Термодинамика открытых систем
Термодинамика открытых систем
Глава 4. ТЕРМОДИНАМИКА
ЛОКАЛЬНО−НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ
ПЕРЕНОСА
4.1. Основные положения
Одной из наиболее последовательных и детально разработанных термодинамических теорий, не опирающихся на принцип локального равновесия является так называемая “расширенная необратимая термодинамика” (РНТ) (см. обзор [25]). В рамках РНТ рассматриваются следующие дифференциальные уравнения для диссипативных потоков релаксационного типа [25]:
∂q
= − λ ∇T ,
∂t
∂j
j + τD
= − D∇C ,
∂t
∂p
p + τϑ
= − ζ ∇ϑ
∂t
•
∂P ϑ
P + τ2 p
= −2η ϑ ,
∂t
q + τT
(4.1)
(4.2)
(4.3)
(4.4)
λ − коэффициент теплопроводности, D − коэффициент
где
диффузии, τ T , τ D , τ ϑ , τ 2 p − времена релаксации соответствующих диссипативных потоков; P=pδ+Pυ, δ − единичный тензор, p
− вязкое давление (1/3 следа тензора P), Pυ−часть тензора P со
следом, равным нулю, ζ − объемная вязкость, η − сдвиговая вяз•
кость, υ − симметрическая часть градиента скорости. При этом
потоки уже не определяются градиентом соответствующего термодинамического потенциала переноса, а являются решениями
эволюционных уравнений (4.1) – (4.4). Эти уравнения описывают
процессы релаксации диссипативных потоков к своим локальноравновесным значениям. Например, в системе с нулевым градиентом концентрации начальное значение массового потока j0
релаксирует к равновесному значению j=0 по экспоненциальному закону:
65
⎛ t
j(t) = j0 exp⎜⎜ −
⎝ τT
⎞
⎟⎟ .
⎠
Уравнение Максвелла-Катанео (4.1) может быть представлено
как приближение первого порядка при разложении в ряд Фурье
по τ T более общего соотношения: q(t + τ T ) = −λ∇T . Последнее означает, что между тепловым потоком и градиентом температуры существует временной сдвиг, равный времени релаксации. Уравнения (4.1)-(4.4) описывают простейшие случаи одноступенчатой (или одностадийной) релаксации и не учитывают
как перекрестных, так и пространственно-нелокальных эффектов.
Учет перекрестных эффектов в приближении РНТ позволяет представить уравнения возмущенного движения в виде
dJ
∂S
∂S
+ aii
J i + τ i i = aie
;
∂ξ e
∂ξ i
dt
dJ
∂S
∂S
+ a ei
J e + τ e e = a ee
;
(4.5)
∂ξ e
∂ξ i
dt
здесь τi, τe – время релаксации внутренних и внешних термодинамических потоков. Характерные пространственно-временные
масштабы L, h, τe=t0 и τi определяют две характерные скорости
[25]
ϑe =
L
h
, ϑi =
.
τe
τi
Скорость ϑ e , представляющая собой отношение макромасштабов
рассматриваемого процесса, характеризует линейную скорость
изменения параметров системы, вызванную внешними причинами. Например, это может быть скорость перемещения изотерм
при движении источника тепловыделения в теплопроводящей
среде. Отношение микропараметров ϑ i является внутренней характеристикой самой системы и не зависит от внешних условий.
Величина ϑ i − скорость распространения возмущений потенциала переноса для внутреннего потока. Например, в газах ха66
Термодинамика открытых систем
Термодинамика открытых систем
рактерными микропараметрами среды как для процессов теплопереноса, так и процессов массопереноса, являются средняя длина свободного пробега h и время между двумя последовательными столкновениями молекул τ. Поэтому ϑ i – средняя скорость
Следует отметить, что для локально-неравновесных систем, описываемых уравнениями возмущенного движения - нестационарными уравнениями Онзагера (4.5) можно также сформулировать теоремы 1-3.
молекул газа, причем ϑ i =3D/h=3a/h (D – коэффициент диффузии), поскольку в газах a=D. В расплавах металлов коэффициент
диффузии примеси D~10–9−10–8 м2с–1 значительно меньше коэффициента температуропроводности a~10–5−10–4 м2с–1. В результате скорость распространения концентрационных возмущений
ϑ D ~1−20 мс–1 много меньше скорости распространения тепловых возмущений ϑT ~10–3– 104 мс–1. В такой системе сначала
устанавливаются локально-равновесные значения потока, обладающего минимальным временем релаксации, а только в последующем – локально-равновесные значения другого потока. При
этом характерное время τ D ~h/ ϑ D много больше, чем время тепловой релаксации τ T ~h/ ϑT . Это означает, что в такой системе,
сначала, через время порядка τ T устанавливаются локально–
равновесные значения температуры и только через время порядка τ D – локально-равновесные значения концентрации. Последовательная релаксация к тепловому, а лишь затем к диффузионному равновесию может возникнуть в системах со сложной
структурой, например, в полимерах и капиллярно-пористых средах.
В результате для локально-неравновесных систем скорость изменения энтропии, объединяющая все внешние и внутренние потоки, также будет зависеть от времени релаксации τr,
которое связано с одним из наибольших времен релаксации потоков (с самым длительным лимитирующим процессом):
G + τr
dG
= −Je X e + Ji X i + σ .
dt
Если приближения локального равновесия не выполняются τ<<t0, то этим эффектом, учитывающим время релаксации,
пренебречь уже нельзя. В этом случае процесс переноса тепла
описывается уравнением гиперболического типа
∂ 2T
∂T
W
+ τT
= a∇ 2 T +
,
(4.7)
2
∂t
CV ρ
∂t
отличающимся от параболического уравнения теплопроводности
наличием второй производной температуры по времени и содержащим время релаксации теплового потока τT , здесь
[W ] = Вт / м 3 , [ W / C v ρ ] = K / c , [ a ] = м 2 / c , [λ] = Вт / мK .
Справедливость данного уравнения теплопроводности также
можно доказать в рамках термодинамики неравновесных процессов.
T, K
ϑT
х
(4.6)
Прежде чем использовать полученное уравнение (4.6), обратимся
к уравнению теплопроводности для локально-неравновесных
систем.
67
4.2. Гиперболическое уравнение теплопроводности
с источником тепла
Рис.4.1. Фронт повышения температуры при отсутствии локального равновесия.
68
Термодинамика открытых систем
Термодинамика открытых систем
Однако, прежде чем это делать, отметим, что уравнение
теплопроводности гиперболического вида описывает два семейства характеристик x ± ϑT t = const . Это означает, что тепловой
сигнал (или высокочастотные тепловые возмущения) распространяются в локально-неравновесных условиях с конечной ско-
⎛
⎞⎛
⎞
⎜ 1 dT ⎟⎜ 1 d 2T ⎟ ∂t
∂T S + δS ∂ 2T
2
⎛
⎞
+
= T0 ⎜ λT ⎟⎜ −
−
+
•
⎝ 0 ⎠⎜ T 2 dx ⎟⎟⎜⎜ T 2 dtdx ⎟⎟ ∂S
∂t
∂t 2
⎝ 0
⎠⎝ 0
⎠
S
ростью ϑT = ( a / τT )1/ 2 (рис.4.1)[26].
Иными словами, уравнение (4.7) говорит о том, что изменения температуры на поверхности полубесконечного тела будут
распространяться в его объем с конечной скоростью ϑT , в отличие от параболического уравнения теплопроводности. Для уравнения (4.7) можно ввести понятие теплового пограничного слоя
δ T ~ ϑT τ T = (aτ T )1 / 2 − именно на такое расстояние распространится тепловое возмущение за характерное время τ T . На фронте
распространяющегося температурного возмущения терпят сильный разрыв не только температура и энтропия, но и свободная
•
••
энергия F, а также ее производные F, F . Это и свидетельствует, что для таких процессов принцип локального равновесия не
выполняется.
1. Термодинамическое обоснование гиперболического уравнения теплопроводности. При выводе гиперболического
уравнения будем также исходить из закона сохранения энергии
для неравновесных систем с источником (1.11). После дифференцирования по времени этого уравнения, имея в виду что
•
J q = Lqq X q − τT J q ,
получаем с учетом (3.3) дифференциальное уравнение сохранения энергии [18] в случае фиксированных потоков:
• •
∂X q
∂σ e
∂S ∂T
∂ 2T
= T0 J q
− T0 X q J q τT + T0
+S
,(4.8)
∂t
∂t
∂t ∂t
∂t 2
или −
69
+ T0
∂σ e ∂t .
∂t ∂S
Здесь второе слагаемое в правой части (4.8) перенесено в левую
часть и оно вошло в структуру второго члена в левой части. Локально-неравновесная энтропия равна S(t)=S+δS, где приращение δS находится из выражения
δS
•
• Jq
= T0 X q
••
τT =
λ ∂ 2T
τT .
2T0 ∂x 2
T
Таким образом, локально-неравновесная энтропия является
•
•
функцией параметров неравновесия X q , J q , или
λτ
S ( t ) = S eq + T ∇ 2T ,
2T0
(4.9)
здесь [ S ] = Дж / м 3 K . В результате после деления правой и
•
левой частей уравнения (4.8) на S получаем гиперболическое
уравнение теплопроводности (4.7), в котором время релаксации
определяется
как
характеристика изменения энтропии
•
τT = δS / S . В результате источник тепла как и в параболическом уравнении теплопроводности определен в явном виде:
⎛ ∂σ e ⎞
T 2 ⎛ ∂σ e ⎞
W
⎟ = 0 ⎜
⎟ ,
= T0 ⎜⎜
⎟
⎜
⎟
CV ρ
⎝ ∂S ⎠V CV ρ ⎝ ∂T ⎠V
или
⎛ ∂σ e ⎞
⎟ .
W = T02 ⎜⎜
⎟
⎝ ∂T ⎠V
В случае независимости источника от температуры из последнего выражения после интегрирования получаем равенство, связы70
Термодинамика открытых систем
Термодинамика открытых систем
вающее введенную нами величину σ e с интенсивностью внутренних источников тепла
ствующем градиенте температуры для уравнения теплопроводности равна
dF
= −T0 ( σ e + J q X q ) ,
dt
или
⎛
⎞
•
⎜W
⎟
λ
λ
dF
2
= −T0 ⎜
+
( ∇T ) −
∇T ⋅ ∇( T )τT ⎟ ,
dt
⎜ T0 T 2
⎟
T2
0
0
⎝
⎠
здесь температура в трехмерной задаче является функцией времени и координат T = T ( x , y , z , t ) , от координат также зависит
σe =
W
.
T0
4.3. Термодинамика процессов переноса тепла
при отсутствии локального равновесия
Знание пространственно распределенной температуры,
которая находится из гиперболического уравнения теплопроводности (4.7), позволяет для локально-неравновесных процессов
переноса массы вычислить скорость изменения энтропии, свободной энергии, производство энтропии, которые также зависят
от координат и времени. Материал, изложенный в этом параграфе, следует сравнить с изложенным в параграфе 3.2.
1. Скорость изменения энтропии. Скорость изменения
энтропии для гиперболического уравнения теплопроводности
(4.7) равна
•
W
dS
λ
(∇T )2 − λ ∇T∇( T )τT .(4.10)
= σe + J q X q =
+
T0 T 2
dt
T2
0
0
При этом производство энтропии является знакоположительной
функцией. Функция источников в такой задаче также знакоопределена – она
знакоположительна. В уравнении (4.10)
[ σ e ] = [ σ i ] = Дж / м 3 Kc .
Второй закон термодинамики применительно к уравнению теплопроводности (4.7) выражается неравенством
•
λ
(∇T )2 − λ ∇T∇( T )τT ≥ 0 .
σi = J q X q =
T2
T2
0
0
2. Скорость изменения свободной энергии. Скорость
изменения свободной энергии для локального объема при суще71
•
•
скорость изменение свободной энергии F = F ( x , y , z , t ) .
3.
Теорема
Пригожина.
Производство
энтропии
•
( σi = J q X q ,
J q = Lqq X q − τT J q ) при постоянной мощности
теплового источника ( W = const ) стремится убывать и принимает минимальное положительное значение в стационарном состоянии в соответствии с термодинамическим уравнением
•
1 ∂W
1 ∂2F
dσ i
=−
−
,
[ F ] = Вт / м 3 .
dt
T0 ∂t T0 ∂t 2
4. Функция Релея (мера рассеивания полной энергии).
При теплопроводности для уравнения (1.21)
dΛ
= −2Φ , Λ = ΛF + Λ e ,
(3.8)
dt
функция Релея (1.22) примет вид
•
T
λ
(∇T )2 − λ J q ∇T ⋅ τT .
Φ = 0 Jq Xq =
2
2T0
2T
0
Здесь Λe термодинамический потенциал внутренних источ•
•
ников Tσ e ≡ Λ e , Λ e = W а ΛF = F − F0 - термодинамический
потенциал (свободная энергия) неравновесного состояния.
72
Термодинамика открытых систем
Термодинамика открытых систем
4. Вариационный принцип. Несложно показать,
что уравнение (3.8), на котором по сути и основан вывод
уравнения теплопроводности, тождественно некоторому
термодинамическому вариационному принципу
λτ T 2
τ a
∇ T ,
F ( t ) = F0 − T ∇ 2T .
2T0
2T0
Это и означает, что при высоких температурах все равновесные
системы должны быть упорядочены меньше, чем при низких,
свободная энергия принимает при этом максимальное значение.
6. Температура для локально-неравновесных состояний. Принимая во внимание, что локально-равновесная темпера-
⎛•
⎞
δ⎜⎜ Λ + 2Φ ⎟⎟ = 0 .
⎝
⎠ Jq
5. Энтропия,
свободная энергия для локальнонеравновесных состояний. Как ведет себя свободная энергия
для описываемых локалъно-неравновесных состояний с потоками тепла? Она равна в соответствии с (4.9)
τ a
F(t) = U 0 − T0 S ( t ) = F0 − T ∇ 2T .
2T0
Для процессов, связанных с понижением температуры
•
( T < 0 ), из уравнения теплопроводности (4.7) в самой простой
задаче, когда a∇ 2T >> W/C v ρ , τT / ∆t << 1 следует неравенство
a∇ 2T < 0 . Поэтому для таких локально-неравновесных процессов энтропия меньше, а свободная энергия F(t) = U 0 − Т 0 S(t)
больше, чем для локально-равновесных:
λτ
τ a
S ( t ) = S eq − T ∇ 2T ,
F ( t ) = F0 + T ∇ 2T ;
2T0
2T0
F0 = U 0 −T 0S 0 .
Это и означает, что при низких температурах все равновесные
системы должны быть так или иначе упорядочены, а свободная
энергия для них принимает минимальное значение.
Для процессов, связанных с повышением температуры
•
( T > 0 ) из уравнения теплопроводности для выше указанных
условий следует неравенство a∇ 2T > 0 . Поэтому для таких локально-неравновесных процессов энтропия больше, а свободная
энергия F(t) = U 0 − Т 0 S(t) меньше, чем для локальноравновесных:
73
S ( t ) = S eq +
тура T
(
определяется из соотношения T0−1 = ∂S eq / ∂U
)V ,
ло-
кально-неравновесная температура θ может быть найдена из из
(4.9) дифференцированием S(t) по U:
1 1 τT a 2
∇ T.
=
+
(4.11)
θ T0 2T02
Для процессов, связанных с высокоинтенсивным понижением температуры из уравнения теплопроводности следует
неравенство a∇ 2T < 0 , в результате получаем, что локальнонеравновесное значение температуры θ<T, т.е. меньше чем локально-равновесное:
•
T0
, T < 0.
θ=
τ a
1 + T ∇ 2T
2T0
Для процессов, связанных с высокоинтенсивным повышением температуры из уравнения теплопроводности следует неравенство a∇ 2T > 0 , в результате получаем, что локальнонеравновесное значение температуры θ>T, т.е. больше чем локально-равновесное:
•
T0
, T > 0.
θ=
τ a
1 − T ∇ 2T
2T0
Следует подчеркнуть [25], что, строго говоря, в уравнении для
потока тепла (4.1)
должен стоять градиент локальнонеравновесной температуры ∇θ , а не ∇T . Обычно в практиче74
Термодинамика открытых систем
Термодинамика открытых систем
ских ситуациях разница между θ и T невелика. Однако с концептуальной точки зрения появление ∇θ в уравнении для теплового
потока означает существование локально-неравновесного стационарного состояния q = −λ∇θ , которое может существенно
отличаться от локально-равновесного стационарного состояния
q = − λ ∇T .
На рис.4.2.представлено отношение температуры θ к равновесной при высокоинтенсивных процессах нагрева и охлаждения для фиксированного значения отношения параметра τ T к
T0.
волновые свойства процессов теплопереноса при низких температурах – распространение тепловой волны с конечной скоростью [25], отражение тепловой волны от теплоизолированной
границы, а при падении на границу раздела двух сред частичное
отражение и частичное прохождение в другую среду; интерференция тепловой волны. Описание процессов горения, плавления, кристаллизации и др. также невозможно без привлечения
этих представлений.
1.4
•
T >0
1.2
θ/T
1
•
T <0
0.8
0
4
2 .10
4 .10
4
Задачи к главе 4
Задача 4.1. Считая уравнения (4.5) нестационарными
уравнениям переноса в локально неравновесных системах сформулируйте и докажите для них теорему 1 для устойчивых по Ляпунову процессов.
Задача 4.2. Определить производство энтропии и скорость изменения энтропии для локально неравновесных процессов, описываемых гиперболическим уравнением с нелинейным
тепловым источником
∂ 2T
∂T
+ τ T 2 = a∇ 2 T + β T − α T 3 ,
∂t
∂t
a ∇ 2T
K/c
Рис.4.2. Отношение локально-неравновесной температуры к равновесной при высокоинтенсивных процессах нагрева и охлаждения при τT / T0 = 1.25 ⋅ 10 −5 .
Отметим, что уравнение теплопроводности гиперболического типа сочетает в себе свойства как параболического уравнения теплопроводности, описывающего чисто диссипативный
способ передачи энергии, так и волнового уравнения (вторая
производная по времени), описывающего распространение незатухающих волн. Это объясняет экспериментально наблюдаемые
75
76
Термодинамика открытых систем
Термодинамика открытых систем
Глава 5. ТЕРМОДИНАМИКА
ХАОТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
4. Непрерывная зависимость спектральной плотности мощности пульсаций от частоты в конечном диапазоне частот.
5. Специфический характер реакции системы на малое изменение параметров и на внешнее воздействие сигналом малой амплитуды.
6. Конечная или бесконечная последовательность бифуркаций, наблюдаемая при вариации некоторого управляющего
параметра системы, в результате которых топологическая
структура фазовых траекторий претерпевает ряд (конечный
или бесконечный) изменений, завершающихся рождением
странного аттрактора.
Анализ необратимых процессов будет неполным без рассмотрения мелко- и крупномасштабных внутренних флуктуаций, которые всегда присутствуют в реальных системах. При наличии
локального неравновесия такие флуктуации могут усиливаться и
переводить нелинейную систему в новое стационарное состояние, соответствующее новой структуре. Речь по сути идет о неравновесных фазовых переходах в условиях отсутствия локального равновесия. Это означает, что критерий эволюции системы,
устанавливающий направление движения начинает зависеть от
флуктуаций, а они не могут не отражать присущие системе нелинейные свойства [15]. Поэтому введение в правую часть уравнений типа (2.5), (2.6) источника случайного шума и изучение получаемых следствий при численных расчетах является малоперспективным, так как сразу возникают вопросы по характеристикам этого шума, которые неизвестны. Можно высказать утверждение, что флуктуации должны содержать сами нелинейные
уравнения, которые получены выше, но решения указанных
уравнений их не содержат. Поэтому рассмотрим некоторые полезные нелинейные модели, основанные на последних, которые
приводят к флуктуационным (хаотическим) режимам. Однако
вначале сделаем переход от релаксационных уравнений термодинамики к уравнениям второго порядка для параметра порядка,
которые возникают в связи релаксацией термодинамических сил
и потоков.
Цель этой главы – показать возможность возникновения детерминированного хаоса в термодинамических системах. Под
78
Классическая механика лишила иллюзии, что можно построить вечный двигатель первого рода, термодинамика - второго, квантовая механика - что мы можем одновременно сколь
угодно точно измерять координату микрочастицы и ее импульс,
теория относительности - что удастся передавать информацию в
вакууме со сверхсветовой скоростью [37]. Сегодня нелинейная
динамика развеяла иллюзию глобальной предсказуемости: мы не
можем предсказать, начиная с какого-то горизонта прогноза,
поведение многих достаточно простых систем.
В свое время работа Лоренца, в которой пожалуй впервые
описано возникновение детерминированного хаоса, была опубликована в метеорологическом журнале, но в течение 10 лет она
не была замечена. Метеорологи сегодня полагают, что горизонт
прогноза для погоды не превышает трех недель. Другими словами, как бы точно не измерялиcь параметры атмосферы, предсказать погоду с помощью имеющихся приборов через три недели в
данном месте, вообще говоря, невозможно. Горизонт прогноза
для состояния океана эксперты оценивают в месяц.
Сейчас многие специалисты по физике Солнца предполагают, что аналогичная ситуация имеет место с Солнцем. Например, известно такое явление, как минимум Маундера [37], когда
в течение почти 70 лет всплесков солнечной активности не было.
И возникает вопрос, можем ли мы предсказать следующий аналогичный минимум? Все это же относится к преблеме глобального потепления или похолодания.
В нелинейной динамике обычно выделяют следующие
основные характеристики хаотических движений, которые могут
рассматриваться как диагностические [27]:
1. Сложный непериодический характер временной эволюции
динамических переменных.
2. Экспоненциальный характер разбегания близких по начальным данным траекторий на аттракторе.
3. Диссипативный характер протекающих процессов, который говорит о сжатии фазового объема.
77
Термодинамика открытых систем
Термодинамика открытых систем
детерминированным хаосом будем понимать хаос, возникающий
в системе нелинейных дифференциальных уравнений, число которых не менее трех. Хаос возникает при некоторых условиях,
которые следует определить.
5.1. Переход от релаксационных уравнений локальнонеравновесных систем к уравнениям второго порядка
Для локально-неравновесных систем, в которых необходимо учитывать релаксацию скорости изменения энтропии (4.6)
следует решать совместно систему двух динамических уравнений для параметра порядка η(t) η = x* − x*0 и приведенной скорости изменения энтропии G*(t+τr). Последняя является знакопеременной потенциальной функцией и для нее справедливо
градиентное уравнение
dη
∂G *
,
=−
dt
∂η
(5.1)
dG * 1 4 1 * 2
= η + a η + b*η ,
(5.2)
dt
4
2
здесь τr≡τr/t0 − время релаксации скорости изменения энтропии, или время релаксации потока одного из самых длительных
G* + τr
неравновесных процессов. Параметр порядка ηсвязан с отклонением термодинамического потока x=Ji (или силы Xi) от среднего
значения x0 в приведенном виде
x
x
η=
− 0 ,
xc x c
здесь xс=Jiс – некоторый масштаб потока. В системе уравнений
(5.1)-(5.2) уже два параметра порядка η(t) и G* ( t ) .
Дифференцируя (5.2) по η и подставляя полученное выражение в (5.1) получаем дифференциальное уравнение второго
порядка для локально-неравновесных систем
∂η
∂ 2η
+ τ r 2 = f (η, t ) ,
∂t
∂t
79
f (η, t ) = −
∂G *
= −(η 3 + a * η + b * ) ,
∂η
(5.3)
где f − обобщенная сила двухямного потенциала G* [19]. Член
с τr можно не учитывать когда время релаксации скорости изменения энтропии существенно меньше времени действия внешних
сил τr /∆t<<1. Термодинамические уравнения (5.1)-(5.3) характеризуют локально-неравновесные процессы. Следует обратить
внимание на то, что в нелинейном уравнении (5.3) сила f, параo
oo
метр порядка η, скорость его изменения η и член τ r η определены в один и тот же момент времени t.
Можно рассмотреть частный случай, когда внешняя сила
H* изменяется по гармоническому закону. Это означает, что
управляющие параметры в (5.3) можно представить в виде
b* = − H * + H *s = − H *0 cosωt ,
H s* = 3x 0* − 2 x 0*3 , a * = −3( x0*2 − 1) ;
(5.4)
здесь ω – циклическая частота изменения H*; при t =0
H 0* = H * − H s* . Наличие в (5.3) времени релаксации и переход к
ДУ второго порядка является необходимым, но недостаточным
условием возникновения хаоса.
5.2. Хаос при внешних гармонических
воздействиях в условиях запаздывания
Если следовать [28, 29], то в реальных системах следует
учитывать также последействие. Если
внешнее воздействие
представлено в момент времени t−τ, т.е. обобщенная сила
f = −∂G* / dη задана при последействии в виде f (t − τ) . При
o
oo
этом диссипативный η( t ) и инерционный τ r η( t ) члены определены в момент времени t. В результате приходим к уравнению
для параметра порядка η с запаздыванием:
80
Термодинамика открытых систем
Термодинамика открытых систем
∂η
∂ 2η
+ τ r 2 = f (t − τ) ,
∂t
∂t
(5.5)
здесь τ − время последействия. Моделирование последействия в
самом простом случае подразумевает разложение силы f(t−τ) в
ряд; ограничиваясь двумя слагаемыми представим
⎛ ∂f (t ) dη ∂f ⎞
f (t − τ) ≅ f (t ) − τ⎜⎜
+ ⎟⎟ ,
⎝ ∂η dt ∂t ⎠
где
f (t ) = −(η3 + a * η) + H 0* cos ωt .
(5.6)
В системе уравнений (5.1), (5.2) и (5.6) уже три параметра
порядка η(t), G* ( t ) и f(t−τ). В результате вместо уравнения
(5.3) получаем для локально-неравновесных систем с запаздыванием каноническое однородное уравнение второго порядка, содержащее время ретардации (запаздывания), в котором:
oo
o
3
*
τ r η+ Γ(t ) η+ η + a η =
H 0`*
cos ωt ,
(5.7)
где декремент затухания и амплитуда внешней силы равны соответственно
Γ(t ) = 1 − τ(3η 2 + a * ) >0,
*
H 0`* = H0 (1 + τωtg (ωt )) ;
метров в уравнении имеет место как гомо− так и гетерофазный
хаос, реализующийся по типу странного аттрактора. В такой нелинейной термодинамической системе параметр порядка “мечется” между двумя симметричными стационарными состояниями (фазами)
η+ = − a * ,
оба из которых являются неустойчивыми. Подставляя хаотические решения в выражение для скорости изменения энтропии G*
получаем для этой функции хаотические значения (при a*<0,
рис.5.2).
2
2
Z n,1
Y0
0
η
0
− Y0
− 2
2
0
50
энтропии (определяется наибольшим временем релаксации терΓ( t )
являмодинамического потока). Переменный параметр γ =
τr
ется параметром диссипации. Численные решения нелинейного
уравнения для η (5.7), которое представлялось системой трех
нелинейных дифференциальных уравнений, показывают на наличие в широкой области значений управляющих параметров не
только регулярных, но и хаотических решений (рис.5.1, рис.5.2).
Как видно из рисунков при некоторых значениях пара81
100
0
150
t( n)
t
0
2
а
200
200
2
η
0
здесь τ = τ / t 0 − приведенное время ретардации (запаздывания);
τ r = τ r / t 0 − приведенное время релаксации скорости изменения
η− = − − a * ,
б
2
2
o
η
Рис.5.1. Моделирование гомофазных и гетерофазных
флуктуаций внутренней термодинамической силы (а), фазовый
портрет (б). а*=−1.5, ω = 2.6 , τ = 0.216 , η(0)=0.3, b0*=1.8. Фазовый портрет соответствует двум аттракторам.
Хаотическую динамику решений уравнения (5.7) можно
представить как хаотические колебания в одной из потенциаль82
Термодинамика открытых систем
Термодинамика открытых систем
ных ям с перебросом время от времени в другую яму благодаря
периодической внешней силе.
Описываемый хаос в термодинамической системе является детерминированным, т.к. решаемое численными методами
уравнение не содержит источников шума; он обусловлен нелинейными особенностями уравнения, проявляемых при периодическом воздействии на систему. Хаос означает наличие состояние беспорядка и нерегулярности. Для таких нелинейных систем
динамические законы однозначно определяют эволюцию во времени состояния системы при известной предыстории.
1
G*
G*
а
0
1
1
б
0
2
η
0
1
0
50
5.3. Сжатие фазового объема. Диссипативность
локально-неравновесной термодинамической системы
Напомним, что если система частиц описывается уравнениями Гамильтона, то при движении частиц фазовый объем остается неизменным. Диссипативные системы обладают той особенностью, что при их движении фазовый объем сжимается.
Причем он сжимается к аттрактору более низкой размерности,
чем исходное пространство [27, 30]. Покажем, что рассматриваемая нами термодинамическая система, описываемая уравнением
(5.7), является диссипативной. Для этого представим ДУ для
локально-неравновесной среды в виде автономной системы трех
дифференциальных уравнений
⎧o
⎪X = Y ,
⎪⎪ o
1
Γ( X )Y − H 0`* cos Z + ( X 3 + a * X ) ,
⎨Y = −
τ
r
⎪
⎪o
⎪⎩Z = ω,
(
t
0
где
o
t
(5.8)
∂η
, Γ( X ) = 1 − τ ⋅ (3 X 2 + a * ) ;
∂t
H 0`* = H 0* (1 + τω ⋅ tgZ ) .
X = η, X =
50
в
)
2
0
η
Рис.5.2. Хаотическая динамика скорости изменения энтропии G* (а,б) и параметра порядка η (в) (см. условия рис.2.2).
Положительные значения G* соответствуют устойчивым состояниям по Ляпунову, отрицательные – структурной устойчивости.
Эта система уравнений имеет три степени свободы. Поверхность
S, ограничивающая произвольно выбранный в фазовом пространстве {X,Y,Z} фазовый объем V, эволюционизирует так, что
каждая ее точка движется по траектории, определяемой системой
уравнений (5.8). Отсюда по теореме о дивергенции
o
o
⎞
⎛ o
dV
⎜ ∂ X ∂Y ∂ Z ⎟
dXdYdZ ,
= ∫⎜
+
+
dt V ⎜ ∂X ∂Y ∂Z ⎟⎟
⎠
⎝
или
83
84
Термодинамика открытых систем
Термодинамика открытых систем
dV
Γ( X )
1
= −∫
dXdYdZ = − 1 − τ ⋅ ( X 2 + a * ) V ,
dt
τr
τr
V
(
)
Γ( X )
является параметром диссипаτr
ции. Последнее и означает, что элементарный фазовый объем
такой диссипативной системы в условиях локального неравновесия сжимается экспоненциально во времени dV / dt < 0 :
⎛ t
⎞
V(t) = V(0)exp⎜⎜ - ( 1 − τ ⋅ ( X 2 + a* ))⎟⎟ ; τ>0, τr>0, a*<0.
⎝ τr
⎠
Переменный параметр γ =
Система уравнений Лоренца. В качестве аналогичной
диссипативной системы можно рассмотреть систему уравнений
Лоренца
•
X = −σX + σY ,
•
Y = − XZ + rX − Y ,
•
Z = XY − bZ ,
для которой фазовый объем сжимается во времени:
dV
= −(σ + 1 + b )V < 0 , (σ > 0 ,b > 0 ) .
dt
Если ввести новую переменную z = ( u + x 2 ) / 2σ , то легко показать, что система уравнений
••
•
x + ( σ + 1 ) x − σ( r − 1 )x +
•
x 3 xu
+
= 0,
2
2
u = −bu + ( 2σ − b )x 2
эквивалентна системе уравнений Лоренца. Будем предполагать
что u=const. Тогда уравнение второго порядка примет вид
••
•
∂U
,
x+ γ x = −
∂x
где γ = σ + 1 − параметр диссипации. Потенциальная функция для
такой задачи имеет вид симметричного двухямного потенциала:
85
x 4 ( σ( r − 1 ) − u / 2 ) x 2
,
−
8
2
если коэффициент при квадратичном члене положителен
(см.рис.2.2а). Однако u не является параметром, а переменной.
Хаотическую динамику системы уравнений Лоренца можно
представить как хаотические колебания в одной
из потенциальных ям с перебросом время от времени в другую яму благодаря изменению величины u, и, соответственно, формы потенциала.
U( x ) =
5.4. Показатели Ляпунова
Наблюдаемое во времени хаотическое поведение возникает не из-за внешних источников шума (их нет в записанных
выше уравнениях), не из-за бесконечного числа степеней свободы (в системе уравнений их 3). Настоящая первопричина нергулярности определяется свойством нелинейных систем экспоненциально быстро разводить первоначально близкие траектории в
ограниченной области фазового пространства.
Как измерить хаос? Ответ тривиален − по показателям
Ляпунова. Хаос в детерминированных системах подразумевает
чувствительную зависимость от начальных условий. Это означает, что две траектории, близкие друг к другу в фазовом пространстве в некоторый начальный момент времени, экспоненциально
расходятся за малое в среднем время [31].
Такие системы в нелинейной динамике называются системами с перемешиванием, если с течением времени (tr) информация о начальных условиях в них полностью утрачивается. О
перемешивании мы судим по показателю Ляпунова, точнее по
наибольшему из них.
Как вычисляются показатели Ляпунова в наиболее простых задачах нелинейной динамики? Если в системе δη 0 − мера
начального расстояния между двумя исходными точками для
параметра порядка (переменной) η, то, спустя малое время, расстояние между траекториями η(t)/ и η(t)//, выходящими из этих
точек, становится равным
86
Термодинамика открытых систем
Термодинамика открытых систем
δη( t ) = δη0 exp( λt ) ,
где λ − показатель Ляпунова (рис.5.3).
δη(t)
t)0.011
δn,1
а
(5.9)
ми траекториями определяется величиной δη(t)= η/ − η// .
На рис. 5.3а представлены регулярные колебания δη(t)
(показатель Ляпунова λ<0), на рис. 5.3б − хаотические пульсации (λ>0). Детерминированный хаос имеет место вблизи двух
аттракторов. В этом случае время жизни детерминированной
траектории (tr) является ограниченным.
0.1
η(t)
0.01
1 .10
3
1 .10
4
1 .10
5
1 .10
6
1 .10
7
−8
10 1 .10 8
0
10
2.978
1
δη(t) 0.1
0.01
3
1 .10
4
.
δ n , 1 1 10 5
1 .10
6
D ( s ) 1 .10 7
.
1 10
8
1 .10 9
.
1 10
10
.
11
б − 1211 .10
10
7.788 ×10 1 .10 12
При этом расстояние между двумя расчетными соседни-
λ<0
2.5
2
Zηn n+1
+2,1
0
200
400
600
800
t 1000
t ( n) , s
1000
η(t)
1
а
0.5
0.5
1
0.5
1.5
2
Z n,1
2.5
2.5
ηn
2.5
2
tr
Z n + 30 , 1
0
500
1000
1500
t ( n) , s
0
ηn+30
2000
t
2200
Рис.5.3. Хаос и эволюция “расстояния” между двумя расчетными траекториями уравнения (5.7) при заданных отличающихся начальных условиях. Расстояние между двумя соседними
траекториями η(t)/
и η(t)// определялось величиной
δη(t)= η(t) / − η(t ) // ; a) δη0=8⋅10−3, λ=−0.018<0;
б) δη0=10−9,
λ=0.018>0. tr – характерное время, за которое система забывает
начальные условия.
87
1
б
0.5
0.5
1
0.5
1.5
Z n,1
n
η
2
2.5
2.5
Рис.5.4. Псевдофазовые портреты решений уравнения
(5.7) для ∆=1 (а) и ∆=30 (б).
Для системы можно указать область параметров, в ко88
Термодинамика открытых систем
торой решения ведут себя хаотически, это − область детерминированного хаоса λ>0. При λ>0 соответствующий режим является
локально неустойчивым и хаотическим; при λ=0 – нейтрально
устойчивым; при λ<0 режим является устойчивым и периодическим. Для хаотических состояний решения ДУ (5.7) являются
необратимыми, т.к. за время tr система полностью забывает начальные условия.
В углах рисунков находятся расчетные значения траекторий η(t)/.
О необратимости описываемых физических процессов
говорят и псевдофазовые портреты η n + ∆ = f (η n ) , представленные на рис.5.4. На них приводятся зависимости каждого последующего значения от предыдущего; с каждым шагом расчета n
зависимость становится более размытой, хотя по-прежнему детерминированной и детерминированной достаточно сложным
образом.
Таким образом, поведение термодинамической хаотической системы во времени оказывается сложным. Система объединяет в себе локальную неустойчивость – малые погрешности
начальных данных нарастают и близкие траектории расходятся, и
глобальную устойчивость, когда траектория не уходит из некоторой области фазового пространства.
5.5. Энтропия Колмогорова
Энтропия Колмогорова (Колмогоров, 1954) – важнейшая
характеристика хаотического движения в фазовом пространстве
произвольной размерности.
Вспомним, что термодинамическая энтропия S есть мера
беспорядка в данной системе. Простой пример системы, в которой S растет, − молекулы газа, которые вначале помещены в одну
половину куба и которым затем внезапно открывается возможность заполнить весь сосуд. Беспорядок в системе нарастает, так
как молекулы больше не отделены от другой половины куба.
Этот беспорядок связан с ростом нашего незнания о состоянии
системы (до того как была убрана перегородка, о расположении
89
Термодинамика открытых систем
молекул мы знали больше).
Более строго, энтропия S, определенная как
S ≈ − Pi ln Pi ,
∑
i
где {Pi} − вероятности для системы оказаться в состояниях {i},
есть мера информации, необходимая для определения местоположения системы в некотором состоянии i, т. е. S есть мера незнания о системе (Shanonn, 1949). Если при определениии S(t)
перейти от натурального логарифма к десятичному, то S будет
измеряться в бит.
Этот пример из статистичесчкой механики показывает,
что по существу беспорядок есть понятие из теории информации.
Г.Шустер [27] отмечает, что энтропию Колмогорова K0, показывающую “насколько динамическая система хаотична”, также
можно определить формулой Шенона, так что K0 пропорциональна скорости потери информации о состоянии динамической
системы с течением времени. Для одномерных отображений K0
является также и показателем Ляпунова. Итак, энтропия Колмогорова (метрическая энтропия) пропорциональна скорости потери информации о состоянии системы с течением времени и является мерой экспоненциальной скорости разбегания траекторий
динамической системы. Определение метрической энтропии
является необходимым элементом комплексного анализа на детерминированный хаос, она может быть использована в анализе
фазовых переходов в различных системах.
Время, за которое система забывает начальные условия. При определении информационной энтропии в виде S(t)=K0t
(t→∞) со сколь угодно большой точностью огрубления фазового
пространства µ→0 энтропия максимума не достигает. Анализ
существенно упрощается, если зафиксировать конечный порядок
огрубления фазового пространства µ0, тогда за время tr область
_
∆Γ=µ0 расширяется до предельного значения ∆ Γ = δη , последнее связано с размером описываемого аттрактора. В результате
время жизни фазовой траектории связано с метрической энтропией К0 = λ точной формулой:
90
Термодинамика открытых систем
Термодинамика открытых систем
1 δη
;
(5.10)
ln
K0 µ0
отметим что в формуле Г.М. Заславского предельное значение
5.6. Переход от непрерывных термодинамических
уравнений к дискретным (отображениям)
tr =
нормировано: δη = 1 [32]. На рис.5.3б расстояние между двумя
траекториями меньше этого значения.
Другими словами, точное предсказание состояний нелинейной системы возможно только на интервале времени tr, а на
временах, больших tr, возможны лишь статистические предсказания. Для одномерного отображения энтропия Колмогорова
равна положительным значениям показателя Ляпунова: K0=λ>0
[27].
Вычислив, таким образом K0, можно определить время
разбегания двух соседних траекторий за время tr≡tr/t0. При полной неустойчивости различие в траекториях растет со временем
экспоненциально. Для конкретно заданной термодинамической
системы с фазовыми переходами, таким образом, можно определить будет ли ее движение неустойчивым.
Небольшой сбой с таких траекторий приводит к практически непредсказуемому поведению фазовой траектории и анализ таких явлений является чрезвычайно важным, как мы видели
выше, для понимания необратимости, так как начальные условия
для физических систем задаются всегда с ограниченной точностью. Именно это и обуславливает невозможность долгосрочного
динамического прогноза состояния динамической системы. Энтропия Колмогорова (на самом деле производство энтропии
K0 = dS / dt >0) может служить своеобразным индикатором периодического (квазипериодического) поведения параметра порядка (K0=0), хаотического (K0>0) и случайного (K0→∞). Для
регулярного движения первоначально близкие точки остаются
близкими. Для хаотического движения первоначально близкие
точки расходятся экспоненциально. Для случайного движения
первоначально близкие точки распределяются с равной вероятностью по всем возможным интервалам.
91
Дискретный характер протекающих процессов возникает
при решении некоторых частных задач фазовых переходов в
межфазном слое в системе жидкость−пар, при химических реакциях [30,33] и др., т.е. там, где можно выделить прямой процесс и обратный ему. Системе дифференциальных уравнений,
но более высокого порядка (содержащую большее число переменных) можно сопоставить отображение – уравнение в дискретной форме для одной или двух переменных.
Метод дискретных отображений в последнее время широко используется при моделировании нелинейных систем. Первое отличие его от непрерывных моделей, в том числе и для теплофизических систем, состоит в том, что отслеживаются значения динамических переменных ηk (k=1,2,3,….m, m − номер временного шага) в определенные моменты времени, при этом интервалы времени ∆t = t k +1 − t k не малы и что происходит с переменными в промежуточные моменты времени не исследуется.
Второе отличие связано с тем, что вместо дифференциальных
уравнений используются рекурентные соотношения (отображения), связывающие значения переменных со значением их в момент времени tk . Например, при химических реакциях, так и при
процессах испарения и конденсации в пространственно протяженном межфазном слое реализуются промежуточные стадии,
когда за время ∆t процесс повторяется. В системе жидкость−пар
при испарении η k = ρ*kL − ρ*0 >0 – отклонение плотности жидкости ρ*kL от среднего значения ρ*0 в центре межфазного слоя в k−й
момент, ηk+1 − в следующий момент. При этом промежуточный
режим конденсации при феноменологическом описании в дискретной модели не фигурирует, однако в ДУ он должен учитыo
ваться, например различные знаки у η и η в уравнении (5.7)
описывают или процессы испарения, или процессы конденсации.
Может быть предложен следующий алгоритм перехода к
92
Термодинамика открытых систем
Термодинамика открытых систем
уравнениям, дающим при сохранении классических свойств фазовых переходов, их новые характеристики. Эти характеристики
связаны с появлением в системе детерминированного хаоса, который также можно рассматривать как основу построения моделей флуктуаций в термодинамических системах. Процесc вступления в химическую реакцию, связанный с конечной скоростью
диффузии, испарение молекул с малой поверхности и др. рассматриваются как мгновенные «удары», приводящие в такой
нелинейной системе к резкому изменению параметра порядка η
(плотности, концентрации и др.). При этом реализуются промежуточные стадии, когда процесс повторяется. Следуя [27,33], от
модели (5.7) перейдем к каноническому уравнению с δ−функцией Дирака в правой части
oo
Интегрируя полученное уравнение
oo
∞
o
η+ Γ(t ) η = f (η)∑ δ(t − kT0 )
(5.13)
k =0
на конечном временном интервале (k + 1)T0 − ε > t > kT0 − ε ,
где ε→0, переходим, следуя [29, 33], к двумерному отображению, когда сплайн для неравновесного коэффициента затухания
имеет вид Γk = 1 − τ( 3η k2 + a* ) .
η
0
∞
o
η+ η = f (η)∑ δ(t − kT0 ) ,
0
100
200
k =0
∂G *
f (η) = −
= −(η 3 + a * η + b * ) .
∂η
а
(5.11)
T0=1 τ=0.03
Здесь k=1,2…m, T0 = T0/ / t 0 . Динамическое уравнение (5.11),
таким образом, представлено в виде:
oo
t = kT0
o
η+ η = −
oo
t ≠ kT0
∂G *
,
∂η
λ
(5.12)
o
η+ η = 0 .
Далее рассмотрим класс задач с последействием, для которых переменная η определена для момента времени t, а амплитуда удара f для момента времени (t−τ), т.e. задачи со временем ретардации τ. Раскладывая в ряд Тейлора функцию f(t−τ) по
малому параметру τ и ограничиваясь двумя членами разложения,
получаем
перед
производной
η
по
времени
Γ( t ) = 1 + τ( df ( η ) / dη ) = 1 − τ( 3η 2 + a* ) , η = η( t ) . Будем полагать что Γ(t ) = Γk является кусочно-постоянной функцией, а
длительность ударов гораздо меньше времени между ними T0/ .
93
t
300
a*
b*
б
Рис.5.5. Хаотическая динамика параметра порядка (а) и
показатель Ляпунова λ (б) для термодинамической системы, описываемой отображением (5.14). Хаос имеет место при λ>0 (заштрихованные области (б)), T0=1, τ=0.03.
В результате получаем двумерное отображение
94
Термодинамика открытых систем
η k +1 = η k − T0
η 3k + a ∗ η k + b ∗
1 − τ ⋅ (3η 2k + a ∗ )
∗
;
∗
y k +1 = y k − (1 − T0 )(η + a η k + b ) .
3
k
Термодинамика открытых систем
(5.14)
(5.15)
Отношение τ/T0 определяет для отображения (5.14) различную степень неравновесия в рассматриваемой системе.
При уменьшении отношения τ/T0 характеристики итерируемого процесса приближаются к равновесным. Время стробирования ∆t может быть выбрано в виде ∆t=T0=1 ( t0 = T0/ ). В результате двумерное отображение (5.14), (5.15) становится одномерным и предстает в форме (5.14), что существенно облегчает нелинейный анализ рассматриваемой нелинейной задачи,
которая ранее сводилась к системе 3−х нелинейных дифференциальных уравнений.
Отображение (5.14) является по сути дискретным представлением уравнения Халатникова−Ландау, широко распространенного в теории фазовых переходов [18], на которое наложено условие последействия. Здесь оно дополнено также условием запаздывания. Отметим, что известные в нелинейной
динамике отображение Хенона и логистическое отображение
получены аналогичным образом, их вывод приведен в [27].
Уравнение эволюции в дискретной форме (5.14), дает не
только периодические, релаксационные, но и хаотические решения (см. Рис.5.5). Хаотические решения также имеют скорости
изменения энтропии, свободной энергии и других термодинамических характеристик. Поскольку связи между ними на термодинамическом уровне выявлены и они представлены в виде уравнений, то все эти термодинамические характеристики также
могут быть исследованы на хаос. Это означает, что мы имеем
удобный способ моделирования флуктуаций в нелинейных системах, обусловленных не случайными значениями, а детерминированными нелинейными особенностями самой локальнонеравновесной системы.
95
5.7. Бифуркационные диаграммы
Исследование хаоса подразумевает получение бифуркационных диаграмм и соответствующих им показателей Ляпунова
[27, 33]. Поэтому вернемся к рассмотрению отображения (5.14) и
его свойствам. Бифуркационная диаграмма, построение которой
является довольно интересным занятием, показывает зависимость решений уравнения (отображения) от тех или иных управляющих параметров. Диаграмма имеет вид вилки, от которого и
произошло слово “бифуркация” (от французского слова bifurkftion – раздвоение, ветвление).
Для описания перехода от циклического поведения переменной к хаотическому при изменении управляющих параметров
отображения были использованы бифуркационные диаграммы,
которые для переменной ηk могут быть построены от параметров a, T0, τ, b (для катастрофы сборки. Для рассматриваемой
катастрофы на рис.5.6а представлена бифуркационная диаграмма
и, соответствующие ей значения показателя Ляпунова λ (рис.
5.6б). Значения λ определялись по формуле
dϕ(η k )
1 N
,
η k +1 = ϕ(η k ) ,
λ = lim
∑ ln
dη k
N → ∞ N k =1
где N− число итераций отображения, функция ϕ(η k ) - правая
часть отображения (5.14), которую надо продифференцировать.
Непрерывное изменение управляющих параметров приводит к каскаду бифуркаций, которые проявляются в виде ветвлений на бифуркационной диаграмме и сопровождаются удвоением периода, связанным с субгармонической неустойчивостью.
Каждое из ветвлений соответствует потере устойчивости одной
из неподвижных точек и образованию двух устойчивых. При
этом система распадается на две новые фазы, которые соответствуют двум устойчивым точкам: x+ и x−. Теперь каждая последующая итерация переводит систему из одной фазы в другую.
Таким образом, аттрактор с периодом 1 сменяется аттрактором с
96
Термодинамика открытых систем
Термодинамика открытых систем
периодом 2 [27].
Выше критических значений τ∞≈0.266 и а∞≈−1.85 в описываемой системе начинается область так называемого детерминированного хаоса, где параметр порядка ведет себя хаотически.
Расчет всех точек бифуркаций ренормгрупповым методом, как
это выполнялось для логистического отображения [31], затруднен вследствие сложности полученного отображения. Из рис. 5.6
видно, что в области хаоса имеются участки с периодической
динамикой параметра порядка − окна детерминированности
(светлые полосы), соответствующие отрицательным показателям Ляпунова.
бражение (5.14) являются многопараметрическим; для таких
систем важно знать характер их поведения в зависимости сразу
от нескольких управляющих параметров. Этот вопрос является
также интересным с точки зрения управления хаосом − темы
популярной в последнее время. При наличии, например, плоской
или трехмерной области управляющих параметров границы между областями с различным поведением не сводятся к точкам
бифуркации, а представляют собой кривые или поверхности (см.
Рис.5.7).
Это область прогнозируемой динамики. В области хаотического движения (λ>0) имеющиеся пики, уходящие в область
отрицательного λ, соответствуют окнам детерминированного
поведения. Это тоже область прогнозируемой динамики, при
λ>0 время прогнозирования ограничено.
η+
ηk
τ=0.14 T0=0.35
η-
1
Ф1= −a
T=1
0
λ
Ф2=- −a
1
a
a∞
0.5
λ
τ
a1
C
A
0
-0.5
B
б
-1.5
2
1.5
1
0.5
a
0 a
Рис.5.6. Бифуркационная диаграмма (а) для переменной
ηk отображения сборки и его показатель Ляпунова (б) при
T=0.35, τ=0.14.
В отличие от логистического отображения, в котором
имеется всего один управляющий параметр, исследуемое ото97
C`
Рис. 5.7. Двухпараметрическая зависимость показателя
Ляпунова λ(τ, а) для отображения сборки при T0=1; в области
хаоса λ(τ, а)>0; A−область хаоса; B−область регулярного движения; CC`− граничная кривая перехода к хаосу.
Наглядное представление о таком поведении, а также о
сложной структуре областей хаоса и регулярного движения можно получить при помощи трехмерных диаграмм, отражающих
98
Термодинамика открытых систем
Термодинамика открытых систем
зависимость показателя Ляпунова от двух параметров (рис. 5.7).
В плоскости управляющих параметров всех трех диаграмм изображены некоторые контурные графики из линий равного уровня
для различных значений λ. Аномальные пики в области регулярного движения (λ<0) соответствуют различным режимам периодического движения, характеризуемых периодом, амплитудой и
т.д. Для каждого временного интервала коэффициент затухания
является кусочно-постоянной функцией, последнее соответствует пошаговым временным значениям статистических данных.
5.9а приведена бифуркационная диаграмма для переменной ηk
отображения сборки (5.14) и его показатель Ляпунова λ при постоянных остальных параметрах.
Γk
2
1
0
τ=0.02 T0=
a
1
1
λ
1
Γk
0.9
0.9
1.5
1
- 0.3
0
0.5
t=kh
t=kT0
20
0
-1.3
a
Рис.5.8. Бифуркационная диаграмма для коэффициента
затухания Гk отображения сборки.
На рис.5.8. приведена бифуркационная диаграмма для
нелинейного коэффициента затухания отображения сборки
(5.14): Γk = 1 − τ( 3 x k2 + a ) . Приведены также пошаговые его значения, установленные численными методами, что подтверждает
выполнимость двух условий, при которых решалась задача: зависимостью коэффициента затухания от времени и ее кусочнопостоянной характер, связанный с его нелинейной зависимостью
от ηk. Анализ бифуркационных явлений для отображения (5.14)
был бы неполным без анализа влияния управляющего параметра
b как на сами бифуркации, так и на показатель Ляпунова. На рис.
99
б
0.7
a=-1.3
0.95
0.85
τ=0.02 a= - 0.6 T 0=1
ηk
0.6
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
b
Рис. 5.9. Бифуркационная диаграмма (а) для переменной
ηk(b) отображения сборки и его показатель (б) Ляпунова λ(b) при
T0=1, τ=0.02; a=−0.6.
Как на бифуркационной диаграмме, так и нижней кривой
зафиксированы широкие окна детерминированного поведения.
Показатель Ляпунова для решений в окнах меньше нуля. Эти
полосы иллюстрируют фрактальную природу описываемых процессов, т.к. в каждом из окон бифуркационная диаграмма повторяется, хотя и в более уменьшенном виде. В точках бифуркаций
показатель Ляпунова принимает нулевые значения.
5.8. Хаос и необратимость
Получаемые в рамках нелинейной динамики результаты
не противоречат классической теории неравновесных процессов
100
Термодинамика открытых систем
Термодинамика открытых систем
(термодинамике необратимых процессов), дополняя последнюю
новыми возможностями, в том числе возможностью описания
флуктуаций в виде хаотических пульсаций, которые она не могла
учитывать, алгоритмами описания устойчивости по Ляпунову
равновесных и стационарных состояний и описать возникновение необратимости по времени. Для таких хаотических термодинамических систем могут быть построены бифуркационные диаграммы, рассчитаны показатели Ляпунова, определено время
необратимости Колмогорова.
Что очень важно, то это то что для хаотических состояний термодинамических систем может быть также как и в нелинейных задачах механики определена энтропия Колмогорова,
характеризующая скорость забывания системой (локальным
объемом) начальных условий. Такой подход устанавливает связь
между необратимостью по времени неравновесных термодинамических процессов и энтропией Колмогорова K0:
dS
S(t)=K0t,
K0 =
≥ 0.
dt
Являясь по существу производством энтропии, K0 характеризует меру экспоненциальной скорости разбегания траекторий термодинамической системы. Описываемые необратимые
термодинамические процессы определяются временем необратимости tr.
Отметим в заключении, что алгоритмы вычисления энтропии Колмогорова для конкретных задач теплофизики приводятся в статьях [28,29, 33]. Оказывается, что такому анализу поддаются процессы в межфазном слое, в котором имеют место
прямой и обратный ему нелинейные процессы – испарение и
конденсация [28,29], прямая и обратная реакции для химических
реакций [33]; отметим также процессы плавления и кристаллизации [30]. Особенно привлекательным выглядит применение этих
идей в сейсмологии.
При этом полученное уравнение (5.7) описывает фазовые
переходы I и II рода с хаотической динамикой параметра порядка, в том числе гомофазные и гетерофазные флуктуации параметра порядка, давления, температуры, а также конечное время
жизни фазовой траектории, метастабильные состояния, гистерезис. Подход позволяет соотнести такие понятия как взрывной
фазовый переход в двухкомпонентных термодинамических системах, хаос и нелинейные процессы, а также ответить на вопрос
− реализуется ли в нелинейных термодинамических системах
детерминированный хаос и как быстро теряется в них информация о начальных условиях. Рассмотрение же процессов в более
общем виде, которое выполнено в данном пособии, когда переменными являются термодинамические силы или потоки, является чрезвычайно важной задачей для теплофизики. При этом причинами нерегулярности и непредсказуемости является собственная нелинейная динамика термодинамической системы, а не
влияние шумов и внешних возмущений.
101
5.9. Примеры термодинамических
хаотических систем
Межфазный слой в системе жидкость-пар. Рассмотрим
тонкий слой жидкости и пара малого, но конечного объёма,
включающий границу раздела фаз. Изменение плотности единичной толщины такого слоя ρх=ρ во времени под действием
давления P, температуры T, которые считаются одинаковыми для
всего межфазного слоя, может быть представлено в виде однороднего нелинейного уравнения с полиномом третьей степени в
правой части [29]:
dρ
P
= − k1 ρ + k 2 ρ 2 − k 3 ρ 3 + k 4 ,
dt
T
где k i некоторые параметры задачи (i=1,…,4), определяющие в
общем случае непрерывное изменение плотности межфазного
слоя по толщине. Первоначально будем считать эти параметры
постоянными. Здесь используется полином третьей степени, так
как в качестве равновесных решений уравнения имеет место три
значения, что вполне достаточно для описания двух устойчивых
состояний (жидкость и пар) и одного неустойчивого. Задача решается при следующих граничных условиях для межфазного
слоя: x=0 ρ0=ρL; x=∆=2 l ρ∆=ρG..
102
Термодинамика открытых систем
Термодинамика открытых систем
В приводимой модели ρx - в общем случае сложная нелинейная функция расстояния х. В линеаризованном представлении
эту функцию можно принять линейной функцией расстояния x.
Отметим, что при ρx=ρ0, что имеет место в середине межфазного
слоя (x= l ), задача существенно упрощается. Параметр порядка
критической точки время жизни ламинарных фаз на порядки
больше (рис.5.10, кривая 1), чем вдали от нее (рис.5.10, кривые
2,3), что соответствует гигантским (по времени) флуктуациям,
наблюдаемым в экспериментах. Это явление вблизи критической
точки получило название критического замедления.
Хаотическая проводимость ионных каналов. Сегодня основными поставщиками новых концепций и базовых моделей
наряду с физикой, химией становятся биология, нейронаука,
экономика и др. Следует обратить особое внимание на биологию
и ее некоторые задачи, в частности задачи о проводимости ионных каналов, сокращении саркомеров и т.д. Для этого можно
использовать при описании электрической проводимости ионных
каналов для параметра порядка (отклонение канального тока от
равновесного значения) нелинейное ДУ второго порядка (5.7) с
запаздыванием и релаксацией при периодическом воздействии на
ток в канале [40].
Параметр порядка η связан при таком подходе с отклонением канального тока (термодинамического потока) Ji=i от среднего значения i0 в приведенном виде
i i
η= − 0 ,
ic i c
здесь xс=iс – некоторый масштаб потока.
Численные расчеты модельного уравнения (5.7) показывают
при наличии релаксации и последействия на хаотическую динамику параметра порядка и конформационного потенциала канального белка с положительными коэффициентами Ляпунова.
Путем масштабирования времени расчетные данные для
параметра порядка можно привести к соответствующим эксперименту временным интервалам. При этом время масштабирования t0≅2.5⋅10−4с соответствует времени конформационных переходов канального белка. В целом данная модель при выбранном
значении t0 удовлетворительно описывает экспериментально
наблюдаемую динамику тока (рис. 5.11б). При этом могут быть
построены бифуркационные диаграммы, показывающие зависимость проводимости от управляющих параметров, определены
спектры пульсаций тока, показатели Ляпунова и другие характе-
η = ρ* − ρ*0 в этом случае характеризует в феноменологической
модели отклонение приведенной плотности ρ* от среднего зна-
чения приведенной плотности ρ*0 . Такой подход приводит к отображению (5.14), которое при определенных условиях дает хаотические решения (см. рис.5.10).
В динамике как объема, так и давления также выделяются
турбулентные (область частых пульсаций) и ламинарные (область медленных пульсаций) временные фазы описываемого
нелинейного процесса.
3
2
1
0
50
100
150
t
Рис.5.10. “Гигантские”флуктуации в межфазном слое.
Результат компьютерного моделирования возникновения флуктуаций давления большой длительности вблизи критической
точки. (кривая 1, T*=0.9942994), эта кривая сравнивается качественно с кривой 2 (T*=0.9346414) и кривой 3 (T*=0.7291529); T0=1
[29].
Такой анализ становится возможным вплоть до критической точки фазового перехода второго рода, которая определяет
предельное двухфазное состояние как трижды вырожденную
критическую точку (η=a*=b*=0). При приближении к критической точке (T*→1) длительность ламинарных фаз возрастает.
Численные расчеты показали, что в очень малой окрестности
103
104
Термодинамика открытых систем
Термодинамика открытых систем
параметр порядка η (в)?
Задача 5.3. Найдите хаотические решения, приведенные
на рис. 5.3. и эволюцию “расстояния” между двумя расчетными
траекториями уравнения (5.7) при заданных отличающихся начальных условиях. Расстояние между двумя соседними траекто-
ристики полученных хаотических решений.
−2
10 с
(а)
i*
2
риями η(t)/ и η(t)// задайте величиной δη(t)= η(t) / − η(t ) // , оп-
0
0
0.075
i эксп пА
t,с
−2
10 с
0.15
(б)
3.5
0
0
t, c
0.1
Рис.5.11. а) Динамика тока одиночного ионного канала i*(t)
– решения уравнения (5.7); б) Экспериментальная запись активности Са2+-активируемого канала при [Cа2+]=10 мкмоль/л и потенциале V=20 мВ; данные [6].
При этом, в отличие от классических методов возможности описания проводимости каналов существенно возрастают.
Задачи к главе 5
Задача 5.1. Составьте алгоритм решения уравнения
(5.7), которое следует представить в виде системы трех нелинейных дифференциальных уравнений – автономной системы уравнений (5.8). Получите результаты, приведенные на рис. 5.1, или
близкие к ним. Проведите анализ статистический анализ гомофазных и гетерофазных флуктуаций внутренней термодинамической силы (а)(параметра порядка), фазовый портрет (б).
Задача 5.2. Используя решения уравнения (5.7) определите хаотическую динамику скорости изменения энтропии G*,
т.е. то, что представлено на рис. 5.2 (а,б)). Как ведет при этом
105
ределите tr – характерное время, за которое система забывает
начальные условия.
Задача 5.4. Научитесь строить псевдофазовые портреты
решений уравнения (5.7) для для любых произвольно заданных
∆; получите частные решения, приведеные на рис.5.4.
Задача 5.5. Постройте алгоритм получения хаотической
динамики параметра порядка и показателя Ляпунова λ для термодинамической системы, описываемой отображением (5.14),
который приводит к результату, приведенному на рис. 5.5.
Задача 5.6. Постройте бифуркационную диаграмму
η = η( a* ) для отображения
− 1.6 < a* < 0.1 .
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
сборки
(5.14)
в
интервале
ЛИТЕРАТУРА
Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов. М.: ИЛ, 1960. С.127
Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1973. С.511.
Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. М.: Мир,
1990. С.342.
Гиббс Дж. Термодинамика. Статистическая механика. М.:
Наука.1982. С.488.
Denbigh K.G. Note on Entropy, Disorder and Disorganization.
Brit. J. Sci. T. 40 ,1989, p. 323.
Климонтович Ю.Л. Введение в физику открытых систем.
Соровский образовательный журнал.N 8,1996. С. 109-116.
Леонтович М.Л. Введение в термодинамику. Статистическая физика. М.: Наука, 1983. C.416.
Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. 2
106
Термодинамика открытых систем
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
издание Л.-М., 1935. С.
Базаров И.П. Термодинамика. М.: Высшая школа,
1976.С.447
Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения.
М.: Наука,1987.
Быстрай Г.П. Метод функций Ляпунова в анализе открытых
термодинамических систем// Вестник кибернетики. N 4.
ИПС СО РАН 2005. С.122-137.
Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория
структуры, устойчивости и флуктуаций. М.: Мир, 1973.
С.279.
Семенченко В.К. Вступительная статья к книге Дьярмати
И. Неравновесная термодинамика. М.: Мир, 1974. С.301.
Журавлев В.А. Термодинамика необратимых процессов в
задачах и решениях. М.: Наука, 1979. С. 136.
Рубин А.Б. Биофизика. T.1. С.448. T.2. С. 467. М.: Книжный
дом «Университет», 1999.
Gyarmati I. Оn the basic principles of the scattering processes
and Its generalisation on the nonlinear promlems. Ann. D.
Phys.1969, V.7. P.353.
Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. М.: Мир.. 1984.
T.1. С. 350. T.2. С. 285.
Быстрай Г.П., Пивоваров Д.В. Неравновесные системы.
Свердловск: Изд-во Урал. госуни−та.1989. С.187.
Хакен Г. Информация и самоорганизация: макроскопический подход к сложным системам. М.: Мир, 1991. С.
Чернавский Д.С. Синергетика и информация. М.: Наука,
2001. С.245.
Кеплен С.Р., Эссиг Э. Биоэнергетика и линейная термодинамика необратимых процессов. М.: Мир, 1986. С. 382.
Быстрай Г.П. Методика оценки эффективности энергетических превращений в физических процессах, происходящих при воздействии на горные породы// Изв. вузов. Горный журнал.1988. N9. C.1.
Летников Ф.А. Синергетика геологических систем. Новосибирск: Наука,1992. С.228.
Murray J.D. Mathematical Biology. Springer-Verlag. Berlin.
107
Термодинамика открытых систем
Heidelberg. New York. London. Paris. Tokyo. 1984.
25. Соболев С.Л. Локально-неравновесные модели процессов
переноса // УФН. Т.167, N 10. C.1095
26. Лыков А.В. Тепломассообмен: (Справочник). М.: Энергия,
1978. С.480.
27. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир.
1988. C.240.
28. Быстрай Г.П., Студенок С.И., Иванова С.И. Детерминированная модель гомофазных и гетерофазных флуктуаций в
системе “жидкость−пар”// ТВТ. 2002. T.40. N 5. C. 779.
29. Быстрай Г.П., Студенок С.И., Иванова С.И. Детерминированный хаос при фазовых переходах первого рода в системе “жидкость−пар”// ТВТ. 2003. T.41. N 4. C.579.
30. Кольцова Э.М., Третьяков Ю.Д, Гордеев Л.С.и др. Нелинейная динамика и термодинамика необратимых процессов
в химии и химической технологии. М.: Химия. 2001. С.407.
31. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастичесчкая
динамика. М.: Мир. 1984. С.528.
32. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М.:
Наука, 1984. C.270
33. Быстрай Г.П. Детерминированный хаос при химических
реакциях в межфазном слое при высоких температурах//
ТВТ. 2003. T.41. N 6. C.1.
34. Лифщиц E.M.,Питаевский Л.П. Физическая кинетика. Т. 10.
М.: Наука. 1979.С. 527.
35. Гельфер Я.М. История и методология термодинамики и
статистической физики.Т.2. М.: Высшая школа. 1973.
36. Эткин В.А. Термокинетика (термодинамика неравновесных
процессов переноса и преобразования энергии): Учебное
пособие для вузов.- 2-е изд., - Тольятти, 1999.- 216 с.: илл.
17. Библиогр.: 180 назв.
37. Малинецкий Г.Г./ Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. Введение в нелинейную динамику. М.: Эдиториал УРСС, 2000.
38. Пригожин И.Р. От существующего к возникающему. М.:
Наука, 1985.
108
Термодинамика открытых систем
39. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы
нелинейной динамики. М.: УРСС, 2002.
40. Быстрай Г.П., Ворох А.С., Андреев С.В. Детерминированный хаос в динамике тока одиночных ионных каналов биомембран. Биофизика. 2005. Т.50, вып.5. с. 851-861.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1973. С.511.
Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. М.:
Мир, 1990. С.342.
Климонтович Ю.Л. Введение в физику открытых систем. Соровский образовательный журнал.N 8,1996. С. 109116.
Базаров И.П. Термодинамика. М.: Высшая школа,
1976.С.447
Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука,1987.
Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. М.: Мир, 1973.
С.279.
Журавлев В.А. Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях. М.: Наука, 1979. С. 136.
Рубин А.Б. Биофизика. T.1. С.448. T.2. С. 467. М.:
Книжный дом «Университет», 1999.
Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. М.: Мир..
1984. T.1. С. 350. T.2. С. 285.
Кеплен С.Р., Эссиг Э. Биоэнергетика и линейная термодинамика необратимых процессов. М.: Мир, 1986. С. 382.
Гельфер Я.М. История и методология термодинамики
и статистической физики.Т.2. М.: Высшая школа. 1973.
Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.:
Мир. 1988. C.240.
Кольцова Э.М., Третьяков Ю.Д, Гордеев Л.С.и др. Нелинейная динамика и термодинамика необратимых процессов в химии и химической технологии. М.: Химия. 2001.
С.407.
109
Термодинамика открытых систем
Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный
эксперимент. Введение в нелинейную динамику. М.: Эдиториал УРСС, 2000.
Решения задач главы 1
1.1. Оба выражения в правой части (1.11) являются неполными дифференциалами, так как производство энтропии представляет только часть прироста энтропии [12,15]. Однако производство энтропии при σe=0 можно преобразовать в полный дифференциал, следуя (1.12), так как выполняется:
di S
1 dΛ F
=−
.
(1.23)
dt
T dt σ =0
e
Для устойчивых по Ляпунову термодинамических систем
d S
dΛF
σi = i ≥ 0 ,
≤ 0.
dt
dt
Это и означает, что в реальных процессах свободная энергия
уменьшается, т.к. ΛF = F − F0 > 0 .Этот результат является следствием используемого принципа минимальности потенциала в
состоянии равновесия.
Из (1.23) получаем для полного дифференциала Пригожина−Гленсдорфа соотношение d i S = −( 1 / T )dF T ,V [12]. Этот
дифференциал непосредственно связан с изменением свободной
энергии Гельмогольца dF. Пригожин и Гленсдорф, не доказывая
этого соотношения, объясняли последнее тем, что все процессы
протекают в направлении уменьшения F до тех пор, пока свободная энергия не достигнет минимума в устойчивом равновесном состоянии. Наличие такой взаимосвязи между изменениями
термодинамических потенциалов для неравновесных состояний и
производством энтропии в литературе как правило не обсуждается, кроме единственного упоминания в [12] о взаимосвязи
свободной энергии и производства энтропии в виде указанного
выше дифференциала Пригожина−Гленсдорфа.
1.2. Производство энтропии в системе как это следует из
(1.11) равно:
110
Термодинамика открытых систем
Термодинамика открытых систем
d S
d ( ΛF + Λ e )
dΛ e
d S
;
≡T e ,
(1.24)
T i =−
dt
dt
dt
dt
где ΛF=F−F0 – термодинамический потенциал неравновесной
системы, а Λe − термодинамический потенциал внешней среды.
Последнее и является ответом на вопрос в данной задаче. Если
перейти к дифференциалам, то из (1.24) получаем результат,
приведенный А.Б. Рубиным [15]. Аналогичные соотношения
могут быть получены для других потенциалов.
1.3. После совершения одного оборота цикла через τ система
вновь вернется в первоначальное состояние, следовательно скорость продуцирования энтропии, или диссипации энергии согласно (1.24), в единицу времени равна определиться уравнением
(1.25). В этом случае изменение значения термодинамического
потенциала неравновесной системы через время τ0 будет равно
нулю ∆Λ*F⎢τ=0. В (1.25) τ0 − время совершения одного оборота
цикла (считается достаточно малым). Для внешней среды
∆Λe⎢τ≠0, так как именно за счет взаимодействия с внешней средой и совершается оборот цикла с производимой им за это время
работой. Это и доказывает что протекание неравновесных процессов в цикле сопровождается остаточными изменениями в
окружающей среде.
1.4. Уравнение (1.25) позволяет сравнивать между собой различные циклы в отношении их энергетической эффективности.
Действительно, если имеются две системы, для которых
1.6. Для доказательства выделим в структуре обратимых
потоков через границу, составляющую с теплом d0S/dt:
∆Λ*1 = ∆Λ*2 , то при τ1< τ2 следует что β1 f β 2 . Иными словами,
скорость диссипации энергии в первом цикле больше, чем во
втором, при том же значении совершенной работы. Этим самым
доказывается результат, полученный впервые Т. Мицунойей.
1.5. Для открытой системы энтропия может как увеличиваться так и уменьшаться со временем, так как при стремлении
F→F0 функция ΛF(t) в (1.12) уменьшается во времени dΛF(t)/dt<0,
а при удалении/отклонении от состояния равновесия dΛF(t)/dt>0.
Таким образом, уменьшение энтропии является неустойчивым по
Ляпунову процессом, т.е. оно не выполняется на бесконечном
интервале времени.
111
d e S d 0 S d e/ S
=
+
,
dt
dt
dt
d e/ S/dt − все остальные потоки через границу. В результате с
учетом уравнения (1.13) и неравенства (1.14) получаем:
⎛d S d/S⎞
d S
dS
dS dU 0
dV
T i =T
− T⎜ 0 + e ⎟ = T
−
−P
≥0
⎜ dt
⎟
dt
dt
dt
dt
dt
dt
⎝
⎠
при d e/ S / dt = 0 . Из этого неравенства следует неравенство
(1.26). Неравенства типа (1.26) обычно изучаются в учебных
курсах по равновесной термодинамике и приводятся без строгого
доказательства.
Решения задач главы 2
2.1. Представим коэффициент Lii в виде:
Lii ( X i ) = k1 − k 2 X i + k 3 X i2 .
Тогда из (2.11) следует (2.12), в котором
с=
L0ii
Lee
;
b1 =
Lie
Lii Lee
k 2 b1 X e
с1 =
Lie
,
2
;
c2 =
b2 =
c1
Lei
Lii Lee
;
.
3x*0
Здесь мы учли, что принцип симметрии коэффициентов
для нелинейных процессов не выполняется: Lie ≠ Lei , для упрощения предполагалось выполнение равенства X c ≈ X e . Здесь
также процесс с индексом “e” “приводит в движение” процесс “i”
и 0 ≤ φ ≤ 1 при условии, что знаки у величин сy и b1 и b2 различны. Расчеты по (2.12) показали, что кривая энергетических превращений для нелинейных процессов может лежать как выше так
и ниже кривой для линейных превращений (рис. 2.4б). Числен112
Термодинамика открытых систем
Термодинамика открытых систем
ные расчеты также показали, что наибольшие отклонения φ
имеют место в области максимума кривой в сторону превышения
эффективности линейных процессов при с1 ≈ с2 :
x*0 =
x1* + x*2 1
≈ ,
2
3
или
x1* + x*2 ≈
2
.
3
Решения задач главы 3
3.1. В уравнении (3.14) источник тепла равен
T02 ⎛ ∂σ e ⎞
W
⎜
⎟ = β T − αT 3 .
=
⎜
CV ρ CV ρ ⎝ ∂T ⎟⎠V
В случае линейного источника имеем α=0. После интегрирования последнего уравнения получаем, что в данной задаче функция источников σ e содержит слагаемые разных знаков, характеризующие стоки и источники тепла (рис.3.1):
C ρα ⎛ 1 4 β 2 ⎞
σe = − V
T ⎟.
⎜ T −
2α
⎠
T02 ⎝ 4
В результате скорость изменения энтропии (кинетический потенциал) в такой задаче является сложной функцией температуры:
αС ρ
βC ρ
dS
λ
(∇T )2 .
= σe + J q X q = − V T 4 + V T 2 +
2
2
2
dt
4T
2T
T
0
0
0
Производство энтропии в этой задаче равно
λ
(∇T )2 .
σi = J q X q =
2
T
0
Можно доказать, что теорема Пригожина для описываемого уравнения выполняется, т.к. в такой нелинейной системе
имеется одно стационарное состояние при σ e = const .
− σe
αСV ρ / T02
(
0
)
T 2 ⎛ ∂σ e ⎞
W
⎟ = β T − αT 3 .
= 0 ⎜⎜
CV ρ CV ρ ⎝ ∂T ⎟⎠V
После интегрирования последнего уравнения получаем, что в
данной задаче функция источников σ e содержит слагаемые разных знаков, характеризующие источники и стоки тепла соответственно:
C ρα ⎛ 1 4 β 2 ⎞
σe = − V
T ⎟.
⎜ T −
2α
⎠
T02 ⎝ 4
В результате в такой задаче скорость изменения энтропии
(кинетический потенциал) является сложной функцией температуры и содержит слагаемые разных знаков:
αСV ρ 4 β CV ρ 2
dS
= σe + J q X q = −
T +
T +
dt
4T02
2T02
+
•
λ
λ
(
∇T )2 −
∇T∇ TτT .
T02
T02
Характерно, что данный тип нелинейности не приводит к нарушению теоремы Пригожина при постоянных граничных условиях (σe=const).
Решения задач главы 5
114
113
0.2
0.4
Рис.3.1. Зависимость нелинейного источника тепла
для нелинейного уравнения теплопроводности (3.14) при
β /α = 1.2 .
Решения задач главы 4
4.2. В этом уравнении функция внешних источников равна
2
1
0
1
T
Термодинамика открытых систем
ТЕРМОДИНАМИКА ЛОКАЛЬНО-НЕРАВНОВЕСНЫХ СИСТЕМ
Алгоритм решения уравнения (2.18)
Термодинамика открытых систем
Быстрай Г.П.
Потенциальная функция задается значениями переменной. Несмотря на ее
хаотический характер эта функция прорисовывается хорошо
Задаются параметры уравнения
амплитуда внешней силы,
частота внешней силы,
время релаксации,
время последействия
Задаются
начальные
условия
b := 1.7
⎛ 0.3 ⎞
x := ⎜ 0.02
⎜
⎝ 0.01⎠
ω := 2
θ := 1
F
τ := 0.24
ω⋅ θ = 2
a := −1.5
1⎞
1
4
2
⋅( Z ) + ⎛⎜ ⎞ ⋅a⋅( Z )
n, 1
⎝ 4 ⎠ n, 1 ⎝ 2 ⎠
1
x
⎤
⎡
1
⎢
⎥
⎢ ⎡ −⎡ 1 − τ⋅ ⎡3⋅ x 2 + a⎤ ⎤ ⋅ x − ⎡ x 3 + a⋅ x ⎤ + b⋅ 1 + τ⋅ ω⋅ tan x ⋅ cos x ⎤ ⎥
( 2) ( 2)⎦ ⎥
D( t , x) := ⎢ ⎣ ⎣
0⎦
⎣ ( 0)
⎦ ⎦ 1 ⎣( 0)
⎢
⎥
θ
⎢
⎥
ω
⎣
⎦
= 0.3
Z
0, 2
Значение
переменной в
аттракторе
= 0.02
Z
0, 3
= 0.01
Количество
расчетных точек во
времени
Y0 := −a
)
1
0
1
Fn, 1
4
2
t( n) :=
0
2
0
1
4
0
500
Z n, 1
n := 0.. 10000
Переход к
реальному времени
2000⋅ n
1000
t( n)
0
10000
t( n)
Фазовый портрет
(переменная,скорость ее изменения)
Это странный аттрактор
Расчет: Динамика
переменной.Y0 значения в аттракторах
Fn, 1
Z := rkfixed( x, 0, 100, 10000, D)
Оператор решения
Проверка начальных условий
0, 1
:= ⎛⎜
Решение уравнения (системы автономных уравнений, их три)
(
Z
n, 1
t( n) 500
t( n)
Z n, 1
2
2
1000
0
4
2
0
2
4
Z n , 1 , Y0, − Y0
Y0
Z n, 1
0
0
− Y0
2
2
2
0
500
1000
1500
2000
Псевдофазовый портрет хаотических
пульсаций(зависимость последующих решений
от предыдущих), t=15 время задержки
0
t ( n)
Z n, 2
1
2000
Расчет: Динамика
скорости изменения
переменной.
1
2
Z n, 1
t ( n)
0
5
0
5
Z n, 2
115
Z n+15, 1
116
Термодинамика открытых систем
Термодинамика открытых систем
АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ БИФУРКАЦИОННОЙ ДИАГРАММЫ
ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЯ СБОРКИ
Алгоритм определения показателей Ляпунова
⎛ 0.3000000008⎞
y := ⎜
0.01
F ( τ , N , x0 , h , a ) :=
Задаются начальные условия, слабо
отличающиеся от заданных на странице 1
0.02
⎜
⎝
for k ∈ 0 .. N
x ← x0
⎠
0
Решается второе уравнение (полностью аналогичное приводимому на первой странице)
с начальными условиями, слабо отличающиеся от заданных на странице 1
x
k+ 1
⎤
⎡
1
⎢
⎥
⎢ ⎡ −⎡ 1 − τ⋅ ⎡3⋅ y 2 + a⎤ ⎤ ⋅ y − ⎡ y 3 + a⋅ y ⎤ + b⋅ 1 + τ⋅ ω⋅ tan y ⋅ cos y ⎤ ⎥
( 2) ( 2)⎦ ⎥
G( t , y ) := ⎢ ⎣ ⎣
0⎦
⎣ ( 0)
⎦ ⎦ 1 ⎣( 0)
⎢
⎥
θ
⎢
⎥
ω
⎣
⎦
y
(
n, 1
−M
n, 1
n := 0 .. 10000
s := 0 .. 1164
Задается показатель Ляпунова
λ := 0.018 D( s ) := δ0 , 1 ⋅ e
λ
Устанавливается шаг
изменения параметра
t ( n ) :=
2000⋅ n
Выбираются численные значения
других параметров и начальных условий
a := − 1.6 , − 1.598 .. 0.1
G( a ) := F ( 0.14 , 100 , 0.01 , 0.6 , a )
F ( a ) := F ( 0.14 , 100 , − 0.01 , 0.6 , a )
10000
Начальное расстояние между
двумя траекториями
λ⋅ s
Наклон пунктирной линии подбирается
значениями
λ
10
1
0.1
0.01
3
1 .10
4
δ n , 1 1 .10 5
1 .10
6
D( s) 1 .10 7
1 .10
8
1 .10 9
1 .10
10
1 .10
11
1 .10
12
1 .10
x
M := rkfixed( y , 0 , 100, 10000, G)
Находится расстояние между двумя
траекториями
δn , 1 := Z
)
3
⎡⎢
x ) + a⋅x
⎥⎤
(
k
k
← x − h⋅⎢
⎥
k
⎢ 1 − τ ⋅ ⎡3 ⋅ ( xk ) 2 + a⎤ ⎥
⎣
⎣
⎦⎦
Построение бифуркационной
диаграммы
− 10
δ0 , 1 = 8 × 10
1.5
G ( a ) 39
G ( a ) 40
Расчет времени
прогнозирования
10000
L :=
δn , 1⋅ ⎛⎜
∑
1 ⎞
⎝ 4180 ⎠
n = 5820
0
500
1000
1500
2000
L = 0.821
t ( n) , s
t := ⎛⎜
1⎞
⋅ ln⎛⎜
⎞
⎝ λ ⎠ ⎝ δ0 , 1 ⎠
L
n := 2000⋅
4
n = 1 × 10
1
F ( a ) 39
n := 1164⋅
F ( a ) 40
G ( a ) 21
G ( a ) 22
G ( a ) 23
10000
F ( a ) 21
2000
F ( a ) 22
10000
2000
0.5
0
0.5
1
F ( a ) 24
1.5
1.5
1
0.5
a
117
118
0
