introduction-to-topology-alaniya-seminars-M

МЕХАНИКА • СЛЕПКОВ АЛЕКСАНДР ИВАНОВИЧ
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ. РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ.
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU.
МЕХАНИКОМАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.В. ЛОМОНОСОВА
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ.
СЕМИНАРЫ
АЛАНИЯ
ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
МЕХМАТ МГУ
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН
СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ. РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ
СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ.
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ
НА VK.COM/TEACHINMSU.
ЕСЛИ ВЫ ОБНАРУЖИЛИ
ОШИБКИ ИЛИ ОПЕЧАТКИ,
ТО СООБЩИТЕ ОБ ЭТОМ,
НАПИСАВ СООБЩЕСТВУ
VK.COM/TEACHINMSU.
БЛАГОДАРИМ ЗА ПОДГОТОВКУ КОНСПЕКТА
СТУДЕНТКУ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА МГУ
ТАГИРОВУ ДЖАННЕТ ДЖАБРАИЛОВНУ
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
Содержание
1.
Семинар 1
Метрические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Бесконечномерный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
7
2.
Семинар 2
Топологические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
3.
Лемма Урынсона
Семинар 3
14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.
Семинар 4
17
Накрывающее пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.
Семинар 5
23
Свойство накрытия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.
Семинар 6
27
Построение накрытия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Вычисление фундаментальных групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Теорема Зейферта- Ван Кампана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7.
Семинар 7
32
Одномерные группы гомологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Конечные двумерные комплексы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8.
Семинар 8
36
Локально-тривиальное расслоение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Свойство накрывающей гомотопии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Коцикл расслоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
9.
Семинар 9
40
Свойство накрывающей гомотопии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Построение коциклов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
1.
Семинар 1
Метрические пространства
Определение 1.1. Множество (X, d) - метрическое пространство, если d : X ×
X 7→ R+ со следующими свойствами:
• d(x, y) = 0 ⇔ x = y
• d(x, y) = d(y, x)
• d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
Если на пространстве задана такая функция, то оно называется метрическим
пространством и на нем можно задать топологию.
Определение 1.2. U ⊂ X - открыто ⇔ ∀x ∈ U ⊂ X, ∃ε > 0 : Dε (x) ⊂ U , где
Dε (x) - шар радиуса ε с центром в точке x.
Задаем таким образом открытые множества и, очевидно, что это определение
превращает их в топологическое пространство относительно такой топологии.
Приведем несколько примеров топологических векторных пространств.
V - векторное пространство на R. Тогда на векторных пространствах можно задать метрику. Она задается в начале координат и такая метрика будет называться
нормой.
Определение 1.3. Норма - это функция от одной векторной переменной || ∗ || :
V 7→ R+ , которое удовлетворяет следующим свойствам:
• ||x|| = 0 ⇔ x = 0
• ||λx|| = |λ|||x||
• ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||
Если такая функция задана на вещественном векторном пространстве, то на таком пространстве тоже можно задать метрику. Такая метрика имеет следующий
вид:
d(x, y) = ||x − y||
Пример 1.1
• Пусть на V задано евклидово скалярное произведение
(, ) : V 7→ R. Тогда провеp
рим, что функция, определенная как ||x|| = (x, x), является нормой.
4
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
Заметим сразу, что 1 и 2 свойства нормы являются очевидными и легко проверяются из-за положительной определенности скалярного произведения, а 3 свойство
следует из неравенства Коши-Буняковского:
(x,y)
(x, y)2 ≤ |x|2 |y|2 ⇔ корректно определено, что cos(ϕ) = |x||y|
, а 3 свойство является
следствием из теоремы косинусов, т.к. x + y являются третьей стороной треугольника, где векторы x и y - две стороны с косинусом угла между ними. •
Сейчас мы покажем, что можно ввести не только такую норму.
Пример 1.2
• Пусть V конечномерно, т.е. dimV < ∞ и зафиксируем какой-нибудь базис. Пусть
вектор x в данном базисе имеет вид x = x1 e1 + · · · + xn en и ||x|| = max1≤i≤n {|xi |}.
Проверим выполнение условий. Действительно, 1 и 2 являются очевидными. 3 свойство также становится очевидным, если y = y 1 e1 + · · · + y n en , то рассмотрим
||x + y|| = max{xi + y i } ≤ maxi≤n {xi } + maxi≤n {y i }. •
Приведем пример в случае конечномерного векторного пространства.
Пример 1.3
• Пусть V - пространство непрерывных функций на отрезке [0; 1]. Рассмотрим на
этом пространстве такие нормы:
R1
• (f, g) = 0 f (x)g(x)dx
qR
1 2
f (x)dx
||f || =
0
• ||f || = maxx∈[0;1] |f (x)|
Теперь посмотрим, как выглядит топология, т.е.p
как выглядят соответствующие
открытые ε-окрестности точки 0 для нормы ||x|| = (x, x). Мы хотим показать, что
такую норму нельзя задать очевидно. Ее нельзя задавать с помощью евклидовой
структуры, доказательство
этого легко получается при рассмотрении единичного
p
шара в норме ||x|| = (x, x).
Итак, пусть V = R2 , причем ||e1 || = ||e2 ||. Тогда единичный шар имеет вид D1 (0) =
{(x, y) : |x| ≤ 1, |y| ≤ 1}, что задает квадрат стороны 1 с центром в точке (0, 0). Если бы метрика задавалась скалярным произведением, то граница единичного шара
задавалась бы уравнением (x, x) = 1 - оно квадратично относительно координат,
т.е. в качестве границы мы получим что-то, похожее на эллипс, но у нас граница 5
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
квадрат. Следовательно, количество норм больше количества метрик - любая метрика задает норму, но не наоборот.
Рассмотрим тождество параллелограмма. Если задано скалярное произведение, то
|x + y|2 + |x − y|2 = 2(|x|2 + |y|2 )
Это тождество выполняется для евклидовых скалярных произведений, но оно не
выполняется для многих норм.
Теперь покажем, что на конечномерном векторном пространстве норм бывает немного - разберемся, что это означает. Первое замечание состоит в следующем: любой
шар Dε (0) является выпуклым. Проверим выпуклость: пусть ε = 1
Пусть ||x|| < 1, ||y|| < 1. Тогда любая точка отрезка z = tx + (1 − t)y, t ∈ [0; 1] параметризация отрезка. Применим к z неравенство треугольника:
||z|| ≤ t||x|| + (1 − t)||y|| < 1
Т.е. шар любого радиуса является выпуклым множеством. Также мы можем сказать, что наш шар является ценрально симметричным. •
Теперь выясним, в каком случае две нормы задают одинаковую топологию.
Пусть на V заданы || ∗ ||1 , || ∗ ||2 . Если существуют такие константы c, C > 0, такие,
что ∀x ∈ V :
c||x||2 ≤ ||x||1 ≤ C||x||2 .
Тогда || ∗ ||1 , || ∗ ||2 - эквивалентные нормы и они задают одинаковую топологию.
Нам необходимо убедиться, что совокупности открытых множеств одинаковые. Т.е.
надо проверить, что если U открыто относительно || ∗ ||1 , то U открыто относительно || ∗ ||2 . Открытость проверяется как наличие для любой точки ее ε-окрестности.
Сделаем эту проверку для точки 0 - это не ограничивает общности.
Пусть точка 0 принадлежит нашему открытому множеству U . Тогда рассмотрим
открытый шар Dε (0) относительно || ∗ ||1 :
Dε1 (0) = {x : ||x||1 < ε}
6
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
Из равенства c||x||2 ≤ ||x||1 ≤ C||x||2 следует, что
||x||2 <
ε
c
Тогда D2ε (0) ⊂ Dε1 (0).
c
Получаем, что если наше открытое множество U содержит некоторый открытый
шар радиуса ε в первой норме, то тогда существует шар радиуса εc , принадлежащий
этому множеству, во второй норме.
Покажем теперь, что норму ||x|| = max1≤i≤n {|xi |} можно считать универсальной.
Покажем, что для двумерной плоскости любая норма будет эквивалентна нашей
универсальной норме. Пусть e1 , e2 ∈ R2 - образующие векторы.
||x|| ≤ ||αe1 || + ||βe2 || ≤ |α|||e1 || + |β|||e2 ||. Теперь пусть k = max(||e1 ||, ||e2 ||). Тогда:
||x|| ≤ ||αe1 || + ||βe2 || ≤ |α|||e1 || + |β|||e2 || ≤ k(|α| + |β|).
Рассмотрим на нашем пространстве следующую норму:
P i
||x||1 =
|α |, то легко проверить, что || ∗ ||1 является нормой. Также для любой нормы существует такая константа k, что:
||x|| ≤ k||x||1 .
Утверждение 1.1
Все нормы на конечномерном векторном пространстве эквивалентны.
Бесконечномерный случай
Теперь рассмотрим бесконечномерные пространства.
Пусть P ≥ 1. Рассмотрим пространство lP = {(x1 , x2 , . . . ) :
видно, что это линейное пространство:
P
|xi + yi |P ≤
P
i
|xi |P < ∞. Оче-
|xi |P + |yi |P - удовлетворяет неравенству треугольника.
P
P P1
x = (x1 , x2 , . . . ), ||x||P = ( ∞
i=1 |xi | ) .
7
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
P
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
Определим теперь ||x||∞ = supi {|xi |}.
Введем еще несколько норм на функциональном пространстве. Рассмотрим пространство непрерывных функций C[0; 1]. Тогда введем такую норму:
R1
1
||f ||P = ( 0 |f |P dx) P
||f ||∞ = maxx∈[0;1] |f (x)|
Приведем еще один пример нормированного пространства. Рассмотрим множество
натуральных чисел N и возьмем произвольное n ∈ N. Тогда:
n = a0 + a1 p + a2 p2 + · · · + ak pk , где p - простое и 0 ≤ ai ≤ p.
P
k
Введем пространство Qp = { ∞
k=n0 ak p } ⊃ Zp формальных сумм. Это поле коммутативно, ему принадлежит поле целых чисел. Введем на нем норму, которая
также будет являться нормой множества рациональных чисел, т.к. Q ⊂ Qp .
|r|p = p−n0 , где n0 - первый ненулевой номер, причем |0|p = 0.
Неравенство треугольника имеет тут такой вид:
|x + y|p ≤ max{|x|p , |y|p }
Пусть x = am pm + am+1 pm+1 + . . . , x = an pn + an+1 pn+1 + . . . . Тогда:
x+y =
P∞
i=s ci p
i
, s ≥ min(n, m).
p−s = |x + y| ≤ {p−m , p−n }.
8
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
2.
Семинар 2
Топологические пространства
Рассмотрим аксиому T3 . Если ∀x ∈ X, ∀Ux ⊂ X, то существует ∃v ⊂ Ux , v̄ ⊂ Ux ,
где v̄ - замыкание. Аналогичная формулировка для нормальных пространств - лемма об уменьшении покрытия. Проверим это утверждение.
Пусть у нас есть пространство X, в нем рассмотрим открытую окрестность Ux
точки x и рассмотрим замкнутое множество K = X/Ux . Тогда из нашей аксиомы
следует, что существуют такие открытые окрестности Uk , Vx : Uk ∩ Vx = ∅. Из нашей
аксиомы очевидно, что можно положить v = Vx , тогда замыкание V¯x тоже не будет пересекать замкнутое множество и, следовательно, будет находиться целиком
в этой окрестности.
В обратную сторону также очевидно. Если задано пространство X и некоторое
замкнутое подмножество K ⊂ X. Тогда Ux = X/K. Существуют две окрестности
Uk , Vx : Uk ∩ Vx = ∅. Тогда за окрестность x выберем Vx .
Докажем теперь следующее: произведение регулярных пространств регулярно.
Определение 2.1. Рассмотрим Xα , где α ∈ I - произвольное множество. ΠXα =
{(xα ), xα ∈ I}. Тогда:
pα : Πα∈I Xα 7→ Xα , pα (x) = xα .
Топология на произведении называется прямым произведением и берется так:
это минимальная топология, для которой все отображения проекции являются непрерывными. Т.е. база открытых множеств U = Pα−1 (Uα ) ⊂ ΠXα , Uα ∈ Xα .
Вернемся к доказательству нашего утверждения. Мы проведем его для двух пространств - этого будет достаточно для общего доказательства.
Утверждение 2.1
Пусть X, Y - регулярные, тогда X × Y тоже регулярно.
Доказательство.
Возьмем точку x ∈ X × Y и некоторую ее открытую окрестность Ux ⊂ X × Y .
Тогда возьмем элемент базы, который лежит в Ux : ∃Vx ⊂ Ux : Vx = U × V , где
U 3 p1 (x), V 3 p2 (y), где p1 : X × Y 7→ X, p2 : X × Y 7→ Y . Тогда в силу T3 суще0
0
0
0
ствует U ⊃ U 3 p1 (x), Ū ⊂ U . Аналогично V ⊃ V 3 p2 (y), V̄ ⊂ V .
9
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
0
0
−1
Тогда p−1
1 (U ) × p2 (V ) ⊂ U × V .
Это доказательство в точности переносится для бесконечного числа сомножителей, поскольку мы можем действовать аналогично.
Аналогично можно проверить аксиому T0 . Рассмотрим две произвольные точки
произведения (x1 , y1 ), (x2 , y2 ). У какой-нибудь из этих точек мы хотим найти такую
окрестность, в которую не входит другая точка.
Рассмотрии проекции наших точек. Тогда у какой-нибудь из этих точек, например, x2 , существует окрестность, которая не содержит x1 и аналогично с y1 и y2 .
Пусть Vx 3 x2 , Vx 63 x1 . Тогда очевидно, что p−1 (Vx ) - окрестность (x2 , y2 ), которая не содержит (x1 , y1 ).
Итак, окончательное утверждение, которое у нас получится, состоит в следующем.
Если Xα , α ∈ I обладает свойством T0 , T1 , T2 или T3 , то и произведение ΠXα также удовлетворяет этому свойству. Таким образом, при тихоновском произведении
пространств сохраняется регулярность, но нормальность не сохраняется. Приведем
соответствующий пример.
Определение 2.2. Пусть Uα - покрытие X. Тогда X - финально компактно (паракомпактно), если можно выделить счетное подпокрытие (локально-конечное
подпокрытие).
Определение 2.3. Локально-конечность означает, что ∀x ∈ X, x ∈ Ux ⊂ X
существует Ux ⊃ V 3 x, которая пересекается только с конечным множеством
элементов нашего покрытия.
Теперь, используя эти факты, построим пример не сохранения нормальности при
декартовых произведениях.
Рассмотрим топологическое пространство X = [0; 1). Зададим на этом полуинтервале базу топологии как множество полуинтервалов вида [a; b). Очевидно, что такие
множества образуют базу, т.к. в пересечении любых двух полуинтервалов мы в любом случае сможем вписать еще один полуинтервал.
Покажем, что множества типа [a; b) одновременно открыты и замкнуты. Возьмем
дополнение к [a; b) - это [0; 1) [a, b). Оно открыто, т.к. является [0; a] ∩ [b; 1) - объдинение двух элементов базы.
10
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
Воспользуемся тем, что наши множества одновременно открыты и замкнуты.
Утверждение 2.2
X - регулярно.
Доказательство.
Надо проверить аксиому T0 , т.е. если взять две произвольные точки на отрезке
[0; 1] ⊃ [a; b). Очевидно, что если a < b, то можно взять окрестность [a, b) - окрестность точки a, которая не содержит точку b.
Для проверки аксиомы T3 воспользуемся нашим свойством, что в любом открытом множестве найдется открытое подмножество, замыкание которого полностью
принадлежит этому открытому множеству. Действительно, возьмем произвольное
открытое множество [0; 1) для какой-нибудь точки x и в нем, очевидно, лежит элемент базы. Замыкание элемента базы совпадает с самим этим элементом, поэтому
это пространство удовлетворяет T3 и, следовательно, X - регулярно.
Таким образом, мы можем утверждать, что пространство X × X также регулярно.
Следующим шагом будет показать, что пространство X является нормальным, а
X × X уже нет.
Итак, напомним, что X = [0; 1), база топологии задается множеством полуинтервалов [a; b). Теперь мы хотим показать, что X является финально компактным.
Рассмотрим замкнутый отрезок вида [0; x]. Тогда мы можем представить всё пространство X как счетное объединение X = ∪k [0; xk ], xk ∈ Q.
Пусть U - открытое покрытие. Если Uik1 , . . . , Uikp , . . . покрывает [0; xk ], тогда ∪Uji
является счетным подмножеством покрытия U и покрывает всё пространство. Следовательно, существует некоторое [0; a], которое не покрывается счетным подпокрытием U .
Через y = inf (a) обозначим точную нижнюю грань всех таких a. Тогда легко показать, что если взять отрезок [0; y], то для любого отрезка вида [y; c), такой, что
d ∈ [y; c) - средняя точка. Тогда получим, что соответствующая точка y не попадает
ни в один из элементов покрытия, поэтому наше пространство является финально
компактным.
Напомним некоторые теоремы из курса лекций.
11
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
Теорема 2.1. Если X регулярно и финально компактно, то X паракомпактно.
Теорема 2.2. Если X хаусдорфово и паракомпактно, то X - нормальное пространство.
Теорема 2.3 (Титц-Урысон). Существует такая функция ϕ : X × X 7→ [0; 1] со
значениями в единичном отрезке, такая, что ϕ|W = 0, ϕ|Z/W = 1
0
0
Причем очевидно, что при w = w ⇒ ϕW = ϕW
Мы не будем повторять доказательства этих теорем. Мы учтем только их результат, т.е. что X - нормальное пространство.
Рассмотрим теперь пространство X × X. Оно регулярно в силу того, что регулярность сохраняется при тихоновских произведениях. Мы хотим доказать, что X × X
не является нормальным пространством.
Рассмотрим X = [0; 1]. Произведение этих пространств представляет собой квадрат со стороной 1. Рассмотрим в нем боковую диагональ, состоящую из элементов
Z = {x + y = 1 : 0 ≤ x, y < 1}. Это множество дискретно, т.к. для любой точки
из этого множества мы можем найти элемент базы, который не содержит другие
элементы Z. Также можем сказать, что Z замкнуто.
Теперь пусть W ⊂ Z - произвольное подмножество Z. Зададим на Z следующую
функцию со значениями в [0; 1] - эта функция имеет следующий вид:
fW (x) =
(
0, x ∈ W
1, x ∈ Z/W
Из-за того, что Z - дискретное пространство, то на нем любая функция является дискретной и замкнутой. Также наша функция является непрерывной.
В итоге мы получаем, что в пространстве непрерывных функций C[X × X, [0; 1]] ⊃
{ϕW }. Далее мы покажем, что это невозможно.
Противоречие состоит в подсчете мощностей этих множеств. Заметим, что мощность ϕW = 2C , где C - мощность континуума. Действительно, W пробегает все
подмножества континуума Z, откуда получаем, что мощность функций равна 2C .
Противоречие же будет состоять в следующем. Рассмотрим пространство C[X ×
X, [0; 1]] и заметим, что пространство X × X сепарабельно. Действительно, подмножества вида (xk , yr ), где xk , yr ∈ Q, являются всюду плотными и в каждой
окрестности (x, y) найдется хотя бы одна рациональная пара:
12
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
∀(x, y) : ∃[x, h) × [y, t), которая содержит (r1 , r2 ), такие, что r1 , r2 ∈ Q.
Мы точно знаем, что если пространство сепарабельно, то любая непрерывная функция однозначно задается своими значениями на всюду плотном подмножестве.
Если Y ⊂ X, X - хаусдорфово, Y - всюду плотно, то существует ϕ : Y 7→ R
однозначно продолжается на X.
Обозначим за Q̃ ∈ X × X подмножество с рациональными координатами. Тогда
все множество функций f˜[Q̃, [0; 1]] ⊃ C[Q̃, [0; 1]] как счетное объединение континуумов.
Итак, мы получили, что, с одной стороны, в нашем пространстве непрерывных
функций лежит подмножество, которое по мощности превосходит континуум, а с
другой стороны, наше пространство не может быть мощнее, чем континуум, т.к. является сепарабельным. Таким образом, мы получили противоречие, следовательно,
пространство X × X не является нормальным пространством, но является регулярным.
13
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
3.
Семинар 3
Лемма Урынсона
Лемма 3.1 (Урынсона)
Пусть X - нормальное пространство и K1 , K2 ⊂ X -два замкнутых непересекающихся подмножества. Тогда существует такая непрерывная функция f : X 7→
[0; 1], т.ч. f (K1 ) = 0, f (K2 ) = 1.
Доказательство этой леммы мы вспоминать не будем - мы будем изучать некоторые следствия этой теоремы.
Теорема 3.1 (О разбиении единицы). X - нормальное пространство и {U1 , . . . , Uk }
- открытое покрытие X. Тогда существует такой набор функций fi : X 7→ R,
т.ч.:
• supp(fi ) ⊂ Ui , где supp(f ) - носитель функции;
P
• ∀x ∈ X : fi (x) = 1.
Вспомним, что называют носителем функции.
Определение 3.1. Множество {x ∈ X : f (x) 6= 0} - носитель непрерывной функции.
Вернемся к доказательству теоремы.
Доказательство.
Рассмотрим какой-нибудь элемент покрытия. Мы знаем, что в него можно вписать
открытое множество Vi ⊂ Ui , причем V̄i ⊂ Ui , множество {V1 , . . . , Vk является покрытием.
Теперь в каждое Ui впишем Vi и рассмотрим два замкнутых множества: X/Ui и
V̄i . По лемме Урынсона построим функцию gi , которая разделяет эти два замкнутых множества: gi : X 7→ [0; 1], т.ч.:
• gi |V¯i = 1
• gi |X/Ui = 0.
Отсюда следует, что supp(gi ) ⊂ Ui .
Теперь построим функцию f следующим образом:
14
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
fi (x) =
g (x)
Pk i
j=1 gi (x)
- эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы.
Далее посмотрим еще одну теорему.
Определение 3.2. Пусть K ⊂ X - некоторое замкнутое подмножество нормального пространства X и f : K →
7 R - некоторое отображение, причем:
• f - непрерывно
• f - ограничено, т.е. ∃c ∈ R :
|f (x)| < c для любых x ∈ K.
Тогда существует g : X 7→ R, т.ч.:
• g - непрерывно и ограничено;
• ||g|| = ||f ||
• g|K = f
Вспомним такое определение.
Определение 3.3. ||f || = sup{|f (x), x ∈ X} - определение нормы.
Доказательство.
Пусть ||f || = a0 , a0 > 0.
Обозначим за U0 = {x ∈ K, f (x) ≤ − a30 , V0 = {x ∈ K, f (x) ≥
a0
.
3
U0 и V0 замкнутые, причем их пересечение пусто.
Обозначим за g0 : x 7→ [− a30 , a30 ]
g0 |U0 = − a30 , g0 |V0 =
a0
.
3
Теперь f1 = f0 − g0 : K 7→ X.
||g0 || =
a0
.
3
Тогда ||f1 || = a1 ≤
2a0
3
Введем теперь два подпространства U1 = {x : f1 (x) ≤ − a30 и V1 = {x : f1 (x) ≥ a30
и продолжим этот процесс до беконечности. В итоге получаем некоторую последовательность непрерывных функций f0 = f, f1 , f2 , · · · : K 7→ R, определенных на
замкнутом множестве K. Эти функции ограничены. Также у нас есть набор чисел
a1 , a2 , · · · ∈ R, т.ч. ai = ||fi ||
15
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
Получаем функции g0 , g1 , · · · : X 7→ [0; 1] и эти функции обладают следующими
свойствами:
• fi+1 = fi − gi
• ||gi || ≤
ai
3
≤ ( 23 )i a30
Теперь введем частичную сумму Gs = g0 + g1 + · · · + gs . Мы хотим доказать, что
последовательность функций Gs является фундаментальной последовательностью
и поэтому существует сумма.
Для доказательства вспомним некоторые свойства функциональных пространств.
Итак, пусть X - топологическое пространство. Обозначим через C[X, R] множество
всех ограниченных непрерывных функций. Тогда на этом пространстве можно ввести норму ||f || = supx∈X {|f (x)|}. Метрика, заданная по этой норме, превращает
пространство C в метрическое топологическое пространство.
Очевидно, что для каждого x : fi (x) ⊂ R - фундаментальная последовательность
Коши. Тогда существует limi7→∞ fi (x) = f (x). И мы можем утверждать, что f (x) тоже непрерывная функция.
Вернемся к доказательству фундаментальности Gs . Рассмотрим ||Gk −Gp || = ||gp+1 +
· · · + gk || при k > p. Оценим норму:
P
||Gk − Gp || = ||gp+1 + · · · + gk || ≤ ( ki=p+1 ( 23 )i ) a30 ≤ ε, если p и k достаточно большие.
Следовательно, существует некоторая функция g(x) = lims7→∞ Gs (x).
Рассмотрим такую разность:
f − Gs = f0 − g0 − g1 − · · · − gs = f1 − g1 − · · · − gs = fs+1 .
||f − Gs || ≤ ( 23 )s+1 a0 , причем f − Gs определена только на подмножестве K, т.к.
f определена на этом подмножестве.
Получаем, что f − Gs является фундаментальной и ||f − Gs || 7→ 0. Следовательно,
f = g и ||g|| ≤ ||f ||.
16
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
4.
Семинар 4
Накрывающее пространство
Будем считать, что все топологические пространства, о которых мы сегодня будем говорить, связны (линейно) и локально линейно связны (если не оговорено
противное).
Сейчас мы вспомним определение покрытия и приведем несколько примеров.
Определение 4.1. Непрерывное отображение p : X̃ 7→ X называется накрытием, если ∀x ∈ X, ∃ связная открытая U окрестность, т.ч. компоненты связности
p−1 (U ) гомеоморфны U отображением p, т.е. p|Uα ≈ U , где Uα - компонента линейной связности p−1 (U ).
Пример 4.1
• Рассмотрим отображение i : X 7→ X - тождественное отображение из любого
топологического пространства в себя. Очевидно, что такое отображение удовлетворяет свойствам накрытия и является накрытием. •
Пример 4.2
0
0
• p : R 7→ S , где S ∈ R2 (C).
0
S =
(
x2 + y 2 = 1 или
|z z̄| = 1
- единичная окружность.
Отображение имеет следующий вид: p(x) = (cos(x), sin(x)) - оно равномерно наматывает прямую на окружность. Очевидно, что это отображение является непрерывным - прообраз любого открытого множества открыт.
Проверим наше определение. Для этого возьмем любую точку x окружности и посмотрим прообразы этой точки: x : x, x ± 2π, x ± 4π, . . . .
Рис. 1. Прообразы точек
17
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
Эти прообразы мы можем отметить как на окружности, так и на прямой. Очевидно, что если мы возьмем некоторую окрестность точки x на окружности, то
прообразом этой окрестности будет объединение интервалов, каждый из которых
содержит точку x. •
Пример 4.3
0
• Пусть теперь накрывающее пространство - также единичная окружность: p : S 7→
0
S . Введем следующее отображение - эту окружность мы представляем на евклидовой плоскости и введем на этой плоскости полярную систему координат (ρ, ϕ).
Тогда уравнение окружности записывается как ρ = 1. Точки окружности задаются
как p(1, ϕ) = (1, nϕ). Геометрически это означает, что окружность наматывается
на себя n раз. Т.е. мы взяли n экземпляров единичной окружности, разрезанной
в некоторой точке. Длина каждого из этих экземпляров равна длине окружности
и, очевидно, что если мы сомкнем концы наших объединенных n экземпляров, то
получим окружность, которая в n раз больше изначальной. Т.е. все точки разрезов
переходят в точку разреза нашей изначальной окружности, а отрезки накладываются гомеоморфно. •
Пример 4.4
• Рассмотрим теперь двумерную поверхность M с двумя ручками. Возьмем несамопересекающиеся кривые c1 , c2 на нашей поверхности, которые не делят поверхность
на 2 части. А далее разрежем нашу поверхность вдоль этих линий и получим по0
верхность M :
Рис. 2. Разрез поверхности
0
0
Тогда очевидно, что отображение p : M 7→ M является гомеоморфизмом на всей
0
поверхности M , кроме краев поверхности, которые отождествляются при этом
отображении.
0
Понятно, что поверхность M мы можем задать и по-другому:
0
Наши поверхности M , очевидно, гомеоморфны, поэтому при таком построении M
0
мы также можем построить отображение p .
18
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
0
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
Рис. 3. M
0
0
Теперь возьмем несколько экземпляров M и расположим линейно и отождествим
их края. Тогда получим цепочку M̃ и на нем, очевидно, также будет определено
0
отображение p : M̃ 7→ M - это бесконечнолистное накрытие, т.к. у каждой точки
0
M есть прообразы во всех экземплярах M . •
Пример 4.5
• Рассмотрим пространство X = C1 ∪ C2 - объединение двух окружностей.
n
C1 = (cos(ϕ) − 1, sin(ϕ)), ϕ ∈ [0; 2π]
n
C2 = (1 + cos(ψ), sin(ψ)), ψ ∈ [0; 2π]
Эти две окружности можно нарисовать так:
Рис. 4. Окружности C1 и C2
19
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
Рассмотрим два пространства X̃ = {(x, y) : либо x, либо y - целое число } - це˜ = {∪C ∪ (x, 0)
лочисленная клетка на нашей плоскости. Второе пространство X̃
i
1
- множество непересекающихся окружностей с радиусом r < 2 , касающихся точек
вида (k, 0), где k - целое число.
Рис. 5. X̃
˜
Рис. 6. X̃
Теперь построим такие накрытия:
20
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
p1 : X̃ 7→ X
˜ 7→ X
p2 : X̃
Зафиксируем на наших окружностях и нашей целочисленной клетке какую-нибудь
ориентацию. Тогда отображение устроим следующим образом: все горизонтальные
отрезки наматываются на окружность C2 один раз, а все вертикальные отрезки
наматываются на окружность C1 один раз, причем ориентация сохраняется. Тогда
понятно, что это отображение является накрытием. Необходимо теперь проверить
наличие окрестности у каждой точки. Для этого возьмем центральную точку точку пересечения наших окружностей C1 и C2 и возьмем достаточно маленькую
окрестность U этой точки. Тогда ее прообразом, очевидно, являются кресты вокруг
целочисленных координат нашей клетки: p−1
1 (U ) есть объединение крестов каждой
целочисленной точки.
Теперь перейдем к накрытию p2 . Представим, что все целые точки переходят в
точку (0; 0), все горизонтальные отрезки один раз наматываются на окружность C2
с сохранением ориентации, а все окружности накладываются гомеоморфно на C1 .
Очевидно, что это отображение тоже является накрытием, причем для этого накрытия есть точки трех типов: центральная точка - точка пересечения наших окружностей C1 и C2 ; точки, лежащие на окружности C2 ; точки, лежащие на окружности
˜ •
C1 . Для каждого из этих типов легко найти прообраз на нашем пространстве X̃.
Пример 4.6
• Рассмотрим теперь пространство X̃ = C и рассмотрим такое отображение:
p : X̃ = C 7→ C/{0}.
Запишем p(x, y) = e(x+iy) = ex ∗ eiy = ex (cos(y), sin(y)). Теперь представим ком0
0
плексную плоскость C = R2 ≈ R × R 7→ R+ × S , где R+ = {x > 0}, S - точка
единичной окружности.
0
Тогда накрытие p = p1 × p2 , где p1 : R 7→ R+ - гомеоморфизм ex , p2 : R 7→ S .
0
Тогда p : R × R 7→ R+ × S . •
Отображения
Введем некоторый класс отображений топологических пространств, которые похожи на накрытия, но не всегда ими являются.
21
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
Пусть f : X 7→ Y - непрерывное отображение, X, Y - топологические пространства.
Определение 4.2. Непрерывное отображение f называется локальным гомеоморфизмом, если ∀x ∈ X : существует открытая окрестность Ux ∈ X, такая,
что
• f (Ux ) открыто в Y ;
• f |Ux - гомеоморфизм.
Любое накрытие является локальным гомеоморфизмом, но не наоборот.
Задача 4.1
Пусть p : X̃ 7→ X - накрытие. A ⊂ X, причем A линейно связное и локально линейно связное.
Пусть Ã - компонента линейной связности p−1 (A). Тогда ограничение p|Ã : Ã 7→ A
- накрытие.
22
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
5.
Семинар 5
Свойство накрытия
Рассмотрим еще один пример накрывающего пространства.
Пример 5.1
• Рассмотрим отображение p : C 7→ C, где p(z) = a0 + a1 z + · · · + an z n . Докажем,
что существует такое конечное множество X ⊂ C, т.ч. p : C/p−1 (x) 7→ C/X.
Опишем это конечное множество. Если рассмотреть произвольную точку z0 ∈ C,
0
p (z0 ) 6= 0, то p|Uz0 : Uz 7→ C - гомеоморфизм.
В отличие от вещественного случая, дифференциал в случае комплексного переменного представляется в виде комплексной матрицы:
a −b
dpz=z0 =
, где a и b - функции от z0 .
b a
(
2
Ранг этой матрицы rank(dp) =
0
У нашей матрицы не может быть rank = 1: если ранг упал, то определитель должен
быть равен 0, а наш определитель |dp| = a2 + b2 , т.е. a = b = 0.
Теперь опишем множество X. Учитывая возможные значения ранга нашей матрицы можно сказать, что отображение p во всех точках, где дифференциал не равен
0, является гомеоморфизмом.
Итак, пусть X = { образ критических точек p(z)}. Это множество конечно. И
при ограничении нашего отображения как p : C/p−1 (x) 7→ C/X мы получим, что
дифференциал нигде не равен 0 и поэтому отображение является локальным гомеоморфизмом. Но пока мы не можем сказать, что это действительное накрытие.
Посмотрим, какие свойства накрытия выполнены для нашего множества. Очевидно, что есть локальный гомеоморфизм. Также очевидно, что область определения
X не является компактной. Также Y хаусдорфово и X, Y связны и локально линейно связны. В итоге получаем, что не выполнена только компактность X - но
в нашем случае мы можем обойтись без данного свойства, т.к. прообраз каждой
точки состоит только из конечного множества точек, что нам и нужно от компактности. •
Пусть теперь задано накрытие p : X̃ 7→ X. И пусть мы непрерывно отобразили
23
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
f : I = [0; 1] 7→ X.
Определение 5.1. Поднятием f называется отображение, т.ч. pf˜ = f , где f˜ =
I 7→ X.
Теорема 5.1. Для любой точки x̃0 ∈ p−1 (f (0)) = p−1 (x0 ) ∃ единственная функция
f˜ : f˜(0) = x̃0 .
Доказательство.
Представим, что отображение f такое, что образ всего I попал в одну элементарную
окрестность. Тогда утверждение этой теоремы очевидно - выберем произвольное x̃0 .
У нее есть окрестность Ũ , т.ч. p : Ũ ∼
= U - гомеоморфизм.
Тогда f˜ надо построить так: сначала нужно построить f , а потом f˜ = p−1 |U f .
В случае, когда I не попала в одну область, необходимо действовать иначе.
Разделим отрезок [0; 1] на конечное множество малых отрезков [ai ; ai+1 ], т.ч. образ каждого из отрезков [ai ; ai+1 ] лежит в одной элементарной окрестности.
Возьмем первый из них - отрезок [0; a1 ] - он попал в элементарную окрестность
точки x0 , которую мы можем поднять.
Далее у нас будет задано a1 и мы можем взять следующую элементарную окрестность, куда попадает отрезок [a1 , a2 ] и т.д.
Таким образом, если мы можем разбить [0; 1] на небольшие части, т.ч. каждый
из них попадает в какую-либо элементарную окрестность накрытия, то это отображение можно поднять.
Теорема 5.2. Пусть (X, d) - компактное метрическое пространство и O - некоторое открытое покрытие. Тогда существует λ > 0, т.ч. для любого x ∈ X : шар
B(x, λ) ⊂ в одном элементе покрытия. λ - число Лебега покрытия O.
Мы сведем нахождение разбиения отрезка [0; 1] на маленькие отрезки вида [ai , ai+1 ]
к теореме Лебега.
В каждой точке кривой f (t) возьмем элементарную окрестность Ut . Рассмотрим
множество O = {f −1 (Ut ) = Vt }, где Vt - открытое покрытие [0; 1].
Теперь применим теорему Лебега и разобьем [0; 1] так, что |ai ai+1 | < λ(Vt ).
24
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
Тогда образ f (ai ai+1 ) ⊂ в одной элементарной области - тем самым мы доказали теорему о поднятии.
Теперь перейдем к доказательству теоремы Лебега.
Доказательство.
Пусть у нас есть отрезок [0; 1], который как-то покрыт открытыми областями. Мы
можем подобрать такое число λ, что для любой точки шар лежит в одной фиксированной области покрытия.
Пусть U1 , . . . , Un - конечное подпокрытие U . Оно существует из-за компактности
X. Обозначим через Ci = X/Ui замкнутое множество.
Определим fi : X 7→ R, где fi (x) = d(x, Ci ) - расстояние от x до множества Ci ,
причем fi (x) > ε.
P
Возьмем теперь усредненную сумму f (x) = n1
fi (x). Она непрерывна, положительна, задана на компактном множестве, следовательно она достигает минимального значения: min(f (x)) = λ.
Теперь пусть существуют отображения p : X 7→ X̃, f : Y 7→ X, также пусть
существуют два отображения f˜1 и f˜2 : Y 7→ X̃, причем pf˜i = f .
Тогда "множество совпадений"{y ∈ Y : f˜1 = f˜2 одновременно открыто и замкнуто.
Сформулируем теперь такую теорему.
Теорема 5.3. Пусть заданы два отображения f, g : I 7→ X, причем f гомотопна
g и f (0) = g(0), f (1) = g(1) - петля, т.е. существует отображение H : I × I 7→ X,
т.ч. H(t, 0) = f (t), H(t, 1) = g(t), причем H(0, s) = f (0) = g(0) и H(1, s) = f (1) =
g(1). Тогда f˜(1) = g̃(1) при f˜(0) = g̃(0).
Доказательство.
Аналогично с предыдущими теоремами, нам нужно разбить наш квадрат I × I на
маленькие прямоугольники так, что каждый из этих элементарных прямоугольников отображается в фиксированную элементарную область в X. Таким образом, мы
сможем отобразить весь квадрат и, следовательно, концы совпадают.
Утверждение 5.1
Если задано накрытие p : X̃ 7→ X, возьмем x0 ∈ X, т.ч. x̃0 ∈ p−1 (x0 ) - произвольное преобразование. Тогда индуцированное отображение фундаментальных групп
P∗ : π1 (x̃, x̃0 7→ π1 (x, x0 )) - мономорфизм.
25
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
Определение 5.2. Пусть X - топологическое пространство с отмеченной точкой x0 . Тогда π1 (X, x0 ) - класс эквивалентности [f ] : I 7→ X так, что f (0) = f (1) =
0
x0 . f ∼ f , если существует непрерывное отображение H : I × I 7→ X, такое, что
0
H(t, 0) = f, H(t, 1) = f , H(0, s) = H(1, s) = x0 - это гомотопия с фиксированными
концами.
Пример 5.2
Пусть p : X̃ 7→ X - такое накрытие, что π1 (X̃, x̃0 ) = 0.
Покажем, что π1 (X, x0 ) ≈ p−1 (x0 ).
У нас существует поднятие и пусть γ̃(0) = x̃0 , где γ - петля с вершиной в точке
x0 в плоскости X. Но непонятно, куда перейдет конец нашей петли, т.к. он не может вернуться в точку x̃0 ввиду условия π1 (X̃, x̃0 ) = 0: γ̃(1) ∈ p−1 (x0 ).
[γ] ∈ π1 (X, x0 ). Таким образом, мы получим отображение π1 (X, x0 ) 7→ p−1 (x0 ), причем γ 7→ γ̃(1), где γ ∈ π1 (X, x0 ), γ̃(1) ∈ p−1 (x0 ).
Мы хотим показать, что оно взаимно-однозначно: π1 (X̃, x0 ) = 0, следовательно
0
0
γ̃ ∼ γ̃ , следовательно γ ∼ γ .
26
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
6.
Семинар 6
Построение накрытия
Теперь разберемся с вопросом построения накрытия.
Пусть p : X̃ 7→ X, где X - универсальное накрытие. Тогда для любых точек
x̃0 ∈ X̃, x0 ∈ X, таких, что x̃0 ∈ p−1 (x0 ):
p−1 (x0 ) × π1 (X, x0 ) 7→ p−1 (x0 ) - это действие транзитивно.
π1 (X, x0 ) ⊂ группе всех перестановок p−1 (x0 ).
Если действие на p−1 (x0 ) транзитивно, то накрытие регулярное. Действия такого типа называются разрывными.
Определение 6.1. Отображение G×X 7→ X называется вполне разрывным, если
для любого x ∈ X существует область Ux : для любых g1 , g2 ∈ G : g1 (Ux ) ∩ g2 (Ux ) =
∅.
Пример 6.1
• Пусть Z × R 7→ R, т.е. (k, x) 7→ (x + k). Это действие, очевидно, является вполне
разрывным, т.к. оно распределяет всю окрестность по R без самопересечений. •
Пример 6.2
L
• Пусть теперь Z Z × R2 7→ R2 : (k, m) × (x, y) 7→ (x + k, y + m).
Фактор этого действия R2 /Z
L
Z = T2 - двумерный тор.
Если мы возьмем целочисленную решетку, то из любой точки плоскости с помощью целого сдвига можно попасть в ячейку с вершинами (0; 0), (1; 0), (0; 1), (1; 1).
Внутренние точки этой ячейки не могут быть эквивалентны относительно такого
сдвига.
Пример 6.3
Z2 × S 2 7→ S 2 : (1 × x) 7→ ix.
S 2 /Z ≈ Rp2 , следовательно фундаментальная группа π1 (Rp2 ) = Z2 .
Пример 6.4
Возьмем плоскость и в целых точках проведем прямые, параллельные оси Oy. Теперь во всех точках определим множество сходящихся друг к другу кривых, опре27
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
деляющихся системой:
(
ẋ = cos(x)
ẏ = sin(x)
При решении этой системы мы получаем поочередную систему потока движения
на наших прямых.
Это, на самом деле, действие R × R2 7→ R2 , т.к. для любого t мы можем сдвинуть (x, y) на время t.
Рассмотрим z ∈ R. При движении по целым временам становится понятно, что
движение является вполне разрывным, если взять произвольную точку и ее окрестность по двум ближайшим траекториям. Но фактор-пространство R2 /Z не является
хаусдорфовым, т.к. не существует в нем таких окрестностей, которые не пересекались бы.
Пример 6.5
Рассмотрим поверхность M2 и сделаем справа два разреза.
Рис. 7. Поверхность M2 .
Возьмем теперь плоскость с целочисленной решеткой на ней. Пусть в центре каждого квадрата вырезана окружность и в ней мы впишем нашу поверхность M2 . Тогда
L
мы получим двумерную поверхность M̃ , на которой действует Z Z × M̃ 7→ M̃ .
M̃ /Z
L
Z ≈ M2 .
28
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
Рис. 8. Дополнительный разрез на правой ручке.
Рис. 9. Два разреза на правой ручке
Аналогичные действия мы можем проделать и с левой стороны. В итоге мы получим сферу с двумя дырками.
L L L
Возьмем теперь Z Z Z Z. В итоге получаем некую двумерную поверхность
M̃ с вполне разрывным действием группы Z4 × M̃ без неподвижных точек. Фактор
M̃ /Z 7→ M2 .
Вычисление фундаментальных групп
Теперь возьмем такое пространство X, состоящее из двух окружностей с одной
общей точкой.
29
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
Рис. 10. Поверхность M2
Необходимо вычислить π1 (x). Одно из вычислений показывает, что π1 (x) =< a, b >.
0
Определение 6.2. Пусть существует вложение ψ : S 7→ G и вложение ψ : S 7→
0
0
G . Группа G называется свободной, если существует гомеоморфизм ϕ : G 7→ G .
Пример 6.6
• Пусть S = {a, b}.
Соответствующая группа F2 =< a, b > - группа с двумя образующими. Элементами этой группы являются всевозможные слова a±k1 b±k2 a±k3 . . . .
Теперь вернемся к пространству X (рис. 10). У этого пространства π1 (x) = F2 .
Попробуем построить универсальное накрытие над X, причем такое, что оно является односвязным.
Рассмотрим прообраз x̃0 точки x0 . Окрестность точки x0 представляет собой крест,
следовательно в окрестности точки x̃0 мы тоже должны получить крест. Учитывая,
что в точке x0 : a и b как входят, так и исходят, то получим такую картину:
30
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
Рис. 11. Покрытие X̃
Это и есть наше покрытие X̃. Каждую вершину мы можем довести до точки x0 ,
каждую горизонтальную линию можем сопоставить с a, каждую вертикальную - с b.
π1 (X̃) = 0, т.к. нет ни одной петли, следовательно, X̃ - дерево. •
Теорема Зейферта- Ван Кампана
Теорема 6.1. Пусть X = U ∪ V , т.ч. U, V - связные и локально связные. Пусть
известны π1 (U ), π1 (V ), π1 (U ∩ V ), причем U ∩ V = pt, i, j : U ∩ V 7→ U, V . Тогда
мы можем вычислить фундаментальную группу π1 (X) = π1 (U ) × π1 (V ), где × свободное произведение.
Теперь модифицируем нашу теорему для случая, когда в пересечении U и V
`
лежит одна точка. В этом случае π1 (x) = π1 (U ) π1 (U ∩V ) π1 (v).
31
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
7.
Семинар 7
Одномерные группы гомологии
Рассмотрим еще один пример.
Рис. 12. Бутылка Клейна K
По теореме Зейферта - Ван Кампана фундаментальная группа π1 (K) =< a, b :
baba−1 = 1 >.
Построим теперь накрытие R2 7→ K. Это накрытие, на котором действует дискретная группа движений. Возьмем две образующих дискретной группы движений:
Ty : (x, y) 7→ (x, y + 1)
S : (x, y) 7→ (x + 12 , −y + 1)
Пусть теперь E(2) - группа движений R2 . В E(2) возьмем подгруппу, порожденную S и Ty : G =< S, T >⊂ E(2).
S 2 (x, y) = (x + 1, y) = Tx (x + 1, y).
Вычислим теперь следующее:
Ty S(x, y) = (x + 21 , −y + 2)
STy (x, y) = S(x, y + 1) = (x + 12 , −y)
32
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
Таким образом получаем, что Ty2 STy = Ty S, следовательно Ty STy S −1 = 1.
Если взять соответствующее фактор-пространство R2 /G, где G - наша группа, то
R2 /G ≈ K. Причем наша группа G ⊃ Z2 .
Рассмотрим p : T 2 7→ K:
p∗ (π1 (T 2 )) = Z2 ⊂ G, причем π1 (K)/π1 (T ) = Z2 .
Теперь приступим к классификации поверхностей. Мы построили две серии поверхностей:
• M0 , M1 , M2 , . . .
• S1 , S2 , S3 , . . .
Mi - поверхность с i ручками или Mi = S 2 #iT 2 , где # - связная сумма. Также
отметим, что Mi+1 = Mi #T 2 .
Каждый из Mi можно представить в виде 4i - угольника с отождествлением сторон.
Si = #i (Rp2 ) - 2i - угольник.
Также мы можем образовывать связные суммы соответствующих двумерных пространств.
Теперь докажем следующее:
T 2 #Rp2 ≈ K#Rp2 .
Представим тор и бутылку Клейна как соответствующие склеенные прямоугольники и добавим Rp2 . Добавление будет происходить следующим образом: вырежем
диск и вклеим вместо него ленту Мебиуса Rp2 /D2 .
Возьмем теперь 4g- угольник, из которого получаем Mg , и вычислим фундаментальную группу.
Мы представим наш 4g- угольник как объединение двух открытых областей, одна
из которых подностью выходит за границы нашего 4g- угольника и на ней получается свободная группа с 2g образующими a1 , b1 , a2 , b2 , . . . , ag , bg .
−1
−1 −1
Тогда π1 (Mg ) = < a1 , b1 , . . . , ag , bg : a1 b1 a−1
1 b1 . . . ag bg ag bg = 1 >.
33
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
Теперь рассмотрим одномерную группу гомологии π1 (Mg )/[π1 (Mg ), π1 (Mg )].
Напомним, что если произвольная группа задана образующими соотношениями
G = < a1 , . . . , an |r1 , . . . , rn >, то

1
2
n


k1 a1 + k1 a2 + · · · + k1 an = 0 для r1
M M
G/[G, G] = Z
Z
...Z/ ...

|
{z
} 
k1 a + k 2 a + · · · + k n a = 0 для r
n
1 1
1 2
1 n
n
Множество решений - это подрешетка в Zn ⊃ Zk .
Тогда G/[G, G] = Z
|
M
M
L
Z
. . . Z T , где T - подгруппа кручения, причем k не
{z
}
k
зависит от выбора образующих соотношений в группе G. Эту характеристику мы
сейчас и вычислим:
π1 (Mg )/[π1 (Mg ), π1 (Mg )] = H1 (Mg , Z) = Z2g , т.е. одномерная группа гомологий нашего пространства совпадает с Z2g .
0
Таким образом, мы можем заключить, что Mg 6≈ Mg0 при g = g .
Введем величину (Mg ) = 2 − 2g - эйлерова характеристика. Посчитаем теперь эйлерову характеристику для неориентируемого случая:
π1 (Sg ) = < a1 , . . . , ag : a21 a22 . . . a2g = 1 >. Мы получаем, что в Zg ⊃ {2(a1 + · · · + ag ) =
0}.
При g = 1 : Z
L
H1 (Sg , Z) = Z
|
M
Z/Z ≈ Z
L
Z2 .
M
L
Z
. . . Z Z2 .
{z
}
g−1
Конечные двумерные комплексы
Комплексы задаются как набор вершин {v1 , . . . , vk }, набор ребер {S1 , . . . , Sm } и
набор двумерных дисков {D1 , . . . , Dn }.
Двумерный комплекс X = ∪{v1 , . . . , vk , S1 , . . . , Sm , D1 , . . . , Dn }∼ , Si ' [0; 1] - граница отождествления с некоторыми вершинами.
Пусть теперь задана произвольная G = < a1 , . . . , an |r1 , . . . , rm >. Тогда существует
34
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
двумерный комплекс X, т.ч. π1 (X) = G. Построим X следующим образом:
X состоит из одной ноль-мерной клетки x0 , k одномерных клетон x∗1 , . . . , x∗n , m
двумерных дисков ri∗ .
1-мерный остов - набор петель с вершиной в одной и той же точке. Пусть теперь
ri = api11 . . . apiss . Мы будем отображать ∂ri∗ = S 1 на наш набор петель и таким образом построим некоторый двумерный коплекс.
Теперь покажем, что π1 (X) = G. Построим ρ : G 7→ π1 (x), причем ρ(ai ) = [a∗i ].
Возьмем свободную группу ϕ : F (a1 , . . . , an ) 7→ π1 (x), причем ϕ(ai ) = [a∗i ], ϕ(ri ) = 1.
Тогда F < r1 , . . . , rn >7→ F (a1 , . . . , an ).
Тогда получаем, что G ≈ π1 (X).
Теперь пусть задано Zp , где p - простое число. Тогда любую абелеву группу можно
представить как фундаментальную группу некоторого многообразия Zp = π1 (M ).
Это многообразие называется линзовыми пространствами, которые определяются
как Lp = S 3 /Zp .
Задаем действия следующим образом:
Пусть S 3 ⊂ C2 , причем S 3 = {(z1 , z2 ) : |z1 |2 + |z2 |2 = 1}.
Пусть 1 ∈ Zp - образующая в этой группе: (z1 , z2 ) 7→ (e
рое произвольное целое число.
2πi
p
z1 , e
2πik
p
z2 ), где k - некото-
Очевидно, что у этого действия нет повторяющихся точек. Следовательно, получаем, что на компактном пространстве S 3 действует конечная группа без неподвижных точек и, следовательно, действие является вполне разрывным.
Для пространства Lp мы можем определить, что
π1 (S 3 ) = 0, следовательно π1 (Lp ) = Zp .
35
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
8.
Семинар 8
Локально-тривиальное расслоение
Вернемся к определению функции склейки и рассмотрим свойство коцикличности.
Пусть у нас пересеклись три области тривиализации.
Рис. 13. Бутылка Клейна K
Тогда на совместном пересечении этих областей заданы функции ϕU V , ϕV W , ϕW U ,
−1
−1
т.ч. U ∩ V ∩ W - гомеоморфизм с F , где ϕU ϕ−1
V ϕV ϕW ϕW ϕU = 1, что эквивалентно
ϕU V ϕV W ϕW U = 1 - условие коцикла.
Теперь по этому условию мы приведем пример построения локально-тривиального
расслоения.
Пусть пространство X - хаусдорфово и компактно, причем X = ∪N
i=1 Ui .
Рассмотрим такие топологические пространства ∪Ui × F/ ∼.
0
Отношение эквивалентности определим так: (x, f ) ∼ (y, f ) тогда и только тогда,
0
когда x = y, f = ϕU V (x)f .
Пример 8.1
• Пусть X - компактное локально-стягиваемое пространство, причем X - такое про36
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
странство, что существует покрытие открытыми множествами Ui , т.ч. Ui1 ∩ Ui2 ∩
· · · ∩ Uik тоже стягиваемые.
Выберем точку x0 ∈ X и выберем в каждой из областей U, V, W покрытия по одной
точке, которые соединим произвольными путями γU , γV , γW с нашей фиксированной точкой x0 .
Пусть теперь F = π1 (X, x0 ) и группа Homeo(F ) ≈ { перестановки множества
π1 (X, x0 ) }.
Рассмотрим теперь двойное пересечение U ∩ V . Тогда для любой точки x ∈ U ∩ V :
ϕU V (x) = π1 (X, x0 ).
Теперь соединим нашу точку x с центрами областей U и V кривыми γ1 и γ2 соответственно.
И теперь рассмотрим кривую γV γ2−1 γ1 γU−1 . Понятно, что [γV γ2−1 γ1 γU−1 ] ∈ π1 (X, x0 ).
Теперь возьмем точку из тройного пересечения U ∩ V ∩ W и соединим ее с центрами
областей U, V, W соответственно. Тогда мы получим, что треугольник с вершинами
в центрах областей U, V, W является стягиваемым и гомотопным точке 0, следовательно выполнено условие коцикличности.
Построим накрытие X̃ = ∪Ui × π1 (X, x0 )/ ∼. Пусть x ∈ Ui ∩ Uj . Тогда (x, a) ∼
(x, aϕij ). •
Свойство накрывающей гомотопии
Пусть задано f : B × I 7→ X - гомотопия между f |B×{0} и f |B×{1} и задано
f¯ : B × {0} 7→ E, причем pf¯ = f |B×{0} , где пространство X компактно и хаусдорфово. Мы будем говорить, что p : E 7→ X удовлетворяет свойству накрывающей
гомотопии.
Тогда существует f¯ : B × I 7→ E, причем pf¯ = f, f¯|B×{0} = f¯.
Эту формулировку мы будем считать абсолютной.
0
0
Пусть теперь B ⊂ B и задана функция g : B × I 7→ E, т.ч. pg = f |B 0 ×I .
0
Тогда пусть f¯ : B × I 7→ E : f¯(x, t) = g(x, t), x ∈ B .
37
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
Эту формулировку будем считать относительной.
Утверждение 8.1
Любое локально-тривиальное расслоение над отрезком является тривиальным.
Это утверждение можно переформулировать так: пусть p : E 7→ [0; 1] тривиально над [0; 12 ] и [ 12 ; 0], т.е. p−1 [0; 12 ] ≈ [0; 12 ] × F и p−1 [ 12 ; 1] ≈ [ 21 ; 1] × F .
Тогда расслоение тривиально, т.е. e ≈ [0; 1] × F .
Определение 8.1. p : E 7→ X - некоторое непрерывное отображение из одного топологического пространства в другое. Для любой точки x ∈ X существует
окрестность Ux - окрестность тривиализации, т.ч. p−1 (Ux ) ≈ Ux × F , где F топологическое пространство, причем ϕU : p−1 (Ux ) ≈ Ux × F - отображение, которое коммутирует со своими проекциями p−1 (Ux ) 7→ X и Ux × F 7→ X, где F слой нашего расслоения.
Пример 8.2
• Рассмотрим расслоение, которое называется расслоением Хопфа.
p : S 3 7→ S 2 .
Пусть S 3 ⊂ C2 , т.е. S 3 = {(z1 , z2 ) ∈ C2 : |z1 |2 + |z2 |2 = 1.
Сопоставим p(z1 , z2 ) = (z1 : z2 ) ∈ Cp1 ≈ S 2 - сфера Римана.
Очевидно, что это отображение является коциклом. •
Коцикл расслоения
Пусть U и V - две области тривиализации расслоения E, т.е.
ϕU |U ∩V : p−1 (U ∩ V ) ≈ (U ∩ V ) × F и
ϕV |U ∩V : p−1 (U ∩ V ) ≈ (U ∩ V ) × F .
Рассмотрим теперь ϕU ϕ−1
V : (U ∩ V ) × F 7→ (U ∩ V ) × F , т.е.
(x, f ) 7→ (x, ϕU V (x)(f )), где ϕU V (x) : F 7→ F .
38
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
ϕU V : U ∩ V 7→ Homeo(F ).
ϕU V называются функциями склейки, т.е. ϕU V = ϕU ϕ−1
V : U ∩ V 7→ Homeo(F ).
39
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
9.
Семинар 9
Свойство накрывающей гомотопии
Лемма 9.1
Любое локально-тривиальное расслоение над отрезком тривиально.
Доказательство.
Пусть задано локально-тривиальное расслоение со слоем F над отрезком [0; 1] :
E 7→ [0; 1]. Пусть E1 = p−1 [0; 21 ], E2 = p−1 [ 21 ; 1] и E1 , E2 - тривиальные расслоения.
Следовательно, E - тривиально.
Действительно, если E1 ≈ [0; 21 ] × F и E2 ≈ [ 12 ; 1] × F , то E задается как g : F 7→ F ,
где g - гомеоморфизм.
Построим теперь T : [0; 1] × F 7→ E:
T :
(
(x, f ) 7→ (x, f ), x ≤
1
2
(x, f ) 7→ (x, gf ), x ≥
1
2
, причем
E1 ∩ E2 = { 12 } × F .
Разобьем теперь отрезок [0; 1] на области тривиализации, выберем из них конечное число областей и соответствующее число Лебега ε.
Тогда получаем, что мы сможем последовательно доказать тривиальность на отрезке [0; 1].
Теперь пусть p : E 7→ X - локально-тривиальное расслоение и f : Y 7→ X - непрерывное отображение. Тогда определим расслоение f ∗ (p) : f ∗ (E) 7→ Y с тем же слоем
p.
Рассмотрим теперь декартово произведение Y × E ⊃ f ∗ (E). Тогда (y, e) ∈ f ∗ (E)
тогда и только тогда, когда f (y) = p(e).
Пусть теперь Y - отрезок, т.ч. f : I 7→ X, p : E 7→ X и задано f˜(0) : I 7→ E.
Рассмотрим f ∗ (E) ≈ I × F , т.ч. pf ∗ (E) 7→ I и S : I 7→ f ∗ (E), причем S(t) = (t, f (t)
и S(0) = f˜(0).
Тогда наша искомая гомотопия задается как f¯ : f ∗ (E) 7→ E и искомое поднятие
гомотопии есть f¯ = f˜S, где f˜ : f ∗ (E) 7→ E.
40
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
Для тривиального расслоения поднятием гомотопии является построение сечения.
Теперь сформулируем такую теорему.
Теорема 9.1. Пусть задано локально-тривиальное расслоение p : E 7→ X со слоем
F . Зафиксируем точку x0 ∈ X, выберем x̃0 ∈ p−1 (x0 ) и зафиксируем p−1 (x0 ) ≈ F ,
где F ⊂ E = i - вложение. Тогда рассмотрим такие фундаментальные группы
π1 (F, x˜0 ), π1 (E, x˜0 ), π1 (X, x0 ) и рассмотрим:
i∗ = π1 (F, x˜0 ) 7→ π1 (E, x˜0 ) и
p∗ = π1 (E, x˜0 ) 7→ π1 (X, x0 ).
Тогда Ker(p∗ ) = Im(i∗ ) - точность в π1 (E, x˜0 ).
Доказательство.
Для доказательства мы проверим два включения Ker(p∗ ) ⊃ Im(i∗ ) и Ker(p∗ ) ⊂
Im(i∗ ).
Для включения Ker(p∗ ) ⊃ Im(i∗ ) достаточно того, что p∗ i∗ = e - это очевидно.
Если взять произвольную петлю в слое и представить ее как петлю в пространстве,
то ее можно спроектировать в постоянную петлю.
Проверим теперь включение Ker(p∗ ) ⊂ Im(i∗ ). Если задана петля γ, которая после
проектирования на пространство X стягивается в точку x0 , то мы можем гомотопировать эту петлю γ в такую, которая целиком лежит в слое, проходящем через
точку x̃0 :
γ : I 7→ E, γ(0) = γ(1) = x̃0
pγ - петля в X и пусть [pγ] ∼ 0.
Введем f : I × I 7→ X, т.ч. f (t, 0) = pγ(t), f (t, 1) = x0 для любого t ∈ [0; 1].
Рассмотрим f˜ : I × {0} 7→ E: f˜(t, 0) = γ(t). Тогда f˜ - поднятие гомотопии f на
нижнем основании. Но по нашей теореме мы можем поднять гомотопию на всем
пространстве.
f˜(t, 1) ∈ p−1 (x0 ) для любого t ∈ [0; 1]. Следовательно, f˜(t, 1) - петля в слое, гомотопная нашей петле γ.
41
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
Построение коциклов
Пример 9.1
Спроектируем лист Мебиуса на окружность, из которой потом исключим одну точку. Тогда получим интервал, над которым любое расслоение тривиально.
Тогда коцикл задается как g ∈ Homeo((−1; 1)), где g(t) = −t.
Пример 9.2
• Рассмотрим расслоение, которое называется расслоением Хопфа.
p : S 3 7→ S 2 .
Пусть S 3 ⊂ C2 , т.е. S 3 = {(z1 , z2 ) ∈ C2 : |z1 |2 + |z2 |2 = 1.
Сопоставим p(z1 , z2 ) = (z1 : z2 ) ∈ Cp1 ≈ S 2 - сфера Римана.
Очевидно, что это отображение является коциклом.
Разобьем теперь S 3 на две области, на каждой из которых зададим тривиализацию.
Пусть U ⊂ CP 1 , для которых z2 6= 0
V ⊂ CP 1 , для которых z1 6= 0.
Возьмем в U z =
z1
z2
ивV w=
z2
.
z1
Тогда в области U : z1 = zz2 , следовательно уравнение сферы задает
(|z|2 + 1)|z2 |2 = 1. Тогда:

z1 = eiϕ √
z
1+|z|2
z2 = eiϕ √
1
1+|z|2
Тогда P −1 (U ) ≈ C × S 1 .
Теперь рассмотрим P −1 (V ). Аналогичным набором действий получаем:

z1 = eiψ √
1
1+|w|2
z2 = eiψ √
w
1+|w|2
И получаем P −1 (V ) ≈ C × S 1 .
42
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ ​
•
АЛАНИЯ ЛЕВАН АНЗОРОВИЧ
Рассмотрим теперь пересечение этих областей. Очевидно, что wz = 1. Представим z = eiθ , w = e−iθ . Тогда
(
z1 =
z2 =
(
z1 =
z2 =
ei(ϕ+θ)
√
2
e√iϕ
2
e√iψ
2
ei(ψ−θ)
√
2
для P −1 (U )
для P −1 (V )
Тогда из этих формул мы получаем функцию склейки:
ϕ + θ = ψ и g : S 1 7→ Homeo(S 1 ) : g(θ)(ϕ) = ϕ − θ, где g(θ) - функция склейки. •
43
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
МЕХАНИКОМАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.В. ЛОМОНОСОВА