2.1. Основная задача динамики. Понятие состояния в классической меха-нике. Первый закон Ньютона и понятие инерциальной системы отсчета. Принцип относительности Галилея.
advertisement
Лекция 2. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела 2.1. Основная задача динамики. Понятие состояния в классической механике. Первый закон Ньютона и понятие инерциальной системы отсчета. Принцип относительности Галилея Основной задачей динамики является прогнозирование движения системы тел (материальной точки), возникающего в результате воздействия на нее со стороны окружающих тел. Для этого необходимо определить состояние системы и ввести алгоритм, позволяющий рассчитывать последующие состояния, зная исходное состояние и характер внешних воздействий. Под состоянием системы понимается минимальное число независимых параметров, полностью характеризующих ее в рамках принятого модельного описания. Соответственно, в различных физических теориях состояние задается по-разному. В классической механике объект полностью детерминирован, а его состояние считается заданным, если заданы координаты всех составляющих его точек и их скорости в один и тот же момент времени. Тогда смену состояний системы можно представить следующей схемой (п – число тел, входящих в систему) Состояние 1 Определение системы (характер взаимодействия) ri 0 (t0 ) , i 0 (t0 ) (i=1,…,n) Состояние 2 ri (t ) , i (t ) (i=1,…,n) Уравнения динамики Иными словами, знания положений и скоростей точек системы достаточно для определения их ускорений в данный момент времени и решения кинематической задачи движения. Все элементы приведенной выше схемы строго увязаны друг с другом в рамках принятой физической доктрины. Например, понятие состояния в классической механике предполагает, что уравнение динамики позволяет найти ускорение непосредственно, т.е. оно (уравнение) не содержит производных радиуса-вектора точки по времени выше второй (см. второй закон Ньютона). То же можно сказать и о характере взаимодействий (законах действующих сил): силы (в механике Ньютона) должны выражаться через r и , но не должны содержать производных по времени более высоких порядков. Следо- вательно, структура уравнений движения должна быть такова, что ускорение i-ой точки в данный момент времени t определяется однозначно координатами и скоростями всех тел (точек), участвующих во взаимодействии, т.е. ai r Gi ( r , , t ) (i =1,…,п) , (1.70) где символы r , обозначают совокупности координат и скоростей всех тел, как входящих в состав системы, так и внешних по отношению к ней. Векторная функция Gi , зависящая как от свойств самой точки, так и от свойств окружающих тел, может быть принята в качестве математического определения системы. Это положение следует понимать в том смысле, что за дание функции, Gi например, в виде k er Gi 2 (ri r j ) определяет физическую ситуацию как гравитационное взаимодействие i-ой и j-ой точек, положение которых задано радиусами-векторами ri и r j , соот ветственно. Выяснение вида функции G i является основной задачей физического эксперимента. Достаточность и оправданность приведенных выше предположений также может быть подтверждена только экспериментально. Для макроскопических тел, движущихся так, что взаимодействие между ними можно считать мгновенным, теория Ньютона соответствует эксперименту с высокой точностью. Однако, при изменении взглядов на свойства описываемых объектов, характер взаимодействий, или геометрию пространства-времени смысл понятий и вид эволюционного уравнения могут радикально отличаться от ньютоновских аналогов. Здесь следует выделить два важных класса динамических теорий. К первому классу относятся теории, описывающие классические системы многих частиц и сплошные среды. В этих теориях не изменяются классические представления о пространстве-времени и взаимодействии, но вводятся характеристики усредненного описания ансамблей большого числа частиц. Соответственно, изменяется уравнение динамики и понятие состояния, но ньютонова динамика продолжает оставаться основой микроскопического описания каждой отдельной частицы системы. Теории, относящиеся ко второму типу, отличаются в аспекте фундаментальных принципов и имеют отношение к классической динамике только в смысле предельных переходов (для пограничных условий моделирования результаты должны совпадать). К подобным теориям относятся квантовая механика и релятивистская динамика. Положения этих теорий будут рассмотрены позднее, так как требуют пространного обсуждения. Базис динамической теории Ньютона (1686 г.) составляют три закона, образующие целостную систему взглядов и позволяющие решать практически любую задачу в рамках справедливости исходных принципов теории. Два закона (первый и третий, соответственно) представляют собой суждения об источниках и свойствах взаимодействий; еще один закон (второй) является выражением эволюционного уравнения. Обсуждение концепции Ньютона начнем с первого закона. В кинематике все СО, в принципе, равноправны и любая из них может быть принята в качестве основы описания по соображениям удобства. Напротив, в динамике Ньютона имеется выделенный класс СО, в которых законы имеют наиболее простую форму записи и наиболее простую интерпретацию. Первый закон Ньютона есть утверждение о существовании таких систем: существуют системы отсчета, называемые инерциальными (ИСО), в которых тело сохраняет свою скорость постоянной (в частности, равной нулю), если на него не действуют другие тела, или их действия скомпенсированы. Вводя понятие ИСО Ньютон предполагал, что являются справедливыми два взаимосвязанных утверждения: 1) в ИСО любое воздействия на данное тело имеет материальный источник (другое тело, которое можно явно указать). Например, камень падает вниз, так как его притягивает другое тело – Земля. 2) Тела, удаленные на большие расстояния от рассматриваемого тела, не оказывают на него существенного воздействия. Иными словами, если отсутствуют «близкие» источники воздействия, то в ИСО тело движется с постоянной скоростью (или покоится). В этом случае движение происходит по инерции (первый закон Ньютона называют законом инерции), а само это явление рассматривается как закон природы. Следовательно, в теории Ньютона для поддержания движения тела в ИСО не требуется оказывать на него воздействие (в отличие от теории Аристотеля), но при этом необходимо дать ответы на несколько принципиальных вопросов. Вопервых, как найти инерциальную систему отсчета среди прочих; во-вторых, какие особенности возникают при попытке описать движение в неинерциальной системе отсчета. Убежденность Ньютона в несущественности влияния удаленных объектов была основана на анализе известных ему законов действующих сил, в основном - фундаментального закона Всемирного тяготения. Действительно, ускорение тела в результате действия силы тяготения вблизи поверхности Земли в 2 6 СО, связанной с ней - a g ~ 10 м / с при радиусе Земли Rз ~ 6,4 10 м ; отно2 3 11 сительно Солнца аh ~ 6 10 м / с при радиусе земной орбиты Rh ~ 1,5 10 м . 16 До ближайшей звезды расстояние Rs ~ 1,5 10 м и ускорение, вызываемое ее действием на тело, по-видимому, пренебрежимо мало. Противоположной точки зрения придерживался Э. Мах (австрийский физик (1838-1916)), который считал, что не существует выделенных систем от- счета, и любое движение (в частности, инерционное) происходит под влиянием всех тел Вселенной. Малость силы взаимодействия тела с удаленной звездой, по его мнению, не является достаточным аргументом для пренебрежения влиянием всей Вселенной в целом, поскольку ее масса огромна. Точка зрения Маха с практической стороны менее удобна, так как требует учета действия удаленных источников, в отношении которых у нас нет надежных данных. В дальнейшем мы будем придерживаться концепции Ньютона, если не оговорено противное. Истинно инерциальной (Абсолютной) Ньютон считал СО, связанную с «неподвижными» удаленными звездами; установление других, «практических» ИСО – задача эксперимента. Следует еще раз подчеркнуть, что устранить воздействие окружающей Вселенной принципиально невозможно, поэтому при постановке опытов уже предполагается выполнимость указанных выше двух принципов. Практическая ИСО должна покоиться или двигаться равномерно и поступательно относительно Абсолютной ИСО. Следовательно, достаточно установить хоты бы одну систему отсчета, удовлетворяющую данному требованию, чтобы обрести сразу бесконечное множество подобных систем. В настоящее время известно, что «неподвижные» звезды - всего лишь иллюзия, возникшая от несовершенства астрономических приборов Ньютона и его современников, поэтому экспериментальный поиск ИСО, в общем, сводится к удовлетворению двум упомянутым выше принципам. Это означает, что необходимо скомпенсировать воздействия на тело со стороны ближайшего окружения и проверить, будет ли его скорость оставаться постоянной в данной СО. Важно также установить, не возникают ли в данной СО какие-либо эффекты или движения, которые невозможно объяснить на основании известных законов взаимодействия с обнаруженными материальными источниками. Очевидно, проблема экспериментального поиска ИСО оказывается достаточно сложной и связанной с классификацией сил взаимодействия: одни из них нужно отнести к «реальным», а другие – к «фиктивным», т.е. происходящим от неинерциальности данной СО. Из сказанного выше следует, что для уточнения вывода об инерциальности данной СО требуются все более тонкие измерения и учет многочисленных малых взаимодействий. В то же время, нельзя пренебрегать соображениями удобства практического использования найденных ИСО, поскольку важным является только достижение приемлемой точности результата. В результате мы приходим к иерархии практических СО, приближающимся по свойствам к инерциальным со все большей точностью. В качестве первого, и очень важного, приближения можно указать на геоцентрическую СО, связанную с поверхностью Земли (рис. 1.17). Имеющиеся ее ускорения связаны с суточным вращением и орбитальным движением Земли относительно удаленных звезд и составляют, соответственно, 3 102 м / с 2 и 6 103 м / с 2 . Принято считать, что именно эти ускорения обусловливают отклонение геоцентрической СО от инерциальности. Вторым, более точным приближением, является гелиоцентричеZ ская СО, связанная с Солнцем (рис.1.18). Ее ускорение обусловлено движением Солнца относительно О центра Галактики и составляет по Y 10 2 3 10 м / с оценкам ~ . Этот проX цесс можно продолжить и далее, однако практическая ценность подобРис. 1.17. Геоцентрическая СО ных шагов будет сомнительной. Отклонения от строгой инерциальности, которые имеются в любой практической ИСО, проявляются в виде эффектов, объяснить которые в рамках ИСО невозможно. К числу таких эффектов в геоцентрической СО относятся, например, поворот плоскости Z качаний маятника с течением вреY мени (рис. 1.19) и отклонение падающего без начальной скорости тела к востоку от вертикали. ОпиO сание этих явлений требует введения специальных сил инерции, коX торые всегда присутствуют в практических СО, но иногда пренебрежимо малы. В таких случаях мы буРис. 1.18. Гелиоцентрическая СО дем называть систему инерциальной, не смотря на имеющиеся отклонения. Особая роль ИСО в физике состоит еще и в том, что для них справедлив принцип относительности, установленный для механики Галилеем. Он соПлоскость качаний Рис. 1.19. Поворот плоскости качаний маятника относительно поверхности на северном полюсе Угловая скорость поворота плоскости качаний зависит от географической широты φ согласно формуле 0 sin , где 0 - угловая скорость суточного вращения Земли. На полюсе она составляет 2π радиан за 24 часа, что прямо следует из рис. 1.19. Данный эффект легко обнаружить, если колебания происходят достаточно долго стоит в утверждении, что в ИСО любые механические процессы в одинаковых условиях протекают совершенно одинаково. Соответственно, рассматривая результаты эксперимента, невозможно определить в какой именно ИСО они были получены. В последствии принцип относительности был распространен на все без исключения физические явления, а не только механические, и стал, по существу, постулатом физической теории. Приведенная выше формулировка принципа Галилея является качественным, общим утверждением, которое должно в механике иметь формальную реализацию. Здесь мы приходим к более узким по смыслу и более конкретным формулировкам принципа относительности. Узкие формулировки справедливы только в рамках принятой доктрины; в дальнейшем имеется в виду ньютонова механика. С математической точки зрения решение задачи движения сводится к решению эволюционного уравнения при определенных физических условиях. Одинаковый характер процессов в различных ИСО означает, что полученные в них решения оказываются одинаковыми. Для выполнения этого условия необходимо, чтобы основные уравнения не изменялись при переходе из одной ИСО в другую, т.е. при определенных преобразованиях пространственных и временных координат. Какие именно преобразования необходимо совершить зависит от взглядов на пространство и время. Взгляды Галилея в этом вопросе были близки к взглядам Ньютона; он считал, что при поступательном пере мещении ИСО К’ со скоростью 0 относительно ИСО К (см. рис.1.20) радиусы-векторы выделенной точки А связаны соотношением К О А К' r r0 r r r0 , r а время в обеих системах одинаково: t t . Если в начальный момент времени начала координат систем отсчета К и К’ совпадали, то 0 О' r0 0 t Рис. 1.20. Определение положения точки А в различных ИСО и мы получаем пространственно-временные соотношения r r 0 t ; (1.71) t t , (1.72) называемые преобразованиями Галилея. Следовательно, уравнения механики не должны изменять своего вида при совершении преобразований Галилея. Дифференцируя левую и правую части формулы (1.71) по времени получаем классический закон преобразования скоростей при переходе от одной ИСО к другой: 0 . (1.73) Повторное дифференцирование приводит к утверждению о равенстве ускорений во всех инерциальных системах отсчета – a a . (1.74)
