УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ЛИПЕЦКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЛАСТНОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ЛИПЕЦКИЙ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Методическая разработка учебного занятия по дисциплине: «Математика» по темам: «Векторы, действия над ними» «Уравнения прямой на плоскости» Преподаватель: Ланина Юлия Алексеевна Липецк 2020 Тип занятия: учебное занятие обобщения и систематизации знаний и способов деятельности Технология: игровая Цели занятия: Дидактические: - обобщение и систематизация знаний по темам: «Векторы, действия над ними», «Уравнения прямой на плоскости». Развивающие: - развитие логического мышления; - формирование умения применять полученные знания на практике; - расширение не только математического, но и общеобразовательного кругозора. Воспитательные: - привитие интереса к учебной дисциплине; - развитие умений работать в команде, в паре, самостоятельно. Оборудование: - ПК; - интерактивная доска; - документ – камера; - дидактические материалы. Методы обучения: - словесный, - наглядный, - практический. Ход занятия Организационный момент Обоснование целей и задач занятия; проверка готовности команд «Вектор» и «Прямая» к началу игры. 1 тур Условия 1 тура игры: каждой команде поочередно задаются вопросы, если дан верный ответ, команда получает 1 балл, в противном случае на вопрос отвечает команда соперника. Задания: I. Продолжите фразу: 1. Уравнение прямой «в отрезках» – это уравнение вида… 2. Коллинеарные векторы – это векторы … 3. Скалярное произведение векторов – это … 4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом – это уравнение вида … 5. Произведение вектора ā на число λ (λ≠0) – это вектор, удовлетворяющий следующим условиям… 6. Векторы ā (а1; а2) и đ (d1; d2) перпендикулярны тогда и только тогда, когда… 7. Векторы ā (а1; а2) и đ (d1; d2) параллельны тогда и только тогда, когда… 8. Общее уравнение прямой – это уравнение вида… II. Найдите: 1. Угловой коэффициент прямой 6х-4у+1=0 (1,5) 2. Скалярное произведение векторов ā (1;2) и đ(-2;4) (6) 3. Найдите х, если даны два перпендикулярных вектора ā (1;2) и đ(х;4) (-6) 4. Ординату точки пересечения прямых 3х+2у=3 и -3х+у=3 (2) III. Выберите правильный вариант ответа: 1. Середина отрезка АВ, где А(1;2), В(3;4) имеет координаты: а) (-1; 1); б) (2; 3); в)(4; 6). 2. Прямая, перпендикулярная прямой 2х-4у+7=0 имеет угловой коэффициент: а) 0,5; б) -2; в) -0,5. 3. Уравнение прямой, проходящей через точки А(0;3) и В(6;0) имеет вид: а) х+2у=6; б) 2х+у=6; в) х-2у=6. 4. Параллельными векторами являются: а) ā (3;4) и đ(4;3); б) ā (-5;2) и đ(-10;5); в) ) ā (-7;1) и đ(-14;2). 5. Перпендикулярными векторами являются: а) ā (4;3) и đ(-3;4); б) ā (6;-1) и đ(12;-2); в) ā (3;-1) и đ(1;2). 6. Длины векторов ā и đ равны 2 и 1 соответственно, угол между ними 60°, найдите их скалярное произведение: а) 1; б) 2; в) 3. 2 тур Условия 2 тура игры: в каждой команде создаются парные подгруппы, каждая из которых получает задание. С помощью ответов, полученных командой, составляется равенство. Если команда справилась с заданием, она получает 5 баллов. Задания для команды Задания для команды «Прямая»: 1 вариант «Вектор»: 1 вариант Найдите угол между векторами а и b , если а (1;2) ; b (2;1) . Найдите угол между векторами а и b , если а ( 4;3) ; b (3;4) . 2 вариант 2 вариант Найдите угловой коэффициент прямой Найдите угловой коэффициент х у 1. 3 4 прямой 3 вариант 4( х 1) у 1. 9 3 3 вариант Найдите длину вектора АВ , если А(-2;1); В(1;-3). Найдите длину вектора АВ , если А(5;2); В(2;6). 4 вариант 4 вариант Найдите скалярное произведение векторов Найдите скалярное произведение АВ и CD , если А (5;1); В(4;1); С(-3;1); D(2;-1). векторов АВ и CD , если А (-3;1); В(-2;0); С(4;3); D(-1;3). 5 вариант 5 вариант Найдите абсциссу точки пересечения прямых 6х-2у =5 и 3х-5у =1,5. Найдите абсциссу точки пересечения 2 х у 4 и 6х 6 у 1 . 3 6 вариант 6 вариант Найдите ординату точки пересечения прямых 2 х 2 у 1 и 4 х 3 у 23 . Найдите ординату точки пересечения прямых 10х+3у =1 и 5х+у =2. 7 вариант 7 вариант __ __ Найдите у при условии, что АВ CD , если __ Найдите х при условии, что __ А(-1;2); В(0;3); CD (-3;у). __ АВ CD , если А(1;3); В(2;2); __ CD (х;3). 3 тур Условия 3 тура игры: капитан команды «Векторы» читает доклад на тему: «История возникновения понятия «Вектор», после задает 3 вопроса команде «Прямая». Капитан команды «Прямая» читает доклад на тему: «История возникновения понятия «Прямая», после задает 3 вопроса команде «Вектор». Команда, ответившая верно на все вопросы получает 3 балла; на 2 вопроса – 2 балла, на 1 вопрос – 1 балл. Доклад: История возникновения понятия «Вектор» Одним из фундаментальных понятий современной математики являются вектор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию его в различных областях математики, механики, а так же в технике. Что же такое вектор? Существуют различные подходы к определению понятия вектора. Разумеется, какое бы определение мы ни взяли, вектор – с элементарногеометрической точки зрения - есть геометрический объект, характеризуемый направлением. Векторы удобны, использование их весьма естественно, и обычно думают, что ими оперируют давно. Но это неверно. Даже в книге Максвелла второй половины 19в. вы не найдете векторных обозначений для производных в декартовой системе координат, с помощью которых обычно записывают полученные им уравнения. Гораздо раньше векторов в науку были введены кватернионы. Эти величины придумал Гамильтон. Кватернион выражается с помощью четверки чисел. Создатели квантовой механики очень обязаны трудам Гамильтона. Сохранились записи лекций, прочитанных Гиббсом около 1880 г. в Йельском университете. Хотя векторы и не обозначались в них с помощью жирных букв, но, там дано определение скалярного и векторного произведений и введены символы, соответствующие современным, т. е., в сущности, впервые механика изложена на языке векторов. Идеи Гиббса об использовании векторов не получили немедленного признания. Например, английский ученый Тейт утверждал, что пользоваться векторами неудобно. Несмотря на оппозицию сторонников кватернионов, после Гиббса векторы стали широко применять. Язык кватернионов теперь уже не выдвигают на первый план. Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике. Вопросы: 1. Как называются величины, которыми пользовались до векторов? 2. Кто впервые изложил механику на языке векторов? 3. Где используются векторы? Доклад: История возникновения понятия «Прямая» Прямая – одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Аналитически прямая на плоскости задаётся уравнением первой степени, а графически – разбивает плоскость на две полуплоскости. Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий. Приблизительно за 300 лет до начала нашей эры греческий геометр Евклид в ряде своих книг, носивших общее название "Начала", дал первое научное обоснование геометрии, где он прежде всего попытался дать точные определения основных геометрических понятий в частности точки, и прямой линии: 1. Точка есть то, что не имеет частей. 2. Линия есть длина без ширины. 3. Прямая линия есть та, которая одинаково расположена относительно всех своих точек. В первой половине XIX в. русский математик, профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский построил новую геометрию, предложения этой геометрии существенно отличались от теорем геометрии Евклида. Открытие неевклидовой геометрии произвело глубокие изменения в сознании геометров. Такое, например, определение, как "линия есть длина без ширины", не могло уже удовлетворить геометров, так как в их сознании сами понятия длины и ширины уже утратили тот характер абсолютной ясности и первоначальности, который они имели во времена Евклида. Поэтому был поставлен вопрос об определении основных геометрических образов: точка, прямая линия и плоскость. Заметим, что определить какое-нибудь понятие — значит выразить его через понятия, ранее уже установленные. Если же искать определение простейших понятий, то дело неизбежно сведётся лишь к замене одного термина другим, в свою очередь требующим определения. Так и было у Евклида, который понятие, "линии" определил через понятие "длины" или "границы", а эти последние не определял. Поэтому можно с самого начала не искать определения простейших геометрических понятий, а принять их за исходные, которые нельзя уже выразить через понятия более простые. "Точка", "прямая" и "плоскость" принимаются за такие первичные, неопределимые геометрические понятия. По отношению к ним устанавливается целая система основных положений, аксиом, принимаемых за исходные недоказуемые положения. Вопросы: 1. Как Евклид сформулировал определение линии? 2. Почему определения Евклида не удовлетворили геометров? 3. Как аналитически задаётся прямая? 4 тур Условия 4 тура игры: каждая команда решает три задачи. Правильно выполненное задание оценивается в 5 баллов. ____ ____ 1. Вычислите угол между векторами АВ и СD , если А(-1; 0); В(3; 1); С(2; 3); D(-2; 2). 2. Отрезок АВ задан точками А(7; -4) и В(-8; 1) и делится точкой С в отношении 1:4 (от А к В). Найдите координаты точки С. 3. Найдите уравнения перпендикуляров к прямой 5х-4у-20=0, восставленных в точках пересечения её с осями координат. 5 тур Условия 5 тура игры: студент каждой команды получает индивидуальное задание. После того, как задания выполнены, команды обмениваются работами, проверяют их и выставляют отметки. Подведение итогов игры. Домашнее задание: Домашнее задание: 1. Даны векторы а ; b ; c . Постройте вектор 3 а 2b c . 2 х у 1 , заключенный между осями координат, делится двумя 9 3 точками, проходящими через начало координат, на три равные части. Составьте уравнения этих прямых. 2. Отрезок прямой Литература 1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа, 2018. 2. Григорьев С.Г., Задулина С.В. Математика: Учебник для студ. сред. проф. учреждений. – М.: Издательский центр «Академия», 2017. – 384 с. 3. Дадаян А.А. Математика, профессиональное образование. – М.: Форум – ИНФРАМ, 2018.
