МИНИСТЕРСТВО ОБОРОНЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЕННО-КОСМИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ИМЕНИ А.Ф. МОЖАЙСКОГО 6 факультет 61 кафедра Реферат по дисциплине «Специальные главы математического анализа» Тема: Метрическое и нормированные пространства Выполнил: Курсант 691/2 уч.гр. рядовой Левицкий А.В Проверил: Профессор 111 кафедры Фокин Р.Р. Санкт-Петербург 2021 Оглавление 1. Определение метрического пространства ................................................. 3 2. Определение нормированного пространства ............................................ 5 3. Предел линейного нормированного пространства ................................... 7 4. Определение фундаментальной последовательности .............................. 9 Заключение ...................................................................................................... 11 Литература ....................................................................................................... 12 1. Определение метрического пространства Именно в этих пространствах были первоначально исследованы фундаментальные понятия сильной и слабой сходимости, компактности, линейного функционала, линейного оператора и др. Банаховы пространства названы по имени С. Банаха, к-рый в 1922 начал систематич. изучение этих пространств на основе введенной им аксиоматики и получил глубокие результаты. Множество M называется метрическим пространством, если каждым двум элементам x, y этого множества поставлено в соответствие действительное число, обозначаемое и называемое расстоянием между элементами x и y, причем выполнены следующие аксиомы: для любых 1. случае, когда 2. , причем в том и только в том ; для любых для любых 3. ; . Если x, y - два фиксированных элемента множества M, то есть действительное число, однако, полагая x и y равными всевозможным элементам множества M, получим, что является функцией двух переменных x, y. Эта функция называется метрикой данного пространства. Множество можно наделить метрикой: например, достаточно положить . Примером метрического пространства может также служить множество точек плоскости, где расстояние между точками и определяется как . При этом третья аксиома, принимающая вид (где A, B, C - произвольные точки плоскости) имеет наглядную интерпретацию: длина любой из сторон треугольника не превосходит суммы двух других сторон (равенство достигается, если треугольник "вырожден": точка C лежит на отрезке AB). В связи с этим третью аксиому метрического пространства часто называют неравенством треугольника. Приведем теперь менее тривиальный пример. В пространстве непрерывных на отрезке функций (действительных или комплексных) введем метрику Выполнение первых двух аксиом метрического пространства при этом очевидно, а выполнение третьей аксиомы следует из тривиальных свойств модуля и того факта, что максимум суммы не превосходит суммы максимумов: Разумеется, на одном и том же множестве метрику можно ввести поразному. Рассмотренная только что метрика в пространстве непрерывных функций называется равномерной метрикой (пространство с этой метрикой обозначают ). Однако на том же самом множестве непрерывных функций можно ввести и так называемую среднеквадратичную метрику (пространство с этой метрикой обозначают ), и некоторые другие метрики. Выполнение неравенства треугольника для среднеквадратичной метрики будет доказано несколько позже. 2. Определение нормированного пространства В линейных пространствах наряду с метрикой используют понятие нормы элемента. Определение. Линейное пространство называется нормированным, если каждому элементу x этого пространства поставлено в соответствие действительное число 1. (норма x), причем выполнены следующие аксиомы: для любого x, причем тогда и только тогда, когда ; для любого x и любого комплексного; 2. для любых x, y из данного пространства. 3. Для линейных пространств над полем действительных чисел также вводится понятие нормированного пространства с теми же аксиомами. Неравенство, фигурирующее в третьей аксиоме, называется неравенством Минковского. Простейшими примерами нормированных пространств могут служить множества действительных чисел R и комплексных чисел C, где в качестве нормы числа рассматривается его модуль, а также пространство векторов на плоскости (или в пространстве) с нормой, равной длине вектора. В пространстве непрерывных функций на (действительном или комплексном) норму можно ввести, например, следующими способами: , Отметим теперь . следующий важный факт. В любом линейном нормированном пространстве можно ввести метрику следующим образом: При этом выполнение первой аксиомы метрического пространства следует из первой аксиомы нормированного пространства. Выполнение второй аксиомы также очевидно: . Наконец, выполнение третьей аксиомы метрического пространства следует из неравенства Минковского: Итак, любое линейное нормированное пространство можно сделать метрическим пространством указанным выше естественным способом (так, указанные нами нормы в пространстве непрерывных функций порождают соответственно равномерную и среднеквадратичную метрику, т.е. порождают пространства и соответственно). Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: не в любом метрическом пространстве можно ввести норму, поскольку понятие нормы вводится лишь в линейном пространстве, а метрическое пространство может не быть наделено линейной структурой. Однако, если метрическое пространство наделено линейной структурой (является линейным пространством), то его всегда можно сделать нормированным, введя норму Всюду в дальнейшем мы будем рассматривать исключительно линейные нормированные пространства, причем всюду (в случае необходимости) будем подразумевать, что пространство снабжено естественной (индуцированной) метрикой . 3. Предел линейного нормированного пространства Пусть теперь - некоторая последовательность элементов линейного нормированного пространства L, а - некоторый фиксированный элемент L. Для каждого номера n найдем последовательность . Тем самым получим числовую . Определение. Элемент линейного нормированного пространства L называется пределом последовательности элементов (или , если ). Обозначение: (если необходимо, то указывают, по какой норме рассматривается предел). Если последовательность имеет предел, то она называется сходящейся (по норме данного пространства), в противном случае расходящейся. Пример. Рассмотрим последовательность функций . Функция в пространстве является ее пределом, т.к. при Однако в пространстве Действительно, допустим, что При каждом фиксированном , . эта же самая последовательность расходится. в равномерной метрике. Тогда очевидно, , и, следовательно, , т.е. Но . Итак, . Однако такая функция не является непрерывной на , т.е. вообще не принадлежит рассматриваемому пространству. Таким образом, в данная последовательность предела не имеет. Как видим, одна и та же последовательность может иметь предел в одной метрике и не иметь в другой. Если последовательность имеет предел, то этот предел единственен. В самом деле, пусть и . Тогда . При правая часть стремится к нулю, следовательно, левая часть также стремится к нулю. Но - константа, поэтому =0, а значит, . Определение предела последовательности элементов нормированного пространства основано на понятии предела числовой последовательности. Используя определение предела числовой последовательности, "расшифруем" более подробно понятие предела в нормированном пространстве. Элемент линейного нормированного пространства L является пределом последовательности элементов , если для любого (сколь угодно малого) найдется номер N, такой, что для всех номеров n, больших N, выполнено неравенство . Или, в символьной записи, 4. Определение фундаментальной последовательности Рассмотрим теперь понятие фундаментальной последовательности, тесно связанные с понятием предела. Определение. Последовательность элементов линейного нормированного пространства называется фундаментальной, если Очевидно, что любая сходящаяся последовательность фундаментальна: если , то тогда для всех номеров последовательности что и доказывает фундаментальность . Из курса анализа известен критерий Коши: числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна. Иными словами, пространство R устроено так, что в нем не только из сходимости следует фундаментальность, но и наоборот. Однако не любое линейное нормированное пространство устроено таким образом: например, в пространстве рациональных чисел Q (с обычными линейными операциями и нормой ) фундаментальная последовательность может расходиться (такая ситуация имеет место, если пределом последовательности рациональных чисел является число иррациональное). Определение. Линейное нормированное пространство называется полным, если в нем любая фундаментальная последовательность сходится. Заключение В данной работе мы рассмотрели метрические и нормированные пространства, их определения, пределы линейных нормированного пространства, а также определение фундаментальной последовательности Нормированным векторным пространством называется векторное пространство с заданной на нем нормой. Более точно, для векторного пространства X над полем K задано отображение из X в K, такое что выполняются свойства, рассмотренные в нашей работе, для любых Метри́ческим простра́нством называется непустое множество, в котором между любой парой элементов, обладающих определенными свойствами, определено расстояние, называемое ме́трикой. Литература Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. — 2004. — ISBN 5-93972-300-4. Васильев Н. Метрические пространства. — Квант. — 1990. — № 1. Васильев Н. Метрические пространства. — Квант. — 1970. — № 10. Скворцов В. А. Примеры метрических пространств // Библиотека «Математическое просвещение». — 2001. — Выпуск 9. Шрейдер Ю. А. Что такое расстояние? // «Популярные лекции по математике». — М.: Физматгиз, 1963 г. — Выпуск 38. — 76 с.
