Контрольная работа по точечным оценкам. Задача 1. Случайная величина X равна числу успехов до первой неудачи в схеме Бернулли с вероятностью успеха θ ∈ (0, 1). Найти оптимальную оценку функции τ (θ) = ln(1 − θ) по одному наблюдению. Задача 2. Пусть X1 , . . . , Xn – выборка из пуассоновского распределения с параметром θ > 0. Найти оптимальную оценку функции τ (θ) = eθ и исследовать ее на состоятельность. Задача 3. Выборка X1 , . . . , Xn получена из равномерного распределения на отрезке [0, θ]. Исследовать оценку T = (n+1)X(1) параметра θ на несмещенность и состоятельность. Задача 4. Найти одномерную достаточную статистику для выборки из равномерного распределения на отрезке [−θ, θ]. Задача 5. Пусть X1 , . . . , Xn – выборка из распределения Релея с ф.р. F (x, θ) = 1 − e−x 2 /θ , x > 0, θ > 0. Построить оценку максимального правдоподобия для параметра θ. Задача 6. В выборке X1 , . . . , Xn каждая случайная величина с вероятностью p ∈ (0, 1) имеет стандартное нормальное распределение N (0, 1) и с вероятностью 1 − p имеет нормальное распределение N (a, 1). Методом моментов построить оценки параметров a и p. Задача 7. Существуют ли в модели бета-распределения с плотностью p(x, θ) = θxθ−1 1(0 < x < 1), θ ∈ Θ = (0, +∞), эффективные оценки? В случае утвердительного ответа: • а) описать класс функций τ (θ), подлежащих эффективному оцениванию, и соответствующие эффективные оценки; • б) вычислить дисперсии эффективных оценок. • в) вычислить информацю Фишера.
