Методы принятия решений. Лабораторная работа № 1 1 Построение и исследование моделей однокритериальных задач принятия решений в условиях определенности Цель работы – получение практических навыков построения и анализа устойчивости линейных оптимизационных моделей в среде Microsoft Excel с использованием надстройки «Поиск решения» (“Solver”). Варианты задач Для каждого варианта необходимо построить линейную оптимизационную модель и выполнить все пункты задания, используя надстройку «Поиск решения» и отчет об устойчивости. 1. Фирма производит три модели электронных реле. Каждая модель требует двухстадийной сборки. Время, необходимое для сборки каждой стадии, приведено в табл. Время сборки, мин. Оборудование на каждой ста- Модель Стадия 1 Стадия 2 дии работает 7 часов 30 мин. в день. 2,5 2,0 Требуется найти такой план произ- Модель A 1,8 1,6 водства на ближайшие 5 рабочих Модель B Модель C 2,0 2,2 дней, при котором суммарная прибыль за данный период максимальна. Модель A обеспечивает прибыль 82,5 руб. за шт., модель B – 70 руб. за шт., модель C – 78 руб. за шт. Предполагается, что фирма может продать все, что она произведет. Также известно, что на ближайшую неделю имеется предоплаченный заказ на 60 устройств – по 20 устройств каждого типа. Задания 1) Найти оптимальный производственный план. 2) Все ли модели устройств выгодно производить? Если имеется убыточная модель, то что следует изменить, чтобы ее производство стало выгодным? Для ответа на данный вопрос использовать отчет об устойчивости. 3) Пусть имеется возможность установить 2 сверхурочных часа для одной из стадий. Для какой именно стадии следует назначить эти сверхурочные часы, чтобы получить наибольшую прибыль? На сколько увеличится прибыль в этом случае? Для ответа на данный вопрос использовать отчет об устойчивости. Методы принятия решений. Лабораторная работа № 1 2 4) Можно ли ответить на аналогичный вопрос, используя только данные отчета об устойчивости (не прибегая к новому поиску решения), если есть возможность вместо 2-х установить 5 ч. сверхурочно? 2. Частный инвестор предполагает вложить 500 тыс. денежных единиц (д.е.) в различные ценные бумаги. После консультаций со специалистами фондового рынка он отобрал 3 типа акций и 2 типа государственных облигаций. Часть денег также предполагается положить на срочный вклад в банк. Тип вложения Акции A Акции B Акции C Облигации долгосрочные Облигации краткосрочные Срочный вклад Риск Высокий Средний Низкий Предполагаемый ежегодный доход, % 15% 12% 9% 11% 8% 6% Имея в виду качественные соображения диверсификации портфеля и неформализованные личные предпочтения, инвестор выдвигает следующие требования к портфелю ценных бумаг: – все 500 тыс. д.е. должны быть инвестированы; – не менее 100 тыс. д.е. должны быть на срочном банковском вкладе; – не менее 25% средств, инвестированных в акции, должны быть инвестированы в акции с низким риском; – в облигации следует инвестировать по крайней мере столько же, сколько в акции; – в бумаги с доходностью менее 10% должно быть вложено не более 125 тыс. д.е. Задания 1) Определить портфель бумаг инвестора, удовлетворяющий всем требованиям и максимизирующий годовой доход. Какова величина этого дохода? 2) Если инвестор внесет дополнительные средства в портфель бумаг, сохраняя сформулированные выше ограничения, как изменится ожидаемый годовой доход? Какова зависимость величины изменения ожидаемого годового дохода от величины дополнительно инве- Методы принятия решений. Лабораторная работа № 1 3 стированных средств? В какие ценные бумаги следует вкладывать дополнительные средства, чтобы ограничения не нарушались? Ответы обосновать. 3) Ожидаемый годовой доход по той или иной бумаге (особенно по акциям) – это не более, чем оценка. Насколько оптимальный портфель и ожидаемая величина дохода чувствительны к этим оценкам? 4) Дать интерпретацию значений теневых цен для правых частей каждого из ограничений. Какие требования инвестора к составу портфеля являются сдерживающими, т.е. приводят к уменьшению возможной величины годового дохода? Наоборот, есть ли среди ограничений такие, которые все равно будут выполняться, даже если их исключить из модели? Ответы обосновать. Указания • Требование инвестировать всю сумму должно быть записано в виде ограничения-равенства. • Для ответов на вопросы 2,3 и 4 использовать данные отчета об устойчивости. • Общая интерпретация теневой цены всегда связана с изменением значения целевой функции при изменении значения правой части ограничения на единицу. 3. Предприятие производит фруктовые соки и продает их упакованными в пакеты емкостью 1 л. Список продукции и цена реализации за один пакет приведены в табл. Сок «Яблоко-апельсин» Цена пакета, Напиток содержит 70% яблочного и руб. 30% апельсинового сока, «ЯбСок яблочный 40 локо-персик» - 60% яблочного Сок апельсиновый 42 и 40% персикового сока, Сок персиковый 37 «Фруктовая смесь» – 50% яб- Сок «Яблоко-апельсин» 40 лочного, 20% апельсинового и Сок «Яблоко-персик» 39 Сок «Фруктовая смесь» 44 30% персикового сока. В настоящий момент на складе предприятия имеются концентраты для приготовления 2800 л яблочного сока, 1900 л апельсинового сока и 2500 л персикового сока. Себестоимость приготовления 1 л Методы принятия решений. Лабораторная работа № 1 4 яблочного сока составляет 20 руб., апельсинового – 23 руб., персикового – 18 руб. Предприятие имеет заказ на 600 пакетов яблочного сока, 300 пакетов сока «Яблоко-апельсин» и 1000 пакетов сока «Фруктовая смесь». Заказ должен быть выполнен в текущую поставку. Кроме того, из опыта известно, что ни один из видов продукции не следует производить в количестве более чем 2 тыс. пакетов. Задания 1) Найти план производства, обеспечивающий наибольшую прибыль. 2) Для найденного оптимального плана получить отчет об устойчивости. Объяснить, что означают нормированные стоимости соков яблочного, «Яблоко-апельсин» и «Фруктовая смесь». Сколько пакетов яблочного сока и сока «Яблоко-апельсин» следовало бы произвести, если бы заказ на эти две позиции отсутствовал? 3) Пусть имеется возможность закупить концентрат для получения дополнительных 200 литров одного из соков. Концентрат какого сока (яблочного, апельсинового или персикового) следует предпочесть? Какую величину дополнительной прибыли можно будет получить по сравнению с первоначальным планом? Для ответа на данные вопросы использовать отчет об устойчивости. 4. Частный инвестор предполагает вложить 100 тыс. денежных единиц (д.е.). Возможные типы вложения перечислены в табл. Тип вложения Акции A (высокий риск) Акции B (низкий риск) Инвестиционный фонд Государственные облигации Ожидаемый доход, % Минимально гарантированный доход, % Потенциально возможный доход, % 15% – 50% 100% 9% 3% 12% 7% 6% 9% 8% 8% 8% Имея в виду качественные соображения диверсификации портфеля и неформализованные личные предпочтения, инвестор выдвигает следующие требования к портфелю ценных бумаг: Методы принятия решений. Лабораторная работа № 1 5 все 100 тыс. д.е. должны быть инвестированы; не менее 50 тыс. д.е. должны быть вложены в бумаги, потенциально возможный доход которых превышает 9%; – в государственные облигации должно быть инвестировано не более 30 тыс. д.е.; – в акциях должно быть не более 50 тыс. д.е.; – минимальный гарантированный доход должен составлять не менее 4%. – – Задания 1) Определить портфель бумаг инвестора, удовлетворяющий всем требованиям и максимизирующий ожидаемый доход. Какова величина этого дохода? 2) Как изменится оптимальная величина ожидаемого дохода, если инвестор согласится уменьшить нижнюю границу минимального гарантированного дохода до нуля? 3) Как изменится оптимальная величина ожидаемого дохода, если будет инвестировано дополнительно 20 тыс. д.е., при условии, что остальные ограничения останутся неизменными? 4) Что означает полученное значение нормированной стоимости для двухгодичных облигаций? Указания • Требование инвестировать всю сумму должно быть записано в виде ограничения-равенства. • Для ответов на вопросы 2,3 и 4 использовать данные отчета об устойчивости. • Общая интерпретация теневой цены всегда связана с изменением значения целевой функции при изменении значения правой части ограничения на единицу. 5. Компания производит три вида корма для собак: Regular, Extra и Puppy Delite, используя три ингредиента: А, В и C. Regular содержит поровну всех ингредиентов и дает прибыль 20 руб. за килограмм. Extra содержит 50% ингредиента А и по 25% ингредиентов В и C и дает прибыль 18 руб./кг. Puppy Delite содержит 10% ингредиента B и 90% ингредиента C и дает прибыль 25 руб./кг. Запасы ингредиентов на неделю: A – 1900 кг, B – 1100 кг, C – 1000 кг. Методы принятия решений. Лабораторная работа № 1 6 Задания 1) Найти производственный план, максимизирующий прибыль. 2) Все ли виды корма выгодно производить? Если имеется убыточный вид корма, то что следует изменить, чтобы его производство стало выгодным? Для ответа на данный вопрос использовать отчет об устойчивости. 3) Пусть имеется возможность дополнительно приобрести 80 кг одного из ингредиентов. Какой именно (A, B или C) следует предпочесть? На сколько увеличится прибыль в этом случае? Для ответа на данный вопрос использовать отчет об устойчивости. 4) Можно ли ответить на аналогичный вопрос, используя только данные отчета об устойчивости (не прибегая к новому поиску решения), если есть возможность докупить не 80, а 150 кг ингредиента? 6. Корпорация планирует запустить производство нового изделия на трех своих предприятиях, в настоящее время обладающих избыточными производственными мощностями. Предполагается выпускать четыре различных модификации изделия: RC-11, RC-18, RC-20 и RC-22. Ожидаемая прибыль на одно изделие составляет 220, 310, 375 и 480 денежных единиц (д.е.) соответственно. Каждая модель требует различные площади для хранения на складе до момента отгрузки в конце месяца: 1; 1,4; 1,6 и 2,2 м2. Затраты рабочего времени на выпуск на трех предприятиях, а также свободные складские площади приведены в табл. (знак «–» означает, что возможность выпуска модели RC-20 на предприятии 3 отсутствует). Предприятие 1 Предприятие 2 Предприятие 3 Затраты времени на производство одного изделия, ч. RC-11 RC-18 RC-20 RC-22 0,38 0,4 0,41 0,5 0,32 0,35 0,38 0,42 0,64 0,7 – 0,9 Площадь свободных складов, м2 1100 1000 900 Объемы ежемесячной рыночной потребности для каждой модели составляют 470, 700, 650 и 300 штук соответственно. Предприятия могут работать 12 часов в день при 24 рабочих днях в месяц. Методы принятия решений. Лабораторная работа № 1 7 Задания 1) Сколько изделий каждой модификации должно быть произведено на каждом предприятии, чтобы получить наибольшую прибыль? 2) Способна ли корпорация полностью удовлетворить потребности рынка? 3) Что является более выгодным: увеличить складские площади предприятия 2 на 90 м2 или же увеличить время ежедневной работы предприятия 3 на 3 часа? Для ответа использовать данные отчета об устойчивости. 4) Пусть имеется возможность увеличить складские площади предприятия 2 на 100 м2. Приведет ли это к большей сбалансированности ресурсов данного предприятия? Можно ли ответить на этот вопрос, используя только отчет об устойчивости (не прибегая к новому поиску решения)? 7. Лесопильное предприятие заготавливает оцилиндровывает и сушит 20-футовые бревна, которые в дальнейшем используются для строительства бревенчатых домов. Поступил новый заказ, для которого требуются 275 шт. 8-футовых, 100 шт. 10-футовых и 250 шт. 12-футовых бревен. На складе имеется 315 шт. 20-футовых бревен. Задания 1) Найти вариант распила бревен так, чтобы выполнить заказ и минимизировать суммарную длину отходов. 2) Получить отчет об устойчивости и дать интерпретацию теневых цен. 3) Какие коррективы следует внести в постановку задачи (изменить параметры заказа либо запас бревен на лесопилке), чтобы обратить отходы в ноль? Пользуясь только данными отчета об устойчивости, предложить не менее трех вариантов решения данной задачи? 4) Что произойдет, если запас 20-футовых бревен сделать меньше нижнего предела устойчивости? Указание. Для каждого из 20-футовых бревен возможны 4 различных способа раскроя, при этом каждый способ дает свою величину отходов. Методы принятия решений. Лабораторная работа № 1 8 8. Хозяйство имеет 1000 га пахотной земли, на которых традиционно выращивает кукурузу, горох, рожь и пшеницу. При этом площадь земель, пригодных для выращивания ржи и пшеницы, составляет не более 700 га. В предстоящем сезоне прогнозируются следующие урожаи выращиваемых культур: кукурузы – 12 ц/га, гороха – 19 ц/га, ржи – 14 ц/га и пшеницы – 20 ц/га. В соответствии с этим ожидаемые средние закупочные цены на зерновом рынке составят 3,5; 5,2; 3 и 3,2 тыс. руб. за тонну зерна соответственно. Можно считать, что издержки по выращиванию и уборке этих культур от погодных условий практически не зависят и составляют соответственно 2,6; 3,3; 2 и 2,3 тыс. руб. на тонну зерна. При этом хозяйство не может израсходовать на выращивание и уборку урожая более 4 млн. руб. Максимальное количество зерна, которое можно разместить на рынке, составляет 200 тонн для кукурузы, 400 тонн для гороха, 500 тонн для ржи и 1200 тонн для пшеницы. Хозяйство имеет контракты на поставку 120 тонн кукурузы и 200 тонн пшеницы, которые безусловно должны быть выполнены. Задания 1) Какая площадь должна быть отведена под каждую культуру, если стоит задача максимизации прибыли? Решить задачу при условии, что все 1000 га земли должны быть засеяны. 2) Получить отчет об устойчивости и дать интерпретацию всем ненулевым теневым ценам. Что означает отрицательная теневая цена ограничения, связанного с необходимостью использовать весь участок земли целиком? Какое ограничение на объемы продаж зерна в наибольшей степени сдерживают возможность увеличения максимальной прибыли? 3) Решить задачу без учета требования о необходимости засеять целиком весь участок. Как изменились оптимальное решение и максимальное значение прибыли? Какое ограничение на объемы продаж зерна перешло в разряд сдерживающих рост прибыли? 9. Руководство мебельной фабрики рассматривает возможность введения на одном из своих предприятий сверхурочной работы и хочет оптимизировать использование этого дополнительного времени. Предприятие выпускает пять различных изделий: стулья, столы, бюро, книжные шкафы, и передвижные столики. Методы принятия решений. Лабораторная работа № 1 9 Соответствующая прибыль за одно изделие – 16; 30; 40; 42; 32 денежные единицы (д.е.). Продукция требует одних и тех же основных операций: обрезка, шлифовка и сборка. Время, затрачиваемое на эти операции для различных изделий, приведено в табл. Время на операцию, мин. Стул Стол Бюро Книжный шкаф Передвижной столик Обрезка 8 6 9 8 14 Шлифовка 12 10 13 12 8 Сборка 4 3 5 4 6 Имеется 320 мин. для обрезки, 400 мин. для отделки, и 270 мин. для сборки в планируемое сверхурочное время. Также имеется предварительный заказ на 10 стульев, 4 бюро и 10 книжных шкафов, который должен быть выполнен в обязательном порядке. Задания 1) Найти план производства, максимизирующий прибыль, и величину максимальной прибыли. 2) Выгодно ли производить все изделия? Если имеются изделия, которые не выгодно производить, что следует изменить, чтобы они вошли в оптимальный план? Для ответа на данный вопрос использовать отчет об устойчивости. 3) Пусть имеется возможность установить 50 сверхурочных минут, но для только одной из основных операций. На какую операцию следует выделить это время? Как изменится в этом случае прибыль? Для ответа на данный вопрос использовать отчет об устойчивости. 4) Можно ли ответить на аналогичный вопрос, используя только данные отчета об устойчивости (не прибегая к новому поиску решения), если есть возможность выделить не 50, а 100 мин. сверхурочно? 10. Цех производит 7 различных видов деталей: A, B, C1, C2, D, E6, F, имея в распоряжении следующий парк из 6 видов универсальных станков: WWZ – 1 шт., BSD – 2 шт., SDU – 2 шт., ARM – 1 шт., SHG – 1 шт., USI – 2 шт. Время, требуемое для обработки одной детали каждого вида на каждом станке (в часах), вклад в прибыль от производства одной детали каждого вида и рыночный спрос на каждый вид деталей в месяц, приведены в табл. Методы принятия решений. Лабораторная работа № 1 Время обработки на станках, ч. 10 Деталь WWZ BSD SDU ARM SHG USI Прибыль, д.е. A B C1 C2 D E6 F 0,112 0,102 0,105 0,087 0,088 0,116 0,071 0,24 0,15 0,25 0,18 0,2 0,23 0,15 0,33 0,29 0,36 0,36 0,29 0,29 0 0,05 0,06 0,06 0,04 0,06 0,06 0,04 0 0,226 0,146 0,19 0,244 0,234 0,184 0,15 0 0 0,14 0 0,15 0,15 5 4 5 4 7 5 2 Потребность, шт. (не более) 300 600 500 400 220 50 300 Цех работает 12 часов в день. В месяце 26 рабочих дней. Поскольку сбыт изделий A и F тесно связан, желательно выпускать их в равных количествах. Задания 1) Найти план производства, максимизирующий месячную прибыль, и величину максимальной прибыли. 2) Производство каких видов деталей лимитировано рынком, и каких – техническими возможностями цеха? Ответ обосновать. Для ответа на данный вопрос использовать отчет об устойчивости. 3) Какие машинные ресурсы цеха следует увеличивать, чтобы добиться максимального увеличения прибыли при заданных потребностях рынка? Для ответа на данный вопрос использовать отчет об устойчивости. Методы принятия решений. Лабораторная работа № 1 11 Пример решения задачи Задача. Небольшая компания производит два вида краски: для наружных и для внутренних работ. Для производства обоих видов краски используются сырье двух типов. Исходные данные: расход сырья для производства одной тонны краски каждого вида, максимально возможные запасы сырья и цена реализации краски каждого вида приведены в таблице. Расход сырья (т) на тонну краски Ежедневный запас сырья, т для наружных для внутренних работ работ Сырье A 6 4 24 Сырье B 1 2 6 Цена реализации тонны 5 4 краски, тыс. д.е. После изучения рынка сбыта отдел маркетинга компании ограничил ежедневное производство краски для внутренних работ до 2 т, а также поставил условие, чтобы ежедневное производство краски для внутренних работ не превышало более чем на одну тонну производства краски для внешних работ. Найти план производства, обеспечивающий максимизацию ежедневного дохода. Получить отчет об устойчивости и с его помощью определить интервалы устойчивости целевых коэффициентов и правых частей ограничений, а также теневые цены ресурсов. Дать интерпретацию полученным значениям. Решение и пояснения. 1. Переменными в данной задаче являются: x1 – ежедневный объем производства краски для наружных работ; x2 – ежедневный объем производства краски для внутренних работ. z = 5 x + 4 x → max, 1 С учетом всех ограничений, заданных в условии задачи, оптимизационная модель будет иметь вид: 2 6 x1 + 4 x2 ≤ 24, x + 2 x ≤ 6, 1 2 x2 − x1 ≤ 1, x2 ≤ 2; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. Методы принятия решений. Лабораторная работа № 1 12 2. Организуем данные на листе Excel так, как это показано на рис. (подробнее см. файл Лабораторная работа 1 – Пример.xls). Желтым цветом выделены исходные данные, указанные в условии задачи, голубым – вычисляемые значения, зеленым – значения переменных (в качестве начальных значений можно взять нулевые), оранжевым – вычисляемое значение целевой функции. 3. Вызываем надстройку «Поиск решения» (меню Данные → Поиск решения). 3.1. Задаем целевую ячейку (D10), выбираем максимизацию и определяем диапазон изменяемых ячеек (F3:F4). Методы принятия решений. Лабораторная работа № 1 13 3.2. Вводим все имеющиеся в модели ограничения (кнопка Добавить). На рис. показан ввод первых двух ограничений, связанных с запасами сырья. После ввода последнего ограничения нажимаем кнопку ОК. Результат показан на рис. Методы принятия решений. Лабораторная работа № 1 14 3.3. В качестве метода решения выбираем «Поиск решения линейных задач симплекс-методом» и устанавливаем галочку напротив пункта «Сделать переменные без ограничений неотрицательными». После этого нажимаем кнопку Найти решение. Если все было сделано правильно, появляется следующее окно: Методы принятия решений. Лабораторная работа № 1 15 Рабочий лист Excel, соответствующий найденному оптимальному решению, имеет вид: Таким образом, при заданных ограничениях максимальный доход, равный 21 тыс. д.е., обеспечивается при производстве 3 т краски для наружных работ и 1,5 т краски для внутренних работ. В ячейках B6:C6 содержатся значения фактического расхода сырья A и B (как видно из рис., оба вида сырья расходуются полностью).В ячейках F6:F7 содержатся фактические значения левых частей неравенств, соответствующих дополнительным ограничениям. Примечание. В случае, если при построении оптимизационной модели были допущены ошибки, либо если оптимизационная задача не имеет решения, в окне появляется одно из следующих сообщений: − «Значения целевой ячейки не сходятся»; − «Поиск не может найти решения»; − «Условия линейной модели не выполняются». В этом случае в окне «Результаты поиска решения» следует выбрать вариант «Восстановить исходные значения» и проверить правильность построения оптимизационной модели и задания ее параметров. 4. По результатам поиска решения Excel формирует отчет об устойчивости, который содержит информацию о теневых ценах ограничений и об интервалах устойчивости целевых коэффициентов и правых частей ограничений. Для получения этого отчета следует в окне «Результаты поиска решения», перед тем, как нажать на кнопку OK, выбрать элемент «Устойчивость» в списке «Отчеты». Методы принятия решений. Лабораторная работа № 1 16 После нажатия на кнопку OK в документе Excel будет создан дополнительный лист «Отчет об устойчивости». Вид такого отчета для рассматриваемой задачи показан на рис. 4.1. Первая таблица («Ячейки переменных») содержит информацию об интервалах устойчивости коэффициентов целевой функции. Границы интервалов устойчивости определяются значениями, содержащимися в столбцах «Допустимое увеличение» и «Допустимое уменьшение». Применительно к рассматриваемой задаче, значения в данных столбцах показывают, на сколько можно изменить доходность (цену реализации) краски каждого типа так, чтобы оптимальное решение (оптимальный план производства) при этом не изменилось. Например, увеличение значения коэффициента при x1 не более, чем на 1, или уменьшение его не более, чем на 3, не приводит к изменению оптимального решения. Иными словами, оптимальный план производ- Методы принятия решений. Лабораторная работа № 1 17 ства не будет изменяться при изменениях доходности производства краски для наружных работ в пределах от 2 до 6 тыс. д.е. за тонну (при условии сохранения доходности производства краски для внутренних работ на уровне 4 тыс. д.е. за тонну) В общем случае, если в оптимальном решении xj* > 0 (j-й вид продукции входит в оптимальный план), то имеется как верхний, так и нижний предел диапазона изменения соответствующего коэффициента целевой функции. Если же xj* = 0, то допустимое уменьшение может быть сколь угодно велико – продукт все равно не войдет в оптимальный план. Допустимое увеличение в этом случае определяет минимальную величину, на которую следует увеличить соответствующий целевой коэффициент, чтобы j-й продукт вошел в оптимальный план. Величина, противоположная этому увеличению, называется приведенной стоимостью и определяет, на сколько текущее значение цены продукта ниже минимальной цены, при которой j-й продукт может войти в оптимальный план (или текущие издержки выше максимальных). Необходимо иметь в виду, что интервал устойчивости коэффициента cj определяется при условии, что значения всех остальных целевых коэффициентов ck (k ≠ j) остаются неизменными. Одновременное изменение двух или более целевых коэффициентов, каждого внутри своего интервала устойчивости, может привести к изменению оптимального решения. 4.2. Вторая таблица («Ограничения») содержит результаты анализа устойчивости при изменении по отдельности правых частей bi ограничений (т.е. запасов ресурсов). Так, текущее оптимальное решение сохраняется до тех пор, пока ежедневный запас сырья A будет находиться в пределах от 20 до 36 тонн (допустимое увеличение – 12 тонн и допустимое уменьшение – 4 тонны). Столбец «Окончательное значение» содержит фактические значения правых частей ограничений, соответствующие оптимальному решению, т.е. фактический расход ресурсов (сырья) при найденном плане производства. На основании этих данных можно определить, какие ресурсы расходуются полностью (т.е. являются дефицитными), а какие – не полностью. Значения 1Е+30 означают неограниченное увеличение или уменьшение (1030 – максимальное число, известное Excel). Так, ресурс 3 является недефицитным, т.е. используется не полностью, по- Методы принятия решений. Лабораторная работа № 1 18 этому любое увеличение его запаса не повлияет на оптимальное решение. При этом столбец «Допустимое уменьшение» показывает, на сколько может быть уменьшено значение правой части ограничения (т.е. запас ресурса) при условии неизменности полученного оптимального решения. Теневые цены (столбец «Тень цена») соответствуют значениям yi* компонентов оптимального решения двойственной задачи и определяют, как изменяется значение целевой функции при изменении значения bi на единицу: ∆Z* = yi × ∆bi. Например, теневая цена 0,75 для первого ресурса (запас сырья A) показывает, что каждая дополнительная тонна данного сырья увеличит доход на 750 д.е. Заметим, что этот вывод справедлив только при условии, что запас сырья A находится в пределах от 20 до 36 тонн (т.е. в пределах интервала устойчивости). В отличии от дефицитных ресурсов (соответствующих активным ограничениям), теневая цена недефицитных ресурсов (соответствующих пассивным ограничениям) всегда равна нулю. Так, теневая цена для третьего ограничения в данной модели равна 0, и это означает, что ограничения, накладываемые рынком, на структуру производства (ограничения по спросу), в данной ситуации не оказывают влияния на оптимальное решение. Так же, как и в случае с целевыми коэффициентами, пределы устойчивости для изменения bi даются при условии, что остальные значения правых частей bk (k ≠ j) остаются неизменными. Одновременное изменение двух или более значений правых частей, каждого внутри своего интервала устойчивости, может привести к изменению теневых цен. Методы принятия решений. Лабораторная работа № 1 19 Контрольные вопросы и задания 1. Привести обобщенную математическую модель однокритериальной задачи принятия решений в условиях определенности для случая параметрического задания множества альтернатив. 2. Для оптимизационной модели, построенной при выполнении индивидуального задания, указать основные элементы задачи принятия решений: множество альтернатив, множество исходов, критерий оценки исходов, систему предпочтений ЛПР. Обосновать, что все эти задачи относятся к классу однокритериальных ЗПР в условиях определенности. 3. Объяснить содержательный смысл переменных, целевой функции и ограничений в оптимизационной модели, построенной при выполнении индивидуального задания. 4. Объяснить различие между общей, стандартной и канонической формами представления линейных оптимизационных моделей. 5. Объяснить, что означает эквивалентность различных форм представления линейных оптимизационных моделей. Привести правила преобразования стандартной формы в каноническую и канонической в стандартную. 6. Привести и пояснить пример геометрического представления линейной оптимизационной модели для случая двух переменных. 7. С какой целью выполняется анализ устойчивости линейных оптимизационных моделей? На какие вопросы он позволяет отвечать? 8. Какая информация содержится в отчете об устойчивости, формируемом по результатам поиска решения линейной оптимизационной задачи в среде Microsoft Excel? 9. Что характеризуют интервалы устойчивости целевых коэффициентов и правых частей ограничений? 10. Каким образом связаны между собой параметры прямой и двойственной задач линейной оптимизации (на примере модели задачи производственного планирования)? 11. Как связаны между собой оптимальные решения прямой и двойственной задач линейной оптимизации, а также факты наличия/отсутствия решений у этих задач? 12. Дать содержательную интерпретацию оптимального решения задачи, двойственной по отношению к задаче производственного планирования. Что характеризуют теневые цены ресурсов? Методы принятия решений. Лабораторная работа № 1 20 Ответы к первым пунктам заданий (для контроля) 1. Модель A – 20 шт., модель B – 552,63 шт., модель C – 602,63 шт. После округления: модель A – 20 шт., модель B – 552 шт., модель C – 603 шт. 2. Акции A – 75 тыс. руб., акции B – нет, акции C – 25 тыс. руб., облигации долгосрочные – 300 тыс. руб., облигации краткосрочные – нет, срочный вклад – 100 тыс. руб. 3. Сок яблочный – 600 л, сок апельсиновый – 1410 л, сок персиковый – 1240 л, сок «Яблоко-апельсин» – 300 л, сок «Яблоко-персик» – 1650 л, сок «Фруктовая смесь» – 2000 л. 4. Акции А – 2,08 тыс. ден.ед., акции В – 47,92 тыс. ден.ед., инвестиционный фонд – 20 тыс. ден.ед., государственные облигации – 30 тыс. ден.ед. 5. Regular – 300 кг, Extra – 3600 кг, Puppy Delite – нет. 6. Предприятие Предприятие 1 Предприятие 2 Предприятие 3 RC-11 0 116 0 План производства RC-18 RC-20 148,48 557,58 525,80 92,42 25,71 0 RC-22 0 0 300 7. Возможны 4 способа распила бревен: 12+8 футов, 10+10 футов, 10+8 футов, 8+8 футов. 255 бревен распиливаются 1-м способом, 50 бревен – 2-м и 10 бревен – 4-м. 8. Если требуется засеять весь участок, то кукуруза – 166,67 га, горох – 173,37 га, рожь – 357,14 га, пшеница – 302,82 га. Если данное требование отсутствует, то кукуруза – 100 га, горох – 210,53 га, рожь – 357,14 га, пшеница – 297,39 га. 9. Стул – 10, стол – 0, бюро – 4, книжный шкаф – 15, передвижной столик – 6. 10. A – 300, B – 188, C1 – 500, C2 – 400, D – 220, E6 – 50, F – 300.
