Арцела — Асколи
Теорема Арцела — утверждение, которое представляет собой критерий предкомпактности множества в полном метрическом пространстве в том специальном случае, когда рассматриваемое пространство — пространство непрерывных функций на отрезке вещественной прямой. Названа в честь автора,
Чезаре Арцела.
Теорема Арцела — Асколи (или Асколи — Арцела) — это обобщение теоремы Арцела на тот
случай, когда рассматриваются семейства отображений метрических компактов (обобщённая теорема
Арцела).
Применение теоремы Арцела связано со специальными свойствами рассматриваемых семейств, а
именно: с равномерной ограниченностью и равностепенной непрерывностью.
Введение
В математическом анализе (а затем и в функциональном анализе) рассматриваются всевозможные
семейства непрерывных функций, заданных на специальных множествах (метрических компактах) и исследуется вопрос о «полноте» таких семейств. В частности, возникает вопрос о существовании предела,
например, у последовательности непрерывных числовых функций, заданных на отрезке [a, b], а также
о свойствах данного предела. Согласно критерию Коши, равномерный предел непрерывных функций,
также является непрерывной функцией, что означает полноту пространства C[a, b]. Существенным здесь
является то, что область определения функций — компактное подмножество вещественной прямой (отрезок), а функции принимают значение в полном метрическом пространстве. Аналогичный результат мы
получим есть возьмём класс непрерывных отображений произвольного метрического компакта в полное
метрическое пространство.
Полнота класса C[a, b] позволяет приблизить всякую непрерывную функцию последовательностью
приближений, каждое из которых является функцией в некотором смысле «более простой» чем исходная.
Об этом говорит теорема Вейерштрасса: каждую непрерывную функцию на отрезке можно сколь угодно
точно приблизить полиномами.
Теорема Арцела относится к тому случаю, когда рассматривается некоторое семейство непрерывных
функций F ⊂ C(K, Y ), где K — метрический компакт, а Y — полное метрическое пространство, и исследуется вопрос о том, можно ли выделить из этого семейства сходящуюся подпоследовательность. Поскольку
пространство C(K, Y ) полное, то существование предельной точки означает, по существу, предкомпактность семейства F в C(K, Y ). Поэтому теорему можно сформулировать в общем виде, говоря именно о
предкомпактности.
Таким образом, Теорема Арцела представляет собой критерий предкомпактности семейства непрерывных функций, заданных на компакте и действующих в полное метрическое пространство.
Существующий критерий предкомпактности множества в полном пространстве требует проверки вполне
ограниченности данного множества. На практике, такой критерий не является эффективным. Поэтому
представляется целесообразным каким-то образом использовать свойства самих функций, входящих в
семейство, чтобы получить критерий предкомпактности, пригодный для применения на практике.
В ходе исследований оказалось, что такими свойствами являются свойства равномерной ограниченности и равностепенной непрерывности рассматриваемого семейства.
Упоминание о равностепенной непрерывности было сделано одновременно Джулио Асколи(1883—1884)
и Чезаре Арцела (1882—1883). Слабая форма теоремы была доказана Асколи в 1883—1884, который установил достаточное условия компактности, и Арцелой в 1895, который привёл необходимое условие и дал
первую чёткую интерпретацию результата. Дальнейшее обобщение теоремы было доказано Фреше (1906)
для пространств, в которых понятие предела имеет смысл, например, метрического пространства или
хаусдорфового Данфорд, Шварц (1958). Современные формулировки теоремы позволяют области и диапазону быть метрическими пространствами. Наиболее общая формулировка теоремы даёт необходимое и
достаточное условия для того, чтобы семейство функций из компактного хаусдорфового пространства в
было компактным в топологии равномерной сходимости Бурбаки (1998, § 2.5).
Определения
Рассмотрим пространство C[a, b] непрерывных функций, заданных на отрезке [a, b], вместе с метрикой
равномерной сходимости. Это — полное метрическое пространство. Известно, что:
• Для того, чтобы некоторое подмножество полного метрического пространства было предкомпактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было вполне ограниченным.
1
В случае пространство C[a, b], однако, можно использовать более эффективный критерий предкомпактности, но для этого придётся ввести два следующих ниже понятия.
Положим, что F — некоторое семейство непрерывных функций, заданных на отрезке [a, b].
Равномерная ограниченность
Семейство F называется равномерно ограниченным, если существует единая для всех элементов
семейства постоянная K, которой ограничены все функции семейства:
∀f ∈ F
∀x ∈ [a, b] |f (x)| < K.
Равностепенная непрерывность
Семейство F называется равностепенно непрерывным, если для любого ε > 0 существует δ > 0
такая, что для всякого элемента f ∈ F и для любых точек x1 и x2 таких, что |x1 − x2 | < δ, выполняется
строгое неравенство |f (x1 ) − f (x2 )| < ε.
Формулировка
Функциональное семейство F является предкомпактным в полном метрическом пространстве C[a, b]
тогда и только тогда, когда это семейство является
• равномерно ограниченным
• равностепенно непрерывным.
Доказательство
Фактически, необходимо показать, что оба указанных свойства семейства функций эквивалентны
вполне ограниченности данного семейства.
Необходимость
Итак, пусть семейство F — вполне ограниченное.
Фиксируем ε > 0 и построим конечную (ε/3)-сеть вида: {ϕi }ni=1 .
Поскольку каждая функция данной системы непрерывна и, следовательно, ограничена, то для каждой
такой функции существует своя константа Ki такая что, |ϕi (x)| < Ki для всякого x ∈ [a, b].
Поскольку таких функций конечное множество, то можно взять K = maxi Ki + ε/3.
Теперь, если взять произвольную функцию f ∈ F , то для этой функции существует такой элемент ϕi
(ε/3)-сети, что |f (x) − ϕi (x)| < ε/3 для всякого x ∈ [a, b]. Очевидно, что в этом случае функция f будет
ограничена константой K.
Тем самым показано, что семейство F является равномерно ограниченным.
Опять же, в силу непрерывности каждого элемента (ε/3)-сети, этот элемент оказывается также и
равномерно непрерывным и, следовательно, по (ε/3) можно подобрать такое δi такое, что |ϕi (x1 )−ϕi (x2 )| <
ε/3 для любых точек x1 , x2 ∈ [a, b] таких, что |x1 − x2 | < δi .
Положим δ = mini δi .
Если теперь рассмотреть произвольную функцию f ∈ F , то для заданного ε > 0 будет иметь место
строгое неравенство |f (x1 ) − f (x2 )| < ε для любых точек x1 , x2 ∈ [a, b] таких, что |x1 − x2 | < δ.
Действительно,
|f (x1 ) − f (x2 )| 6 |f (x1 ) − ϕi (x1 )| + |ϕi (x1 ) − ϕi (x2 )| + |ϕi (x2 ) − f (x2 )| < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε
, где ϕi — подходящий элемент (ε/3)-сети.
Тем самым показано, что семейство F является равностепенно непрерывным.
Другими словами, вполнеограниченность влечёт равномерную ограниченность и равностепенную непрерывность.
2
Достаточность
Теперь необходимо доказать, что равномерная ограниченность и равностепенная непрерывность семейства F влечёт существование конечной ε-сети для всякого конечного ε > 0.
Фиксируем ε > 0.
Пусть K — это константа, которая фигурирует в определении равномерной ограниченности.
Выберем такое δ > 0, которое фигурирует в определении равномерной непрерывности и соответствует
величине ε/5.
Рассмотрим прямоугольник [a, b] × [−K, K] и разобьём его вертикальными и горизонтальными прямыми на прямоугольные ячейки размером меньше чем δ по горизонтали и ε/5 по вертикали. Пусть
x1 , x2 , . . . , xN — узлы этой решётки (по оси абсцисс).
Если теперь рассмотреть произвольную функцию f ∈ F , то для каждого узла xi решётки обязательно
найдётся такая точка (xi , yj ) решётки, что |f (xi ) − yj | < ε/5. Если теперь рассмотреть ломаную функцию
ϕ, которая в узлах принимает соответствующие значения, уклоняющиеся от функции не более чем на ε/5,
то в силу того что сама функция уклоняется на каждом отрезке не более чем на ε/5, ломаная на каждом
таком отрезке уклоняется не более чем на 3ε/5.
Поскольку каждая точка x отрезка [a, b] оказывается на одном из таких отрезков, скажем, [xk , xk + 1],
то получается что уклонение функции от построенной таким образом ломанной не превосходит ε:
|f (x) − ϕ(x)| 6 |f (x) − f (xk )| + |f (xk ) − ϕ(xk )| + |ϕ(xk ) − ϕ(x)| < ε/5 + ε/5 + 3ε/5 = ε.
Тем самым показано, что конечная (!) система ломанных функций указанного вида является ε-сетью
для заданного ε > 0.
Приложения
Теорема Арцела находит своё применение в теории дифференциальных уравнений.
В теореме Пеано (о существовании решения задачи Коши) строится система функций, которая в теории
дифференциальных уравнений носит название ломаных Эйлера. Эта система оказывается равномерно
ограниченным и равностепенно непрерывным семейством функций, из которого, согласно теореме Арцела
можно выделить равномерно сходящуюся последовательность функций, предел которой и будет искомым
решением задачи Коши.
3
