Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
З. П. Бадяева, М. С. Бухтяк, Полуинвариантные полиномы второго порядка на многообразии лучей пространства A3 , Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех., 2013,
номер 1(21), 5–12
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 37.21.147.206
10 сентября 2015 г., 12:01:32
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2013
Математика и механика
№ 1(21)
МАТЕМАТИКА
УДК 514.654.7
З.П. Бадяева, М.С. Бухтяк
ПОЛУИНВАРИАНТНЫЕ ПОЛИНОМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
НА МНОГООБРАЗИИ ЛУЧЕЙ ПРОСТРАНСТВА A3
Найдены минимальные оснащения, позволяющие задавать на многообразии
лучей трехмерного аффинного пространства относительно инвариантные
квадратичные формы с постоянными коэффициентами. Доказано, что таких
оснащений имеется два и каждое из них порождает свою структуру в кокасательном расслоении указанного многообразия. Доказано, что в любом из
этих случаем относительно инвариантная квадратичная дифференциальная
форма на линейчатом пространстве пропорциональна той, что задает полуриманову метрику на многообразии приложенных векторов. Найдены группы стационарности найденных оснащений, и для этих групп указаны одномерные подгруппы. Данная работа имеет очевидную связь с работами [4−6]
второго автора.
Ключевые слова: инвариантная квадратичная форма, подвижной репер,
многообразие лучей.
1. Оператор, подобный ковариантному дифференциалу
Деривационные формулы подвижного репера { M , e1 , e2 , e3 } трехмерного аффинного пространства A3 имеют вид
dM = ωi ei ,
dei = ωij e j ,
i, j = 1, 2,3 ,
где формы Пфаффа [1] ωi , ωij подчинены уравнениям структуры аффинного пространства
d ωi = ω j ∧ ωij , d ωij = ωik ∧ ωkj (i, j = 1, 2,3).
Рассмотрим многообразие всех прямых в пространстве A3 . Будем считать, что
на каждой прямой задана ориентация таким образом, что полученное 4-мерное
дифференцируемое многообразие лучей есть гладкое многообразие. Это многообразие обозначим L . Текущий элемент многообразия – луч l . Локальные координаты луча l – как точки многообразия – пусть обозначаются t i (i = 1, 2,3, 4) .
Помещаем вершину подвижного репера на текущий луч l , а вектор e3 репера
пусть сонаправлен с текущим лучом. Тогда пфаффовы формы ω1 , ω2 , ω13 , ω32 являются линейными комбинациями величин dt i и не содержат дифференциалов
З.П. Бадяева, М.С. Бухтяк
6
параметров, ответственных за изменение репера при фиксированном луче. Такие
формы называются главными [1]. Эти формы ω1 , ω2 , ω13 , ω32 (базовые формы)
управляют смещением луча, и
ω1 ∧ ω2 ∧ ω13 ∧ ω32 ≠ 0 .
2
(
Хорошо
ω1ω32
известна
− ω2 ω13
роль
квадратичной
дифференциальной
формы
) = 2 ( dM , de3 , e3 ) в геометрии линейчатого пространства (в частно-
сти, обращение её в нуль для луча регулюса делает этот луч торсовым). Поставим
следующий вопрос: насколько особое положение занимает эта квадратичная форма среди тех однородных квадратичных многочленов от базовых форм линейчатого пространства, и обладающих свойством относительной инвариантности по
отношению к некоторым преобразованиям, на наш взгляд естественным.
Обозначая, как в [1],
ωi
k
= πi , ωij
= πij ,
k
dt = 0
i, j = 1, 2,3; k = 1, 2,3, 4,
dt = 0
π1 = π2 = π13 = π32 = 0 .
заключаем, что
(1)
Данные соотношения сужают полную аффинную группу, действующую в касательном пространстве многообразия L , до некоторой подгруппы. Оставшиеся
формы
π11 , π12 , π12 , π22 , π32 , π13 , π33 , π3
(2)
управляют смещением репера при фиксированном луче.
Введём матричнозначную форму [2]
ω1 ω2
ω13
ω13
ω11
⎛ θ⎞= 1
⎜ ⎟ ω2
⎝Ω⎠
0
ω12
0
0
ω22
0
0 .
0
0
0
ω11
ω12
ω12
ω22
Тогда справедливы соотношения
(
d θ − θ ∧ Ω = ω3 ∧ ω13
dΩ − Ω ∧ Ω =
ω13
ω32
ω3 ∧ ω32
∧ ω13
∧ ω13
ω13
ω32
∧ ω32
∧ ω32
0
)
ω33 ∧ ω13
ω33 ∧ ω32 ,
0
ω13
ω32
∧ ω13
∧ ω13
.
ω13
ω32
∧ ω32
∧ ω32
Ясно, что последние соотношения являются структурными уравнениями
линейной связности в том и только в том случае, когда внешние квадратичные
формы
ω3 ∧ ω3α , ωi3 ∧ ω3α , i = 1, 2,3; α = 1, 2 ,
разложимы по внешним квадратичным формам
ωα ∧ ωβ , ωα ∧ ωβ3 , ω3α ∧ ωβ3 , α, β = 1, 2 .
Полуинвариантные полиномы второго порядка
7
Мы не предполагаем данное условие выполненным. Определим, однако, оператор Ψ , указав его действие на матрицу H = ( hij ) следующим образом:
T
Ψ ( H ) = dH − ΩH − ( ΩH ) .
Если матричнозначная форма Ω определяет аффинную связность, то оператор
Ψ есть оператор ковариантного дифференцирования. Обозначим
Π=
π11
π12
0
0
π12
π22
0
0
0
0
π12
0
0
π11
π12
.
(3)
π22
T
Ψ δ ( H ) = δH − ΠH − ( ΠH )
Оператор
имеет очевидный смысл ( δ – символ дифференцирования по вторичным параметрам).
Пусть на многообразии L задан однородный многочлен второй степени Φ от
дифференциалов базовых форм
Φ = aαβ ωα ωβ + 2bαβ ωα ωβ3 + cαβ ω3α ωβ3
aαβ = aβα , cαβ = cβα , α, β = 1, 2.
Матрица полинома
a11
a21
L=
b11
b12
a12
a22
b21
b22
(4)
b11 b12
b21 b22
.
c11 c12
c21 c22
(5)
Требование полуинвариантности полинома (4) относительно оператора Ψ при
фиксированных базовых параметрах приводит к уравнению
T
Ψ δ ( L ) ≡ δL − ΠL − ( Π L ) = ΞL ,
(6)
где Ξ – пфаффова 1-форма. Поставим следующую задачу. Отыскать условия на
ненулевой полином (4) с постоянными коэффициентами и на пфаффову форму Ξ ,
чтобы при отсутствии связей на формы (2) выполнялось требование (6). Пфаффову форму Ξ будем искать в виде
Ξ = x1π11 + x2 π12 + x3 π12 + x4 π22 + x5 π32 + x6 π13 + x7 π33 + x8 π3 .
(7)
Предъявленное нами требование (с учётом (3), (5) – (7)) приводит к системе
уравнений, матричная запись которой имеет вид
a11 (2 + x1 ) 2a12 + x2 a11
x3a11
x4 a11
x5a11 x6 a11 x7 a11 x8 a11
⎛ π11 ⎞
(
)
(
)
a
1
+
x
a
+
x
a
a
+
x
a
a
1
+
x
x
⎜ 2 ⎟ ⎛ 0⎞
12
1
22
2 12
11
3 12
12
4
5 a12 x6 a12 x7 a12 x8 a12
⎜ π1 ⎟ ⎜ 0⎟
x1a22
x2 a22
2a12 + x3a22
⎜ π12 ⎟ ⎜ 0⎟
b11 (2 + x1) b21 + b12 + x2b11
x3b11
⎜ 2⎟ ⎜ ⎟
b
1
x
b
x
b
b
(
)
+
+
π
0
1
22
2 12
11 + x3b12
A×⎜ 32 ⎟ = ⎜ ⎟, A = 12
⎜ π ⎟ ⎜ 0⎟
b21 (1+ x1) b22 + x2b21
b11 + x3b21
⎜ 23 ⎟ ⎜ 0⎟
x1b22
x2b22
b21 + b12 + x3b22
⎜ π1 ⎟ ⎜ ⎟
0
c
2
+
x
2
c
+
x
c
x3c11
(
)
11
1
12
2 11
⎜ π3 ⎟ ⎜ ⎟
⎜⎜ 33 ⎟⎟ ⎝ 0⎠
c12 (1+ x1) c22 + x2c12
c11 + x3c12
⎝π ⎠
x1a22
x2 a22
2c12 + x3c22
2a22 + x4 a22
x4b11
b12 (1+ x4 )
b21 (1+ x4 )
b22 (2 + x4 )
x4c11
c12 (1+ x4 )
2c22 + x4c22
x5 a22
x5b11
x5b12
x5b21
x5b22
x5c11
x5c12
x5c22
x6 a22
x6b11
x6b12
x6b21
x6b22
x6c11
x6c12
x6c22
x7 a22
x7b11
x7b12
x7b21
x7b22
x7 c11
x7 c12
x7 c22
x8 a22
x8b11
x8b12
. (8)
x8b21
x8b22
x8c11
x8c12
x8c22
З.П. Бадяева, М.С. Бухтяк
8
Поскольку данное уравнение не должно налагать ограничений на пфаффовы
формы (2), то матрица A – нулевая. В то же время матрица L (см. (5)) отлична от
нулевой. Указанная совокупность условий выполнена, если и только если
x5 = x6 = x7 = x8 = 0, x1 = −1, x2 = 0, x3 = 0, x4 = −1,
a11 = a12 = a22 = b11 = b12 + b21 = b22 = c11 = c22 = 0.
Таким образом, с точностью до числового множителя,
0 0 0 1
0 0 −1 0
L=
,
0 −1 0 0
1 0 0 0
(
)
Φ = 2 ω1ω32 − ω2 ω13 = 2 ( dM , de3 , e3 ) .
Ξ = −π11 − π22 .
Соответственно
Отметим, что полином Φ инвариантен, если и только если
π11 + π22 = 0 .
(9)
Вследствие (1) внешнее дифференцирование последнего уравнения приводит к
тождеству. При выполнении (9) получаем подгруппу преобразований репера, определяемую деривационными формулами
δM =
π3e3 ,
δe1 = π11e1 + π12 e2 + π13e3 ,
δe2 = π12 e1 + π22 e2 + π32 e3 ,
δe3 =
π33e3 ,
π11 + π22 = 0.
Геометрический смысл условия (9), дополненного (1), таков:
δ ( e1e2 e3 ) e3 = ( e1e2 e3 ) δe3 ,
где символ ( abc ) обозначает косое произведение векторов a , b, c .
2. Вариация однородного полинома от базовых форм
Для дальнейшего нам потребуются связи на вторичные параметры. Действуя
как в [3], получаем в обозначениях [1,3] вариации главных форм в виде
δωα = −ωβ πβα + π3ω3α ,
δω3α = −ωβ3 πβα + π33ω3α ,
α, β = 1, 2.
(10)
Применив (10) к (4), получаем, что
δΦ = (δaαβ − aγβ παγ − aαγ πβγ )ωα ωβ +
+2(δbαβ − bγβ παγ − bαγ πβγ + aαβ π3 + bαβ π33 )ωα ωβ3 +
+ (δcαβ − cγβ παγ − cαγ πβγ + 2bαβ π3 + 2cαβ π33 )ω3α ωβ3 .
(11)
Полуинвариантные полиномы второго порядка
9
В этих формулах δ – символ дифференцирования по вторичным (слоевым) параметрам.
Квадратичный полином Φ окажется относительно инвариантным, если
δΦ = ΘΦ ,
где Θ – некоторая пфаффова форма. Итак, условие относительной инвариантности имеет, с учетом (11), вид
δaαβ = aγβ παγ + aαγ πβγ + Θaαβ ,
δbαβ = bγβ παγ + bαγ πβγ − aαβ π3 − bαβ π33 + Θbαβ ,
δcαβ = cγβ παγ + cαγ πβγ − 2bαβ π3 − 2cαβ π33 + Θcαβ ,
α, β, γ = 1, 2.
Приведем подробную запись последних соотношений для полинома с постоянными коэффициентами. Именно,
(
)
1
a12 ( Θ + π1 + π22 ) + a11π12 + a22 π12 = 0,
a22 ( Θ + 2π22 ) + 2a12 π12 = 0,
b11 ( Θ + 2π11 − π33 ) + ( b12 + b21 ) π12 − a11π3 = 0,
b12 ( Θ + π11 + π22 − π33 ) + b11π12 + b22 π12 − a12 π3 = 0,
b21 ( Θ + π11 + π22 − π33 ) + b11π12 + b22 π12 − a12 π3 = 0,
b22 ( Θ + 2π22 − π33 ) + ( b12 + b21 ) π12 − a22 π3 = 0,
c11 ( Θ + 2π11 − 2π33 ) + 2c12 π12 − 2b11π3 = 0,
c12 ( Θ + π11 + π22 − 2π33 ) + c11π12 + c22 π12 − (b12 + b21 )π3 = 0,
c22 ( Θ + 2π22 − 2π33 ) + 2c12 π12 − 2b22 π3 = 0.
a11 Θ + 2π11 + 2a12 π12 =
Полагаем
Θ = x1π11 + x2 π12 + x3 π12 + x4 π22 + x5 π32 + x6 π13 + x7 π33 + x8 π3 .
Аналогично (8) получаем матричное уравнение
⎛ π11 ⎞
⎜ 2 ⎟ ⎛ 0⎞
⎜ π1 ⎟ ⎜ 0⎟
⎜ 1⎟ ⎜ ⎟
⎜ π2 ⎟ ⎜ 0⎟
⎜ π2 ⎟ ⎜ 0⎟
B×⎜ 32 ⎟ = ⎜ ⎟, B =
⎜ π2 ⎟ ⎜ 0⎟
⎜ 3 ⎟ ⎜ 0⎟
⎜ π1 ⎟ ⎜ ⎟
⎜ π3 ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎜ 3 ⎟ ⎜⎝ 0⎟⎠
⎜ π3 ⎟
⎝ ⎠
a11 (2 + x1) 2a12 + x2 a11
a12 (1+ x1)
a22 + x2 a12
x1a22
x2 a22
b11 (2 + x1 ) b21 + b12 + x2b11
x3a11
x4 a11
x5 a11 x6 a11
x7 a11
x8 a11
a12 (1+ x4 ) x5 a12 x6 a12
x7 a12
x8 a12
2a12 + x3a22 2a22 + x4 a22 x5a22 x6 a22
x7 a22
x8 a22
a11 + x3a12
x3b11
x4b11
x5b11 x6b11 b11 ( x7 −1) x8b11 − a11
b12 (1+ x1)
b22 + x2b12
b11 + x3b12
b12 (1+ x4 ) x5b12 x6b12
x7b12
x8b12
b21 (1+ x1)
b22 + x2b21
b11 + x3b21
b21 (1+ x4 ) x5b21 x6b21
x7b21
x8b21
x1b22
x2b22
b21 + b12 + x3b22 b22 (2 + x4 ) x5b22 x6b22
x7b22
x8b22
c11 (2 + x1 ) 2c12 + x2c11
x5c11 x6c11
x7 c11
x8c11
c12 (1+ x1)
c22 + x2c12
c11 + x3c12
x3c11
c12 (1+ x4 ) x5c12 x6c12
x4c11
x7 c12
x8c12
x1a22
x2 a22
2c12 + x3c22
2c22 + x4c22 x5c22 x6c22
x7 c22
x8c22
.
З.П. Бадяева, М.С. Бухтяк
10
Условия, налагаемые на матрицу В, – те же, что и что и для матрицы A. В данном случае они приводят к единственному (с точностью до ненулевого числового
множителя) решению
a11 = a12 = a22 = b11 = b12 − 1 = b21 + 1 = b22 = c11 = c12 = c22 = 0,
x1 + 1 = x2 = x3 = x4 + 1 = x5 = x6 = x7 − 1 = 0.
Таким образом, с точностью до ненулевого числового множителя, как и раньше, имеем
(
)
Φ = 2 ω1ω32 − ω2 ω13 = 2 ( dM , de3 , e3 ) .
Однако форма Θ отличается от формы Ξ . Именно,
Θ = π33 − π11 − π22 .
(12)
Согласно приведенным выше результатам, запишем вариацию найденной
квадратичной формы
δΦ = (π33 − π11 − π22 )Φ .
Таким образом, форма ϕ лишь относительно инвариантна на линейчатом пространстве, а инвариантной она окажется при выполнении следующего набора условий:
π1 = π2 = π13 = π22 = 0 , π11 + π22 + π33 = 2π33 .
(13)
Последнему равенству в системе (13) можно придать более геометрическую
форму, а именно:
δ ( e1e2 e3 ) e3 = 2 ( e1e2 e3 ) δe3 .
Очевидно, что уравнения (13) выполнены для многообразия скользящих векторов в эквиаффинном пространстве A3′ , и подавно – для многообразия приложенных векторов в A3′ .
3. Одномерные подгруппы
Для базиса {e1 , e2 , e3 } имеем деривационные формулы
δe1 = π11e1 + π12 e2 + π13e3 ,
δe2 = π12 e1 + π22 e2 + π32 e3 ,
δe3 = π13e1 + π22 e2 + π33e3 ,
причем формы Пфаффа πij связаны в случае (9) соотношениями
π13 = π32 = π11 + π11 = 0 ,
а в случае (12) – соотношениями
π13 = π32 = π11 + π11 − π33 = 0 .
Каждая из двух последних систем уравнений вполне интегрируема и определяет
(каждая свою) подгруппу полной линейной группы Обозначим их G1 и G2 . Найдём одномерные подгруппы групп G1 и G2 .
Полуинвариантные полиномы второго порядка
11
Пусть { p1 , p2 , p3 } – неподвижный базис, причем вектор p3 параллелен неподвижному направлению вектора e3 . Пусть каждый вектор базиса {e1 , e2 , e3 } зависит
от одного параметра t . Тогда связь двух базисов можно выразить уравнениями
e1 = x1 (t ) p1 + x2 (t ) p2 + x3 (t ) p3 ,
e2 = y1 (t ) p1 + y2 (t ) p2 + y3 (t ) p3 ,
e3 =
z (t ) p3 .
x1 (t )
y1 (t )
причём
(14)
x2 (t )
z (t ) ≠ 0 .
y2 (t )
Заметим, что соотношения π13 = π32 = 0 нами уже учтены. Дифференцируем (14), а
результат записываем, применяя выражение векторов неподвижного базиса через
векторы e1 , e2 , e3 . Тогда оказывается, что
π11 =
dx[1 y2]
x[1 y2]
, π12 = −
dx[1 x2]
x[1 y2]
, π12 =
dy[1 y2]
, π22 = −
x[1 y2]
dy[1 x2]
x[1 y2]
, π33 =
dz
.
z
Теперь уравнение π11 + π11 = 0 принимает вид
dx[1 y2] − dy[1 x2] ≡ d
x1
y1
x2
=0
y2
и его очевидное решение
x1
y1
x2
= const ≠ 0 ,
y2
(15)
а уравнение π11 + π11 − π33 = 0 приводится к виду
d ( x[1 y2] )
x[1 y2]
=
dz
,
z
общее решение которого
x1
y1
x2
= Cz , C = const ≠ 0 .
y2
Надлежащим выбором базиса { p1 , p2 , p3 } приводим решение (15) к виду
x1
x2
y1
y2
= 1.
Аналогичным действием приводим решение (16) к виду
x1 x2
=z.
y1 y2
Группа G1 изоморфна группе матриц
⎛ a11
⎜ 1
⎜ a2
⎜⎜
⎝0
a12
a22
0
a13 ⎞
⎟
a23 ⎟ ,
⎟
a33 ⎟⎠
a11
a12
a12
a22
=1,
(16)
З.П. Бадяева, М.С. Бухтяк
12
А группа G2 соответственно изоморфна группе матриц
⎛ a11
⎜ 1
⎜ a2
⎜⎜
⎝0
a12
a22
0
a13 ⎞
⎟
a23 ⎟ ,
⎟
a33 ⎟⎠
a11
a12
a12
a22
= a33 .
Полином, от которого требовали полуинвариантности по отношению к некоторой подгруппе группы (1), оказался вполне ожидаемым. Однако подгрупп стационарности оказалось две, поскольку полуинвариантность имелась в виду изначально в разных смыслах.
ЛИТЕРАТУРА
1. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. 432 с.
2. Акивис М.А. Многомерная дифференциальная геометрия. Калинин: Изд-во Калининского ун-та, 1977. – 83 с.
3. Фиников С.П. Теория конгруэнций. М.: ГИТТЛ, 1950. 528 с.
4. Бухтяк М.С. Об одном шестимерном пространстве // Геом. сб. Вып. 22. Томск: Изд-во
ТГУ, 1982. С. 51−61.
5. Бухтяк М.С. Связность Вейля и связность Леви – Чивита на четырехпараметрическом
векторном поле. Томск, 1986. 34 с. Деп. в ВИНИТИ. 29.09.1986 г. № 6857 – В86.
6. Бухтяк М.С. Замечательные связности на четырехпараметрическом векторном поле //
Геом. сб. Вып. 29. Томск: Изд-во ТГУ, 1988. С. 84−90.
Статья поступила 23.11.2012 г.
Badyaeva Z.P., Bukhtyak M.S. SEMI-STABLE SECOND-ORDER POLYNOMIALS ON THE
VARIFOLD OF RAYS OF THE A3 SPACE. Minimal riggings making it possible to impose relatively semi-stable quadratic forms with constant coefficients on the varifold of trivariate affine ray
space. It has been proved that there are two such riggings, and each of them generates its own
structure in cotangent bundle of the specified varifold. It is proved that in any of these cases relative semi-stable quadratic differential form on the ruled space is proportional to the form that imposes a semi-Riemannian metric on the varifold of added vectors. Stationery state groups are
identified for the discovered additional structures, and one-dimensional sub-groups are specified
for these groups. This work is apparently related to the works [4, 5, 6] of the second author.
Keywords: semi-stable quadratic form, moving frame, varifold of rays.
BADYAEVA Zinaida Petrovna (Kuzbass State Technical University)
E-mail: [email protected]
BUKHTYAK Mikhail Stepanovych (Tomsk State University)
E-mail: [email protected]
