TJBAK TOPSHIRIQ VA HISOB GRAFIK

Namangan muhandislik-qurilish instituti
Oliy matеmatika kafеdrasi
TJBAK yo’nalishi
talabalari uchun
Oliy matеmatika
fanidan II sеmеstrdagi o`zlashtirish
darajasini aniqlash uchun bеriladigan
hisob grafik ishi va topshiriqlar to`plami
1
Namangan - 2022
2
Oliy matеmatika kafеdrasi yig`ilishida ko`rib chiqilib, chop etishga ruxsat etilgan
Yig`ilish bayoni №
2022 y
Namangan muhandislik-qurilish instituti ilmiy-mеtodik kеngashida ko`rib chiqilib, chop
etishga tavsiya etilgan
Majlis bayoni №
2022 y
Tuzuvchilar:
I.Gafarov
X.Ibroximov
Taqrizchi:
A.Jurayev
3
Fan tavsifi
Iqtisodiy va texnikaviy ko’rsatgichlar, ular ustida olib borilayotgan kuzatuv natijalarini bir
tizimda shakllantirish, ularga ta’sir etuvchi omillarning o’zaro bog’liqligini aniqlashda zamonaviy
matematik usullar va modellardan foydalanishning o’rni beqiyosdir. Shuning uchun ham, zamonaviy
kadrlar tayyorlash borasida mamlakatimizning OO’Y dagi o’quv jarayonini tashkil etishda amaliy
ahamiyatga ega bo’lgan oliy matematika faniga alohida ehtibor berilmoqda.
Ushbu dastur respublikamizmizning texnik OO’Y dagi yuqorida ko’rsatilgan ta’lim
yo’nalishlari bo’yicha ta’lim olayotgan bakalavrlar uchun mo’ljallangan bo’lib, u tabiiy jarayonlarga
matematikani tadbiq qiluvchi ilmiy izlanuvchilar uchun ham foydalidir.
Fanni o’qitishdan maqsad:
- talabalarning intelektini rivojlantirish, mantiqiy va algoritmik fikrlash qobiliyatini
shakllantirish;
- talabalarga mustahkam fundamental bilim berish, olgan bilimlarini zamonaviy amaliy
masalalarini yechishga tadbiq qilishga o’rgatish;
- tajriba o’tkazish yo’li bilan olingan natijalarning, turli tabiiy jarayonlarning matematik
modellarini tuzishga va ularni tahlil qilishga, qilingan tahlillar asosida to’g’ri hulosalar
chiqarish orqali maqbul yechimlar qabul qilishga o’rgatish;
- talabalarda oliy matematika fani bo’yicha DTS talablariga to’liq mos keladigan bilim va
ko’nikmalarni shakllantirish.
Fanning vazifasi - turdosh va mutaxassislik kafedralari bilan kelishilgan holda dastur asosida
tuzilgan ishchi o’quv hujjatlari yordamida talabalarga (ularni bilim saviyasini inobatga olgan holda)
matematik uslublarning mohiyatini va ularning zamonaviy kompyuter dasturlaridagi ishtiroklarini
to’liq va ommabop tarzda tushuntirishdan iborat.
Fanning maqsadi
Talabalarda matematik tafakkurni rivojlantirishdan, ishlab chiqarish jarayoni, jumladan
qurilishga oid tatqiqotlarining nazariy va amaliy masalalarini yechish bo’yicha yetarli matematik
bilimga ega bo’lish, ulardan foydalana olish va ularni qo’llay bilish ko’nikma va malakalarini
shakllantirishdan iborat.
Mustaqil ta’lim va mustaqil ishlar
Mustaqil ta’lim uchun tavsiya etiladigan mavzular:
№
1
2
3
Mavzular
Aniq integralni taqribiy hisoblash formulalari. Mavzuga doir mashqlar.
Birinchi tartibli differensial tenglamaning maxsus yechimi. Klero
tenglamasi. Lagranj tenglamasi.
Differensial tenglamalarni taqribiy yechish usullari. (Eyler, Runge-Kutta,
ketma-ket yaqinlashish, Adams metodi, Teylor formulasi).
Topshirish muddati
6 - mavzugacha
10 - mavzugacha
15 - mavzugacha
Hisob grafik ishlar
Hisob-grafik ishlarining taxminiy ro’yxati :
№
1
2
3
Mavzular
Aniqmas va aniq integrallar.
Ko’p o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasi.
Differensial tenglamalar.
Topshirish muddati
6 - mavzugacha
10 - mavzugacha
15 - mavzugacha
4
Kreditlarni olish uchun talablar:
Fanga oid nazariy va uslubiy tushunchalarni to‘la o‘zlashtirish, tahlil natijalarini to‘g‘ri aks
ettira olish, o‘rganilayotgan jarayonlar haqida mustaqil mushohada yuritish va joriy, oraliq nazorat
shakllarida berilgan vazifa va topshiriqlarni bajarish, yakuniy nazorat bo‘yicha yozma ishni
topshirish.
Mazkur fan bo’yicha talaba semestrlar yakunida yakuniy nazoratga kirishi uchun dars
jarayonlaridagi ishtiroki, hisob – grafik ishlarini kamida 60 foizini topshirganligi, mustaqil ta’lim
topshiriqlarini kamida 60 foizini bajarganligi hamda 1 va 2- oraliq nazorat ishlaridan kamida 60
foizini o’zlashtirgan bo’lishi lozim. Aks xolda yakuniy nazoratga qo’yilmaydi.
Birinchi oraliq nazorat ishini topshira olmagan talaba ikkinchi oraliq nazorat ishiga qadar
topshirishi lozim. Shu bilan birga ikkinchi oraliq nazorat ishini topshira olmagan talaba, yakuniy
nazorat ishi e’lon qilingan kunga qadar oraliq nazorat ishini topshirishi mumkin.
Fanga ajratilgan auditoriya soatining 25 foizini va undan ortiq soatni sababsiz qoldirgan
talaba ushbu fandan chetlashtirilib, yakuniy nazoratga kiritilmaydi hamda mazkur fan bo’yicha
tegishli kreditlarni o’zlashtirmagan hisoblanadi.
2-semestr
Ba=(Da+H1+ H2+H3+J1+J2)/6 ≥ 60%
Bm=(Dm+M1+M2+ M3+ON1+ON2)/6 ≥ 60%
B= (Ba + Bm )/2 ≥ 60%
Kredit = BYN ≥ 60%
Izoh: Da – talabaning amaliy mashg’ulotlardagi davomati.
Dm– talabaning ma’ruza mashg’ulotlardagi davomati.
H(1,2,3) – talaba tomonidan bajarilishi lozim bo’lgan hisob-grafik ishlari.
O(1,2) – talaba tomonidan topshirilishi lozim bo’lgan oraliq nazorat ishlari.
M(1,2,3) – talaba tomonidan topshirilishi lozim bo’lgan mustaqil ishlar.
Ba – talabaning semester davomida amaliy mashg’ulotlaridan to’plagan umumiy bali.
Bm - talabaning semester davomida ma’ruza mashg’ulotlaridan to’plagan umumiy bali.
B – talabaning semester davomidagi to’plagan umumiy bali.
BYN – talabaning joriy semestrdagi yakuniy nazorat bali. Ushbu ball kredit miqdorini belgilaydi.
5
1-ORALIQ NAZORAT UCHUN TOPSHIRIQLAR
1.
3.
5.
7.
I. Aniqmas integralni integrallash jadvalidan foydalanib toping (1-30).
3
2


4
2.   2 cos x  3 x 2  dx
  2  sin 2 x  10 x  dx
x

x 2
 5
4.  (5sin x  x 7  2)dx
  cos2 x  2  x  dx
3
x
3x
8
6.    6e 2 x  dx
 (5  4e  9 x )dx
x
3
3


5
x
 14
8.   2  x 5   dx
  6  2  4cos x  dx
x
 sin x
9.
 (5
x
1 
 2

10.  
dx
2
2
 4  x cos x 
 3sin x  4)dx
 6
x4 5 
11.  
   dx
2
 cos x 2 x 
13.  (2  3x  x)dx
12.  (5cos x  5 x 4  2 x)dx
14.  (tgx  ctgx) 2 dx
 1
1 
15.   2

 dx
1  x2 
 x 9
1
dx
17. 
1  sin 2 x
19.  2  3x  x dx

2 
 1
 2  dx
16.  
2
 cos x sin x 
18.

 3
x
 e3 x  dx
20.  (5x  3cos x  4)dx
 1
7
1
21.   2

  dx
1  x2 x 
 x 4
 4

23.  
 e3 x  sin 3x  dx
 x

3

25.   tgx  ctgx   dx
x

 3

7
27.   2

 2 x  dx
2
 x 1 1 x

1
dx
29. 
1  cos 2 x
1 
 7

22.  
 dx
2
x ln 2 
 1 x

1

 2 x  dx
x2

24.
  x
26.
  2 cos x  5 x
2


4
3
 dx
x
1

28.   3x  e3 x   dx
x

30.
  5cos 2 x  x
7
 2 x dx
II. a) Aniqmas interalni o’zgaruvchilarini almashtirish usuli bilan toping (1-15).
x 1
e3x
dx
dx
dx
1. 
2.  2 x
3. 
x2
e 1
2  5x
xdx
x 3 dx
10


x
2
x

5
dx
4. 
5. 
6.  8
1 x2
x 2
x
4x  3
e dx
x 3 dx
dx
7. 
8.
9.
 x  23
 x 1
2  ex
2
10.

x2
2 x
11.

dx
12.
x
2
e  ex
6

dx
1 ex
x
 x  2 dx
2
13.
14.

x2
5
(2 x 3  4) 3 dx
15.
dx
 ex  2
b) Aniqmas integralni bo’laklab integrallash usuli bilan toping (16-30).
lg x
16.  x  3 x dx
17.  xe x dx
18.  3 dx
x
2
19.  x cos 2 xdx
20.  ln xdx
21.  x cos 2 xdx
22.

25.
28.
x 3 dx
23.
 x2
 x arcsin xdx
26.
 x ln xdx
 ( x  1) ln xdx
29.
x
1 x
2
2
x
24.
dx
x
2 3x
e dx
27.  ln 1  x dx
ln xdx
30.
x
2
arccos xdx
III. a) Kasr-ratsional funksiyalarning integrallarini toping (1-10).
3x  2
2x  7
dx
1.  2
2.  2
3.  2
dx
dx
x  6x  5
2x  x  3
x  x2
dx
2x  3
dx
dx
4.  2
5.  2
6.  2
x  x2
x 4
x  2x  3
2
x2
xdx
x  5x  9
7.  2
8.  2
9.  2
10.
dx
dx
x  3x  2
x  5x  6
x  4x  7
b) Irratsional funksiyalarning integrallarini toping (11-20).
x
dx
dx
11. 
12. 
13.  x dx
4 3
3
4
x 1
x 1
x  1 x
dx
x 3 dx
15.  x 1  xdx
16. 
17. 
1 x 1
x 1
x 1
x dx
19. 
20. 
dx
x 3 x
x x2
x
2
5x  3
dx
 10 x  29
14.
x
x 1
18.
x
dx
x2
dx
x 1
c) Trigonometrik funksiyalarning integrallarini toping (21-30).
1  cos x
cos x  sin x
sin 3 x  1
dx
dx
21. 
22. 
23.  sin 3 x  cos3 xdx
24. 
dx
1  cos x
sin 2 x
cos 2 x
1  sin x
dx
25.  sin 5 xdx
26. 
27.  cos 4 xdx
28.  sin 3 x  cos 2 xdx
1  sin x
cos xdx
dx
29. 
30. 
1  cos x
cos x sin 3 x
IV. Quyidagi aniq integrallarni hisoblang (1-30).
4
1.

1
xdx
x 1
4
8
2.

e
dx
3 5  x 1
7
3.
 x ln xdx
1

2
dx

0 5  4 cos x
4.
9
1
x
dx
x 1
5. 
4
x
6.
0


2
4
3
 sin tdt
7.
1  x 2 dx
2
0
е
x
10.
1
4
11.
1  (ln x)2


2

dx
 2
0 x  4x  5
12.
3
 sin x  sin xdx
0
e
15.
cos(ln x)
dx
x
1



 (3  2 sin x)

2
2
16.

dx
14.  2
x  3x  2
0
4
0
 cos x cos 3xdx
1
 cos (  x)dx
13.
2
9.
1
dx

2
xdx
 2x
0 e
8.
3
sin x
dx
17. 
(
2

cos
x
)
0
cos xdx
0
 x  sin 2 xdx
18.


 (sin x  cos x)
19.
1
2
2
2
dx
20.
 x  log 2 xdx
 xe
21.
dx
1
1
0
2x

2

sin x
0 (2 cos x  1) 4 dx
22.

23.

cos x
dx
 3
sin
x

25.

26.
ex
dx
27. 
2x
1

e
0
1
 arcsin xdx
0
2

1
28.
dx
01 x
24. 
1
2
3
4
4
x
3x
0 cos 2 cos 2 dx

4
 arccos xdx
29.
0
dx

2
0 1  2 sin x
30.
 x sin x cos xdx

V. a) Xosmas intеgrallarni yaqinlashishga tеkshiring (1-15).

1.

1
( x  1)dx
x
3

2.

1
dx
x

3.
e
x

dx
4.
0
 1  x2
1
8
dx
0
5.
e

x
dx
0
6.

 1 

11.
2

dx
arctgx
7. 
dx
1  x2
1
x2

dx
 x ln 3 x
12.
x
8.
 (x  1) 2
9.
0

dx
2
dx
13.
3

dx

1
3

26.
dx
 x 2  2 x  2 .
27.

0
4
dx
.
1  3x
3
28. 
1
10.
(x  1) 2
0
2
e
  x  6 x  13
e
1
4 2

xdx
dx
xdx
dx
.
16.  2 . 17. 
18.
. 19.
0
4
9x 1
01 x
0
64  x 2 3
2

2
dx
xdx
x 2 dx
.
.
21. 
22. 
23. 
.
2
1 x ln x
0 4x  4x  5
0
64  x 6
ln x
1
dx
0
( x 2  1)dx
15. 
x3
1
0


dx
0 x 2 (x  1) .
x 1
1
24.

5
1

dx
;
2
x  6x  9
29.


x
3
20.
x
1 (1  x) 2 dx.

dx.
sin xdx
5
(x  1) 2

xdx
 x2  4
14.
3
dx
2
cos x
ln xdx
.
x
2

25.
2
30.
.
dx
 x ln x .
1
2
2-ORALIQ NAZORAT UCHUN TOPSHIRIQLAR
I. Quyidagi funksiyalarning aniqlanish sohasini toping (1-30).
1
x y
1.
z
5.
z  x y
8.
z  arcsin
2.
15. z 
y 1
x
x  y  16
18. z  arcsin
21. z 
24. z 
2
y 1
x
1
3
x y
2x  y  1
x2 y 2
  4)
9
4
3
30. z 
ln(1  x 2  y 2 )
27. z  ln(
3.
z
1
x y
x2 y2

 1)
9
4
1
9. z 
2x  2 y
6. z  ln(
4x  y2
11. z 
ln(1  x 2  y 2 )
2
z  x y
12. z 
2x  2 y
4.
7.
10.
13. z 
z
z  x2  y 2  9
1
2  x2  y2
z  25  x 2  y 2
x  y 1
14. z 
1
1
x y
x2 y 2
16. z  ln( 
 2)
9
4
17. z 
1
4  x2  y 2
19. z  16  x  y
20. z 
x  3y
23. z 
1
2
x y
2
2
1
ln(1  x 2  y 2 )
y2
25. z  arcsin
x
1
28. z 
9  x2  y 2
22. z 
9
26. z 
29. z 
x 2  y 2  25
36  x 2  y 2
II. O’zgaruvchilari ajraladigan diffеrеnsial tеnglamalarni yeching (1-30).
1. y dx  x 2 dy  0
17. x5 y  y 2  2 y  26  0
2. y 2 dx  2 xdy  0
18. 1  x 2  y  ctgy  0
3. y  sin 2 x cos2 x  0
19. xyy  1  x 2
3
4.  x 2  2 x  3  y  y  0
20. y 2 y  1  2 x
21. ytgx  y  0
22. xy  y  y 2
5. yx ln y  y ln x  0
6.  x 2  2 x  5   y  y 2  0
23. y  1  y 2  0
7. y  yx3  0
8. y cos2 x  sin 2 y  0
24. 1  y 2 dx  y 1  x 2 dy  0
9. y  1  x 2  tgy  0
10.
11.
12.
13.
25. y  10x  y
x y
x y
 sin
26. y  sin
2
2
27. y sin x  y ln y
y  x cos 2 y  0
yxtgy  ln x  0
xy  y 2  4 y  4  0
y ln y  y cos x  0
28. 1  x 2  y  1  y 2
29. 1  y  dx  1  x  dy  0
14. 1  x 2 y  4  y 2  0
30.  y  1 dx  x2 dy  0
15. 1  x 2  y  y  0
16.  xy 2  x  dx   y  x 2 y  dy  0
III. a) Birinchi tartibli bir jinsli diffеrеnsial tеnglamalarni yeching (1-15).
1.  x  2 y   y  3x  y
9.  y  x  dx   y  x  dy  0
2.  xy  y  ar sin
y
x0
x
10.  x  y  dx  xdy  0
3. xy  y  9 x 2  y 2
11.  x  y  dx   y  x  dy  0
4. x 2 y  y 2  2 x 2
x y
5. y 
x y
12. xdy  ydx  x 2  y 2 dx
13. 8 y  10 x  dx   5 y  7 x  dy  0
y
14. xy 2 dy   y 3  x 3  dx
y
x
2
7.  3 y  3xy  x 2  dx   x 2  2 xy  dy
6. y  e x 
8. xy  y ln
16.
17.
18.
19.
20.
21.
15. x 2 y  y 2  xy
y
x
b) Chiziqli diffеrеnsial tеnglamalarni yeching (16-30).
y
( x  1) y   4 xy  3
22. y  3  x3
x
y  yctgx  cos2 x
x2
3

23.
y

2
xy

e
y   yx  x
24. y( x  1)  y  2( x  1)3
(1  x)( y  y)  e x
dy
y  ytgx  sin x
 tgx( y  1)  0
25.
dx
y
y   1
26. y 1  x 2  y  arcsin x
x
2
10
27. y  
xy
1  x2
29. xy  y  ln x  1
 arcsin x  x
30. ( x2  x) y  y  x2 (2 x  1)
28. xy  2 y  x cos x
IV. To’liq diffеrеnsialli tеnglamalarni yeching (1-30)
17.  3x 2  6 xy 2  dx   6 x 2 y  4 y 3  dy  0
1.  x  5 x 4 y  1 dx   x 5  y 2  y  dy  0
5
18. e y dx   xe y  2 y  dy  0
2. y 2 dx  (2 xy  5 y 2 )dy  0
3. ( x 2  2 xy)dx  ( x 2  y 2 )dy  0
4.
 3x - y  dx   2 y
3
3
3
 3xy  dy  0
5. ( x 2  2 xy)dx  x 2 dy  0
6.
7.
 x  6 xy  y  dx   9 xy  3x
 2  y  dx  2 xydy  0
3
9
19. ( x  y)dx   x  2 y  dy  0
20.  x5  5 x 4 y  dx   x 5  y 2  dy  0
2
8
2
21. y3dx  (3xy 2  5 y)dy  0
 y  dy  0
9
22. ( x 2  3x 2 y)dx  ( x3  y)dy  0
23  3x3 - y 2  1 dx   2 y 3  2 xy  5  dy  0
2
24.  x 2  2 xy  y 3  dx   x 2  3xy 2  dy  0
2


 y 2  x 2 y 2  dx   2 xy  x 3 y  dy  0
3


2
2
9. y dx  (2 xy  y )dy  0
8.
x
2
25.  2 x  y 4  dx  4 xy 3dy  0
26. ( x  7 y )dx  7 xdy  0
2


27.  y 2  xy 3  dx   2 xy  x 2 y 3  dy  0
3


10. ( x 4  4 xy  y 2 )dx  (2 x 2  2 xy  y 3 )dy  0
11. ( x3  3x 2 y)dx  ( y 3  x3 )dy  0
12. (8x 2  6 xy  y 4 )dx  (3x 2  4 xy3  y)dy  0
13. ( x  y )dx  xdy  0
14. ( x  y )dx  xdy  0
28.  x3  6 x5 y  dx   x 6  y 2  dy  0
29. ( x  3 y)dx  3x  2 y  dy  0
30. ( x  y 6 )dx   y  6 xy 5  dy  0
15. ( x 2  xy 2  y 3 )dx  ( y 3  x 2 y  3xy 2 )dy  0
16. x  2 x 2  y 2  dx  y  x 2  2 y 2  dy  0
V. Ikkinchi tartibli o`zgarmas koeffisiеntli chiziqli bir jinsli bo`lmagan diffеrеnsial
tеnglamalarni yeching (1-30).
1. y  16 y   x 2  x
16. y  y  e3x
2. y  6 y  5 y  4e3 x
17. y  3 y  2 y  2 x 2  6 x
18. y  4 y  5 y  69sin 2 x
3. y  6 y  25 y  10  2 x 2
4. 16 y  y  sin 4 x
19. y  3 y  6 x  1  6e3 x
5. y  16 y  2 cos 4 x
20. y  6 y  18 x 2
6. y  16 y  5sin 4 x
21. y  6 y  13 y  8sin 2 x
x
7. y  3 y  4 y  6 x  2e
22. y  4 y  4 y  8 x  e  2 x
8. y  y  sin x
23. y  2 y  y  2 x  1  2e x
24. y  6 y  25 y  2sin x  3cos x
9. y  y  3x 2  52 x  17
10. y  7 y  12 y  12 x  5
25. y  4 y  12 x 2  4
11. 4 y  y  3x 2  52 x  17
26. y  8 y  20 y  e3 x
12. y  25 y   cos 5 x
27. y  6 y  9 y  9 x  2e3 x
13. y  5 y  6 y  12 x  6 - e2 x
28. y  y  3x 2  6 x
14. y  9 y  27 x 2  24 x  2
29. y  6 y  9 y  4e3 x  9 x
15. y  9 y  18 e9 x
30. y  4 y  13 y  6 x
11
HISOB GRAFIK ISHLARINING TOPSHIRIQLARI
1-HISOB GRAFIK ISHI
Aniqmas integrallar. Aniq integrallar va ularning tadbiqlari.
NA’MUNAVIY VARIANT YECHIMI
4x  7x  5
dx .
2
 2 x  5)
2
1.
 ( x  1)( x
Yechish. Integral ostidgi funksiya to‘g‘ri kasrdan iborat. Kasrning maxrajidagi
x 2  2x  5
p2
kvadrat uchhad ko‘paytuvchilarga ajralmaydi, chunki
 q  4  0.
4
4x 2  7x  5
A
Bx  C


U holda kasrni
( x  1)( x 2  2 x  5) x  1 x 2  2 x  5
ko’rinishda yozib olamiz.
Tenglikning chap va o‘ng tomonlarini umumiy maxrajga keltiramiz va suratlarni tenglashtiramiz:
4 x 2  7 x  5  A( x 2  2 x  5)  ( Bx  C)( x  1).
 x  1 : 16  8 A,

A, B, C koeffitsiyentlarni topamiz:  x 2 : 4  A  B,
 x 0 : 5  5 A  C.

Bundan
A  2, B  2, C  5.
4 x2  7 x  5
dx
2x  5
d ( x 2  2 x  5)
Shunday qilib, 
dx  2

dx  2ln | x  1|   2

( x  1)( x 2  2 x  5)
x 1  x2  2x  5
x  2x  5
d ( x  1)
3
x 1
3
 2ln | x  1|  ln | x 2  2 x  5 |  arctg
 C.
2
2
( x  1)  2
2
2
2  sin x  3cos x
dx .
2. 
1  cos x
Yechish. Integralda almashtirishlar bajaramiz:
2  sin x  3cos x
3  3cos x  1  sin x
1  sin x
dx  3 dx  
dx  3x  I1  C.
 1  cos x dx  
1  cos x
1  cos x
I 1 integralni universal trigonometrik o‘rniga qo‘yish orqali ratsionallashtiramiz:
x
2t
1 t2
t  tg , sin x 
, cos x 
,
1  sin x
2
1 t2
1 t2 
I1  
dx 
1  cos x
2dt
dx 
, x  arctgt
1 t2
2t
1
2
2dt
1  t 2  2t
2tdt
d (1  t 2 )
  1 t2 

dt

dt


t

  1 t2
 1 t2 
1 t 1 t 2  1 t2
1
1 t2
 t  ln | 1  t 2 | tg
x
x
x
x
 ln 1  tg 2  tg  2 ln cos .
2
2
2
2
12
Demak,


2  sin x  3 cos x
x
x
dx  3x  tg  2 ln cos  C.
1  cos x
2
2
( x  3) 2  6 x  3
3
dx .
x  3  3 x  3.
6
Yechish. x  3  t belgilash kiritamiz, chunki EKUK(2,3,6)  6 .
6
5
Bundan x  t  3, dx  6t dt . U holda
3.

3
( x  3) 2  6 x  3
t3 1 4
t4  t
5
6
 t dt  6 t 4 (t 2  t  1)dt 
dx


6
t
dt


3
2
t 1
t t
x  3  3 x  3.
6
6
6
6
 t 7  t 6  t 5  C  6 ( x  3) 7  6 ( x  3) 5  x  C.
7
5
7
5
4.

(1  4 x ) 2
3
x  12 x 5
dx.
Yechish. Integral ostidagi funksiyani standart shaklda yozib olamiz: x
Demak, m  

17
12
2
3


1  x  .


1
4
17
1
2
m 1
, n  , p  . Bundan
 p  1.
12
4
3
n
Chebishevning uchinchi o‘rniga qo‘yishidan foydalanamiz:
1
1
1
1  x 4  x 4 t 3 yoki x 4 (t 3  1)  1.
1
1  4 x 3
3
4
2
3
5

Bundan t  
 4 x  , x  (t  1) , dx  12t (t  1) dt.


2
17
2
3
(1  4 x )
2
3
3
1 3
3
U holda 
dx


12
(
t

1
)

(
t

(
t

1
)
)
 t 2 (t 3  1) 5 dt 

12 5
x x
 12  (t  1)
2
17 2
 5
2 2
3 3
t
5
12
12  1  4 x 
dt  12  t dt   t 5  C   3  4   C.
5
5 
x 
4

xdx
.
2
3x
9
5.
 cos
0
Yechish. Aniq integralni bo‘laklab integrallash usuli bilan hisoblaymiz:

xdx
0 cos2 3x  dv 
9


u  x, du  dx,
9
1
19
 xtg 3x   tg 3xdx 
dx
1
,
v

tg
3
x
3
30
0
cos2 3x
3

9
1 
 3 1

  3 1 1
 1
 1
  ln  ln1 
 3  3ln 2 .
  tg  0   ln | cos 3x | 
  ln cos  ln | cos 0 |  
27 9  2
3 9 3
27 9 
3
 27
 9

0


6.  2 sin x cos xdx.
8
6
2

2
Yechish. Integral ostidagi funksiyaning darajasini pasaytiramiz:
13

28 sin 6 x cos2 x  24 (22 sin 4 x)(22 sin 2 x cos2 x)  16(2 sin 2 x) 2 (2 sin x cos x) 2 
 16(1  cos2x) 2 sin 2 2 x  16(1  2 cos2 x  cos2 2 x) sin 2 2 x 
 16 sin 2 2x  32 cos2x sin 2 2x  16 sin 2 2x cos2 2x 
 8(2 sin 2 2 x)  32 cos2 x sin 2 2 x  4(2 sin 2 x cos2 x) 2 
 8  8cos 4 x  32cos 2 x sin 2 2 x  2(1  cos8 x)  10  8cos 4 x  2 cos8 x  32sin 2 2 x cos 2 x.
Integralni hisoblaymiz:










2
2
2
2
2
8
6
2
2
 2 sin x cos xdx  10  dx  8 cos4 xdx  2  cos8 xdx  32  sin 2 x cos2 xdx 

 10 x   8 
2


2
2


3
sin 4 x
sin 8 x
 2
 16  sin 2 2 xd (sin 2 x)  10       0  0  16  sin 2 x  5 .
4 
8 
2
3



2
2
1-HISOB-GRAFIK ISHI TOPSHIRIQLARI
I. Aniqmas integrallarni toping (1-2).
II. Aniq integralni hisoblang (3).
III. Xosmas integralni yaqinlashishga tekshiring (4).
1-variant
(arcsin x)  1
dx.

1  x2
2
1.
2.
1
dx
 x 3  x 2 dx.

dx

3.
3
3
.
3
4.
x 2 1  x 2 
xdx
.
2
1
 9x
0
2-variant
1.
1  sin x
 ( x  cos x) 2 dx.
2x  3
 xx  12 dx.
2
2.
x2  9
dx.
x4
6

3.
3
1
4.
xdx
1  x
4
dx.
0
3-variant
cos x  sin x
1. 
dx.
(sin x  cos x) 2
x2
2. 
dx.
2
xx  2 x  1
4 2

3.
0
3
dx
.
3
64  x 
2
4.
dx
0 x 2  2x  3 .
4-variant
3
x dx
1.  2
.
x 1
x2
2.  3
dx.
x  x2
6
3.

dx

2 3
x2 x2  9
dx.
4.
dx
0 x 2 (x  1) .
5-variant
x  cos x
1. 
dx.
2 sin x  x 2
x 1
dx.
2.  3
x  x2
3
2
3.
x
3
6-variant
14
dx
4
x 3
2

.
4.
x
 (1  x)
1
2
dx.
1.
x cos x  sin x
 ( x sin x) 3 dx.
2.
x3  1
 x 3  x 2 dx.
3
2
dx

3.
.
3
4  x 
2
0
dx
 x ln x .
4.
1
7-variant
x 1
dx.
2.  2
x x
arctgx  2 x
1. 
dx.
1  x2
3
x2  9
dx.
x4
6
3.

3
x 2 dx
2

4.
64  x 6
0
.
8-variant
1.
3x  2
dx.
2.  2
x 1
4 x
dx
x4
3
2

2
3.
x

4  x dx.
2
2
 4x
4.
2
xdx
.
 4x  5
2
0
9-variant
1.
dx

( x  1)
2
x  3x  1
 x 2  x dx.
3
.
3
2.
 1  x  dx.
1
3.
x 1
1
2 3

4.
1
0
5
x
3
dx.
10-variant
3x  1
1.  2
dx
x  2x  2
x 4
2.  2
dx.
x  3x  2
3
4

3.

dx
16  x 
2 3
0
ln xdx
.
x
2

4.
.
11-variant
1.
4x  3
 x 2  10 x  29dx
2 x  5x  1
 x 3  x 2 dx.
3
2.
2
5

dx

3.
25  x 
2
0
x
4.
.
3

dx
.
 2x  2
2
12-variant
1.
x
2
5x  3
dx
 6 x  13
2.
x
3
2x  3
dx.
 x2  x 1
3.
1
3
2
2
x dx

16  x
0
2
.
4.

0
dx
.
1  3x
4
13-variant
1.

5x  1
x  2x  1
 x 2  7 x  12 dx.
3
x 2  4x  5
dx
2.
2
x 4 dx
2
3.

0
3
4.
.
3
8  x 
2
dx
;
x 2  6x  9

1
14-variant
1.

3x  2
4x  x  1
dx.
2. 
x2  2x
3
3  2x  x
dx
2
2
2
3.

2
4  x dx.
2
4.
x

0
15-variant
1.

2x  3
5  4x  x
2x3  4x  3
2
2
2. 
dx. 3.  x 1  x dx.
2
x  2x
0
1
dx
2

4.


2
16-variant
15
sin xdx
5
cos2 x
.
2
dx
;
 4x
1.

16  x 2
dx
x4
2.
x3  4
 x 2  4 x  3 dx.
2
4
2
2
 x 16  x dx.
3.
4.
0

1
dx
4x  x  4
2
3
.
17-variant
1.
x
dx
x2  4
2

2.
3x  4
dx.
x3  x
3
1

 4  x  dx.
2
3.
2 3
dx
 x ln
4.
2
0
0
x
.
18-variant
5
2
x3  3
dx.
2.  2
x  x6
x 2  ln x 2
1. 
dx
x
2
dx

3.
5  x 
2
0
dx
 x ln x .
4.
.
3
1
19-variant
1.
2x  2x  1
dx.
2. 
x2  x3
xdx

x  2x  5
4
3
2
2
2
x 2 dx

3.
9x
0
2
.
2
4.
x
0
2
dx
.
 4x  3
20-variant
x  3x  2
dx.
2. 
xx 2  2 x  1
2
1.  ctgx ln(sin x)dx
4
3.

16  x dx.
2

4.
0

0
arctg 3 x
dx.
1  9x2
21-variant
1.
3 cos x  2 sin x
 (2 cos x  3sin x) 2 dx.

4.
2.
x3  3
 ( x  1) 2 ( x  1) dx.
5
3.
x
2
25  x 2 dx.
0
2
x dx

81x3  1
0
22-variant
1.
x
dx
x2  1
x  3x  2
dx.
2. 
x( x  1) 2
3
3
x
3.
2
3
9  x dx.
4.
3  x 2 dx.
4.
2
0
dx
2 x 2  3x  2 .
23-variant
1.
x
dx
x 1
2
2.
3
dx
 x 3  8 dx.
3.


x 2 dx

0 3
0
x
3
 8
4
.
24-variant
1.
x
dx
1  x2
x3
dx.
2.  4
x  4x2
5
3.

0
25-variant
16
25  x dx.
2

4.
x

2
dx
.
 16
1.  tgx ln(cos x)dx
 9  x  dx.
3
dx
2.  3
.
x  3x  2
3.
ln( 2  x)
dx.
2x
2
2 3
4.
0

0
26-variant
1.
3  ln 2 x
 x dx
2x  1
 x 3  x dx.
2.
4
3.
1
dx

.
3
4.
16  x 
2
0
x

3
dx
.
 x2
27-variant
3x  4
dx.
2.  2
x x2
x  ln 9 x
1. 
dx
x
3
2
x2  1
dx.
x4
2
3.

1
x 4 dx
4. 
.
4
1  x5
0
1
28-variant
1.
3x  2
 x 2  6 x  10dx
3x  1
 ( x  1)x 2  1 dx.
2
2.
2

3.
0
x 2 dx
16  x 2
5  x2
0 4  x 2 dx.

.
4.
29-variant
1.

2x  5
x 2  2x  2
dx.
3x 3  1
dx.
2.  2
x ( x  1)
4
3.

2
x2  4
dx.
x4

e tgx
0 cos2 x dx.
2
4.
30-variant
1.

x4
3  x  2x
2
dx.
2.

2  x  3x
dx.
x( x  1) 2
2
2 2
3.

2
x 2
dx.
x4
1
3
2
4.
dx
  3x  1
2
.
0
2-HISOB-GRAFIK ISHI TOPSHIRIQLARI
a) Berilgan funksiyalar grafiklari bilan chegaralangan yassi figura yuzasini hisoblang (1).
b) Berilgan egri chiziq yoyi uzunligini toping (2)
c) Funksiyaning aniqlanish sohasini toping va chizmada tasvirlang.
d) Sirtga M 0 ( x0 ; y0 ; z 0 ) nuqtada o‘tkazilgan urinma tekislik va normal tenglamalarini
tuzing.
2
1.

3
4
2x  5
dx.
2  3x  2 x 2
Yechish. Ildiz ostidagi funksiyada almashtirishlar bajaramiz:
2
9  9   25 
3  
 2 3    2 3
2  3x  2 x  2  2 x  x   21   x  x      2
  x   .
2   
2
16  16   16 
4 

2
17
2
U holda,

3
4
3

dx 
4

2
dx
2  3x  2 x 2

2
3
5 
2    x  
4
4 
3
4

1
4x  3
arcsin

5 3
2
2
2

4
2
42 3
2
 2

 arcsin 0  
arcsin1 
.
 arcsin
2 
5
4
 2
2. l : x  5 cos t , y  5 sin t astroidaning t  0 dan t 
3
3

2
gacha qismi, Oy.
x   (t ), y   (t ),   t   parametrik tenglamalar bilan berilgan egri
Yechish.
chiziqning Oy o‘q atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jism sirti

yuzasi
  2   (t )   2 (t )    2 (t )dt formula bilan hisoblanadi.



x  5 cos 3 t , y  5 sin 3 t astroidaning  0  t   Oy o‘q atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan sirt
2

yuazini hisoblaymiz: (1-shakl).

2
  2  5 cos3 t (15 cos2 t sin t ) 2  (15 sin 2 t cost ) 2 dt 
0


2
2
 150  cos3 t (cost sin t ) 2 (cos2 t  sin 2 t )dt  150  cos3 t cost sin tdt 
0
0


2
2
0
0

 150  cos4 t sin tdt   150  cos4 td (cost )  150 
3. x 
5
cos t
5
2
 30 .
0
( y  3)
, y  6, x  0, Ox.
3
Yechish.
2
x  0 da y  3.
d
U holda V  2  yg ( y )dy formulaga ko‘ra
c
6
( y  3)2
2
2  y 4
9 y2 
3
2
3
V  2  y
dy 
(
y

6
y

9
y
)
dy


2
y


 
3
3 3
3  4
2 3
3
2 
81
81  63

 9  36  2  216  9 18   54     .
3 
4
2 2
4. l : x  a(t  sin t ), y  a(1  cost ) sikloidaning bir arkasi.
6
6
Yechish. Sikloidaning birinchi arkasi x  a to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik bo‘ladi. Shu
sababli sikloida og‘irlik
markazining abssissasi
xc  a
y
bo‘ladi.
5
18
O
1-shakl.
5
x
t
a 2  (1  cos t )2  sin 2 t dt  a 2  2 cos tdt  2a sin dt.
2
Egri chiziq bir jinsli bo‘lgani uchun uning zichligi   const bo‘ladi.
U holda
dl 
 a(t  sin t )   a(1  cos t )dt 
2
m
2
2
2
t
t
0 dl  2 a  sin 2 dt  4 a cos 2 0  8 a;
0
2
2
t
t
t
2 a  a(1  cos t ) sin dt  2 a 2  2sin 2  sin dt 
2
2
2
0
0
2
2
1 1  32
t 
t
t 1
t



 8 a  1  cos 2   d  cos    8 a 2  cos  cos3   8 a 2  1  1      a 2 ;
3 3 3
2 
2
2 3
20


0 
2
yc 
32 a 2 4
 a.
3  8 a 3
4a 

Demak, C   a;  .
3 

x y
5. D :   1 to‘g‘ri chiziq va koordinata o‘qlari bilan chegaralangan.
a b
Yechish.
b
y   x  b.
a
To‘g‘ri chiziq tenglamasidan topamiz:
Quyidagi formulalarni qo‘llaymiz:
b
xc 
b
1
 y 2 dx
b

2
yc  a
, m   ydx .
m
a
 xydx
a
m
,
a
 b x2

 b

 ba
 ba
U holda m      x  b  dx       bx       ba  
;
a
2

 2

 a 2
0
0
a
a
 b x3
 ba 2 ba 2  ba 2
x2 
 b

  x   x  b  dx       b     

;

a
2 0
2 
6

 a 3
 3
0 
a
 a b
a
 a  2 2b2
b2 2 
  2 2b2 x 2 b2 x3 
ab2


x

b
dx

b

x

x
dx

b
x





;






2 0  a
2 0 
a
a2 
2
a 2 a2 3  0
6

2
ba 2  2 a
ab2  2 b
xc 
 ; yc 
 .
6  ba
3
6  ba
3
a b
Demak, C  ;  .
 3 3
1.
a) y  x  3 x, y  x.
3
с) z  3   x 2  y 2  2 xy
2.
a) y  ( x  1) , y  x  1
2
2
b) y  chx  4, 0  x  1.
d)
z  x 2  y 2  4 xy  3 y  15, M 0 (3;1;4).
b) x  2(1  sin t ), y  2(1  cos t ), 0  t 
19

2
.
 x2 y 2 
с) z  ln 1   
4 9 

3.
a)
6.
x 2  y 2  2 xy
x 2  y 2  2 xy
2

3
9.
10.
b) r  6 , 0   
2
a) x  ( y  2) , x  4 y  8.
3
4
.
3
x
y
8
9
b) y  1  x  arccos x, 0  x  .
2
2
M 0 (4;1;1).
2
e x  ex
, 0  x  2.
b) y 
2
2
2
2
d) 2 x  2 y  z  8xz  z  6  0, M 0 ( 2;1;1).
b) x  3(t  sin t ), y  3(1  cost ),
2
d) x  xy  8x  z  yz  8  0,
2
2
ln( y  1)

2
.
d) z  x  y  2 xy  x  2 y  4,
2
yx 4
2
2
M 0 (1;1;3).
b) y  1  x  arcsin x, 0  x 
a) y  2 , y  2 x  x , x  0, x  1.
x
  t  2 .
M 0 (2;3;2).
3
b) r  2(1  cos ),     
a) y  4 x, x  4 y.
2
2
7
.
9
d) x  y  2 z  xy  4 z  3xz  4  0, M 0 (3;2;1).
2
2
2
3

b) r  3e 4 , 
a) x  4  y , x  y  2 y.
a) y 
.
M 0 (2;1;1).
d) x  y  xz  yz  3xy  2  0,
a) y  3x  x , y   x.
2
с) z  ln( x 2  2 y  4)  x
12.
3
2
2
2

d) z  y  x  2 xy  3 y  5x  4, M 0 (1;1;2).
с) z  ( x 2  y 2  1)(4  x 2  y 2 )
11.
M 0 (1;1;2).
2
a) y  x 9  x , y  0, (0  x  3).
с) z 
.
b) y  ln cos x  3, 0  t 
4
;
3
x2  y 2
xy
2
6
2
2
x2  y2  9
с) z  arcsin

d) 4 x  z  4 xy  yz  3z  9  0,
с) z  ln( x2  y 2  6)  ln y
8.
2
;
с) z  25  x 2  y 2  xy
7.
2
d) x  y  z  6 xy  z  6  0,
ln 3 x
a) r  3 , 0   
с) z 
2
b) r  4(1  sin  ), 0   
a) y  lnsin x  3, 0  t 
с) z 
5.
2
r  3cos3.
с) z 
4.
d) x  y  2 xz  z  x  2 z  2  0, M 0 (1;1;1).

2
 

2
d) z  x  y  3xy  3x  2 y  5,
2
.
M 0 (1;2;1).
2
b) x  5 cos t , y  5 sin t , 0  t 
4  x 2 , y  0, x  0, x  1.
2
20
2

2
.
1
 x y
x y
d)
6 xy  2 x 2  xy 2  z 2  3x  0, M 0 (1;2;3).
r  cos  sin .
b)
r  2 sin 3
с) z 
13.
a)
с) z  arccos
14.
3 y  x
1
x2  y 2  6
17.
3
ln x
2
22.
1
y  ln(1  x 2 ), 0  t  .
4
b)
2
arcsin( x  y )
x  y 1
2
2
2
y  ln sin x  3,
b)
4

3
r  2e , 
b)

3
t 

2

2
 

2
M 0 ( 2;3;4).
.
M 0 (1;1; 1).
.
2
M 0 ( 2;3;4).

x  4 cos3 t , y  4 sin 3 t , 0  t  .
2
2
с) y  2  x, y 
M 0 (1; 1; 2).
d) x  2 y  2 z  xy  yz  3  0, M 0 (2;1;1).
x y
с) y  x
x
b)
x 2  y 2 1
x.
b)
2
2
y  2  e x , ln 5  t  ln 8.
d) x3  y3  z 2  2 xyz  5xy  4 y  2  0, M 0 ( 2;1;3).
4  x 2 , y  0 (0  x  2). b) x  5(t  sin t ), y  5(1  cost ), 0  t   .
с) z  4 x  x 2  y 2
21.
b) y  e  12, ln 15  t  ln 24 .
2
2
M 0 (1;2;1).
2
d) z  x  y  6 x  3 y  2 xy,
y  x 5
e
.
d) x 2  xy  xz  3 yz  2 z 2  2  0,
a) x  9 y, x  3 y.
с) z 
20.
2
2
a) x  4 cos t , y  4 sin t.
2
2
d) z  x  y  2 xy  2 x  3 y  8,
x2  2 y  4
4x
3
с) z 
19.
1
x
2
с) z 
18.

a) y   x , x  y  2  0.
с) z 

d) 3x2  4 xy  12 xz  3 yz  z 2  15  0,
2
a) y  sin x, y  cos x, x  0.
с) z 
16.
2
ln y
2
3
, 0  
d) x  y  z  yz  4 yx  8x  0,
a) x  2(t  sin t ), y  2(1  cost ).
с) z 
15.
y
x y

d) z  2 x  3 y  4 x  2 y  10 xy, M 0 (1;1;3).
2
2
3
.
4
2
2
2
с) z  ln(16  x 2  y 2 )  ln x
d) x  y  z  2 x  2 xy  z  0, M 0 (1;1;2).

3
a) y  xarctgx, y  0, x  3.
b)
r  cos3 , 0    .
3
2
с) r  4(1  cos ).
6. r  4 , 0   
21
2x
с) z  arccos
x y
2
d) 2 x  3 y  xy  3x  z  y  0, M 0 (1;1;2).
2
2
2
a) y  x  6, y   x  5 x  6.
2
23.
с) z 
2
xy
x  y2
y  ln
b)
5
,
2x
3  x  8.
d) x  y  z  4 x  6 z  8  0, M 0 (2;1;1).
2
2
2
2
x 2 ln x
a) y  ( x  2) , y  4  x, y  0.
b)
y

, 1  x  2.
4
2
2
2
2
с) z  ln(8  x 2  y 2 )
d) y  z  4 x  2 xy  3xz  6  0, M 0 (1;2;2).
2
24.
b)
с) z  arcsin(3x  y )
a) x  3 cost , y  2 sin t.
26.
2
2
a) y  x  2 x  3, y  3x  1.
2
2
3x  4 y
x  y2  2
y 3e e

x
2
, 0  x  2.
2
y   ln cos x, 0  x 
b)
2
2
x
y 1
2

6
r  3(1  sin  ), 
b)
2
с) z  8 x  x 2  y 2

6
   0.
2
2
b)
M 0 (1;1;2).
x  2 cos3 t , y  2 sin 3 t , 0  t 
Differensial tenglamalarning umumiy yechimini toping
2. y
IV
1-variant
b) y   10 y   21 y  0,
c) y   2 y   2 y  0.
 4 y  4 y  x 2  x  1.
1. a) y   49 y   0,

4
2
2
2
d) y  2 x  z  y  4 z  13  0, M 0 (2;1;1).
3-HISOB-GRAFIK ISHI TOPSHIRIQLARI
1. a) y  9 y  0,
.
2
d) x  y  z  6 x  4 y  8  0,
a) y  arccos x, y  0, x  0.
30.
.
d) x  y  z  6 x  4 z  4 xz  0, M 0 (1;2;1).
2
с) z  arcsin
x
2
2
a) y  x , y  2 x, y  x.
29.
6
2
b)
a) 4 y  x , 2 y  6 x  x .
с) z 

d) z  2 x  y  4 xy  5x  10, M 0 (1;7;8).
с) z  1  x 2  y 2  1
2
2
d) x  y  3z  xy  2 z  0, M 0 (1;0;1).
2
28.

b) x  8 cos t , y  8 sin t , 0  t 
с) z  y  x
27.
r  1  sin  , 

   .
2
6
2
2
d) z  x  y  2 xy  x  2 y , M 0 (1;1;1).
a) xy  4, x  y  5
25.
2-variant
b) y   6 y   13 y  0,
22
c) y   8 y   7 y  0.
.
2. y  4 y  2  3x  4 x .
2
3-variant
1. a) y   6 y   0, b) y   10 y   29 y  0, c) y   2 y   2 y  0.
2. y  13 y  12 y  18 x  39.
2
4-variant
1. a) y   25 y  0, b) y   6 y   9 y  0,
c) y   8 y   25 y  0.
2. y  5 y  4 y  1  x .
2
5-variant
b) y   7 y   8 y  0,
c) y   4 y   13 y  0.
1. a) y  3 y  0,
2. y
IV
 8 y  16 y  2 x(1  x).
6-variant
1. a) y  81 y  0,
b) y   10 y   16 y  0,
c) 2 y   5 y   2 y  0.
2. y  3 y  4  24 x .
2
7-variant
b) y   3 y   18 y  0, c) 3 y   2 y   5 y  0.
1. a) y   11 y   0,
8-variant
1. a) y  81 y  0,
b) 16 y   8 y   y  0,
2. y
IV
 4 y  2x.
c) 2 y   5 y   2 y  0.
2. y  5 y  4 y  ( x  1) .
2
9-variant
1. a) y   64 y  0,
b) 4 y   3 y   y  0,
c) y   6 y   5 y  0.
2. y  6 y  1  2 x  3x .
2
10-variant
1. a) y   y  0,
b) 4 y   8 y   5 y  0,
c) y   6 y   10 y  0.
2. y   y   6 x  5.
11-variant
1. a) y  5 y  0,
b) 9 y   6 y   y  0,
c) y   6 y   8 y  0.
2. y  5 y  6 y  6 x 2  2 x  5.
12-variant
1. a) y  16 y  0,
2. 3 y
IV
b) y   4 y   20 y  0,
c) y   3 y   10 y  0.
 y  6 x  1.
1. a) y   4 y  0,
1. a) y  2 y  0,
13-variant
2
b) y   10 y   25 y  0,
c) y   3 y   2 y  0. 2. y  y  6 x  1.
14-variant
b) y   6 y   9 y  0,
c) y   12 y   37 y  0.
2. y  3 y  2 y  x  2 x  3.
2
15-variant
23
1. a) y  9 y  0,
2. y
IV
b) y   y   2 y  0,
c) y   4 y   4 y  0.
 3 y  3 y  y  x  3.
16-variant
c) y   3 y   2 y  0.
1. a) y   4 y   0,
b) y   4 y   13 y  0,
2. y   13 y   12 y   1  x.
17-variant
c) y   2 y   5 y  0.
1. a) y  3 y  0,
2. y
IV
b) y   5 y   6 y  0,
 2 y  y  4x 2 .
18-variant
b) y   2 y   10 y  0,
c) y   y   2 y  0.
1. a) y   2 y   0,
2. y
IV
 6 y  9 y  2x  3.
1. a) y  4 y  0,
19-variant
c) y   y   12 y  0.
b) y   2 y   17 y  0,
2. y  y  6 x  3x.
2
20-variant
b) y   y   6 y  0,
c) y   4 y   20 y  0.
1. a) y  9 y  0,
21-variant
1. a) y   49 y  0,
b) y   4 y   5 y  0,
2. 7 y   y   12 x.
c) y   2 y   3 y  0.
2. y IV  y  12 x  6.
1. a) y   6 y   0,
2. y
IV
22-variant
b) y   8 y   25 y  0,
c) 9 y   3 y   2 y  0.
 2 y  y  12 x 2  6 x.
23-variant
1. a) y  16 y  0,
b) 6 y   7 y   3  0,
c) 4 y   4 y   y  0.
2. y   2 y   3x  x  4.
2
24-variant
b) y   6 y   10 y  0,
c) y   5 y   4 y  0.
1. a) y  3 y  0,
2. y  3 y  2 y  3x  2 x.
2
1. a) y   7 y   0,
2. y
IV
IV
b) y   4 y   5 y  0,
c) y   6 y   8 y  0.
 4 y  4 y  2  3x 2 .
1. a) y  5 y  0,
2. y
25-variant
26-variant
b) 9 y   6 y   y  0,
c) y   12 y   37 y  0.
 3 y  3 y  y  2 x.
1. a) y  8 y  0,
27-variant
b) 4 y   8 y   3 y  0,
c) y   2 y   10 y  0.
24
2. y  5 y  x  x .
2
28-variant
1. a) y  10 y  0,
2. y
IV
IV
c) 4 y   4 y   y  0.
 y  3( x  2) 2 .
1. a) y   y  0,
2. y
b) 2 y   3 y   y  0,
29-variant
b) y   6 y   9 y  0,
c) 2 y   2 y   5 y  0.
 6 y  9 y  x  x 2 .
1. a) y   25 y  0,
30-variant
V
IV
b) 2 y   3 y   y  0, c) y   4 y   8 y  0. 2. y  y  2 x  3.
Asosiy adabiyotlar
1. Ummer E.K. Basic Mathematics for Economics, Business, and Finance. – USA and Canada:
Routlege, 2012.
2. Bauman G. Mathematics for engineers I. Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH. 2010.
3. Bauman G. Mathematics for engineers II. Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH. 2010.
4. Canuto C., Tabacco A. Mathematical Analysis I. Springer-Verlag Italia, Milan 2008.
5. Canuto C., Tabacco A. Mathematical Analysis II. Springer-Verlag Italia, Milan 2010.
6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. 1-2 часть. Москва, 1978 г.
7. Соатов Ё.У. Олий математика. 1-5 қисмлар. -Т.: Ўқитувчи, 1995.
8. Xurramov Sh.R. Oliy matematika. Misol va masalalar. Nazorat topshiriqlari. 1 - qism, 2qism. T: Fan va texnologiyalar, 2015.
9. Данко П.Е. ва бошқалар. Олий математика мисол ва масалаларда. – Tошкент: 2007, -416
бет.
10. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебн. пособие для
вузов. – 9-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2003. – 479 с.
11.Гмурман В.Е. Эҳтимоллар назарияси ва математик статистикадан масалалар ечишга
доир қўлланма. – Тошкент: Ўқитувчи, 1980.
Qo’shimcha adabiyotlar:
1.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. Москва, 1985 г.
2.Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – Т.: 1978, -368 с.
3.Письменный Д. «Конспект лекций по высшей математике», 1,2 часть. M.: Айрис Пресс,
2008.
4.Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. Учебное пособие для втузов.
– М.: Наука, 1987. – 240 с.
5.Eshmamatova D.B., Ikramova M.E. “Birinchi va ikkinchi tartibli egri chiziqlar”. Toshkent,
2006.
6.Egamberdiyev B., Isanov R. Sh. Oliy matematikadan hisob-grafik ishlarning misol va
masalalarini yechish. I-qism. Toshkent, 2009.
7.Karimov A.M., Jukova L.G. Oliy matematikadan hisob-grafik ishlari bo‘yicha topshiriqlar
to‘plami. Toshkent, 2009.
8.G‘aniev I.G‘. va boshq. Oliy matematikadan masalalar to‘plami. 1, 2-qismlar. Toshkent, 2009.
9.Y.P.Oppoqov,N.Turgunov,I.A.Gaffarov. Oddiy differensial tenglamalardan misol va masalalar
to’plami.Vorisov –nashriyot. Toshkent,2009
10. N. Turg’unov, I. Gafarov, Chiziqli algebra va analitik geometriya. Qisqa kursi. O’quv
25
qo’llanma - T: «Lesson - press» nashriyoti. 2021.
26