МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ. Программа, методические указания и контрольные задания для студентов специальностей: 060800 и 061100 САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2010 4 Министерство образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный горный институт им Г.В. Плеханова (технический университет) Кафедра информатики и компьютерных технологий МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ. Программа, методические указания и контрольные задания для студентов специальностей: 060800 и 061100 САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2010 УДК 519.86:622.3.012 (075.83) МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ. Системы массового обслуживания: Методические указания для выполнения лабораторных работ./ СанктПетербургский горный ин-т. Сост.: В.В Беляев, Г.Н. Журов, Т.Р Косовцева. СПб, 2010 . 75 с. Методические указания содержат необходимые теоретические сведения и примеры решения типовых задач по определению показателей системы массового обслуживания (СМО), а так же решение конкретной экономической задачи по определению оптимальных параметров. Предназначены для студентов экономических специальностей Табл. 12. Рис.28. Библиогр.: 2 назв. Научный редактор доц. А.Б.Маховиков © Санкт-Петербургский горный институт им. Г.В.Плеханова, 2010 г. ВВЕДЕНИЕ Стохастическая модель — такая экономико-математическая модель, в которой параметры, условия функционирования и характеристики состояния моделируемого объекта представлены случайными величинами и связаны стохастическими (т. е. случайными, нерегулярными) зависимостями, либо исходная информация также представлена случайными величинами. Следовательно, характеристики состояния в модели определяются не однозначно, а через законы распределения их вероятностей. При построении стохастических моделей могут применяться методы корреляционного и регрессионного анализов, другие статистические методы. Рассмотрим моделирование стохастических процессов на примере систем массового обслуживания. С системами массового обслуживания (СМО) часто приходится иметь дело на практике, поэтому умение исследовать такие системы является важной частью образования экономиста, инженера-технолога. При некоторых упрощающих предположениях СМО могут исследоваться аналитическими методами. Это позволяет на примерах таких систем изучить характерные особенности более сложных СМО. Решение конкретных задач по определению показателей СМО способствует развитию важного для инженера умения работать со случайными величинами и позволяет увидеть преимущества вероятностных методов по сравнению с детерминированными, традиционно используемыми экономистами и технологами при определении характеристик СМО. ЦЕЛЬ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №2 Выполнение контрольной работы №2 по дисциплине «Методы и модели в экономике» имеет целью закрепить и углубить знания, полученные студентами при изучении указанного курса, в области прогнозирования технологических и техникоэкономических показателей отдельного производства на основе решения экономико-математических задач по принятию решений в условиях неопределенности (методы теории игр) и конкретной задачи по теории систем массового обслуживания. Тема 3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ МАССОВОГО 3 ОБСЛУЖИВАНИЯ П р о г р а м м а . Структура систем массового обслуживания (СМО). Примеры СМО. Входной поток заявок. Закон обслуживания заявок. Особенности входного потока. Пуассоновский поток заявок. Экспоненциальный закон обслуживания и его характеристики. Одноканальные СМО с отказами. Характеристики СМО. Предельные вероятности. Экономический смысл эргодичности. Важность учета вероятностного фактора при исследовании СМО. Многоканальные СМО. Многоканальные СМО с отказами. СМО с ограниченной и неограниченной очередью. Замкнутые СМО. Задача о станках. Критерии эффективности функционирования СМО. Имитационное моделирование производственных процессов. Основные понятия имитационного моделирования. ОБЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Системами массового обслуживания (СМО) называют системы, функционирование которых заключается в обслуживание большого количества заявок. Примеры систем массового обслуживания приведены в табл.3.1. Таблица 3.1 Примеры систем массового обслуживания СМО Автобусный маршрут и перевозка пассажиров Производственный конвейер по обработке деталей Автосамосвалы и экскаваторы при проведении открытых горных работ Чиновники, ведущие Заявки Каналы Пассажиры Автобусы Детали, узлы Станки, склады Автосамосвалы Экскаваторы Граждане Чиновники 4 прием граждан Задачи, решаемые процессором компьютера Задачи Процессор компьютера В составе СМО можно выделить следующие основные части (рис.3.1): 1. Входящий поток заявок; 2. Накопитель - место, где заявки могут ждать освобождения обслуживающих устройств, и формируется очередь на обслуживание; 3. Узел обслуживания - система приборов, обслуживающих заявки (устройства, каналы); 4. Выходящий поток заявок, т.е. заявок, которые обслужены, или тех, которым в обслуживании было отказано. 3 1 2 4 Рис. 3.1. Принципиальная схема системы массового обслуживания. Система с накопителем называется СМО с ожиданием, без накопителя СМО с отказами. В зависимости от емкости накопителя различают СМО с конечной и бесконечной очередью. Все системы массового обслуживания классифицируются по правилам их работы следующим образом: 1. Системы с отказами, в которых заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, покидает СМО; 2. Системы с очередью (с ожиданием), в которых заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, становится в 5 очередь до освобождения одного из каналов; системы с очередью делятся на системы с ограниченным и системы с неограниченным ожиданием. Порядок, в котором формируется очередь на обслуживание, называется дисциплиной очереди. Различают следующие дисциплины обслуживания: бесприоритетные и приоритетные. Важнейшие бесприоритетные дисциплины обслуживания: FIFO (First In, First Out — первым пришел, первым ушел): если заявка первой пришла в очередь, то она первой уйдет на обслуживание; LIFO (Last In, First Out — последним пришел, первым ушел): если заявка последней пришла в очередь, то она первой уйдет на обслуживание (пример — патроны в рожке автомата); SF (Short Forward — короткие вперед): в первую очередь обслуживаются те заявки из очереди, которые имеют меньшее время обслуживания. RANDOM (случайный выбор). При приоритетном обслуживании требованию задается некоторый параметр, который определяет его приоритет. Этот параметр может задаваться в числовом виде (статический приоритет) или в виде функции, которая зависит от времени пребывания в системе (динамический приоритет). В системах с ожиданием накопитель в общем случае может иметь сложную структуру. Если источник входящего потока заявок расположен вне системы, то СМО называется открытой, а если обслуженная заявка через некоторое время снова возвращается во входящий поток, то СМО называется замкнутой. Основные параметры СМО могут быть вычислены по известным формулам в зависимости от типов СМО [1]. Поскольку заявки поступают на обслуживание в СМО, вообще говоря, в случайные моменты времени, будем говорить о потоке заявок, характеристикой которого служит закон распределения. Обслуживание поступившей заявки продолжается некоторое (тоже случайное) время, что приводит к тому, что в какие-то промежутки времени поступившие заявки либо образуют 6 очередь на обслуживание, либо покидают систему необслуженными; в другие же периоды СМО может работать с недогрузкой. Анализ зависимости между характером потока заявок, числом каналов, их производительностью и эффективностью обслуживания и есть предмет теории систем массового обслуживания (СМО). Одним из основных математических понятий в теории СМО является понятие потока событий. Поток событий — это последовательность однородных событий, наступающих одно за другим в случайные промежутки времени. На оси времени эти события могут быть изображены, как показано на рис.3.2. , где τj — интервал между событиями (случайная величина); tсi — момент совершения i-го события (отсчитывается от t = 0); Tн — время наблюдения. Рис. 3.2. Пример потока событий Простейший поток определяется тремя условиями: 1. Стационарностью – среднее число требований в единицу времени постоянно; 2. Отсутствием последействия – число требований, поступающих в некоторый промежуток времени, не зависит от числа требований, поступивших в предыдущем промежутке; 3. Ординарностью – вероятность поступления более одного требования в малый промежуток времени t есть малая величина более высокого порядка, чем t , т.е. в очень малый промежуток времени поступает не более одного требования. Типичный пример такого потока событий приведен на рис.3.3. На оси времени маркерами отмечены моменты времени, когда наступают события. Заметим, что визуально нельзя 7 обнаружить закономерность появления событий, интервал времени между соседними событиями различен, а в единицу времени наступает различное количество событий. Так за 1-ую единицу времени наступает три события, за 6-ую -два события, за 7-ую четыре события. Т.е. количество событий, наступающих в единицу времени является случайной величиной. Однако, если сосчитать N количество событий наступивших за достаточно длинный интервал времени Tн (например, за 1 час, Tн =60 мин.) и вычислить среднее количество событий в минуту N /Tн., то это среднее количество будет приблизительно одинаковым, независимо от того с какого момента времени отсчитывать интервал времени. Рис. 3.3. Пример простейшего потока событий Установлено, что интервал времени между событиями в этом потоке есть случайная величина, распределенная по показательному (по экспоненциальному) закону, плотность которого определяется формулой: при t 0 0, f (t ) t e , при t 0 (3.1) где - параметр распределения. Как известно, математическое ожидание случайной величины M(X) распределенной по показательному закону; равно 1 , а дисперсия D(X) равна 1/λ2. M(X)=1/λ; D(X)=1/λ2 (2.19) Используя основное свойство математического ожидания случайной величины, приходим к выводу о том, что средний 8 интервал времени между двумя событиями в потоке равен 1 . Отсюда следует, что среднее число событий, происходящих в единицу времени, равно обратной величине 1 : ( 1 ) т.е. . Т.о., характеризует интенсивность потока, и оно равно среднему количеству событий происходящим в единицу времени. 9 Для непрерывного распределения, зная плотность распределения f(x), можно найти функцию распределения F(x) по формуле F x x f ( t )dt . (3.2) Случайная величина, следующая экспоненциальному распределению, имеет функцию распределения 0, при x 0 F ( x) x 1 e , при x 0 (3.3) Знание функции плотности и функции распределения позволит вычислить P a X b - вероятность того, что промежуток времени между двумя событиями в потоке не меньше a и меньше b. Эта вероятность равна определенному интегралу от плотности, взятому в пределах от a до b, Pa X b f (t )dt F (b) F (a) b Если a0 (3.4) a и b 0 , то Pa X b ea eb (3.5) Другой случайной величиной, связанной с простейшим потоком событий является количество событий, происходящих в единицу времени. Эта случайная величина распределена по закону Пуассона. Это распределение является дискретным распределением и описывается формулой P( X k ) k k! k 0,1,2... e (3.6) , где λ>0– параметр распределения. Формула (3.6) позволяет вычислить вероятность того, что в течение одной минуты произойдет ровно k событий. Основные описательные статистики для распределения Пуассона, отражены соотношениями (3.7). 10 M(X)=λ; D(X)=λ (3.7) Поскольку математическое ожидание случайной величины M(X) распределенной по закону, равно, то среднее число событий в потоке происходящих в единицу времени, равно . Необходимо отметить, что оба распределения (экспоненциальное и распределение Пуассона), описывающие один и тот же поток событий, содержат один и тот же параметр λ, характеризующий интенсивность потока. Математический анализ работы СМО становится весьма простым, если случайный процесс, протекающий в системе, имеет специфический характер (является марковским). Таким он будет, если все потоки событий (поток заявок, поток обслуживания и т.д.), переводящие систему из состояния в состояние, - простейшие. Поэтому при моделировании СМО часто принимают допущение о том, что поток входящих заявок (требований) и поток обслуженных требований являются простейшими. В данной работе будем полагать, что интенсивность потока входящих заявок равна , для описания этого потока справедливы формулы (3.1)- (3.7). Поскольку поток обслуженных требований также является простейшим, то он имеет свою интенсивность равную . Для описания потока обслуженных требований также справедливы формулы (3.1)- (3.7) , с заменой на . Например, интервал времени между событиями в этом потоке (время обслуживания одного требования) есть случайная величина, распределенная по показательному закону: при t 0 0, f (t ) t e , при t 0 (3.8) где - интенсивность обслуживания. При этом среднее время обслуживания одного требования равно tобс tобс 1/ . (3.9) 11 При анализе СМО часто используется характеристика, которая называется приведенной интенсивностью потока требований, равная отношению интенсивности потока входящих заявок к интенсивности обслуживания заявок. Обозначим это отношение через . (3.10) Приведенная интенсивность потока требований характеризует число требований, поступивших в систему за время обслуживания одного. Чтобы показать справедливость этого утверждения, приведем следующие соотношения: 1 tобс Судить о результатах работы СМО можно по показателям. Наиболее популярные из них: относительная пропускная способность системы; абсолютная пропускная способность системы; вероятность отказа клиенту в обслуживании; вероятность занятости всех каналов; среднее количество занятых каналов; вероятность простоя каждого канала; вероятность простоя всей системы; среднее количество заявок, стоящих в очереди; среднее время ожидания заявки в очереди; среднее время обслуживания заявки; среднее время нахождения заявки в системе; 12 среднее время занятости каждого канала; вероятность занятости каждого из канала. Судить о качестве полученной системы нужно по совокупности значений показателей. К числу важнейших показателей относятся: относительная и абсолютная пропускные способности системы. Абсолютная пропускная способность системы A - это среднее количество требований, обслуживаемых в единицу времени. Относительная пропускная способность системы q - это средняя доля обслуженных требований от общего числа поступивших, другими словами это вероятность обслуживания клиента системой. 13 МНОГОКАНАЛЬНАЯ СМО С ОТКАЗАМИ Если в момент поступления требования нет свободных обслуживающих каналов (т.е. заняты все каналы, так как в системе уже находится n требований), то требование покидает систему не обслуженным. Все состояния системы приведены на рис. 3.4. λ λ S0 λ S1 λ λ S2 μ λ Sk 2μ 3μ kμ Sn (k+1)μ nμ Рис. 3.4 S0 – все каналы свободны; S1 – один канал занят, остальные свободны; S2 – два канала заняты, остальные свободны; Sk – k каналов занято, остальные (n-k) свободны; Sn – все n каналов заняты. Для расчета многоканальных систем массового обслуживания с отказами воспользуемся формулами Эрланга. Входящий поток требований подчиняется пуассоновскому закону с интенсивностью , а время обслуживания – показательному с интенсивностью . Вероятность наличия в системе k требований: k (3.11) Pk P0 , k! где P0 - вероятность отсутствия требований в системе, - приведенная интенсивность потока. 1 P0 1 1 1! 2 2! ... n [1 1 1! 2 2! ... n n! 1 ] (3.12) n! Вероятность потери требования (отказа) соответствует вероятности наличия в системе n требований, когда все n каналов заняты Pотк Pn n n! P0. (3.13) 14 Относительная пропускная способность q 1 Pотк 1 Pn . (3.14) Абсолютная пропускная способность A (1 Pn ). (3.15) Среднее количество заявок, находящихся в системе, соответствует среднему числу занятых каналов и определяется по формуле k A (1 Pn ) . (3.16) ОДНОКАНАЛЬНАЯ СМО С ОЖИДАНИЕМ Граф состояний приводится на рис. 3.5. λ одноканальной λ S0 S1 μ λ λ λ S2 μ СМО с ожиданием λ Sm+1 Sk μ μ μ μ Рис. 3.5. S0 – все каналы свободны; S1 – один канал занят, очереди нет; S2 –канал занят, одна заявка в очереди; Sk – канал занят, k-1 заявка в очереди; Sm+1 – канал занят, m заявок в очереди. Вероятности состояний p0 (1 ) /(1 m2 ); p1 p0 ; p2 2 p0 ; (3.17) m1 pm1 p0. Характеристики системы: 15 pотк pm 1 m 1 (1 ) /(1 m 2 ). q 1 pотк 1 m 1(1 ) /(1 m 2 ) (1 m 1 ) /(1 m 2 ); (3.18) A q. Среднее число заявок, находящихся в очереди r 2 (1 m (m 1 m ) (1 m 2 )(1 ) . (3.19) Среднее число заявок, находящихся в системе (как стоящих в очереди, так и находящихся на обслуживании) k r m 2 1 m 2 . (3.20) Среднее время пребывания заявки в очереди и в системе соответственно (3.21) t ож r / ; t сист r / q / . ОДНОКАНАЛЬНАЯ СМО С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ ОЖИДАНИЯ. Вероятности состояний СМО с неограниченным числом мест в очереди можно получить предельным переходом (при m ) из формул (3.8) (3.11). Это возможно, если 1 (т.е. / 1). Тогда p0 1 ; p1 (1 ); p 2 2 (1 ); (3.22) .... p k k (1 ); .... При отсутствии ограничений по длине очереди каждая заявка, пришедшая в систему будет обслужена, поэтому q 1, A . Среднее число заявок в очереди и в системе соответственно при m r 2 /(1 ); k r /(1 ) (3.23) Среднее время пребывания заявки в очереди и в системе 16 t ож 1 1 2 (1 ) ; t сист 1 (1 ) . (3.24) МНОГОКАНАЛЬНАЯ СМО С ОЖИДАНИЕМ Рассмотрим n-канальную СМО с ожиданием (интенсивность потока заявок ; интенсивность обслуживания , число мест в очереди m). Состояния системы (рис. 3.4) следующие: λ S0 λ λ S1 μ λ Sn 2μ nμ λ λ Sn+1 nμ Sn+m nμ nμ Рис. 3.6 S0 - все каналы свободны; S1 – занят один канал, остальные свободны; …. Sn – занято n каналов; Sn+1 – занято n каналов, одна заявка в очереди; Sn+m – занято n каналов, m заявок в очереди. Вероятности состояний: 1 2 n n / n ( / n) m 1 p0 1 ... ; 2! n! n! 1 / n (3.25) p1 p0; ; 2 p2 p0 ; 2 ! ..... n p0 ; n! n1 pn1 p0 ; nn! n2 pn2 2 p0 ; n n! pn 17 ..... pn m nm p0 . n m n! Показатели системы: pотк pn m q 1 pотк nm p0 ; n m n! 1 pn m ; (3.26) A q (1 pn m ). Среднее число занятых каналов и заявок в очереди соответственно z A (1 pn m ) (1 mn n m n! p0 ); n 1 p0 1 ( / n) m m 1 m( / n) r . nn! (1 / n) 2 (3.27) Обозначив / n x, получим r n 1 p0 1 x m ( m 1 mx ) nn! tож . r / ; ; (1 x ) 2 t сист tож q / . (3.28) МНОГОКАНАЛЬНАЯ СМО С НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОЧЕРЕДЬЮ. Снимем ограничение на длину очереди в задаче предыдущего пункта. Вероятности состояний получим предельным переходом (при m ); это возможно при x<1, т.е. при / n 1 . Получим выражения предельных вероятностей состояний: 18 1 2 n n 1 p 0 1 ... , 2! n! n!(1 ) p1 p0 , p2 pn 2 2! n n! p n 1 p nr p0 , p0 , n1 nn! nr n r n! p0 , p0 . Для такой системы pотк 0, q 1, A (3.19) (3.20) устремим m , получим n1 p0 A z ; r ; nn!(1 x) 2 t ож n p0 nn!(1 x) 2 в формулах ; k r z. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СМО П р и м е р 1. Имеем одну телефонную линию. Заявкавызов, пришедшая в момент, когда линия занята, получает отказ. Интенсивность потока вызовов = 0,8 вызовов в минуту, средняя продолжительность разговора tобсл = 1,5 мин. Найти вероятности состояний, абсолютную пропускную способность А, относительную пропускную способность q и вероятность отказа отк. Р е ш е н и е. Интенсивность обслуживания для одноканальной СМО с отказами = 1/tобс= =1/1,5 = 0,667. Вероятность состояний согласно формулам (3.11) и (3.12) p0 0,667 0,455; 0,8 0,667 p1 0,545; q = 0,455 45%; p отк= 0,545; А = 0,8 0,455= 0,364. 19 Итак, относительная пропускная способность линии 45% вызовов, 55% вызовов получают отказ, абсолютная пропускная способность 0,364 разговоров в минуту. П р и м е р 2. Пусть телефонных линий будет три (n=3); = 0,8; = 0,667. Найти вероятность состояний, абсолютную и относительную пропускную способность, вероятность отказа и среднее число занятых каналов. Указание. Среднее вычислить двумя способами: количество занятых каналов с помощью готовых формул (3.15 3.16); вычислением математического ожидания случайной величины – числа занятых каналов, используя вероятности состояния системы. Р е ш е н и е. Состояния системы следующие (рис. 3.4): S0 все линии свободны; S1 занята одна линия; S2 занято две линии; S3 занято три линии. Вероятности состояний и характеристики многоканальной СМО с отказами вычислим по формулам (3.11 3.16): 0,8 1 1,2; P0 0,312; 0,667 1 1,2 0,72 0,288 р1 = 0,374; р2 = 0,224; р3 = 0,090; ротк = р3 = 0,090; q = 0,910; A = 0,728; k = 1,2 0,910 = 1,09. Вычисление среднего числа занятых каналов приведено на рис.3.5-3.6. Ячейка С20 содержит искомое значение, которое совпало со значением, вычисленным по формуле (3.16). 20 A 1 Пример 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 B C D Интенсивность Интенсивность Приведенная потока заявок обслуживания интенсивность Lambda Mu Ro 0,8 0,667 1,1994003 Вспомогательные вычисления i-№ состояния Ro^i 1/i! 0 1 1 1,1994003 2 1,438561079 3 1,72541059 Sum (Ro^i)*(1/i!) 1 1 0,5 0,166666667 1 1,1994003 0,71928054 0,287568432 3,206249271 Распределение случайной величины - числа занятых каналов i-№ состояния (кол-во заданных каналов) Pi i*Pi 0 0,311890909 0 1 0,37408205 0,37408205 2 0,224337061 0,448674123 3 0,08968998 0,269069939 Sum 1 1,091826111 Среднее число занятых каналов Рис.3.7 Решение примера 2 в MS Excel в режиме отображения данных. 21 A B C D 1 Пример 2 Интенсивно сть потока Интенсивность Приведенная обслуживания интенсивность 2 заявок 3 Lambda Mu Ro 4 0,8 0,667 =A4/B4 5 6 Вспомогательные вычисления 7 i-№ состояния Ro^i 1/i! (Ro^i)*(1/i!) 8 0 =$C$4^A8 =1/ФАКТР(A8) =B8*C8 9 1 =$C$4^A9 =1/ФАКТР(A9) =B9*C9 10 2 =$C$4^A10 =1/ФАКТР(A10) =B10*C10 11 3 =$C$4^A11 =1/ФАКТР(A11) =B11*C11 12 Sum =СУММ(D8:D11) 13 14 Распределение случайной величины - числа занятых каналов i-№ состояния (кол-во 15 заданных Pi i*Pi 16 0 =1/D12 =A16*B16 17 1 =$B$16*D9 =A17*B17 18 2 =$B$16*D10 =A18*B18 19 3 =$B$16*D11 =A19*B19 20 Sum =СУММ(B16:B19) =СУММ(C16:C19) 21 Среднее число 22 занятых каналов Рис.3.8 Решение примера 2 в MS Excel в режиме отображения формул. П р и м е р 3. СМО представляет собой экскаватор, работающий на уступе в карьере. К нему на погрузку идет поток автосамосвалов с интенсивностью = 1 машина в минуту. Процесс погрузки продолжается в среднем 1,25 мин. Площадка на уступе ограничивает количество машин в очереди до трех. Определить вероятность отказа ротк ; относительную (q) и абсолютную (А) пропускную способности; среднее число машин, ожидающих погрузки r ; среднее число машин, находящихся на уступе k ; среднее время ожидания в очереди t ож ; среднее время пребывания в системе t сист . У к а з а н и е . Средние количества машин стоящих в очереди, находящихся на обслуживании и находящихся в системе вычислить двумя способами: 22 с помощью готовых формул (3.19 3.20); вычислением математических ожиданий соответствующих случайных величин – количества машин стоящих в очереди, находящихся на обслуживании и находящихся в системе, используя вероятности состояния системы. Р е ш е н и е. Состояния системы (рис. 3.5) следующие: S0 экскаватор свободен, очереди нет; S1 экскаватор занят, очереди нет; S2 в очереди один автосамосвал; S3 в очереди два автосамосвала; S4 в очереди три автосамосвала. Вероятности состояний: p0 (1 ) /(1 m2 ); p k k p 0 ; (k =1, 2, 3, 4), где . Характеристики системы вычислим по формулам (3.173.21). Так как = 1/1,25 = 0,8 , соответственно =1/0,8=1,25, то p0 = 0,122; p4 = 0,297; ротк = p4 = 0,297; q = 0,703; A = 0,703; k = 2,44; t ож = 1,56 мин; t сист = 2,44. Вычисление средних количества машин стоящих в очереди, находящихся на обслуживании и находящихся в системе приведено на рис.3.9-3.10. Ячейка С23 содержит искомое значение среднего количества машин стоящих в очереди. Ячейка С37 содержит искомое значение среднее количество загружаемых машин. Ячейка С50 содержит искомое значение - среднее количество машин, находящихся на обслуживании. Все эти значения совпали со значениями, вычисленными по формулам (3.173.21). r = 1,56; 23 A 1 Пример 3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Интенсивность потока заявок Lambda B C Среднее время Приведенная обслуживания интенсивность Tобсл Ro 1 1,25 D Eмкость очереди m 1,25 Вероятности состояний i-№ состояния P 0 0,12184674 1 0,152308425 2 0,190385531 3 0,237981913 4 0,297477392 Sum 1 Распределение случайной величины количества машин, стоящих в очереди r-№ состояния (кол-во машин стоящих в очереди) Pr r*Pr 0 0,12184674 0 0 0,152308425 0 1 0,190385531 0,190385531 2 0,237981913 0,475963827 3 0,297477392 0,892432175 Sum 1 1,558781533 Среднее число количествo машин, стоящих в очереди Рис.3.9 Решение примера 3 в MS Excel в режиме отображения данных(начало). 24 3 A B C 28 Распределение случайной величины 29 количество загружаемых машин 30 (находящихся на обслуживании) i-№ состояния (кол-во машин стоящих в 31 очереди) Pi i*Pi 32 0 0,12184674 0 33 1 0,152308425 0,152308425 34 1 0,190385531 0,190385531 35 1 0,237981913 0,237981913 36 1 0,297477392 0,297477392 37 Sum 1 0,87815326 38 Среднее число 39 загружаемых машин 40 41 42 Распределение случайной величины 43 количества машин,находящихся в системе 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 k-№ состояния (кол-во машин , находящихся на обслуживании) Pk 0 1 2 3 4 Sum k*Pk 0,12184674 0,152308425 0,190385531 0,237981913 0,297477392 1 0 0,152308425 0,380771061 0,71394574 1,189909567 2,436934793 Среднее число количества машин, находящихся на обслуживании Рис.3.10 Решение примера 3 в MS Excel в режиме отображения данных(окончание). 25 A B C D 1 Пример 2 Интенсивно сть потока Интенсивность Приведенная обслуживания интенсивность 2 заявок 3 Lambda Mu Ro 4 0,8 0,667 =A4/B4 5 6 Вспомогательные вычисления 7 i-№ состояния Ro^i 1/i! (Ro^i)*(1/i!) 8 0 =$C$4^A8 =1/ФАКТР(A8) =B8*C8 9 1 =$C$4^A9 =1/ФАКТР(A9) =B9*C9 10 2 =$C$4^A10 =1/ФАКТР(A10) =B10*C10 11 3 =$C$4^A11 =1/ФАКТР(A11) =B11*C11 12 Sum =СУММ(D8:D11) 13 14 Распределение случайной величины - числа занятых каналов i-№ состояния (кол-во 15 заданных Pi i*Pi 16 0 =1/D12 =A16*B16 17 1 =$B$16*D9 =A17*B17 18 2 =$B$16*D10 =A18*B18 19 3 =$B$16*D11 =A19*B19 20 Sum =СУММ(B16:B19) =СУММ(C16:C19) 21 Среднее число 22 занятых каналов Рис.3.11 Решение примера 3 в MS Excel в режиме отображения формул (окончание). П р и м е р 4. На обогатительную фабрику прибывают составы с рудой с интенсивностью = 2 состава в час. Среднее время обработки состава tобсл = 0,4 ч. Очередь на разгрузку предполагается неограниченной. Найти среднюю длину очереди, среднее число составов в системе, среднее время ожидания и среднее время пребывания в системе. Р е ш е н и е. Так как = 2 0,4 = 0,8 , т.е. < 1, то вероятности состояний и характеристики системы можно получить из формул (3.13 3.15). Таким образом, r = 3,2 состава; t ож = 1,6 час; t сист = 2 ч. П р и м е р 5. На уступе в карьере работает два экскаватора с одинаковой производительностью (n = 2). Поток автосамосвалов, 26 прибывающих на уступ для погрузки, имеет интенсивность = 2 машины в минуту; среднее время погрузки tобсл = 2 мин. Площадка на уступе может вместить очередь не более трех машин (m = 3). Найти вероятность отказа, относительную и абсолютную пропускную способность, среднее число занятых экскаваторов и машин в очереди, среднее время ожидания и пребывания машин на уступе. Р е ш е н и е. Состояния в системе следующие (рис. 3.4): S0 система свободна; S1 занят погрузкой один экскаватор; S2 оба экскаватора заняты, очереди нет; S3 оба экскаватора заняты, в очереди одна машина;. S4 в очереди два автосамосвала; S5 в очереди три автосамосвала. Вероятности состояний и характеристики многоканальной СМО с ожиданием вычислим по формулам (3.16 3.20). Итак, n = 2, m = 3; = 2; = 0,5; = 4; x = / n = 2. Соответственно: p0 = 0,008; ротк = 0,512; q = 0,488; A = 0,976; r = 2,18; Z = 1,952; t ож = 1,09 мин; t сист = 2,07. РАСЧЕТ ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ СМО. П р и м е р. Некоторое предприятие, ведущее свой бизнес по телефону, имеет собственную АТС, которая имеет несколько каналов связи с городской АТС. Любой запрос на выход на номера городской АТС поступает на местную АТС, а затем, в случае наличия свободной линии (канала), абонент соединяется с городской АТС. Когда все каналы заняты, абонент получает отказ в соединении, и в этом случае фирма несет потери. Затраты на эксплуатацию канала равны Ск у.е. (условных единиц). Экономические потери от неудовлетворения 1% требований на соединение с абонентом равны Со у.е. (условных единиц). Определить оптимальное количество линий связи для предприятия, если Ск=100 у.е , а Со=10 у.е. Данные по 27 мониторингу запросов на соединение за единицу времени (в течение одной минуты) приведены в табл. 3.2, а по продолжительности разговора по телефону (хронометраж) - в табл. 3.3. Таблица 3.2 Число запросов k Число наблюдений 0 1 2 3 4 5 6 7 60 98 92 60 32 12 5 1 Для оптимального по затратам варианта определить основные характеристики системы: относительную пропускную способность системы q , абсолютную пропускную способность системы A , среднее число занятых каналов k . Таблица 3.3 Продолжительность Число разговора разговоров От До 0,0 0,5 54 0,5 1,0 40 1,0 1,5 32 1,5 2,0 28 2,0 2,5 19 2,5 3,0 18 3,0 3,5 14 3,5 4,0 10 4,0 4,5 8 4,5 5,0 7 5,0 5,5 6 6,0 6,5 4 6,5 7,0 4 7,0 7,5 1 Решение. Для определения оптимального числа каналов необходимо минимизировать общие затраты (потери). Общие потери Z состоят из двух частей - из затрат на эксплуатацию каналов и потерь из-за отказов в соединении с абонентом. 28 Затраты на эксплуатацию n каналов равны nСк, и потери от отказов равны произведению Pотк Со100, где Pотк - вероятность отказа. Поэтому имеем задачу на оптимизацию Z n Cк Co Pотк 100 min (3.21) Таким образом, необходимо найти целое n, при котором Z имеет наименьшее значение. Решение типовой задачи системы массового обслуживания (СМО) может быть разбито на следующие этапы: 1. Анализ работы СМО 2. Проверка характеристик входного и выходного потока. 2.1. Проверка соответствия входящего потока требований пуассоновскому закону. 2.2. Проверка соответствия времени обслуживания показательному закону распределения 3. Определение основных характеристик системы в зависимости от способа организации обслуживающей системы по формулам СМО Находим оптимум решаемой задачи, используя полученные характеристики СМО и зная стоимостные данные. Анализ формулы (3.21) показывает, что единственной неизвестной величиной является Pотк. Для ее определения воспользуемся формулами теории массового обслуживания. Чтобы их применить корректно, необходимо, установить, что указанная задача относится к указанному классу (к задачам массового обслуживания). В качестве запроса на обслуживание можно рассматривать запрос на «городской» звонок: запрос удовлетворен, если связь предоставлена; в запросе отказано, если городская линия занята Для этого проверим соответствие распределение количества заявок на соединение в единицу времени (входящего потока) пуассоновскому закону, а распределение времени обслуживания показательному закону распределения с помощью критерия согласия Пирсона - χ2 , с уровнем значимости α=0,05 (теоретические основы его применения приведены в [2]). При проверке по этому критерию сначала определяют меру расхождения фактического распределения с предполагаемым теоретическим: 29 (mi N pi ) 2 i N pi k (3.22) где k – количество разрядов в которые сведены результаты опытов; N – общее количество наблюдений; mi – количество наблюдений в iтом разряде; pi– теоретическая вероятность (по предполагаемому закону распределения) i-го разряда. Для определения величины χ2крит , которое используется в процедуре проверки, необходимо определить число степеней свободы r: (3.23) r k c 1 где: с – число параметров распределения. Для пуассоновского и показательного законов распределения с=1. Все расчеты могут быть выполнены вручную или с помощью электронных таблиц MS Excel1. Для последнего случая фрагменты таблиц приведены на рис. 3.12-3.14. Проверим гипотезу о том, что распределение, представленное в табл. 3.2, является частным случаем распределения Пуассона с уровнем значимости α=0,05. Выдвигаем гипотезу Но: данное эмпирическое распределение следует распределению Пуассона. Альтернативная гипотеза – Н1: эмпирическое распределение не следует распределению Пуассона. Для вычисления объема выборки (рис. 3.5), в ячейку B15 вводим формулу =СУММ(B7:B14), полученное значение 360 и есть искомая величина N. Распределение Пуассона описывается формулой (3.6), в которой λ – параметр распределения, в данном случае он неизвестен. В качестве оценки этого параметра λ используем xср – среднее значение случайной величины. В ячейке C17 помещаем вычисленное среднее значение по формуле =C15/B15. Получили 1 На рис. 3.5 приведен общий вид электронных таблиц MS Excel в режиме отображения данных, при решении данной задачи. Вид электронных таблиц MS Excel в режиме отображения формул приведен в приложении 2, Само решение оформлено на трех отдельных листах. Такое размещение фрагментов решения не является единственно правильным и может изменяться по желанию студента. 30 значение 1,9083 – это и есть оценочное значение λ, которое будем использовать для построения теоретического распределения. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 B C D E F G H Проверка гипотезы соответствия распределения кол-ва требований в минуту входящего потока требований пуассоновскому закону распределения с помощью критерия согласия Пирсона Число запросов Числоk наблюдений xi(k) mi xi*mi k! 0 60 0 1 98 98 2 92 184 3 60 180 4 32 128 5 12 60 6 5 30 7 1 7 N= 360 687 1 1 2 6 24 120 720 5040 pi 0,148327 0,283058 0,270085 0,171804 0,081965 0,031283 0,00995 0,002713 0,999184 N*pi 53,39786 101,9009 97,23046 61,84938 29,50731 11,26196 3,581927 0,976502 359,7063 Xi^2 0,816292 0,149333 0,28137 0,055299 0,210576 0,048367 0,56141 0,000565 2,123212 =Xi^2 Рис. 3.12. Рабочий лист Excel с расчетами В интервал E7:E14 заносим теоретические значения вероятности, вычисленные по формуле (3.6) при λ =1,9083. В ячейку E7 заносим формулу =EXP(-$C$17)*($C$17^A7)/D7, в остальные ячейки диапазона эта формула заноситься копированием. В интервал F7:F14 заносим теоретические значения частот, вычисленные по формуле N p i . В ячейку F7 заносим формулу =E7*$B$15, в остальные ячейки диапазона эта формула заносится копированием. Теперь мы готовы вычислить χ2 по формуле (3.22). Для этого в ячейку G7 заносим формулу =(B7-F7)^2/F7, в остальные ячейки диапазона G7:G14 формула заноситься копированием. Сумму значений ячеек G7:G14 помещаем в ячейку G8 – это искомое значение χ2. = 2,1232. Далее вычисляем число степеней свободы r: r k c 1 ; k = 8 , c = 1, r = 6 и α = 0.05, (с количество определяемых параметров распределения), χ2крит = 12,59 (найдено по таблицам, см. Приложение 1). 31 Поскольку χ2 < χ2крит, то гипотезу H0 о соответствии количества вызовов в единицу времени ( в минуту) пуассоновскому закону принимаем. Проверим гипотезу о том, что распределение, представленное в табл. 3.3, является частным случаем показательного распределения с уровнем значимости α=0,05. Выдвигаем гипотезу Но: данное эмпирическое распределение следует показательному закону распределения. Альтернативная гипотеза – Н1: эмпирическое распределение не следует показательному закону распределения. Показательное распределение описывается формулой (3.8), в которой μ - параметр распределения, имеющий смысл интенсивности обслуживания, в данном случае он неизвестен. В силу справедливости соотношения (3.9), в качестве оценки этого параметра используем 1/tср – величину обратную к среднему значению случайной величины. В интервал ячеек A8:B22 введем начальные и конечные значения интервалов (разрядов), в интервал C8:C22 поместим значения середин интервалов, для этого в ячейку C8 вводим формулу =(A8+B8)/2, в остальные ячейки интервала эта формула заносится копированием. В интервал ячеек D8:D22 помещаем наблюдаемые значения частот mi (количество разговоров) Далее определяем оценку значения μ, и поскольку оно равно величине обратной математическому ожиданию, определяем tср – среднее время обслуживания - среднее значение случайной величины. Для этого в ячейку D23 вводим формулу =СУММ(D8:D22). Полученное значение 250 и есть объем выборки N. Чтобы вычислить tср , воспользуемся формулой 15 tср t m i 1 i i (3.24) N где: ti − середина i-го интервала, 15 –число интервалов. Для этого вычислим произведения в столбце E8:E22, в ячейку E8 вводим формулу =C8*D8; в остальные ячейки диапазона значения заносим копированием. Далее находим сумму, для этого в ячейку E23 вводим формулу = СУММ(E8:E22). В ячейку E24 32 помещаем вычисленное среднее значение по формуле =E23/D23, получим значение 1,978. A B C D E F 2 Проверка гипотезы распределения времени обслуживания 3 по показателькому закону распределения 4 5 с помощью критерия согласия Пирсона Продолж. разговора 6 7 От 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 До 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 Середина Число интервала разговоров ti 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 23 24 tср =E23/D23= 25 mu=1/tcp=1/D24= ti*mi G H I 2 pi N*pi Xi 0,223 0,173 0,135 0,105 0,081 0,063 0,049 0,038 0,030 0,023 0,018 0,014 0,011 0,008 0,006 55,840 43,368 33,681 26,158 20,315 15,778 12,254 9,517 7,391 5,740 4,458 3,462 2,689 2,088 1,622 0,051 0,245 0,075 0,140 0,079 0,326 0,259 0,027 0,054 0,284 0,543 0,693 0,648 1,765 0,236 mi 0,25 0,75 1,25 1,75 2,25 2,75 3,25 3,75 4,25 4,75 5,25 5,75 6,25 6,75 7,25 N= 54 40 32 28 19 18 14 10 8 7 6 5 4 4 1 13,5 30 40 49 42,75 49,5 45,5 37,5 34 33,25 31,5 28,75 25 27 7,25 250 494,5 0,975 243,711 5,424 1,978 средняя продолж разговора 0,505561 мю-интенсивность обслуживания =Xi Рис. 3.13. Рабочий лист Excel с расчетами Далее вычисляем оценку значения μ, для этого в ячейку E25 помещаем формулу =1/E24. Итак, оценочное значение μ равное 0.5056 найдено. Его можно использовать для построения теоретического распределения. Чтобы применить формулу (3.22) нужно знать значения теоретические значения рi для каждого интервала. С учетом соотношения (3.5), точное значение рi равно: pi bi f ( x)dx e a i e bi (3.25) ai где: ai и bi − начало и конец i-го интервала соответственно. Для этого в ячейку F8 вводим формулу: =EXP(-$D$25*A8)-EXP(-$D$25*B8) В остальные ячейки диапазона F8:F22 заносим эту формулу копированием. 33 2 В интервал G8:G22 заносим теоретические значения частот, вычисленные по формуле N p i . В ячейку G8 заносим формулу =F8*$D$23, в остальные ячейки диапазона эта формула заносится копированием. Теперь мы готовы вычислить χ2 по формуле (3.22). Для этого в ячейку H8 заносим формулу =(D8-G8)^2/G8, в остальные ячейки диапазона H8:H22 формула заносится копированием. Сумму значений ячеек H8:H22 помещаем в ячейку H23 – это искомое значение χ2. Получили χ2=5,4245. Определим число степеней свободы r по формуле (3.23). Поскольку k=15, c=1, то r=13 и α=0.05. χ2крит = 22,4 (найдено по таблицам, см. Приложение 1). Поскольку χ2 < χ2крит, то гипотезу H0 о соответствии данного распределения показательному закону принимаем. Таким образом, данная СМО может быть исследована аналитическими методами, и для расчета ее параметров могут быть применены формулы теории массового обслуживания. Переходим ко второму этапу - определению основных показателей. В данном случае обслуживающая система является многоканальной (включает n каналов обслуживания). Данная система система с отказами, поскольку, если в момент поступления требования нет свободных обслуживающих каналов (т.е. заняты все каналы, так как в системе уже находится n требований), то требование покидает систему не обслуженным. Все состояния системы приведены на рис. 3.2: S0 – все каналы свободны; S1 – один канал занят, остальные свободны; S2 – два канала заняты, остальные свободны; Sk – k каналов занято, остальные (n - k) свободны; Sn – все n каналов заняты. Для вычисления основных характеристик системы воспользуемся формулами (3.11)(3.16). При решении данной задачи нас главным образом интересует вероятность отказа Pотк, ее вычисление для различных n приведено на рис. 3.14. В ячейках B20:B26 приведены значения 34 вероятностей отказа для числа каналов, указанных в ячейках A20:A27. Переходим к третьему этапу – определению оптимального числа каналов. Это можно сделать несколькими способами, здесь будет приведено два из них метод перебора и метод целочисленного программирования. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 B C D Расчет общих затрат lambda= 1,9083 mu= 1/1,978= 1,9083 0,5055612 ro= lambda/mu= 3,7746174 k k! E F G Стоимости канала потери С0 Сотк 100 10 Две колонки для варианта 2 0 1 2 3 4 5 6 7 ro^k 1 1,000 1 3,775 2 14,248 6 53,780 24 202,998 120 766,240 720 2892,262 5040 10917,182 Вариант 1 - метод подбора n-число каналов Pотк Затраты 1 0,791 890,559 2 0,599 798,721 3 0,430 729,651 4 0,288 688,480 5 0,179 678,834 6 0,101 701,128 7 0,052 751,711 ro^k/k! 1,000 3,775 7,124 8,963 8,458 6,385 4,017 2,166 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 Вариант 2 - метод целочисленного программирования n-число Pотк Затраты каналов 0,179 678,834 5 Рис. 3.14. Рабочий лист Excel в режиме отображения данных. Метод перебора. В этом случае необходимо вычислить величину затрат для каждого из возможных n от 1 до 7. Большее количество каналов рассматривать не имеет смысла, поскольку по результатам предварительного исследования системы только один раз наблюдалась ситуация, когда были затребованы 7 каналов. Для вычисления величины затрат воспользуемся формулой (3.21) и занесем ее в ячейки C20:C26 (рис. 3.14). В ячейку 35 C20 запишем формулу =$F$3*A20+B20*$G$3*100, в смежные ячейки C21:C26 она заносится копированием. По полученным данным строим график зависимости Z от n (рис. 3.15). Анализируя полученные результаты приходим к выводу, что оптимальное количество каналов равно 5, поскольку именно при этом значении величина затрат имеет минимум. Метод целочисленного программирования. Для реализации этого метода средствами MS Excel необходимо использовать надстройку «Поиск решения». Диалоговое окно этой надстройки показано на рис. 3.16. Для применения этого средства необходимо выразить целевую функцию, в виде формулы MS Excel через искомое значение (n - число каналов), для которой отведем ячейку G20. Первоначально в эту ячейку можно занести любое значение от 1 до 7. Для определенности занесем значение 2. В ячейку E20 запишем формулу для вычисления Pотк (использовано соотношение (3.4)): =СУММПРОИЗВ(D8:D15;F8:F15)/СУММПРОИЗВ(D8:D15;E8:E15) Числитель этой формулы равен [1 1 2 ... n n! n , знаменатель - ] 1! 2! n! Необычный вид этих формул объясняется тем, что число слагаемых не постоянно, а зависит от n. Поэтому введены два столбца E8:F15, в которых содержатся только нули и единицы. В столбце E8:E15 содержатся единицы для k меньших n, остальные нули. Для этого в ячейку E8 введена формула =ЕСЛИ($G$20<A8;0;1), в остальные ячейки диапазона эта формула заносится копированием. В столбце F8:F15 содержится единица только для k равного n (k=n), остальные нули. Для этого в ячейку F8 введена формула =ЕСЛИ($G$20<>A8;0;1), в остальные ячейки диапазона эта формула заносится копированием. Вычислим значение целевой функции, для этого в ячейку F20 запишем формулу для вычисления величины общих затрат: =E20*G3*100+F3*G20. 36 После этого пользуемся надстройкой «Поиск решения» (рис 3.16), заполняя соответствующие поля диалогового окна. Поле ограничений содержит естественные ограничения: число каналов целое ($G$20 = целое) и больше 0 ($G$20>=0). Далее нажимаем кнопку «Выполнить». Общие затраты Потери, условные единицы 1000 800 600 400 200 0 0 2 4 Число каналов Рис. 3.15 Рис. 3.16 37 6 8 Рис. 3.17 При успешном решении задачи методом целочисленного программирования средствами надстройки «Поиск решения» система выдает диалоговое окно, показанное на рис. 3.17, а в ячейке G20 будет находиться найденное оптимальное значение n = 5, в ячейке F20 будет находиться величина затрат, ему соответствующая (678.834). Результаты решения, полученные двумя методами, совпадают. Для найденного оптимального числа каналов (n=5) определим основные характеристики системы: 1) относительную пропускную способность системы: q (1 Pn ) = q=1-0.1788=0.8212 2) абсолютную пропускную способность системы: A q (1 Pn ) =1.9083 0.8212= 1.567 3) среднее число занятых каналов: 1. 2. 3. 4. k (1 Pn ) = 3.7746 0.8212 = 3.10 Выводы: Анализ исходных данных показывает, что задача может быть решена методами теории массового обслуживания. Данная система относится к многоканальным системам без очереди с отказами. Для расчета основных параметров данной СМО применимы формулы Эрланга. При данных стоимостных характеристиках канала и величины потерь из-за отсутствия связи, оптимальным числом каналов является 5. 38 5. Оптимальное число каналов вычислено методами перебора и целочисленного программирования. Значения полностью совпали. 6. Для найденного оптимального числа каналов (n=5) определены основные характеристики системы: относительная пропускная способность системы: q= 0.82 абсолютная пропускная способность системы: А= 1.56 среднее число занятых каналов: k= 3.10. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3 Моделирование простейшего потока событий. Лабораторная работа состоит из трех задач. Первые две задачи посвящены углубленному изучению распределений случайных величин, которые используются при моделировании СМО. Эти распределения изучались ранее в курсе высшей математики. Третья задача связана с изучением свойств простейшего потока событий, также использующих эти распределения. Задача 1 Автоматическая телефонная станция получает в час в среднем n вызовов. Полагая, что количество вызовов, полученных станцией за одну минуту (случайная величина X) распределено по закону Пуассона, составить таблицу распределения для первых 20 значений. Построить многоугольник (полигон) распределения для иллюстрации закона распределения. Найти функцию распределения F(x) случайной величины X и построить ее график. Найти среднее значение (математическое ожидание) M(X), дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение x и моду Mo(X ) СВ Х. Вычисление математического ожидания M(X), дисперсии D(X), среднего квадратического отклонения x провести двумя способами: приближенно, используя таблицу распределения, взяв первые 20 значений СВ, и аналитически, используя тот факт, что заданное распределение пуассоновское . 39 Какова вероятность того, что за одну минуту станция получит а) не менее k и не более m вызовов? б) менее k вызовов? в) более m вызовов? г) менее k вызовов или более m вызовов? Указание. Решение подобной задачи приведено в[1] Исходные данные приведены в таблице 3.6. Таблица 3.6. Варианты заданий Вар иант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 n 360 240 270 330 360 240 270 330 420 360 240 270 330 240 360 k 3 3 5 3 4 4 3 3 4 2 3 4 5 5 3 m 7 8 8 7 9 9 7 8 9 7 7 9 8 8 9 Вариа нт 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 n 270 360 240 330 420 360 240 270 330 420 360 240 270 330 420 k 2 3 2 2 2 5 3 3 3 3 5 4 3 4 3 m 7 8 7 7 7 7 9 8 9 8 8 9 9 9 7 Задача 2 Экспоненциальное распределение. Провести анализ случайной величины равной интервалу времени между соседними вызовами автоматической станции, параметры которой определены в задаче 1. Будем полагать, что эта случайная величина распределена экспоненциально с параметром , который определен в задаче 1. 40 1. Построить графики плотности распределения и функции распределения, построив таблицу значений функции при изменении x от 0 до b c шагом h=b/N , при N=40. Таким образом, таблица будет содержать 41 значение. Значение b подобрать самостоятельно, так, чтобы таблица была содержательной, т.е. F(b) было достаточно близко к 1, a f(b) достаточно близко к 0, и шаг h был достаточно мал. Если это не удается сделать при N=40, увеличьте N. Таблицу построить двумя способами: a) пользуясь непосредственным определением функции плотности и функции распределения СВ; b) пользуясь встроенной функцией ЭКСПРАСП(). 2. Используя приемы приближенного интегрирования, проверить соотношения (2.6), (2.19) для заданного распределения. Вычислите погрешности. Вычислить вероятности следующих событий : 1). Случайная величина принимает значения меньшие 1/. 2). Случайная величина принимает значения большие 1/ . 3). Случайная величина принимает значения большие 1/ и меньшие 2/ 4). Случайная величина принимает значения меньшие 1/ или больше 2/. Используя графики функций плотности распределения f(x) и распределения F(x), построенные в п.1, проиллюстрируйте полученный результат. Указание. Решение подобной задачи приведено в [1] Задача 3 Пользуясь средствами MS Excel построить имитационную модель простейшего потока событий, представленного вызовами автоматической телефонной станции. Интенсивность потока определена параметрами, которые определены в задаче 1. Время моделирования взять равным двум часам. Для первых 10-15 минут на числовой оси времени отметить моменты времени, соответствующие событиям в потоке. Вычислить количество минут (эмпирическую частоту) в течение этого часа, во время которых 41 произошло ровно k конечн . k событий, где k 0,1,2..., kконечн . . Величину взять равной наибольшему значению, для которого частота больше нуля. Пользуясь критерием согласия Пирсона с уровнем значимости α=0.05, сравнить полученное эмпирическое распределение количества вызовов в единицу времени и теоретическое распределение Пуассона для заданной интенсивности. Убедиться в постоянстве среднего количества событий в минуту N /Tн за достаточно продолжительные интервалы времени Tн.. Для этого провести вычисления, взяв Tн равное 60 мин. (1 час), а начало интервала последовательно полагать равным 0,10,20, …60 мин. Сравнить полученные значения с интенсивностью потока , Указание. Подробное описание критерия согласия Пирсона для проверки совпадения двух распределений приведено в [2] Р е ш е н и е. Проведем расчеты для потока событий, имеющего интенсивность = 5 (мин -1). Чтобы построить поток событий, необходимо вычислить интервалы времени между соседними событиями в потоке. Поскольку длины этих интервалов распределены по экспоненциальному закону, необходимо построить генератор случайных чисел, который реализует такое распределение. Именно такой функции в MS Excel нет. С другой стороны в MS Excel есть функция СЛЧИС(), которая возвращает число, большее либо равное 0 и меньшее 1. При многократном вызове этой функции получаем последовательность чисел, которую можно рассматривать как реализацию равномерно распределенной случайной величины U в интервале [0,1] ( U~U[0,1]). Новое случайное число возвращается при каждом вычислении на рабочем листе. Как известно, если случайная величина распределена по равномерному закону распределению ( U~U[0,1]), то случайная величина 42 1 X ln(1 U ) (3.21) распределена по экспоненциальному закону с интенсивностью . Используя эти свойства, проведем все расчеты на рабочем листе рис.3.18-3.19. для изображения потока событий. Количество строк в таблице подбирается так, чтобы время события превысило 120 мин (2 час). В колонке А содержатся значения равномерно распределенной случайной величины, которые получены с помощью функции СЛЧИС(). В колонке В содержатся значения случайной величины распределенной по экспоненциальному закону, которые получены из значений колонки А путем преобразования (3.21), т.е. это интервал времени между соседними событиями. В колонке С содержатся абсолютные значения моментов времени, в которые реализовались события данного потока. Далее скопируем полученные з н а ч е н и я н а д р у г о й л и с т р а б о ч е й к н и г и . Это необходимо сделать для обеспечения н е и з м е н н о с т и п о л у ч е н н ы х р е з у л ь т а т о в , поскольку функция СЛЧИС(), возвращает новое значение при каждом изменении рабочего листа. 43 A B 1 Моделирование простейшего потока событий. 2 Lyambda 3 5 4 Рав-но распр-ая СВ C D интенсивность потока. Эксп-но распр-ая СВ Время события Интервал времени Вспомогательная СВ между событиями U X t 0,504747671421798 0,14053757831816 0,14053757831816 0,338208033480282 0,0825608044804425 0,223098382798603 0,752423809853337 0,279207381073934 0,502305763872537 0,765563569621696 0,290114162730601 0,792419926603138 0,811144254674503 0,333354361518767 1,12577428812191 0,459052158297411 0,122886483136886 1,24866077125879 0,562573638868801 0,165369380953167 1,41403015221196 0,247034330494253 0,0567471287694816 1,47077728098144 0,335486784063581 0,081740102496844 1,55251738347828 0,0270332884280253 0,00548108190752501 1,55799846538581 0,705252651636727 0,244327347165623 1,80232581255143 0,497618724298172 0,137679186844891 1,94000499939632 0,324818332345025 0,0785546974107829 2,01855969680711 0,252168960489395 0,0581156419060563 2,07667533871316 0,569844514087711 0,168721708101888 2,53307292803874 0,762687966349057 0,287675881223688 2,36435121993685 0,654299855412745 0,212436702761953 2,74550963080069 0,0902070085647364 0,0189076374576906 2,76441726825838 0,134358114276201 0,0288567965646702 2,79327406482305 0,74236730657309 0,271244075465579 3,06451814028863 0,000644854321491195 0,000129012465893441 3,06464715275452 0,544441291365027 0,157246136451213 3,22189328920574 0,169249495925285 0,037085152995394 3,25897844220113 0,410626482220044 0,105739028099806 3,36471747030094 0,974008883054829 0,730000091058664 4,0947175613596 0,952567481478007 0,609689448146892 4,70440700950649 0,376562595506364 0,0945013825314062 4,7989083920379 0,43257746800145 0,113330209287224 4,91223860132512 0,554640242245079 0,161774575807593 5,07401317713272 0,333146088922128 0,0810368561854 5,15505003331812 0,0390663042151929 0,00796997348262457 5,16302000680074 0,881500697409075 0,426569640746584 5,58958964754732 0,429676254524444 0,1123102209743 5,70189986852162 0,0618226845636638 0,012763262438897 5,71466313096052 0,371912099742169 0,0930150307490399 5,80767816170956 0,760058567845457 0,285472083622074 6,09315024533163 0,74652181022884 0,274495499211585 6,36764574454322 0,802025257437742 0,323923163848262 6,69156890839148 0,924996290052934 0,518043540141669 113,377352837354 0,599891609861983 0,18320395864726 113,560556796002 0,746827454531549 0,274736804962097 113,835293600964 0,803757954342466 0,325681290964481 114,160974891928 0,918196597354192 0,500687287820311 114,661662179748 0,820109615518662 0,343081517739252 115,004743697488 0,507861008781842 0,141798819982042 115,14654251747 0,914294246470657 0,491367063986724 115,637909581456 0,495121588323939 0,136687529530914 115,774597110987 0,800445929405347 0,322334009764945 116,096931120752 0,390799689914858 0,0991216297914831 116,196052750544 0,255081653820696 0,0588961338106504 116,254948884354 0,368249173056805 0,0918520447484957 116,346800929103 0,786455590885627 0,308782092544799 116,655583021648 0,991685087738389 0,95794094364273 117,61352396529 0,550573678722006 0,159956670224816 117,773480635515 0,395425728817864 0,100646150529912 117,874126786045 0,68740972024428 0,232572391261913 118,106699177307 0,262189519075387 0,0608136576551649 118,167512834962 0,174593839379116 0,0383759395782136 118,20588877454 0,897423542293769 0,45542936592581 118,661318140466 0,807935867108346 0,329985187450216 118,991303327917 0,94947787106253 0,597068768379884 119,588372096296 0,0334987051115894 0,00681452811278377 119,595186624409 0,202109900919167 0,0451568822933489 119,640343506703 0,13266392713994 0,0284657500040142 119,668809256707 0,103755441347654 0,0219083916650805 119,690717648372 0,193516475310135 0,0430143619568819 119,733732010329 0,736631020837961 0,266839853488713 120,000571863817 0,66458264961011 0,218475940098013 120,219047803915 0,0775288208896452 0,0161398291424596 120,235187633058 0,621876957205403 0,194507125258166 120,429694758316 0,664923714258854 0,218679410890147 120,648374169206 0,427124736202883 0,111417455134718 120,759791624341 0,0033612485111485 0,0519405353202251 0,000673382039474996 120,76046500638 0,222148627989377 0,050243962320138 120,8107089687 0,933002483670546 0,540619945997583 121,351328914698 0,228719128433913 121,403269450018 595 0,461887349461311 0,1239374706241 121,527206920642 596 0,406986059532526 0,104507474376775 121,631714395019 597 0,22141766894091 0,0500561074566085 121,681770502476 Вспомогательная величина 5 6 7 8 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Рис.3.18 Решение примера 1 в MS Excel Решение примера 1 в MS Excel в режиме отображения данных (начало). A B C 1 Моделирование простейшего потока событий. 2 Lyambda интенсивность потока. 3 5 Рав-но 4 СВ 5 6 7 8 9 распр-ая Эксп-но распрая СВ Время события Интервал Вспомогательная времени между СВ событиями U X t =СЛЧИС() =-1/$A$3*LN(1-A7)=B7 =СЛЧИС() =-1/$A$3*LN(1-A8)=C7+B8 =СЛЧИС() =-1/$A$3*LN(1-A9)=C8+B9 D Вспомогательная величина 0 0 0 Рис.3.19 Решение задачи 3 в MS Excel в режиме отображения формул (начало). С помощью графических средств MS Excel , на числовой оси построим моменты времени, соответствующие событиям в потоке, для этого используем часть данных из колонок C и D (рис.3.20). 44 Количество строк берем таким образом, чтобы длина интервала была в интервале 10-15 мин. 0,1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 t-вре мя Рис.3.20 Решение задачи 3 в MS Excel. На числовой оси отмечены моменты времени, соответствующие событиям в потоке. Вычислим количество событий в течение каждой минуты. Это можно сделать как вручную, так и с помощью надстройки «Пакет анализа» «Гистограмма». Диалоговое этой надстройки окно показано на рис.3.21, а результат её работы находится в интервале G6:H137 (рис.3.22). Содержимое столбца Н в этом интервале будет реализацией случайной величиной - количеством событий в течение каждой минуты, полученной в результате моделирования. Числовые характеристики этой случайной величины могут быть получены с помощью инструмента «Описательная статистика» надстройки «Анализ данных», диалоговое окно которого показано на рис.3.23. Результат работы приведен на рис.3.24 . Среднее значение полученной случайной величины равно 3.80, дисперсия 5.25. Можно было ожидать, что эти значения будут равны первоначально заданной интенсивности, т.е. 5. В результате моделирования всегда будут получаться значения, несколько отличающиеся от первоначально заданной интенсивности. Величина k конечн . будет равна 12, поскольку существует одна минута, в течение которой произошло 12 событий, и не существует ни одной минуты, в течение которой произошло более 12 событий. 45 Рис.3.21 Решение примера 1 в MS Excel F G H Номер Количество 6 Номер 7 Минуты Карман Частота 8 0 0 0 9 1 1 4 10 2 2 8 11 3 3 7 12 4 4 117 117 5 118 118 3 127 119 119 5 128 120 120 6 129 121 121 8 130 122 122 5 131 Еще 0 Рис.3.22 Решение примера 1 в MS Excel в режиме отображения данных (продолжение). 46 Рис.3.23 Решение примера 1 в MS Excel в режиме отображения данных (продолжение). Столбец1 Среднее Стандартная ошибка Медиана Мода Стандартное отклонение Дисперсия выборки Эксцесс Асимметричность Интервал Минимум Максимум Сумма Счет 4,804878049 0,206730202 5 4 2,292748857 5,256697321 0,043990221 0,368012275 12 0 12 591 123 Рис.3.24 Решение примера 1 в MS Excel в режиме отображения данных (продолжение). Далее строим итоговую таблицу с искомыми экспериментальными и теоретическими частотами. (рис. 3.25-3.26). Для этого последовательно вычислим количество минут, в течение которых не было ни одного события ( k =0); затем вычислим количество минут, в течение которых было ровно одно событие ( k =1) и т.д. Эти вычисления приведены в интервале ячеек N7:N19 47 на рис. 3.25-3.26. В интервале ячеек О7:Р19 содержатся теоретические значения вероятности и частот соответственно. Соответствующие графики частот приведены на рис.3.28. Визуально анализируя их, можно придти к выводу, что общий характер теоретической и экспериментальной кривых совпадает. Для аналитической проверки совпадения полученного эмпирического распределения количества вызовов в единицу времени и теоретического распределения Пуассона для заданной интенсивности воспользуемся критерием согласия Пирсона. Все расчеты приведены на (рис. 3.10-3.12). Для этого выдвигаем гипотезу H0: распределения эмпирических и теоретических частот совпадают (т.е. эмпирическое распределение является конкретной реализацией данного теоретического распределения). Альтернативная гипотеза H1: распределения эмпирических и теоретических частот не совпадают. Затем определим меру расхождения между фактическим распределением и предполагаемым теоретическим (mi N pi ) 2 i N pi k (3.1) где k – количество разрядов, в которые сведены результаты опытов;; mi – количество наблюдений в i-том разряде; рi – теоретическая вероятность (в соответствии с предполагаемым законом распределения) i-го разряда. Для корректности расчетов величины N pi должны быть больше или равны 5. Если в некотором интервале это условие нарушается, то интервал объединяется с соседним, т.е. интервалы укрупняются. После укрупнения число интервалов k стало равно 9 (диапазон Q8:R16), а величина χ2 будет равна 8.95 (ячейка S20). Далее определяется число степеней свободы r: (3.2) r k c 1 где: с – число параметров теоретического распределения. Для закона распределения Пуассона и показательного закона распределения с=1. Т.о. r=9-1-1=7. 48 По заданным значениям α=0.05 и r=9 с помощью специальной таблицы находим χ2крит.. Для этого используем встроенную функцию Excel ХИ2ОБР, которая имеет следующий формат: ХИ2ОБР (вероятность; число степеней свободы) В данном случае ХИ2ОБР(0.05; 7)=14.06. Сравниваем найденное значение χ2 с χ2крит. Поскольку 8.95=χ2 2 ≤ χ крит=14.06, то гипотезу H0 о совпадении эмпирического распределения с теоретическим принимаем. Таким образом, у нас нет оснований отвергнуть гипотезу о том, что полученное в результате моделирования распределение является частным случаем распределения Пуассона. . 49 M N O P 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Q R Укрупненные интервалы S ТеоретиКоличест ческая Теорети- Частота Теоретиво Частота вероят- ческая эмпирич ческая Chiсобытий эмпирическая ность частота еская частота square k m - эмпирическая p-теоретич. Np-теоретич. m - эмпирическая Np-теоретич. 0 3 0,006738 0,828767 1 2 0,03369 4,143837 5 4,972605 0,000151 2 14 0,084224 10,35959 14 10,35959 1,279255 3 20 0,140374 17,26599 20 17,26599 0,432921 4 22 0,175467 21,58249 22 21,58249 0,008077 5 17 0,175467 21,58249 17 21,58249 0,972973 6 12 0,146223 17,98541 12 17,98541 1,991897 7 19 0,104445 12,84672 19 12,84672 2,94728 8 9 0,065278 8,029199 9 8,029199 0,117378 9 2 0,036266 4,460666 5 8,127198 1,203289 10 1 0,018133 2,230333 11 1 0,008242 1,013788 12 1 0,003434 0,422412 N= 123 0,997981 122,7517 Chi-набл. 8,953222 Число ст.свободы Уровень значимости k=9-1-1= alpha= 7 0,05 Chi-крит 14,06713 Рис.3.25 Решение примера 1 в MS Excel Решение примера 1 в MS Excel в режиме отображения данных (окончание). M N Колич ество событ ий k 0 1 2 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 Сумма Частота эмпирическая m - эмпирическая =СЧЁТЕСЛИ($H$7:$H$129;M7) =СЧЁТЕСЛИ($H$7:$H$129;M8) =СЧЁТЕСЛИ($H$7:$H$129;M9) =СЧЁТЕСЛИ($H$7:$H$129;M11) =СЧЁТЕСЛИ($H$7:$H$129;M10) =СЧЁТЕСЛИ($H$7:$H$129;M12) =СЧЁТЕСЛИ($H$7:$H$129;M13) =СЧЁТЕСЛИ($H$7:$H$129;M14) =СЧЁТЕСЛИ($H$7:$H$129;M15) =СЧЁТЕСЛИ($H$7:$H$129;M16) =СЧЁТЕСЛИ($H$7:$H$129;M17) =СЧЁТЕСЛИ($H$7:$H$129;M18) =СЧЁТЕСЛИ($H$7:$H$129;M19) =СУММ(N7:N19) O 4 5 6 7 8 9 16 17 18 19 20 Теорети-ческая вероят-ность p-теоретич. =$A$3^M7/ФАКТР(M7)*EXP(-$A$3) =$A$3^M8/ФАКТР(M8)*EXP(-$A$3) =$A$3^M9/ФАКТР(M9)*EXP(-$A$3) =$A$3^M11/ФАКТР(M11)*EXP(-$A$3) =$A$3^M10/ФАКТР(M10)*EXP(-$A$3) =$A$3^M12/ФАКТР(M12)*EXP(-$A$3) =$A$3^M13/ФАКТР(M13)*EXP(-$A$3) =$A$3^M14/ФАКТР(M14)*EXP(-$A$3) =$A$3^M15/ФАКТР(M15)*EXP(-$A$3) =$A$3^M16/ФАКТР(M16)*EXP(-$A$3) =$A$3^M17/ФАКТР(M17)*EXP(-$A$3) =$A$3^M18/ФАКТР(M18)*EXP(-$A$3) =$A$3^M19/ФАКТР(M19)*EXP(-$A$3) =СУММ(O7:O19) Рис.3.26 Решение примера 1 в MS Excel в режиме отображения формул 50 P 5 6 7 8 9 Теорети-ческая частота Np-теоретич. =O7*$N$20 =O8*$K$20 =O9*$K$20 =O11*$K$20 =O10*$K$20 =O12*$K$20 =O13*$K$20 =O14*$K$20 =O15*$K$20 =O16*$K$20 =O17*$K$20 =O18*$K$20 =O19*$K$20 =СУММ(P7:P19) 16 17 18 19 20 21 22 k=9-1-1= 23 alpha= Q R S Частота эмпирическая m - эмпирическая Теорети-ческая частота Np-теоретич. Chi-square =N7+N8 =N9 =N11 =N10 =N12 =N13 =N14 =N15 =N16+N17+N18+N19 =P7+P8 =P9 =P11 =P10 =P12 =P13 =P14 =P15 =P16+P17+P18+P19 =(Q8-R8)^2/R8 =(Q9-R9)^2/R9 =(Q11-R11)^2/R11 =(Q10-R10)^2/R10 =(Q12-R12)^2/R12 =(Q13-R13)^2/R13 =(Q14-R14)^2/R14 =(Q15-R15)^2/R15 =(Q16-R16)^2/R16 Chi-набл. =СУММ(S7:S19) Chi-крит =ХИ2ОБР(Q23;Q22) 7 0,05 Рис.3.27 Решение примера 1 в MS Excel в режиме отображения формул (окончание). Полигоны частот 25 Частота 20 15 Частота эмпирическая 10 Теорети-ческая частота 5 0 0 5 10 15 Кол-во событий Рис.3.28 Графики экспериментальных и теоретических частот. 51 Вычисление среднего количества событий в минуту N/Tн за интервал времени Tн.=60, для 7 интервалов времени приведено на рис. 3.29-3.30. Количество событий внутри каждого интервала изменяется от 275 до 302, т.е. оставалось приблизительно постоянным. Все средние значения оказались приблизительно равными и лежащими в интервале от 4.58 до 5.03. Эти значения оказались несколько меньшими ожидаемой интенсивности потока , равной 5 событий в минуту. Это можно объяснить случайным характером процесса имитационного моделирования. Полученная картина распределения количества наблюдений за достаточно продолжительный интервал является иллюстрацией двух основных свойств простейшего потока событий – стационарности и отсутствия последействия. U V W X Начальный Конечный момент момент Количеств Количество интервала о минут событий 6 интервала 7 0 59 60 275 8 10 69 60 283 9 20 79 60 297 10 30 89 60 287 11 40 99 60 290 12 50 109 60 302 13 60 119 60 297 Y Среднее количество событий в минуту (интенсивнос ть) 4,583 4,717 4,950 4,783 4,833 5,033 4,950 Рис.3.29 Решение примера 1 в MS Excel Решение примера 1 в MS Excel в режиме отображения формул (окончание). 52 U 6 7 8 9 10 11 12 13 Начальный момент интервала 0 10 20 30 40 50 60 V Конечный момент интервала 59 69 79 89 99 109 119 W X Количеств о минут 60 60 60 60 60 60 60 Количество событий =СУММ(H7:H66) =СУММ(H17:H76) =СУММ(H27:H86) =СУММ(H37:H96) =СУММ(H47:H106) =СУММ(H57:H116) =СУММ(H67:H126) Y Среднее количество событий в минуту (интенсивнос ть) =X7/W7 =X8/W8 =X9/W9 =X10/W10 =X11/W11 =X12/W12 =X13/W13 Рис.3.30 Решение примера 1 в MS Excel в режиме отображения формул (окончание). ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4 Определение показателей СМО Лабораторная работа состоит из трех задач. Первые три задачи посвящены расчету показателей СМО. Основная цель четвертой задачи - определение оптимальных параметров СМО. Эта задача может быть использована как задание для расчетнографической работы. 53 Задача 1 На погрузку в забой идет поток самосвалов. В очереди не может находиться больше чем m самосвалов (m=3). Интенсивность поступления в машинах в минуту и среднее время обслуживания в минутах по вариантам следующее (табл. 3.3): Таблица 3.3 Вари ант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 0,7 1,1 0,9 1,5 1,5 2,0 1,5 1,4 1,6 1,2 1,5 1,25 2,0 0,9 2,3 2,5 2,1 2,15 tобсл 1,3 Найти вероятность отказа, абсолютную и относительную пропускные способности, среднюю длину очереди, среднее число самосвалов, находящихся в забое, среднее время ожидания и среднее время пребывания в забое. У к а з а н и е . Средние количества машин стоящих в очереди, находящихся на обслуживании и находящихся в системе вычислить двумя способами: с помощью готовых формул (3.19 3.20); вычислением математических ожиданий соответствующих случайных величин – количества машин стоящих в очереди, находящихся на обслуживании и находящихся в системе, используя вероятности состояния системы. Задача 2 На обогатительную фабрику прибывают составы с рудой. Очередь на разгрузку предполагается неограниченной. Интенсивность и среднее время разгрузки одного состава в минутах по вариантам следующие (табл. 3.4): Таблица 3.4 54 Вари 1 ант 2,0 2 3 2,5 4 5 6 1,8 1,75 1,6 tобсл 0,45 0,35 0,45 7 8 9 10 1,85 1,9 1,85 1,7 1,95 0,5 0,25 0,375 0,4 0,4 0,28 0,325 Найти среднюю длину очереди, среднее число составов в системе, среднее время ожидания в очереди и среднее время пребывания на путях фабрики. Задача 3 Имеется автозаправочная станция с n колонками (n=2). В очереди не может быть больше m машин (m=3). Интенсивность и среднее время заправки в минутах по вариантам следующие (табл. 3.5). Найти характеристики СМО. У к а з а н и е . Средние количества машин стоящих в очереди, находящихся на обслуживании и находящихся в системе вычислить двумя способами: с помощью готовых формул (3.25 3.28); вычислением математических ожиданий соответствующих случайных величин – количества машин стоящих в очереди, находящихся на обслуживании и находящихся в системе, используя вероятности состояния системы. Таблица 3.5 Вари 1 ант 2,0 2 3 4 5 2,0 1,8 1,9 2,1 t обсл0,45 0,55 0,35 6 7 8 55 10 2,2 1,85 1,95 1,9 2,15 0,4 0,55 0,65 0,35 0,5 Задача 4 9 0,5 0,55 Некоторое предприятие имеет собственную АТС, которая имеет несколько каналов связи с городской АТС. Любой запрос на выход на номера городской АТС поступает на местную АТС, а затем, в случае наличия свободной линии (канала), абонент соединяется с городской АТС. Когда все каналы заняты, абонент получает отказ в соединении, и в этом случае фирма несет потери. Затраты на эксплуатацию канала равны Ск у.е. (условных единиц). Экономические потери от неудовлетворения 1% требований на соединение с абонентом равны Со у.е. (условных единиц). Определить оптимальное количество линий связи для предприятия, приняв за критерий оптимальности суммарную величину потерь. Для оптимального по затратам варианта определить основные характеристики системы: относительную пропускную способность системы q , абсолютную пропускную способность системы A , среднее число занятых каналов k . По номеру своего варианта из таблицы 3.6 и таблицы 3.7 выбираются значения, на основе которых определяются основные характеристики системы: данные по мониторингу запросов на соединение за единицу времени (в течение одной минуты) (табл.3.6), а по продолжительности разговора по телефону (хронометраж) (табл. 3.7). Для всех вариантов Cк=100. 56 Таблица 3.6 Число запросов k 0 1 2 3 4 5 6 7 С0 у.е. 1 2 3 58 91 107 60 33 13 5 1 10 52 93 105 56 35 12 4 1 11,5 57 93 105 63 36 10 3 1 13 Номер варианта 4 5 6 7 Число наблюдений 49 88 98 58 37 13 4 1 14,5 57 96 101 61 35 9 5 1 16 61 51 91 101 60 37 9 4 1 17,5 56 88 100 59 37 4 5 1 19 8 55 97 99 56 35 13 5 2 20,5 9 51 93 105 58 34 13 5 1 22 10 49 93 105 59 35 11 4 1 25 Таблица 3.7 Продолжительность разговора от до 0 0,5 0,5 1 1 1,5 1,5 2 2 2,5 2,5 3 3 3,5 3,5 4 4 4,5 4,5 5 5 5,5 5,5 6 6 6,5 6,5 7 7 7,5 1 59 50 36 21 18 11 13 12 8 6 6 5 4 4 1 2 57 47 35 20 15 11 14 11 9 6 6 5 3 3 1 3 56 48 38 22 18 11 12 11 9 6 6 5 4 3 1 4 Номер варианта 5 6 7 8 9 10 62 51 41 23 16 13 12 10 9 7 6 5 4 2 1 Число наблюдений 61 57 62 44 43 43 36 41 34 22 25 22 18 14 19 12 11 13 13 13 13 11 9 12 10 8 8 6 6 6 6 6 6 5 5 5 5 5 5 2 1 2 1 1 1 61 47 38 20 16 15 14 10 7 6 6 5 4 2 1 60 42 39 21 16 12 13 12 9 6 6 5 3 2 1 54 42 37 23 15 13 12 10 9 6 6 5 4 2 1 62 РЕКОМЕНДАТЕЛЬНЫЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. ЭКОНОМЕТРИКА. Ч1. Элементы теории вероятностей и математической статистики Методические указания для выполнения лабораторных работ для студентов специальности 080109. / СПГГИ(ТУ). Сост.: В.В. Беляев , Т.А. Виноградова , Т.Р. Косовцева,. СПб, 2007. хх с 2. ЭКОНОМЕТРИКА. Ч2. Элементы теории вероятностей и математической статистики Методические указания для выполнения лабораторных работ для студентов специальности 080109. / СПГГИ(ТУ). Сост.: В.В. Беляев , Т.А. Виноградова , Т.Р. Косовцева,. СПб, 2007. хх с 63 64 ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Таблица П.1 Таблица значений χ крит при различных значениях (уровень значимости), r (число степеней свободы). 2 r 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 0,05 0,02 0,01 3,8 5,9 7,8 9,5 11,1 12,6 14,1 15,5 16,9 18,3 19,7 21,0 22,4 23,7 25,0 26,3 27,6 28,9 30,1 31,4 32,7 33,9 35,2 36,4 37,7 38,9 40,1 41,3 5,4 7,8 9,8 11,7 13,4 15,0 16,6 18,2 19,7 21,2 22,6 24,1 25,5 26,9 28,8 29,6 31,0 32,3 33,7 35,0 36,3 37,7 39,0 40,3 41,6 42,9 44,1 45,4 6,6 9,2 11,3 13,3 15,1 16,8 18,5 20,1 21,7 23,2 24,7 26,2 27,7 29,1 30,6 32,0 33,4 34,8 36,2 37,6 38,9 40,3 41,6 43,0 44,3 45,6 47,0 48,3 65 ПРИЛОЖЕНИЕ 2 66 A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 C D E F G N*pi =E7*$B$15 =E8*$B$15 =E9*$B$15 =E10*$B$15 =E11*$B$15 =E12*$B$15 =E13*$B$15 =E14*$B$15 =СУММ(F7:F14) Xi^2 =(B7-F7)^2/F7 =(B8-F8)^2/F8 =(B9-F9)^2/F9 =(B10-F10)^2/F10 =(B11-F11)^2/F11 =(B12-F12)^2/F12 =(B13-F13)^2/F13 =(B14-F14)^2/F14 =СУММ(G7:G14) Проверка гипотезы соответствия распределения кол-ва требований в минуту входящего потока требований пуассоновскому закону распределения с помощью критерия согласия Пирсона Число Число запросов наблюдений k xi(k)mi xi*mi k! 0 60 =A7*B7 1 1 98 =A8*B8 1 2 92 =A9*B9 =A9*D8 3 60 =A10*B10 =A10*D9 4 32 =A11*B11 =A11*D10 5 12 =A12*B12 =A12*D11 6 5 =A13*B13 =A13*D12 7 1 =A14*B14 =A14*D13 N= 360687 Xcp=C15/B15= =C15/B15 pi =EXP(-$C$17)*($C$17^A7)/D7 =EXP(-$C$17)*($C$17^A8)/D8 =EXP(-$C$17)*($C$17^A9)/D9 =EXP(-$C$17)*($C$17^A10)/D10 =EXP(-$C$17)*($C$17^A11)/D11 =EXP(-$C$17)*($C$17^A12)/D12 =EXP(-$C$17)*($C$17^A13)/D13 =EXP(-$C$17)*($C$17^A14)/D14 =СУММ(E7:E14) lyambda Рис.П.2.1. Рабочий лист книги в режиме отображения формул (соответствует рис.3.6) 67 Продо лж. разгов ора Середи на интерв ала Число разговоров От До 0 0,5 0,5 1 1 1,5 1,5 2 2 2,5 2,5 3 3 3,5 3,5 4 4 4,5 4,5 5 5 5,5 5,5 6 6 6,5 6,5 7 7 7,5 ti 0,25 0,75 1,25 1,75 2,25 2,75 3,25 3,75 4,25 4,75 5,25 5,75 6,25 6,75 7,25 ti*mi pi N*pi Xi 2 mi 54 40 32 28 19 18 14 10 8 7 6 5 4 4 1 =C8*D8 =C9*D9 =C10*D10 =C11*D11 =C12*D12 =C13*D13 =C14*D14 =C15*D15 =C16*D16 =C17*D17 =C18*D18 =C19*D19 =C20*D20 =C21*D21 =C22*D22 N= =СУММ(D8:D22) tср =E23/D23= =E23/D23 mu=1/tcp=1/D24= =1/D24 Рис. П.2.2 =EXP(-$D$25*A8)-EXP(-$D$25*B8) =EXP(-$D$25*A9)-EXP(-$D$25*B9) =EXP(-$D$25*A10)-EXP(-$D$25*B10) =EXP(-$D$25*A11)-EXP(-$D$25*B11) =EXP(-$D$25*A12)-EXP(-$D$25*B12) =EXP(-$D$25*A13)-EXP(-$D$25*B13) =EXP(-$D$25*A14)-EXP(-$D$25*B14) =EXP(-$D$25*A15)-EXP(-$D$25*B15) =EXP(-$D$25*A16)-EXP(-$D$25*B16) =EXP(-$D$25*A17)-EXP(-$D$25*B17) =EXP(-$D$25*A18)-EXP(-$D$25*B18) =EXP(-$D$25*A19)-EXP(-$D$25*B19) =EXP(-$D$25*A20)-EXP(-$D$25*B20) =EXP(-$D$25*A21)-EXP(-$D$25*B21) =EXP(-$D$25*A22)-EXP(-$D$25*B22) =СУММ(E8:E22) =СУММ(F8:F22) средняя продолж разговора мю-интенсивность обслуживания =$D$23*F8 =$D$23*F9 =$D$23*F10 =$D$23*F11 =$D$23*F12 =$D$23*F13 =$D$23*F14 =$D$23*F15 =$D$23*F16 =$D$23*F17 =$D$23*F18 =$D$23*F19 =$D$23*F20 =$D$23*F21 =$D$23*F22 =(D8-G8)^2/G8 =(D9-G9)^2/G9 =(D10-G10)^2/G10 =(D11-G11)^2/G11 =(D12-G12)^2/G12 =(D13-G13)^2/G13 =(D14-G14)^2/G14 =(D15-G15)^2/G15 =(D16-G16)^2/G16 =(D17-G17)^2/G17 =(D18-G18)^2/G18 =(D19-G19)^2/G19 =(D20-G20)^2/G20 =(D21-G21)^2/G21 =(D22-G22)^2/G22 =СУММ(G8:G22) =СУММ(H8:H22) Рабочий лист Еxcel в режиме отображения формул (соответствует рис.3.7) 68 СОДЕРЖАНИЕ Тема 3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ .......................................................................................................... 3 ОБЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ .................................................................. 4 МНОГОКАНАЛЬНАЯ СМО С ОТКАЗАМИ ........................................... 14 ОДНОКАНАЛЬНАЯ СМО С ОЖИДАНИЕМ ......................................... 15 ОДНОКАНАЛЬНАЯ СМО С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ ОЖИДАНИЯ. .............................................................................................. 16 МНОГОКАНАЛЬНАЯ СМО С ОЖИДАНИЕМ ...................................... 17 МНОГОКАНАЛЬНАЯ СМО С НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОЧЕРЕДЬЮ. ...................................................................................................................... 18 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СМО .................................................................. 19 РАСЧЕТ ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ СМО. ................................ 27 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3 ................................................................................ 39 Моделирование простейшего потока событий. ........................................................ 39 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4 ................................................................................ 53 Определение показателей СМО ................................................................................. 53 ОФОРМЛЕНИЕ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ...... Ошибка! Закладка не определена. РЕКОМЕНДАТЕЛЬНЫЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ............................... 63 ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ........................................................................................................... 65 ПРИЛОЖЕНИЕ 2 ........................................................................................................... 66 69
