http://protein.bio.msu.ru/~akula/anEEG/AnEEG.htm А.П. Кулаичев Компьютерная электрофизиология и функциональная диагностика. Изд. 4-е, перераб. и доп. - М.: ИНФРА-М, 2007, с.178-230 Лекция: Методы вычислительного анализа ЭЭГ http://protein.bio.msu.ru/~akula/anEEG/AnEEG.htm 1/4 13.03.2019 CONAN-m Фильтрация, огибающая, сглаживание Фильтрация предназначена для выделения из сигнала интересующего исследователя диапазона частот и удаления шумовых или не представляющих интерес составляющих. При анализе экспериментальных данных используются цифровые фильтры, реализованные вычислительными средствами. Наиболее употребительны фильтры Баттерворда и Чебышева-1,2, которые являются эквивалентами одноименных и популярных аналоговых фильтров. Эти фильтры пропускают гармонические колебания без искажения их формы. Однако в результате фильтрации возникают амплитудные и фазовые искажения. Амплитудные искажения. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) фильтра зависит от его типа и порядка. АЧХ представляет отношение амплитуд гармоник на выходе к амплитудам на входе фильтра в зависимости от частоты. На рис. 4.35 приведены АЧХ четырех фильтров с полосой пропускания 8—12 Гц (альфа-диапазон). В полосе пропускания АЧХ близка к 1 (гармоники пропускаются фильтром), а в полосе задержания — близка к 0 (гармоники подавляются по амплитуде). а) б) в) г) Рис. 4.35. Амплитудно-частотные характеристики фильтров с полосой пропускания 8-12 Гц: а — Баттерворда 2-го порядка; б — Баттерворда 8-го порядка; в — Чебышева-1 8-го порядка; г — Чебышева-2 8-го порядка На границах полосы пропускания (частоты среза) наблюдается спад АЧХ, крутизна которого (крутизна среза) увеличивается с повышением порядка фильтра. Как видно из сравнения рис. 4.35, а и б, фильтр Баттерворда 2-го порядка по сравнению с фильтром 8-го порядка имеет заметно более пологие срезы АЧХ. В связи с конечной крутизной срезов (неотвесными срезами) имеют место два искажения: 1) в сигнале частично подавляются гармоники (уменьшается их амплитуда), близлежащие к частоте среза со стороны полосы пропускания; 2) частично пропускаются гармоники (с уменьшением их амплитуды), близлежащие к частоте среза в полосе задержания. Фильтры Баттерворда сохраняют определенный баланс между этими двумя искажениями. Фильтр Чебышева-1 минимизирует первую погрешность, его АЧХ во всей полосе пропускания близка к 1 (рис. 4.35, в). Фильтр Чебышева-2 минимизирует вторую погрешность, его АЧХ во всей полосе задержания близка к 0 (рис. 4.35, г). В целом фильтры Чебышева при том же порядке имеют большую крутизну среза, чем фильтры Баттерворда. Отметим также, что при увеличении порядка фильтра увеличивается объем и время вычислений (снижается быстродействие фильтра), но это является критичным только при использовании фильтрации в режиме реального времени, когда процесс фильтрации может не успевать за реальным сигналом, превышая длительность одного интервала дискретизации АЦП. Присутствие нелинейностей.Этот недостаток относится к фильтрам Чебышева. Фильтры Чебышева-1 имеют нелинейности в виде колебаний АЧХ в полосе пропускания, а фильтры Чебышева-2 — в полосе задержания. Однако эти нелинейности невелики по амплитуде (на рис. 4.35 в, г они практически незаметны из-за высокого порядка фильтров) и не столь актуальны для области физиологии по сравнению с техническими приложениями, где они могут затруднить разделение узких близлежащих спектральных пиков. Кроме того, уровень нелинейности АЧХ регулируется специальным параметром e фильтра Чебышева. Уменьшение e вызывает соответствующее снижение быстродействия, но это может быть критично лишь при фильтрации в режиме реального времени. Фазовые искажения являются одним из основных погрешностей, присущих классической http://protein.bio.msu.ru/~akula/anEEG/AnEEG.htm 1/4 13.03.2019 CONAN-m фильтрации. Они являются следствием метода последовательного приближения, на котором базируется фильтрация, а именно: чтобы в любой момент времени t оценить амплитуду i-й гармонической составляющей сигнала с периодом Тi необходимо ее наблюдать в течение Тi с момента t. Тем самым каждая гармоника в результате фильтрации приобретает задержку во времени или фазовый сдвиг, пропорциональный Тi или 1/fi, т. е. обратно пропорциональный частоте гармоники fi. На фазовые искажения также влияет порядок фильтра и полоса частот. Рис. 4.36. Фазовые искажения при фильтрации: канал 1 — исходный сигнал частотой 11 Гц; каналы 2-5 — результаты фильтрации в разных частотных диапазонах фильтрами Баттерворда m-го порядка; обозначения искажений: А — начального приближения; В — переходные при смене характера сигнала; С — временной сдвиг Сложный характер фазовых искажений удобно продемонстрировать на упрощенном модельном примере рис. 4.36. На канале 1 приведен полигармонический сигнал с двумя участками нулевой амплитуды, а на каналах 2—5 показаны результаты фильтрации различными фильтрами. Здесь присутствуют искажения начального приближения (А), переходные амплитудные искажения при резкой смене характера сигнала (В) и постоянный временной фазовый сдвиг (С). Фазовые и переходные искажения увеличиваются с повышением порядка фильтра (ср. каналы 2 и 3). Для гармоник, лежащих в середине полосы пропускания, эти искажения уменьшаются при расширении полосы как в сторону низких, так и в сторону высоких частот (каналы 4, 5). Поскольку фазовый сдвиг обратно пропорционален частоте гармоники, то для широкополосных сигналов (с многими гармониками высокой амплитуды) сложение их фазовых сдвигов может приводить к дополнительному искажению формы сигналов. Однако для области физиологии такой характер сигналов нетипичен. Фурье-фильтрация. Указанные погрешности классической фильтрации побудили уже в первой версии CONAN-1.5 (1993 г.) предложить новый для электрофизиологии метод Фурьефильтрации, основанный на использовании двукратного Фурье-преобразования. После первого преобразования сигнала в частотную область из комплекснозначного спектра удаляются гармоники в заданном диапазоне частот, после чего обратным Фурье-преобразованием по усеченному спектру восстанавливается отфильтрованный сигнал во временной области. Принципиальными достоинствами такого метода по сравнению с классическими фильтрами являются: практически полное отсутствие фазовых искажений; практически бесконечная крутизна среза, вследствие чего частотная характеристика фильтра близка к прямоугольной — полное подавление гармоник в полосе задержания и отсутствие искажений в полосе пропускания; минимальные амплитудные искажения, имеющие место только на границах полосы задержания за счет незначительного влияния эффектов утечки и амплитудной модуляции, уменьшающегося с увеличением разрешения по частоте. При реализации Фурье-фильтрации нужно учитывать ограничение на длину обрабатываемой реализации сигнала. Поэтому фильтрацию длительных записей приходится производить поинтервально. Поскольку фазы гармоник на соседних интервалах в общем http://protein.bio.msu.ru/~akula/anEEG/AnEEG.htm 2/4 13.03.2019 CONAN-m случае не совпадают, на стыках интервалов могут возникать небольшие амплитудные скачки, визуально более заметные при полосовой фильтрации в низкочастотном диапазоне. Для нивелирования этих скачков интервалы фильтрации следует выбирать с небольшим перекрытиям и усреднением результатов (Отметим, что этот эффект сказывается только при фильтрации сигналов большой протяженности. Так, при работе ДПФ на интервалах до 8192 отсчета для сигнала с частотой дискретизации 128 Гц во временном выражении это будет соответствовать 64 с. Поскольку большинство ЭЭГ-записей выпол-няются и анализируются на значительно меньших интервалах наблюдения, проблема стыковочных концов для них не актуальна. Кроме того, сглаживание стыков имеет, в основном, эстетическую ценность, поскольку их наличие практически не сказывается на результатах вычислительного анализа). Работу фильтров на реальных сигналах иллюстрирует рис. 4.37, где приведена запись энцефалограммы и результаты ее фильтрации фильтрами нижних и верхних частот по методам Фурье-преобразования и Баттерворта. Так, в результате применения ФВЧ Баттерворта (канал 3) заметно пропускание низкочастотных составляющих (в данном случае — высокоамплитудного 10-герцового альфа-ритма) и существенные начальные искажения, а в результате применения ФНЧ Баттерворта (канал 5) заметно искажение формы сигнала и сдвиг по фазе. Рис. 4.37. Запись ЭЭГ (первый канал) и результаты фильтрации ФВЧ (каналы 2, 3) и ФНЧ (каналы 4, 5) с частотой среза 15 Гц по методу Фурье-преобразования (каналы 2, 4) и фильтром Баттерворда 3-го порядка (каналы 3, 5) Следует отметить, что данный метод неприменим в режиме реального времени, поскольку он требует накопления значительного временного интервала реализации сигнала и обладает недостаточным быстродействием при больших частотах оцифровки. Видимо поэтому на его принципиальные преимущества ранее не обращалось внимание. Огибающаяпредставляет собой положительно определенную функцию, которая в некотором смысле «огибает» положительные и инвертированные негативные колебания сигнала (рис. 4.38,б). Рис. 4.38. Иллюстрация огибающей: а — исходный сигнал; б — огибающая; в — абсолютная величина сигнала с 10 сглаживаниями; в — огибающая после удаления низких частот Ошибка: надо - верхних частот Математически огибающая определяется как модуль аналитической функции (комплекснозначной), действительная часть которой равна сигналу, а мнимая часть получена из действительной преобразованием Гильберта. В свою очередь преобразование Гильберта может быть реализовано двукратным преобразованием Фурье, когда перед обратным преобразованием спектр сдвигается по фазе на 90°. Близкий к огибающей результат может быть http://protein.bio.msu.ru/~akula/anEEG/AnEEG.htm 3/4 13.03.2019 CONAN-m получен взятием абсолютного значения сигнала и несколькими сглаживаниями результата (рис. 4.38, в). Огибающая может быть полезна при анализе быстроменяющихся периодических сигналов благодаря следующим своим свойствам: 1) площадь под участком огибающей представляет мощность сигнала на этом участке; 2) после фильтрации с удалением высоких частот (рис. 4.38, г) огибающая отражает изменение амплитудной модуляции сигнала, которая далее может быть исследована средствами спектрального или периодометрического анализа. Сглаживание обычно применяется как эквивалент фильтрации для удаления из сигналов и их спектров высокочастотных колебаний (шумов, наводок). Наиболее эффективен метод параболического сглаживания скользящим средним по трем точкам, когда амплитуды сигнала преобразуются по формуле: xi+1= (xi+2xi+1+xi+2)/4, i=1—n-2. (4.17) При необходимости такая процедура сглаживания может выполняться многократно. Примеры сглаживания: рис. 4.37, г — применительно к ЭЭГ; рис. 4.19, в и рис. 4.28, б — применительно к спектрам ЭЭГ. http://protein.bio.msu.ru/~akula/anEEG/AnEEG.htm 4/4
