МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ ВОЗДЕЙСТВИЯ РАЗЛИЧНЫХ ПОРАЖАЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ НА БЛА

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ ВОЗДЕЙСТВИЯ РАЗЛИЧНЫХ
ПОРАЖАЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ НА БЛА
Дегтярев А.А., Лысенко Е.А., Шаховский В.В.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время в различных областях человеческой деятельности все шире
применяются беспилотные летательные аппараты (БЛА) [1], не исключением является сфера
обороны и безопасности. Важным показателем эффективности применения БЛА является
вероятность преодоления ими зон противовоздушной обороны (ПВО).
Возможности
отечественных
средств
ПВО,
стоящих
на
вооружении,
по
противодействию малоразмерным БЛА были проанализированы на основе расчетных
исследований и полевых испытаний, проведенных в Военной академии войсковой ПВО ВС РФ,
и изложены в статье [2].
В информационном докладе НАТО [3] также отмечена необходимость использования
инновационных тактических подходов и технологий для успешного противостояния угрозам,
исходящим от малоразмерных БЛА. Одним из направлений повышения эффективности
зенитно-артиллерийских комплексов ПВО признана разработка программируемых боеприпасов
воздушного подрыва для малокалиберной артиллерии [4-6]. Эффективность применения
осколочно-фугасных
снарядов
малого
калибра
определяется
как
техническими
характеристиками самих снарядов, так и техническими характеристиками боевых систем,
каковыми
в
большинстве
случаев
являются
артиллерийские
орудия.
Наиболее
дальнодействующим поражающим фактором у осколочно-фугасных боеприпасов являются
осколки [7]. Баллистика осколков, закономерности формирования осколочного поля и их
пробивная способность осколков изложены с разной степенью детализации в учебной
литературе [7, 8] и монографии [9].
Для малоразмерных БЛА, которые рассматриваются нами в качестве объектов
воздействия, характерно наличие тонкостенных преград из композитных материалов и
алюминиевых сплавов (фюзеляж, крылья, хвостовое оперение), единичное пробитие которых
само по себе не приводит к поражению БЛА. Особо уязвимо внутреннее оборудование:
радиоэлектронные блоки, каналы системы энергоснабжения, кабельные сети, сервоприводы,
топливные баки, двигатели. Практически все эти элементы имеют криволинейную форму и
могут быть представлены прямоугольными параллелепипедами, которые являются весьма
условной характеристикой с большой долей допущений. Нерегулярное заполнение уязвимых
блоков требует применения методов стохастической гомогенизации при расчетах пробивания
осколками блоков. Кроме того, в современных боеприпасах, наряду с заранее подготовленными
мелкими осколками, может использоваться небольшое число крупных стреловидных
элементов. В последнем случае вероятности наступления поражающих событий не будут
подчиняться пуассоновскому распределению.
Работы последних лет [3, 9] не затрагивали вопросы совершенствования математической
модели формирования осколочного поля, воздействующего на объект, а были посвящены
оценке влияния различных факторов (наличие боевого защитного комплекта, оптимизации угла
доворота снаряда перед подрывом) на эффективность применения осколочных боеприпасов.
В
связи
с
вышеизложенным
представляется
целесообразным
сформулировать
математическую модель воздействия осколочных полей на БЛА с учетом их конструктивных
особенностей и новых средств осколочного поражения. Для реализации математической
модели поля поражающих элементов (ПЭ) необходимо определить закон распределения и
уравнение переходной плотности.
Закон распределения числа событий
При определении случайного процесса формирования поля ПЭ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙, 𝑡) будем
рассматривать следующие физические процессы: торможение ПЭ в воздухе, прохождение и
поглощение ПЭ в преградах и агрегатах. Ветвящиеся процессы, т.е. размножение ПЭ
посредством дробления и образования вторичных осколков в настоящей работе не
рассматриваются.
Используя плотности вероятности 𝑓𝑖 (𝒙) для каждого из ПЭ, можно записать вероятность
пересечения 𝑖 - ым ПЭ ориентированной элементарной площадки ∆𝜎 за все время (условно от 0
до ∞) действия осколочного поля:
∞
𝑝𝑖 =
∬ 𝑓𝑖 (𝒙′ ) ∙ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙, 𝑡) ∙ |(𝒏 ∙ 𝒗)| ∙ 𝑑𝒙′ 𝑑𝜎 𝑑𝒗𝑑𝑡,
(1.1)
𝝈∈∆𝜎,0
где 𝒏 – нормаль к элементарной площадке ∆𝜎, (𝒏 ∙ 𝒗) – скалярное произведение.
Вероятность эффекта, характеризуемого попаданием на поверхность БЛА ПЭ с удельной
энергией 𝐸уд = 𝑚𝑣 2 ⁄(2 ∙ 𝑆𝑚 ) больше критического значения 𝐸кр
будет определяться
соотношением:
∞
𝑝𝑖 = ∬ 𝑓𝑖 (𝒙′ ) ∙ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙, 𝑡) ∙ |(𝒏 ∙ 𝒗)| ∙ 𝜂(𝐸уд − 𝐸кр )𝑑𝒙′ 𝑑𝒓𝑑𝒗𝑑𝑡 ,
(1.2)
𝒓∈𝑆,0
где 𝑆 – внешняя поверхность объекта, 𝒏 – нормаль к элементу поверхности 𝑆 в точке 𝒓, 𝜂(∙) ступенчатая функция.
Подобным образом определяются вероятности, характеризующие объемный эффект
воздействия единичного ПЭ на выделенный агрегат цели.
Когда критерием поражения является проникновение ПЭ внутрь агрегата, вероятность
эффекта записывается в виде:
∞
𝑝𝑖 = ∬ 𝑓𝑖 (𝒙′ ) ∙ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙, 𝑡) ∙ |(𝒏 ∙ 𝒗)| ∙ 𝜂 (ℎпред (𝒙) − ℎ(𝒓)) 𝑑𝒙′ 𝑑𝒓𝑑𝒗𝑑𝑡 ,
( 1.3)
𝒓∈𝑆,0
где ℎ – толщина преграды в точке 𝒓, ℎпред (𝑣, 𝒗⁄𝑣 ) – предельно пробиваемая толщина преграды
осколками со скоростью 𝑣, падающими на преграду под углом к нормали 𝒏, равным
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(|(𝒏 ∙ 𝒗⁄𝑣 )|).
В случае, когда критерием поражения является проникновение внутрь агрегата ПЭ с
удельной энергией больше критического значения, вероятность эффекта записывается в виде:
∞
𝑝𝑖 = ∬ 𝑓𝑖 (𝒙′ ) ∙ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙, 𝑡) ∙ |(𝒏 ∙ 𝒗)| ∙ 𝜂(𝐸уд − 𝐸кр )𝑑𝒙′ 𝑑𝒓𝑑𝒗𝑑𝑡 ,
(1.4)
𝒓∈𝑉,0
где 𝑉 – внутренний объем агрегата.
В общем случае все вероятности 𝑝𝑖 наступления событий, определенные формулами
(1.1) – (1.4), различны. Тогда вероятность наступления 𝑘 событий будет определяться схемой
Пуассона для независимых испытаний:
𝑃(𝑘 = 0) = 𝑞1 ∙ 𝑞2 … 𝑞𝑁
𝑃(𝑘 = 1) = 𝑝1 ∙ 𝑞2 … 𝑞𝑁 + 𝑞1 𝑝2 𝑞3 . . 𝑞𝑁 + ⋯ + 𝑞1 𝑞2 … 𝑞𝑁−1 𝑝𝑁
(1.5)
𝑃(𝑘 = 𝑁) = 𝑝1 ∙ 𝑝2 … 𝑝𝑁 ,
где 𝑁 – число ПЭ, 𝑞𝑖 = 1 − 𝑝𝑖 .
По теореме Пуассона:
𝑁
|∑ 𝑃(𝑘) − ∑ П(𝑘, 𝜆)| ≤ ∑ 𝑝𝑖2 ,
𝑘∈𝐵
𝑘∈𝐵
(1.6)
𝑖=1
где 𝐵 – числовое множество, 𝜆 = 𝑝1 + 𝑝2 + ⋯ + 𝑝𝑁 .
Такие испытания называются испытаниями Бернулли с переменными вероятностями, и
посредством
применения
функций
доказывается
сходимость
распределения
𝑃(𝑘)
к
распределению Пуассона [10].
Таким образом, при большом 𝑁 и не очень большом 𝜆 испытания Бернулли с
переменными вероятностями аппроксимируются законом Пуассона и, соответственно,
вероятность наступления 𝑘 событий, определенных формулами (1.1) – (1.4), выражается
формулой:
𝑃(𝑘) ≈ П(𝑘, 𝜆) =
где
𝜆𝑘 −𝜆
∙𝑒 ,
𝑘!
𝜆 = ∑𝑁
𝑖=1 𝑝𝑖 .
(1.7)
(1.8)
При небольшом числе ПЭ или при большом значении вероятности наступления события
от единичного ПЭ отличия распределений 𝑃(𝑘) и П(𝑘, 𝜆) весьма заметны. В модели поражения
без накопления ущерба вероятность поражения агрегата есть вероятность попадания в него хотя
бы одного ПЭ. В этом случае различие между значениями (1 − 𝑃(𝑘)) и (1 − 𝑒 −𝑁∙𝑝 ) невелико. В
моделях поражения с накоплением ущерба следует проверять правомерность использования
распределения Пуассона вместо биномиального распределения.
В статике (боеприпас покоится) теоретические распределения fi (v; ri ) связаны с
параметром 𝜆 в распределении Пуассона соотношением:
𝑁
𝜆 ≅ ∑ 𝑓𝑖 (𝒗; 𝒓𝑖 ) .
(1.9)
𝑖=1
Анализ условий проведения стендовых экспериментов показывает, что число осколков,
вылетающих в статике в интервал ∆𝒗, будет определяться распределением Пуассона с
параметром 𝜆 равным:
𝜆 ≅ 𝑁 ∙ ∫ 𝑓э (𝒗) ∙ 𝑑𝒗 .
(1.10)
∆𝒗
Использование соотношений (1.9) и (1.10) позволяет выразить в статике теоретические
распределения 𝑓𝑖 (𝒗; 𝒓𝑖 ) через экспериментально определяемые величины по формуле:
𝑁
1
𝑓э (𝒗) ≅ ∙ ∑ 𝑓𝑖 (𝒗; 𝒓𝑖 ) .
𝑁
(1.11)
𝑖=1
Переход к плотности распределения ПЭ по скоростям в динамике осуществляется
следующим образом. Пусть 𝑓э′ (𝒗′ ) плотность распределения осколков по скорости в статике
такая, что 𝑓э′ (𝒗′ ) 𝑑𝒗′ – число осколков в интервале скоростей 𝒗′ ÷ 𝒗′ + 𝑑𝒗′ . Плотность
распределения осколков по скорости в динамике 𝑓э (𝒗) связана с 𝑓э′ (𝒗′ ) соотношением
𝑓э (𝒗)𝑑𝒗 = 𝑓э′ (𝒗′ )𝑑𝒗′ ,
(1.12)
где 𝒗 = 𝒗′ + 𝒗0 , 𝒗0 - скорость изделия в лабораторной системе координат.
В связи с тем, что якобиан преобразования скоростей при переходе от одной
инерциальной системы к другой равен единице, плотность вероятности вылета 𝑖 - го ПЭ в
динамике примет вид 𝑓𝑖 (𝒗 − 𝒗0 ; 𝒓𝑖 ), где 𝒗0 - скорость изделия в лабораторной системе
координат. Тогда в динамике соотношение (1.12) будет иметь вид:
𝑁
1
𝑓э (𝒗 − 𝒗0 ) ≅ ∙ ∑ 𝑓𝑖 (𝒗 − 𝒗0 ; 𝒓𝑖 ) .
𝑁
(1.13)
𝑖=1
Таким образом, математическое ожидание числа событий, определенных формулами
(1.1) – (1.4), можно оценить, используя эмпирическую функцию распределения 𝑓э (𝒗 − 𝒗0 ) в
динамике.
Уравнение для переходной плотности вероятности
Поскольку рассматриваемый случайный процесс формирования осколочного поля
является марковским, переходная плотность подчиняется уравнению Колмогорова-Чепмена
[10]:
𝐺(𝒙′ , 𝑡 ′ ; 𝒙, 𝑡) = ∫ 𝐺(𝒙′ , 𝑡 ′ ; 𝒙′′ , 𝑡 ′′ ) ∙ 𝐺(𝒙′′ , 𝑡 ′′ ; 𝒙, 𝑡)𝑑𝒙′′ ,
(1.14)
где 𝒙 состояние ПЭ в момент времени 𝑡.
Интегрально-дифференциальное уравнение в форме объединенного уравнения ФоккераПланка и Колмогорова-Феллера с использованием индексных обозначений можно записать в
виде:
𝜕𝐺(𝒙′ , 𝑡 ′ ; 𝒙, 𝑡)
𝜕 𝑟
𝜕
[𝑎𝑖 ∙ 𝐺(𝒙′ , 𝑡 ′ ; 𝒙, 𝑡)] +
[𝑎𝑖𝑣 ∙ 𝐺(𝒙′ , 𝑡 ′ ; 𝒙, 𝑡)] −
+
𝜕𝑡
𝜕𝑟𝑖
𝜕𝑣𝑖
1
𝜕2
1
𝜕2
𝑣
𝑟
− 2 ∙ 𝜕𝑟 𝜕𝑟 [𝑏𝑖𝑗
∙ 𝐺(𝒙′ , 𝑡 ′ ; 𝒙, 𝑡)] − 2 ∙ 𝜕𝑣 𝜕𝑣 [𝑏𝑖𝑗
∙ 𝐺(𝒙′ , 𝑡 ′ ; 𝒙, 𝑡)] =
𝑖
𝑗
𝑖
𝑗
(1.15)
= ∫ 𝑑𝒙′′ [𝑊(𝒙′′ ; 𝒙) ∙ 𝐺(𝒙′ , 𝑡 ′ ; 𝒙′′ , 𝑡) − 𝑊(𝒙; 𝒙′′ ) ∙ 𝐺(𝒙′ , 𝑡 ′ ; 𝒙, 𝑡)],
𝑣
𝑟
где 𝑎𝑖𝑟 , 𝑎𝑖𝑣 – вектора сноса (дрейфа); 𝑏𝑖𝑗
, 𝑏𝑖𝑗
– положительно определенные матрицы диффузии;
𝑊(𝒙′′ ; 𝒙) – вероятность скачкообразного перехода из состояния 𝒙′′ в состояние 𝒙.
Коэффициенты сноса и диффузии в уравнении (1.15) при движении в воздухе
определяются формулами:
𝑎𝑖𝑟 = 𝑣𝑖 ; 𝑎𝑖𝑣 =
̅𝑖 (𝒗)
𝐹
𝑣
𝑟
; 𝑏𝑖𝑗
= 0; 𝑏𝑖𝑗
= 0.
𝑚
(1.16)
При внедрении стальных и вольфрамовых поражающих элементов в низкоплотные
преграды со скоростями до 1500 м/с, а также в преграды из алюминиевых сплавов со
скоростями до 800 м/с реализуется аэродинамический механизм проникания [11]. Для БЛА
представляется
достаточным
ограничиться
рассмотрением
только
аэродинамического
механизма проникания. Это позволит в единой манере описать торможение ПЭ в воздухе и
преградах.
Обозначим 𝛽(𝑣) = −𝐹(𝑣)⁄𝑚 ∙ 𝑣 – тормозную способность с размерностью обратного
времени. Тормозная способность преграды для аэродинамического механизма определяется
дифференцированием текущей скорости ПЭ, движущегося в преграде, по длине пройденного
пути. Используя известные соотношения для зависимости предельно пробиваемой толщины ℎпр
от модуля скорости поражающего элемента на внешней поверхности преграды 𝑣0 и угла
подхода поражающего элемента к преграде можно получить искомую зависимость
𝛽пр (𝑣0 ) =
1
.
𝑑(ℎпр (𝑣0 , 𝜓)⁄sin 𝜓)⁄𝑑𝑣0
(1.17)
Для придания физического содержания условной вероятности перехода 𝑊(𝒙; 𝒙′ )
обратимся к работам [8; 9]. Согласно введенным в этих работах определениям:
𝑊(𝒙) = ∫ 𝑊(𝒙; 𝒙′ ) ∙ 𝑑𝒙′
(1.18)
есть вероятность скачкообразного изменения случайной величины 𝒙 в единицу времени.
Поскольку все определенные выше коэффициенты уравнения (1.18) не зависят явно от
времени, то описываемый ими случайный процесс является однородным, т.е. 𝐺(𝒙′ , 𝑡 ′ ; 𝒙, 𝑡) =
𝐺(𝒙′ ; 𝒙, 𝑡 − 𝑡 ′ ). Кроме того в определения (1.1) – (1.4) вероятностей эффектов поражения входит
плотность вероятности 𝐺(𝒙′ ; 𝒙, 𝑡), умноженная на 𝒗 и проинтегрированная по времени, т.е.
функция:
∞
′
𝐺(𝒙 ; 𝒙) = ∫ 𝑣 ∙ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙, 𝑡)𝑑𝑡 .
(1.19)
0
′
Введенная функция 𝐺(𝒙 ; 𝒙) есть по терминологии [10] поток вероятности в
координатном пространстве для стационарной задачи. Проинтегрировав уравнение (1.19) по
времени с учетом определений и вводя вектор направления движения 𝝎 = 𝒗⁄𝑣 , получим
уравнение для функции 𝐺(𝒙′ ; 𝒙), совпадающее по форме со стационарным уравнением
Фоккера-Планка и Колмогорова-Феллера:
𝜕
𝜕
[𝜔𝑖 ∙ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙)] +
[𝜔 ∙ 𝛽(𝒓, 𝑣) ∙ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙)] =
𝜕𝑟𝑖
𝜕𝑣𝑖 𝑖
(1.20)
̃ (𝒙′′ ; 𝒙) ∙ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙′′ ) − 𝑊
̃ (𝒙) ∙ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙) ,
= ∫ 𝑑𝒙′′ 𝑊
где 𝛽(𝒓, 𝑣) тормозная способность воздуха или преграды.
̃ (𝒙) = ∫ 𝑊
̃ (𝒙; 𝒙′ ) ∙ 𝑑𝒙′ имеет размерность обратной
В уравнении (1.20) вероятность 𝑊
длины и не равна нулю только на границах раздела воздух – преграда и на границе расчетной
области. Поскольку при попадании на границы изменение состояния ПЭ происходит с
вероятностью единица то правая часть уравнения (1.20) есть краевое условие для функции
𝐺(𝒙′ ; 𝒙) на поверхности некой, в общем случае многосвязной области.
Как правило, краевые условия для интегро-дифференциальных уравнений выражают
через коэффициент отражения 𝑅(𝒗′ , 𝒗), связывая входящие и выходящие потоки вероятностей
на поверхностях раздела воздух – преграда и на границе расчетной области соотношением:
|(𝒏 ∙ 𝝎)| ∙ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙) = ∫|(𝒏 ∙ 𝝎′′ )| ∙ 𝑅(𝒗′′ , 𝒗) ∙ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙′′ ) 𝑑𝒗′′ ,
(1.21)
где 𝒓 = 𝒓′′ ∈ 𝑆, (𝒏 ∙ 𝝎′′ ) < 0, (𝒏 ∙ 𝝎) > 0.
где 𝒏 – внешняя нормаль к поверхности, ограничивающей преграду, или внутренняя нормаль к
поверхности, ограничивающей расчетную область.
Коэффициенты отражения 𝑅(𝒗′ , 𝒗) определяются в соответствии геометрической
моделью цели материальным составом.
Таким образом, уравнение (1.20) принимает вид однородного дифференциального
уравнения в частных производных первого порядка:
𝜕
𝜕
[𝜔𝑖 ∙ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙)] +
[𝜔 ∙ 𝛽(𝒓, 𝑣) ∙ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙)] = 0
𝜕𝑟𝑖
𝜕𝑣𝑖 𝑖
(1.22)
Фундаментальное решение уравнения (1.22) для потока вероятности в соответствии с работами
[11], [12] записывается в виде:
𝒓 − 𝒓′
𝑣′
) 1
′
1
𝑑𝑣 ′′
|𝒓 − 𝒓 |
′)
′|
∙
∙ 𝛿(𝝎 − 𝝎 ∙ 2 ∙ 𝛿 (|𝒓 − 𝒓 − ∫
).
|𝒓 − 𝒓′ |2
𝛽(𝑣)
𝑣
𝛽(𝑣 ′′ )
𝛿 (𝝎 −
𝐺(𝒙′ ; 𝒙) =
(1.23)
𝑣
Расчетные программы, реализующие определение потоков, основываются, как правило,
на методе характеристик или методе статистических испытаний.
ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Предложенная математическая модель была реализована в виде макета программы
численного моделирования в среде инженерного проектирования MATLAB. Для демонстрации
работоспособности решалась задача оценки вероятности поражения упрощенной модели БЛА
осколочным полем 35-мм боеприпаса PMD375 [6]. Для вычисления воздействия на БЛА
осколочного поля для всех агрегатов была принята общая гипотеза: заполнение осколками не
менее 20% общего объема и вывод из строя не менее 3-х агрегатов. На Рис. 1-2
продемонстрирована схема построения БЛА с помощью отдельных агрегатов с заданными
характеристиками. На Рис. 3-4 продемонстрирован результат исследований на вероятность
распределения осколков и поражения агрегатов в двухмерной системе координат. На Рис. 5-6
продемонстрирован результат исследований на вероятность поражения и коэффициента
заполненности осколками в двухмерной системе координат. На Рис. 7-8 продемонстрирован
результат исследований на вероятность распределения осколков и поражения агрегатов в
трехмерной системе координат.
Рис 1-2
Рис. 3-4
Рис. 5-6
Рис. 7-8
ВЫВОДЫ
Основным итогом следует считать разработанную на основе теории случайных
процессов вероятностную математическую модель формирования поля. На основе интегродифференциального
уравнения
Фоккера-Планка-Колмогорова-Феллера
сформулированы
уравнения для потока вероятностей осколочного поля. Получено решение уравнения для потока
вероятностей
осколочного
поля в рамках
аэродинамического механизма замедления
поражающих элементов в воздухе и преградах.
Проведено макетирование программы расчета вероятностей поражающего действия
осколочного поля в рамках среды программирования MATLAB. Показана работоспособность
предложенной модели на примере оценки вероятностей поражения малоразмерного БЛА
осколочным боеприпасом малого калибра с программируемым подрывом.
Разработанная модель будет полезна при создании комплекса программных средств,
предназначенных
для
оценки
эффективности
противовоздушной обороны противника.
преодоления
малоразмерными
БЛА
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Многофункциональные
комплексы
беспилотных
летательных
аппаратов:
монография/ А.В. Полтавский, А.А. Бурба, А.Е. Аверкин, В.В. Макаров, В.В.
Маклаков: под ред. Е.Я. Рубиновича. – М.: ИПУ РАН, 2015. – 204 с.
2. Ерёмин Г.В., Гаврилов А.Д., Назарчук И.И., Малоразмерные беспилотники – новая
проблема для ПВО. Журнал «Арсенал Отечества», февраль, 2015. –41
3. The NATO Industrial Advisory Group Study SG-170, The Engagement of Low, Slow and
Small Aerial Targets by GBAD, July, 2013, – 22 с.
4. Гаврилов А.Д. Проблемы борьбы с современными средствами воздушного
нападения. Известия Российской Академии ракетных и артиллерийских наук, 2018,
№ 3 (103), с. 15-20.
5. Зубов В.Н. Разработка в США программируемых боеприпасов воздушного подрыва
для малокалиберной артиллерии. Известия Российской академии ракетных и
артиллерийских наук, 2018, № 1.
6. Зубов В.Н. Перспективные европейские малокалиберные боеприпасы воздушного
подрыва с программируемыми взрывателями. Известия Российской академии
ракетных и артиллерийских наук, 2017, № 4.
7. Средства поражения и боеприпасы: учебник / А.В. Бабкин [и др.]; под ред. В.В.
Селиванова. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. – 984 с.
8. Знаменский Е.А. Действие средств поражения и боеприпасов: справочное пособие / Е
.А. Знаменский. – СПб: Изд-во Балт. гос. техн. ун-та, 2010. – 95 с.
9. Физика взрыва / под ред. Л.П. Орленко. – 3-е изд., испр. – В 2 т. Т. 2. –
10. Вентцель Е.С. Введение в исследование операций / Е.С. Вентцель. – М.: Изд-во
“Советское радио”, 1964. – 390 c.
11. Владимиров В.С. Уравнения математической физики / В.С. Владимиров – изд. 4-е. –
М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. – 512 с.
12. Кольчужкин А.М. Введение в теорию прохождения частиц через вещество / А.М.
Кольчужкин, В.В. Учайкин – М.: Атомиздат, 1978. – 256 с.