Понятие величины

Понятие величины
В толковом словаре С. И. Ожегова «Величина»:
1. Размер, объем, протяженность предмета.
Например: площадь большой величины.
Измерить величину чего-нибудь.
2. Величина – это то (предмет, явление и т.п.), что
можно измерить, исчислить. Например: бесконечно
малая величина, равные величины.
3. Переносное значение «о человеке». Например: он
крупнейшая величина в физике.
Величина – это особое свойство реальных
объектов или явлений, которое «можно
измерить, исчислить»: длина, объем, время,
скорость и т.д.
С другой стороны, величина – это
количественная характеристика свойства
предмета, выраженная в единицах измерения:
2 м, 3 кг и т.д.
Величины бывают однородные и разнородные.
Однородные величины выражают одно и то же
свойство объектов некоторого множества.
Разнородные величины выражают различные
свойства объектов.
Еще в «Началах» Евклида отчетливо
сформулированы свойства величин, называемых
теперь положительными скалярными величинами:
- равные одному и тому же равны между собой,
- если к целым прибавить равные, то и целые будут
равны,
- если от равных отнимаются равные, то и остатки будут
равны,
- если к неравным прибавляются равные, то и целые
будут равны,
- удвоенные одного и того же равны между собой,
- половины одного и того же равны между собой,
- совмещающиеся друг с другом равны между собой,
- целое больше части.
Каждый конкретный род величин связан
с конкретным способом сравнения
физических тел и других объектов.
Например, в геометрии отрезки
сравниваются при помощи наложения, и
это сравнение приводит к понятию длины:
два отрезка имеют одну и ту же длину, если
при наложении они совпадают; если же
один отрезок накладывается на часть
другого, не покрывая его целиком, то длина
первого меньше длины второго.
Обозначим S = {a, b, с, …} множество
однородных величин.
Свойства величин
1. Любые две однородные величины
сравнимы: они либо равны, либо одна
меньше другой.
(а, b  S) а = b  а  b  а  b
Пример: длина гипотенузы
прямоугольного треугольника больше,
чем длина любого катета этого
треугольника.
Отношение равенства величин
рефлексивно:
(а S) а = а
симметрично:
(а, b  S) а = b  b = а
транзитивно:
(а, b, с  S) а = b  b = с  а = с
Отношение «больше» или
«меньше» для величин
антисимметрично:
(а, b  S) а  b  b  a
(а, b  S) а  b  b  a
транзитивно:
(а, b, с  S) а  b  b  с  а  с
(а, b, с  S) а  b  b  с  а  с
2. Однородные величины можно
складывать, в результате сложения
получится величина того же рода.
(а, b  S) (! с  S) с = а + b
с – сумма величин а и b.
Пример: АС = АВ + ВС.
А а В
b
С
Сложение величин обладает свойствами
коммутативности
(а, b  S) а + b = b + а
и ассоциативности
(а, b, с  S) (а + b) + с = а + (b + с)
3. Однородные величины вычитают,
определяя разность величин через
сумму: разностью величин а и b
называется такая величина с, что
= b + с.
а  b  (! с  S) с = а - b
Пример: ВС = АС – АВ.
А
b
В
с
а
С
а
4. Величину можно умножать на
положительное действительное число.
В результате получается величина того же
рода.
(а  S) ( х  R+) (! b  S) b = х · а.
b – произведение величины а и числа х.
Пример: АС = 2 АВ.
А
В
С
5. Однородные величины делят.
Частным величин а и b называется такое
неотрицательное действительное число х,
что а = х · b.
а
Число х =
b
называют также отношением
величин а и b.
АС
 2.
Пример:
АВ
А
В
С
6.
Некоторые разнородные величины
умножают и делят. В результате
получается величина третьего рода.
S
 v,
t
S
 t,
v
Примеры: 1) v · t = S,
где S – путь при равномерном
прямолинейном движении, v – скорость,
t – время.
S
S
2) S = а · b, a  , b  ,
b
a
где S – площадь прямоугольника, а и b –
длины сторон прямоугольника.
7. Аксиома Евдокса (или аксиома Архимеда):
(а, b  S) ( n N) а  n · b
Евдокс Книдский (ок. 408 - ок. 355 до н. э.), др.-греч. математик и
астроном. Впервые дал общую теорию пропорций. Представил
движение планет как комбинацию равномерно вращающихся вокруг
Земли 27 концентрических сфер. Соч. Е. К. до нас не дошли.
Архимед (ок. 287-212 до н. э.), др.-греч. ученый. Родом из Сиракуз
(Сицилия). Разработал предвосхитившие интегральное исчисление
методы нахождения площадей, поверхностей и объемов различных
фигур и тел. В основополагающих трудах по статике и гидростатике
(закон А.) дал образцы применения математики в естествознании и
технике. Автор многих изобретений (архимедов винт, определение
состава сплавов взвешиванием в воде, системы для поднятия
больших тяжестей, военные метательные машины и др.).
Организатор инженерной обороны Сиракуз против римлян.
Понятие измерения величины
Измерение одна из древнейших операций,
применявшаяся человеком в практической
деятельности (при распределении
земельных участков, в строительном деле,
при ирригационных работах и т.д.);
современная хозяйственно-экономическая
и общественная жизнь немыслима без
измерения.
Наука начинается с тех пор, как
начинают измерять
Д. И. Менделеев
Законченное измерение включает
следующие элементы:
- объект измерения, свойство или состояние
которого характеризует измеряемая величина;
- единица измерения;
- технические средства измерения,
проградуированные в выбранных единицах;
- метод измерения;
- наблюдатель или регистрирующее устройство,
воспринимающее результат измерения;
- окончательный результат измерения.
Простейшим и исторически первым
известным видом измерения является
прямое измерение, при котором результат
получается непосредственно из измерения
самой величины (например, измерение
длины проградуированной линейкой,
измерение массы тела при помощи гирь и
т.д.). Однако, прямые измерения не всегда
возможны. В этих случаях прибегают к
косвенным измерениям, основанным на
известной зависимости между искомой
величиной и непосредственно
измеряемыми величинами.
Установленные наукой связи и количественные
отношения между различными по своей природе
физическими явлениями позволили создать
самостоятельную систему единиц, применяемую во
всех областях измерения - Международную
систему единиц
Измерения классифицируются по объектам
измерения:
линейные (измерение длины, площади, объема),
механические (измерение силы, давления и пр.),
электрические и т.д.
Эта классификация соответствует основным
разделам физики.
Измерение – операция, посредством
которой определяется отношение одной
(измеряемой) величины к другой
однородной величине (принимаемой за
единицу); число, выражающее такое
отношение называется численным
значением измеряемой величины.
Измерение заключается в сравнении одной
величины с некоторой величиной того же рода,
принятой за единицу. В результате измерения
величина получает определенное численное
значение при выбранной единице.
Если дана величина а и выбрана единица
величины е, то в результате измерения величины
а находят такое действительное число х, что
а = х · е. Это число х называют численным
(числовым) значением (мерой) величины а при
единице величины е:
х = mе(а) или а = х · е
Число х показывает, сколько раз единица
величины е укладывается в величине а.
Величины, которые вполне определяются
одним численным значением, называются
скалярными величинами. К скалярным
величинам относятся, например, длина,
площадь, объем, масса.
Скаляр (от лат. scalaris – ступенчатый)
(скалярная величина) – величина, каждое
значение которой (в отличие от векторной) может
быть выражено одним (действительным) числом,
вследствие чего совокупность значений скаляра
можно изобразить на линейной шкале (скале –
отсюда название).
Кроме скалярных величин в математике
рассматривают еще векторные
величины. Для определения векторной
величины необходимо указать не только
ее численное значение, но и
направление. Векторными величинами
являются сила, ускорение,
напряженность электрического поля и
др. Например, сила тяжести всегда
направлена к центру Земли, сила
трения – против направления
движения и т.д.
Измерение величин позволяет свести сравнение
их к сравнению чисел, являющихся мерами этих
величин, операции над величинами к
соответствующим операциям над числами.
1. Если величины а и b измерены при помощи
единицы величины е, то отношения между
величинами а и b будут такими же, как и
отношения между их численными значениями, и
наоборот:
а = b  mе(а) = mе(b),
а  b  mе(а)  mе(b),
а  b  mе(а)  mе(b).
Пример: массы двух тел таковы, что а = 5 кг, b =
3 кг. Можно утверждать, что а  b, так как 5  3.
2. Если величины а и b измерены при
помощи единицы величины е, то чтобы
найти численное значение суммы а + b
достаточно сложить численные значения
величин а и b:
с = а + b  mе(а + b) = mе(а) + mе(b).
Пример:
массы двух тел таковы, что а = 5 кг, b = 3 кг.
Тогда а + b = 5 кг + 3 кг = (5 + 3) кг = 8 кг.
3. Если величины а и b измерены при
помощи единицы величины е, то чтобы
найти численное значение разности а b достаточно вычесть из численного
значения величины а численное
значение величины b:
с = а – b  mе(а – b) = mе(а) – mе(b).
4. Если величины а и b таковы, что b = х·
а, где х – положительное действительное
число, а величина а измерена при помощи
единицы величины е, то, чтобы найти
численное значение величины b при
единице величины е, достаточно число х
умножить на число mе(а):
b = х · а  mе(b) = х · mе(а).
Пример: если масса b в 3 раза больше
массы а, то есть b = 3а и а = 2 кг, то b = 3а =
= 3·(2 кг) = (3·2) кг = = 6 кг.
5. Если увеличить (уменьшить)
единицу величины в несколько раз,
то численное значение величины
уменьшится (увеличится) во столько
же раз:
1
а = nе, е1 = kе  а =
nе1
к
Пример:
если а = 120 см и 1 дм = 10 см, то
1
а=
· 120 дм = 12 дм.
10