ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 8 1. Простые и составные числа. Определение простых и составных чисел в кольце целых чисел. Свойства простых и составных чисел. Теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел. Решето Эратосфена. Основная теорема арифметики. Каноническое представление натурального числа. НОД и НОК двух натуральных чисел, записанных в каноническом представлении. Ответ: Натуральное число а≠1 называется простым, если оно имеет только 2 делителя и называется составным, если оно имеет более 2-х делителей. Число 1 не является ни простым, ни составным. Свойства: 1. ∀а∈N и ≠1 или является простым или делится хотя бы на одно простое число; 2. Если а∈N, p – простое a⋮p либо взаимнопростые (a,p) = 1; 3. Если p, q – простые p⋮q p=q; 4. Если произведение нескольких чисел делится на простое число, то хотя бы один из сомножителей делится на это число; 5. Наименьший простой делитель составного числа а не превосходит корня из а; Критерий простоты Если а∈N, а≠1, если, а не делится ни на одно простое число p ≤ корню из а, то а простое число; Решето Эратосфена — это алгоритм нахождения простых чисел до заданного натурального числа путем постепенного отсеивания составных чисел. Алгоритм Эратосфена как раз заключается в последовательной проверке делимости чисел на предстоящие простые числа. Сначала берется первое простое и из ряда натуральных чисел высеиваются все кратные ему. Затем берется следующее простое и отсеиваются все кратные ему и так далее. Теорема Евклида «Множество простых чисел бесконечно» Теорема Евклида является фундаментальным элементом теории чисел. Она утверждает, что для любого конечного списка простых чисел найдётся простое число, не вошедшее в этот список (то есть существует бесконечно много простых чисел). Пример: 40 √40 = 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 2, 3, 5 Основная теорема арифметики Всякое натуральное число не равное 1 или является простым, или его можно представить в виде произведения простых чисел и такое представление однозначно с точностью до порядка следования сомножителей – каноническое представление числа. Доказательство: 1 часть существование 2 часть единственность Пример: 1998 и 1014 Наибольший общий делитель нескольких чисел – это наибольшее натуральное целое число, на которое эти числа делятся без остатка. Наибольший общий делитель обозначается следующим образом: НОД (18; 48) = 6 Наименьшее общее кратно нескольких чисел – это самое меньшее число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка. Например: НОК (18; 48) = 144 2. Методика изучения производной и её приложений в курсе математики средней школы. Основное понятие дифференциального исчисления – понятие производной – возникло в XVII веке в связи с необходимостью решения ряда из физики, механики, в первую очередь, задач определения скорости прямолинейного неравномерного движения и построения касательной к произвольной плоской кривой. Понятие производной функции является одним из важнейших понятий курса математического анализа, т.к. это понятие является основным в дифференциальном исчислении и служит исходной базой при построении интегрального исчисления. Учащиеся знакомятся с этим понятием в курсе «Алгебра и начала анализа» в теме «Предел функции и производная». Тогда же изучаются производные суммы, произведения, частного, многочлена, дробно-рациональной и сложной функций. В 10 классе учащиеся знакомятся с производными тригонометрических, показательной и логарифмической функций. Цели включения элементов дифференциального исчисления в школьный курс математики: 1) знакомство с фундаментальными понятиями математики; 2) раскрытие прикладного значения темы; 3) осуществление межпредметных связей (геометрии, физики, информатики, биологии и др.); 4) систематизация знаний о функциях; 5) введение нового метода решения задач (исследования модели). Основные понятия и теоремы темы: производная; механический и геометрический смысл производной; правила нахождения производных элементарных функций; исследование функций с помощью производной. Вспомогательные понятия: предел функции в точке; приращение аргумента и приращение функции; применение производной к приближенным вычислениям. Последовательность изложения темы: приращение аргумента→ приращение функции →производная →правила дифференцирования (суммы, произведения, частного, сложной функции) →формулы производных элементарных функций (линейной, степенной, тригонометрических) → применение производной к исследованию функций, к решению геометрических и физических задач →производная показательной и логарифмической функции. · Производной функции f в точке называется число, к которому стремится разностное отношение при х ®0 (по Колмогорову А.Н.) · Предел разности отношения (если этот предел существует) называется производной функции f(x) и обозначается · Производной функции y = f(x) называется предел отношения Башмакову М.И.) · при стремлении х1 к х. (по Если для функции y = f(x) в фиксированной точке х существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента ∆х при условии ∆х →0, то этот предел называется значением производной функции y = f(x) в точке х и обозначается или у,. (по Мордковичу А.Г.) Учебные задачи: 1) систематизировать и обобщить знания учащихся по темам «Функции» и «Приближенные вычисления»; 2) закрепить и развить умения и навыки учащихся, полученные ими в курсе алгебры (решение уравнений, неравенств, построение графиков); 3) сформировать понятие производной; 4) показать применение производной. Подходы к введению понятия производной: 1) понятие вводится на базе обобщения нескольких конкретных задач (Н.Я. Виленкин, А.Г Мордкович); См. первую задачу в учебнике Мордкович А.Г., определение производной. 2) исходя из чисто математических соображений – как скорость изменения значения функции (Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, А.А. Столяр). ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 9 1. Отношение делимости в кольце многочленов с одной переменной над произвольным полем. Отношение делимости в кольце многочленов с одной переменной над произвольным полем. Теорема о существовании и единственности частного и остатка при делении многочлена на многочлен. Приводимые и неприводимые многочлены над числовым полем: определение, свойства. Определение НОД двух многочленов. Определение деления с остатком в кольце многочленов и алгоритм Евклида. Существование и единственность НОД двух многочленов полиномы (многочлены). 2. Методика изучения первообразной и интеграла в школьном курсе математики. Приложения интеграла. Теме «Первообразная» предшествует тема «Первообразная и ее применение». Такая последовательность изучения материала создает предпосылки для 1. понимания учениками взаимосвязи между операциями дифференцирования и интегрирования функций; 2. осознания обучающимися того факта, что аппарат производной и интеграла – основа метода математического анализа: он выступает и как язык, описывающий многие явления, процессы мира, и как инструмент, с помощью которого с учетом особенностей языка исследуются эти явления и процессы. Если рассмотреть обратную задачу – нахождения пути, пройденного точкой с заданной скоростью, то придем к функции, которую называют первообразной к исходной функции. Так как производная постоянной равна нулю, то первообразная определяется с точностью до постоянной. Если скорость меняется по закону v = v(t) и ее графиком является некоторая кривая, то путь, пройденный точкой за промежуток времени [t; t + h], приближенно равен площади прямоугольника со сторонами v(t) и h. Точное значение пути будет равно площади образовавшейся криволинейной трапеции. Если в заданную кривую v(t) вписать некоторую ломаную, то путь можно вычислить с лучшим приближением, заменив площадь криволинейной трапеции суммой площадей прямоугольников разбиения. Чем меньше будет основание прямоугольников, тем ближе сумма их площадей будет выражать площадь криволинейной трапеции. Учебный материал строится так, что вначале вводится понятие первообразной. Таблица первообразных получается из таблицы производных. В курсе математики средней школы нет понятия неопределенного интеграла (хотя в учебнике А.Г. Мордковича этот термин используется), поэтому определенный интеграл называют просто интегралом. Введение понятия определенного интеграла осуществляется в виде предела интегральных сумм. Интегральная сумма рассматривается в общем виде (отрезки разбиения могут быть необязательно равными) и предназначена только для ознакомления с понятием интеграла. Желательно, чтобы ученики понимали, что об интегральной сумме функции на отрезке, а затем и интеграле можно говорить и в том случае, когда функция не только непрерывна и положительна, но и принимает на этом отрезке любые значения, в том числе и отрицательные, и ноль. Формула Ньютона – Лейбница вводится практически одновременно с термином «интеграл». Эта формула является главной: с ее помощью вычисляются определенные интегралы. Центральное место во всем разделе, связанном с изучением элементов интегрального исчисления, занимает вычисление площадей плоских фигур. Основной фигурой считается криволинейная трапеция. При изучении этого материала важно правильно расставлять акценты: главное здесь – построение геометрических моделей и снятие соответствующей информации с чертежа, а не вычисление интегралов. Не ради изучения интеграла считаются площади, наоборот, интеграл изучается ради вычисления площадей. Понятие интеграл вводится сразу после первичного ознакомления с понятием производной от элементарных функций и правил дифференцирования в первой четверти 11 класса (11 класс в системе НИШ соответствует 10 классу средней общеобразовательной школы).Затем изучение разделов дифференциальное и интегральное исчисление продолжается в третьей четверти. Данная структура программы позволяет учащимся лучше усвоить материал, не потерять интерес и мотивацию к изучаемым темам, проводить сравнительный анализ между взаимообратными операциями дифференцирования и интегрирования. При организации изучения темы «Интеграл» необходимо учесть ряд факторов, влияющих на успешность обучения. 1. Необходимо тщательно подбирать теоретический материал, сочетая принципы научности, преемственности и доступности его изложения. Реализовать в полном объеме принцип научности при изучении интеграла в школьном курсе математики не удается, ввиду отсутствия необходимого для вывода и доказательств формул, правил и теорем математического аппарата у учащихся. Но в процессе обучения у ребят должны сформироваться правильное понимание процесса интегрирования и его закономерностей. 2. Важно выбрать оптимальный способ представления учащимся теоретического материала. При изложении теории необходимо учесть общий уровень математической подготовленности класса и каждого учащегося в отдельности, психологические и возрастные особенности детей, их мышления. Преподавание должно быть максимально интересным, доступным, вестись систематично и последовательно. 3. Систему упражнений и задач нужно конструировать так, чтобы создать наилучшие условия для усвоения базовых понятий, формул и свойств, развивать у детей критическое мышление и способность анализировать. Этому в значительной степени способствуют практические задачи, задачи на исследование и доказательство. 4. Сделайте обучение более доступным и наглядным. Для лучшего понимания и запоминания материала, для визуализации изучаемых понятий процессов необходимо использовать на уроках различные виды наглядности (модели, чертежи, схемы, графики, таблицы, построения с помощью программы Geogebra и др.). Повышению эффективности и прикладной направленности обучения во многом способствует решение практических задач. Учащимся важно показать актуальность применения математических методов в других науках, в частности, при изучении других предметов химии, физики и биологии. Наиболее интересным и доступным для школьников является использование физических моделей при введении понятия интеграл. При рассмотрении понятия интеграла следует учесть, что его определение вводится в абстрактной форме. Поэтому основная проблема, стоящая перед учителем, заключается в конкретизации, то есть в представлении за математическими терминами и их определениями конкретных образов. На данном этапе изучения материала огромную помощь учащимся могут оказать тщательно подобранные задачи и примеры. Наряду с классическими задачами из учебников алгебры о перемещении материальной точки и о вычислении массы стержня, при введении понятия интеграла можно эффективно использовать и другие. Интеграл, как предел интегральных сумм, можно доступно и наглядно для обучающихся вводить на примере задач о давлении жидкости на стенку сосуда.
