутся в виде: . (14.7) . (14.8) Аналогично получается для магнитной составляющей: . (14.9) Поперечные составляющие поля пропорциональны градиентам Еz и Hz, определяемым в поперечной плоскости. По аналогии можно утверждать, что Еz и Hz являются потенциальными функциями Е и H [11]. В скалярной форме (14.8)-(14.9) в декартовой системе координат имеют вид: . (14.10) Аналогичным образом выводятся соотношения для поперечных составляющих ЭМП произвольных криволинейных систем координат, которые можно найти в [4]. Таким образом, при расчете ЭМП в направляющей системе сначала решают волновые уравнения для продольных составляющих, а затем при необходимости находят поперечные составляющие по (14.10) или обобщенным формулам [4]. Обычно для основных типов волн часть слагаемых в (14.10) отсутствует. 15. Телеграфные уравнения. Волновые уравнения для напряжения и тока ; ; (15.1) где L – замкнутый контур, охватывающий проводник с током. Телеграфные уравнения выводятся из уравнений Максвелла (3.16) и (3.17). ЭМП Т-волны имеет только поперечные составляющие, поэтому достаточно определить проекцию ротора на поперечную плоскость S: . (15.2) Следовательно, уравнения Максвелла для Т-волны принимают вид: ; . (15.3) Продифференцируем обе части равенств (15.1) и подставим в них (15.3), предварительно заменив , где 𝑛⃗0 – нормаль к кривой интегрирования, лежащая в плоскости S. Тогда: ; . (15.4)
