3 работа по численным методам

Министерство образования и науки Российской Федерации
ФГБОУ ВО
Ивановский государственный химико-технологический университет
Кафедра высшей и прикладной математики
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
По дисциплине: «Численные методы и программирование»
Выполнил: студент группы 2/31 МАХП
Шилов Н.М.
Проверил: доцент Кокурина Г.Н.
Иваново 2017
Лабораторная работа №3
Построение интерполяционных многочленов
Задание (Вариант 13)
Для функции y=√𝑥 + sin(𝑥) ∗ cos⁡(𝑥) заданной таблицей построить
интерполяционный многочлен. Оценить погрешность интерполирования.
Теоретическое введение
Интерполяционные формулы, формулы, дающие приближённое выражение
функции
при помощи интерполяции, то есть через интерполяционный
многочлен
степени , значения которого в заданных точках
совпадают со значениями
функции в этих
точках. Многочлен
определяется единственным образом, но в
зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами.
Интерполяционная формула Лагранжа
Ошибка, совершенная при замене функции
превышает по абсолютной величине
выражением
где — — максимум абсолютной величины
функции
на отрезке
.
-й производной
Интерполяционная формула Ньютона
Если точки
(здесь
расположены на равных расстояниях
, многочлен
можно записать так:
,а
— разности k-ого порядка:
, не
Это так называемая формула Ньютона для интерполирования вперёд; название
формулы указывает на то, что она содержит заданные значения ,
соответствующие узлам интерполяции, находящимся только вправо от . Эта
формула удобна при интерполировании функций для значений , близких к .
При интерполировании функций для значений , близких к , формулу
Ньютона целесообразно преобразовать, изменив начало отсчёта (см. ниже
формулы Стирлинга и Бесселя).
Формулу Ньютона можно записать и для неравноотстоящих узлов, прибегая
для этой цели к разделённым разностям. В отличие от формулы Лагранжа, где
каждый член зависит от всех узлов интерполяции, любой -й член формулы
Ньютона зависит от первых (от начала отсчёта) узлов и добавление новых
узлов вызывает лишь добавление новых членов формулы (в этом преимущество
формулы Ньютона).
Ход работы
y( x)  x  cos ( x)  sin( x)
y( 5.5)  1.845
y( 4)  2.495
y( 5)  1.964
y( 6)  2.181
y( 7)  3.141
L( x)  2.495
F

F

10
( x  5) ( x  6) ( x  7)
( 4  5) ( 4  6) ( 4  7)
y( 5)  y( 4)
54
F
20
11
F
 1.964
11

F
F
21
F
65
10

 2.181
( 5  4) ( 5  6) ( 5  7)
y( 6)  y( 5)
F
64
( x  4) ( x  6) ( x  7)
12
12

F
30
( x  4) ( x  5) ( x  6)
( 7  4) ( 7  5) ( 7  6)
76
11
75
( 6  4) ( 6  5) ( 6  7)
 3.141
y( 7)  y( 6)
F
F
( x  4) ( x  5) ( x  7)

21
F
20
74
N( x)  y( 4)  F ( x  4)  F ( x  4) ( x  5)  F ( x  4) ( x  5) ( x  6)
10
20
L( 4)  2.495
L( 5)  1.964
L( 6)  2.181
N( 4)  2.495
N( 5)  1.964
N( 6)  2.181
30
L( 7)  3.141
N( 7)  3.141
L( 5.5)  1.979
N( 5.5)  1.979
Находим погрешность интерполирования |𝑅𝑛(𝑥)|≤𝑀𝑛+1(𝑛+1)!|Π𝑛+1(𝑥)|
𝑀𝑛+1=max𝑎≤𝑥≤𝑏|𝑓(𝑛+1)(𝑥)|=max4≤𝑥≤7|−1516√𝑥7−8cos2𝑥|≈7,891118
Для n=3 max𝑎≤𝑥≤𝑏|Π𝑛+1(𝑥)|=ℎ4=1
|𝑅𝑛(𝑥)|≤𝑀𝑛+1(𝑛+1)!|Π𝑛+1(𝑥)|=7,8911184!=0,328797
3.5
3
y ( x)
L( x)
2.5
N( x)
2
1.5
4
5
6
7
x
Вывод: Интерполяция дала приближение функции с погрешностью 0.32.Из
графика мы видим что в узлах полиномы принимаю то же значение что и
функция но между узлами функции не совпадают, поэтому для повышения
точности необходимо повышение количества узлов интерполирования.
Математическая обработка экспериментальных данных
Цель работы: Для функции, заданной таблично, подобрать эмпирическую
зависимость и найти параметры приближающей функции методом наименьших
квадратов.
Задание: вариант 13
Найти параметры приближающей функции y=√𝑥 + sin(𝑥) ∗ cos⁡(𝑥) методом
наименьших квадратов.
Теоретическое введение
А. Нахождение параметров линейной функции
Пусть экспериментальные данные надо представить линейной функцией 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏.
Требуется подобрать такие значения a и b , для которых функция
𝑛
𝑛
2
𝑄(𝑎, 𝑏) = ∑(𝑦𝑖 − (𝑎𝑥𝑖 + 𝑏)) = ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖 − 𝑏)2 ⁡⁡⁡(1)
𝑖=1
𝑖=1
будет минимальной. Необходимые условия минимума функции (1) сводятся к системе
уравнений
𝑛
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝜕𝑄
= 2 ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖 − 𝑏)(−𝑥𝑖 ) = −2 ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖 − 𝑏)𝑥𝑖 = −2 ∑(𝑦𝑖 𝑥𝑖 − 𝑎𝑥𝑖2 − 𝑏𝑥𝑖 ) = 0
𝜕𝑎
𝜕𝑄
= 2 ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖 − 𝑏)(−1) = −2 ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖 − 𝑏) = 0
{ 𝜕𝑏
𝑖=1
𝑖=1
После преобразований получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными
𝑛
𝑛
𝑎 ∑ 𝑥𝑖2
𝑖=1
𝑛
𝑛
+ 𝑏 ∑ 𝑥𝑖 = ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
𝑎 ∑ 𝑥𝑖 + 𝑏𝑛 = ∑ 𝑦𝑖
{ 𝑖=1
𝑖=1
решая эту систему, находим искомые значения параметров a и b .
Б. нахождение параметров квадратичной функции.
Если аппроксимирующей функцией является квадратичная зависимость 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐,
то её параметры a, b, c находят из условия минимума функции
𝑛
𝑛
2
𝑄(𝑎, 𝑏) = ∑ (𝑦𝑖 − (𝑎𝑥𝑖2 + 𝑏𝑥𝑖 + 𝑐)) = ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖2 − 𝑏𝑥𝑖 − 𝑐)2 ⁡⁡⁡(2)
𝑖=1
𝑖=1
Условия минимума функции (2) сводятся к системе уравнений
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝜕𝑄
= 2 ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖2 − 𝑏𝑥𝑖 − 𝑐)(−𝑥𝑖2 ) = −2 ∑(𝑦𝑖 𝑥𝑖2 − 𝑎𝑥𝑖4 − 𝑏𝑥𝑖3 − 𝑐𝑥𝑖2 ) = 0
𝜕𝑎
𝜕𝑄
= 2 ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖2 − 𝑏𝑥𝑖 − 𝑐)(−𝑥𝑖 ) = −2 ∑(𝑦𝑖 𝑥𝑖 − 𝑎𝑥𝑖3 − 𝑏𝑥𝑖2 − 𝑐𝑥𝑖 ) = 0
𝜕𝑏
𝜕𝑄
= 2 ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖2 − 𝑏𝑥𝑖 − 𝑐)(−1) = −2 ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖2 − 𝑏𝑥𝑖 − 𝑐) = 0
𝜕𝑐
{
𝑖=1
𝑖=1
После преобразований получаем систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными
𝑛
𝑎 ∑ 𝑥𝑖4
𝑖=1
𝑛
𝑛
+
𝑏 ∑ 𝑥𝑖3
𝑖=1
𝑛
𝑛
+
𝑛
𝑐 ∑ 𝑥𝑖2
𝑖=1
𝑛
= ∑ 𝑥𝑖2 𝑦𝑖
𝑖=1
𝑛
𝑎 ∑ 𝑥𝑖3 + 𝑏 ∑ 𝑥𝑖2 + 𝑐 ∑ 𝑥𝑖 = ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑎 ∑ 𝑥𝑖2 + 𝑏 ∑ 𝑥𝑖 + 𝑐𝑛 = ∑ 𝑦𝑖
{ 𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
При решении этой системы находим искомые значения параметров a, b и c .
Б. нахождение параметров кубической функции.
Если аппроксимирующей функцией является кубическая зависимость 𝑦 = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 +
𝑑, то её параметры a,b,c,d находят из условия минимума функции
𝑛
𝑄(𝑎, 𝑏) = ∑ (𝑦𝑖 −
(𝑎𝑥𝑖3
+
𝑏𝑥𝑖2
2
𝑛
+ 𝑐𝑥𝑖 + 𝑑)) = ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖3 − 𝑏𝑥𝑖2 − 𝑐𝑥𝑖 − 𝑑)2 ⁡⁡⁡(1)
𝑖=1
𝑖=1
Условия минимума функции (1) сводятся к системе уравнений
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝜕𝑄
= 2 ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖3 − 𝑏𝑥𝑖2 − 𝑐𝑥𝑖 − 𝑑)(−𝑥𝑖3 ) = −2 ∑(𝑦𝑖 𝑥𝑖3 − 𝑎𝑥𝑖6 − 𝑏𝑥𝑖5 − 𝑐𝑥𝑖4 − 𝑑𝑥𝑖3 ) = 0
𝜕𝑎
𝜕𝑄
= 2 ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖3 − 𝑏𝑥𝑖2 − 𝑐𝑥𝑖 − 𝑑)(−𝑥𝑖2 ) = −2 ∑(𝑦𝑖 𝑥𝑖2 − 𝑎𝑥𝑖5 − 𝑏𝑥𝑖4 − 𝑐𝑥𝑖3 − 𝑑𝑥𝑖2 ) = 0
𝜕𝑏
𝜕𝑄
= 2 ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖3 − 𝑏𝑥𝑖2 − 𝑐𝑥𝑖 − 𝑑)(−𝑥𝑖 ) = −2 ∑(𝑦𝑖 𝑥𝑖 − 𝑎𝑥𝑖4 − 𝑏𝑥𝑖3 − 𝑐𝑥𝑖2 − 𝑑𝑥𝑖 ) = 0
𝜕𝑐
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
𝑛
𝜕𝑄
= 2 ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖3 − 𝑏𝑥𝑖2 − 𝑐𝑥𝑖 − 𝑑)(−1) = −2 ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖3 − 𝑏𝑥𝑖2 − 𝑐𝑥𝑖 − 𝑑) = 0
𝜕𝑐
{
𝑖=1
𝑖=1
После преобразований получаем систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑎 ∑ 𝑥𝑖6 + 𝑏 ∑ 𝑥𝑖5 + 𝑐 ∑ 𝑥𝑖4 + 𝑑 ∑ 𝑥𝑖3 = ∑ 𝑥𝑖3 𝑦𝑖
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑎 ∑ 𝑥𝑖5 + 𝑏 ∑ 𝑥𝑖4 + 𝑐 ∑ 𝑥𝑖3 + 𝑑 ∑ 𝑥𝑖2 = ∑ 𝑥𝑖2 𝑦𝑖
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑎 ∑ 𝑥𝑖4 + 𝑏 ∑ 𝑥𝑖3 + 𝑐 ∑ 𝑥𝑖2 + 𝑑 ∑ 𝑥𝑖 = ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑥𝑖3 + 𝑏 ∑ 𝑥𝑖2 + 𝑐 ∑ 𝑥𝑖 + 𝑛𝑑 = ∑ 𝑦𝑖
{
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
При решении этой системы находим искомые значения параметров a,b,c и d.
Ход работы
Нахождение параметров линейной функции
i
x
y
x^2
x*y
Yв.
Yв.-Yф.
(Yв.-Yф.)^2
1
2
2
3
2,241035
1,751966
4
9
4,482071
5,255897
1,895665
2,252114
-0,34537
0,500148
0,119281
0,2501484
3
4
4
5
2,57275
3,155604
16
25
10,291
15,77802
2,608564
2,965013
0,035813
-0,19059
0,0012826
0,0363248
невязка
0,4070368
14
матр.Коэфф.
Лин. Систем
54 14
14 4
9,721355
свободные
коэффициенты
35,80699
9,721355
54
35,80699
Обратная
матрица
0,2
-0,7
коэффициенты
полинома
а=
0,356449
b=
1,182766
-0,7
2,7
Ответ: Аппроксимировали экспериментальные данные линейной зависимостью
𝑦 = 0,356449𝑥 + 1.182766 с невязкой 𝑄 = 0,4070368
Нахождение параметров квадратичной функции
i
x
y
x^4
x^3
x^2
x^2*y
x*y
1
2
2,24
16
8
4
8,96
4,48
2
3
1,752
81
27
9
15,768
3
4
2,573
256
64
16
4
5
3,1056
625
125
14
9,6706
978
224
Yф.-YМНК.
(Yф.-YМН
2,16013
-0,07987
0,006
5,256
1,99161
0,23961
0,057
41,168
10,292
2,33339
-0,23961
0,057
25
77,64
15,528
3,18547
0,07987
0,006
54
143,536
35,556
матр.
Коэфф.
Лин.
Системы
YМНК.
невязка
Свободные
коэфф.
978
224
54
143,54
224
54
14
35,556
54
14
4
9,6706
Обратная
матрица
коэффициенты
полинома
0,25
-1,75
2,75
а=
0,25515
-1,75
12,45
-19,95
b=
-1,44427
2,75
-19,95
32,95
c=
4,02807
Ответ: Аппроксимировали экспериментальные данные квадратичной
зависимостью
𝑦 = 0,25515𝑥 2 − 1,44427𝑥 + 4,02807 с невязкой 𝑄 = 0,127584338.
0,127
Нахождение параметров кубической функции
i
1
2
3
4
x
2
3
4
5
y
x^6
2,24
64
1,752
729
2,573 4096
3,1056 15625
x^5
32
243
1024
3125
x^4
16
81
256
625
x^3
8
27
64
125
x^2
4
9
16
25
y*x^3
17,92
47,304
164,672
388,2
14
9,6706 20514
4424
978
224
54
618,096 143,536 35,556 Q=
Матрица
коэфф.
Линейной
системы
20514
4424
978
224
19,27778
-19,8333
y*x
YМНК
4,48
2,24
5,256
1,752
10,292 2,573
15,528 3,1056
Свободные
коэфф.
4424
978
224
54
978
224
54
14
224
54
14
4
обратная
матрица
0,555556
-5,83333
y*x^2
8,96
15,768
41,168
77,64
618,096
143,536
35,556
9,6706
коэфф.полинома
5,83333 19,27778
61,5 -204,167
204,167 681,3889
211 -708,167
19,8333
211
708,167
741
a=
b=
c=
d=
0,26623
3,0506
10,6826
13,5326
Ответ: Аппроксимировали экспериментальные данные кубической
зависимостью
𝑦 = 0,26623𝑥 3 + 3,0506𝑥 2 + 10,6826𝑥 + 13,5326 с невязкой 𝑄 =
0,00000000017.
(YМНК
ция)
-2,2
-3,8
-5,2
-5,8
0,0000