История квадратных уравнений Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне Вавилоняне уже во втором тысячелетии до н.э. умели решать прообразы современных квадратных уравнений. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, например, такие полные квадратные уравнения: В записи квадратных уравнений никогда в правой части не писали число 0, т.к. они считали, что 0 – ничто, а сумма величин не может быть равна «ничему». Вавилонские математики примерно с с IV века до н.э. использовали метод дополнения квадрата для решения уравнений с положительными корнями. Древние вавилонские глиняные таблички Метод дополнения квадрата Чтобы решить уравнение 𝑥 2 = 𝑎 древние математики поступали так: • 𝑥 2 - площадь квадрата со стороной x • Два равных прямоугольника, сумма площадей которых равна bx • Решить уравнение 𝑥 2 = 𝑎 значит найти такой отрезок x, что площадь квадрата со стороной, равной искомому отрезку, была бы равна a • При таком подходе к решению уравнение могло иметь только один положительный корень, нулевых корней быть не могло. Пример: найти корни уравнения 𝑥 2 + 4𝑥 = 21 Построим квадрат со стороной x, два прямоугольника площадью 2x, т.е. со сторонами x и 2, заметим, что для того, чтобы достроить фигуру до квадрата, нам не хватает маленького квадрата площадью 4. Добавим 4 к обеим частям уравнения: 𝑥 2 + 4𝑥 + 4 = 21 + 4 25 – квадрат 5, значит сторона большого квадрата – 5, а x = 3 Можно ли применить коэффициентом b? данный метод для уравнения с нечётным Задача Древнего Вавилона Хаким – умудрённый ветеран, и он отправляется на свою последнюю битву. После сражения декум (военачальник в Вавилонской армии) пообещал приставить его к награде – ему подарят квадратный участок земли, длина которого равна количеству захваченных в плен рабов. Однако, в бою Хаким немного увлёкся, был контужен попаданием из пращи (метательное оружие), и рабов не посчитал. По прибытии домой к Хакиму пришёл казначей и потребовал оплатить 24 меры серебра налогов – по две меры за каждого раба, и по одной за квадратный гар земли. И теперь Хаким ломает повреждённую голову – сколько же рабов в итоге вышло? Решите эту задачу двумя способами: используя метод дополнения квадрата и современный метод решения квадратный уравнений. Ответы на эти вопросы помогут вам составить и решить уравнение: Что в данной задаче удобнее взять за x? Каковы будут стороны прямоугольников? Квадрат какой площади дополнит нашу фигуру до большого квадрата? Решение задачи Древнего Вавилона 𝑥 2 + 2𝑥 = 24 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 = 24 + 1 𝑥2 𝑥 Сторона большого квадрата равна 5, а сторона маленького -1, значит х = 4. Ответ: 4 раба. 𝑥 1 Квадратные уравнения в Древней Греции Первым из греческих ученых, кто решил квадратное уравнение не геометрическим способом, был Диофант Александрийский ( в III век н.э.) Алгебраическим путем он решал некоторые квадратные уравнения, причем само уравнение и его решение записывал в символической форме. Неизвестную Диофант называет «числом» и обозначает буквой ς, квадрат неизвестной — символом ΔΥ (сокращение от «степень»), куб неизвестной — символом K Υ (сокращение от «куб»). В дошедших до нас 6 из 13 книг «Арифметика», Диофант объясняет, как надо выбрать неизвестное, чтобы получить решение уравнения вида 𝑎𝑥 = 𝑏 или 𝑎𝑥 2 = 𝑏. Способ решения полных уравнений он изложил в книгах, которые не сохранились. Лист из Арифметики (рукопись XIV века). Задача Диофанта «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а их произведение 96». Попробуйте решить эту задачу, пользуясь современными методами решения квадратных уравнений. Но помните, что отрицательные решения уравнений в то время не признавалось верным. Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х, другое же меньше, т.е. 10 - х. Разность чисел равно 2x. Запишем ход решения задачи, используя современную символику: 10 − 𝑥 10 + 𝑥 = 96 100 − 𝑥 2 = 96 𝑥2 = 4 𝑥=2 Значит, искомые числа – 12 и 8. Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа. Квадратные уравнения у аль-Хорезми Абу́ Абдулла́х (или Абу Джафар) Муха́ммад ибн Муса́ аль-Хорезми́ — среднеазиатский учёный IX века, математик, астроном, географ и историк. Благодаря ему в математике появились термины «алгоритм» и «алгебра». Аль-Хорезми известен прежде всего своей «Книгой о восполнении и противопоставлении» («Аль-китаб аль-мухтасар фи хисаб аль-джабр ва-ль-мукабала»). От слова аль-джабр (в названии) произошло слово алгебра. Первая страница из книги аль-Хорезми. Квадратные уравнения у аль-Хорезми В теоретической части своего трактата аль-Хорезми даёт классификацию уравнений 1-й и 2-й степени и выделяет шесть видов квадратного уравнения 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0: Для Аль-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. Не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Аль-Хорезми так же, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений на частных числовых примерах он излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства. Задача аль-Хорезми «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х2 + 21 = 10х). Решите задачу, следуя алгоритму аль-Хорезми, затем решите уравнение привычным способом, чтобы проверить правильность найденных по алгоритму корней: • раздели пополам число корней • полученное число умножь само на себя • отними число (данное в уравнении) • извлеки корень из полученного числа • то, что получилось, прибавь к половине числа корней - получишь первый корень; отними это от половины числа корней – получишь второй корень. Решение автора выглядит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень. Франсуа Виет Франсуа Виет (1540—1603) вводит новую символику, близкую к современной. Он обозначает буквами не только неизвестные, что уже встречалось ранее, но и все прочие параметры, для которых он придумал термин «коэффициенты» (буквально: содействующие). Франсуа использовал для этого только заглавные буквы — гласные для неизвестных, согласные для коэффициентов. Виет свободно применяет разнообразные алгебраические преобразования — например, замену переменных или смену знака выражения при переносе его в другую часть уравнения. Это стоит отметить, принимая во внимание тогдашнее подозрительное отношение к отрицательным числам. Теорема Виета Франсуа вводит формулу корней многочлена, в частности для квадратных уравнений и для кубических. Знакомая нам из школьного курса математики теорема Виета: Если 𝑥1 и 𝑥2 — корни квадратного уравнения 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, то В частном случае, если a = 1 (приведённая форма 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0), то Если 𝑥1 , 𝑥2 и 𝑥3 - корни кубического уравнения вида , то Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета, и решите с её помощью следующие уравнения: Теорема, обратная теореме Виета Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета (только для квадратных уравнений), и решите с её помощью следующие уравнения: • 𝑥2 − 9𝑥 + 20 = 0 • 𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0 • 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 • 2𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 0 • 7𝑥2 + 8𝑥 + 1 = 0 Современные способы решения квадратных уравнений • Разложение левой части уравнения на множители • Метод выделения полного квадрата • Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта • Графическое решение квадратного уравнения • Решение уравнений с использованием теоремы, обратной теореме Виета
