МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ На правах рукописи МУСАКАЕВ ЭМИЛЬ НАИЛЕВИЧ ЭФФЕКТИВНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ИДЕНТИФИКАЦИИ МОДЕЛЕЙ ПЛАСТОВЫХ СИСТЕМ И УПРАВЛЕНИЯ ЗАВОДНЕНИЕМ НЕФТЯНЫХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степени кандидата технических наук Научный руководитель: доктор физико-математических наук Родионов С.П. Тюмень – 2021 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ (ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ) ..........................................................4 ГЛАВА 1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ, ПРОБЛЕМЫ И ПЕРСПЕКТИВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ РАЗРАБОТКИ МЕСТОРОЖДЕНИЙ УГЛЕВОДОРОДОВ ......................................................9 1.1. ЭКСПРЕСС-МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ РЕСУРСОЕМКИХ ЗАДАЧ МОДЕЛИРОВАНИЯ РАЗРАБОТКИ МЕСТОРОЖДЕНИЙ УГЛЕВОДОРОДОВ .................................................12 Модели емкости-сопротивления ........................................................................................13 Модели на базе метода трубок тока ...................................................................................16 1.2. ПРИНЦИП ИЕРАРХИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ..............................................17 Иерархический подход к моделированию для решения задач идентификации и управления ............................................................................................................................19 ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 1 ..........................................................................................................21 ГЛАВА 2. ЗАДАЧИ СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ МОДЕЛЕЙ МАТЕРИАЛЬНОГО БАЛАНСА НА РАЗЛИЧНЫХ УРОВНЯХ ДЕТАЛИЗАЦИИ ПО ПРОСТРАНСТВУ ..................................................................................23 2.1. НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ И СПОСОБЫ ИХ РЕШЕНИЯ .....................................23 Корректно и некорректно поставленные задачи ...............................................................23 Нечеткие множества ............................................................................................................26 Нечеткие постановки некорректных задач ........................................................................26 Иерархический подход к моделированию. Выбор сложности идентифицируемой модели ...................................................................................................................................27 2.2. УРАВНЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОГО БАЛАНСА ............................................................28 Постановка задачи ................................................................................................................29 Детализация уравнений материального баланса ...............................................................29 Универсальный вид системы уравнений материального баланса ...................................32 2.3. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ УРАВНЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОГО БАЛАНСА ................................................................................................................................33 Структурная идентификация и регуляризирующие функционалы .................................34 Иерархия моделей по расчету материального баланса ....................................................35 Статистический подход к выбору модели .........................................................................37 2.4. РЕЗУЛЬТАТЫ ПРИМЕНЕНИЯ РАЗРАБОТАННОЙ МЕТОДИКИ ПО РАСЧЕТУ МАТЕРИАЛЬНОГО БАЛАНСА ............................................................................................39 Результат №1. Поэтапное решение уравнения материального баланса с использованием нечетких множеств ..................................................................................39 Результат №2. Экспериментальные расчеты материального баланса на секторной гидродинамической модели. Анализ промысловых данных ...........................................45 Результат №3. Применение методики структурно-параметрической идентификации при расчете материального баланса по скважинам ..........................................................54 2.5. ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС ДЛЯ РАСЧЕТА МАТЕРИАЛЬНОГО БАЛАНСА..62 ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ ПО 2 ГЛАВЕ ............................................................................65 ГЛАВА 3. ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАВОДНЕНИЕМ НА НЕФТЯНОМ МЕСТОРОЖДЕНИИ ...................................................................................................................66 2 3.1. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ СИСТЕМЫ РАЗРАБОТКИ НЕФТЯНОГО МЕСТОРОЖДЕНИЯ НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА ........67 3.2. ЭФФЕКТИВНЫЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ РАСЧЕТА ИЗБИРАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ЗАВОДНЕНИЯ.........................................................................................................................69 Задача оптимизации системы разработки ..........................................................................69 Экспресс-алгоритм для расчета избирательной системы заводнения ............................70 Результаты ............................................................................................................................71 3.3. ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЯМИ ПРОДУКТИВНОСТЕЙ СКВАЖИН ......76 Представление задачи управления значениями продуктивностей скважин в конечноразностной форме .................................................................................................................78 Задача управления режимами работы скважин ................................................................85 Задача выравнивания профиля приемистости нагнетательной скважины .....................88 3.4. ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС ДЛЯ РАСЧЕТА ОПТИМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ РАЗРАБОТКИ ..........................................................................................................................91 ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ ПО 3 ГЛАВЕ ............................................................................92 ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................................................................................................93 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ...........................................................................................................95 3 ВВЕДЕНИЕ (ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ) Актуальность темы. В нефтяной промышленности России с появлением мощных инструментов компьютерного моделирования и анализа в виде коммерческих симуляторов (Eclipse, Tempest MORE, tNavigator и т.д.) стало обычной практикой применение подхода к моделированию процесса разработки месторождения, связанного с созданием как можно более подробной фильтрационной модели и последующим решением основных задач извлечения углеводородов из недр. Сформировалось мнение, что созданная трехмерная цифровая гидродинамическая модель позволит учесть практически все особенности реальных фильтрационных процессов при разработке нефтяных месторождений. Однако реалии сегодняшнего дня, и это отмечается рядом специалистов (Халимов Э.М., Дзюба В.И., Мухаметшин Р.З., Пичугин О.Н. и др.), показывают, что после массового перехода проектирования на трехмерное цифровое моделирование не произошло сколь-нибудь заметного увеличения в целом точности прогнозов основных показателей разработки нефтяных месторождений. Во многом это связано с тем, что подробная гидродинамическая модель достаточно точно описывает процессы разработки нефтегазовых месторождений и обладает хорошими прогнозными свойствами только при наличии качественных исходных данных и всесторонней информации о пласте. Однако, в условиях высокой неопределенности исходных данных и большой погрешности измерений нарушается т.н. «принцип простоты», который в реалиях математического моделирования сложных объектов может быть сформулирован следующим образом: «модель должна быть настолько простой, насколько возможно и настолько сложной, насколько необходимо» [85]. Нарушение «принципа простоты» для задач адаптации и управления, решение которых ищется в оптимизационной постановке, соответствует в некотором роде некорректной постановке этих задач: нарушаются либо условия единственности решения, либо его устойчивости. В литературе широко известен способ решения некорректно поставленных задач – это регуляризация или метод добавления некоторой дополнительной априорной информации. На практике специалист, адаптируя сложную модель с целью дальнейшего управления разработкой месторождения, руководствуется своим опытом и общими закономерностями протекания процессов в качестве регуляризирующей информации. При этом он держит в голове множество сторонних данных и расчетов на других моделях, тем самым пытаясь получить согласованную модель, корректно описывающую происходящие 4 в пласте процессы. Это интуитивный путь, напрямую зависящий от квалификации специалиста. Формализовать процедуру адаптации и её регуляризации можно с помощью предлагаемого в рамках данной работы иерархического подхода: использование вспомогательных простых моделей для формирования регуляризирующей информации для более сложных моделей. То есть в процессе усложнения моделей образуются дополнительные, физически понятные и обоснованные ограничения на минимизируемый целевой функционал. Например, в данной диссертационной работе предлагается метод решения системы уравнений материального баланса в последовательных приближениях, сначала для месторождения, потом для взаимосвязанных участков, потом для скважин, что, в конечном счете, позволяет сформировать принципиальную модель исследуемого объекта и выявить главные факторы на основе предварительного углубленного анализа. Аналогичная ситуация имеет место и для задач управления разработкой нефтяного месторождения, когда в условиях неопределенности входной информации целесообразно использовать иерархический подход. Расчеты на простых моделях сужают множество допустимых значений до некоторого минимального уровня, выбор лучшего варианта производится уже с помощью расчета на подробной гидродинамической модели. При этом значительно сокращается время расчета оптимальной системы разработки. Таким образом, разработка простых моделей, инженерных методик и эмпирических зависимостей и их использование в рамках иерархического подхода является актуальной задачей, с помощью решения которой можно значительно повысить эффективность моделирования. Целью диссертационной работы является разработка эффективных алгоритмов и методик для решения задач идентификации моделей пластовых систем и управления заводнением нефтяных месторождений. Основные задачи, решаемые в диссертации: 1. Разработка методов структурной и параметрической идентификации моделей материального баланса на нефтяном месторождении. 2. Исследование эффективности предлагаемых методов на синтетических и реальных промысловых данных с месторождения в условиях недостатка входной информации. 3. Разработка алгоритма для определения избирательной системы заводнения с использованием аналитического решения задачи вытеснения нефти водой. 4. Исследование эффективности предложенного алгоритма на синтетических моделях разработки нефтяного месторождения 5 5. Реализация разработанных методов и алгоритмов в виде единого программного комплекса. Объектом исследования является нефтяное месторождение. Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы математического моделирования, оптимального управления, нелинейной и дискретной оптимизации. Основные научные положения, выносимые на защиту: 1. Методика структурно-параметрической идентификации моделей материального баланса для гидродинамически связанных участков или скважин. 2. Эффективный алгоритм для быстрого расчета избирательной системы заводнения, основанный на уравнениях двухфазной фильтрации. Внедрение результатов работы. В диссертационную работу вошли результаты исследований, выполненных в соответствии с планами фундаментальных исследований РАН, а также в рамках научно-исследовательской темы «Технология расчета оптимальных вариантов системы заводнения путем назначения нагнетательных и добывающих скважин» (договор между ООО «Конкорд» и Тюменским филиалом Института теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН) и подержанных грантом РНФ № 18-19-00049. Получен патент на изобретение и свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ: Пат. 2658422 РФ «Способ назначения нагнетательных и добывающих скважин и изменения их интервалов перфораций» от 21.06.2018 (авторы: С.П. Родионов, О.Н. Пичугин, В.П. Косяков, Э.Н. Мусакаев). Свид. 2017617374 РФ «Расчет материального баланса на нефтяном месторождении» от 04.07.17 (автор: Э.Н. Мусакаев). Свид. 2018666950 РФ «Структурно-параметрическая идентификация гидродинамических связей между скважинами при моделировании разработки нефтяных месторождений» от 25.12.2018 (автор: Э.Н. Мусакаев). Научная новизна диссертации состоит в следующем: 1. На основе иерархического принципа, в котором элементами модели нефтяного месторождения последовательно являются месторождение в целом, участок и скважина, предложен новый метод регуляризации для решения задач параметрической идентификации модели материального баланса. При переходе от одного уровня детализации модели к следующему используются 6 результаты моделирования с предыдущих уровней в виде дополнительных регуляризирующих функционалов. 2. Разработана методика идентификации структуры и значений гидродинамических связей между скважинами, включающая в себя процедуру статистической обработки решений уравнений материального баланса с разным числом связей. 3. Предложен новый алгоритм для быстрого определения благоприятного варианта назначения типов (нагнетательная или добывающая) скважин при известном их расположении, использующий аналитическое решение уравнений двухфазной фильтрации для задачи о вытеснении нефти водой из зональнонеоднородного пласта. Практическая ценность диссертации обусловлена ее прикладной направленностью. Все проведенные исследования так или иначе продиктованы потребностями нефтегазовой промышленности. Полученные результаты могут быть использованы при моделировании и проектировании нефтяных месторождений, а также при создании или совершенствовании соответствующих программных продуктов. Обоснованность и достоверность результатов, представленных в диссертационной работе, определяется использованием законов сохранения, применением современных методов математического и численного моделирования, решением тестовых задач, имеющих известные аналитические и численные решения, а также сравнением результатов моделирования с промысловыми данными. Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на XII Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Уфа, 2019), 2-ой Всероссийской молодежной научной конференции «Актуальные проблемы нефти и газа» (Москва, 2018), XII Международной конференции «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (Казань, 2018), ХХ Международной научно-практической конференции по вопросам геологоразведки и разработки месторождений нефти и газа «Геомодель 2018» (Геленджик, 2018), Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Новые технологии - нефтегазовому региону» (Тюмень, 2016, 2018), XV Всероссийском семинаре «Динамика многофазных сред» с участием иностранных ученых (Новосибирск, 2017), VI Российской конференции «Многофазные системы: модели, эксперимент, приложения» (Уфа, 2017), Международной научнопрактической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Энергосбережение и инновационные технологии в топливно-энергетическом комплексе» (Тюмень, 2016), 7 Международной конференции «SPE Russian Petroleum Technology Conference and Exhibition» (Москва, 2016), XXII Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, 2015), Международной научнотехнической конференции «Нефть и газ Западной Сибири», посвященной 90-летию со дня рождения А.Н. Косухина (Тюмень, 2015), 56-ой научной конференции МФТИ (МоскваДолгопрудный-Жуковский, 2013). Основные результаты работы докладывались автором на семинарах Тюменского филиала Института теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН под руководством д.ф.-м.н., профессора А.А. Губайдуллина, Физико-технического института Тюменского государственного университета под руководством д.т.н. А.А. Вакулина. Публикации Основные положения диссертации опубликованы в 19 печатных работах, в т.ч. 7 в рецензируемых журналах и изданиях, рекомендованных ВАК при Минобрнауки России, а также получено 2 свидетельства государственной регистрации программ для ЭВМ и 1 патент на изобретение. 8 Глава 1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ, ПРОБЛЕМЫ И ПЕРСПЕКТИВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ РАЗРАБОТКИ МЕСТОРОЖДЕНИЙ УГЛЕВОДОРОДОВ Разработкой нефтяных месторождений называют осуществление научно обоснованного процесса извлечения из недр содержащихся в них углеводородов. Этот процесс включает разбуривание месторождений и выработку запасов нефти и газа [19]. Одним из основных инструментов для обоснованного принятия стратегических и тактических решений при разработке месторождений углеводородов является моделирование процессов извлечения нефти и газа, в частности, математическое моделирование [1, 4, 5, 24]. Как отмечается в [33], применение математического моделирования для решения разнообразных задач так или иначе, связанных с разработкой месторождений, начинается с середины 20-го века. В 90-е годы на смену физическому, аналоговому моделированию пришли цифровые модели [52], реализуемые на сегодняшний день в таких программных продуктах, как «Техсхема», «Eclipse», «Stars», «Tempest More», «tNavigator» и др. Этому способствовало бурное развитие как вычислительной техники (ЭВМ), так и численных методов, позволяющих выполнять большие объемы вычислений. В 1998г. ЦКР Роснедра (в настоящее время – Центральная Комиссия по согласованию технических проектов разработки месторождений углеводородного сырья Федерального агентства по недропользованию) было принято решение об использовании трехмерных цифровых геолого-гидродинамических моделей в качестве основы для проектирования разработки месторождений углеводородов [11]. За более чем 20 лет такой способ проектирования разработки, заключающийся в создании и поддержании постоянно действующих трехмерных геолого-гидродинамических цифровых моделей, стал привычной, стандартной операцией. На данный момент в литературе подобный подход к пластовому моделированию разработки месторождений зачастую описывают как традиционный [92, 94]. Основные этапы традиционного подхода к пластовому моделированию показаны на блок-схеме (рис. 1.1). В статье [52] автор выделяет тот факт, что вместе с заметными улучшениями, которые привнесло пластовое моделирование, «…не удалось решить главную задачу – повысить точность получаемых результатов». По прошествии некоторого времени после создания постоянно действующей геолого-гидродинамической модели разработки месторождения наблюдается отклонение фактической динамики текущей добычи нефти 9 от проектной, что чревато серьезными последствиями. В связи с этим недропользователь вынужден каждый раз выполнять новый проектный документ, и этот процесс перерастает в «…непрерывно продолжающееся перманентное проектирование». Также, на основании многолетнего опыта работы экспертом ЦКР Роснедра, автором делаются неутешительные выводы о том, что «точность расчетов динамики добычи нефти в целом после массового перехода проектирования на пластовое моделирование сколь-либо заметно не увеличилась. Для зрелых месторождений … точность прогнозов, выполненных с использованием традиционных аналитических методик, не уступает полученным с применением пластового моделирования». Сбор и обработка доступной геологической и петрофизической информации Создание подробной геологической модели процедура ремасштабирования Создание гидродинамической модели Адаптация гидродинамической модели на исторические данные Управление разработкой месторождения на основе полученной адаптированной гидродинамической модели Рис. 1.1. Принципиальная схема геолого-гидродинамического моделирования разработки месторождения. Подобная точка зрения прослеживается и у других авторов [11, 12, 37, 38]. В работах [37, 38] авторы обращают внимание на то, что техника и технология нефтедобычи неуклонно развиваются, а нефтеотдача снижается; причем это касается не только трудноизвлекаемых запасов нефти, но и месторождений с активными запасами нефти. Причин того, что полномасштабное геолого-гидродинамическое моделирование не принесло ощутимых преимуществ по сравнению даже с простыми отраслевыми методиками, может быть на самом деле множество. Если кратко суммировать их, то в качестве главных можно выделить следующие [11]: 10 высокая неопределённость исходных данных, недостаток знаний о структуре и свойствах пласта; несоответствие используемых моделей качеству исходных данных и знаний, ориентация на усложнение моделей, необоснованный отказ от простых инженерных моделей и методик; внутренняя противоречивость моделей и их несогласованность на уровне междисциплинарного синтеза. В работе [11] подчеркивается, что указанные выше проблемы тесно перекликаются друг с другом. Далее, авторы приводят примеры из собственного опыта экспертной оценки геолого-гидродинамических моделей на уровне ГКЗ (Федеральное бюджетное учреждение «Государственная комиссия по запасам полезных ископаемых»). Наиболее наглядным выглядит следующий приводимый в статье пример, где показано, что использование гидродинамической модели, основанной на несогласованной геологической модели, может привести к значительным ошибкам при расчете объема извлекаемых запасов, в частности, к их сильному завышению. На рис. 1.2 приведены результаты сопоставления зависимостей накопленной добычи нефти от накопленной добычи жидкости, полученных на основе гидродинамической модели и характеристик вытеснения Камбарова и Пирвердяна [54]. Приведенные результаты показывают, что прогнозируемая нефтеотдача пласта, полученная с помощью гидродинамической модели, несмотря на ее хорошую адаптацию к истории разработки, оказалась завышенной более чем в 2 раза. Рис. 1.2. Сопоставление зависимостей объема добытой нефти от времени, полученных с помощью характеристик вытеснения Камбарова и Пирвердяна и с помощью полномасштабной гидродинамической модели. В результате авторами делается промежуточный вывод о том, что использование разумного и сбалансированного упрощения моделей, в которых учитывались бы наиболее важные факторы, влияющие на расчетные показатели, является целесообразным. Такие 11 модели быстрее и корректнее адаптируются к истории разработки, а также имеют более устойчивые прогнозные свойства, чем сложные модели. 1.1. ЭКСПРЕСС-МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ РЕСУРСОЕМКИХ ЗАДАЧ МОДЕЛИРОВАНИЯ РАЗРАБОТКИ МЕСТОРОЖДЕНИЙ УГЛЕВОДОРОДОВ Идея того, что в условиях высокой неопределенности в исходных данных лучше использовать упрощенные модели (по сравнению с геолого-гидродинамическим моделированием), не новая и является одним из принципов в технологии Top-Down Reservoir Modeling (TDRM) [79, 84, 92, 94]. Подход TDRM в некотором смысле противопоставляется традиционному подходу (рис. 1.1), так как исследования начинаются с модели минимальной сложности, соответствующей доступной информации и имеющимся вычислительным ресурсам. Детали добавляются позже по мере необходимости. Суть данной технологии состоит в том, что поведение пластовой системы в процессе разработки можно имитировать на основе интеллектуальной обработки пространственно-временных данных, заранее получаемых посредством расчетов на относительно простых фильтрационных моделях [46]. При этом интеллектуальная обработка данных происходит с использованием нейронных сетей и теории нечетких множеств. Выбор подходящей фильтрационной модели для решения практически важных задач по разработке месторождения является одной из сложнейших задач при использовании подхода TDRM. Авторы статьи [94] указывают, что этот выбор субъективен и существенно зависит от предпочтений и возможностей специалиста. Всё зависит от баланса сложности выбранной модели и тех средств, которые потребуются для её построения, как показано в работе [71], рис. 1.3. Так, если при решении задачи управления заводнением месторождения с высокой точностью известны только данные по скважинам, а параметры пласта в межскважинном пространстве определены с большой погрешностью, то более целесообразным представляется использование, например, моделей CRM (Capacity-Resistance Model) вместо традиционного полномасштабного гидродинамического моделирования (ГДМ). Модели CRM [45, 46, 58, 59, 66, 71, 72, 79, 82, 91, 93, 95] основаны на современном аналитическом решении материального баланса и подробнее про них будет говориться далее. Основным преимуществом моделей CRM и подобных им перед ГДМ является скорость расчета, что позволяет получать решение и проводить анализ неопределенности в течение часа, т.е. практически в режиме реального времени по меркам пластового моделирования [94]. Благодаря этому свойству реализуется подход оперативного управления разработкой месторождений: данные со скважин (в основном забойные 12 давления, суточные показатели добытой и закачанной жидкости по скважинам) поступают в фильтрационную модель, практически мгновенно происходит адаптация на новые данные, после чего становится возможным рассчитать различные сценарии управления разработкой на актуальной фильтрационной модели месторождения. В связи с этим такие модели получили название data-driven models или модели с ориентацией на данные [59, 67, 70, 73, 75, 78, 79, 83, 97]. Рис. 1.3. Классификация моделей, используемых для моделирования разработки нефтяных месторождений. Одни из ранних работ по моделям с ориентацией на данные [67, 70, 73, 91] были выполнены для распознавания связей между нагнетательными и добывающими скважинами, основываясь на коэффициентах корреляции Спирмана. Этот метод основан на статистическом анализе дебитов добывающих и приемистости нагнетательных скважин без какого-либо гидродинамического моделирования. В конечном счете, с этим связаны и ограничения на применимость данного метода, так как погрешности в измерениях приводят к значительным ошибкам, а прогнозные свойства данного метода невелики [67, 91]. Модели емкости-сопротивления Наиболее широко распространённой моделью с ориентацией на данные является модель емкости-сопротивления (CRM). Такое название она получила из-за аналогии течения жидкости в пористой среде с движением тока в электрической цепи, содержащей конденсаторы (capacitor) и резисторы (resistor), где сжимаемость и проводимость аналогичны емкости и сопротивлению в электрической цепи соответственно. В работе [58] CRM оценивает межскважинные связи серией коэффициентов распределения. Эти коэффициенты распределения примерно равны доле закачанной воды с каждой нагнетательной скважины, текущей к каждой связанной с ней добывающей скважине. P.H. Gentil [66] расширил модель [58], представив физически обоснованное объяснение 13 коэффициентам распределения, а также предложил эмпирический степенной закон для определения нефтенасыщенности. В работе [95] модель CRM использовалась для описания добычи жидкости на месторождении при заводнении. Простейший вид уравнений для CRM можно получить (1.3а), объединив уравнение материального баланса (1.1) и уравнение для дебита добывающей скважины (deliverability equation) (1.2): ctVp dp fw t q t , dt (1.1) где ct - эффективная сжимаемость, V p - дренируемый поровый объем пласта, p осредненное по области V p пластовое давление, w t , q t - объем закачанной и добытой жидкости соответственно, f - эффективная закачка [93]; q J p pwf , (1.2) где J - индекс продуктивности добывающей скважины, pwf - забойное давление; dq t dt q t fw t J dpwf t dt , (1.3а) где - временная константа, определяемая следующим выражением: ctV p J . (1.3б) Рассмотрим модель (1.3а) в трех различных представлениях [72]: CRMT (одна ячейка), CRMP (для добывающих скважин), CRMIP (для пар скважин нагнетательнаядобывающая) (рис. 1.4). Рис. 1.4. Контрольные объемы для различных реализаций CRM: (а) одна ячейка (CRMT); (b) для добывающих скважин (CRMP); (c) для пар скважин нагнетательная-добывающая (CRMIP) Контрольным объемом для CRMT является весь поровый объем месторождения (рис. 1.4а). Материальный баланс рассчитывается для двух псевдо-скважин, дебит которых равен суммарной закачке и суммарной добыче. Результаты адаптации на такой модели могут быть использованы как начальное приближение в последующих, более сложных по структуре моделях. 14 Как показано на (рис. 1.4b), CRMP разбивает месторождение на контрольные объемы по каждой добывающей скважине и включает сюда все нагнетательные скважины, влияющие на добывающую. Тогда уравнение (1.3а) преобразуется в систему уравнений для каждой j-добывающей скважины: j dq j t dt Ninj dpwf , j t i 1 dt q j t fij wi t j J j , где f ij определяет теперь связь для каждой «i-j» пары нагнетательной (i)-добывающей (j) скважин. Физический смысл параметра определяется как отношение средней f ij проводимости ( Tij ) между нагнетательной скважиной (i) и добывающей скважиной (j) к сумме проводимостей между нагнетательной скважиной (i) и остальными добывающими скважинами [66]: fij T ij N prod T j 1 . ij В зависимости от неоднородности коллектора, разные нагнетательные скважины по разному влияют на добывающие скважины; учитывая этот факт, запишем систему уравнений для контрольных объемов для каждой «i-j» пары скважин (рис. 1.3c) со своими значениями временных констант ( ij ) , индексов продуктивности ( J ij ) : ij dqij t dt qij t fij wi t ij J ij Дебит добывающей скважины qj dpwf , j t dt . определяется как сумма дебитов qij по контрольным объемам, относящихся к j-скважине: Ninj q j t qij t . i 1 Указанные модели (CRMP и CRMIP) определяют добычу жидкости по скважинам, но также важно знать добычу нефти по каждой скважине. Как отмечалось ранее, в работе [66] автор предложил эмпирическую степенную зависимость, или характеристику вытеснения нефти водой: qokj 1 1 a j CWI 15 bj k eff , j q kj , где q kj , qo kj - дебиты жидкости и нефти j-скважины в k-ый шаг по времени, a j и b j настраиваемые параметры, CWI effk , j - накопленная закачанная вода, которая эффективно влияет на добычу j-скважины в k-ый шаг по времени. CWI effk , j определяется следующим образом: k Ninj CWI k eff , j fij wi 1 i 1 Модели на базе метода трубок тока К другим моделям с ориентацией на данные относятся INSIM (interwell numerical simulation model) [67, 97] и Flow-Network model [77]. В INSIM аппроксимируется нефтяное месторождение парными одномерными связями между скважинами (Рис. 1.5а) и решаются уравнения Бакли-Леверетта вдоль каждой связи для определения водо- и нефтенасыщенности. В Flow-Network model, аналогично INSIM, априорно определяются парные связи между скважинами, далее в них решаются уравнения фильтрации в одномерном случае (Рис. 1.5б). (а) (б) Рис 1.5. Аппроксимация нефтяного пласта двумя моделями: (а) – INSIM, контрольные объемы между скважинами показаны серым и характеризуются двумя параметрами, проводимостью Tij и поровым объемом V p , ij ; (б) - Flow-Network model, каждая связь – 1D симулятор. Подобный подход напоминает гидродинамический симулятор на трубках тока [60], только теперь каждая пара нагнетательная-добывающая скважин связана априори определенной одной (интегральной) трубкой тока. В целом, проводимости Tij отражают среднюю проводимость между парой скважин, так как система уравнений представляет собой двухфазный материальный баланс, в отличие от методов, основанных на статистике и корреляции между промысловыми данными. 16 1.2. ПРИНЦИП ИЕРАРХИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ Математическое моделирование сложных систем, к которым, безусловно, можно отнести и систему разработки нефтяного месторождения, должно базироваться на ряде принципов, обеспечивающих корректность и достоверность результатов. Среди этих принципов можно выделить три основных принципа [2]: системный подход; принцип множественности моделей; принцип иерархического многоуровневого моделирования. В основе исследования сложных систем с использованием математического моделирования лежит системный подход, конечной целью которого является построение системы с заданным качеством, обеспечивающим разработку эффективных управляющих воздействий на процесс. Применение системного подхода при разработке месторождений углеводородного сырья представлено во многих работах, далее перечислены некоторые из них [7, 16, 31, 40]. Одним из основополагающих принципов моделирования сложных систем является принцип множественности моделей, заключающийся, с одной стороны, в возможности отображения многих различных систем и процессов с помощью одной и той же модели и, с другой стороны, в возможности представления одной и той же системы множеством различных моделей в зависимости от целей исследования. В книге [35] утверждается, что «Как всякие большие системы, объекты нефтегазодобычи требуют использования целой иерархии моделей – от дифференциальных до интегральных, от детерминированных до адаптивных, – способных описать не только различные уровни организации систем, но и взаимодействие между этими уровнями». Принцип иерархического многоуровневого моделирования базируется на иерархическом описании исследуемой системы и процессов, протекающих в них. На каждом этапе иерархии детализируется модель рассматриваемого объекта с учетом результатов моделирования на предыдущем уровне. Детализация задачи моделирования разработки нефтяного месторождения по пространству может иметь следующую иерархию: Уровень месторождения Объектом исследования становится месторождение. Рассматривается модель oil tank – одной расчетной ячейки. Входной и выходной информацией являются суммарные по всем скважинам значения закачанной и добытой жидкости, изменение осредненных по всему месторождению забойных и/или пластовых давлений, а также интегральные 17 параметры пласта (суммарное значение активности водоносного горизонта, эффективной сжимаемости пласта и т.д.) Уровень участков Объектом исследования является участок нефтяного месторождения с учетом влияния других участков. Данные по закачанной и добытой жидкости суммируются по каждому участку, осредняются по участку пластовые и/или забойные давления. Решается задача секторного моделирования, когда потоки жидкости между участками просчитываются и далее служат граничными условиями при более детальном моделировании отдельно взятого участка нефтяного месторождения. Уровень скважин Задача моделирования с детализацией на уровне скважин является наиболее приоритетной и часто решаемой проблемой. На это есть несколько объективных причин, и одной из основных является тот факт, что извлечение нефти из пласта осуществляется на скважинах, соответственно, моделирования получена вся по основная информация скважинам. Управление для гидродинамического разработкой нефтяного месторождения также осуществляется через скважины. Наиболее подробной моделью нефтяного пласта может служить полномасштабный гидродинамический симулятор, учитывающий различные особенности строения коллектора и характер вытеснения нефти водой с помощью расчета уравнений фильтрации для огромного количества расчетных ячеек (тысячи/миллионы). Как отмечалось ранее, подобный подход требует заполнения большого массива данных, что часто приводит к проблеме несоответствия качества и количества входных данных уровню детализации модели. Таким образом, каждый последующий уровень иерархии требует привлечения все большего объема входных данных, и в условиях неопределенности и нехватки информации важно иметь общее представление об исследуемом объекте. Простые модели, инженерные методики, эмпирические зависимости позволяют сформировать принципиальную модель исследуемого объекта и выявить главные факторы на основе предварительного углубленного анализа. Примером применения рассмотренных выше принципов моделирования сложных систем может служить работа [74], где предложен интегрированный подход к проектированию разработки одного из крупнейших новых месторождений компании «Роснефть». В рассматриваемой статье интегрированный подход предполагает построение единой цифровой модели месторождения, состоящей из связанных моделей пласта, скважин, поверхностного обустройства и экономики. Также дополнительно вводится понятие «иерархии интегрированных моделей», что подразумевает выбор сложности 18 интегрированной модели в зависимости от решаемых задач. Далее показаны интегрированные модели различной сложности, где в качестве модели пласта последовательно применяются: модель материального баланса совместно с характеристиками вытеснения, прокси-модели пласта, гидродинамическая модель пласта. В результате были решены многие комплексные задачи проектирования разработки месторождения, такие как: Оценка принципиальных профилей добычи нефти и газа; Оптимизация инфраструктуры и выбор основных параметров скважин и поверхностного оборудования; Определение оптимальных значений забойных давлений по всем скважинам. Как подчеркивают авторы, подобный подход «…позволил провести комплексный анализ выбора способа эксплуатации, учитывающий особенности данного месторождения. Это позволяет еще до начала разработки сделать серьезные выводы и вынести окончательные решения по существующим проблемам разработки и эксплуатации месторождения». В результате компанией «Роснефть» были инициированы работы по разработке собственного программного продукта для интегрированного иерархического моделирования, что говорит о важности рассматриваемых принципов моделирования таких сложных систем, как нефтяное месторождение. Иерархический подход к моделированию для решения задач идентификации и управления Иерархический подход к моделированию так или иначе используется в нефтегазовой отрасли, в том числе для решения задач идентификации пластовых систем и регулирования системой последовательного разработки. решения основных Известны проблем, методики, возникающих созданные при для адаптации гидродинамической модели пласта или, например, при управлении системой заводнения нефтяного месторождения. В работе [47] делается попытка автоматизации «ручных или полуручных» методов адаптации полномасштабной гидродинамической модели крупных объектов, разрабатываемых методом заводнения. В начале статьи авторы выделяют тот факт, что методы автоматической настройки параметров модели, реализуемые, например, в современных программных комплексах (SimOpt компании Schlumberger, MEPO компании SPT Group, Enable компании Roxar), имеет ряд существенных недостатков. Основным методическим недостатком авторы выделяют «…математическую природу изменений параметров гидродинамической модели в процессе оптимизации, не всегда отражающих физические и геологические особенности строения пласта и искаженных разнообразными 19 погрешностями». К другим недостаткам оптимизационных программных комплексов авторы статьи относят ограниченность вычислительных и временных ресурсов, необходимых для расчетов на моделях большой размерности. Поэтому в работе рассматривается подход к созданию системы, автоматизирующей практические приемы «ручной» адаптации, которые были реализованы в программном обеспечении «TimeZYX». Речь идет о простых моделях (модель материального баланса) и инженерных методиках, позволяющих модифицировать либо абсолютную проницаемость для настройки продуктивностей скважин, либо относительные фазовые проницаемости (ОФП) следующими методами: путем изменения остаточных насыщенностей, добавлением множителя к значениям ОФП или, наконец, изменением формы кривых ОФП. В итоге выстраивается иерархическая последовательная структура из инженерных методик, простых моделей, эмпирических зависимостей и технических приемов, необходимых для адаптации полномасштабной гидродинамической модели. В целом, описанный в статье подход близок к традиционному (рис. 1). Модель, на которой проходят все основные расчеты – это полномасштабная гидродинамическая модель, содержащая слишком много параметров, требующих настройки. В данном случае ведущую роль начинает играть квалификация специалиста, так как в условиях неопределенности исходной информации множество путей ведет к «хорошей» адаптации с формальной точки зрения (совпадение промысловых и расчетных данных, минимальное значение целевого функционала и т.п.), но к неудовлетворительной с точки зрения прогнозных свойств модели. Поэтому имеет смысл применения упрощенных подходов и моделей, содержащих на порядок меньшее количество настраиваемых или оптимизируемых параметров, что позволяет формализовать процедуру адаптации фильтрационной модели или оптимизации системы разработки. Как верно указано в работе [46]: «Интересно отметить, что процесс развития математического моделирования по разработке носит, вероятно, циклический характер. Сейчас вновь возвращается интерес и находит практическое применение решение задач разработки методами материального баланса и <…>. Прогресс этих направлений, в частности объясняется с одной стороны необходимостью проведения большого количества расчетов, <…> и, с другой стороны, необходимостью в оперативном принятии решения и управления работой скважин». 20 ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 1 Таким образом, в истории развития математического и гидродинамического моделирования системы разработки нефтяного месторождения наблюдается некоторое смещение «фокуса» с полномасштабной гидродинамической модели на различные экспресс-методы решения ресурсоемких задач моделирования разработки, среди которых наибольшую популярность получили методы, основанные на современном решении уравнений материального баланса. Такое фундаментальное изменение в подходе к моделированию пластовых систем и систем их разработки связано со следующими возможными проблемами: высокая неопределённость исходных данных; несоответствие используемых моделей качеству исходных данных и знаний; внутренняя противоречивость моделей и их несогласованность на уровне междисциплинарного синтеза. Если рассмотреть проблематику математического моделирования разработки нефтяных месторождений с позиций системного подхода, то тут должны выполняться некоторые принципы моделирования сложных систем, а именно: принцип множественности моделей и принцип иерархического моделирования. Как показывает практика, следование этим принципам является трудоемкой и одновременно актуальной задачей, особенно для таких ресурсоемких этапов проектирования разработки, как процедура идентификации фильтрационной модели пластовых систем или процедура управления системой разработки нефтяного месторождения с целью оптимального извлечения нефти из пласта. Поэтому для решения этих задач в нефтяных компаниях подбираются высококвалифицированные специалисты с большим опытом моделирования, способные систематизировать разнородные, разномасштабные и неточные данные в единую согласованную фильтрационную модель, полученную на самом деле с учетом множества простых моделей и инженерных методик. При этом разработка новых методов и алгоритмов в рамках иерархического подхода существенно снижает нагрузку на человека, так как многие процессы перехода с одного уровня иерархии на другой автоматизированы и не требуют «ручной» корректировки. Резюмируя все вышесказанное, в рамках данной работы были сформированы следующие актуальные задачи исследований: 1. Исследование методов структурной и параметрической идентификации моделей материального баланса нефтяного месторождения в рамках иерархического подхода, в котором элементами моделей нефтяного месторождения последовательно являются месторождение в целом, участок и скважина. При 21 переходе от одного уровня детализации модели к следующему используются результаты моделирования с предыдущих уровней в виде дополнительных регуляризирующих функционалов. 2. Разработка эффективных методов определения избирательной системы заводнения нефтяного месторождения, где сначала определяются благоприятные варианты назначения типов скважин (нагнетательная или добывающая) при известном их местоположении, а затем определяются оптимальные значения коэффициентов продуктивности скважин. 3. Реализация разработанных методов и алгоритмов в виде единого программного комплекса. 22 Глава 2. ЗАДАЧИ СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ МОДЕЛЕЙ МАТЕРИАЛЬНОГО БАЛАНСА НА РАЗЛИЧНЫХ УРОВНЯХ ДЕТАЛИЗАЦИИ ПО ПРОСТРАНСТВУ 2.1. НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ И СПОСОБЫ ИХ РЕШЕНИЯ Для удобства, прежде чем переходить к задачам идентификации моделей материального баланса, необходимо привести краткие сведения из теории так называемых некорректных (или некорректно поставленных) задач о способах их решения с помощью методов теории нечетких множеств при наличии различной априорной информации. Корректно и некорректно поставленные задачи Французским математиком Ж. Адамаром были сформулированы условия корректности постановки математических задач, которые могут быть рассмотрены на примере следующего операторного уравнения: Az g , (2.1) где A - линейный оператор, действующий из гильбертова пространства Z в гильбертово пространство G . Требуется найти решение операторного уравнения z , соответствующее заданной неоднородности (или правой части уравнения) g . Такое уравнение является типичной математической моделью для многих физических, так называемых обратных, задач, если предполагать, что искомые физические характеристики z не могут быть непосредственно измерены, а в результате эксперимента могут быть получены только данные g , связанные с z с помощью оператора A . Задача решения операторного уравнения (2.1) называется корректно поставленной (по Адамару), если выполнены следующие три условия: 1) решение существует g G ; 2) для некоторой функции g уравнение (2.1) имеет единственное решение z ; 3) если gn g , Azn gn , Az g , то zn z . Второе условие обеспечивается тогда и только тогда, когда оператор A является взаимно однозначным (инъективным). Первое и второе условия означают, что существует обратный оператор A1 , причем его область определения D( A1 ) совпадает с G . Третье условие означает, что обратный оператор A1 является непрерывным, т.е. “малым” изменениям правой части g соответствуют “малые” изменения решения z . Некорректно поставленными задачами называют задачи, нарушающие одно из условий корректности. Однако хорошо известны примеры некорректно поставленных 23 задач, к изучению и численному решению которых приходится прибегать при рассмотрении многочисленных прикладных задач [3, 25, 32, 35, 49, 56, 50, 51, 61]. Нужно отметить, что устойчивость и неустойчивость решения связаны с тем, как определяется пространство решений Z [56]. Задача (2.1) становится корректной, если сузить класс возможных решений z до некоторого компакта M [35]. Компакт M называется классом корректности задачи (2.1). Таким образом, если в постановке задачи (2.1) указано, что z принадлежит компакту M , называется корректной по Тихонову (условно корректной). Одним из способов устойчивого решения уравнения (2.1) является минимизация функционала I ( z ) Az g на множестве корректности M . Элемент z arginf Az g zM называется квазирешением уравнения (2.1). Предполагается, что вместо g эксперимент дает g такое, что g g ; при 0 , в силу условной корректности задачи, z z . Множество корректности можно M задать с помощью некоторого неотрицательного неоднородного функционала Ω: M z Z | z m . В этом случае естественен также альтернативный методу квазирешения подход – минимизация функционала z Az g . Обычно величина на множестве функционала Ω (называемого стабилизирующим) характеризует гладкость решения z . Можно показать [48], что этот метод эквивалентен минимизации функционала M z, g Az g 2 z (2.2) на всем пространстве, причем положительный параметр ( ) должен, по идее метода, определяться по невязке из условия Az g , (2.3) где z – экстремаль функционала (2.2). При таких имеет место сходимость z ( ) z , если 0 . Обозначим через R g оператор, ставящий в соответствие элементу g элемент z : z R g , R g называется регулирующим оператором для задачи (2.1) [30, 48]. 24 Однако при решении практических задач информация о величине «ошибки» зачастую отсутствует. К тому же, кроме условия (2.3), могут быть введены и другие, не менее разумные принципы выбора . Опыт решения реальных (а не модельных) задач показывает, что определение параметра регуляризации α является трудно формализуемой процедурой, имеющей субъективный характер [35]. Если априорная информация столь сложна, что ее формализация требует использования многих регуляризаторов Ωi (i = 1, 2, ..., n), то сглаживающий функционал должен иметь вид M z I ( z ) 11 22 ... nn , где через I ( z ) обозначен минимизируемый функционал на множестве корректности M I inf Az g . zM В этом случае одного условия (2.3) не хватит для определения всех параметров регуляризации i . В конечном счете, затруднения, возникающие при подборе , вызваны тем, что сведение многокритериальных задач к однокритериальным всегда связано с соображениями субъективного характера, а существующие ныне алгоритмы явным образом это никак не учитывают. В то же время теория решения многокритериальных задач достаточно хорошо развита, поэтому целесообразно рассмотреть возможные применения ее результатов для решения некорректно поставленных задач. Как известно, анализ многокритериальных задач не приводит к выделению единственного решения (минимизирующего элемента), а сводится к построению множества Парето – совокупности решений, характеризующейся тем, что ни для одного из них не существует доминирующего (лучшего по всем критериям сразу) решения [8]. Окончательный же выбор того или иного решения из множества Парето должен осуществить эксперт (лицо, принимающее решение), исходя из своего опыта, интуиции или привлекая какие-то другие соображения. В целом, решение некорректной задачи должно удовлетворять противоречивому (нечеткому) требованию «максимальная точность при минимальных требованиях на погрешность исходных данных», и соответственно, адекватно использование аппарата теории нечетких множеств (ТНМ) для учета априорных знаний об объекте исследования [25]. 25 Нечеткие множества Нечеткие множества – это объекты, о принадлежности к которым можно судить только с некоторой долей уверенности. Они введены Л. Заде для формализации качественного, словесного описания объектов и преследуемых целей [20]. Нечетким множеством А в Z называется совокупность пар вида z, A z , где z Z , 0;1 , называемая функцией принадлежности нечеткого множества а A z – функция z А. Близость функции A z к 1 является количественной мерой уверенности в том, что элемент z принадлежит множеству А. Вид функции принадлежности определяется представлениями экспертов, которые устанавливают те элементы z Z , для которых A z 1 или 0 (т. е. те области, для которых возможна четкая классификация), а затем задают тот или иной закон изменения функции A от 0 до 1 в интервале нечеткой классификации. Например, нечеткое множество А = «малое число» можно задать функцией принадлежности A z z; a; b; m ; 1, m za φ z; a; b; m 1 , b a 0, za a z b , (2.4) zb где 𝑎, 𝑏 – числа, которые признаются (в данной ситуации) безусловно малым и безусловно большим соответственно. В этом выражении показатель степени m характеризует степень падения уверенности в малости числа z при его отклонении от 𝑎 и назначается экспертом. Нечеткие постановки некорректных задач Рассмотрим задачу минимизации по аргументу функционала I z , неустойчивую относительно малых погрешностей . Предположим, что для обеспечения устойчивости ее решения привлекаются некоторые дополнительные сведения априорного характера, формализованные в виде требования минимальности функционалов Ω1 (𝑧), Ω2 (𝑧), . . . , Ω𝑛 (𝑧). Таким образом, поиск устойчивого решения некорректной задачи сводится к решению многокритериальной задачи минимизации n+1 функционалов (𝐼(𝑧), Ω1 (𝑧), Ω2 (𝑧), … , Ω𝑛 (𝑧)) → 𝑚𝑖𝑛, 𝑧 ∈ 𝑍. 26 Используя подходы ТНМ в целом и операцию пересечения нечетких множеств в частности, эту задачу можно свести к определению элементов z* Z , доставляющих максимум функции принадлежности 1 𝜇 = (𝜇(𝐼) ∙ 𝜇1 (𝛺1 ) ∙ 𝜇2 (𝛺2 ) ∙ . .. ∙ 𝜇𝑛 (𝛺𝑛 ))𝑛+1 , (2.5) где 𝜇(𝐼) – функция принадлежности к нечеткому множеству «малые 𝐼», 𝜇𝑖 (𝛺𝑖 ) - функции принадлежности к нечеткому множеству «малые 𝛺𝑖 » (𝑖 = 1, … , 𝑛). Иерархический подход к моделированию. Выбор сложности идентифицируемой модели Как отмечалось ранее, решение некорректных обратных задач актуально и повсеместно встречается на практике. Процесс регуляризации задачи идентификации, т.е. метод добавления априорной информации к условию с целью решить некорректно поставленную задачу, не всегда формализуем, например, методами ТНМ. Особенно это касается таких сложных объектов моделирования как нефтяная залежь, где используется колоссальный объем информации, разнородной и разномасштабной как по времени, так и по пространству. К примеру, полномасштабная гидродинамическая модель нефтяного пласта может содержать миллионы расчетных ячеек, а настраиваемых параметров тогда будет на порядок больше; задача адаптации такой модели к истории разработки будет некорректной. В этом случае построение множества Парето и экспертный выбор лучшего решения представляет большую проблему из-за ресурсоемкости расчетов и времязатрат. Поэтому для моделирования разработки нефтяного месторождения целесообразно применение системного подхода, системных методов исследования [15]. Это требование подразумевает использование системно-структурного или многокритериального подхода, когда объект разработки рассматривается одновременно и как единое целое (глобальный уровень), и как составной, т.е. учитываются свойства и явления, присущие каждому элементу в отдельности (локальный уровень). Выстраивается иерархия моделей, от простой модели к более сложным: сначала определяются более общие, интегральные параметры пласта, а потом, используя найденные распределения в качестве априорной информации, строится более точная математическая модель. Формализовать априорную информацию можно как в качестве стабилизирующего функционала (2.2), так и с помощью введения дополнительных ограничений на множество допустимых значений идентифицируемых параметров M . Сложность идентифицируемой модели обусловлена объемом и качеством входной информации согласно «принципу простоты»: «модель должна быть настолько простой насколько возможно и настолько сложной насколько необходимо» [85]. В работах [6, 25, 27 35] предложен нечеткий подход к выбору сложности идентифицируемой модели или метод структурной минимизации среднего риска, где «принцип простоты» переформулирован в двухкритериальную нечетко поставленную задачу «увеличить точность аппроксимации эмпирических данных, используя как можно более простые модели». В данной работе для учета сложности выбранной модели предложено использование байесовского информационного критерия (BIC) [10, 85]. Особенностью BIC является наличие штрафного слагаемого, наказывающего чрезмерно сложные модели. BIC вытекает из принципа максимума правдоподобия и может быть записан в следующем виде [68]: BIC k ln n 2ln Lˆ , (2.6) где 𝐿̂ – максимум функции правдоподобия модели 𝑀, 𝑛 - количество наблюдаемых величин, 𝑘 – параметр сложности модели или число идентифицируемых параметров. Предпочтительной является модель с минимальным значением BIC. 2.2. УРАВНЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОГО БАЛАНСА Уравнение материального баланса является одним из самых эффективных и относительно простых инструментов, используемых при анализе разработки нефтяных месторождений, гидродинамическом моделировании, а также при оценке геологотехнических мероприятий. Поэтому этот инструмент имеет повсеместное и широкое применение [11, 35, 44, 47, 57, 63]. Проблема заключается в том, что уравнение материального баланса включает в себя ряд параметров, которые обычно не известны. Задача идентификации этих параметров часто является некорректной. Если месторождение небольшое, то его можно рассматривать как один участок, если большое, то его разбивают на некоторое число участков. Это еще больше усложняет задачу идентификации параметров, входящих в уравнение материального баланса. При расчете материального баланса по скважинам, количество идентифицируемых параметров растет квадратично с увеличением числа скважин на месторождении. Поэтому в данной работе используются различные методы регуляризации: иерархический подход к моделированию и различные регуляризирующие функционалы для преодоления проблемы некорректности материального баланса на нефтяном месторождении. 28 задачи по расчету Постановка задачи Рассмотрим нефтяное месторождение, которое разделено на N участков (рис. 2.1). Месторождение разбурено 𝑁𝑖𝑛𝑗 нагнетательными и 𝑁𝑝𝑟𝑜𝑑 добывающими скважинами. Из 𝑘 𝑖𝑛𝑗 (𝑡) , истории разработки известны объемы закачиваемой в скважины жидкости 𝑄𝑖𝑛𝑗 𝑘 𝑝 (𝑡), 𝑘𝑝 = 1, … , 𝑁𝑝𝑟𝑜𝑑 . Общее число 𝑘𝑖𝑛𝑗 = 1, … , 𝑁𝑖𝑛𝑗 и дебиты добывающих скважин 𝑄𝑝𝑟𝑜𝑑 скважин, вскрывающих нефтяное месторождение, равно 𝑁𝑤 = 𝑁𝑝𝑟𝑜𝑑 + 𝑁𝑖𝑛𝑗 . Также 𝑘 𝑤 известны средние пластовые давления около скважин 𝑃𝑤𝑒𝑙𝑙 (𝑡), 𝑘𝑤 = 1, … , 𝑁𝑤 , тогда пластовое давление, среднее по 𝑖 участку 𝑖 = 1, … , 𝑁, можно определить, например, как среднеарифметическое пластовое давление по всем скважинам 𝑖 участка: P i N w ,i l 1 l Pwell N w,i (2.7) , где Nw,i – число скважин, относящихся к 𝑖 участку. Рис. 2.1. Принципиальная схема модели нефтяного месторождения, разделённого на участки. Детализация уравнений материального баланса Далее, рассмотрим уравнения материального баланса для нефтяного месторождения с последовательным усложнением модели: месторождение в целом или его изолированный участок (рис. 2.2а), система гидродинамически связанных между собой участков (рис. 2.2б) или скважин (рис. 2.2в). 29 (a) (б) (в) Рис. 2.2. Детализация задачи моделирования разработки нефтяного месторождения по пространству (а) – месторождение, (б) – система гидродинамически связанных участков (в) – система связанных скважин. Уровень месторождения Объектом моделирования является месторождение в целом (рис. 2.2а), которое рассматривается как одна расчетная ячейка. Уравнение материального баланса для однородной жидкости может быть представлено в следующем виде [35]: βV где 𝑃 = N w 𝑃𝑙 ∑𝑙=1 𝑤𝑒𝑙𝑙 Nw 𝑁 dP kQinj Qprod λ aq P Paq , dt (2.8) 𝑁 𝑘 𝑝 , – среднее по месторождению пластовое давление; 𝑄𝑝𝑟𝑜𝑑 = ∑𝑘𝑝𝑝𝑟𝑜𝑑 =1 𝑄𝑝𝑟𝑜𝑑 𝑘 𝑖𝑛𝑗 и 𝑄𝑖𝑛𝑗 = ∑𝑘 𝑖𝑛𝑗=1 𝑄𝑖𝑛𝑗 –соответственно объемы отобранной жидкости и закачанной воды; 𝑖𝑛𝑗 β – эффективный коэффициент сжимаемости; 𝑉 – поровый объем, 𝑘 – коэффициент полезной закачки, равный доле закачанной воды, которая поступает непосредственно в пласт и не теряется по тем или иным причинам (например, из-за наличия заколонного перетока); λ𝑎𝑞 – коэффициент, определяющий интенсивность притока подошвенной воды; через Paq обозначено среднее давление в области подошвенной воды. Вектор идентифицируемых параметров записывается следующим образом: u= β,k , λ aq (2.9) Уровень участков Объектом исследования является участок нефтяного месторождения с учетом влияния других участков (рис. 2.2б). Данные по закачанной и добытой жидкости суммируются по каждому участку, усредняются по участку пластовые давления (2.7). Ниже записаны уравнения материального баланса для системы из 𝑁𝑏 гидродинамически связанных участков [28]: n βiVi i dPi kiQinj , i Qprod, i i , j Pi Pj λ aq,i Pi Paq,i , dt j 1 30 (2.10) Здесь индексом i внизу (𝑖 = 1, … , 𝑁𝑏 ) отмечены величины, относящиеся к i-ому участку: 𝑁 𝑘 𝑁 𝑘 𝑝 𝑖𝑛𝑗 𝑄𝑖𝑛𝑗,𝑖 = ∑𝑘 𝑖𝑛𝑗,𝑖=1 𝑄𝑖𝑛𝑗 , 𝑄𝑝𝑟𝑜𝑑,𝑖 = ∑𝑘𝑝𝑝𝑟𝑜𝑑,𝑖 =1 𝑄𝑝𝑟𝑜𝑑 ; λ𝑖𝑗 – коэффициенты, характеризующие 𝑖𝑛𝑗 интенсивность потоков между участками i и j (проводимости между участками); ni - количество участков, связанных с i-м участком. Таким образом, по сравнению с (2.8), к настраиваемым параметрам в модели с гидродинамически связанными участками добавляются потоки жидкости между участками: u= βi ,ki , λ aq ,i , i , j . (2.11) Если коэффициенты λ𝑖𝑗 равны нулю, то это означает, что участки становятся изолированными, а система уравнений (2.10) расщепляется на независимые друг от друга уравнения вида (2.8). Размерность вектора u зависит от количества гидродинамически связанных между собой участков или количества связей между участками N c . При максимальном значении N c , когда каждый участок связан с каждым, количество идентифицируемых параметров равно: 𝑑𝑖𝑚( 𝑢 ⃗ ) = 3𝑁𝑏 + 𝑁𝑏 2 (𝑁𝑏 − 1). (2.12) В целом, расчет материального баланса для системы гидродинамически связанных участков относится к задаче секторного моделирования [80], когда потоки жидкости между участками просчитываются и далее служат граничными условиями при более детальном моделировании отдельно взятого участка нефтяного месторождения. Уровень скважин. Фильтрационная модель потоков жидкости между скважинами Представим гидродинамическую модель нефтяного месторождения, разрабатываемого нагнетательными и добывающими скважинами, как модель с парными связями между скважинами (рис. 2.3) [36, 88]. Как показано на рис. 2.3а красными линиями, скважины имеют «объем дренирования» 𝑉𝑖 . Фильтрация флюидов между скважинами с номерами i и j характеризуется двумя параметрами: проводимостью 𝑇𝑖,𝑗 и объемом дренирования 𝑉𝑝,𝑖,𝑗 , внутри которого проводимость определяет потоки флюидов. Алгоритм построения контрольного объема между парой скважин 𝑉𝑝,𝑖,𝑗 приведен в приложении А (рис. А3). Определим проводимости между скважинами следующим образом: Ti , j Bij K ij Hij Lij μ ij 31 , (2.13) где 𝐾– абсолютная проницаемость на границе между скважинами, B - условная1 ширина стенки, через которую фильтруется жидкость, H - среднеарифметическая эффективная толщина коллектора, L - расстояние между скважинами, μ - среднеарифметическая вязкость жидкости. Вязкость жидкости определяется через начальную водонасыщенность: Smww 1 Smw o , где Smw - начальная водонасыщенность, w - вязкость воды, o - вязкость нефти. (а) (б) Рис. 2.3. Схема построения связей между скважинами и дренируемых объемов, где (а) – построение дренируемого объёма 𝑉𝑝,𝑖,𝑗 для пары скважин «i-j», (б) – для множества связанных скважин. Система уравнений материального баланса для гидродинамически связанных скважин аналогична системе уравнений (2.10) для участков n βiVi i dPi kiQinj , i Qprod, i Ti , j Pi Pj λaq,i Pi Paq,i dt j 1 (2.14) где индексом 𝑖 внизу (𝑖 = 1, … , 𝑁𝑤 ) отмечены величины, относящиеся к 𝑖 -ой скважине. Вектор идентифицируемых параметров выражается следующим образом: u= βi ,ki , λ aq ,i , Ti , j , где максимальная размерность u , по аналогии с (2.12), равна 𝑁 𝑑𝑖𝑚( 𝑢 ⃗ ) = 3𝑁𝑤 + 𝑤 (𝑁𝑤 − 1). (2.15) (2.16) 2 Универсальный вид системы уравнений материального баланса Модели материального баланса для изолированных участков (2.8), для гидродинамически связанных участков (2.10) или скважин (2.14) удобно записать в следующем универсальном виде: 𝑽 1 𝑃 𝑃𝑗 ni nj B𝑖𝑗 = ( 𝑖 + 𝑑𝑷 𝑑𝑡 = 𝑻𝑷 + 𝒃, (2.17) )⁄2, где P – периметр «ареала дренирования», n–количество скважин, с которыми связан текущая скважина. 32 где 𝑷 – вектор-столбец размерностью 𝑁, определяющий пластовое давление; 𝑽 – диагональная матрица размерностью 𝑁 × 𝑁 с элементами (𝑽)𝒊,𝒊 = 𝛽𝑖 𝑉𝑖 ; 𝒃 – векторстолбец размерностью 𝑁 с элементами 𝒃𝒊 = 𝑘𝑖 𝑄𝑖𝑛𝑗, 𝑖 − 𝑄prod, 𝑖 − 𝜆aq,𝑖 𝑃aq,𝑖 ; 𝑻 – квадратная матрица коэффициентов проводимости размерностью 𝑁 × 𝑁 с диагональными элементами 𝑖 (𝑻)𝒊,𝒊 = ∑𝑛𝑗=1 𝑇𝑖,𝑗 + 𝜆aq,𝑖 и недиагональными (𝑻)𝒊,𝒋 = −𝑇𝑖,𝑗 , 𝑖 ≠ 𝑗. Для изолированных участков матрица 𝑻 преобразуется в диагональную с элементами (𝑻)𝒊,𝒊 = 𝜆aq,𝑖 . Размерность представленных в (2.17) матриц и векторов 𝑁 = [𝑁𝑤 ∨ 𝑁𝑏 ] зависит от рассматриваемой модели: для участков 𝑁 = 𝑁𝑏 , для скважин 𝑁 = 𝑁𝑤 . Для численного решения системы линейных дифференциальных уравнений перепишем (2.17) в разностной форме: 𝑽 где t t t n n1 𝑛+1 𝑷𝑛+1 − 𝑷𝑛 = 𝑻𝑛+1 𝑷𝑛+1 + 𝒃𝑛+1 , ∆𝑡 𝑛 , (n 1,..., NT ) - шаг по времени, n – верхний индекс, обозначающий n переменную в момент времени t . Представленная система линейных алгебраических уравнений может быть решена с использованием одного из итерационных методов [23]. 2.3. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ УРАВНЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОГО БАЛАНСА Задача идентификации параметров модели к промысловым данным ставится и решается в оптимизационной постановке [13, 21, 22, 85]. Решением задачи будет являться такое значение вектора управляющих параметров 𝑢 ⃗ =𝑢 ⃗ 𝑜𝑝𝑡 , при котором целевая функция 𝐽(𝑢 ⃗ ) имеет глобальный минимум 𝐽(𝑢 ⃗ 𝑜𝑝𝑡 ) → 𝑚𝑖𝑛. В качестве целевой функции может быть выбрана, например, нормированная мера отклонения фактических и расчетных значений давления в течение истории разработки J u l n 1 n n Pфакт Pмодель u n n1Pфакт l , (2.18) n где l число временных шагов; u – вектор управляющих параметров; Pфакт ( n 1,, l ) – значения пластового давления, рассчитанное с использованием данных промысловой n истории в момент времени t t ; Pмодель u - аналогичные значения пластового давления, n определяемые из решения уравнений (2.14) при значении вектора параметров u . Вычислительный код для решения задачи по поиску глобального минимума целевого функционала (2.18) был написан в среде MATLAB, где существует значительный набор стандартных оптимизационных алгоритмов. Для поиска локального 33 минимума был выбран градиентный метод interior-point, а поиск глобального минимума был реализован методом MultiStart [14, 39, 41, 86]. Структурная идентификация и регуляризирующие функционалы Как отмечалось идентифицируемых ранее, при параметров, усложнении обратная задача модели может и увеличении оказаться числа некорректно поставленной. Например, при идентификации межскважинной проводимости u Ti , j в модели (2.14) количество связей между скважинами N c , в зависимости от количества скважин N w , быстро растет с квадратичной зависимостью (2.16), что приводит, как показывает практика, к неединственности и неустойчивости решения. Прогноз с помощью такой численной и/или математической модели после параметрической адаптации будет неустойчив или вовсе неверным [85]. В связи с этим актуальной становится задача структурной идентификации модели фильтрации, то есть задача выбора фильтрационной модели оптимальной сложности, которая, с одной стороны, описывала бы процесс достаточно точно, а с другой - обладала бы хорошими прогнозными свойствами. Решением задачи структурной идентификации будет являться такая модель оптимальной сложности 𝑀𝑜𝑝𝑡 ∈ 𝑀𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠 , которая удовлетворяет следующим условиям: 1. Модель удовлетворительно описывает промысловые данные (качественная адаптация на историю разработки), 2. Модель дает устойчивый прогноз. Первое условие выполняется в большинстве случаев благодаря параметрической идентификации, для выполнения второго условия важно учесть следующие пункты: Необходимо выделять обучающую и независимую контрольную выборки данных для отбора наилучших моделей. Период разработки месторождения 𝑇𝑎𝑙𝑙 разделяется на период «обучения» 𝑇о и период «экзамена» 𝑇𝑒 , На интервалах, 𝑇𝑎𝑙𝑙 = 𝑇о + 𝑇𝑒 . относящихся к периоду «обучения», производится параметрическая идентификация и, при помощи формулы (2.18), будет получено значение функционала 𝐽𝑜 (𝑢 ⃗ 𝑜𝑝𝑡 ). Теперь, зная 𝑢 ⃗ =𝑢 ⃗ 𝑜𝑝𝑡 и решая прямую задачу на периоде «экзамена», получим значение функционала 𝐽𝑒 . Общий функционал будет тогда равен 𝐽𝑎𝑙𝑙 = 𝐽о + 𝛾𝐽𝑒 , где 𝛾- весовой коэффициент на период «экзамена». 34 (2.19) Необходимо выбирать модель оптимальной сложности. Для учета сложности выбранной модели используем байесовский информационный критерий (2.6) в следующей эмпирической форме, по аналогии с работой [85]: J BIC k ln n n ln , n (2.20) где J - целевой функционал (2.18) на весь период разработки 𝑇𝑎𝑙𝑙 . Одновременный учет регуляризирующих функционалов (2.19), (2.20) приводит к многокритериальной задаче идентификации. Используя методы ТНМ для сведения многокритериальной задачи к однокритериальной, запишем в соответствие функционалам 𝐽𝑎𝑙𝑙 , BIC функции принадлежности: Jall u J all ;0; J all max ;2 , BIC u BIC;0; BICmax ;2 , где BICmax равно максимально возможному значению BIC ; , определяются в соответствии с (2.4). Тогда общая функция принадлежности равна пересечению двух функций Jall , BIC согласно (2.5): Jall BIC . (2.5′) Формирование класса моделей-претендентов 𝑀𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠 (𝐼𝑎𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖 ), из множества которых будет производиться выбор модели оптимальной сложности 𝑀𝑜𝑝𝑡 , обычно происходит за счет априорной информации 𝐼𝑎𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖 , общих соображений специалиста, что позволяет значительно сузить круг физико-математических моделей до приемлемого, и рассматривать ограниченный набор структур. По мере решения задачи идентификации, подгонки различных параметров модели, накапливается опыт по данному вопросу, производится сравнение различных структур и растет понимание «истинной» системы [34], как она функционирует, вручную выстраиваются «связи» моделей, например, при описании сложного реального объекта сначала простыми моделями, потом более сложными, что соответствует иерархическому подходу к моделированию. Иерархия моделей по расчету материального баланса Рассмотрим последовательно модели «месторождение-участок-скважина» (2.8)(2.10)-(2.14) и те параметры 𝑢 ⃗ (2.9)-(2.11)-(2.15), которые определяются благодаря этим моделям. Сформулируем следующее регуляризирующее утверждение: «компоненты уравнений материального баланса при переходе от одного уровня детализации к следующему аддитивны». Компоненты уравнений – это слагаемые, каждое из которых 35 отвечает за свой тип притока жидкости в нефтяную залежь: эффективная закачка, приток из-за расширения жидкости, приток жидкости из аквифера. Таким образом, каждое слагаемое в уравнении материального баланса при переходе к более сложной модели согласуется с результатами идентификации на более простой модели. Уровень месторождения → уровень участков βV Изменение эффективной сжимаемости: Iβ dP N dP βiVi i dt i 1 dt min ; dP βV dt N Эффективная закачка: I k kQinj kiQinj , i i 1 min ; kQinj (2.21) λ aq P Paq λ aq,i Pi Paq,i N Приток подошвенной воды: I λaq i 1 min . λ aq P Paq Здесь значения с i индексом относятся к i -му участку согласно системе уравнений (2.10), без индексов – к месторождению в целом согласно уравнению (2.8). Так как модели (2.8)-(2.10) линейны относительно идентифицируемых параметров, то получается, что βV λ aq интегральные значения параметров ,k , являются средним арифметическим N N взвешенным относительно β V ,k , λ i 1,..., N параметров i i dPi dt , Qinj , i , Pi Paq,i соответственно. Например, при i aq ,i с весами I k 0 и с учетом того, что N Qinj Qinj , i , доля полезно закачанной воды в целом по месторождению равна среднему i 1 арифметическому взвешенному по объему закачанной воды по каждому участку Qinj , i : N k k Q i 1 N i inj , i Q i 1 . inj , i Если выполняются условия (2.21) и Iβ I k I λaq 0 , то суммарное значение потоков жидкости между участками равно нулю: ni I i , j Pi Pj 0 , N i 1 j 1 36 (2.22) что является дополнительным регуляризирующим выражением при расчете материального баланса для системы гидродинамически связанных участков (2.10). Одновременный учет функционалов Iβ , I k , I λaq , I λ (2.21)-(2.22) и функционала качества J , являющегося мерой отклонения расчетных значений пластовых давлений от фактических (2.18), с помощью ТНМ приводит к следующему результату согласно (2.5): J β k λaq λ , 1/ 5 где определяются в соответствии с (2.4). Уровень участков → уровень скважин Значения потоков жидкости между участками i , j , идентифицированные на модели (2.10), могут быть использованы для задачи секторного моделирования в модели (2.14), т.е. каждый участок будет посчитан отдельно, а коэффициенты i , j использованы в качестве граничных условий. Регуляризация остальных параметров аналогична (2.21): Изменение эффективной сжимаемости: Iβ,i βiVi N w ,i dPkw dPi β kwVkw dt kw 1 dt min ; N w ,i Эффективная закачка: I k ,i kiQinj , i kkw Qinj , kw min ; (2.23) kw 1 N w ,i Приток подошвенной воды: I λ,i λ aq,i Pi Paq,i λ aq, kw Pkw Paq, kw kw 1 min . Здесь значения с i индексом относятся к i -му участку согласно системе уравнений (2.10), kw 1,..., N w,i - скважины на i -м участке из системы уравнений (2.14). В целом, формализация иерархического подхода (2.21)-(2.23) приводит к более согласованным, обоснованным результатам идентификации, так как специалист выстраивает структуру моделей и отслеживает изменение параметров по скважинам, согласующихся с данными по участкам, месторождению. Статистический подход к выбору модели Зачастую перед расчетом материального баланса нет регуляризирующей информации, позволяющей произвести отбор модели. Такую априорную информацию можно получить после проведения серии расчетов и дальнейшей статистической обработки результатов расчетов на моделях-претендентах. Статистическая обработка результатов расчетов подразумевает использование не одной «лучшей» по значению 37 функционала модели, а набора лучших моделей. Анализ этих данных позволяет вырабатывать правила отбора моделей. Приведем общую блок-схему структурно-параметрической идентификации (рис. 2.4). Задание начального множества моделей-претендентов 𝑀𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠 (𝐼𝑎𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖 ) Блок структурной идентификации Формирование вектора управлений 𝑢 ⃗ для текущей модели 𝑀 ∈ 𝑀𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠 Блок параметрической идентификации Минимизация функционала на период обучения 𝐽𝑜 = 𝐽𝑜 (𝑢 ⃗ 𝑜𝑝𝑡 ) → 𝑚𝑖𝑛 Расчет 𝐽𝑒 = 𝐽𝑒 (𝑢 ⃗ 𝑜𝑝𝑡 ) на основе решения прямой задачи на период «экзамена» Учет сложности выбранной модели 𝐵𝐼𝐶= 𝐵𝐼𝐶(𝑢 ⃗ 𝑜𝑝𝑡 , 𝑀) Синтез функционала параметрической идентификации 𝐽𝑝 = 𝐽𝑝 (𝐵𝐼𝐶, 𝐽𝑜 , 𝐽𝑒 ) В соответствие текущей модели 𝑀 ставится функционал 𝐽𝑝 Минимизация функционала 𝐽𝑠𝑡𝑟 = 𝐽𝑠𝑡𝑟 (𝑀𝑜𝑝𝑡 , 𝐽𝑝 ) Блок статистической обработки результатов расчета Выборка лучших 𝑁𝑚 моделей с точки зрения функционала 𝐽𝑠𝑡𝑟 Статистическая обработка этих моделей и получение новой информации 𝐼𝑠𝑡𝑎𝑡 об объекте моделирования Сужение множества моделей-претендентов 𝑀𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠 = 𝑀𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠 (𝐼𝑎𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖 , 𝐼𝑠𝑡𝑎𝑡 ) Рис. 2.4. Блок-схема метода структурно-параметрической идентификации. 38 2.4. РЕЗУЛЬТАТЫ ПРИМЕНЕНИЯ РАЗРАБОТАННОЙ МЕТОДИКИ ПО РАСЧЕТУ МАТЕРИАЛЬНОГО БАЛАНСА В данном параграфе будет показано применение рассмотренных выше подходов по расчету материального баланса на практически важных задачах. Основные идеи, обсуждаемые в параграфах 2.2-2.3, и результаты их применения легли в основу программного комплекса по расчету материального баланса. Частично программный комплекс был внедрен в программный продукт компании ООО «Конкорд», который тестировался и был установлен в крупных нефтяных российских компаниях, таких, как «Сургутнефтегаз» или «Лукойл». Схема разработанного в рамках данной диссертационной работы программного комплекса приведена в главе 2.5. Результат №1. Поэтапное решение уравнения материального баланса с использованием нечетких множеств Рассмотрим одно из нефтяных месторождений Западного Казахстана, относящегося к группе пластов Ю1-2. Месторождение экспертно разделено на N 6 участков, для которых на протяжении истории разработки были известны значения дебитов скважин и средних пластовых давлений. Схематическое расположение участков представлено на рис. 2.5. k, д. ед. lg( i, j ), м3/атм/мес Рис. 2.5.Схематическое расположение участков и представление проводимостей между участками на втором этапе задачи идентификации. 39 Требовалось рассчитать материальный баланс для системы гидродинамически связанных участков (2.10) для определения параметров u= ki ,λ aq ,i , i , j по каждому i 1,..., N участку. Количество идентифицируемых параметров для рассматриваемой системы согласно (2.12) равно 27 для 6 уравнений. Поставленная задача является некорректной, необходима регуляризация. Применим иерархический подход к расчету материального баланса как способ регуляризации поставленной задачи. Иерархический подход включает в себя два этапа, отличающихся друг от друга видом целевой функции и набором управляющих параметров [28]. Суть иерархического подхода по расчету материального баланса заключается в следующем. На первом этапе предположим, что потоки жидкости между участками λ ij отсутствуют, т.е. участки месторождения являются изолированными. Как отмечалось ранее, в таком случае система уравнений (2.10) распадается на независимые уравнения (2.8), идентифицируемыми параметрами являются u= ki ,λ aq ,i . На втором этапе вектор управляющих параметров образуют коэффициенты, характеризующие интенсивность потоков жидкости между участками u λij . Параметры ki и λ aq , i для каждого участка при решении системы уравнений (2.10) на втором этапе «замораживаются» и остаются равными значениям, полученным на первом этапе. Разделение алгоритма решения задачи идентификации на два этапа позволяет уменьшить число параметров, идентифицируемых одновременно. В результате повышается устойчивость получаемых результатов, а также сокращается время расчетов. При расчете материального баланса по изолированным участкам были получены неудовлетворительные результаты идентификации параметров при минимизации целевого функционала J u min (2.18). Проблема заключается в неединственности полученного оптимального решения (рис. 2.8). Поэтому проведена дополнительная регуляризация на первом этапе расчета материального баланса с помощью инструментов ТНМ. Для построения целевой функции выбирались два нечетких критерия. В первом из них для параметра 𝑘 используется следующая экспертная оценка: «потери закачиваемой воды не должны быть большими» (при описании формул данного этапа нижний индекс 𝑖 для простоты опускается). Для этого на множестве значений коэффициента k, то есть на интервале 0 ≤ 𝑘 ≤ 1, задавалась следующая функция принадлежности согласно (2.4): μ k k k ;0;1;0.5 . График функции принадлежности приведен на рис. 2.6. 40 Рис. 2.6. Функция принадлежности «потери закачиваемой воды не должны быть большими». Второй нечеткий критерий выбирался в соответствии со следующим регуляризирующим утверждением: «отклонение расчетных и фактических данных не должно быть большим». Для формализации этого критерия была выбрана следующая функция принадлежности (рис. 2.7): μ J k ,λ aq J ;0;0.3;2 , где J J u J k ,λ aq - определенная выше мера отклонения расчетных и фактических данных (2.18). Рис. 2.7. Функция принадлежности экспертной оценки «отклонение расчетного пластового давления от фактического не должно быть большим». Для комбинации этих двух критериев применялась операция пересечения нечетких множеств: 1 J1 k ,λ aq μ k k μ J k ,λ aq 2 . В результате задача идентификации управляющих параметров на первом этапе сводится к нахождению минимума целевой функции J1 k ,λ aq . В качестве примера на рис.2.8 изображена целевая функция для одного из участков до и после регуляризации. Видно, что функция J k ,λ aq , характеризующая отклонение расчетного давления от фактического, не имеет выраженного минимума, что приводит к 41 неустойчивости решения задачи идентификации. Функция же J1 k ,λ aq имеет единственный ярко выраженный минимум. Таким образом, в результате регуляризации на основе формализации экспертной оценки минимум функции после выполнения регуляризации стал более четко выраженным, что позволяет получить более устойчивое решение задачи идентификации управляющих параметров, входящих в систему уравнений материального баланса. На втором этапе алгоритма включение регуляризирующих ограничений в целевую функцию может быть осуществлено по аналогии с первым этапом. Для формирования ограничений можно привлекать априорные сведения о коэффициентах связи между участками, известные, например, из результатов гидропрослушивания скважин или трассерных исследований. В данном случае не учитывались те связи между участками, которые геометрически пересекают периметр другого участка. Например, связь между участками «2-4» отсутствует, так как пересекает периметр участка «3» (рис. 2.5). Рис. 2.8. Сравнение вида целевых функций 42 J k ,λ и J1 k ,λ . Начальные значения управляющих параметров для первого этапа алгоритма представлены в табл. 2.1. В ней также представлены результаты, полученные после проведенной идентификации. Таблица 2.1. Значения управляющих параметров до и после идентификации на первом этапе алгоритма. до идентификации после идентификации № участка 1 k 0,8 λaq,м3/атм/мес -100 J, д.ед. 0.18 k 0.60 λaq, м3/атм/мес 0 J, д.ед. 0.04 2 0,8 -100 0.07 0.81 -100 0.07 3 0,8 -100 0.13 0.99 -298 0.04 4 0,8 -100 0.07 0.65 -390 0.04 5 0,8 -100 0.16 1.00 -235 0.14 6 0,8 -100 0.38 0.60 0 0.30 В результате минимизации функции (2.18) с учетом уравнений (2.8) 2 на первом этапе применения описанного выше алгоритма, для каждого из участков были получены идентифицированные значения коэффициента активности подошвенной воды λ aq и коэффициента полезной закачки k. На втором этапе идентификации были определены коэффициенты λ ij , характеризующие интенсивность потоков между участками (рис. 2.5). Значения целевой функции на различных этапах идентификации представлены на рис. 2.9, а на рис. 2.10 показано, как изменились значения средних пластовых давлений после проведения поэтапного расчета материального баланса. Сравнивая значения целевой функции отдельно для каждого участка, полученные на первом этапе алгоритма, можно видеть, что наибольше отклонение расчетного давления от фактического характерно для 6-го участка (см. рис. 2.9). Однако после второго этапа идентификации значение целевой функции для 6-го участка значительно уменьшилось. На остальных участках изменения целевой функции не столь заметны, отличие ее значений после первого и второго этапов алгоритма минимально. 2 В таблице приведены значения целевой функции J, но для расчета использовался функционал J1. 43 Рис. 2.9. Результаты поэтапной идентификации. Показаны значения целевого функционала для каждого участка (J): 1 – без идентификации (J при начальных значениях управляющих параметров); 2 – после проведения первого этапа идентификации; 3 – после проведения второго этапа идентификации. Рис. 2.10. Сравнение фактических и расчетных пластовых давлений на каждом из этапов идентификации для всех участков. Таким образом, в результате применения разработанной методики поэтапного расчета материального баланса с использованием нечетких множеств, определены следующие параметры, характеризующие эффективность разработки пласта: коэффициент 44 эффективности закачки воды в пласт, активность водоносного горизонта, пластовое давление и проводимости между участками. С использованием этих параметров легко рассчитать потоки жидкости между участками, а также между участками и водоносным горизонтом. Информация о потоках жидкости между участками может быть использована для секторного гидродинамического моделирования при корректировке граничных условий. Результат №2. Экспериментальные расчеты материального баланса на секторной гидродинамической модели. Анализ промысловых данных В данном параграфе проводятся экспериментальные расчеты материального баланса на секторной гидродинамической модели и сравнение фактических результатов с результатами расчета материального баланса для системы гидродинамически связанных участков. Предложена и апробирована простая инженерная методика по анализу промысловых данных с целью определения матрицы связей между участками. Постановка задачи Имеется нефтенасыщенный пласт 2700х2700х10 м. с непроницаемыми границами, разрабатываемый N w 81 скважинами: из них 26 нагнетательных и 55 добывающих. Общие параметры модели приведены в табл. 2.2. Месторождение разделено на 9 участков по 9 скважин каждый (рис. 2.11). На месторождении есть протяженная непроницаемая зона различной конфигурации для каждой из 3-х рассматриваемых моделей (рис. 2.12). № участка 3 2 1 6 9 5 8 4 7 Рис. 2.11. Схематичное расположение участков Таблица 2.2 Параметры модели Название Значение Количество скважин Период разработки, сут Забойное давление для добывающих скважин, атм Забойное давление для нагнетательных скважин, атм Вязкость флюида, вода/нефть, сП Вид ОФП 81 610 15-25 90-140 1/1 линейный 45 граница участка непроницаемая зона( K=10-6 мД) (а) (б) (в) Рис. 2.12 Модель пласта с различными конфигурациями непроницаемых зон Результаты Предварительные расчеты проводились на гидродинамическом симуляторе [42], результаты моделирования (пластовые давления, объемы закачиваемой и добытой жидкости по участкам) были взяты в качестве фактических данных для расчета материального баланса (2.10) с целью идентификации потоков жидкости между участками λ ij . Отсутствие потоков жидкости между участками можно интерпретировать как непроницаемую зону. В общем случае задача идентификации интенсивности потоков жидкости между участками является некорректной, и может иметь множество решений. Количество настраиваемых параметров квадратично зависит от количества участков согласно (2.11). Поэтому в данном примере предложены следующие ограничения на связи между участками: 1. "Геометрические" ограничения. Если связь пересекает какой-либо третий участок, то такая связь "обрывается". 46 2. Ограничения на "диагональные" связи. Площадь соприкосновения участков равна нулю. Предполагается, что такие связи незначительно влияют на потоки жидкости между участками. 3. Ограничения, полученные после анализа промысловых данных. Остановимся на 3-м пункте более подробно. В нашем распоряжении есть такие промысловые данные, как Qinj , i , Qprod, i , Pi . Произведем анализ по следующим двум параметрам: КОМПi Pij 1 l n Qinj ,i n 1 l Qn n 1 prod , i Pi Pj Pсреднее , (2.24) (2.25) . Первый параметр КОМПi , представляет собой суммарную компенсацию по закачанной воде на i-ом участке. Если КОМПi 0, то на участке закачанной воды больше чем добытой жидкости, и часть закачанного объема уходит в соседние участки. Если КОМПi 0 , то наоборот, поток жидкости идет из соседних участков. Второй параметр определяет относительную разность (осредненных по времени) пластовых давлений между i-м и j-м участками. В этой формуле в знаменателе Pсреднее - среднее пластовое давление по всему месторождению. Таким образом, если давление между участками не выравнивается, то это один из признаков того, что эти участки не взаимодействуют. Для связи между участками «i-j» формулируются следующие признаки: Признак А: Pij 0, Pинд , где 0, Pинд является тем доверительным интервалом, при котором различия давлений в двух соседних участках не является индикатором того, что они не взаимодействуют. Признак Б: КОМПi КОМПинд , КОМПинд , где КОМПинд , КОМПинд является тем доверительным интервалом, при котором нельзя с уверенностью говорить о том, что идет поток жидкости между i-ым участком и соседними участками. Признак В: КОМП j КОМПинд ,КОМПинд , где КОМПинд ,КОМПинд является тем доверительным интервалом, при котором нельзя с уверенностью говорить о том, что идет поток жидкости между j-ым участком и соседними участками. Рассмотрим всевозможные комбинации этих трех признаков с помощью таблицы истинности (табл. 2.3). 47 Таблица 2.3. Комбинация признаков # А Б В 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 Значение комбинации признаков ? * * ? ± ± ± где 0 - признак не выполняется, 1 - выполняется. «-» - нет связи; «+» - есть связь; «±» - не определено, возможна связь; «?» -Если КОМПi , КОМП j одного знака, то «±», если разного, то «+». «*» -Если КОМПi , КОМП j одного знака, то «-», если разного, то «±». Вернемся к рассматриваемой гидродинамической модели с первым вариантом расположения непроницаемой зоны (рис. 2.12а) и проведем последовательное ограничение связей. Исключим связи по "геометрическому" принципу, также исключим "диагональные" связи, установив ограничения на длину связи L<900 м. После проделанных операций количество связей будет равно Nc 12 . Теперь подойдем к 3-му пункту, к ограничениям, полученным после анализа промысловых данных. Зададим Pинд 0.25, КОМПинд 0.1 и отобразим визуально параметры КОМП и P для наглядного представления (рис. 2.13). (а) (б) Рис. 2.13. (а) - суммарная компенсация на каждом из участков; (б) - среднее пластовое давление на каждом из участков, красные стрелки показывают те связи, где давления отличаются значительно. В результате комбинации признаков (рис. 2.13) с помощью описанной выше методики (табл. 2.3), получились следующие результаты, представленные на рис. 2.14. 48 Рис. 2.14 Результат работы алгоритма по анализу промысловых данных Связи "1↔4", "2↔5" и "5↔6" методика исключает, что согласуется с геометрией расположения непроницаемых зон (рис. 2.12а). Теперь проведем расчет материального баланса для системы гидродинамически связанных участков (2.10). В качестве вектора идентифицируемых параметров были выбраны Nc 12 гидродинамических связей между участками 𝑢 ⃗ = [λ𝑖𝑗 ], определяющих интенсивности потоков жидкости между ними. Минимизировался функционал нормированной меры отклонения фактических и расчетных значений давления в течение истории разработки (2.18). В результате расчета были получены следующие данные по участкам (табл. 2.4, табл. 2.5, рис. 2.15). Таблица 2.4. Значение целевого функционала. № участка 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Сумма J 0,12 0,11 0,09 0,23 0,23 0,13 0,21 0,22 0,12 1,45 Таблица 2.5. Восстановленные интенсивности потоков жидкости между участками. № участка № участка λ ij , м3/сут/атм 1 2 1 2 4 3 5 4 5 7 6 8 2 3 4 5 5 6 6 7 8 8 9 9 277 12 0 0 271 16 0 25 95 80 139 20 49 ln( i, j ), м3/мес/атм Рис.2.15. Схематическое представление проводимостей между участками на втором этапе задачи идентификации. Цветовая шкала показывает логарифмические значения гидродинамических связей между участками ln(λ𝑖𝑗 ) Для моделей №2 (рис. 2.12б) и №3 (рис. 2.12в) также был проведен анализ промысловых данных, согласно вышеизложенному алгоритму. В модели №2 связи "2↔5" и "5↔6" методика исключает (рис. 2.17), что согласуется с геометрией расположения непроницаемых зон (рис. 2.12б), однако связь "5↔8" алгоритм не чувствует. Если посмотреть рис. 2.16 с компенсацией и разностью давлений между этими участками, то видно, что явных признаков отсутствия связи не обнаружено: давления близки, компенсация одного знака, для 5-го участка она близка к нулю. Расчет материального баланса для модели №2 показал результаты (табл. 2.6, табл. 2.7, рис. 2.18), схожие с результатами, полученными при анализе промысловых данных. (а) (б) Рис. 2.16. (а) - суммарная компенсация на каждом из участков; (б) - среднее пластовое давление на каждом из участков, красные стрелки показывают те связи, где давления отличаются значительно. 50 Рис. 2.17. Результат работы алгоритма по анализу промысловых данных ln( i, j ), м3/атм/мес Рис. 2.18. Схематическое представление проводимостей между участками на втором этапе задачи идентификации Таблица 2.6. Значение целевого функционала. № участка 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Сумма J 0,12 0,12 0,09 0,22 0,23 0,12 0,21 0,23 0,12 1,45 Таблица 2.7. Восстановленные интенсивности потоков жидкости между участками. № участка № участка λ ij , м3/сут/атм 1 2 1 2 4 3 5 4 5 7 6 8 2 3 4 5 5 6 6 7 8 8 9 9 1141 8 16 0 18 21 1 20 639 81 33 22 51 Результаты идентификации потоков жидкости на модели №3 (рис. 2.12в), как с помощью методики анализа промысловых данных (рис. 2.19, рис. 2.20), так и с помощью расчета материального баланса по участкам (табл. 2.8, табл. 2.9, рис. 2.21), оказались неудовлетворительными с точки зрения адекватного описания конфигурации непроводящих зон. Связи "1↔4", "2↔5" методика исключает, что согласуется с геометрией расположения непроницаемых зон (рис. 2.1.8в), однако связь "5↔8" и "6↔9" алгоритм не чувствует, к тому же исключая связь "3↔6", хотя там непроницаемой зоны нет. Это говорит об ограниченности применения методики (табл. 2.3) и идентификации потоков жидкости при расчете материального баланса (2.10), так как конфигурация непроницаемых зон не подчеркивается существующим неоднородностям по добыче и закачке. (а) (б) Рис. 2.19. (а) - суммарная компенсация на каждом из участков; (б) - среднее пластовое давление на каждом из участков, красные стрелки показывают те связи, где давления отличаются значительно. Рис. 2.20. Результат работы алгоритма по анализу промысловых данных 52 Таблица 2.8. Значение целевого функционала. № участка 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Сумма J 0,12 0,11 0,09 0,22 0,22 0,12 0,23 0,22 0,13 1,46 Таблица 2.9. Восстановленные интенсивности потоков жидкости между участками. № участка № участка λ ij , м3/сут/атм 1 2 1 2 4 3 5 4 5 7 6 8 2 3 4 5 5 6 6 7 8 8 9 9 3484 11 0 0 2901 21 15 1980 749 96 3484 11 ln( i, j ), м3/атм/мес Рис. 2.21. Схематическое представление проводимостей между участками на втором этапе задачи идентификации В заключение данного параграфа хотелось бы отметить, что предложенная методика анализа промысловых данных позволяет получить новую информацию о структуре месторождения, наличии или отсутствии потоков жидкости между участками. Результаты анализа промысловых данных согласуются с результатами, которые можно получить, решая систему уравнений материального баланса по участкам. Между тем, методика является простейшим инструментом оценки входной промысловой информации, не требующей вычислений и моделирования, по сравнению с гидродинамическим моделированием пласта. 53 У методики есть ограничение применения, которое проявляется в условиях, когда существующие в пласте неоднородности не подчеркиваются характером изменения промысловых данных. Допустим, в модели №1 непроницаемая зона проявляла себя ввиду движения фильтрационных потоков слева-направо и сверху-вниз, что отражалось на режимах работы добывающих скважин на всех участках. В то же время в модели №3 не удалось «уловить» непроницаемую зону, расположенную вдоль, а не поперек фронта вытеснения (рис. 2.12в, непроницаемая зона, «обрывающая» связи «5-8», «6-9»). Однако эти результаты можно использовать в качестве априорной информации для последующих этапов моделирования и идентификации. Результат №3. Применение методики структурно-параметрической идентификации при расчете материального баланса по скважинам В данном параграфе показаны некоторые подходы к структурно-параметрической идентификации систем на основе однофазной и двухфазной моделей фильтрации в пористой среде, а именно: был рассмотрен алгоритм поиска трещин и экранирующих разломов лишь на основе промысловых данных [36, 88]. Основные расчеты производились на модели материального баланса на уровне скважин (2.14), позволяющей рассчитать значения межскважинной проводимости Ti , j ; верификация результатов расчета проводилась с помощью полномасштабного гидродинамического симулятора [42]. При решении некорректной обратной задачи была успешно применена разработанная методика структурно-параметрической идентификации (рис. 2.4). Фильтрационная симуляторе, будет модель, построенная для считаться исходной или расчетов «эталонной»; на гидродинамическом качество структурно- параметрической идентификации при расчете материального баланса для системы гидродинамически связанных скважин (2.14) будет оценено с помощью «эталонной» модели. Для «эталонной» модели будет известен весь необходимый массив данных о свойствах породы и жидкостей, настраиваемая модель в качестве входных данных будет использовать лишь данные по скважинам: промысловые данные и данные РИГИС. Задачей станет идентифицировать связи между скважинами на настраиваемой модели с применением методики параметрической и структурной идентификации и, таким образом, определить расположение трещины и экрана в исходной модели. Постановка задачи Имеется нефтенасыщенный участок (рис. 2.22), который разрабатывается 9 скважинами (5 нагнетательных и 4 добывающие). На участке имеется трещина, расположенная от нагнетательной скважины №1 до области добывающей скважины №6. 54 Также имеется протяженная непроницаемая зона, «экран». Параметры задачи указаны в таблице 2.10. Рис. 2.22. Геометрическое расположение неоднородности коллектора на участке Рис. 2.23. Распределение пластового давления на участке Таблица 2.10. Основные параметры модели участка Параметр Размер участка Пористость Толщина пласта Вязкость воды Вязкость нефти Критические насыщенности воды и нефти Начальная водонасыщенность Период разработки Шаг сетки Значение 600х600 м 0.3 10 (м) 1 сПз 10 сПз 0.25, 1 0.25. 10 лет ~23 (м) На добывающих скважинах задавалось постоянное по времени забойное давление (табл. 2.11), на нагнетательных скважинах задавался объем закачанной воды (рис. 2.24). Выходные данные, полученные при расчете гидродинамического симулятора, принимались за фактические значения для настраиваемой модели. Рис. 2.24. Изменение дебитов жидкости на скважинах. Красными оттенками представлены добывающие скважины, синими - нагнетательные. 55 Таблица 2.11. Забойное давление на добывающих скважинах № доб. скв. 2 4 6 8 Pw, атм 24 24 16 20 Таким образом, имея столь неоднородную модель, как по геометрическому строению участка, так и по показателям скважин, требовалось провести идентификацию интенсивности потоков жидкости между скважинами Ti , j согласно (2.14)-(2.15), по этим данным определить расположение экрана и трещины (рис. 2.22). Постановка задачи для расчета материального баланса по скважинам Вернемся к рассматриваемой синтетической модели нефтенасыщенного пласта (рис. 2.22). В качестве фактических данных будут использоваться объемы добытой жидкости Qprod Qoil Qwater , закачанной жидкости Qinj , среднее пластовое давление P по скважинам в области их «ареала дренирования» Vi , i 19 (рис. 2.3а). Определим Vi как цилиндр с центром в месторасположении скважины и с радиусом r 40 м. Таким образом, поровый объем равен: Vi πmhr 2 π 0.3 10 402 1.5 104 м3 . Подошвенная вода в настраиваемой модели (2.14) отсутствует закачанная вода идет в расчетный пласт β i ki 1 , λ aq,i 0 , вся эффективная сжимаемость постоянна 1.25 105 . Полагаем, что матрица проводимостей T (2.17) включает только «сильные» связи, т.е. связи только между добывающей и нагнетательной скважинами, а более слабыми связями между добывающими скважинами мы пренебрегаем. Таким образом, начальный вектор управлений u Ti , j для 9 скважин включает в себя Nc 20 связей. Параметрическая идентификация Проведем параметрическую идентификацию сразу для 𝑁𝑐 = 20 связей. Результаты работы алгоритма параметрической идентификации приведены ниже в табл. 2.12 и на рис. 2.25. Для удобства чтения на рис. 2.25б представлены только отфильтрованные значения T𝑖𝑗 ≥ T𝑚𝑖𝑛 , 56 м3 где в качестве порогового значения принималось T𝑚𝑖𝑛 = 10 атм∙мес. Анализируя рис. 2.25б, мы видим, что сильная связь «1-6» может указывать на наличие трещины, а отсутствие связей «1-4», «4-5» показывает, что здесь возможен экран. Однако есть и некоторые «некорректные» связи: «1-8», «5-8», «4-9», которые не позволяют однозначно говорить о наличии столь протяженного экрана. Значения функционалов (2.19), (2.20) представлены в общей таблице (табл. 2.15). С точки зрения отклонения расчетных значений от фактических (2.19) найденное значение 𝑢 ⃗ (табл. 2.12) удовлетворительно, однако, с точки зрения адекватного отображения действительности результат параметрической идентификации сразу всех связей неудовлетворителен. Необходимо проводить структурную идентификацию. Таблица 2.12. Параметры расчета при 𝑁𝑐 = 20 № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Связь (Скважины «i-j») 1 2 2 3 1 4 3 4 2 5 4 5 1 6 3 6 5 6 2 7 4 7 6 7 1 8 3 8 5 8 7 8 2 9 4 9 6 9 8 9 𝑻𝒊𝒋 , м3/атм/мес 493 85 9 0 235 1 156 158 49 8 100 3 40 28 17 178 106 12 17 110 57 ln T𝑖𝑗 (a) (б) Рис. 2.25. Адаптированные значения T𝑖𝑗 при 𝑁𝑐 = 20. На рис. (a) показаны все значения, на рис. (б) отфильтрованные T𝑖𝑗 ≥ T𝑚𝑖𝑛 . Цветовая шкала показывает логарифмические значения гидродинамических связей между скважинами ln(T𝑖𝑗 ). Структурно-параметрическая идентификация Для структурной идентификации модели материального баланса удобно переписать матрицу проводимостей T через покомпонентное произведение матриц: 𝑻 = 𝑨 ∘ 𝑻,. (2.26) где 𝑨 – симметричная бинарная матрица, определяющая отсутствие гидродинамической связи «i-j» (𝑨)𝑖,𝑗 = 0 или её наличие (𝑨)𝑖,𝑗 = 1. Таким образом, матрица связей 𝑨 определяет структуру матрицы проводимостей 𝑻. В работе был предложен алгоритм структурно-параметрической идентификации гидродинамических связей между скважинами на основе генетического алгоритма [14, 41, 55], где в качестве управляющих параметров выбираются элементы матрицы связей 𝑨. Формирование матрицы связей 𝑨 включает в себя априорные знания 𝐼𝑎𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖 о наличии/отсутствии связей, в рассматриваемом примере таковыми знаниями будет пренебрежение связями между добывающей и добывающей скважинами и между нагнетательной и нагнетательной скважинами. Тогда решением задачи структурно-параметрической идентификации будет такой вектор 𝑢 ⃗ 𝑜𝑝𝑡 , при котором целевой функционал структурно-параметрической идентификации минимален 𝐽𝑠𝑡𝑟 (𝑢 ⃗ 𝑜𝑝𝑡 ) → 𝑚𝑖𝑛. Целевой функционал по структурнопараметрической идентификации может быть определен формулами (2.19), (2.20) или их синтезом с применением теории нечетких множеств (2.5′). Применив алгоритм структурно-параметрической идентификации к рассматриваемой задаче, были получены результаты для лучшей с точки зрения функционала модели (табл. 2.13, рис. 2.26). 58 ln T𝑖𝑗 Рис. 2.26. Адаптированные значения T𝑖𝑗 при 𝑁𝑐 = 9. Таблица 2.13. Параметры расчета при 𝑁𝑐 = 9 № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Связь (𝑨)𝑖,𝑗 (Скважины «i-j») 1 2 1 2 3 1 1 4 1 3 4 0 2 5 0 4 5 0 1 6 1 3 6 0 5 6 0 2 7 0 4 7 1 6 7 0 1 8 1 3 8 0 5 8 1 7 8 1 2 9 1 4 9 0 6 9 0 8 9 0 𝑁𝑐 : 9 Отфильтрованные значения (𝑨)𝑖,𝑗 (𝐓𝒊𝒋 ≥ 𝐓𝒎𝒊𝒏 .) 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 8 𝑻𝒊𝒋 , м /атм/мес 𝒑𝒔𝒕𝒂𝒕 654 373 0 470 118 292 315 272 545 - 1 0.6 0.1 0.2 0.8 0 0.9 0.5 0.9 0.4 0.8 0.5 0.6 0.7 0.4 0.8 0.7 0.2 0.6 0.8 3 Статистический подход к структурной идентификации Также был проведена статистическая обработка 𝑁𝑚 = 10 лучших моделей с точки зрения функционала 𝐽𝑎𝑙𝑙 (рис. 2.27-2.28). Анализируя рис. 2.28б, для каждой связи была получена величина вероятности ее обнаружения в 𝑁𝑚 лучших моделях: 𝒑𝒔𝒕𝒂𝒕 = 𝑁 𝑚 (𝑨) 𝑛 ∑𝑛=1 𝑖,𝑗 𝑁𝑚 где 𝑛 = 1, … , 𝑁𝑚 обозначает порядковый номер модели. 59 ., В качестве критериев отбора моделей используются следующие неравенства: 1. 0 ≤ 𝑝𝑠𝑡𝑎𝑡,𝑗 ≤ 𝑝𝑚𝑖𝑛 – j-ой связи нет; 2. 𝑝𝑚𝑖𝑛 < 𝑝𝑠𝑡𝑎𝑡,𝑗 < 𝑝𝑚𝑎𝑥 - j-ая связь возможна; 3. 𝑝𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝑝𝑠𝑡𝑎𝑡,𝑗 ≤ 1 - j-ая связь есть. Рис. 2.27. Значения целевого функционала BIC ( ) и 𝐽𝑎𝑙𝑙 ( ) для моделей с разным набором связей (𝑨)𝑖,𝑗 , полученных в результате структурно-параметрической идентификации. По оси абсцисс показано количество связей 𝑁𝑐 в модели. № connection № connection № model № model (а) (б) Рис. 2.28. Статистическая обработка 10 лучших по значению функционала моделей. Белый квадрат – нет связи, синий – есть связь. На рис. а) показаны все значения, на рис. б) отфильтрованные T𝑖𝑗 < T𝑚𝑖𝑛 - связи нет. Значения 𝑝𝑚𝑖𝑛 , 𝑝𝑚𝑎𝑥 выбирались экспертно, 𝑝𝑚𝑖𝑛 = 0.4, 𝑝𝑚𝑎𝑥 = 0.8. Если выбрать такие критерии отбора моделей, то получается следующее правило отбора (рис. 2.29): 7 связей из 20 признаются устойчивыми и точно определенными (𝑝𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝑝𝑠𝑡𝑎𝑡,𝑗 ≤ 1), 6 60 связей из 20 определяются как несуществующие (0 ≤ 𝑝𝑠𝑡𝑎𝑡,𝑗 ≤ 𝑝𝑚𝑖𝑛 ), про оставшиеся 7 из 20 связей мы ничего точного сказать не можем (𝑝𝑚𝑖𝑛 < 𝑝𝑠𝑡𝑎𝑡,𝑗 < 𝑝𝑚𝑎𝑥 ). Из рисунка видно, что единственная точно определенная протяженная связь – это связь «1-6», где расположена трещина. Область, где располагается «экран», определяется повышенной плотностью отсутствия связей, однако, есть связь «1-8», которая возможна, вероятность ее появления равна 0.6. Таким образом, за одну итерацию статистического подхода к структурной идентификации были определены 13 из 20 связей, которые отражают действительность (наличие экрана и трещины в модели). Далее, для получения значений этих связей, проведем 2-ю итерацию структурной идентификации, только теперь количество настраиваемых параметров (𝑨)𝑖,𝑗 при структурной идентификации равно 7, а не 20. Остальные 13 из 20 связей идут в качестве априорной информации 𝐼𝑎𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖 . В результате работы алгоритма структурной идентификации была получена следующая модель (рис. 2.30, табл. 2.14): Таблица 2.14. Параметры расчета при 𝑁𝑐 = 11 № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Связь (𝑨)𝑖,𝑗 (Скважины «i-j») 1 2 1 2 3 1 1 4 0 3 4 0 2 5 1 4 5 0 1 6 1 3 6 1 5 6 1 2 7 0 4 7 1 6 7 1 1 8 0 3 8 1 5 8 0 7 8 1 2 9 0 4 9 0 6 9 0 8 9 1 𝑁𝑐 : 11 Отфильтрованные значения (𝑨)𝑖,𝑗 (𝐓𝒊𝒋 ≥ 𝐓𝒎𝒊𝒏.) 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 11 61 𝑻𝒊𝒋 , м /атм/мес 544 193 196 275 12 127 131 154 91 104 229 3 ln T𝑖𝑗 Рис. 2.29. Результат статистической обработки 10 лучших по значению функционала моделей 𝑝𝑚𝑖𝑛 = 0.4, 𝑝𝑚𝑎𝑥 = 0.8. Рис. 2.30. Адаптированные значения T𝑖𝑗 при 𝑁𝑐 = 11. Все 11 связей адекватно описывают реальность (рис. 2.22), что можно считать успешным завершением структурной и параметрической идентификации. Результаты пошаговой структурной идентификации с точки зрения функционалов (2.19), (2.20) для каждой из посчитанных моделей (рис. 2.25, рис. 2.26, рис. 2.30) приведены ниже (табл. 2.15). Таблица 2.15. Результаты пошаговой структурной идентификации № модели 1 2 3 Кол-во связей 𝑁𝑐 20 9 11 BIC Jall 2290 2698 2392 3.24 3.16 3.07 2.5. ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС ДЛЯ РАСЧЕТА МАТЕРИАЛЬНОГО БАЛАНСА Был реализован программный комплекс для расчета материального баланса (рис. 2.31). Основным является расчетный модуль, где решается задача идентификации параметров модели 𝑢 ⃗ с помощью минимизации целевого функционала, представляющего собой нормированную меру отклонения фактических и расчетных значений давления в течение истории разработки (2.18). Выбор настраиваемой модели по уровню детализации по пространству (рис. 2.2), а также подаваемой в расчетный модуль входной информации осуществляется пользователем. Вручную настраиваются ограничения на управляющие параметры и их число. 62 Рис. 2.31. Блок-схема программного комплекса для расчета материального баланса. В общем случае, как отмечалось ранее, задача идентификации является некорректной. Поэтому реализован дополнительный блок регуляризации, включающий в себя результаты и подходы, рассмотренные ранее. Иерархический подход подразумевает использование информации, полученной при расчетах на более простой модели, в качестве регуляризирующей при расчете на текущей модели (рис. 2.32). На блок-схеме (рис. 2.32) каждый уровень детализации использует расчетный модуль, однако, для уровней 2 и 3 для решения оптимизационной задачи используется модифицированный функционал, учитывающий ограничения (2.21)-(2.22) и (2.23) соответственно через функции принадлежности μ. Кроме того, потоки жидкости между участками в модели для системы гидродинамически связанных скважин (2.14) применяются в качестве законтурных потоков, таким образом, учитываются связи между скважинами на соседних участках. Рис. 2.32. Блок-схема иерархического подхода по расчету материального баланса. 63 Для моделей с гидродинамически связанными элементами системы (участками или скважинами), число настраиваемых параметров в зависимости от количества участков или скважин быстро растет. Особенно это касается интенсивности потоков жидкости между элементами системы ( i , j для модели с участками и Ti , j для модели со скважинами), где зависимость числа настраиваемых параметров от количества участков или скважин квадратичная (2.11), (2.15). Поэтому в работе были реализованы подходы по регуляризации матрицы связей 𝑨 (2.26), характеризующей структуру матрицы проводимостей 𝑻 (2.17) между элементами системы. Были предложены и программно реализованы следующие ограничения на связи: 1. Геометрические ограничения. Вводятся ограничения на расстояния между элементами и на углы между связями. Также, если связь пересекает какой-либо третий элемент, то такая связь "обрывается". 2. Ограничения, полученные в результате применения разработанной инженерной методики для анализа промысловых данных. 3. Ограничения, полученные после структурной идентификации, где под структурой понимается вид матрицы связей A и наличие/отсутствие гидродинамических связей. 4. Применение статистического подхода (рис. 2.4). 64 ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ ПО 2 ГЛАВЕ 1. Предложен новый метод иерархической регуляризации для расчета материального баланса на нефтяном месторождении на различных уровнях детализации по пространству (месторождение – участки – скважины). При переходе от одного уровня детализации модели к следующему используются результаты моделирования с предыдущих уровней в виде дополнительных регуляризирующих функционалов, которые добавляются в минимизируемый целевой функционал с помощью теории нечетких множеств. Эффективность метода продемонстрирована на одном из месторождений Западного Казахстана, где были определены следующие параметры, характеризующие эффективность разработки пласта: доля «полезно» закачанной воды в пласт, активность водоносного горизонта, пластовое давление и проводимости между участками. 2. Разработана инженерная методика по анализу промысловых данных для определения наличия или отсутствия гидродинамических связей между участками нефтяного месторождения. Методика была апробирована на секторной гидродинамической модели разработки нефтяного месторождения с различной конфигурацией непроницаемых разломов и показала удовлетворительные результаты для тех случаев, когда непроницаемые разломы существенно влияют на характер заводнения месторождения. 3. Разработана методика материального баланса структурно-параметрической для идентификации определения гидродинамических связей модели между скважинами. Данная методика включает в себя следующие ключевые особенности: Модификация целевого функционала с помощью дополнительных регуляризирующих слагаемых, позволяющих учесть не только отклонение расчетных значений пластовых давлений от фактических, но и сложность и прогностические свойства идентифицируемой модели. Предложены дополнительные критерии отбора связей между скважинами, полученные на основе статистической обработки лучших с точки зрения целевого функционала моделей. 4. На примере вычислительного эксперимента показано, что в условиях недостатка исходной информации сложная модель (с максимально возможным количеством гидродинамических связей) не соответствует эталонной гидродинамической модели, в то время как более простая модель с меньшим количеством гидродинамических связей, полученная в результате структурно-параметрической идентификации, адекватна и соответствует эталонной гидродинамической модели. 65 ГЛАВА 3. ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАВОДНЕНИЕМ НА НЕФТЯНОМ МЕСТОРОЖДЕНИИ Закачка в нефтяной пласт воды относится к наиболее популярным и часто применяемым методам разработки нефтяных месторождений. Этот метод позволяет поддерживать высокие текущие дебиты нефтяных скважин, и, в итоге, достичь высокого процента отбора извлекаемых запасов нефти (коэффициент извлечения нефти - КИН) с максимальным экономическим эффектом (net present value – NPV). При этом эффективное управление заводнением нефтяного месторождения осуществляется с применением инструментов математического и гидродинамического моделирования [21, 22, 53, 62]. Строится фильтрационная модель пластовой системы и, основываясь на модельных расчетах, выбираются такие значения регулируемых параметров, которые обеспечивают максимальное значение КИН и/или NPV. Достоверность прогнозных расчетов на фильтрационной модели в первую очередь определяется качественной адаптацией модели на фактические данные. Вопросы по решению задач идентификации обсуждались в главе 2. В качестве примера задач управления заводнением нефтяного месторождения можно привести задачи нахождения наилучших с точки зрения выбранного целевого функционала мест бурения скважин, дебитов или забойных давлений скважин [17, 18, 26, 29, 64, 69, 76, 90, 96]. К подобным задачам относится также выбор наилучшей системы разработки, то есть определение в каких местах из множества разбуренных мест должны быть нагнетательные, а в каких - добывающие скважины. Для определения оптимального варианта заводнения многопластовых систем дополнительно решается задача по оптимизации положения интервалов перфорации скважин. В более общей постановке эта задача может быть рассмотрена как задача управления значениями продуктивностей скважин. Реальный пласт является неоднородным. Поэтому предназначенные для однородного пласта стандартные схемы с симметрично расположенными нагнетательными и добывающими скважинами (пятиточечная, рядная, семиточечная, девятиточечная) [81] могут оказаться не самыми лучшими. В этой связи возникает вопрос о необходимости расчета наилучшей системы разработки. Поскольку информация о пласте уточняется по мере эксплуатации месторождения, то возникает необходимость корректировки исходной системы разработки. Применение избирательных (нестандартных) систем заводнения оправдано в неоднородных пластах, в частности, в руслах палеорек или баровых островов. 66 Для решения задач оптимизации разработки месторождений обычно используют методы оптимального управления, основанные на принципе максимума Понтрягина и решении уравнений двухфазной фильтрации [21, 22, 26, 43, 69, 87, 89, 96]. Можно отметить и подход, в котором целевой функционал включаются «знания экспертов» [90]. Однако в общем случае для решения задач оптимизации системы разработки требуется дополнительно привлекать методы целочисленного программирования. Использование этих методов приводит к большим вычислительным затратам, поскольку количество вычислений очень быстро возрастает с увеличением числа переменных (количества скважин). В частности, при решении методом прямого перебора задачи оптимизации системы разработки, включающей N w скважин, вычислительные затраты растут как 2𝑁𝑤 . Эволюционные методы в вычислительном отношении также являются достаточно затратными. В данной главе рассмотрена оригинальная вычислительная технология для расчета оптимальной системы разработки в случае, когда в эксплуатацию вводятся одновременно несколько скважин. Она включает в себя метод, основанный на аналитическом решении уравнений фильтрации, позволяющий в реальном времени, с приемлемой для практики точностью, рассчитать оптимальную с точки зрения КИН систему заводнения на месторождениях, содержащих большое количество скважин [87, 89]. Также реализован метод определения оптимального управления продуктивностями скважин в случае многопластовых нефтенасыщенных систем. 3.1. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ СИСТЕМЫ РАЗРАБОТКИ НЕФТЯНОГО МЕСТОРОЖДЕНИЯ НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА Пусть объем нефтяного пласта разбивается на ячейки с номерами i=1,…,Nc, а период времени T , в течение которого осуществляется добыча нефти, разделяется на интервалы t n n=1,…,N. Целью задачи является определение такого управления u n n=1,…,N, при котором J max , где целевой функционал J , равный объему добытой нефти за период разработки T , представляется в виде (для IMPES-метода): N J f (x , x , u ) , n n n 1 n n 1 N T t n . (3.1) n 1 Здесь f n – целевая функция; x n – вектор фазовых переменных размерностью Nx=2Nc, компоненты которого являются значениями давления и насыщенности одной из фаз в 67 каждой расчетной разностной ячейке; u n – вектор управлений на n-ом временном шаге размерностью Nu. Nw f n qoin , i 1 где qoin - дебит нефти. В качестве целевой функции может также использоваться NPV. Ограничения в виде равенств на фазовые переменные и управления представляют собой разностные уравнения движения фаз и зависят только от значений x n , x n1 и u n , то есть Fn Fn (xn , xn 1, un ) 0 , Ограничения на управления имеют вид: n=1,…,N. umin un umax , (3.2) (3.3) где umin и umax - минимальное и максимальное значения управления. Согласно методу Понтрягина-Лагранжа функционал J с использованием вектора множителей Лагранжа ψ n (n=1,…,N) и ограничений в виде равенств (3.2) преобразуется в гамильтониан , определяемый следующим образом: N f n (F n )T ψ n . n 1 Здесь и далее знак T вверху означает транспонирование, а вектор-столбец ψ n , имеющий размерность Nx, определяется из следующей системы сопряженных уравнений: T T F n n n ψ f , при n N ; x n x n T T T T F n1 n1 n n1 F n n ψ f f ψ , n N 1,,1 , x n x n x n x n (3.4) где f n / x n и f n 1 / x n - векторы-строки размерностью Nx; F n / x n и F n 1 / x n разреженные матрицы размерностью Nx×Nx. Производные целевого функционала по компонентам вектора управления в каждый момент времени u n =( u1n , u 2n ,…, u kn ,…, u Nn w )T , имеют вид: T F n n ψ k=1,…, Nu. ukn ukn ukn f n 68 (3.5) 3.2. ЭФФЕКТИВНЫЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ РАСЧЕТА ИЗБИРАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ЗАВОДНЕНИЯ Задача оптимизации системы разработки Рассмотрим задачу оптимизации системы разработки, включающей в себя Nw скважин, местоположение которых задано. Управляющими параметрами задаются забойные давления на скважинах, то есть 𝑢 = 𝑃𝑤 [9, 21, 26, 96, 90]. Тогда выражение для дебита скважины, входящего в целевой функционал J (3.1) и уравнения связи (3.2), можно представить следующем виде (для простоты гравитационные члены не учитываются): Q WI ( P u) , где P - пластовое давление, WI - индекс скважины. Суммирование производится по продуктивным интервалам, проходящим через ячейки разностной сетки. На управляющие параметры накладываются технологические ограничения вида (3.3). Для решения рассматриваемой задачи используются следующие допущения: - значения umin и umax одинаковы для всех скважин; - зависимость целевого функционала (3.1) и условий связи (3.2) от управления является линейной; - вводимые в эксплуатацию скважины могут быть только добывающими или нагнетательными, не работающих скважин быть не может. Стоит отметить, что вводимые допущения исключают ситуацию, когда из-за изменения забойного давления на скважине изменяется пластовое давление и, соответственно, другие скважины, будучи добывающими, могут стать нагнетательными и наоборот. Целью задачи является определение начальной системы разработки, то есть необходимо определить такой вектор управления: u0 (u10 , u20 ,..., uk0 ,..., uN0 w )T , при котором целевой функционал имеет максимум. При указанных допущениях для нагнетательных скважин 𝑢0 = 𝑢𝑚𝑎𝑥 , а для добывающих - 𝑢0 = 𝑢𝑚𝑖𝑛 . Таким образом, если вектор u 0 найден, то тип скважин определяется легко: при uk0 = umin k-ая скважина является добывающей, а при u k0 = umax – нагнетательной. Если система разработки изменяется не в начальный, а в 𝑛0 -ый (𝑛0 ≥1) момент времени, то в качестве начальных условий для управлений 𝑢 и фазовых переменных, выбирается состояние в предыдущий 𝑛0 − 1-ый момент времени, а управление ищется при 𝑛0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁. На предыдущих временных шагах 1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑛0 − 1 оно считается известным. 69 Для точного решения этой задачи необходимо выполнить полный перебор (bruteforce search) всех возможных вариантов. Однако поскольку в нем число вариантов растет как 2 в степени Nw, то при достаточно большом числе скважин этот способ может оказаться неприемлемым из-за значительных временных затрат. Таким образом, необходимо выработать стратегию направленного выбора управлений uk0 для всех скважин, позволяющую получить решение достаточно быстро. В работе [26] предложен эвристический алгоритм, с помощью которого определяется вектор 𝒖0 . Однако расчет системы разработки с помощью алгоритма [26] требует численного решения системы уравнений фильтрации, а, следовательно и значительных временных затрат. Поэтому был разработан экспресс-алгоритм расчета системы разработки, позволяющий Быстродействие полученного метода при производить обусловлено принятии расчет в режиме использованием некоторых упрощающих реального времени. аналитического решения, допущений о структуре фильтрационных потоков в пласте. Экспресс-алгоритм для расчета избирательной системы заводнения Поскольку оптимальное управление может принимать значения либо 𝑢 = 𝑢𝑚𝑎𝑥, 𝑖 , u umin,i либо , то при изменении управления на i-ой скважине от 𝑢 = 𝑢𝑚𝑎𝑥, 𝑖 до 𝑢 = 𝑢𝑚𝑖𝑛, 𝑖 целевой функционал изменяется на величину: J i J (u1,..., ui umax,i ,..., uNw ) J (u1,,..., ui umin,i ,..., uNw ) . (3.6) Используя это выражение для J i , имеем следующий простой алгоритм расчета избирательной системы заводнения [87, 89], относящийся к категории «жадных»: Алгоритм А1 Step 1. Step 2. Initialize u 0 ; iter=0; U(iter):= u 0 ; T ; Calculate J i ⩝ i=1,2,…,Nw ; J k min J i ; Step 3. Control calculate: if J k >0 and uk umin,k then uk umax, k ; i else if J k <0 and uk umax, k then uk umin,k ; Step 4. if u0 U then U (iter) u0 ; iter:=iter+1; go to Step2 else end. Для прямого расчета J i с помощью (3.1), (3.6) потребуется много времени и алгоритм А1 окажется неэффективным для практического применения.. Но если ввести ряд допущений, то можно получить аналитическое решение уравнений (3.1). С помощью этого решения время расчета приращения 70 целевого функционала значительно сокращается. Поэтому становится возможным расчет в реальном времени системы разработки на месторождениях, содержащих сотни скважин. Аналитическое решение и полученное на его основе выражение для J i приведены в Приложении А. Стоит отметить, что фильтрационная модель, используемая в Алгоритме А1, аналогична модели с гидродинамическими связями между скважинами (рис. 2.3а). Таким образом, идентифицированные гидродинамические связи (2.14-2.15) для текущей системы разработки могут быть использованы в задаче управления. Выражение для J i (3.6) для трехмерного пласта легко можно обобщить при допущении о послойной структуре течения. Тогда приращение целевого функционала для пласта в целом будет равно сумме приращений для каждого слоя. Алгоритм А1 не зависит от способа вычисления приращения целевого функционала J i . Поэтому можно использовать и другие способы прямого вычисления приращения J i по формуле (А-6). Например, с помощью метода линий тока [60]. Но тогда для расчета потребуется значительно большее время. Алгоритм А1 можно также использовать для расчета «начального приближения» для последующего расчета на алгоритмах, не использующих аналитическое решение [26]. Результаты Исследование вычислительной эффективности предлагаемого алгоритма производилось на 2D задаче определения системы разработки в симметричном элементе девятиточечной сетки скважин. Период разработки выбирался таким образом, чтобы средняя обводнённость добываемой жидкости находилась в интервале 90 – 95%. Относительные фазовые проницаемости приведены на рис. 3.1. Распределение проницаемости внутри элемента задавалось неоднородным. В расчетах использовались два типа неоднородности зонально-неоднородного коллектора: «остров» и «река». Неоднородности таких типов могут представлять собой русла палеорек и баровые острова. Рассматривались следующие четыре случая (рис. 3.2): низко- и высокопроницаемое включение типа «остров» (рис. 3.2а-б), низко- и высокопроницаемое включение типа «река» (рис. 3.2в-г). 71 ОФП Krw Kro 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0,5 Водонасыщенность, (Sw) 1 Рис. 3.1. Относительные фазовые проницаемости нефти (Kro) и воды (Krw) (а) (б) (в) (г) Рис. 3.2. Представлены 4 случая неоднородностей. – K1, - K2 (K1< K2). Знаком места расположения скважин. - обозначены Значения проницаемости зон выбирались так, чтобы ее среднее значение по площади было равно 100мД: 𝐾1 𝑆1 + 𝐾2 𝑆2 = 100мД, 𝑆1 + 𝑆2 где 𝐾1 и 𝐾2 – значения проницаемостей для первой и второй зоны, 𝑆1 и 𝑆2 – соответствующие площади зон. Другие параметры задачи в обеих зонах принимали одинаковое значение. Параметры задачи приведены в Таблице 1. Таблица 3.1. Основные параметры расчета Параметр Забойное давление на добывающих скважинах Забойное давление на нагнетательных скважинах Пористость Толщина пласта Вязкость воды Вязкость нефти Критические насыщенности воды и нефти Начальная водонасыщенность Количество ячеек Вороного 72 Значение 30 (атм) 70 (атм) 0.2 10 (м) 1 сПз 10 сПз 0.25, 0.6 0.25 ~200 Полученные при помощи Алгоритма А1 системы разработки сравнивались с «точным решением» - системой, полученной в результате полного перебора всех возможных вариантов. В качестве целевого функционала использовался коэффициент извлечения нефти (КИН): 1 𝑛 𝑛 КИН = 𝑉 ∑𝑁 𝑛=1 𝑄𝑜 𝛥𝑡 , 𝑜𝑖𝑙 где t n - время (в сутках), Qon - дебит нефти (м3/сут), 𝑉𝑜𝑖𝑙 – объем нефти в пласте (м3). Расчеты всех возможных вариантов назначения скважин для 4 случаев распределения проницаемости (рис. 3.2) показали, что довольно большое количество вариантов назначения скважин имеют значения КИН близкие к максимальному значению. Так, на рис. 3.3 приведен характерный график ранжированных вариантов назначения скважин в зависимости от КИН. Оптимальный вариант превосходит десятый всего на 0.2%. При учёте погрешностей, возникающих при вычислениях, а также достаточной степени неопределённости свойств коллектора, подобное различие не является существенным. Следовательно, при выборе схемы назначения необходимо рассматривать не какой-то один наилучший вариант, а некоторое количество наилучших вариантов назначения скважин. Рис. 3.3. Значения КИН для всех возможных вариантов схем назначения скважин В Алгоритме А1 в качестве начальных значений были поданы всевозможные варианты назначения скважин (всего 510 вариантов; варианты, где все скважины нагнетательные или все добывающие являются вырожденными). Дискретное распределение значений КИН в зависимости от вариантов назначения скважин оценивалось следующими параметрами: а) Математическое ожидание (среднее значение): 𝑁 1 𝑀[КИН] = ∑ КИН𝑖 , 𝑁 𝑖=1 73 где 𝑁 – объем выборки или количество вариантов назначений скважин. б) Стандартное отклонение: 𝑁 1 𝑆[КИН] = √ ∑|КИН𝑖 − 𝑀[КИН]|2 . 𝑁−1 𝑖=1 в) Отклонение среднего значения КИН от максимального: ∆КИН = КИН𝑚𝑎𝑥 − 𝑀[КИН] ∙ 100%, 𝑀[КИН] − КИН𝑚𝑖𝑛 где КИН𝑚𝑎𝑥 , КИН𝑚𝑖𝑛 – максимальное и минимальное значения КИН из всех возможных вариантов. В случае низкопроницаемого включения типа «остров» (рис. 3.2а) со значениями проницаемостей зон K1=120мД, K2=40мД, алгоритм выдает 14 уникальных расстановок, диапазон значений КИН которых находится близко к максимуму (рис. 3.4а). Одним из лучших вариантов назначения скважин, предложенных алгоритмом, является пятиточечная схема расстановки. При высокопроницаемом включении (рис. 3.2б, K1=60 мД, K2=210 мД) экспрессалгоритм предлагает 38 уникальных назначений скважин, диапазон (рис. 3.4б) значений КИН также близок к максимуму. Среди предложенных схем расстановки есть классическая девятиточечная схема расстановки. При неоднородном поле проницаемости типа «река» для низкопроницаемого (рис. 3.2в, K1=150 мД, K2=50 мД) и высокопроницаемого (рис. 3.2г, K1=40 мД, K2=160 мД) включений экспресс-алгоритм находит 28 и 52 уникальных назначений типов скважин соответственно. В обоих случаях диапазон КИН находится в левой части графиков (рис. 3.4в, рис. 3.4г), близких к максимальному. Предложенные полным перебором рядные системы расстановки также предлагаются и алгоритмом А1. Оценим полученные дискретные распределения значений КИН в зависимости от вариантов назначения скважин (рис. 3.4, табл. 3.2). Для всех 4-х типов неоднородностей видна сильная зависимость КИН от варианта назначения скважин, хотя довольно большое количество вариантов назначения скважин имеют значения КИН, близкие к максимальному. Видно, что среднее значение КИН смещено к максимальному, особенно для включения типа «остров», где ∆КИН не превышает 12%, в то время как для включения типа «река» ∆КИН не меньше 21%. 74 A Б В Г Рис. 3.4. Ранжированные варианты назначений скважин по значению КИН для 4-х типов неоднородностей. Синим цветом показаны всевозможные варианты назначений, а красным - предложенные экспрессалгоритмом. Распределения вариантов назначения скважин, предложенных Алгоритмом А1, смещены к максимуму по сравнению с распределениями всех возможных вариантов. Отклонения средних значений от оптимальных не превышает 2% в случае включения типа «остров» и 8% для включения типа «река». Таким образом, можно сделать вывод о том, что предложенный алгоритм определяет благоприятные варианты назначения скважин, в том числе и оптимальные. При этом время расчета оптимизационного алгоритма А1 варьируется в диапазоне 10-13 секунд, в то время как полный перебор всех вариантов назначений скважин производится примерно за час. 75 Таблица 3.2. Параметры распределения значений КИН в зависимости от количества вариантов назначений скважин для 4 моделей с различным типом неоднородности коллектора. Синим цветом показаны параметры распределения всех 512 вариантов назначения скважин, красным – параметры распределения вариантов назначения скважин, предложенных алгоритмом А1. № Модель 1 Низкопроницаемое включение типа «остров» 2 Высокопроницаемое включение типа «остров» 3 Низкопроницаемое включение типа «река» 4 Высокопроницаемое включение типа «река» Объем выборки N 512 14 512 38 512 28 512 52 𝑀[КИН] 0,436 0,455 0,432 0,458 0,455 0,490 0,439 0,483 𝑆[КИН] 0,034 0,003 0,042 0,002 0,044 0,015 0,060 0,011 ∆КИН 11% 2% 12% 2% 22% 8% 21% 6% 3.3. ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЯМИ ПРОДУКТИВНОСТЕЙ СКВАЖИН Рассмотрим задачу определения оптимального варианта заводнения многопластовых систем в случае, когда местоположение и тип скважин известны. Это может быть уже существующая в данный момент времени система разработки или определенная с помощью алгоритма А1. Управляющими параметрами являются множители на продуктивности скважин по каждому из пропластков: u T 1 , 2 ,..., Nu , i 0, i 1,..., Nu . (3.7) Тогда выражение для дебита скважины, входящего в целевой функционал J, преобразуется к виду: n n n qin uWI i i ( Pi Pw, i ) , Уравнения состояния F жидкости (black-oil) при (3.2) для двухфазной фильтрации слабосжимаемой отсутствии капиллярных сил в области пласта в дифференциальной форме имеют вид [1, 24]: bw Sw div[ w (pw wD)] , t S l l 1 , l bl k r ,l l , bo So div[o (po oD)] , t (3.8) l g ( p w po p g p ). Здесь используются общепринятые обозначения: индексы l = w , o внизу относятся соответственно к водной (water) и нефтяной (oil) фазам; l – проводимость; pl - давление; Sl - насыщенность; bl bl ( pl ) - пересчетный коэффициент; l l ( pl ) - вязкость; l 76 удельный вес; l - истинная плотность; kr , l - относительная фазовая проницаемость; пористость. На границах расчетной области пласта могут быть заданы: 1 – давление, 2 – поток, или 3 - аквифер (область водоносной зоны), где осуществляется сшивка численного решения на границе расчетной области и аналитического решения за ее пределами. В математической формулировке граничные условия имеют вид: p p(, t ) p (t ) , vn vn (, t ) p , n p( , t ) p( , t ) - аквифер. (3.9) Размерность вектора фазовых переменных, определенного следующим образом: x [ P, Sw ], равна Nx=2Nc, компоненты которого представляют собой значения давления и насыщенности воды в каждой расчетной разностной ячейке. Для решения экстремальной задачи J u max в постановке (3.1)-(3.5), где вектор управляющих параметров определен как (3.7), был реализован метод сопряженных градиентов, хорошо зарекомендовавший себя для задач подобного типа [22, 49]. Итерационный процесс в методе сопряженных градиентов строится следующим образом. Уточняемая оценка управляющего вектора u на (v+1)-ой итерации вычисляется через значение управляющего вектора u на (v)-ой итерации на основании направления поиска, предопределяемого градиентом целевой функции: u ( v 1) u ( v ) ( v ) D( v ) , (3.10) D( v ) J ( v ) ( v 1) D( v 1) , (3.11) где J (v) ( v 1) J ( v ) J ( v 1) 2 2 (3.12) , - градиент целевой функции относительно управляющих параметров, D( v ) - направление поиска экстремума функционала, a ( v ) - величина шага смещения вдоль направления поиска. Для достижения наилучшей скорости сходимости процедуры (3.10)-(3.12), величина шага ( v ) должна находиться из решения следующей одномерной экстремальной задачи ( v ) arg min J u ( v ) D( v ) , 77 (3.13) т.е. 𝛽 (𝑣) - это значение шага смещения 𝛽, на котором достигается минимум выражения J u ( v ) J ( v ) . В качестве критерия сходимости итерационного процесса были выбраны следующие условия. Итерационный процесс будет продолжаться при условии убывания функционала и до тех пор, пока число итераций не превысит заданное максимальное число v max : J ( v 1 ) J ( v ) . v v max (3.14) Представление задачи управления значениями продуктивностей скважин в конечно-разностной форме Распишем в конечно-разностной форме задачу управления значениями продуктивностей (3.7), решаемую итерационным методом сопряженных градиентов (3.10)- (3.12), с уравнениями движения фаз вида (3.8), где градиент целевого функционала определяется согласно методу Лагранжа-Понтрягина (3.5). Уравнения двухфазной фильтрации (3.8) в приближении слабосжимаемой жидкости (пересчетные коэффициенты фаз мало отличаются от единицы) после конечно-разностной дискретизации IMPES-методом имеют следующий вид: in pin pin 1 Vi qin,im qin, k p 0 , n t m p in c i (w Swn 1 o Son 1 ) , i (3.15) S wn,i S wn,i1 pin pin 1 n 1 V S ( ) Vi qwn ,i ,im qwn ,i , k p 0 , i w, i i w c n n t t m p где потоки жидкости qin,im и воды qwn ,i ,im через границу ячеек с номерами i и im , а также потоки жидкости qin,k и воды qwn ,i ,k через скважину с номером k в ячейку с номером i (или наоборот, - из ячейки в скважину), рассчитываются следующим образом: qin,im Ti ,nim ( pin pinm ) , Ti ,nim 0 krw ( S wn ,i1 ) kro ( S wn ,i1 ) n 1 n 1 Ti , im ,при pi pim 0 o w ; n 1 n 1 0 krw ( S w,im ) kro ( S w,im ) n 1 n 1 ,при pi pim 0 Ti , im w o 78 qwn ,i ,im Twn,i ,im ( pin pinm ) , Twn,i ,im krw ( S wn ,i1 ) 0 Ti , im , при pin 1 pinm1 0 w ; n 1 k ( S ) rw w,im 0 Ti , im , при pin 1 pinm1 0 w (3.16) qin, k in, k ( pin pwn , k ) , in, k krw ( S wn ,i1 ) kro ( S wn ,i1 ) 0 n 1 n 1 i , k , при pi pw, k 0 o w , kro ( Sw* ,i ) 0 , * * krw ( S w,i ) kro ( S w,i ) 0 n 1 n 1 i , k , при pi pw, k 0 w o qwn ,i , k f w (Swn,i , k )qin, k f w (Swn,i , k )in, k ( pin pwn , k ) = = n w, i , k (p p wn ,i , k f wn,i , kin, k n i n w, k df ( S ) ) w w, i dS w, i n 1 ( Swn ,i Swn ,i1 )qin, k , krw ( S wn ,i1 ) 0 i , k , при pin 1 pwn , k1 0 w , * krw ( S w,i ) 0 , при p n 1 p n 1 0 i,k i w, k w n 1 df w ( S w ) n 1 n n 1 f w (Sw ) ( S w S w ), при n f w (Sw ) dS w * n 1 n 1 f w ( S w ), при pi pw, k 0 krw ( Sw ) / w f w (Sw ) , krw (Sw ) / w kro (Sw ) / o i 1,..., Nc , f w (S ) f w (S n w n 1 w pin 1 pwn , k1 0 df ( S ) ) w w dSw n 1 ( S wn S wn 1 ) ; n 1,..., N , k 1,..., N w . В уравнениях (3.15) и выражениях для потоков (3.16) Vi - геометрический объем i ой ячейки; w , o , c - коэффициенты сжимаемости соответственно воды, нефти и пластовой породы; f w - функция Баклея-Леверетта, характеризующая долю воды в потоке 79 жидкости; S w* ,i значение водонасыщенности в ячейке, при которой фазовая проницаемость нефтяной фазы становится равной нулю. Для относительных фазовых проницаемостей krw (Sw ) и kro ( Sw ) (в общем случае их зависимости от водонасыщенности для каждой ячейки могут иметь индивидуальный характер, определяемый свойствами пластовой породы) используется схема «вверх по потоку». В соответствии с этой схемой значения относительной фазовой проницаемости определенной фазы на границе двух ячеек i и im определяются из центра той ячейки, из которой поток данной фазы движется в направлении границы. Коэффициенты Ti 0 и i0,k , характеризующие связи между разностными ячейками, зависят только от абсолютной проницаемости пористой среды и от геометрии разностных ячеек. С целью повышения устойчивости уравнения для водонасыщенности в выражение для потока воды на добывающих скважинах qwn ,i ,k , доля воды в потоке f w определяется на n -ом временном слое [1]. Отметим, что значения фазовых переменных при n=0 соответствуют начальным условиям. При решении приведенных выше уравнений используется следующее упорядочивание фазовых переменных и ограничений в виде равенств x( n )T [ x1n , x2n ] , F ( n )T [ F1( n ) , F2( n ) ] , n 1,..., N , где векторы фазовых переменных x1n и x2n соответствуют векторам давления p n и водонасыщенности S wn в ячейках. В качестве управлений выступают множители на продуктивности скважин (3.7). Тогда продуктивность скважины с учетом управлений записывается: u T 1 , 2 ,..., N → in, k i,(kn ) k . u (3.7’) Ограничения в виде равенств для каждого метода разностной дискретизации уравнений имеют индивидуальную форму. В частности, для IMPES-метода, в соответствии с (3.15), их можно представить в виде: F1( n) A1n x1n D1n x1n 1 W1n pwn bFn1 0 , F2( n) Awn x1n Dwn x1n 1 M w x2n N w x2n 1 Wwn pwn bFn2 0 . (3.17) Здесь F1( n ) F1( n) ( x1n , x1n 1 , x2n 1 ) соответствует уравнениям для давления в ячейках, F2( n ) F2( n ) ( x1n , x1n 1 , x2n , x2n 1 ) - уравнениям для водонасыщенности. Приведем конкретные выражения для элементов i -ых строк матриц и компонент векторов, входящих в ограничения (2.2.3), а также их характеристик, справедливых при i 1,..., Nc , k 1,..., N w , 80 n 1,..., N (элементы находящиеся на главных диагоналях квадратных матриц и вне главных диагоналей отмечены индексами соответственно i, i и i, im внизу, первый из двух индексов означает номер строки, второй – номер столбца): A1n A1 ( x2n 1 , u) , ( A1n )i ,i Ti ,i in Vi Ti ,nim in, k p , t n m p ( A1n )i ,im Ti ,im - разреженная М-матрица размерности Nc Nc ; D1n D1 ( x2n 1 ) , ( D1n )i ,i in Vi , t n ( D1n )i ,im 0 - диагональная матрица размерности Nc Nc с отрицательными элементами; W1n W1 ( x2n 1, u) , (W1n )i , k in, k - разреженная матрица размерности Nc N w с неположительными элементами; bFn1 const - вектор размерности N c , характеризующий влияние гравитации (при ее учете) и граничные условия в уравнениях для давления; Awn Aw ( x2n 1 , u ) , ( Awn )i ,i Swn,i1 (i w c ) Vi n n Twn,i ,im wn ,i , k p , ( Aw )i ,im Tw,i ,im t n m p - разреженная матрица размерности Nc Nc ; Dwn Dw ( x2n 1 ) , ( Dwn )i ,i Swn,i1 (i w c ) Vi , t n - диагональная матрица размерности Nc Nc ; 81 ( Dwn )i ,im 0 n 1 n 1 2 M M w (x , x n w n 1 , u) , df V V ( M ) i ni w max(0, qin, k p ) i ni const , t t p dS w i n w i ,i ( M wn )i ,im 0 - диагональная матрица размерности Nc Nc ; n 1 n 1 2 N Nw ( x , x n w n 1 , u) , df Vi Vi ( N ) i w max(0, qin, k p ) i const , n t t n p dS w i n w i ,i ( N wn )i, im 0 - диагональная матрица размерности Nc Nc ; Wwn Ww ( x2n 1, u) , (Wwn, j )i ,k wn , j ,i ,k - матрица размерности Nc N w с неположительными элементами; bFn2 const - вектор размерности N c , характеризующий влияние гравитации (при ее учете) и граничные условия в уравнениях для водонасыщенности. В этих выражениях const означает независимость величины от фазовых координат и управлений. Ограничения в виде неравенств для управляющих переменных u задаются в следующем виде: 0 u umax ; T umax umax,1 , , umax, k , , umax, Nu . Выражение для целевого функционала имеет вид: N N N J 0 I T Qon t n ( Qon, k )t n ckn,i qin, k t n max . n 1 n 1 k n 1 k i Откуда с учетом выражений для qin, k и принимая во внимание, что f ( n) f ( n) t n n f ( n ) I T W1nс p1n pwi , 82 (3.18) где W1nс ckn,iin, k - матрица размерности N w N c с неотрицательными элементами; I - k ,i единичный столбец Nw 1 , размерностью n pwi - расширенный столбец pwn N w 1 Nc 1 , который можно представить в следующем виде: n pwi I img pwn , где I img - матрица-образ размерности Nc N w с ненулевыми элементами там, где есть связь i -ячейки с k -скважиной. В частном случае, когда целевой функционал соответствует максимальному конечному КИН, для добывающих скважин имеет место выражение сk ,i 1 f w (S w,i ) , а для нагнетательных - сk ,i 0 . Перепишем уравнения прямой задачи (3.17) относительно фазовых переменных: A1n x1n bFn1 D1n x1n 1 W1n pwn , (3.19) M wn x2n bFn2 Awn x1n N w x2n 1 Dwn x1n 1 Wwn pwn . Из (3.19) видно, что на каждом временном шаге сперва решаются уравнения для фазовых переменных x1n , а затем для водонасыщенности x2n . Рассмотрим сопряженные уравнения (3.4) ( n )T xn F Fx(nn )T Матрица ( n) b , n (n) nN f xn Gxn , b (n) . ( n 1) ( n 1)T ( n 1) f f F , n N n n n x x x n (n ) n , а также векторы , b и G , для данной задачи имеют следующую структуру, соответствующую ограничениям (3.17) ( n )T xn F ( n 1)T xn F F1,(xnn)T ( n1)T F1, x2n F1,(xnn1)T ( n11)T F1, x2n F2,( nx)nT 1 , ( n )T F2, xn 2 (n) Fn1 1n b n n n , b( n ) 1n , G 0 , F2 2 b2 f x(nn ) f x(nn 1) F2,( nxn 1)T 1n 1 ( n 1) (n) ( n 1) 1 1 , n 1 , f xn ( n ) , f xn (1n 1) . ( n 1)T F2, xn f xn f xn 2 2 2 2 Поэтому сопряженные уравнения можно записать следующим образом F1,(xnn)T ( n1)T F1, x2n F2,( nx)nT n f x(nn ) f x(nn 1) F1,(xnn1)T 1 1 ( n11)T 1 (1n ) ( n )T n ( n 1) F2, xn 2 f xn f xn F1, xn 2 2 2 2 или 83 F2,( nxn 1)T n 1 1 1 , ( n 1)T n 1 F2, xn 2 2 F1,(xnn)T ( n1)T F1, x2n Учитывая, что F2,( nx)nT n f x(nn ) f x(nn 1) F1,(xnn1)T 1n 1 F2,( nxn 1)T 2n 1 1 1 1 1 1 (1n ) ( n )T n ( n 1) ( n 1)T n 1 ( n 1)T n 1 F2, xn 2 f xn f xn F1, xn 1 F2, xn 2 2 2 2 2 2 принципиальной особенностью IMPES-метода является независимость F1( n ) от x2n , имеем F1(,xnn) 0 . 2 Кроме того, с учетом (3.18) f (nn 1) 0 , f (nn) 0 . x1 x2 Поэтому система уравнений сопряженной задачи расщепляется следующим образом: F2,( nx)nT 2n b2n , 2 F1,(xnn)T 1n b1n , 1 где 0 b2n ( n 1) f F1,(xnn1)T 1n 1 F2,( nxn 1)T 2n 1 , x2n 2 2 nN nN , (3.20) f x(nn ) F2,( nx)nT 2n , nN 1 1 . b (n) f xn F2,( nx)nT 2n F1,(xnn1)T 1n 1 F2,( nxn 1)T 2n 1 , n N 1 1 1 1 n 1 Таким образом, в сопряженной задаче, в отличие от прямой задачи, сперва решаются n n уравнения для вектора 2 , соответствующего фазовым переменным x2 (ограничениям F2( n ) ), а затем для вектора 1n , соответствующего фазовым переменным x1n (ограничениям F1( n ) ). Конкретизируем вид сопряженных уравнений. Для этого вычислим соответствующие производные по фазовым координатам и управлениям с использованием (3.17). Если пренебречь неявными членами в матрицах M wn , j и N wn , j , то элементы этих матриц становятся независимыми от фазовых координат и управлений. С учетом зависимостей, входящих в ограничения матриц и векторов от фазовых координат и зависимых управлений: 84 F1,(xnn)T ( n1)T F1, x2n ( n )T xn F F2,( nx)nT AnT 1 1 ( n )T F2, xn 0 2 f (n) xn AwnT , Mw ( n 1)T xn F F1,(xnn1)T ( n11)T F1, x2n f x(nn ) W nT I (1n ) 1с t n , f xn 0 2 F2,( nxn 1)T D1nT 1 ( n 1)T ( n 1)T F2, xn F1, x2n 2 DwnT , F2,( nxn 1)T 2 0 f x(nn 1) ( n 1) . f x2n Производные Fx(nn 1)T во второй строке и f x(nn 1) ввиду их громоздкости запишем 2 2 отдельно (см. Приложение Б). (n) С учетом найденных производных, перепишем вектор b (3.20) nT n nT n nN W1с I t Aw 2 , , b1n nT n nT n nT n 1 nT n 1 W I t A D D , n N w 2 1 1 w 2 1с nN 0 b2n ( n 1) f F1,(xnn1)T 1n 1 F2,( nxn 1)T 2n 1 , x2n 2 2 nN . Градиент функционала вычисляется согласно (3.5): u J ( n) fu( n ) F1,(un )T 1n F2,( nu)T 2n . Запишем все матрицы Якоби, входящие в уравнение для градиента функционала: 1) n fu( n ) W1с( n ) p1n pwi , W ( n ) 1с k ,i ckn,ii,(kn ) где элементы (из (3.7’) i,(kn ) матриц W1с( n ) - продуктивность управляющих множителей k ); определяются k -ой скважины без 2) F1(un ) - матрица размерности Nc N w с элементами F1(un ) n i,(kn ) p n pwi ; 3) F2(un ) - матрица размерности Nc N w с элементами F2(un ) w(,in,)k p n pwin . i,k i,k как Задача управления режимами работы скважин Рассмотрим следующую тестовую задачу управления режимом работы скважины, схематически представленную на рис. 3.5, где изображен симметричный элемент рядной системы расстановки скважин с непроницаемыми границами. В этом элементе скважина №1 – нагнетательная, а скважины №2 и №3 – добывающие. Схожая задача решалась в работе [26], где управление осуществлялось забойным давлением, а расчет проводился на гидродинамическом симуляторе с прямоугольными расчетными ячейками. В данной работе управление осуществляется изменением продуктивности на скважине №2, сравнение результатов проводилось на двухфазном гидродинамическом симуляторе с расчетными ячейками Вороного. 85 Рис. 3.5. Схематическое представление элемента рядной расстановки скважин Целью задачи является определение момента времени отключения скважины №2 tоткл, при котором за период разработки Т достигается максимальное значение КИН и сравнение его со значением, полученным на основе эталонной зависимости. Параметры задачи имеют следующие значения: размеры пласта по горизонтали 410×110м, по вертикали - 1м; расстояния между скважинами - 205м; вязкость нефти - 5сПз, воды - 1сПз; абсолютная проницаемость – 0.1Д; пористость – 0.2; сжимаемости породы и фаз равны нулю; пластовое давление - 100атм., забойные давления на нагнетательных и добывающих скважинах - 160 и 40 атм. соответственно. Зависимости относительных фазовых проницаемостей воды (krw) и нефти (kro) от водонасыщенности Sw: kro=(1–Sw)2, krw=Sw2. Нефтенасыщенность в начальный момент времени равна 1. Количество расчетных ячеек равно 211, средний объем ячейки равен ~214 м3. Шаг по времени при численном решении уравнений двухфазной фильтрации ∆t=1сут. Период добычи нефти – T=2500сут. Начальное приближение для управления u равно единице un (n=1,2,…,N) =1. Эталонная зависимость КИН от tоткл была получена в результате проведения серии расчетов с использованием уравнений двухфазной фильтрации (3.8), в которых варьировалось время tоткл. Полученная зависимость обозначена на рис. 3.6 сплошной линией. Видно, что она немонотонна и имеет максимум. Значение времени t t откл=t*, при котором достигается максимальное количество извлеченной нефти, равно t*=1630±10сут, а соответствующее этому времени значение КИН=КИН* равно 0,7566. Это значение отмечено на рис. 3.6 знаком «■». 86 Рис. 3.6. Зависимость КИН от времени отключения скважины №2 Отключение скважины осуществляется в момент времени, когда производная по управлению меняет знак с отрицательного на положительный. Однако изменение управления на одной скважине (отключение скважины №2) влияет на другие скважины, поэтому для определения оптимального времени отключения, необходим итерационный процесс. На каждой итерации (ν=1,2,…) определяется градиент функционала (3.5) и, v соответственно, управление tоткл . И так до тех пор, пока не будет выполнен критерий сходимости (3.14). Зависимости производных по управлению (множители на продуктивности скважин) целевого функционала от времени на каждой из трех скважин на последней итерации (ν=7) приведены на рис. 3.7. Рис. 3.7. Зависимости производных целевого функционала по управлению от времени. 87 Видно, что скважина №1 – всегда остается нагнетательной, скважина №3 – добывающей, а скважина №2 – отключается в момент, равный t*=1625 сут.. v Зависимости КИН и tоткл от номера итерации, иллюстрирующие сходимость к экстремальным значениям, равным соответственно КИН*=0,7566 и t*=1625 сут., изображены на рис. 3.8. Видно, что для сходимости достаточно нескольких итераций. Полученные значения t* и КИН* согласуются с приведенными выше на рис. 3.6 эталонными значениями. Рис. 3.8. Время отключения скважины №2 (синяя линия) и значения КИН (красная линия), в зависимости от номера итерации. Задача выравнивания профиля приемистости нагнетательной скважины Рассматривалась 2-х пластовая система с непроницаемыми границами, вскрытая нагнетательной и добывающей скважинами (рис. 3.9, табл. 3.3). Перетоков между пропластками нет, проницаемость по вертикали равна нулю. Проницаемость первого пропластка равна 300 мД, проницаемость второго в 2 раза меньше, 150 мД. Объем закачиваемой воды равен 15 м3/сут, на добывающей скважине задано постоянное забойное давление. Период разработки Т = 200 сут. Относительные фазовые проницаемости нефти и воды имеют линейный вид, вязкости равны. Таблица 3.3. Основные параметры модели Вязкость нефти и воды Пористость Проницаемости 1 и 2 пропластков Забойное давление добывающей скважины Объем закачанной воды Начальное пластовое давление Период добычи нефти T 88 1сПз, 1сПз 0.2 300, 150 мД 40 атм 3 15 м /сут 100 атм 200 сут Рис. 3.9. Гидродинамическая модель 2-х пластовой системы, где цветом показано распределение водонасыщенности на момент времени T=50 сут. - нагнетательная скважина, - добывающая скважина. Значения продуктивностей скважин по каждому пропластку в начальный момент времени равны. Управляющими параметрами являются множители на продуктивности нагнетательной скважины по каждому пропластку на весь период разработки: u T 1 , 2 . Необходимо определить оптимальные значения этих множителей, чтобы конечный КИН был бы максимален КИН (u ) max . Очевидно, что оптимальными были бы такие значения множителей, при которых фронт вытеснения по этим двум пропласткам доходил бы одновременно до добывающей скважины, т.е. продуктивность первого пропластка надо уменьшать, а второго – увеличивать. Для решения поставленной задачи был реализован метод сопряженных градиентов, в качестве начального приближения были приняты следующие значения: u T 1,1. Оптимизационный алгоритм за 4 итерации определил оптимальное значение множителей (рис. 3.10, табл. 3.4). Результаты оптимизации сравнивались с полным перебором всех возможных значений управляющих параметров. Таблица 3.4. Результаты работы итерационного алгоритма № итерации а1 а2 КИН 1 1,0 1,0 0,8111 2 0,1263 1,4379 0,8308 89 3 0,0583 1,4448 0,8327 4 0,0576 1,4448 0,8327 Рис. 3.10. Значения КИН в зависимости от управляющих параметров на каждом из пропластков На рис. 3.11 показано изменение обводненности каждого из пропластков до и после оптимизации. Графики обводнения по двум пропласткам становятся практически идентичными, а на последний момент времени обводненность равна 99%. Рис. 3.11. График обводненности по каждому пропластку до и после оптимизации. 90 3.4. ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС ДЛЯ РАСЧЕТА ОПТИМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ РАЗРАБОТКИ Предложенная методика для расчета оптимальной системы разработки была реализована в виде комплекса программ (рис. 3.12). На рисунке схематично приведена технологическая цепочка управления разработкой нефтяного месторождения: от задач адаптации моделей (программный комплекс для расчета материального баланса, рис. 2.31) к задачам управления заводнением. Красным цветом в блок-схеме отмечена известная в литературе задача идентификации фильтрационно-емкостных свойств пласта с помощью полномасштабного гидродинамического моделирования, синим цветом показаны реализованные в рамках диссертационной работы методы и алгоритмы. Как отмечалось ранее, идентифицированные гидродинамические связи между скважинами, полученные при расчете материального баланса, используются для определения благоприятных вариантов назначения скважин (алгоритм А1). Далее, если есть полномасштабная гидродинамическая модель пласта, адаптированная на фактические данные, то можно определить из благоприятных вариантов назначения скважин оптимальный [26]. Зная местоположение и тип назначения (нагнетательная или добывающая) скважин, можно найти оптимальные коэффициенты продуктивности скважин. Рис. 3.12. Программный комплекс для расчета оптимальной системы разработки 91 ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ ПО 3 ГЛАВЕ Разработана оригинальная методика для определения оптимальной избирательной системы заводнения нефтяного месторождения, реализованная в виде комплекса программ. Она включает в себя экспресс-метод (алгоритм А1), основанный на аналитическом решении уравнений фильтрации, позволяющий в режиме реального времени определить оптимальный или близкий к нему вариант назначения нагнетательных и добывающих скважин. В случае, если известны местоположение и тип (нагнетательная или добывающая) скважин, реализован метод определения оптимальных значений коэффициентов продуктивности скважин на основе принципа максимума Понтрягина, где в расчетах используется подробная гидродинамическая модель нефтяного пласта. Таким образом, реализуется иерархический принцип управления заводнением нефтяного месторождения: назначение или переназначение скважины – изменение коэффициента продуктивности скважины, например, путем открытия/закрытия перфораций. Исследована (алгоритм А1) вычислительная на задачах эффективность предлагаемого гидродинамического экспресс-метода моделирования заводнения нефтенасыщенного пласта с различным типом неоднородности коллектора. В результпте исследований было показано, что из всевозможных вариантов назначения скважин алгоритм А1 определяет только благоприятные варианты, у которых значение КИН близко к максимальному. При этом время, необходимое для расчета всех вариантов системы из 9 скважин согласно предложенному алгоритму, имеет значение ~10 с; для случая полного перебора всевозможных производится примерно за 1 час. 92 вариантов назначения скважин расчет ЗАКЛЮЧЕНИЕ 1. Диссертационная работа посвящена разработке и программной реализации методик (методов) идентификации гидродинамических моделей и управления заводнением для повышения эффективности моделирования разработки нефтяных месторождений. Основные результаты и выводы диссертационной работы могут быть сформулированы следующим образом: 2. Предложен новый метод иерархической регуляризации для решения обратных задач теории фильтрации (расчета материального баланса), в котором элементами модели нефтяного месторождения последовательно являются месторождение в целом, участок и скважина. При переходе от одного уровня детализации модели к следующему используются результаты моделирования с предыдущих уровней в виде дополнительных регуляризирующих функционалов, которые добавляются в минимизируемый целевой функционал с помощью теории нечетких множеств. Эффективность метода продемонстрирована на одном из месторождений Западного Казахстана. 3. Разработана методика структурно-параметрической идентификации модели материального баланса для определения гидродинамических связей между скважинами. Данная методика включает в себя следующие ключевые особенности: Модификация целевого функционала с помощью дополнительных регуляризирующих слагаемых, позволяющих учесть не только отклонение расчетных значений пластовых давлений от фактических, но и сложность и прогностические свойства идентифицируемой модели. Предложены дополнительные критерии отбора связей между скважинами, полученные на основе статистической обработки лучших с точки зрения целевого функционала моделей. 4. На примере вычислительного эксперимента показано, что в условиях недостатка исходной информации сложная модель (с максимально возможным количеством гидродинамических связей) не соответствует эталонной гидродинамической модели, в то время как более простая модель с меньшим количеством гидродинамических связей, полученная в результате структурно-параметрической идентификации, адекватна и соответствует эталонной гидродинамической модели. 5. С целью повышения коэффициента извлечения нефти (КИН) разработан алгоритм для быстрого определения благоприятного варианта назначения типов (нагнетательная или добывающая) скважин при известном их расположении. 93 Алгоритм основан на аналитическом решении уравнений двухфазной фильтрации. Исследована вычислительная эффективность предлагаемого алгоритма на задачах гидродинамического моделирования заводнения нефтенасыщенного пласта с различным типом неоднородности коллектора. Показано, что из всевозможных вариантов назначения скважин алгоритм определяет только благоприятные варианты, у которых значение КИН близко к максимальному. При этом время, необходимое для расчета всех вариантов системы из 9 скважин согласно предложенному алгоритму, имеет значение ~10 с; для случая полного перебора всевозможных вариантов назначения скважин расчет производится примерно за 1 час. 94 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Азиз, Х. Математическое моделирование пластовых систем / Х. Азиз, Э. Сеттари. – Москва–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. – 416 с. 2. Алиев, Т.И. Исследование сложных систем на основе комбинированного подхода / Т.И. Алиев // Имитационное моделирование. Теория и практика: Сборник докладов первой всероссийской научно-практической конференции ИММОД-2003. - СПб.: ЦНИИТС, 2003. – Т.1. - С. 50-55. 3. Бакушинский, А.Б. Некорректные задачи. Численные методы и приложения: Учеб. пособие / А.Б. Бакушинский, А.В. Гончарский. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. – 199 с. 4. Басниев, К.С. Подземная гидромеханика / К.С. Басниев, И.Н. Кочина, В.М. Максимов. – М.: Недра, 1993. - 416 c. 5. Булыгин, Д.В. Геология и имитация разработки залежей нефти / Д.В. Булыгин, В.Я. Булыгин. – М.: Недра, 1996. - 382 c. 6. Вапник, В.Н. Алгоритмы и программы восстановления зависимостей / В.Н. Вапник, Т.Г. Глазкова, В.А. Кощеев и др. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 1984. - 816 с. 7. Васильев, Ю.Н. Системный подход и методы системного анализа при проектировании и управлении разработкой газовых месторождений / Ю.Н. Васильев, В.Г. Ильницкая // Вести газовой науки. – 2012. - № 2 (10). - С.5-14. 8. Вентцель, Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология / Е.С. Вентцель. – М.: Наука, 1988. – 208 с. 9. Вирновский, Г.А. Синтез систем заводнения нефтяных месторождений методами теории оптимального управления / Г.А. Вирновский // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1991. – Т.31. - №1. – С. 96–108. 10. Воронцов, К.В. Лекции по методам оценивания и выбора моделей / К.В. Воронцов. -2007. – 26 с. 11. Гаврись, А.С. Концепция эффективного проектирования разработки месторождений углеводородов. Программные решения / А.С. Гаврись, В.П. Косяков, А.Ю. Боталов и др.// Нефтепромысловое Дело. - 2015. - № 11. - C. 75–85. 12. Дзюба, В.И. Гидродинамическое моделирование разработки нефтяных месторождений. Проблемы и перспективы / В.И. Дзюба // Нефтяное хозяйство. – 2007. - №10. – С.78-81. 13. Дилигенская, А.Н. Идентификация объектов управления: уч. пособие / А.Н. Дилигенская. – Самара: СГТУ, 2009. – 136 с. 14. Документация MATLAB на русском языке [Электронный ресурс] // ЦИТМ Экспонента. URL: https://docs.exponenta.ru/documentation-center.html (дата обращения: 06.12.2019). 15. Еремин, Н.А. Моделирование месторождений углеводородов методами нечеткой логики: монография/ Н.А. Еремин. - М.: Наука, 1994. – 462 с. 16. Еремин, Н.А. Современная разработка месторождений нефти и газа. Умная скважина. Интеллектуальный промысел. Виртуальная компания: Учеб. пособие для вузов / Н.А. Еремин. - М.: Недра-Бизнесцентр, 2008. - 244 с. 17. Ермолаев, А.И. Модели формирования фонда нагнетательных скважин на нефтяных залежах / А.И. Ермолаев, В.В. Соловьев, A.M. Кувичко // Автоматизация, Телемеханизация И Связь В Нефтяной Промышленности. – 2010. - №6. – С. 6-9. 95 18. Ермолаев, А.И. Оптимизация размещения и ввода скважин в эксплуатацию на залежах нефти и газа / А.И. Ермолаев, A.M. Кувичко, С.А. Ермолаев и др. // II научно-практическая конференция "Суперкомпьютерные технологии в нефтегазовой отрасли". – М., 2011. 19. Желтов, Ю.П. Разработка нефтяных месторождений / Ю.П. Желтов. – М.: Недра, 1986. - 365 с. 20. Заде, Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенного решения / Л. Заде. – М.: Мир, 1976. – 165 с. 21. Закиров, И.С. Развитие теории и практики разработки нефтяных месторождений / И.С. Закиров. - М–Ижевск: Институт компьютерных исследований, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2006. – 356 c. 22. Закиров, Э.С. Трёхмерные многофазные задачи прогнозирования, анализа и регулирования разработки месторождений нефти и газа / Э.С. Закиров. – М.: Грааль, 2001. - 303 c. 23. Ильин, В.А. Линейная алгебра: Учебник для вузов / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. - 4-е изд. - М.: Физматлит, 1999. — 296 с. 24. Каневская, Р.Д. Математическое моделирование гидродинамических процессов разработки месторождений углеводородов / Р.Д. Каневская. – М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 140 c. 25. Карачурин, Н.Т. Нечеткие подходы к решению обратных задач в системах добычи нефти и газа: дис. … канд. физ.-мат. наук / Н.Т. Карачурин. - Уфа, 1997. 26. Косяков, В.П. Вычислительная технология назначения нагнетательных и добывающих скважин: дис. … канд. физ.-мат. наук / В.П. Косяков. – Тюмень, 2013. 27. Косяков, В.П. Получение точных решений задачи Бакли-Леверетта в зональнонеоднородном пласте / В.П. Косяков, С.П. Родионов // Вестник Тюменского государственного университета. –2010. – №6. – С. 36–42. 28. Косяков, В.П. Вычислительная технология расчета материального баланса на нефтяном месторождении / В.П. Косяков, Э.Н. Мусакаев, Я.В. Ширшов // Нефтепромысловое дело. – 2015. – №11. – С.30-35. 29. Кувичко, А.М. Модели и алгоритмы проектирования оптимальных схем размещения скважин на нефтяных и газовых залежах: дис. … канд. тех. наук / А.М. Кувичко. – М., 2012. 30. Лаврентьев, М.М. Некорректные задачи математической физики и анализа / М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, С.П. Шишатский. – М.: Наука, 1980. – 286 с. 31. Лапердин, А.Н. Применение системного подхода при разработке месторождений углеводородного сырья / А.Н. Лапердин, К.С. Холоднов, О.М. Ермилов // Экспозиция Нефть Газ. – 2013. - № 1 (26). – С.16-18. 32. Лебедев, А.Л. Решение некорректных задач методами многокритериального математического программирования / А.Л. Лебедев // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». – 2008. - №4. – С. 89-99. 33. Лысенко, В.Д. Рациональная разработка нефтяных месторождений / В.Д. Лысенко, В.И. Грайфер. - М.: Недра-Бизнесцентр, 2005. – 607 с. 34. Льюнг, Л. Идентификация систем. Теория для пользователя / Л. Льюнг. - М.: Наука, 1991. - 432 с. 35. Мирзаджанзаде, А.Х. Моделирование процессов нефтегазодобычи. Нелинейность, неравновесность, неопределенность. / А.Х.Мирзаджанзаде, М.М. Хасанов, Р.Н. Бахтизин. - М–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. - 368 c. 96 36. Мусакаев, Э.Н. Задача структурно-параметрической идентификации систем при моделировании двухфазной фильтрации в пористых средах / Э.Н. Мусакаев, С.П. Родионов, В.П. Косяков // Вестник Кибернетики. – 2018. – Т.29. - №1. – С.3949. 37. Муслимов, Р.Х. Проблемы создания научных основ инновационного проектирования разработки нефтяных месторождений РТ / Р.Х. Муслимов // Нефть. Газ. Новации. – 2013. - №1. - С.14-20. 38. Мухаметшин, Р.З. Нерешенные проблемы и решаемые задачи инновационного проектирования разработки месторождений нефти / Р.З. Мухаметшин // Георесурсы. – 2014. - №1(56). – С.11-18. 39. Половко, А.М. MATLAB для студента / А.М. Половко, П.Н. Бутусов. – СПб.: БХВПетербург, 2005. – 320 с. 40. Посевич, А.Г. Системный Подход К Проектированию И Анализу Разработки Нефтяных Месторождений / А.Г. Посевич, О.Б. Саенко, В.И. Прапорщиков // Наука И Мир. – 2016. – Т.1. - № 9 (37). – С. 48-50. 41. Потёмкин, В.Г. Система инженерных и научных расчётов MATLAB 5.X: в 2-х т. / В.Г. Потёмкин. – М.: Диалог-МИФИ, 1999. – Т.1. – 367 с. 42. Пятков, А.А. Неизотермическая фильтрация двухфазной жидкости в трещиноватопористых средах: дис. … канд. физ.-мат. наук / А.А. Пятков. – Тюмень, 2019. 43. Родионов, С.П. Назначение нагнетательных и добывающих скважин в зональнонеоднородных пластах на основе теории оптимального управления / С.П. Родионов, О.Н. Пичугин, В.П. Косяков и др. // Нефтепромысловое дело. – 2013. – №11. – С.58-65. 44. Рублев, А.Б. Моделирование работы залежи с применением метода материального баланса / А.Б. Рублев, К.М. Федоров, А.П. Шевелёв и др. // Известия Высших Учебных Заведений. Нефть И Газ. – 2011. - №5. -С.32-41. 45. Ручкин, А.А. Исследование особенностей оценки взаимовлияния скважин на примере модели CRM / А.А. Ручкин, С.В. Степанов, А.В. Князев // Вестник Тюменского государственного университета. Физико-математическое моделирование. Нефть, газ, энергетика. – 2018. -Т.4. - №4. – С. 148-168. 46. Степанов, С.В. Комплекс вычислительных технологий для повышения качества моделирования разработки нефтяных и газонефтяных месторождений: дис. … докт. тех. наук / С.В. Степанов. - Тюмень, 2016. 47. Сыртланов, В.Р. К вопросу об автоматизации инженерных методик адаптации гидродинамических моделей нефтяных месторождений / В.Р. Сыртланов, В.С. Сыртланова, И.Н. Санников и др.// Вестник ЦКР РОСНЕДРА. - 2011. - №4. - C. 31–38. 48. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. –М.: Наука, 1974. – 224 с. 49. Хайруллин, М.Х. Численное решение коэффициентной обратной задачи для деформируемого трещиновато-пористого пласта / М.Х. Хайруллин, А.И. Абдуллин, П.Е. Морозов и др. // Матем. моделирование. – 2008. – Т.20. - №11. – С.35–40. 50. Хайруллин, М.Х. Алгоритмы решения обратных коэффициентных задач подземной гидромеханики / М.Х. Хайруллин, М.Н. Шамсиев, Р.В. Садовников // Матем. моделирование. – 1998. – Т.10. - №7. – С.101–110. 51. Хайруллин, М.Х. О решении обратных задач подземной гидромеханики с помощью регуляризующих по А. Н. Тихонову алгоритмов / М.Х. Хайруллин // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 1986. - Т.26. -№5. С.780–783. 97 52. Халимов, Э.М. Детальные геологические модели и трехмерное моделирование / Э.М Халимов // Нефтегазовая геология. Теория и практика. - 2012. – Т.7. - № 3. – 10 с. 53. Халимов, Э.М. Технология повышения нефтеотдачи пластов / Э.М. Халимов, Б.И. Леви, В.И. Дзюба, С.А. Пономарев. - М.: Недра, 1984. – 271 c. 54. Швецов, И.А. Физико-химические методы увеличения нефтеотдачи пластов. Анализ и проектирование / И.А. Швецов, В.Н. Манырин. – Самара: Российское представительство акционерной компании «Ойл Технолоджи Оверсиз Продакшен Лимитед», 2000. – 350 с. 55. Энгельгардт, В.В. Генетический алгоритм структурно-параметрической идентификации линейных динамических систем с помехами на входе и выходе / В.В. Энгельгардт // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. – 2013. - №4(28). – С.5-18. 56. Ягола, А.Г Некорректные задачи и методы их численного решения: Спец. курс для аспирантов МГУ им. М.В. Ломоносова / А.Г. Ягола. – М. – 2012. – 21 с. 57. Ahmed, T. Reservoir Engineering Handbook / T. Ahmed. – 5th Edition. – Elsevier, 2018. – 1524 p. 58. Albertoni, A. Inferring connectivity only from well-rate fluctuations in water floods / A. Albertoni, L.W. Lake // SPE Reservoir Evaluation & Engineering. – 2003. – Vol. 6. – №1. - P. 6-16. 59. Artun, E. Characterizing interwell connectivity in waterflooded reservoirs using datadriven and reduced-physics models: a comparative study / E. Artun // Neural Comput & Applic. – 2017. – Vol. 28. - №7. – P.1729-1743. 60. Baker, R. Streamline Technology: Reservoir History Matching and Forecasting = Its Success, Limitations, and Future / R. Baker // Journal of Canadian Petroleum Technology. – 2001. – Vol.40. - №4. – P.23-27. 61. Benning, M. Modern regularization methods for inverse problems / M. Benning, M. Burger // Acta Numerica. – 2018. – Vol. 27. – 97 p. 62. Brouwer, D.R. Dynamic Optimization of Water Flooding with Smart Wells Using Optimal Control Theory / D.R. Brouwer, J.D. Jansen // SPEJ. – 2004. – Vol.9. - №4. – P. 391 – 402. 63. Dake, L.P. Fundamentals of Reservoir Engineering / L.P. Dake. - Elsevier, 1983. – 462 p 64. Ermolaev, A.I. Formation of Set of Injectors on Oilfields / A.I. Ermolaev, A.M. Kuvichko, V.V. Solovyev // ECMOR XII - 12th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery. - Oxford, UK, 2010. – 9 p. 65. Faulder, D.D. A "Top Down" Approach for Applying Modern Portfolio Theory to Oil and Gas Property Investments / D.D. Faulder, F.L. Moseley // SPE Hydrocarbon Economics and Evaluation Symposium. - Dallas, Texas, USA, 2003. 66. Gentil, P.H. The Use of Multilinear Regression Models in Patterned Waterfloods: Physical Meaning of the Regression Coefficients: Master's thesis / P.H. Gentil. - Austin, Texas, USA, 2005. – 142 p. 67. Guo, Z. A Physics-Based Data-Driven Model for History-Matching, Prediction and Characterization of Waterflooding Performance / Z. Guo, A.C. Reynolds, H. Zhao // SPEJ. - 2018. – Vol.23. - №2. – P. 367 – 395. 68. Hastie, T. The Elements of Statistical Learning / T. Hastie, R. Tibshirani, J. Friedman. – 2nd Edition. - Springer, 2017. – 745 p. 69. Hazlett, R.D. Optimal Well Placement in Heterogeneous Reservoirs Via Semi-Analytic Modeling / R.D. Hazlett, D.K. Babu // SPEJ. - 2005. Vol.10. - №4. P.286-296. 98 70. Heffer, K.J Novel techniques show links between reservoir flow directionality, earth stress, fault structure and geomechanical changes in mature waterfloods / K.J. Heffer, R.J. Fox, СA. McGill // SPEJ. – 1995. - Vol.2. - №2. 71. Holanda, R.W. A State-of-the-Art Literature Review on Capacitance Resistance Models for Reservoir Characterization and Performance Forecasting / R.W. Holanda, E. Gildin, J.L. Jensen et al. // Energies. – 2018. - №11. – 45 p. 72. Holanda, R.W. Improved Waterflood Analysis Using the Capacitance-Resistance Model Within a Control Systems Framework / R.W. Holanda, E. Gildin, J.L. Jensen et al. // SPE Latin American and Caribbean Petroleum Engineering Conference. - Quito, Ecuador, 2015. – 38 p. 73. Jansen, R.E. Non-stationary estimation of reservoir properties using production data / R.E. Jansen, M.G. Kelkar // SPE Annual Technical Conference and Exhibition. - San Antonio, Texas, USA, 1997. – 8 p. 74. Khasanov, M.M. Hierarchy of the Integrated Models / M.M. Khasanov, I.S. Afanasiev, A.R. Latypov et al. // SPE Russian Oil and Gas Technical Conference and Exhibition. - Moscow, Russia, 2008. – 7 p. 75. Klie, H. Physics-Based and Data-Driven Surrogates for Production Forecasting / H. Klie // SPE Reservoir Simulation Symposium. - Houston, Texas, USA, 2015. 76. Kuvichko, A.M. HPC-Based Optimal Well Placement / A.M. Kuvichko, A.I. Ermolaev // ECMOR XIII - 13th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery. – Biarritz, France, 2012. 77. Lerlertpakdee, P. Efficient Production Optimization With Flow-Network Models / P. Lerlertpakdee, B. Jafarpour, E. Gildin // SPE Journal. - 2014. – Vol.19. - № 06. - P.1083-1095. 78. Mijnarends, R. Advanced Data-Driven Performance Analysis For Mature Waterfloods / R. Mijnarends, A. Frolov, F. Grishko et al. // SPE Russian Petroleum Technology Conference. – Moscow, 2015. 79. Mohaghegh, S.D. Data-Driven Reservoir Management of a Giant Mature Oilfield in the Middle East/ S.D. Mohaghegh, R. Gaskari, M Maysami et al. // SPE Annual Technical Conference and Exhibition. - Amsterdam, The Netherlands, 2014. 80. Musakaev, E.N. Parameter identification for sector filtration model of an oil reservoir with complex structure / E.N. Musakaev, S.P. Rodionov, D.Y. Legostaev, V.P. Kosyakov // AIP Conference Proceedings. – 2019. – Vol. 2125. – №1. – 5 p. 81. Muskat, M. Physical Principles of Oil Production / M. Muskat. - New York: McGrawHill Book. Co., Inc., 1949. – 938 p. 82. Naudomsup, N. Extension of Capacitance-Resistance Model to Tracer Flow for Determining Reservoir Properties / N. Naudomsup, L.W. Lake // SPE Annual Technical Conference and Exhibition. – San Antonio, Texas, USA, 2017. 83. Parashar, M. Towards dynamic data-driven optimization of oil well placement / M. Parashar, V. Matossian, W. Bangerth et al. // Lecture Notes in Computer Science. - 2005. – Vol. 3515. – P. 656-663. 84. Pickup, G.E. Top-Down Reservoir Modelling: From Material Balance to Reservoir Simulation / G.E. Pickup, M.A. Christie // SPEJ. - 2009. 85. Rafiee, M.M. Model Selection and Uniqueness Analysis for Reservoir History Matching: PhD dissertation / M.M. Rafiee. – Freiberg, Germany, 2010. – 112 p. 86. Rinnoy Kan, A.H.G. Stochastic Global Optimization Methods / A.H.G. Rinnoy Kan, G.T. Timmer //Mathematical programming. – 1987. – Vol.39. -№1. –P. 57-78. 99 87. Rodionov, S.P. New Rapid Modeling Technology to Select Optimal Waterflooding Options for Oil Fields / S.P. Rodionov, O.N. Pichugin, V.P. Kosyakov et al. // SPE Russian Petroleum Technology Conference and Exhibition 2016. - Moscow, 2016. – 24 p. 88. Rodionov, S.P. New Technology of Interwell Connectivity Identification in Oil Reservoir Modelling / S.P. Rodionov, E.N. Musakaev, V.P. Kosyakov // The European Association of Geoscientists and Engineers - EAGE Geomodel 2018. - Gelendzhik, Russia, 2018. – 5 p. 89. Rodionov, S.P. Selection of waterflooding systems for enhanced oil recovery by solving two-phase filtration problem / E.N. Musakaev, S.P. Rodionov, V.P. Kosyakov // Journal of Physics: Conference Series. – 2019. – Vol. 1158. – 7 p. 90. Sarma, P. Efficient closed-loop optimal control of petroleum reservoirs under uncertainty: PhD dissertation // P. Sharma. – Stanford, 2006. – 201 p. 91. Soroush, M. Interwell Connectivity Evaluation Using Injection and Production Fluctuation Data. Ph.D. Dissertation / M. Soroush, 2014. 92. Top-down, intelligent reservoir models / Intelligent Solutions, INC. – Morgantown, West Virginia, USA, 2011. 93. Weber, D. Improvements in Capacitance-Resistive Modeling and Optimization of Large Scale Reservoirs / D. Weber, T.F. Edgar, L.W. Lake et al. // SPE Western Regional Meeting. - San Jose, California, USA, 2009. – 17 p. 94. Williams, G.J.J. Top-Down Reservoir Modelling / G.J.J. Williams, M. Mansfield, D.G. MacDonald // SPE Annual Technical Conference and Exhibition. - Houston, Texas, USA, 2004. 95. Yousef, A.A. A Capacitance Model To Infer Interwell Connectivity From Production and Injection Rate Fluctuations / A.A. Yousef, P.H. Gentil, J.L. Jensen et al. // SPE Reservoir Evaluation & Engineering. - 2006. – Vol.9. - № 6. P. 630–646. 96. Zakirov, I.S. Optimizing Reservoir Performance by Automatic Allocation of Well Rates / I.S. Zakirov, S.I. Aanonsen, E.S Zakirov et al.// ECMOR V - 5th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery. - Leoben, Austria, 1996. – P.375-384. 97. Zhao, H. INSIM: A Data-Driven Model for History Matching and Prediction for Waterflooding Monitoring and Management with a Field Application / H. Zhao, Z. Kang, X. Zhang et al. // SPE Reservoir Simulation Symposium. - Houston, Texas, USA, 2015. – 31 p. 100 Приложение А Вычислим приращение целевого функционала, используя аналитическое решение уравнений двухфазной фильтрации для задачи о вытеснении нефти водой из зональнонеоднородного пласта [26, 27] при различном расположении нагнетательной и добывающей скважин. Схематическое представление задачи представлено на рис. А1. Для сокращения выкладок рассматривается случай двумерного пласта. Приняв допущение о том, что потоки направлены вдоль слоев, задачу можно легко обобщить на случай трехмерного пласта. А1.Аналитические выражения для времен вытеснения нефти водой из зональнонеоднородного пласта. Выражения для времен полного вытеснения нефти из зонально-неоднородного пласта по схеме Лейбензона-Маскета для варианта 1 ( t1 ) рис. А1, когда нагнетательный ряд скважин размещен в зоне 1, а добывающий ряд – в зоне 2 и для варианта 2 ( t 2 ), когда имеет место обратный порядок размещения рядов скважин, имеют следующий вид [27]: t1 1 / Pw,1 Pw,2 , t2 2 / Pw,1 Pw,2 , w V12 o V12 o w w V22 o V22 , V1V2 + VV 1 k1 2 k1 1 2 k2 2 k1 2 k2 k2 2 (А-1) V2 V2 V2 V2 2 w 2 o 2 o V1V2 + w V2V1 w 1 o 1 , k2 2 k2 k2 2 k1 k1 2 k1 2 k1 k1121 , k2 k2222 , V1 11L1 , V2 22 L2 , (1 Swc Sor ) . Здесь w и o - вязкость соответственно воды и нефти; V1 и V2 - подвижные поровые объемы зон; L1 и L2 - длины зон; 1 , 2 - площади поперечного сечения зон; 1 , 2 значения долей подвижного порового пространства зон, pw,1 , pw,2 - давления на скважинах, находящихся в зонах соответственно 1 и 2; - пористость. Через S wc и S or обозначены критические насыщенности соответственно воды и нефти. 101 - добыча - закачка Вариант 1 Зона 1 Зона 2 Вариант 2 Зона 1 Зона 2 Рис.А1. Схематическое представление одномерной задачи о вытеснении нефти водой из зональнонеоднородного пласта при различном взаимном расположении нагнетательных и добывающих скважин. А2. Выделение областей дренирования. Область пласта разбивается на ячейки – контрольные объемы, которые разделяются на внутренние и граничные. Во внутренних контрольных объемах находятся реальные скважины, а в граничных – фиктивные скважины, имитирующие контур пласта (рис. А2). Таким образом, каждая скважина связана только со скважинами, находящимися в противоположных углах связанных с ней контрольных объемов. Рассмотрим две произвольные соседние скважины с номерами i и j. Относящийся к этим скважинам контрольный объем состоит из областей треугольной формы 1 и 2 с соответствующими объемами ( V1 , V2 ), толщинами ( h1 , h2 ) и длинами ( L1 , L2 ). При этом длина L1 равна расстоянию между i-ой скважиной и границей ячейки по направлению к jой скважине, а L2 - расстоянию между j-ой скважиной и границей ячейки по направлению к i -ой скважине. Рис.А2. Схема построения связей между i –ой скважиной и соседними скважинами. Контрольные объемы, внутри которых происходит вытеснение нефти водой, выделены заливкой. 102 С Well j LCD Lj E D LBC 2 F d 1 Well 4 B Well 2 Li LAD LAB A Well i Рис.А3. Построение дренируемого объёма (выделен заливкой) между скважинами с номерами i и j. Алгоритм построения контрольных объемов: 1. Строятся связи скважин «каждая с каждой»; 2. Вводятся ограничения на расстояния между скважинами и на углы, в вершинах которых находятся скважины. 3. Строятся контрольные объемы в виде четырехугольников, внутри которых происходит вытеснение нефти водой (рис. А2); 4. Для того чтобы применить аналитическое решение каждый из этих контрольных объемов представляется в виде эффективных прямоугольников; Для примера рассмотрим четырехугольник CEAF (рис. А3). Его построение происходит следующим образом. Прямые CE и AE строятся исходя из условия, что они образуют углы, определяемые из соотношений DAC DAE EDC . L2ADDAE L2AC EAC , Построенные соответствующим образом прямые пересекаются в точке E. Аналогично определяется точка F. Точки Е и F соединяются отрезком EF. Треугольники CEF и EAF образуют зоны 1 и 2 для применения к ним аналитического решения (А-1). Пересчет этих треугольников в эффективные прямоугольники производится следующим образом. Если бы области 1 и 2 имели форму прямоугольников, то они имели бы площади поперечных сечений, определяемые из следующих равенств: 1 1 V1 1h1 L1d = 11L1 , V2 2h2 L2d = 22 L2 , 2 2 103 где d – длина общей границы между рассматриваемыми соседними i-ой и j-ой ячейками. Отсюда имеем 1 h1d / 2 , 2 h2d / 2 . А3. Аналитическое выражение для объема извлеченной нефти. Вытеснение нефти водой происходит внутри контрольных объемов, границы которых отмечены на рис. А2-А3 штриховыми линиями. Принимается допущение о том, что давления во внутренних контрольных объемах равны забойным давлениям на скважинах, а в граничных ячейках – давлению на контуре пласта. Если часть контура является непроницаемой границей, то проницаемость в соответствующих точках задается равной нулю. Кроме того, допускается, что поток жидкости в ij-ом контрольном объеме Vij0 = V1 + V2 не зависит от времени. Тогда зависимость объема нефти от времени, оставшейся в контрольном объеме в момент t, можно представить в следующем виде t t Vij (t ) Vij0 1 1 ij ij ( i j , Vij0 = V ji0 , Vij V ji ), (А-2) где (x) - единичная функция Хевисайда, V 0 - подвижный поровый объем ячейки в начальный момент времени, а может быть равно t1 или t 2 (см. А-1) в зависимости от направления потока. Направление потока определяется знаком разности забойных давлений на скважинах. Если поток направлен от i–ой к j–ой скважине, то ij = t1 , а когда поток направлен от скважины j к скважине i, то ji = t 2 . В начальный момент времени пласт может не являться полностью нефтенасыщенным. Если начальная нефтенасыщенность равна So , то для приближенного учета фактора не полного заполнения пласта в формулах (А-1) вместо (1 S wc Sor ) надо подставить (So Sor ) . А4. Вычисление приращения целевого функционала. Целевой функционал представляет собой объем нефти, извлеченной из пласта за время T J (u, T ) (Vij0 Vij ) . (А-3) С учетом (А-2) зависимость Vij от управлений с учетом направления потока можно представить в следующем виде: 104 T T Vij Vij (ui , u j , T ) = Vij0 1 1 , ij ij (А-4) где ij ij / ui u j , ij 1,ij (ui u j ) 2,ij (1 (ui u j )) . Здесь 1 и 2 определяются индивидуально для каждого ij-го контрольного объема согласно (А-1). При изменении управления на i -ой скважине от u umax до u umin целевой функционал изменяется на величину: J i J (u1,..., ui umax ,..., u N w , T ) J (u1, ,..., ui umin ,..., u N w , T ) . (А-5) Заметим, что согласно (А-4) управление ui входит в выражение только для контрольных объемов с номерами j, которые прилегают к i-ой скважине. Подставив (А-4) в (А-3) можно увидеть, что слагаемые, не относящиеся к прилегающим к i-ой скважине контрольным объемам, взаимно сократятся. Тогда (А-5) может быть преобразовано к следующему виду: J i (Vij (umax , u j , T ) Vij (umin , u j , T )) ⩝ i=1,2,…,Nw j 105 (А-6) Приложение Б Конкретизируем вид матриц F1,(xnn1) , F2,( nxn 1) необходимых для вычисления векторов 2 2 правых частей сопряженных уравнений. Для начала рассмотрим матрицу F1,(xnn1) . Запишем 2 выражение для i -ой компоненты вектора F1( n 1) : ( F1( n 1) )i ( A1n 1x1n 1 D1n 1x1n W1n 1 pwn 1 bFn11 )i = = i n 1 Vi n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 Vi n T x1,i . i , i i , k p x1, i Ti , im x1, im i , k p pw, k i n m t t n m p m p Диагональными ( F1,(xnn1) )i ,i и внедиагональными ( F1,(xnn1) )i ,im элементами матрицы F1,(xnn1) 2 2 2 будут являться производные ( F1,(xnn1) )i ,i F1,(in 1) x2,n i 2 , ( F1,(xnn1) )i ,im 2 F1,(in 1) x2,n im , вычислив которые, получим следующий вид коэффициентов i -ой строки матрицы F1,(xnn1) : 2 - элементы, расположенные на главной диагонали ) ( n 1) i ,i 1, x2n (F m Ti ,nim1 x2,n i x n 1 1, i n 1 1, im x in, kp1 x x p n 2, i n 1 1, i pwn , k1p in 1 Vi x1,ni1 x1,ni , x2,n i t n 1 где in 1 i ( w o ) ; x2,n i Ti ,nim1 x2,n i n 1 i,k n 2, i x 0 1 krw ( x2,n i ) 1 kro ( x2,n i ) n n Ti ,im ,при pi pim 0 n n o x2,i ; w x2,i n n при pi pim 0 0 , 0 1 krw ( x2,n i ) 1 kro ( x2,n i ) n n , при pi pw, k 0 i , k n o x2,n i . w x2,i при pin pwn , k 0 0, -элементы, расположенные вне главной диагонали ( n 1) i , im 1, x2n (F ) Ti ,nim1 x2,n im 106 x n 1 1, i x1,nim1 , n 1 i , im T x2,n im 0, при pin pinm 0 . 0 1 krw ( x2,n i ) 1 kro ( x2,n i ) n n m m ,при pi pim 0 Ti ,im n n o x2,im w x2,im Стоит отметить общую особенность матриц Якоби: ненулевые элементы матриц расположены там, где поток жидкости течет из i -ячейки в связанную с ней, что обусловлено с правилом дискретизации «вверх по потоку». Аналогично вычисляются коэффициенты матрицы F2,( nxn 1) . Вид i -ой компоненты 2 матрицы F2(,ni 1) следующий: V ( F2( n 1) )i x2,n i (i w c ) n i 1 Twn,i ,1im wn ,i1, k p x1,ni1 t m p V V Twn,i ,1im x1,nim1 wn ,i1, k p pwn , k1 x2,n i (i w c ) n i 1 x1,ni i n i 1 x2,n i 1 x2,n i . t t m p Диагональные элементы матрицы ( F2,( nxn 1) )i ,i : 2 w,i , k p n 1 Tw,i ,i V V ) (i w c ) n i 1 x1,ni1 x1,ni n m x1,ni1 x1,nim1 x1,i pwn , k1p i n i 1 , n t x2,i t m x21, i p n 1 ( n 1) n i ,i 2, x21 (F n 1 где n 1 w, i , im T x2,n i n 1 w, i , k n 2, i x 0 1 krw ( x2,n i ) n n Ti ,im , при pi pim 0 n ; w x2,i при pin pinm 0 0, 0 1 krw ( x2,n i ) n n , при pi pw, k 0 i , k n x . w 2, i при pin pwn , k 0 0, Недиагональные элементы ( n 1) i , im 2, x2n (F n 1 w, i , im T x2,n im ) Twn,i ,1im x n 2, im x n 1 1, i x1,nim1 , 0, при pin pinm 0 0 1 krw ( x2,n i ) . n n m , при p p 0 Ti ,im i i n m w x2,im Конкретизируем вид матриц f x(nn 1) . Элементы этих матриц будут определяться 2 следующим образом: 107 f ( n 1) x2n i n 1 o,i , k n 2, i x p on,i ,1k p x n 2, i x 0 1 kro ( x2,n i ) i , k , n o x2,i 0, 108 n 1 1, i pwn , k1p t n 1 , при pin pwn , k 0 при pin pwn , k 0 . Приложение В - Патент на изобретение и свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ 109 110 111
