УДК [514+5178+7.013]:793 Геометрия танца © С.А. Говор1, А.Е. Зуева2 1 МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия 2 МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия Рассмотрен танец в контексте геометрических построений. Сформулированы и решены практико-ориентированные задачи на построение танцевальных движений и рисунков. Представлен кейс задач для преподавателей в школе по теме «Построения методом симметрии, подобия, параллельного переноса. Гомотетия». Выявлена взаимосвязь танца и геометрии. Ключевые слова: танец, танцевальный рисунок, хореография, построение, симметрия, подобие, гомотетия. Там где красота, там действуют законы математики. Г. Х. Харди Наверное, не раз вы видели это высказывание, когда читали тот или иной материал о взаимосвязи искусства и математики. Хореографы очевидным, и танцовщики возможно посчитают банальным, но данный материал простому человеку, далекому от мира танца будет как минимум занимательно прочесть эту работу. Педагоги увидят новые возможности подачи сложного материала по геометрии, «гуманитарии» по-новому посмотрят на сложную и непонятную математику, а «технари» увидят, как тесно переплетены, казалось бы, несмежные сферы деятельности. Танец – древнейший вид искусства. Люди пародировали животных, их повадки, перенимали формы окружающего мира. Всем известный хоровод – массовый русский народный танец культового происхождения, олицетворяющий солнце. Военные пляски воспроизводили бой, различные боевые перестроения (линии, полукруг, круг, квадрат) – сложные хореографические композиции. Во Франции популярны были аллегорические балеты с «геометрическими», «фигурными» танцами [1]. В 16 веке во Франции были распространены конные кадрили-балеты, построение в танцах было настолько симметричным, что и «Архимед не сумел бы их лучше поставить», - так отзывались об этих зрелищах современники [2]. Хореографы и танцовщики часто применяют выражения, так или иначе связанные с геометрией, как минимум, наталкивающие на ассоциации с математическими терминами. Ось, параллельность, построение, диагонали, углы – термины, которые применяются не только в математике, но и в хореографии. Рисунок, хоровод, выворотность, стержень – эти танцевальные понятия может и не похожи на математические, но по своей сути таковыми являются. Для начала рассмотрим различные танцевальные рисунки и объясним их построения при помощи симметрии, подобия, параллельного переноса. Танцевальный рисунок – это расположение и перемещение танцовщиков по сценической площадке. Если переносить рисунок на плоскость, то люди будут как бы точками. На самом деле хореографы, когда придумывают танцевальные композиции, часто, чтобы не забыть, строят в блокнотах рисунки и описывают комбинации (несколько танцевальных движений, соединенных как бы в единое целое) словами. Сложность же танцовщиков заключается в том, что при движении, танце требуется сохранять выстроенный рисунок. Не все хореографы объясняют исполнителям, какой рисунок должен быть выстроен. Многие просто говорят, что здесь твоя точка, а здесь твоя. В основном так объясняют маленьким детям, потому что у них не так развито пространственное мышление, как у взрослых. Опытные хореографы всегда объясняют рисунок артистам, чтобы они следили за собой и «ловили» ошибки не только свои, но и друг друга. Это полезная практика, так как зачастую приходится быстро перестраивать рисунок, потому что увеличивается или, чаще, уменьшается количество человек: ктото заболел, кто-то не вытягивает хореографию (не хватает навыков, умений). Таким образом, хореографы пользуются геометрическими построениями, только в голове, потому что важно, чтобы в том или ином рисунке не нарушалась симметрия, где она необходима. Рассмотрим рисунок танца «Яблочко» балета Игоря Моисеева (рис. 1) и попробуем построить его на 5 человек [3]. Рис.1 Мы видим танцовщика, являющегося центром. Пусть он будет точкой А1 (рис. 2). Построим равнобедренный треугольник 𝐴1 𝐴2 𝐴3 . Для этого сначала начертим произвольный отрезок 𝐴1 𝐴2 , затем построим треугольник 𝐴1 𝐴2 𝐴3 с равными углами. ∠𝐴2 = ∠𝐴3 . С помощью циркуля и линейки разделим ∠𝐴1 пополам, получим биссектрису и отложим на ней отрезок 𝐴1 𝐻2 , равный данному отрезку. Через точку 𝐻2 проведем прямую, параллельную 𝐴2 𝐴3 , эта прямая пересечет стороны ∠𝐴1 в точках 𝐴4 и 𝐴5 . Треугольник 𝐴1 𝐴4 𝐴5 – искомый. В самом деле, по построению биссектриса 𝐴1 𝐻2 треугольника 𝐴1 𝐴4 𝐴5 равна данному отрезку, а так как 𝐴2 𝐴3 ∥ 𝐴4 𝐴5 , то ∠𝐴2 = ∠𝐴4 , ∠𝐴3 = ∠𝐴5 как соответственные углы при параллельных прямых 𝐴2 𝐴3 и 𝐴4 𝐴5 и секущих 𝐴1 𝐴4 и 𝐴1 𝐴5 . Значит, два угла треугольника 𝐴1 𝐴4 𝐴5 соответственно равны данным углам. Таким образом, треугольник 𝐴1 𝐴4 𝐴5 удовлетворяет всем требованиям построения рисунка (рис. 2). При помощи метода подобия мы выстроили на плоскости рисунок танца. Рис. 2 Русско-народный танец имеет очень древние корни, поэтому рисунки зачастую напоминают тот или иной объект окружающего мира, имеют отсылку к знаку, олицетворяющему что-либо, выражающему то или иное чувство. Народный танец вобрал в себя множество языческих символов [4], поэтому при тематической постановке хореограф неспроста применяет тот или иной рисунок. Рассмотрим рисунок еще одного русско-народного танца «Лето» балета Игоря Моисеева (рис. 3) [5]. Женщины и мужчины выстроились в форме косого креста. Косой крест – это символ жизни и неба, принцип соединения и взаимодействия мужского и женского начала [6]. Символично, что одну линию креста образовали парни, а вторую – девушки. Рис. 3 Построим этот рисунок танца на 8 человек (рис. 4). Пусть точка 𝑂 – центр симметрии (центр сцены). Отметим точку 𝐴1 и 𝐴2 . Соединим точки 𝐴1 , 𝐴2 и 𝑂 . Получим отрезок 𝑂𝐴1 . Теперь отметим точку 𝐴3 так, что ∠𝐴1 𝑂𝐴3 = 90°. Отметим точку 𝐴4 на отрезке 𝑂𝐴3 так, что 𝑂𝐴2 = 𝑂𝐴4 . Относительно точки 𝑂 симметрично точки 𝐴1 отмечаем точку 𝐴5 . Соединяем точки 𝑂 и 𝐴5 . Получаем отрезок 𝑂𝐴5 . Отметим точку 𝐴6 на отрезке 𝑂𝐴5 так, что 𝑂𝐴2 = 𝑂𝐴6 . Аналогично построим точки 𝐴7 и 𝐴8 . Симметрично точки O относительно точек 𝐴3 и 𝐴4 соответственно. Таким образом, мы построили танцевальный рисунок на плоскости при помощи центральной симметрии (рис. 4). Рис. 4 Еще один пример построения танцевального рисунка при помощи центральной симметрии ансамбля русского народного танца «Березка» (рис.5) [7]. Рис. 5 Будем строить так, что каждый круг, образованный танцовщицами, – это точка на плоскости. Пусть задана произвольная точка 𝑂 – центр симметрии (сцены), где точка 𝑂 – это круг, образованный четырьмя танцовщицами. Произвольно отметим точку 𝐴1 и 𝐴2 на равном расстоянии от точки 𝑂, при этом угол между отрезками 𝑂𝐴1 и 𝑂𝐴2 равен 90°. Относительно центра симметрии отмечаем точки 𝐴3 и 𝐴4 в соответствии точкам 𝐴1 и 𝐴2 . В результате получаем квадрат 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 с диагоналями 𝐴1 𝐴3 и 𝐴2 𝐴4 (рис.6). Рис. 6 А теперь построим танцевальный рисунок при помощи параллельного переноса на 4 пары (мальчик и девочка). Представим, что они выстроились в диагональ, где каждая пара держится за руки, то есть имеют минимальное расстояние между друг другом. Пусть дан отрезок 𝐴1 𝐴2 . Нужно построить отрезки 𝐵1 𝐵2 , 𝐶1 𝐶2 и 𝐷1 𝐷2 при помощи параллельного переноса отрезка 𝐴1 𝐴2 на произвольный вектор 𝑎. Через точки 𝐴1 и 𝐴2 проведём прямые 𝑚 и 𝑛 перпендикулярно отрезку 𝐴1 𝐴2 . На этих прямых проведём отрезки 𝐴1 𝐵1 и 𝐴2 𝐵2 равные длине вектора a, соответственно. Соединим полученные точки, получив в результате отрезок 𝐵1 𝐵2 . Аналогично получаем отрезок 𝐶1 𝐶2 и 𝐷1 𝐷2 . Рис. 7 Красота геометрии перемещении. танца Попробуйте раскрывается проследить в движении, в перестроения танцовщиков (перехода из одного рисунок в другой) во время хореографии. Уверена, что вы начнете замечать рисунки и понимать, при помощи каких геометрических построений они поставлены. Все движения танцовщиков, формы, которые они создают во время хореографии также подчинены красоте геометрии. Например, существует такое упражнение у танцевального станка (палки), как rond de jamb par terre, что в переводе означает «круг ногой по полу». Этот элемент исполняется в двух направлениях: en dehors и en dedans, по часовой стрелке и против часовой стрелке соответственно. При исполнении этого элемента мысочек как бы чертит окружность по полу, обязательно проходя через четыре основные точки. Построим rond de jamb par terre в направлении en dehors. Отметим точку 𝐴1 , затем проведем четверть круга с радиусом 𝑟 и поставим точку 𝐴2 . От точки 𝐴2 построим четверть круга с радиусом 𝑟 и отметим точку 𝐴3 . Соединим точки 𝐴1 и 𝐴3 . Таким образом получим траекторию движения rond de jamb par terre en dehors правой ногой (рис. 8). Рис. 8 В направлении же en dedans (против часовой стрелки) стопа начинает движение с точки 𝐴3 . То есть движение исполняется в противоположном направлении. Педагоги при объяснении этого упражнения применяют математические термины. Зачастую танцовщика сравнивают с циркулем, где головкой циркуля является макушечка исполнителя, а ножки циркуля – ногами. Танцовщик натянут как струна, тянется как бы вверх, ноги исполнителя также натянуты, такие же прямые и упругие, как ножки циркуля. И своей ногой чертят как бы полуокружность, как чертили бы циркулем на бумаге. А теперь давайте посмотрим на красоту танца в пространстве. Рассмотрим прыжок grand jete, который часто исполняют как в балете, так и в современной хореографии. Обратим внимание, что ноги и макушечка танцовщиков образовывают как бы равнобедренный треугольник (рис. 9). Рис. 9 Построим этот прыжок, исполненный в дуэте при помощи гомотетии. Пусть гомотетия (𝑂; 𝑘). У нас есть треугольник 𝐴𝐵𝐶 , где 𝐵𝐶 – линия, образованная ногами в прыжке балериной, а 𝐴 – ее макушечка. Отметим точку 𝑂 – центр гомотетии. Соединим точки 𝐴, 𝐵 и 𝐶 с точкой 𝑂. На отрезке 𝑂𝐵 отметим точку 𝐵1 так, что 𝑂𝐵: 𝐵𝐵1 = 𝑘 . Аналогично отметим точки 𝐴1 и 𝐶1 . Соединим точки 𝐴1 𝐵1 , 𝐶1 𝐵1 и 𝐴1 𝐶1 . Получим треугольник 𝐴1 𝐵1 𝐶1 , что и будет являться фигурой, образованной артистом балета в прыжке (рис. 10). Рис. 10 На таких довольно простых примерах, думаю, раскрыть красоту геометрии танца. Все движения, позы, рисунки подчинены законам математики. То, над чем многие восхищаются, по своей сути элементарно. Красота в простоте. Хореография в переводе с греческого означает «писать пляской», то есть танцовщик как бы рисует на сцене что-то. Хореография – это синтез музыки, времени, рисунка танца, движений, костюма, отражающий человеческие чувства, мысли, взаимоотношения и отношение к действительности. Геометрия тесно пересекается с танцем, так как является одним из способов передачи характера, эмоции, образа и символа, необходимого для логической завершенности композиции. В процессе написания работы сформировалось новое определение понятия этого великого вида искусства, отражающее весь ее смысл: «Танец – это красота линий человеческого тела». ЛИТЕРАТУРА [1] Гагарина О.А. К вопросу о национальных истоках балетного театра во Франции. Вестник Академии русского балета им. А.Я. Вагановой, 2016. №4 (45). URL: https://cyberleninka.ru/article/n/k-voprosu-o-natsionalnyhistokah-baletnogo-teatra-vo-frantsii (дата обращения: 14.07.2020). [2] Пасютинская В.М. Путешествие в мир танца. СПб.: Алетейя, 2011. – 368 с.; [48] с. ил. ISBN 978-5-91419-318-5 [3] URL: https://www.youtube.com/watch?v=K21yj2lEgrA [4] URL: https://need4dance.ru/?page_id=379 [5] URL: https://www.youtube.com/watch?v=aXaQpvfWe9Y [6] URL: https://www.hnh.ru/culture/2011-04-14-1 [7] URL: https://www.youtube.com/watch?v=DYhcgTBTcJc Говор Светлана Александровна – доцент, кандидат физикоматематических наук. Зуева Анна Евгеньевна – студентка МГТУ им. Н.Э.Баумана (Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5) Dance geometry © S.A. Govor1, A.E. Zueva2 1 Bauman Moscow State Technical University, Moscow, 105005, Russia 2 Bauman Moscow State Technical University, Moscow, 105005, Russia The dance in the context of geometric constructions is considered. The practice-oriented tasks on the construction of dance movements and drawings are formulated and solved. A case study is presented for teachers at the school on the topic “Structures by the method of symmetry, similarity, parallel transfer. Homothety. " The connection of dance and geometry is revealed. Keywords: dance, dance drawing, choreography, construction, symmetry, semblance, homothety. REFERENCES [1] Gagarina O.A. On the national origins of the ballet theater in France. Bulletin of the Academy of Russian Ballet. AND I. Vaganova, 2016. No. 4 (45). URL: https://cyberleninka.ru/article/n/k-voprosu-o-natsionalnyhistokah-baletnogo-teatra-vo-frantsii (accessed: 07.14.2020). [2] Pasyutinskaya V.M. Journey to the world of dance. St. Petersburg: Aletheia, 2011. – 368 p.; [48] p. silt ISBN 978-591419-318-5 [3] URL: https://www.youtube.com/watch?v=K21yj2lEgrA [4] URL: https://need4dance.ru/?page_id=379 [5] URL: https://www.youtube.com/watch?v=aXaQpvfWe9Y [6] URL: https://www.hnh.ru/culture/2011-04-14-1 [7] URL: https://www.youtube.com/watch?v=DYhcgTBTcJc Govor Svetlana Aleksandrovna – Associate Professor, Candidate of Physical and Mathematical Sciences. Zueva Anna Evgenievna – student of the Bauman Moscow State Technical University (Russian Federation, 105005, Moscow, 2nd Baumanskaya St., D. 5)
