Задание No3. Алгоритм шифрования RSA.

Задание No3. Алгоритм шифрования RSA.
Сгенерируйте открытый и закрытый ключи в алгоритме шифрования RSA,
выбрав простые числа p и q из первой сотни. Зашифруйте сообщение,
состоящее из ваших инициалов: ФИО.
Задание No4. Функция хеширования.
Найти хеш–образ своей Фамилии, используя хеш–функцию, где n = pq, p, q
взять из Задания No3
Задание No5. Электронная цифровая подпись.
Используя хеш-образ своей Фамилии, вычислите электронную цифровую
подпись по схеме RSA.
Примеры решения:
Задание No3. Алгоритм шифрования RSA.
Сгенерируйте открытый и закрытый ключи в алгоритме шифрования RSA, выбрав простые числа
pиq
из первой сотни. Зашифруйте сообщение, состоящее из ваших инициалов:
ФИО.
I.Генерация ключей (см. Приложение Г).Выберем два простых числа р= 13 и q= 19 (см.
Приложение Д).
Тогда модуль n=pq=13*19 = 247
и функция Эйлера(n)=(p-1)(q-1)= 12*18 = 216.
Закрытый ключ d выбираем из условий d<(n) и d взаимно просто с  (n), т.е. d и (n)не имеют
общих делителей.
Пусть d= 25.
Открытый ключ e выбираем из условий e < (n)
И de=1(mod (n)): e<216,25 e=1(mod 216).
Последнее условие означает, что число 25 e- 1 должно делиться на 216 без остатка.
Таким образом, для определения e нужно подобрать такое число k, что 25 e - 1 = 216k.
При k=14 получаем 25 e =3024+1 или e=121.
В нашем примере(121, 247) –открытый ключ,( 25, 247) –
секретный ключ.
II. Шифрование.
Представим шифруемое сообщение «КГЛ» как последовательность целых чисел. Пусть буква «К»
соответствует числу 12, буква «Г» - числу 4 и буква
«Л» -числу 13.
Зашифруем сообщение, используя открытый ключ (121, 247):С1 = () mod 247= 12
С2= () mod 247=199
С3= () mod 247= 91
Таким образом, исходному сообщению (12, 4, 13) соответствует криптограмма (12, 199, 91).
III. Расшифрование
Расшифруем сообщение (12, 199, 91), пользуясь секретным ключом (25,247):М1= () mod 247=12
М2= () mod 247= 4
МЗ= () mod 247=13
В результате расшифрования было получено исходное сообщение (12, 4, 13), то есть "КГЛ".
Задание No4. Функция хеширования.
Найти хеш–образ своей Фамилии, используя хеш–функцию, где n = pq, p, q взять из Задания No3.
Хешируемое сообщение «КОЗИНА». Возьмем два простых числа p=13,q=19
Определим n=pq=13*19=247. Вектор
Инициализации выберем равным 8 (выбираем случайным образом). Слово «КОЗИНА» можно
представить последовательностью чисел (12, 16, 9, 10,
15, 1) по номерам букв в алфавите. Таким о
бразом,
n=247, H0=8, M1=12, M2=16, M3=9, M4=10, M5=15, M6=1.
Используя формулу,получим хеш-образ сообщения «КОЗИНА»:
H1=(H0+M1)2mod n =( 8 + 12)2mod247 =400 mod 247=153
H2=(H1+M2)2mod n =(153 + 16)2mod247 = 28561mod 247=156
H3=(H2+M3)2mod n =(156 + 9)2mod247 = 27225mod 247=55
H4=(H3+M4)2mod n =( 55 + 10)2mod247 = 4225mod 247=26
H5=(H4+M5)2mod n =( 26 + 15)2mod247 = 1681mod 247=199
H6=(H5+M6)2mod n =(199 + 1)2mod247 = 40000mod 247=233
В итоге получаем хеш-образ сообщения «КОЗИНА», равный 233
Задание No5. Электронная цифровая подпись.
Используя хеш-образ своей Фамилии, вычислите электронную цифровую подпись по схеме RSA.
Пусть хеш-образ Фамилии равен 233, а закрытый ключ алгоритма RSA равен (25, 247). Тогда
электронная цифровая подпись сообщения, состоящего из
Фамилии, вычисляется по правилу
s= 23325mod 247 = 168.
Для проверки ЭЦП, используя открытый ключ (121, 247), найдем
H = 168121mod 247 = 233.
Поскольку хеш-образ сообщения совпадает с найденным значением H, то подпись признается
подлинной.