c Мат методы в горном деле (2)

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
В ГОРНОМ МЕНЕДЖМЕНТЕ
Иркутск
2011
Министерство образования и науки Российской федерации
Федеральное агентство по образованию
Иркутский государственный технический университет
М.И. Щадов, И.А. Огнѐв, В.Ю. Конюхов
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ГОРНОМ МЕНЕДЖМЕНТЕ
Допущено учебно-методическим объединением вузов Российской Федерации по образованию в области горного дела в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки «Горное дело» и по специальности «Менеджмент организации» (специализация «Производственный менеджмент в горном деле») направления подготовки «Менеджмент».
Издательство Иркутского государственного
технического университета
2011
1
УДК 517.977.5+519.85
ББК 22.16
Рецензенты: д-р эконом. наук, профессор кафедры «Экономика предприятий и предпринимательской деятельности» Байкальского
государственного университета экономики и права Т.В.
Светник,
д-р эконом. наук, вице-президент Торгово-промышленной
палаты Восточной Сибири, профессор Р.Ф. Старков
Щадов М.И., Огнѐв И.А., Конюхов В.Ю. Математические модели в
горном менеджменте: учебное пособие.– Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2011 - 64 с.
В пособии рассмотрены применение методов линейного программирования к решению различных задач планирования и управления горным производством. Подробно показано решение этих задач аналитически и с помощью табличного процессора Excel. Предложены варианты заданий для самостоятельной
и аудиторной работы.
Предназначено для студентов инженерных и экономических специальностей вузов и преподавателей высшей математики.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Иркутского
государственного университета.
ISBN 978-5-8038-0484-0
© М.И. Щадов, И.А. Огнѐв, В.Ю. Конюхов, 2011
© Оригинал-макет: И.А. Огнѐв, 2011
© Иркутский государственный
технический университет, 2011
2
Оглавление
Глава 1. Методы математического программирования ........................................ 5
Глава 2. Решение задач менеджмента горного производства методами
линейного программирования в Excel .................................................................... 8
Планирование добычи руды заданного состава .................................... 8
Составление парка буровых станков ................................................... 11
Планирование нагрузок на лавы угольной шахты ............................... 15
Планирование оптимального сочетания систем разработки .......... 17
Глава 3. Двойственные задачи линейного программирования .......................... 19
Планирование оптимального объема добычи ...................................... 24
Глава 4. Транспортная задача ................................................................................ 27
Определение допустимого исходного базисного решения.................. 28
Построение последовательных итераций ........................................... 29
Планирование объемов перевозок.......................................................... 31
Многоэтапные транспортные задачи ................................................. 36
Глава 8. Варианты индивидуальных заданий....................................................... 41
Библиографический список.................................................................................... 63
3
Введение
Современная горная промышленность характеризуется огромными масштабами производства, большими производственными затратами на добычу и
переработку полезных ископаемых и имеет высокую народнохозяйственную
значимость.
Управление предприятиями горной отрасли предполагает строгий учет и
контроль расходования и экономии природных, материальных и финансовых ресурсов с применением современных методов количественного анализа, с широким использованием компьютерной техники. Это в значительной степени позволяет повысить эффективность, качество и действенность плановых и управленческих решений.
Математические методы являются эффективным инструментом анализа
хозяйственных ситуаций, позволяют выбирать оптимальные варианты развития
и размещения производства. Использование экономико-математических моделей
помогает принимать оптимальные решения при разработке планов и в процессе
их реализации, определять наиболее эффективные варианты реконструкций и
расширения действующих предприятий, находить оптимальное сочетание трудовых и материальных затрат и т. д.
Особенностью процессов менеджмента на горных предприятиях в общем
случае является необходимость принятия решений при огромном многообразии
производственных ситуаций. В связи с этим необходимо уметь количественно
оценивать степень осуществления поставленной цели при каждом варианте решения.
Принятие решений при планировании и управлении горным производством, как правило, требует привлечения специального математического аппарата.
Математические методы условно делят на два класса: вероятностные и детерминированные. К вероятностным методам относятся регрессионный анализ, различные методы прогнозирования, теория игр, теория принятия решений, имитационное моделирование и др.; к детерминированным - матричные методы, линейное и нелинейное программирование, потоки в сетях, и др.
Практическое использование математических моделей реальной размерности, как правило, требует решения задач на компьютере. Традиционная
математическая подготовка специалиста была ориентирована на проведение
расчетов вручную, что требовало больших затрат времени. Но теперь, в связи
с переходом на двухуровневую систему образования, необходимо научить
студентов решать задачи оптимизации более эффективно и с меньшими затратами времени. Такую возможность дают не только специализированные математические программы, такие как MatLab, Mathcad, Maple, Stastistica и др., но
и программы общего назначения, такие как Excel, Calc и др.
Освоение специальных программ - достаточно трудоемкая задача. Тем
более что фактически все они нерусифицированы. В то же время табличный
процессор Excel намного легче в освоении, и его современная версия позволяет решать большое количество оптимизационных математических задач.
4
Глава 1. Методы математического программирования
Формальная постановка задачи
При формальной постановке задачи математического программирования
основными понятиями являются инструментальные переменные, допустимое
множество и целевая функция.
Задача заключается в нахождении значений переменных x1,...,xn, которые
называются инструментальными.
x1
T
x

x1 , . . . , x n .
xn
Вектор x , записанный в виде вектора-столбца или вектора-строки, есть
вектор инструментальных переменных в n-мерном евклидовом пространстве Еn.
Если вектор инструментальных переменных x удовлетворяет ограничениям задачи, он называется допустимым, а множество всех допустимых векторов образует допустимое множество X, где X E n . Так как задача заключается
в выборе вектора инструментальных переменных из допустимого множества X ,
то в любой нетривиальной задаче оно является непустым.
Целевая функция - это краткое математическое представление цели данной задачи. Обычно это действительная непрерывно дифференцируемая функция вектора инструментальных переменных.
F F ( x ) F x1 , ... , xn .
(1.1)
Общая задача математического программирования состоит в выборе вектора инструментальных переменных из множества возможностей, максимизирующего значение целевой функции:
F ( x ) max, x X .
При этом учитывается, что задача максимизации функции эквивалентна
задаче минимизации функции F (x ) при тех же условиях.
Классификация задач математического программирования
Задачи математического программирования можно разделить на группы в
зависимости от характера целевой функции и типа ограничений, накладываемых на переменные. Метод поиска экстремума функции одной или нескольких
переменных из области допустимых значений выбирают исходя из стратегии
оптимизации.
Для задач математического программирования конечный алгоритм решения должен обеспечивать отыскание глобального оптимума или указывать на
его отсутствие за конечное число шагов. Из-за большой размерности реальных
задач преобладают стратегии последовательного поиска – как единственно
возможный путь достижения результата.
5
Таблица 1.1. Классификация задач математического программирования
Группа
Целевая функция
задач
1
Аналитически определена
Статистически определена
Не определена
2
Линейная
3
Линейная
4
Нелинейная дифференцируемая на всем
интервале изменения
переменных
Квадратичная
5
6
7
8
Сепарабельная (сумма
функций одной переменной)
Нелинейная
Сепарабельная
Ограничения
Методы решения
Область допустимых значений, заданная Метод исключения инограниченными интервалами изменения тервалов, градиентный
переменных
метод и т.д.
Стохастические методы
поиска экстремума
Статистические методы
планирования экстремальных экспериментов
Линейные уравнения и неравенства
Методы линейного программирования
Линейные уравнения и неравенства, до- Методы целочисленнополненные условиями целочисленности го программирования
Нелинейные уравнения, дифференциМетод неопределенных
руемые на всем интервале изменения
множителей Лагранжа
переменных
Линейные уравнения и неравенства
Сепарабельные функции в ограничениях
- равенствах или неравенствах
Линейные или нелинейные
Сепарабельные одно- или двусторонние
ограничения, целочисленные или непрерывные переменные
Методы квадратичного
программирования
Кусочно-линейная аппроксимация
Градиентные методы
Методы динамического
программирования
Приведенная группировка задач и методов [11] весьма условна, так как
многие задачи могут быть отнесены к нескольким группам и решаться разными методами.
Принято выделять три основных вида общей задачи математического
программирования: каноническая задача математического программирования,
задача нелинейного программирования и задача линейного программирования.
Отдельными классами задач математического программирования являются задачи целочисленного, параметрического и дробно-линейного программирования.
В канонической задаче математического программирования все ограничения представляют собой равенства
g j ( x ) g j ( x1 , ... , xn ) b j , j 1, m .
(1.2)
Функции g j ( x ) , j
1, m - заданные непрерывно дифференцируемые
функции, называемые функциями ограничений; параметры b j , j 1, m - заданные действительные числа, называемые константами ограничений.
6
Задача канонического программирования заключается в максимизации
целевой функции (1.1) при заданных ограничениях (1.2):
F ( x ) max, при g ( x) b .
В задаче нелинейного программирования система ограничений состоит из
условий двух типов: условий неотрицательности
xi 0, i 1, n ,
(1.3)
и ограничений в виде неравенств
g j ( x ) g j ( x1 , ... , xn ) b j , j 1, m
(1.4)
Задача нелинейного программирования заключается в нахождении неотрицательных значений переменных, удовлетворяющих условиям (1.3), (1.4) и
максимизирующих целевую функцию (1.1):
F ( x ) max, при g ( x) b, x 0 .
Среди задач нелинейного программирования наиболее глубоко изучены
задачи выпуклого программирования. Это задачи, в результате решения которых определяется экстремум выпуклой функции, заданной на выпуклом замкнутом множестве.
В свою очередь, среди задач выпуклого программирования более подробно исследованы задачи квадратичного программирования. В результате решения таких задач требуется в общем случае найти максимум (или минимум)
квадратичной функции при условии, что ее переменные удовлетворяют некоторой системе линейных неравенств или линейных уравнении либо некоторой
системе, содержащей как линейные неравенства, так и линейные уравнения.
В задаче линейного программирования целевая функция является линейной формой
F ( x ) c1 x1 c2 x2 ... cn xn cx ,
(1.5)
где с - заданный вектор-строка c (c1 , c2 , ... , cn ) , и имеются ограничения двух
типов: ограничения в виде неравенств
a 11 x 1 a 12 x 2 ... a 1n x n b1 ,
a 21 x 2
a 22 x 2 ... a 2 n x n
b2 ,
. . . . . . . . . . . .
a m1 x 1 a m 2 x 2 ... a mn x n b m
и условия неотрицательности
xi 0, i 1, n .
В векторной форме система ограничений имеет вид
Ax b, x 0,
где А - заданная матрица размерности m×n
a11 a12 ... a1n
A
...
...
a m1
am2
7
...
...
... a mn
.
(1.6)
(1.7)
Таким образом, задача линейного программирования заключается в нахождении неотрицательных значений переменных, удовлетворяющих ограничениям (1.6), (1.7) и максимизирующих заданную линейную форму(1.5):
F ( x ) max, при Ах b, x 0 .
Отсюда видно, что задача линейного программирования является частным случаем задачи нелинейного программирования, в которой целевая функция и функции ограничений линейны.
Глава 2. Решение задач менеджмента горного производства
методами линейного программирования в Excel
В настоящее время накоплен значительный опыт применения моделей
линейного программирования в горном производстве. К числу решаемых с его
помощью задач можно отнести планирование распределения добычи по отдельным участкам горного предприятия, распределение капиталовложений между различными действующими или проектируемыми предприятиями, составление оптимального плана перевозок, определение оптимальной загрузки оборудования и транспорта и т.д.
Во многих случаях решения, полученные с помощью линейного программирования, дают ощутимый экономический эффект.
Рассмотрим решения нескольких типовых задач оптимизации горного
производства методами линейного программирования и проанализируем их.
Планирование добычи руды заданного состава
Требуется составить план эксплуатации карьера при условии, что суммарные затраты на транспортирование руды в рассматриваемом периоде времени не должны превышать 8690 руб., а содержание Р2О5 должно быть в пределах 6,8 - 7,0 %. План должен обеспечивать максимально возможную добычу
руды. Данные по участкам карьера приведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1
№ участка
Содержание Р2О5, %
1
2
3
6,0
8,0
6,8
Удельные транспортные затраты, pуб.
25
20
15
Максимально возможная добыча, тыс.т.
160
160
320
Обозначим через xi искомый объем добычи на i-м участке, тыс. т. Запишем математическую модель задачи. Целевая функция — суммарный объем
добычи руды.
Ограничения:
а) по величине затрат на транспорт
;
б) по качеству руды
8
;
в) по максимально допустимой добыче участков
;
г) по неотрицательности объемов добычи
.
После очевидных преобразований ограничение «б» запишем в виде двух
неравенств:
;
.
Теперь можно приступать к решению задачи на компьютере.
1. Создадим новую рабочую книгу (Office→Создать→Новая книга).
2. На листе 1 в ячейки F3:F5 занесем правые части неравенств - числа
8690, 0 и 0 соответственно.
3. В ячейки A2:C2 занесем начальные значения неизвестных ,
и
(нули) — в дальнейшем значения этих ячеек будут подобраны автоматически.
4. В ячейках диапазона A3: C5 разместим коэффициенты при неизвестных из левых частей ограничений.
5. В ячейках D3:D5 укажем формулы для расчета левых частей неравенств. В ячейке D3 формула будет иметь вид =СУММПРОИЗВ($A$2:$C$2;A3:C3),
а остальные формулы можно получить методом автозаполнения. В ячейку Е4
занесем формулу для расчета первого (левого) ограничения по качеству руды. В
ячейку Е5 - формулу для расчета второго (правого) ограничения.
6. В ячейки А6:С6 занесем ограничения по максимально допустимой добыче участков.
7. В ячейку F2 занесем формулу целевой функции =СУММ(A2:C2). Результат ввода данных в рабочую таблицу представлен на рис. 2.1.
Рис.2.1. Результат ввода данных
8. Дадим команду Данные→Поиск решения — откроется диалоговое окно
Поиск решения.
9. В поле Установить целевую ячейку мышью укажем ячейку, содержащую
оптимизируемое значение (F2) (рис. 2.2). Установим переключатель Равной в
положение максимальному значению (требуется максимальный объем добычи руды).
9
Рис.2.2. Заполнение диалогового окна Поиск решения
10. В поле Изменяя ячейки мышью зададим диапазон подбираемых параметров (неизвестных ) — A2:C2.
11. Чтобы определить набор ограничений, щелкнем на кнопке Добавить.
В диалоговом окне Добавление ограничения в поле Ссылка на ячейку мышью укажем диапазон А2:С2. В качестве условия зададим <=. В поле Ограничение мышью зададим диапазон А6:С6 (рис. 2.3). Щелкнем на кнопке ОК.
Рис.2.3. Заполнение диалогового окна Добавление ограничения
12. Снова щелкнем на кнопке Добавить. В поле Ссылка на ячейку укажем
диапазон A2:C2. В качестве условия зададим >=. В поле Ограничение зададим
число 0. Это условие указывает, что объѐм добычи неотрицателен. Щелкнем на
кнопке ОК. Аналогично укажем ограничения по величине затрат на транспорт и
по качеству руды.
13. Щелкнем на кнопке Выполнить. По завершении оптимизации откроется диалоговое окно Результаты поиска решения.
14. Установим переключатель Значения параметров в положение Сохранить найденное решение, после чего щелкнем на кнопке ОК.
Таким образом, оптимальный план эксплуатации карьера по участкам на
рассматриваемый период предусматривает следующие объемы добычи, тыс.т.:
.
Это обеспечит максимально возможную в данных условиях суммарную
добычу в объеме Vmax=500 тыс.т. (рис. 2.4).
10
Рис.2.4. Результат вычислений задачи «Планирование добычи
руды заданного состава»
Проанализируем полученное решение. Значение переменной
показывает, что на участке № 3 следует запланировать максимально возможную добычу, в то время как на первых двух участках максимальная нагрузка не
планируется.
Значение в ячейке D3=8690 показывает, что затраты на транспорт достигают предусмотренной условиями задачи величины 8690 руб., что, естественно,
связано с максимизацией добычи. Так как Е5=0, второе (правое) ограничение
по качеству выполняется как равенство. Это значит, что среднее содержание
Р2О5 составит 7 %.
Таким образом, дальнейшее увеличение добычи по карьеру сдерживается
следующими «узкими местами»:
максимально возможной добычей на участке № 3;
максимально допустимыми затратами на транспорт;
необходимостью поддерживать содержание Р2О5 на уровне, не превышающем 7 %.
Решение задачи методом линейного программирования позволило не
только найти оптимальный план, но и выявить «узкие места», сдерживающие
дальнейший рост величины добычи.
Составление парка буровых станков
Планом работ экспедиции предусматривается пробурить 300 скважин с
объемом перевозок 10 км и 100 скважин с объемом перевозок 50 км. Для бурения таких скважин могут быть использованы стационарный буровой станок
ЗИФ-650М и самоходные установки УКБ-300/200 и УРБ-ЗАМ. Нормативная
производительность этих станков и стоимость бурения одной скважины в соответствующих условиях приведены в табл. 2.2.
Таблица 2.2
Вид станка
ЗИФ-650М
УКБ-300/200
УРБ-ЗАМ
Производительность станка (скважин в
год) при протяженности (км) перевозок
10
50
26
24
20
20
25
24
11
Стоимость бурения (руб.) одной скважины
при протяженности (км) перевозок
10
50
900
980
768
800
881
900
Зная, что число станков не может быть больше 20, определить структуру
парка станков экспедиции таким образом, чтобы выполнить план работ с наименьшим расходом.
Обозначим
- число станков i-го вида, используемых при бурении k-го
вида скважин (
). Составим математическую модель задачи.
Целевая функция — стоимость бурения всех скважин.
Ограничения:
а) по общему количеству станков
;
б) по количеству скважин каждого вида
;
;
в) по неотрицательности искомых величин
.
Теперь можно приступать к решению задачи на компьютере.
1. Создадим новый рабочий лист (Shift+F11).
2. На листе в ячейки H3:H5 занесем правые части ограничений - числа
20, 300 и 100 соответственно.
3. В ячейки A2:F2 занесем начальные значения неизвестных
- (нули).
4. В ячейках диапазона A3: F5 разместим коэффициенты при неизвестных из левых частей ограничений.
Рис.2.5. Результат ввода данных
5. В ячейках G3:G5 укажем формулы для расчета левых частей неравенств. В ячейке G3 формула будет иметь вид =СУММПРОИЗВ($A$2:$F$2;A3:F3), а
остальные формулы получим методом автозаполнения.
6. В ячейки A6:F6 занесем значения производительности станков. В
ячейки A7:F7 - значения стоимости бурения.
7.
В
ячейку
F2
занесем
формулу
целевой
функции
=СУММПРОИЗВ(A2:F2;A6:F6;A7:F7). Результат ввода данных в рабочую таблицу
представлен на рис. 2.5.
12
8. Дадим команду Данные→Поиск решения — откроется диалоговое окно
Поиск решения.
9. В поле Установить целевую ячейку мышью укажем ячейку, содержащую
оптимизируемое значение (I2) (рис. 2.6). Установим переключатель Равной в
положение минимальному значению (требуется минимальная стоимость бурения).
Рис.2.6. Заполнение диалогового окна Поиск решения
10. В поле Изменяя ячейки мышью зададим диапазон подбираемых параметров (неизвестных
) — A2:F2.
11. Для ввода ограничений щелкнем по кнопке Добавить, и выполним
действия так же, как в первой задаче. Так как число станков не может быть
дробным, введем требование их целочисленности. Для этого в окне Добавление
ограничения укажем диапазон A2:F2, и выберем пункт цел (рис. 2.7). После ввода всех ограничений нажимаем Выполнить.
Рис.2.7. Указание целочисленности искомых величин
Полученное решение (рис. 2.8) показывает, что парк буровых станков
экспедиции должен составить 20 самоходных установок УКБ-300/200, из которых 15 должны использоваться для бурения скважин с объемом перевозок 10
км, а остальные — для скважин с объемом перевозок 50 км. Это позволит обеспечить минимальную стоимость бурения всех скважин, равную 310 400 руб.
13
Рис.2.8. Результат вычислений задачи «Составление парка буровых станков»
Оптимальный план не предусматривает использования буровых станков
двух других типов, поскольку это увеличивает стоимость бурения. Если использование каких-то станков в реальных условиях является обязательным, то
это можно учесть в результате включения в исходную модель дополнительных
ограничений снизу на количество станков определенного вида. Пусть, например, количество стационарных буровых станков ЗИФ-650М не может быть
меньше 3. Тогда в исходную модель следует добавить ограничение
и решить задачу заново.
Рис.2.9. Результат вычислений задачи «Составление парка буровых станков»
с дополнительным ограничением
Решение задачи с новыми условиями (рис. 2.9) предусматривает использование станков всех типов. При этом минимальная стоимость работ увеличивается на 7,3%.
Это лишний раз показывает, что к разработке математической модели
любой задачи следует подходить с особой тщательностью. Если какие-то существенные ограничения не включены в модель, то полученное решение может
им не удовлетворять, что потребует пересмотра исходной модели на этапе анализа полученного решения.
14
Планирование нагрузок на лавы угольной шахты
По каждой из четырех лав угольной шахты известны: среднемесячная себестоимость 1 т угля, минимально и максимально возможные нагрузки, а также зольность угля и содержание в нем серы (табл. 2.3).
Таблица 2.3
№ лавы
1
2
3
4
Себестоимость 1 т Зольность
угля, руб.
угля, %
Месячная нагрузка, тыс. т
минимальная
6
8
10
12
максимальная
8
16
18
20
4
3
2,5
2
13
18
16
23
Содержание
серы, %
3
4
5
2
Планирование максимальных нагрузок на все лавы одновременно недопустимо из-за недостаточной пропускной способности подземного транспорта
и подъемного оборудования. С учетом этого месячная добыча шахты должна
составлять 50 000 т. Кроме того, средняя зольность угля и содержание серы в
нем в целом по шахте не должны превышать соответственно 20% и 4 %. Требуется таким образом распределить месячные нагрузки на лавы, чтобы в данных
условиях себестоимость 1 т угля по шахте была минимальной.
Обозначим через искомую величину нагрузки в тыс. т на i-ю лаву, где
. Составим математическую модель задачи.
Целевая функция — себестоимость 1 т угля по шахте
.
Ограничения:
а) по месячной добыче шахты
;
б) по зольности угля
;
в) по содержанию серы в угле
;
г) по допустимым нагрузкам на лавы
.
Отметим, что условия неотрицательности искомых величин автоматически вытекают из последней группы ограничений и поэтому не включены в модель отдельно.
Заполнение таблицы в Excel выполняем по вышеуказанному алгоритму:
1. В ячейках А3:D3 указываем начальные значения величин ;
2. В ячейки А3:D5 вводим коэффициенты ограничений по месячной добыче, по зольности и по содержанию серы;
3. В ячейки А6:D6 вводим величины минимальных нагрузок;
4. В ячейки А7:D7 - величины максимальных нагрузок;
5. В ячейках А8:D8 указываем себестоимость тонны угля для каждой лавы;
15
6. В ячейки Е3:Е5 вводим формулы для расчета левых частей неравенств:
=СУММПРОИЗВ($A$2:$D$2;A3:D3);
=СУММПРОИЗВ($A$2:$D$2;A4:D4);
=СУММПРОИЗВ($A$2:$D$2;A5:D5);
7. В ячейку G2 записываем целевую функцию
=СУММПРОИЗВ(A2:D2;A8:D8)/50 (рис.2.10).
Рис.2.10. Результат ввода данных
Система ограничений не имеет каких-либо особенностей и записывается
обычным образом (рис 2.11).
Рис.2.11. Заполнение диалогового окна Поиск решения
Решение задачи, полученное с помощью Excel (рис.2.12), устанавливает
оптимальный план работ при заданных условиях. Нагрузка на первые две лавы
должна быть минимальной и составлять 6 и 8 тыс. т. соответственно, на лаву №
4 она должна быть максимальной и составлять 20.тыс. т, и на лаву № 3 она
должна составлять промежуточную величину 16 тыс. т. Такой план позволяет
достичь минимальной себестоимости 1 т угля по шахте 2,56 руб. При этом достигнуты следующие показатели: по месячной добыче шахты 50 тыс.т., по золь16
ности угля
, по содержанию серы
Рис. 2.12. Решение задачи планирования нагрузок
Это означает, что выполняются все предусмотренные заданием ограничения по шахте: при 100 %-ном выполнении плана по добыче зольность угля и
содержание серы в нем будут ниже предельно допустимых соответственно на
1,24 и 0,6 %. Что касается самих нагрузок на лавы, то они лежат в допустимых
пределах.
Сравнение получаемых путем таких расчетов показателей с запланированными показателями конкретных шахт показывает, что в некоторых случаях
можно достичь снижения себестоимости на несколько процентов.
Анализ полученного решения показывает, что снижение себестоимости
угля достигается за счет более интенсивных нагрузок на лавы с низкой себестоимостью. Однако необходимость полной отработки шахтного поля вызовет
в последующие периоды времени увеличение нагрузок на лавы с высокой себестоимостью угля. При отсутствии соответствующих организационнотехнических мероприятий это может вызвать в будущем увеличение себестоимости. И хотя даже временное снижение себестоимости угля может оказаться с
экономической точки зрения в некоторых условиях оправданным, это все же
показывает, что данную задачу надо рассматривать в более сложной постановке, учитывая перспективу развития работ на шахте.
Планирование оптимального сочетания систем разработки
Рассмотрим рудник, состоящий из двух участков, на каждом из которых с
учетом горно-геологических условий могут применяться две системы разработки.
Плановым заданием качество руды определено содержанием полезного
компонента в пределах 6,8-7,2 %, а объем добычи должен быть не менее 500
тыс. т. Коэффициенты извлечения руды из недр для систем разработки равны
0,6 и 0,7%. Остальные данные по участкам и системам разработки указаны в
табл. 2.4.
17
Таблица 2.4
№ участка
1
2
Содержание
полезного
компонента, %
6
8
Затраты на добычу (руб/т)
при системах разработки
I
II
3
2,5
2
1,5
Минимальная
добыча, тыс. т
Максимальная
добыча, тыс. т
180
200
320
360
Какими системами разработки на участках можно обеспечить выполнение плановых и технологических ограничений с минимальными суммарными
затратами на добычу?
Обозначим через
искомый объем добычных работ на i-м участке при
использовании j-й системы разработки (
).
Запишем математическую модель задачи.
Целевая функция — суммарные затраты на добычу
.
Ограничения:
а) по плановой добыче
;
б) по качеству руды
в) по общему объему добычи участков с учетом запасов
;
;
г) по неотрицательности искомых объемов добычи
.
После необходимых преобразований ограничение «б» запишем в виде
двух неравенств:
;
.
Заполняем таблицу Excel аналогично алгоритму для решения задачи планирования нагрузок на лавы. Исходная таблица с данными и формулами представлена на рис. 2.13.
Рис.2.13. Заполнение исходных данных
18
В результате получено следующее решение (рис.2.14):
Рис.2.14. Решение задачи оптимального сочетания
Это значит, что и на первом и на втором участках следует применять
только II систему разработки, добывая соответственно по участкам 200 и 300
тыс. т руды. При таком планировании минимальные затраты на добычу составят 950 тыс. руб.
Значения в ячейках F3=500 и F5=0 показывают, что первое и третье ограничения выполняются как равенства, т.е. суммарная добыча составит 500 тыс.т,
а содержание полезного компонента 7,2 %.
Глава 3. Двойственные задачи линейного программирования
Важную роль в теории ЛП играют так называемые двойственные задачи.
Установлено, что с каждой задачей ЛП тесно связана другая, тоже линейная,
причем связь настолько тесная, что зная решение одной из них, можно легко
получить решение другой. Эти задачи получили название двойственных, отношение двойственности взаимно: каждая из них является двойственной по отношению к другой. Неизвестные, получаемые в результате решения двойственной задачи, играют важную роль при экономическом анализе исходной задачи.
Кроме того, на теории двойственности основаны некоторые методы решения,
например, двойственный симплекс-метод.
Рассмотрим в качестве примера задачу распределения ресурсов. Любое
горное предприятие, выпуская продукцию, расходует различные ресурсы: материальные, трудовые и денежные. К материальным ресурсам относятся сырье
и материалы, оборудование и топливо и т. д.
Зная имеющееся в наличии количество ресурса каждого вида, его удельный расход на выпуск продукции каждого вида, а также прибыль от выпуска
единицы продукции, нужно спланировать выпуск продукции, обеспечивающий
получение максимальной прибыли.
Чтобы составить математическую модель задачи, введем обозначения:
т - количество различных видов ресурсов;
i - индекс ресурсов (
);
п - количество различных видов продукции, например сортов угля;
19
j - индекс продукции (
);
- запас ресурса i-го вида, т. е. максимальное количество этого ресурса, которое может быть израсходовано на производство продукции;
- удельный расход i-го ресурса на продукцию j-го вида, т.е. количество единиц данного ресурса, которое затрачивается на производство одной единицы указанной продукции;
- прибыль, получаемая от одной единицы выпускаемой продукции j-го вида.
Величины т, п, ,
,
обычно известны. Обозначим
- количество
продукции j-го вида, планируемое к выпуску. Величины
должны быть подобраны так, чтобы обеспечить получение максимальной прибыли, а расход ресурсов не превышал их запаса. Это приводит к следующей математической задаче. Целевая функция - суммарная прибыль.
(3.1)
Ограничения:
а) по запасам ресурсов
(3.2)
.....................
б) по неотрицательности искомых величин
(3.3)
...
Поставим теперь задачу найти оценки ресурсов, объективно обусловленные для данного производства. Очевидно, что эти оценки должны находиться из условий рентабельности производства. Это означает, что, вопервых, стоимость всех ресурсов должна быть минимальной и, во-вторых,
стоимость всех ресурсов, расходуемых на выпуск единицы продукции, должна
быть не ниже получаемой от нее прибыли.
Если обозначить через оценку i-го ресурса, то указанные соображения
приводят к следующей задаче ЛП. Целевая функция - суммарная стоимость
всех ресурсов:
(3.4)
.
Ограничения:
а) по стоимости ресурсов, затраченных на выпуск единицы продукции
(3.5)
.....................
б) по неотрицательности оценок ресурсов
(3.6)
...
Задача (3.1) — (3.3) называется двойственной по отношению к задаче
(3.4) — (3.6). Отметим следующие особенности двойственной задачи.
20
1. Коэффициентами ее целевой функции служат правые части основных
ограничений исходной задачи.
2. Правыми частями в основных ограничениях двойственной задачи служат коэффициенты целевой функции исходной задачи.
3. Матрица коэффициентов при неизвестных в двойственной задаче представляет собой транспонированную матрицу коэффициентов при неизвестных в
исходной задаче.
4. В исходной задаче целевая функция максимизируется, а в двойственной - минимизируется, причем в основных ограничениях при максимизации
целевой функции будут знаки неравенств «≤», а при минимизации «≥».
5. В обеих задачах присутствуют условия неотрицательности искомых
величин.
Из указанных особенностей следует, что основным ограничениям одной
из двойственных задач ставятся в соответствие искомые величины другой. Поэтому, например, в первом ограничении двойственной задачи участвуют только
коэффициенты при х1 в исходной задаче, во втором ограничении — только коэффициенты при х2 и т. д. Это облегчает написание двойственной задачи.
Например, для задачи ЛП:
;
;
;
двойственной будет задача
;
;
;
;
.
Симметрия двойственных задач нарушается, если в исходной задаче среди ограничений имеются уравнения или некоторые из неизвестных могут принимать значения любого знака. В этом случае при составлении двойственной
задачи руководствуются следующими правилами:
ограничению-равенству исходной задачи в двойственной задаче соответствует переменная любого знака;
переменной любого знака в исходной задаче соответствует ограничениеравенство двойственной задачи.
В остальном действуют те же принципы, что и в симметричном случае.
Например, для задачи
;
;
;
двойственной будет задача
;
21
;
;
;
.
Здесь во втором ограничении двойственной задачи поставлен знак равенства потому, что в исходной задаче переменная х2 — любого знака, а переменная у1 в двойственной задаче может быть любого знака на том основании, что
первое ограничение в исходной задаче является уравнением.
Для канонической задачи ЛП
.....................
...
двойственной является задача
.....................
в которой искомые величины могут быть любого знака.
Рассмотрим некоторые важные результаты, известные в теории двойственных задач.
Пусть
,
обозначают соответственно допустимый и оптимальный планы исходной задачи на максимум, а
,
- то же для двойственной задачи на
минимум. В теории ЛП доказано, что значения целевых функций двойственных
задач для указанных выше планов удовлетворяют условиям:
(3.7)
,
(3.8)
.
В случае задачи распределения ресурсов это интерпретируется следующим образом. Если оценки ресурсов обеспечивают рентабельность производства, то максимальная прибыль от выпуска продукции равна минимальной суммарной оценке всех ресурсов, если же выпуск продукции спланирован не оптимально или оценки ресурсов не являются оптимальными, то получаемая прибыль ниже суммарной оценки ресурсов.
Это означает, что объективно обусловленные условиями производства
оценки
ресурсов, получаемые в результате решения двойственной задачи,
можно использовать в качестве стимула оптимального выпуска продукции,
обеспечивающего получение максимальной прибыли.
В теории двойственности доказано, что если одна из двойственных задач
имеет оптимальный план, то и другая задача разрешима. Из этого следует, что
22
существование оптимальных оценок ресурсов гарантирует и существование оптимального плана выпуска продукции.
Важную роль играют так называемые соотношения дополняющей нежесткости:
(3.9)
(3.10)
которые можно сформулировать следующим образом. Если оптимальный план
удовлетворяет некоторому основному ограничению как строгому неравенству,
т.е. выражение в скобках не равно нулю, то соответствующая переменная двойственной задачи в оптимальном плане равна нулю. Напротив, если в оптимальном плане какая-то переменная положительна, то соответствующее ограничение двойственной задачи выполняется как уравнение для любого ее оптимального плана.
Для выяснения смысла этих утверждений допустим, что
т.е. в оптимальном плане выпуска продукции i-й вид ресурса расходуется не
полностью, тогда из формулы (3.10) следует, что
. Это значит, что оценки недефицитных ресурсов равны нулю. С другой стороны, из условия
следует, что
т.е. соответствующий ресурс расходуется полностью на выпуск продукции и
является дефицитным. Таким образом, из положительности оценок ресурсов
вытекает их дефицитность.
Аналогичное истолкование можно дать и соотношению (3.9).
Действительно, пусть
т. е. суммарная стоимость ресурсов, затраченных на выпуск единицы продукции j-го вида, больше прибыли от ее выпуска, Тогда для обращения в нуль произведения необходимо, чтобы
, что означает нецелесообразность выпуска продукции этого вида. С другой стороны, если
, то
23
Это значит, что для каждой единицы продукции, выпуск которой целесообразен, суммарная оценка израсходованных ресурсов равна получаемой от его
выпуска прибыли.
Отметим еще одну важную роль двойственных оценок. Из формул (3.1),
(3.4), (3.8) следует
(3.11)
Рассматривая запас i-го ресурса как переменную величину, получаем
(3.12)
Это показывает, что оценка
ресурса i-го вида представляет собой скорость возрастания максимальной прибыли при увеличении в некоторых пределах запаса этого ресурса.
Для недефицитного ресурса
, и увеличение его запаса не приводит
к росту прибыли. Напротив, целесообразно стремиться к увеличению в некоторых пределах тех ресурсов, для которых оценки положительны, т.е.
.В
соответствии с формулой (3.12), это вызовет возможность увеличения максимальной прибыли.
Таким образом, объективно обусловленные оценки, являясь стимулом оптимального выпуска продукции при имеющихся запасах ресурсов, в то же время указывают путь к проведению организационных мероприятий, связанных с
приобретением дополнительного количества ресурсов определенного вида.
Кроме получения большой экономической информации, переход к двойственной задаче может оказаться полезным и с точки зрения трудоемкости получаемого решения. Например, если в исходной задаче всего два основных ограничения и больше двух переменных, то целесообразен переход к двойственной
задаче, так как в ней содержатся всего две переменные и ее можно решить графически. Если найдено решение двойственной задачи, то решение исходной задачи можно получить, используя соотношения дополняющей нежесткости.
Трудность решения задач ЛП симплекс-методом в большей степени возрастает с увеличением числа основных ограничений и в меньшей - с увеличением числа переменных. Поэтому, если в исходной задаче количество ограничений велико по сравнению с числом неизвестных, то сначала легче получить
решение двойственной задачи.
Планирование оптимального объема добычи
Три шахты, входящие в объединение, поставляют энергетический и коксующийся угли. Добыча этих видов угля в целом по объединению с учетом
круга потребителей не должна превышать 40 тыс. и 15 тыс. т. соответственно.
Известно, что энергетический уголь в общем объеме добычи по шахтам составляет соответственно 60, 80. и 30 %, а величина прибыли 4,8; 3,2; 4,2 руб. в расчете на 1 т угля.
Требуется определить объемы добычи каждой шахты таким образом,
чтобы обеспечить получение максимальной прибыли по объединению.
24
Составим математическую модель задачи, обозначив через
комые объемы добычи трех шахт.
Целевая функция - суммарная прибыль по объединению.
,
,
- ис-
Ограничения:
а) по добыче энергетического угля
б) по добыче коксующегося угля
в) по неотрицательности искомых величин
.
Пусть - оценка стоимости 1 т энергетического угля, а
- коксующегося. Тогда можно составить следующую двойственную задачу.
Целевая функция - суммарная оценка всего добываемого угля
Ограничения:
а) по рентабельности добычи на каждой шахте
б) по неотрицательности оценок:
Оптимальный план двойственной задачи находим с помощью инструмента Поиск решения. Сначала создаем исходную таблицу, вносим в нее исходные
данные и необходимые формулы (рис.3.1).
Рис.3.1. Ввод исходных данных и формул
Указав в окне параметров соответствующие ограничения, получим решение (рис.3.2).
Рис. 3.2. Решение двойственной задачи
25
Оценки стоимости энергетического и коксующегося углей, объективно
обусловленные для данного объединения, равны соответственно
= 1,6 руб/т,
= 9,6 руб/т. Суммарная минимальная оценка всего добываемого по объединению угля составляет
Решение исходной задачи находим таким же образом (рис.3.3).
Рис. 3.3. Решение исходной задачи
Получаем,
,
,
.
Следовательно, в данных условиях объединению выгодно добывать с
первой и второй шахт соответственно 20 тыс. и 35 тыс. т угля. Вести добычу на
третьей шахте нецелесообразно. Такое планирование позволяет получить объединению максимально возможную прибыль в размере
что совпадает с общей минимальной оценкой добываемого угля и согласуется с
теорией двойственности, подтверждая оптимальность полученных решений
обеих задач.
О неочевидности полученного результата говорит то, что удельная прибыль по третьей шахте выше, чем по второй и, казалось бы, выгоднее планировать добычу не по второй, а по третьей шахте. Однако интуиция здесь подводит. Из полученного решения следует, что любой допустимый в данных условиях вариант плана добычи приведет к меньшей суммарной прибыли по объединению. Это свидетельствует о силе методов линейного программирования,
позволяющих находить иногда неочевидные варианты планирования.
Ненулевые значения полученных оценок угля обоих видов свидетельствуют о том, что они дефицитны: они находят полный сбыт у данного
круга потребителей, обеспечивая их полностью; увеличение спроса в некоторых пределах как на энергетический, так и на коксующийся уголь позволит
увеличить максимальную прибыль объединения.
Пусть, например, потребность в энергетическом угле возрастает на 1000
т. Тогда максимальная прибыль увеличится на
т.е. на
. Прирост на 1000 т потребности в коксующемся угле при
оптимальном планировании добычи вызовет увеличение прибыли по объединению на
, т. е. на
.
Отметим, что если в условиях задачи задать иные соотношения объемов
добычи энергетического и коксующегося углей на шахтах или существенно из26
менить спрос на них, то после решения двойственной задачи одна из оценок
может оказаться равной нулю.
Это будет означать недефицитность спроса для соответствующего вида
углей: увеличение спроса на него не приводит к увеличению прибыли объединения, поскольку уголь и так находит полный сбыт, а потребности данного круга потребителей удовлетворяются не полностью.
Следует отдельно остановиться на том, что в соответствии с полученным
решением, по третьей шахте добыча угля не должна планироваться совсем. Если шахты — проектируемые, то такое решение не вызывает особых возражений, если же шахта — действующая, то это означает ее фактическое закрытие,
что на практике может оказаться неприемлемым с учетом факторов, не принятых во внимание при постановке данной задачи. Это свидетельствует о том,
что получаемые математическими методами решения являются оптимальными
только в пределах условий рассмотренных при постановке задачи.
Таким образом, возможный недостаток полученного решения свидетельствует не о слабости методов линейного программирования, а о том, что постановке задачи не было уделено необходимого внимания.
Глава 4. Транспортная задача
При планировании объемов перевозок, определении загрузки оборудования, распределении трудовых ресурсов, построении сетей вскрывающих и подготовительных выработок и при решении других задач горного производства
возникает одна из типичных задач линейного программирования, которую относят к классу транспортных задач. В одних случаях это означает определение
такого плана перевозок, при котором стоимость последних была бы минимальна, а в других более важным является выигрыш во времени. Первая задача получила название транспортной задачи по критерию стоимости, а вторая транспортной задачи по критерию времени.
Транспортная задача является частным случаем задачи линейного программирования и может быть решена симплексным методом. Однако в силу
особенностей переменных этой задачи для ее решения разработаны специальные методы. Наиболее применяемым является метод потенциалов.
Пусть в р пунктах отправления находятся соответственно a1, а2, ... , ар
единиц однородного груза, который должен быть доставлен q потребителям в
количествах b1, b2, ... bq единиц. Заданы стоимости сik перевозок единицы груза
из i-го пункта отправления k-му пункту потребления. Обозначим через хik (i = l,
2,...,р; k = 1, 2, ... , q) количество единиц груза, перевозимого из i-го склада k-му
потребителю. Переменные хik должны удовлетворять следующим ограничениям:
а)
(4.1)
27
б)
(4.2)
в)
(4.3)
Суммарные затраты на перевозки равны
Следовательно, требуется найти pq переменных
, удовлетворяющих
указанным условиям и минимизирующих целевую функцию L.
Решение такой задачи разбивается на два этапа:
1) определение допустимого исходного базисного решения;
2) построение последовательных итераций,
т.е. приближение к оптимальному решению.
В рассматриваемой задаче предполагается, что сумма запасов равна сумме потребностей:
Такая задача называется закрытой. Если это условие не выполняется, то
задача называется открытой. Для сведения открытой задачи к закрытой вводится или фиктивный пункт отправления или фиктивный пункт потребления.
Определение допустимого исходного базисного решения
Пусть исходные данные задачи занесены в таблицу (табл. 4.1). Наиболее
простым из методов построения допустимого исходного базисного решения является метод северо-западного угла.
Таблица 4.1
bk
b1
аi
a1
c11
a2
x11
c21
c22
x22
....

аi
c12 ..
x12
x21
....
ci1
xi1
xi2
....
cp1
xp1
...
...
...
x1k
c2k
x2k
....
xp2
...
...
...

cik
xik

cp2
.
bk
c1k ..

ci2

аp
.
b2
...

cpk
xpk
...
bq
c1q
x1q
c2q
x2q
....
ciq
xiq
....
cpq
xpq
Заполним таблицу, начиная с левого верхнего угла, двигаясь далее или по
строке вправо, или по столбцу вниз. В клетку (1, 1) занесем меньшее из чисел а1
и b1, т.е. x11 = min{а1, b1}.
28
Если а1 > b1, то x11 = b1 и первый столбец «закрыт», т.е. потребности первого потребителя удовлетворены полностью. Двигаемся далее по первой строке, записывая в соседнюю клетку (1, 2) меньшее из чисел а1 - b1 и b2, т.е. . x12 =
min{ а1 - b1 , b2}.
Если же b2 > a1, то аналогично «закрывается» первая строка и далее переходим к заполнению соседней клетки (2, 1), куда заносим x21 = min{а2, b1-a1}.
Будем продолжать этот процесс до тех пор, пока на каком-то этапе не исчерпываются ресурсы ар и потребности bq.
Число базисных переменных транспортной задачи равно рангу системы
уравнений (4.1), (4.2): r = p + q - 1. Значит, мы должны заполнить p + q – 1 клеток таблицы. Метод северо-западного угла дает допустимое базисное решение,
если на каждом шаге заполнения из рассмотрения выпадает или одна строка,
или один столбец.
Иногда на некотором шаге из рассмотрения выпадают одновременно и
строка и столбец. Допустим, что после заполнения клетки (i, k) из рассмотрения
выпадает i-ая строка и k-ый столбец. Для того чтобы получаемое распределение
перевозок было допустимым, следует поместить фиктивную (нулевую) перевозку или в клетку (i+1, k), или в клетку (i, k+1).
Допустимое базисное решение, достаточно близкое к оптимальному,
можно построить с помощью метода минимальной стоимости.
Сначала заполняется клетка таблицы, соответствующая минимальной
стоимости
, и исключается из рассмотрения только одна строка или
один столбец. Остальные клетки заполняют аналогично методу северозападного угла. Поставщик исключается из рассмотрения, если его ресурсы использованы полностью. Потребитель исключается из рассмотрения, когда его
запросы полностью удовлетворены. На каждом шаге исключается либо один
поставщик, либо один потребитель. При этом если поставщик еще не исключен, но его запасы равны нулю, то на том шаге, когда требуется поставить груз
от данного поставщика, в соответствующую клетку таблицы записывают базисный нуль, и лишь затем поставщик исключается из рассмотрения. Аналогично поступают и с потребителем.
Построение последовательных итераций
Получив допустимое исходное базисное решение, перейдем теперь к построению новых базисных решений, улучшающих друг друга: для этого применим метод потенциалов.
Итак, после построения исходного опорного решения все переменные
разбиты на две группы: хjl - базисные и хik - свободные; линейная функции
стоимости перевозок выразится через свободные переменные так:
(4.4)
Для нахождения коэффициентов
при свободных переменных, сопоставим каждому пункту отправления аi некоторую величину ui (i=1, 2, ... , p), ко29
торую назовем потенциалом пункта аi, и каждому пункту назначения bk величину vk - потенциал пункта bk. Свяжем эти величины равенством
(4.5)
где
- стоимость перевозки одной единицы груза из пункта аi в пункт bk.
Доказано, что совокупность уравнений (4.5), составленных для всех базисных переменных, является совместной системой линейных уравнений, причем значение одной из переменных можно задавать произвольно, и тогда значения остальных переменных находятся из системы однозначно.
Обозначим для свободных переменных сумму соответствующих потенциалов через
, т.е.
(4.6)
и назовем ее косвенной стоимостью (в отличие от данной стоимости ). Тогда
коэффициенты при свободных переменных в соотношении (4.4) определяются с
помощью равенства
(4.7)
Если значения всех величин
неотрицательны, то исходное решение
является оптимальным. Если же среди них имеются отрицательные, то переходим к следующему базису путем перемещения перевозки в клетку, где величина
максимальна.
Перемещение производится так, что по отношению к выбранной клетке
образуется замкнутая ломаная, называемая циклом пересчета. Одна из вершин
цикла находится в выбранной свободной клетке, другие – в заполненных. В каждой вершине ломаной встречаются два звена, одно из которых располагается
по строке, другое – по столбцу. Далее каждой клетке в цикле поочередно присваиваются знаки «+» и «-», начиная со свободной. Перевозка, перемещаемая
по циклу, равна минимуму среди клеток со знаком «-».
Иногда перевозка, перемещаемая по циклу, может оказаться равной нулю. В таком случае по циклу передается нулевая перевозка, и тогда свободная
клетка становится занятой нулевой перевозкой, а клетка с нулевой перевозкой –
свободной. Если при перемещении перевозки по циклу образуется нуль сразу в
нескольких заполненных клетках, то свободной из них следует считать только
одну (любую), остальные клетки (из обнулившихся) следует считать заполненными нулевой перевозкой.
Таким образом, правила вычислений по методу потенциалов сводятся к
следующему:
1.
Находят потенциалы ui и vk всех пунктов отправления аi и потребления bk на основе равенства (4.5).
2.
Полученный план перевозок считают оптимальным, если для всех
свободных переменных (клеток) выполняется условие
.
(4.8)
3.
Если план неоптимальный, то выбирают свободную переменную,
для которой величина
максимальна, это соответствует элементу с
наибольшим отрицательным коэффициентом при свободной переменной в правой части функции L.
30
4.
Для выбранной в п.3 переменной находят соответствующий ей цикл
пересчета и производят перемещение по этому циклу. Это перемещение приводит к новому допустимому решению.
5.
Вышеуказанные операции 1-4 повторяют до тех пор, пока не получат оптимальный базис, т.е. неотрицательные коэффициенты при свободных
переменных в правой части линейной функции L.
Планирование объемов перевозок
Три шахты поставляют на обогатительные фабрики уголь одной марки. Объем суточной добычи шахт, суточная мощность фабрик и стоимость транспортирования 1 т угля представлены в таблице 4.2.
Таблица 4.2
Исходные данные
Фабрики
Шахты
Добыча
1
2
3
4
1
3
5
6
2
170
2
6
4
7
5
250
3
5
4
6
5
180
Мощность
150
230
160
60
600
Требуется составить такой план перевозок, чтобы обеспечить минимум общей суммы транспортных расходов.
Аналитический метод решения
Данная задача закрытого типа, так как сумма запасов равна сумме спроса:
Целевая функция будет иметь следующий вид:
Построим допустимое исходное базисное решение по методу северозападного угла (табл.4.3).
Таблица 4.3
Базисное решение. Целевая функция
Фабрики
1
2
3
4
Шахты
Добыча
3 -
1
2
3
Мощность
150
5
20
6 +
2
8
4 -
210
4 +
5
1
40
3
150
120
160
230
31
6 +
7
7
6
2
6 -
5
5
60
60
170
250
180
600
На основе равенства (4.5) составим систему для вычисления потенциалов
и :
Присвоим первому поставщику потенциал
. Тогда
,
,
,
,
. Найденные значения потенциалов и значения величин
запишем в таблицу 4.3 с исходным базисным решением
Проверим имеющийся план перевозок на оптимальность с помощью условия (4.8). Для удобства запишем
в виде матрицы
.
Очевидно, что исходное решение не является оптимальным, так как среди
имеются отрицательные. Для улучшения плана необходимо переместить перевозку в клетку, где разность
максимальна, т.е. в клетку (1;4). Пометим ее знаком «+» и построим для нее цикл пересчета. В клетках со знаком «-»
минимальное число перевозок равно 20. Это число и перемещаем по циклу. Результат заносим в новую таблицу 4.4.
Таблица 4.4
Итерация 1. Целевая функция
Фабрики
1
2
3
4
Шахты
Добыча
-
1
0
150
3
6
2
7
3
+
6
Мощность
6 +
5
3
20
4
230
5
7
20
150
140
160
230
5
6
6 -
4
3
2
5
40
60
170
250
180
600
Матрица коэффициентов
.
Здесь также имеются отрицательные элементы. Поскольку все они равны,
то выберем одну из клеток с меньшей стоимостью перевозки. Например, клетку
(3;1), и составим для нее цикл пересчета. Результаты в табл. 4.5.
32
Таблица 4.5
Итерация 2. Целевая функция
Фабрики
1
2
3
Шахты
3
1
5
1
110
230
5
Мощность
7
4
6
5
4
140
160
230
5
5
20
3
40
150
2
60
4
6
3
6
4
6
2
Добыча
4
60
170
250
180
600
Матрица коэффициентов
.
В матрице оценок для последней итерации нет отрицательных элементов.
Это значит, что полученное распределение перевозок оптимальное.
Построим допустимое исходное базисное решение по методу минимальной стоимости и рассчитаем потенциалы (табл.4.6).
Таблица 4.6
Базисное решение. Целевая функция
Фабрики
1
2
3
4
Шахты
Добыча
1
110
2
3
5
2
6 +
5
4 -
5
90
5 -
3
Мощность
40
150
140
230
6
2
60
7
4
160
4 +
7
5
6
5
4
160
60
170
250
180
600
Матрица коэффициентов
.
Здесь только один отрицательный элемент в клетке (3;3). Нетрудно видеть, что после перемещения перевозок по циклу, получится то же самое решение, которое было получено выше (табл.4.5).
33
Метод решения средствами Excel
Оптимальный план перевозок в табличном процессоре Excel найдем также с помощью надстройки «Поиск решения». Главное отличие этого метода в
том, что не нужно находить базисное решение.
1. Для выполнения расчетов создадим две отдельных матрицы (рис.4.1).
В ячейках B4:E6 будет отображаться искомый план перевозок, а в
ячейках B13:E15 запишем стоимости перевозок .
2. В ячейки F4:F6 запишем условия (4.1).
3. В ячейки G4:G6 запишем значения объемов добычи.
4. В ячейки B7:E7 запишем условия (4.2).
5. В ячейки B8:E8 запишем значения мощностей.
6. В ячейку F8 запишем сумму мощностей обогатительных фабрик. В
ячейку G7 – сумму объемов суточной добычи шахт. Равенство значений подтверждает, что данная задача закрытого типа.
7. В ячейку F11 запишем целевую функцию
=СУММПРОИЗВ(B4:E6;B13:E15)
Рис.4.1. Исходный вид транспортной задачи с формулами
8. Далее открываем диалоговое окно Поиск решения (рис.4.2), в котором
указываем необходимые параметры. Чтобы значение целевой функции было минимальным, установим переключатель в положение Минимум. В поле Изменяя ячейки переменных вводим матрицу плана перевозок. В следующем поле указываем соответствующие ограничения.
В поле Выберите метод решения можно выбрать или нелинейный метод
обобщенного понижающего градиента (ОПГ) или симплекс-метод.
Так как наша задача относится к линейным, то выбираем метод решения симплекс-методом и нажимаем кнопку Найти решение.
34
Рис.4.2. Параметры поиска решения транспортной задачи
9. После окончания работы программы откроется окно результатов, в
котором будет предложено сохранить результат или вернуться в предыдущее окно.
Рис.4.3. Решение симплекс-методом
35
При выборе симплекс-метода получаем план, который отличается от того,
который был получен аналитическим методом, но также отвечающий условиям
оптимальности (рис.4.3). При выборе метода ОПГ получим решение, которое
совпадает с аналитическим решением (рис.4.4). В обоих случаях минимальные
транспортные издержки составят 2550 денежных единиц, что на 5% меньше,
чем по базисному плану.
Рис.4.4. Решение по методу ОПГ
Часто при решении горно-экономических задач встречается ограничение
пропускной способности маршрутов, особенно при синтезе горных выработок.
Предположим, что по маршруту 2-2 можно перевезти не более 100 т. В этом
случае решение задачи с помощью Excel легко получить, добавив дополнительное ограничение, что значение в ячейке С5 меньше или равно 100. Полученное при этом условии решение (рис.4.5) отличается возросшей величиной
транспортных издержек. Это подтверждает важный принцип оптимизации: дополнительные ограничения, влекущие за собой изменение плана, всегда приводят к ухудшению оптимального решения задачи. Это же касается и случаев волевого принятия решений типа обязательных поставок.
Рис.4.5. Решение задачи с ограничением пропускной способности
Многоэтапные транспортные задачи
При планировании перевозок в ряде случаев возникает необходимость
доставки груза через перевалочные пункты. Предполагается при этом, что часть
груза может доставляться непосредственно на конечные пункты - потребителю.
Перевалочные пункты имеют ограниченную пропускную способность, которая
может быть как меньше, так и больше мощности поставщиков.
36
Методику решения задачи рассмотрим на следующем примере. Пусть на
карьере имеется три вскрышных забоя, откуда порода автотранспортом может
доставляться либо непосредственно в отвалы, либо на два перевалочных пункта. От этих пунктов конвейерным транспортом порода доставляется в те же отвалы (рис. 4.6). Известна стоимость транспортирования 1 м3 вскрышных пород
автомобильным и конвейерным транспортом. Необходимо составить такой
план перевозок, чтобы суммарная стоимость доставки породы в отвалы была
минимальна.
Рис.4.6. Схема транспортирования вскрышных пород
Таблица 4.7
Исходные данные
Пункты назначения
1
2
3
4
Пункты
отправления
Перевалочный Перевалочный Отвал Отвал
пункт №4
пункт №7
№5
№6
Забой №1
1
6
8
10
25
Забой №2
2
7
6
18
21
Забой №3
3
10
4
30
26
Перевалочный
4
0
М
6
М
пункт №4
Перевалочный
5
М
0
М
5
пункт №7
Объемы
6000
6000
7000
8000
37
Объемы
4200
2500
4200
6000
6000
В данной задаче перевалочные пункты выполняют двойную роль, поскольку они являются как пунктами назначения, так и пунктами отправления.
Объемы суточных перевозок, пропускная способность перевалочных пунктов и
стоимость транспортирования 1 м3 пород приведены в табл. 4.7. Из таблицы
видно, что суммарная пропускная способность перевалочных пунктов и приемная способность отвалов больше суммарной производительности вскрышных
забоев. По условию задачи между перегрузочным пунктом № 4 и пунктом № 7
перевозки не осуществляются, поэтому оценки соответствующих клеток
принимаются равными М (сколь угодно большому числу). Перевалочный пункт
№ 4 связан с отвалом № 5, а перевалочный пункт № 7 - с отвалом № 6, поэтому
для маршрутов 4-4 и 5-3 также введены оценки, равные М. Очевидно, что данная задача относится к открытым транспортным задачам, и для нее должен
быть добавлен фиктивный поставщик с мощностью 4100 м3,
Поскольку перевалочные пункты выполняют роль и поставщиков и потребителей, то стоимость перевозок из перевалочного пункта до него же должна быть равна нулю. Это реализовано нулевыми оценками стоимости перевозок
в клетках (4,1) и (5,2). По этой же причине задача является вырожденной.
Решение задачи найдем с помощью Excel. Для этого выполним действия,
аналогичные приведенным выше. В качестве сколь угодно большого числа М
примем 1010. Стоимости перевозок от фиктивного поставщика равны нулю. На
рис.4.7 приведен полученный оптимальный план перевозок.
Рис.4.7. Решение многоэтапной транспортной задачи
38
Проанализируем полученное решение. Из забоя № 1 вся порода направляется в отвал № 5, так как непосредственное транспортирование из забоя в отвал обходится дешевле (10 ден.ед. за 1 м3), чем через перевалочный пункт № 4
(12 ден.ед. за 1 м3). Из забоя № 2 700 м3 породы направляется на перевалочный
пункт № 4, а остальные 1800 м3 - на перевалочный пункт № 7. Из забоя № 3 вся
порода направляется на перегрузку в пункт № 7. Таким образом, пропускная
способность перевалочного пункта № 7 используется полностью, а № 4 - частично. В отвал № 5 направляется 4900, а в отвал № 6 - 6000 м3 породы. Груз,
сосредоточенный в строке фиктивного поставщика, соответствует резерву приемной способности отвалов. Объем перевозок, помещенный в клетке (4,1), показывает, что пропускная способность перевалочного пункта № 4 в сутки недоиспользуется на 5300 м3.
Транспортная задача в условиях карьера имеет существенную особенность. Расстояния перевозок грузов из забоев, определяющие целевую функцию, изменяются с довольно значительной скоростью (скорость подвигания забоев). Использование в модели средних расстояний значительно упрощает задачу, однако при этом важен выбор периода, для которого решается задача.
Очевидно, что таким периодом должен быть максимальный для заданных технологических условий срок, в течение которого величина изменения расстояния транспортирования не выходит за пределы установленной точности (например, 10%). Анализ соотношения указанных величин позволяет сделать следующие рекомендации [5]:
1. Для одного карьера, когда в качестве пунктов погрузки рассматриваются отдельные забои, целесообразно решать задачу на неделю или декаду.
2. Для группы карьеров, имеющих общую транспортную сеть, задача может решаться на период от месяца до одного года.
Решение задачи при оперативной организации производства нецелесообразно, за исключением случаев, когда меняется число и расположение пунктов
погрузки и приема грузов.
Рассмотренные частные особенности транспортной задачи, а также ряд
других особенностей, связанных с условиями горного производства, предопределяют следующие разновидности задачи:
а) перевозки между отдельными пунктами предопределены (например,
руду данного сорта принимает только определенный потребитель);
б) отдельные перевозки запрещены (некоторые потребители по технологическим условиям не могут принимать сырье определенного качества или
данные перевозки не могут быть осуществлены по техническим причинам);
в) перевозят взаимозаменяемые продукты разного качества (например,
уголь различных сортов) - всем потребителям или части;
г) некоторые потребители принимают груз от какого-либо поставщика в
ограниченных количествах (например, в связи с недостаточной приемной способностью конечных пунктов);
д) при перевозке груз проходит промежуточную переработку (перегрузка,
предварительное дробление и т.д.).
39
В качестве критерия оптимальности в задачах оптимизации технологических транспортных связей может фигурировать время, т.е. задача может заключаться в минимизации времени всех перевозок. Такие задачи возможны при
авариях, на строительстве особо важных объектов и т.д.
Решения конкретных производственных задач показывают, что применение соответствующих математических моделей способствует улучшению результатов при распределении карьерных грузов на 10-15%, а иногда до 20%.
Поэтому при планировании работы даже достаточно простых систем не следует
пренебрегать исследованием грузопотоков на оптимальность и соответствующей организацией грузоперевозок.
40
Глава 8. Варианты индивидуальных заданий
Задача 1. Расчет оптимального плана снабжения производства
Вариант 1.
Две шахты поставляют коксохимическому заводу коксующийся уголь.
Данные о качестве угля, выходе концентрата, максимально возможных поставках и удельных затратах на добычу и доставку указаны в таблице.
Содержание, %
№ шахты
золы
серы
Выход концентрата, %
Максимальная
величина поставок, т/сут
Затраты на добычу и
доставку 1 т угля, у.е.
1
2
14
2
80
1800
14
20
0,8
60
2500
10
Составить план снабжения завода коксующимся углем, который при минимальных суммарных затратах на его добычу и доставку удовлетворяет следующим требованиям: количество золы должно быть не более 700 т/сут, серы –
не более 52 т/сут, выход концентрата - не менее 2400 т/сут.
Вариант 2.
Две шахты поставляют коксохимическому заводу коксующийся уголь.
Данные о качестве угля, выходе концентрата, максимально возможных поставках и удельных затратах на добычу и доставку указаны в таблице.
Содержание, %
№ шахты
золы
серы
Выход концентрата, %
Максимальная
величина поставок, т/сут
Затраты на добычу и
доставку 1 т угля, у.е.
1
2
14
1,5
80
1900
14
20
0,9
64
2500
10
Составить план снабжения завода коксующимся углем, который при минимальных суммарных затратах на его добычу и доставку удовлетворяет следующим требованиям: количество золы должно быть не более 690 т/сут, серы –
не более 51 т/сут, выход концентрата - не менее 2450 т/сут.
Вариант 3.
Две шахты поставляют коксохимическому заводу коксующийся уголь.
Данные о качестве угля, выходе концентрата, максимально возможных поставках и удельных затратах на добычу и доставку указаны в таблице.
Содержание, %
№ шахты
золы
серы
Выход концентрата, %
1
2
Максимальная
величина поставок, т/сут
Затраты на добычу и
доставку 1 т угля, у.е.
16
1,3
80
2100
14
20
0,8
60
2500
10
Составить план снабжения завода коксующимся углем, который при минимальных суммарных затратах на его добычу и доставку удовлетворяет следующим требованиям: количество золы должно быть не более 680 т/сут, серы –
не более 50 т/сут, выход концентрата - не менее 2500 т/сут.
41
Вариант 4.
Две шахты поставляют коксохимическому заводу коксующийся уголь.
Данные о качестве угля, выходе концентрата, максимально возможных поставках и удельных затратах на добычу и доставку указаны в таблице.
Содержание, %
№ шахты
золы
серы
Выход концентрата, %
Максимальная
величина поставок, т/сут
Затраты на добычу и
доставку 1 т угля, у.е.
1
2
17
1,2
76
2200
13
20
0,8
60
2500
10
Составить план снабжения завода коксующимся углем, который при минимальных суммарных затратах на его добычу и доставку удовлетворяет следующим требованиям: количество золы должно быть не более 670 т/сут, серы –
не более 49 т/сут, выход концентрата - не менее 2550 т/сут.
Вариант 5.
Две шахты поставляют коксохимическому заводу коксующийся уголь.
Данные о качестве угля, выходе концентрата, максимально возможных поставках и удельных затратах на добычу и доставку указаны в таблице.
Содержание, %
№ шахты
золы
серы
Выход концентрата, %
Максимальная
величина поставок, т/сут
Затраты на добычу и
доставку 1 т угля, у.е.
1
2
14
2
80
1800
14
18
1,1
72
2300
12
Составить план снабжения завода коксующимся углем, который при минимальных суммарных затратах на его добычу и доставку удовлетворяет следующим требованиям: количество золы должно быть не более 720 т/сут, серы –
не более 54 т/сут, выход концентрата - не менее 2300 т/сут.
Вариант 6.
Две шахты поставляют коксохимическому заводу коксующийся уголь.
Данные о качестве угля, выходе концентрата, максимально возможных поставках и удельных затратах на добычу и доставку указаны в таблице.
Содержание, %
№ шахты
золы
серы
Выход концентрата, %
1
2
Максимальная
величина поставок, т/сут
Затраты на добычу и
доставку 1 т угля, у.е.
14
2
80
1800
14
19
1
68
2400
11
Составить план снабжения завода коксующимся углем, который при минимальных суммарных затратах на его добычу и доставку удовлетворяет следующим требованиям: количество золы должно быть не более 710 т/сут, серы –
не более 53 т/сут, выход концентрата - не менее 2350 т/сут.
42
Вариант 7.
Две шахты поставляют коксохимическому заводу коксующийся уголь.
Данные о качестве угля, выходе концентрата, максимально возможных поставках и удельных затратах на добычу и доставку указаны в таблице.
Содержание, %
№ шахты
золы
серы
Выход концентрата, %
Максимальная
величина поставок, т/сут
Затраты на добычу и
доставку 1 т угля, у.е.
1
2
14
1,4
72
1800
13
20
0,8
60
2500
10
Составить план снабжения завода коксующимся углем, который при минимальных суммарных затратах на его добычу и доставку удовлетворяет следующим требованиям: количество золы должно быть не более 720 т/сут, серы –
не более 53 т/сут, выход концентрата - не менее 2350 т/сут.
Вариант 8.
Две шахты поставляют коксохимическому заводу коксующийся уголь.
Данные о качестве угля, выходе концентрата, максимально возможных поставках и удельных затратах на добычу и доставку указаны в таблице.
Содержание, %
№ шахты
золы
серы
Выход концентрата, %
Максимальная
величина поставок, т/сут
Затраты на добычу и
доставку 1 т угля, у.е.
1
2
15
1,3
68
1900
12
20
1
72
2100
12
Составить план снабжения завода коксующимся углем, который при минимальных суммарных затратах на его добычу и доставку удовлетворяет следующим требованиям: количество золы должно быть не более 710 т/сут, серы –
не более 52 т/сут, выход концентрата - не менее 2400 т/сут.
Вариант 9.
Две шахты поставляют коксохимическому заводу коксующийся уголь.
Данные о качестве угля, выходе концентрата, максимально возможных поставках и удельных затратах на добычу и доставку указаны в таблице.
Содержание, %
№ шахты
золы
серы
Выход концентрата, %
1
2
Максимальная
величина поставок, т/сут
Затраты на добычу и
доставку 1 т угля, у.е.
16
1,2
64
2000
11
19
1,1
76
2000
13
Составить план снабжения завода коксующимся углем, который при минимальных суммарных затратах на его добычу и доставку удовлетворяет следующим требованиям: количество золы должно быть не более 700 т/сут, серы –
не более 51 т/сут, выход концентрата - не менее 2450 т/сут.
43
Вариант 10.
Две шахты поставляют коксохимическому заводу коксующийся уголь.
Данные о качестве угля, выходе концентрата, максимально возможных поставках и удельных затратах на добычу и доставку указаны в таблице.
Содержание, %
№ шахты
золы
серы
Выход концентрата, %
Максимальная
величина поставок, т/сут
Затраты на добычу и
доставку 1 т угля, у.е.
1
2
14
2
80
1800
14
18
1,2
80
1900
14
Составить план снабжения завода коксующимся углем, который при минимальных суммарных затратах на его добычу и доставку удовлетворяет следующим требованиям: количество золы должно быть не более 690 т/сут, серы –
не более 50 т/сут, выход концентрата - не менее 2500 т/сут.
Вариант 11.
Две шахты поставляют коксохимическому заводу коксующийся уголь.
Данные о качестве угля, выходе концентрата, максимально возможных поставках и удельных затратах на добычу и доставку указаны в таблице.
Содержание, %
№ шахты
золы
серы
Выход концентрата, %
Максимальная
величина поставок, т/сут
Затраты на добычу и
доставку 1 т угля, у.е.
1
2
14
1,4
80
1900
14
20
0,8
60
2500
10
Составить план снабжения завода коксующимся углем, который при минимальных суммарных затратах на его добычу и доставку удовлетворяет следующим требованиям: количество золы должно быть не более 680 т/сут, серы –
не более 49 т/сут, выход концентрата - не менее 2550 т/сут.
Вариант 12.
Две шахты поставляют коксохимическому заводу коксующийся уголь.
Данные о качестве угля, выходе концентрата, максимально возможных поставках и удельных затратах на добычу и доставку указаны в таблице.
Содержание, %
№ шахты
золы
серы
Выход концентрата, %
1
2
Максимальная
величина поставок, т/сут
Затраты на добычу и
доставку 1 т угля, у.е.
15
1,3
76
2000
13
20
0,9
60
2500
9
Составить план снабжения завода коксующимся углем, который при минимальных суммарных затратах на его добычу и доставку удовлетворяет следующим требованиям: количество золы должно быть не более 670 т/сут, серы –
не более 54 т/сут, выход концентрата - не менее 2300 т/сут.
44
Вариант 13.
Две шахты поставляют коксохимическому заводу коксующийся уголь.
Данные о качестве угля, выходе концентрата, максимально возможных поставках и удельных затратах на добычу и доставку указаны в таблице.
Содержание, %
№ шахты
золы
серы
Выход концентрата, %
Максимальная
величина поставок, т/сут
Затраты на добычу и
доставку 1 т угля, у.е.
1
2
14
1,2
80
1900
14
20
0,9
60
2500
11
Составить план снабжения завода коксующимся углем, который при минимальных суммарных затратах на его добычу и доставку удовлетворяет следующим требованиям: количество золы должно быть не более 720 т/сут, серы –
не более 52 т/сут, выход концентрата - не менее 2400 т/сут.
Вариант 14.
Две шахты поставляют коксохимическому заводу коксующийся уголь.
Данные о качестве угля, выходе концентрата, максимально возможных поставках и удельных затратах на добычу и доставку указаны в таблице.
Содержание, %
№ шахты
золы
серы
Выход концентрата, %
Максимальная
величина поставок, т/сут
Затраты на добычу и
доставку 1 т угля, у.е.
1
2
15
2
80
1800
14
20
0,8
60
2500
10
Составить план снабжения завода коксующимся углем, который при минимальных суммарных затратах на его добычу и доставку удовлетворяет следующим требованиям: количество золы должно быть не более 710 т/сут, серы –
не более 51 т/сут, выход концентрата - не менее 2450 т/сут.
Вариант 15.
Две шахты поставляют коксохимическому заводу коксующийся уголь.
Данные о качестве угля, выходе концентрата, максимально возможных поставках и удельных затратах на добычу и доставку указаны в таблице.
Содержание, %
№ шахты
золы
серы
Выход концентрата, %
1
2
Максимальная
величина поставок, т/сут
Затраты на добычу и
доставку 1 т угля, у.е.
16
0,9
80
1700
15
20
0,8
60
2500
10
Составить план снабжения завода коксующимся углем, который при минимальных суммарных затратах на его добычу и доставку удовлетворяет следующим требованиям: количество золы должно быть не более 700 т/сут, серы –
не более 50 т/сут, выход концентрата - не менее 2500 т/сут.
45
Вариант 16.
Две шахты поставляют коксохимическому заводу коксующийся уголь.
Данные о качестве угля, выходе концентрата, максимально возможных поставках и удельных затратах на добычу и доставку указаны в таблице.
Содержание, %
№ шахты
золы
серы
Выход концентрата, %
Максимальная
величина поставок, т/сут
Затраты на добычу и
доставку 1 т угля, у.е.
1
2
16
1,2
72
2100
12
19
0,8
65
2500
10
Составить план снабжения завода коксующимся углем, который при минимальных суммарных затратах на его добычу и доставку удовлетворяет следующим требованиям: количество золы должно быть не более 690 т/сут, серы –
не более 49 т/сут, выход концентрата - не менее 2550 т/сут.
Вариант 17.
Две шахты поставляют коксохимическому заводу коксующийся уголь.
Данные о качестве угля, выходе концентрата, максимально возможных поставках и удельных затратах на добычу и доставку указаны в таблице.
Содержание, %
№ шахты
золы
серы
Выход концентрата, %
Максимальная
величина поставок, т/сут
Затраты на добычу и
доставку 1 т угля, у.е.
1
2
14
2
80
1800
13
20
0,8
60
2500
10
Составить план снабжения завода коксующимся углем, который при минимальных суммарных затратах на его добычу и доставку удовлетворяет следующим требованиям: количество золы должно быть не более 680 т/сут, серы –
не более 54 т/сут, выход концентрата - не менее 2300 т/сут.
Вариант 18.
Две шахты поставляют коксохимическому заводу коксующийся уголь.
Данные о качестве угля, выходе концентрата, максимально возможных поставках и удельных затратах на добычу и доставку указаны в таблице.
Содержание, %
№ шахты
золы
серы
Выход концентрата, %
1
2
Максимальная
величина поставок, т/сут
Затраты на добычу и
доставку 1 т угля, у.е.
14
2
80
1800
14
19
0,9
60
2400
12
Составить план снабжения завода коксующимся углем, который при минимальных суммарных затратах на его добычу и доставку удовлетворяет следующим требованиям: количество золы должно быть не более 670 т/сут, серы –
не более 53 т/сут, выход концентрата - не менее 2350 т/сут.
46
Вариант 19.
Две шахты поставляют коксохимическому заводу коксующийся уголь.
Данные о качестве угля, выходе концентрата, максимально возможных поставках и удельных затратах на добычу и доставку указаны в таблице.
Содержание, %
№ шахты
золы
серы
Выход концентрата, %
Максимальная
величина поставок, т/сут
Затраты на добычу и
доставку 1 т угля, у.е.
1
2
15
2
75
1800
16
20
0,7
60
2600
10
Составить план снабжения завода коксующимся углем, который при минимальных суммарных затратах на его добычу и доставку удовлетворяет следующим требованиям: количество золы должно быть не более 720 т/сут, серы –
не более 51 т/сут, выход концентрата - не менее 2450 т/сут.
Вариант 20.
Две шахты поставляют коксохимическому заводу коксующийся уголь.
Данные о качестве угля, выходе концентрата, максимально возможных поставках и удельных затратах на добычу и доставку указаны в таблице.
Содержание, %
№ шахты
золы
серы
Выход концентрата, %
Максимальная
величина поставок, т/сут
Затраты на добычу и
доставку 1 т угля, у.е.
1
2
14
2
80
1800
12
19
0,8
60
2400
11
Составить план снабжения завода коксующимся углем, который при минимальных суммарных затратах на его добычу и доставку удовлетворяет следующим требованиям: количество золы должно быть не более 710 т/сут, серы –
не более 50 т/сут, выход концентрата - не менее 2500 т/сут.
Вариант 21.
Две шахты поставляют коксохимическому заводу коксующийся уголь.
Данные о качестве угля, выходе концентрата, максимально возможных поставках и удельных затратах на добычу и доставку указаны в таблице.
Содержание, %
№ шахты
золы
серы
Выход концентрата, %
1
2
Максимальная
величина поставок, т/сут
Затраты на добычу и
доставку 1 т угля, у.е.
16
2,1
80
1900
14
18
0,8
65
2500
10
Составить план снабжения завода коксующимся углем, который при минимальных суммарных затратах на его добычу и доставку удовлетворяет следующим требованиям: количество золы должно быть не более 700 т/сут, серы –
не более 49 т/сут, выход концентрата - не менее 2550 т/сут.
47
Вариант 22.
Две шахты поставляют коксохимическому заводу коксующийся уголь.
Данные о качестве угля, выходе концентрата, максимально возможных поставках и удельных затратах на добычу и доставку указаны в таблице.
Содержание, %
№ шахты
золы
серы
Выход концентрата, %
Максимальная
величина поставок, т/сут
Затраты на добычу и
доставку 1 т угля, у.е.
1
2
13
2
80
1900
14
20
0,8
58
2500
11
Составить план снабжения завода коксующимся углем, который при минимальных суммарных затратах на его добычу и доставку удовлетворяет следующим требованиям: количество золы должно быть не более 690 т/сут, серы –
не более 54 т/сут, выход концентрата - не менее 2300 т/сут.
Вариант 23.
Две шахты поставляют коксохимическому заводу коксующийся уголь.
Данные о качестве угля, выходе концентрата, максимально возможных поставках и удельных затратах на добычу и доставку указаны в таблице.
Содержание, %
№ шахты
золы
серы
Выход концентрата, %
Максимальная
величина поставок, т/сут
Затраты на добычу и
доставку 1 т угля, у.е.
1
2
14
2
78
1800
13
20
0,9
62
2500
10
Составить план снабжения завода коксующимся углем, который при минимальных суммарных затратах на его добычу и доставку удовлетворяет следующим требованиям: количество золы должно быть не более 680 т/сут, серы –
не более 53 т/сут, выход концентрата - не менее 2350 т/сут.
Вариант 24.
Две шахты поставляют коксохимическому заводу коксующийся уголь.
Данные о качестве угля, выходе концентрата, максимально возможных поставках и удельных затратах на добычу и доставку указаны в таблице.
Содержание, %
№ шахты
золы
серы
Выход концентрата, %
1
2
Максимальная
величина поставок, т/сут
Затраты на добычу и
доставку 1 т угля, у.е.
15
2
80
1900
14
20
1
58
2300
9
Составить план снабжения завода коксующимся углем, который при минимальных суммарных затратах на его добычу и доставку удовлетворяет следующим требованиям: количество золы должно быть не более 670 т/сут, серы –
не более 52 т/сут, выход концентрата - не менее 2400 т/сут.
48
Вариант 25.
Две шахты поставляют коксохимическому заводу коксующийся уголь.
Данные о качестве угля, выходе концентрата, максимально возможных поставках и удельных затратах на добычу и доставку указаны в таблице.
Содержание, %
№ шахты
золы
серы
Выход концентрата, %
Максимальная
величина поставок, т/сут
Затраты на добычу и
доставку 1 т угля, у.е.
1
2
14
1,4
76
2150
15
20
0,8
60
2500
10
Составить план снабжения завода коксующимся углем, который при минимальных суммарных затратах на его добычу и доставку удовлетворяет следующим требованиям: количество золы должно быть не более 710 т/сут, серы –
не более 50 т/сут, выход концентрата - не менее 2450 т/сут.
Вариант 26.
Две шахты поставляют коксохимическому заводу коксующийся уголь.
Данные о качестве угля, выходе концентрата, максимально возможных поставках и удельных затратах на добычу и доставку указаны в таблице.
Содержание, %
№ шахты
золы
серы
Выход концентрата, %
Максимальная
величина поставок, т/сут
Затраты на добычу и
доставку 1 т угля, у.е.
1
2
15
1,3
74
2200
14
19
0,9
66
2400
10
Составить план снабжения завода коксующимся углем, который при минимальных суммарных затратах на его добычу и доставку удовлетворяет следующим требованиям: количество золы должно быть не более 700 т/сут, серы –
не более 49 т/сут, выход концентрата - не менее 2500 т/сут.
Вариант 27.
Две шахты поставляют коксохимическому заводу коксующийся уголь.
Данные о качестве угля, выходе концентрата, максимально возможных поставках и удельных затратах на добычу и доставку указаны в таблице.
Содержание, %
№ шахты
золы
серы
Выход концентрата, %
1
2
Максимальная
величина поставок, т/сут
Затраты на добычу и
доставку 1 т угля, у.е.
14
2
80
1800
14
20
0,8
64
2450
9
Составить план снабжения завода коксующимся углем, который при минимальных суммарных затратах на его добычу и доставку удовлетворяет следующим требованиям: количество золы должно быть не более 690 т/сут, серы –
не более 54 т/сут, выход концентрата - не менее 2550 т/сут.
49
Вариант 28.
Две шахты поставляют коксохимическому заводу коксующийся уголь.
Данные о качестве угля, выходе концентрата, максимально возможных поставках и удельных затратах на добычу и доставку указаны в таблице.
Содержание, %
№ шахты
золы
серы
Выход концентрата, %
Максимальная
величина поставок, т/сут
Затраты на добычу и
доставку 1 т угля, у.е.
1
2
17
1,1
70
2300
12
20
0,9
62
2400
9
Составить план снабжения завода коксующимся углем, который при минимальных суммарных затратах на его добычу и доставку удовлетворяет следующим требованиям: количество золы должно быть не более 680 т/сут, серы –
не более 53 т/сут, выход концентрата - не менее 2300 т/сут.
Вариант 29.
Две шахты поставляют коксохимическому заводу коксующийся уголь.
Данные о качестве угля, выходе концентрата, максимально возможных поставках и удельных затратах на добычу и доставку указаны в таблице.
Содержание, %
№ шахты
золы
серы
Выход концентрата, %
Максимальная
величина поставок, т/сут
Затраты на добычу и
доставку 1 т угля, у.е.
1
2
14
1,5
74
2100
15
19
1
64
2350
10
Составить план снабжения завода коксующимся углем, который при минимальных суммарных затратах на его добычу и доставку удовлетворяет следующим требованиям: количество золы должно быть не более 670 т/сут, серы –
не более 52 т/сут, выход концентрата - не менее 2350 т/сут.
Вариант 30.
Две шахты поставляют коксохимическому заводу коксующийся уголь.
Данные о качестве угля, выходе концентрата, максимально возможных поставках и удельных затратах на добычу и доставку указаны в таблице.
Содержание, %
№ шахты
золы
серы
Выход концентрата, %
1
2
Максимальная
величина поставок, т/сут
Затраты на добычу и
доставку 1 т угля, у.е.
15
1,4
72
2150
14
20
0,8
60
2500
10
Составить план снабжения завода коксующимся углем, который при минимальных суммарных затратах на его добычу и доставку удовлетворяет следующим требованиям: количество золы должно быть не более 720 т/сут, серы –
не более 51 т/сут, выход концентрата - не менее 2400 т/сут.
50
Задача 2. Составить двойственную задачу линейного программирования и
решить ее аналитически и с помощью Excel
№
Z( X )
Вариант
8x 2 3x3
2 x1
13 x1 3 x 2
1
7 x1
3
3x 2
x1
2x2
5
x3
4x4
9 x1
4x2
7
4 x1
2x4
1,
2 x3
3x 4
2x4
2,
2 x3
5x4
2,
3x3
3 x1
xi
0, i
7x2
1,
2x4
11,
2x4
3x 4
19,
x3
2x4
16,
5 x1 8 x 2
3x3
x4
1,
x3
x4
3x3
x4
1,
3x 2
2 x3
x4
6,
3x 2
4 x1
10
8x4
max,
2 x3
7x4
12,
x3
4x4
4,
2x2
6 x1
max,
2x2
x i 0, i 1,4.
Z ( X ) x1 2 x 2
x3
3x 4
2x2
x3
6x2
x3
0, i 1,4.
2 x1 x 2 x 3
max,
x4
2,
2x4
4,
2x4
min,
2 x1
x2
3x3
x4
6,
x1
x2
2 x3
x4
7,
x i 0, i 1,4.
Z ( X ) 2 x1 3 x 2 6 x 3 18 x 4
4 x1
6x2
4 x1 14 x 2
xi
51
2,
2 x1
12
1,4.
x4
4 x1
8
max,
2 x3
x i 0, i 1,4.
Z ( X ) 9 x1 2 x 2 4 x 3
min,
4 x3
x4
5x2
5 x1
4
xi
Z( X )
x4
2 x1
x i 0, i 1,4.
Z ( X ) 2 x1 5 x 2
max,
x3
x i 0, i 1,4.
Z ( X ) 4 x1 4 x 2 3 x 3
2
min,
x3
Вариант
6 x2 x3
4 x1
6
6,
4x4
5x2
2 x1 13 x 2
12,
x3
4x4
11x1 11x 2
11
21,
min,
11x1 14 x 2
9
7x4
6x4
6x2
x i 0, i 1,4.
Z ( X ) 11x 2 x 3
min,
5x4
x i 0, i 1,4.
Z ( X ) x1 x 2 3 x 3
5 x1
2,
3x3
3x 2
Z( X )
8,
4x4
x3
x i 0, i 1,4.
Z ( X ) 4 x1 13 x 2
min,
7x4
x3
2 x1
5 x1
4x4
2 x3
2x2
x i 0, i 1,4.
Z ( X ) 2 x1 3 x 2
№
0, i
1,4.
min,
x3
2x4
8,
2 x3
5x4
12,
№
Вариант
8x 2 5x3
Z ( X ) 12 x1
6 x1
13
11x1
2x4
2,
7x2
x3
2x4
10,
6 x1
5x3
4x2
7x2
x i 0, i 1,4.
Z ( X ) 7 x1 3 x 2
xi
Z(X )
19
xi
Z( X )
x3
3x3
x2
6 x1
2x2
0, i 1,4.
3 x1 4 x 2
x1
xi
Z(X )
25
xi
3x 4
2,
x4
16,
5x4
10,
4x4
2,
x2
6 x3
7 x3
7x2
4x2
x2
5 x1
x2
0, i
1,4.
5x3
4x4
3x3
x4
2,
3x 4
20,
2 x3
3x 4
max,
3 x1
2 x1
x1
Z( X )
4 x3
x4
2,
2x4
6,
7 x3
x3
x3
6,
x4
10,
2x4
8,
6x4
x3
2 x3
max,
x4
3,
2x4
4,
1,4.
2 x1 10 x 2 4 x3 2 x 4
min,
x1 2 x 2 2 x3 2 x 4 2,
x1 x 2 x3 x 4 3,
0, i 1,4.
x1
3x 2
x2
4 x3
6x4
max,
2 x3
2x4
8,
x3
3x 4
6,
x i 0, i 1,4.
Z ( X ) 7 x1 10 x 3
6x4
min,
2 x1
24
Z( X )
26
x2
x1
2x2
2 x3
2x4
3,
x1
5x2
5x3
3x 4
8,
0, i 1,4.
2 x1 6 x 2 4 x 3
3x 4
2 x1
2 x3
x4
6,
x3
x4
4,
x1
xi
52
x2
2 x1
22
min,
x2
0, i
xi
2x4
x2
3x 2
3 x1
Z( X )
min,
3x3
9,
x i 0, i 1,4.
Z ( X ) x1 2 x 2
20
6,
3x 4
3x3
x4
1,
2x4
2x2
2 x3
18
max,
x4
2 x1
x i 0, i 1,4.
Z ( X ) 3 x1 3 x 2 4 x 3
min,
6x4
max,
x2
xi
5x3
x4
16
min,
x 2 10 x 3
0, i 1,4.
2 x1 x 2
3 x1
16,
7x4
x i 0, i 1,4.
Z ( X ) 3 x1 2 x 2
x1
2x4
2 x3
0, i 1,4.
22 x1 19 x 2
8 x1
1,
3 x1
Вариант
2 x 2 3x3
x1
xi
4 x1 18 x 2 10 x 3
23
14
x4
3x3
Z( X )
min,
2x4
2 x3
4 x1 13 x 2
21
7x4
x3
10 x1
2 x1
min,
x3
5 x1
17
4x4
x2
x i 0, i 1,4.
Z ( X ) x1 19 x 2
15
№
0, i
3x 2
2x2
1,4.
max,
Вариант
2 x 2 3x3
№
Z(X )
2 x1
x1 8 x 2
27
3 x1
27 x 2
x3
4 x3
2 x1
xi
7x4
4 x3
x i 0, i 1,4.
Z ( X ) 2 x1 x 2
29
№
6x4
2,
22 x 4
2,
3x 4
3x3
3 x1
x2
0, i
1,4.
min,
28
xi
Z( X )
max,
x4
5x3
Z( X )
2,
2x4
30
7,
xi
2 x1
Вариант
6 x 2 3x3
6x4
min,
x1
3x 2
3x3
x4
6,
2 x1
2x2
x3
2x4
6,
4 x3
8x4
0, i 1,4.
4 x1 12 x 2
max,
x1
4x2
x3
2x4
12,
2 x1
3x 2
3x3
x4
12,
0, i
1,4.
Задача 3. Решить задачу линейного программирования аналитически и с
помощью Excel
№
Z( X )
1
Вариант
x1 4 x 2 x 3
2x2
x3
4,
3 x1
x2
2 x3
9,
2 x1
3x 2
x3
6,
2 x1
x3
x3
5,
x1
2x2
x3
7,
x1
x2
2 x3
1,
4 x1
x1
x1
xi
0, i
x1
x1
2
3 x1
xi
Z( X )
x2
x2
4,
x3
2,
2 x3
6,
0, i 1,3.
3 x1 2 x 2
x2
x1
x2
x3
2,
x3
3 x1
x2
x3
1,
24,
xi
1,3.
53
1,
3x3
min,
2 x3
12,
x2
x3
8,
2 x1 3 x 2
x3
x1
6
min,
3,
max,
0, i
x2
2 x3
x3
x i 0, i 1,3.
Z( X )
2 x1 8 x 2
6,
min,
2 x3
x2
x1
4
x3
4 x3
Вариант
2 x1 2 x 2 2 x 3
x1
2x2
x2
Z(X )
min,
x2
x i 0, i 1,3.
Z ( X ) x1 x 2 x 3
5
max,
x1
x i 0, i 1,3.
Z ( X ) 2 x1 x 2
3
№
1,3.
8,
Z( X )
5 x1
2x2
x1
7
xi
Z(X )
x2
11
xi
Z(X )
xi
Z(X )
4,
3 x1
4x2
2 x3
12,
0, i
1,3.
x1
8x2
3x3
3 x1
x2
2 x3
6,
x2
x3
4,
x1
3x 2
x3
0, i
x1
1,3.
3x 2
3 x1
x2
x3
6,
x1
3x 2
x3
10,
x1
3x 2
x3
2,
0, i
x1
3x 2
2 x3
3,
x3
18,
x1
x2
3x3
10,
0, i
1,3.
4 x1
3x 2
6,
x1
3x 2
x3
4 x1
xi
8,
x3
x2
x i 0, i 1,3.
Z ( X ) 5 x1 2 x 2
x3
max,
xi
Z(X )
x1
x2
x3
3,
2 x1
x2
x3
4,
2 x3
12,
2x2
0, i 1,3.
6 x1 x 2 3 x 3
6,
x1
x2
x3
1,
x1
x2
x3
0, i 1,3.
2 x1 2 x 2
3x3
3x 2
x3
4,
3 x1
x2
x3
12,
x2
4,
3x 2
x3
4,
x i 0, i 1,3.
Z ( X ) x1 3 x 2
x3
min,
18
3 x1
x2
x3
6,
x1
3x 2
x3
10,
x1
3x 2
x3
6,
0, i
2 x1
1,3.
3x 2
xi
2 x3
2 x1
3x 2
2 x3
3 x1
6x2
3x3
4 x1
54
max,
x3
Z(X )
1,3.
7,
x2
3 x1
max,
3,
x3
x1
14
xi
2 x3
2x2
6,
4,
2 x3
max,
3x3
16
x1
0, i
2,
xi
Z( X )
max,
2 x3
x2
x i 0, i 1,3.
Z ( X ) 4 x1 3 x 2
17
2 x3
2,
x3
3 x1
4x2
5,
x2
12
max,
2 x3
x1
2 x1
3x3
min,
x3
3 x1
max,
4x2
2 x1
2x2
9 x3
x2
10
1,3.
x2
7x2
x1
8
4,
x3
6 x1
x1
max,
x1
4 x1
15
3,
2 x3
2 x1
13
x3
2x2
x1
Z(X )
max,
x1
9
xi
Z( X )
x3
0, i
3x 2
1,3.
x3
max,
2,
5,
3,
№
Z( X )
Вариант
x1 3 x 2 2 x 3
3 x1
x2
x1
xi
Z(X )
21
2x2
13,
x3
1,
3x3
11,
2x2
2 x3
11,
x1
6x2
3x3
23,
x3
2,
23
2,
x1
x2
2 x3
x1
2x2
x3
4,
2 x3
2,
x1
x i 0, i
Z ( X ) x1
25
max,
1,3.
2x2
x3
x1
x2
x3
x1
x2
x3
3,
x3
1,
x1
x1
27
xi
2x2
22
2 x3
2 x1
x2
2 x3
2 x3
24,
x3
min,
4 x3
x1
2x2
2 x3
2,
x1
2x2
2 x3
6,
x1
x1
x i 0, i
Z ( X ) x1
1,
1,
26
max,
x2
x3
6,
2x2
x3
8,
x2
2 x3
16,
1,3.
x 2 4 x3
x1
3x 2
x1
2x2
x1
x2
min,
2 x3
3,
x3
5,
2 x3
7,
x i 0, i 1,3.
Z ( X ) 3 x1 2 x 2 3 x 3
max,
2,
x2
2,
x2
2 x1
2,
x3
x i 0, i 1,3.
Z ( X ) 5 x1 7 x 2 9 x 3
24
x3
2 x1
0, i
x1
max,
x i 0, i 1,3.
Z ( X ) 2 x1 x 2 2 x 3
12,
x i 0, i 1,3.
Z ( X ) x1 4 x 2
min,
3x3
x2
min,
3x3
x2
2 x1
3 x1
0, i 1,3.
3 x1 2 x 2
2x2
x1
20
2 x3
x2
Z(X )
Вариант
2 x1 2 x 2 2 x 3
2 x1
0, i 1,3.
3 x1 2 x 2
x1
xi
Z(X )
max,
2 x3
x1 3 x 2
19
№
28
6,
1,3.
xi
55
min,
x1
2x2
x3
6,
2 x1
x2
x3
12,
2 x1
x2
0, i
1,3.
2 x3
3,
№
Z(X )
Вариант
6 x1 7 x 2 9 x 3
x1
2x2
x1
29
x1
xi
0, i
2x2
min,
3x3
5,
x3
2,
6 x3
4,
x2
Вариант
3 x1 x 2 2 x 3
№
Z(X )
x1
x2
x1
30
2 x3
2,
x3
6,
x2
x1
1,3.
xi
0, i
max,
x3
4,
1,3.
Задача 4. Транспортная задача
Имеются пять карьеров, производящих строительные материалы, А1, А2,
А3, А4, А5 и пять потребителей сырья В1, В2, В3, В4, В5 . Известны объемы производства на каждом карьере а1, а2 , а3, а4 и а5 тонн, потребности в их продукции
каждого из потребителей b1, b2, b3, b4 и b5 тонн. Стоимость перевозки 1 т продукции с i-го карьера j-му потребителю приведена в следующей таблице. Найти
такой план закрепления потребителей за поставщиками строительных материалов, чтобы суммарные затраты на перевозки были минимальными.
Вариант
№
bj
ai
10
20
10
30
10
1
bj
ai
100
200
300
100
200
bj
3
ai
5
200
100
200
400
400
10
10
25
25
30
1
4
1
7
3
5
6
5
4
7
7
4
3
2
5
9
7
4
10
6
3
13
9
3
4
bj
ai
3
1
2
3
8
5
2
4
6
15
2
3
5
4
6
bj
3
1
6
10
15
ai
7
3
5
4
3
12
8
4
3
7
7
4
6
8
10
200
300
200
200
100
4
5
7
9
2
1
ai
6
56
50
100
150
100
200
50
50
3
6
10
9
3
4
3
5
4
2
100 100
6
7
2
4
4
5
6
2
9
2
50
13
10
6
5
3
200 200 400 200 100
5
6
9
7
3
bj
200 400 100 200 100
1
2
3
4
5
50
50
100
150
100
2
100 200 200 300 200
4
7
9
1
5
Вариант
№
2
2
2
3
2
1
4
3
5
4
6
4
7
8
2
4
6
5
7
3
100 150 150 100 300
3
1
4
2
3
4
2
6
7
8
5
7
6
4
9
4
1
3
7
4
1
5
7
2
5
bj
ai
10
5
5
10
15
7
bj
ai
10
30
60
10
60
9
bj
ai
20
40
80
40
20
11
bj
ai
13
ai
ai
17
10
15
15
15
2
4
5
3
1
5
3
2
6
9
5
4
3
5
7
6
4
6
7
6
7
3
2
8
4
10
30
30
30
40
3
5
2
6
3
1
1
3
2
7
3
2
4
5
4
4
2
1
3
4
3
6
1
2
1
20
20
40
40
40
4
3
2
3
1
5
1
7
3
6
2
3
6
1
9
4
5
8
4
2
3
2
6
9
7
bj
ai
bj
ai
200
400
600
200
200
6
3
3
3
4
3
5
2
4
4
4
2
4
6
3
bj
ai
6
2
5
4
9
9
2
4
3
7
3
4
7
9
1
250
500
750
250
500
12
1
2
4
5
3
ai
300
600
900
600
300
ai
100
200
300
400
400
4
5
6
8
9
18
57
50
100
150
150
100
2
4
7
10
4
3
2
6
15
5
100
15
150 100 100
3
1
4
2
1
4
5
6
7
9
5
7
6
4
6
1
4
3
4
3
4
1
3
7
3
2
5
9
8
7
6
5
4
2
2
500 250 500 750 500
1
5
4
3
6
8
2
6
10
4
1
3
5
3
7
4
5
7
7
8
300 900 600 900 300
3
5
4
7
4
4
2
5
2
3
5
4
4
6
7
1
8
3
6
8
200 300 200 300 100
2
2
6
4
5
bj
ai
1
3
5
4
3
1
9
3
5
1
bj
16
400 600 500 400 500
3
2
9
7
6
bj
200 400 400 300 500
1
3
4
1
7
50
100
150
100
100
10
100 200 200 300 400
4
7
5
2
1
400
500
600
400
200
8
100
1
3
4
1
3
200
5
4
5
7
5 14
400
4
9
5
10
9
200
7
7
5
8
13
100 12 10
8
11
6
bj
200 200 300 300 100
300
200
100
100
200
bj
15
5
50
4
6
5
7
1
3
4
5
6
7
4
2
4
7
6
5
6
5
6
9
1
7
4
9
8
150 200 150 100
5
3
1
2
5
6
8
3
4
7
10
4
1
2
8
9
3
7
3
4
Вариант
№
bj 150 200 200 400 200
ai
150
300
250
150
200
19
bj
ai
20
40
60
40
20
21
bj
ai
300
200
100
200
300
23
bj
ai
20
10
20
30
10
25
bj
ai
200
200
300
300
100
27
bj
ai
29
150
250
250
150
150
1
3
4
1
2
4
6
8
5
3
7
3
12
9
4
2
9
2
13
6
4
6
5
7
5
40
60
40
60
20
3
1
4
5
10
3
2
8
7
14
4
1
2
9
17
2
5
9
6
7
3
3
12
5
6
3
2
1
4
5
4
3
2
5
6
3
5
3
7
8
1
6
3
9
4
5
8
4
9
7
20
20
40
10
30
1
2
1
5
4
1
3
1
6
5
3
4
4
3
7
4
2
7
4
6
5
6
8
7
4
4
4
5
7
7
2
1
9
6
3
5
7
9
8
4
1
3
4
2
6
3
7
9
4
2
1
4
3
2
3
5
6
4
3
4
1
4
3
4
6
bj
ai
100
200
300
200
100
22
ai
200
100
200
100
200
24
ai
50
100
150
200
100
26
ai
300
200
100
200
300
28
30
58
300
600
100
300
600
1
7
6
3
5
5
9
5
6
4
3
1
3
1
9
4
1
3
2
8
2
3
5
6
7
5
1
4
7
6
2
2
3
2
3
3
3
6
3
5
1
4
5
7
7
2
5
8
5
6
100 100 200 200
4
2
6
7
2
5
2
8
9
2
6
5
3
4
7
1
5
4
8
9
100 100 200 200 300
1
4
1
3
5
bj
ai
50
1
2
3
4
5
bj
1
6
5
3
3
200 200 400 100 100
2
1
4
1
4
bj
5
2
4
2
2
100 200 200 100 200
2
3
4
5
2
bj
300 150 300 150 250
2
8
6
5
4
200
300
100
300
300
20
200 300 400 200 300
3
2
4
3
6
bj 200 300 200 200 100
ai
300 200 300 100 400
1
1
3
6
5
Вариант
№
2
5
1
3
6
3
6
3
2
7
4
2
4
2
8
8
6
5
7
10
100 300 300 300 600
4
3
1
2
3
2
3
2
6
4
2
4
3
1
5
5
5
4
1
5
3
5
6
8
9
Задача 5. Определение объемов поставок сырья
Определить объемы поставок руды на обогатительную фабрику с четырех
рудников, обеспечивающие выполнение задания по количеству металлов в концентрате при минимальных затратах на транспорт и переработку руды. Исходные данные по содержанию металла в концентрате по рудникам и их техникоэкономические показатели приведены в табл. I.
Таблица I
Вид металла
Содержание металла в концентрате на рудниках,
%
1
2
3
4
1-й
2,8
6,8
2-й
1,2
2,4
3,6
3-й
0,3
0,8
1,6
Затраты на транспортирова- 1,15
0,72
1,36
0,94
ние и переработку 1 т руды,
руб.
Максимальный объем поста- 7000
12 000
5000
6000
вок с рудника, т
Дополнительные данные, определяющие вариант задачи, приведены в
табл. II. Варианты решения задачи отличаются набором рассматриваемых (находящихся в работе) рудников и заданием по количеству каждого вида металла
в концентрате.
Таблица II
№
Рассматриваемые
Задания по количеству металлов
варианта
рудники
в концентрате по видам, т
1-й
2-й
3-й
4-й
1
1
2
3
490
300
—
—
2
1
2
4
450
500
—
—
3
1
3
4
500
—
—
500
4
2
3
4
400
—
120
—
5
1
2; 3
4
500
500
140
1230
6
1
2
3
—
320
70
—
7
1
2
4
—
550
140
800
8
1
3
4
550
250
80
—
9
2
3
4
300
450
110
250
10
1
2; 3
4
500
500
—
—
11
1
2
3
140
290
70
1220
12
1
2
4
300
—
100
—
13
1
3
4
—
—
120
800
14
2
3
4
290
420
—
—
15
1
2; 3
4
460
—
100
—
16
1
2
3
500
300
—
—
17
1
2
4
450
450
—
—
59
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
3
3
2; 3
2
2
3
3
2; 3
2
2
3
3
2; 3
4
4
4
3
4
4
4
4
3
4
4
4
4
490
400
500
—
—
550
300
300
140
500
—
290
460
—
—
500
320
450
290
550
500
250
—
—
420
—
—
140
120
80
140
70
110
—
80
100
100
—
120
400
—
1220
—
400
—
250
—
1230
—
500
—
—
Задача 6. Расчет суточных нагрузок на добычные участки
Определить суточные нагрузки на группу добычных участков угольной
шахты, обеспечивающие перевыполнение задания по суммарной добыче угля, с
учетом требований по минимально необходимым подвиганиям очистных забоев и установленной средней зольности добываемого угля. Суточное подвигание
очистного забоя σ определяется из выражения
где А - нагрузка на забой, т; Р - производительность пласта, т/м2; l - длина лавы,
м. Показатели очистных участков шахты приведены в табл. III; дополнительные
данные, определяющие вариант задачи - в табл. IV.
Таблица III
№ уча- Производительность Длина Зольность Минимально Допустимая
стка
пласта, т/м2
лавы, м угля, %
необходимое нагрузка на
подвигание забой, т/сут
забоя, м/сут
1
1,69
120
25,0
1,26
1110
2
1,82
100
31,3
1,26
1200
3
1,95
110
26,6
1,26
900
4
1,56
125
24,8
1,89
700
5
1,95
130
32,8
0,63
2000
6
1,49
100
35,0
0,66
500
7
1,82
115
29,5
1,10
800
Таблица IV
№ варианта № рассматриваемых Суммарная добыча Установленная
участков
угля участками, т
зольность угля, %
1
1, 2, 3, 4
3500
27
2
1, 2, 3, 5
4500
28
3
1, 2, 3, 6
3200
26
4
1, 2, 4, 5
4000
29
60
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
1, 2, 4, 6
1, 2, 3, 7
1,2,4,7
1,2,5,6
1,2,5,7
1, 2, 6, 7
1, 3,4,5
1, 3, 4, 6
1, 2, 3, 4
1, 2, 3, 5
1, 2, 3, 6
1, 2, 4, 5
1, 2, 4, 6
1, 2, 3, 7
1,2,4,7
1,2,5,6
1,2,5,7
1, 2, 6, 7
1, 3,4,5
1, 3, 4, 6
1, 2, 4, 6
1, 2, 3, 7
1,2,4,7
1,2,5,6
1,2,5,7
1,2,5,6
2800
3500
3300
4400
2700
4600
4100
2900
3200
3500
4100
2900
3500
2700
4600
4500
3300
4400
4000
2800
2800
3500
3300
4400
2700
3400
26
28
26
27
28
27
27
26
27
26
26
28
26
28
27
27
29
27
27
28
28
27
27
29
27
25
Задача 7. Составление суточного плана переработки угля
На обогатительной фабрике имеются три склада сырья объемом A1, A2 и
А3, на которых в данный момент находится уголь средней зольности Z1, Z2 и Z3.
Уголь поступает на две технологические линии пропускной способностью П1 и
П2, рассчитанные на переработку угля средней зольности
и . Составить
план переработки угля на следующие сутки, обеспечивающий полную загрузку
технологических линий для максимального освобождения указанного угольного склада.
№ варианта
1
2
3
4
Количество угля
на складах,
тыс. т
A1
5
4
6
4
A2
6
2
5
5
А3
4
5
5
6
Зольность уг- Производиля на складах, тельность ли%
ний, тыс.т/сут
Z1
12
13
12
14
Z2
18
19
19
18
Z3
27
27
27
25
П1
3
3
2
3
61
П2
3
2
2
4
Расчетная
зольность
угля, %
№ максимально освобождаемого
склада
15
15
15
16
3
2
2
1
20
22
24
23
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
8
4
2
1
3
1
6
4
2
1
3
1
6
2
1
3
1
6
5
4
8
4
2
6
1
4
10
3
5
4
2
2
7
6
2
5
5
10
3
5
4
2
2
7
6
2
2
2
7
3
10
5
3
2
1
4
4
5
4
2
1
4
4
5
4
1
4
4
5
4
4
6
3
2
1
5
4
5
15
13
14
15
16
16
13
12
13
12
14
15
13
14
15
16
16
13
12
16
13
16
13
13
15
14
20
20
21
21
22
22
19
20
21
21
22
22
20
18
19
19
18
20
18
18
20
20
21
19
21
19
25
25
30
27
30
30
28
27
27
27
25
25
25
30
27
30
30
28
27
25
25
25
30
27
27
27
2
2
2
1
2
2
2
3
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
3
3
2
2
2
2
1
3
62
4
1,5
2
2
1
2
4
3
2
2
4
4
1,5
2
2
1
2
4
3
2
2
1
4
1,5
4
2
16
15
17
19
19
18
16
15
17
19
19
18
16
15
15
15
16
16
15
16
16
15
17
15
19
15
23
22
25
24
27
25
21
20
22
24
23
23
22
25
24
27
25
21
20
25
22
27
21
22
23
25
3
3
3
1
1
2
2
3
3
1
1
2
3
3
1
1
2
2
3
1
3
3
3
2
1
2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Библиографический список
Исследование операций в экономике : учеб. пособие для вузов по экон.
специальностям / Н. Ш. Кремер [и др.]; под ред. Н. Ш. Кремера; Всерос.
заоч. финансово-экон. ин-т. - М.: ЮНИТИ-Дана, 2002. - 407 с.
Математические методы и модели в планировании и управлении горным
производством: учеб. Пособие для вузов / А.Г. Протосеня, С.А. Кулиш,
Е.И. Азбель и др. - М.: Недра, 1985. - 288 с.
Методы поддержки принятия решений: сб. тр. / Рос. акад. наук, Ин-т систем. анализа; под ред. О. И. Ларичева. - М.: Эдиториал УРСС, 2001. - 71 с.
Методы решения оптимизационных задач менеджмента горных предприятий: учеб. пособие / М.И. Щадов, И.А. Огнѐв, В.Ю. Конюхов.- Иркутск,
изд-во ИрГТУ, 2007, 100 с.
Организация и управление горным производством: учеб. пособие для вузов / В. И. Ганицкий, Д. Г. Даянц, М. А. Бурштейн и др.; под общ. ред. В.
И. Ганицкого. - М.: Недра, 1991.- 368 с.
Сборник задач по математике для втузов: в 4 ч. / Под pед. А. В. Ефимова,
Б. П. Демидовича. - 3-е изд., испp . - М.: Наука, 1993. - 480 с.
Сборник задач по математике для втузов : учеб. пособие / Э.А. Вуколов,
А.В. Ефимов, Б.П. Демидович. - 2-е изд. испр. и доп. - М.: Наука, 1986. 302 с.
Теория выбора и принятия решений : учеб. пособие для вузов / И. М. Макаров [и др.] . - М.: Наука, 1982. - 327 с.
Численные методы: учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. интов / В. М. Заварыкин, В. Г. Житомирский, М. П. Лапчик.- М.: Просвещение, 1990.-176 с.
Экономика и менеджмент горного производства: учеб. пособие для вузов: в 2 кн. / А.С. Астахов, Г.Л. Краснянский: - М.: Издательство Академии горных наук, 2002. - Кн. 1: Основы экономики горного производства.
- 367 с:
Экономико-математические методы и модели в планировании и управлении: учебник / В.Н. Кухарев, В.И. Салли, А.М. Эрперт. - К.: Выща шк.,
1991. - 304 с.
Экономико-математические методы и моделирование в планировании и
управлении горным производством: учебник для вузов / С.С. Резниченко,
М.Л. Подольский, А.А. Ашихмин - М.: Недра, 1991. - 429 с.
63