МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН Институт базового образования имени Аль-Машани Кафедра «Высшая математика» MAT1032 МАТЕМАТИКА III Учебно-методический комплекс дисциплины Алматы, 2021 Институт базового образования имени Аль-Машани 1.1 УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ – SYLLABUS Шатманов Ж.Ж., сениор-лектор Доступ: Microsoft Teams https://teams.microsoft.com/l/team/19%3aiL5Ln_TM_9NKqWkWnjQZ9JkuianysnTQvHDgg_s7g01%40thread.tacv2/conversations?groupId=72d89809-9ce1-4ea9-b6a0d8561d03d19e&tenantId=49cc33db-453b-4ada-aaee-63c5dcd64f9c https://teams.microsoft.com/l/team/19%3aDNMCVA27TUAkPVL84FAPWVz2iDqrAflEgTzvKRg6fU1%40thread.tacv2/conversations?groupId=721a2bfd-2a4e4433-b1a4-ea8f50089944&tenantId=49cc33db-453b-4ada-aaee-63c5dcd64f9c Email: [email protected] 1.2 Данные о дисциплине: Название: Математика III Количество кредитов: 5 кредитов (1/0/2/2) Формат обучения – Online (лекции), Offline (практические занятия) Таблица 1 Выписка из учебного плана 1 1 2 1 3 3 4 2 5 - 6 1 7 3 8 3 9 9 Форма контроля СРСП Всего СРС Практ. занятия Лаб. занятия лекции кредиты семестр курс Академических часов в неделю 10 экзамен 1.3 Пререквизиты: знание курса арифметики, алгебры на уровне учебной программы средней школы. 1.4 Постреквизиты: «Высшая математика 2» и все общеобразовательные инженерные дисциплины, читаемые выпускающими кафедрами. 1.5 Краткое описание дисциплины Цели и задачи дисциплины: изучение основных понятий и их приложений в различных областях; овладение приёмами и методами решения конкретных задач; умение использовать изученные математические методы; развитие математической интуиции воспитание математической культуры формирование научного мировоззрения и логического мышления. В результате изучения дисциплины студент должен знать: уметь, строить математические модели; уметь ставить математические задачи; уметь подбирать подходящие математические методы и алгоритмы решения задачи; уметь проводить качественные математические исследования; 2 1.6 График выполнения заданий: Таблица 2 № Виды контроля Макс. Недели п/п балл недели 1 2 3 1 Контрольная работа 2 Защита ИДЗ (СРСП) 3 Бонусы (активность на практических занятиях, наличие конспекта лекции) 4 1-я промежуточная аттестация 5 Контрольная работа 6 Защита ИДЗ (СРСП) 7 Бонусы (активность на практических занятиях, наличие конспекта лекции) 8 2-я финальная аттестация Итоговый экзамен Итого 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Итого макс. балл 10 * * 6 * 4 10 * 10 6 4 * * * * 10 40 100 1.7 Литература: Базовая литература [5] Д. Письменный Готовимся к экзамену по математике,- Москва: Айрис Пресс, 2008 https://www.twirpx.com/file/1704111/ [2] Рябушко А.П. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Ч. 1, 2, 3, Минск.: Вышэйшая школа, 2013 Дополнительная литература [4] Weir, Maurice D. Thomas’ calculus, 2014 [5] Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевников Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч.I,2: - Мир и образование, 2020 Ссылка на видео лекции в OneDrive: https://satbayevuniversitymy.sharepoint.com/:f:/g/personal/s_oshche pkova_s atbayev_university/Evdx9QNJx5HrQhYnCEw5eMBHRlCeWLMmBJoA vyDAz2 uRQ?e=RoiSKF [3] Лунгу К.Н., Письменный Д. Т. Сборник задач по высшей математике, -М.: Айрис-пресс, 2020 3 1.8 Контроль и оценка знаний Таблица 3 Распределение рейтинговых баллов по видам контроля № Вид итогового конВиды контроля вариантов троля 1 Экзамен Итоговый контроль Рубежный контроль Текущий контроль баллы 40 60 100 Таблица 4 Оценка Отлично Хорошо Удовлетворительно Неудовлетворительно Оценка знаний студентов Буквенный эквиваВ процентах % лент А 95-100 А90-94 В+ 85-89 В 80-84 В75-79 С+ 70-74 С 65-69 С60-64 D+ 55-59 D 50-54 F 0-49 В баллах 4 3,67 3,33 3,0 2,67 2,33 2,0 1,67 1,33 1,0 0 1.9 Политика поздней сдачи работ: Студент долженприйтиподготовленным к лекционным и практическим занятиям. Требуетсясвоевременнаязащитаи полноевыполнениевсехвидовработ (практических, и самостоятельных). Студент не долженопаздывать и пропускатьзанятия, быть пунктуальным и обязательным. Предусматриваетсяуменьшениемаксимального баллана 10% занесвоевременносданныеработы. Если Вы вынуждены пропустить промежуточную аттестацию по уважительным причинам, Вы должны предупредить преподавателя заранее до нее, чтобы была возможность сдать пройти рубежный контроль заранее. Пропуск экзамена по неуважительной причине лишает Вас права на его сдачу. При пропуске экзамена по уважительной причине оформляется специальное разрешение и назначается дата, время и место сдачи экзамена. Политика посещения занятий: Студент не должен опаздывать и пропускать занятия, быть пунктуальным и обязательным. Студент должен прийти подготовленным к лекционным и практическим занятиям. Требуются своевременные сдачи расчетов практических работ, полное выполнение всех видов работ (практических и самостоятельных). Политика академического поведения и этики: Будьте толерантны, уважайте чужое мнение. Возражения формулируйте в корректной форме. Плагиат и другие формы нечестной работы недопустимы. Недопустимы подсказывание и списывание во время экзаменов, сдача экзамена за другого студента. Студент, уличенный в фальсификации любой информации курса, получит итоговую оценку «F». Активность на лекционных и практических занятиях обязательна и является одной из составляющих Вашего итогового балла / оценки. Многие теоретические вопросы, подкрепля- 4 ющие лекционный материал, будут представлены лишь на лекциях. Следовательно, пропуск занятия может повлиять на Вашу успеваемость и итоговую оценку. Каждые два опоздания и/или уходы до окончания занятия по любым причинам будут считаться как одно пропущенное занятие. Однако посещение занятий само по себе еще не означает увеличение баллов. Необходимо Ваше постоянное активное участие на занятиях. Обязательным требованием курса является подготовка к каждому занятию. Необходимо просматривать указанные разделы учебника и дополнительный материал не только при подготовке к практическим занятиям, но и перед посещением соответствующей лекции. Такая подготовка облегчит восприятие Вами нового материала и будет содействовать Вашему активному приобретению знаний в стенах университета. В рамках обучения по дисциплине недопустимы любые коррупционные проявления в любой форме. Организатор таких действий (преподаватель, студенты или третьи лица по их поручению) несут полную ответственность за нарушение законов РК. Помощь: За консультациями по выполнению самостоятельных работ, их сдачей и защитой, а также за дополнительной информацией по пройденному материалу и всеми другими возникающими вопросами по читаемому курсу обращайтесь к преподавателю в период его офис часов или через электронные средства связи круглосуточно. При дистанционном обучении: Обязательное дистанционное участие на учебных занятиях согласно расписанию, которая определяет готовность к занятию. В случае отсутствия на дистанционном занятии студент обязан в течение суток известить преподавателя и объяснить план самостоятельного изучения занятия - Обязательное прочтение представленных материалов до дистанционного занятия. - Сдача заданий вовремя. Предусмотрены штрафы -10% за позднюю сдачу. - 20% неучастия в дистанционных классах – оценка «F (Fail)». - плагиаризм и списывание при выполнении задания не допустимы. - обязательное использование электронных гаджетов на занятии, что приветствуется, но недопустимо использование на экзамене. - В рамках обучения по дисциплине недопустимы любые коррупционные проявления в любой форме. Организатор таких действий (преподаватель, студенты или третьи лица по их поручению) несут полную ответственность за нарушение законов РК. Неделя 2 СОДЕРЖАНИЕ АКТИВНОГО РАЗДАТОЧНОГО МАТЕРИАЛА 2.1 Календарно-тематический план: 1 2-3 Тема лекции Тема практической работы Определители. Свойства определителей. Обратная матрица Формулы Крамера. Элементы векторной алгебры. Скалярное, векторное и смешанное Вычисление определителей. Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера. Нахождение обратной матрицы. Вычисление скалярного, векторного и смешанного произведения 5 Задание Срок сдачи [1] стр. 20 – 34 [2] ч.1 стр. 9 – 58 ИДЗ 1.1 ИДЗ 1,2 (1-2) 2 недел я [1] стр. 39 – 57, 90 – 115 [2] ч.1 стр. 59 – 155 ИДЗ 2.1 ИДЗ 2.2 ИДЗ 3.1 4 недел я Ссылка на литературу Неделя Тема лекции Тема практической работы произведение векторов. Уравнение плоскости. Уравнение прямой в пространстве. Поверхности второго порядка. Канонические уравнения поверхностей второго порядка. 4 Функции многих переменных. Область определения, область значений, линии уровня. Предел и непрерывность функции многих переменных. Производная по направлению. производной по Градиент. направлению и Дифференциалы градиента функции, функций двух дифференциалов переменных. функций двух Формула Тейлора переменных. для функции двух Разложение функции переменных. двух переменных по производные. Задание векторов. Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Нахождение угла между плоскостями, расстояния от точки до плоскости. Нахождение угла Между прямыми. Поверхности второго порядка. Канонические уравнения поверхностей второго порядка. Нахождение обла[1] стр. 304 –307 сти определение и области значений функции нескольких переменных. Построение линий уровня. Вычисление пределов. Исследование на непрерывность. Вычисление частных 1] стр. 308 – 316 [2] ч.2 стр. производных. 249 – 258 Вычисление Частные 5 Ссылка на литературу 6 Срок сдачи 5 недел я ИДЗ 10.1 6 недел я Неделя Тема лекции Тема практической работы Ссылка на литературу Задание Срок сдачи формуле Тейлора. 6 Цепное правило и Цепное правило и Дифференцировани дифференцирование неявных функций. неявных функций. Касательная Нахождение плоскость к касательной поверхности и плоскости и нормаль. нормали к [1] стр. 317 – 320 стр.317-320 7 недел я [1] стр. 320 – 324 [2] ч.2 стр. 258 – 268 8 недел я поверхности. 7 Экстремумы Нахождение функций многих экстремумов переменных. Функции многих Необходимое и переменных. достаточное Решение задач по условие. Метод МНК, по методу наименьших Градиентного квадратов (МНК). спуска. ИДЗ 10.2 Метод градиентного спуска. 8 9– 10 11 Метод множителей Лагранжа. Глобальный экстремум. Нахождение услов[1] стр. 323 – 324 ных и глобальных [3] стр.206 – 208 экстремумов. 1-я финальная (Midterm) аттестация Двойной интеграл и Нахождение пло[1] стр. 378 – 390 ИДЗ 13.1 его свойства. Гео[2] ч.3 щадей, объёмов. метрический и фистр.157 – 169 Вычисление интезический смысл гралов в полярных двойного интеграла. координатах. Вычисление двойФормула Остроградных интегралов в ского - Грина декартовых и полярных координатах. 9 недел я Тройной интеграл. Вычисление объемов. Моменты и центры масс. Цилиндрические и сфе- 12 недел я Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах. Нахожде- 7 [1] стр. 391 – 401 ИДЗ 13.2 [2] ч.3 стр. 169 – 178 11 недел я Неделя Тема лекции Тема практической работы рические координаты. Поверхностные интегралы I рода. 15 Задание Срок сдачи [1] стр. 420 – 427 ИДЗ 15.1 [2] стр. 257 – 260 (1 – 2) 13 недел я [1] стр. 427 – 437 ИДЗ 15.1 [2] стр. 260 – 270 (3 – 4) 14 недел я Векторное поле. . [1] стр. 499 – 524 ИДЗ 15,2 Векторные линии, [2] стр. 270 – 279 поток, дивергенция, циркуляция, ротор поля. Оператор Гамильтона. Соленоидальное, потенциальное и гармоническое поля. 2-я финальная (Endterm) аттестация 15 недел я 12 13 – 14 ние объемов, моментов и центров масс. Вычисление интегралов в цилиндрических и сферических координатах. Вычисление поверхностных интегралов I рода. Нахождение площадей, масс, моментов и центров тяжести поверхности. Вычисление поверхностных интегралов II рода. Ссылка на литературу Поверхностные интегралы II рода. Формула Остроградского-Гаусса. Формула Стокса. Экзамен По расп. 2.2 Конспект лекционных занятий Лекция № 1. Определители. Свойства определителей. Обратная матрица. Формулы Крамера. Определение. Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов. 8 Числа стоящие в матрице называются ее элементами и обозначаются переменной (буквой) с двумя индексами, первый из которых равен номеру строки, а второй номеру столбца в пересечении которых находится данный элемент. Элементы матрицы обычно обозначаются малыми буквами, а сами матрицы соответствующими заглавными. Если матрица задается перечислением своих элементов, то таблица элементов заключается в круглые или квадратные скобки. a a a a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n ... ... ... a n1 an2 ... a nn Например, матрица A размера 23 записывается в виде: A 11 12 13 . a 21 a 22 a 23 Эта матрица состоит из 6 элементов a i j , где i 1, 2 – есть номер строки, j 1, 2, 3 – номер столбца. Матрицы используются в технических науках и в экономике для записи табличной информации. В программировании матрицы называются двумерными массивами. Матрица у которой число строк равно числу столбцов называется квадратной, а число строк (столбцов) этой квадратной матрицы называется ее порядком. Квадратная матрица n – го порядка состоит из n 2 элементов. Каждой квадратной матрице по определеному правилу сопоставляется число, которое называется определителем этой матрицы. Определитель, в отличие от матрицы обозначается вертикальными линиями: A ... Сформулируем правила вычисления определителей 1-го, 2-го, 3-го порядков. 1) Определителем матрицы 1-го порядка называется элемент этой матрицы. Например, если A 5, то A 5 . 2). Определителем матрицы 2-го порядка называется число Например: 1 2 3 4 a11 a12 a 21 a 22 a11a 22 a12 a 21 1 4 2 3 2 . Определителем матрицы 3-го порядка называется число a11 a12 a 21 a 22 a31 a32 a13 a 23 a11a 22 a33 a12 a 23 a31 a13 a 21a32 a13 a 22 a31 a11a 23 a32 a12 a 21a33 . a33 Это правило называется правилом треугольников (Саррюса) 1 2 3 Например: 4 5 6 1 5 9 2 6 7 3 4 8 3 5 7 2 9 4 1 6 8 0 7 8 9 Определение: Транспонированной матрицей для матрицы A называется матрица A , столбцами которой являются соответствующие строки матрицы A . 9 Диагональ, исходящая из левого верхнего угла матрицы, называется ее главной диагональю. Транспонированная матрица A симметрична A относительно главной диагонали. Рассмотрим теперь свойства определителей, справедливые для определителей любого порядка. Для определённости будем их записывать для определителей 3-го порядка. 1. Определители квадратной матрицы A и ее транспонированной A совпадают, т.е. A A . 2. При перемене местами двух строк матрицы, ее определитель меняет свой знак на противоположный. 30. Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками равен 0. 40. Если все элементы одной строки квадратной матрицы умножить на число k , то ее определитель умножится на это число. 50. Если квадратная матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен 0. Это свойство получается из предыдущего при k 0 . 60. Если одна из строк определителя записывается в виде суммы двух строк, то определитель записывается в виде суммы двух определителей у которых на месте этой строки стоят соответственно первые и вторые слагаемые. Остальные соответствующие строки всех трех определителей равны. 70. Если к одной строке матрицы прибавить другую ее строку, умноженную на число k , то определитель матрицы при этом не изменится. Определение. Минором элемента a ij называется определитель, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания i - ой строки и j - го столбца, на пересечении которых находится этот элемент. Определение. Алгебраическим дополнением элемента a ij называется соответствующий минор, умноженный на 1ij т.е Aij 1i j M ij , где i – номер строки и j - столбца, на пересечении которых находится данный элемент. 80. (Разложение определителя по элементам некоторой строки). Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки на соответствующие им алгебраические дополнения. a11 a12 A a21 a22 a31 a32 a13 a23 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a33 10 1 2 3 Пример 2. Найдем определитель матрицы A 4 5 6 , разложив его по 7 8 9 элементам первой A a11 A11 a12 A12 a13 A13 1 1 11 5 6 8 9 2 1 1 2 4 6 7 9 строки. 3 1 1 3 4 5 7 8 15 9 6 8 24 9 6 7 34 8 5 7 3 2 6 3 3 0. Формально эта теорема и другие свойства определителей применимы пока только для определителей матриц не выше третьего порядка, поскольку другие определители мы не рассматривали. Следующее определение позволит распространить эти свойства на определители любого порядка. Определение. Определителем матрицы A n -го порядка называется число, вычисленное с помощью последовательного применения теоремы о разложении и других свойств определителей. Можно проверить, что результат вычислений не зависит от того, в какой последовательности и для каких строк и столбцов применяются вышеуказанные свойства. Определитель с помощью этого определения находится однозначно. Хотя данное определение и не содержит явной формулы для нахождения определителя, оно позволяет находить его путем сведения к определителям матриц меньшего порядка. Такие определения называют рекуррентными. Определение. Квадратная матрица, у которой ниже главной диагонали стоят нулевые элементы ( a ij 0 при i j ) называется верхнетреугольной. Матрица, у которой выше главной диагонали стоят нулевые элементы ( a ij 0 при i j ) называется нижнетреугольной. Верхне и нижнетреугольные матрицы называются треугольными. Теорема. Определитель квадратной треугольной матрицы равен произведению ее элементов, стоящих на главной диагонали, т.е. A a11a22 ...ann . Определение. Квадратная матрица, у которой вне главной диагонали стоят нулевые элементы, называется диагональной. Диагональная матрица является и верхне – и нижнетреугольной, поэтому ее определитель также равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Диагональная матрица, у которой на главной диагонали стоят только единичные элементы называется единичной матрицей. Определитель единичной матрицы равен 1, т.е. E 1 . Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Обратная матрица. Определение. Обратной матрицей для квадратной матрицы A называется такая матрица A 1 , что выполняется равенство A A1 A1 A E . 11 Определение. Квадратная матрица A , определитель которой равен нулю, называется вырожденной, матрица, определитель которой не равен нулю, называется невырожденной. 1 2 1 2 – вырождена, – невырождена. Из соот 2 4 3 4 Пример 1. Матрица ношения A A 1 E 1 следует, что у вырожденной матрицы не может быть обратной 0 A 1 1 . Определение. Присоединенной матрицей для квадратной матрицы A назы~ вается матрица A , элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы A , т.е. A11 ~ A 21 A A n1 A12 A1n A 22 A 2n . A n2 A nn Теорема об обратной матрице. Невырожденные матрицы и только они 1 ~ 1 имеют обратные матрицы, которые находятся по формуле A A . (Здесь A ~ A – присоединённая транспонированная матрица). Определение. Системой из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется система вида: a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1 a x a x ... a x b 21 1 22 2 2n n 2 (1.1) ............................................... a m1 x1 a m 2 x 2 ... a mn x n bm Здесь переменные x1 , x2 ,..., xn называются неизвестными системы, числа a ij , где i 1, 2, ..., m j 1, 2, ..., n называются коэффициентами системы, а числа b1 , b2 ,..., bm – свободными членами. Числа x1 , x2 ,..., xn обращающие все уравнения системы в тождества, называются решением системы. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. Имеется более краткая запись С.Л.А.У., она состоит в следующем. Обозначаем через A матрицу размера m n , составленную из коэффициентов при неизвестных a11 a A 21 ... a m1 a12 a 22 ... am2 12 ... a1n ... a 2 n . ... ... ... a mn Она называется матрицей системы. Столбец свободных членов обозначим через b1 x1 b2 x B , а столбец из неизвестных системы через X 2 . Тогда систему (1.1) ... ... b x m n можно записать в виде матричного уравнения: AX B . Эта запись называется матричной формой записи системы. В случае, если матрица A квадратная, матричная форма записи позволяет решить систему с использованием обратной матрицы A 1 . Теорема. С.Л.А.У. имеющая квадратную невырожденную матрицу, имеет единственное решение, которое находится по формуле: X A1 B . Доказательство. Умножим обе части равенства AX B слева на A 1 , получим A1 AX A1 B , отсюда EX A1 B и X A1 B . Метод решения С.Л.А.У. с использованием соотношения X A1 B называется матричным методом решения. x 2 y 5 матричным методом. Матрица этой 3 x 4 y 11 Пример. Решим систему 1 2 – невырожденная, системы A 3 4 A1 A 2 . Найдем обратную матрицу 1 ~ 5 1 4 2 A . Для данной системы B , A 2 3 1 11 x X , поэтому y 1 4 2 5 1 4 5 ( 2 ) 11 1 2 1 . 2 3 1 11 2 3 5 1 11 2 4 2 x 1 Следовательно . Данный метод решения систем можно y 2 X A1 B записать и в несколько ином виде, который называется правилом Крамера. Пусть С.Л.А.У. имеет квадратную матрицу A n -го порядка, A 0 . Пусть i – определитель матрицы системы, в которой вместо i -го столбца подставлен столбец свободных членов. Тогда эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам xi i , i 1, n . Эти формулы называ ются формулами Крамера. 1 2 x 2 y 5 2, по правилу Крамера. 3 4 3 x 4 y 11 5 2 1 5 1 5 4 2 11 2 , 2 1 11 5 3 4. 11 4 3 11 Пример. Решим систему x Поэтому: x 1 2 1 2 . 2 4 2 2 Контрольные вопросы: 13 1. Что такое определитель второго порядка, n-го порядка? 2. Укажите основные свойства определителей. 3. В чем отличие матрицы от определителя? 4. Метод Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений? Лекция №2. Элементы векторной алгебры Определение. Вектором называется отрезок с выбранным направлением, или направленный отрезок. Вектор с началом в точке A и с концом в точке B обозначается через AB , кроме того вектор можно обозначать одним символом, например a . Вектор, у которого начало совпадает с его концом называется нулевым вектором и обозначается через 0 . Длина отрезка, изображающего вектор a , называется модулем этого вектора и обозначается a . Векторы a1 , a 2 ,..., a n , параллельные одной прямой называются коллинеарными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Два вектора a и b считаются равными, если они равны по модулю, коллинеарный и одинаково направлены. Из этого определения следует, что при параллельном переносе вектор не меняется, по этому в качестве начала вектора можно выбрать любую точку. Линейными операциями над векторами называются умножение вектора на число и сложение векторов. Определение. Произведением вектора a на число называется такой век тор a , что выполняются три условия. 1) a a ; 2) a a ; 3) Вектор a сонаправлен вектору a , если 0 и направлен в противоположную сторону, если 0 . Определение. Суммой векторов a и b , исходящих из одной точки называется вектор совпадающий с диагональю параллелограмма, образованного векторами a и b , исходящий из той же точки. Если вектора a и b не исходят из одной точки, то их начала необходимо с помощью параллельного переноса перенести в одну точку. Это определение называется правилом параллелограмма. При сложении большого числа векторов удобнее пользоваться следующим определением, равносильным предыдущему. Суммой векторов a1 , a 2 ,..., a k у которых начало a i вектора совпадает с кон цом a i 1 i 2 k , является вектор соединяющий начало вектора a1 с концом вектора a k . Эти линейные операции над векторами обладают следующими свойствами. 1. 1 a a ; 2. 0 a 0 ; 3. a a ; 14 4. a a a ; 5. a b b a ; 6. a b c a b c ; 7. a b a b . Операция разности векторов a и b сводится к двум линейным операциям: a b a 1 b , однако часто удобней пользоваться следующим специальным определением равносильным вышеприведённому. Определение. Разностью векторов a и b , исходящих из одной точки назы вается вектор, соединяющий конец вектора b с концом вектора a и направ ленный в сторону конца вектора a . Определение. Линейной комбинацией векторов a1 , a 2 ,..., a n с коэффициен тами C1 , C2 ,..., Cn называется вектор C1 a1 C 2 a 2 ... C n a n . Эта комбинация обладает двумя основными свойствами. 1) Если векторы a1 , a 2 ,..., a n коллинеарны некоторой прямой, то любая их линейная комбинация будет коллинеарна той же прямой. Векторы a1 , a 2 ,..., a n называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. 2) Если векторы a1 , a 2 ,..., a n компланарны некоторой плоскости, то любая их линейная комбинация компланарна той же плоскости. Определение. Векторы a1 , a 2 ,..., a n называются линейно зависимыми, если существуют такие числа C1 , C2 ,..., Cn , не все равные нулю, что C1 a1 C 2 a 2 ... C n a n 0 В противном случае векторы a1 , a 2 ,..., a n называются линейно независимыми. Определение. Совокупность n линейно независимых векторов называется базисом. Множество всех плоских или пространственных векторов в которых определены операции сложения векторов и умножение вектора на число, являются простейшими примерами векторного пространства. Определение. Множество векторов, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше семи свойствам называется векторным пространством. Оказывается, что в любом векторном пространстве всегда можно выбрать несколько векторов, из которых с помощью линейных комбинаций однозначно можно получить любой вектор этого пространства и которые являются базисными. Определение. Любой ненулевой вектор e на прямой называется базисным вектором этой прямой. Любая пара неколлинеарных векторов e1 , e2 плоско- 15 сти называется базисом этой плоскости. Любая тройка некомпланарных векто ров e1 , e2 , e3 называется базисом пространства. Определение. Коэффициенты линейной комбинации базисных векторов, выражающие вектор a на прямой, в плоскости или в пространстве называют ся, координатами вектора a в данном базисе. Вектор, лежащий на прямой, имеет одну координату x , на плоскости – две координаты x, y ; в пространстве – три координаты x, y, z . Векторы удобно отождествлять с координатами в неко тором выбранном базисе. Так, вектор a в пространстве записывают в виде: a x, y, z . Теорема. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число. Пусть в пространстве имеется декартова система координат Oxyz . С ней связан стандартный базис из единичных взаимно перпендикулярных векторов, расположенных вдоль осей Ox, Oy , Oz . Эти базисные вектора обозначаются че рез i , j , k . Z A(x,y,z) 1 1 Y 1 0 X Определение. Вектор, начало которого находится в начале координат, а конец в точке A , т.е. вектор O A , называется радиус-вектором точки A. Если x, y, z – координаты точки A в системе Oxyz , то радиус-вектор O A можно за- писать в виде O A x i y j z k . Поэтому координаты точки Ax, y, z в системе Oxyz и вектора O A в базисе i , j , k . – это одни и те же числа. Теорема. Пусть в декартовой системе координат Oxyz заданы две точки Ax A , y A , z A и BxB , y B , z B , тогда в базисе i , j , k . вектор AB имеет коорди наты xB x A , y B y A , z B z A . Теорема. Пусть вектор a имеет координаты x, y, z в базисе i , j , k . , то- гда x Ox a , y Oy a , z Oz a . 16 Определение. Проекцией вектора a на ненулевой вектор b (обозначение b a ) называется его проекция на ось L , проведенная через вектор b . Теорема 2. Расстояние между точками Ax A , y A и BxB , y B на плоскости находится по формуле AB x B x A 2 y B y A 2 . Теорема 3. Расстояние между точками Ax A , y A , z A и BxB , y B , z B в пространстве Oxyz находится по формуле Oxy AB ( xB x A )2 ( yB y A )2 ( z B z A )2 . Пример. Пусть A(1,1,1), B(2,3,–1). Найдем AB . AB ( 2 1 )2 ( 3 1 )2 ( 1 1 )2 9 3. Определение. Разделить отрезок AB в отношении 0 это значит найти на нём такую точку M , что AM MB . Теорема. Пусть точка M xM , yM , z M делит отрезок AB в отношении , где Ax A , y A , z A и BxB , y B , z B , тогда x A x B y y B z z B ; yM A ; zM A xM 1 1 1 Следствие. Если точка M является серединой отрезка AB , то x A xB y yB z zB ; yM A ; zM A . xM 2 2 2 Эти формулы получаются из формул теоремы при 1 . Скалярное произведение векторов Определение. Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними, т.е. a b a b cos a b . Скалярное произведение обозначается символами a b , a b , a b . Для лю- бых векторов a и b верно соотношение a b a a b b b a . Теорема. Пусть в базисе i , j , k вектор a имеет координаты x1 , y1 , z1 , а вектор b x1 , y1 , z1 . Тогда a b x1 x2 y1 y 2 z1 z 2 . Пример. Если a 1, 2, 3 , а b 4, 5, 6 , то a b 1 4 2 5 3 6 32. Следствие 1. a Если вектор a x, y , z , x2 y2 z2 . 17 в базисе i , j, k , то Следствие 2. Косинус угла между векторами a x1 , y1 , z1 и b x2 , y 2 , z 2 равен: x1 x2 y1 y2 z1 z2 cos x12 y12 z12 x22 y22 z22 . Следствие 3. Векторы a x1 , y1 , z1 и b x2 , y 2 , z 2 перпендикулярны только в том случае, когда a b x1 x2 y1 y2 z1 z2 0 . Определение. Направляющими косинусами ненулевого вектора a называются косинусы углов, образованных этим вектором с осями координат Ox , Oy , Oz . Обычно эти углы обозначаются через , , . Следствие 4. Для вектора a с координатами x, y, z направляющие косинусы записываются z cos x2 y2 z2 в x cos виде: x2 y2 z2 cos ; y x2 y2 z2 ; ; Определение. Векторным произведением векторов a и b называется век тор c a b , удовлетворяющий трем условиям: а) Модуль вектора c равен произведению модулей векторов a и b на синус угла между ними: a a b sin a b ; в) c перпендикулярен векторам a и b , т.е. он перпендику лярен плоскости, проходящей через вектора a и b ; с) Тройка векторов a , b , c - правая. 1°. В отличие от скалярного произведения векторное произведение анти коммутативно т.е. для любых векторов a и b верно: b a a b . 2°. Ненулевые векторы a и b коллинеарны только в том случае когда a b 0 . 3°. Постоянный множитель можно выносить за знак векторного произведе ния т.е. для любых векторов a и b и числа верно a b a b . 4°. Векторное произведение обладает свойством дистрибутивности т.е. для любых векторов a1 , a 2 , b верно ( a1 a2 ) b a1 b a2 b . Теорема. Пусть в базисе i , j , k векторы x1 , y1 , z1 и x2 , y2 , z2 соответственно. a и b имеют координаты Тогда в этом базисе a b y1 z 2 z1 y 2 , x1 z 2 z1 x2 , x1 y 2 y1 x2 . 18 Для запоминания этой формулы используется её запись в виде условного определителя: i j k a b x1 y1 x2 y2 z1 , z2 который необходимо разложить по первой строке. Пример. Пусть a (1,2,3, ), b (4,5,6), Найдем a b . i j k a b 1 2 3 i 2 6 3 5 j 1 6 3 4 k 1 5 2 4 3 i 6 j 3 k (3, 6, 3) . 4 5 6 Следствие 1. Площадь параллелограмма построенного на векторах b x2 , y 2 , z 2 , и a x1 , y1 , z1 S пар a b ( y1 z 2 z1 y2 ) 2 ( x1 z2 z1 x2 ) 2 ( x1 y2 y1 x2 ) 2 . равна: Площадь треугольника, построенного на этих векторах, равна: Sm p 1 1 ab ( y1 z 2 z1 y2 )2 ( x1 z 2 z1 x2 )2 ( x1 y2 y1 x2 )2 . 2 2 Следствие 2. Площадь параллелограмма построенного на векторах a ( x1 , y1 ) и b ( x2 , y 2 ) , лежащих в плоскости Oxy , равна: Sпар x1 y2 y1 x2 . Пло- щадь треугольника построенного на векторах, равна: S тр 1 x1 y2 y1 x2 . 2 Определение. Смешанным произведением трех векторов a , b , c называется число, равное скалярному произведению векторного произведения векто ров a и b с вектором c . Оно обозначается символами a , b , n или a b n : a b n a b c . Свойства смешанного произведения 10. Смешанное произведение векторов a , b , c равно объему параллеле пипеда, построенного на этих векторах: a b c Vпар . Здесь знак «+» берется в случае если тройка векторов a , b , c правая «» если она левая. 20. Векторы a , b , n являются компланарными только в том случае когда их смешанное произведение равно 0: a b c 0. 30. При перестановке местами любых двух векторов смешанного произведения оно меняет свой знак на противоположный; т.е. a b n a c b c a b c b a b c a b a c. 19 40. Постоянный сомножитель можно выносить из любого сомножителя т.е. для любых векторов a , b , c и числа смешанного произведения a b c a, b, c . 50. Смешанное произведение дистрибутивно для любого сомножителя т.е. для любых векторов a1 , a 2 , b, c верно: a 1 a 2 b c a 1 b c a 2 b c . Теорема. Пусть в базисе i , j , k векторы a , b , c имеют координаты соот ветственно ( x1 , y1 , z1 ) ( x2 , y2 , z2 ) и ( x3 , y3 , z3 ) , тогда их смешанное произведение x1 y1 z1 записывается в виде определителя: a b c x2 y 2 z 2 . x 3 y3 z 3 Следствие. a ( x1 , y1 , z1 , ), Объем параллелепипеда построенного на векторах b ( x2 , y 2 , z 2 , ), c ( x3 , y 3 , z 3 , ) , равен: Vпар a b c . Объем тетраэдра (треугольной пирамиды), образованного этими векторами равен: Vтетр 1 abc . 6 Контрольные вопросы: 1. Дать определение вектора. 2. Скалярное произведение векторов. 3. Физический смысл скалярного произведения. 4. В чем заключается механический смысл векторного произведения? 5. Укажите условие коллинеарности двух векторов. Лекция №3. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения плоскости и прямой в R3. Взаимное расположение прямой и плоскости в R3. Поверхности второго порядка. Уравнения плоскости 1. Уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 x0 ; y0 ; z 0 и перпендикулярной вектору N Ai Bj Ck , имеет вид Ax x0 B y y0 C z z 0 0. При произвольных значениях A, B и C последнее уравнение определяет некоторую плоскость, принадлежащую связке плоскостей, проходящих через точку M 0 . Его поэтому часто называют уравнением связки плоскостей. 2. Уравнение всякой плоскости может быть записано также в виде Ax By Cz D 0, если A 2 B 2 C 2 0 (общее уравнение). Здесь A, B, C можно рассматривать как координаты некоторого вектора N Ai Bj Ck , перпендикулярного плоскости 20 (нормального вектора плоскости). Для приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду надо все члены уравнения умножить на нормирующий множитель 1 / N 1 / A 2 B 2 C 2 , где знак перед радикалом противоположен знаку свободного члена D в общем уравнении плоскости. 3. Частные случаи расположения плоскости, определяемой общим уравнением Ax By Cz D 0 : A 0; параллельна оси Ox ; B 0; параллельна оси Oy ; C 0; параллельна оси Oz ; D 0; проходит через начало координат; A B 0; перпендикулярна оси Oz (параллельна плоскости xOy ); A C 0; перпендикулярна оси Oy (параллельна плоскости xOz ); Если в общем уравнении плоскости коэффициент D 0 , то, разделив все члены уравнения на - D , уравнение плоскости можно привести к виду x y z 1 a b c (4) (здесь a D / A, b D / B , c D / C ). Это уравнение называется уравнением плоскости в отрезках: в нем a, b, c - соответственно абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскости с осями Ox , Oy , Oz . 4. Угол между плоскостями A1 x B1 y C1 z D1 0 и A2 x B2 y C2 z D2 0 определяется по формуле cos A1 A2 B1 B2 C1C 2 A B12 C12 A22 B22 C 22 2 1 . (5) Условие параллельности плоскостей: A1 / A2 B1 / B2 C1 / C2 . (6) Условие перпендикулярности плоскостей: A1 A2 B1 B2 C1C2 0 . (7) 5. Расстояние от точки M 0 x0 ; y0 ; z 0 до плоскости, определяемой уравнением Ax By Cz D 0 , находится по формуле d Ax0 By 0 Cz0 D A2 B 2 C 2 . (8) 6. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M 1 r1 , M 2 r2 , M 3 r3 (здесь r1 x1i y1 j z1k ; r2 x2i y2 j z 2 k ; r3 x3i y3 j z 3 k ), проще найти из условия компланарности векторов r r1 , r2 r1 , r3 r1 , где r xi yj zk - радиус-вектор текущей точки искомой плоскости M : r r1 r2 r1 r3 r1 0 , или в координатной форме: x x1 y y1 z z1 x2 x1 x3 x1 y 2 y1 y3 y1 z 2 z1 0 . z 3 z1 21 7. От канонических уравнений прямой, вводя параметр t , нетрудно перейти к параметрическим уравнениям: x lt x1 , y mt y1 , z nt z . 1 8. Прямая. Прямая может быть задана уравнениями двух плоскостей A1 x B1 y C1 z D1 0, A2 x B2 y C 2 z D2 0, пересекающихся по этой прямой. 9. Угол между прямой x x1 / l y y1 / m z z1 / n Ax By Cz D 0 определяется по формуле cos Al Bm Cn ; A B C 2 l 2 m2 n2 2 и плоскостью 2 (9) условие параллельности прямой и плоскости: Al Bm Cn 0; (10) условие перпендикулярности прямой и плоскости: A / l B / m C / n. Пример. Уравнения прямых и каноническому виду. Исключив сначала y , а затем z , имеем 13x 11z 11 0 и 17 x 11y 22 0. Если разрешить каждое из уравнений относительно x , то получим 2 x y 3z 1 0 5x 4 y z 7 0 (10) привести к 11 y 2 17( z 1) x y 2 z 1 , т.е. . 17 13 11 17 13 10. Уравнения прямой, проходящей через две точки M 1 x1 ; y1 ; z1 и M 2 x2 ; y2 ; z 2 , имеют вид x x x1 y y1 z z1 . x2 x1 y 2 y1 z 2 z1 (1) Так называемые канонические уравнения x x1 y y1 z z1 (2) l m n определяют прямую, проходящую через точку M x1 ; y1 ; z1 и параллельную вектору s li mj nk . В частности, эти уравнения могут быть записаны в виде x x1 y y1 z z1 , cos cos cos где , , - углы, образованные прямой с осями кординат. Направляющие косинусы прямой находятся по мурмулам cos l l 2 m2 n2 , cos (3) 22 m l 2 m2 n2 , cos n l 2 m2 n2 . Поверхности второго порядка. Рассмотрим вначале частные виды поверхностей, определяемых в пространстве уравнениями, в которых неизвестные x, y, z присутствуют только в первой или во второй степени. 1. Пусть в пространстве имеется кривая K и прямая L . Определение. Цилиндрической поверхностью (цилиндром) с направляющей K и образующей L называется геометрическое место точек пространства, лежащих на прямых, проходящих через точки K параллельно L . 1.1. Эллиптический цилиндр имеет направляющей эллипс и каноническое x2 y2 уравнение 2 2 1 . В частности, круговой цилиндр: x 2 y 2 a 2 имеет направa b ляющей окружность. 1.2. Гиперболический цилиндр имеет направляющей гиперболу и каноническое уравнение x2 y2 1. a2 b2 1.3. Параболический цилиндр имеет направляющей параболу и каноническое уравнение y 2 2 px. 1.4. Уравнение 1.5. 1.6. x2 y2 0 определяет ось Oz. a 2 b2 x 2 y2 Уравнения 2 2 1 и x 2 1 - пустое множество. a b 2 x y2 Уравнение 2 2 0 - пара пересекающихся по оси Oz a b плоскостей 1.7. x 2 a 2 - пара плоскостей, параллельных Oyz . 1.8. x 2 0 - плоскость Oyz . Все перечисленные поверхности называются цилиндрическими поверхностями второго порядка. 1. Пусть в пространстве имеется кривая K и точка O , не лежащая на K . Определение. Конической поверхностью (конусом) с направляющей K и вершиной O называется геометрическое место точек пространства, лежащих на прямых, проходящих через O и пересекающих K . В частности, конические поверхности, рассматриваемые в школьной программе, имели направляющие окружности K , их вершины находились на прямой, проходящей через центр K перпендикулярно плоскости окружности. Заметим, что вершина O любой конической поверхности является ее центром симметрии. Уравнение x2 a2 y2 b2 z2 c2 0 (a, b, c 0) называется каноническим уравнением конуса второго порядка. 1. Поверхность, определяемая каноническими уравнениями a, b, c 0 называется эллипсоидом, а числа a, b, c – его полуосями. 23 x2 y2 z2 1, a2 b2 c2 2. Поверхность, определяемая каноническим уравнением a, b, c 0 x2 y2 z2 1 , a2 b2 c2 называется двуполостным гиперболоидом. 3. Поверхность, определяемая каноническим уравнением (a, b, c 0) x2 y2 z 2 1, a2 b2 c2 называется однополостным гиперболоидом. 4. Поверхность, определяемая каноническим уравнением x2 y2 z , ( p , q 0) 2 p 2q называется эллиптическим параболоидом. 5. Поверхность, определяемая каноническим уравнением x2 y2 z, 2 p 2q ( p , q 0) называется гиперболическим параболоидом. 6. Определение. Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению a11x 2 a22 y 2 a33 z 2 2a12 xy 2a13 xz 2a23 yz b1 x b2 y b3 z c 0 . Здесь хотя бы один коэффициент ai , j должен быть отличен от нуля. Теорема. Любая поверхность второго порядка в пространстве является одной из следующих поверхностей: 1) одной из цилиндрических поверхностей второго порядка; 2) конусом второго порядка; 3) Эллисоидом; 4) одно или двуполостным гиперболоидом; 5) эллиптическим или гиперболическим параболоидом. Найдется, такая декартова система координат Oxyz , в которой уравнение поверхности принимает канонический вид. Контрольные вопросы: 1. Общее уравнение плоскости 2. Уравнение плоскости в отрезках. 3. Расстояние от точки до плоскости . 4. Угол между плоскостью и прямой. 5. Условие перпендикулярностей плоскостей 6. Поверхности второго порядка. Лекция №4 Функции многих переменных. Область определения, область значений, линии уровня. Предел и непрерывность функции многих переменных. 24 Если D Oxyz, а E Ou , то эту функцию трех переменных можно записать в виде 25 u f ( x, y, z ) . Введем некоторые определения, относящиеся к областям на плоскости или в пространстве. Определение. Окрестностью точки M ( x0 , y 0 ) на плоскости (или M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) в пространстве) радиуса r называется круг без окружности (или шар без сферы) радиуса r с центром в точке M 0 . Такую окрестность будем обозначать через U r ( M 0 ) . На плоскости U r ( M 0 ) определяется неравенством ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 r 2 , ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 r 2 . а в пространстве – Примеры. 1) Окрестность U r ( M 0 ) не содержит ни одной точки своей границы – окружности (или сферы), поэтому U r ( M 0 ) – открытое множество. 2) Круг на плоскости задаваемый неравенством ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 r 2 , содержит свою границу – окружность ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 r 2 , поэтому он – замкнутое множество. 3) Четверть плоскости определяется системой неравенств x 0, y 0 содержит часть своей границы, расположенной на оси Oy и не содержит часть границы на оси Ox. Это множество не является ни открытым, ни замкнутым. Пусть C – число. Линией уровня C функции z f ( x, y) называется множество всех точек M ( x, y) из области определения D , координаты которых удовлетворяют уравнению f ( x, y) C . Таким способом изображаются, например, линии равной высоты на географических картах. Они являются линиями уровня функции z h( x, y) определяющей высоту точки местности с координатами ( x, y ) над уровнем моря. Например. Найдем линии различного уровня функции z 1 x2 y2 . Такие линии определяются уравнением 1 x2 y2 C . При C 0 получим 1 x 2 y 2 0 ; 1 x 2 y 2 0; x2 y2 1. 26 Поэтому линия уровня 0 есть окружность радиуса 1 с центром в начале координат. При C 1 получим 2 1 x2 y2 1 ; 2 2 2 1 x y 1 ; 4 x2 y2 3 . 4 Линия уровня C 1 есть окружность радиуса R 3 с центром в 2 2 начале координат. Поверхностью уровня C функции u f ( x, y, z ) называется множество всех точек M ( x, y, z ) из области определения D функции, координаты которых удовлетворяют уравнению f ( x, y, z ) C. Пример. Рассмотрим функцию u x 2 y 2 z 2 . При C 0 ее поверхностями уровня являются сферы радиуса C с центрами в начале координат. При C 0 поверхность уровня 0 есть начало координат. Поверхности уровня C 0 у этой функции отсутствуют. Пример 1. Найти область определения функции двух переменных: u= 9 х2 z (2 z ) 5 ln( 16 y 2 ) Решение: а) 9-х2 0 х 3 б)z (2-z) 0 0 z 2 в) 16-у2.>0 4 у 4 Окончательно имеем, -3 х 3,4 у 4,0 z 2, что в совокупности в пространстве определяет параллелепипед, который и есть область определения данной функции. Пример 2. z=arcsin(x2+y2-3) Функция определена при условии -1 х 2 у 2 3 1или 2 х 2 у 2 4 . Таким образом, область существования функции состоит из точек плоскости, лежащих между окружностями х2+у2=2, х2+у2=4 и на них. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Рассмотренные выше понятия функций двух или трех переменных можно обобщать на случай n переменных. Функцией n переменных y f ( x1 , x2 , xn ) называется функция, область определения D которой принадлежит R n , а область значений – действительной оси. Такая функция каждому набору переменных ( x1 , x2 , xn ) из D сопоставляет единственное число y . Наиболее удобный способ задания функций n переменных при больших n – это аналитический способ. В дальнейшем для определенности мы будем рассматривать 27 функции n 2 переменных, но все утверждения сформулированные для таких функции остаются верными и для функций большего числа переменных. Определение. Число A называется пределом функции z f ( x, y) в точке ( x0 , y 0 ) , если для каждого 0 найдется такое число 0, что при всех ( x, y ) из окрестности U ( x0 , y0 ) , кроме этой точки, выполняется неравенство f ( x, y) A . Если предел функции z f ( x, y) в точке ( x0 , y 0 ) равен A , то это обозначается в виде lim f ( x, y) A . ( x , y )( x0 , y0 ) Практически все свойства пределов рассмотренные нами ранее для функций одной переменной остаются справедливыми и для пределов функций нескольких переменных, однако практическим нахождением таких пределов мы заниматься не будем. y tg x y x x y y Пример 3. lim lim tg lim lim lim 1 1 x 0 y y x y x 0 y 0 y x y x 0 x y Это повторный предел, сначала ищем внутренний предел, когда х считаем фиксированным, т.е внутренний предел от функции одной переменной у, затем находим внешний предел, который является также пределом от функции одной переменной у. y tg x y x x y y Теперь найдем lim lim tg lim lim lim 0 0 , у 0 x 0 y y x y y 0 x 0 y x y y 0 x y x y таким образом двойной предел lim не существует. tg x 0 y x y y 0 lim Пример 4. x 0 y 0 2 1 cos( x 2 y 2 ) tg ( x y ) 2 2 2 t x 2 y 2 0 прих 0, у 0 lim t 0 2 1 cos t tg 2 t t 1 2 lim 2 lim 2 t 0 tg t ( 2 1 cos t ) t 0 tg t ( 2 1 cos t ) 4 2 2 sin 2 2 1 cos t ( применяем первый замечательный предел, проделать внутренние вычисления сам-но). Определение. Функция z f ( x, y) называется непрерывной в точке ( x0 , y 0 ) если выполняется три условия: lim f ( x, y) 1) существует ( x , y )( x0 , y0 ) 2) существует значение функции в точке ( x0 , y 0 ) 28 3) эти два числа равны между собой, т.е. lim ( x , y )( x0 , y0 ) f ( x, y) f ( x0 , y0 ) . Практически исследовать непрерывность функции можно с помощью следующей теоремы. Теорема. Любая элементарная функция z f ( x, y) непрерывна во всех внутренних (т.е. не граничных) точках своей области определения. Пример. Найдем все точки, в которых непрерывна функция z 1 x2 y2 . Как было отмечено выше, эта функция определена в замкнутом круге x2 y2 1 . Внутренние точки этого круга является искомыми точками непрерывности функции, т.е. функция z 1 x 2 y 2 непрерывна в открытом круге x2 y2 1. Определение понятия непрерывности в граничных точках области определения D функции возможно, но мы этот вопрос в курсе затрачивать не будем. Пример 5. Исследуем на непрерывность z= х у 1 х2 у2 Функции х+у+1, х2+у2 непрерывны при всех х,у. Поэтому непрерывна и функция х 2 у 2 . Тогда функция х у 1 х2 у2 - также непрерывна при всех х,у, кроме точки (0,0), где знаменатель =0. Поэтому, точка (0,0)- точка бесконечного разрыва. Контрольные вопросы: 1. Определение множества и области на плоскости и в пространстве. 2. Определение функции многих переменных. 3. Понятие предела в n-мерном пространстве. 4. Непрерывность функции многих переменных. Лекция №5 Дифференцирование функций нескольких переменных. Производная понаправлению. Градиент. Дифференциалы функций двух переменных. Формула Тейлора для функции двух переменных. Частные приращения и частные производные. В отличие от функций одной переменной, функций нескольких переменных имеют различные виды приращений. Это связано с тем, что перемещения в плоскости Oxy из точки ( x0 , y 0 ) можно осуществлять по различным направлениям. Определение. Частным приращением по x функции z f ( x, y) в точке ( x0 , y 0 ) соответствующим приращению x называется разность 29 x f f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) . Это приращение по существу является приращением функции одной переменной z f ( x, y0 ) полученной из функции f ( x, y) при постоянном значении y y 0 . Аналогично частным приращением по y в точке ( x0 , y 0 ) функции z f ( x, y) соответствующим приращению y называется разность y f f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 ) . Это приращение вычисляется при фиксированном значении x x0 . приращений, следует, что для нее можно определить два вида производных. Определение. Частной производной по x функции z f ( x, y) в точке ( x0 , y 0 ) называется предел отношения частного приращения по x этой функции в указанной точке к приращению x аргумента x т.е. f f x( x0 , y0 ) lim x . x 0 x f z Такие частные производные обозначаются символами f x , z x , , .В x x последних случаях круглая буква “ d ” – “ ” означает слово “частная”. Аналогично, частная производная по y в точке ( x0 , y 0 ) определяется с помощью предела y f f y ( x0 , y0 ) lim . y 0 y f z Другие обозначения этой частной производной: z y , , . y y Частные производные функций находятся по известным правилам дифференцирования функции одной переменной, при этом все переменные, кроме той, по которой дифференцируется функция, считаются постоянными. Так при нахождении f x переменная y принимается за постоянную, а при нахождении f y - постоянная x . Пример. Найдем частные производные функции z x y . f x yx y 1 , f y x y ln x . Пример. Найдем частные производные функции трех переменных u xy 2 z 3 . ux y 2 z 3 ; uy 2xyz 3 ; uz 3xy 2 z 2 . Частные производные функции z f ( x, y) характеризуют скорости изменения этой функции в случае, когда одна из переменных фиксируется. Определение. Если у функции z f ( x, y) имеются частные производные, то ее частными дифференциалами называются выражения d x f f xdx и d y f f ydy 30 здесь dx x и dy y . Частные дифференциалы являются дифференциалами функций одной переменной полученных из функции двух переменных z f ( x, y) при фиксированных y или x . Полное приращение и полный дифференциал. При полном приращении функции, в отличие от частных приращений могут изменяться все переменные функции нескольких переменных. Определение. Полным приращением функции z f ( x, y) в точке ( x0 , y 0 ) , соответствующим приращениям x и y аргументов, называется разность f f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 ) . Пример. Пусть f ( x, y) xy , x0 3 , y 0 4 , x y 0,1 (см. пример из предыдущего пункта). Найдем полное приращение функции в точке ( x0 , y 0 ) : f ( x0 x)( y0 y) x0 y0 x0 y0 x0 y y0 x xy x0 y0 x0 y y0 x xy 0,3 0,4 0,01 0,71. Это приращение равно приращению площади прямоугольника со сторонами 3 и 4 при их увеличении на величины, равные 0,1. На рис.4 полное приращение f состоит из площадей двух заштрихованных прямоугольников и площади квадрата со стороной 0,1. Заметим, что f x f y f , хотя значения левой и правой частей неравенства близки между собой. Определение. Если полное приращение функции z f ( x, y) в точке ( x0 , y 0 ) можно записать в виде f Ax By (x, y)x (x, y)y , где A и B – постоянные, а и бесконечно малые при (x, y) (0,0) , то выражение df Ax By называется полным дифференциалом функции в точке ( x0 , y 0 ) . Полный дифференциал называют также главной частью приращения функции. Функция, имеющая полный дифференциал в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке. Теорема 1. Пусть функция z f ( x, y) и ее частные производные f x и f y непрерывны в некоторой окрестности точки ( x0 , y 0 ) . Тогда функция z f ( x, y) дифференцируема в т. ( x0 , y 0 ) и ее полный дифференциал равен сумме частных дифференциалов: df f xdx f ydy . (2) Как и для случая функции одной переменной, под сложной функцией нескольких переменных мы будем понимать композицию из нескольких функций нескольких переменных. Число этих функций и их переменных может быть различным. Для определенности мы ограничимся случаем, когда все функции составляющие сложную функцию зависят от двух переменных. 31 Определение. Сложной функцией (композицией) составленной из функции z f (u, v) , u u( x, y) , v v( x, y) называется функция двух переменных ( x, y ) вида z f (u ( x, y), ( x, y)) . Теорема 2. Пусть функции u u( x, y) и v v( x, y) имеют частные производные по x и y в точке ( x 0 , y0 ) , а функция z f (u, ) и ее частные производные по u и непрерывны в окрестности точки (u 0 , 0 ) , где u0 u ( x 0 , y0 ) , 0 ( x 0 , y0 ) . Тогда сложная функция (4) z f (u ( x, y), ( x, y)) имеет частные производные в точке ( x 0 , y0 ) и они равны соответственно z x f uu x f v x , (5) z y f uu y f v y . Производная по направлению и градиент функции нескольких переменных. Рассмотрим скорость изменения функции трех переменных при переме щении из точки M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) в направлении единичного вектора a 0 , определяемого своими координатами – направляющими косинусами: a0 cos i cos j cos k . Для этого рассмотрим прямую l , проходящую через точку M 0 с направляющим вектором a 0 . Ее параметрические уравнения имеют вид x x0 t cos (3.1) l : y y0 t cos z z t cos 0 Заметим, что поскольку вектор a 0 единичный, то измерение параметра t на величину t означает перемещение вдоль этой прямой на отрезок длины t и, что при t 0 точка на прямой соответствует M 0 . Определение. Производной функции u u( x, y, z ) в точке M 0 по направ лению вектора a 0 называется производная ограничения этой функции на прямую l по t при t 0 Обозначается эта производная через u . В частности, если вектор a 0 a 0 совпадает с одним из базисных векторов i , j или k , это определение дает определение соответствующей частной производной, т.е. u u u u u u , , . i x j y k z u u Если вектор a не единичный, то производная определяется как , где a0 a a a0 - единичный вектор, коллинеарный вектору a . a 32 Получим формулу для вычисления производной u u( x, y, z ) по направ лению вектора a 0 . Для этого подставим x, y, z из (3.1) в u , получим u l u( x0 t cos , y0 t cos , z0 t cos ) , поэтому u u u u ( M 0 ) u l t t 0 cos cos cos M 0 . (3.2) a0 y z x Определение. Вектор с координатами – частными производными функции u f ( x, y, z ) называется градиентом 2 функций, он обозначается так: u u u grad (u) i j k. x y z u Из (3.2) получим другую формулу, выражающую через градиент u : a0 u gradu a0 (3.3) a0 a Для произвольного вектора a , учитывая, что a0 , a u a (3.4) gradu . a a Если u требуется вычислить в некоторой точке M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) , то gradu в a0 (3.3) и (3.4) необходимо также вычислять в этой точке. Теорема. Через любую регулярную точку M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) функции u можно провести касательную плоскость к ее поверхности уровня, проходящей через M 0 , и эта плоскость перпендикулярна gradu ( M 0 ) . Используя то, что градиент является нормальным вектором к этой плоскости, получим ее уравнение u u u (M 0 )( x x0 ) (M 0 )( y y0 ) (M 0 )( z z0 ) 0 . (3.6) x y z Для функции двух переменных gradu(M 0 ) перпендикулярен касательной к линии уровня этого поля и уравнение этой касательной по аналогия с (3.6) можно записать в виде u u (3.7) ( M 0 )( x x0 ) ( M 0 )( y y0 ) 0 . x y Определение. Прямая, перпендикулярная касательной плоскости к поверхности u( x, y, z ) C в точке касания 0 ( x0 , y0 , z 0 ) называется нормалью к этой поверхности. В любой регулярной точке поверхности 0 ( x0 , y0 , z 0 ) нормаль существует и проходит в направлении градиента функции в этой точке. Ее параметрические уравнения имеют вид 33 x x0 u x ( M 0 )t y y 0 u y ( M 0 )t . z z 0 u z ( M 0 )t Лекция №6 Цепное правило и дифференцирование неявных функций. Касательная плоскость к поверхности и нормаль. Теорема 3. Пусть функция z F ( x, y) и ее частные производные Fx и Fy непрерывны в окрестности точки ( x0 , y 0 ) , где F ( x0 , y0 ) 0 и Fy ( x0 , y0 ) 0 . Тогда уравнение F ( x, y) 0 задает в некоторой окрестности точки x0 дифференцируемую функцию y y (x) и в этой окрестности ее производная равна F ( x, y ) y x (6) Fy ( x, y ) Теорема 4. Пусть функция u F ( x, y, z ) и ее частные производные Fx , Fy , Fz непрерывны в окрестности точки ( x0 , y0 , z 0 ) , где F ( x0 , y0 , z 0 ) 0 и Fz( x0 , y0 , z 0 ) 0 , тогда уравнение F ( x, y, z ) 0 . задает в некоторой окрестности точки ( x0 , y 0 ) дифференцируемую функцию z z ( x, y) и в этой окрестности ее частные производные равны Fy ( x, y, z ) F ( x. y.z ) z x x , . z y Fz( x, y, z ) Fz( x. y, z ) Производные и дифференциалы высших порядков. Определение. Частной производной k –го порядка функции z f ( x, y) называется частная производная от одной из ее производных (k 1) порядка.. Это рекуррентное определение дает возможность получить k –ую частную производную функцию путем нахождения последовательно k частных производных от этой функция. Сама функция f ( x, y) считается производной нулевого порядка. Как мы установили ранее, производных первого порядка у функции f ( x, y) две f x и f y . Взяв от этих производных производные по x и y , получим четыре производных второго порядка: 2 f 2 f 2 f 2 f f ( f ) f ( f ) f yy ( f y )y . , , , f ( f ) xy x y yx y x xx x x yx xy y 2 x 2 Взяв от этих производных производные по x и y , получим восемь частных производных третьего порядка и так далее. Производных k –го порядка у функции двух переменных имеется 2k . 34 Определение. Частная производная функции, в которой присутствуют дифференцирования по разным переменным, называется смешанной производной. Смешанными производными второго порядка у функции двух переменных являются f xy и f yx . Теорема о смешанных производных. Пусть функция z f ( x, y) и ее производные f x , f y , f xy , f yx непрерывны в некоторой окрестности точки ( x0 , y 0 ) . Тогда в этой точке ее смешанные производные второго порядка равны между собой: f xy f yx . Следствие. Пусть все частные производные функции z f ( x. y) до (k 1) –го порядка включительно и все ее смешанные производные k –го порядка непрерывны в некоторой окрестности т. M 0 ( x0 , y0 ) . Тогда в этой точке ее смешанные производные k –го порядка отличающиеся только очередностью дифференцирования совпадают. Без доказательства. Это следствие обосновывает следующее обозначение смешанной производной k –го порядка, в которой встречается m дифференцирований по x и (k m) по y : k f . (x) m (y ) k m При выполнении условий следствия, порядок в котором производятся эти дифференцирования не влияет на результат. 4 f Пример. Пусть f ( x, y) x 3 y 3 . Найдем . (x) 2 (y ) 2 2 f 3 f 4 f f 3 2 6 xy ; 18 xy ; 36 xy . 3x 2 y 3 ; (x) 2 (x) 2 y (x) 2 (y ) 2 x При любом другом порядке дифференцирования в котором будут по два дифференцирования по x и по y результат получится тем же. Определение. Функция z f ( x, y) , имеющая все непрерывные частные производные до k –го порядка включительно в окрестности точки M 0 ( x0 , y0 ) , называется k раз дифференцируемой в этой точке. Определение. Пусть функция z f ( x, y) k раз дифференцируема в x0 . Полным дифференциалом этой функции k –го порядка называется полный дифференциал от ее полного дифференциала (k 1) –го порядка, вычисленный в предположении, что dx и dy остаются постоянными. Он обозначается через d k f . Так, например d 2 f d (df ) d ( f xdx f ydy) ( f xdx f ydy)x dx 35 ( f xdx f ydy)y dy f xx (dx) 2 f yx dydx f xy dxdy f yy (dy) 2 2 f 2 f 2 f 2 ( dx ) 2 dxdy (dy) 2 . (1) 2 2 (x) xy (y ) Подобным образом можно получить формулу для полного дифференциала третьего порядка: 3 f 3 f 2 f 3 f 3 2 2 d3 f ( dx ) 3 ( dx ) dy 3 dx ( dy ) (dy) 3 . (2) 3 2 2 3 (x) (x) y x(y ) (y ) Заметим, что коэффициенты при частных производных в формуле для этих полных дифференциалов совпадают с коэффициентами в формуле бинома Ньютона. Запишем формулу для нахождения d k f функции z f ( x, y) : k f k f k! k f k k 1 d f (dx) k (dx) dy (dx) k i (dy) i k k 1 k i i (x) (x) y i!(k i )! (x) (y ) k k k f k f k! k f k 1 k k dx(dy) (dy) (dx) k i (dy i ) (3) k 1 k k i i i 0 i!( k i )! (x) x(y ) (y ) (y ) Эти полные дифференциалы используются в частности для приближенных вычислений значений функции f ( x0 x, y0 y ) . Ранее нами была получена формула для приближенного нахождения этой величины с помощью первого дифференциала: f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 ) df . Основная литература: [1] стр. 305-368 Дополнительная литература: [15] частьII стр. 113-178 Контрольные вопросы: 1. Частные производные. 2. Дифференциал. 3. Дифференцирование сложных функций. 4. Частные производные высших порядков. Лекция №7. Экстремум функции многих переменных. Производные и дифференциалы высших порядков. Определение. Частной производной k –го порядка функции z f ( x, y) называется частная производная от одной из ее производных (k 1) порядка.. Как мы установили ранее, производных первого порядка у функции f ( x, y) две f x и f y . Взяв от этих производных производные по x и y , получим четыре производных второго порядка: 2 f 2 f 2 f 2 f f ( f ) f ( f ) f yy ( f y )y . f xx ( f x ) x , xy x y, yx y x, yx xy y 2 x 2 Взяв от этих производных производные по x и y , получим восемь частных производных третьего порядка и так далее. Производных k –го порядка у функции двух переменных имеется 2k . 36 Определение. Частная производная функции, в которой присутствуют дифференцирования по разным переменным, называется смешанной производной. Смешанными производными второго порядка у функции двух переменных являются f xy и f yx . Теорема о смешанных производных. Пусть функция z f ( x, y) и ее производные f x , f y , f xy , f yx непрерывны в некоторой окрестности точки ( x0 , y 0 ) . Тогда в этой точке ее смешанные производные второго порядка равны между собой: f xy f yx . Определение. Функция z f ( x, y) , имеющая все непрерывные частные производные до k –го порядка включительно в окрестности точки M 0 ( x0 , y0 ) , называется k раз дифференцируемой в этой точке. Определение. Пусть функция z f ( x, y) k раз дифференцируема в x0 . Полным дифференциалом этой функции k –го порядка называется полный дифференциал от ее полного дифференциала (k 1) –го порядка, вычисленный в предположении, что dx и dy остаются постоянными. Он обозначается через d k f . Заметим, что коэффициенты при частных производных в формуле для этих полных дифференциалов совпадают с коэффициентами в формуле бинома Ньютона. Запишем формулу для нахождения d k f функции z f ( x, y) : k f k f k! k f k k 1 d f (dx) k (dx) dy (dx) k i (dy) i k k 1 k i i (x) (x) y i!(k i )! (x) (y ) k k k f k f k! k f k 1 k k dx(dy) (dy) (dx) k i (dy i ) (3) k 1 k k i i i 0 i!( k i )! (x) x(y ) (y ) (y ) Эти полные дифференциалы используются в частности для приближенных вычислений значений функции f ( x0 x, y0 y ) . Ранее нами была получена формула для приближенного нахождения этой величины с помощью первого дифференциала: f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 ) df . Взяв достаточное число полных дифференциалов, можно найти указанное значения с любой наперед заданной точностью с помощью формулы Тейлора, которая в данном случае имеет вид: d2 f d3 f dk f . (4) f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) df 2! 3! k! Условия применимости этой формулы и оценка ее погрешности в рамки нашего курса не входят. Определение. Точка M 0 ( x0 , y0 ) называется точкой максимума функции z f ( x, y) , если у этой точки имеется окрестность U ( M 0 ) такая, что для всех ( x, y ) из этой окрестности выполняется неравенство f ( x. y ) f ( x0 , y0 ) . 37 Если для всех ( x, y ) из окрестности U ( M 0 ) выполняется неравенство f ( x, y ) f ( x0 , y 0 ) , то точка M 0 называется точкой минимума. Значение функции в точке максимума f ( x0 , y0 ) , называется максимумом функции, а ее значение в точке минимума – минимумом. Точки максимума и минимума называются экстремальными точками функции, а максимумы и минимумы называются экстремумами функции. Пусть функция z f ( x, y) определена в некоторой окрестности точки M 0 . Если в M 0 каждая частная производная f x и f y равна нулю или не существует, то M 0 называется критической точкой функции z f ( x, y) . Следующая теорема является аналогом необходимого условия экстремума функции одной переменной. Теорема 1 (необходимое условие экстремума) Если M 0 ( x0 , y0 ) является экстремальной точкой функции z f ( x, y) , то M 0 – критическая точка этой функции. Теорема 2. (Достаточные условия экстремума.) Пусть функция z f ( x, y) трижды дифференцируема в некоторой окрестности своей критической точки M 0 ( x0 , y0 ) . Обозначим f xx ( x0 , y0 ) A , f xy ( x0 , y0 ) B , f yy ( x0 , y0 ) C , D AC B . Тогда: 1) Если D 0 , то точка M 0 экстремальная для функции z f ( x, y) , причем если A 0 (C 0) , то это точка минимума, а если A 0 (C 0) , то точка M 0 , точка максимума. 2) Если D 0 , то в точке M 0 ( x0 , y0 ) экстремума нет. Заметим дополнительно, что при D 0 для определения экстремума требуется дополнительное исследование. Без доказательства. Условные экстремумы. Пусть в области определения функции z f ( x, y) имеется кривая K , определяемая уравнением ( x. y) 0 . Точка M 0 ( x0 , y0 ) K называется точкой условного максимума функции z f ( x, y) , если у этой точки существует такая окрестность U ( x0 , y0 ) , что для всех точек ( x, y ) из пересечения этой окрестности с K выполняется неравенство f ( x, y ) f ( x0 , y0 ) . В этой же ситуации точка условного минимума определяется неравенством f ( x, y ) f ( x0 , y0 ) . Точки условных максимумов и минимумов называются точками условных экстремумов, а значения функции z f ( x, y) в этих точках называются условными экстремумами (условными максимумами или минимумами). 38 Так, если функция z f ( x, y) определяет высоту точек местности над уровнем моря, то максимумы этой функции соответствуют вершинам гор. Если на местности имеется тропинка K , то условным максимумам функции z f ( x, y) на K соответствуют точки на тропинке с наибольшей высотой над уровнем моря. Если кривая K задается с помощью графика явной функции y g (x) , то задача нахождения условных экстремумов функции z f ( x, y) сводится в задаче нахождения экстремумов функции одной переменной z f ( x, g ( x)) . Пример. Найдем экстремум функции z x 2 y 2 при условии, что x y 1 0 . Запишем уравнение прямой в явном виде: y 1 x и подставим это выражение в функцию, получим z x 2 (1 x) 2 , z x 2 1 2 x x 2 , z 2 x 2 2 x 1 . Найдем экстремумы этой функции одной переменной. z 4 x 2 ; 4 x 2 0 x0 0,5, Поскольку z 3 0 , то это точка минимума. Итак, функция z x 2 y 2 достигает в точке с координатами x0 0,5, y0 1 x0 0,5 условного минимума и он равен z min 0,52 0,52 0,5 . Основная литература: [1] стр. 305-368 Дополнительная литература: [15] частьII стр. 113-178 Контрольные вопросы: 1. Дифференцирование сложных функций. 2. Дифференцирование неявных функций. 3. Частные производные высших порядков. 4. Формула Тейлора для функции многих переменных 5. Необходимое условие экстремума. Лекция №8 Лекция №8. Метод множителей Лагранжа. Глобальный экстремум. Условным экстремумом функции f(x, y) называется ее максимум или минимум при условии ( х, у) 0 (уравнение связи). Для нахождения условного экстремума используем функцию Лагранжа F(x,y)= f(x, y)+ ( х, у) 0 , где неопределенная постоянная и необходимые условия приводят к системе из трех уравнений с тремя неизвестными х, у, F f 0 x x x F f 0 y y y ( х, у ) 0 . Далее из достаточных условий находим условный экстремум. Пример. Найти точки условного экстремума f(x,y)=xy при выполнении уравнения связи х-у=0 Решение: Функция Лагранжа имеет вид: F(x,y)=xy + (х-у) 39 F f у 0 x x x F f х 0 y y y х-у=0 Решая систему получим х=0, у=0, 0 Чтобы выяснить имеется ли в точке (0,0) условный экстремум исследуем второй дифференциал. d 2 F ( x, y) 2dxdy при условии dx-dy=0, получающийся дифференцированием уравнения связи х-у=0. Имеем d 2 F ( x, y) x y0 2dxdydxdy 2dx 2 - положительно определенная квадратичная форма. В этом конечно, легко убедиться и непосредственно; из уравнения связи у=х и f(x,y)= x2, в точке х=0 имеет минимум. 40 Лекция №9-10. Двойной интеграл и его свойства. Геометрический и физический смысл двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла в декартовых и полярных координатах. 41 Лекция №9-10. Двойные интегралы. Сведение двойного интеграла к повторному. Замена переменных. Переход к полярной системе координат. Определение. Область D на плоскости Oxy называется правильной по оси Oy , если она ограничена линиями: прямыми x a и x b , где a b и графиками непрерывных на отрезке [a, b] функции y g1 ( x) и y g 2 ( x) , где g1 ( x) g 2 ( x) на [a, b] (см. рис.1). Площадь такой области, которую мы будем обозначать через S ( D ) , b находится с помощью определенного интеграла: S ( D ) ( g 2 ( x ) g1( x ))dx . a Рис.1 Рис.2 Аналогично, область на плоскости Oxy ограниченную прямыми y c, y d , где c d и графиками непрерывных на [c, d ] функции x h1 ( y ) и x h2 ( y ) , где h1 ( y ) h2 ( y ) на [c, d ] будем называть правильной по оси Ox облаd стью. (см. рис2.). Ее площадь равна S ( D ) ( h2 ( y ) h1( y ))dy . c Определение. Разбиением области D на n областей (элементарных площадок) Di называется представление D в виде объединения n областей n D Di , где Di и D j при i j не имеют общих внутренних точек. В каждой i 1 площадке Di выбирается произвольная точка M i ( xi , yi ) . Такое разбиение будем обозначать через T . Разбиение области D проще всего осуществить с помощью прямых, параллельных координатным осям Ox и Oy (см. рис.3). Рис. 3. Рис. 4 42 Определение. Диаметром области D (обозначение d ( D ) ) называется наибольшее расстояние между двумя точками этой области: d ( D ) max M1M 2 . M 1 , M 2 D В частности для круга это определение диаметра дает его традиционное значение, диаметр прямоугольника равен длине его диагонали. Пусть в области D Oxy определена непрерывная функция Z f ( x, y ) . Определение. Интегральной суммой для функции z f ( x, y ) , построенной по разбиению T области D , называется число n f T f xi , yi S Di . i 1 Выясним геометрический смысл f T в случае, когда f ( x, y ) 0 в области D . Каждое слагаемое f ( xi , yi ) S ( Di ) интегральной суммы равно объему цилиндра с основанием Di и высотой f ( xi , yi ) , поэтому f T совпадает с объемом ступенчатого тела составленного из n таких цилиндров. (см. рис.4). Пространственное тело ограниченное плоскостью Oxy , цилиндрической поверхностью, проходящей через границу области D с образующей параллельной Oz и графиком функции Z f ( x, y ) будем называть цилиндроидом (см. рис. 5). Рис..5 Рис.6 Определение. Предел интегральных сумм функции Z f ( x, y ) , построенных по разбиениям T области D , у которых наибольший диаметр d ( Di ) стремится к нулю, называется двойным интегралом от функции Z f ( x, y ) по области D . Он обозначается через f ( x , y )ds или. f ( x , y )dxdy f T . f ( x , y )dxdy max dlim ( Di ) 0 D D D Теорема. Двойной интеграл по области D от непрерывной функции Z f ( x, y) .- f ( x, y )dxdy существует и его значение не зависит от выбоD ра разбиений T области D . Свойства двойных интегралов 43 1. Двойной интеграл от функции f x, y 1 по области D равен площади этой области, т.е. dxdy S( D ). D 2. Если A и B числа, а Z f ( x, y ) и Z g ( x, y) непрерывные функции, определенные вD, то Af ( x, y ) Bg ( x, y )dxdy A f ( x, y )dxdy B g( x, y )dxdy , D D D т.е. двойной интеграл обладает свойством линейности. 3. Если непрерывные функции Z f ( x, y ) и Z g ( x, y) таковы, что f ( x, y) g ( x, y) в D то f ( x , y )dxdy g( x , y )dxdy . D D 4. Пусть в области D непрерывная функция z f ( x, y) такова, что m f ( x, y) M для некоторых фиксированных чисел m и M , тогда mS ( D) f ( x, y)dxdy MS ( D) . D 5. Теорема о среднем. Пусть функция z f ( x, y ) непрерывна в области D , тогда в этой области найдется такая точка M 0 ( x 0 , y 0 ) D , что f x, y dxdy f ( x0 , y 0 ) S ( D) . D Это значение f ( x0 , y 0 ) называется средним значением функции в области D . 6. Оценка модуля двойного интеграла. Если функция z f ( x, y) не- прерывна в области D , то f ( x, y)dxdy f ( x, y) dxdy . D D 7. Если область D разбита на две области D D1 D2 , где D1 и D 2 не имеют общих внутренних точек, а функция z f ( x, y ) непрерывна в D , то f ( x, y )dxdy f ( x, y )dxdy f ( x, y )dxdy . D D1 D2 Вычисление двойных интегралов с помощью двукратных Рассмотрим теперь вопрос о практическом вычислении двойного интеграла. Определение. Двукратным интегралом по правильной вдоль Oy области D , ограниченной линиями x a, x b , y g1 ( x) , y g 2 ( x) от функции z f ( x, y ) называется определенный интеграл вида g2 ( x ) f ( D ) f ( x, y )dy dx . a g1 ( x ) b Здесь при нахождении внутреннего интеграла g2 ( x ) f ( x, y )dy перемен- g1 ( x ) ная x считается постоянной (параметром). Т.е. этот интеграл является функцией переменной x и f ( D ) есть число. 44 Если область D правильна вдоль Ox и ограничена линиями, y c, y d , x h1 ( y ), x h2 ( y ) то двукратный интеграл по D записывается в d h2 ( x ) виде f ( D ) f ( x , y )dx dy . c h1 ( x ) Скобки в записи f ( D ) часто опускают. Теорема. Если функция z f ( x, y ) непрерывна в правильной области D то двукратный интеграл от нее по D существует и совпадает с соответствующим двойным интегралом, т.е. b g2 ( x ) f ( x , y )dxdy a dxg1( x ) f ( x , y )dy или D D d h (x) f ( x , y )dxdy c dy h 2( x ) f ( x , y )dx . 1 Если область интегрирования D не является правильной, то для нахождения f ( x , y )dxdy ее предварительно разбивают на правильные части D i и D вычисляют двукратные интегралы по всем правильным f ( x , y )dxdy получается как сумма найденных интегралов . областям, D Переход к полярным координатам в двойном интеграле Напомним, что полярными координатами точки M ( x, y ) на плоскости Oxy являются полярный угол OM, Ox и полярный радиус OM , при этом возможные значения переменной удовлетворяют неравенству 0 2 (или ), а 0 . Декартовы координаты ( x, y ) выражаются через полярные x cos , ( , ) по формулам . y sin . Эти же формулы и определяют замену переменных для некоторых областей D O и D Oxy . Пример. Найдем якобиан этого перехода к полярным координатам. ( , ) ( cos ) ( cos ) ( sin ) ( sin ) sin cos cos s sin sin 2 cos 2 (sin 2 cos 2 ) . При этом ( , ) . К полярным координатам удобно переходить в том случае, когда область D есть круг или кольцо с центром в начале координат или сектор такого круга или кольца, поскольку в этом случае область D является прямоугольником в плоскости O . (см. рис. 9). В этом случае расстановка пределов в двукратном интеграле происходит достаточно просто. Геометрические приложения двойных интегралов 45 Вычисление площадей. Полагая в двойном интеграле подинтегральную функцию f x, y тождественно равной 1, мы получим площадь S области D на плоскости XOY : S dxdy, S dd . D D Если D x, y : a x b, o y f x криволинейная трапеция, b f x b a o a то из (1) получим: S dxdy ax dy f x ax . D Если D - криволинейный сектор на плоскости XOY , ограниченный лучами a, и кривой , то получим площадь криволинейного сек o 1 тора по формуле: S dxdy dd d d 2 d . 2 D D Вычисление объемов. Объем V тела V x, y, z : x, y D, o z f x, y , где f x, y непрерывная функция в области D , определяется по формуле: V f x , y dxdy . D Вычисление площади поверхности. Если гладкая поверхность задана уравнением z f x, y и проектируется в область D плоскости XOY , то площадь S поверхности находится по формуле: 2 2 z z S 1 dxdy x y D 2 2 x x Если x f y, z , то S 1 dydz . D y z D 2 2 y y dxdz . x z Если y f x, z , то S 1 Физические приложения двойных интегралов Рассмотрим на плоскости XOY материальную пластинку, т.е. некоторую область D , по которой распределена масса с плотностью x, y . Разобьем D каким-либо образом на части Di и в каждой из этих частей выберем некоторую точку M x i , y i . Массу каждого такого элемента Di i 1,2,...,n можно считать равной приближению x i , y i Di , а масса всей пластинки приближенно равна x i , y i Di , где Di - площадь Di . n сумме i 1 Масса пластинки. Для получения точного значения массы пластинки нужно перейти в этой сумме к пределу, неограниченно измельчая разбиение области D . При этом сумма (6) при max i 0 переходит в двойной интеграл n m im xi , yi Di x , y dxdy. 0 i 1 D Координаты центра тяжести пластинки. Пусть / x, y плотность пластинки в точке x, y . Если каждая xi , yi Di -масса сосредоточена в точке 46 xi , yi , то координаты центра тяжести пластинки определяются формулами x0 x / x , y dxdy D y0 , x , y dxdy D y x, y dxdy D x, y dxdy D Моменты инерции пластинки. Моменты инерции точечных масс относительно n оси OY равен xi2xi , yi Di. i 1 Переходя к пределу при max i 0, получим для момента инерции пластинки относительно оси OY следующую формулу: J y x 2 / x , y dxdy. D Аналогично момент инерции относительно оси OX равен Jx y 2 x, y dxdy. D Точно также, можно получить момент инерции пластинки относительно начала координат: J0 J x J y x y 2 x, y dxdy. 2 D Световой поток, падающий на пластинку. Пусть пластинка, лежащая в плоскости XOY, освещена точечным источником света, находящимся в точке с координатами A0,0, 0 . Тогда F- световой поток определяется по формуле dxdy где J z 0 -сила света. F J z0 , 3 x y2 z2 2 Поток жидкости через поперечное сечение канала определяется по формуле x , y x , y dxdy, где x, y скорость жидкости в каждой точке рассматD 2 D риваемого сечения, x , y плотность жидкости. Статические моменты пластинки относительно координатных осей OX и OY определяются по формулам x y x, y dxdy , y x x, y dxdy. D D Основная литература: [6] стр. стр. 179-189. Дополнительная литература: [13] частьII стр. 11-17 Контрольные вопросы: 1. Что называется двойным интегралом ? 2. Как определяется объем цилиндрического тела? 3. Как определяется площадь правильной области? 4. Как вычисляется двойной интеграл в полярных координатах ? Лекция №11. Тройные интегралы. Переход к цилиндрической и сферической системам координат. 47 Определение. Тройным интегралом от функции t f ( x, y, z ) по области H называется предел интегральных сумм по разбиениям Т этой области наибольший диаметр d (Hi) которых стремится к нулю т.е. f (T ) . f ( x, y, z )dxdydz maxlim d ( Hi )0 H Теорема. Тройной интеграл по области H от непрерывной функции t f ( x, y, z ) существует, и его значение не зависит от выбора разбиений области H . Свойства тройных интегралов 1. Тройной интеграл от 1 по области H равен объему этой области т.е. dxdydz V (H ). H 2. Если A и B числа а t f1 ( x, y, z ) и t f 2 ( x, y, z ) непрерывные в H ( Af1 ( x, y, z ) Bf 2 ( x, y, z ))dxdydz A f1 ( x, y, z )dxdydz функции то H H B f 2 ( x, y, z )dxdydz. H 3. Если непрерывные функции t f1 ( x, y, z ) и t f 2 ( x, y, z ) таковы что f1 ( x, y, z ) f 2 ( x, y, z ) то f1 ( x, y, z )dxdydz f 2 ( x, y, z )dxdydz . H H 4. Если непрерывная в H функция t f ( x, y, z ) удовлетворяет в H неравенству m f ( x, y, z ) M , то mV ( H ) f ( x, y, z )dxdydz MV ( H ). H 5. Теорема о среднем. Пусть функция t f ( x, y, z ) непрерывна в области H тогда в этой области найдется такая точка M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) H , что f ( x, y, z )dxdydz f ( x0 , y0 , z0 ) V ( H ). H Вычисление тройных интегралов Пусть область H ограниченна поверхностями x a, x b, y g1 ( x), y g 2 ( x), z h1 ( x, y ), z h2 ( xy ) Теорема. Если функция t f ( x, y, z ) непрерывна в правильной области H то трехкратный интеграл по этой области существует и совпадает с соответствующим тройным интегралом т.е. b g2 ( x ) h2 ( x , y ) f ( x, y, z )dxdydz a dxg1 ( x ) dyh1 ( x , y ) f ( x, y, z )dz. H Переход к сферическим координатам в тройном интеграле Пусть M ( x, y, z ) точка находится в пространстве Oxyz и M ( x, y,0) ее проекция на плоскость Oxy . Полярный угол точки M в плоскости Oxy называется долготой точки M (0 2 или - ). 48 Угол между векторами OM и OM называется широтой точки M , а длина отрезка OM называется сферическим радиусом r 2 2 точки M . Числа ( , , r ) называются сферическими координатами точки (см. рис. 12) и справедливо: Рис. 1 f ( x, y, z )dxdydz Рис. 2 H f (r cos cos , r sin cos , r sin )r 2 cosdddr . H Переход к сферическим координатам особенно удобно производить в том случае когда область H шар с центром в начале координат и радиусом a , поскольку этом случае область H есть параллелепипед с границами 0, 2, , , r 0, r a. 2 2 Переход к цилиндрическим координатам в тройном интеграле Пусть точка M ( x, y, z ) находится в пространстве Oxy и M ( x, y,0) ее проекция на плоскость Oxy . Пусть ( , ) полярные координаты точки M в этой плоскости тогда числа ( , , z ) называются цилиндрическими координатами точки . Все возможные значения этих переменных удовлетворяют неравенствам 0 2 (или ); 0, z R, которые получаются из ограничений, накладываемых на полярные координаты. Запишем формулы, переход к цилиндрическим координатам и якобиан x cos ; этой замены переменных y sin ; z z. 49 sin cos 0 J (, , z ) cos sin 0 0 0 1 f ( x, y, z )dxdydz f ( cos , sin , z ) dddz . H H Пусть функция f x, y, z определена в ограниченной замкнутой пространственной области (тела) V . Объем тела. Объем V области V в пространстве XYZ выражается формулой V dxdydz , V v dddz , V v 2 sin ddd . v Если тело V x, y, z : x, y D,0 z f x, y , где f x, y - непрерывная функция в области D, то f x, y V dxdy dz. d 0 Физические приложения тройных интегралов Пусть V - материальное тело с плотностью x, y , z . Масса тела. Если плотность тела переменная, т.е. x, y, z ,то масса тела выm числяется по формуле x, y, z dxdydz. V (17) Координаты центра тяжести тела определяются по формулам 1 1 1 x0 x , y , z x dxdydz , y 0 x , y , z y dxdydz , z 0 x , y , z z dxdydz . mV mV mV Статические моменты тела относительно координатных плоскостей XOY,YOZ,XOZ –по формулам M xy x, y, z z dxdydz , M xy v x, y, z x dxdydz , M xz x, y, z y dxdydz . v V Моменты инерции тела: относительно координатных плоскостей YOZ, XOZ, XOY: J yz x 2 x, y, z dxdydz , J zx y 2 x, y, z dxdydz , V V J xy z 2 x, y, z dxdydz ; V относительно осей координат OX,OY,OZ: J x J zx J xy , J y J xy J yz , J z J yz J zx ; относительно начала координат: J 0 J yz J zx J xy x 2 y 2 z 2 x, y, z dzdydz V 50 Сила притяжения F Fx ; Fy ; Fz материальной точки M 0 X 0 ,Y0 , Z 0 массы m телом V , где Fx m x , y , z V Fy m x , y , z V y y0 r3 x x0 r 3 dxdydz , dxdydz , Fz m x , y , z V z z0 r3 dxdydz , r x x0 2 y y0 2 z z0 2 , гравитационная постоянная. Основная литература: [1] стр. 167-170, 176-188 Дополнительная литература: [15] частьII стр. 17-48 Контрольные вопросы: 1. Определение тройного интеграла. 2. Вычисление тройного интеграла. 3. Переход к сферической системе координат в тройном интеграле. 4. Приложения тройных интегралов. 2.3 Планы практических занятий Практическое занятие № 1. Определители 2-го и 3-го порядка. Способы их вычисления. Системы линейных алгебраических уравнений Задания: АЗ-1.1: [10], часть 1, №1-3, АЗ-1.2: [14], часть 1, №1-2, ДЗ-1.3: [10], часть 1 №1-2. Методические рекомендации. Для решения данных задач АЗ-1.1 можно использовать формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков. А также использовать методы вычисления определителей – приведение к треугольному виду и разложение определителя по элементам некоторого ряда. При решении задач АЗ-1.2 и АЗ-1.3 рекомендуется воспользоваться правилами проведения операции над матрицами и формулой вычисления обратной матрицы к заданной. Прежде чем решать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) нужно исследовать ее на совместность. Если для системы m n и det 0 то можно использовать формулы Крамера. Основная литература: [10] стр. 5-15, [10] стр. 10-21. Дополнительная литература: [11]. Контрольные вопросы: 1. Определитель второго порядка, n-го порядка? 2. Основные свойства определителей. 3. В чем отличие матрицы от определителей? 4. Напишите формулу обратной матрицы 5. Формулы правила Крамера. 51 Практическое занятие № 2. Векторная алгебра. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов Задания. АЗ-2.1: [10], часть 1, №1-8, АЗ-2.2 [11] ,часть 1, №1-7. ДЗ-2.3 [10], №1-7. Методические рекомендации. При решении задач рекомендуется использовать правила вычисления координат векторов их длин, а также линейные операции над векторами. Для вычисления скалярного произведения использовать его определение или формулу вычисления через координаты перемножаемых векторов. При нахождении векторного произведения необходимо учитывать условия, которым должны удовлетворять данные вектор и формулу вычисления векторного произведения через их координаты. При вычислении смешанного произведения трех векторов необходимо использовать правила вычисление определителя третьего порядка. Основная литература: [10] стр.17-25, [10] стр. 23-29. Дополнительная литература: [11]. Контрольные вопросы: 1. Привести формулу вычисления угла между двумя векторами через скалярное произведение этих векторов. 2. Какие свойства скалярного и векторного произведения используются при их вычислении? 3. Как вычисляются направляющие косинусы заданного вектора? 4. Какие условия должны выполняться для коллинеарности векторов? 5. Физический смысл скалярного и векторного произведений. Практическое занятие №3. Плоскость и прямая в пространстве. Поверхности второго порядка Задания. АЗ: [10] , часть 1, №. 1-4, АЗ-3.2: [14], №. 1-3. ДЗ: [11] №2.142, 2.144, 2.146, 2.148, 2.154, 2.156, 2.199, 2.181. Методические рекомендации. Уравнение плоскости в пространстве составляется в зависимости от способа ее задания. При составлении уравнения прямой в пространстве учитываются координаты направляющего вектора. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве определяется расположением их направляющих и нормальных векторов. А углы между прямыми и плоскостями определяются через углы между этими векторами. При решении задач использовать классификацию поверхностей второго порядка, метод сечений для определения типа поверхности. Основная литература: [10] стр. 27-35, [10] стр. 31-41. Дополнительная литература: [11]. Контрольные вопросы: 1. Как определить угол между двумя плоскостями? 52 2. Привести условие параллельности и условие перпендикулярности плоскостей. 3. Как определить угол между прямой и плоскостью? 4. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Практическое занятие №4. Множества на плоскости и в пространстве. Нахождение предела. Исследование на непрерывность функции многих переменных. Задание: АЗ-10.1 [11] № 1,2,5; АЗ-10.2[11] № 1. ДЗ-10.1 [11] №3,4. Методические рекомендации: При определении области определения функции можно использовать свойства функции. При нахождении предела функции, частных производных и частного дифференциала воспользуйтесь соответствующими определениями. Основная литература: [11] стр 232-237 Дополнительная литература: [13,15] Контрольные вопросы: 1. Дать определение функции двух переменных. 2. Определение предела функции двух переменных. 3. Дать определение функции двух переменных непрерывной в точке. 4. Дать определение частных производных. 5. Привести определение частного и полного дифференциала функции двух переменных. Практическое занятие №5. Дифференцируемость функции многих переменных Производная по направлению. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Задание: АЗ-10.2 [11] №3,6,7,8. ДЗ-10.2 [11] №2,4. Методические рекомендации: Для дифференцирования сложных и неявных функции пользоваться известными формулами. При исследовании функции двух переменных на экстремум можно использовать соответствующий алгоритм. Основная литература: [11] стр 237-244 Дополнительная литература: [13,15] Контрольные вопросы: 1. Привести формулы для вычисления производной по направлению и градиента функции двух переменных. 2. Дать определение частных производных высших порядков. 3. Дать определение дифференциалов высших порядков функции двух переменных. 4. Привести формулы дифференцирования сложных и неявных функции двух переменных. 5. Формула Тейлора. 53 Практика 6. Цепное правило и дифференцирование неявных функций. Нахождение касательной плоскости и нормали к поверхности. 1) Если уравнение F(x, y)=0 задает некоторую функцию у(х) в неявном виде ,то F / ( x, у ) dy . x/ dx F y ( x, у ) 2)Если уравнение F(x, y, z)=0 задает функцию двух переменных z(x,у) в неявном виде, то F/ z x/ , x Fz Fy/ z / y Fz Если поверхность задана уравнением z=f(x, y), то 54 Если же поверхность задана в неявном виде уравнением F(x, y, z )=0, то формулы касательной плоскости и нормали примут вид: Практическое занятие №7. Дифференцирование сложных и неявных функции. Экстремум функции двух переменных Задание: АЗ-10.3 [11] №3,6,7,8. ДЗ-10.3 [11] №2,4. 55 Методические рекомендации: При исследовании функции двух переменных на экстремум можно использовать соответствующий алгоритм. Основная литература: [11] стр 244-249 Дополнительная литература: [13,15] Контрольные вопросы: 1. Привести формулы для вычисления производной по направлению и градиента функции двух переменных. 2. Дать определение частных производных высших порядков. 3. Дать определение дифференциалов высших порядков функции двух переменных. 4. Привести формулы дифференцирования сложных и неявных функции двух переменных. 5. Формула Тейлора. Практика 7. Нахождение экстремумов функции многих переменных. Решение задач по МНК. Градиентный метод 56 57 58 Пример. Найдем экстремум функции z x 2 y 2 при условии, что x y 1 0 . Запишем уравнение прямой в явном виде: y 1 x и подставим это выражение в функцию, получим z x 2 (1 x) 2 , z x 2 1 2 x x 2 , z 2 x 2 2 x 1 . Найдем экстремумы этой функции одной переменной. z 4 x 2 ; 4 x 2 0 x0 0,5, Поскольку z 4 0 , то это точка минимума. Итак, функция z x 2 y 2 достигает в точке с координатами x0 0,5, y0 1 x0 0,5 условного минимума и он равен z min 0,52 0,52 0,5 . 59 Метод наименьших квадратов. Пусть мы хотим установить зависимость между двумя величинами х и у ( например , температурой и удлинением прямолинейного металлического стержня). Производим соответствующие измерения и результаты сопоставляем в таблице: 60 х3 хn х2 х … х1 yn y3 y2 y1 у … Будем рассматривать х и у как прямоугольные координаты точек на плоскости. Предположим, что точки с соответствующими координатами, взятыми из нашей таблицы, почти лежат на некоторой прямой линии. Естественно в этом случае считать, что между х и у существует приближенная линейная зависимость , т.е. что у есть линейная функция от х, выражающаяся формулой у ах b , (1) где а, b некоторые постоянные коэффициенты, подлежащие определению. Формула (1) может быть представах b у 0 (2). лена в таком виде Так как точки (х,у) только приблизительно лежат на нашей прямой, то формулы (1) и (2) приближенные. Следовательно, подставляя в (2) вместо х и у их значения х1,у1; …хn,yn, взятые из предыдущей таблицы, мы получим равенства: ах1 b у1 1 ах2 b у2 2 (3) ………….. ахn b у n n где (4) 1, 2 ,... n - погрешности. Требуется подобрать коэффициенты а и в таким образом, чтобы эти погрешности были по возможности малыми по абсолютной величине, потребуем, чтобы U= 12 22 ... n2 (5) была наименьшей. Если эта минимальная сумма квадратов окажется малой, то тогда и сами погрешности будут малыми по абсолютной величине. Заменяя в (5) числа (4) их значениями из (3), получим такую величину: U= ( ах1 b у1 ) 2 ( ах2 b у 2 ) 2 +…+( ахn b у n ) 2 (6) Итак U= U(х, у), подберем коэффициенты а и b так, чтобы функция U получила возможно меньшее значение. Для этого необходимо, чтобы выполнялись условия U U 0, 0. a b Беря эти частные производные и для удобства выкладок снабжая их коэффициентом ½ будем иметь 1 2 1 2 U ( ах1 b у1 )х1 ( ах2 b у2 ) х2 ... ( ахn b у n ) хn , a U ( ах1 b у1 ) ( ах2 b у2 ) ... ( ахn b у n ) . b Отсюда приравнивая эти частные производные нулю, получим линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными а и b Производя обычные алгебраические преобразования, представим эту систему в более простом виде: а( х12 х22 ...хn2 ) b( х1 ...хn ) x1 y1 ... xn yn а( х1 ... хn ) bn y1 .... yn или, введя сокращенные обозначения, имеем n n n i 1 i 1 i 1 а xi2 b xi xi yi 61 n n i 1 i 1 a xi bn y i Это окончательный вид так называемой нормальной системы метода наименьших квадратов. Из этой системы находим а и b, а затем подставляем их в нашу эмпирическую формулу у ах b . Пример. Пусть результаты измерений величин х и у и итоги обработки занесены в следующую таблицу x i2 i i xi yi xiyi 1 -2 0.5 4 -1 -0.175 2 0 1 0 0 0.175 3 1 1.5 1 1.5 0.1 4 2 2 4 4 0.025 5 4 3 16 12 -0.125 5 8 25 16.5 0 Положим у ах b Нормальная система имеет вид 25 а 5b 16.5 5 a 5b 8 Решая эти уравнения получим a 0.425, b 1.175 , Отсюда у=0.425х+1.175. В последнем столбце даны соответствующие погрешности. Пример (самостоятельно) Результаты измерения величин х и у даются следующей таблицей: х 10 20 30 40 50 60 у 150 100 40 0 -60 -100 Предполагая, что между х и у существует линейная зависимость у ах b методом наименьших квадратов определить коэффициенты а и в. Рябушко 4 стр 249-251 Метод наименьших квадратов. 62 Градиентный метод z 2 x 2 x 4 y 6 y ; найти экстремум функции 0,001 ; h=0,15; 2 2 ( xk 1 ; y k 1 ) ( xk ; y k ) h * g ( xk ; y k ) g ( x, y) ( z ; z ) / x k x y 0 0,000 0,000 1 0,300 0,900 2 0,420 0,720 3 0,468 0,756 4 0,487 0,749 5 0,495 0,750 6 0,498 0,750 7 0,499 0,750 8 0,500 0,750 z x/ 2,000 0,800 0,320 0,128 0,051 0,020 0,008 0,003 0,001 z y/ -6,000 1,200 -0,240 0,048 -0,010 0,002 0,000 0,000 0,000 63 / y max min Z(0,5; 0,75)=-2,75 функция минимума. Практика 8. Метод множителей Лагранжа. Глобальный экстремум Условным экстремумом функции f(x, y) называется ее максимум или минимум при условии ( х, у) 0 (уравнение связи). Для нахождения условного экстремума используем функцию Лагранжа F(x,y)= f(x, y)+ ( х, у) 0 , где неопределенная постоянная и необходимые условия приводят к системе из трех уравнений с тремя неизвестными х, у, F f 0 x x x F f 0 y y y ( х, у ) 0 . Далее из достаточных условий находим условный экстремум. Пример. Найти точки условного экстремума f(x,y)=xy при выполнении уравнения связи х-у=0 Решение: Функция Лагранжа имеет вид: F(x,y)=xy + (х-у) F f у 0 x x x F f х 0 y y y х-у=0 Решая систему получим х=0, у=0, 0 Чтобы выяснить имеется ли в точке (0,0) условный экстремум исследуем второй дифференциал. d 2 F ( x, y) 2dxdy при условии dx-dy=0, получающийся дифференцированием уравнения связи х-у=0. 64 Имеем d 2 F ( x, y) x y0 2dxdydxdy 2dx 2 - положительно определенная квадратичная форма. В этом конечно, легко убедиться и непосредственно; из уравнения связи у=х и f(x,y)= x2, в точке х=0 имеет минимум. Практика 9-10. Вычисление двойных интегралов в декартовых и полярных координатах. Нахождение площадей,обьемов. Формула Остроградского –Грина. 65 Или можно круг х2+у2 9 ствами 66 67 68 Практика11. Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах. Нахождение объемов, моментов и центров масс. Вычисление интегралов в цилиндрических и сферических координатах. 69 70 71 72 Рис 229 рис 230 73 74 Рис 231 рис 232 75 76 2.4 Планы занятий в рамках самостоятельной работы обучающихся под руководством преподавателя (СРОП) СРОП выполняет две функции – консультативную и контролирующую. Таблица 7 № Задания 1 Вычисление определителей высших порядков. Форма проведения Тренинг Контроль 2 Вычисления ранга матрицы. Тренинг Контроль 3 Системы линейных од- Тренинг нородных алгебраических уравнений 4 1) Линейные операции над векторами. Проекции вектора на ось. Ортогональность и коллинеарность векторов; 2) Разложение вектора по заданному базису Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное и смешанное произведение векторов и их приложения Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. 5 6 7 Тренинг Тренинг Контроль Тренинг Контроль Построение поверхно- Тренинг стей второго порядка. Методические рекомендации Рекомен. литература Необходимо понизить порядок определителя обнуляя элементы строки или столбца. При вычислении ранга можно применить метод нулей и единиц. Рассмотреть случай когда ранг матрицы системы меньше числа неизвестных (т.е. r<n). Решить задачи 1)Использование правил треугольника и параллелограмма, формулы скалярного произведения векторов. 2) Получить систему линейных уравнений относительно координат вектора и решить ее Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное и смешенное произведение векторов и их приложения Осн.:[10] стр.40-43, Рассматривается взаимное расположение между направляющими векторами прямых и нормальными векторами плоскостей. Параметры входящие в канонические уравнения позволяют построить кривые и поверхности второго порядка. Осн.:[10] стр.57-65, доп.:[11] стр.150-152. доп.:[11] стр.161-162 Осн.:[10] стр.44-46, доп.:[11] стр.155-156 осн.:[10] стр.48-50, [12]стр.63-68; [12] стр.68-76 Осн.:[10] cтр.44-56 Осн.:[10] стр. 26-30, 68-73 2.5 План занятий в рамках самостоятельной работы обучающихся СРО СРО выполняет две функции– самостоятельная работа студентов для закрепления теоретических материалов лекции, практических занятии и подготовка для изучения прикладных и специальных курсов. Проводится консультация и отработка по пройденным материалам. Таблица 8 77 № Задания 1 Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними. 2 Обратные матрицы 3 Методы решения систем линейных алгебраических уравнений Векторы. Линейные операции над векторами 4 5 6 7 9 Скалярное произведение векторов. И его приложения. Векторное и смешанное произведения векторов и их приложения Прямая на плоскости. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость Поверхности второго порядка Предел функций ФНП. 10 Непрерывность функций ФНП 11 Частные производные функции. Полный дифференциал 12 Экстремум ФНП Методические рекомендации Для решения данных задач можно использовать формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков. А также использовать методы вычисления определителей Обратные матрицы Использовать алгоритмы метода Крамера, матричного метода и Гаусса. Рекомен. литература [10], часть 1, ИДЗ-1.1 (1,2); ИДЗ1.2 (1,4) (1,2); ИДЗ1.2 (1,4) При решении задач рекомендуется использовать правила вычисления координат векторов их длин, проекции вектора на ось а также линейные операции над векторами Скалярное произведение векторов. И его приложения. Векторное и смешанное произведения векторов и их приложения [10], часть 1, ИДЗ- 2 .1 Для прямой на плоскости использовать различные виды уравнений прямой. Уравнение плоскости в пространстве составляется в зависимости от способа ее задания Вид поверхностей второго порядка определяет их каноническое уравнение При нахождении предела функции используются методы непосредственного вычисления и устранения неопределенностей путем преобразования данного выражения Непрерывность функции в точке устанавливается согласно определению. Для анализа возможных точек разрыва вычисляются односторонние пределы При нахождении производной функции необходимо применять правила дифференцирования и таблицу производных [10], часть 1, ИДЗ-3.2 (1) ИДЗ-3.1 (1) ИДЗ-4.2 (1). [10], часть 1, ИДЗ-10.1 Для полного исследования поведения функции необходимо определить все характерные точки [10], часть 2, ИДЗ-10.2 (4-5) 78 (2); ИДЗ2.2 (1,2,3) [10], часть 2, ИДЗ10.1(2-6) 2.6 Тестовые задания для самоконтроля с указанием ключей правильных ответов 1. Определитель второго порядка a1 a2 b1 b2 равен: A) a1b2 a2b1 ; B) a1a2 b1b2 ; C) a2b1 a2b2 ; D) a1b2 a2b2 ; E) a1b2 a1b1 . 2. Если к элементам какой-либо строки прибавить соответствующие элементы другой строки умноженные на число k , то определитель A) не изменится; B) изменит знак; C) не изменит D) увеличится в kраз; E) уменьшится в kраз. знак; 3. Система линейных уравнений называется однородной, если A) свободные члены всех уравнений системы равны нулю; B) свободные члены всех уравнений системы не равны нулю; C) она имеет единственное решение; D) она имеет бесконечное множество решений; E) имеет тривиальное решение. 4. Скалярное произведение векторов a xi yj zk , b xi y j z k то ab равно A) xx yy zz ; B) xx yy zz ; i j k C) x y z ; D) xx yy zz ; E) ( xx) 2 ( yy) 2 ( zz ) 2 . x y z 5. Указать необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов aи b A) a b 0 ; B) ab 0 ; C) прb a 0 ; D) aпрa b 0 ; E) b прb a 0 . 6. Укажите каноническое уравнение гиперболического цилиндра: x2 y2 1; a2 b2 x2 y2 z 2 D) 2 2 2 0 ; a b c x2 y2 z 2 x2 y2 1 2z ; ; C) a2 b2 c2 a2 b2 x2 y2 z 2 E) 2 2 2 1 . a b c 7. Если прямая проходит через точку ( x0 , y0 , z0 ) в направлении вектора S (m, n, p ) , то ее параметрическое уравнение (t–параметр) имеет вид A) B) A) x x0 mt; y y0 nt; z z0 pt ; B) x mt; y nt; z pt ; x x0 y y 0 z z 0 ; m n p xm yn zp t . C) D) x y z ; m n p E) 8. Если плоскость проходит через точку ( x0 , y0 , z0 ) перпендикулярна вектору n ( A, B, C ) , то ее уравнение A) A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0 ; B) Ax By Cz x0 y0 z0 0 ; C) Ax0 By 0 Cz0 xyz 0 ; E) D) A B C 0. x x0 y y 0 z z 0 79 A B C 0; x0 y 0 z 0 1 0 2 9. Вычислить: 1 0 2 0 3 1 A) -12; B) 1; C) 2; D) -1; E) -2. 3 5 4 10. Найти алгебраическое дополнение A12 определителя 1 6 A) -22; B) 22; C) -14; D) 14; 2 3 3 4 E) –8. x1 x3 1 11. Решить систему уравнений: x1 2 x2 x3 0 x x 0 1 2 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 A) ; ; ; B) ; ; ; C) ; ; ; D) ; ; ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 ; ; . 2 2 2 12. Найти cos a , b , если a i j k , b j 2k . 1 1 3 1 1 A) ; B) ; C) ; D) ; E) . 5 3 15 15 15 13. Найти a b , если даны: a 7i 5 j 2k , b 7i 5 j 2k . A) 0 ; B) 27i 35 j 2k ; C) 5i ; D) 21i 3 2k ; E) 5i . E) 14. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M (0,1,3) параллельно вектору a (1,2,1) x y 1 z 3 ; 1 2 1 y 1 y 3 D) x ; 2 1 A) x 1 y 2 z 1 ; 0 1 3 x y 1 z 3 E) . 2 2 2 B) C) x 2( y 1) ( x 3) 0 ; 15. Определить расстояние от точки M 0 (3;6;7) до плоскости 4x 3z 1 0 A) 2; B) -2; C) 1; D) 0; E) -1. 16. Найти точку пересечения плоскости 2 x 2 y z 4 0 с осью OZ A) (0;0;4) ; B) (2;2;4) ; C) (2;0;4) ; D) (2;2;1) ; E) (0;0;4) . 1. Найти полный дифференциал функции z x 2 y 3 А) 2 xdx 3 y 2 dy ; В) 2 xdx 3 y 2 dy ; С) 2 x 2 dx 3 y 2 dy ; D) 2 ydx 3x 2 dy ; E) 4 xdx 6 y 2 dy . 2. Частная производная функции u 2 x 3 4 y 2 3xy 5 x 7 y 1 по x рав- на A) 6 x 2 3 y 5 ; B) 6 x 2 8 y 3x 5 ; C) 6 x 2 8 y 3x 7 ; D) 6 x 2 3 y 7 ; E) 6 x 2 3xy 5 . 80 3.Частная производная функции u 2 x 3 4 y 2 3xy 5 x 7 y 1 по y равна A) 8 y 3x 7 ; B) 6 x 2 8 y 3x 5 ; C) 8 y 3x 5 ; D) 6 x 2 3 y 7 ; E) 6 x 2 3xy 5 . 4. Значение частной производной функции u 3xy 4 по x в точке M 0 1;1 равно A) 3; B) 7; C) 0; D) 4; Е) (3,4). 11. Вычислить x 2 y dxdy , если область D ограничена линиями y x 2 и D y x А) 43 ; В) 2 140 33 ; 140 С) 33 ; 150 33 ; 14 D) E) 3 . 140 3 y 0 0 12. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле: dy f x, y dx 3 3 1 3 3 x 3 1 0 2 x 2 0 x 0 3 0 x 0 x А) dx f x , y dy ; В) dx f x , y dy ; С) dx f x , y dy ; D) dx f x , y dy E) dx f x , y dy y 1 13. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле: dy f x, y dx 0 1 x 2 x 1 0 x2 0 x2 0 1 x2 0 0 2 1 x x 0 0 x y А) dx f x , y dy ; В) dx f x , y dy ; С) dx f x , y dy ; D) dx f x , y dy ; E) dx f x , y dy ; 0 x2 1 0 14. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле: dx f x, y dy 1 y 0 1 1 1 А) dy D) dy 0 f x, y dx ; f x, y dx ; y 1 y 0 0 В) dy 1 f x, y dx ; 0 y 1 0 С) dy f x, y dx ; 1 E) dy f x , y dx ; 0 x 15. Вычислить двойной интеграл xy dxdy , где 2 D : y x, y 0, x 0, x 1 D А) 1/15; В) 1; С) 17; D) -1/9; E) . 16.Вычислить двойной интеграл ydxdy , где D А) 12; В) 21; С) 0; D) -1; E) -21. 81 D : y 0, y 3x, x 0, x 2 17. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле 2 f x , y , z dxdydz , где V : x 2 , y x , z y , z 0 V y2 x 2 y2 y2 2 x 0 0 0 0 2 x 0 0 0 2 y xy y 2 y2 0 0 0 0 0 0 А) dx dy f x , y , z dz ; B) dy dx f x, y, z dz ; C) 0 0 dz dx f x, y, z dy ; D) dx dy f x, y, z dz ; E) dy dx f x, y, z dz . 18. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле f x , y , z dxdydz , где V : x 0 , y 3 , y x , z 0 , z 1 : V 3 3 1 3 x 1 x 3 1 0 x 0 0 3 0 3 0 0 А) dx dy f x, y, z dz ; B) dx dy f x, y, z dz ; C) dy dx f x, y, z dz D) 1 3 1 0 x 0 dx dy f x, y, z dz ; 3 1 1 x 0 0 E) dy dx f x, y, z dz . Во всех тестовых заданиях правильные ответы содержатся в пункте А). 2.7 Перечень экзаменационных вопросов по пройденному курсу 1. Что такое определитель второго порядка, n-го порядка? Укажите основные свойства определителей. 2. В чем отличие матрицы от определителя? Укажите действия над матрицами. 3. В каком случае возможно умножение двух матриц? 4. Что такое вектор? Дайте определение модуля вектора. 5. В чем отличие скалярного произведения от векторного произведения векторов? 6. Перечислите основные свойства скалярного и векторного произведений. 7. В чем заключается механический смысл скалярного произведения? 8. Что называется смешанным произведением? 9. В чем заключается геометрический смысл смешанного произведения? 10. Укажите условие коллинеарности двух векторов. 11. В чем заключается метод Крамера решения систем линейных уравнений? 12. Какие системы линейных уравнений называются совместными? 13. Условие параллельности двух прямых на плоскости. Условие перпендикулярности прямых на плоскости. 14. Угол между плоскостью и прямой. 15. В чем заключается метод сечений? 16. Какая поверхность называется цилиндрической? 17. Дайте определение функции нескольких переменных (ФНП). Что называется областью определения функции нескольких переменных? 18. Сформулируйте определение предела функции при стремлении аргумента к некоторому конечному пределу. 82 19. В чем отличие матрицы от определителя? Укажите действия над матрицами. 20. Основные теоремы о пределах функций. 21. Первый замечательный предел. Сформулируйте определение числа е (второй замечательный предел). 22. Сформулируйте определение непрерывности функции нескольких переменных. 23. Какие линии называются линиями разрыва функции. 24. В чем отличие скалярного произведения от векторного произведения векторов? 25. Перечислите основные свойства скалярного и векторного произведений 26. Угол между плоскостью и прямой 27. Условие перпендикулярностей плоскостей 43. Нахождение экстремума функции 45. Какой вид указания плоскости определяет отрезки отсекаемые на осях координат? 46. Как определить угол между двумя плоскостями? Глоссарий № Новые понятия п/ п 1 2 1 Матрица размера m n 2 3 4 5 Содержание 3 называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов. Квадратная матрица матрица у которой число строк равно числу столбцов Вычисление опреa11 a12 a11a22 a12 a21 делителя 2-го поa21 a22 рядка Минор элемента a i j называется определитель, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания i - ой стоки и j - го столбца, на пересечении которых находится этот элемент и обозначается M ij Алгебраическое дополнение элемента ai j 6 Ранг матрицы A 7 Базисный минор называется соответствующий минор, умноженный на 1i j т.е Ai j (1) i j M i j , где i - номер cтроки и j – номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю. Он обозначается символом r ( A) или rangA называется любой из отличных от нуля миноров 83 матрицы A , порядок которого равен r ( A) 8 Вектор отрезок с выбранным направлением, или направленный отрезок 9 Коллинеарные век- вектора, лежащие на параллельных прямых (или тора на одной и той же прямой) 10 Компланарные век- вектора, лежащие в одной плоскости или в паралтора лельных плоскостях 11 Линейные операции это умножение вектора на число и сложение векнад векторами торов 12 Базисные вектора совокупность n линейно независимых векторов 13 Скалярное произве- число, равное произведению модулей этих векто на косинус угла между ними, т. е. дение векторов a и ров a b a b cos a b b 14 Векторное произве дение векторов a и вектор c a b , удовлетворяющий трем услови ям: а) модуль вектора c равен произведению мо b дулей векторов a и b на синус угла между ними: a a b sin a b ; в) c перпендикулярен векторам a и b , т.е. он перпендикулярен плоскости, про ходящей через вектора a и b ; с) тройка векто 15 Смешанное произведение трех векто ров a , b , c ров a , b , c - правая число, равное скалярному произведению вектор ного произведения векторов a и b с вектором c . a b c a b c 17 Направляющий век- любой ненулевой вектор a на прямой L тор Ax By Cz D 0 19 Общее уравнение плоскости 24 Множество совокупность, собрание каких-то предметов - своих элементов 25 Элементы множепредметы, составляющие множество ства 26 Переменная веливеличина, принимающая различные значения чина 27 Функция переменная величина y есть функция переменной величины x , если каждому значению x по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное значение y ; запись y f (x) 28 Область определемножество (область) значений аргумента 84 ния функции 29 Область значений функции 26 27 множество значений, принимаемых функцией Область правильная по область на D плоскости Oxy любая прямая параллельосу Oy Ox ная оси Oy Ox , проходящая через внутреннюю точку пересекает границу области в двух точках. Двойной интеграл от предел интегральных сумм функции z f x, y , построфункции z f x, y f x , y dxdy енных по разбиениям T области D , у которых наибольший диаметр d Di стремится к нулю D 28 Тройной интеграл от функции z f x, y, z Предел интегральных сумм по разбиениям T области H , у которых наибольший диаметр d H i стремится к нулю. f x , y , z dxdydz H 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 № Новые понятия п/ п 1 2 1 Функция двух переменных z f ( x, y ) 2 Функция n переменных u f ( x1 , x2 ,..., xn ) 3 Область определения функции нескольких переменных Непрерывность функции в точке 4 Содержание 3 правило, по которому каждой паре ( x, y) D соответствует единственное число z из множества Z если D - множество точек M n -мерного пространства, определяемых n -координатами ( x1 , x2 ,..., xn ) , то u f ( M ) f ( x1 , x2 ,.., xn ) функция n переменных множество D точек M , на котором задана функция u f (M ) функция n - переменных z f (M ) называется непрерывной в точке M 0 , если 85 lim M M 0 5 6 Приращение функции двух переменных Частная производная функции z f ( x0 x, y 0 y ) f ( x0 , y 0 ) -полное x z f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) -частное по x y z f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 ) -частное по y Частная производная функции нескольких переменных по какой-то переменной, при которой все остальные переменные считаются постоянными; в частности, для z f (M ) в точке M0 : 7 Необходимый признак экстремума f (M ) F (M 0 ) yz x z z z lim , lim x x 0 x y y 0 y Если в точке M 0 ( x0 , y 0 ) дифференцируемая функция z f (M ) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: f x' (M 0 ) 0, f y' (M 0 0) 8 Градиент скалярного поля n u u i j x y - в плоском случае, если Вектор u u u g i j k x y z - в R 3 , i , j, k - орты осей g координат. 86
