Add to collection(s) Add to saved
  1. No category
Uploaded by Sunnatillo Boltayev

МЕТОДИЧКА ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ЭКСПЛУАТАЦИОННЫХ РАСЧЕТАХ НА ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОМ ТРАНСПОРТЕ

advertisement 
ИНСТИТУТ
if
Л ЕН И Н ГРА Д С К И И О РД ЕН А ЛЕН И Н А
И Н Ж ЕН Е РО В Ж Е Л Е З Н О Д О Р О Ж Н О Г О ТРАН СПОРТА
имени академика В. Н. О Б РА ЗЦ О ВА
Кафедра «Эксплуатация железных дорог»
В. А. К У Д Р Я В Ц Е В , Е. М. Ж У К О В С К И Й ,
Ю. И. Е Ф И М Е Н К О , А. П. РОМАН ОВ,
В. М. С Е М Е Н О В
П Р И М Е Н Е Н И Е МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
В Э К С П Л У А Т А Ц И О Н Н Ы Х РАСЧЕТАХ
НА Ж Е Л Е З Н О Д О Р О Ж Н О М ТРАН СП ОРТ Е
Методические указания
Ч. II
Под общей редакцией доцента В. А. К У Д Р Я В Ц Е В А
О добр ен о
Редакционным советом
института
Л ЕН И Н ГР А Д
1977
III. МЕТОДЫ Т Е О РИ И ВЕРО Я ТН О С ТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
1. Понятие о случайных явлениях
На практике мы часто сталкиваемся с явлениями, данные
о которых не можем знать заблаговременно. Так, до получе­
ния точной информации мы не можем точно подсчитать вели­
чину выгрузки вагонов на станции, предсказать размеры дви­
жения поездов, число вагонов определенного назначения
в прибывающих поездах и др. Конкретные значения этих ве­
личин зависят от такого большого числа факторов, что их
практически невозможно учесть для предварительного под­
счета. Такие явления, которые трудно предусмотреть и стро­
го количественно оценить заранее, принято называть случай­
ными.
Однако в массе однородных случайных явлений могут су­
ществовать вполне определенные и устойчивые закономер­
ности. Случайно число вагонов в отдельном отцепе, но сред­
няя величина отцепа является довольно устойчивой величи­
ной. Т а к ж е устойчива средняя величина состава отправляе­
мого поезда, среднесуточные размеры движения на участке,
выгрузки вагонов на станции и т. п. Нетрудно заметить, что
большие по величине отцепы в расформировываемых поез­
дах встречаются значительно реже, чем маленькие.
Теория вероятностей изучает устойчивые закономерности,
которым подчиняются случайные явления в общей своей
массе. Она позволяет количественно оценить взаимоотноше­
ния между различными характеристиками этих явлений. М е­
тоды теории вероятностей не могут строго описать результат
отдельного единичного явления, но зато в состоянии строго
определить суммарное воздействие, исход многих случайных
событий. Поэтому вполне разумно использование этих мето­
дов при определении параметров мощности различных уст­
ройств, действующих в условиях относительной неопределен1
пости, оценки различных систем управления и автоматизации,
нормирования отдельных элементов производственного про7
цесса. Хотя работа железнодорожного транспорта основы­
вается у нас на плановом развитии народного хозяйства, тем
не менее объективно существует неравномерность перевозок,
которая вносит элемент неопределенности в транспортный
процесс. Учесть эту неопределенность и позволяют методы тео­
рии вероятностей и математической статистики. Математи­
ческая статистика позволяет применить методы теории ве­
роятностей к конкретным объектам на основе изучения их
работы.
где т — число случаев наступления события Л;
п -— общее число возможных случаев.
Например, три вагона, предназначенные для подачи к гру­
зовым фронтам I, 2, 3, могут стоять на станционном пути
в различной последовательности; 1— 2 — 3, 1— 3 — 2, 2— 3— 1,
2— 1— 3, 3— 1— 2, 3 — 2 — 1. Таких комбинаций шесть. Если для
подачи необходима их определенная последовательность, на­
пример 1— 2— 3 (считаем такую ситуацию событием А), то ее
вероятность будет:
Р( А ) = ± - .
О
2. Событие и вероятность
Под термином «событие» в теории вероятностей пони­
мается любой факт, который в результате опыта может про­
изойти или не произойти. В качестве события мы можем р а с ­
сматривать, например, наличие в очередном отцепе шестиос­
ного вагона, обнаружение неподхода центров автосцепки при
формировании поезда. События бывают простые, состоящие
из одного факта (как упомянутые), и сложные, состоящие из
сочетания нескольких фактов: например, подход двуд поездов
с разных направлений к точке пересечения их маршрутов,
прибытие в расформирование на сортировочную станцию пач­
ки из трех поездов и др.
События, кроме того, могут быть р а в н о в о з м о ж н ы м и
и неравновозможными, зависимыми и незави­
симыми,
совместимыми
и
несовместимыми
(т. е. не могущими произойти одновременно). Если из ряда
событий одно обязательно должно наступить, то такие собы ­
тия образуют п о л н у ю г р у п п у .
Частота появления событий оценивается их в е р о я т ­
н о с т ь ю . Вероятность достоверного события, т. е. события,
которое не может не произойти, оценивается единицей, вероят­
ность невозможного события — нулем. Вероятность любого со­
бытия может быть оценена правильной дробью в преде­
лах 0 -5“ 1.
Если мы производим серию опытов и в результате каждого
из них может произойти одно из нескольких событий, кото­
рые являются несовместными, равновозможными и состав­
ляют полную группу, то нетрудно определить вероятность на­
ступления одного из событий (например, события Л ) :
Р (А )= ^ -,
п
2
(19)
Вычисленную таким образом, вероятность называют м а ­
т е м а т и ч е с к о й в е р о я т н о с т ь ю . При ее вычислении не­
обходимо определять число всех возможных ситуаций и
число ситуаций, связанных с появлением интересующего нас
события. Д ля этого часто используются методы комбинато­
рики, позволяющие рассчитывать число различного рода сое­
динений: размещений, перестановок и сочетаний. Так, в р ас­
смотренном примере число всех возможных ситуаций опреде­
лится числом всех возможных перестановок из 3 элементов
по 3:
П3 = 3 ! = 6.
Общая формула для определения числа перестановок из п
элементов будет:
П„ = п !
Число сочетаний из п по т элементов (каж дое сочетание
отличается от другого самими элементами)
ri\
(]Ш_______________
от! (я —от) !
Число размещений из п по т элементов (размещения отли­
чаются друг от друга или самими элементами или их поряд­
ком) :
.
А™ =
п!
(п — от)!
Если в каждом размещении один или несколько элементов
могут повторяться, то число размещений с повторениями из п
но т элементов будет:
АА'п — пт\
3
Если рассматриваемые ситуации могут повторяться беско­
нечное число раз, то определить полную группу событий не­
возможно, а поэтому нельзя применить формулу (19) для вы­
числения вероятности. В этом случае часто используют фор­
мулу геометрической вероятности. Число всех возможных
случаев интерпретируется как число попаданий точки в плос­
кость S
(рис. 20 ), а число случаев, связанных с собы­
тием А — как число попада­
ний точки в плоскость s. При
одинаковой возможности по­
паданий точки в разные
места плоскости S вероят­
ность попадания на учас­
ток s будет:
Р (А)
(20)
Аналогично геометрическую
вероятность можно интер­
претировать и отрезком пря­
мой L, на котором располо­
жен отрезок /. Вероятность попаданий точки на отрезок опре­
делится отношением их длины:
Р(А)-
I
L
(21)
Например, через железнодорожный переезд проходит в сут­
ки 48 поездов, каждый из которых вы зы вает закрытие пере­
езда для автотранспорта на 5 мин. Определить вероятность
того, что переезд будет закрыт, можно, представив суточный
бюджет времени 1440 мин. в виде отрезка L, а общее время
закрытия переезда 4 8 - 5 = 240 мин. в виде отрезка /. Тогда
искомая вероятность будет:
Р(А)
1_
L
_240
1440
На практике часто приходится сталкиваться с неравновоз­
можными событиями, например, с наличием вагонов того или
иного назначения в прибывающем поезде. В таких случаях
часто используют
статистическую
вероятность,
или частоту события, т. е. отношение числа проведенных опы­
4
тов, в которых появилось интересующее нас событие, к обще­
му числу проведенных опытов:
р * (Л) = —
п*
.
(22)
Таким образом, частота появления событий устанавливает­
ся на основе статистических наблюдений. Если в 100 рассмот­
ренных составах, подлежащих роспуску с горки, обнаружено
10 составов, имеющих вагоны, которые запрещается спускать
с горки, то частота появления таких составов будет:
Р*(А)
Юо = 0 1
v )= - ш
При небольшом числе наблюдений частота носит случайный
характер, но при увеличении их числа она стабилизируется,
приближаясь к некоторой средней постоянной величине. Эта
постоянная величина и есть вероятность события. Таким об­
разом, вероятность события равна пределу, к которому .стре­
мится его частота при бесконечном увеличении числа наблю­
дений. Это сближение частоты и вероятности называется схо­
димостью по вероятности.
Пользуясь определением вероятности, можно решать сам о­
стоятельные задачи. Рассмотрим, например, такую задачу. На
станцию прибывает с направления А и д = 30 поездов, с на­
правления Б пБ —20 поездов в сутки. Маршруты приема этих
поездов имеют общую точку пересечения, поэтому при одно­
временном подходе поездов с обоих направлений один из них
вынужден задерж аться у входного сигнала. Время занятия
маршрутов приема поездами, прибывающими с направлений
А и Б, с учетом заблаговременного приготовления и разделки
соответственно равно: ^д = 8 мин., /с = 12 мин. Определить
средние потери времени в сутки на задержки поездов у вход­
ных сигналов при отсутствии твердого графика движения, т. е.
при случайном подходе поездов.
Определим вероятность занятия маршрута приема поезда­
ми того и другого направлений, воспользовавшись геометри­
ческим „определением:
р <£ > = - г а ! - ;
Поезд, прибывающий с направления А, может быть задержан
у входного сигнала с вероятностью Р ( Б ) , а поезд с направле­
ния Б — с вероятностью Р ( А ) . Среднее время задержки для
поезда с А составит t* =
для поезда с Б tll =
Число
задерж анных поездов, прибывающих с Л, будет « 3А = пАР(Б),
прибывающих с Б, — п * = п БР{А). Тогда потеря поездо-мин..
за сутки определится как
С — А {А2 . . . Л л =
+ n^tf — nAP ( E ) - ^ - + nB P ( A ) —± ~ -
=
Подставив в это выражение значения Р(А) и Р( Б) , получим
y nt
« А
tB
I
Я 1*3 * Па 1 4 4 0 ' ~ 2 ~
-
40 ■90
2880
Если, например, событие А есть прибытие на станцию поезда
одного направления, событие В — прибытие поезда противо­
положного направления, то событие С есть одновременное
прибытие этих поездов. Д л я нескольких-событий их произве­
дение обозначает совместное наступление всех событий:
п
/;
ПА1А
1440
2
ПАЛБ_ {£1 + # \ —
2880 Уь
(64 + 144) = 43 поездо-мин
3. О сн овн ы е тео р ем ы
теории вероятностей
Вероятность сложного события можно определить по веро­
ятностям составляющих его простых событий. В, этом случае
сложное событие представляют как комбинацию простых.
Различают две основные комбинации: сумму и произведение
событий.
Сумма двух событий есть такое третье событие, которое
состоит в появлении хотя бы одного из этих двух событий:
П
/=1
Теория вероятностей рассматривает следующие основные
теоремы:
1.
Вероятность суммы несовместных событий равна сумме
вероятностей этих событий. Так, для двух несовместных со ­
бытий
Р(А +В )=Р (А ) +Р(В);
(23)
для нескольких несовместных событий
Р ( | л , ) - (| Р ( Л , ) .
(24)
Так, если вероятность прибытия по какой-либо нитке графика
транзитного поезда составляет Я (Л) = 0 ,5 , разборочного —
( )
то вероятность занятия данной нитки грузовым
поездом составит Р ( А + В ) = 0 , 5 + 0,3 = 0,8.
Если несколько событий представляют полную группу не­
совместных событий, то сумма их вероятностей
С = А + В.
Если событие А представляет занятие маршрута на станции
поездом, прибывающим с одного направления, события В занятие маршрута поездом, прибывающим с другого направ­
ления, то событие С будет представлять занятие маршрута
тем или другим поездом. Сумма нескольких событий есть со­
бытие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий:
С = Л [ + Л 2 + . . . ~ЬА„ — > Al.
i i
2 Р (Л ,)= = Г .
(25)
Д в а несовместных события, из которых одно обязательно
должно произойти, называют противоположными. Так как они
составляют полную группу, то сумма их вероятностей такж е ■
равна 1. Если вероятность наступления события Л обозначим
'_) Pi вероятность того, что это событие не произойдет
P ( A ) = q , то
P(A)+P(A)=p + q= l.
(26)
Произведение двух событий есть такое третье событие, кото­
рое состоит в одновременном (совместном) появлении, первых
двух:
Значит, вероятность прямого события всегда можно опреде­
лить через вероятность противоположного:
С = АВ.
P = \ — q.
6
7
2. Вероятность произведения независимых событий' равна
произведению вероятностей этих событий. Д л я двух событий
Р(АВ)=Р(А)Р(В);
(27)
Р ( А ХА 2 . . . Ая) ^ Р ( А { ) Р { А г)' . . . Р(Ап).
(28)
для нескольких
Вероятность произведения нескольких зависящих событий
равна произведений вероятностей этих событий, причем ве­
роятность каждого последующего события вычисляется при
условии, что все предыдущие события имели место:
Р ( / М 2/13 .. Л ) = Р ( Л 1)/3(Л2/Л1) Я ( Л 3/Л1Л 2) . . .
Нели, например, вероятность прибытия на станцию за пе­
риод Т поезда одного направления Р(А) =0,6, противополож­
н о го— Р(В) = 0 ,8 , то вероятность одновременного прибытия
этих поездов
Р(АВ) - 0 , 6 - 0 , 8 = 0,48.
3. Вероятность суммы совместных событий равна сумме
их вероятностей без вероятности их совместного появления.
Д л я двух событий
Р(А + В) = Р ( А ) + Р ( В ) — Р(АВ).
(31)
На основании этих теорем выведена формула полной ве­
роятности. Если, например, событие А может произойти
совместно с одним из событий В\, В 2, . . . , В п, образующих
полную группу, и известна вероятность появления события А
при наступлении каждого из этих событий, то полную ве­
роятность появления события А можно вычислить по фор­
муле
Р ( А ) = ' Я Р ( В 1) Р ( А / В 1),
i=i
ч
(32)
(29)
4. Вероятность произведения двух зависимых событий
равна произведению вероятности одного из них На условную
вероятность другого:
Р{АВ)=Р(А)Р(В/А),
. . . Р ( А п 1АхА2 . . . А п„х).
(30)
гд е'Р(В/А) — вероятность события В, вычисленная при усло­
вии, что имело место событие А (условная ве­
роятность события В).
Если на станцию юо пяти ниткам графика прибывают три
поезда, то вероятность занятия какой-либо нитки будет
3
Р (А) = -р-. Определим вероятность прибытия на станцию по-
где P(Bi) — вероятность появления события B t\
Я ( Л / 5 ;) — вероятность появления события Л при условии,
что произошло событие B t.
Предположим, на грузовую станцию прибывают передачи
в адрес трех пунктов с вероятностью Р ( В Х) = 0,3; Р ( В 2) = 0,5;
Р ( В 3) = 0,2. В каждой передаче встречаются крытые вагоны
с вероятностью P(A/Bi) = 0 ,2 ; P(A/B2) = 0 , 4 ; Р(А/В3) = 0,6.
Вероятность наличия крытых вагонов в любой передаче
будет:
Р(А) = P ( B l) P ( A / B i) + Р ( В 2)Р (А /В 2) + Р ( В 3)Р (А /В з) =
= 0,3 •0,2 + 0,5 •0,4 + 0,2 •0,6 = 0,38.
О
ездов по первой и второй ниткам графика. Эта ситуация скл а­
дывается из двух событий: прибытия поезда по первой нитке
3
графика, имеющего вероятность Р(А) = — и прибытия поез­
да по второй нитке графика при условии, что по первой уже
прибыл поезд. Вероятность второго события будет Р(В/А) —
2
1
= — = ~2 ’ Тогда искомая вероятность определится как
Р { А В ) ~ - I - •\
8
= 0,3.
4. Случайные величины и их характеристики
Случайной величиной называется переменная величина,
которая в результате опыта может принять то или иное зна­
чение, заранее неизвестное. Различают дискретные и непре­
рывные случайные величины. К д и с к р е т н ы м (прерыв­
ным) относят такие величины, которые могут принимать ко­
нечное или счетное число значений (число вагонов, поездов,
пассажиров и т. п.). К н е п р е р ы в н ы м относят величины,
которые могут принимать любые значения из некоторого ко­
нечного или бесконечного промежутка (вес отправки, интер­
валы времени, тормозной путь, дальность пробега вагона
и т. п.). К аждое значение случайной величины можно рас­
сматривать как событие и говорить о вероятности его появ­
ления.
Поскольку случайная величина может принимать различ­
ные значения (хи лг2, . • х п), то для ее характеристики доста­
точно привести все эти значения. К аждое значение случайной
величины может появляться с определенной 'вероятностью
Pi — Р (x l). Все значения х,- составляют полную группу не­
совместных событий, поэтому сумма вероятностей всех воз­
можных значений случайной величины
Вероятность того, что случайная величина не выйдет за
пределы заданного диапазона, ограниченного значениями а
и b,
ь
Р ( а < л; < b) --= \ f ( x ) d x .
Практическое использование этих формул связано с труд­
ностями. Поэтому предложена несколько иная форма выра­
жения закона распределения. Передвигая точки х по оси
абсцисс, получим ряд значений:
!/ > ■ = 1.
* -1
xi
Р ( х < x t) == " j f ( x ) d x ~ F (Л;).
Эта суммарная вероятность распределяется между вероят­
ностями отдельных значений случайной величины. Соотноше­
ние, устанавливающее зависимость вероятности отдельного
значения случайной величины
от самого этого значения, на­
зывается
законом
рас­
пределения
случайной
величины.
Изобразив все
возможные значения случай­
ной величины и соответствую­
щие им вероятности на гра­
фике (рис. 21) , получим кри­
вую, выражающую закон рас­
пределения случайной величи­
ны (для дискретных величин
это будет ломаная линия).
Функция f(x), описывающая эту кривую, называется п л о т ­
ностью р а с п р е д е л е н и я
вероятностей (для дискрет­
ных величин 'распределение вероятностей). Т ак как вероят­
ности могут принимать лишь положительные значения, то
/(■*)> 0. Полная площадь, ограниченная кривой f(x) и осью
абсцисс, всегда равна единице (все значения x-t образуют
полную группу собы тий):
По этим значениям строим график (рис. 2 2 ). Описывающая
данную кривую функция F (х) называется функцией распре­
деления. Это неубывающая
функция (т. е. при х 2>Х \,
F ( x2) F (х i), которая при
х = — оо принимает значе­
ние F ( x ) —0, а при х = о о
F(x) = 1.
Ее
производная
равна плотности распреде­
ления: F ' ( x ) = f ( x ) . Поэтому
функция F (х) еще имеет на­
звание интегрального закона
распределения, а функция
}(х) — дифференциального
закона распределения.
Функцию F(x) удобно использовать для определения ве­
роятности того, что данная случайная величина не выйдет за
пределы заданного диапазона. Действительно,
Р (а
а
=
] .f ( x ) d x - ] f{x)dx = F {b )-F {d ).
— оо
Вероятность того, что данная случайная величина не пре­
высит определенного значения а, можно вычислить, исполь­
зуя имеющуюся зависимость f{x):
(37)
— оо
Несмотря на то, что дискретные и непрерывные случай­
ные величины имеют свои законы распределения, в практиче­
ских задачах часто для описания дискретных случайных в е­
личин используют законы распределения непрерывных слу­
а
lf(x )d x .
ь
х < b) = J / ( х ) d x =
(33)
— оо
Р (х < а ) =
(36)
— оо
+ со
f f ( x ) d x = 1.
(35)
а
(34)
Ю
/
чайных величин, и наоборот. Это возможно, .поскольку л ом а ­
ную случайной величины, выражающую закон распределения
дискретной, плавную кривую, выражающую закон распределе­
ния непрерывной случайной величины, можно приближенно
заменить плановой линейно-кусочной. Конкретные вы раж е­
ния F (х) для некоторых законов распределения будут р ас­
смотрены далее. '
Помимо закона распределения, который позволяет пол­
ностью охарактеризовать случайную величину, существуют
численные характеристики (параметры), которые выражают
наиболее существенные особенности случайной величины. В о
многих случаях эти параметры позволяют решать различные
вероятностные задачи, не прибегая к использованию закона
распределения. Рассмотрим основные параметры:
1. М а т е м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е , (среднее значение)
случайной величины тх для дискретной случайной величины
равна сумме произведений всех возможных ее значений на
соответствующие вероятности: '
« t
2 -Р л ;
(38)
i 1
для непрерывной:
оо
rnx =
J xf(x)dx.
(39)
— со
2, Д и с п е р с и я случайной величины D* является х арак ­
теристикой ее рассеивания и отраж ает разбросанность слу­
чайной величины относительно ее математического ожидания.
Дисперсия
равна математическому ожиданию квадрата
отклонения случайной величины от ее математического ож и­
дания. Д л я дискретной случайной величины
•£>*=■ 2
I 1
(*,- -г m S~Pi =
'ZtPtf - тх\
Г-1
ОО
•
J (х — mx)- f(x)dx
— СО
(42)
Среднеквадратическое отклонение имеет ту ж е размер­
ность, что и случайная величина.
4. К о э ф ф и ц и е н т в а р и а ц и и V относительно харак ­
теризует рассеивание случайной величины по сравнению с ее
математическим ожиданием:
5. Задачи математической статистики
Методы математической статистики находят применение
в теории и практических расчетах по эксплуатации железных
дорог.
Использование этих
методов в основном ведется
л двух направлениях:
1) изучение неравномерностей отдельных показателей
(вагоно- и поездопотоки, простой подвижного состава на стан­
циях, погонная нагрузка составов поездов и др.);
2) установление функциональной и корреляционной с в я ­
зи между изучаемыми показателями (величиной вагонопотока и количеством прибывших групп вагонов, весом состава и
его длиной и д р .) .
Обычно решение задачи методами математической стати­
стики производится в следующей последовательности: 1) уста­
новление необходимого объема наблюдений; 2) сбор и обра­
ботка статистических данных; 3) статистическое исследование
результатов, наблюдений.
6. Установление необходимого объема наблюдений
оо
= J х 2/ ( х ) dx — т\.
ах = / D~.
(40)
для непрерывной
Dx =
3. С р е д н е к в а д р а т и ч е с к о е
(стандартное)
' о т к л о н е н и е ох есть положительное значение квадратного
корня из дисперсии:
(41)
— оо
Размерность дисперсии соответствует квадрату размер­
ности случайной величины, поэтому дисперсию не всегда,
удобно использовать в расчетах.
Совокупность однородных объектов или явлений, объеди­
ненных по какому-нибудь общему признаку, составляет г ен е р а л ь н у ю с о в о к у п н о с т ь . Например, . нас интересует
выполнение статической нагрузки определенным типом под­
вижного состава. В се вагоны данного типа образуют генераль­
ную совокупность.
Целью наблюдений является изучение интересующих нас
свойств объектов генеральной совокупности. Эта задача бы­
13
Так,
например, при принятой надежности наблюдений
и требуемой точности в исследовании е = о,05 из
табл. 29 находим X = 1,96. При этом
ла бы решена, если бы удалось обследовать все объекты ге­
неральной совокупности. Чаще всего такое обследование тру­
доемко или требует больших материальных затрат, если
объем совокупности достаточно велик. В этих случаях,
используя выборочный метод статистики, случайно отбирают
из генеральной совокупности ограниченное число объектов
наблюдения и последние подвергают изучению.
Совокупность случайно отобранных для
наблюдения
объектов называют в ы б о р о ч н о й с о в о к у п н о с т ь ю , или
в ы б о р к о й . По найденным значениям характеристик выбо­
рочной совокупности судят о значениях характеристик гене­
ральной -совокупности.
Д л я обеспечения надежности этих выводов необходимо
при производстве наблюдений обеспечить следующие усло­
вия:
1) в выборке должно быть достаточное число объектов
наблюдения;
2) объекты наблюдения должны отраж ать генеральную
совокупность, т. е. обладать характеристиками,, присущими
генеральной совокупности. Например, выборка двух отцепов
распускаемого состава для определения среднего веса отцепа
не является достаточно надежной, так как в нее могут попасть
отцепы либо малого, либо большого веса. С увеличением
числа наблюдений (объема выборки) характеристики выбо­
рочной совокупности (среднее значение признака, его диспер­
сия и др.) приближаются к характеристикам генеральной со­
вокупности.
При обработке и анализе статистических данных грузовагоно- и поездопотокОв число наблюдений в выборке п мо­
ж е т быть определено по формуле
» > -£ r -
Р = 0,95
1,962
" >
Следовательно, объем выборки должен быть не менее
384 объектов.
Д л я того чтобы выборка правильно отражала свойства
генеральной совокупности, необходимо каждую единицу на­
блюдения брать н а у г а д , т. е. без какого-либо подбора, со­
вершенно случайно.
Если объекты генеральной совокупности подвижны и обес­
печивается их случайное появление, то в выборку включается
любая последовательность из п объектов. Например, появле­
ние вагонов какого-либо веса на сортировочной горке являет­
ся случайным, и для определения среднего веса можно взять
выборку из п последовательно расположенных вагонов.
Если объекты генеральной совокупности неподвижны или
их движение производится в определенном по отношению
к исследуемому признаку порядке, то отбор объектов в вы­
борку производится с помощью таблицы случайных чисел.
В этом случае каждому объекту присваиваются порядковые
номера, а объекты в выборку выбираются по номерам, полу­
чаемым из таблицы случайных чисел (приложение, табл. 1).
Например, при определении среднего веса угля в полува­
гонах необходимо отобрать 10 полувагонов из 100. Н уме­
руются все полувагоны от 0 до 99. Затем, начиная с любой
строки любого столбца таблицы случайных чисел, выписы­
ваем 10 двухзначных чисел. Так, начиная с первой строки
первого столбца таблицы, получим следующие номера: 21, 15,
51, 68, 33, 20, 83, 70, 56, 82. Если какое-либо число повторит­
ся, то оно пропускается и выбирается следующее. По полу­
ченным номерам выбираются вагоны для получения среднего
веса.
(44)
где X — величина, которая берется из таблиц значений инте­
грала вероятностей в зависимости от принятой на­
дежности Р = Ф(х) или степени достоверности полу­
ченных результатов (см. табл. 29 );
е.— требуемая точность в данном роде исследований.
В практике научных исследований чаще всего принимает­
ся е = 0,05, а Я = 0,95 — 0,99.
В тех случаях, когда пронумеровать объекты затруднитель­
но или невозможно, первый объект выбирается по номеру из
таблицы случайных чисел, а последующие через определен­
ные интервалы, величина которых определяется отношением
числа объектов в генеральной совокупности к выборке.
1,65
1,70
1,76
1,82
1,89
1,96
2,06
2,18
2,33
2,58
0,85
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
О
ф (•*)
1,44
00
о
Таблица 29
1,29
4 ■о д а - = 3 8 4 -
15
14
i
Обычно результаты наблюдений записываются в порядке
их поступления и оформляются в виде таблицы с указанием
значения исследуемой случайной величины и сколько раз она
наблюдалась. В качестве примера в табл. 30 приведены ре­
зультаты обследования величины состава грузовых поездов,
прибывающих на сортировочную станцию.
Таблица 30
Число наблю­
дений за со­
ставом поезда
44
23
55
45
50
34
51
29
62
36
54
43
67
57
35
56
42
111111111111111
1
1111111111111
111111111111111111
1111111111
. . 11
111
1111111111 . . . . 11
1
111111
11111
1111111111......... 11
1111111111111111
11
11111111
1111
11111111111
1111111111111
Величи­
Всего
на со ста ­
на­
ва поез­
блю­
да XI,
дений
физ.
hi
вагонов
15
1
13
18
30
3
25
1
6
5
25
16
2
8
4
11
13
I
63
39
60
48
53
40
'5 8
37
65
49
46
38
61
47
59
52
41
Величи­
В сего
на со ста ­
наблю­
ва поезда
дений,
XI,
7. Сбор и обработка статистических данных
Величина
состава
поезда
х (, физ.
вагонов
Таблица 31
Число наблюде­
ний за составом
поезда
В сего
на­
блю­
дений
А,
111
1111111
11111111
111111111111111111
111111111111111111
111111111
1111111111111111
1111111
111
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .... 11
1111111111111111111
11
11
11111111 ................... 11
11111111111111
11111111111111111111
111111111111
3
7
8
18
18
9
16
7
3
22
19
2
2
26
14
20
12
Полученный ряд значений случайной величины называется
с т а т и с т и ч е с к о й с о в о к у п н о с т ь ю . Из него невозмож­
но установить закономерность случайной величины. Поэтому
статистическая совокупность подвергается дальнейшей обра­
ботке, которая заключается в следующем; все данные распо­
лагаются в порядке возрастания или убывания значений слу­
чайной
величины. Получается
вариационный
ряд
(табл. 3 1 ), в котором просматривается закономерность слу­
чайной величины.
ваг.
hi
23
29
34
35
36
37
38
39
40
1
1
3
4
Величина
состава
поезда
х /, ваг.
В сего
наблю­
дений
41
42
43
44
45
46
47
48
49
12
13
'16
15
18
19
26
18
22
с
Г)
/
О
/
п
1
'
9
Всего Величина Всего
Величина
состава
на­
на­
состава
блю­
поезда
блю­
поезда
дений
дений
■ x t,
л ,, ваг.
ваг.
hi
hi
hi
50
51
52
53
54
55
56
57
58
30
25
20
18
25
13
11
16
- 16
-59
60
61
62
63
'65
67
14
"8
2
6
3
"3
2
Однако при большом числе наблюдений (порядка сотни
и больше) такая форма записи статистического материала
становится громоздкой и малонаглядной. В таких случаях со­
ставляется
так
называемый
статистический
ряд,
общий вид которого приведен в табл. 32.
Таблица 32
Ч и с ло н а б лю ­
дений. В е ли ­
чины X
Ч и с ле м а р лю д е н и и в да н н о м
и н те р в а ле
V & e m o rna н а Д / т
дений в е ли ч и ­
н ы X $ данном
и н те р в а ле
Р а з р я д ы .
x - x f
x , - x 2
h i
К
В с е го
x n -i~ X n
*
h2
p*
•••
h 3
'f h
p * = ^
...
3
,
hn
П*
bn
II
Например, для обследования направления движения пассажиров из генеральной совокупности в 10 000 пассажиров
необходимо выбрать 100. В выборку включается, начиная
с любого первого пассажира, каждый сотый из последующих.
Z h i
i -1
i -1
Д л я построения статистического ряда значения случайной
величины,, представленные в .вариационном ряде, объединяют­
ся в разряды. Практика показывает, что в большинстве слу­
чаев рационально выбирать число разрядов k = 10— 12. В ели­
чина разряда с зависит от размаха колебаний случайной ве­
личины (хт[п -*чпах) и может быть определена по формуле
-^max
с = —
-^rnin
к-----------
(45)
Например, для вариационного ряда в табл. 33 с числом раз­
рядов k = 10
67 -
23
16
2. За к. 465
17
Для удобства расчетов величина разряда принимается оди­
наковой. Значения случайных величин, совпадающих с грани­
цами разрядов, можно условно отнести к первым (в порядке
расположения) или вторым разрядам.
После установления величины разряда подсчитывается
число наблюдений, попадающих в тот или иной разряд, случай­
ной величины hi и строится статистический ряд (табл. 33,
гр. 1— 4 ) . При этом определяется статистическая вероятность
(частота) попадания случайной величины в соответствующий
разряд;
-
■
(рис. 23 ). Для ее построения по оси абсцисс откладываются
разряды, и на каждом из них строится прямоугольник, пло­
щадь которого равна частоте соответствующего разряда. П ол­
ная площадь-гистограммы равна единице. Соединив середи­
ны верхних сторон прямоугольников, получим м н о г о у г о л ь ­
н и к р а с п р е д е л е н и я случайной величины. На рис. -23
(46)
2 А,
(=1
где h.i — число наблюдений случайной величины в г-том раз­
ряде;
k
— общее число наблюдений;
/= 1 ‘
i — номер разряда (г — 1, 2, 3, . . . , & ) .
Таблица 33 г
№
п/п
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Среднее
Величина
значение
разряда
Xt в раз­
Xi
ряде
2
3
2 3 -3 1
31 - 3 5
3 5 —39
;:э —43
4 3 -4 7
47— 51
51 - 5 5
5 5 -5 9
5 9 -6 3
6 3 -6 7
27
33
37
41
45
49
53
57
61
65
Итого:
Число
наблю­
дений
hi
*
Р , = - к ‘—
hi
2 * ‘
/-1
4
5
2
7
21
50
78
95
76
47
10
5
'400
x iP*
—О *
6
7
x iP i
0,0050
0,0175
0,0525
0,1250
0,1950
0,2375
0,1900
0,1175
0,0475 •
0,0125
0,1350
0,5775
1,9495
5,1250
8,7750
11,6375
10,0700
6,6975
2,8975
0,8125
3,6450
19,0575
72,1315
210,1250
394,8750
570,2375
533,7100
381,7575
171,7475
52,8125
1,0000
48,6770
2415,0990
Рис. 23
приведены гистограмма и многоугольник распределения слу­
чайной величины х, построенные по данным статистического
ряда, представленного в табл. 33.
8. Статистическое исследование результатов наблюдений
Статистический ряд представляет собой эмпирическое рас­
пределение изучаемой случайной величины.
Д л я наглядности эмпирическое распределение изучаемой
случайной величины изображается в виде г и с т о г р а м м ы
18
Статистическое исследование результатов наблюдений з а ­
ключается в выявлении закономерностей в массовых случай­
ных явлениях. Оно включает в себя
19
— определение числовых характеристик статистического рас­
пределения;
■
— подбор закона, описывающего статистическое распределе­
ние;
•
— проверку согласованности кривых статистического и тео­
ретического распределений.
Числовые характеристики статистического ряда являются
аналогами числовых характеристик случайной величины и
приближенными оценками исследуемого массового процесса.
К основным числовым характеристикам относятся;
а) статистическое среднее т*, характеризующее положе­
ние статистического ряда распределения '
т*х = . . 2 x,p*i,
После представления опытных данных в виде гистограм­
мы и вычисления числовых характеристик статистического
ряда приступают к выравниванию последнего, заключающе­
муся в подборе плавной кривой распределения (закона р ас­
пределения), наиболее полно характеризующей данное рас­
пределение. Соответствующее этой кривой распределение бу­
дем называть т е о р е т и ч е с к и м .
^
Подбор закона, с достаточной точностью описывающего
статистическое распределение случайной величины, произво­
дится исходя из физической сущности исследуемого процесса
или явления. Дополнительными признаками могут служить
внешний вид гистограммы или многоугольника распределения
и числовые характеристики статистического ряда. Так, напри­
мер, для нормального закона распределения случайной вели­
чины все рассеивание (с точностью до процента) укладывает­
ся на участке т*. ± Зз*, для пуассоновского распределения
характерно примерное равенство т*х и D *, а для экспонен­
циального (показательного) распределения — т*х гг; ах. t*
Координаты теоретической кривой распределения рассчи­
тываются путем нахождения вероятности попадания случай­
ной величины в определенный интервал (37 ).
Так, для нормального закона распределения случайной
величины х (рис. 23) вероятности ее попадания в определен­
ный интервал определяются по формуле
(47)
/= 1
где x t — среднее значение случайной величины в /-том раз­
ряде;
p i — частота попадания случайной величины в г-тый р аз­
ряд;
Iг — номер разряда (г = 1 , 2 . . . , /г);
б) статистическая дисперсия Д с> характеризующая рассея­
ние ряда распределения,
д : = <=1
2 4 * ; - К ) 2;
(48)
в) статистическое среднеквадратическое
характеризующее
абсолютное отклонение
ряда,
P ( x i < x < x !+1) = F ( x i+l) - F ( x t) = Ф (и 1 +, ) - Ф ( а , ) ,
отклонение з*.
статистического
0; = / 5 ! ,
■где а'/, л-;+1 ■
— граничные значения случайной величины х;
Ф (и)
стандартная функция Л ап ласа, значения кото­
рой табулированы в зависимости от аргумента
х i — тх
и> — —
и приведены в табл. 2 прилож.
(49)
Вычисление статистического среднего т * и статистической
дисперсии Й удобно производить, пользуясь табличной схе­
мой расчета (табл. 33, гр. 6 — 7 ) . Так, например, числовые х а ­
рактеристики данного статистического ряда будут следую­
щими:
i°
7
m* = '2jXip* = 48,68 ваг.;
г= 1
X
Например, для первого разряда статистического ряда
(табл. 3 4 ), описываемого нормальным законом распределе­
ния с параметрами т* = 4 3 , 6 8 ваг., 0 .x = 6 ,7 4 ваг., вероятность
нахождения величины состава грузового поезда в интервале
2 3 А", с 31 будет равна:
ю
Dx =
-
« ) 2
= 2415,71 -
°.v = ] f D x —
45,36
(50)
4 8 ,6 82 = 45,36 ваг2.;
Л (23 <
6 74
Ф ( - 2,62) -
ва г .
< 3 1 ) - Ф f 3- 1. - 4 8 '6 8 ) V
6,74
)
Ф ( —3 ,48) = - 0 , 4 9 5 6 -
Ф <* ~ ^
\
6,74
( - 0 , 4 9 9 8 ) = 0,0022.
21
20
С
Д л я экспоненциального (показательного) распределения
(рис. 24)
вероятность попадания случайной величины х
в определенный интервал определяется по формуле.
Р {х , < * < x i+l) = F( XM) - F ( x t) =
= 1 — <? X'r,'+1
где
x i+l — граничные значения случайной величины;
^ — параметр распределения (величина,
статистическому среднем у);
е — основание натурального логарифма.
обратная
48,68
з* =
6,74;
R=
7;
Xs = 8'66:
Я (y=) = 0,33,
Значения функции е~х при различных значениях аргумента
табулированы и приведены в табл. 4 приложения.
Рис. 24
В табл. 35 приведен статистический ряд распределения
интервалов прибытия подвижного состава на грузовую стан­
цию, описываемый показательным законом распределения
с параметром к =
= 0 , 2 4 . Д л я второго разряда этого
23
ряда вероятность попадания интервала прибытия
ного состава в промежуток 2 < ^ < ; 4 будет равна;
подвиж­
Р (2 < х < 4) = <Г0’24' 2 - <Г0'24'4 = 0,6190 - 0,3830 = 0,2360.
Д ля эрланговского распределения (рис. 25) вероятность
попадания случайной величины в определенный интервал
равна разности значений интегральной функции распределе-
Рис. 25
ния на границах разрядов. Интегральная функция эрлангов­
ского распределения при значении параметра &= 2 будет
равна:
П А - Ь Ш
о
1 де х —
•
х - (А
0V
' •
1 - (2/.л: -ь 1)
dx -
J
0
\
(52)
случайная величина;
k — параметр распределения;
^ — среднее число событий,
времени
приходящихся
на
единицу
О со
Ю
Ю
О о
=r
С
О о
со
со
—
« со
со
со
со
о
ю о
со о
ю
Г
— •
—
•
о
о
см
о
г-1
00
СО
г-н
ю
см
т—
В табл. 36 в графе 12 приводятся значения ^(т/р) инте­
гральной функции распределения интервалов прибытия поез­
дов на станцию на границах разрядов статистического ряда,
а в графе 13 — значения вероятностей, определяемые по фор­
муле
С
П
CM
o>
o'
VO
a
05
00
о
о
со
ю
о
•—1
со
г—<
05
1
1
+
+
+
05
СО
см
ю
00
-
*
I
V
'
см
со
Q
ст>
со
со
г—«
о
о
о
о
ОО
о
о
ОО
о
о
со
о
со
см
1.0
СО
СО
со
ю
00
о
о
о
о
о
о
см
СО
о
о
ю
со
о
о
см
см
см
о
ОО
гсм
со
СО
со
со
о
05
со
ОО
СО
СО
Он
СО
СО
05
см
СО
о
см
1
00
о
1— 1
Ю
см
1
1
I
СО
о
ю
со
СГ5
СО
ОО
ю
о
о
о
CO
05
05
см
о
о
о
о
о
о
о
со
со
05
о
со
см
о
о
о
со
05
о
со
г-05
о
Г 'СО
о
о
о
о
о
Ю
см
см
1
1
о
о
о
__1
Ю
Ю
О
05
о
05
05
о
со
о
о
о
см
см
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
СО
ю
ю
СО
1— 1
’— 1
СО
см
ьСО
со
rt*
ОО
t".
h-
о
ОО
t 'см
ОО
со
со
со
со
. 05
00
ОО
CM
о
>2
ST
Так, для второго разряда статистического ряда, описы­
ваемого законом Эрланга с пйраметром k = 2, вероятность по­
падания интервалов прибытия поездов на станцию в интер­
вале
40 будет равна:
Р (2СГ<х< 40) = 0,652 — 0,303 = 0,349.
05
СП
о
см
05
CM
05
о
г-н
см
40
i
о
LO
CM
CM
о
05
о
05
«о
oo
CM
CM
о
VO
со
05
LO
CO
CO
00
Ю
OI
LO
CM
CM
CO
05
CM
о
о
о
05
Ю
05
»
—
*
05
CO
LO
Ю
00
о
CO
CO
Г+-
»— <
о
Of
00
со
■'f
ю
о
r—t
CO
CM
CO
CM
см
о
сч
см
см
8
ь*
05
Ю
ОО
-f
06
СО
ю
ю
о
20
ь*
/-<
см
50
см
гр
о
о
CO
CM
05
со
о
о
CM
T-H
r~~'
LO
LO
LO
T— <
о
со
CO
о
о
LO
CO
со
CM
со
oo
со
со
о
о
о
о
CM
l\\
7s
•Cti
о
о
8
г_'
CM
CM
CM
CO
Ю
ю
8
r— '
г“*
CO
CM
о
гм
CM
CO
05
CO
oo
CO
CO
о
о
СО
СО
rN
о
о
о
t"QO
C.N
о
со
о
о
о
CO
CO
CO
h-
oo
о
о
oo
CM
CM
Ю
О
CO
CO
о
о
о
о
00
05
05
01
!>
■
Ю
* 4
Q
00
C
"C
N
О
О
oo
1
о
о
-5 0
Ю
о
-2 0
CNv
о
см
со
’~~4
г-
о
о
с4
со
см
1
8
о
LO
о
о
о
ОО
8 .
о
о
о
ю
СО
г-
СО
(
00
1
05
о
О
H
у
S
26
Рис. 26
27
xi+1 ■/X
=
Р (х > x t) =
v
Л-= о X !
.Го-*!
М еж ду теоретической и статистической кривыми распреде­
ления всегда неизбежны расхождения. Они могут вызываться
случайными отклонениями и колебаниями обследуемой вели­
чины или другими факторами, которые не были учтены в тео­
ретическом распределении. Эти отклонения могут быть такж £
вызваны неудачным подбором теоретической кривой распре­
деления.
Д ля оценки согласованности теоретического распределе­
ния случайной величины наиболее часто применяют крите­
рий согласия Пирсона. Идея его применения заключается
в следующем.
Д ля того чтобы принять или опровергнуть теоретическое
распределение, определяется величина X2 (хи-квадрат), х а ­
рактеризующая расхождение между статистическим и теоре­
тическим распределениями. Значение может быть определено
по одной из следующих формул:
28
S
1
=
о
о
fi
о
.-Ч
СМ
о
Г-Г
СО
ю
СМ
ю
^
Г-н
1
со
+
ю
4-
ю
+
см
+
’—'
't-
СО
00
t-СО
СО
со
СО
СМ
о
05
сч
о
rf
со
С
М
СМ
о
СО
о
СМ
У—
о
Ю
со
Tf
о
о
о>
СО
СО
т-“<
t-«
i
1
.
(5 5 )
О.,
о
h-
О
О
о
о
С
ь
см
1V
»
Cl
СО
О
О
о
СО
О
05
о
со
05
05
о
05
05
СО
00
о
h-
со
05
о
СМ
Th
СМ
ио
о
ю
т—<
о
00
t'о
о
О
со
о
со
со
т—
о
о
о
о
Г"со
СМ
о
о
тгг
СО
<м
о
оо
СО
со
*
—1
о
о
Q
СО
о
о
о
°
(М
о
о
t-со
о
о
о
о
со
о
о
о
о
00
о
00
со
см
о
оо
о
о
о
05
со
оо
СО
о
о
о
о
о
о
со
СО
о
о
о
о
о
см
о
со
05
о
си
о
со
1
<м
00
1
тт*
СО
СМ
со
CD
cd
о
rt*
СП
1^“
о
о
о
о
о
со
05
ю
о
О)
о
Тр
00
о
г—<
о
о
р
-
СО
о
°
ю
см
05
т—1
ю
05
оо
<м
1
о
о
о
о
о
СО
со
<
о
о
о
о
Ю
^
СО
00
о
со
со
СО
о
1-0
г—1
О
Г-4
о
о
ю
11
•
о
о
1^
ю
со
о
fСО
Ю
о
о
2
о
о
О
см
см
со
со
05
о
rf
ю 05
CO CN ю
Г—< O'.
со СМ оо
О О О
ст.
(5 4 ,
Pi
V
2 . ------------г ----------- --
i=\
ю
СМ
со
*
—<
о
СО
СМ
п/п |
,
о
t"г—<
о
•
si*
4
—*
а
X
о
о
см
о
•с
>
—■
'
F(x ,) = 0 ,0 9 9 6 — 0,0137 = 0,0859.
(= 1
ю
<М
00
(5 3 )
где I*- — параметр пуассоновского распределения, Я= m l .
xi *1 Xх
Значения функции - V —_ протабулированы в табл. 3
" о а: !
приложения.
В табл. 37 приведен статистический ряд распределения
поступления вагонов на грузовой пункт, который описывает­
ся законом Пуассона с параметром ^ = 8 ваг./сут. Д л я вто­
рого разряда статистического ряда вероятность того, что на
грузовой пункт поступит от 2 до 4 ваг., будет равна:
Р ( 2 < х < 4 ) = ( F x hi) -
СМ
О
'—'
<
Х1 ) X
V
•
«*
1 ■к
Р (Xs) = 0,4335
Р ( xi < X < х м ) = Р (х < х м )
VO
Q
К.
о
—*
о
7,725;
оэ
а
Для пуассоновского распределения случайной величины А'
(рис. 26) вероятность ее попадания в определенный интервал
определяется по формуле
СО
ю
00
лсм
I
о
о
оо
05
о
СМ
^
СО
оо
1
о
(М
00
1
о
CM
т*
СО
оо
ю
со
г-
ОС
05
о
29
г д е р*, pi — соответственно статистическая и теоретическая
вероятности нахождения случайной величины
в /-том разряде;
п — общее число наблюдений;
h.h f i •— число значений случайной величины в i -том р аз­
ряде соответственно по статистическому и теоре­
тическому распределениям;
i — номер
разряда
статистического
ряда (г =
= 1 , 2,
к).
Число значений случайной величины по теоретическому р ас­
пределению определяется по формуле
Л
Pi b ' i i
(56)
Величина X2 является случайной.
Если гипотеза о теоретическом законе распределения вер­
на, то закон распределения величины X2 определяется зако­
ном распределения величины X и числом наблюдений п. С ле­
довательно, можно вычислить Р (х2) , т. е. вероятность того,
что за счет случайных колебаний величина X2 будет не мень­
ше полученной в наблюдениях. Если эта вероятность велика,
то можно считать, что гипотеза о теоретическом законе рас­
пределения не противоречит данным наблюдения. Если эта
вероятность мала, то гипотезу о теоретическом законе рас­
пределения следует отвергнуть. Величину вероятности, при
которой следует отвергать теоретический закон распределе­
ния, нельзя определить из математических соображений.
Обычно считают, что при вероятности Р ( х 2) < 0 , 1 теоретичес­
кий закон распределения не отраж ает статистического распре­
деления, и следует проверить новую гипотезу или увеличить
число наблюдений.
Распределение X2 зависит от параметра R, называемого
числом степеней свободы. Число степеней свободы равно
числу разрядов k минус число независимых условий, нало­
женных на частоты; R —k — S . Такими условиями могут быть
следующие:
1) сумма частот должна равняться единице! ^ р*, = 2 а = 1 1
4=1
i'-l
/
Выполнение этого требования необходимо во всех случаях;
2) совпадение статистического среднего и математического
ожидания случайной величины (яг* = т х);
3) совпадение статистической и теоретической дисперсий
( D \ = D x) И Т. Д.
30
Обычно для нормального закона распределения прини­
мается 5 = 3, для распределений пуассоновского, экспонен­
циального и Эрланга 5 = 2. Д ля распределения X2 составлены
специальные таблицы (табл. 5 прилож.). Пользуясь этими
таблицами, можно для каждого значения X2 и числа степеней
свободы R найти Р(х2), т. е. вероятность того, что величина,
распределенная по закону X2, превзойдет это значение.
Таким образом, схема применения критерия X2 к оценке
согласования теоретического и статистического распределений
сводится к следующему:
1) определяется мера расхождения X2 по формуле (54)
или (5 5 );
2) определяется число степеней свободы R по форму­
ле (5 7 );
3) по R и X2 с помощью табл. 5 прилож. определяет­
ся Я ( х 2).
Подсчет значений p-L и х 2 по приведенным выше формулам
удобно производить в табличной форме.
Во всех рассмотренных примерах Р ( х 2) > 0 , 1. Следователь­
но, гипотезы о принятых законах распределения случайной
величины можно признать не противоречащими статистиче­
ским данным.
Следует заметить, что при использовании критерия Пир­
сона достаточно большим должно быть не только число на­
блюдений, но и число наблюдений в отдельных разрядах с т а ­
тистического ряда. Д л я каждого разряда статистического ря­
да рекомендуется не менее 6 — 8 наблюдений. Если число на­
блюдений в отдельных разрядах мало (один:д в а ), имеет
смысл объединить их.
Правило Романовского значительно облегчает применение
критерия согласия Пирсона для оценки расхождения между
статистическим и теоретическим распределениями. Согласно
этому правилу, если
V^2R
< 3
то расхождение считается случайным и принятый закон рас­
пределения удовлетворительно описывает статистическое р ас­
пределение. В противном случае расхождения считаются су­
щественными, и гипотеза о принятом законе распределения
отбрасывается, проверяется другой закон распределения или
увеличивается число наблюдений.
31
Например,
р. табл. 36,
для'
статистического
Х > _ Я _
ю .9 3 -8
/ 2/ ?
У 2 •
ряда,
приведенного
/с - mslH+ m j 6 -+- туЧ*р +
= а д з < 3 ^
Следовательно, гипотеза о нормальном законе распреде­
ления случайной величины не противоречит данным наблю­
дения.
9. Определение средней весовой нормы грузовых поездов
На линиях с прогрессивными видами тяги объективно
существуют три категории весовых норм грузовых поездов: •
— критическая Q Kp, которая устанавливается по силе тяги
локомотива и расчетному подъему;
— графиковая (расчетная) Qp, которая принимается в осно­
ву построения, графика и по которой производится определе­
ние перегонных времен хода;
— средняя (фактическая) (2ф, которая может быть достигну­
та в конкретных условиях работы направления за период
действия графика.
При этом соблюдается неравенство Q кр>- Qp > (2ф.
Средняя весовая норма, отличная от графиковой, появ­
ляется на линиях с ограниченной длиной приемо-отправочных
пу<гей на станциях. Она является важнейшим эксплуатацион­
ным показателем работы дорог и сети в целом. Эта норма
устанавливается как качественный показатель работы диспет­
черского аппарата и сортировочных и участковых станций
формирования поездов.
Д л я направлений, имеющих ограничение веса поездов по
длине станционных путей, графиковая весовая норма опреде­
ляется по формуле
Qp = (А:т
где
1.
На основе итоговой таблицы натурного листа опреде­
ляются:
длина состава
Lл) Яр1
(58)
/ст — полезная-длина приемо-отправочных путей, м;
/л— длина локомотива с учетом расстояния на его
установку в пределах полезной длины пути, м;
<7Р— расчетная погонная нагрузка состава брутто, т/км.
Каждому значению Q p соответствует строго определенная
величина среднего веса поезда Q(}).
Значение средней весовой нормы устанавливается на осно­
ве статистической обработки натурных листов поездов в с л е­
дующей последовательности:
(59)
где т 8, т 6, т*р, . . . — количество физических восьмиосных,
шестиосных, крытых четырехосных и
прочих вагонов в составе;
l&,
Ч9, . . . — длина соответствующего вагона, м.
В табл. 38 приведена длина единиц подвижного состава.
Таблица 38
Род подвижного состава
Длина,
м
В агоны п ассаж и рского парка
Четырехосные цельнометаллические
Остальные ч е т ы р е х о с н ы е ...........................................
25
20
В агоны гр у зового парка
Восьмиоеные
.
.
.
.
.
.
.
Ш естиосные
.
.
.
.........................................
Четырехосные крытые и изотермические
Четырехосные крытые для перевозки скота (специальные)
Четырехосные полувагоны и платформы
Четырехосные цистерны, цементовозы, думпкары
12-вагонной секции
.
.
.
.
•5-вагонной
„
.
.
.
.
.
.
а в т о н о м н ы е .........................................
Двухосные платформы и изотермические
Двухосные крытые цистерны
20
17
15
18
14
12
19
22
20
10
8
вес вагона брутто
т
(60)
где Q 6p — вес состава брутто, т;
т — число вагонов,в составе;
— длина вагона
L
I
(61)
погонная нагрузка состава
q= ■
3. Зак. 465
Qtip
т
(62)
33
со
qm\a, <7тах— минимальное и максимальное значения по­
гонной нагрузки из статистического ряда
распределения.
Средний состав поезда можно подсчитать по выражениям:
/с
тф= - р г ■
сч
-
(66)
Номера
интервалов
<3ф
/Яф=— s— ;
Чб
(67)
В
Из формул (64) и (65) следует, что на уменьшение сред­
ней весовой нормы по отношению к графиковой, в условиях
ограничения их по длине станционных путей, оказываю т влияS4
3*
Г
,0
2
1,000
0,005
0,015
0,037
0,065
0,092
0,162
0,205
0,155
0,113
0,085
400
о
6
37
65
82
62
45
4,6
4,4
4,2
4,0
26
15
5,6
5,4
5,2
5,0
4,8
5,7
5,5
5,3
5,1
4,9
4,7
5 ,5 1 -
со
^ соLQ СО
со”
со
g
-Z*
°
0,010 0,018
(65)
Статистическая
вероятность собы ­
тия р*
•
34
J
7
?р
4
\
соб ы ­
^тах
Частота
тия hi
Чр \
1 -
3,8
41
/
3,4
где
Ч
Г)
+
3,71
^тах п I
It-
ю
3,2
ю
Середина интер­
валов q h т/пог. м
^min
где q t —-значение погонной нагрузки из ряда распределения,
имеющее вероятность р*, т/пог. м.
Средняя (фактическая) длина состава определяется по
формуле
4,5
С'-~
(64)
4,3
00
4,1
ст>
—3,9
о
3,91 — 4,11— 4,31 — 4,51 — 4,71 — 4 , 9 1 - 5,11 — 5,31 —
г—
*
(63)
I*
Сумма
2
где q H— математическое ожидание погонной нагрузки соста­
ва для средней весовой нормы, т/пог. м.
Величина q n вы раж ает среднюю (условную) погонную на­
грузку, приходящуюся на 1 м расчетной длины состава
/ р = / ст — /л, и может быть определена по выражению
<7„ = 2 фР 1 + qv\ 1 ^min
со
Г раницы
интер­ 3,11 — 3,31 —
валов
(от . . . до) т/пог. м
3,3
3,5
Qcj, = (/„ - I,) <7„,
Таблица 39
Для обеспечения высокой достоверности расчета по к а ж ­
дому направлению движения и рассматриваемой категории
поездов объем выборки должен быть не менее 4 00— 500 на­
турных листов.
2. Полученные значения q 6p, l B, q сводятся в статистиче­
ские ряды распределения. Форма статистического ряда рас­
пределения для величины q приведена в табл. 39. На основе
статистических данных подсчитываются средние значения q*.
и С
3. Д л я расчетной погонной нагрузки qp, по которой на
основе формулы (58) установлена графиковая весовая норма,
средний вес поезда составит:
35
ние те составы, для которых фактическая погонная нагрузка
меньше расчетной q < q v- И наоборот, средняя длина будет
меньше расчетной у тех составов, для которых q > q v.
В качестве примера приведен статистический ряд распре­
деления для рассматриваемой категории поездов при /ст :==
= 850 м, /л = 5 0 м (табл. 3 9).
На основе статистической обработки натурных листов
определено: q*6p = 6 4 , 8 т/ваг.; /* = 14,8 м. Графиковая весовая
норма установлена по расчетной погонной нагрузке qp —
= 5 т/пог. м и
по
формуле
(58) составляет: Qp =
= (850 — 5 0 )5 ,0 = 4000 т.
В соответствии с формулой (64) величина q n будет:
q H= 3,2 -0,01 + 3 , 4 -0,018 + 3,6 - 0 , 0 3 8 + . . . + 4 , 8 - 0 , 0 9 2 +
Под термином «требование» понимается запрос на удовлетво­
рение какой-либо потребности или выполнение определенной
технологической операции. Последовательность требований,
поступающих на обслуживание в какие-то моменты времени,
составляет поток требований. Сущность обслуживания за к л ю ­
чается в удовлетворении потребности и зависит от назначе­
ния и типа системы.
Примеры характерных для транспорта потоков требований,
сущности обслуживания и обслуживающих устройств приве­
дены в табл. 40.
Таблица 40
Поток требований
1
1
Сущность
обслуживания
Обслуживающие
устройства
+ 5 ,0 - 0 ,0 6 5 + 5,0(1 — 0,943) = 4 , 3 6 т/пог. м.
Поезда
По формуле (63) имеем:
Отправление
Q(t, = (850 — 5 0 )4 ,36 = 3488 т, что составляет 87% к расчет­
ному весу.
Средняя длина состава (65) будет:
/? =
0 ,065 +
0 ,0 3 7 +
' 4000 0,0 05 +
1 5,6
’
1 5,0
Технический и коммер­ ■ Бригады осмотрщиков
ческий осмотр
Расформирование
и
Сортировочные устрой­
формирование
ства и маневровые ло­
комотивы
Группы вагонов
Подача
(уборка)
на
Маневровый
локомо­
грузовые фронты
тив
Выполнение
грузовых
Погрузочно - разгру­
операций
зочные устройства
Ремонт
Ремонтные бригады
Средний состав поезда (66) и (6 7 ):
m* =
Q,|,
3488
< 7 “
« ж
С
14,8
~ 5 4 м г -:
Л окомотивы
; 54 ваг.
Технический осмотр
Экипировка
Ремонт
IV. О С Н О ВН Ы Е ПОЛО Ж ЕНИЯ Т ЕО РИ И МАССОВОГО
О БС Л У Ж И ВАН И Я
Приемо - отправочные
пути
Перегон
(блок-уча­
сток)
Составы
0 ,0 1 5 +
(1 - 0 , 1 2 2 ) = 797 м.
Прием на станцию
П ассаж иры
П родажа
билетов
Локомотивные или спе­
циальные бригады
Экипировочные
уст­
ройства
Ремонтные стойла и
бригады
Билетные кассы и ав­
томаты
1. Общие понятия
Под системой массового обслуживания обычно понимают
совокупность взаимодействующих между собой в процессе об­
служивания потока требований и обслуживающих устройств*.
*
В некоторых литературных источниках вместо «требование» упот­
ребляют термины «заявки», «вызовы», а вместо обслуживающего устрой­
ства — приборы, каналы обслуживания.
36
Установлением зависимостей между потоком требований.
обслуживанием и обслуживающими устройствами занимается
теория массового обслуживания, целью которой является раз­
работка математических методов для отыскания основных
характеристик процессов массового обслуживания и оценки
37
качества функционирования обслуживающих систем. Наибо­
л е е распространенная практическая задача теории массового
обслуживания —•выбор оптимального количества обслужи­
вающих устройств.
2. Элементы систем массового обслуживания и их основные
характеристики
Основными элементами системы массового обслуживания
(рис. 27) являются входящий поток требований, обслуж иваю ­
щие устройства и выходящий поток.
Входящий Обслуживающие
поток
устройства
ч о ы
— ---------------------□
=
\ —
п
Выходящий
поток
■
-
p= ty>i
(69)
и в значительной степени определяет эффективность функцио­
нирования.
3. Классификация систем массового обслуживания
/
•
-------------------------------------------------------
Рис. 27
В х о . д я щ и й п о т о к в общем случае представляет собой
поток случайных событий и характеризуется интенсивностью ^
и законом распределения. Под интенсивностью (плотностью)
потока А, понимают среднее число требований, поступающих
р^систему в единицу времени.
Закон распределения входящего потока может характе­
ризовать распределение числа требований, поступающих за
определенные периоды времени, или распределение интерва­
лов между последовательными поступлениями требований.
Основные виды потоков событий: простейший (пуассоновский), Эрланга, биномиальный, регулярный.
При помощи о б с л у ж и в а ю щ и х у с т р о й с т в произ­
водится обслуживание требований вводящего потока, которое
характеризуется интенсивностью обслуживания м- и средним
значением времени обслуживания
Хер = 4 - .
В транспортных системах встречается время обслужива­
ния постоянное, произвольное и распределенное по показатель­
ному или эрланговскому закону.
В ы х о д я щ и й п о т о к требований характеризуется таки­
ми ж е параметрами, что и входящий. Отношение интенсив­
ности входящего потока ^ к интенсивности обслуживания I*
называется коэффициентом использования, или загрузкой си­
стемы:
(68)
а такж е законом распределения этого времени.
Интенсивность обслуживания ц представляет собой сред­
нее число требований, которые могут быть обслужены в еди­
ницу времени. Она является величиной, обратной среднему
времени обслуживания.
Системы массового обслуживания классифицируются по
ряду признаков. В зависимости от поведения требования, по­
ступившего в систему в момент занятости всех обслуживаю­
щих устройств; различают системы с ожиданием, с потерями
и смешанные. В системах с ожиданием требования при заня­
тости всех каналов становятся в очередь и ж дут обслуж ива­
ния. В системах с потерями при получении отказа требова­
ния покидают систему, не ожидая обслуживания. В смешан­
ных системах требования при соблюдении определенных усло­
вий (ограничений) ожидают обслуживания, в противном слу­
чае —• покидают систему. На железнодорожном транспорте
чаще всего встречаются системы массового обслуживания
с ожиданием и смешанные.
По числу обслуживающих устройств системы делятся на
одноканальные и многоканальные, а по числу фаз обслужива­
ния — однофазные и многофазные. Примером многофазной
системы массового обслуживания может служить сортировоч­
ная станция, где входящий поток, обслуженный в одном пар­
ке, направляется в другой.
По дисциплине обслуживания различают системы с прио­
ритетами я системы с обслуживанием в порядке поступления
„требований.
Приоритеты, т. е. преимущества в обслуживании одной
категории требований перед другими, могут быть абсолютны­
ми или относительными. При поступлении требования с абсо­
лютным приоритетом и занятости всех обслуживающих уст­
ройств прекращается обслуживание одного из «рядовых» тре­
бований п немедленно начинается обслуживание приоритет­
ного требования. При поступлении требования с относитель­
ным приоритетом обслуживание других требований пе пре­
кращается, но они становятся на первое место в очереди.
39
■
Чаще всего обслуживание в транспортных системах ве­
дется в порядке поступления требований, а приоритеты при­
меняются как мера улучшения определенных показателей.
Например, для ускорения накопления составов на горках не­
редко дается относительный приоритет в обслуживании соста­
вов с замыкающими группами вагонов. Кроме того, разли­
чают замкнутые и разомкнутые (открытые) системы, а также
полнодоступные и неполнодоступные системы.
В замкнутых системах обращается некоторое постоянное
число требований, а в разомкнутых число требований, кото­
рые могут поступать в данную систему, практически не огра­
ничено. Замкнутой можно считать систему обслуживания (на­
пример, ремонта) локомотивов, приписанных к депо и обра­
щающихся на данном участке, а разомкнутой — систему рас •
формирования вагонов на горке.
Полнодоступными считаются системы, в которых все об­
служивающие устройства всегда готовы к обслуживанию по­
ступающих
требований,
а неполнодоступными — системы,
в которых часть обслуживающих устройств в определенные
периоды выключается из процесса обслуживания. Полнодо­
ступной является, например, система -продажи билетов в не­
скольких кассах (автом атах), поскольку пассажир может з а ­
нимать очередь в любую из касс. Примером неполнодоступ­
ной системы является система формирования поездов в хво­
стовой горловине сортировочного парка, где взаимопомощь
маневровых локомотивов ограничивается конструкцией гор­
ловины (враждебностью маршрутов).
4. Простейший поток
Аналитические методы теории массового обслуживания
наиболее полно разработаны для так называемых простейших
потоков.
Изобразим на числовой оси поток однородных событий
(требований), различающихся моментами появления. Имеем
последовательность точек t\, t2, . . . , tn, . . . , соответствующих:
моментам появления событий (рис. 28).
t ; £&
Сз
-f---- С)—о-- ---оо
Поток событий называется с т а ц и о н а р н ы м , если ве­
роятность попадания того или иного числа событий на уча­
сток времени длиной т зависит только от длины участка и не
зависит от того, где именно на оси расположен этот участок.
Стационарность потока вы раж ает собой неизменность его ве­
роятностного режима во времени.
Поток событий назы вается потоком б е з п о с л е д е й с т ­
в и я , если для любых непересекающихся промежутков време­
ни число событий, попадающих на один из них, не зависит от
числа событий, попадающих на другие. Условие отсутствия
последействия, означает, что заявки поступают в систему неза­
висимо друг от друга.
Поток событий называется о р д и н а р н ы м , если вероят­
ность попадания на элементарный участок
двух или более
событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью
попадания одного события. Иными словами, ординарность по­
тока вы раж ает собой практическую невозможность совмеще­
ния двух или более событий в один и тот ж е момент времени.
Если поток событий обладает всеми тремя свойствами,
т е. стационарен, не имеет последействий и ординарен, то он
является простейшим или стационарным пуассоновским по­
током.
Его особенность заключается в том, что число требова­
ний /г, поступающих за период времени t, имеет пуассоновское распределение:
Рк ( 0
(И )*
,,
—£-|- е ~ и
{к = 0,1, . . . п ),
(70)
а интервал времени t между последовательно поступающими
требованиями — показательное распределение:
P t = le ~ u -
(71)
Известно, что для закона Пуассона математическое ож и­
дание случайной величины равно его параметру, т. е. в дан­
ном случае
M t {k]=U,
а для t= 1 M[k\ = ^. Значит, параметр ^ представляет собой
математическое ожидание числа требований, поступающих
в единицу времени, или интенсивность потока. Таким обра­
зом, для описания простейшего потока необходимо з г т т ь
только одну величину — интенсивность потока требований.
41
5. Показатели качества функционирования систем
массового обслуживания
Качество функционирования систем массового обслужи­
вания может быть оценено целым рядом показателей, выбор
которых зависит от характера решаемой задачи и типа си­
стемы.
Основными показателями являются:
— загрузка системы р;
— среднее время ожидания обслуживания w;
—■ средняя длина очереди v, т. е. количество требований,
ожидающих обслуживания;
— среднее ч и с л о , занятых обслуживающих устройств (сред­
нее число требований, находящихся в процессе обслужи­
вания) .
Кроме того, в ряде случаев используются и такие показа­
тели, как среднее время обслуживания, средняя продолжи­
тельность нахождения требования в системе (в очереди и
в процессе обслуживания), среднее число требований в си­
стеме, вероятность отказа в обслуживании и др.
Для определения требуемых показателей системы массо­
вого обслуживания необходимо предварительно установить:
• — характеристики входящего потока;
— характеристики процесса обслуживания;
— дисциплину обслуживания.
Д ля открытых систем, с ожиданием, которые чаще всего
встречаются в практике эксплуатационной работы, сущест­
вуют следующие зависимости между показателями.
Среднее число требований L, находящихся в системе, опре­
деляется по формуле
L = ^ u = v w = >~i y w
= 4
ffi’ + T cp)>
( 7 2 )'
где ^ — интенсивность потока требований в системе;
j a _ интенсивность обслуживания;
ш — среднее время ожидания обслуживания;
и — средняя продолжительность пребывания требования
в системе, причем
« = т ср + W -
(7 3 )
Среднее число требований в узле обслуживания
/ = р М ,
( 7 4 )
43
42
11
’
.,
--
-
'
тде М — число обслуживающих устройств;
р— коэффициент использования системы.
Среднее число требований, находящихся в очереди,
v =^ w .
/
(75)
Среднее время ожидания обслуживания для всех посту­
пающих требований
—
^
L
то = 4 - - = ------ •
Л
щения простоя составов в сортировочном паркер Приведен­
ные затраты на дополнительные локомотивы и вытяжные
пути могут быть определены по существующим нормам. При­
веденные расходы на маневровый локомотив и вытяжной
путь для формирования составов в сортировочном парке,
руб./сут. (полная длина пути — 600 м,' нормативный срок оку­
паемости Тп = 1-0 лет), даны в табл. 42.
Таблица 42
(76)
(X
Тип локомо­
тива
Приведенные
расходы на ма­
невровый локо­
мотив
Приведенные
расходы на вы ­
тяж ной путь
ТЭМ-1
ТЭЗ (1 секция)
Т Э 2 (1 секция)
ТГМ З
В Л 22М
115,0
122,86
91,68
103,90
97,82
3 5 —45
3 5 -4 5
3 5 —45
3 5 —45
35— 45
Среднее время пребывания требования в системе
_
L
и = хсР + w = - у - '
(77)
Расчетные формулы для определения основных показате­
лей открытых систем массового обслуживания с ожиданием
в зависимости от распределения времени обслуживания при
простейшем входящем потоке* и обслуживании в порядке по­
ступления требований даны в табл. 41.
После получения значений показателей исследуемой си­
стемы при начальных исходных параметрах может возник­
нуть необходимость в изменении этих параметров (увеличе­
ние числа обслуживающих устройств или их производитель­
ности, регулирование входящего потока и др.) с целью улуч­
шения или отыскания оптимальных значений показателей.
6. Расчет оптимального числа маневровых локомотивов
и вытяжек формирования в сортировочном парке
В связи с неравномерностью процесса накопления в сор­
тировочном парке возникают непроизводительные простои
составов в ожидании окончания формирования, что вызывает
задерж ку в продвижении вагонопотока и связанные с этим
потери. Увеличивая число вытяжных путей и маневровых ло­
комотивов, можно снизить величину непроизводительных про­
стоев. Таким образом возникает типичная задача отыскания
оптимального решения, которая в рассматриваемом случае
сводится к сопоставлению затрат на дополнительные вы тя ж ­
ные пути и маневровые локомотивы с экономией от сокра­
*
При входящ их потоках, отличных от простейшего, установление
аналитических выражений для основных показателей систем представляет
значительную трудность; эти показатели целесообразно определять мето­
дом моделирования.
41
Общие приве- .
денные расходы
1 5 0 ,0 0 -1 6 0 ,0 0
1 5 7 ,8 6 -1 6 7 ,8 6
1 2 6 ,6 8 -1 3 6 ,6 8
1 3 8 ,9 0 -1 4 8 ,9 0
132,82— 142,82
Приведенные расходы на 1 ч простоя состава грузового
поезда с учетом стоимости груза, руб., приведены в табл. 43.
Таблица 43
В ес
состава
1000
2000
3000
4000
5000
6000
Стоимость 1 т груза, руб.
0
50
100
190
3,18
6,36
1,88
3,77
5,66
7,55
9,43
11,32
2,26
4,53
6,80
9,07
11,33
13,60
2,99
5,99
8,99
11,99
14,98
17,98
—
—
_
.—
|
300
3,85
7,71
11,57
15,43
•19,29
23,14
|
500
1000
5,44
10,89
16,34
.2 1 ,7 9
27,23
32,68
9,40
18.81
28,22
37,63
47,03
56,44
Простои составов в ожидании формирования могут быть
определены по формулам теории массового обслуживания,
для чего необходимо знать характер входящего потока соста­
вов и распределение времени обслуживания. Исследованиями
последних лет установлено, что поток составов, накапливаю­
щихся в отдельном маневровом районе н 'в сортировочном
парке в целом, можно считать простейшим, а время, затрачи­
ваемое на окончание формирования и перестановку составов
в парк отправления, имеет произвольное распределение или
ж е в ряде случаев описывается распределением Эрланга с па­
раметром k = 6 н- 3.
45
При закреплении маневровых локомотивов за вытяжными
путями сортировочный парк и вытяжки формирования с ра­
ботающими на них локомотивами будут представлять собой
ряд одноканальных (по числу локомотивов) систем массового
обслуживания. Следовательно, среднее время -ожидания
окончания формирования с учетом равномерного распределе­
ния работы между локомотивами может быть определено по
следующим формулам:
— при произвольном распределении времени обслуживания
с коэффициентом вариации V;
,ср
Р ( 1+ ^ )
ож
8000 - 0,54
м
________ исФ
____________ [____
М min - m(24 _ £пост) — 100 (24 _ 2)
2(1. (1 — р)
X
где р = —•— загрузка одного маневрового локомотива;
Iх
А — число составов, накапливающихся в одном манев­
ровом районе за час;
М
- — число составов, которое может быть сформирова­
но и переставлено за час из сортировочного в от­
правочный парк одним маневровым локомоти­
вом;
— при эрланговском распределении времени обслуживания
с параметром k :
/ср =
■“
k+ 1
Р
2|*(1 — р)
'
Рассмотрим пример. Необходимо определить оптимальное
число вы тяж ек формирования и маневровых локомотивов при
следующих исходных данных: гг = 8000 ваг.; среднее число в а ­
гонов в составе /и = 100 ваг.; вес состава. 3000 ш , стоимость
1 т груза — 190 руб.; среднее время, затрачиваемое на окон­
чание формирования, перестановку состава и возвращение
локомотива, <фр = 0 ,5 4 ; коэффициент вариации величины вре­
мени /ф— у = 0,4; маневровый локомотив — Т Э М 1 .
1.
Определяем минимально необходимое число маневро­
вых локомотивов:
2.
Определяем средний простой в ожидании окончания
формирования при двух маневровых локомотивах (M min):
8000
(78)
1
| *= -ад ~
,,
ож2
9
г
1,67
с = ^ -
;
0 ,8 3 ( 1 + 0 .4 ')
2-2(1 - 0 , 8 3 )
пяч= 0 -8 3 '
0 ,8 3 -1 ,1 6
0 ,6 8
3. Определяем величину t ож
мотивах и вытяжных путях:
'
8000
100-24-3
,ср
(79)
где и — суточный перерабатываемый вагонопоток;
т — средняя величина накапливаемых составов, вагонов;
М — число маневровых локомотивов и вы тяж ек формиро­
вания;
^фР-^среднее время, затрачиваемое на окончание формиро­
вания состава, перестановку его в отправочный парк
и возвращение локомотива обратно в сортировочный
парк.
-16
. „7
1,67;
1 0 0 -2 4 -2
1
1
2АтМ ’
•
k
Необходимые для расчета значения ^ и м- могут быть под­
считаны по следующим формулам:
Х
—
0Жз
1
,
’
^ ^ _ _ М
при трех маневровых локо­
,
’
Р
1 -1 __ л
2
’
’
6 _ = 0 )3 5 ч _
2 -2 (1 -0 ,5 5 )
4. Определяем значение г^ж при четырех маневровых л о ­
комотивах и вытяжных путях:
8000
100-24-4
пй о
0,83
=0,83; р = — о— = О.4 1 !
’ ’ 1
2
/ср — --Р’^ ‘ .1.—- — = 0 204
2- 2( 1 — 0,41)
’
47
(
5. Определяем суточную экономию от сокращения простоя
составов при введении третьего Э2._3 и четвертого Э3_4 локо­
мотивов:
ПРИЛОЖЕНИЯ
Таблица I
Случайные числа
Э2- 8 =
Э3- 4 =
- * * , ) Сеч = 8000(1,41 -
0,35)8,99 = 762,35 руб.;
Сс-ч = 8 0 00(0 ,35 - 0 , 2 ) 8 , 9 9 = 1 0 7 ,8 8 руб.
З десь сс_ч — приведенные расходы на 1 ч простоя соста­
ва, принимаемые по табл. 43.
Сравнивая значения Э2_3 и Э3_4 с суточными приведен­
ными расходами на дополнительный маневровый локомотив
ТЭМ1 и вытяжку формирования, которые равны 150— 160 руб.
(см. табл. 4 2 ), видим, что введение третьего маневрового л о ­
комотива экономически целесообразно, а четвертого — нет.
Таким образом, при принятых исходных данных на станции
необходимо иметь три вытяжки формирования с работающи­
ми на них тремя локомотивами.
Литература
1. В. М. А к у л и н и ч е в , В. А. К у д р я в ц е в ,
П. А. Ш у л ьж е н к о . Применение математических методов и вычислительной техники
и эксплуатации железных дорог. М., «Транспорт», 1973.
2. И. В. Б е л о в , А. Б. К а п л а н . Математические методы в пла­
нировании на железнодорожном транспорте. М., «Транспорт», 1972.
3. Е. С. В е н т ц е л ь . Теория вероятностей. М., Физматгиз, 1969.
4. В. П. К а з а н ц е в , В. П. Я р о ш е в и ч . Применение матем ати­
ческих методов в инженерных и экономических расчетах. Гомель,
БслИ И Ж Т, 1971.
5. Ф. И. К а р п е л е в и ч , Л. Е. С а д о в с к и й . Элементы линей­
ной алгебры и линейного программирования. М., «Наука», 1967.
6. Методика применения систем сетевого планирования и управления
на железнодорожном транспорте. М., «Транспорт», 1968.
7. Е. П. Н е с т е р о в. Транспортные задачи линейного программиро­
вания. М., «Транспорт», 1971.
8. В . А. П а д н я. Применение теории массового обслуживания на
транспорте. М., «Транспорт», 1968.
9. Н. В. С м и р н о в , И. ’ В. Д у н и н-Б а р к о в с к и й . Курс теории
вероятностей и математической статистики. М., «Наука», 1969.
, 10. Н. И. Ф е д о т о в , А. В. Б ы к а д о р о в . Применение теории ве­
роятностей в транспортных расчетах. Новосибирск, НИ ИЖ Т, 1969.
11. К. Д . X у г а е в. Элементы теории массового обслуживания. Учеб­
ное пособие. Л И И Ж Т, 1973.
12. А.
К.
У г р ю м о в.
Неравномерность движения поездов. М.,
«Транспорт», 1968.
’ 2182
1549
5118
6848
3309
2050
6817
8310
7050
5637
8251
6129
1311
5151
4245
3395
6542
8063
3370
9306
21 6 6 6844
1479
6342
0485
3603
6736
3044
7670
5325
3537
7391
2066
5120
4058
0079
5609
7070
4748
1093
9818
5690
0943
2166
6702
3208
9692
1211
3230
5969
1666
8441
4796
3420
4853
3603
6736
3044
7670
5325
3537
7391
4847
2477
42897157
9575
1543
3763
0691
2583
3518
7233
6329
7584
9141
5786
9355
6721
7972
8129
3452
3343
2905
0542
8768
9172
3543
0896
8312
4719
7934
8798
5084
2902
4252
1021
1918
7073
3070
Т
4 . Зак. 465
7373 J
3351
7035
6583
4021
1812
4591
0433
1848
9367
5139
0429
2317
3250
9301
1084
7896
2019
4713
3221
6878
1638
3827
1364
6030
3778
4356
5064
2387
3664
6485
6919
8506
3163
7260
8409
4284
3812
3758
0310
8187
8875
6149
9117
6365
1361
2415
0260
1890
6557
Л
4982
3079
2010
7520
8644
4020
9037
1322
5173
5939
5050
2836
3561
7859
4788
0561
7029
3678
4726
ЗОЮ
3080
7438
9134
1015
2040
1939
9390
6508
4220
8187
3472
3520
9336
6449
9652
29-19
2793
8478
6368
1512
6589
9796
5385
0199
7014
■8838
6337
7193
4899
9925
'И
2368
0026
3449
4809
3980
6573
2949
7664
2146
3191
1516
5284
4533
1764
3937
8388
4986
9248
7010
5948
6318
6106
1023
3892
8568
2596
7245
6771
9357
2040
3915
1417
8366
2833
0310
4751
1333
3696
9968
0178
8807
0520
2884
7127
6121
6770
6060
7603
6533
1969
2613
4161
7061
1575
5318
0312
7406
3310
1289
5930
8792
5485
6655
1590
9122
7575
6632
2452
3736
5659
6494
2268
6356
5611
3539
5841
7645
2173
2070
3668
2040
7784
9748
2971
5901
5945
2760
80.15
6245
6667
2195
7012
1816
4378
5108
9128
5803
8314
4839
4212
4
2836
9025
4184
6224
3847 ' 9508
9070
3209
1959 4783
9374
7739
4279
4238
3926
2487
0911
8504
6743
3361
5583
5513
4035
2643
1903
7354
2555
3309
4741
9301
0431
7513
7080
8145
0260
1224
9066
2412
2452
4145
7173
8057
7008
6361
3033
5108
2421
7390
9450
6208
4948
0528
1022
6476
7104
0511
9126
8506
9203
4930
8415
4353
7174
0734
4961
9925
4915
3390
9443
5420
7475
6473
6593
8276
1574
4970
3108 ; 9344
0873
2966
4756
1160
5557
6355
8893
5453
2861
2940
7804
7369
8966
7183
2398
8205
9541
2891
0938
2512
4238
3052
>
*
8493
2633
4528
0644
1810
4788
6206
2233
2001
5995
6103
3089
6909
9334
0683
9659
3287
4158
8663
3340
5753
7995
3546
9873
7613
3849
3393
6753
4729
0248
4506
2648
6179
8231
8654
9696
2346
1636
4513
.0582
6503
2070
3695
4690
6732
8292
5607
2529
0233
4210
8207
2736
1226
3614
2020
4350
1699
8260
5804
4194
9872
4991
9776
3869
0253
8204
3336
3735
5408
5540
3592
8010
0827
9796
4591
4894
5062
6486
1798
8489
3644
6464
0922
6403
5492
2861
7244
6966
0218
7541
1341
5013
4625
5711
3310
9768
0046
6572
7302
6860
49
■Л
"л
Знамение функции
и
0
1
2
3
Ф (и) = —у —-
4
У
I
J
5
6
е
Таблица 2
du
7
8
9
Значения функции ( Р х
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0.9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
50
0,00000
03983
07926
11791
15542
19146
225?5
25804
28814
31594
34134
36433
38493
40320
41924
43319
44520
45543
46407
47128
- 47725
48214
48610
48928
49180
49379
49534
49653.
49744
49813
00399
04380
08317
12172
15910
19497
22907
26115
29103
31859
34375
36650
38686
40490
42073
43448
44630
45637
46485
47193
47778
48257
48645
48956
49202
49396
49547
49664
49752
49819
0,49865
49977499968
499997
49999997
00798
04776
08706
12552
16276
19847
23237
26424
29389
32121
34614
36864
38877
40658
42220
43574
44738
45728
46562
47257
47831
48300
48679
48983
49224
49413
49560
49674
49760
49825
01197
05172
09095
12930
16640
20194
23565
26730
29673
32381
34850
37076
39065
40824
43264
43699
44845
45818
46638
47320
47882
48341
48713
49010
49245
49430
49573
49683
49767
49831
3,1 49903
' 49984
3,6 ■
01595
05567
09483
13307
17003
20540
23891
27035
29955
32639
35083
37286
39251
40988
42507
43822
44950
45907
46712
47381
47932
48382
48745
49036
49266
49446
49585
49693
49774
49836
01994
05962
09871
13683
17364
20884
24215
27337
30234
32894
35314
37493
39435
41149
42647
43943
45050
45994
46784
47441
47982
48422
48778
49061
49286
49461
49598
49702
49781
49841
3,2 • 49931
3,7 49989
02392
06356
10257
14058
17724
21226
24537
27637
30511
33147
35543
37698
39617
41309
42786
44062
45154
46080
46856
47500
48030
48461
48809
49086
49305
49477
49609
49711
49788
49846
3,3
3,8
02790
06749
10642
14431
18082
21566
24857
27935
30785
33398
35769
37900
39796
41466
42922
44179
45254
46164
46926
47558
48077
48500
48840
49111
49324
49492
49621
49720
49795
49851
03188
07142
11026
14803
18439
21904
25175
■28230
31057
33646
35993
38100
39973
41621
43056
44295
45352
46246
46995
47615
48124
49537
48870
49134
49343
49506
49632
49728
49801
49856
49952
49993
■ 3,9
3,4
03586
07535
11409
15173
18793
22240
25490
28524
31327
33891
36214
38298
40147
41774
43189
44408
45449
46327
47062
47670
48169
48574
48899
49158
49361
49520
49643
49736
49807
49861
49966
49995
0,2
0,1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0,904837
■ 0,995321
0,999845
0,999996
1,000000
1,000000
1,000000
] ,000000
1,0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
36
17
18
!9
20
21
0,367879
0,735759
0,919699
0,981012
0,996340
0,999406
0,999958
' 0,999990
0,999999
1,000000
0,818731
0,982477
0,998852
' 0,999943
0,999998
1,000000
1,000000
1,000000
0,3
0,740818
0,963063
0,996390
0,999724
0,999974
0,999999
1,000000
1,000000
0,4
й)
0,5
0,670320
0,938448
0,992074
0,999224
0,999939
0,999996
1,000000
0,606531
0,909796
0,985612
0,998248
0,999828
0,999986
0,999999
1.000000
1,000000
-
1,5
2,0
2,5
3,0
0,223130
0,337825
0,808847
0,934358
0,981424
0,995544
0,999074
0,999820
0,999972
0,999996
0,999999
1,000000
0,135335
0,406006
0,676677
0,857124
0,947348
0,983437
0,995467
0,998904
0,999763
0,999954
0,999992
0,999999
1,000000
0,082085
0,287097
0,543823
0,757576
0,891178
0,957979
0,985813
0,995753
0,998860
0,999723
0,999938
0,999987
0,999998
1,000000
0,049787
0,199148
0,423190
0,647232
0,815263
0,916082
0,966491
0,988095
0,996196
0,998897
0,999707
0,999928
0,999983
0,999996
0,999999
1,000000
"Л
е
Таблица 2
<1и
Т аблица 3
»
4 02392
1 06356
10257
14058
17724
21226
24537
27637
30511
33147
35543
37698
39617
41309
42786
44062
45154
46080
46856
47500
48030
48401
48809
49086
49305
■19477
49609
49711
49786
49816
3,3
3,8
02790 03188 03586
06749 07142 07535
10642 11026 11409
14431 14803 15173
18082 18439 18793
21566 21904 22240
24857 25175 25490
27935 ■28230 28524
30785 31057 31327
33398 33646 33891
35769 35993 36214
37900 38100 38298
39796 39973 40147
41466 41621 41774
42922 43056 43189
44179 44295 44408
45254 45352 45449
46164 46246 46327
46926 46995 47062
47558 47615 47670
48077 48124 48169
48500 49537 48574
48840 48870 48899
49111 49134 49158
49324 49343 49361
49492 49506 49520
49621 49632 49643
49720 49728 49736
49795 49801 49807
49851 49856 49861
49952
49993
3,4
3,9
49966
49995
Значения функции (Р х
k) =
v
,v
>•
X 0
* 1
' \
Х
k
0,1
0,2
0,3
0,818731
0,982477
0,998852
0,999943
0,999998
1,000000
1.000000
1,000000
0,740818
0,963063
0,996390
0,999724
0,999974
0,999999 '
1,000000
1,000000
0,4
0,5
0.6
0,7
0,8
0,9
\
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0,904837
• 0,995321
0,999845
0,999996
1,000000
1,000000
1,000000
1,000000
1,0
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
!9
20
21
0,367879
0,735759
0,919699
0,981012
0,996340
0,999406
0,999958
0,999990
0,999999
1,000000
0,670320
0,938448
0,992074
0,999224
0,999939
0,999996
1,000000
1,000000
0,606531
0,909796
0,985612
0,998248
0,999828
0,999986
0,999999
1,000000
1,5
2,0
2,5
3,0
0,223130
0,337825
0,808847
0,934358
0,981424
0,995544
0,999074
0,999820
0,999972
0,999996
0,999999
1,000000
0,135335
0,406006
0,676677
0,857124
0,947348
0,983437
0,995467
0,998904
0,999763
0,999954
0,999992
0,999999
1,000000
0,082085
0,287097
0,543823
0,757576
0,891178
0,957979
0,985813
0,995753
0,998860
0,999723
0,999938
0,999987
0,999998
1,000000
0,049787
0,199148
0,423190
0,647232
0,815263
0,916082
0,966491
0,988095
0,996196
0,998897
0,999707
0,999928
0,999983
0,999996
0,999999
1,000000
0,548812
0,878099
0,977885
0,997642
0,999606
0,999962
0,999997
1,000000
3,5
0,030197
0,135888
0,320847
0,536633
0,725445
0,857614
0,934712
0,973261
0,991226
0,996685
0,998981
0,999711
0,999924
0,999981
0,999996
0,999999
1,000000
0,496585
0,844195
0,965858
0,994246
0,999214
0,999909
0,999990
0,999998
1,000000
4,0
0,018316
0,091579
0,238105
0,433472
0,628839
0,785132
0,889326
0,818866
0,978636
0,991867
0,997159
0,999084
0,999726
0,999923
0,999979
0,999994
0,999998
0,999999
0,999999
0,999999
1,000000
0,449329
0,808792
0,952577
0,990920
0,998589
0,999816
0,999980
0,999999
1,000000
4,5
0,011109
0,061099
0,173578
0,342296
0,532104
0,702030
0,831051
0,913414
0,959743
0,982907
0,993331
0,991596
0,999195
0,999748
0,999926
0,999980
0,999995
0,999999
0,999999
0,999999
1,000000
0,406570
0,772483
0,937144
0,988542
0,997657
0,9999658
0,999958
0,999997
1,000000
5,0
0,006738
0,040428
0,124652
0,265026
0,440493
0,615960
0,762183
0,866628
0,931806
0,968172
0,986205
0,994547
0,997981
0,999202
0,999774
0,999931
0,999980
0,999994
0,999998
0,99999»
0,999999
1,000000
Продолжение
табл.
Таблица 2
и
lO
сп
CN2?,OOC\|CDO^OOO^iOOOOOt^^COCOg?OOt'-'^CDC4CO^§<C72Cr>0^0
о
сп
0,0
0,000
038
0,1
0,2
079
117
0,3
0,4
155
0,5
191
0,6
225
0,7
258
0,8
288
0,9
315
3 4 1;
1,0
364:
1,1
1,2
384!
4031
1,3
1,4
4191
1,5
4331
1,6
4451
4554
1,7
4640
1,8
4712
1,9
2,0 - 4772
4821
2,1
2,2
4861
2,3
4892
2,4
49181
2,5
4937!
2,6
4953'
2,7
4965;
2,8
4974'
2,9
4981;
: г ^ с м с ч о с о ^ с о с о ^ с п о ^ — ю с п о о с о ю о ю о о о о а э с п о з с п о
сл °?
О О 0 СЧЮ - O t N i O O O O O N N l O N O O O C J J C n c n ^ S S . n i
О р о о о — (М w
ю г^- оо оог О ) сп q с л q q сп а з сп О ) o i ° ; а )к О ) q о _
o ' О o ' o ' О о " o ' о ” o ' CD о " CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD О О О o ' О О —
о - ^ о —^юосоюг-юсоюооог-со^м^соазо
50
0,49865
49977
49996
49999
49999
Я? Я
го с 0 С 0 О ^ О 0 0 Г - - Ю ' ^ ‘ С М С М С 0 а > Ю Г - 1 > - 0 0 С 0 Ю С П * - - - , ^ ^ О О
X C O o o O tO O N O O N tD cD C O O O N C C lC O O O O O O W N ^ ^ O jO
Й О )(М -с О Ю -'Ю - О С 0С 0О Ю Ю --;С 0С П Г^^^О О С П С П а5О
^^спо^спсоюсосчсооослоосмсососососпоазспспспстэо
SOocON^iOGOC^intDTfO'tNCOCDOiaiCnaiOjOJ^^^O
2 о_ о о о - w со ю to 1^- 00 о сп сл сп сп о^сп сл р сп сл сп сп о^о^
0 ~ CD о ' CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD О О О О —
1Па5-^ОСМСО^ —OOiONN'tO^OrtN'-OONN^^^OjO
i G ’- l O C O C O C O r - c O ' ^ C M O O l ' - O C M ^ bGU
- CоO O
O
wiO
т ^оO C
ШO O O
^ O^O aU^' X
i 2 O N C 0 C D C 4 C 0 ________
C m r ) ' X 1 0_0 O ( M 0 0 N N<M
C^
4 r Jс о- C 0 N
5 ^СП
0 JО№ О^ CСП
^O
О )a СП
о
C'j г. о- ~-v
-T% __. /vs
/-*,41 c
г гd iI o
^ or r\
“41
—< сГ(“1о ГХ1
. _/
_~. 1 /
w.
. 3 5o 4i c
o cr n
o li n
o c<
4 —
о оГГЧ
с пfTl
с лг-т«,а ГТ1
5 с £T5
л оCD
^ O)
^ а fTi
з с 2
S o —. т р е п е л — L O C H —' — О О С О С О О О С П С П О ^ О С П С П О О О ^ ^ О О
§ p _ o О О —1 СО - г Ю 1>- 0 0^ 00^ 0^ 05 СП СП 0 5 СП СП СП СП СП СП СП СП о о
CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD О О О о —«
^ -N iC C JC D lO C nr-C O C JO C n 'tLO O C N -’ O
iq
t -Г
N
Q - N
O ^ ^ O
^
о ю ^ о этю —<
сосп
осо ю со со^ оз^ - с п о о с о ^ о ^ о о
^ N ( M —■ О
0 O )^ !N N C O ^ N C O O (N O C O O 3 O 3 ® ^ ^ O
S^OOXN-OO’t-H.^tMONOOCniOCOOiCnOlOlOjOJ^WO
SOcqLOCOTtNiMtONCDiMiONOOCnOO^CTigjcnOjOl^^O
§ p _ o о -и см со iq со h oo q q q q cn 0)r q q q q q q 0 1 w o^
0 ~ CD o ' O CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD-CD CD CD CD CD CD CD CD О О О —
О
Ю
со"
r\ j Ю CO lO
* 0 0 *—« ■'З* —* CD О О О СО СМ СО - —1 t"~ СП Ю lO Ю СО О О О
-J СПСОСООО — — СПСЛГ^тОООСОСП-^СОСОЮ сОСПСПОд^О
O
t
M
c
O
N
C оi Nо N
O с Oо -г ^^ L^ O
O з Cс O
S
^ ^ ^ ^ с ч о
о сN л O о ^' '—t о
^ оO с Cл о
^ с^ л Cо nс лg сj ^л Sс пS р
> < 0 ( М О О Г - О ^ С П ( М С О О ^ - Г - О О С П С П С П С П С П С П СП СЛ СП СП 0 5 О
о
О О О — 1 C O - r f L O t ' ' - 00^ СП О ^ СП О СП СП^ О СП СП СЛ^ СП СП СП СП с п р _
,—Г о o ' CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD •—<
fO C D C D O < N -^ 0 0 C 0 i--O C 0 O ^ O O C )C n 0 3 i0 C n ® O
C N c f H Q N ' t C 4 L 0 N 0 0 c 0 C 4 l ' ' O ' ^ ,t N M , v 0 0 C n a 3 q C
l o C M O O O C O O i O t ^ i O C O — ■— с л с л о о о ю с о с п с л с л с л с л с э
- H - n - i c o a c D w - - N « c D c o i M N c o a ) 0 3 G ) o a ) 0 ) 5 0
Q —, ^ + - _ o i c o < M r ^ c n t ^ c o c o G O c n o c n c n o c n c n o o o o
о О о — CN СО Ю CO_
00 О СП СП 0 5 СП СП СП СП СП СП СП^ СП СП о ^
о ' CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD C D —’
аз< м ою оо — ^ — с п г - о о 5сосм о — ЮСОСЧ^-СОООО
о
«О
N iO N O iO O O O O O C O N O O O N N O C n cM ^O O C n cn gjgO
^tHC005CMOC0C005<MOCvDCn — C O C 0 ^ 0 0 0 5 C n g 5 0 0 5 0 5 0
СЧ1Г'------- - ---- Ю Ю С О С О Ь С О Ь О З - —' С О С 0 0 5 0 5 С П С П С П 0 5 0 3 0 5 0
o * — c o i o o o ’t o ’t ' t — ю ь с п с п с п с п а з с з с п о з с п а з д з о
O O O ' - ' O l ' t c D N O O О С Л СП с леп СП СП СП СП^СП 03^ СП 05_.cn р
о " CD о
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
S
lO
ю
О о " о " о " О о " О О О О О О О CD CD CD CD CD CD CD ' 1
N .^ c o c j)o o c n c m o N c o o 3 (M a )io -O N N L o a o
OOCDNC3 — '-С О О О Ю С М ^ — ' t ' - , O O C C )C 0 0 5 C n O
О ю с о с о ю с п о ^ - с о с м 1^ о ю с о ^ о о с п с п с п с п о
CD 00 — N O O ( D 0 5 t C D t c n i n G 0 0 5 C n 0 5 C n c n a ) 0
0(MOOOW(N00005^N00
05 a50)0505050)050
о о о CM CO LO СО 00 ОО^ 05 СП р СП СП СП СП СП СЛ_ 05^ СП CDr
о ' О О о o ' CD О О о " О о CD CD CD CD CD CD CD CD CD —•
’
n -(NCO^lCCDhC0 05 0 - WCO^lOCON00030--WCO^in(0r400
■■■■■■■■■■■к.
Таблица 4
П р одолж ен и е табл. 3
10
k
12
14
.
16
Значение функции
18
к
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
£0
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
0,000045
0,000499
0,002769
0,010336
0,029253
' 0,067086
0,130141
0,220221
0,332820
0,457930
0,583040
0,696776
0,791556
0,864464
0,916542
0,951260
0,972958
0,985722
0,992813
0,996546
0,998412
0,999300
0,999704
0,999880
0,999953
0,999982
0,99999.4
0,999998
0,999999
1,000000
0,000004
0,000080
0,000522
0,002292
0,007600
0,020341
0,045822
0,089504
0,155028
0,242392
0,347229
0,461597
0,575965
0,681536
0,772025
0,844416
0,898709
0,937034
0,962583
0,978720
0,988402
0,993935
0,996953
0,998527
0,999314
0,999692
0,999867
0,999944
0,999973
0,999991
0,999997
0,999999
1,000000
0,000001
0,000012
0,000094
0,000474
0,001805
0,005532
0,014228
0,031620
0,062055
0,109399
0,175681
0,260040
0,358458
0,464448
0,570437
0,669460
0,755918
0,827201
0,882643
0,923495
0,952092
0,971156
0,983288
0,990672
0,994980
0,997392
0,998691
0,999365
0,999702
0,999864
0,999940
0,999974
0,999989
0,999996
0,999998
0,999999
1,000000
'
0,000000
0,000002
0,000016
0,000093
0,000400
0,001384
0,004006
0,010000
0,021987
0,053298
0,077396
0,126993
0,193122
0,274511
0,367527
0,466745
0,565962
0,659344
0,743349
0,812249
0,868168
0,910773
0,941759
0,963314
0,977685
0,986881
0,992541
0,995895
0,997811
0,998869
0,999433
0,999724
0,999869
0,999940
0,999973
0,999988
0,999995
0,999998
0,999999
1,0.00000
е~х
0,000000
0,000000
0,000003
0,000018
0,000084
0,000324
0,001043
0,002893
0,007056
0,015381
0,030366
0,054887
0,091669
0,142598
0,208077
0,286653
0,375050
0,468648
0,562245
0,650916
0,730720
0,799124
0,855090
0,898890
0,931740
0,955392
0,971766
0,982682
0,989700
0,994056
0,996667
0,998187
0,999040
0,999506
0,999752
0,999872
0,999942
0,999973
0,999988
0,999995
0,999998
0,999999
1,000000
0,00
0,01
02
03
04
05
06
07
08
09
0,10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
0,20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
0,30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
е-х
X
1,000
0,990
980
970
961
951
942
932
923
914
0,905
896
887
878
869
861
852
844
835
827
0,819
811
803
795
787
779
771
763
756
748
0,741
733
726
719
712
705
698
691
684
677
0,40
0,41
42
43
44
45
46
47
48
49
0,50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
0,60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
0,70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
52
X
е~х
0,670
0,664
657
650
644
638
631
625
619
613
0,606
600
595
589
583
577
571
565
560
554
0,549
543
538
533
527
522
517
512
507
502
0,497
492
487
482
477
472
468
463
458
454
X
0,80
0,81
82
83
84
85
86
87
88
89
0,90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
2,10
2,20
2,30
2,40
2,50
2,60
2,70
2,80
2,90
е~х
X
3,00
0,449
3,10
0,445
3,20
440
3,30
436
432
3,40
3,50
427
3,60
423
3,70
419
3,80
415
3,90
411
4,00
0,407
403 . 4,10
399
4,20
4,30
395
4,40
391
387
4,50
4,60
383
4,70
379
4,80
375
4,90
372
■ 5,00
0,368
5,10
333
5,20
302
5,30
273
5,40
247
5,50
223
5,60
202
5,70
183
5,80
165
5,90
150
6,00
0,135
6,10
122
6,20
111
6,30
100
6,40
0,091
6,50
82
6,60
74
6,70
67
6,80
61
6,90
55
7,00
е~х
0,050
0,045
41
37
33
30
27
25
22
20
0,0183
166
150
136
123
111
101
0,0091
"
82
74
0,0067
61
55
50
45
41
37
33
30
27
0,0025
22
20
18
17
15
14
12
11
10
0,0009
00 СЧ1^- со
]
00, 00 СЧ^гр^
СО— СПСОСОСП«XX—,Г- ^ 00 СО^ООСО00 СОГ^СЧ^СО■
—1ЮСПСОt'—
О СОСО00 о <МгР CD of — of
t"~ С
ПО of СО*o' СОоо СП—ГСЧгр**lO со" 00 оГ
О
о
сГ
— ,—
-‘04C4C4C4C4C4COCOCOCOCOcO'^'':PrprprprpTpLoioiOLOLOiDiO
гр—гр00 С
П—
«00
-Я. СО,СЧО СХ>гр — СЧ СЧN —^С£) о ^ оо (NСОО) СО.СОО СОсо о СОЮО)
СПСП— COlDCOOOO-—
' СО’t С
Оh- O
')О Сч"СОгр СОГ"-О
С
То " '—
*со"гр^lo"h-Гоо"сгГо"
' *“•— — —
CV| С^| см СЧСОСОСОСОСОСОСОгргргргргртргргГЮ
о
о
С
Ч
о
о
— СЧг р Г ^ . СПСОСЧС' - ОО
°Ч°Ч'’"Я-°Я. ^ —
„f'C
L ^
>
DС
ПС
О
С
£>Осо NОСО^ОСОР^СП—rpt^O
ЮNО
) С
ОЮС
О00^оГ—
"С
Ч
*грдсГсОоо"С
Г)—С
ч"со"ю"со"|>ГСГ)"о"—
<
"сч"гр"1о"со"оо"
•СЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСОСОСОСОСОСОСО^^Г+.Т^^ТГ’^
грспсчо>р'- спь- ■
—
' сч —
- оо
соС
ПO
O
^
-^
fОIDО L
DО
^
С
О
^
С
О0,гр Г^О
^СОС
О
С
П—гр С
ПС
ЧгрР'- С
П С
О«О00
со Iо сп —
•сч
счгрlld
d"с
со
ооо"
оооГ•
—
"
1с
сч"
ч"со"
сою"с
со"
сГt!>
-■
-""о
со"
с"о"—
"'с
сч"
ч"со"
со"lo
ю"со"
со"tC
Р
«-"о
оо"
оо"—
i''"сч"со’
—I —«—' —« —<—I — СЧСЧсч СЧСЧСЧСЧСОСОСОСОСОггл
С
О^
со ^
С
Огргргргр
—"ОСЧООгрт^сЧСОООСПООЮ-
о
о*
NOlflNPj ООС
О
,С
ОС
ПС
Ч
^>
D00—С
О
^
Ю
00^0 С
ЧгрС
О00 ОС
Ч*3“С
ОГ
~
~
-С
П•
—
1С
О
С
ЧгрС
Оt-»С
7
>ОС
ЧС
ОгрlOС
-."ооС
П—сч"со"гр"со"Г-"оо"С
По"сч'со" ю"со"Г-"С
По"
о
С
Ч
о"
со^СЧ_СОСП^СЧЮ00, О СЧ^гр^СОоо, СП—^COLOCOOOO>OC4COrpCDt''-00050—СЧ
— СОгр LOР-Г00 СП— сч"со" гр"ю" со" оо"СПО —" сч"со"ю" со"1^гО
ССп"о " —" сч"Гр"щ"со"
— —
— ^<CV| СЧ| CVI CNI CNI с м
ССЧ| CNI со с о со 00 с о с о
— -> — — — — - —'СЧ СЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСОСОСОСОСОСОСОСОгр
г Р С Ч г Р С П С П С О О С О г Р г Р С О — ' оо ю
— .
С О Д Е Р Ж А НИЕ
Стр.
III. Методы теории вероятностей и математической статистики.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Понятие о случайных явлениях
.
.
.
.
.
Событие и в е р о я т н о с т ь ...............................................................
Основные теоремы теории вероятностей
Случайные величины и их характеристики
Задачи математической статистики
.
.
.
.
Установление необходимого объема наблюдений
Сбор и обработка статистических данных
Статистическое исследование результатов наблюдений
Определение средней весовой нормы грузовых поездов
IV. Основные положения теории массового обслуживания
1
2
6
9
13
16
19
32
36
•-Г
г-. — со оо со со оо сч со оо о —' СЧСЧСЧСЧ'—1
о, ^ со, с» о СЧ,,сою со СПо - •СЧ.СОГР LOСОГ- 00 СПСПО —1сч сч со ^ ю ю
—СЧСОгрсо" Р- 00 СПо"— сч" Гр"LOсо" Р-"оо"СПо"—
"сч" со" Гр"со" I---"оо"СПо"—сч" со"
—— — — — — _
о
о
СЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСОСОСОСО
ю со
lOOONCOiniOiOrprp’t-sprfTfrpTfT+'TpTf^Tt
^СО^СОСО'СОСОСОСОСО.СОСОСОСОСОСОСОСО,СОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСО
о —' сч со1rj< ю '.о n х л о" —" сч*4со" гр"lo" со"t-'-"со" сп" о" —" сч"со" гр
"ю" со" р^-"оо" оГ
,—, — I ,—, — , —
cvj
o q O-l CV| CM CM Osl CNI
ОС СО гр
ГГ
—(MOOCONCOCnNLOCOCOO.|iMC4COrpLONOOOC4^P
^ сч^О, оо^COLOСО,СЧ,—^о OV00 СОLO^Гр СОСЧ•——' О СПа 00 СОСОю
о•
—
•сч со со грlq" со с^
-"оо"сп"сп"о" —
Гсч" со" гр"ю"со" h-Tсо" сп"сп" о" сч" со гр"ю"
1. Общие п о н я т и я .................................................................................
2. Элементы систем массового обслуживания и их основные
характеристики
.................................................................................
3. Классификация систем массового обслуживания
4. Простейший п о т о к .........................................................................
5. Показатели качества функционирования систем массового
обслуживания
........................................... ........
.
.
,
6. Расчет оптимального числа маневровых локомотивов и вы ­
тяж ек формирования в сортировочном парке
Литература
^
с о Ю СП
О ^ О гРгРГ'-СЧСП
О
О
О
О
СП
—
^
' CO
:N- ЮО С
ОС
ЧО
0 —СП
СО
гРСЧ
^ о,С
О
,со,С5 00^L
O
,С
О
,—С
П00^С
О
,гр_СО,—
^ 00^
грС
О
^
—О
^С
ПО0 N С
ОЮТ
о ——
ГС
Чсосо"гр“ю"со"со" со" С
По"—
"С
ЧС
ч"со"Гр"iОсо"Г"-~О
ОООоГо"—Сч"со'
о
С
П
o'
ю
С
П
о"
00
05
о"
2 —
1гргро
O^°2S2'7!^322cr5t^c0000 гР-С
ПLO-iOOCOlOrprprplOCONO^-'rpt^
^C^lOО СО^СЧ^ООгр—
^ооL
OСО<D:t^LOСОО 00СОгрС
М
О 00 СОгрСЧ—
. СПГ- СО
°
О О
— —Гсч"СЧ*4со" Гр"гр"ю" со" Г-" t^-"оо" СПо " о " — сч"со" Гр" Гр"ю" со" fC оо"оо" СПСО
Q с о СЧ ’—I ю ю
0 ° Ь 2 Г ЧТ,,С2 Г^ 0^ СЧ,ГРООСОСП1>-СОСОГ-.СП — LOOTrpcnLO—'ООЮСО—<05
^^.СО
t^CO 05 ID сч^оо^ю^сч^сп со^со —^00^Юсо, CDоо^СО^со •
—|СП гр
° о о о —’ —сч сч"со" со" гр"ю" lo" со* г^-"t^-"оо" СПо"о"—<"СЧ*4со" со" Гр"lo" со"со" оо"
Q О ЮСПСЧГр ГР
S ^ 00 СЧ.о СОСОСОСОСО—.00 СОГ^- 00 — СО— Г-гРСЧОСПСПО — СЧЮ^----- Q-0, —
„rp„t>—L
Dо IDC
D
C
D
^
—
^1^(0 СПСО^СЧ^0)^10СЧСПУ
ЭСЧ.СПt^rP —00 ЮС
О
О О О О —— СЧСЧсо со" Гр"Гр"LDld" со"t"-"t^-"00* СПСП"о"——
"Сч"С
Огр"гр"ю"со"
§ О ID Р- Гр СЧО) СО
О ^
’-2
^ S ^5 1° ^---- '-со СО— — СЧСОС
Оо Г р О ODСЧО 00 С
Осо ID
см ЮОО^СЧсо.О ЮОЮ.— ЮСЧ^ОО^гр о СО.СЧ0 5 ^ СЧ^00^LD^СЧ00 ЮСЧСП
° О О О о" О ——
"cvf сч" со" со" гр"гр"ю"ю"СО"Г^Т1^
-"со" оо" СПо" о" —
"Сч"Сч"со" гр"гр"
СЧ СО Г р I о с о
00 СП О - -C4C0rpLDC0r-~00cnO—С
ЧСОГРЮ
СОГ—
ОО
СП
О
4 ’—
' -—
1’—
1 ' ’—
1'—
■’—
•C
SJсмсмС
М
<
М
смС
М
смС
М
С
М
со
Приложения
38
39
40
42
44
................................................................................................
48
........................................................................................................
49
.
Владимир Александрович Кудрявцев, Евгений Макарович Жуковский,
Юрий Иванович Ефименко, Анатолий Павлович Романов,
Владимир Михайлович Семенов
П Р И МЕ Н Е Н И Е МАТ Е МА Т ИЧ Е СК ИХ МЕ Т О Д О В
В Э КСПЛУАТ АЦИОННЫХ РАСЧЕТАХ
НА Ж Е Л Е З Н О Д О Р О Ж Н О М Т Р А Н С ПО Р Т Е
Редактор Т. Н. Г у сева
Сдано в набор 8 -V II 1976 г.
Уел. печ. л. 3,3.
Уч.-изд. л. 2,7.
Бумага для мцож. апп.
Корректор Т. В. Г р ач ева
Подписано к печати 2 1 -IX 1977 г.
Заказ 465. Тираж 400. Цена 9 коп.
Формат бумаги 60x84'/i6-
Типография Л И И Ж Та. Ленинград, Московский пр., 9
Related documents
ÿþ 2 > 4 A B 2 > : @ 5 H 5 = 8 N 7 0 4 0 G ? > B
ÿþ 2 > 4 A B 2 > : @ 5 H 5 = 8 N 7 0 4 0 G ? > B
Вопросы к экзамену 1. Элементы комбинаторики 2. Предмет теории вероятностей
Вопросы к экзамену 1. Элементы комбинаторики 2. Предмет теории вероятностей
Подготовка к экзамену по математике 2 курс педколледж
Подготовка к экзамену по математике 2 курс педколледж
Задача №1 билет состоит из подготовленных вопросов.
Задача №1 билет состоит из подготовленных вопросов.
генеральная совокупность, выборка, объем выборки, частота
генеральная совокупность, выборка, объем выборки, частота
Методика изучения случайных величин и их характеристик в
Методика изучения случайных величин и их характеристик в
числовые характеристики
числовые характеристики
Вариант – 6 Вероятность хотя бы одного попадания в цель при
Вариант – 6 Вероятность хотя бы одного попадания в цель при
Случайные величины и их законы распределения.pps
Случайные величины и их законы распределения.pps
Теория вероятностей и математическая статистика - ivesep
Теория вероятностей и математическая статистика - ivesep
Download
advertisement