СтарковаЕМ20пм3

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Самарский государственный технический университет»
(ФГБОУ ВО «СамГТУ»)
Расчетно-графическая работа №1
по дисциплине «Теория пластин и оболочек»
на тему «Изгиб прямоугольных пластин. Метод Бубнова-Галеркина»
Подготовил: студент 1 курса
группы 20ПМ3
Старкова Е.М.
Проверил:
доцент каф.СМИГОФ
Вронская Е.Н.
Самара, 2021
Исходные данные: Вариант №13
Прямоугольная пластинка изгибается поперечной нагрузкой интенсивностью q т/м2.
Задано уравнение изогнутой срединной поверхности:
Требуется:
1) установить характер опирания пластинки по всему контуру;
2) используя уравнение Софи-Жермен, найти коэффициент С;
3) Определить величину изгибающих моментов Мх и Му па опорах и в центре пластинки.
4) составить выражения для изгибающих моментов, крутящих моментов и поперечных сил;
5) построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для двух характерных сечений
вдоль осей х и у.
В качестве материала пластинки для всех вариантов принять железобетон: B15, модуль
упругости Eб=1,5·105 кг/см2, коэффициент Пуассона μ = 0,17. Арматура — А400, Rb = 100
кг/см2.
Решение:
1.Выясним вид закрепления краёв пластины.
а) Проверяем граничное условие W=0
При х = ± а
W= C((± a)2-a2)(y2-b2)=0,
т.е. вертикальная опора есть.
При y = ± b
W= C(x2-a2)((± b)2-b2)=0,
б) Проверяем углы поворота граней
При х = ± а
𝜕𝑊
𝜕𝑥
= 2𝐶𝑥 (𝑦 2 − 𝑏 2 )≠0
Эти края шарнирно закреплены (свободно опёрты)
При y = ± b
𝜕𝑊
𝜕𝑥
= 2𝐶 (𝑥 2 − 𝑎2 )𝑦=0
Края имеют подвижное (в направлении оси z) защемление.
2. Найдем коэффициент С, используя уравнение Софи-Жермен. Последнее умножим на
принятую функцию прогибов 𝜔=C(x2-a2)(y2-b2) и проинтегрируем по всей площади обе части
равенства:
𝑎
𝑏
∫∫
0
0
𝑞
2
𝐶(𝑥2 − 𝑎2 )(𝑦2 − 𝑏 )𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
Найдем соответствующие производные от W:
 4W
 0;
x 4
 4W
 0;
y 4
 4W
 4  C.
x 2y 2
𝜕 2𝑊
= 2𝐶(𝑦 2 − 𝑏 2 ),
𝜕𝑥 2
𝜕 2𝑊
= 2𝐶(𝑥 2 − 𝑎2 ).
𝜕𝑥 2
Тогда 0+8·С+ 0=
q
q
откуда С =
D
8 D
Окончательно 𝜔 =
𝑞
8𝐷
(𝑥 2 − 𝑎2 )(𝑦 2 − 𝑏 2 ), в таком виде уравнение удовлетворяет
граничным условиям.
3. Выражаем изгибающие моменты:
𝜕 2𝑊
𝜕 2𝑊
𝑞
𝑀𝑥 = −𝐷 ( 2 + 𝜇
) = − ((𝑦 2 − 𝑏 2 ) + 𝜇(𝑥 2 − 𝑎2 )),
2
𝜕𝑥
𝜕𝑦
4
𝜕 2𝑊
𝜕 2𝑊
𝑞
𝑀𝑦 = −𝐷 ( 2 + 𝜇
) = − ((𝑥 2 − 𝑎2 ) + 𝜇(𝑦 2 − 𝑏 2 )).
2
𝜕𝑦
𝜕𝑥
4
В центре пластинки, при x = 0, y = 0:
𝑀𝑥𝑚𝑎𝑥 = 0,
𝑀𝑦𝑚𝑎𝑥 = 0,
4. Крутящие моменты:
𝑀𝑥𝑦 = −𝐷(1 − 𝜇)
5. Поперечные силы:
𝜕 2𝑊
𝜕𝑥𝑦
𝜕 3𝑊
𝜕 3𝑊
𝑄𝑥 = −𝐷 ( 3 + 𝜇
),
𝜕𝑥
𝜕𝑥𝜕𝑦 2
𝜕 3𝑊
𝜕 3𝑊
𝑄𝑦 = −𝐷 ( 3 + 𝜇
),
𝜕𝑦
𝜕𝑦𝜕𝑥 2
6. Построение эпюр: