Приложение А
(справочное)
Основные физические константы
Скорость света в вакууме
с = 2,9979⋅108 м/с
Гравитационная постоянная
G = 6,67⋅10-11 Н⋅м2/кг2
Молярный объём идеального газа
при нормальных условиях
Нормальные условия
Vµ = 22,414 л/моль
р = 760 мм рт. ст. = 101 325 Па
t = 00 C
Газовая постоянная
R = 8,314 Дж/(моль⋅К)
Постоянная Фарадея
F = 96 500 Кл/моль
Число Авогадро
NA = 6,022 . 1023 моль-1
Постоянная Больцмана
k =1,38 . 10-23 Дж/К=8,625 . 10-5 эВ/К
Элементарный заряд
е = 1,6 . 10-19 Кл
Электрическая постоянная
Магнитная постоянная
Постоянная Планка
Постоянная Ридберга
ε0 = 8,85 . 10-12 Ф/м
k = (4 . π . ε0)-1 = 9 . 109 м/Ф
µ0 = 4 . π . 10-7 Гн/м = 12,56. 10-7 Гн/м
h=6,626 . 10-34 Дж . с=4,136 . 10-15 эВ . с
ћ = h/2π=1,054 . 10-34 Дж . с
R = 3,29 . 1015 c-1
R = 1,10 . 107 м-1
Масса покоя электрона
me = 9,11 . 10-31 кг
Масса покоя протона
mp = 1,672 . 10-27 кг
Масса покоя нейтрона
mn = 1,675 . 10-27 кг
Атомная единица массы
1 а.е.м. = 1,6606 . 10-27 кг
Электрон-вольт
1 эВ = 1,6 . 10-19 Дж
Первый Боровский радиус
r1 = 0,528 . 10-10 м
Масса изотопа 1 H 1
mн = 1,6736 . 10-27 кг
Приложение Б
(справочное)
Соотношения между единицами некоторых физических величин
1 Å (Ангстрем) = 1.10-10 м
Длина
1 дюйм = 2,54 см
1 пк (парсек) ≈ 3,1⋅1016 м
1 св. год (световой год) ≈ 0,95⋅1016 м
1 ферми = 10-15 м
1 фут = 30,48 см
1 ярд = 91,44 см
1 тонна = 103 кг
Масса
1 а.е.м. = 1,6606.10-27 кг
1 кар (карат) = 0,2 г
Время
1 сутки = 86 400 с
1 мин = 60 с
1 час = 60 мин
1 сутки = 24 часа
1 год ≈ 3,16.107 с
Объем
1 л = 1.10-3 м3
Сила
1 кГ = 1 кгс (килограмм-сила) = 9,81 Н
Давление
1 бар = 1.105 Па
1 атм = 760 мм рт. ст. =1,01325.105 Па
1 ат = 1 кгс/см2 = 0,98.105 Па
1 торр = 1 мм рт. ст. = 133,3 Па
1 эВ = 1,6.10-19 Дж
Энергия
1 квт⋅ч = 3,6.106 Дж
1 кал = 4,1868 Дж
Мощность
1 л.с. (лошадиная сила) = 735 Вт
2
Приложение В
(справочное)
Некоторые сведения из математики
1 Алгебра
a
a:b = ;
b
a m a ⋅n ± b⋅m
± =
;
b n
b⋅n
m
n
m
a
=
⇔ a ⋅n = b⋅m ⇔
;
=
b
n
b
a
a ⋅a
n
m
n+m
=a
;
a m
a⋅n
: =
;
b n
b⋅m
b a ⋅c
a: =
;
c
b
a
a
:c =
;
b
b⋅c
an
= a n−m ;
m
a
(a )
n m
= a n ⋅m ;
a+b
≥
2
(a ± b )2 = a 2 ± 2ab + b 2 ;
a2 - b2 = (a - b)(a + b);
(а ± b)3 = а3 ± 3а2b + 3аb2 ± b3;
a ⋅ b при a > 0, b > 0.
a+b
= a ⋅ b при a = b.
2
а3 ± b3 = (а ± b)(а2 m аb + b2);
− b ± b 2 − 4ac
;
ax + bx + c = 0; x1,2 =
2a
2
(a ≠ 0); x1 + x2 = - b ; x1 ⋅x2 = c ;
a
a
sinx ≈ x, cosx ≈ 1 − 1 x2, (x << 1);
2
(1 ± x)n ≈ 1 ± nx, ( x << 1; n ≠ 0; );
2 Тригонометрия
В
с
a
b
c
=
=
;
sinA sinB sinC
а
А
А
С
b
а
с
sinα = ; cosα= b ; tgα=
с
а
c2 = a2 + b2 – 2abcosC;
α
c
a2 + b2 = c2;
b
3
1 b
sinα a
= ;ctgα=
= ;
tgα a
cosα b
tgα =
x
±α
π
±α
2
sinx
±sinα
cosα
m sinα
-cosα
cosx
cosα
m sinα
-cosα
±sinα
tgx
±tgα
m ctgα
±tgα
m ctgα
0
π
6
0
π
4
0
3
π ±α
2
π ±α
π
3
0
π
2
0
1800 (π )
α
0 (0)
sinα
0
1
2
2
2
3
2
1
0
cosα
1
3
2
2
2
1
2
0
−1
tgα
0
3
3
1
3
∞
0
30
45
60
90
sin α
cos α
; ctgα =
; tgα⋅ctgα = 1; sin2α + cos2α = 1; sin2α = 2sinα⋅cosα;
cos α
sin α
tg2α + 1=
1
cos 2 α
; ctg2α + 1=
1
sin 2 α
sin(α ± β) = sinα⋅cosβ ± cosα⋅sinβ;
sin2α =
cos(α ± β) = cosα⋅cosβ m sinα⋅sinβ;
1
1
(1 - cos2α); cos2α = (1+cos2α);
2
2
cosα - cosβ = 2sin
sinα⋅sinβ =
cosα⋅cosβ =
α+β β−α
sin
;
2
2
sinα⋅cosβ =
1
[cos(α + β) + cos(α - β)];
2
x0 ⋅ π
180
sinα ± sinβ = 2sin
cosα + cosβ = 2cos
1
[cos(α - β) - cos(α + β)];
2
sinx ≈ tgx ≈ x, (x << 1); x =
1
sin 2 α = cos 2 α = .
2
; cos2α = cos2α - sin2α;
0
α+β
α −β
cos
;
2
2
1
[sin(α + β) + sin(α - β)];
2
tg(α ± β) =
tgα ± tgβ
1 m tgα ⋅ tgβ
, [x] = рад, [x0] = град;
4
α±β
αmβ
cos
;
2
2
3 Геометрия
Lокружн = 2πr = πd;
Vшар =
Sкруг = πr2 =
4 3 1 3
πr = πd ; (d = 2r );
3
6
1 2
πd ;
4
Sсфер= 4πr2 = πd2;
(d = 2r );
Sэллипс= π⋅а⋅b, а,b − полуоси эллипса;
4 Логарифмы
x
lgx
lnx
;
lg (xn) = n⋅lgx; lg (xy) = lgx + lgy; lg = lgx - lgy; lnx =
; lgx =
lge
ln10
y
( x > 0 , y > 0 ).
n
1
e = lim n→ ∞ 1 + = 2,718…;
n
ax = exlna;
ax = 10 xlga ;
5 Векторы
Скаляром называется физическая величина, характеризуемая только числовым значением. Векторы − это направленные отрезки прямых. Физические
величины, которые характеризуются направлением в пространстве, могут быть представлены
некими направленными отрезками, т.е. векторами. Такая их интерпретация очень наглядна и ею
широко пользуются.
В
а
А
Рисунок В.1
Вектор обозначают символом AB , где точки A и B обозначают начало и
r
конец данного направленного отрезка, либо одной латинской буквой а или а
(рисунок В.1). Начало вектора называют точкой его приложения. Для обозначения длины вектора используют символ модуля (абсолютной величины) или
символ вектора без стрелки над ним. Так AB = AB и а= а обозначают длины векторов AB и а. Векторы можно проектировать на любые прямые (в частности и на направленные), при этом, аℓ = acosα (рисунок В.2а). Часто приходится проектировать векторы на оси координат х, у, z. Для вектора а, расположенного на плоскости х0у, проекции вектора а на оси 0х и 0у прямоугольной системы координат равны ах = а⋅cosϕ, ay = a⋅sinϕ, где ϕ − угол между вектором а и
5
осью 0х (см. рисунок В.2б). Для пространственно – ориентированного вектора
проекции на оси координат можно выразить следующим образом (рисунок В.3):
ах = a⋅sinϑ⋅cosϕ; ау = a⋅sinϑ⋅sinϕ; аz = a⋅cosϑ. Очевидно, что тройка чисел ax, ay, az
полностью определяют вектор а, так как по ним можно однозначно построить
вектор а, причём а= а = а 2х + а 2у + a 2z . Краткое обозначение вектора а = a(ax,
ay, az) = {ax, ay, az}. Если заданы координаты двух точек A(x1, y1, z1) и B(x2, y2,
z2), то вектор АВ может быть записан в виде АВ = {x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1}.
а)
а
ℓℓ
х
у
аz
у
ау
ϕ
ау
α
аℓ
ах
0
б)
ϑ
а
а
ϕ
0
ах
х
z
Рисунок В.2
Рисунок В.3
Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Нулевой
вектор не имеет определённого направления и имеет длину, равную нулю. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной, или на параллельных прямых.
Операции с векторами.
1) Умножение вектора а на скаляр (вещественное число) λ даёт вектор с,
имеющий длину, равную λ⋅а, и имеющий направление, совпадающее с
направлением вектора а (с ↑↑ а) при λ > 0, и противоположное направление
вектору а (с ↑↓ а) при λ < 0. Если a(ax, ay, az), то с = λa = {λax, λay, λaz}.
6
2) Сложение, вычитание векторов. Векторы складываются по правилу
треугольника или по правилу параллелограмма, вычитаются по правилу треугольника (см. рисунок В.4). Чтобы из вектора а вычесть вектор b, можно к
вектору а прибавить вектор −b. Например, при сложении (вычитании) двух
векторов имеем:
с = а ± b = с(cx, cy, cz) = a(ax, ay, az) + b(bx, by, bz) = {ax ± bx, ay ± by, az ± bz}.
а
b
b
b
с=а+b
с=а−b
с=а+b
а
а
Рисунок В.4
Если число векторов больше двух, то их сумма может быть найдена по
правилу замыкания ломаной до многоугольника: если приложить вектор а2 к
концу вектора а1, вектор а3 к концу вектора а2,..., вектор аn к концу вектора аn−1,
то сумма
а1 + а2 + а3 +...+ аn−1 + аn = с
будет представлять вектор с, идущий из начала вектора а1 к концу вектора аn
(см. рисунок В.5).
а3
Зная проекции вектора а на оси 0х и
аn−1
0у прямоугольной системы координат (см. а2
рисунок В.2б), можно найти вектор а, его моа1
дуль и угол между вектором и осью 0х:
а = ax + ay;
аn
с
Рисунок В.5
а = а 2х + а 2у ;
ϕ = arctg(ay/ax).
3) Скалярным произведением двух векторов а и b называют число (скаляр), равное произведению длин этих векторов
на косинус угла α между ними (см. рисунок В.6):
7
а
α
b
Рисунок В.6
аb = (а,b) = а⋅b = b⋅a = (b,a) = а⋅bcosα = аb⋅cosα.
Если два вектора а и b определены своими проекциями на оси координат,
т.е. а = {ах, ау, аz}; b = {bx, by, bz}, то скалярное произведение этих векторов
равно сумме произведений соответствующих проекций на соответствующие
оси координат:
а⋅b = ах bx+ ау by+ аz bz.
4) Векторным произведением векторов а и b называется вектор с, обозначаемый символом
с = [а,b] = а×b,
с модулем, равным произведению длин векторов а и b на синус угла α между
ними:
с = с = аb⋅sinα.
Вектор с перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а и b,
причём его направление связано с направлением векторов а и b правилом правого винта, т.е. если правый
винт вращать от а к b в направлении кратчайшего по-
с
S
b
α
ворота, то поступательное движение винта определяет направление вектора с (см. рисунок В.7). Поэтому
Рисунок В.7
а
с = - b×a = - [b,a]
Длина (или модуль) векторного произведения [а,b] равна площади S параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах а и b.
Если с = [а,b] = {сx, сy, сz}, то составляющие (проекции) вектора с выражаются
через составляющие (проекции) векторов а ={ах , ау , аz} и b = {b x , b y, b z} по
правилу:
8
cx = ау b z − аz b y;
cy = аz b x − ах b z;
cz = ах b y − ау b x.
Смешанные векторные произведения записываются так:
a⋅[b,c] = b⋅[c,a] = c⋅[a,b];
[a,[b,c]] = b(a,c) − c(a,b).
6 Производная
Если некоторая непрерывная функция y = f(x) определена на некотором
интервале, то всякое изменение х на ∆х приводит к тому, что f изменится на ∆f.
D этом случае выражение
∆f
f (х + ∆х ) − f (x )
=
∆x
∆x
называется средней скоростью изменения функции на интервале значений аргументов от х до х + ∆х. Данное отношение показывает, какое изменение ∆f
функции приходится на единичное изменение аргумента (т.е. как бы ∆х = 1).
На интервале ∆х функция f(x) может существенно менять свой ход (отличаться от хода линейной функции). Это значит, что на этом интервале скорость
изменения функции будет меняться от места к месту. Но совершенно ясно, что
всегда можно выбрать интервал ∆х столь малым, что на нём ход функции f(x)
практически будет неотличим от хода линейной функции. Такие интервалы
значений аргументов будем называть элементарными (или малыми) и обозначать dx. Соответствующие изменения функции обозначают df и называют элементарными (или малыми). Такого рода малые величины dx, df. … называют
ещё дифференциалами от величин x, f и т.д.
Величина f ′ =
df
называется первой производной функции y = f(x) по арdx
гументу x, а ее смысл − ″мгновенная″ скорость изменения функции, т.е. по су9
ществу всё та же средняя скорость ее изменения, но на столь малом интервале
dx, на котором f(x) не отличается существенно от хода линейной функции. Из
сказанного ясно, что данную производную можно определить как предел отношения:
lim ∆x→0
f (х + ∆х ) − f (x )
∆f
df
= lim ∆x→0
=
= f ′.
∆x
∆x
dx
В приведённом примере для производной кроме y ′ можно использовать и другие обозначения:
y′ =
dy
df
=
= y ′x = f ′x.
dx dx
Физический смысл производной. Производная
f ′(x) = lim ∆x→0
∆f
∆x
характеризует быстроту (скорость) изменения функции f(x) при изменении аргумента x. В частности, если y = f(x) представляет зависимость пути у от времени х, то в этом случае производная y′ определяет мгновенную скорость в момент времени х. Если же, скажем, y = f(x) определяет величину заряда у, протекающего через поперечное сечение проводника в зависимости от времени х, то
в этом случае производная у′ = f ′(x) определяет силу тока в момент времени х.
Геометрический (графический) смысл производной. Из рисунка В.8 видно, что
∆f
= tgα.
∆x
Отношение
lim ∆x→0
∆f
dy
df
= tgα0 =
=
dx dx
∆x
10
называют угловым коэффициентом (см. рисунок В.9). Таким образом, по геометрическому смыслу
∆f
df
и
суть тангенсы угла наклона секущей и ″каса∆x
dx
тельной″ к графику f(x) соответственно. Таким образом, производная от f(x) по
х геометрически характеризует крутизну графика f(x) в каждой точке х, которая
нас заинтересует. Ясно, что из f ′ =
df
следует df = f ′dx.
dx
у
y=f(x)
f(x+∆x)
∆f
dу
α
dх
f(x)
α
0
х
Рисунок В.8
х+∆х
х
0
х
х
Рисунок В.9
Для сложной функции f(x) = f (z( x ) ) производная по аргументу х равна
f ′х =
df
df dz
=
⋅ .
dx
dz dx
Так, например, для f(x) = sinz, при z = kx, f(x) = sinkx, и
df
df dz
d
=
⋅
=
(sin z ) ⋅ d (kx ) = cosz⋅k = coskx⋅k = k⋅coskx.
dx dz dx dz
dx
Производную от первой производной называют второй производной и
обозначают
dy ′ d 2 y
d 2f
y′′ =
=
=
= y′′xx = f ′′xx.
dx
dx 2
dx 2
11
В частности, если y = f(x) представляет зависимость пути у от времени х, то в
этом случае вторая производная y′′= f ′′(х) представляет собой ускорение точки
в момент времени х.
Производные некоторых функций (С, А, k = const):
(x )′ = nx
С′ = 0
n
(Се )′ = Се
х
n−1
(Сx ) =Сnx
х
n
(cos x )′ = −sinx
(tgx)´= 1/cos2x
′
n−1
(sin x )′ = cosx
(A sin kx )′ = Akcoskx
(U ± V )′ = U′ ± V′
(A cos kx )′ = -Aksinkx
(U ⋅ V )′ =U′V+UV′
(x )′ = −nx
′
U U ′V − UV′
=
V2
V
−n
−(n+1)
Cx
Cx
(ctgx)´= - 1/sin2x (a )´ = C⋅a ⋅lna
y′x= [f( z(х) )]′x= f′z⋅z′x
(lnx)′ =
1
х
Пусть имеется некоторая функция f(x, y, z, t), где x, y, z, t − независимые
переменные. Если менять какую-либо одну из переменных x, y, z или t при зафиксированных остальных переменных, то величины
f (x + ∆x , y , z , t ) − f (x .y , z , t )
f (x , y , z , t + ∆t ) − f (x .y , z , t )
,...,
∆t
∆x
(∗)
показывают, какова средняя скорость изменения f(x, y, z, t) на интервалах Δx,
Δy, Δz, Δt, соответственно, т.е. показывают, насколько изменится f(x, y, z, t) при
единичном изменении только одного из переменных x, y, z, t при зафиксированных остальных переменных. Если интервалы Δx, Δy, Δz, Δt столь малы, что
на них ход функции f(x, y, z, t) не отличается существенно от хода линейной
функции, то написанные соотношения (∗) называются частными производными
от f(x, y, z, t) по x, y, z, t, соответственно:
lim ∆x → 0
∆f
∂f
f (x + ∆x , y , z , t ) − f (x .y , z , t )
= lim ∆x→0
=
…
∆x
∆x
∂x
12
Они обозначаются символами
∂f ∂f ∂f ∂f
,
,
,
. Смысл частных производных
∂x ∂y ∂z ∂t
тот же, что и у отношений (∗), т.е. они характеризуют быстроту изменения
функции при изменении какого-либо одного из аргументов при постоянных
значениях остальных аргументов. Для частных производных справедливы все
свойства обычных производных. Конечно, вместо переменных x, y, z, t можно
взять и другой набор переменных и в любом их количестве.
Если x, y, z являются функциями от t, то при изменении t от t до t + dt
другие переменные x, y, z получат вполне определённые приращения dx, dy, dz.
Величина
∂f ∂y ∂f ∂z
df
∂f
∂f ∂x
=
+
+
+
dt
∂t
∂x ∂t
∂y ∂t
∂z ∂t
(∗∗)
называется полной производной от f по ее основному аргументу t и показывает,
как быстро меняется f(x, y, z, t) с изменением ее основного аргумента t (при изменении которого меняются и остальные аргументы x, y, z). Возможен такой
случай, когда какая-либо из переменных x, y, z или даже все они вместе не меняются при изменении t. Тогда соответствующие величины
∂f ∂f
∂f
,
или
бу∂x ∂y
∂z
дут равны нулю, и равенство (∗∗) становится «короче». При
∂x
∂y
∂z
=
=
=0
∂t
∂t
∂t
оно принимает вид
df
∂f
=
.
dt
∂t
Возможен и такой случай, когда f не зависит от какой-либо из переменных x, y,
z, t. Тогда соответствующая частная производная будет равна нулю и (∗∗) опять
«укоротится».
13
Отметим, что
∂f
характеризует быстроту изменения f при x = const, y =
∂t
const, z = const, т.е. при зафиксированной точке. Величина же
df
характеризует
dt
быстроту изменения f с учётом изменения x, y, z, т.е. действительно полную
быстроту, в отличие от
∂f
∂f
,
и т.д., где часть переменных зафиксирована,
∂t
∂x
т.е. не меняется.
Отметим ещё один момент. Если имеется некоторая функция f(x, y, z, t),
то величина
df =
∂f ∂y
df
∂f
∂f ∂x
∂f ∂z
⋅dt =
⋅dt +
dt +
dt +
dt =
∂t
∂x ∂t
∂z ∂t
dt
∂y ∂t
=
∂f
∂f
∂f
∂f
⋅dt +
⋅dx +
⋅dy +
⋅dz
∂t
∂x
∂y
∂z
называется полным дифференциалом от функции f. Слагаемые в правой части
уравнения называются частными дифференциалами от f.
То, что сказано про производную и дифференциал скалярной функции
f(x), вполне применимо и к векторной функции u = u(ϕ), где ϕ − некоторый
скаляр (см. п.1, п.2, п.3 данного пособия, например, u – радиус-вектор, ϕ − время). Это следует из того, что вместо функции u = u(ϕ) мы можем всегда рассматривать uх(ϕ), uу(ϕ), uz(ϕ), а тогда при зафиксированных ортах i, j, k имеем:
du
d
=
(uх⋅i + uу⋅j + uz⋅k).
dϕ dϕ
7 Интеграл
Интегрированием называют математическую операцию, ″обратную″
дифференцированию (взятию производной). При интегрировании находят первообразную функцию – такую функцию, производная которой равна данной
14
функции. Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции f(x), если функция F(x) дифференцируема и F′(x) = f(x). Данная функция
f(x) может иметь различные первообразные функции, отличающиеся друг от
друга на постоянные слагаемые. Поэтому совокупность всех первообразных
функций для данной функции f(x) содержится в выражении F(x) + C, которое
называют неопределённым интегралом от этой функции f(x) и обозначается
символом:
∫ f (x )dx ,
где ∫ − называется знаком интеграла;
f(x) – подынтегральной функцией;
f(x)dx – подынтегральным выражением.
Таким образом,
∫ f (x )dx
= F(x) + C,
где С = const.
Неопределённые интегралы некоторых функций (A, C, k, a = const):
∫ 0 ⋅ dx = C
dx
∫ x = ln |x| + C
∫ sin xdx = − cos x + C
∫ аdx =
∫ AU(х )dx = A ∫ U(х )dx + C
∫ cos xdx = sin x + C
∫ (U + V )dx = ∫ Udx + ∫ Vdx
1
sin
kxdx
=
−
cos kx + C
∫
k
1 ax
ax
∫ e dx = e + C
a
1
cos
kxdx
=
sin kx + C
∫
k
∫x
n
аx + C
dx =
1 n +1
x
+ C,
n +1
где n ≠ −1
Пусть в интервале (а, в) изменения аргумента х определена непрерывная
функция f(x). Разобьём интервал (а, в) на элементарные отрезки ∆х1, ∆х2, ... ∆хn.
Составим сумму:
15
n
∑ f ( x i ) ⋅ ∆x i ,
i =1
где каждое слагаемое f(xi)⋅∆xi представляет собой площадь прямоугольника со сторонами f(xi) и ∆xi (см. рисунок В.10).
Выражение
lim ∆x i → 0
n →∞
n
в
i =1
а
∑ f ( x i ) ⋅ ∆x i = ∫ f ( x )dx
называется определённым интегралом от этой функции f(x).
в
Геометрический смысл определённого интеграла (рисунок В.11): ∫ f ( x )dx
а
− определённый интеграл равен площади S криволинейной трапеции (площади
фигуры под графиком функции f(x) при изменении аргумента х в интервале (а,
в)).
f(x)
f(x)
z
S
f(xi)
f(а)
0 а
хi
хi+∆xi
в
х
0 а
в х
Рисунок В.11
Рисунок В.10
Нужно отметить, что
в
∫ f ( x )dx = F(в) − F(а),
а
16
т.е. значение определённого интеграла от подынтегральной функции f(x) равно
разности значений первообразной функции F(x) при значениях х = в и х = а, соответственно.
Например,
в
в
∫ cos xdx = sin x а
= sinв − sinа.
а
Для определённых интегралов справедливы правила интегрирования,
аналогичные соответствующим правилам для неопределённых интегралов.
Можно говорить и об интеграле от функции многих переменных, т.е. от
функции f(x, y, z, t). При этом в интересующих нас случаях это интегралы типа
r2
∫ f (r )dr
x 2y2z2
=
r1
∫
[f (x , y ,z )dx + f (x , y ,z )dy + f (x , y ,z )dz].
x
y
z
x 1 y1 z 1
Можно показать, что если величина
fxdx + fydy + fzdz
есть полный дифференциал от некоторой функции F(x, y, z), т.е. если
fxdx + fydy + fzdz = dF,
то значение интеграла
∫ (f dx + f dy + f dz ) = ∫ dF
r2
r2
x
y
z
r1
r1
может быть выражено как разность функции F(x, y, z) на границах интегрирования, т.е.
17
r2
r2
r1
r1
∫ f (r )dr = ∫ dF = F(r2) − F(r1).
Принято говорить, что в данном случае результат интегрирования не зависит от
пути интегрирования между точками 1 и 2.
Если же f такова, что
fxdx + fydy + fzdz ≠ dF,
то результат интегрирования зависит от пути интегрирования. Это обычно (но
не всегда!) означает, что f есть функция не только от x, y, z, но и от каких-то
других переменных (например, от vx, vy, vz, t и т.д).
Именно поэтому элементарная работа F(r, v, t)dr не является полным
дифференциалом, т.е. F(r, v, t)dr ≠ dA. Это значит, величина работы зависит от
формы траектории (от «формы пути»). Исключение составляет случай, когда F
= F(r) или, что то же самое F = F(x, y, z), а тогда F(r)dr = dФ и тогда
r2
∫ F(r )dr
r1
r2
= ∫ dФ = Ф(r2) − Ф(r1).
r1
Вместо функции Ф(r) удобно использовать функцию U(r) = −Ф(r), где U(r) −
потенциальная энергия.
К вычислению определённых интегралов сводятся задачи об измерении
площадей, объёмов тел, длин дуг кривых, задачи определения координат центров тяжести, моментов инерции, пути тела по известной скорости движения,
работы производимой силой и т.п.
18
Приложение Г
(справочное)
Основные формулы по физике
v=
при равномерном движении скорость v равна отношению пути S ко
S
t
времени t.
vср.=
ΔS
Δt
vср =
∆r
∆t
v=
v=
vср. − средняя скорость равна отношению пути ∆S к промежутку
времени ∆t, в течение которого этот путь был пройден.
vср − вектор средней скорости перемещения за время ∆t, ∆r − вектор
перемещения.
dr
= r′t
dt
v − вектор мгновенной скорости равен производной от перемеще-
dS
= S′t
dt
v − модуль мгновенной скорости равен производной от пути по
аср =
∆v
∆t
ния по времени.
времени.
аср − вектор среднего ускорения равен отношению изменения скорости ∆v к промежутку времени ∆t, за которое это изменение произошло.
a=
dv
=v′t
dt
мгновенное ускорение равно производной от скорости по времени
dv
=v′t
dt
тангенциальное (касательное) ускорение характеризует быстроту
aτ=
изменения скорости по модулю и направлено по касательной к
траектории в данной точке.
v2
аn=
R
нормальное (центростремительное) ускорение аn характеризует быстроту изменения скорости по направлению и направлено к центру
кривизны траектории. R − радиус кривизны траектории, v − скорость.
(при равномерном вращении по окружности аn − центростремительное ускорение, R − радиус окружности).
19
R = lim ∆ϕ→0
∆S dS
=
∆ϕ dϕ
R − радиус кривизны в данной точке кривой, ∆ϕ − угол
между касательными к кривой в точках, отстоящих
друг от друга на элементе участка траектории ∆S.
а = an + аτ
а − полное ускорение при криволинейном движении;
a= a n2 + a τ2
an, aτ − нормальное (центростремительное) и тангенциальное
(касательное) ускорения, соответственно.
tgα = an/aτ
х(t)=x0 + v0 . t
α - угол между векторами полного ускорения и скорости.
кинематическое уравнение равномерного движения со скоростью v0 вдоль оси х, x0 - начальная координата, t - время.
1
х(t)=x0 + v0 . t + at2
2
кинематическое уравнение равнопеременного движения
(а=const) вдоль оси х, v0 - начальная скорость. Значения v0
и а − положительны, если векторы v0 и а направлены в
сторону положительной полуоси х, и отрицательны в противном случае.
1
S − путь и v − мгновенная скорость при равнопеременном двиS=v0 . t + at2
2
жении, v0 − начальная скорость, а − ускорение, t − время.
.
v=v0 + a t
v 2 − v 02
S=
2a
кинематическое уравнение, связывающее путь S, пройденный
телом за некоторое время, с начальной − v0 и конечной − v скоростями на этом отрезке пути, с ускорением а.
2H
gt 2
;
;t=
2
g
gt 2
h(t)=H −
;
2
v = gt = 2gH
H=
свободное падение (v0 = 0) тела с высоты Н: t − время
падения; g − ускорение свободного падения; v − скорость
тела в момент достижения поверхности (Земли), h(t) –
высота в момент времени t.
20
y(t) = H −
движение тела, брошенного горизонтально со скоро-
gt 2
;
2
стью v0 с высоты Н: х0 = 0 и у0 = Н − начальное поло-
х(t) = v0⋅t;
жение тела (в момент броска); х(t) и у(t) − уравнения
2H
; L = v0t0;
g
t0 =
движения по осям; t0 − время полета; L − дальность полета; vx и vy − составляющие скорости v тела по осям
vx = v0; vy = gt;
v 2x
v=
+
координат для любого момента времени t во время по-
v 2y
лета (до удара о поверхность).
vox = v0⋅cosα; v0у = v0⋅sinα;
движение тела, брошенного со скоростью v0 под
углом α к горизонту: х0 = 0 и у0 = 0 − начальное
1
y(t)=voy⋅t− gt2;
2
положение тела (в момент броска); vox и voy − проvx(t)=vox; vy(t) = voy − gt;
екции скорости v по осям; х(t) и у(t) − уравнения
x(t)=vox⋅t;
0
v0y
H=
2
2g
v0
L=
2
; t0 =
⋅ sin 2α
g
2v 0 y
g
;
движения по осям; vx(t) и vy(t) − зависимость составляющих скорости по осям от времени t; Н −
высота подъема, t0 − время полета; L − дальность
полета.
t
N
при равномерном вращательном движении: ν − частота враще; T= ;
t
N
ния, Т − период вращения, N − число оборотов за время t.
−1
−1
ν=T ; T=ν
ν=
ω=
ϕ
ϕ
; N= ;
t
2π
ω = 2πν =
2π
Т
ω − угловая скорость при равномерном вращении: ϕ − угол
поворота, N − число оборотов за время t; ν − частота вращения, Т − период вращения.
ω=
dϕ
ω − угловая скорость равна производной угла поворота по време= ϕ t′
dt
ни.
ε=
dω
ε − угловое ускорение равно производной угловой скорости по
= ω t′
dt
времени.
21
S=R . ϕ
S − путь, пройденный материальной точкой при повороте на угол
ϕ по дуге окружности радиуса R.
v=ω . R=
2πR
=2πRν
T
at = ε⋅R;
связь между линейной и угловой скоростями при равномерном вращательном движении
an и at − нормальное (центростремительное) и тангенци-
2
an=ω2 . R=
v
=v . ω
R
ϕ(t)=ϕ0 + ω0 . t
альное (касательное) ускорения, соответственно.
кинематическое уравнение равномерного вращения, ϕ0 − начальное угловое положение.
ε ⋅ t2
ϕ(t)=ϕ0 + ω0 t +
2
.
кинематическое уравнение равнопеременного вращения (ε=const), ω0 − начальная угловая скорость.
ω(t)= ω0 + ε . t
ω − мгновенная угловая скорость при равнопеременном враще-
ω − ω0
t
нии в момент времени t, ω0 − начальная угловая скорость, ε −
ε=
ω 2 − ω0
ϕ=
2ε
угловое ускорение.
2
кинематическое уравнение, связывающее угол поворота ϕ с начальной ω0 и конечной ω угловыми скоростями и с угловым
ускорением ε.
ρ=
m
V
ρ − плотность тела, m − масса, V − объем тела.
р = m⋅v
р − импульс тела − векторная величина, равная произведению массы
m тела на его скорость v.
F = ma = m
dv
dp
второй закон Ньютона: m − масса тела, F − равно;F=
= p′t
dt
dt
действующая всех приложенных к телу сил, a −
ускорение, p − импульс тела.
22
F = ∑ Fi. принцип суперпозиции для силы − если на рассматриваемое тело
действует несколько сил, то его движение будет таким же, как если
бы на тело действовала результирующая сила, равная векторной
сумме отдельных сил.
F21= −F12 третий закон Ньютона: силы, с которыми действуют друг на друга
два тела, всегда равны по модулю и противоположно направлены.
Fупр = - k∆l;
закон Гука: сила упругости Fупр пропорциональна удлинению те-
σ=ε . Е;
ла (пружины) ∆l и направлена в сторону, противоположную на-
ε=
∆l
;
l0
правлению перемещений частиц тела при деформации; k − коэф-
σ=
F
;
S
ческое напряжение; S − площадь поперечного сечения образца, к
фициент пропорциональности (жесткость пружины); σ − механикоторому приложена сила F; Е − модуль Юнга (упругости); ε −
∆l = l − l0
F=G⋅
относительное удлинение; l0 − начальная длина.
m1 ⋅ m2
R2
закон всемирного тяготения: два тела притягиваются друг к
другу с силой, пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния R между их центрами
масс; G − гравитационная постоянная. В такой форме записи
закон справедлив для взаимодействия материальных точек и
однородных тел сферической формы.
M
(R + h) 2
−2
h
g(h) = g1 +
R
g(h) = G ⋅
g(h) − ускорение свободного падения на высоте h над
поверхностью планеты, M и R − масса и радиус планеты;
g − ускорение свободного падения у поверхности планеты
(без учета вращения планеты), т.е. g = G
Fтр.=µ . N
M
R2
.
сила трения скольжения равна максимальной силе трения покоя
Fтр., пропорциональной силе нормального давления N (реакции опо-
23
ры); µ − коэффициент трения.
P − сила тяжести, m − масса тела, g − ускорение свободного падения.
P = mg
v1 =
G
M
=
R
v1 − первая космическая скорость: M и R − масса и ра-
gR
диус планеты, G − гравитационная постоянная, g − ускорение свободного падения на поверхности планеты.
местная первая космическая скорость движения по ок-
v = v1 R
r
r
T = 2π
R
ружности радиусом r. Так как r > R, то v < v1.
3/ 2
период обращения спутника по орбите радиусом r;
1/ 2
R
g
R − радиус планеты; r > R.
Т1
r
Т2
(2π)2
= 1 или 3 =
GM
r
Т2
r2
2
3
частная форма третьего закона Кеплера −
отношение квадратов периодов вращения
двух спутников равно кубу отношения радиусов круговых орбит.
mv 2
mM
mv 2
mgR 2
Е=
-G
==.
2
r
2
2r
полная энергия Е спутника на круговой
орбите радиусом r равна сумме кинетической и потенциальной энергий.
v2 = v1 2 = 2gR = 2G
M
.
R
v2 – вторая космическая (или параболическая)
скорость, v1 − первая космическая скорость.
∆А = F⋅∆r =
∆А − элементарная работа равна скалярному произведению си-
= F⋅∆r⋅cosα
лы F на перемещение ∆r, α − угол между F и ∆r.
Рср.=
∆А
∆t
мощность равна работе, совершаемой в единицу времени: Pср средняя мощность за время ∆t.
P = F ⋅ v = F⋅v⋅cosα
мгновенная мощность P равна скалярному произведению
силы F на скорость v, с которой движется точка приложения силы, α − угол между F и v.
24
EК - кинетическая энергия тела массой m, движущегося со
mv 2
p2
=
EК =
2
2m
А=ЕК2 − ЕК1
скоростью v, р - импульс тела.
работа равнодействующей силы равна изменению кинетической
энергии тела (при условии постоянства потенциальной энергии).
А = −∆ЕП работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии (при условии постоянства кинетической энергии).
ЕП=m g . h
потенциальная энергия тела в однородном поле тяготения: h - высота над поверхностью Земли (высота от нулевого уровня), g - ускорение свободного падения, m - масса тела.
k ⋅ ( ∆l ) 2
ЕП=
2
ЕП= − G ⋅
потенциальная энергия упруго деформированного тела (пружины).
m1 ⋅ m 2
R
потенциальная энергия взаимодействия двух тел массами
m1 и m2, находящихся на расстоянии R друг от друга; G –
гравитационная постоянная.
N
N
закон сохранения импульса: суммарный импульс
i =1
i =1
замкнутой системы остается постоянным (по величи-
∑ pi = ∑ m i ⋅ v i = const
не и направлению) при любых взаимодействиях тел
этой системы между собой.
mv – mv0 = F⋅∆t;
изменение импульса тела ∆р за время ∆t равно импульсу
∆р = р − р0 = F⋅∆t равнодействующей силы F⋅∆t.
Е=EK + EП
полная механическая энергия материальной точки (тела) равна
сумме кинетической и потенциальной энергий.
Е=EK + EП=сonst закон сохранения полной механической энергии: полная ме25
ханическая энергия замкнутой системы тел остается постоянной при любых движениях тел системы, если в системе не
действуют диссипативные силы.
законы сохранения импульса и энергии
m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2;
1
1
1
1
m1v12 + m2v22 = m1u12 + m2u22 при центральном абсолютно упругом
2
2
2
2
ударе двух тел (шаров).
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)u
закон сохранения импульса при центральном абсолютно неупругом ударе двух тел.
изменение кинетической энергии при
1
1
1
∆ЕК=Q=( m1v12 + m2v22) − (m1+m2)u2
2
2
2
абсолютно неупругом ударе (часть ее
переходит в «тепловую» форму энергии).
η=
А пол
Р
= пол ;
А затр Р затр
коэффициент полезного действия механизмов
η=
А пол
Р
⋅ 100 % = пол ⋅ 100%
А затр
Р затр
ной мощности Рпол) к затраченной Aзатр (затра-
М = r×F
равен отношению полезной работы Aпол (полезченной − Рзатр).
момент силы М относительно неподвижной точки − физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора r, проведенного из этой точки в точку приложения силы, на эту силу F.
M = r⋅F⋅sinα=F⋅d
М – модуль момента силы, α − угол между r и F,
d=R. sinα − плечо силы равно кратчайшему расстоянию от
оси вращения до линии действия силы.
∑Fi = 0
(первое) условие равновесия тела при отсутствии вращения:
векторная сумма всех сил, приложенных к телу, равна нулю.
∑Mi = 0
(второе) условие равновесия твердого тела с неподвижной
26
осью вращения: алгебраическая сумма моментов сил относительно любой оси равна нулю, причем моменты сил, вращающих в одну сторону, считают положительными, а в другую отрицательными.
момент пары сил: d − плечо пары сил (F1=F2=F) – кратчайшее
М = F⋅d
расстояние между линиями действия сил.
правило рычага: во сколько раз плечо l2 силы F больше плеча l1
l
F
= 1
mg l 2
груза весом mg, тем меньше усилие F требуется, чтобы сдвинуть
груз.
центробежная сила инерции, вектор R направлен от оси
Fцб = mω2R
вращения до места расположения тела.
FK = 2m[v′,ω].
сила Кориолиса или кориолисова сила инерции: v′ − скорость
частицы относительно вращающейся системы отсчета, ω −
угловая скорость вращающейся системы.
P=
F
S
давление равно отношению силы, перпендикулярной к поверхности тела, к величине площади поверхности S, на которую действует эта сила.
P=ρ . g . h
P − гидростатическое давление: ρ − плотность жидкости, h − высота
столба жидкости, g − ускорение свободного падения.
F1 S1 l 2
=
=
F2 S2 l1
гидравлический пресс дает выигрыш в силе во столько раз, во
сколько раз площадь ее большого поршня превосходит площадь
маленького поршня, S1 и S2 − площади поперечного сечения
поршней, l1 и l2 − перемещения поршней, F1 и F2 − силы, приложенные к поршням.
FA=ρgVп закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость или газ, действует
выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости или
27
газа: ρ − плотность жидкости (газа), Vп − объем погруженной в жидкость (газ) части тела, g − ускорение свободного падения.
ρvS= const закон постоянства потока массы: ρ − плотность жидкости.
S . v=const
уравнение неразрывности (непрерывности) для несжимаемой (ρ =
const) жидкости: произведение скорости течения v на поперечное
сечение S трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока.
V=S⋅v⋅t
объем жидкости (газа) V, проходящий через сечение S струи (трубы)
за время t.
h1 ρ2
=
h 2 ρ1
в сообщающихся сосудах высота столбиков жидкостей над уровнем
раздела обратно пропорциональна плотностям жидкостей.
уравнение Бернулли для стационарного течения идеальной
1 2
ρv + ρgh =
2
1
несжимаемой жидкости: Р − статическое давление, ρv2 −
2
= const
динамическое давление, ρgh − гидростатическое давление, v
P+
− скорость течения жидкости в данном сечении.
v= 2 ⋅ g ⋅ h
формула Торричелли: v − скорость истечения жидкости из малого
отверстия в открытом широком сосуде, h − глубина, на которой
находится отверстие относительно уровня жидкости.
ν=
m N
=
µ NA
m0=
m
µ
=
N NA
T=t+273
ν − количество вещества: µ − молярная масса, NA − число Авогадро, N − число молекул в веществе (газе) массой m.
m0 − масса одной молекулы.
T − температура по абсолютной шкале температур (шкале Кельвина), t − температура по шкале Цельсия.
28
t=
5
(TF − 32)
9
t − температура по шкале Цельсия, ТF − температура по шкале
Фаренгейта.
P . V=const
закон Бойля-Мариотта: для данной массы газа (m=const)
при неизменности состава газа (молярная масса µ=const)
при постоянной температуре (T=const) произведение давления газа P на его объем V есть величина постоянная.
V=V0. (1+αt)
закон Гей-Люссака: объем данной массы газа (m=const) при
V= V0. α. T
неизменности состава газа (молярная масса µ=const) при по-
V1 V2
=
T1 T2
стоянном давлении (Р=const) изменяется линейно с температурой, α=273-1 K-1 − термический коэффициент расширения,
V0 − объем при 0 0С.
P=P0.(1+βt)
закон Шарля: давление данной массы газа (m=const) при неиз-
P=P0.β . Т
менности состава газа (молярная масса µ=const) при постоянном
P1 P2
=
T1 T2
объеме (V=const) изменяется линейно с температурой, β=273-1 K-1
Vµ =
− термический коэффициент давления, P0 − давление при 0 0С.
л
V
= 22,4
мо ль
ν
закон Авогадро: моли любых идеальных газов при
одинаковых условиях (одинаковых температуре и давлении) занимают одинаковые объемы, в частности, при
нормальных условиях, − 22,4 л.
P=760 мм рт. ст.
значения давления и температуры при нормальных условиях.
T = 0 0C
P=ΣPi закон Дальтона: давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений ее компонентов; Pi − парциальное давление i-ой компоненты равно давлению, которое создавала бы i-ая компонента смеси
газов, если бы она одна занимала объем, равный объему смеси при той
же температуре.
29
P⋅V
=const
T
уравнение Клапейрона справедливо при неизменности состава и
массы газа: Р − давление, V − объем, Т − абсолютная температура.
P . V=
m
⋅R⋅T
µ
уравнение Клапейрона-Менделеева (уравнение состояния
идеального газа): m − масса газа, R − универсальная газовая
постоянная, µ − молярная масса газа.
R − универсальная газовая постоянная, k − постоянная Больцмана,
R=k . NA
NA − число Авогадро.
n=
N
;
V
ρ=
ρ = m0⋅n
Р=n . k . T
m n − концентрация молекул − число молекул в единице объема.
;
V
ρ − плотность газа, m0 − масса одной молекулы
зависимость давления Р от концентрации молекул n и абсолютной
температуры T; k − постоянная Больцмана.
2
P= n⋅E0;
3
основное уравнение кинетической теории идеальных газов: давление P идеального газа равно
2
среднеквадратической кинетиче3
1
Е0 = m0v2
2
ской энергии молекул, содержащихся в единице объема, m0 − масса одной молекулы, n − концентрация молекул.
1
3
E0 − среднеквадратическая кинетическая энергия поступаЕ0 = m0v2= kT
2
2
тельного движения молекулы идеального газа, m0 − масса
молекулы, k − постоянная Больцмана, Т − абсолютная температура, v – среднеквадратическая скорость.
m
F(v) = 4π∙
2πkT
3/ 2
mv 2
v ∙ exp −
2kT
2
закон Максвелла распределения молекул по скоростям.
30
N
v = vкв = v 2 =
v=
∑ vi
2
i =1
N
3kT
3RT
3P
=
=
m0
µ
ρ
v (vкв) − среднеквадратическая скорость молекул идеального газа.
R − универсальная газовая постоянная, µ − молярная
масса, T − абсолютная температура, P − давление, ρ −
плотность газа, k − постоянная Больцмана, m0 − масса
молекулы, v − среднеквадратическая скорость.
n
∑ vi
v=
i =1
n
v = vср =
vн=
v − средняя (среднеарифметическая) скорость.
8RT
8P
8kT
=
=
πm 0
πµ
πρ
2kT
2RT
2P
=
=
m0
µ
ρ
ν = 2 2 πr2 v n2
v − средняя арифметическая скорость моле-
кул газа.
vн − наиболее вероятная скорость молекул газа.
ν − число столкновений, происходящих за секунду в единице
объёма газа, r – радиус молекулы.
λ=
v ср
Z
=
1
2πd 2 n
λ − средняя длина свободного пробега молекул газа равна
среднему расстоянию между двумя последовательными
столкновениями молекулы, Z − среднее число соударений
молекулы за 1 с, d − эффективный диаметр молекулы, n −
концентрация молекул, vср − относительная средняя арифметическая скорость молекул.
i
Еср= kT
2
Еср − средняя энергия молекулы, i − число степеней свободы молекул газа, k − постоянная Больцмана, T − абсолютная температура.
31
U − внутренняя энергия идеального газа, ν − количество вещества,
i
U= νRT
2
R − универсальная газовая постоянная, T − температура.
Q= ∆U + A первое начало термодинамики: количество теплоты Q, переданное
системе, идет на изменение внутренней энергии ∆U системы и на
совершение работы А против внешних сил.
i
i
∆U= νR∆T= P∆V
2
2
∆U − изменение внутренней энергии при изменении абсолютной температуры на ∆T; ∆V − изменение объема
при давлении Р.
С=
с=
∆Q
∆T
С − теплоемкость численно равна количеству теплоты, необходимому
для изменения температуры тела на 1 К.
С
∆Q
=
m m ⋅ ∆T
i
СV= R
2
с − удельная теплоемкость равна теплоемкости единицы массы
тела, m − масса тела.
СV − молярная теплоемкость газа при постоянном объеме, i − число
степеней свободы молекул газа, R − универсальная газовая постоянная.
СP=
i+2
R
2
СP − молярная теплоемкость газа при постоянном давлении.
R= СP − СV
уравнение Майера: универсальная газовая постоянная численно
равна работе, которую 1 моль идеального газа совершает, изобарически расширяясь при нагревании на 1 К.
γ=
CP
R
=1+
CV
CV
А=P∆V
γ − постоянная (показатель) адиабаты.
А − работа, совершаемая газом при изменении его объема, Р − давление газа, ∆V − изменение его объема.
32
m
R(T2 − T1)
µ
A − работа газа при изобарическом про-
V
Р
m
m
RT⋅ln 2 = RT⋅ln 1
µ
µ
V1
Р2
A − работа газа при изотермическом про-
m R
m
(T1−T2) = CV(T1−T2)
µ γ −1
µ
A − работа газа при адиабатическом про-
А = P(V2 – V1) =
А=
А=
цессе.
цессе.
цессе, γ − показатель адиабаты.
PVγ = const;
TVγ−1 = const;
TγP1−γ = const
уравнения адиабатического процесса (уравнение Пуассона),
CP i + 2
=
i
CV
γ − показатель адиабаты, СP и СV − молярные теплоемкости при
γ=
γ − показатель адиабаты.
постоянных давлении и объеме, соответственно; i − число степеней свободы молекул газа.
vзв =
γ
P
ρ
vзв − скорость звука в газе.
L=L0(1+αt)
линейное расширение твердых тел: L0 − длина при температуре
1 ∆L
α= ⋅
L ∆t
0 0С, L − длина при температуре t 0С, α − линейный коэффициент
∆L = L − L0
ве на 1 0С (1 К).
расширения равен относительному изменению длины при нагре-
V=V0(1+βt)
объемное расширение твердых тел и жидкостей: V0 − объем
1 ∆V
β= ⋅
V ∆t
при 0 0С, V − объем при температуре t 0С, β − объемный коэффициент расширения равен относительному изменению объема
∆V = V − V0
при нагреве на 1 0С (1 К).
β=3α
соотношение между коэффициентами линейного (α) и объемного (β)
расширения твердых тел.
33
q=
Q
m
λ=
Q
m
удельная теплота сгорания равна количеству теплоты, выделяющемуся при сгорании единицы массы топлива.
количество теплоты, необходимое для превращения единицы массы из
твердого (жидкого) состояния в жидкое (твердое) при температуре
плавления (кристаллизации), называют удельной теплотой плавления
(кристаллизации) λ. Удельная теплота плавления равна удельной теплоте кристаллизации. Температура плавления равна температуре кристаллизации.
r=
Q
m
количество теплоты, которое необходимо сообщить жидкости для испарения единицы ее массы при постоянной температуре (в частности,
при температуре кипения), называют удельной теплотой парообразования r. С ростом температуры величина удельной теплоты парообразования уменьшается.
η=
А Q1 − Q 2
=
Q1
Q1
η − коэффициент полезного действия теплового двигателя:
A − работа, совершенная за цикл, Q1 − количество теплоты,
полученное системой (от нагревателя), Q2 − количество теплоты, отданное системой (холодильнику; окружающей среде).
η=
Q1 − Q 2
Q1
η − коэффициент полезного действия идеального теплового дви-
η=
Т1 − Т 2
Т1
дильника, соответственно; Q1 − количество теплоты, полученное
гателя (цикла Карно): Т1 и Т2 − температуры нагревателя и хологазом от нагревателя при изотермическом расширении; Q2 − количество теплоты, отданное газом холодильнику при изотермическом сжатии.
ρ=
m
V
абсолютной влажностью ρ называют количество водяного пара в граммах, содержащегося в 1 м3 воздуха при данной температуре.
34
ρ
ρΗ
ϕ=
относительной влажностью ϕ называют отношение абсолютной влажности к тому количеству водяного пара, которое необходимо для насыщения 1 м3 воздуха при той же температуре.
Р
РН
ϕ=
относительной влажностью ϕ называют отношение парциального давления Р водяного пара, содержащегося в воздухе при данной температуре, к давлению РН насыщенного пара при той же температуре.
δ=
δ − коэффициент поверхностного натяжения равен силе поверхностно-
F
L
го натяжения, приходящейся на единицу длины границы свободной поверхности жидкости.
δ=
A
∆S
δ − коэффициент поверхностного натяжения равен работе, необходимой для увеличения свободной поверхности жидкости при постоянной
температуре на единицу.
1 1
∆P = δ +
r1 r2
уравнение (формула) Лапласа: ∆Р − избыточное давление,
обусловленное кривизной поверхности жидкости; r1 и r2 − радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных нормальных сечений поверхности жидкости для данного элемента поверхности; δ − коэффициент поверхностного натяжения жидкости.
∆P =
h=
2σ
r
избыточное давление в случае сферы: r − радиус сферы, σ − коэффициент поверхностного натяжения.
2σ cos ϑ
ρgr0
h − высота подъема жидкости в капиллярной трубке: ϑ − краевой
угол, r0 − радиус капилляра, ρ − плотность жидкости, g − ускорение свободного падения, σ − коэффициент поверхностного натяжения.
35
2σ ρ 0
r ρ
Р = Р0 ±
Р − давление насыщенного пара над выпуклой (знак «+») (вогнутой, «−») поверхностью: ρ0 − плотность насыщенного пара,
σ и ρ − коэффициент поверхностного натяжения и плотность
жидкости, r − радиус кривизны вогнутого мениска в капилляре, Р0 − давление у поверхности жидкости в сосуде.
Σqi= const
закон сохранения электрического заряда: алгебраическая сумма зарядов в замкнутой системе (т.е. в системе, не обменивающейся зарядами с внешними телами) остается неизменной при любых процессах внутри этой системы.
F=
q1 ⋅ q 2
закон Кулона: сила взаимодействия F между двумя неподвиж-
4πε 0 εr 2
ными точечными зарядами прямо пропорциональна абсолютным значениям зарядов и обратно пропорциональна квадрату
F=k
q1 ⋅ q 2
расстояния между ними, ε0 − электрическая постоянная, ε − ди-
εr 2
электрическая проницаемость изотропной непрерывной среды
2
1
9 H⋅м
= 9⋅10
.
нахождения зарядов, k =
4πε 0
Кл 2
Е=
F
q
Е=
Е − напряженность электростатического поля равна силе, действующей
на единичный положительный заряд, помещенный в данную точку поля.
q
Е − напряженность электростатического поля точечного заряда q
4πε 0 εr 2
на расстоянии r от него: ε0 − электрическая постоянная, ε − диэлектрическая проницаемость среды.
Е = ∑ Еi принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей: напряженность Е результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых в
данной точке каждым из зарядов в отдельности.
36
р − электрический момент диполя так же, как и плечо диполя l, на-
p = ql
правлен от отрицательного заряда к положительному.
М = рЕ⋅sinα момент пары сил, действующей на диполь, α − угол между р и Е.
М = р×Е.
σ=
Q
S
ρ=
Q
V
σ − поверхностная плотность заряда равна заряду, приходящемуся на
единицу площади поверхности несущего заряд тела.
ρ − объемная плотность заряда равна заряду, приходящемуся на единицу объема заряженного по объему тела.
dФ − поток вектора напряженности через площадку dS.
dФ=Еn⋅dS=E⋅dS⋅cosα Е − проекция вектора Е на направление нормали n, α −
n
угол между Е и n.
Ф = ∫ EdS = ∫ E n dS
S
S
∫ E n ⋅ dS =
S
Ф – поток вектора напряженности электростатического
поля сквозь замкнутую поверхность S.
теорема Остроградского-Гаусса: поток вектора напряжен1
q
.
∑ i
ε0
ности электрического поля в вакууме сквозь произвольную
замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на
электрическую постоянную ε0.
Е=
σ
2ε 0 ε
Е − напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью: σ − поверхностная плотность заряда, ε0 −
электрическая постоянная, ε − диэлектрическая проницаемость среды
нахождения плоскости.
Е=
σ
ε 0ε
Е − напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными разноименно заряженными плоскостями, в пространстве
37
между этими плоскостями.
WП=
ϕ=
q1 ⋅ q 2
4πε 0 εr
WП − потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов, находящихся на расстоянии r друг от друга.
ϕ − потенциал электростатического поля равен потенциаль-
Wп
q0
ной энергии единичного положительного заряда, помещенного в данную точку.
А12=WП1−WП2=
А12 − работа, совершаемая силами электростатического поля
= q(ϕ1 − ϕ2) .
при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2
ϕ − потенциал поля равен работе перемещения единичного положи-
А
ϕ= ∞
q0
ϕ=
тельного заряда из данной точки в бесконечность.
ϕ − потенциал поля точечного заряда на расстоянии r от него.
q
4πε 0 εr
ϕ= ∑ ϕ i
принцип суперпозиции для потенциала: потенциал поля, создаваемого системой неподвижных точечных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности в данной точке.
ϕ1 − ϕ2 =
А 12
q0
U = ϕ1 − ϕ2
El = −
dϕ
dl
Е= -gradϕ
ε=
Е0
Е
ϕ1 − ϕ2 − разность потенциалов между двумя точками равна
работе поля по перемещению единичного положительного
заряда из начальной точки в конечную; U − напряжение.
связь между напряженностью электростатического поля (являющейся его силовой характеристикой) и потенциалом − энергетической характеристикой поля.
диэлектрическая проницаемость ε показывает во сколько раз электрическое поле ослабляется диэлектриком; Е0 − напряженность поля в ва-
38
кууме, Е − напряженность поля в диэлектрике.
D = εε0E
связь между векторами электрического смещения D и напряженностью электростатического поля Е для электрически изотропной
среды.
Е= −
Е=
ϕ1 − ϕ 2
d
ϕ 2 − ϕ1
d
связь между напряженностью Е и разностью потенциалов ϕ1 −
ϕ2 для однородного электростатического поля: d − расстояние
между точками поля, отсчитанное вдоль силовой линии (знак
минус ″−″ в первом уравнении указывает на то, что вектор напряженности поля направлен в сторону убывания потенциала).
Е=
U
d
Е – напряженность однородного электрического поля в пространстве
между обкладками плоского конденсатора; U − напряжение и d – расстояние между обкладками.
С=
С=
q
ϕ
С − электроемкость уединенного проводника равна заряду, сообщение
которого проводнику изменяет его потенциал на единицу.
q
q
=
ϕ1 − ϕ2 U
С − электроемкость конденсатора равна отношению заряда q,
накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов (напряжению) между его обкладками.
С=
εε0S
d
С − электроемкость плоского конденсатора: S − площадь каждой из
обкладок, d − расстояние между обкладками, ε − диэлектрическая
проницаемость вещества, заполняющего зазор между пластинами
конденсатора.
С=4πεε0R
С − электроемкость шара радиуса R.
39
С − электроемкость сферического конденсатора, R и r радиу-
С = 4πεε0 Rr
R−r
С=
2πεε 0 L
ln(R r )
сы внешней и внутренней обкладок.
С − электроемкость цилиндрического конденсатора: радиусы
двух коаксиальных цилиндров − R (внешнего) и r (внутреннего),
L − длина цилиндров.
С=
πεε 0 L
ln (d r )
С − электроемкость двухпроводной линии (двух параллельных
цилиндрических проводов с радиусами r и расстоянием между
осями проводов d (d>>r)), L – длина двухпроводной линии.
С=ΣC i
С − электроемкость батареи конденсаторов при их параллельном соединении, C i – электроемкость отдельного конденсатора.
U=Ui
напряжения на конденсаторах при их параллельном соединении одинаковы.
q=Σqi
q – общий заряд на батарее конденсаторов при их параллельном соединении, qi – заряд на отдельном конденсаторе.
1
1
=Σ
С
Сi
ном соединении, C i – электроемкость отдельного конденсатора.
U=ΣUi
U – общее напряжение на батарее конденсаторов при их последова-
С − электроемкость батареи конденсаторов при их последователь-
тельном соединении, Ui – напряжение на отдельном конденсаторе.
q=qi
заряды на конденсаторах при их последовательном соединении
одинаковы.
qU
=
2
CU 2
q2
=
=
2
2C
W=
εε 0 E 2
w=
=
2
ED
=
2
W − энергия заряженного конденсатора: q − заряд, U − напряжение (разность потенциалов), С − электроемкость
конденсатора.
w − объемная плотность энергии электростатического поля
(энергия единицы объема).
40
F − сила притяжения между двумя разноименно за-
q2
F=
=
2ε 0 εS
=
ряженными обкладками плоского конденсатора.
ε εE 2S
σ 2S
= 0
2
2ε 0 ε
mv12
+ qϕ1 =
2
mv 22
=
+ qϕ 2
2
закон сохранения энергии при движении заряженной частицы с
зарядом q и массой m: v1 и v2 − скорости частицы в точках 1 и 2,
ϕ1 и ϕ2 − потенциалы в точках 1 и 2, соответственно.
сила тока I равна заряду, протекающему через поперечное сечение
q
I= ;
t
проводника в единицу времени.
I=
dq
= q′t
dt
j=
I
S
плотность тока j равна силе тока, протекающего через единицу площади
поперечного сечения проводника, перпендикулярного направлению тока.
j =envср направление вектора плотности тока j совпадает с направлением упорядоченного движения положительных зарядов, n − концентрация носителей тока, vср − скорость упорядоченного движения зарядов в проводнике (скорость дрейфа), е − заряд носителей тока.
I=
U
R
закон Ома для (однородного) участка цепи: I − сила тока, U − напряжение на участке цепи равно разности потенциалов, т.е. U = ϕ1 − ϕ2, R −
сопротивление участка цепи.
R=
ρl
S
R − сопротивление однородного линейного проводника длиной l с постоянной площадью поперечного сечения S, ρ − удельное электрическое сопротивление проводника.
41
σ=
1
ρ
σ − удельная электрическая проводимость вещества, ρ − удельное электрическое сопротивление.
ρ=ρ0(1+αt)
зависимость удельного сопротивления ρ от температуры: ρ0 −
1 ∆R
α= ⋅
R ∆t
удельное сопротивление при 0 0С, α − температурный коэффициент сопротивления равен относительному изменению сопротивления при нагреве на 1 0С (1 К).
R=ΣRi
R − общее сопротивление цепи при последовательном соединении
проводников, Ri − сопротивление i-го проводника.
U=ΣUi
U – общее напряжение в цепи последовательно соединенных проводников; Ui – напряжение на сопротивлении Ri.
сила тока в цепи последовательно соединенных сопротивлений одина-
I=Ii
кова на всех проводниках.
R − общее сопротивление цепи при параллельном соединении про-
1
1
=∑
R
Ri
водников, Ri − сопротивление i-го проводника.
U=Ui
напряжение при параллельном соединении проводников одинаково
на всех сопротивлениях
I – общая сила тока при параллельном соединении проводников;
I=ΣIi
Ii – сила тока на сопротивлении Ri.
U=
Е=
напряжение U равно работе электрического поля по перемещению
A
q
единичного электрического заряда на данном участке цепи.
A стор
Е − электродвижущая сила (ЭДС), действующая в цепи, равна рабо-
q
те сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда.
I=
Е
R+r
закон Ома для замкнутой (полной) цепи: сила тока I в замкнутой цепи прямо пропорциональна ЭДС источника и обратно пропорциональна сумме внешнего R и внутреннего r сопротивлений.
42
I=
ϕ1 − ϕ 2 + Е12
R
закон Ома для неоднородного участка цепи (участка цепи с
источником тока): (ϕ1 − ϕ2) − разность потенциалов на концах
участка цепи, Е 12 − ЭДС источника (источников) тока, входящего в участок с сопротивлением R.
U = IR =
U − напряжение на неоднородном участке цепи не равно раз-
=ϕ1−ϕ2 + Е 12
j = σЕ =
Е
ρ
ности потенциалов, т.е. U ≠ (ϕ1 − ϕ2).
закон Ома в дифференциальной форме: j − плотность тока, σ −
удельная электропроводность, ρ − удельное сопротивление, Е −
напряженность электростатического поля.
ΣIK=0
первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю.
∑IkRk = ∑Еi второе правило Кирхгофа: для любого замкнутого контура разветвленной электрической цепи алгебраическая сумма произведений сил токов Ik на сопротивления Rk соответствующих участков
этого контура равна алгебраической сумме ЭДС Еi в этом контуре.
I=
nЕ
nr + R
закон Ома для замкнутой цепи при последовательном соединении n
одинаковых источников тока: n − число источников тока, r − внутреннее сопротивление каждого из источников, Е − ЭДС отдельного
источника, R − внешнее сопротивление цепи.
I=
Е
r
+R
n
RШ=
закон Ома для замкнутой цепи при параллельном соединении n одинаковых источников тока.
R A расчет сопротивления шунта RШ для расширения верхнего предела
n−1
43
измерения амперметра в n=
Rдоб= RV . (n−1)
I
раз, RА − сопротивление амперметра.
I0
расчет добавочного сопротивления Rдоб для расширения верхнего предела измерения вольтметра в n=
U
раз, RV − сопроU0
тивление вольтметра.
U2
t
А = IUt = I Rt =
R
2
U2
A
2
P= = IU = I R =
R
t
А − работа постоянного тока: I − сила тока и U − напряжение на участке цепи с сопротивлением R, t − время.
P − мощность тока.
закон Джоуля-Ленца: Q − количество теплоты, выделяюU2
t
Q= IUt = I Rt =
R
щейся на участке цепи с сопротивлением R за время t.
2
2
w=jE=σE
закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме: w − удельная тепловая мощность тока (количество теплоты, выделяющейся в единицу времени в единице объема), σ − удельная электропроводность,
j − плотность тока, E − напряженность электростатического поля.
m = kq; первый закон Фарадея для электролиза: масса вещества m, выделивm = kIt
шаяся на электроде, пропорциональна заряду q, прошедшему через
электролит, I − сила постоянного тока, протекавшего за время t,
k − электрохимический эквивалент вещества.
k=
1A
F n
второй закон Фарадея: электрохимический эквивалент k пропорционален химическому эквиваленту
A
, A − атомная (молярная) масса
n
данного химического элемента, n − его валентность, F − постоянная
Фарадея.
jH=Nqd
jH − плотность тока насыщения в газе: N − число пар ионов, возни44
кающих в единице объема в единицу времени, d − расстояние между
электродами, q − заряд ионов (в частном случае q = e = элементарному
заряду).
η=
η − коэффициент полезного действия (КПД) источника тока: R −
U
R
=
Е R+r
внешнее сопротивление, r − внутреннее сопротивление, Е − ЭДС
источника, U − напряжение на R.
Рmax=
Рmax − максимальная полезная мощность источника тока: Е − ЭДС
Е2
4r
источника, r − внутреннее сопротивление источника. При этом
внешнее сопротивление R = r.
соотношение между внутренним сопротивлением r источника и
r2=R1 . R2
внешними сопротивлениями R1 и R2, когда мощности, выделяемые
на R1 и R2, одинаковы (R1 и R2 подключаются поочередно).
η=1 −
P⋅R
U
η − КПД линии электропередачи: P − мощность, развиваемая ис-
2
точником при напряжении U на зажимах источника, R – сопротивление линии передачи (сопротивление проводов).
dB =
dB =
B=
B=
B=
µ 0 ⋅ I ⋅ [dl, r ]
закон Био-Савара-Лапласа: dB − магнитная индукция по-
4 ⋅ π ⋅ r3
ля, создаваемая элементом длины dl проводника с током I
μ 0 ⋅ I ⋅ dl ⋅ sin α
4⋅π⋅r
µ 0 q[v, r ]
4πr
3
µ0I
2R
в вакууме, r − радиус-вектор от dl в точку наблюдения, α
− угол между dl и r, µ0 − магнитная постоянная.
B − индукция магнитного поля свободно движущегося в
вакууме заряда q с нерелятивистской скоростью v: r − ра-
µ 0 qv ⋅ sin α
4πr
2
2
диус-вектор, проведенный от заряда к точке наблюдения;
α − угол между векторами v и r.
B − индукция магнитного поля в центре кругового проводника, нахо-
45
дящегося в вакууме: R − радиус витка, I − сила тока в проводнике.
B=µ0
B − индукция магнитного поля, создаваемого бесконечно длинным
I
2πb
прямым проводником с током I в вакууме, b − расстояние от оси
проводника до точки наблюдения.
B=µ0
B=
B − индукция магнитного поля внутри (длинного) соленоида, нахо-
N
I
l
дящегося в вакууме: l − длина соленоида, N − число витков.
B − индукция магнитного поля внутри тороида, находящегося в ва-
μ 0 NI
2πr
кууме, N − число витков, r − расстояние от оси до средней линии тороида, I − сила тока, µ0 − магнитная постоянная.
B = ∑Bi принцип суперпозиции (наложения) магнитных полей: B − магнитная
индукция результирующего поля; Bi − магнитные индукции складываемых полей.
закон Ампера: FA − сила Ампера, действующая на участок
FA = I[∆l,В]
FA = I⋅∆l⋅В⋅sinα проводника длины ∆l с током I, помещенный в магнитное поле с индукцией B, α − угол между направлением отрезка ∆l
проводника с током и В, направление ∆l совпадает с направлением тока.
F=
µµ 0 2I1I 2
⋅
⋅l
R
4π
сила взаимодействия двух прямых прямолинейных бесконечных параллельных проводников с токами I1 и I2: R − расстояние между проводниками; l − длина одного из проводников, на которую действует сила F; µ − магнитная проницаемость окружающей среды; µ0 − магнитная постоянная.
Pm = NISn
Pm − магнитный момент плоского контура с током I и площадью S:
Pm = NIS
n − единичный вектор нормали к поверхности рамки, N − число
46
витков рамки.
M = [Pm,В]
M − механический момент сил, действующий на плоский кон-
M = Pm⋅В⋅sinα тур с током, помещенный в однородное магнитное поле с индукцией B: Pm − магнитный момент рамки с током, α − угол
между нормалью n к плоскости контура и вектором В.
сила Лоренца (ее магнитная составляющая): Fл − сила, действующая на электрический заряд q, движущийся в магнитном
поле с индукцией B со скоростью v, α − угол между v и B.
Fл = q[v,B]
Fл = qvB⋅sinα
Fл =qE + q[v,B];
общее выражение для силы Лоренца Fл при наличии в про-
Fл = Fэл + Fмагн
странстве электрического (с напряженностью E) и магнитного (с индукцией B) полей. Fл − складывается из электрической Fэл и магнитной Fмагн составляющих (слагаемых).
R – радиус окружности и Т – период обращения заряженной
R= mv ;
qB
частицы с зарядом q и массой m, влетевшей со скоростью v в
2πR 2πm
T=
=
однородное магнитное поле с индукцией В нормально к линиqB
v
ям индукции.
R= mv sin α
qB
T=
R – радиус окружности, Т – период обращения и h –
шаг спирали, по которой движется заряженная частица
2πR 2πm
=
v sin α qB
с зарядом q и массой m, влетевшая в однородное маг-
нитное поле с индукцией В со скоростью v, состав2πm
h=vTcosα=
vcosα ляющей угол α с линиями индукции, т.е. с вектором В.
qB
qB
h
v=
R2 +
m
2π
2
v=v(R,h) − выражение скорости v заряженной частицы
через радиус окружности R и шаг спирали h.
Ф=BS⋅cosα
Ф − магнитный поток (поток магнитной индукции) через площад-
Ф=Bn.S
ку S: α − угол между вектором В и нормалью n к площадке,
47
Bn=В . cosα − проекция вектора В на направление n.
А = I⋅∆Ф
работа по перемещению проводника с током в магнитном поле
∫ B ⋅ dS = 0
теорема Гаусса для магнитного поля: поток вектора магнитной
S
индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю.
2
А12 = I ∫ dФ = I(Ф2 − Ф1)
1
А12 − работа по перемещению проводника с током
(при I = const) в магнитном поле; Ф1 и Ф2 – магнитные потоки в начальном и конечном положениях
сквозь контур, прочерченный проводником.
Е=−
∆Ф
∆t
закон Фарадея (основной закон электромагнитной индук-
Е=−
dФ
= −Ф′t
dt
положна по знаку скорости изменения магнитного потока
Е = −N
ции): ЭДС индукции в контуре численно равна и противосквозь поверхность, ограниченную этим контуром.
dФ
Е − ЭДС индукции в рамке с числом витков N.
= −NФ′t
dt
Е = Blv = ϕ1 − ϕ2
разность потенциалов (ЭДС индукции), возникающая на
концах прямолинейного отрезка проводника длиной l при
его движении в однородном магнитном поле в плоскости,
перпендикулярной линиям индукции В, со скоростью v,
перпендикулярной проводнику.
q=
∆Ф q − величина заряда, протекающего в замкнутом контуре с сопротивлеR нием R при изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную этим контуром, на ∆Ф .
Ф=L . I
Ф − магнитный поток, создаваемый током I в контуре с индуктивностью (коэффициентом самоиндукции) L.
48
Е c= −L
Е c= −L
µ=
В
В0
∆I
∆t
Еc − ЭДС самоиндукции пропорциональна скорости изменения силы тока в контуре, L − индуктивность контура.
dI
= −LI′t
dt
µ − магнитная проницаемость вещества показывает, во сколько раз индукция результирующего поля в магнетике больше индукции внешнего
поля B0 (поля, создаваемого намагничивающим током в вакууме).
В = µµ0Н В − магнитная индукция в случае однородной изотропной среды,
Н − напряженность магнитного поля, µ0 − магнитная постоянная,
µ − магнитная проницаемость среды; для вакуума µ=1.
L = µµ0N2
L = µ0n2V
S L − индуктивность длинного соленоида, µ0 – магнитная постоянl ная, µ − магнитная проницаемость, N − число витков и l − длина
соленоида, S − его площадь поперечного сечения, n=N/l – число
витков на единицу длины, V=S⋅L – объем соленоида.
1
W − энергия магнитного поля, создаваемого током I в замкнутом
W= LI2
2
контуре с индуктивностью L.
ω=
µµ H 2 BH
B2
= 0
=
2µµ 0
2
2
ω − объемная плотность энергии однородного магнитного поля (энергия магнитного поля в единице
объема).
k=
N 1 U1
=
N 2 U2
k − коэффициент трансформации трансформатора, N2 и N1 − число витков во вторичной и первичной обмотках, U2 и U1 − напряжения на обмотках в режиме холостого хода.
х(t)=Acos(ω0t+α) кинематическое уравнение гармонических колебаний: х −
смещение колеблющейся точки из положения равновесия, A
− амплитуда, ω0 − круговая (циклическая) частота, α − на49
чальная фаза, t − время, (ω0t + α) − фаза колебаний.
d2x
dt 2
+ ω02x = 0;
дифференциальное уравнение гармонических колебаний; ω0 −
циклическая частота.
x′′tt + ω02x = 0
T=
t
N
=ν−1; ν=
N
t
Т – период колебаний равен времени совершения одного колебания; ν − частота колебаний; N – число полных колебаний за время t.
T=
ω
2π
;ν= 0
ω0
2π
Т и ν − период и частота гармонических колебаний, ω0 − циклическая частота.
v(t) =
dx
π v − скорость колеб= x′t = −Aω0sin(ω0t + α) = Aω0cos(ω0t + α + )
2 лющейся точки.
dt
а(t) =
dv
π
а − ускорение ко= v′t = −Aω02sin(ω0t + α + ) =Aω02cos(ω0t + α +π)
2
dt
леблющейся точки.
F = − mω02x
F − упругая (квазиупругая) сила, действующая на колеблющуюся
материальную точку массой m, х − смещение колеблющейся
точки из положения равновесия.
Т = 2π
l
g
Т − период колебаний математического маятника, l − длина ма-
Т = 2π
m
k
Т − период колебаний пружинного маятника: m − масса груза,
Т = 2π
J
mgLф
ятника, g − ускорение силы тяжести.
подвешенного на пружине жесткостью k.
период колебаний физического маятника: m и J – масса и момент инерции маятника, Lф – расстояние от точки подвеса до
центра масс.
50
Т = 2ℓ
m
F
Т – период колебаний однородной струны: ℓ − длина струны. F −
сила натяжения струны, m – масса единицы длины струны.
F = ma = mx′′, F = −kx;
mx′′ = −kx; x′′ +
k
x = 0;
m
x′′ + ω02x = 0; ω0 =
WК =
k
m
второй закон Ньютона для гармонических колебаний пружинного маятника: m − масса груза, подвешенного на пружине с жесткостью k; F = −k⋅х - сила упругости; ω0 − циклическая частота.
кинетическая энергия материальной точки,
1
1
mv2 = mA2ω02sin2(ω0t + α)
2
2
совершающей прямолинейные гармонические колебания.
потенциальная энергия матери1
1
1
WП= kx2= mω02x2= mA2ω02cos2(ω0t + α)
2
2
2
альной точки, совершающей гармонические колебания под действием упругой силы F.
1
1
W=WК + WП = mω02А2= kA2
2
2
v=λ⋅ν=
λ
T
полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания.
связь между скоростью волны v, длиной волны λ, частотой ν, периодом T;
V – скорость распространения звуковых (акустических) волн в упру-
V=
E
ρ
ν′ =
c±v
ν
cmv
гой среде, Е – модуль Юнга среды и ρ - ее плотность.
эффект Доплера: ν′ − частота, воспринимаемая наблюдателем, с –
скорость распространения звука, v – скорость источника звука, ν
− частота звука, посылаемого источником. Верхние знаки берутся
при сближении источника и наблюдателя, нижние – при удалении.
51
r
x(r,t)=Acosω0 t − = Acos(ω0t−kr);
V
k=
2π ω 0
=
λ
v
полуоси r, k – волновое число.
дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда q в контуре; L − индуктивность
и С − емкость контура.
q′′ + ω02q = 0
1
;
LC
уравнения колебаний заряда q(t) и тока I(t) в
dq
= q′t = − q0ω0sin(ω0t+α);
dt
q0, I0, U0 − амплитудные значения заряда, си-
q = q0cos(ω0t+α);
I=
ω0 =
π
I = I0cos(ω0t+α+ ); I0 = q0ω0;
2
q0 = CU0;
Т=
1
1
CU02 = LI02;
2
2
2π
= 2π LС
ω0
W=
=
волны, распространяющейся в среде без
поглощения в сторону положительной
1
q = 0;
LC
q′′ +
уравнение плоской прямой (бегущей)
λ0 = сТ =
лы тока и напряжения.
связь между амплитудными значениями силы
тока и напряжения в контуре.
Т − период колебаний электрического контура (формула
Томсона).
1
1
CU2 + LI2 =
2
2
1
1
CU02 = LI02
2
2
LC − контуре; ω0 − циклическая частота;
полная электромагнитная энергия LC − контура равна
сумме энергий электрического и магнитного полей.
она также равна максимальной энергии электрического
или магнитного полей.
связь между скоростью распространения электромагω
с
; ν0 = 0 ;
ν0
2π нитной волны в вакууме с (скоростью света в вакууме),
длиной волны λ0, частотой ν0, периодом Т.
Ф = NBScosα =
Ф − магнитный поток через контур площадью S и числом
52
витков N: ω − циклическая частота вращения рамки; α − угол
= NBScosωt
поворота рамки (угол между индукцией В и нормалью n) в
момент времени t; N − число витков.
Еi = −Ф′t = −
dФ
Е − ЭДС индукции, возникающая при вращении
= NBSωsinωt i
dt
рамки.
Emax= NBSω
значение максимальной (амплитудной) ЭДС во вращающейся
рамке (при sinωt = 1).
ХL − (реактивное) индуктивное сопротивление.
ХL=ωL
ХC=
ХC − (реактивное) емкостное сопротивление.
1
ωC
Z − полное сопротивление (импеданс) цепи переменно-
Z= R 2 + (X L − X C ) 2
го тока, содержащей последовательно включенные ре1
Z= R 2 + ωL −
ωC
I0 =
U0
=
Z
2
зистор сопротивлением R, катушку индуктивностью L,
конденсатор емкостью С. На концы цепи подается переменное напряжение U=U0cosωt.
закон Ома для цепи переменного тока: I0 и U0 −
U0
1
R + ωL −
ωC
2
2
амплитудные значения силы тока и напряжения в
цепи переменного тока, Z − импеданс.
U0R=I0R
U0R ,U0L, U0C – амплитудные значения напряжений на активном со-
U0L=I0XL
противлении, катушке индуктивности и конденсаторе, соответст-
U0C=I0XC
венно, в цепи переменного тока.
UR=I0R ⋅sinωt
фазовые соотношения между напряжениями на актив-
UC=I0XC⋅sin(ωt − π/2)
ном сопротивлении UR, катушке индуктивности UL и
UL=I0XL⋅sin(ωt + π/2)
конденсаторе UC, соответственно, в цепи переменного
тока.
53
tgϕ =
XL − XC
=
R
(UL)рез = (UC)рез =
Q= 1
R
ωL −
1
ωC
R
U0
R
ϕ − сдвиг фаз между напряжением и силой тока
в цепи, содержащей последовательно включенные R, L ,C.
L =UQ,
0
C
в случае резонанса напряжения на конденсаторе UC и катушке индуктивности UL
противоположны по фазе и равны по ам-
L
C
плитуде, Q − добротность колебательного
контура.
1
P= U0⋅I0⋅cosϕ =Uэ⋅Iэ⋅cosϕ;
2
Р − средняя мощность, выделяемая в цепи пере-
U0
I
R
; Iэ= 0 ; cosϕ = ;
Z
2
2
сдвиг фаз между U и I), U0 и I0 − амплитудные зна-
Uэ=
менного тока: сosϕ − коэффициент мощности, (ϕ −
чения, UЭ и IЭ − действующие (эффективные) значения напряжения и силы переменного тока.
1
ε0 ⋅ µ0
с=
v=
с − скорость света в вакууме (электродинамическая постоянная),
ε0 − электрическая постоянная, µ0 − магнитная постоянная.
1
1
с
⋅
=
ε0 ⋅ μ0
ε ⋅μ
ε ⋅μ
v − скорость распространения света (электромагнитной волны) в среде: ε и µ − диэлектрическая и
магнитная проницаемости среды.
sin α
закон преломления света: отношение синуса угла падения α к сину=n21
sin β
су угла преломления βесть величина постоянная для данных сред.
n21 =
n2
n1
n21 − относительный показатель преломления второй среды относительно первой равен отношению их абсолютных показателей преломления.
λ0
с
=n; n=
λ
v
соотношение между длинами волн света (электромагнитной вол54
ны) в вакууме − λ0 и в среде − λ; n − абсолютный показатель преломления среды; с и v − скорости света в вакууме и среде.
n= ε
формула, связывающая показатель преломления n с диэлектрической
проницаемостью ε.
n2
n1
sinαпр= n21=
αпр − предельный угол полного внутреннего отражения, угол
преломления β=900 (sin β = 1), n2<n1.
1
1
1
D= =(n21 − 1)
+
F
R1 R 2
формула двояковыпуклой линзы: n21 − относительный показатель преломления линзы по отношению
к окружающей среде, R1 и R2 − радиусы кривизны
поверхностей линзы, D − оптическая сила и F − фокусное расстояние линзы.
1 1 1
D= = +
F d f
Г=
Г=
у′ f
=
у d
d0
F
L=n . l
формула тонкой линзы: d и f − расстояния от линзы до предмета
и изображения, соответственно.
Г − увеличение, даваемое линзой: y ′ и у − размеры изображения и
предмета, d и f − расстояния от линзы до предмета и изображения.
Г − увеличение лупы: d0=25 см − расстояние наилучшего зрения для
нормального глаза, F − фокусное расстояние лупы.
L − оптическая длина пути: l − геометрическая длина пути световой
волны в среде с показателем преломления n.
k(l2 − l1) =2πm; условие интерференционных максимумов: (l2 − l1) − разность
2π
хода двух когерентных волн, возбуждающих колебания в данk=
λ
ной точке; λ − длина волны; k − волновое число; m=0, ±1, ±2,...
55
1
k(l2 − l1) = 2π m +
2
∆х =
λL
d
условие интерференционных минимумов: k - волновое
число; m=0, ±1, ±2, ...
опыт (метод) Юнга: ∆х − ширина интерференционной полосы − расстояние между двумя соседними максимумами (или минимумами);
d − расстояние между двумя когерентными источниками, находящимися на расстоянии L от экрана, параллельного линии, соединяющей
источники; L>>d.
rm − радиусы темных колец Ньютона в отраженном свете (или
rm= mλR
светлых − в проходящем свете); m=1,2,3... − номера колец, R − радиус кривизны линзы, λ − длина волны света.
1
rm= m − λR
2
n.d=
λ
4
rm − радиусы светлых колец Ньютона в отраженном свете
(или темных − в проходящем свете), m = 1,2,3....
просветление оптики (условия гашения интерферирующих лу-
1
n d= m + λ
4
.
чей в отраженном свете): d − толщина пленки, при которой в результате интерференции наблюдается гашение отраженных лучей; n − показатель преломления пленки; λ − длина волны света,
для которой выполняется условие гашения; nс − показатель преломления стекла (материала линзы); m=0, 1, 2,...
dsinϕ=mλ
условие главных максимумов дифракционной решетки: m = 0, ±1,
±2,... − порядок максимума; d − период решетки; λ − длина волны
света; ϕ − угол дифракции.
d=
1
N
m max =
d − период дифракционной решетки: N − число щелей (штрихов), приходящихся на единицу длины решетки (длиной l).
d
λ
mmax − максимальный порядок дифракционных максимумов дифракционной решетки (берется целая часть от полученного зна56
чения).
nmax=2mmax+1
nmax − общее число максимумов, даваемых дифракционной решеткой.
I=I0cos2α
закон Малюса: I0 и I − интенсивности света, падающего на второй
поляризатор (анализатор) и вышедшего из него; α − угол между
главными плоскостями двух скрещенных поляризаторов (поляризатора и анализатора).
tgϕБр=n21
закон Брюстера: тангенс угла (Брюстера) падения равен относительному показателю преломления n21 второй среды относительно
первой; при этом отраженный луч является плоскополяризованным
(линейнополяризованным), а отраженный и преломленный лучи будут взаимно перпендикулярными.
ε=hν=h
р=
ε − энергия фотона: ν − частота и λ0 − длина световой волны в ва-
c
λ0
кууме, h − постоянная Планка, с − скорость света в вакууме.
hν h
=
c λ0
m=
ε
с2
ε = р⋅c
=
р − импульс фотона.
hν
с2
m − масса фотона, с − скорость света в вакууме.
соотношение между энергией ε и импульсом р фотона.
1
hν=A+ mvmax2
2
уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта: hν − энергия падающего фотона расходуется на совершение электроном работы выхода А из металла и на сообщение ему кинети-
eUЗ=h (ν − ν0)
A= hν0
ческой энергии
1
1
mvmax2, m − масса электрона, mvmax2 = eUЗ,
2
2
UЗ − задерживающее напряжение, e − элементарный заряд,
λ0 − граничная длина волны (красная граница фотоэффекта),
57
λ0 =
h − постоянная Планка.
с
ν0
Ee
Р − давление, производимое светом при нормальном па(1+ρ)=ω(1+ρ)
c
дении на поверхность: Ее = Nhν − облученность поверх-
Р=
ности (энергия всех фотонов, падающих на единицу поверхности в единицу времени); ρ − коэффициент отражения; ω − объемная плотность энергии излучения.
x=x′ + vt;
преобразования координат и времени Галилея для случая, когда
y=y′;
система координат К′ движется со скоростью v вдоль положитель-
z=z′;
ного направления оси x инерциальной системы К (в начальный мо-
t=t′
мент времени начала координат совпадают).
v = v′ + u
правило сложения скоростей в классической механике: v и v′ скорости материальной точки относительно систем координат К и К′, u −
скорость системы К′ относительно К.
а = а′
ускорения точки в системах координат К и К ′ , движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, одинаковы.
x′=
x − vt
1−
v2
, y′= y,
счета К′ движется относительно системы К со скоро-
c2
стью v вдоль оси 0х.
t−
z′= z, t′=
1−
u=
преобразования Лоренца для случая, когда система от-
vx
c2
v2
c2
u′ + v
u−v
, u′=
vu ′
vu
1+ 2
1− 2
c
c
релятивистский закон сложения скоростей: v − скорость
системы координат К′ относительно К; u и u′ − скорость
58
точки относительно систем К и К′, соответственно; c −
скорость света в вакууме.
l= l0
длина тела в различных системах отсчета: l0 − длина тела, по-
v2
1− 2
c
коящегося относительно системы К, l − длина тела, движущегося
относительно К′, v − скорость движения тела относительно К′.
Линейные размеры тела наибольшие в той инерциальной системе отсчета, относительно которой тело покоится.
τ=
τ0
1−
длительность событий в различных системах отсчета: τ0 < τ, т. е.
v2
c
длительность события, происходящего в некоторой точке, наи-
2
меньшая в той инерциальной системе отсчета, относительно которой эта точка неподвижна. Событие длительностью τ0 происходит в некоторой точке, покоящейся относительно системы К, а К′
движется со скоростью v относительно К; τ − длительность события в К′; с − скорость света в вакууме.
m=
m − релятивистская масса, m0 − масса покоя частицы, v − ско-
m0
1−
v2
c
р =mv =
рость частицы, c − скорость света в вакууме.
2
m0 v
1−
Е0 = m0c2
2
Е = mc =
v2
c
=
E⋅v
р − релятивистский импульс: m − релятивистская
c2
масса, m0 − масса покоя частицы, v − скорость части-
2
цы, Е − полная энергия частицы.
Е0 − энергия покоя частицы.
m0c 2
1−
v2
.
Е − полная энергия частицы.
c2
Екин =Е − Е0=c2 .(m − m0) Екин − кинетическая энергия релятивистской частицы.
59
E2 = m2c4 =
релятивистское соотношение между полной энергией Е и
= E02 + p2c2 =
импульсом р частицы.
= m02c4 + p2c2
∆Е = ∆mc2
закон взаимосвязи массы и энергии: ∆Е − изменение полной энергии тела, ∆m − изменение массы, c − скорость света в вакууме.
Ln=me.vn.rn=
=n
первый постулат Бора: в стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, имеет дискретные значения
h
=n·ħ
2π
момента импульса Ln; me − масса электрона; vn − его скорость на
n-ой орбите радиуса rn; h − постоянная Планка; n=1,2,3,...
hνmn=En − Em
второй постулат Бора: при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается (поглощается) фотон с
энергией hνmn, равной разности энергий соответствующих стационарных состояний En и Em.
частота света, излучаемого атомом водорода при переходе с m-
с
νmn= =R
λ
1
1
2 − 2
n
m
ой орбиты на n-ую; R − постоянная Ридберга;
ны линии спектра;
1 e2
v2
=m
r
4πε 0 r 2
En= −13,6
rn=r1⋅n2
1
n2
λ − длина вол-
уравнение движения электрона в атоме водорода (классическая теория атома водорода по Бору).
(эВ)
энергия электрона на n-ой стационарной орбите в атоме
водорода (n = 0,1,2,3,...).
радиус орбиты атома водорода на n - ой стационарной орбите; первый
Боровский радиус r1=0,528⋅10−10 м.
λ=
h
р
λ − дебройлевская длина волны частицы импульсом р, h − постоянная
Планка. Соотношение де-Бройля.
60
∆m = [Z.mр + (A − Z).mn] − mя
∆m − дефект массы ядра: mР, mn, mя − соответственно массы протона, нейтрона и ядра; mн =
∆m = [Z.mн + (A − Z).mn] − m
mp + me − масса атома водорода 1Н1; mе − масса
электрона; m − масса атома; A − массовое число (число нуклонов) равно сумме числа про-
A=Z+N
тонов Z и числа нейтронов N.
Есв − энергия связи нуклонов в ядре, ∆m − дефект мас-
Есв = ∆m⋅c2
сы, c − скорость света в вакууме.
εсв=
Е св
А
εсв − удельная энергия связи − энергия связи, приходящаяся на один нуклон.
Q=c2(∑mi − ∑mj)
изменение энергии при ядерной реакции; ∑mi − сумма масс
частиц до реакции; ∑mj − сумма масс частиц после реакции; при ∑mi > ∑mj − реакция идет с выделением энергии, а
при∑mi < ∑mj − реакция идет с поглощением энергии, c −
скорость света в вакууме.
dN = −λ. N . dt
dN − число ядер, распавшихся за промежуток времени от t до
(∆N= −λ⋅Ν⋅∆t) t + dt, N − число нераспавшихся ядер к моменту времени t, λ −
постоянная распада.
T=
ln 2 0,693
=
λ
λ
Ν = Ν 0 ⋅ е − λ⋅t
Ν = Ν0 ⋅ 2
−
t
Τ
T − период полураспада − время, за которое исходное число
радиоактивных ядер уменьшается в 2 раза.
закон радиоактивного распада: N0 − начальное число нераспавшихся ядер (в момент времени t = 0); N − число нераспавшихся ядер к моменту времени t; Т − период полураспада; λ −
постоянная распада − равна доле ядер, распадающихся в единицу времени, и имеет смысл вероятности распада ядра за 1 с.
61
∆N=N0 − N
∆N − число ядер, распавшихся за время t.
τ=
T
T
1
=
=
λ ln2 0,693
A=
dN
= N ′t = λ ⋅ N
dt
τ − среднее время жизни радиоактивного ядра: λ − постоянная распада, Т − период полураспада.
A − активность ядра (нуклида) равна числу распадов,
происходящих за единицу времени.
A
Хz → A−4Yz−2 + 4He2
правило смещения для α − распада
A
Хz → AYz+1+ 0e−1
правило смещения для β− − распада
A
Хz → AYz−1 + 0e+1
правило смещения для β+ − распада
Х+а→Y+в
символическая запись ядерной реакции
Х(а,в)Y
62
Приложение Д
(справочное)
Таблицы физических величин
Таблица Д.1 - Астрономические величины
Физические параметры
Масса, кг
Радиус, м
Средняя плотность, кг/м3
Среднее расстояние от Земли, км
Период обращения вокруг оси, сутки
Планета Солнечной системы
Меркурий
Венера
Земля
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Солнце
1,97⋅1030
6,95⋅108
1 400
1,496⋅108
25,4
Среднее расстояние от Солнца,
106 км
57,87
108,14
149,50
227,79
777,8
1426,1
2867,7
4494
Земля
5,96⋅1024
6,37⋅106
5 518
1,00
Период обращения вокруг Солнца, в годах
0,241
0,615
1,000
1,881
11,862
29,458
84,013
164,79
Луна
7,33⋅1022
1,74⋅106
3 350
384 440
27,3
Масса в единицах
массы Земли
0,056
0,817
1,000
0,108
318,35
95,22
14,58
17,26
Таблица Д.2 - Упругие постоянные. Предел прочности
Материал
Алюминий
Медь
Свинец
Сталь (железо)
Стекло
Вода
Модуль
Юнга
Е, ГПа
70
130
16
200
60
-
Модуль
сдвига
G, ГПа
26
40
5,6
81
30
-
Коэффициент Пуассона µ
0,34
0,34
0,44
0,29
0,25
-
63
Предел прочности на разрыв σпч, ГПа
0,10
0,30
0,015
0,60
0,05
-
Сжимаемость
β, ГПа-1
0,014
0,007
0,022
0,006
0,025
0,49
Таблица Д.3 - Плотность вещества (кг/м3)
Алмаз
Алюминий
Барий
Бериллий
Бор
Бром
Бронза
Ванадий
Висмут
Вольфрам
Гранит
Графит
Золото
Исландский шпат
Кадмий
Калий
Кварц
Кобальт
Каменная соль
Каменный уголь
Константан
Латунь
Лёд
Литий
Магний
Ацетон
Бензол
Бензин
Вода
Глицерин
Керосин
Касторовое масло
Нефть
Ртуть
Азот
Аммиак
Водород
Воздух
Гелий
Твердое вещество
3 500
Манганин
2 700
Марганец
3500
Медь
1 840
Мрамор
2 400
Молибден
3 120
Натрий
8 700
Нейзильбер
6 020
Никель
9 800
Олово
19 100
Парафин
2 600
Платина
2 100
Пробка
19 300
Сахар
2 710
Свинец
8 650
Серебро
870
Слюда
2 650
Соль поваренная
8 900
Сталь (железо)
2 200
Стекло
1 350
Титан
8 800
Уран
8 500
Фарфор
900
Цезий
530
Цинк
1 740
Эбонит
Жидкости
Сероуглерод
792
Скипидар
880
Спирт этиловый
700
Соленая вода
1 000
Толуол
1 260
800
Тяжелая вода
Уксусная кислота
900
Хлороформ
900
Эфир
13 600
Газы (при нормальных условиях)
1,25
Кислород
0,77
Метан
0,09
Неон
1,293
Углекислый газ
0,18
Хлор
64
8 400
7 800
8 900
2 700
10 200
970
8 600
8 900
7 400
900
21 500
240
1 590
11 300
10 500
2 900
2 100
7 800
2 400
4 500
19 000
2 300
1 900
7 000
1 800
1 260
858
789
1 030
870
1 100
1 049
1 483
720
1,43
0,72
0,9
1,98
3,21
Таблица Д.4 - Тепловые свойства веществ
Вещество
Алюминий
Висмут
Вольфрам
Золото
Латунь
Лёд
Медь
Никель
Олово
Ртуть
Свинец
Серебро
Сталь (железо)
Цинк
Вещество
Бензин (50 0С)
Вода (20 0С)
Глицерин
Масло трансформаторное (20 0С)
Ртуть
Спирт
Толуол
Эфир
Вещество
Азот
Водород
Воздух
Гелий
Кислород
1
2
Твердые тела
Удельная теплоТемпература
емкость,
плавления,
0
С
Дж/(кг⋅К)
896
660
130
271
195
3 420
134
1 063
386
900
2 100
0
395
1 083
460
1 453
280
232
-38,9
131
327
230
960
460
1 535
385
420
Жидкости
Удельная теплоТемпература киемкость,
пения,
0
С
Дж/(кг⋅К)
2 095
100
4 190
290
2 420
1 800
138
2 510
1 730
2 340
357
78
111
35
Газы
Удельная теплоемкость1,
кДж/(кг⋅К)
1,05
14,3
1,01
5,29
0,913
При постоянном давлении
При нормальном давлении
65
Удельная теплота
плавления,
кДж/кг
387
54
192
67
330
334
174
300
60
11,7
25
80
272
118
Удельная теплота
парообразования,
МДж/кг
2,25
0,284
0,853
0,364
0,846
Температура конденсации2,
0
С
-196
-253
-269
-183
Таблица Д.5 - Плотность воды при различных температурах
Температура, 0С
Плотность, кг/м3
20
998
30
996
40
992
50
988
60
983
70
978
80
972
Таблица Д.6 - Коэффициенты теплового расширения (10-5 К-1)
Алмаз
Алюминий
Бронза
Дерево
Золото
Инвар
Кварц плавленый
Латунь
Лед
Магний
Манганин
Вода (5 0С – 10 0С)
Вода (10 0С – 20 0С)
Вода (20 0С – 40 0С)
Вода (40 0С – 60 0С)
Вода (60 0С – 80 0С)
Ацетон
Бензол
Глицерин
Линейное расширение
0,118
Медь
2,4
Олово
2,0
Парафин
0,5
Платина
1,45
Свинец
0,09
Серебро
0,057
Сталь (железо)
1,9
Стекло
5,1
Фарфор
2,61
Цинк
1,81
Эбонит
Объёмное расширение
Керосин (бензин)
5,3
Масло
15
Нефть
30,2
Ртуть
45,8
Сероуглерод
58,7
Спирт этиловый
337
Толуол
673
50
Эфир
1,67
2,3
30
0,91
2,93
1,97
1,1
0,9
0,4
2,9
8,4
100
72
100
19
382
122
613
240
Таблица Д.7 - Критические значения температуры и давления
Вещество
Азот
Аммиак
Аргон
Бензол
Водород
Водяной
пар
Ткр, К
126
402
151
562
33
Ркр, МПа
3,4
3,39
4,87
4,8
1,3
647
21,77
Вещество
Воздух
Гелий
Кислород
Спирт
Углекислый газ
Хлор
Эфир
66
Ткр, К
133
5,2
154
517
304
417
467
Ркр, МПа
3,77
0,23
5,07
6,38
7,4
7,7
3,6
Таблица Д.8 - Постоянные газов (при нормальных условиях)
Газ
Аргон
Гелий
Водород
Азот
Кислород
Воздух
Коэффициент
самодиффузии
D, 10-4 м2/с
0,16
1,62
1,28
0,17
0,18
-
Вязкость
η, мкПа⋅с
Теплопроводность
æ, Вт/(м⋅К)
21,0
20,7
8,6
16,7
19,9
17,2
0,017
0,143
0,168
0,024
0,025
0,024
Таблица Д.9 - Постоянные Ван-дер-Ваальса
Вещество
а, Па⋅м6/моль2
0,135
0,132
0,554
0,024
0,136
0,364
Азот
Аргон
Вода
Водород
Кислород
Углекислый газ
b, 10-5 м3/моль
3,9
3
3
2,7
3,2
4,3
Таблица Д.10 - Коэффициенты поверхностного натяжения жидкостей при 20 0С,
мН/м
Вещество
Анилин
Бензол
Вода
Вода (0 0С)
Вода (70 0С)
Глицерин
Золото (распл.
1 070 0С)
Коэффициент
43
30
73
75,5
64,2
64
610
Вещество
Касторовое масло
Керосин
Молоко
Мыльный раствор
Ртуть
Серебро (распл.
960 0С)
Спирт
67
Коэффициент
33
30
46
45
500
780
22
Таблица Д.11 - Давление Р и плотность ρ насыщенного водяного пара
t, 0C
-28
-27
-26
-25
-24
-23
-22
-21
-20
-19
-18
-17
-16
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Р, Па
46,7
50,7
57,3
62,7
69,3
77,3
85,3
93,3
102,6
113,3
125,3
137,3
150,6
165,3
181,3
198,6
217,3
237,3
259,9
283,9
337,2
351,9
367,9
401,2
437,2
475,9
517,2
562,5
610,5
656,1
758,4
797,3
812,1
871,1
934,4
1 001,1
1 073,1
1 147,7
1 227,7
1 300,7
ρ, г/м3
0,41
0,46
0,51
0,55
0,66
0,68
0,73
0,80
0,85
0,96
1,05
1,15
1,27
1,38
1,51
1,65
1,80
1,96
2,14
2,33
2,54
2,76
2,99
3,24
3,51
3,81
4,13
4,47
4,84
5,22
5,60
5,98
6,40
6,84
7,3
7,8
8,3
8,8
9,4
10,0
t, 0C
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
38
39
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
68
Р, Па
1 402,3
1 519,6
1 598,3
1 704,9
1 816,9
1 936,8
2 063,5
2 196,8
2 338,1
2 486,0
2 643,3
2 808,6
2 983,3
3 167,2
3 360,5
3 567,1
3 779,1
4 004,3
4 241,6
4 603,2
4 753,6
5 029,4
5 316,7
5 622,6
5 939,8
6 623,6
6 990,3
7 374,2
9 581,6
12 330,3
15 729,4
19 915,0
24 993,8
31 152,2
38 577,0
47 334,8
57 798,9
70 089,1
84 498,9
101 303,0
ρ, г/м3
10,7
11,4
12,1
12,8
13,6
14,5
15,4
16,3
17,3
18,3
19,4
20,6
21,8
23,0
24,4
25,8
27,2
28,7
30,3
31,9
33,9
35,7
37,6
39,6
41,8
46,3
48,7
51,2
65,4
83,0
104,3
130
161
198
242
293
354
424
505
598
Таблица Д.12 - Психрометрическая таблица
Показания
сухого
термометра
в 0С
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Относительная влажность в %
при разности показаний сухого и влажного термометров
в 0С
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
100 81 63 45 28 11
100 83 65 48 32 16
100 84 68 51 35 20
100 84 69 54 39 24 10
100 85 70 56 42 28 14
100 86 72 58 45 32 19
6
100 86 73 60 47 35 23 10
100 87 74 61 49 37 26 14
100 87 75 63 51 40 29 18
7
100 88 76 64 53 42 31 21 11
100 88 76 65 54 44 34 24 14
5
100 88 77 66 56 46 36 26 17
8
100 89 78 68 57 48 38 29 20 11
100 89 79 69 59 49 40 31 23 14
6
100 89 79 70 60 51 42 34 25 17
9
100 90 80 71 61 52 44 36 27 20 12
5
100 90 81 71 62 54 46 37 30 22 15
8
100 90 81 72 64 55 47 39 32 24 17 10
100 91 82 73 65 56 49 41 34 27 20 13
100 91 82 74 65 58 50 43 35 29 22 15
100 91 83 74 66 59 51 44 37 30 24 18
100 91 83 75 67 60 52 45 39 32 26 20
100 92 83 76 68 61 54 47 40 34 28 22
100 92 84 76 69 61 55 48 42 36 30 24
100 92 84 77 69 62 56 49 43 37 31 26
100 92 84 77 70 63 57 50 44 38 33 27
100 92 85 78 71 64 58 51 46 40 34 29
100 92 85 78 71 65 59 52 47 41 36 30
100 93 85 78 72 65 59 53 48 42 37 32
100 93 86 79 72 66 60 54 49 43 38 33
100 93 86 79 73 67 61 55 50 44 39 34
69
Таблица Д.13 - Скорость звука (м/с)
Алюминий
Вода
Воздух (0С)
5 100
1 450
332
Сталь (железо)
Кирпич
5 300
3 650
Таблица Д.14 - Диаметры молекул и атомов (нм)
Азот (N2)
Аргон (Ar)
Водород (Н2)
Водяной пар (Н2О)
Воздух
0,31
0,29
0,23
0,26
0,55
Гелий (Не)
Кислород (О2)
Оксид углерода (СО)
Углекислый газ (СО2)
Хлор (Cl2)
0,19
0,29
0,32
0,33
0,37
Таблица Д.15 - Удельная теплота сгорания топлива, МДж/кг
Авиационный бензин
Бензин
Водород
Дерево
Дизельное топливо
Каменный уголь
Керосин
48
46
120
10
42
30
46
Метан
Нефть
Порох
Природный газ
Спирт
Торф
Условное топливо
55
46
3,8
34
29
14
29
Таблица Д.16 - Теплопроводность веществ æ, Вт/(м⋅К)
Вещество
Алюминий
Асбест
Висмут
Вода
Дерево
Железо
Кирпич
æ
205
0,14
10
0,58
0,17
62
0,84
Вещество
Медь
Накипь котельная
Пробка
Сажа
Свинец
Смола
Стекло
Эбонит
70
æ
390
2,3
0,035
0,25
34,8
0,52
0,74
0,16
Таблица Д.17 - Энергия ионизации
Вещество
Водород
Гелий
Литий
Ртуть
Еi, Дж
2,18⋅10-18
3,94⋅10-18
1,21⋅10-17
1,66⋅10-18
Еi, эВ
13,6
24,6
75,6
10,4
Таблица Д.18 - Диэлектрическая проницаемость ε веществ
ε
21
2,3
2,3
1,00058
81
7,8
4,4
6
4,67
2,6
3,7
2
2,2
8,3
36
2
Вещество
Ацетон
Бензол
Бумага
Воздух
Вода
Воск
Гуттаперча
Дерево (сухое)
Касторовое масло
Каучук
Кварц плавленный
Керосин
Масло трансформаторное
Мрамор
Нитробензол
Парафин
Вещество
Парафинированная бумага
Плексиглас
Полиэтилен
Рутил
Спирт метиловый
Спирт этиловый
Слюда
Соль каменная
Стекло
Титанат бария
Текстолит
Фарфор
Целлулоид
Шеллак
Эбонит
Янтарь
Таблица Д.19 - Удельное сопротивление ρ изоляторов (Ом⋅м)
Изолятор
Бумага
Парафин
Слюда
ρ
1010
1015
1013
Изолятор
Фарфор
Шеллак
Эбонит
Янтарь
71
ρ
1013
1014
1014
1017
ε
3,7
3,5
2,3
170
33
26
6
5,6
6
1200
7
6
3,9
3,4
3
2,8
Таблица Д.20 - Удельное сопротивление ρ и температурный коэффициент сопротивления α проводников
Проводник
Алюминий
Вольфрам
Графит
Железо
Золото
Константан
Латунь
Манганин
Медь
Никелин
ρ, нОм⋅м
28
55
8 000
98
20
480
71
450
17
420
α, К-1
0,0038
0,0051
0,0062
0,0040
0,00002
0,001
0,00003
0,0043
0,000017
Проводник
Никель
Нихром
Олово
Платина
Ртуть
Свинец
Серебро
Уголь
Фехраль
Цинк
ρ, нОм⋅м
73
1100
120
107
958
190
15
40
1200
60
α, К-1
0,0065
0,00026
0,0044
0,0039
0,0009
0,0042
0,004
-0,0008
0,0002
0,004
Таблица Д.21 - Магнитные восприимчивости пара- и диамагнетиков, χ = µ - 1
Парамагнетик
Азот
Воздух
Кислород
Эбонит
Алюминий
Вольфрам
Платина
Жидкий кислород
χ, 10-6
0,013
0,38
1,9
14
23
176
360
3 400
Диамагнетик
Водород
Бензол
Вода
Медь
Стекло
Каменная соль
Кварц
Висмут
χ, 10-6
- 0,063
- 7,5
- 9,0
- 10,3
- 12,6
- 12,6
- 15,1
- 176
Таблица Д.22 - Электрохимические эквиваленты (мг/Кл)
Алюминий (Al3+)
Висмут (Bi3+)
Водород (Н+)
Железо (Fe2+)
Железо (Fe3+)
Золото (Au+)
Золото (Au2+)
Кислород (О2+)
Медь (Cu+)
0,093
0,719
0,0104
0,29
0,193
2,043
0,681
0,083
0,660
Медь (Cu2+)
Натрий (Na+)
Никель (Ni2+)
Никель (Ni3+)
Свинец (Pb2+)
Серебро (Ag+)
Хром (Cr3+)
Хлор (Cl+)
Цинк (Zn2+)
72
0,329
0,238
0,304
0,203
1,074
1,118
0,180
0,367
0,338
Таблица Д.23 - Подвижность ионов в газах, м2/(В⋅с)
+
H
Na+
K+
Ag+
NH+
Газ
Азот
Водород
Воздух
Кислород
Оксид углерода
Хлор
Водные растворы
0,18⋅10-6
0,326⋅10-6
OH0,049⋅10-6
0,045⋅10-6
FCl0,068⋅10-6
0,067⋅10-6
Br
0,07⋅10-6
0,056⋅10-6
NO30,064⋅10-6
0,067⋅10-6
Газы (при нормальных условиях)
Положительные ионы
Отрицательные ионы
-4
1,81⋅10-4
1,27⋅10
7,4⋅10-4
5,4⋅10-4
1,9⋅10-4
1,4⋅10-4
1,8⋅10-4
1,3⋅10-4
1,1⋅10-4
1,0⋅10-4
0,5⋅10-4
0,6⋅10-4
Таблица Д.24 - Работа выхода электрона из металлов (эВ)
Алюминий
Барий
Висмут
Вольфрам
Германий
Железо
Золото
Калий
Кальций
Кобальт
Литий
Магний
Медь
3,74
2,29
4,62
4,5
4,8
4,74
4,68
2,0
2,8
4,25
2,4
3,46
4,47
Молибден
Натрий
Никель
Оксид бария
Платина
Ртуть
Рубидий
Серебро
Тантал
Титан
Торий
Цезий
Цинк
73
4,2
2,3
4,84
0,99
5,29
4,52
2,13
4,74
4,07
3,92
3,4
1,97
4,0
Таблица Д.25 - Интервалы длин волн, соответствующие различным цветам
спектра
Цвет спектра
Фиолетовый
Синий
Голубой
Зелёный
Интервал длин
волн, нм
380 – 450
450 – 480
480 – 510
510 – 550
Цвет спектра
Желто-зеленый
Жёлтый
Оранжевый
Красный
Интервал длин
волн, нм
550 – 575
575 – 585
585 – 620
620 – 760
Таблица Д.26 - Показатели преломления (средние для видимых лучей)
Азот
Алмаз
Бензол
Вода
Воздух
Глицерин
Каменная соль
Кварц
Кислород
1,00030
2,42
1,50
1,33
1,00029
1,47
1,54
1,54
1,00027
Лёд
Масло кедровое
Плексиглас
Скипидар
Стекло
Сероуглерод
Скипидар
Спирт этиловый
1,31
1,52
1,50
1,47
1,5
1,630
1,47
1,36
Таблица Д.27 - Периоды полураспада некоторых радиоактивных изотопов
Актиний 89Ас225
Висмут 83Bi210
Иридий 77Ir192
Йод 53I131
Кальций 20Са45
Кобальт 27Со60
Магний 12Mg27
Натрий 11Na24
Полоний 84Po210
10 сут
5,02 сут
75 сут
8 сут
164 сут
5,3 года
10 мин
15,3 час
138 сут
Радий 88Ra226
Радон 86Rn222
Стронций 38Sr90
Торий 90Th232
Углерод 6C14
Уран 92U235
Уран 92U238
Фосфор 15P32
Церий 58Ce144
74
1 600 лет
3,82 сут
28 лет
1,39⋅1011 лет
5 730 лет
7,1⋅108 лет
4,5⋅109 лет
14,3 сут
285 сут
Таблица Д.28 - Масса и энергия покоя некоторых частиц
Частица
Электрон
Протон
Нейтрон
Дейтрон
α-частица
Нейтральный
π-мезон
кг
9,11⋅10-31
1,672⋅10-27
1,675⋅10-27
3,35⋅10-27
6,64⋅10-27
m0
2,41⋅10-28
а.е.м.
0,0005485
1,0072765
1,0086650
2,01355
4,00149
Дж
8,16⋅10-14
1,50⋅10-10
1,51⋅10-10
3,00⋅10-10
5,96⋅10-10
0,14498
2,16⋅10-11
Е0
Таблица Д.29 - Греческий алфавит
Α, α - альфа
Β, β - бета
Γ, γ - гамма
∆, δ - дельта
Ε, ε - эпсилон
Ζ, ς - дзета
Η, η - эта
Θ, θ, ϑ - тэта
Ι, ι - йота
Κ, κ, æ - каппа
Λ, λ - лямбда
Μ, µ - мю
Ν, ν - ню
Ξ, ξ - кси
Ο, ο - омикрон
Π, π - пи
75
Ρ, ρ - ро
Σ, σ - сигма
Τ, τ - тау
Υ, υ - ипсилон
Φ, ϕ - фи
Χ, χ - хи
Ψ, ψ - пси
Ω, ω - омега
МэВ
0,511
938
939
1 876
3 733
135
Таблица Д.30 - Массы некоторых изотопов (а.е.м.)
Изотоп
1
1H
2
1D
3
1T
3
2He
4
2He
6
3Li
7
3Li
7
4Be
8
4Be
9
4Be
10
5B
11
5B
11
6C
12
6C
13
6C
14
6C
13
7N
14
7N
15
7N
15
8O
16
8O
17
8O
19
9F
20
10Ne
Масса
1,007825
2,014102
3,016049
3,016029
4,002603
6,015123
7,016004
7,016931
8,005308
9,012182
10,012938
11,009305
11,011431
12,000000
13,003355
14,003242
13,005739
14,003074
15,000109
15,003072
15,994915
16,999131
18,998403
19,99244
Изотоп
23
11Na
24
11Na
23
12Mg
24
12Mg
27
13Al
28
13Al
28
14Si
30
14Si
31
14Si
30
15P
31
15P
40
19K
41
19K
40
20Ca
56
26Fe
59
27Co
60
29Ni
94
40Zr
131
54Xe
140
58Ce
206
82Pb
210
84Po
235
92U
238
92U
76
Масса
22,989770
23,990967
22,994135
23,985045
26,981541
27,9769
27,9769
29,97377
30,975349
29,978320
30,97376
39,962382
40,961825
39,962591
55,934939
58,93320
59,9308
93,906320
130,9051
139,90544
205,97445
209,98286
235,04393
238,05353
~
νµ
νµ
νµ
77
ϕ→π +π
Λ →р+π
0 +½ -½ 0 +1 -1 0 -½ +½ 0
Странность, S
0
0 +1 -1 0
0
1 1
½ ½
Ω→Ξ+π, Λ0+ К-
1/
1/2
2
0 +1 0 0 +1 -1 0
0 0 0 0 0 0 0
0 +1 +1 +1 +1 +1 +1
Ξ0→Λ0+π0
1 1/2 1/2 1/2 1/2
Ξ-→Λ0+π-
Σ0→Λ0+γ
0 +½ -½ 0
1
Σ-→n+π-
+1
0 ½ ½ 0
1019
2572
3278
3⋅10-10
~10-10
2333
< 10-14
2585
2342
1,6⋅10-10
1,7⋅10-10
2328
1675
1314
1321
2292
1197
1189,4
2182,8 1115,4
1838,6 939,55
1836,1 938,26
0,8⋅10-10
2,6⋅10
-10
1⋅10
3
1995
548,8
Омега-гиперон
Кси-гиперон
Сигма-гиперон
Ламбда-гиперон
Нейтрон
Протон
Фи-мезон
Эта-мезон
Ка-мезон
Пи-мезон
Таон
Мезоны
Σ+→n+π
-
~
νе
0
Т2
0
n→p+ е +
∞
~10
1074
498,0
493,8
135,0
+
0
р
µ- τ- π+ 0 К К
- ~0 η ϕ ~
+
+
- π
р
К К
µ τ π
-
1
½ ½ 0
-19
0
-
2,4⋅10-19
0
+
Т
1
η→2γ, 3π
974,5
10-10−10-8
0
139,6
Электрон
Мюон
Нейтрино
Фотон
Частица
Лептоны
К0→2π, πеν
966,3
1,23⋅10-8
0
1782
264,2
0,511
0
0
2⋅10-16
0
0
0
273,2
0 +1 0
0 0 0
0 0 0
2,55⋅10-8
0 -1
+1 +1
0 0
3490
0
0
0
3,5⋅10-12
1/2 1/2 1/2 1/2 0
-1 -1 +1
+1 +1 0
0 0 0
π0→2γ
К+→µ++
π+→µ++
~
νе
τ-→µ-+ντ+
1
∞
1
206,77 105,66
0
∞
Спин, ħ
Q
L
B
γ
ее+
2,2⋅10-6
0
Время
жизни,
τ, с
∞
Мэв
Масса
me
ИзотопЗаряды
спин
Символ
ν
~
ν
µ- →е-+νµ+
Преобладающая
схема распада
Таблица Д.31 - Таблица элементарных частиц
Барионы
n Λ0 Σ + Σ - Σ 0 Ξ - Ξ 0 Ω ~0 ~ − ~ + ~ 0 ~ + ~ 0 ~ +
~
n Λ
Σ Σ Σ Ξ Ξ Ω
1/2 1/2 3/2
-1 0 -1
0 0 0
+1 +1 +1
0
0 -1 -1 -1 -1 -2 -2 -3
