Содержание ВВЕДЕНИЕ .......................................................................................................... 2 1.1 История возникновения архитектуры..................................................... 3 1.2 Математические законы в архитектуре .................................................. 5 1.3 Последовательность Фибоначчи. Золотое сечение. Их применение в архитектуре ..................................................................................................... 10 ЗАКЛЮЧЕНИЕ .................................................................................................. 14 2 ВВЕДЕНИЕ Математика – один из путеводителей в архитектуре. Математические действия необходимы для реализации проектов в строительстве. Прежде чем построить привлекательное сооружение, мало иметь воображения, нужно точно знать где, как и сколько потребуется материалов для строительства пусть даже обычного дома. В этом помогают знания математики. Конечно же математика и архитектура имеют тесную связь. Издревле известно, что хороший архитектор должен знать аналитическую геометрию и математический анализ, основы высшей алгебры и теории матриц, владеть методами математического моделирования и оптимизации. Ведь всё это необходимо для того, чтобы произвести точнейшие расчёты при проектировании какого-нибудь здания. Актуальность данного исследования в том, что архитектурные объекты являются неотъемлемой частью нашей жизни. Упорядочению планировки и застройки городов служат регулярная планировка (прямоугольная, радиальнокольцевая, веерная и т.д.), в чём и не обойтись без математики. Математика играет далеко не последнюю роль, а точнее главную. Цель итоговой аттестационной работы — понять, как используется математика в архитектуре, создать проект собственного здания и выполнить все необходимые расчёты. Задачи: 1. Узнать историю возникновения архитектуры 2. Узнать, как используется математика в архитектуре 3. Выполнить практическую часть Гипотеза исследования: если бы не использовалась математика при планировки архитектурных сооружений и конструкций, то в настоящее время не было бы крупных городов, мегаполисов, интересных зданий и сооружений. Элементом исследования исследования данной работы является архитектура и математика. 3 1.1 История возникновения архитектуры Архитектура — это искусство организовывать пространство, создавать для человека такую форму пространства, в которой он может жить, работать, учиться и отдыхать. Первобытный человек, сам того не ведая, стал «архитектором», создавая себе жилье, чтобы укрыться от непогоды. Он довольствовался, в зависимости от климатических условий, или случайными жилищами (пещерами, полупещерами), или легко возводимыми и непрочными шалашами, навесами, стенками, ямами. Кроме собственно жилья, первобытный человек строил сооружения из огромных каменных глыб, которые получили различные наименования. С изменением условий, взглядов и строя меняется и архитектура. Такие изменения происходили не раз, и это отражалось в архитектуре. В Древнем Египте обтесанные камни были главным материалом для строительства монументальных зданий. В Древней Греции первое место отводилось дому для обычных горожан, а не дворцам. Человек не был принижен, он сознавал свою силу, и архитектура Греции приобрела гуманистический характер. Главные сооружения греческой архитектуры общественные. Римляне, подчинившие сначала этрусков, а затем и греков, переняли у них колонну и свод, в круг возводимых зданий включили монументальные светские здания, строительство которых было вызвано потребностями жизни Рима (термы, базилики, амфитеатры и арки). Римляне оказали влияние на развитие архитектуры завоеванных территорий. С VII века исламские государства пользовались архитектурными формами побежденных культурных народов, приспособляя их к своему культу. Так создавались мечети, состоящие из четырехугольного двора с фонтаном для омовения, помещения для богослужения и высокого минарета для призыва к молитве. 4 С принятием Русью христианства в X веке византийская архитектура пришла сначала в Киев и Новгород, потом во Владимир, а в XVI-XVII веках в Москву. Заимствованные из византийской архитектуры формы в сочетании со старыми традициями русского деревянного зодчества, с учетом климатических, социальных и других условий, стали основой для создания вполне самостоятельного русского архитектурного стиля XVI — XVII веков. С XIV века начинается новая эпоха — Возрождение. В это время личность человека выдвигается на первый план. Происходит освобождение человека от средневековых идеалов, и новое общество обращается к античному миру, проникнутому гуманистическими идеалами. Самым знаменитым представителем данной эпохи является итальянский художник (живописец, скульптор, архитектор) и учёный (анатом, естествоиспытатель), изобретатель, писатель, музыкант, один из крупнейших представителей искусства Высокого Возрождения, яркий пример «универсального человека». Он оставил после себя огромное наследие в виде своих произведений искусства, а также множество научных разработок, которыми мы пользуемся по сей день. Не обошел он вниманием и архитектурные разработки. Один из крупнейших архитектурных проектов Леонардо – купол над средокрестием Миланского собора. Мастер разрабатывает множество новаторских архитектурных и инженерных решений и даже создает модель из дерева. К сожалению, купол (в менее величественном и более упрощенном варианте) был реализован по проекту другого архитектора. 5 Рисунок 1. Проект купола над средокрестием Миланского собора Архитектурный стиль, созданный в эту эпоху, отразил все перемены в обществе. По имени эпохи он получил название Возрождение и имел широкое распространение по всей Европе в XV-XVII веках. В архитектуре XVII и начала XIX веков развиваются два направления — барокко; зачем классицизм. Здесь нужно отметить, что эти направления в России имели свою индивидуальность. С 60-х годов XIX века в Западной Европе происходит постепенный переход от классицизма к античности и эклектизму (смешение различных стилей). В конце XIX — начале XX века в архитектуре складывается новый стиль — модерн. 1.2 Математические законы в архитектуре Итак, в сущности, любой архитектор, занимается тем же, что и математик, но в своей специфической, архитектурной, области. Конечно же существуют правила планировки зданий. Здание – это сооружение, состоящее из помещений различного назначения. Главная задача здания – создание оптимальной искусственной среды для пребывания в ней человека. Говорят, что математика - царица всех наук. Область применения математических законов не знает границ, они используются во многих отраслях науки и производства. 6 Прежде чем построить привлекательное сооружение, мало иметь воображения, нужно точно знать где, как и сколько потребуется материалов для строительства пусть даже обычного дома. В своих творениях архитекторы должны совместить функциональность, красоту, гармоничность, комфортность, экономичность и долговечность. В этом им и помогают знания математики. Например, для измерения площади земельного участка, архитектору необходимы знания формулы расчета площади и, конечно же, единиц измерения. В ряде профессий строительной отрасли специалисты больше работают не с техникой, а со знаковыми системами. Они должны хорошо ориентироваться и разбираться в условных обозначениях, документах, текстах. Создавать и перерабатывать чертежи, тексты, документы, таблицы, формулы, перечни, каталоги каких-либо объектов. В современном строительстве роль этой науки непрерывно возрастает. Строительные задачи отличаются по степени сложности расчётов. При планировке здания руководствуются некоторыми правилами: Например, при перенесении размеров земельного участка и проецировании здания архитектор пользуется признаками подобия фигур, т.е. он не чертит объект в натуральную величину, а пользуется масштабом, стандартное отношение которого 1:100. Вычерчивание планов начинают с изображения разбивочных или координационных осей, которые определяют расположение стен и колонн в здании. Чертежи фасадов зданий выполняют в масштабах от 1:50 до 1:400 обычно. Имеются три оси: горизонтальная (OX), вертикальная (OZ) и под углом 45° (OY). Коэффициенты искажения по осям X и Z принимаются равными 1, а по оси Y – 0,5. Примером выполнения и оформления строительных чертежей могут служить чертежи типовых проектов, разрабатываемые ведущими проектными организациями (рисунок 2). 7 Рисунок 2. Пример выполнения и оформления строительного чертежа типового проекта. Объекты, изображаемые на строительных чертежах – всевозможные здания и сооружения, состоят из отдельных частей – конструкций. Примерами конструкций здания могут служить его фундаменты (стены, перегородки), перекрытия, крыша. Так же при планировке проекта архитектору необходимы многие теоремы и аксиомы. Например, чтобы отложить несколько последовательно равных отрезков, используется знаменитая теорема Фалеса: Теорема. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных между собой отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки (рисунок 4). 𝐴1 𝐴2 𝐴2 𝐴3 𝐴1 𝐴3 = = 𝐵1 𝐵2 𝐵2 𝐵3 𝐵1 𝐵3 8 Рисунок 3. Теорема Фалеса Рисунок 4. Пример применения теоремы Фалеса при расчете построения крыши дома При построении параллельных прямых, архитекторы пользуются рейсшиной. Также построение параллельных прямых выполняют с помощью чертежного угольника и линейки. Также издавна человек использовал симметрию в архитектуре. Выбирая симметричные формы, художник тем самым выражал свое понимание природной гармонии как устойчивости и равновесия. Основные виды симметрии: Осевая Центральная Зеркальная Определение. Осевая симметрия — это симметрия проведённой прямой (оси) (рисунок 5). Рисунок 5. Осевая симметрия относительно 9 Рисунок 6. Осевая симметрия в архитектуре Определение. Симметрию относительно точки называют центральной симметрией (рисунок 7). Рисунок 7. Осевая симметрия Центральная симметрия в архитектуре применяется в узорах ограды, росписи храмов и дворцов (рисунок 8). Рисунок 8. Центральная симметрия в архитектуре Определение. Зеркальная симметрия – это зеркальное отражение относительно оси или плоскости (рисунок 9). 10 Рисунок 9. Зеркальная симметрия Это самый распространённый вид симметрии в архитектуре (рисунок 10) . Рисунок 10. Зеркальная симметрия в архитектуре 1.3 Последовательность Фибоначчи. Золотое сечение. Их применение в архитектуре Питер построен по принципу Золотого Сечения, а Москва – по принципу симметрии и именно поэтому столь ощутимы различия в восприятии этих двух городов. Чтобы понять, что такое «принцип Золотого Сечения», нам нужно узнать о последовательности Фибоначчи. Числа последовательности Фибоначчи это: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…этот ряд никогда не заканчивается.., но 11 закономерность чисел в том, что каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. 0+1=1; 1+1=2; 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13; 8+13=21 и т.д., а отношение смежных чисел (меньшее делим на большее) приближается к отношению Золотого Сечения. Так, 21:34 = 0,617, а 34:55=0,618. А отношение смежных чисел (большего на меньшее), удивительно, результат: 34:21=1,619; 5:34=1,618 То есть в основе Золотого сечения лежат числа последовательности Фибоначчи. Если представить себе эти числа в виде квадратов 1 х 1…. 55 х 55…, то сочетания этих квадратов можно использовать для формирования, так называемого золотого прямоугольника. Соотношения между двумя соседними числами по смыслу приближено к золотому сечению. Правило золотого сечения (это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором меньший отрезок так относится к большему, 𝑎 𝑏 𝑏 𝑐 как больший к меньшему = или 𝑐 𝑏 = 𝑏 𝑎 применялось практически во всей древнегреческой и древнеримской архитектуре и считалось эталоном измерения. Золотое соотношение описывает гармоничную зависимость между шириной и высотой. В мире нет ничего случайного, и этот математический принцип взят людьми явно из природы (рисунок 10). Рисунок 11. Золотое сечение 12 Отрезки золотой пропорции выражаются иррациональной бесконечной дробью 0,618… и 0,382… для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая —38 частям, В книгах о «золотом сечении» можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими «Золотое Сечение», то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. «Золотое Сечение» дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин. Рисунок 12 Пример применения Золотого Сечения в архитектуре, Древнегреческий Парфенон Не в каждом стиле было описано присутствие геометрических фигур в сооружениях, но тем не менее на нескольких примерах становится совершенно ясно, что без них было бы невозможным что-либо построить. Мы знаем очень 13 много плоских и пространственных фигур, которые иногда называют геометрическими телами. Ни один вообще вид искусств так тесно не связан с математикой, как архитектура. 14 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Оказывается, математические расчеты, измерения, построения – это самые важные и незаменимые методы для архитектора. Между математикой и архитектурой много общих черт. Это и используемые в двух сферах единицы измерения, и инструменты, и понятия, и методы, и свойства. Что еще раз доказывает тесную связь между математикой и архитектурой. Рассмотрев различную архитектуру начиная с древних времён заканчивая нынешним столетием, можно сделать вывод: с помощью математических расчетов, методов, пропорций, соотношений можно преобразить здание: сделать его более гармоничным, выразительным, может быть, строгим, а может массивным и грузным. В любых зданиях мы можем встретить знакомые нам геометрические фигуры, которые так же влияют на внешний вид постройки. Архитектура и математика, являясь соответствующими проявлениями человеческой культуры, на протяжении веков активно влияли друг на друга. Они давали друг другу новые идеи и стимулы, совместно ставили и решали задачи. По сути, каждую из этих дисциплин можно рассматривать существенным и необходимым дополнением другой. Таким образом, тема итоговой аттестационной работы актуальна, особенно на нынешнем этапе развития архитектуры. Сложно представить современное градостроительство без математических моделей-прогнозов. Появляются все новые возможности моделирования, основанные на математических расчетах, компьютерные программы, позволяющие архитектору быстрее производить точные измерения, расчеты. Возникла возможность создавать модели максимально возможно приближенные к реальности, применяя современные и традиционные разделы математики при увеличении скорости просчета вариантов. 15 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Волошинов А. В. «Математика и искусство» 2000 г. «Просвещение» 2. Коваленко Ю.Н., Порфирьевич В.Ш., Михайленко И.Д. Краткий справочник архитектора, 1975 год. 3. Коробко В.И., Коробко Г.Н.; М., АСВ Издательство, 2002 г. «Золотая пропорция и человек» 4. Коробко В.И.; Москва, Издательство Ассоциации строительных вузов,1998г. «Золотая пропорция и проблемы гармонии систем» 5. Савин А., Число Фидия - золотое сечение (Квант N 6,1997), с. 31-32 6. Степанов; М., «Архитектура-С» 2003 г. «Объёмно пространственная композиция» 7. Якушева Г. «Справочник школьника: математика» Филологическое общество: «Слово» 1995 г. Интернет - ресурсы. 8. http://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2012/03/29/issledovatelskaya- rabota-matematika-v-arkhitekture 9. https://school-science.ru/6/7/36646 10. https://j.etagi.com/ps/stroitelniy-obyom/ 11. http://docs.cntd.ru/document/1200004084 12. https://archisto.info/
