Электронный учебно-методический комплекс ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ Учебная программа дисциплины Конспект лекций Лабораторный практикум Виртуальный лабораторный практикум Методические указания по самостоятельной работе Банк тестовых заданий в системе UniTest Красноярск ИПК СФУ 2008 УДК 621.372.061 ББК 31.2 О-75 Авторы: В. И. Вепринцев, Г. К. Былкова, В. В. Тюрнев, А. В. Изотов, Ю. П. Саломатов, А. А. Лексиков, Б. А. Беляев, А. М. Сержантов Электронный учебно-методический комплекс по дисциплине «Основы теории цепей» подготовлен в рамках инновационной образовательной программы «Структурная перестройка научнообразовательного центра "Радиоэлектроника"», реализованной в ФГОУ ВПО СФУ в 2007 г. Рецензенты: Красноярский краевой фонд науки; Экспертная комиссия СФУ по подготовке учебно-методических комплексов дисциплин О-75 Основы теории цепей. Версия 1.0 [Электронный ресурс] : конспект лекций / В. И. Вепринцев, Г. К. Былкова, В. В. Тюрнев и др. – Электрон. дан. (8 Мб). – Красноярск : ИПК СФУ, 2008. – (Основы теории цепей : УМКД № 56-2007 / рук. творч. коллектива В. И. Вепринцев). – 1 электрон. опт. диск (DVD). – Систем. требования : Intel Pentium (или аналогичный процессор других производителей) 1 ГГц ; 512 Мб оперативной памяти ; 8 Мб свободного дискового пространства ; привод DVD ; операционная система Microsoft Windows 2000 SP 4 / XP SP 2 / Vista (32 бит) ; Adobe Reader 7.0 (или аналогичный продукт для чтения файлов формата pdf). ISBN 978-5-7638-1528-3 (комплекса) ISBN 978-5-7638-1378-4 (конспекта лекций) Номер гос. регистрации в ФГУП НТЦ «Информрегистр» 0320802741 от 22.12.2008 г. (комплекса) Настоящее издание является частью электронного учебно-методического комплекса по дисциплине «Основы теории цепей», включающего учебную программу, лабораторный практикум, виртуальный лабораторный практикум, методические указания по самостоятельной работе, контрольноизмерительные материалы «Основы теории цепей. Банк тестовых заданий», наглядное пособие «Основы теории цепей. Презентационные материалы». Рассмотрены: основные методы расчета линейных электрических цепей; изби-рательные (резонансные) цепи; основы теории четырехполюсников; методы анализа переходных процессов в линейных электрических цепях при различных видах воздействия; основы теории электрических фильтров типа k и m, а также безындукционных фильтров; режимы работы цепей с распределенными параметрами; методы синтеза линейных цепей по заданным входным и передаточным функциям. Предназначен для студентов направления подготовки бакалавров 210300.62 «Радиотехника» укрупненной группы 210000 «Электронная техника, радиотехника и связь». © Сибирский федеральный университет, 2008 Рекомендовано к изданию Инновационно-методическим управлением СФУ Редактор Н. Н. Вохман Разработка и оформление электронного образовательного ресурса: Центр технологий электронного обучения информационно-аналитического департамента СФУ; лаборатория по разработке мультимедийных электронных образовательных ресурсов при КрЦНИТ Содержимое ресурса охраняется законом об авторском праве. Несанкционированное копирование и использование данного продукта запрещается. Встречающиеся названия программного обеспечения, изделий, устройств или систем могут являться зарегистрированными товарными знаками тех или иных фирм. Подп. к использованию 01.10.2008 Объем 8 Мб Красноярск: СФУ, 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ ............................................................... 10 Лекция 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ, АКТИВНЫЕ И ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ...................................... 11 Электрическая цепь. .................................................................................................... 11 Элементы электрической цепи. ................................................................................. 13 Электрические схемы замещения физических устройств идеализированными элементами цепи. .................................................................. 19 Контрольные вопросы ................................................................................................ 25 Лекция 2. СХЕМА ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ........................................... 26 Схема электрической цепи. ........................................................................................ 26 Граф цепи. ...................................................................................................................... 27 Основные законы электрических цепей. ................................................................. 28 Контрольные вопросы ................................................................................................ 30 Лекция 3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ................. 31 Применение законов Кирхгофа для расчета сложных цепей. ............................. 31 Метод контурных токов. .............................................................................................. 32 Метод наложения. ......................................................................................................... 34 Метод узловых напряжений. ...................................................................................... 35 Метод эквивалентного генератора. ........................................................................... 38 Контрольные вопросы ................................................................................................ 41 Лекция 4. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ .............. 42 Гармонические колебания. ......................................................................................... 42 Среднее и действующее (эффективное) значения гармонической функции. . 43 Контрольные вопросы ................................................................................................ 44 Лекция 5. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД ... 45 Представление гармонических функций с помощью комплексных величин. 45 Гармонический ток в элементах электрической цепи. .......................................... 49 Контрольные вопросы ................................................................................................ 54 Лекция 6. ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ ......................................... 55 Гармонический ток с последовательным соединением RLC. ............................. 55 Гармонический ток с параллельным соединением RLC. ..................................... 58 Контрольные вопросы ................................................................................................ 60 Основы теории цепей. Конспект лекций -3- ОГЛАВЛЕНИЕ Лекция 7. МОЩНОСТЬ В ЦЕПИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ТОКА ...................................... 61 Мгновенная мощность. ................................................................................................ 61 Активная мощность. ..................................................................................................... 62 Реактивная мощность. ................................................................................................. 63 Полная мощность. ........................................................................................................ 64 Условие передачи максимума средней мощности от генератора к нагрузке. Коэффициент полезного действия. .......................................................................... 65 Контрольные вопросы ................................................................................................ 68 Лекция 8. ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ (РЕЗОНАНСНЫЕ) ЦЕПИ .......................................... 69 Последовательный колебательный контур. Резонанс напряжений. ................. 70 Энергетические соотношения в колебательном контуре. .................................... 72 Частотные характеристики последовательного колебательного контура. ...... 74 Входные частотные характеристики последовательного контура. ................... 79 Полоса пропускания последовательного контура................................................. 80 Передаточные функции последовательного контура........................................... 81 Влияние сопротивления генератора и нагрузки на избирательность последовательного колебательного контура. ........................................................ 83 Контрольные вопросы ................................................................................................ 84 Лекция 9. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР.................................... 85 Входные частотные характеристики параллельного колебательного контура. ............................................................................................. 88 Передаточные функции параллельного колебательного контура. .................... 90 Частотная зависимость токов в ветвях параллельного контура. ...................... 90 Влияние внутреннего сопротивления генератора и нагрузки на избирательность параллельного контура. .............................................................. 91 Контрольные вопросы ................................................................................................ 93 Лекция 10. СЛОЖНЫЕ СХЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ КОНТУРОВ ................................................................ 94 Контур с неполным включением индуктивности. .................................................. 94 Контур с неполным включением емкости. .............................................................. 96 Контрольные вопросы ................................................................................................ 98 Лекция 11. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ. СВЯЗАННЫЕ КОНТУРЫ .......................................... 99 Виды связи. ................................................................................................................... 99 Коэффициент связи. .................................................................................................. 100 Соотношения между токами в связанных контурах. ........................................... 102 Векторные диаграммы связанных контуров. ....................................................... 104 Контрольные вопросы .............................................................................................. 105 Основы теории цепей. Конспект лекций -4- ОГЛАВЛЕНИЕ Лекция 12. НАСТРОЙКА СВЯЗАННЫХ КОНТУРОВ ...................................... 106 Первый частный резонанс. ...................................................................................... 106 Первый сложный резонанс. ..................................................................................... 107 Второй частный резонанс. ........................................................................................ 107 Второй сложный резонанс........................................................................................ 108 Полный резонанс. ....................................................................................................... 108 Энергетические соотношения в двухконтурной системе. .................................. 109 Контрольные вопросы .............................................................................................. 110 Лекция 13. РЕЗОНАНСНЫЕ КРИВЫЕ СВЯЗАННЫХ КОНТУРОВ ...................................... 111 Полоса пропускания связанных контуров. ........................................................... 115 Коэффициент передачи связанных контуров. ..................................................... 116 Контрольные вопросы .............................................................................................. 119 Лекция 14. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ ...................................... 120 Определение четырехполюсника. .......................................................................... 120 Классификация четырехполюсников. .................................................................... 120 Системы уравнений четырехполюсника. .............................................................. 121 Входное сопротивление четырехполюсника. ...................................................... 125 Контрольные вопросы .............................................................................................. 127 Лекция 15. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ (ВТОРИЧНЫЕ) ПАРАМЕТРЫ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА ................. 128 Рабочее и вносимое затухание четырехполюсника. ........................................... 133 Передаточные функции четырехполюсника. ....................................................... 136 Контрольные вопросы .............................................................................................. 138 Лекция 16. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СХЕМЫ ПАССИВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ И СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ....................................... 139 Эквивалентные схемы пассивных линейных четырехполюсников. .............. 139 Схемы замещения четырехполюсника. ................................................................. 141 Контрольные вопросы .............................................................................................. 142 Лекция 17. СЛОЖНЫЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ . 143 Каскадное соединение четырехполюсников. ....................................................... 143 Последовательное соединение четырехполюсников. ....................................... 145 Параллельное соединение четырехполюсников................................................. 146 Последовательно-параллельное соединение четырехполюсников. .............. 147 Параллельно-последовательное соединение четырехполюсников. .............. 148 Мостовой четырехполюсник. ................................................................................... 149 Контрольные вопросы .............................................................................................. 152 Основы теории цепей. Конспект лекций -5- ОГЛАВЛЕНИЕ Лекция 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ ............... 153 Законы коммутации и начальные условия. .......................................................... 153 Принужденный и свободный режим. ..................................................................... 154 Переходные процессы в RL-цепи. .......................................................................... 157 Включение в RL-цепь постоянного напряжения. ................................................. 158 Короткое замыкание RL-цепи. .................................................................................. 160 Включение в RL-цепь гармонического напряжения. ........................................... 161 Контрольные вопросы .............................................................................................. 164 Лекция 19. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RC-ЦЕПИ ............................................................ 165 Включение в RC-цепь постоянного напряжения. ................................................. 165 Разряд емкости на сопротивление.......................................................................... 168 Включение в RC-цепь гармонического напряжения. ........................................... 169 Контрольные вопросы .............................................................................................. 171 Лекция 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLC .......................................................... 172 Включение в RLC-цепь постоянного напряжения. ............................................... 173 Включение в цепь RLC гармонического напряжения. ......................................... 180 Контрольные вопросы .............................................................................................. 189 Лекция 21. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИ ...................................................................... 190 Общая схема применения классического метода. ............................................... 190 Примеры применения классического метода расчета переходных процессов. ............................................................................. 193 Контрольные вопросы .............................................................................................. 200 Лекция 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ................................ 201 Преобразование Лапласа. ......................................................................................... 201 Изображение простейших функций. ....................................................................... 203 Основные свойства преобразования Лапласа. .................................................... 203 Нахождение оригинала по изображению. .............................................................. 209 Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме. .................................................. 210 Последовательность расчета в операторном методе. ....................................... 213 Контрольные вопросы .............................................................................................. 219 Лекция 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ ................................. 220 Единичная функция и переходная характеристика цепи. .................................. 220 Основы теории цепей. Конспект лекций -6- ОГЛАВЛЕНИЕ Интеграл Дюамеля. ..................................................................................................... 221 Импульсная функция и импульсная характеристика. ......................................... 227 Интеграл наложения. .................................................................................................. 230 Связь между переходной и импульсной характеристиками.............................. 231 Связь интеграла Дюамеля с интегралом наложения. ......................................... 232 Контрольные вопросы .............................................................................................. 236 Лекция 24. ОПЕРАТОРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ .............................................. 237 Отклик на экспоненциальное воздействие. .......................................................... 237 Понятие об операторных характеристиках. .......................................................... 239 Определение операторных характеристик............................................................ 240 Контрольные вопросы .............................................................................................. 243 Лекция 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ ............ 244 Основные уравнения теории фильтров и их анализ. Условие пропускания реактивного фильтра. ....................................................... 247 Фильтры типа k. .......................................................................................................... 253 Фильтры нижних частот. ........................................................................................... 253 Влияние сопротивления нагрузки на ФНЧ. ........................................................... 258 Контрольные вопросы .............................................................................................. 264 Лекция 26. ФИЛЬТРЫ ВЕРХНИХ ЧАСТОТ ......... 265 Определение граничной частоты. ........................................................................... 265 Частотные характеристики ФВЧ. ............................................................................. 267 Контрольные вопросы .............................................................................................. 268 Лекция 27. ПОЛОСОВЫЕ ФИЛЬТРЫ ................... 269 Эквивалентные схемы полосовых фильтров...................................................... 269 Частотные характеристики полосовых фильтров. ............................................. 270 Заграждающие фильтры. .......................................................................................... 274 Контрольные вопросы .............................................................................................. 277 Лекция 28. ФИЛЬТРЫ ТИПА m ........................... 278 Фильтры нижних частот типа m. ............................................................................. 283 Фильтры верхних частот типа m. ............................................................................ 288 Полосовые и заграждающие фильтры типа m..................................................... 291 Контрольные вопросы .............................................................................................. 293 Лекция 29. БЕЗЫНДУКЦИОННЫЕ ФИЛЬТРЫ ..... 294 RC-фильтры нижних частот. .................................................................................... 294 RC-фильтры верхних частот. ................................................................................... 295 Полосовые RC-фильтры........................................................................................... 296 Заграждающие RC-фильтры. ................................................................................... 298 Контрольные вопросы .............................................................................................. 299 Лекция 30. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ...................................................... 300 Основы теории цепей. Конспект лекций -7- ОГЛАВЛЕНИЕ Типы линий передач. ................................................................................................. 300 Уравнения однородной линии передачи. .............................................................. 302 Контрольные вопросы .............................................................................................. 305 Лекция 31. РЕЖИМ БЕГУЩИХ ВОЛН .................. 306 Распределение напряжений и тока в линии передачи. ....................................... 306 Вторичные (волновые) параметры однородной линии. .................................... 310 Контрольные вопросы .............................................................................................. 313 Лекция 32. РЕЖИМ СТОЯЧИХ ВОЛН .................. 314 Разомкнутая линия. .................................................................................................... 314 Короткозамкнутая линия. .......................................................................................... 320 Линия, нагруженная на реактивное сопротивление. ........................................... 323 Контрольные вопросы .............................................................................................. 327 Лекция 33. РЕЖИМ СМЕШАННЫХ ВОЛН ........... 328 Линия без искажений. ................................................................................................ 333 Коэффициент полезного действия линии передачи. .......................................... 335 Контрольные вопросы .............................................................................................. 337 Лекция 34. СОГЛАСОВАНИЕ ЛИНИИ С НАГРУЗКОЙ ........................................... 338 Задачи согласования линии передач с нагрузкой. .............................................. 338 Согласование с помощью реактивных шлейфов. ............................................... 338 Контрольные вопросы .............................................................................................. 344 Лекция 35. ЧЕТВЕРТЬВОЛНОВЫЙ ТРАНСФОРМАТОР ................................................. 345 Частотная зависимость входного сопротивления четвертьволнового трансформатора. ........................................................................................................ 347 Частотная компенсация четвертьволнового трансформатора......................... 349 Ступенчатые четвертьволновые трансформаторы. .......................................... 352 Контрольные вопросы .............................................................................................. 355 Лекция 36. ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙ ............................................ 356 Свойства входных функций пассивных цепей. ................................................... 357 Энергетические функции цепи. ................................................................................ 360 Критерии реализуемости двухполюсника по заданной входной функции.... 363 Контрольные вопросы .............................................................................................. 372 Лекция 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ ........... 373 Методы реализации двухполюсника по заданной входной функции. ............ 373 Свойства и реализация входных функций LC-двухполюс-ников. ................... 378 Контрольные вопросы .............................................................................................. 388 Лекция 38. СВОЙСТВА И РЕАЛИЗАЦИЯ ВХОДНЫХ ФУНКЦИЙ RC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ ..................... 389 Основы теории цепей. Конспект лекций -8- ОГЛАВЛЕНИЕ Свойства входных функций RC-двухполюсников. ............................................. 389 Примеры реализации входных функций RC-двухполюсников. ....................... 391 Свойства и реализация входных функций RL-двухполюсников...................... 394 Контрольные вопросы .............................................................................................. 397 Лекция 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ ... 398 Общий метод синтеза двухполюсников с потерями по О. Бруне. .................... 398 Примеры реализации RLC-двухполюсников. ....................................................... 403 Контрольные вопросы .............................................................................................. 409 Лекция 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ .... 410 Свойства передаточных функций четырехполюсников. ................................... 410 Свойства Z-параметров четырехполюсников. ..................................................... 411 Нули передачи и свойства K12XX. .............................................................................. 413 Условия Фиалкова − Герста...................................................................................... 414 Синтез передаточных функций четырехполюсников. ........................................ 415 Контрольные вопросы .............................................................................................. 421 Лекция 41. ЛЕСТНИЧНЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ ТИПОВ........................... 422 Лестничные RC-цепи. ................................................................................................. 422 Лестничные LC-цепи. ................................................................................................. 430 Другие возможности лестничной реализации четырехполюсников. .............. 434 Контрольные вопросы .............................................................................................. 436 Лекция 42. РЕАЛИЗАЦИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ МЕТОДОМ ДАРЛИНГТОНА ................................... 437 Реализация схемы без потерь с нагрузкой R2 (рис. 42.2). .................................. 438 Реализация схемы без потерь, нагруженной только со стороны источника сигнала (рис. 42.4). ............................................................ 441 Реализация четырехполюсника без потерь с двухсторонними нагрузками (рис. 42.6). ............................................................. 443 ЗАКЛЮЧЕНИЕ ........................................................ 451 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ........................ 452 Основы теории цепей. Конспект лекций -9- ВВЕДЕНИЕ Среди дисциплин, составляющих основу базовой подготовки специалистов, связанных с разработкой и эксплуатацией современной радиоэлектронной аппаратуры, важное место отводится курсу «Основы теории цепей» (ОТЦ). Содержание этой дисциплины составляют задачи анализа и синтеза электрических цепей, изучение как с качественной, так и с количественной стороны установившихся и переходных процессов в различных радиоэлектронных устройствах. Курс ОТЦ базируется на курсах физики и высшей математики и содержит инженерные методы расчета и анализа, применимые к широкому классу современных электротехнических и радиоэлектронных цепей. Теория электрических цепей за годы своего развития достигла настолько высокого уровня, что в рамках одной учебной дисциплины не представляется возможным говорить о полном и систематическом изучении различных идей, методов и направлений в анализе и синтезе электрических цепей. Поэтому автор включил в настоящее пособие только те разделы, которые являются необходимыми для подготовки радиоинженеров. В данном конспекте лекций рассмотрены: основные методы расчета линейных электрических цепей; избирательные (резонансные) цепи; основы теории четырехполюсников; методы анализа переходных процессов в линейных электрических цепях при различных видах воздействия; основы теории электрических фильтров типа k и m, а также безындукционных фильтров; режимы работы цепей с распределенными параметрами; методы синтеза линейных цепей по заданным входным и передаточным функциям. В конспекте лекций приведены примеры расчетов и анализа характеристик конкретных электрических цепей. Теоретический материал проиллюстрирован достаточным количеством примеров расчета конкретных электрических цепей. В комплексе с лабораторным практикумом данное пособие позволяет подготовить студентов к изучению последующих специальных дисциплин. Основы теории цепей. Конспект лекций -10- ЛЕКЦИЯ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ, АКТИВНЫЕ И ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Электрическая цепь. Элементы электрической цепи (пассивные и активные элементы). Электрические схемы замещения физических устройств идеализированными элементами цепи. Электрическая цепь. Электрической цепью называется совокупность устройств, предназначенных для прохождения электрического тока и описываемых с помощью понятий напряжения и тока. Электрическая цепь состоит из источников (генераторов) и потребителей электромагнитной энергии – приемников или нагрузки. Источником называют устройство, создающее (генерирующее) токи и напряжения. В качестве источников могут выступать устройства (аккумуляторы, гальванические элементы, термоэлементы, пьезодатчики, различные генераторы и т. д.), преобразующие различные виды энергии (химической, тепловой, механической, световой, молекулярно-кинетической и др.) в электрическую энергию. К источникам относятся и приемные антенны, в которых не происходит изменение вида энергии. Приемником называют устройство, потребляющее (запасающее) или преобразующее электрическую энергию в другие виды энергии (тепловую, механическую, световую и т. д.). К приемникам относятся и передающие антенны, излучающие электромагнитную энергию в пространство. В основе теории электрических цепей лежит принцип моделирования. При этом реальные электрические цепи заменяются некоторой идеализированной моделью, состоящей из взаимосвязанных идеализированных элементов. Под элементами подразумеваются идеализированные модели различных устройств, которым приписываются определенные электрические и магнитные свойства так, что они с заданной точностью отображают явления, происходящие в реальных устройствах. Таким образом, каждому элементу цепи соответствуют определенные соотношения между множеством токов и напряжений. В теории цепей различают активные и пассивные элементы. Активными элементами считаются источники электрической энергии: источники напряжения и источники тока. К пассивным элементам относятся сопротивления, индуктивности и емкости. Цепи, содержащие активные элементы, называются активными, цепи, состоящие только из пассивных элементов – пассивными. Электрическому току приписывается направление, совпадающее с направлением перемещения положительных зарядов. Количественная характе- Основы теории цепей. Конспект лекций -11- ЛЕКЦИЯ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ, АКТИВНЫЕ И ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Электрическая цепь ристика − мгновенное значение тока (значение его в данный момент времени) Δq dq = , Δt →0 Δt dt i = lim где dq – заряд, прошедший за время dt через поперечное сечение проводника. В системе СИ ток измеряется в амперах (А). Для переноса элементарного заряда dq через какой-либо пассивный участок цепи необходимо затратить энергию dw = u · dq. Здесь u – мгновенное значение напряжения (разности потенциалов) на зажимах пассивного участка цепи. Разность потенциалов – скалярная величина, которая определяется работой сил электрического поля при переносе единичного положительного заряда через заданный пассивный участок. В системе СИ напряжение измеряется в вольтах (В). В общем случае ток и напряжение являются функциями времени и могут иметь разные величины и знак в различные моменты времени. В теории цепей направление тока характеризуется знаком. Положительный или отрицательный токи имеют смысл только при сравнении направления тока по отношению к произвольно выбранному положительному направлению, которое обычно указывается стрелкой (рис. 1.1). i Uаб Uба Uаб = – Uба Рис. 1.1 Положительное направление напряжения не связано с положительным направлением тока. Но, выбрав положительное направление напряжения от точки а к точке б, условно считаем, что потенциал точки а выше потенциала точки б. Обычно в задачах по расчету электрических цепей считают положительное направление тока в ветви совпадающим с положительным направлением напряжения между узлами этой ветви. Если под воздействием приложенного напряжения U через участок цепи проходит электрический заряд q, то совершаемая при этом элементарная работа или поступающая в приемник энергия равна: dw = u · dq = ui · dt. Энергия, определяемая данной формулой, доставляется источником и расходуется в приемнике, т. е. превращается в другой вид энергии, например Основы теории цепей. Конспект лекций -12- ЛЕКЦИЯ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ, АКТИВНЫЕ И ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Электрическая цепь в тепло. Некоторая часть энергии запасается в электрическом и магнитном полях элементов цепи. Мгновенное значение скорости изменения энергии, поступающей в цепь, p= dw dq =u = ui dt dt называется мгновенной мощностью. Энергия, поступившая в приемник за промежуток времени от t1 до t2, выражается интегралом t2 W = ∫ p ⋅ dt . t1 В системе СИ работа и энергия измеряются в джоулях (Дж), мощность в ваттах (Вт). Элементы электрической цепи. Пассивные элементы. Сопротивлением называется идеализированный элемент цепи, характеризующий преобразование электромагнитной энергии в любой другой вид энергии (тепловую – нагрев, механическую, излучение электромагнитной энергии и др.), т. е. обладающий только свойством необратимого рассеяния энергии. Условное обозначение сопротивления показано на рис. 1.2. i R U Рис. 1.2 Математическая модель, описывающая свойства сопротивления, определяется законом Ома u = Ri или i = Gu . Здесь R и G – параметры участка цепи называются соответственно сопротивлением и проводимостью, G = 1/R. Сопротивление измеряется в омах (Ом), а проводимость − в сименсах (Сим). Мгновенная мощность, поступающая в сопротивление, равна PR = ui = Ri 2 = Gu 2 . Электрическая энергия, поступившая в сопротивление и превращенная в тепло за промежуток времени от t1 до t2, равна: Основы теории цепей. Конспект лекций -13- ЛЕКЦИЯ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ, АКТИВНЫЕ И ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Элементы электрической цепи t2 t2 t1 t1 t2 WR = ∫ p dt = ∫ Ri dt = ∫ Gu 2 dt . 2 t1 U i 0 Рис. 1.3 Уравнение, выражающее закон Ома, определяет зависимость напряжения от тока и называется вольт-амперной характеристикой (ВАХ) сопротивления. Если R постоянно, то ВАХ линейная (рис. 1.3, а). Если же R зависит от протекающего через него тока или приложенного к нему напряжения, то ВАХ становится нелинейной (рис. 1.3, б) и соответствует нелинейному сопротивлению. Реальный элемент, приближающийся по своим свойствам к сопротивлению, называется резистором. Индуктивностью называется идеализированный элемент электрической цепи, характеризующий запасаемую в цепи энергию магнитного поля. Условное обозначение индуктивности показано на рис. 1.4. L i U Рис. 1.4 Если рассмотреть участок цепи (рис. 1.5, а), представляющий собой виток, охватывающий площадь S, через который проходит ток i, то виток пронизывает магнитный поток Ф′ = ∫ B ds , S Основы теории цепей. Конспект лекций -14- ЛЕКЦИЯ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ, АКТИВНЫЕ И ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Элементы электрической цепи где Ф′ – поток вектора магнитной индукции B через площадь S. Магнитный поток измеряется в веберах (Вб), а магнитная индукция − в теслах (Тл). Индуктивностью витка называется отношение магнитного потока к току: Ф′ L= = i ∫ B ds S i , т. е. индуктивность представляет собой магнитный поток, отнесенный к единице связанного с ним тока. В системе СИ индуктивность измеряется в генри (Гн). Если катушка содержит n одинаковых витков (рис. 1.5, б), то полный магнитный поток (потокосцепление) Ф = nФ′ , где Ф′ − поток, пронизывающий каждый из витков. S S i i Ф' Ф' Ф' Ф' а n б Рис. 1.5 Основы теории цепей. Конспект лекций -15- ЛЕКЦИЯ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ, АКТИВНЫЕ И ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Элементы электрической цепи i Рис. 1.6 nФ′ . i В общем случае зависимость потокосцепления от тока нелинейная (рис. 1.6, а), следовательно, индуктивность также является нелинейной. Связь между током и напряжением на индуктивности определяется на основании закона электромагнитной индукции, согласно которому изменеdФ ние потокосцепления вызывает ЭДС самоиндукции еL = − , численно равdt ную и противоположную по знаку скорости изменения полного магнитного потока. di наЕсли индуктивность не зависит от тока, то величина u L = −еL = L dt зывается напряжением (или падением напряжения) на индуктивности. Из последнего выражения следует, что ток в индуктивности Индуктивность катушки в этом случае L = t 1 iL (t ) = ∫ u L dt , L −∞ т. е. определяется площадью, ограниченной кривой напряжения uL (рис. 1.7). Мгновенная мощность имеет смысл скорости изменения запасенной в di магнитном поле энергии: pL = u Li = Li . dt Энергия, запасенная в магнитном поле индуктивности в произвольный момент времени t, определяется по формуле t WL = ∫ −∞ t pL dt = ∫ Lidi = 0 Li 2 . 2 Здесь учтено, что при – ∞ ≤ t ≤ 0 ток в индуктивности был равен нулю. Основы теории цепей. Конспект лекций -16- ЛЕКЦИЯ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ, АКТИВНЫЕ И ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Элементы электрической цепи i UL t1 t2 t3 t t4 t1 t2 t3 t4 t Рис. 1.7 Если часть магнитного потока, связанного с катушкой L1, связана одновременно и с катушкой L2, то эти катушки обладают параметром М, называемым взаимной индуктивностью. Взаимная индуктивность определяется как отношение потокосцепления взаимной индукции одной катушки к току в Ф Ф другой катушке M = 12 = 21 . i2 i1 В первой и второй катушках наводятся ЭДС взаимной индукции, равные e1M = − dФ12 di = −M 2 ; dt dt e2 M = − dФ 21 di = −M 1 . dt dt Последние выражения справедливы при условии, что М не зависит от токов, протекающих в обеих катушках. Взаимная индуктивность измеряется также в генри (Гн). Емкостью называется идеализированный элемент электрической цепи, характеризующий запасаемую в цепи энергию электрического поля. Условное обозначение емкости показано на рис. 1.8. UC i C Рис. 1.8 Основы теории цепей. Конспект лекций -17- ЛЕКЦИЯ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ, АКТИВНЫЕ И ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Элементы электрической цепи При подведении к двум электродам (рис. 1.9, а) напряжения на них накапливаются равные по величине и противоположные по знаку заряды +q, и в окружающем пространстве создается электрическое поле. Согласно теореме Гаусса − Остроградского поток ФE вектора электрического смещения D ФЕ = ∫ Dds = q . Емкостью между электродами называется отношение потока ФE вектора электрического смещения к разности потенциалов U на зажимах. C= q . u В системе СИ заряд измеряется в кулонах, напряжение в вольтах, емкость в фарадах. Для увеличения емкости необходимо включить параллельно ряд проводящих «обкладок», т. е. применить конденсатор (рис. 1.9, б). При изменении напряжения на конденсаторе в присоединенной к нему цепи создается ток проводимости, величина которого определяется скоростью изменения заряда на электродах iпр = dq du =C C . dt dt а б Рис. 1.9 Основы теории цепей. Конспект лекций -18- ЛЕКЦИЯ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ, АКТИВНЫЕ И ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Элементы электрической цепи Между электродами конденсатора лежит диэлектрик, в котором не может быть тока проводимости. Но поток ФE вектора электрического смещения dФ Е также изменяется. Величина = iCM называется током смещения. dt Таким образом, ток проводимости во внешней цепи замыкается током смещения через диэлектрик конденсатора iпр = iCM = i . Из выражения для тока следует, что ток положителен при возрастании заряда и соответственно напряжения на обкладках конденсатора. t 1 Напряжение на емкости uC = ∫ idt . C −∞ 0 1 При t = 0 напряжение на емкости uC (0) = ∫ idt . C −∞ t 1 Следовательно, uC (t ) = uC (0) + ∫ idt . C0 Мгновенная мощность pC имеет смысл скорости изменения запасенной du в электрическом поле энергии: pC = uC i = CuC C . dt Энергия, запасаемая в электрическом поле емкости в произвольный момент времени t, t WC = ∫ pC dt = −∞ uC ∫ CuC duC = 0 CuC2 . 2 Полученная формула справедлива в случае, что при t = – ∞ напряжение на емкости uC(– ∞). Электрические схемы замещения физических устройств идеализированными элементами цепи. Отдельное рассмотрение R, L, C как элементов, локализирующих потери, магнитное и электрическое поля, является приближенным методом анализа цепи. На практике же потери энергии, магнитное и электрическое поля связаны и сопутствуют друг другу. Электрическое сопротивление проводника на постоянном токе R= u =ρ , i S Основы теории цепей. Конспект лекций -19- ЛЕКЦИЯ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ, АКТИВНЫЕ И ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Электрические схемы замещения физических устройств идеализированными элементами цепи где ρ – удельное сопротивление; – длина; S – площадь поперечного сечения проводника. С увеличением частоты плотность тока внутри проводника уменьшается, а к поверхности увеличивается, значит, сопротивление растет. Это явление носит название поверхностного эффекта. Под влиянием тока, проходящего по соседнему проводнику, также происходит перераспределение тока в проводнике, а следовательно, возрастание тепловых потерь. Это явление носит название эффекта близости. Дополнительное увеличение сопротивления вызывает также излучение в пространство электромагнитной энергии на высоких частотах. Таким образом, реальный резистор наряду с сопротивлением имеет некоторую индуктивность и емкость вследствие связанных с ним магнитного и электрического полей. При постоянном токе напряжение на зажимах катушки индуктивности, представляющей некоторое количество витков, определяется величиной падения напряжения на сопротивлении (рис. 1.10, а) и ток во всех витках будет одинаковым. При переменном токе изменяющееся магнитное поле будет наводить ЭДС самоиндукции тем большей величины, чем выше частота колебаний. Между витками также будет переменное электрическое поле, т. е. появится ток смещения. При низких частотах током смещения можно пренебречь, тогда схема замещения катушки будет иметь вид, представленный на рис. 1.10, б. На высоких же частотах током смещения пренебречь нельзя, схема замещения содержит также и емкостную составляющую (рис. 1.10, в). Пусть конденсатор состоит из двух параллельных пластин, разделенных диэлектриком. При постоянном напряжении и идеальном диэлектрике тока в цепи с конденсатором не будет. Если напряжение переменно, то возникает переменный ток, создающий переменное магнитное поле. Кроме того, неидеальность диэлектрика приводит к возникновению тока проводимости, приводящего к тепловым потерям в конденсаторе тем большим, чем выше частота. L r L r r C а б в Рис. 1.10 Основы теории цепей. Конспект лекций -20- ЛЕКЦИЯ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ, АКТИВНЫЕ И ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Электрические схемы замещения физических устройств идеализированными элементами цепи C r Рис. 1.11 Обычно индуктивная составляющая конденсатора мала, и ею можно пренебречь. Тогда схема замещения конденсатора может быть представлена параллельным соединением емкости и сопротивления потерь диэлектрика (рис. 1.11). Активные элементы. Идеализированным источником напряжения, или генератором ЭДС, называется источник энергии, напряжение на зажимах которого не зависит от проходящего через него тока. Условное изображение источника ЭДС показано на рис. 1.12, а. а б Рис. 1.12 Упорядоченное перемещение положительных зарядов в источнике от зажима «–» к зажиму «+» возможно за счет сторонних сил. Величина работы, затрачиваемой на перемещение единицы положительного заряда (+q) от зажима «–» к зажиму «+», называется электродвижущей силой (ЭДС) источника е. ΔwC , е = lim Δq →0 Δq где ∆wC – работа, совершаемая сторонними силами по переносу заряда ∆q. Основы теории цепей. Конспект лекций -21- ЛЕКЦИЯ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ, АКТИВНЫЕ И ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Электрические схемы замещения физических устройств идеализированными элементами цепи В цепи, подключенной к источнику ЭДС e(t), течет ток, зависящий от параметров этой цепи и величины e(t). Если зажимы идеального источника ЭДС замкнуть накоротко, то ток в цепи должен стремиться к бесконечности (т. е. идеальный источник ЭДС может рассматриваться как источник бесконечной мощности). В действительности при коротком замыкании источника ЭДС ток может иметь только конечное значение, определяемое падением напряжения на внутреннем сопротивлении источника (рис. 1.12, б). Вольтамперные характеристики идеального и реального источников ЭДС приведены на рис. 1.13. UХХ = Е Идеальная Реальная 0 I КЗ = U ХХ Ri Рис. 1.13 Ri а б Рис. 1.14 Основы теории цепей. Конспект лекций -22- ЛЕКЦИЯ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ, АКТИВНЫЕ И ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Электрические схемы замещения физических устройств идеализированными элементами цепи Очевидно, что чем меньше внутреннее сопротивление источника, тем больше ток короткого замыкания и больше мощность источника ЭДС. Идеализированным источником тока, или генератором тока, называется источник энергии, ток которого не зависит от напряжения на его зажимах. Условное изображение источника тока показано на рис. 1.14, а. При неограниченном увеличении сопротивления цепи, подключенной к идеальному источнику тока, напряжение на его зажимах и, соответственно, мощность, развиваемая им, также неограниченно возрастают. Источник тока конечной мощности изображается в виде идеального источника тока с подключенным параллельно внутренним сопротивлением (рис. 1.14, б). Идеальная UХХ = IRi Реальная 0 IКЗ = I Рис. 1.15 Вольт-амперные характеристики идеального и реального источников тока приведены на рис. 1.15. Очевидно, что чем больше внутреннее сопротивление источника, тем больше напряжение на разомкнутых зажимах и тем больше мощность источника тока. Идеальные источники напряжения и тока являются независимыми, поскольку напряжение на их зажимах и задающий ток определяются только внутренними свойствами источников и не зависят от внешних воздействий. Вместе с тем в радиотехнике и электронике широкое применение находят активные цепи с зависимыми (управляемыми) источниками, т. е. цепи, содержащие транзисторы, операционные усилители, электронные лампы и другие активные элементы. Основы теории цепей. Конспект лекций -23- ЛЕКЦИЯ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ, АКТИВНЫЕ И ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Электрические схемы замещения физических устройств идеализированными элементами цепи Зависимый источник напряжения представляет собой идеализированную электрическую цепь с двумя парами зажимов. К входной паре зажимов (1 – 1') подключаются управляющие либо напряжение (рис. 1.16, а), либо ток (рис. 1.16, б), к выходной паре зажимов (2 – 2') – источник управляемого напряжения. Аналогично вводится понятие зависимого источника тока, только у него к выходным зажимам подключен источник управляемого тока (рис. 1.16, в, г). Важно отметить, что входные зажимы источников, управляемых напряжением, разомкнуты, а у источников, управляемых током, соединены накоротко. Различают четыре вида зависимых источников: источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН); источник напряжения, управляемый током (ИНУТ); источник тока, управляемый напряжением (ИТУН); источник тока, управляемый током (ИТУТ). 1 2 HUU1 U1 1 I1 U2 2' 1' 2' 1' б I2 2 1 I1 I2 2' 1' 2 HiI1 HYU1 U1 U2 HZI1 а 1 2 2' 1' в г Рис. 1.16 В ИНУН (рис. 1.16, а) входное сопротивление бесконечно велико, входной ток I1 = 0, а выходное напряжение связано с входным равенством U2 = HUU1, где HU – коэффициент передачи по напряжению. ИНУН является идеальным усилителем напряжения. В ИНУТ (рис. 1.16, б) входным током I1 управляет выходное напряжение U2, входная проводимость бесконечно велика: U1 = 0, U2 = HZI1, где HZ – передаточное сопротивление. В ИТУН (рис. 1.16, в) выходной ток I2 управляется входным напряжением U1, причем I1 = 0 и ток I2 связан с U1 равенством I2 = HYU1, где HY – передаточная проводимость. Основы теории цепей. Конспект лекций -24- ЛЕКЦИЯ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ, АКТИВНЫЕ И ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Электрические схемы замещения физических устройств идеализированными элементами цепи В ИТУТ (рис. 1.16, г) управляющим током является I1, а управляемым – I2 U1 = 0, I2 = Hi I1, где Hi – коэффициент передачи по току. ИТУТ является идеальным усилителем тока. Контрольные вопросы 1. 2. 3. 4. 5. 6. Какие элементы электрической цепи считаются активными? Какие элементы электрической цепи считаются пассивными? Что называется вольт-амперной характеристикой (ВАХ) сопротивления? Какой элемент цепи называется емкостью? Какой элемент цепи называется индуктивностью? Чем отличаются источники ЭДС от источников тока? Основы теории цепей. Конспект лекций -25- ЛЕКЦИЯ 2. СХЕМА ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Схема электрической цепи. Граф цепи. Основные законы электрических цепей. Схема электрической цепи. Схемой электрической цепи называется графически изображенная модель ее (рис. 2.1), составленная из идеализированных пассивных (R, L, C) и активных (e, i) элементов. Основными понятиями, характеризующими геометрическую конфигурацию цепи, являются ветвь, узел, контур. Ветвь – участок цепи, образованный последовательно соединенными элементами. Последовательным соединением элементов цепи называется такое соединение, при котором через них проходит один и тот же ток. Узел – точка соединения трех и более ветвей. Контур – любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям. Параллельным соединением элементов называется такое соединение, при котором на них действует одно напряжение. L1 C1 R3 R2 e2 L3 R4 R1 L2 L4 C2 e1 R5 i1 Рис. 2.1 Ветви: ас – C1 R1 e1, аg – L1 R3 e2, ab – R2, bd – R4, dg – L3 и т. д. Узлы: а, b, c, d, g. Контуры: 1) a – b – c – a, 2) a – b – d – g – a, 3) b – d – g – c – b и т. д. Источники ЭДС включаются последовательно с ветвью цепи, источники тока – параллельно, потому что при включении источника ЭДС параллельно ветви на ней известно напряжение, а при последовательном включе- Основы теории цепей. Конспект лекций -26- ЛЕКЦИЯ 2. СХЕМА ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Схема электрической цепи нии источника тока становится известен ток в ветви. Ветвь с заранее известными токами и напряжениями можно из анализа исключить. При исследовании процессов в сложных цепях существенное значение имеет геометрическая структура (топология), характеризуемая совокупностью узлов и ветвей, независимо от конкретных особенностей элементов. В связи с этим наряду с понятием схемы цепи вводится понятие топологического графа или просто графа (как бы скелета схемы). Граф цепи. Граф цепи – графическое представление ее геометрической структуры, состоящее из ветвей-линий (ребер) и узлов (вершин). Обычно источники энергии на графе не указываются; источники ЭДС заменяются короткозамкнутыми линиями, а источники тока – разрывами. Граф цепи, изображенной на рис. 2.1, приведен на рис. 2.2, а. Если на графе указывают направления токов, то граф называют направленным (рис. 2.2, б). Если граф не может быть изображен без пересечения ветвей, то он называется непланарным (рис. 2.2, в). Очень важным понятием является так называемое дерево графа – любая система из минимального числа ветвей графа, соединяющая все узлы без образования контуров. Протекание тока по ветвям дерева исключается. а б в Рис. 2.2 Рис. 2.3 Основы теории цепей. Конспект лекций -27- ЛЕКЦИЯ 2. СХЕМА ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Граф цепи Таким образом, все ветви графа разбиваются на ветви дерева и не вошедшие в дерево – ветви связи (главные ветви или хорды). На рис. 2.3 изображены возможные варианты построения дерева графа для схемы (рис. 2.1). Сплошные линии – ветви дерева, пунктирные – ветви связи. Поскольку первая ветвь дерева соединяет два узла, а каждая последующая ветвь добавляет по одному узлу, то число ветвей дерева nВД = nУ – 1. Число ветвей, не вошедших в дерево (ветвей связи), nBC = nB – nВД = = nB – nУ + 1, где nB – число ветвей графа, nУ – число узлов. Основные законы электрических цепей. Основными законами электрических цепей, позволяющими описывать любые режимы их работы, являются закон Ома и законы Кирхгофа. 1. Закон Ома. Если сопротивление проводника R не зависит от величины и направления протекающего тока (сопротивление является линейным), то падение напряжения на нем пропорционально току i и сопротивлению R U = R · i. 2. Закон Джоуля − Ленца. Если образующие цепь проводники неподвижны, а ток постоянен, то работа сторонних сил целиком расходуется на нагревание проводников WR = U · I · t, соответствующее ей количество теплоты в калориях WR = 0,24·U · i · t. 3. Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма токов в ветвях, связанных общим узлом электрической цепи (рис. 2.4), равна нулю. i2 i3 i1 i4 i5 Рис. 2.4 Основы теории цепей. Конспект лекций -28- ЛЕКЦИЯ 2. СХЕМА ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Основные законы электрических цепей (Сумма токов, приходящих к узлу, равна сумме токов, уходящих от узла.) Уходящие токи будем считать отрицательными, приходящие – положительными. n – i1 + i2 – i3 + i4 – i5 = 0 или ∑ ik = 0 , k =1 где k – номер ветви, связанной с данным узлом. Первый закон Кирхгофа вытекает из того, что в узле не могут накапливаться и расходоваться заряды. Первый закон Кирхгофа применим также к любому контуру или замкнутой поверхности, охватывающей часть электрической цепи, поскольку ни в каком элементе, ни в каком режиме заряды одного знака накапливаться не могут. 4. Второй закон Кирхгофа. В любом контуре электрической цепи алгебраическая сумма падений напряжения на элементах равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре: n m k =1 p =1 ∑U k = ∑ e p . Второй закон Кирхгофа устанавливает баланс напряжений в контурах электрической цепи и вытекает из закона сохранения энергии. Действительно, если умножить обе части последнего уравнения на dq, то в левой части получим элементарную работу переноса заряда dq вдоль пассивных элементов цепи, а в правой – работу сил стороннего поля. U2 e2 U1 U4 e1 e3 U3 Рис. 2.5 Основы теории цепей. Конспект лекций -29- ЛЕКЦИЯ 2. СХЕМА ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Основные законы электрических цепей Напряжения и ЭДС в последнем уравнении берут со знаком (+), если их направление совпадает с направлением обхода контура (выбранным произвольно), и со знаком (–), если не совпадает. Например, для цепи (рис. 2.5) U1 – U2 – U3 + U4 = e1 – e2 – e3. Если предположить, что все пассивные элементы представляют собой сопротивления, то уравнение можно переписать, воспользовавшись законом Ома: n m k =1 p =1 ∑ Rk ik = ∑ e p . В общем случае, когда контур содержит сопротивления, индуктивности и емкости и питание осуществляется источниками переменного напряжения, уравнение второго закона Кирхгофа имеет вид ⎛ ⎞ m dik 1 + + R i L i dt ∑ ⎜ k k k dt C ∫ k ⎟ = ∑ e p . k =1 ⎝ k ⎠ p =1 n Контрольные вопросы 1. 2. 3. 4. 5. Что называется схемой электрической цепи? Что называется графом электрической цепи? Что такое ветви связи (главные ветви или хорды)? Что выражает закон Джоуля − Ленца? Что выражают законы Кирхгофа? Основы теории цепей. Конспект лекций -30- ЛЕКЦИЯ 3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Применение законов Кирхгофа для расчета сложных цепей. Метод контурных токов. Метод наложения. Метод узловых напряжений. Метод эквивалентного генератора. Применение законов Кирхгофа для расчета сложных цепей. В общем случае искомые токи и напряжения в ветвях сложной цепи могут быть найдены в результате совместного решения системы уравнений, выражающих первый и второй законы Кирхгофа для заданной электрической цепи. Пусть в схеме, содержащей p ветвей и q узлов, заданы величины элементов ветвей, ЭДС и токи источников. Необходимо найти токи во всех ветвях цепи. По первому закону Кирхгофа записываются q – 1 независимых уравнений. Уравнение для q-го узла является следствием предыдущих, в качестве последнего – опорного – узла целесообразно выбрать узел, в котором сходится максимальное число ветвей. По второму закону Кирхгофа записывается p – q + 1 независимых уравнений для независимых контуров (отличающихся друг от друга хотя бы одной ветвью). Таким образом, для расчета электрической цепи с помощью законов Кирхгофа необходимо составить столько уравнений, сколько в цепи ветвей. Пример 1. Дана электрическая цепь (рис. 3.1) с известными параметрами. При выборе независимых контуров удобно использовать граф цепи (графическое представление геометрической структуры, состоящее из ветвей-линий (ребер) и узлов (вершин). IИ1 E1 I1 R1 a IИ2 I2 R2 IИ3 I3 R3 E2 I5 b R5 R4 I6 I4 E3 c R6 d Рис. 3.1 Основы теории цепей. Конспект лекций -31- ЛЕКЦИЯ 3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Применение законов Кирхгофа для расчета сложных цепей Построим дерево графа – систему из минимального количества ветвей, соединяющих все узлы графа без образования замкнутых контуров (рис. 3.2). a b c d Рис. 3.2 Подключение к дереву графа каждой из хорд – главных ветвей (пунктирные линии на рис. 3.2) – создает по одному независимому контуру. Выберем произвольно направления токов в ветвях (рис. 3.1), тогда для узлов и для контуров (при обходе по часовой стрелке): ⎧ − I1 − I 2 − I 2 − I И1 − I И2 − I И3 = 0 ⎪ I 2 + I И2 − I 4 − I 5 = 0 ⎪ ⎪⎪ I1 + I И1 + I 5 − I 6 = 0 ⎨ E1 − E2 = R1I1 − R5 I 5 − R2 I 2 ⎪ ⎪ E2 − E3 = R2 I 2 + R4 I 4 − R3 I 3 ⎪ 0 = R5 I 5 − R4 I 4 + R6 I 6 ⎪⎩ для узла а; для узла b; для узла c; для контура I; для контура II; для контура III. Решая систему уравнений, найдем искомые токи, а зная сопротивления ветвей, можно найти напряжения между узлами. Если ток в ветви получился со знаком (–), то направление его в действительности противоположно выбранному направлению. Метод контурных токов. Для сокращения количества уравнений в расчетах токов в цепи часто используется метод контурных токов, являющийся модификацией метода Кирхгофа. При расчете токов этим методом вводят понятие контурного тока как тока в главной ветви независимого контура. Уравнения составляются по второму закону Кирхгофа для независимых контуров, т. е. получается система уравнений с меньшим числом переменных, что является преимуществом метода контурных токов. Основы теории цепей. Конспект лекций -32- ЛЕКЦИЯ 3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Метод контурных токов E1 R1 I1 I2 E2 a R2 b R3 I5 R4 I22 E3 I11 I4 I33 R5 R6 c I6 d I3 Рис. 3.3 Для схемы (рис. 3.3) имеем: ⎧ E1 − E2 = ( R1 + R5 + R2 ) I11 − R2 I 22 − R5 I 33 ⎪ ⎨ E2 − E3 = − R2 I11 + ( R4 + R2 + R3 ) I 22 − R4 I 33 ⎪ 0 = − R5 I11 − R4 I 22 + ( R6 + R4 + R5 ) I 33 ⎩ для контура I; для контура II; для контура III. Определив контурные токи из полученной системы уравнений, найдем токи в ветвях I1 = I11 , I 2 = I 22 − I11 , I 3 = − I 22 , I 5 = I 33 − I11 , I 6 = I 33. I 4 = I 22 − I 33 , Следует отметить, что при одинаковом направлении контурных токов в системе уравнений суммы сопротивлений, принадлежащих каждому контуру – собственное сопротивление контуров, входят со знаком плюс, а общие сопротивления двух контуров входят со знаком минус. В общем случае для n-контурной схемы получается n уравнений: ⎧ E11 = R11I11 + R12 I 22 + ... + R1n I nn ; ⎪ E = R I + R I + ... + R I ; ⎪ 22 21 11 22 22 2 n nn ⎨ ⎪⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎪⎩ Enn = Rn1I11 + Rn 2 I 22 + ... + Rnn I nn , где R11, R22, ..., Rnn – собственное сопротивление контуров; Rik, ..., Rki – общие сопротивления i-го и k-го контуров. E11, E22, ..., Enn – контурные ЭДС, алгебраическая сумма ЭДС в каждом контуре. Основы теории цепей. Конспект лекций -33- ЛЕКЦИЯ 3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Метод контурных токов Согласно теореме Крамера решение для любого контурного тока может быть найдено как 1 n I kk = ∑ Eii Δ ik , Δ i =1 где ∆ – определитель системы R11 R12 ... R1n Δ= R21 R22 ... R2 n ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , Rn1 Rn 2 ... Rnn ∆ik – алгебраическое дополнение элемента Rik, полученное из определителя ∆ вычеркиванием k-го столбца и i-й строки и умножением полученного определителя на (–1)(i + k). В развернутом виде 1 [ E11Δ11 + E22Δ 21 + ... + Enn Δ n1 ], Δ 1 I 22 = [ E11Δ12 + E22 Δ 22 + ... + Enn Δ n 2 ] , Δ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ I11 = I nn = 1 [ E11Δ1n + E22Δ 2n + ... + Enn Δ nn ]. Δ Токи в ветвях находятся как алгебраическая сумма соответствующих контурных токов. Метод наложения. Ток в любой k-й ветви сложной электрической цепи можно найти, составив уравнения по методу контурных токов, выбрав контуры так, чтобы k-я ветвь входила только в один контур. Тогда ток в k-й ветви будет равен контурному току, определенному выше: 1 n Δ Δ Δ I kk = ∑ Eii Δ ik =E11 1k + E22 2 k + ... + Enn nk . Δ i =1 Δ Δ Δ Основы теории цепей. Конспект лекций -34- ЛЕКЦИЯ 3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Метод наложения Каждое слагаемое в правой части представляет собой ток, вызванный в Δ k-й ветви соответствующей контурной ЭДС. Например, E11 1k – составΔ ляющая тока k-й ветви, вызванная контурной ЭДС E11. Каждая же из контурных ЭДС есть алгебраическая сумма ЭДС ветвей, входящих в соответствующий контур. Таким образом, ток в k-й ветви, создаваемый несколькими источниками ЭДС, включенными в разных участках схемы, равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждой из ЭДС в отдельности. Это и есть принцип суперпозиции или наложения. Этот принцип нашел применение в методе, получившем название «метод наложения». При расчете токов в ветвях цепи поступают следующим образом: поочередно рассчитывают токи, возникающие от действия каждой ЭДС, мысленно удаляя остальные ЭДС из схемы, но оставляя в схеме внутренние сопротивления источников. Ток в ветвях находят как алгебраическую сумму частичных токов от каждого источника. Если в цепи заданы источники тока и ЭДС, то ток в любой ветви находится также как сумма токов от действия тех и других источников. Принцип суперпозиции справедлив только для линейных цепей и называется принципом независимости действия, так как базируется на предположении, что каждое слагаемое сложного воздействия на линейную цепь вызывает свой отклик независимо от того, действуют ли в системе другие слагаемые. Метод узловых напряжений. Метод узловых напряжений является наиболее общим и широко применяется для расчета электрических цепей, в частности в различных программах автоматизированного проектирования электронных схем. Ток в любой ветви сложной цепи можно найти, определив разность потенциалов между узлами. Метод расчета, основанный на определении напряжений между узлами сложной цепи, называют методом узловых напряжений (узловых потенциалов). Число неизвестных в этом методе определяется числом уравнений, которые необходимо составить по первому закону Кирхгофа, т. е. метод узловых напряжений тоже является модификацией метода Кирхгофа. Данный метод имеет преимущества по сравнению с методом контурных токов, когда количество узлов меньше числа независимых контуров сложной цепи. Основы теории цепей. Конспект лекций -35- ЛЕКЦИЯ 3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Метод узловых напряжений Приняв потенциал одного из узлов (базисного или опорного) равным нулю, получим некоторые напряжения остальных узлов относительно базисного, называемые узловыми напряжениями. Определим токи во всех ветвях цепи (рис. 3.4), приведенной в примере 1. IΣ1 I1 IΣ2 R1 a Ua I5 b R2 I2 IΣ3 I4 c Ub R5 R4 I6 Uc R6 R3 d I3 Рис. 3.4 Для узлов a, b, с система уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, следующая ⎧− I Σ1 − I Σ 2 − I Σ 3 − I1 − I 2 − I 3 = 0 ⎪ IΣ 2 − I5 − I 4 + I 2 = 0 ⎨ ⎪ I Σ1 + I1 + I 5 − I 6 = 0 ⎩ для узла а; для узла b; для узла c, где IΣ1, IΣ2, IΣ3 – токи источников тока. Токи, протекающие через сопротивления, I1 = Ua − Uc , R1 I5 = I2 = U a − Ub , R2 I3 = Ua , R3 I4 = Ub , R4 Ub − Uc U , I6 = c . R5 R6 Подставив эти значения в последнюю систему уравнений, получим: ⎧− I Σ1 − I Σ 2 − I Σ 3 − g1 (U a − U c ) − g 2 (U a − U b ) − g3U a = 0; ⎪ I Σ 2 − g5 (U b − U c ) − g 4U b + g 2 (U a − U b ) = 0; ⎨ ⎪ I Σ1 + g1 (U a − U c ) + g5 (U b − U c ) − g 6U c = 0; ⎩ где gk = 1/Rk. Основы теории цепей. Конспект лекций -36- ЛЕКЦИЯ 3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Метод узловых напряжений ⎧( g1 + g 2 + g3 )U a − g 2U b − g1U c = − I Σ1 − I Σ 2 − I Σ 3 ; ⎪ ⎨ − g 2U a + ( g 2 + g 4 + g5 )U b − g5U c = I Σ 2 ; ⎪ ⎩ − g1U a − g5U b + ( g1 + g5 + g 6 )U c = I Σ1. Величины, представляющие собой сумму проводимостей ветвей, сходящихся в данном узле, называются собственной проводимостью узла, величина, равная проводимости ветви между узлами, входящая со знаком минус в систему уравнений, называется общей проводимостью между узлами. Решив данную систему уравнений, получим узловые напряжения и далее по закону Ома определим токи в ветвях. В общем случае для сложной цепи, содержащей q узлов: I11 = g11U1 + g12U 2 + ... + g1,q −1U q −1 ; ⎧ ⎪ I 22 = g 21U1 + g 22U 2 + ... + g 2,q −1U q −1 ; ⎪ ⎨ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎪ ⎪I ⎩ q −1,q −1 = g q−1,1U1 + g q −1,2U 2 + ... + g q −1,q −1U q −1. Здесь I11, I22, ..., Iq – 1,q – 1 – алгебраическая сумма токов источников, связанных с узлами; gii – собственная проводимость i-го узла; gik – общая проводимость между i-м и k-м узлами, входящая со знаком (–) при выбранном направлении узловых напряжений к базисному узлу. Решив систему уравнений с помощью определителей, получим: 1 q −1 U k = ∑ I ii Δ ik , Δ i =1 где ∆ – определитель системы g11 g12 ... g1,q−1 Δ= g 21 g 22 ... g 2,q −1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ g q −1,1 g q −1,2 ... g q −1,q −1 , ∆ik – алгебраическое дополнение элемента gik, полученное из определителя ∆ вычеркиванием k-го столбца и i-й строки и умножением полученного определителя на (– 1)(1 + k). Основы теории цепей. Конспект лекций -37- ЛЕКЦИЯ 3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Метод узловых напряжений В развернутом виде: 1 ⎡ I11Δ11 + I 22 Δ 21 + ... + I q −1,q −1Δ q −1,1 ⎤⎦ , Δ⎣ 1 U 2 = ⎡⎣ I11Δ12 + I 22 Δ 22 + ... + I q −1,q −1Δ q −1,2 ⎤⎦ , Δ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1 U q −1 = ⎡⎣ I11Δ1n + I 22 Δ 2 n + ... + I q −1,q −1Δ q −1,q −1 ⎤⎦ . Δ U1 = Из последних уравнений следует, что узловые напряжения определяются алгебраической суммой частных узловых напряжений, обусловленных действием каждого источника тока, т. е. как и в методе контурных токов, эти уравнения отражают принцип наложения, характерный для линейных электрических цепей. Изложенные правила составления узловых уравнений справедливы и для цепей с зависимыми источниками тока, т. е. ИТУН и ИТУТ. В уравнениях появляются дополнительные слагаемые, обусловленные взаимной проводимостью между узлами через зависимые источники. Метод эквивалентного генератора. Метод эквивалентного генератора используется в случае, когда необходимо найти ток, напряжение или мощность в одной ветви. По отношению к рассматриваемой ветви всю остальную часть цепи независимо от ее структуры можно рассматривать как двухполюсник (рис. 3.5). Двухполюсник называют активным, если он содержит источники электрической энергии, и пассивным – в противном случае. Различают два варианта метода эквивалентного генератора: метод эквивалентного источника напряжения и метод эквивалентного источника тока. Метод эквивалентного источника напряжения. Этот метод основан на теореме Тевенена, согласно которой ток в любой ветви линейной электрической цепи не изменится, если активный двухполюсник, к которому подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником напряжения с ЭДС, равной напряжению холостого хода на зажимах разомкнутой ветви, и внутренним сопротивлением, равным входному сопротивлению пассивного двухполюсника со стороны разомкнутой ветви. Основы теории цепей. Конспект лекций -38- ЛЕКЦИЯ 3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Метод эквивалентного генератора Пусть в некоторой сложной цепи требуется найти ток в одной из ее ветвей. Такую цепь можно представить в виде активного двухполюсника и подключенной к нему интересующей нас ветвью (рис. 3.5, а). Режим цепи не будет нарушен, если последовательно с сопротивлением R включить два одинаковых источника ЭДС EЭ1 и EЭ2, имеющих встречные полярности (рис. 3.5, б) и величину, равную напряжению холостого хода, которое появится на зажимах двухполюсника, если разомкнуть заданную ветвь. Согласно методу наложения будем считать искомый ток состоящим из двух составляющих: I = I1 + I2 (рис. 3.5, в). Ток I1 вызван действием всех источников активного двухполюсника и источником EЭ1. Очевидно, что I1 = 0, т. е. в этом случае в цепи реализован режим холостого хода. I I EЭ1 EЭ2 R R б а I2 EЭ1 I1 EЭ2 R R в I2 EЭ2 = UХХ UХХ Ri ЕЭ г Рис. 3.5 д Ток I2 (рис. 3.5, г), вызванный действием оставшегося источника EЭ2 при отсутствии всех остальных источников в цепи (короткое замыкание источников ЭДС и разрыв источников тока активного двухполюсника), представляет собой искомый ток I2 = I = EЭ2 U = XX , Ri + R Ri + R Основы теории цепей. Конспект лекций -39- ЛЕКЦИЯ 3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Метод эквивалентного генератора где Ri – внутреннее сопротивление эквивалентного источника напряжения, равное входному сопротивлению пассивного двухполюсника со стороны разомкнутой ветви. Из последней формулы следует, что активный двухполюсник может быть заменен последовательной схемой эквивалентного генератора (рис. 3.5, д). Если сопротивление нагрузки (рис. 3.5, г) замкнуть накоротко, то межE ду зажимами генератора будет проходить ток I КЗ = Э . Ri Отсюда следует, что внутреннее сопротивление эквивалентного генератора находится как отношение напряжения холостого хода к току короткого заU мыкания Ri = XX . I КЗ Наряду с заменой активного двухполюсника эквивалентным генератором напряжения, возможна также и замена его эквивалентным источником тока. Условием эквивалентности источника ЭДС и источника тока является один и тот же ток и напряжение, вызываемые ими на одной и той же нагрузке (рис. 3.6). Ri I I R ЕЭ U IЭ Ii R Ri а U б Рис. 3.6 Напряжение эквивалентного генератора (рис. 3.6, а) EЭ = RIi + U или U = EЭ – RiI. Напряжение на нагрузке в схеме с генератором тока (рис. 3.6, б) U = RI = RiIi = Ri (IЭ – I) = RiIЭ – RiI. Таким образом, EЭ – RiI = RiIЭ – RiI или EЭ = RiIЭ. E Ток эквивалентного источника тока I Э = Э , т. е. равен току, возниRi кающему в цепи в режиме короткого замыкания данной ветви. Основы теории цепей. Конспект лекций -40- ЛЕКЦИЯ 3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Метод эквивалентного генератора Метод эквивалентного источника тока. В основе метода лежит теорема Нортона, согласно которой ток в любой ветви линейной электрической цепи не изменится, если активный двухполюсник, к которому подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником тока с задающим током, равным току короткого замыкания этой ветви, и внутренней проводимостью, равной входной проводимости со стороны разомкнутой ветви. При переходе от эквивалентного генератора напряжения к эквивалентному источнику тока выше было получено: IЭ = EЭ = I КЗ = GiU XX , Ri где G = 1/Ri – внутренняя проводимость эквивалентного источника тока. После нахождения IКЗ и Ri искомый ток в нагрузке можно найти по формуле I= U RRi 1 Ri = I КЗ ⋅ = I КЗ . R R + Ri R R + Ri Контрольные вопросы 1. Каковы основные недостатки метода расчета электрических цепей, основанных на применении законов Кирхгофа? 2. Чем определяется количество уравнений при расчетах цепи методом контурных токов? 3. Каковы преимущества метода узловых напряжений по сравнению с методом контурных токов? 4. Для каких цепей справедлив принцип суперпозиции? 5. Какие теоремы лежат в основе метода эквивалентного генератора? Основы теории цепей. Конспект лекций -41- ЛЕКЦИЯ 4. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ Гармонические колебания. Среднее и действующее (эффективное) значения гармонической функции. Гармонические колебания. Колебательный процесс называется гармоническим, если мгновенное значение напряжения или тока изменяется во времени по закону u = Umcos(ωt + ψ) или u = Umsin(ωt + ψ´). Гармоническое колебание является периодической функцией времени. На рис. 4.1 отмечены амплитуда Um (максимальное значение) колебания и его период Т = 1/f, где f – частота колебания. Величина θ = ωt + ψ называется текущей фазой колебания и представляет собой некоторый угол, величина которого зависит от времени. Постоянная величина ψ называется начальной фазой, определяющей величину смещения гармонической функции относительно начала координат. Величина ω пропорциональна частоте f; она носит название угловой частоты и равна 2πf. Угловая частота является скоростью изменения текущей фазы, т. е. dθ 2π . ω= , и измеряется в радианах в секунду (рад/с). ω = 2πf = dt T ψ ω Umcosψ 0 Рис. 4.1 Основы теории цепей. Конспект лекций -42- ЛЕКЦИЯ 4. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ Гармонические колебания При t = 0 значение функции определяется амплитудой и величиной начальной фазы u(0) = Umcosψ. Среднее и действующее (эффективное) значения гармонической функции. Среднее значение периодической функции за период Т определяется по формуле T FCP 1 = ∫ f (t )dt . T0 В случае гармонического колебания среднее значение за период равно высоте прямоугольника с основанием Т, площадь которого равна площади, ограниченной функцией f(t) и осью абсцисс и равна нулю, так как площадь положительной полуволны компенсируется площадью отрицательной полуволны. Поэтому под средним значением гармонической функции понимают среднее значение за полпериода. Для гармонического напряжения u = Umcosωψ U CP 2 = T T 4 T 2U 2 ∫T U m cos ωtdt = T ωm sin ωt −4T = π U m ≈ 0,637U m . 4 − 4 Действующее (среднеквадратичное) значение периодической функции вычисляется по формуле T 1 [ f (t )]2 dt . F= ∫ T0 Из этой формулы следует, что величина F2 представляет собой среднее значение функции [f(t)]2 за период Т, т. е. равна высоте прямоугольника с основанием Т, площадь которого равна площади, ограниченной функцией [f(t)]2 и осью абсцисс за один период. При токе i = Imcosωt Основы теории цепей. Конспект лекций -43- ЛЕКЦИЯ 4. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ Среднее и действующее (эффективное) значения гармонической функции T T T 1 1 2 I m2 I 2 2 I= [i (t )] dt = I m cos ωtdt = (1 + cos 2ωt )dt = m . ∫ ∫ ∫ T0 T0 2T 0 2 Количество теплоты, выделенное гармоническим током за время, равное периоду колебаний, T T T 0 0 0 W = ∫ Pdt = ∫ uidt = ∫ Ri 2 dt =RI m2 T . 2 Выделенная за это же время постоянным током теплота 2 W = RI const T. Из условия равенства количества теплоты, выделяемой гармоническим I T ⎛ ⎞ 2 T ⎟ , получим I = I const = m , т. е. дейсти постоянным токами ⎜ RI m2 = RI const 2 2 ⎝ ⎠ вующее значение периодического тока равно по величине такому постоянному току, который, проходя через неизменное сопротивление R за период времени Т, выделяет то же количество тепла, что и данный ток i. Контрольные вопросы 1. Какой процесс называется гармоническим? 2. Что такое среднее значение гармонической функции? 3. Что такое действующее (эффективное) значение гармонической функции? Основы теории цепей. Конспект лекций -44- ЛЕКЦИЯ 5. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД Представление гармонических функций с помощью комплексных величин. Гармонический ток в элементах электрической цепи (гармонический ток в сопротивлении, индуктивности и емкости). Представление гармонических функций с помощью комплексных величин. При гармоническом воздействии на линейную цепь все токи и напряжения имеют форму гармонических колебаний, поэтому задача расчета цепи сводится к нахождению амплитуд и начальных фаз этих колебаний. В связи с этим был разработан метод комплексных амплитуд, основанный на представлении гармонических функций в виде проекций вращающихся векторов, которые выражаются аналитически в комплексной форме. Метод удобно сочетает аналитические расчеты с геометрическими представлениями. Гармонические колебания согласно методу комплексных амплитуд могут быть представлены как проекции вектора U m на комплексной плоскости вращающегося против часовой стрелки с угловой частотой ω (рис. 5.1) на оси координат. Im u(t) = Umsin(ωt + ψ) ωt2 ωt1 ψ 0 t2 t1 0 Re 0 t1 t2 u(t) = Umcos(ωt + ψ) Рис. 5.1 Основы теории цепей. Конспект лекций -45- ЛЕКЦИЯ 5. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД Представление гармонических функций с помощью комплексных величин Проекция вектора на вещественную ось представляет собой мгновенное значение, выражаемое косинусоидальной функцией U(t) = Umcos(ωt + ψ), а на мнимую ось – синусоидальной функцией U(t) = Umsin(ωt + ψ). Символический вектор на комплексной плоскости математически может быть представлен в трех формах: алгебраической U m = ReU m + j ImU m , где j = −1 ; показательной U m =| U m | e jψ , где U m – модуль; ψ – аргумент; тригонометрической U m =| U m | cos α + j | U m | sin α . Модуль вектора | U m |= аргумент α = arctg ( ReU m ) + ( ImU m ) 2 2 | U m |= ( ReU m ) + ( ImU m ) 2 2 , ImU m . ReU m В случае гармонического колебания аргумент комплексного числа U m является функцией времени α = ω · t + ψ. Поэтому число, символизирующее вращающийся вектор, выражается в показательной форме U ( t ) = U m e j ψ e j ωt ; в тригонометрической форме U ( t ) = U m cos ( ωt + ψ ) + j U m sin ( ωt + ψ ) . Кроме рассмотренного выше, возможен и несколько иной способ представления гармонических колебаний в виде двух вращающихся навстречу векторов (рис. 5.2). Основы теории цепей. Конспект лекций -46- ЛЕКЦИЯ 5. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД Представление гармонических функций с помощью комплексных величин Im Im u(t) = jUmsin(ωt + ψ) jωt ω –jωt u(t) = Umcos(ωt + ψ) ω ψ ψ Re –ψ –ω jωt 0 –ψ –ω –jωt Re –jωt Рис. 5.2 На основании формулы Эйлера: − j ωt +ψ ) e j ( ωt +ψ ) + e ( u ( t ) = U m cos ( ωt + ψ ) = U m 2 или * u (t ) = U m j ωt U m − j ωt e + e , 2 2 * где U m = U me jψ , а U m = U me − jψ – комплексно-сопряженное число. u (t ) = U m sin(ωt + ψ ) = U m e j ( ωt +ψ ) − e − j ( ωt +ψ ) 2j или * ⎛ ⎞ 1 ⎜ U m jωt U m − jωt ⎟ u (t ) = e − e . ⎟ j⎜ 2 2 ⎝ ⎠ Вращение векторов в отрицательном направлении (по ходу часовой стрелки (рис. 5.2) связано с понятием отрицательной частоты, что, конечно, лишено физического смысла, однако позволяет упростить решение многих задач в радиотехнике и электронике. Таким образом, при рассмотрении напряжений и токов в цепи при гармоническом воздействии может быть построена векторная диаграмма, представляющая собой совокупность радиус-векторов, отображающих комплекс- Основы теории цепей. Конспект лекций -47- ЛЕКЦИЯ 5. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД Представление гармонических функций с помощью комплексных величин ные амплитуды колебаний и вращающихся на комплексной плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью ω. I U Рис. 5.3 Поскольку взаимное расположение векторов на диаграмме не изменяется, то удобно рассматривать комплексные амплитуды напряжений и токов в момент времени t = 0. На рис. 5.3 приведено схематическое изображение цепи переменного тока. Генератор гармонических колебаний питает пассивный двухполюсник, состоящий из сопротивлений, индуктивностей и емкостей. Отношение комплексных амплитуд напряжения U и тока I на входе двухполюсника называется его комплексным входным сопротивлением: Z BX = U . I Величина, обратная комплексному сопротивлению, называется его комплексной проводимостью YBX = 1 I = . Z BX U Учитывая, что U m = U me jψU и I m = I me jψi , получаем Z BX = U m j( ψU −ψi ) . e Im Um – полное входное сопротивление (модуль); ψU – ψi – Im сдвиг фаз между напряжением и током. Как всякое комплексное число, комплексное сопротивление и комплексная проводимость могут быть представлены в показательной, алгебраической и тригонометрической формах: Отношение Z BX =| Z BX | e jϕ , Основы теории цепей. Конспект лекций -48- ЛЕКЦИЯ 5. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД Представление гармонических функций с помощью комплексных величин Z BX = RBX + jX BX , где RВХ – вещественная активная составляющая; XВХ – мнимая реактивная составляющая комплексного сопротивления; Z BX = Z BX cos ϕ + j Z BX sin ϕ . Очевидно, Z BX = 2 2 RBX + X BX , ϕ = arctg X BX . RBX Гармонический ток в элементах электрической цепи. Гармонический ток в сопротивлении. Если пассивный двухполюсник представляет собой активное сопротивление R, то на основании закона Ома I = т. е. амплитуда тока I m = U U , I = I me jψi = m e jψU , R R Um , а разность фаз между током и напряжением R φ = ψU – ψi. На векторной диаграмме (рис. 5.4) напряжение и ток совпадают по фазе; Z BX = RBX = R, X BX = 0 , проводимость YBX = 1/ R . Im ψU = ψi Re 0 Рис. 5.4 Если к сопротивлению подведено напряжение u ( t ) = U m cos ( ωt + ψU ) , U то через него потечет ток i = m cos ( ωt + ψU ) . R Мгновенная мощность, поступающая в сопротивление, Основы теории цепей. Конспект лекций -49- ЛЕКЦИЯ 5. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД Гармонический ток в элементах электрической цепи PR = ui = U m I m cos 2 ( ωt + ψ ) = UI ⎡⎣1 + cos 2 ( ωt + ψ ) ⎤⎦ , т. е. PR изменяется с удвоенной частотой (рис. 5.5). 0 Рис. 5.5 Среднее значение мощности за период T T 1 1 U I PA = ∫ PR dt = ∫ m m ⎡⎣1 + cos 2 ( ωt + ψ ) ⎤⎦ dt = UI = RI 2 . T0 T0 2 Среднее значение расходуемой мощности называют активной мощностью. U I ( U = m и I = m – действующие значения напряжения и тока.) 2 2 Гармонический ток в индуктивности. Если пассивный двухполюсник представляет собой индуктивность, то UL = L di . dt Используя метод комплексных амплитуд, получим Основы теории цепей. Конспект лекций -50- ЛЕКЦИЯ 5. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД Гармонический ток в элементах электрической цепи UL = L ( d I me jψi e jωt dt U Lm = jωLI me jψ i ) = jωLI me jψi e jωt = U me jψU e jωt , = ωLI me π⎞ ⎛ j ⎜ ψi + ⎟ 2⎠ ⎝ π ⎛ j π π⎞ , ⎜ j = e 2 = cos + j sin ⎟ . ⎜ 2 2 ⎟⎠ ⎝ Отсюда следует, что амплитуда напряжения ULm = ωLIm = XLIm, где XL = ωL – индуктивное сопротивление, обратная величина bL = 1 назыωL вается индуктивной проводимостью. Угол сдвига фаз между напряжением и током, т. е. ϕ = ψU − ψ i = ток отстает по фазе от напряжения на π (рис. 5.6). 2 π – 2 Im π 2 ψU ψi 0 Re Рис. 5.6 Очевидно, что входное сопротивление индуктивности – чисто мнимая величина π Z BX j U I m e jψ i 2 = jX , = = j ωL = j ω L = ω L e L jψ i I I me линейно изменяющаяся с частотой. Пусть через индуктивность протекает ток i(t) = Imcos(ωt + ψ). Тогда напряжение на индуктивности uL = L di π⎞ ⎛ = −ωLI m sin ( ωt + ψ ) = U m cos ⎜ ωt + ψ + ⎟ . dt 2⎠ ⎝ Основы теории цепей. Конспект лекций -51- ЛЕКЦИЯ 5. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД Гармонический ток в элементах электрической цепи Мгновенная мощность, поступающая в индуктивность, будет равна: PL = ui = −U m I m sin ( ωt + ψ ) cos ( ωt + ψ ) = =− U m Im 2sin ( ωt + ψ ) cos ( ωt + ψ ) = −UI sin 2 ( ωt + ψ ) . 2 0 Рис. 5.7 Энергия магнитного поля индуктивности Li 2 LI m2 LI 2 2 = cos ( ωt + ψ ) = WL = ⎡1 + cos 2 ( ωt + ψ ) ⎤⎦ , 2 2 2 ⎣ т. е. так же, как и мгновенная мощность колеблется с удвоенной частотой (рис. 5.7), происходит непрерывный обмен энергии между источником и индуктивностью, причем средняя мощность, поступающая в индуктивность, равна нулю. Основы теории цепей. Конспект лекций -52- ЛЕКЦИЯ 5. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД Гармонический ток в элементах электрической цепи Гармонический ток в емкости. При подключении к источнику гармонического напряжения емкости в цепи потечет ток iC = C dU . dt Используя метод комплексных амплитуд, получаем IC = C ( d U me jψU e jωt dt ) = CU m e jψU jω e jωt = I m e jψi e jωt , jψi jψU I = I me = jωCU me = ωCU me Отсюда следует, что амплитуда тока в емкости I m = ωCU m = bCU m = π⎞ ⎛ j ⎜ ψU + ⎟ 2⎠ ⎝ . Um , XC 1 – емкостное сопротивление. ωC π Сдвиг фаз между напряжением и током ϕ = ψU − ψ i = − , 2 т. е. ток опережает напряжение на π/2 (рис. 5.8). где bC = ωC – проводимость емкости, X C = Im π 2 ψi ψU 0 Re Рис. 5.8 Следует отметить, что входное сопротивление емкости является чисто мнимой отрицательной величиной π Z BX U U me jψU 1 1 1 - j2 = = = = − j = e , ωC ω C I j ωC jωCU me jψU Основы теории цепей. Конспект лекций -53- ЛЕКЦИЯ 5. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД Гармонический ток в элементах электрической цепи 1 ⎞ ⎛ ⎜ XC = − ⎟. ωC ⎠ ⎝ Мгновенная мощность, поступающая в емкость зависящей от частоты источника π⎞ ⎛ PС = ui = U m I m cos ( ωt + ψ ) cos ⎜ ωt + ψ + ⎟ = −UI sin 2 ( ωt + ψ ) . 2⎠ ⎝ Энергия электрического поля емкости CU 2 CU m2 CU 2 2 WC = = cos ( ωt + ψ ) = ⎡1 + cos 2 ( ωt + ψ ) ⎤⎦ . 2 2 2 ⎣ Как и в индуктивности, мгновенная мощность и энергия в емкости колеблются с удвоенной частотой, причем средняя мощность, поступающая в емкость, равна нулю. Контрольные вопросы 1. В каких формах математически может быть представлен символический вектор на комплексной плоскости? 2. Каковы фазовые соотношения между напряжением и током в сопротивлении? 3. Каковы фазовые соотношения между напряжением и током в индуктивности? 4. Каковы фазовые соотношения между напряжением и током в емкости? Основы теории цепей. Конспект лекций -54- ЛЕКЦИЯ 6. ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ Гармонический ток с последовательным соединением RLC. Гармонический ток с параллельным соединением RLC. Гармонический ток с последовательным соединением RLC. Согласно первому закону Кирхгофа сумма мгновенных значений токов в узле равна нулю. Представляя мгновенные значения токов как вещественные части комплексных функций ( ) ( ) ( ) i1 ( t ) = Re I m1e jωt , i2 ( t ) = Re I m 2e jωt , ... , in ( t ) = Re I mne jωt , n получим ∑ Re ( I mk e jωt ) = 0 . k =0 Так как сумма вещественных частей комплексных функций равна вещественной части суммы функций, то ⎛ n ⎞ Re ⎜ ∑ I mk e jωt ⎟ = 0 . ⎝ k =0 ⎠ Это выражение справедливо для любого момента времени, в том числе и для t = 0. Поэтому n ∑ I mk = 0 . k =0 Таким образом, сумма комплексных амплитуд токов в узле равна нулю. Второй закон Кирхгофа гласит, что сумма мгновенных значений напряжений на пассивных элементах контура равна сумме ЭДС, действующих в контуре. Для электрической цепи (рис. 6.1) e ( t ) = Ri + L di 1 + idt . dt C ∫ Основы теории цепей. Конспект лекций -55- ЛЕКЦИЯ 6. ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ Гармонический ток с последовательным соединением RLC Рис. 6.1 Пусть E = Eme jωt , тогда ток может быть представлен в виде I = I me jωt , где Em и I m – комплексные амплитуды источника ЭДС и тока в контуре. Тогда последнее уравнение может быть представлено в виде ( ) Re( Eme jωt ) = R ⋅ Re I me jωt + L ( ) ( ) d 1 Re I me jωt + ∫ Re I me jωt dt . dt C Заменив операции над действительными частями комплексных функций операциями над самими комплексными функциями с последующим выделением действительных частей от полученного результата, имеем: d 1 ⎛ ⎞ Re Eme jωt = Re ⎜ RI me jωt + L I me jωt + ∫ I me jωt dt ⎟ . dt C ⎝ ⎠ ( ) После операций дифференцирования и интегрирования в правой части уравнения получим: ⎛ ⎞ 1 Re Eme jωt = Re ⎜ RI me jωt + jωLI m e jωt + I m e j ωt ⎟ . jωC ⎝ ⎠ ( ) Проведя деление обеих частей уравнения на eiωt, получим алгебраиче1 ское комплексное уравнение Em = RI m + jωLI m + I m , из которого следуj ωC ет, что комплексная амплитуда ЭДС источника равна сумме комплексных амплитуд падений напряжения на элементах Em = U Rm + U Lm + U Cm . Алгебраическое комплексное уравнение может быть представлено и в другой форме: ⎛ 1 ⎞ Em = ⎜ R + jωL + ⎟ I m = ZI m , ω j C ⎝ ⎠ где Z – комплексное сопротивление цепи. Основы теории цепей. Конспект лекций -56- ЛЕКЦИЯ 6. ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ Гармонический ток с последовательным соединением RLC Последнее уравнение представляет собой закон Ома для комплексных амплитуд. В общем случае второй закон Кирхгофа в комплексной форме можно записать в виде n n k =1 k =1 ∑ Z k I k =∑ Ek , где Z k и I k – комплексное сопротивление и комплексная амплитуда тока в k-й ветви, Ek – комплексная амплитуда ЭДС k-й ветви. Построим векторную диаграмму напряжений для последовательной RLC-цепи (рис. 6.2). Изображенные на рис. 6.2 напряжения на элементах равны: U R = RI , U L = jωLI , U C = 1 1 I =−j I. ωC j ωC 1 1 X X = ωL − > 0, ϕ = arctg > 0 , сопротивление цеωC ωC R пи имеет индуктивный характер и ток в цепи отстает от входного напряжения на угол φ, зависящий от соотношения сопротивлений индуктивности, емкости и резистора (рис. 6.2, а). 1 1 X X = ωL − При ωL < < 0, ϕ = arctg < 0 , сопротивление цеωC ωC R пи имеет емкостный характер, и ток в цепи опережает входное напряжение на угол φ (рис. 6.2, б). При ωL > Х>0 Im Im Х<0 π 2 π 2 φ 0 φ 0 ψ ψ–φ 0 ψ–φ ψ 0 Re а Re б Рис. 6.2 Основы теории цепей. Конспект лекций -57- ЛЕКЦИЯ 6. ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ Гармонический ток с последовательным соединением RLC Im Im U p = U L + UC φ>0 Ua = 0 а φ>0 Re 0 б φ<0 Re в Рис. 6.3 Векторы, представляющие действующие в цепи ЭДС и напряжения на элементах, образуют на векторной диаграмме замкнутую фигуру (треугольник напряжений (рис. 6.3, а). Треугольник сопротивлений представляет собой геометрическую интерпретацию выражения комплексного сопротивления при Х > 0 (рис. 6.3, б) и X < 0 (рис. 6.3, в). Гармонический ток с параллельным соединением RLC. В соответствии с первым законом Кирхгофа для цепи с параллельным соединением R, L, C (рис. 6.4) имеем: I = I R + I L + IC = U U + + jωCU = YU . R jωL Рис. 6.4 Ток в сопротивлении I R совпадает по фазе с напряжением U ; ток в инπ дуктивности I L отстает от напряжения на ; ток в емкости I C опережает на2 π пряжение на . 2 Основы теории цепей. Конспект лекций -58- ЛЕКЦИЯ 6. ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ Гармонический ток с параллельным соединением RLC ⎛ 1 ⎞ Выражение Y = g − j ⎜ − ωC ⎟ = g − jb представляет собой комплекс⎝ ωL ⎠ ную проводимость цепи; g = 1/R – активная составляющая; b – реактивная составляющая проводимости цепи. Уравнение I = YU выражает закон Ома в комплексной форме. Построим векторную диаграмму токов для параллельной RLC-цепи (рис. 6.5). 1 При ωL < проводимость цепи имеет индуктивный характер и полωC ный ток I отстает от входного напряжения U по фазе (рис. 6.5, а). 1 При ωL > проводимость цепи имеет емкостный характер и полный ωC ток I опережает входное напряжение U по фазе (рис. 6.5, б). Im Im π 2 π 2 φφ< 0 φ>0 ψ–φ ψ ψ Re 0 ψ–φ Re 0 а б Рис. 6.5 Im Im Im φ<0 0 φ>0 а Re 0 φ>0 б Re Re 0 в Рис. 6.6 Активная составляющая тока I A = I R , реактивная составляющая I P = I L + I C и суммарный ток I образуют треугольник токов (рис. 6.6, а). Основы теории цепей. Конспект лекций -59- ЛЕКЦИЯ 6. ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ Гармонический ток с параллельным соединением RLC Если стороны треугольника токов поделить на входное напряжение, то 1 получатся стороны треугольника проводимостей; для случая ωL < ωC 1 (рис. 6.6, б) и (рис. 6.6, в) для случая ωL > . ωC Контрольные вопросы 1. Что такое комплексное сопротивление цепи? 2. При каком характере сопротивления ток в цепи опережает входное напряжение на угол φ? 3. При каком характере сопротивления ток в цепи отстает от входного напряжения на угол φ? Основы теории цепей. Конспект лекций -60- ЛЕКЦИЯ 7. МОЩНОСТЬ В ЦЕПИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ТОКА Мгновенная мощность. Активная мощность. Реактивная мощность. Полная мощность. Условие передачи максимума средней мощности от генератора к нагрузке. Коэффициент полезного действия. Пусть имеем участок цепи R–X (рис. 7.1), находящийся под воздействием гармонического напряжения. Рис. 7.1 При напряжении на участке цепи u = Umcos ωt (ψ = 0) в цепи течет ток i = Imcos (ωt – φ). Мгновенная мощность. Мгновенная мощность, поступающая в цепь P = ui = U m I mcosωt cos ( ωt − ϕ ) = U I = m m ⎡⎣cos ϕ + cos ( 2ωt − ϕ ) ⎤⎦ состоит из двух составляющих: постоянной ве2 U I U I личины m m cos ϕ и гармонической m m cos ( 2ωt − ϕ ) , колеблющейся с уд2 2 военной частотой. На рис. 7.2 приведены временные диаграммы напряжения, тока и мгновенной мощности. Основы теории цепей. Конспект лекций -61- ЛЕКЦИЯ 7. МОЩНОСТЬ В ЦЕПИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ТОКА Мгновенная мощность cosφ 0 Рис. 7.2 Сравнивая кривую мгновенной мощности, изображенную на рис. 7.2, с аналогичными кривыми, полученными для цепей с реактивными элементами (рис. 5.7), можно увидеть, что, в отличие от рис. 5.7, площадь, ограниченная положительными ординатами кривой, превышает площадь отрицательных участков. Это свидетельствует о том, что энергия частично расходуется в активном сопротивлении R, подобно тому, что наблюдается в цепи с сопротивлением (рис. 5.5). Однако одновременно некоторое количество энергии периодически то накапливается в магнитном или электрическом полях реактивного сопротивления X, то возвращается к генератору. Выражение для мгновенной мощности может быть также представлено в иной форме P = ui = U m I m cos ωt [ cos ωt cos ϕ + sin ωt sin ϕ] = = UmIm U I cos ϕ (1 + cos 2ωt ) + m m sin ϕ sin 2ωt. 2 2 Очевидно, что первое слагаемое является мгновенной скоростью расходования энергии в цепи, т. е. мощностью, потребляемой активным сопротивлением. Второе слагаемое представляет собой мгновенную скорость запасания энергии в магнитном или электрическом поле цепи. Активная мощность. Среднее значение мощности за период, равное активной мощности T 1 U I PA = ∫ uidt = m m cos ϕ = UI cos ϕ . T0 2 Основы теории цепей. Конспект лекций -62- ЛЕКЦИЯ 7. МОЩНОСТЬ В ЦЕПИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ТОКА Активная мощность В отличие от цепи, содержащей только активное сопротивление, где PA = UI = RI2, теперь PA < UI. Таким образом, активная мощность равна произведению действующих значений напряжения и тока, умноженному на cos φ, который носит название коэффициента мощности. Чем ближе угол φ к нулю, ближе cos φ к единице, тем большая активная мощность будет передаваться от источника к нагрузке при заданном напряжении. Реактивная мощность. Мгновенная скорость запасания энергии – реактивная мощность – имеет абсолютное значение U I Q = m m sin ϕ = UI sin ϕ . 2 Знак Q свидетельствует о характере запасаемой энергии. Если Q > 0, то энергия запасается в магнитном поле; если же Q < 0, энергия накапливается в электрическом поле цепи. U I В отличие от чисто реактивной цепи, для которой Q = m m = UI , в 2 U m Im смешанной цепи Q < . 2 X I I m2 X = X , то Q = = I2X . Поскольку sin ϕ = Z U 2 Реактивная мощность измеряется в вольт-амперах реактивных (ВАР). Реактивная мощность, подводимая к индуктивности, π LI m2 2 QL = UI sin = ωLI = ω = ωWL max , 2 2 где WL max – максимальное значение энергии магнитного поля, запасаемой в индуктивности. Реактивная мощность, подводимая к емкости, CU m2 ⎛ π⎞ 2 QC = UI sin ⎜ − ⎟ = −ωCU = −ω = −ωWC max , 2 ⎝ 2⎠ где WC max – максимальное значение энергии электрического поля, запасаемой емкостью. В цепи, содержащей индуктивность и емкость, реактивная мощность равна Q = ω(WL – WC max max). Основы теории цепей. Конспект лекций -63- ЛЕКЦИЯ 7. МОЩНОСТЬ В ЦЕПИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ТОКА Полная мощность. Величина, равная произведению действующих значений напряжения и тока на зажимах цепи S = UI, называется полной мощностью и измеряется в вольт-амперах (ВА). Поскольку PA = UIcosφ = Scosφ, Q = UIsinφ = Ssinφ, то, очевидно 2 S = PA2 + Q 2 ; tg ϕ = Q . PA Энергетический расчет цепи гармонического тока может быть проведен и методом комплексных амплитуд, если воспользоваться следующим приемом. Пусть через некоторое комплексное сопротивление Z под действием комплексной амплитуды напряжения U m = U me jψU протекает ток с комплексной амплитудой I m = I me jψi . Найдем произведение из комплексной амплитуды напряжения U m = U me jψU и комплексного числа, сопряженного с комплексной амплиту* дой тока I m = I me − jψi . Разделив полученное произведение на два, имеем S= U m I m j( ψU − jψi ) U m I m jϕ U m I m U I = cos ϕ + j m m sin ϕ . e e = 2 2 2 2 Таким образом, вещественная часть полученного произведения равна активной мощности PA, а мнимая часть реактивной мощности Q. На комплексной плоскости соотношение между мощностями может быть представлено в виде треугольника мощностей (рис. 7.3), подобного треугольнику сопротивлений. Если комплексно-сопряженное напряжение умножить на комплексный ток и поделить полученное произведение на два, то получим: * U m I m U m I m j( ψi −ψU ) U m I m − jϕ U m I m U I = = cos ϕ − j m m sin ϕ . e e = 2 2 2 2 2 * U m Im = PA − jQ . 2 Основы теории цепей. Конспект лекций -64- ЛЕКЦИЯ 7. МОЩНОСТЬ В ЦЕПИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ТОКА Полная мощность Im φ Re 0 Рис. 7.3 Отсюда следует, что активная и реактивная мощности могут быть записаны в виде * * * * 1⎛ 1 ⎛ ⎞ ⎞ PA = ⎜ U m I m + U m I m ⎟ , Q = ⎜ U m I m − U m I m ⎟ . 4⎝ 4j⎝ ⎠ ⎠ Для комплексов действующих значений напряжения и тока 1⎛ * * ⎞ 1 ⎛ * * ⎞ PA = ⎜ U I + U I ⎟ , Q = ⎜ U I − U I ⎟ . 2⎝ 2j⎝ ⎠ ⎠ Условие передачи максимума средней мощности от генератора к нагрузке. Коэффициент полезного действия. Пусть источник ЭДС (рис. 7.4) с внутренним сопротивлением Z i = Ri + jX i подключен к сопротивлению нагрузки Z H = RH + jX H . Zi Е ZН I Рис. 7.4 Амплитуда тока в цепи I m = Em ( Ri + RH ) Основы теории цепей. Конспект лекций 2 + ( Xi + XH ) 2 . -65- ЛЕКЦИЯ 7. МОЩНОСТЬ В ЦЕПИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ТОКА Условие передачи максимума средней мощности от генератора к нагрузке. Коэффициент полезного действия Средняя мощность, потребляемая нагрузкой, 1 1 RH Em2 2 PA = RH I m = . 2 2 ( Ri + RH )2 + ( X i + X H )2 Отсюда видно, что первым условием получения максимума PA является равенство XH = –Xi. В этом случае мощность, выделяемая в сопротивлении нагрузки, PA max = 1 RH Em2 . 2 ( Ri + RH )2 Дифференцируя по RH и приравнивая производную к нулю, получим второе условие, при выполнении которого активная мощность достигает наибольшего возможного (максимум максиморум) значения: dPA max 1 Em ( Ri + RH ) − 2 ( Ri + RH ) RH Em = = 0. 4 dRH 2 + R R ( i H) 2 2 2 Отсюда Ri = RH. Em2 E2 = m . 8 Ri 8 RH Таким образом, условия получения наибольшей мощности в нагрузке могут быть выражены одной формулой RH + jXH = Ri – jXi. Если это условие выполняется, то считается, что генератор и нагрузка согласованы. На рис. 7.5 показана зависимость PA max от отношения RH/RI. Поскольку ток в цепи протекает как через нагрузку, так и через внутреннее сопротивление генератора, то часть мощности генератора расходуется на его внутреннем сопротивлении и эту мощность можно считать бесполезно потерянной. Коэффициент полезного действия равен: При этом условии активная мощность в нагрузке PA m m = η= PA , Pi + PA где Pi – мощность, расходуемая внутри генератора. Основы теории цепей. Конспект лекций -66- ЛЕКЦИЯ 7. МОЩНОСТЬ В ЦЕПИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ТОКА Условие передачи максимума средней мощности от генератора к нагрузке. Коэффициент полезного действия η 1,0 0,8 η 0,6 0,4 0,2 0 1 2 3 4 5 RН Rt Рис. 7.5 Учитывая, что PA = η= RH 1 . = Ri + RH 1 + Ri RH 1 RH I m2 2 и Pi = 1 Ri I m2 , получим 2 График зависимости коэффициента полезного действия от отношения RH/RI приведен на рис. 7.5. В режиме согласованной нагрузки (Ri = RH) полезная мощность максимальна, коэффициент полезного действия равен лишь 50 %, т. е. внутри генератора расходуется такая же мощность, какая выделяется в нагрузке, а отдаваемая генератором мощность вдвое превосходит полезную. При RH > Ri полезная мощность падает с ростом RH, в то время как коэффициент полезного действия продолжает расти, приближаясь к единице. В тех случаях, когда получение высокого коэффициента полезного действия является решающим, следует выбирать режим цепи при RH > Ri. В радиотехнических цепях при преобразовании маломощных сигналов чаще всего стоит задача получения возможно большей полезной мощности, в этом случае следует добиваться режима согласования Ri = RH. Основы теории цепей. Конспект лекций -67- ЛЕКЦИЯ 7. МОЩНОСТЬ В ЦЕПИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ТОКА Контрольные вопросы 1. Из каких составляющих состоит мгновенная мощность? 2. Что такое активная мощность? 3. Что такое коэффициент мощности? 4. Какой характер имеет реактивная мощность? 5. Каково условие передачи максимума средней мощности от генератора к нагрузке? Основы теории цепей. Конспект лекций -68- ЛЕКЦИЯ 8. ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ (РЕЗОНАНСНЫЕ) ЦЕПИ Последовательный колебательный контур. Резонанс напряжений. Энергетические соотношения в колебательном контуре. Частотные характеристики последовательного колебательного контура. Входные частотные характеристики последовательного контура. Полоса пропускания последовательного контура. Передаточные функции последовательного контура. Влияние сопротивления генератора и нагрузки на избирательность последовательного колебательного контура. Одной из основных задач радиотехники является осуществление частотной избирательности (селективности) радиотехнических устройств. В общем случае в любой приемной антенне возбуждается одновременно множество ЭДС различных частот, излучаемых передающими станциями, а также источниками промышленных и атмосферных помех. Радиоприемное устройство должно на фоне всех сигналов выделить один нужный сигнал (рис. 8.1). На рис. 8.1, а изображена шкала частот, на которой прямоугольниками обозначены области частот с центральными частотами, отведенными для работы каждого источника сигнала. Амплитуды колебаний всех источников будем считать одинаковыми. ∆f1 ∆f2 f1 f2 а ∆f3 ∆f4 f3 f4 ∆fПр б в Рис. 8.1 Основы теории цепей. Конспект лекций -69- ЛЕКЦИЯ 8. ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ (РЕЗОНАНСНЫЕ) ЦЕПИ Для выделения одного из сигналов приемное устройство должно иметь частотную характеристику вида, приведенного на рис. 8.1, б. Приемное устройство пропускает только частоты, лежащие внутри полосы ∆fПр. Если, например, полоса частот ∆fПр совпадает с ∆f3, приемное устройство выбирает из всех воздействующих на нее колебаний лишь колебания третьего источника. При идеальной характеристике (рис. 8.1, б) воздействие всех остальных источников не вызывает никаких откликов. Для того чтобы иметь возможность настраиваться на различные сигналы, необходимо передвигать полосу ∆fПр вдоль шкалы частот. Реализовать цепи, имеющие частотную характеристику прямоугольной формы (рис. 8.1, б), практически не представляется возможным, удается лишь в известной степени (рис. 8.1, в) приблизиться к подобному виду характеристики, используя для этого избирательные (резонансные) цепи. Последовательный колебательный контур. Резонанс напряжений. Последовательным колебательным контуром называется цепь, составленная из последовательно соединенных индуктивности, емкости и активного сопротивления, характеризующего потери в реактивных элементах (рис. 8.2). Рис. 8.2 При воздействии гармонической ЭДС E = Eme jωt ток в контуре I = E 1 , где Z = R + jωL + = R + jX , Z j ωC Z =| Z | e jϕ , | Z |= R 2 + X 2 , ϕ = arctg X 1 , X = ωL − . ωC R Активную составляющую входного сопротивления R можно приближенно считать не зависящей от частоты генератора. Реактивная составляю1 является функцией частоты и в зависимости от величин L, щая X = ωL − ωC C, и ω изменяется по величине и знаку (рис. 8.3). Основы теории цепей. Конспект лекций -70- ЛЕКЦИЯ 8. ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ (РЕЗОНАНСНЫЕ) ЦЕПИ Последовательный колебательный контур. Резонанс напряжений 0 ω ω0 Рис. 8.3 φ>0 0 0 φ<0 а б в Рис. 8.4 В зависимости от соотношения величин индуктивного и емкостного сопротивлений возможны три случая: 1 , X > 0, реактивная составляющая имеет индуктивный ха1) ωL > ωC рактер, ток в контуре отстает от входного напряжения (рис. 8.4, а); 1 , X < 0, реактивная составляющая имеет емкостный харак2) ωL < ωC тер, ток в контуре опережает входное напряжение (рис. 8.4, б); 1 , X = 0, напряжение и ток в контуре совпадают по фазе 3) ω0 L = ω0C (рис. 8.4, в), этот режим цепи называется резонансом напряжений. Основы теории цепей. Конспект лекций -71- ЛЕКЦИЯ 8. ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ (РЕЗОНАНСНЫЕ) ЦЕПИ Последовательный колебательный контур. Резонанс напряжений При заданных L и С резонанс наступает на частоте ω0 = 1 , которая LC называется резонансной частотой колебательного контура. Входное сопротивление контура в этом случае Z ВХ р = Z p = R , ток в цеE . R Напряжения на реактивных элементах: пи I p = U LP = U CP = ω0 LI P = U LP IP = 1 ω LE 1 E I P , U LP = 0 , U CP = , ω0C ω0C R R U CP IP = ω0 L = 1 L = = ρ, ω0C C где ρ – характеристическое или волновое сопротивление контура. Поскольку ρ >> R, то U LP = U CP E , отсюда и происходит название резонанс напряжений. U LP U CP ρ 1 R Величина = = = Q – добротность контура, d = = – затуE E R Q ρ хание. Энергетические соотношения в колебательном контуре. Пусть колебательный контур работает на резонансной частоте ω = ω0, тогда U LP = U CP . Если в контуре протекает ток iP = ImPcos ω0t, то напряжение на конденπ саторе отстает от тока на и равно U CP = U CmP sin ω0t . 2 Мгновенное значение энергии магнитного и электрического полей, связанных с индуктивностью и емкостью контура: LiP2 LI m2 P = cos 2 ω0t , WL = 2 2 WC = CU C2P 2 = 2 CU Cm P 2 sin 2 ω0t . Временные диаграммы тока, напряжения на конденсаторе и мгновенных значений WL и WC приведены на рис. 8.5. Основы теории цепей. Конспект лекций -72- ЛЕКЦИЯ 8. ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ (РЕЗОНАНСНЫЕ) ЦЕПИ Энергетические соотношения в колебательном контуре ip, UCp ip UCp UCmp Imp WCmax WLmax 0 0 Рис. 8.5 Поскольку 2 2 2 CU Cm LI m2 P L ⎛ U CmP ⎞ L U CmP P , = ⎜ = ⎟ = 1 2 2 ⎝ ω0 L ⎠ 2 2 2 L LC то WL max = WC max, т. е. максимально запасаемые в электрическом и магнитном полях количества энергии равны между собой. Таким образом, при резонансе происходит непрерывное перераспределение энергии магнитного и электрического полей с частотой 2ω0, причем суммарная энергия остается неизменной: WL + WC = LI m2 P 2 ( cos 2 2 ) ω0t + sin ω0t = LI m2 P 2 = 2 CU Cm P 2 . Энергия, первоначально внесенная в контур при подключении его к источнику, совершает колебания в режиме резонанса между L и C без участия в этом процессе источника, поэтому контур называется колебательным. Наряду с периодическим обменом энергии между L и C в цепи происходят потери энергии в активном сопротивлении R. Так как входное сопротивление контура при резонансе Z ВХР = Z Р = R активное, то в энергетическом смысле генератор поставляет активную мощность, расходуемую в активном сопротивлении R. Основы теории цепей. Конспект лекций -73- ЛЕКЦИЯ 8. ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ (РЕЗОНАНСНЫЕ) ЦЕПИ Энергетические соотношения в колебательном контуре Если бы контур не имел потерь (R = 0), то генератор в стационарном режиме оказался бы ненужным, колебания происходили бы в контуре за счет первоначально внесенной энергии. Выше было введено понятие добротности контура 1 2 L I mP ⋅ W W ρ ω0 L 2 Q= = = ω0 = ω0 L max = 2π L max , 1 R R PA PAT0 R ⋅ I m2 P 2 1 2π . где T0 = = f 0 ω0 Таким образом, добротность контура определяется отношением максимальной энергии, запасаемой в реактивных элементах, к энергии WR,T = PAT0, расходуемой в сопротивлении R за период T0. Частотные характеристики последовательного колебательного контура. При неизменных E, L, C, R зависимость тока от частоты I ( ω) = E 1 ⎞ ⎛ R 2 + ⎜ ωL − ⎟ ωC ⎠ ⎝ Безразмерное отношение n ( ω) = 2 E = I ( ω) = IP 1 ⎞ ⎛ ⎜ ωL − ⎟ ωC ⎠ ⎝ R 1+ R2 1 2 , где I P = 2 . E , R ⎛X⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝R⎠ выражает закон изменения амплитуды тока в контуре при изменении частоты (АЧХ) для всех возможных соотношений между X и R и называется предельной нормированной частотной характеристикой контура. X ϕ(ω) = arctg – фазочастотная характеристика контура. R ⎛X⎞ ⎛X⎞ Графики функций n ⎜ ⎟ и ϕ ⎜ ⎟ приведены на рис. 8.6. ⎝R⎠ ⎝R⎠ Основы теории цепей. Конспект лекций -74- ЛЕКЦИЯ 8. ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ (РЕЗОНАНСНЫЕ) ЦЕПИ Частотные характеристики последовательного колебательного контура φ а б Рис. 8.6 Часто при построении частотных характеристик пользуются нормированными аргументами, например относительной частотой ω/ω0. Тогда для различных соотношений между R и ρ, получим два семейства кривых (рис. 8.7): ⎛ ω⎞ n⎜ ⎟ = ⎝ ω0 ⎠ 1 1 ⎞ ⎛ ⎜ ωL − ⎟ ωC ⎠ ⎝ 1+ R2 1 = 2⎛ ω ω0 ⎞ 1+ Q ⎜ − ⎟ ⎝ ω0 ω ⎠ 2 , 2 1 = ⎡ω L ⎛ ω 1 ⎞⎤ 1+ ⎢ 0 ⎜ − ⎟⎥ ⎣ R ⎝ ω0 ωω0 LC ⎠ ⎦ 2 = ⎡ ⎛ ω ω0 ⎞ ⎤ ⎛ ω⎞ ϕ ⎜ ⎟ = arctg ⎢Q ⎜ − ⎟⎥ . ω ω ω ⎝ 0⎠ ⎠⎦ ⎣ ⎝ 0 На рис. 8.8 представлены кривые частотной зависимости напряжения на сопротивлении контура и фазочастотная характеристика при неизменном характеристическом сопротивлении (L = 20 мГн, С = 10 нФ, Е = 1 В). Напряжения на реактивных элементах: U L ( ω) = ωLI ( ω) = ωLn ( ω) I P = ωLn ( ω) U C ( ω) = E , R E 1 1 1 I ( ω) = n ( ω) I P = n ( ω) . ωC ωC ωC R Основы теории цепей. Конспект лекций -75- ЛЕКЦИЯ 8. ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ (РЕЗОНАНСНЫЕ) ЦЕПИ Частотные характеристики последовательного колебательного контура ⎛ ω⎞ n⎜ ⎟ ⎝ ω0 ⎠ Q = 200 ⎛ ω⎞ ϕ⎜ ⎟ ⎝ ω0 ⎠ Q = 50 Q = 100 Q = 50 Q = 100 ω ω0 ω ω0 Q = 200 а б Рис. 8.7 Е=1В UR, В 1,0 Q = 40 (R = 40 Ом) 0,75 20 (80 Ом) 10 (160 Ом) 8 (200 Ом) 0,5 0,25 0 7 кГц 10 кГц 14 кГц Q = 40 20 10 8 10 кГц 14 кГц f, кГц φ, град 100 50 0 7 кГц f, кГц –50 –100 Рис. 8.8 Графики частотной зависимости напряжений UL и UC для контура с параметрами L = 20 мГн, С = 10 нФ, Е = 1 В при различных активных сопротивлениях приведены на рис. 8.9. Основы теории цепей. Конспект лекций -76- ЛЕКЦИЯ 8. ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ (РЕЗОНАНСНЫЕ) ЦЕПИ Частотные характеристики последовательного колебательного контура UL, UC, В Е=1В 10 R = 160 Ом 7,5 240 Ом 5,0 320 Ом UС 400 Ом UL 2,5 0 7 max 10 f, кГц 14 max Рис. 8.9 Из приведенных графиков следует, что при малых добротностях (больших сопротивлениях потерь) максимумы напряжений на индуктивности и емкости сдвинуты по отношению к резонансной частоте (частоте, на которой UL = UC = QE) на некоторую величину, определяемую резонансной частотой и добротностью контура. Исследуя выражения напряжений на индуктивности и емкости на экстремум, получим следующие формулы для частот: fC max = f 0 1 − 1 2Q 2 и f L max = f0 1 1− 2Q 2 . При больших добротностях можно считать, что максимумы напряжений на индуктивности и емкости совпадают с резонансной частотой. На рис. 8.10 приведены графики зависимости тока, напряжений на индуктивности и емкости, а также индуктивного и емкостного сопротивлений от частоты для контура с параметрами L = 20 мГн, С = 10 нФ, R = 800 Ом. Из графиков следует, что при отходе от резонансной частоты влево ток вблизи резонанса изменяется медленно, а сопротивление емкости растет значительно быстрее, следовательно, напряжение на емкости, равное произведению тока на сопротивление, становится больше чем U CP = QE . Основы теории цепей. Конспект лекций -77- ЛЕКЦИЯ 8. ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ (РЕЗОНАНСНЫЕ) ЦЕПИ Частотные характеристики последовательного колебательного контура UL, UC, В XC = 2,4 1 2πfC UC XL = 2π 2πfL UL 1,8 1,2 Е=1В I 0,6 0 f0 fC max 10 6 fL max 15 f, кГц Рис. 8.10 При дальнейшем уменьшении частоты ток уменьшается быстрее, чем увеличивается сопротивление конденсатора, и напряжение на емкости начинает уменьшаться, стремясь к напряжению источника ЭДС. При отходе от резонансной частоты вправо сопротивление индуктивности растет быстрее, чем уменьшается ток, и напряжение на индуктивности сначала увеличивается, становясь больше U LP = QE , а затем уменьшается до величины напряжения источника ЭДС. Очевидно, что чем меньше добротность контура, тем дальше отстоят максимумы напряжений на L и C от резонансной частоты. В радиотехнике часто приходится иметь дело с малыми расстройками сигнала от резонансной частоты контура ω0. Тогда ⎛ ω ω0 ⎞ X Q⎜ − ⎟ = = ξ, ω ω ⎝ 0 ⎠ R где ξ – обобщенная расстройка. Действительно, ω ω0 ω2 − ω02 (ω + ω0 )(ω − ω0 ) (ω + ω0 )Δω Δω − = = = ≈2 , ∆ω = ω – ω0 – абсоω0 ω ωω0 ωω0 ωω0 ω0 Δω 1 (ω ≈ ω0) лютная расстройка, при ω0 Основы теории цепей. Конспект лекций -78- ЛЕКЦИЯ 8. ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ (РЕЗОНАНСНЫЕ) ЦЕПИ Частотные характеристики последовательного колебательного контура ξ=Q 2Δω 1 , φ(ξ) = arctg ξ. и n ( ξ) = 2 ω0 1+ ξ Графики этих функций с большой точностью совпадают с графиками ⎛X⎞ ⎛X⎞ n ⎜ ⎟ и ϕ ⎜ ⎟ в полосе частот около резонансной частоты. ⎝R⎠ ⎝R⎠ Входные частотные характеристики последовательного контура. Комплексное входное сопротивление контура выражается формулой ⎡ 1 ⎞ ρ ⎛ ω ω0 ⎞ ⎤ ⎛ 1 Z ВХ = R + jX = R + j ⎜ ωL − = R + j − ⎟ ⎥ = R [1 + jξ] . ⎢ ⎜ ⎟ ωC ⎠ R ω ω ⎠⎦ ⎝ 0 ⎝ ⎣ ZВХ ZВХ Z′ВХ R 0 ω ω0 Рис. 8.11 Зависимость модуля комплексного входного сопротивления от частоты называется входной амплитудно-частотной характеристикой, а зависимость фазы от частоты – входной фазочастотной характеристикой контура. Входная АЧХ Z ВХ = R 1 + ξ2 (рис. 8.11). Входная ФЧХ φ = arctg ξ. В области малых расстроек 2 ⎛ Δω ⎞ ′ ≈ R 1 + ⎜ 2Q Z ВХ ⎟ . ω 0 ⎠ ⎝ Основы теории цепей. Конспект лекций -79- ЛЕКЦИЯ 8. ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ (РЕЗОНАНСНЫЕ) ЦЕПИ Полоса пропускания последовательного контура. Полосой пропускания контура называют интервал частот, на границах 1 от резонансного значения которого амплитуда тока снижается до уровня 2 (рис. 8.12). n (ξ) = 1 1+ ξ 2 = 1 2 ξ = ±1 , ⎛ω ⎛ω ω ⎞ ω ⎞ откуда Q ⎜ В − 0 ⎟ = 1, Q ⎜ Н − 0 ⎟ = −1 , ⎝ ω0 ωВ ⎠ ⎝ ω0 ωН ⎠ n(ω) 1 1 2 0 2Δω ω ωH ω0 ωB φ(ω) 90° 45° 0 ω ωH ω0 ωB –45° –90° Рис. 8.12 ⎛d d2 ωВ = ω0 ⎜ + 1 + ⎜2 4 ⎝ где d = ⎞ ⎛ d d2 ⎟ , ωН = ω0 ⎜ − + 1 + ⎟ ⎜ 2 4 ⎠ ⎝ ⎞ ⎟, ⎟ ⎠ 1 ω , 2Δω = ωВ − ωН = ω0 d = 0 . Q Q Основы теории цепей. Конспект лекций -80- ЛЕКЦИЯ 8. ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ (РЕЗОНАНСНЫЕ) ЦЕПИ Полоса пропускания последовательного контура На границах полосы пропускания ξ = ±1 и φ(±1) = ±45º, т. е. в пределах полосы пропускания ФЧХ изменяется от –45º на ω = ωH до +45º на ω = ωB. Передаточные функции последовательного контура. Комплексная передаточная функция по напряжению при выходном напряжении на емкости (рис. 8.13, а) ω0 1 U E 1 1 ω. KC = C = ⋅ ⋅ = = 1 + jξ E Z j ωC E ⎡ ⎛ ω ω0 ⎞ ⎤ − ⎟⎥ jωCR ⎢1 + jQ ⎜ ⎝ ω0 ω ⎠ ⎦ ⎣ − jQ а б Рис. 8.13 ω0 ω = n ⎛ ω ⎞ Q ω0 . Передаточная АЧХ K C = ⎜ ⎟ 1 + ξ2 ⎝ ω0 ⎠ ω π Передаточная ФЧХ ϕC = − − arctg ξ . 2 Аналогично выражается комплексная передаточная функция по напряжению при выходном напряжении на индуктивности (рис. 8.13, б) Q ω U E j ωL 1 ω0 K L = L = ⋅ jωL ⋅ = = , E Z E ⎡ ⎛ ω ω0 ⎞ ⎤ 1 + jξ − R ⎢1 + jQ ⎜ ⎟⎥ ω ⎝ 0 ω ⎠⎦ ⎣ jQ Q АЧХ K L = ω ω0 ⎛ ω⎞ ω π = n⎜ ⎟ ⋅ Q , ФЧХ ϕ L = − arctg ξ . 2 1 + ξ2 ⎝ ω0 ⎠ ω0 Основы теории цепей. Конспект лекций -81- ЛЕКЦИЯ 8. ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ (РЕЗОНАНСНЫЕ) ЦЕПИ Передаточные функции последовательного контура K LP π 2, π K CP = Q, ϕC = − , 2 π j π = Qe 2 , K LP = Q, ϕ L = . 2 Графики передаточных АЧХ и ФЧХ приведены на рис. 8.14. При резонансе K CP = Qe -j φ φL ω ω0 ω ω0 φC ω ω0 а б Рис. 8.14 Из последних соотношений следует, что максимумы КС и КL не совпадают с резонансной частотой, а сдвинуты по оси частот. KCmax получается на частоте ωC max = ω0 1 − K Lmax получается на частоте ωL max = При Q >> 1 1 , 2Q 2 ω0 1 1− 2Q 2 . 1 → 0 и K Lmax = K Cmax = Q . 2Q 2 Основы теории цепей. Конспект лекций -82- ЛЕКЦИЯ 8. ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ (РЕЗОНАНСНЫЕ) ЦЕПИ Влияние сопротивления генератора и нагрузки на избирательность последовательного колебательного контура. Избирательность – способность контура разделять колебания близких частот определяется крутизной резонансной кривой контура. При подключении контура к реальному источнику ЭДС (рис. 8.15) экρ ρ < Q = , следовательно, увеличение вивалентная добротность QÝ = R + Ri R внутреннего сопротивления генератора ведет к расширению полосы пропускания контура (рис. 8.16). Если к выходным зажимам контура подключить резистор RH, то в этом резисторе будет рассеиваться энергия, вследствие чего добротность цепи окажется меньше добротности ненагруженного контура. Для определения QH нагруженного контура заменим параллельное соединение RH и С эквивалентным последовательным на частоте ω = ω0 (рис. 8.17). Рис. 8.15 ⎛ Δω ⎞ n⎜ ⎟ ⎝ ω0 ⎠ 2Δω 2ΔωЭ 0,707 QЭ nЭ Q n 0 Δω ω0 Рис. 8.16 Основы теории цепей. Конспект лекций -83- ЛЕКЦИЯ 8. ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ (РЕЗОНАНСНЫЕ) ЦЕПИ Влияние сопротивления генератора и нагрузки на избирательность последовательного колебательного контура RВН RН а б Рис. 8.17 Условие эквивалентности цепей (рис. 8.17, а, б) Z RHC|| = Z RBHC 1 RH RH RH2 ω0C j ωC , = = = − j 2 2 1 + ω j R C 1 1 + ( ω0 RHC ) 1 + ( ω0 RHC ) 0 H RH + j ωC RH ⋅ 1 = ρ при ρ << RH. ω0C RH2 ρ2 1 ρ2 RH ρ . −j 2 = − jρ = RBH − j , RBH = Z RHC|| = 2 RH ω0C RH RH ⎛ RH ⎞ ⎜ ρ ⎟ ρ2 ⎝ ⎠ Добротность нагруженного контура QН = ρ = R + RВН ρ < Q , а полоса ρ2 R+ RН пропускания нагруженного контура становится шире полосы ненагруженного контура и его избирательность ухудшается. Контрольные вопросы 1. Какой режим цепи называется резонансом токов? 2. Каковы входные частотные характеристики параллельного колебательного контура? 3. Каковы передаточные частотные характеристики параллельного колебательного контура? 4. Как влияет внутреннее сопротивление генератора и нагрузки на избирательность параллельного контура? Основы теории цепей. Конспект лекций -84- ЛЕКЦИЯ 9. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР Входные частотные характеристики параллельного колебательного контура. Передаточные функции параллельного колебательного контура. Частотная зависимость токов в ветвях параллельного контура. Влияние внутреннего сопротивления генератора и нагрузки на избирательность параллельного контура. Параллельным колебательным контуром называется цепь (рис. 9.1), составленная из катушки индуктивности и конденсатора, подключенных параллельно к выходным зажимам источника. Рис. 9.1 Если на входных зажимах действует источник с Ri = 0, то E = U K и согласно первому закону Кирхгофа I = I L + I C , E E . , IC = 1 RL + jωL RC + j ωC На практике контуры составлены из индуктивностей и конденсаторов, 1 . имеющих большие добротности, т. е. RL << ωL и RC ωC 1 можно наблюдать В зависимости от соотношения XL = ωL и X C = ωC три режима работы контура. 1 E E При ωL > ≈ . ток в индуктивной ветви I L = ωC RL + jωL jωL где I L = Основы теории цепей. Конспект лекций -85- ЛЕКЦИЯ 9. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР ⎛ ωL ⎞ π Этот ток отстает от напряжения на контуре на угол ϕ L = arctg ⎜ ⎟ ≈ , поR ⎝ L⎠ 2 скольку RL << ωL. E Ток в емкостной ветви I C = ≈ jωCE . 1 RC + j ωC ⎛ 1 ⎞ π Ток I C опережает напряжение на контуре на угол ϕC = arctg ⎜ ⎟ ≈ , поR C ω ⎝ C ⎠ 2 1 . скольку RC ωC Очевидно, что ток IC > IL. Ток I в неразветвленной части цепи опережает напряжение на контуре на угол φ, т. е. реактивная составляющая входного сопротивления имеет емкостный характер. Векторная диаграмма токов и напряжения на контуре для этого режима приведена на рис. 9.2, а. φ φС φ φL а φС φС φL б φL φ=0 в Рис. 9.2 1 , IC < IL. Ток I в неразветвленной части цепи (рис. 9.2, б) ωC отстает от напряжения на контуре на угол φ, т. е. реактивная составляющая входного сопротивления имеет индуктивный характер. При ωL < Основы теории цепей. Конспект лекций -86- ЛЕКЦИЯ 9. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР 1 , IC ≈ IL. Ток I в неразветвленной части цепи (рис. 9.2, в) ω0C совпадает по фазе с напряжением на контуре, т. е. реактивная составляющая входного сопротивления равна нулю. Режим цепи, при котором реактивная составляющая входной проводимости равна нулю, называется резонансом токов. Резонансная частота с учетом RL и RC находится из условия равенства нулю реактивной составляющей входной проводимости При ω0 L = YBХ = где b = ωL RL2 + ( ωL ) 2 − 1 1 + = g − jb , RL + jωL RC + 1/ jωC 1/ ωC RC2 + (1/ ωC ) 2 . b = 0 при ω′0 , определяемой из условия 2 2 ω′0 L ⋅ ⎡ RC2 + (1/ ω′0C ) ⎤ − 1/ ω′0C ⋅ ⎡ RL2 + ( ω′0 L ) ⎤ = 0 , ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ откуда ω′0 = 1 ⋅ LC ( L / C ) − RL2 ( L / C ) − RC2 = ρ2 − RL2 1 ⋅ . LC ρ2 − RC2 При равенстве активных сопротивлений ветвей RL = RC или при RL << ρ, RC << ρ, что выполняется практически во всем интересующем нас диапазоне 1 частот, ω′0 ≈ ω0 = , т. е. условия резонанса токов совпадают с условиями LC резонанса напряжений в последовательном контуре, составленном из тех же U элементов L и C. На резонансной частоте I L P ≈ I CP ≈ K = I K . ρ В случае идеального контура (RL = RC = 0) токи I L P = I CP в ветвях равны по величине и противоположны по фазе, следовательно, ток в неразветвленной цепи равен нулю. Контур не потребляет энергию от генератора и происходит периодическое колебание энергии между электрическим и магнитным полями конденсатора и индуктивности за счет первоначально внесенной энергии при подключении генератора. Основы теории цепей. Конспект лекций -87- ЛЕКЦИЯ 9. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР Входные частотные характеристики параллельного колебательного контура. Комплексное входное сопротивление контура Z BХ = jωL ) ( RC + 1/ jωC ) , RL + RC + j ( ωL − 1/ ωC ) ( RL + 1 , ωC при RL <<ωL и RC Z ВХ = L/C ρ2 ρ2 , = = R + j ( ωL − 1/ ωC ) Z ВХ. ПОСЛ R (1 + jξ ) Z ВХ. ПОСЛ = RL + RC + j ( ωL − 1/ ωC ) – входное сопротивление последовательного контура, составленного из тех же элементов. ρ2 = Q ⋅ ρ , при Q = 100–200 и На резонансной частоте Z ВХР = RЭ = R ρ = 100–1000 Ом, Z ВХР = RЭ = 10 − 200 кОм. Разделив вещественную и мнимую часть комплексного входного сопротивления, получим: Z ВХ = RЭ R R ξ = Э 2 − j Э 2 = RВХ − jX ВХ . 1 + jξ 1 + ξ 1+ ξ Модуль входного сопротивления Z ВХ = RЭ 2 . 1+ ξ Z ВХ 1 Амплитудно-частотная характеристика = = n ( ξ ) имеет 2 RЭ 1+ ξ такой же вид, как и резонансная кривая последовательного контура; ФЧХ представляет собой зеркальное отображение ФЧХ последовательного контура. Основы теории цепей. Конспект лекций -88- ЛЕКЦИЯ 9. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР Входные частотные характеристики параллельного колебательного контура Z ВХ RЭ RВХ X ВХ Z ВХ , , RЭ RЭ RЭ 1 0,5 Δω 1 = ω0 2Q Δω 1 0 =− ω0 2Q –0,5 φ RВХ RЭ X ВХ RЭ 90° 0 Δω ω0 ω0 ω –90° Рис. 9.3 Рис. 9.4 Графики частотных зависимостей Z ВХ / RЭ , RBХ / RЭ , X ВХ / RЭ представлены на рис. 9.3. 2 dX BХ RЭ ⋅ 1 + ξ − ξRЭ ⋅ 2ξ XBX имеет максимум при = = 0, 2 2 dξ 1+ ξ ( откуда 1 + ξ 2 − 2 ⋅ ξ 2 = 0 , ξ = ±1 или ξ = 2Q ( ) ) ⎛ Δω ⎞ Δω 1 . = ±1 и ⎜ ⎟ =± ω0 ω 2 Q ⎝ 0 ⎠m ФЧХ φ = arctg (–ξ) приведена на рис. 9.4. При питании контура от источника тока (источника с бесконечным внутренним сопротивлением) напряжение на контуре U K = IZ ВХ = IRЭ , U K max = IRЭ , 1 + jξ Z BX UK 1 = = = n(ξ), 2 U K max RЭ 1+ ξ UK = n(ξ) имеет вид предельной резонансной криU K max вой, зависящей от соотношений ρ и R, как в последовательном колебательном контуре. т. е. график функции Основы теории цепей. Конспект лекций -89- ЛЕКЦИЯ 9. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР Передаточные функции параллельного колебательного контура. Комплексные передаточные функции контура по току K IL = АЧХ K IL I L U K / jωL Z BХ = = I U K / Z BХ jωL ( при RL ωL ) . Z BX ω0 RЭ ω0 ρ2 ω = ⋅ = n ( ω) ⋅ = Qn ( ω) ⋅ 0 , ωL ω0 RЭ ω ρ⋅ R ω что аналогично АЧХ последовательного контура при выходном напряжении на емкости. K IC = I C U K / ( − jX C ) Z = = − BХ I U K / Z BХ jX C ( при RC 1/ ωC ) . ω , что совпадает с выражением для передаточной ω0 функции по напряжению последовательного контура, когда напряжение снимается с индуктивности. IK При ω = ω0, n(ω0) = 1, I LP = I CP = I К P , K IL = K IC = Р = Q , I т. е. ток в контуре в Q раз больше тока в неразветвленной части цепи, поэтому явление резонанса называется резонансом токов. АЧХ K IC = Q ⋅ n ( ω) ⋅ Частотная зависимость токов в ветвях параллельного контура. Выше было показано, что токи в ветвях параллельного контура опредеE , I C ≈ jωCE . ляются I L ≈ jωL При малых добротностях (Q = 1–3) максимумы токов в ветвях сдвинуты по отношению к резонансной частоте на величину тем большую, чем меньше добротность контура (рис. 9.5). Действительно, при отходе от резонансной частоты влево напряжение на контуре вначале изменяется медленно, а индуктивное сопротивление падает достаточно быстро, следовательно, ток в индуктивной ветви, равный отношению напряжения на контуре к сопротивлению индуктивности, увеличивается. Основы теории цепей. Конспект лекций -90- ЛЕКЦИЯ 9. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР Частотная зависимость токов в ветвях параллельного контура ωL max ω0 ωC max ω Рис. 9.5 Аналогично, при отходе от резонансной частоты вправо напряжение на контуре вначале изменяется медленно, а емкостное сопротивление падает достаточно быстро, следовательно, ток в емкостной ветви, равный отношению напряжения на контуре к сопротивлению конденсатора, также увеличивается. При достаточно большой расстройке напряжение на контуре уменьшается быстрее, чем убывают сопротивления индуктивности и емкости, и токи в ветвях уменьшаются, стремясь к величине тока, потребляемого от генератора. Влияние внутреннего сопротивления генератора и нагрузки на избирательность параллельного контура. Сопротивление нагрузки RH, включенное параллельно контуру, вызывает дополнительные потери, уменьшает добротность и увеличивает полосу ρ2 ρ ρ Q – пропускания контура QH = = = < Q , где RBH = RH R + RBH ρ2 1 + RЭ R+ RH RH Основы теории цепей. Конспект лекций -91- ЛЕКЦИЯ 9. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР Влияние внутреннего сопротивления генератора и нагрузки на избирательность параллельного контура внесенное сопротивление, сопротивление нагрузки, пересчитанное в последовательное сопротивление в контуре. Таким же образом оказывает влияние на избирательность контура внутреннее сопротивление источника сигнала. Заменив в схеме (рис. 9.1) источник ЭДС эквивалентным источником тока, получим цепь, в которой параллельно контуру подключено внутреннее сопротивление Ri, оказывающее такое же влияние, как и сопротивление нагрузки. Эквивалентная добротность ρ Q контура QЭ = = < Q . С уменьшением внутреннего сопротивле2 RЭ ρ 1+ R+ Ri Ri ния генератора эквивалентная добротность уменьшается, а полоса пропускания увеличивается. Если контур питается от идеального источника тока (Ri = ∞), то QЭ = Q, и характер частотных зависимостей напряжения на контуре и тока в неразветвленной части цепи показан на рис. 9.7. При питании контура от идеального источника ЭДС (Ri = 0) напряжение на контуре не зависит от частоты, а ток имеет минимум на резонансной часE (рис. 9.7). тоте I P = RЭ IP = I = IГ 0 ω0 E RЭ ω Рис. 9.6 Основы теории цепей. Конспект лекций 0 ω0 ω Рис. 9.7 -92- ЛЕКЦИЯ 9. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР Влияние внутреннего сопротивления генератора и нагрузки на избирательность параллельного контура UК I Ri = 0 Ri = 0 E Ri < RЭ E 2 Ri = RЭ 0 Ri > RЭ ω0 ω Ri < RЭ E RЭ Ri = RЭ E 2 RЭ Ri > RЭ Ri = ∞ 0 ω0 ω Рис. 9.8 В реальных условиях при произвольном внутреннем сопротивлении генератора частотно-зависимыми функциями являются как напряжение на контуре, так и ток в неразветвленной части цепи (рис. 9.8). Контрольные вопросы 1. Какой режим цепи называется резонансом токов? 2. Каковы входные частотные характеристики параллельного колебательного контура? 3. Каковы передаточные частотные характеристики параллельного колебательного контура? 4. Как влияет внутреннее сопротивление генератора и нагрузки на избирательность параллельного контура? Основы теории цепей. Конспект лекций -93- ЛЕКЦИЯ 10. СЛОЖНЫЕ СХЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ КОНТУРОВ Контур с неполным включением индуктивности. Контур с неполным включением емкости. Получение высокой избирательности требует как можно меньшего влияния внутреннего сопротивления источника сигнала на колебательный контур. Кроме того, максимальная мощность передается от генератора к нагрузке при Ri = RH. Поскольку параллельный колебательный контур является нагрузкой генератора, внутреннее сопротивление Ri которого не регулируется в широких пределах, то для согласования контура с генератором необходимо изменить его параметры так, чтобы изменилось входное сопротивление RЭ при неизменной резонансной частоте и полосе пропускания. Это условие выполняется в сложных контурах II и III вида с неполным включением индуктивности и емкости рис. 10.1. C1 L2 L1 C2 R2 R1 R1 а R2 б Рис. 10.1 Контур с неполным включением индуктивности. В общем случае соотношения между L1 и L2, C1 и C2 можно изменять. Для получения резонанса токов необходимо, как и в контуре первого вида, чтобы X1 = – X2. Для контура II вида (рис. 10.1, а) ⎛ 1 ⎞ ω0 L1 = − ⎜ ω0 L2 − ⎟ ( при R1 X 1 и R2 X 2 ) . ω C 0 ⎠ ⎝ ω0 ⎞ 1 1 ⎛ ω0 ( L1 + L2 ) − = 0 или ω0 = ⎜ f0 = ⎟, 2π ⎠ ω0C LC ⎝ где L = L1 + L2. Основы теории цепей. Конспект лекций -94- ЛЕКЦИЯ 10. СЛОЖНЫЕ СХЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ КОНТУРОВ Контур с неполным включением индуктивности Обозначим p = L1 – коэффициент включения, тогда X1 = ω0L1 = pω0L, L ω0L = ρ. Входное сопротивление контура при резонансе Z BX P X 12 P p 2ρ2 = RЭ = = = p 2 RЭ max R R ( R = R1 + R2 ) . Кроме резонанса токов, в контуре II вида возможен и резонанс напряжений в ветви L2C X 2 = ω02 L2 − 1 ω02C 1 > ω0 L2C = 0, ω02 = ω02 ⎞ ⎛ ⎜ f 02 = ⎟. 2π ⎠ ⎝ При частоте ω = ω02 сопротивление второй ветви резко падает до величины R2. Поскольку L2 = L – L1 = L(1 – p), то ω02 = 1 L (1 − p ) C ω0 , 1− p = т. е. чем меньше коэффициент включения, тем ближе ω02 к ω0. Модуль входного сопротивления контура при небольших расстройках Z BX = p 2 RЭ max 1+ ξ 2 . Если контур питается от идеального источника тока, то напряжение на нем изменяется с частотой так же, как и |ZВХ|. На рис. 10.2, а приведена зависимость напряжения от частоты на реальном контуре с параметрами L1 = L2 = 25 мГн, С = 7,5 нФ, R = 40 Ом при подключении его к источнику Е = 1 В с внутренним сопротивлением Ri = 10 кОм. Контур II вида не только выделяет сигналы с частотой, близкой к ω0, но и более сильно, чем контур I вида, подавляет сигналы, близкие по частоте к ω02. На рис. 10.2, б представлена ФЧХ, соответствующая данной амплитудно-частотной характеристике. Действительно, на частотах 0 < ω < ω0 входное сопротивление контура имеет индуктивный характер, поскольку на частоте ниже резонансной в параллельном контуре сопротивление левой ветви (рис. 10.1, а) меньше сопротивления правой ветви, имеющей емкостной характер. На частотах ω0 < ω < < ω02 входное сопротивление определяется емкостным сопротивлением правой ветви, поскольку последовательный контур L2C на ω < ω02 имеет входное Основы теории цепей. Конспект лекций -95- ЛЕКЦИЯ 10. СЛОЖНЫЕ СХЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ КОНТУРОВ Контур с неполным включением индуктивности сопротивление емкостного характера. На частотах ω > ω0 сопротивления ветвей X1 и X2 имеют индуктивный характер и ФЧХ стремится к 90º при ω→∞. Следует отметить, что в колебательном контуре с потерями ФЧХ нигде не достигает значения ±90º. 1,0 В 0,8 0,6 0,4 0,2 0 2 f0 10 f02 30 f, кГц 20 а 150 φ, град 100 50 0 –50 –100 2 10 f0 30 f, кГц 20 б Рис. 10.2 Контур с неполным включением емкости. В контуре III вида (рис. 10.1, б) X1 = – X2 при ω0 L − Откуда ω0 = Обозначив ⎛ 1 1 ⎞ = −⎜ − ⎟, ω0C1 ⎝ ω0C2 ⎠ ( R1 X 1 и R2 X2 ) . 1 CC , где C = 1 2 . C1 + C2 LC C = p – коэффициент включения, получим C2 Основы теории цепей. Конспект лекций -96- ЛЕКЦИЯ 10. СЛОЖНЫЕ СХЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ КОНТУРОВ Контур с неполным включением емкости ρ2 = =p = p 2Q ⋅ ρ . RЭ = 2 2 R R( ω0C2 ) ⎛ C⎞ R⎜ ω0 ⎟ p⎠ ⎝ Как и в контуре II вида, в контуре III вида возможен резонанс напряжений в первой ветви, когда X1 = 0 1 1 2 ⎛ 1 ⎞ ⎜ ω01L − ⎟ = 0, ω01 = ω01C1 ⎠ ⎝ 1 < ω0 LC1 ω01 ⎞ ⎛ ⎜ f 01 = ⎟. 2π ⎠ ⎝ АЧХ и ФЧХ для контура с параметрами L = 50 мГн, С1 = С2 = 15 нФ, R = 40 Ом при подключении его к источнику E = 1 B с внутренним сопротивлением Ri = 10 кОм представлены на рис. 10.3. 1,0 UК, В 0,8 0,6 0,4 0,2 0 2 f0 f01 10 20 30 f, кГц 10 20 30 f, кГц а 150 φ, град 100 50 0 –50 –100 2 f0 б Рис. 10.3 Следует отметить, что для передачи максимальной мощности от генератора к контуру следует выбрать коэффициент включения pOPT = Ri R = ρ2 Ri RЭ max ⎛ ρ2 ⎞ 2 ⎜ Ri = RЭ = pOPT ⎟ . R⎠ ⎝ Основы теории цепей. Конспект лекций -97- ЛЕКЦИЯ 10. СЛОЖНЫЕ СХЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ КОНТУРОВ Контрольные вопросы 1. С какой целью используются сложные схемы параллельных контуров? 2. Что такое коэффициент включения? 3. Какие виды резонансов имеют место в сложных параллельных контурах? Основы теории цепей. Конспект лекций -98- ЛЕКЦИЯ 11. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ. СВЯЗАННЫЕ КОНТУРЫ Виды связи. Коэффициент связи. Соотношения между токами в связанных контурах. Векторные диаграммы связанных контуров. Рассмотренные ранее одиночные колебательные контуры обладают недостаточно высокой избирательностью ввиду невысокой крутизны скатов резонансной кривой, что препятствует четкому разделению сигналов по частоте. Для повышения избирательности применяют сложные колебательные системы из нескольких контуров, связанных между собой различным способом. Чаще всего применяют системы из двух связанных контуров. Виды связи. В зависимости от того как осуществляется связь между контурами через общий магнитный поток или общее электрическое поле различают магнитную (индуктивную) (рис. 11.1, а, б) или электрическую (рис. 11.1, в, г) связь. Применяют также и комбинированную индуктивно-емкостную связь (рис. 11.2, а). Кроме того, связь подразделяют на внешнюю, когда элементы связи не входят в состав контуров, и внутреннюю, когда элементы связи являются общими для двух контуров. M C1 E L1 C2 L2 R2 R1 L1 C1 R1 б C2 R1 L1 L2 E C12 E R2 Автотрансформаторная (внутренняя магнитная) а C1 C2 L12 E Трансформаторная (внешняя магнитная) L1 L2 R2 C12 C2 C1 R1 Внутренняя емкостная L2 R2 Внешняя емкостная в г Рис. 11.1 Основы теории цепей. Конспект лекций -99- ЛЕКЦИЯ 11. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ. СВЯЗАННЫЕ КОНТУРЫ Виды связи C2 C1 L1 E L2 C12 R1 Z2 Z1 E Z12 I1 R2 а I2 б Рис. 11.2 При рассмотрении стационарного режима любую из двухконтурных цепей можно представить в виде обобщенной схемы (рис. 11.2, б). В общем случае Z1 и Z 2 имеют L1, C1, R1 и L2, C2, R2, входящие только в первый или во второй контуры, Z12 имеет L12, C12, R12, общие для двух контуров. Результирующие величины L, C, R, получаемые при обходе данного контура при разомкнутом втором: L11, C11, R11 и L22, C22, R22. Z11 = R11 + jωL11 + 1 , jωC11 Z 22 = R22 + jωL22 + 1 . jωC22 Следовательно, Общее сопротивление Z12 = R12 + jωL12 + 1 . jωC12 Очевидно, что Z11 = Z1 + Z12 , Z 22 = Z 2 + Z12 . Коэффициент связи. Для количественной оценки взаимного влияния контуров применяется понятие коэффициента связи. Рассмотрим, например, случай трансформаторной связи (рис. 11.1, а). Пусть при разомкнутом втором контуре в первом контуре протекает ток I1 . Тогда отношение ЭДС, индуктированной в катушке L22, к полному напряжению на индуктивности L11 k1 = E2 jωMI1 M , = = U L11 jωL11I1 L11 где k1 имеет смысл коэффициента трансформации и является величиной, характеризующей степень связи первого контура со вторым. Основы теории цепей. Конспект лекций -100- ЛЕКЦИЯ 11. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ. СВЯЗАННЫЕ КОНТУРЫ Коэффициент связи Если генератор включить со стороны второго контура, а первый контур M разомкнуть, то k2 = . L22 При одновременном протекании токов в обоих контурах имеется взаимное влияние между ними тем большее, чем больше произведение k1k2. Коэффициент связи между контурами определяют как k = k1k2 . M . Для трансформаторной связи k = L11L22 В общем случае коэффициент связи k определяется как отношение сопротивления связи к среднему геометрическому сопротивлений того же рода обоих контуров. Для рассмотренной выше трансформаторной связи k= X 12 ωM = = ωL11ωL22 ωL11ωL22 M . L11L22 Для автотрансформаторной связи (рис. 11.1, б) k= X 12 ωL12 = = ωL11ωL22 ωL11ωL22 L12 . L11L22 Для внутренней емкостной связи (рис. 11.1, в) k= 1 ωC12 = 1 1 ωC11 ωC22 1 C11C22 C12 , = C12 1 1 C11 C22 C1C12 CC , C22 = 2 12 . C1 + C12 C2 + C12 При изменении емкости C12 от 0 до ∞ коэффициент связи изменяется от k = 1 до k = 0. 1 →0 При C12 = 0 система вырождается в один контур, при C12 → ∞ ωC12 и контуры оказываются несвязанными. Если связь между контурами осуществляется через чисто реактивное сопротивление и контуры настроены на одну частоту, совпадающую с частотой генератора, то индуктивное и емкостное сопротивления каждого контура приблизительно равны характеристическому сопротивлению и коэффициент связи может быть определен по формуле где C11 = Основы теории цепей. Конспект лекций -101- ЛЕКЦИЯ 11. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ. СВЯЗАННЫЕ КОНТУРЫ Коэффициент связи k= X 12 , ρ1ρ2 где ρ1 и ρ2 – характеристические (волновые) сопротивления первого и второго контуров. Соотношения между токами в связанных контурах. Для обобщенной схемы связанных контуров (рис. 11.2, б) можно составить систему уравнений методом контурных токов ⎧⎪ E = Z11I1 − Z12 I 2 , ⎨ ⎪⎩0 = − Z12 I1 + Z 22 I 2 . Решив систему относительно токов в контурах, получим I2 = Z12 I1 , I1 = Z 22 I2 = E 2 Z 12 Z11 − Z 22 E Z11 − 2 Z 12 , I2 = Z 22 E Z11 − 2 Z 12 ⋅ Z12 , Z 22 Z 22 Z 22 Z E Z Z ⋅ 12 ⋅ 11 = ⋅ 12 . 2 Z 22 Z 22 Z Z Z 22 − 12 11 Z11 Z11 Из выражения для тока в первом контуре следует, что влияние второго контура на первый можно оценить с помощью некоторого «вносимого» сопротивления, добавляемого к собственному сопротивлению Z11 , т. е. 2 Z 12 E Z1BH = − , тогда I1 = . Z 22 Z11 + Z1BH Таким же образом влияние первого контура на второй можно оценить с 2 Z 12 . помощью вносимого сопротивления Z 2BH = − Z11 Чаще всего сопротивление связи чисто реактивное Z12 = ± jX 12 , тогда 2 Z 12 = − X 122 и Z1BH = X 122 . Z 22 Основы теории цепей. Конспект лекций -102- ЛЕКЦИЯ 11. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ. СВЯЗАННЫЕ КОНТУРЫ Соотношения между токами в связанных контурах При Z 22 = R2 + jX 22 Z1BH = X 122 X2 X2 = 2 12 2 R2 − j 2 12 2 X 22 , R2 + jX 22 R2 + X 22 R2 + X 22 Z1BH = R1BH + jX 1BH . Аналогично из первого контура во второй вносится сопротивление Z 2BH где R2BH = X 122 Z11 2 R1, X 122 X 122 = = = R2BH + jX 2BH , Z11 R1 + jX 11 X 2BH = − j X 122 Z11 2 X 11 . Следует отметить, что независимо от вида связи и настройки контуров действительная часть вносимого сопротивления всегда положительна. Это следует из физического эффекта поглощения энергии, поступающей из первого контура во второй. Реактивная составляющая вносимого сопротивления может быть как положительной, так и отрицательной в зависимости от настройки контуров X 22 = ωL22 − 1 , ωC22 при ω > ω02 X22 > 0 и X1BH < 0, при ω < ω02 X22 < 0, X1BH > 0, ω02 – резонансная частота второго контура. Это значит, что при индуктивной расстройке второго контура в первый вносится емкостное сопротивление, а при емкостной наоборот – индуктивное. При резонансе второго контура ω = ω02 X 22 = 0, X 1BH = 0, R1BH X 122 = , R2 т. е. чем меньше сопротивление потерь второго контура, тем больше вносимое сопротивление и большее влияние оказывает второй контур на режим работы первого контура. Следует также отметить, что фазы Z1BH и Z 2BH равны соответственно и противоположны по знаку фазам Z 22 и Z11 X 1BH X = − 22 , R1BH R2 X 2BH X = − 11 . R2BH R1 Основы теории цепей. Конспект лекций -103- ЛЕКЦИЯ 11. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ. СВЯЗАННЫЕ КОНТУРЫ Векторные диаграммы связанных контуров. Векторные диаграммы токов и напряжений в связанных контурах рассмотрим на примере схемы с трансформаторной связью (рис. 11.3, а). Схема замещения первого контура содержит кроме собственных элементов еще и вносимые активное R1BH и реактивное X1BH сопротивления (рис. 11.3, б). Для построения векторных диаграмм удобно воспользоваться системой уравнений связанных контуров: ⎧⎪ E = Z11I1 − Z12 I 2 , ⎨ ⎪⎩0 = − Z12 I1 + Z 22 I 2 . С учетом вносимых сопротивлений эти уравнения можно представить в виде: ⎧ ⎛ 1 ⎞ = + ω + E R j L ⎪ ⎜ 11 ⎟ I1 − jωMI 2 , 11 jωC11 ⎠ ⎪ ⎝ ⎨ ⎪0 = − jωMI + ⎛ R + jωL + 1 ⎞ I . ⎟ 2 1 ⎜ 22 22 ⎪ jωC22 ⎠ ⎝ ⎩ Здесь R11 = R1 + R1BH, R22 = R2 + R2BH. M C1 E I1 R1 L1 C2 L2 I2 R2 C11 L11 R1 I1 E R1BH X1BH а б Рис. 11.3 Основы теории цепей. Конспект лекций -104- ЛЕКЦИЯ 11. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ. СВЯЗАННЫЕ КОНТУРЫ Векторные диаграммы связанных контуров 1 ⋅ I2 jωC22 jωL22 ⋅ I 2 jωM ⋅ I1 I2 90° R22 ⋅ I 2 jωL11 ⋅ I1 R11 ⋅ I1 Е 1 ⋅ I1 jωC11 − jωM ⋅ I 2 I1 Рис. 11.4 Предположим, что контуры работают на частоте выше резонансной, т. е. их реактивное сопротивление имеет индуктивный характер. Тогда напряжения на индуктивностях по величине больше напряжений на емкостях. Выбрав произвольно направление тока I 2 , откладываем напряжение на сопротивлении R22, совпадающее по направлению с током I 2 (рис. 11.4). Напряжение на индуктивности L22 опережает, а на емкости C22 отстает от тока π I 2 на . Согласно второму уравнению сумма напряжений на элементах вто2 рого контура равна напряжению на сопротивлении связи jωMI1 . π Ток I1 отстает от напряжения jωMI1 на . 2 Аналогично строим векторную диаграмму для первого контура. Контрольные вопросы 1. Какие виды связи применяют в системе из двух связанных контуров? 2. Что такое коэффициент связи? 3. Что такое «вносимое» сопротивление контура? Основы теории цепей. Конспект лекций -105- ЛЕКЦИЯ 12. НАСТРОЙКА СВЯЗАННЫХ КОНТУРОВ Первый частный резонанс. Первый сложный резонанс. Второй частный резонанс. Второй сложный резонанс. Полный резонанс. Энергетические соотношения в двухконтурной системе. Под настройкой системы связанных контуров понимается подбор значений параметров контуров, включая и коэффициент связи между контурами, таким образом, чтобы обеспечить получение максимальной мощности или максимального КПД передачи энергии, или нужной полосы пропускания при заданной частоте и ЭДС источника сигнала. Для выяснения условий настройки необходимо исследовать зависимость тока второго контура от настройки каждого контура и величины коэффициента связи. I1 = E E = . Z11 + Z1BH R1 + R1BH + j ( X 11 + X 1BH ) Амплитуды токов в контурах I1 = I2 = E 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 2 ⎜ R1 + X 12 R2 ⎟ + ⎜ X 11 − X 12 X 22 ⎟ 2 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Z Z 22 22 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ E 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 2 ⎜ R1 + X 12 R2 ⎟ + ⎜ X 11 − X 12 X 22 ⎟ 2 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Z Z 22 22 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 ⋅ 2 , X 12 R22 + 2 X 22 . В зависимости от того, параметры какого контура изменяются при настройке, различают несколько способов настройки. Первый частный резонанс. Ток во втором контуре имеет максимум, когда максимален ток в первом контуре, таким образом, настроив первый контур так, чтобы X 122 X 11 − X 22 = 0 , 2 Z 22 Основы теории цепей. Конспект лекций -106- ЛЕКЦИЯ 12. НАСТРОЙКА СВЯЗАННЫХ КОНТУРОВ Первый частный резонанс получим I1max = R1 + E X 122 Z 22 2 E X 122 I 2 max = , R1 + R2 Z 22 ⋅ 2 R2 X 12 Z 22 . Таким образом, для получения первого частного резонанса необходимо при неизменных параметрах второго контура и сопротивления связи изменять параметры первого контура. Очевидно, что I2max не является наибольшим при данных параметрах контуров и ЭДС источника сигнала. Для достижения наибольшего значения тока во втором контуре необходимо подобрать еще оптимальную связь между контурами. Первый сложный резонанс. При настроенном в резонанс первом контуре оптимальное сопротивление связи можно найти, приравняв к нулю первую производную выражения для второго тока по |X12|. dI 2max d X 12 R1 Z 22 − Отсюда ⎛ ⎞ X2 X2 E ⎜ R1 Z 22 + 12 R2 − 2 12 R2 ⎟ ⎜ ⎟ Z 22 Z 22 ⎠ = 0. = ⎝ 2 ⎛ ⎞ 2 ⎜ R1 + X 12 R2 ⎟ Z 22 2 2 ⎜ ⎟ Z 22 ⎝ ⎠ X 122 opt Z 22 R2 = 0 и оптимальное сопротивление связи R1 . R2 Токи в контурах при этом сопротивлении связи X 12opt = Z 22 I 2 mm = E E . , I1max( X12 opt ) = 2 R1 2 R1R2 Второй частный резонанс. В этом случае при неизменных параметрах первого контура и неизменной связи настраивается второй контур так, чтобы X 22 − X 122 Z11 2 X 11 = 0 , Основы теории цепей. Конспект лекций -107- ЛЕКЦИЯ 12. НАСТРОЙКА СВЯЗАННЫХ КОНТУРОВ Второй частный резонанс. тогда I2 = E 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 2 ⎜ R + X 12 R ⎟ + ⎜ X − X 12 X ⎟ ⎜ 2 Z 2 1 ⎟ ⎜ 22 Z 2 11 ⎟ 11 11 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ X 12 E ⋅ I 2 max = . X 122 Z11 R2 + R 2 1 Z11 2 ⋅ X 12 R12 + X 112 , Второй сложный резонанс. Если после настройки на второй частный резонанс подобрать оптимальное сопротивление связи, то можно получить I 2 mm = при X 12opt = Z11 E E Z 22 ⋅ , I1max( X12 opt ) = 2 R2 Z11 2 R1R2 R2 . R1 Полный резонанс. В этом случае каждый из контуров отдельно настраивается в резонанс на частоту генератора. Для этого при настройке одного контура другой размыкается. Практически вместо размыкания контуров достаточно ослабить связь между контурами настолько, чтобы вносимыми сопротивлениями из одного контура в другой можно было бы пренебречь. После раздельной настройки каждого контура подбирается оптимальная связь. X 22 = X 11 = 0, I 2 max = Z11 = R1 , Z 22 = R2 . X E X 12 E ⋅ 12 = , 2 R1 X 12 R1R2 + X 122 R2 + 2 R1 R1 ( ) 2 2 dI 2max E R1R2 + X 12 − 2 X 12 = = 0, 2 2 d X 12 R1R2 + X 12 ( Основы теории цепей. Конспект лекций ) -108- ЛЕКЦИЯ 12. НАСТРОЙКА СВЯЗАННЫХ КОНТУРОВ Полный резонанс откуда X 12opt = R1R2 , I 2 mm = E E , I1max( X12 opt ) = . 2 R1 2 R1R2 Значения токов в контурах в этом режиме не отличаются от полученных при настройке в сложный резонанс. Сопротивление связи, при котором ток во втором контуре достигает максимально возможного значения, получается много меньше, чем при сложном резонансе и составляет единицы Ом. Коэффициент связи, при котором система настроена в полный резонанс, называется оптимальным kopt ≈ X 12 ρ1ρ2 = R1R2 ρ1ρ2 = 1 = d1d 2 , Q1Q2 1 1 , Q2 = – добротности контуров. d1 d2 Так как добротность контуров, используемых в радиотехнике, имеет величину примерно 100–300, коэффициенты связи обычно составляют единицы или доли процентов. где Q1 = Энергетические соотношения в двухконтурной системе. Рассматривая второй контур как нагрузочный, содержащий полезное сопротивление R2, можно ввести понятие коэффициента полезного действия двухконтурной системы P2 η= , P1 + P2 где P1 – мощность, расходуемая в сопротивлении R1; P2 – мощность, расходуемая в сопротивлении R2; P1 – P2 – мощность, отдаваемая генератором. I12m I 22m I12m X 122 I12m P1 = R1 = R1BH = R . , P2 = R2 2 2 2 2 2 2 Z 22 При настройке второго контура в резонанс Z 22 p = R2 , R1BH X 122 = R2 и P2 R1BH X 122 1 . η= = = = 2 P1 + P2 R1 + R1BH R1R2 + X 12 1 + R1 R1BH Основы теории цепей. Конспект лекций -109- ЛЕКЦИЯ 12. НАСТРОЙКА СВЯЗАННЫХ КОНТУРОВ Энергетические соотношения в двухконтурной системе Таким образом, для получения высокого необходимо увеличивать R1BH , т. е. снижать R1 и подбирать достаточно сильную связь (это применяетR1 ся на выходе передатчиков, когда вторым контуром является антенна с η = 0,8–0,9). R1R2 При полном резонансе X 12 = R1R2 и η = = 0,5 , R1R2 + R1R2 т. е. для получения максимального коэффициента полезного действия полный и сложный резонансы не пригодны. Если поставить задачу передачи максимальной мощности во второй контур при заданных E и R1, то, очевидно, P2max будет при условии согласования R1 = R1BH, т. е. при η = 0,5. Для получения P2max необходимо использовать полный и сложный резонансы. Контрольные вопросы 1. 2. 3. 4. 5. Что понимают под настройкой системы связанных контуров? Что такое частный резонанс? Что такое сложный резонанс? Что такое полный резонанс? Что такое коэффициент полезного действия двухконтурной системы? Основы теории цепей. Конспект лекций -110- ЛЕКЦИЯ 13. РЕЗОНАНСНЫЕ КРИВЫЕ СВЯЗАННЫХ КОНТУРОВ Полоса пропускания связанных контуров. Коэффициент передачи связанных контуров. Основной интерес представляет поведение амплитуд токов в контурах вблизи резонансных частот системы. Для простоты полагаем, что резонансные частоты контуров равны между собой: ω01 = ω02 = ω0 = 1 = L11C11 1 . L22C22 Полные сопротивления контуров ⎛ X ⎞ Z11 = R1 + jX 11 = R1 ⎜1 + j 11 ⎟ , R1 ⎠ ⎝ ⎛ X ⎞ Z 22 = R2 + jX 22 = R2 ⎜1 + j 22 ⎟ . R2 ⎠ ⎝ На частотах близких к резонансной частоте Δω ω0 ⎛ ω ω0 ⎞ 2 ( ω − ω0 ) X Q = ξ = Q⎜ − ⎟≈ R ω ω ω 0 ⎝ 0 ⎠ 1, и Z11 = R1 + jX 11 ≈ R1 (1 + jξ1 ) , Z 22 = R2 + jX 22 ≈ R2 (1 + jξ 2 ) , где ξ1, ξ2 – обобщенная расстройка первого и второго контуров. Ток в первом контуре E I1 = Z11 + = E ⋅ R1 X 122 Z 22 = E X 122 R1 (1 + jξ1 ) + R2 (1 + jξ2 ) (1 + jξ2 ) X2 1 − ξ1ξ2 + 12 + j ( ξ1 + ξ2 ) R1R2 Основы теории цепей. Конспект лекций = . -111- ЛЕКЦИЯ 13. РЕЗОНАНСНЫЕ КРИВЫЕ СВЯЗАННЫХ КОНТУРОВ Ток во втором контуре I2 = E X2 Z11 + 12 Z 22 ⋅ ± jX 12 = Z 22 E ⋅ R1R2 X 12 R1R2 ±j X2 1 − ξ1ξ 2 + 12 + j ( ξ1 + ξ 2 ) R1R2 . X 122 X2 ρρ = 12 1 2 = k 2Q1Q2 . R1R2 ρ1ρ2 R1R2 E E Кроме того, выше было получено = 2 I 2 mm , = 2 I1max X ( 12 opt ) . R1 R1R2 Таким образом, подставив последние выражения в формулы для токов, получим уравнения нормированных резонансных кривых первого и второго контуров На частотах, близких к резонансной частоте, n1 = n2 = I1 I1max I2 I 2 mm ( X12 opt ) 2 1 + ξ 22 = (1 − ξ ξ 1 2 2 + k Q1Q2 ) 2 + ( ξ1 + ξ2 ) 2k Q1Q2 = (1 − ξ ξ 1 2 2 + k Q1Q2 ) 2 + ( ξ1 + ξ 2 ) 2 e 2 − j ϕ −ϕ e ( 12 2 ) , π⎞ ⎛ − j ⎜ ϕ12 ± ⎟ 2⎠ ⎝ , ξ1 + ξ 2 π π − фаза X 12 , + , ϕ2 = arctg ξ 2 , ± – соот2 2 2 1 − ξ1ξ 2 + k Q1Q2 π ветствует емкостной связи, − – магнитной связи. 2 Для одинаковых контуров, использующихся в полосовых фильтрах приемников: где ϕ12 = arctg Q1 = Q2 = Q, ξ1 = ξ2 = ξ; амплитудно-частотные характеристики первого и второго контуров n1 = 2 1 + ξ2 (1 − ξ 2 2 +k Q ) 2 2 + 4ξ 2 , n2 = 2kQ (1 − ξ 2 2 +k Q ) 2 2 ; + 4ξ 2 фазочастотные характеристики первого и второго контуров Основы теории цепей. Конспект лекций -112- ЛЕКЦИЯ 13. РЕЗОНАНСНЫЕ КРИВЫЕ СВЯЗАННЫХ КОНТУРОВ π 2ξ 2ξ − arctg ξ , ϕ2 = arctg ± . 2 2 2 2 2 2 1− ξ + k Q 1− ξ + k Q На рис. 13.1 приведены АЧХ и ФЧХ второго контура в функции обобщенной расстройки при пяти различных значениях произведения kQ. (kQ характеризует степень связи контуров и называется параметром или фактором связи.) ϕ1 = arctg 2 φ2, рад n2 kQ = 3 kQ = 2,41 kQ = 3 kQ = 2,41 kQ = 2 kQ = 1 kQ = 0,5 kQ = 2 kQ = 1 kQ = 0,5 а б Рис. 13.1 Из графиков амплитудно-частотной характеристики (рис. 13.1, а) видно, что при факторе связи kQ < 1 кривые имеют одногорбый характер с максимумом на резонансной частоте (ξ = 0, ω = ω0). При kQ = 1 кривая АЧХ является предельной одногорбой кривой, коэффициент связи kKP = 1/Q называется критическим. При факторе связи kQ > 1 кривые имеют два максимума на частотах ниже и выше резонансной частоты контуров и минимум на резонансной частоте. Частоты максимумов (частоты связи) можно определить из dn условия равенства нулю производной АЧХ по обобщенной расстройке 2 = 0 dξ ξ1 = k 2Q 2 − 1, ξ11 = − k 2Q 2 − 1 , откуда ⎛ 1 2 1 ⎞ ⎛ 1 2 1 ⎞ ω1 = ω0 ⎜1 − k − 2 ⎟ , ω11 = ω0 ⎜1 + k − 2 ⎟. 2 2 Q Q ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Фазочастотная характеристика (рис. 13.1, б), построенная для соответствующих факторов связи, должна быть поднята по оси ординат на π/2 при емкостной связи и опущена также на π/2 при индуктивной связи. Частотные характеристики первого контура (рис. 13.2) изменяются более резко при изменении обобщенной расстройки, чем характеристики второ- Основы теории цепей. Конспект лекций -113- ЛЕКЦИЯ 13. РЕЗОНАНСНЫЕ КРИВЫЕ СВЯЗАННЫХ КОНТУРОВ го контура. Это объясняется наличием в выражении для резонансной кривой в числителе множителя, зависящего от величины расстройки (в аналогичном выражении для второго контура числитель от частоты не зависит). φ1, рад n1 kQ = 0,1 kQ = 0,1 kQ = 0,5 kQ = 1 kQ = 0,5 kQ = 1 kQ = 3 kQ = 3 а б Рис. 13.2 Таким образом, образование седловины на АЧХ первого контура получается при меньших факторах связи, чем во втором контуре (рис. 13.2, а). Фазочастотная характеристика (рис. 13.2, б) при факторах связи больше единицы трижды переходит через нуль, что соответствует резонансной частоте (ξ = 0) и частотам связи. Если два связанных контура имеют одинаковые резонансные частоты, но разные добротности (Q1 > Q2, что характерно для выходных каскадов передатчиков, нагруженных на сопротивление нагрузки), то условием образования седловины на кривой тока второго контура является k > kKP = d1 + d 2 , 2 1 1 и d2 = – затухание контуров. Q1 Q2 При этом частоты связи тем больше отличаются от резонансной частоты, чем больше коэффициент связи отличается от критического где d1 = ω1 = ω0 2 1+ k − 2 kKP , ω11 = Основы теории цепей. Конспект лекций ω0 1− k 2 2 − kKP . -114- ЛЕКЦИЯ 13. РЕЗОНАНСНЫЕ КРИВЫЕ СВЯЗАННЫХ КОНТУРОВ Полоса пропускания связанных контуров. Полосой пропускания системы связанных контуров называют полосу 1 от частот, в пределах которой ток во втором контуре не падает ниже 2 наибольшего его значения при заданных параметрах контуров и коэффициенте связи. Так как резонансные кривые тока второго контура зависят от фактора связи kQ, то следует рассмотреть три случая: kQ < 1, kQ = 1 и kQ > 1. 1. Связь слабая kQ < 1. Если контуры одинаковы Q1 = Q2 = Q и ω01 = ω02 = = ω0, то в этом случае кривая тока второго контура является одногорбой и 2kQ имеет максимум на резонансной частоте n2 ( 0 ) = . 1 + k 2Q 2 Обобщенная расстройка на границах полосы пропускания определяется из выражения: n2 ( 0 ) 2 = ( 2kQ 2 1 + k 2Q 2 ) 2kQ = ( 1 − ξ02 ( 2 +k Q ) 2 2 , + 4ξ02 ) откуда получается ξ0 = k 2Q 2 − 1 + 2 1 + k 4Q 4 . 1, ξ0 = −1 + 2 ≈ 0,41 ≈ 0,64 ξ ⋅ω 2ΔωCB = 0 0 = 0,64 ⋅ 2Δω , т. е. полоса пропускания 2∆ωCB связанных Q контуров составляет 0,64 от полосы пропускания 2∆ω одиночного контура. 2. При критической связи kQ = 1 При kQ ξ0 = 1 − 1 + 2 (1 + 1) = 2, т. е. 2ΔωCB = 2 ⋅ 2Δω . 3. При сильной связи kQ > 1 обобщенную расстройку на границах полосы пропускания следует определять из общего выражения 1 = 2 2kQ ( 1 − ξ02 2 +k Q ) 2 2 , + 4ξ02 откуда получается ξ0 = k 2Q 2 + 2kQ − 1 . Очевидно, что с ростом фактора связи увеличивается и обобщенная расстройка. Можно показать, что при kQ > 2,41 на резонансной частоте воз- Основы теории цепей. Конспект лекций -115- ЛЕКЦИЯ 13. РЕЗОНАНСНЫЕ КРИВЫЕ СВЯЗАННЫХ КОНТУРОВ Полоса пропускания связанных контуров 1 от максимума 2 и условия для полосы пропускания перестают выполняться. Появляется две полосы пропускания, разделенные по частоте тем дальше, чем больше фактор связи превышает величину 2,41. В предельном случае kQ = 2,41, 2∆ωCB = 3,1·2∆ω, никает впадина на частотной характеристике ниже уровня т. е. полоса пропускания в 3,1 раза шире полосы одиночного контура. На рис. 13.3 приведена зависимость полосы пропускания связанных контуров от фактора связи kQ. – полоса пропускания связанных контуров – полоса пропускания одиночного контура kQ Рис. 13.3 Таким образом, при слабой связи (kQ << 1) полоса пропускания связанных контуров составляет примерно 0,64 от полосы одиночного контура. С увеличением фактора связи полоса пропускания возрастает (при kQ = 1 полоса пропускания системы равна 1,41 от полосы одиночного контура). Дальнейшее увеличение kQ приводит к появлению двугорбой кривой тока второго контура, при kQ = 2,41 впадина на резонансной частоте становится равной 1 от максимума тока и полоса пропускания достигает максимальной шири2 ны, равной 3,1 от полосы одиночного контура. При kQ >> 2,41 полоса пропускания разрывается на две части, так как впадина в точке, соответствующей ξ = 0, становится ниже, чем определяется условием полосы пропускания. Коэффициент передачи связанных контуров. Часто на практике необходимо знать, как зависит напряжение на реактивных элементах второго контура при изменении частоты источника сигнала. Для этой цели вводится комплексный коэффициент передачи по напряжению Основы теории цепей. Конспект лекций -116- ЛЕКЦИЯ 13. РЕЗОНАНСНЫЕ КРИВЫЕ СВЯЗАННЫХ КОНТУРОВ Коэффициент передачи связанных контуров K= U2 , E 1 , если напряжение снимается с емкости и U 2 = I 2 jωL2 , если j ω C2 напряжение снимается с индуктивности. Амплитуда тока второго контура где U 2 = I 2 2kQ I 2 = n2 ⋅ I 2 mm = (1 − ξ 2 + k 2Q 2 ) 2 ⋅ + 4ξ2 E , 2R тогда модуль комплексного коэффициента передачи, если напряжение снимается с емкости K = I2 1 ωC 2 = E При малых расстройках 2kQ ( 1 − ξ 2 + k 2Q 2 ) 2 ⋅ + 4ξ 2 E 1 ⋅ . 2 R ω C2 E 1 = Q , следовательно, RωC2 kQ K =Q . 2 2 2 2 2 1 − ξ + k Q + 4ξ ( ) Таким образом, коэффициент передачи по напряжению имеет характер частотной зависимости, аналогичный зависимости тока второго контура. Если фактор связи kQ < 1, то кривая коэффициента передачи одногорбая, если kQ > 1, то двугорбая. При критической связи (kQ = 1) на резонансной частоте |K| = Q/2, т. е. чем больше добротность контуров системы, тем больше напряжение на выходе. Очевидно, что кривые зависимости фазы комплексного коэффициента передачи от частоты совпадают с кривыми ФЧХ второго контура, если их опустить на π/2 при съеме напряжения с емкости (напряжение на емкости отстает от тока на π/2) и поднять на π/2 при съеме напряжения с индуктивности (напряжение на индуктивности опережает ток на π/2). Основы теории цепей. Конспект лекций -117- ЛЕКЦИЯ 13. РЕЗОНАНСНЫЕ КРИВЫЕ СВЯЗАННЫХ КОНТУРОВ Коэффициент передачи связанных контуров С1 R1 5 200 Ом нФ Е 1В L1 25 мГн L2 25 мГн С2 5 нФ UL2 UC2 UR2 L12 10 мГн R2 200 Ом Рис. 13.4 UR2, мВ а F UL2, В б F UC2, В в F Рис. 13.5 Следует отметить, что хотя у одинаковых контуров (рис. 13.4) при kQ > 1 амплитуды токов на частотах связи одинаковы (рис. 13.5, а), амплитуды напряжений на индуктивности и емкости (рис. 13.5, б, в) различны, поскольку 1 , U L 2 = I 2ωL2 , ω1 < ω11 . UC 2 = I2 ωC 2 Основы теории цепей. Конспект лекций -118- ЛЕКЦИЯ 13. РЕЗОНАНСНЫЕ КРИВЫЕ СВЯЗАННЫХ КОНТУРОВ Контрольные вопросы 1. 2. 3. 4. 5. Что такое амплитудно-частотные характеристики контуров? Что такое фазочастотные характеристики контуров? Что такое параметр или фактор связи? Что называют полосой пропускания системы связанных контуров? Чем определяется коэффициент передачи связанных контуров? Основы теории цепей. Конспект лекций -119- ЛЕКЦИЯ 14. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ Определение четырехполюсника. Классификация четырехполюсников. Системы уравнений четырехполюсника. Входное сопротивление четырехполюсника. Определение четырехполюсника. Для передачи информации с помощью электромагнитной энергии (волн, сигналов в электрических схемах) применяются различные устройства (рис. 14.1), имеющие два входных (первичных) зажима и два выходных (вторичных). К входным зажимам подключается источник электрической энергии, к выходным присоединяется нагрузка. Такие устройства называются четырехполюсниками. Четырехполюсниками являются фильтры, трансформаторы, усилители, каскады радиопередатчиков и радиоприемников, линии связи и т. д. I1′ Zi I 2′ I1 1 Е I2 2 U2 U1 ZН 2 1 Рис. 14.1 Классификация четырехполюсников. Четырехполюсники бывают активные и пассивные. В активном четырехполюснике есть источники энергии, в пассивном − источников энергии нет. Примерами активных четырехполюсников являются усилители, каскады радиопередатчиков и радиоприемников и др. Примером пассивного четырехполюсника может служить кабельная или воздушная линия связи, электрический фильтр и др. Четырехполюсники делятся на линейные и нелинейные. Четырехполюсник является линейным, если напряжение и ток на его выходных зажимах линейно зависят от напряжения и тока на входных зажимах. Примерами линейных четырехполюсников являются линии связи, фильтры, примерами не- Основы теории цепей. Конспект лекций -120- ЛЕКЦИЯ 14. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ Классификация четырехполюсников линейного – выпрямитель, детектор, преобразователь частоты в радиоприемнике. Четырехполюсники могут быть симметричными и несимметричными. Четырехполюсник симметричен, если перемена местами входных и выходных зажимов не изменяет токов и напряжений в цепи, с которой четырехполюсник соединен. В противном случае четырехполюсник несимметричен. Четырехполюсники бывают автономными и неавтономными. На зажимах автономного четырехполюсника остается напряжение, обусловленное наличием внутренних источников, т. е. такой четырехполюсник обязательно является активным. В противном случае четырехполюсник пассивен. Различают также обратимые и необратимые четырехполюсники. В обратимых четырехполюсниках отношение напряжения на входе к току на выходе (передаточное сопротивление) не зависит от того, какая пара зажимов является входной, а какая выходной. В противном случае четырехполюсник необратим. Системы уравнений четырехполюсника. Основной задачей теории четырехполюсников является установление соотношений между напряжениями на входе и выходе и токами, протекающими через входные и выходные зажимы. Вариант с токами I1 , I 2 (рис. 14.1) называют прямой передачей, а I1′, I 2′ – обратной. Очевидно, что I1 = − I1′, I 2 = − I 2′ . Две из четырех величин, определяющих режим четырехполюсника, можно рассматривать как заданные воздействия, две оставшиеся – как отклики на эти воздействия. Таким образом, соотношения между токами и напряжениями на входе и выходе четырехполюсника могут быть записаны в виде шести систем уравнений. 1. Токи на входе и выходе выражаются в зависимости от напряжений на входных и выходных зажимах: ⎧⎪ I1 = Y11U1 + Y12U 2 , ⎨ ⎪⎩ I 2′ = Y21U1 + Y22U 2 . Коэффициенты Y11, Y12 , Y21, Y22 называются Y-параметрами и являются комплексными проводимостями. Действительно, Основы теории цепей. Конспект лекций -121- ЛЕКЦИЯ 14. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ Системы уравнений четырехполюсника Y11 = I1 U1 U – комплексная входная проводимость при коротком замы2 =0 кании выходных зажимов. I′ – комплексная входная проводимость со стороны зажимов Y22 = 2 U 2 U =0 1 (2–2) при коротком замыкании входных зажимов. I – комплексная передаточная (взаимная) проводимость при Y12 = 1 U 2 U =0 1 коротком замыкании входных зажимов. I′ – комплексная передаточная (взаимная) проводимость при Y21 = 2 U1 U = 0 2 коротком замыкании выходных зажимов. В случае обратимого четырехполюсника Y12 = Y21 . Если четырехполюсник симметричен, то Y11 = Y22 и его свойства определяются только двумя параметрами (например, Y11, Y12 ). 2. Напряжения на входе и выходе выражаются в зависимости от токов, протекающих через входные и выходные зажимы: ⎧⎪U1 = Z11I1 + Z12 I 2′ , ⎨ ⎪⎩U 2 = Z 21I1 + Z 22 I 2′ . Z11 = U1 I1 – входное сопротивление со стороны зажимов (1–1) при раI 2′ =0 зомкнутых выходных зажимах. U – передаточное (взаимное) сопротивление при разомкнуZ12 = 1 I 2′ I =0 1 тых зажимах (1–1). U – передаточное (взаимное) сопротивление при разомкнуZ 21 = 2 I1 I ′ =0 2 тых зажимах (2–2). U – входное сопротивление со стороны зажимов (2–2) при Z 22 = 2 I 2′ I =0 1 разомкнутых зажимах (1–1). Основы теории цепей. Конспект лекций -122- ЛЕКЦИЯ 14. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ Системы уравнений четырехполюсника В случае обратимого четырехполюсника Z12 = Z 21 . Если четырехполюсник симметричен, то Z 22 = Z11 и его свойства определяются только двумя параметрами (например, Z11, Z12 ). 3. В случае, когда четырехполюсник выполняет роль промежуточного звена между источником сигнала и сопротивлением нагрузки, заданными являются напряжение и ток на выходе ( U 2 , I 2 ), а искомыми величины, характеризующие режим на входе четырехполюсника ( U1 , I1 ). Связь между входными и выходными напряжениями и токами устанавливает система параметров прямой передачи: ⎧⎪U1 = A11U 2 + A12 I 2 , ⎨ ⎪⎩ I1 = A21U 2 + A22 I 2 . A11 = A21 = U1 U2 I1 U2 – отношение напряжений в режиме холостого хода на выходе. I 2 =0 – величина, обратная передаточному сопротивлению в режиме I 2 =0 холостого хода на выходе. U – величина, обратная передаточной проводимости в режиме коA12 = 1 I 2 U =0 2 роткого замыкания на выходе. I – отношение токов в режиме короткого замыкания на выходе. A22 = 1 I 2 U =0 2 Найдем связь между A - и Y -параметрами. Из второго уравнения системы Y -параметров следует ⎪⎧ I1 = Y11U1 + Y12U 2 , ⎨ ⎪⎩ I 2′ = Y21U1 + Y22U 2 . − I 2 = I 2′ = Y21U1 + Y22U 2 , U1 = − Y22 1 U2 − I2 . Y21 Y21 Подставив последнее выражение в первое уравнение системы Y -параметров, получим: Основы теории цепей. Конспект лекций -123- ЛЕКЦИЯ 14. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ Системы уравнений четырехполюсника ⎛ Y 1 ⎞ Y Y −Y Y Y I1 = Y11 ⎜ − 22 U 2 − I 2 ⎟ + Y12U 2 = − 11 22 12 21 U 2 − 11 I 2 . Y21 ⎠ Y21 Y21 ⎝ Y21 И окончательно, ⎧ Y22 1 ⎪U1 = − Y U 2 − Y I 2 , ⎪ 21 21 ⎨ ⎪ I = − Y11Y22 − Y12Y21 U − Y11 I . 2 2 ⎪⎩ 1 Y21 Y21 Следовательно, A11 = − Y22 , Y21 A12 = − 1 , Y21 A21 = − Y Y11Y22 − Y12Y21 =− , Y21 Y21 A22 = − Y11 , Y21 где Y = Y11Y22 − Y12Y21 – определитель, составленный из Y -параметров. Определитель, составленный из A -параметров, равен: A = A11 A22 − A12 A21 = Y12 . Y21 Для обратимого четырехполюсника Y12 = Y21 и A = A11 A22 − A12 A21 = 1 . 4. Для анализа передачи сигнала от зажимов (2–2) к зажимам (1–1) используется система уравнений обратной передачи: ⎧⎪U 2 = B11U1 + B12 I1′, ⎨ ⎪⎩ I 2′ = B21U1 + B22 I1′. Значения B -параметров определяются также из опытов холостого хода входной цепи ( I1′ = 0 ) и короткого замыкания (U1 = 0 ) . 5. Когда заданными являются комплексные амплитуды тока на входе I1 и напряжения на выходе U 2 , искомые величины U1 и I 2′ могут быть найдены из системы уравнений в H -параметрах: Основы теории цепей. Конспект лекций -124- ЛЕКЦИЯ 14. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ Системы уравнений четырехполюсника ⎧⎪U1 = H11I1 + H12U 2 , ⎨ ⎪⎩ I 2′ = H 21I1 + H 22U 2 . Значения каждого из H -параметров определяются из опытов короткого замыкания на выходе (U 2 = 0 ) и холостого хода первичной цепи ( I1 = 0 ) . 6. В том случае, когда задаются величины U1 и I 2 , ток на входе I1 и напряжение на выходе U 2 определяются из уравнений в G -параметрах: ⎧⎪ I1 = G11U1 + G12 I 2′ , ⎨ ⎪⎩U 2 = G21U1 + G22 I 2′ . Входящие в эту систему уравнений G -параметры могут быть найдены из опытов холостого хода выходной цепи ( I 2′ = 0 ) и короткого замыкания на входе (U1 = 0 ) . Поскольку все шесть систем параметров описывают один четырехполюсник, то они связаны между собой формулами пересчета, приведенными в справочных таблицах. Входное сопротивление четырехполюсника. Влияние четырехполюсника на режим цепи, с которой он соединен, оценивается входными сопротивлениями (рис. 14.2): Z BX1 = U1 U и Z BX2 = Z BЫХ = 2 . I1 I 2′ На эти входные сопротивления оказывается нагруженным источник при передачи сигнала слева направо (рис. 14.2, а) и справа налево (рис. 14.2, б). Входные сопротивления могут быть выражены через любую систему параметров четырехполюсника. Удобнее всего это сделать, воспользовавшись системой A -параметров. В этом случае Z BX1 = U1 A11U 2 + A12 I 2 A11Z H + A12 = = , где Z H = U 2 / I 2 . I1 A21U 21 + A22 I 2 A21Z H + A22 Основы теории цепей. Конспект лекций -125- ЛЕКЦИЯ 14. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ Входное сопротивление четырехполюсника I 2′ I1 1 I2 2 U1 ZH U2 1 Z ВХ1 2 а I 2′ I1 1 Z1 2 U2 U1 1 б Z ВХ2 2 Рис. 14.2 В случае перемены направления передачи сигнала (рис. 14.2, б) воспользуемся следующим приемом. Если в системе уравнений в A -параметрах заменить токи I1 на – I1′ и I 2 на – I 2′ и решить уравнения относительно U 2 и I 2′ , то получим уравнения в системе B -параметров, выраженные через A -коэффициенты. Тогда Z BX2 = U 2 A22U1 + A12 I1′ A22 Z1 + A12 = = , I 2′ A21U11 + A11I1′ A21Z1 + A11 так как Z1 = U1 / I1′ . Выражения для входных сопротивлений могут быть представлены и в иной форме. Действительно, A12 + ZH Z + Z1 A11 A11 Z + ZH Z BX1 = и Z BX2 = Z 2X 1K , = Z1X 2K Z1X + Z1 A21 A22 Z 2X + Z H + ZH A21 Основы теории цепей. Конспект лекций -126- ЛЕКЦИЯ 14. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ Входное сопротивление четырехполюсника где Z1X = A11 A , Z1K = 12 – входные сопротивления в режиме холостого хода A21 A22 A22 A , Z 2K = 12 – входные сопротивA21 A11 ления в режиме холостого хода и короткого замыкания на входе. Таким образом, четырехполюсник трансформирует сопротивление нагрузки в новое сопротивление, зависящее как от величины нагрузки, так и от параметров четырехполюсника. и короткого замыкания на выходе, Z 2X = Контрольные вопросы 1. По каким признакам классифицируются четырехполюсники? 2. Какие системы уравнений устанавливают соотношения между напряжениями на входе и выходе и токами, протекающими через входные и выходные зажимы четырехполюсника? 3. Что такое входное сопротивление четырехполюсника? Основы теории цепей. Конспект лекций -127- ЛЕКЦИЯ 15. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ (ВТОРИЧНЫЕ) ПАРАМЕТРЫ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА Рабочее и вносимое затухание четырехполюсника. Передаточные функции четырехполюсника. Наряду с рассмотренными выше первичными параметрами (коэффициентами в системах уравнений) четырехполюсника, при решении многих задач пользуются характеристическими (вторичными) параметрами четырехполюсника. К ним относятся: характеристические сопротивления, постоянная передачи (мера передачи) и коэффициент трансформации. Известно, что генератор с внутренним сопротивлением Z i отдает максимальную мощность в нагрузку Z H при условии Z i = Z H . Если между генератором и нагрузкой находится четырехполюсник, то для передачи максимальной мощности от генератора к четырехполюснику необходимо согласовать входное сопротивление четырехполюсника Z BX1 с внутренним сопротивлением генератора, т. е. выполнить условие Z i = Z BX1 , а для передачи максимальной мощности от четырехполюсника в нагрузку − согласовать выходное сопротивление четырехполюсника с сопротивлением нагрузки, т. е. выполнить условие Z BX2 = Z H . Режим работы четырехполюсника, когда Z i = Z BX1 и Z BX2 = Z H , называется режимом согласованного включения. Оказывается, для любого четырехполюсника существует такая пара сопротивлений, для которой выполняется условие Z BX1 = A11Z H + A12 A Z + A12 = Z i , Z BX2 = 22 1 = ZH . A21Z H + A22 A21Z1 + A11 Эти сопротивления называются характеристическими сопротивлениями четырехполюсника и обозначаются Z1C и Z 2C . Учитывая, что Z BX1 = Z i = Z1C и Z BX2 = Z H = Z 2C , получим Z1C = A11Z 2C + A12 A Z + A12 , Z 2C = 22 1C . A21Z 2C + A22 A21Z1C + A11 Решив совместно эти уравнения, найдем Основы теории цепей. Конспект лекций -128- ЛЕКЦИЯ 15. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ (ВТОРИЧНЫЕ) ПАРАМЕТРЫ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА Z1C = A11 A12 , Z 2C = A21 A22 A22 A12 . A21 A11 A11 A12 A22 A12 = Z1X , = Z1K , = Z 2X , = Z 2K , то характеристичеA21 A22 A21 A11 ские сопротивления можно выразить через параметры холостого хода и короткого замыкания: Поскольку Z1C = Z1X Z1K , Z 2C = Z 2X Z 2K . Если четырехполюсник согласован с нагрузкой, т. е. ZH = U2 = Z 2C = I2 A22 A12 , A21 A11 то уравнения в системе A -параметров принимают следующий вид: ⎧ ⎛ A12 A21 A11 ⎞ ⎪ U = U A + ⎜ ⎟, 1 2 ⎧ U2 ⎜ 11 ⎟ A ⎪ , U = A U + A 22 11 2 12 ⎪ 1 ⎪ ⎝ ⎠ Z 2C ⎨ ⎨ ⎛ ⎪I = A Z I + A I . ⎪ A12 A21 A22 ⎞ I = I A + ⎟. 21 2C 2 22 2 ⎩1 ⎪ 1 2 ⎜⎜ 22 ⎟ A 11 ⎝ ⎠ ⎩⎪ Из последней системы уравнений можно получить ⎧U A22 = A11 A22 + A12 A21 , ⎪ 1⋅ U A ⎪ 2 11 ⎨ A11 ⎪ I1 ⎪ I ⋅ A = A11 A22 + A12 A21 . 22 ⎩ 2 A11 Z1C = = nT называется коэффициентом трансформации A22 Z 2C четырехполюсника. Входное сопротивление согласованного четырехполюсника Величина Основы теории цепей. Конспект лекций -129- ЛЕКЦИЯ 15. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ (ВТОРИЧНЫЕ) ПАРАМЕТРЫ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА Z BX1 = Z1C = nT2 Z 2C = nT2 Z H , т. е. согласованный четырехполюсник трансформирует сопротивление нагрузки в nT2 раз. Таким образом, 1 U1 I = nT 1 = A11 A22 + A12 A21 = e g , nT U 2 I2 где g – характеристическая постоянная передачи (мера передачи) четырехполюсника. Если четырехполюсник симметричен A11 = A22 , Z1C = Z 2C , nT = 1 , то g = ln U1 I = ln 1 = ln U2 I2 ( ) A11 A22 + A12 A21 , т. е. постоянная передачи определяется только первичными параметрами четырехполюсника. Выразим первичные A -параметры через характеристические параметры Z1C , Z 2C , g . Согласно полученному выше e g = A11 A22 + A12 A21 , e− g = Умножив числитель и 1 A11 A22 + A12 A21 знаменатель . последнего выражения на A11 A22 − A12 A21 и учитывая, что A = A11 A22 − A12 A21 = 1 , получим e − g = A11 A22 − A12 A21 . Таким образом, e g + e− g e g − e− g = A11 A22 = ch g и = A12 A21 = sh g , 2 2 где ch g – гиперболический косинус, sh g – гиперболический синус. Далее находим Основы теории цепей. Конспект лекций -130- ЛЕКЦИЯ 15. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ (ВТОРИЧНЫЕ) ПАРАМЕТРЫ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА Z1C ⋅ Z 2C = A12 и A21 Z1C A11 = . Z 2C A22 В итоге получаем систему уравнений, связывающих первичные параметры со вторичными, ⎧ Z1C ch g , ⎪ A11 = ⎧ A11 Z1C Z = , 2C ⎪ ⎪ A Z 22 2C ⎪ ⎪ ⎪ A = Z 2C ch g , ⎪⎪ A ⎪ 22 12 Z1C ⎨ A = Z1C ⋅ Z 2C , из которой следует ⎨ ⎪ ⎪ 21 ⎪ A12 = Z1C Z 2C sh g , ⎪ A12 A21 = sh 2 g , ⎪ ⎪ 1 2 ⎪ A21 = ⎪⎩ A11 A22 = ch g , sh g. ⎪⎩ Z1C Z 2C Подставляя найденные коэффициенты в систему уравнений для A -параметров, получим систему уравнений четырехполюсника в гиперболических функциях: ⎧ Z1C ⎪U1 = (U 2 ch g + Z 2C I 2 sh g ) , Z 2C ⎪ ⎨ ⎞ Z 2C ⎛ U2 ⎪ ch sh I I g g = + ⎜ ⎟. 1 2 ⎪ Z1C ⎝ Z 2C ⎠ ⎩ Если четырехполюсник симметричен Z1C = Z 2C , то ⎧U1 = U 2 ch g + Z 2C I 2 sh g , ⎪ ⎨ U2 ⎪ I1 = I 2 ch g + Z sh g . 2C ⎩ При согласованной нагрузке Z H = Z 2C , Z 2C I 2 = U 2 , ch g + sh g = e g система уравнений принимает вид ⎧ Z1C U 2e g , ⎪U1 = Z 2C ⎪ ⎨ Z 2C ⎪ = I I 2e g . 1 ⎪ Z1C ⎩ Основы теории цепей. Конспект лекций -131- ЛЕКЦИЯ 15. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ (ВТОРИЧНЫЕ) ПАРАМЕТРЫ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА Постоянная передачи в общем случае величина комплексная g = a + jb . Характеристические сопротивления также величины комплексные Z1C = Z1C e jϕ1C , Z 2C = Z 2C e jϕ2C . Амплитуды или действующие значения напряжений и токов на входе и выходе четырехполюсника связаны через характеристические сопротивления и постоянную передачи следующими выражениями: ⎧ 1 ⎡ Z ⎤ j ϕ −ϕ 1C a ⎥ jϕU 2 2 ( 1C 2C ) jb ⎪ U e jϕU 1 = ⎢ U e e e e , ⎪ 1 ⎢ Z 2C 2 ⎥ ⎪ ⎣ ⎦ ⎨ 1 ⎡ Z ⎤ ⎪ j ( ϕ2C −ϕ1C ) 2C ϕ jϕ I 1 j a 2 I =⎢ I2 e ⎥ e e 2 e jb . ⎪ I1 e ⎢ Z1C ⎥ ⎪ ⎣ ⎦ ⎩ Таким образом, вещественная часть постоянной передачи а характеризует изменение амплитуды или действующего значения тока и напряжения при прохождении сигнала через четырехполюсник. Мнимая составляющая b характеризует фазовый сдвиг между входным и выходным напряжениями или токами 1 1 ϕU 1 − ϕU 2 = ( ϕ1C − ϕ2C ) + jb, ϕ I 1 − ϕ I 2 = ( ϕ2C − ϕ1C ) + jb . 2 2 Для симметричного четырехполюсника ⎧ U1 e jϕU 1 = U 2 e a e jϕU 2 e jb , ⎪ ⎨ jϕ a jϕ jb ⎪⎩ I1 e I 1 = I 2 e e I 2 e . b – коэффициент фазы – измеряется в радианах или градусах и равняется b = ϕU 1 − ϕU 2 = ϕI 1 − ϕI 2 . Коэффициент а – собственное затухание – определяется как a = ln U1 U2 = ln I1 I2 (неп). Затуханию а = 1 неп соответствует уменьшение амплитуды или действующего значения напряжения или тока в е = 2,718 раза. Основы теории цепей. Конспект лекций -132- ЛЕКЦИЯ 15. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ (ВТОРИЧНЫЕ) ПАРАМЕТРЫ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА В радиотехнике часто легче измерить мощность сигнала на входе и выходе, кроме того, при расчетах предпочтительнее применять не натуральные, а десятичные логарифмы. Поэтому затухание измеряют в белах: a(бел) = lg U1I1 S = lg 1 . U2I2 S2 S1 U12 I12 U I = 2 = 2 , a(бел) = 2lg 1 = 2lg 1 . S2 U 2 I 2 U2 I2 Поскольку Единица бел достаточно велика поэтому пользуются 0,1 бел называемой децибел. U I S a(дБ) = 20lg 1 = 20lg 1 = 10lg 1 , U2 I2 S2 1 дБ ≈ 0,115 неп; 1 неп ≈ 8,7 дБ . Рабочее и вносимое затухание четырехполюсника. Рассмотренное выше собственное затухание четырехполюсника является мерой передачи сигнала с входа на выход без учета влияния источника сигнала и реальной нагрузки. В общем случае четырехполюсник включен между источником с внутренним сопротивлением Z i и нагрузкой Z H (рис. 15.1). Zi I1 1 2 U2 U1 Е I2 1 ZH 2 Рис. 15.1 Для оценки влияния условий согласования четырехполюсника с генератором и нагрузкой на передачу сигнала вводится рабочее затухание четырехполюсника, которое определяется как 1 S aP = ln 0 , 2 S2 Основы теории цепей. Конспект лекций -133- ЛЕКЦИЯ 15. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ (ВТОРИЧНЫЕ) ПАРАМЕТРЫ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА Рабочее и вносимое затухание четырехполюсника где S0 – максимальная полная мощность, которую генератор отдает в нагрузку, согласованную с его внутренним сопротивлением; S2 – полная мощность, выделяемая в нагрузке, подключенной к выходу четырехполюсника. Максимальная полная мощность выделяется на сопротивлении, равном внутреннему сопротивлению генератора: 2 E E2 S0 = . = ⋅ Zi = 2Zi 4Zi Полная мощность, выделяемая в нагрузке, Z i I12 U 22 . S2 = U 2 I 2 = ZH Рабочее затухание в этом случае 1 E 2 ZH E 1 ZH = + . aP = ln ln ln 2 4 Z i U 22 2U 2 2 Z i Задающее напряжение генератора ( ) E = U1 + Z i I1 = A11U 2 + A12 I 2 + Z i A21U 2 + A22 I 2 . Учитывая, что I 2 = U2 , получим ZH E A ZA = A11 + 12 + Z i A21 + i 22 . U2 ZH ZH Заменив в последнем выражении А-параметры на характеристические A11 = Z1C 1 ch g , A12 = Z1C Z 2C sh g , A21 = sh g , Z 2C Z1C Z 2C A22 = Z 2C ch g Z1C и подставив полученное выражение в формулу для рабочего затухания, после некоторых преобразований имеем: Основы теории цепей. Конспект лекций -134- ЛЕКЦИЯ 15. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ (ВТОРИЧНЫЕ) ПАРАМЕТРЫ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА Рабочее и вносимое затухание четырехполюсника aP = a + ln Z i + Z1C 2 Z i Z1C + ln Z H + Z 2C 2 Z H Z 2C + ln 1 − p1 p2e −2 g , Z i − Z1C Z − Z 2C , p2 = H – коэффициенты отражения на входе и выZ i + Z1C Z H + Z 2C ходе четырехполюсника соответственно. Таким образом, рабочее затухание содержит четыре составляющих. Первая составляющая – собственное затухание четырехполюсника а. Вторая составляющая характеризует степень рассогласования генератора с входом четырехполюсника, третья – степень рассогласования выхода четырехполюсника с нагрузкой. Четвертая составляющая появляется лишь тогда, когда не согласованы и вход, и выход, т. е. когда оба коэффициента отражения не равны нулю. На практике эта составляющая обычно мала, и ею можно пренебречь. Следует отметить, что при согласовании входа четырехполюсника с генератором ( Z i = Z1C ) , вторая составляющая равна нулю. Если еще обеспе- где p1 = чить согласование четырехполюсника с нагрузкой ( Z H = Z 2C ) , то третья и четвертая составляющие также обращаются в нули, и рабочее затухание равно собственному затуханию четырехполюсника. Вместо рабочего затухания нередко применяется другой параметр – вносимое затухание. В этом случае полная мощность, поступающая в нагрузку, сравнивается с полной мощностью, которую генератор отдавал бы в нагрузку при их прямом соединении, т. е. вносимое затухание 1 S aBH = ln 12 , 2 S2 где S12 = E 2ZH ( Zi + Z H ) 2 − полная мощность, которую генератор отдавал бы в на- грузку при их прямом соединении. Вносимое затухание можно связать с рабочим затуханием 1 S S 1 S 1 S 1 S aBH = ln 12 0 = ln 0 − ln 0 = aP − ln 0 . 2 S2 S0 2 S 2 2 S12 2 S12 Можно показать, что Основы теории цепей. Конспект лекций -135- ЛЕКЦИЯ 15. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ (ВТОРИЧНЫЕ) ПАРАМЕТРЫ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА Рабочее и вносимое затухание четырехполюсника 1 S0 Z + ZH ln = ln i . 2 S12 2 Zi Z H Поэтому вносимое затухание определяется следующим образом: aBH = aP − ln Zi + Z H 2 Zi Z H , т. е. из рабочего затухания исключается затухание, вызванное несогласованностью генератора с нагрузкой. Если aP = 0, полные мощности на входе и выходе четырехполюсника равны. Если aP < 0, четырехполюсник является усилителем сигнала. Передаточные функции четырехполюсника. Передаточной функцией нагруженного четырехполюсника называется отношение комплексных амплитуд или комплексных действующих значений отклика к комплексным амплитудам или комплексным действующим значениям воздействия. Если входное воздействие представляет собой напряжение генератора, а откликом четырехполюсника на это воздействие является напряжение или ток на выходе, то комплексные передаточные функции имеют вид KU = U2 I и Y21 = 2 , E E где KU – комплексный коэффициент передачи по напряжению; Y21 – комплексная передаточная проводимость. Если входное воздействие представляет собой ток на входе четырехполюсника, а откликом четырехполюсника на это воздействие является напряжение или ток на выходе, то в этом случае комплексные передаточные функции KU = KI = U2 I Y= 2, E E I2 U и Z 21 = 2 , I1 I1 где K I – комплексный коэффициент передачи по току; Z 21 – комплексное передаточное сопротивление. Передаточные функции четырехполюсника могут быть выражены через первичные параметры и сопротивление нагрузки. Например, Основы теории цепей. Конспект лекций -136- ЛЕКЦИЯ 15. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ (ВТОРИЧНЫЕ) ПАРАМЕТРЫ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА Передаточные функции четырехполюсника KU = U2 U2 ZH . = = E A11U 2 + A12 I 2 A11Z H + A12 В режиме холостого хода ( Z H = ∞ ) KUXX = 1 . A11 При согласованном включении ( Z H = Z 2C ) симметричного четырехполюсника KUC = Z 2C = A11Z 2C + A12 A22 A12 A21 A11 A11 A22 A12 + A12 A21 A11 1 = A11 A22 + A12 A21 = e− g . Последняя формула устанавливает связь между передаточной функцией по напряжению и постоянной передачи симметричного согласованного на выходе четырехполюсника. Аналогичным образом можно получить остальные передаточные функции в различных режимах работы. Например, KI = I2 I2 1 = = . I1 A21U 2 + A22 I 2 A21Z H + A22 В режиме короткого замыкания на выходе K IКЗ = 1 . A22 Если четырехполюсник симметричен (A 11 ) = A22 , то коэффициент пе- редачи по напряжению в режиме холостого хода на выходе равен коэффициенту передачи по току в режиме короткого замыкания также на выходе. Основы теории цепей. Конспект лекций -137- ЛЕКЦИЯ 15. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ (ВТОРИЧНЫЕ) ПАРАМЕТРЫ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА Контрольные вопросы 1. Что такое характеристические (вторичные) параметры четырехполюсника? 2. Какой режим работы четырехполюсника называется режимом согласованного включения? 3. Что называется коэффициентом трансформации четырехполюсника? 4. Что называется характеристической постоянной передачи (мерой передачи) четырехполюсника? 5. Что такое рабочее затухание четырехполюсника? 6. Что такое передаточные функции четырехполюсника? Основы теории цепей. Конспект лекций -138- ЛЕКЦИЯ 16. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СХЕМЫ ПАССИВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ И СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ Эквивалентные схемы пассивных линейных четырехполюсников. Схемы замещения четырехполюсника. Эквивалентные схемы пассивных линейных четырехполюсников. Для анализа прохождения сигнала через четырехполюсник в общем случае необходимо знать его первичные, например A -параметры (или характеристические параметры g , Z1C , Z 2C ). В том случае, когда внутреннее устройство четырехполюсника неизвестно, параметры можно определить экспериментально из опытов холостого хода и короткого замыкания. Если же схема четырехполюсника известна, то параметры его могут быть рассчитаны по заданным значениям сопротивлений элементов, его составляющих. Пусть известны сопротивления Z a , Z b , Z c Т-образного четырехполюсника (рис. 16.1, в). Найдем выражения для первичных A -параметров в зависимости от этих сопротивлений. В системе уравнений ⎧⎪U1 = A11U 2 + A12 I 2 , ⎨ ⎪⎩ I1 = A21U1 + A22 I 2 , A11 = A12 = U1 U2 = I 2 =0 U1 I2 U U1 Z =1+ a , U1 Zc Zc Za + Zc = 2 =0 A22 = A21 = I1 U2 U1 1 U1 Z Z ⋅ b c ⋅ ⎛ Zb Z c ⎞ Zb + Z c Zb ⎜ Za + ⎟ Zb + Zc ⎠ ⎝ I1 I2 U = 2 =0 = I 2 =0 I1 1 = , I1Z c Z c = Z a + Zb + Z a Zb , Zc Z I1 =1+ b . 1 Z Z Zc I1 ⋅ b c ⋅ Zb + Zc Zb Основы теории цепей. Конспект лекций -139- ЛЕКЦИЯ 16. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СХЕМЫ ПАССИВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ И СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ Эквивалентные схемы пассивных линейных четырехполюсников I1 Za 2 1 U1 Zс U1 2 Za Zb 1 1 I2 U1 Zс Zс I2 2 1 U1 U2 1 2 б I1 2 U2 Zс а I1 I2 2 1 U2 1 Zb I1 I2 Zb Za 1 2 U2 2 г в Рис. 16.1 Характеристические параметры Т-образного четырехполюсника: Z1C = Z 2C = A11 A12 Za + Zc = ( Z a Zb + Z c Zb + Z a Z c ) , A21 A22 Zb + Z c A22 A12 Zb + Zc = ( Z a Zb + Z c Zb + Z a Z c ) , A21 A11 Za + Zc ⎡ g = Arch A11 A22 = Arch ⎢ ⎢ ⎣ ( Z a + Zc )( Zb + Zc ) ⎤⎥ . Zc ⎥ ⎦ ) Для симметричного Т-образного четырехполюсника ( Z a = Z b , A11 = A22 : ⎡ Z + Zc ⎤ Z1C = Z 2C = ZT = Z a ( Z a + 2Z c ) , g = Arch ⎢ a ⎥. ⎣ Zc ⎦ Расчетные формулы для Г-образных схем могут быть получены из формул для Т-образного четырехполюсника, если принять Z b = 0 (соответствует рис. 16.1, а), или Z a = 0 (для схемы рис. 16.1, б). Основы теории цепей. Конспект лекций -140- ЛЕКЦИЯ 16. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СХЕМЫ ПАССИВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ И СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ Эквивалентные схемы пассивных линейных четырехполюсников Применяя подобную методику, можно получить расчетные формулы и для П-образного четырехполюсника. Возможно решение обратной задачи: по заданным параметрам четырехполюсника (первичным или характеристическим) найти значения Z a , Z b , Z c для схемы Т- или П-образного четырехполюсника. Отсюда следует, что любой пассивный линейный четырехполюсник, для которого известны первичные или характеристические параметры, может быть заменен Т- или П-образной схемой. Схемы замещения четырехполюсника. В радиотехнике для упрощения анализа и расчета электронных схем, содержащих активные элементы (транзисторы, микросхемы, лампы и т. д.), используются схемы замещения, которые строятся на основании систем уравнений четырехполюсника. На практике чаще всего применяют П- и Т-образные схемы замещения (рис. 16.2). I1 −Y12 I 2′ 1 U1 Y11 + Y12 1 Y22 + Y12 (Y21 − Y12 )U1 2 1 U2 U1 2 1 а Z 22 − Z12 I 2′ I1 Z11 − Z12 2 (Z Z12 21 − Z12 ) I1 U2 2 б Рис. 16.2 В соответствии с первым законом Кирхгофа для входного узла схемы (рис. 16.2, а) I1 = (Y11 + Y12 )U1 + ( −Y12 )(U1 − U 2 ) = Y11U1 + Y12U 2 . Для выходного узла I 2′ = (Y22 + Y12 )U 2 + ( −Y12 )(U 2 − U1 ) + (Y21 − Y12 )U1 = Y21U1 + Y22U 2 . Таким образом, для схемы (рис. 16.2, а) справедлива система уравнений в Y -параметрах. Зависимый источник тока сохраняется только в случае необратимого четырехполюсника. Для обратимого четырехполюсника Основы теории цепей. Конспект лекций -141- ЛЕКЦИЯ 16. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СХЕМЫ ПАССИВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ И СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ Схемы замещения четырехполюсника Y21 = Y12 и источник тока отсутствует (Y21 − Y12 )U1 = 0 , т. е. схема замещения представляет собой пассивный П-образный четырехполюсник. В соответствии со вторым законом Кирхгофа для входного контура схемы (рис. 16.2, б) U1 = ( Z11 − Z12 ) I1 + Z12 ( I 2′ + I1 ) = Z11I1 + Z12 I 2′ . Аналогично для выходного контура U 2 = ( Z 21 − Z12 ) I1 + ( Z 22 − Z12 ) I 2′ + Z12 ( I 2′ + I1 ) = Z 21I1 + Z 22 I 2′ . Как и в предыдущем случае, для схемы (рис. 16.2, б) справедлива система уравнений в Z -параметрах. Зависимый источник напряжения сохраняется только в случае необратимого четырехполюсника. Для обратимого четырехполюсника Z 21 = Z12 и источник ЭДС отсутствует, т. е. схема замещения представляет собой пассивный Т-образный четырехполюсник. Параметры схем замещения могут быть выражены через любую из систем параметров. Пассивный четырехполюсник в виде П-образной схемы замещения может быть преобразован в Т-образный четырехполюсник (и наоборот) по правилу преобразования треугольника сопротивлений в звезду и наоборот. Контрольные вопросы 1. Что такое эквивалентные схемы пассивных линейных четырехполюсников? 2. Что такое схемы замещения четырехполюсников? Основы теории цепей. Конспект лекций -142- ЛЕКЦИЯ 17. СЛОЖНЫЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ Каскадное соединение четырехполюсников. Последовательное соединение четырехполюсников. Параллельное соединение четырехполюсников. Последовательно-параллельное соединение четырехполюсников. Параллельно-последовательное соединение четырехполюсников. Мостовой четырехполюсник. Сложным называется четырехполюсник, который может быть образован в результате соединения между собой нескольких, в частности двух, четырехполюсников. Параметры сложного четырехполюсника могут быть рассчитаны, если известны параметры каждого из составляющих четырехполюсников. В зависимости от схемы соединения четырехполюсников расчет параметров результирующего (эквивалентного) проводят, используя соответствующие уравнения в матричной форме. Каскадное соединение четырехполюсников. На практике четырехполюсники часто соединены каскадно, т. е. вход последующего соединяется с выходом предыдущего (рис. 17.1, а). Уравнения четырехполюсников в матричной форме A имеют вид U1 I1 = a U1 I1 I1 = I1а = b A11 A12 A21 A22 Aа A21 A22 ⋅ b U2 I2 = Aa ⋅ a U2 I2 = Ab ⋅ b U2 I2 U3 ; a U2 I2 . b I1 = I1а I 3 = I 2b Ab U2 a A11 A12 I 2 а = I1b U1 ⋅ ZH U1 а I 3 = I 2b A U3 б Рис. 17.1 При каскадном соединении U1 = U1a , U 2 = U 2 a = U1b , U 3 = U 2b , I1 = I1a , I 2 a = I1b , I 3 = I 2b . Основы теории цепей. Конспект лекций -143- ZH ЛЕКЦИЯ 17. СЛОЖНЫЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ Каскадное соединение четырехполюсников Следовательно, U1 I1 = Aa ⋅ Ab ⋅ U2 I2 = A ⋅ b U3 I3 . Таким образом, матрица A результирующего (рис. 17.1, б) четырехполюсника равна произведению матриц составляющих четырехполюсников: A = Aa ⋅ Ab . В случае каскадного соединения большего числа четырехполюсников, матрица эквивалентного четырехполюсника получается последовательным перемножением матриц каскадов. Если обеспечить согласование выхода первого каскада с входом второго Z 2Ca = Z1Cb , а также согласовать нагрузку с выходом второго каскада Z 2Cb = Z H , то выражения для напряжений на зажимах каскадов примут следующий вид: U2 = Z1Cb Z1Ca U 3e gb , U1 = U 2e g a Z 2Cb Z 2Ca и U1 = Z1Ca U 3e ga + gb . Z 2Cb Аналогичные выражения получаются и для токов, протекающих через зажимы каскадов: I1 = I1a = Z 2Ca Z 2Cb gb I 2 a e ga , I 2 a = I1b = I 3e Z1Ca Z1Cb и I1 = Z 2Cb ga + gb I 3e . Z1Ca Таким образом, каскадное согласованное соединение четырехполюсников можно заменить одним эквивалентным, имеющим характеристические сопротивления, равные входному Z1Ca и выходному Z 2Cb , и постоянную передачи, равную сумме постоянных передачи каскадов g = g a + gb , т. е. собственное затухание a = aa + ab и коэффициент фазы b = ba + bb. В общем случае постоянная передачи каскадной схемы, составленной из согласованных линейных четырехполюсников, равна сумме постоянных передачи четырехполюсников, составляющих эту схему: n g Э = aЭ + jbЭ = ∑ gi . i =1 Основы теории цепей. Конспект лекций -144- ЛЕКЦИЯ 17. СЛОЖНЫЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ Последовательное соединение четырехполюсников. Последовательным называется соединение четырехполюсников, при котором как входные, так и выходные зажимы соединены последовательно (рис. 17.2). При последовательном соединении четырехполюсников удобно воспользоваться системой уравнений в Z-параметрах, так как матрица токов для составных четырехполюсников одинакова. I 2′ = I 2а′ I1 = I1а U1а U1 U 2а Za I1b U2 I 2b′ U1b I 2′ I1 Z U1 U2 U 2b Zb а б Рис. 17.2 U1 U2 = a U1 U2 = b Z11Z12 Z 21Z 22 ⋅ a Z11Z12 Z 21Z 22 ⋅ b I1 I 2′ = Za ⋅ a I1 I 2′ = Zb ⋅ b I1 , I 2′ a I1 I 2′ . b Результирующие напряжения и токи на входе и выходе четырехполюсников: U1 = U1a + U1b , U 2 = U 2 a + U 2b , I1 = I1a = I1b , I 2′ = I 2′ a = I 2′ b . Следовательно, U1 I1 , = ⎡⎣ Z a + Z b ⎤⎦ ⋅ U2 I 2′ Основы теории цепей. Конспект лекций -145- ЛЕКЦИЯ 17. СЛОЖНЫЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ Последовательное соединение четырехполюсников. т. е. матрица сопротивлений эквивалентного четырехполюсника (рис. 17.2, б) Z = Z a + Zb . Параллельное соединение четырехполюсников. При параллельном соединении как входные, так и выходные зажимы составляющих четырехполюсников соединяются параллельно (рис. 17.3). I 2а′ I1а I1 U1 I 2′ U2 Ya Y U1 I 2b′ I1b I 2′ I1 U2 Yb а б Рис. 17.3 Запишем уравнения исходных четырехполюсников (рис. 17.3, а) в системе Y-параметров: I1 I 2′ = a I1 I 2′ = b Y11Y12 Y21Y22 ⋅ a Y11Y12 Y21Y22 ⋅ b U1 U2 = Ya ⋅ a U1 U2 = Yb ⋅ b U1 U2 , a U1 U2 . b Напряжения и токи на входе и выходе эквивалентного четырехполюсника (рис. 17.3, б): U1 = U1a = U1b , U 2 = U 2 a = U 2b , I1 = I1a + I1b , I 2′ = I 2′ a + I 2′ b . Основы теории цепей. Конспект лекций -146- ЛЕКЦИЯ 17. СЛОЖНЫЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ Параллельное соединение четырехполюсников Следовательно, I1 U1 = ⎡⎣ Ya + Yb ⎤⎦ ⋅ . I 2′ U2 Матрица проводимостей эквивалентного четырехполюсника (рис. 17.3, б) Y = Ya + Yb . Последовательно-параллельное соединение четырехполюсников. В данном случае входные зажимы составляющих четырехполюсников соединяются последовательно, а выходные – параллельно (рис. 17.4). Запишем систему уравнений четырехполюсников в Н-параметрах: U1 I 2′ = a H11H12 H 21H 22 ⋅ a I1 U2 I 2а′ I1 U1а = Ha ⋅ a I1 U2 , a U1 b I1 . U2 b I 2′ I1 U1 I 2b′ U1b I 2′ = Hb ⋅ I 2′ U2 Hа U1 U2 H Hb а б Рис. 17.4 Для эквивалентного четырехполюсника (рис. 17.4, б) выполняются соотношения: U1 = U1a + U1b , U 2 = U 2 a = U 2b , I1 = I1a = I1b , I 2′ = I 2′ a + I 2′ b . Основы теории цепей. Конспект лекций , -147- ЛЕКЦИЯ 17. СЛОЖНЫЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ Последовательно-параллельное соединение четырехполюсников Таким образом, U1 I1 = ⎡⎣ H a + H b ⎤⎦ ⋅ , I 2′ U2 т. е. матрица Н-параметров эквивалентного четырехполюсника: H = Ha + Hb . Параллельно-последовательное соединение четырехполюсников. В рассматриваемой схеме (рис. 17.5, а) входные зажимы составляющих четырехполюсников соединены параллельно, а выходные – последовательно. Уравнения четырехполюсников в данном случае удобно представить в системе G-параметров I1 U2 I1 = a G11G12 G21G22 ⋅ a U1 I 2′ I 2′ a , a I1 U2 = Gb ⋅ b U1 I 2′ . b I 2′ I1а U1 U1 = Ga ⋅ Gа U 2а U2 I1b Gb I 2′ I1 U2 G U1 U 2b а б Рис. 17.5 Из схемы (рис. 17.5, а) следует, что U1 = U1a = U1b , U 2 = U 2 a + U 2b , I1 = I1a + I1b , I 2′ = I 2′ a = I 2′ b . , Для эквивалентного четырехполюсника (рис. 17.5, б) получим: Основы теории цепей. Конспект лекций -148- ЛЕКЦИЯ 17. СЛОЖНЫЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ Параллельно-последовательное соединение четырехполюсников I1 U2 = G ⋅ U1 I 2′ , где G = Ga + Gb . Следует отметить, что правила нахождения матриц сложных четырехполюсников выполняются только для регулярных соединений, т. е. таких, в которых токи входящие и выходящие в каждой паре зажимов равны. Мостовой четырехполюсник. При анализе и синтезе пассивных симметричных четырехполюсников широко используются мостовые четырехполюсники. Доказано, что для любого пассивного симметричного четырехполюсника можно найти эквивалентный мостовой (рис. 17.6, а). Мостовой четырехполюсник можно представить как параллельное соединение двух простых четырехполюсников (рис. 17.6, б). Уравнения, связывающие напряжения и токи на зажимах этих четырехполюсников, имеют вид U1 = U 2 − 2 Z a I 2′ a , I1a = − I 2′ a – для первого четырехполюсника; U1 = −U 2 + 2 Z b I 2′ b , I1b = I 2′ b – для второго. 1 2 2 Zа U1 U2 Zа 1 Zb 2 I 2b′ I1b 1 I 2′ 1 Zа Zb I 2а′ I1 а I1 Zb 2 Zb Zа а б Рис. 17.6 Основы теории цепей. Конспект лекций -149- ЛЕКЦИЯ 17. СЛОЖНЫЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ Мостовой четырехполюсник С учетом предыдущих выражений, можно получить уравнения для элементарных четырехполюсников 1 1 ⎧ = − I U ⎪ 1a 2Z 1 2 Z U 2 , ⎪ a a ⎨ ⎪I ′ = − 1 U + 1 U , 1 2 ⎪⎩ 2 a 2Z a 2Z a 1 1 ⎧ = + I U ⎪ 1b 2 Z 1 2 Z U 2 , ⎪ b b ⎨ ⎪I ′ = 1 U + 1 U . ⎪⎩ 2b 2 Z b 1 2 Zb 2 Матрица проводимости мостового четырехполюсника как сумма матриц проводимостей имеет вид Y = Z a + Zb 2Z a Zb Z a − Zb 2Z a Zb Z a − Zb 2Z a Zb Z a + Zb 2Z a Zb . По известным коэффициентам матрицы проводимостей можно найти матрицу А-параметров A = Z a + Zb Zb − Z a 2Z a Zb Zb − Z a 2 Zb − Z a Z a + Zb Zb − Z a . Характеристические параметры симметричного мостового четырехполюсника определяются по формулам: 2 Z a Zb A12 Z + Zb , sh g = A12 A21 = . = Z a Z b , ch g = A11 = A22 = a A21 Zb − Z a Zb − Z a Z CM = После несложных преобразований получаем th g Za = . 2 Zb Коэффициент передачи по напряжению мостового четырехполюсника при согласованной нагрузке Основы теории цепей. Конспект лекций -150- ЛЕКЦИЯ 17. СЛОЖНЫЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ Мостовой четырехполюсник K CM = ZH Z CM . = A11Z H + A12 A11Z CM + A12 Подставив в эту формулу значения первичных параметров, получим: K CM = Z CM − Z a . Z CM + Z a Мостовой четырехполюсник обладает интересными свойствами в том случае, когда элементы Z a и Z b реактивны и имеют разные знаки. Характеристическое сопротивление при этом оказывается вещественным: Z CM = Z a Z b = X a ⋅ X b = RC . Коэффициент передачи по напряжению реактивного мостового четырехполюсника при согласованной нагрузке K CM ( jω) = Z CM − jX a RC − jX a = . Z CM + jX a RC + jX a Отсюда видно, что модуль коэффициента передачи K CM ( jω) = 1 и, значит, такой четырехполюсник пропускает все частоты без изменения их амплитуд. Фазовый сдвиг напряжений на входе и выходе определяется из формулы ϕM = arctg 2 X a RC X a2 − RC2 и, следовательно, является функцией частоты. Такие цепи называются четырехполюсниками чисто фазового сдвига и используются при синтезе цепей по заданным частотным характеристикам. Основы теории цепей. Конспект лекций -151- ЛЕКЦИЯ 17. СЛОЖНЫЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ Контрольные вопросы 1. Какие четырехполюсники называются сложными? 2. Чем характеризуется каскадное согласованное соединение четырехполюсников? 3. Чем определяется выбор параметров при анализе сложных четырехполюсников? 4. Каков коэффициент передачи по напряжению реактивного мостового четырехполюсника при согласованной нагрузке? 5. Чем определяется фазовый сдвиг напряжений на входе и выходе реактивного мостового четырехполюсника при согласованной нагрузке? Основы теории цепей. Конспект лекций -152- ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ Законы коммутации и начальные условия. Принужденный и свободный режим. Переходные процессы в RL-цепи. Включение в RL-цепь постоянного напряжения. Короткое замыкание RL-цепи. Включение в RL-цепь гармонического напряжения. Используемые для анализа линейных электрических цепей установившиеся процессы, при которых напряжения и токи постоянные величины либо гармонические функции времени, практически не реализуемы, так как все физические процессы имеют начало и конец. Следовательно, любое непериодическое изменение воздействия, изменение конфигурации цепи или параметров, входящих в нее элементов, приводит к тому, что режим цепи становится неустановившимся. Любое скачкообразное изменение в цепи, приводящее к неустановившемуся режиму, принято называть коммутацией. Нестационарные процессы, возникающие в цепи при переходе от одного установившегося режима к другому, называются переходными. Большая роль переходных процессов в работе современных радиоэлектронных устройств обусловлена тем, что практически всегда передача, прием и обработка информации отражаются неустановившимися (нестационарными) процессами в электрических цепях. Поскольку переходные процессы в радиоэлектронных устройствах определяют основные параметры формирователей сигналов, скорость передачи информации, влияние помех, а также искажения сигналов в канале связи, рассмотрение методов анализа и расчета переходных процессов в электрических цепях является важной задачей. Ниже рассмотрены переходные процессы в линейных электрических цепях при различных воздействиях (постоянной и гармонической ЭДС, а также при сложных формах входных сигналов). Законы коммутации и начальные условия. Возникновение переходных процессов в цепи обусловлено наличием в ней реактивных элементов (индуктивностей и емкостей), в которых накапливается энергия магнитного и электрического полей. При коммутации изменяется энергетический режим работы цепи, причем эти изменения не могут осуществляться мгновенно, поскольку скорость изменения энергии P = dW/dt – мощность, отдаваемая или потребляемая соответствующими элементами цепи, не может быть бесконечно большой. Это положение носит название принципа непрерывности во времени суммарного потокосцепления и суммарного электрического заряда цепи, из которого следует непрерывность токов в индуктивностях и напряжений на Основы теории цепей. Конспект лекций -153- ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ Законы коммутации и начальные условия емкостях. Вывод о непрерывности токов в индуктивностях и напряжений на емкостях формулируется в виде законов коммутации. Первый закон коммутации: в начальный момент времени после коммутации ток в индуктивности имеет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией, и с этого значения плавно изменяется: iL(0). Второй закон коммутации: в начальный момент времени после коммутации напряжение на емкости имеет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией, и с этого значения плавно изменяется: UC(0–) = UC(0). Следует отметить, что в цепях с идеализированными элементами скачкообразно могут изменяться: а) напряжения на R и L; б) токи в R и С. Значения тока в индуктивности и напряжения на емкости в момент коммутации (t = 0) называются независимыми начальными условиями. При нулевых начальных условиях (iL(0–) = 0) индуктивность в момент коммутации эквивалентна разрыву (режим холостого хода), при ненулевых начальных условиях эквивалентна идеальному источнику тока, поскольку величина тока, проходящего через зажимы, не зависит от величины приложенного напряжения. Емкость же при нулевых начальных условиях (UC(0–) = 0) эквивалентна короткому замыканию, поскольку разность потенциалов на обкладках конденсатора скачком измениться не может. При ненулевых начальных условиях емкость эквивалентна идеальному источнику ЭДС, поскольку напряжение не зависит от величины протекающего тока в момент коммутации. Таким образом, независимые начальные условия характеризуют запасенную в цепи к моменту коммутации энергию магнитного и электрического полей LiL2 (0−) CU C2 WL = ; WC = . 2 2 Наряду с независимыми начальными условиями используются также зависимые начальные условия, т. е. значения токов и напряжений и их производных по времени в начальный момент t = 0. Принужденный и свободный режим. В основе всех методов расчета переходных процессов в линейных цепях лежит составление интегродифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений. Эти уравнения составляются на основе уравнений Кирхгофа, метода контурных токов, метода узловых потенциалов и т. д. Например, пусть имеем цепь с последовательным соединением R, L, C при воздействии ЭДС e(t) (рис. 18.1). Если RLC-цепь подключается к источ- Основы теории цепей. Конспект лекций -154- ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ Принужденный и свободный режим нику внешнего напряжения в момент времени t = 0, то для t ≥ 0 справедливо уравнение Ri + L t=0 di 1 + idt = e ( t ) . dt C ∫ R L C е( t ) Рис. 18.1 После дифференцирования по t получим уравнение d 2i di i de L 2 +R + = . dt C dt dt Существуют различные способы решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В частности, можно использовать классический метод, согласно которому решение уравнения находится в виде суммы двух функций: Y(t) = Y1(t) + Y2(t), где Y1(t) – частное решение, которое определяет принужденный (вынужденный) режим работы цепи, задаваемый внешними источниками (правой частью уравнения F(t) = de/dt), Y2(t) – общее решение однородного дифференциального уравнения (при F(t) = 0), характеризует электрические процессы, обусловленные изменением начального электрического состояния цепи в отсутствии внешних источников свободные (собственные) составляющие. Таким образом, Y(t) = YПР(t) + YСВ(t). Для определения принужденной составляющей переходного процесса в цепи можно воспользоваться любыми известными методами расчета линейных цепей в установившемся режиме после коммутации. Для нахождения свободной составляющей YСВ(t) необходимо найти корни характеристического уравнения Lp 2 + Rp + 1 = 0. C (Действительно, если общее решение дифференциального уравнения ищется в виде Основы теории цепей. Конспект лекций -155- ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ Принужденный и свободный режим di Ae pt i pt pt i ( t ) = Ae , то = pAe = pi, ∫ idt = ∫ Ae dt = = . dt p p и, подставив выражения для тока, производной от тока по времени и интеграла в первое уравнение, получим характеристическое, имеющее два корня р1 и р2). Таким образом, решение для свободной составляющей тока представляет собой сумму двух экспонент pt i ( t ) = A1e p1t + A2e p2t . В общем же случае в сложной электрической цепи переходные процессы описываются неоднородным линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами: d nY d n−1Y dY an n + an−1 n−1 + … + a1 + a0Y = F ( t ) , dt dt dt где Y(t) – искомая функция (ток или напряжение); ап, ап – 1, ...; а1, а0 – постоянные коэффициенты, зависящие от параметров цепи; F(t) – известная функция, зависящая от внешнего воздействия. Характеристическое уравнение, соответствующее данному дифференциальному уравнению цепи при F(t) = 0: апрп + ап – 1рп–1 +...а1р + а0 = 0. Если все корни характеристического уравнения простые, свободная составляющая переходного процесса имеет вид n Y ( t ) = A1e p1t + A2e p2t + … + An e pnt = ∑ Ak e pk t , k =1 где А1, А2, ..., Ап – постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям (значениям искомых токов или напряжений и их n – 1 – первых производных в начальный момент времени после коммутации). Так как начальный запас энергии в реактивных элементах цепи всегда ограничен, то при наличии потерь свободные составляющие с течением времени затухают, и при t, стремящемся к бесконечности, в цепи будет наблюдаться только принужденный режим. На основании законов коммутации Основы теории цепей. Конспект лекций -156- ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ Принужденный и свободный режим iL(0) = iLПР(0) + iLСВ(0), откуда iLСВ = iL(0–) – iLПР(0), UC(0) = UCПР(0) + UCСВ(0), = UCСВ(0) = UC(0–) – UCПР(0), т. е. начальные значения свободных составляющих определяются изменениями в момент коммутации соответствующих принужденных функций. В зависимости от порядка дифференциальных уравнений, описывающих переходные процессы, различают цепи первого, второго и более высокого порядков. В цепях первого порядка накапливается энергия только одного вида (магнитная или электрическая), в цепях второго порядка накапливается оба вида энергии. Сложные, разветвленные цепи – цепи более высокого порядка. Переходные процессы в RL-цепи. Если цепь, состоящая из последовательно соединенных сопротивления и индуктивности (рис. 18.2), подключается к источнику внешнего напряжения момент времени t = 0, тогда для t ≥ 0 справедливо уравнение Ri + L di = e (t ), dt имеющее решение для тока в цепи i(t) = iПР(t) + iСВ(t), iСВ(t) = Aept, где р – корень характеристического уравнения R + Lp = 0, p = –R/L; A − постоянная интегрирования, iПР(t) определяется видом функции e(t). t=0 R е( t ) i L Рис. 18.2 Основы теории цепей. Конспект лекций -157- ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ Включение в RL-цепь постоянного напряжения. При включении постоянной ЭДС функция внешнего воздействия ⎧0 t < 0 e (t ) = ⎨ ⎩E t > 0 имеет вид рис. 18.3. Принужденную составляющую рассчитаем, предположив, что в цепи установился постоянный ток, тогда i (t ) = E + A e pt , где R E = iпр ( t ) . R Найдем постоянную интегрирования А. Если iL(0–) = 0, i(0) + iL(0–) = 0 = = iПР(0) + iСВ(0) = (Е/R) + A, A = –E/R. U, i Е е( t ) UR Е/R Е i UL 0 t 0 t iсв –Е/R Рис. 18.3 Таким образом, i ( t ) = ( iпр Рис. 18.4 ) E −Rt 1− e L . R ( Напряжение на сопротивлении U R ( t ) = Ri = E 1 − e − RL t ). di −Rt = Ee L . dt Очевидно, что UR(0) = 0, а UL(0) = E, так как при t = 0 ток еще не течет и действие внешнего источника компенсируется ЭДС самоиндукции Напряжение на индуктивности U L ( t ) = L eL = − L di , eL ( 0 ) = E . dt Свободный ток в начальный момент имеет максимальное по абсолютной величине значение, а затем непрерывно уменьшается (рис. 18.4). Основы теории цепей. Конспект лекций -158- ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ Включение в RL-цепь постоянного напряжения Чтобы оценить скорость нарастания тока в цепи, вычислим производную di/dt при t = 0. Дифференцируя выражение для полного тока по t, получим di E R − RL t e , = dt R L откуда di ER E 1 = , (0) = dt R L R τL где τL = L/R – постоянная времени RL-цепи. Размерность постоянной времени [L/R] = [Гн/Ом] = [Ом С/Ом] = [С], ([Гн] = [U/i/t] = [В/А/С]). Очевидно, что чем меньше τ, тем быстрее возрастает ток в цепи (рис. 18.5). За время t = τL переходный ток возрастает до величины i(τL) = I(1 – e–1) ≈ ≈ 0,623I, где I = E/R, свободный ток падает от начального значения в е раз: iCB(τL) = Ie–1 ≈ 0,368I, где е = 2,718. i(t) Е R τ1 τ2 > τ1 t 0 Рис. 18.5 Практически можно считать, что переходный процесс заканчивается через t = (4 – 5) τL, при t = 5 τL ток в цепи достигает более 0,99 от установившегося значения. Для нахождения отклика цепи на сигнал П-образной формы представим прямоугольный импульс на входе в виде двух одинаковых скачков напряжений, смещенных во времени на величину τи (рис. 18.6) и найдем отклик как алгебраическую сумму откликов на каждый из скачков в отдельности. Тогда для напряжений на элементах будем иметь графики, представленные на рис. 18.7. Основы теории цепей. Конспект лекций -159- ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ Включение в RL-цепь постоянного напряжения i(t) UR Е Е Е 0 е( t ) τи 0 τи t 0 τи t UL t Е Е τи 0 t Е Рис. 18.6 Рис. 18.7 Короткое замыкание RL-цепи. Предположим, что в цепи (рис. 18.8), работающей в установившемся режиме от источника ЭДС е(t), замыкается ключ. К моменту коммутации в индуктивности протекал ток i(0–) и в магнитном поле катушки запасена энергия WL. Очевидно, что в таком случае в цепи будет только свободный процесс, обусловленный возникновением ЭДС самоиндукции, препятствующей изменению магнитного поля, т. е. ток, протекающий после коммутации, i(t) = iCB(t). Вынуждающей причины нет, и нет принужденного тока. Это пример режима цепи, в котором свободная составляющая тока является не формальной математической величиной, обусловленной методом решения дифференциального уравнения, а действительным, наблюдаемым переходным током. Так как принужденная составляющая отсутствует, то i ( t ) = iСВ ( t ) = Ae − t τL . Из условия i(0) = iCB(0) получаем А = iL(0–), а переходный ток i ( t ) = iL ( 0 − ) e − t τL . Напряжение на сопротивлении U R ( t ) = Ri ( t ) = R iL ( 0 − ) e Основы теории цепей. Конспект лекций − t τL . -160- ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ Короткое замыкание RL-цепи Напряжение на индуктивности t − di U L ( t ) = L = − R iL ( 0 − ) e τL . dt Очевидно, что для t > 0 UR(t) + UL(t) = 0. (рис. 18.9). R е( t ) Ri(0–) i(0–) R t=0 i(t) U, i UR i L 0 τL 2τL t UL –Ri(0–) Рис. 18.8 Рис. 18.9 За время переходного процесса начальная энергия, запасенная в индуктивности, будет расходоваться на тепловые потери в сопротивлении R. Величина этих потерь ∞ ∞ −2 t τL W = ∫ Ri ( t ) dt = i ( 0 − ) ∫ e 2 0 2 0 L dt = − Ri ( 0 − ) e 2R 2 −2 t ∞ τL 0 Li 2 ( 0 − ) = = WL . 2 Включение в RL-цепь гармонического напряжения. Если на вход RL-цепи включить гармоническую ЭДС e(t) = Emcos(ωt + ψ), то принужденная составляющая тока будет представлять собой установившиеся колебания iПР ( t ) = I m cos(ωt + ψ − ϕ), где Im = Em ; |Z | 2 ⎛ ωL ⎞ Z |= R 2 + ( ωL ) , ϕ = arctg ⎜ ⎟. ⎝ R ⎠ Постоянную интегрирования в этом случае находим из условия iL(0–) = = iПР(0) + iCB(0), 0 = Imcos(ψ – φ) + A, Основы теории цепей. Конспект лекций -161- ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ Включение в RL-цепь гармонического напряжения A = –Imcos(ψ – φ). Следовательно, полный ток в цепи при t ≥ 0 определяется выражением t ⎡ − ⎤ τL i ( t ) = I m ⎢cos ( ωt + ψ − ϕ ) − cos ( ψ − ϕ ) e ⎥ . ⎢⎣ ⎥⎦ Напряжение на сопротивлении t ⎡ − ⎤ τL U R (t ) = Ri ( t ) = RI m ⎢cos ( ωt + ψ − ϕ ) − cos ( ψ − ϕ ) e ⎥ . ⎢⎣ ⎥⎦ Напряжение на индуктивности t ⎡ − ⎤ di τL U L ( t ) = L = I m ⎢ −ωL sin ( ωt + ψ − ϕ ) + R cos ( ψ − ϕ ) e ⎥ . dt ⎢⎣ ⎥⎦ Из полученных выражений следует, что соотношения между принужденными и свободными составляющими токов и напряжений на R и L определяются начальной фазой генератора ψ и фазовой характеристикой цепи φ. Если ψ – φ = π/2 (принужденная составляющая тока проходит через нуль в момент включения), то свободные составляющие i и U отсутствуют и в цепи сразу же после включения устанавливается стационарный режим (рис. 18.10). Максимально возможные величины принужденных и свободных составляющих тока и напряжений в цепи будут наблюдаться, если ψ = φ или ψ – φ = ±π (рис. 18.11). Если постоянная времени цепи велика (τL >> T, T – период колебаний) и, следовательно, свободная составляющая затухает медленно, то в первые полпериода процесса ток переходного режима может достигнуть значения почти удвоенной амплитуды установившегося тока (рис. 18.12). Основы теории цепей. Конспект лекций -162- ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ Включение в RL-цепь гармонического напряжения i(t), (UR) i(t), (UR) iПР(t) Im t 0 t 0 ≈2Im iСВ(t) i(t) = iПР(t) + iСВ(t) Рис. 18.10 Рис. 18.11 Определив отклик цепи на гармоническую ЭДС, можно найти отклик на радиоимпульс прямоугольной формы. Прямоугольный импульс с немодулированным заполнением (рис. 18.12) определяется выражением ⎧ E cos ( ωt + ψ ) при 0 < t < τи , e (t ) = ⎨ m при t < 0 и t > τи . ⎩ 0 На интервале времени 0 ≤ t ≤ τи отклик цепи на такой сигнал может быть определен как отклик на гармоническую ЭДС, включенную при t = 0. Очевидно, в цепи после окончания входного импульса будут существовать только свободные составляющие тока и напряжений UR и UL, так как при t > τи внешнее воздействие e(t) = 0. i(UR = Ri) e( t ) i(τи) = I Im Em 0 τи t Рис. 18.12 Если iL(τи) = I, то i ( t ) = iСВ ( t ) = Ae τи τL τи Рис. 18.13 − t τL при t = τи iL ( τи ) = I = Ae A = Ie , следовательно, для t > τи i ( t ) = Ie t 0 − − τи τL , откуда ( t −τи ) τL Основы теории цепей. Конспект лекций и напряжения на элементах -163- ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ Включение в RL-цепь гармонического напряжения − (t - τи ) τL − di U R ( t ) = Ri ( t ) = RIe , U L ( t ) = L = − RIe dt UR + UL = 0 при t > τи. ( t - τи ) τL , Таким образом, полный отклик RL-цепи на радиоимпульс на входе имеет вид, представленный на рис. 18.13. Контрольные вопросы 1. 2. 3. 4. Что формулируется в виде законов коммутации? Что называется независимыми начальными условиями? Что представляют собой принужденный и свободный режимы цепи? Что характеризует постоянная времени RL-цепи? Основы теории цепей. Конспект лекций -164- ЛЕКЦИЯ 19. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RC-ЦЕПИ Включение в RC-цепь постоянного напряжения. Разряд емкости на сопротивление. Включение в RC-цепь гармонического напряжения. Нестационарные явления, возникающие при заряде и разряде емкости, представляют большой практический интерес. Предположим, что RC-цепь (рис. 19.1) в момент t = 0 подключается к источнику внешнего напряжения e(t). На основании второго закона Кирхгофа для t ≥ 0 уравнение цепи имеет вид e(t) = R i(t) + UC. Поскольку i (t ) = C dU C dU C + UC . , то e ( t ) = RC dt dt Характеристическое уравнение RCp + 1 = 0, откуда p = –1/RC и постоянная времени τC = RC [С]. [RC] = [Ом Ф] = [Ом К/В] = [Ом АС/В]. Следовательно, U C = U CПР + U CСВ , U C (t ) = U CПР + Ae t=0 − t τC . R e( t ) i(t) C UC Рис. 19.1 Как и в RL-цепи U(t) определяется видом подключаемого источника и величинами R и С. Включение в RC-цепь постоянного напряжения. При подключении RC-цепи к источнику постоянного напряжения (рис. 18.2) величина принужденной составляющей напряжения на емкости должна быть равна внешнему напряжению Е, так как при t, стремящемуся к бесконечности, емкость заряжается до напряжения источника питания (рис. 19.2). Основы теории цепей. Конспект лекций -165- ЛЕКЦИЯ 19. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RC-ЦЕПИ Включение в RC-цепь постоянного напряжения Если запаса энергии в цепи до подключения внешнего источника не было, то UC(0–) = UC(0) = UCПР + UCCB, 0 = Е + А, А = –Е, t t ⎛ ⎞ − dU C E − τC τC ⎟ . Ток в цепи i ( t ) = C U C ( t ) = E ⎜1 − e = e . ⎜ ⎟ dt R ⎝ ⎠ Напряжение на сопротивлении U R ( t ) = Ri ( t ) = Ee − t τC . UCПР U, i E E/R UR i UC t 0 UCСВ –E Рис. 19.2 Если к моменту коммутации емкость была заряжена до напряжения U(0), то при t = 0 имеем U(0) = E + A, откуда A = U(0) – E. Следовательно, U C ( t ) = E − [ E − U (0) ] e − t τC E − U ( 0 ) − τC , ток i ( t ) = . e R t С течением времени напряжение на емкости стремится к установившемуся значению Е, а ток убывает, стремясь к нулю тем быстрее, чем меньше постоянная времени цепи. На рис. 19.3 изображены кривые изменения U(t) и i(t) при Е > U(0), на рис. 19.4 – при E < U(0). Во время переходного процесса в емкости происходит непрерывное накопление электрической энергии, которая при t → ∞ достигает величины WC max CE 2 = . 2 Основы теории цепей. Конспект лекций -166- ЛЕКЦИЯ 19. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RC-ЦЕПИ Включение в RC-цепь постоянного напряжения Одновременно часть энергии, отдаваемой внешним источником, расходуется в сопротивлении R. Причем энергия, рассеиваемая в сопротивлении, оказывается равна энергии, запасаемой в емкости. U, i U(0) U, i Е UC Е UC U(0) Е − U ( 0) R 0 i 0 τC i U (0) − E R t t τC Рис. 19.3 Рис. 19.4 UC Е e( t ) τC2 > τC1 Е 0 0 τC1 UR Е t τи t τи τC2 τC1 0 t τи Рис. 19.5 Рис. 19.6 ∞ ∞ E 2 −2 Действительно, WR = ∫ Ri dt = ∫e R 0 0 2 t RC dt =− E 2e R −2 t RC 2 RC ∞ CE 2 = = WC max . 2 0 При подключении RC-цепи к генератору прямоугольных импульсов (рис. 19.5) напряжения на элементах могут быть найдены как алгебраические суммы откликов на положительный и отрицательный скачки напряжения на входе и графики их имеют вид, представленный на рис. 19.6. Основы теории цепей. Конспект лекций -167- ЛЕКЦИЯ 19. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RC-ЦЕПИ Включение в RC-цепь постоянного напряжения Из рис. 19.6 видно, что чем больше постоянная времени τС = RC, тем медленнее нарастает и спадает напряжение на конденсаторе. Разряд емкости на сопротивление. Пусть емкость предварительно заряжена до напряжения Е. В момент времени t = 0 она подключается к сопротивлению (рис. 19.7). U, i E t=0 UC 0 C E R UC (0) = E UR t i E R –E UR − Рис. 19.7 Рис. 19.8 При подключении емкости к сопротивлению в цепи возникает переходный процесс, емкость разряжается и поскольку при t ≥ 0 внешнего воздействия не будет e(t) = 0, то UCПР = 0 и U C ( t ) = U CСВ ( t ) = Ae − t τC . При t = (0+) UCСВ(0) = Е = А, откуда U C ( t ) = Ee − t τC , t dU C E − i (t ) = C = − e τC . dt R Напряжение на сопротивлении UR(t) = Ri(t) = –UC(t). Графики изменения тока и напряжений на емкости и сопротивлении приведены на рис. 19.8. Очевидно, что вся энергия, запасенная в емкости к моменту коммутации, рассеивается в сопротивлении за время t = (4 – 5) τС. Основы теории цепей. Конспект лекций -168- ЛЕКЦИЯ 19. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RC-ЦЕПИ Разряд емкости на сопротивление ∞ ∞ E 2 −2 WR = ∫ Ri dt = ∫e R 0 0 2 t RC dt CE 2 = = WC max . 2 Включение в RC-цепь гармонического напряжения. Если на вход RC-цепи включить гармоническую ЭДС e(t) = Emcos(ωt + ψ), то принужденная составляющая напряжения на конденсаторе будет π U CПР = U m cos(ωt + ψ − ϕ − ) , 2 E 1 где U m = m , Z ωC 2 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ Z = R +⎜ ⎟ , ϕ = arctg ⎜ − ⎟, ⎝ ωC ⎠ ⎝ ωCR ⎠ 2 π/2-угол, на который напряжение на конденсаторе отстает от тока. Определив постоянную интегрирования из условия UC(0–) = UCПР(0) + + UCCB(0), получим π⎞ ⎛ 0 = U m cos ⎜ ψ − ϕ − ⎟ + A, A = U m sin ( ϕ − ψ ) . 2⎠ ⎝ t ⎡ ⎛ ⎤ − π⎞ τC ⎥. Следовательно, U C ( t ) = U m ⎢cos ⎜ ωt + ψ − ϕ − ⎟ + sin ( ϕ − ψ ) e 2⎠ ⎢⎣ ⎝ ⎥⎦ t ⎡ ⎤ − dU C π⎞ 1 ⎛ τC Ток i ( t ) = C ⎥. sin ( ϕ − ψ ) e = −CU m ⎢ω sin ⎜ ωt + ψ − ϕ − ⎟ − dt 2 ⎠ RC ⎝ ⎢⎣ ⎥⎦ При t = (0+) i (0 +) = = ⎤ Em ⎡ R 1 π⎞ ⎛ sin sin ψ − ϕ − + ϕ − ψ ( ) ⎢ ⎥= ⎜ ⎟ R ⎣Z 2 ⎠ ωC Z ⎝ ⎦ Em E ⎡⎣cos ϕ cos ( φ − ψ ) + sin ϕ sin ( ϕ − ψ ) ⎤⎦ = m cos ψ, R R Em cos ψ = e ( 0 ) , т. е. если емкость не имела заряда до включения ЭДС, то в момент коммутации она как бы замыкается накоротко и ток в начальный момент времени зависит от активного сопротивления и значения ЭДС при t = 0. Основы теории цепей. Конспект лекций -169- ЛЕКЦИЯ 19. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RC-ЦЕПИ Включение в RC-цепь гармонического напряжения Как и в RL-цепи характер переходного процесса в RC-цепи зависит от соотношения ψ и φ. При ψ = φ в цепи не возникает свободной составляющей напряжения на конденсаторе и сразу же после включения гармонической ЭДС устанавливается стационарный режим. Если ψ – φ = π/2, то в цепи возникает максимальная свободная составляющая напряжения на конденсаторе и при τC >> T (T – период принужденных колебаний) в момент времени t = T/2 наблюдается максимальное напряжение, почти в два раза превышающее амплитуду принужденных колебаний (рис. 19.9). ≈2Um UC UC Um Um 0 UC (t) = UСПР + UССВ τи t Т 2 0 t U(τи) UСПР Рис. 19.9 Рис. 19.10 Отклик RC-цепи на радиоимпульс на интервале 0 < t < τи определяется как отклик на гармоническую ЭДС, включенную при t = 0. После окончания импульса в цепи будут существовать только свободные составляющие тока и напряжений на элементах R и С, определяемые напряжением на конденсаторе в момент времени t = τи. Если при t = τи UC(τи) = U, то при t > τи U C = Ae откуда U C ( τи ) = U = Ae − τи τC − t τC и U C ( t ) = Ue − , t −τи τC . t −τи dU C U − τC Ток в цепи при t > τи i ( t ) = C =− e . dt R Таким образом, отклик RC-цепи на радиоимпульс на входе имеет вид, показанный на рис. 19.10. Основы теории цепей. Конспект лекций -170- ЛЕКЦИЯ 19. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RC-ЦЕПИ Контрольные вопросы 1. В каких единицах измеряется постоянная времени цепи? 2. Чем определяется скорость изменения напряжений на элементах цепи в переходном режиме? 3. От чего зависит время заряда емкости при подключении ее к источнику ЭДС через сопротивление? 4. При каких условиях в RC-цепи не возникает свободной составляющей напряжения на конденсаторе? Основы теории цепей. Конспект лекций -171- ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLC Включение в RLC-цепь постоянного напряжения. Включение в цепь RLC гармонического напряжения. Если RLC-цепь (рис. 20.1), не имеющая начального запаса энергии электрического и магнитного полей, подключается к источнику внешнего напряжения в момент времени t = 0, то для t ≥ 0 справедливо уравнение Ri + L di 1 + idt = e ( t ) , dt C ∫ имеющее решение для тока i(t) = iПР(t) + iCB(t). t=0 R L e(t) C i(t) Рис. 20.1 Свободная составляющая iСВ ( t ) = A1e p1t + A2e p2t , где p1 и р2 – корни характеристического уравнения 1 Lp + Rp + = 0, C 2 2 p1,2 R 1 ⎛ R ⎞ =− ± ⎜ , ⎟ − 2L ⎝ 2 L ⎠ LC R 1 , ω0 = , получим p1,2 = −δ ± δ2 − ω02 . 2L LC А1 и А2 – постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями в цепи; iПР(t) – принужденная составляющая тока, определяемая видом ЭДС e(t) и величинами R, L, C. Обозначив δ = Основы теории цепей. Конспект лекций -172- ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLC Включение в RLC-цепь постоянного напряжения. При подключении источника постоянного напряжения iПР(t) = 0, так как постоянный ток через конденсатор не течет: di = p1 A1e p1t + p2 A2e p2t . dt di di E Для t = 0 e ( 0 ) = Ri ( 0 ) + L ( 0 ) + U C ( 0 ) , (0) = dt dt L i ( t ) = iСВ ( t ) = A1e p1t + A2e p2t , (так как iL(0) = iL(0–) = 0, UC(0) = UC(0–) = 0). ⎧ A1 + A2 = 0, ⎪ Таким образом, ⎨ E ⎪⎩ p1 A1 + p2 A2 = L , E , откуда A1 = − A2 = L ( p1 − p2 ) E следовательно, i ( t ) = e p1t − e p2t . L ( p1 − p2 ) В зависимости от соотношения δ и ω0 (ω0 – резонансная частота) возможны три случая: ρ R L 1 > = 2ρ, Q = < 0,5 (апериодический процесс). , R>2 а) δ > ω0 , C R 2L LC В плоскости комплексного переменного корни характеристического уравнения лежат на вещественной оси (рис. 20.2). Ток в цепи представляет собой сумму двух экспонент (рис. 20.3). ( Im p2 p1 0 Re ) A1 0 i(t) A1e p1t i A2 e p2t t A2 = –A1 Рис. 20.2 Рис. 20.3 Основы теории цепей. Конспект лекций -173- ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLC Включение в RLC-цепь постоянного напряжения Напряжения на элементах: U R = Ri ( t ) = UL = L ( ) ER e p1t − e p2t , L ( p1 − p2 ) ( ) di E = p1e p1t − p2e p2t , dt ( p1 − p2 ) ⎡ ⎤ 1 U C = E − U R − U L = E ⎢1 + p2e p1t − p1e p2t ⎥ . ⎣ ( p1 − p2 ) ⎦ ( ) Графики зависимостей UR, UL, UC от времени приведены на рис. 20.4. U(t) E UC UR t 0 UL Рис. 20.4 U(t) E UC E–U UR U 0 UL Рис. 20.5 Основы теории цепей. Конспект лекций -174- ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLC Включение в RLC-цепь постоянного напряжения Если в момент коммутации емкость была заряжена до напряжения U, то для t = 0 di E = L +U, dt di E −U E −U откуда и A1 = − A2 = , (0) = dt L L( p1 − p2 ) E −U следовательно, i ( t ) = e p1t − e p2t . L ( p1 − p2 ) Кривые зависимостей напряжений на элементах цепи при ненулевых начальных условиях показаны на рис. 20.5. б) δ = ω0, R = 2ρ, Q = 0,5 (критический режим). p1,2 = –δ, в этом случае выражение для тока приводит к неопределенности вида 0/0, раскрывая которую по правилу Лопиталя, получим ( ) ( ) E E e p1t − e p2t = te −δt , p1 → p2 L ( p − p ) L 1 2 i ( t ) = lim при ненулевых начальных условиях E −U E − U −δt e p1t − e p2t = te p1 → p2 L ( p − p ) L 1 2 i ( t ) = lim ( ) (действительно, дифференцированием числителя и знаменателя по p1 полуϕ′ ( p1 ) Ete − p1t E −δt чаем i ( t ) = lim = lim = te ). p1 → p2 =−δ ψ′ ( p ) p1 → −δ L L 1 Форма кривых зависимостей тока и напряжений на R, L, C от времени аналогична апериодическому режиму, условие Q = 0,5 является предельным условием существования в цепи апериодических процессов. в) δ < ω0, R < 2ρ, Q > 0,5, p1,2 = –δ ± jωCB (колебательный процесс). Корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные (рис. 20.6). ωСВ = ω02 − δ2 – угловая частота свободных (собственных) колебаний. Основы теории цепей. Конспект лекций -175- ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLC Включение в RLC-цепь постоянного напряжения +j р1 i E − δt е LωСВ jωСВ –δ 0 + t 0 –jωСВ р2 − Рис. 20.6 E − δt е LωСВ Рис. 20.7 При p1,2 = –δ ± jωCB i (t ) = = ( ) E −δ+ jωСВ )t −δ− jωСВ )t − e( = e( 2 jωСВ L E e −δt ( cos ωСВt + j sin ωСВt − cos ωСВt + j sin ωСВt ) = 2 jωСВ L = E ωСВ L e−δt sin ωСВt. Таким образом, ток в цепи представляет собой затухающую гармоническую функцию, амплитуда которой экспоненциально уменьшается во времени (рис. 20.7). Напряжение на элементах цепи: U R = Ri = UL = L ER −δt e sin ωСВt , ωСВ L di ω = − 0 Ee −δt sin ( ωСВt − ϕ ) , ωСВ dt ⎡ ⎤ ω U C = E − U R − U L = E ⎢1 − 0 e −δt sin ( ωСВt + ϕ ) ⎥ , ⎣ ωСВ ⎦ где ϕ = arctg ωСВ . δ Основы теории цепей. Конспект лекций -176- ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLC Включение в RLC-цепь постоянного напряжения Графики зависимостей UR, UL, UC от времени приведены на рис. 20.8. U UC E UR t 0 UL ТСВ Рис. 20.8 TCB = 2π 2π = . ωCB ω02 − δ2 Очевидно, что чем меньше δ, тем медленнее затухают колебания в цепи. Скорость затухания колебаний оценивают величиной e δTСВ – декрементом затухания, где TCB – период свободных колебаний, а также логарифмическим декрементом затухания ne δTСВ = δTСВ . Учитывая, что ωСВ = ω0 1 − ( δ ω0 ) = ω0 1 − ( R 2 Lω0 ) = ω0 1 − (1/ 2Q ) , 2 2 2 при высокой добротности ωCB ≈ ω0 и TCB ≈ T0 логарифмический декремент затухания R Rω0 2πTСВ π δТ СВ = TСВ = TСВ = ≈ . Q 2L 2 ω0 L 2QT Время практического существования переходного процесса определяется временем затухания экспоненты e–δt, которое составляет ( 4 − 5) 1 2L = ( 4 − 5) = ( 4 − 5 ) τK , δ R где τK – постоянная времени контура. За время переходного процесса tПР укладывается N периодов свободной составляющей, причем Основы теории цепей. Конспект лекций -177- ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLC Включение в RLC-цепь постоянного напряжения N= tПР ( 4 − 5 ) 2 Lω0 ( 4 − 5 ) 2QωСВ = = ≈ Q. Т СВ 2πω0 TСВ Rω0 Таким образом, колебания затухают тем быстрее, чем меньше добротность контура. Рассмотрим отклик цепи на прямоугольный импульс на входе. Представив прямоугольный импульс в виде разности двух одинаковых скачков напряжений, смещенных во времени на величину длительности импульса, найдем напряжение на элементах R, L, C как алгебраическую сумму откликов на каждый из скачков в отдельности. Зависимости напряжений на элементах от времени в этом случае приведены для апериодического процесса (R = 300 Ом, L = 25 мГн, C = 10 нФ) на рис. 20.9, для колебательного процесса (R = 300 Ом, L = 70 мГн, C = 40 нФ) на рис. 20.10. U, В UВХ τи t, мкс Рис. 20.9 Основы теории цепей. Конспект лекций -178- ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLC Включение в RLC-цепь постоянного напряжения U, В UВХ τи t, мс Рис. 20.10 В общем же случае форма тока в цепи определяется расположением корней характеристического уравнения на комплексной плоскости (рис. 20.11). Im Im p2 p1 0 Re p2 p1 Im 0 Re p2 = p1 = –δ 0 Re i i i 0 t 0 Апериодический режим R >> 2ρ t R > 2ρ 0 t Критический режим R = 2ρ Рис. 20.11 Основы теории цепей. Конспект лекций -179- ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLC Включение в RLC-цепь постоянного напряжения Im p1 Im jωСВ p1 jωСВ –jωСВ i p2 –jωСВ = –jω0 –jωСВ p2 i 0 i t 0 t 0 R < 2ρ Im jωСВ = jω0 0 Re 0 Re 0 Re p2 p1 t Колебательный режим R << 2ρ R→0 Рис. 20.12 На рис. 20.12 показано изменение переходного процесса при изменении сопротивления потерь в контуре (индуктивность и емкость не меняются). Очевидно, что чем меньше сопротивление R, тем выше частота свободных колебаний в контуре и в пределе при стремлении R к нулю частота свободных колебаний стремится к резонансной частоте контура. Включение в цепь RLC гармонического напряжения. Рассмотрим переходные процессы, возникающие в контуре при включении источника гармонического напряжения. Пусть при t ≥ 0 внешняя ЭДС имеет вид e(t) = Emcos(ωt + ψ), тогда принужденный ток iПР ( t ) = I m cos ( ωt + ψ − ϕ ) , где I m = 2 1 ⎞ ⎛ Z = R 2 + ⎜ ωL − ⎟ , C ω ⎝ ⎠ ϕ = arctg Основы теории цепей. Конспект лекций Em , Z ωL − R 1 ωC . -180- ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLC Включение в цепь RLC гармонического напряжения Полное решение для тока i ( t ) = I m cos ( ωt + ψ − ϕ ) + A1e p1t + A2e p2t . При нулевых начальных условиях iL(0–) = 0, UC(0–) = 0 для t = 0 имеем i(0–) = iL(0–) = 0 = iПР(0) + iCB(0). I m cos ( ψ − ϕ ) + A1 + A2 = 0, e ( 0 ) Em di = cos ψ, (0) = dt L L di di di ( 0 ) = ПР ( 0 ) + СВ ( 0 ) = −ωI m sin ( ψ − ϕ ) + p1 A1 + p2 A2 , dt dt dt ⎧ I m cos ( ψ − ϕ ) + A1 + A2 = 0, ⎪ ⎨ Em ⎪⎩−ωI m sin ( ψ − ϕ ) + p1 A1 + p2 A2 = L cos ψ. Отсюда A1 = ω p2 Em cos ψ, I m sin ( ψ − ϕ ) + I m cos ( ψ − ϕ ) + p1 − p2 p1 − p2 L ( p1 − p2 ) A2 = − ω p1 Em cos ψ. I m sin ( ψ − ϕ ) − I m cos ( ψ − ϕ ) − p1 − p2 p1 − p2 L ( p1 − p2 ) Подставив постоянные интегрирования A1 и A2 в выражение для полного тока, получим i ( t ) = I m cos ( ωt + ψ − ϕ ) + + ( ) Im cos ( ψ − ϕ ) p2e p1t − p1e p2t + p1 − p2 ⎡ ⎤ ωL Em sin ( ψ − ϕ ) ⎥ e p1t − e p2t . ⎢cos ψ + L ( p1 − p2 ) ⎣ Z ⎦ ( ) Кривые зависимости тока от времени представляют собой сумму кривых iПР и iCB. В зависимости от вида свободных составляющих (расположения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости) и частоты внешней ЭДС возможны различные случаи. На рис. 20.13, а, б приведены формы тока в цепи при R > 2ρ (апериодический процесс), когда период принужденного тока меньше (рис. 20.13, а) и (рис. 20.13, б) больше длительности свободной составляющей тока. Основы теории цепей. Конспект лекций -181- ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLC Включение в цепь RLC гармонического напряжения При R < 2ρ форма переходного тока зависит от соотношения частоты внешней ЭДС и частоты свободных колебаний (на рис. 20.13, в приведена форма тока для ω < ωCB, на рис. 20.13, г – для ω > ωCB). i(t) = iПР(t) + iСВ(t) i(t) iПР(t) i(t) i(t) = iПР(t) + iСВ(t) iПР(t) iСВ(t) iСВ(t) 0 0 t t а i(t) i(t) i(t) = iПР(t) + iСВ(t) iПР(t) б i(t) = iПР(t) + iСВ(t) iСВ(t) iПР(t) iСВ(t) 0 t 0 t в г Рис. 20.13 Чаще всего на практике применяют колебательные контуры с малыми потерями (R << ρ). В этом случае p1 − p2 = 2 jωСВ и e p1t − e p2t = 2 je −δt sin ωCBt , p2e p1t − p1e p2t = ( −δ − jωСВ ) e( −δ+ jωСВ )t − ( −δ + jωСВ ) e( −δ− jωСВ )t = 2 = 2 j ( δ sin ωСВt + ωСВ cos ωСВt ) e −δt = −2 j ωСВ + δ2 ( cos ωСВt sin ϕC + + sin ωСВt cos ϕC ) e −δt = −2 jωСВe−δt sin ( ωСВt + ϕC ) , ϕC = arctg ωСВ . δ Основы теории цепей. Конспект лекций -182- ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLC Включение в цепь RLC гармонического напряжения Следовательно, i ( t ) = I m cos ( ωt + ψ − ϕ ) − I m + ω0 cos ( ψ − ϕ ) e −δt sin ( ωСВt + ϕC ) + ωСВ ⎤ Em ⎡ ωL sin ( ψ − ϕ ) ⎥ e −δt sin ωСВt. ⎢cos ψ + Z ωСВ L ⎣ ⎦ Таким образом, характер переходных процессов в контуре определяется соотношением между резонансной частотой контура, частотой колебаний внешней ЭДС, а также частотой свободных колебаний. Чаще всего колебательный контур с малыми потерями (δ << ω0) работает на резонансной частоте, совпадающей с частотой внешней ЭДС. Если ψ = π/2, т. е. напряжение источника ЭДС в момент включения проходит через нуль, то ωCB ≈ ω0 ≈ ω, |Z| = R, φ = 0, φC = π/2, i (t ) ≈ ( ) Em 1 − e −δt sin ω0t. R Из последнего выражения следует, что амплитуда колебаний в контуре с течением времени растет по экспоненциальному закону, приближаясь к E принужденной составляющей m (рис. 20.14). R i Im = Em R 0 t Рис. 20.14 Основы теории цепей. Конспект лекций -183- ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLC Включение в цепь RLC гармонического напряжения Скорость нарастания амплитуды тока определяется производной ( di , dt ) где I ( t ) = I m 1 − e −δt . di R Rω ω Δω ( 0 ) = I mδ, δ = = 0 = 0 = K , 2 L 2ω0 L 2Q 2 dt t =0 di Δω I ( 0) = K Im = m . 2 dt τK t =0 Таким образом, скорость нарастания тока тем больше, чем шире полоса пропускания контура, меньше добротность (рис. 20.15). i i Q1 Q2 > Q1 Em R Em R 0 0 t а t б Рис. 20.15 Если же частота внешней ЭДС не совпадает с резонансной частотой контура, то при малых расстройках (ω0 ≈ ω) i(t) = –Imsin(ωt – φ) + Ime–δt sin(ω0t – φ). Если потери в контуре отсутствуют (δ = 0), то i ( t ) ≈ − I m sin ( ωt − ϕ ) + I m sin ( ω0t − ϕ ) = ⎛ ω − ω0 ⎞ ⎛ ω + ω0 ⎞ = −2 I m sin ⎜ t ⎟ sin ⎜ t − ϕ ⎟ ; ω > ω0 , ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ Основы теории цепей. Конспект лекций -184- ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLC Включение в цепь RLC гармонического напряжения т. е. в результате сложения двух гармонических колебаний с близкими частоω + ω0 тами в контуре возникают колебания с частотой ≈ ω и медленно из2 ⎛ ω − ω0 ⎞ меняющейся амплитудой sin ⎜ t ⎟ , так называемые биения (рис. 20.16). ⎝ 2 ⎠ Очевидно, что период огибающей тем больше, чем ближе частоты внешней ЭДС и резонанса контура. В реальном контуре наличие потерь приводит к затуханию свободной составляющей тока, поэтому огибающая переходного процесса с течением времени будет стремиться к установившемуся значению Im (рис. 20.17). i 2Im t 0 Рис. 20.16 i Im 0 t Рис. 20.17 Отклик контура на радиоимпульс с прямоугольной огибающей в интервале времени от 0 до τи можно найти как отклик на гармоническую ЭДС, включенную в момент t = 0. Начиная с момента t = τи после прекращения действия внешней ЭДС остается только свободная составляющая тока IСВ(t) = Im1e–δtsin(ωСВt – φ), где Im1 определяется значениями напряжения на конденсаторе и тока в контуре в момент времени t = τи. Таким образом, полный отклик колебательного контура на радиоимпульс на входе имеет вид, представленный на рис. 20.18, а, для случая ω = ω0 и на рис. 20.18, б – для случая ω > ω0. Основы теории цепей. Конспект лекций -185- ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLC Включение в цепь RLC гармонического напряжения i Im 0 t Q1 < Q2 τи а i Im 0 t Q2 > Q1 τи б Рис. 20.18 i 0 t τи Рис. 20.19 Если частота внешней ЭДС значительно отличается от резонансной частоты контура с малыми потерями, то характер переходных процессов отличается от рассмотренных выше. Предположим, что ω << ω0. В этом случае 2 1 ⎞ 1 ⎛ Z = R 2 + ⎜ ωL − , ϕ = rctg ⎟ ≈ ωC ⎠ ωC ⎝ Основы теории цепей. Конспект лекций 1 ωC ≈ − π , R 2 ωL − -186- ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLC Включение в цепь RLC гармонического напряжения 1 . ωC Ранее было получено выражение для тока в контуре так как ωL i ( t ) = I m cos ( ωt + ψ − ϕ ) − I m + При ωСВ ≈ ω0 ω0 cos ( ψ − ϕ ) e−δt sin ( ωСВt + ϕC ) + ωСВ ⎤ Em ⎡ ωL sin ( ψ − ϕ ) ⎥ e −δt sin ωСВt. ⎢cos ψ + ωСВ L ⎣ Z ⎦ ϕC = arctg ωСВ π ≈ и ток 2 δ π⎞ ω π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎛ i ( t ) ≈ I m cos ⎜ ωt + ψ + ⎟ − I m 0 cos ⎜ ψ + ⎟ e −δt sin ⎜ ωСВt + ⎟ + 2⎠ 2⎠ 2⎠ ωСВ ⎝ ⎝ ⎝ + Em ⎡ ωL ⎛ π ⎞ ⎤ −δt ψ + ψ + cos sin ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ e sin ωСВt. Z 2 ⎠⎦ ωСВ L ⎣ ⎝ Проведя несложные преобразования, получим i ( t ) ≈ − I m sin ( ωt + ψ ) + I m sin ψe −δt cos ω0t + + Em [cos ψ + ωLωC + cos ψ ] e−δt sin ω0t = ω0 L = − I m sin ( ωt + ψ ) + I m sin ψe −δt cos ω0t + I m ⎛ ω2 ⎞ −δt + ⎜1 − 2 ⎟ cos ψ e sin ω0t. ω0 LωC ⎝ ω0 ⎠ При ω >> ω0 и ψ = 0 (напряжение источника ЭДС в момент включения проходит через максимум, равный Em) получим i ( t ) = − I m sin ωt + I m ω0 −δt e sin ω0t . ω Основы теории цепей. Конспект лекций -187- ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLC Включение в цепь RLC гармонического напряжения Если δt << 1, то максимальное значение тока в начальный период преω вышает амплитуду принужденного тока почти в 0 1 раз. Это явление ноω сит название сверхтока. В этом случае напряжение на конденсаторе UC (t ) = 1 1 i t dt = ( ) C∫ C ω0 − δt ⎛ ⎞ sin − I ω t + I e sin ω0t ⎟dt = m m ⎜ ∫⎝ ω ⎠ Im ωe −δt cos ωt + I m = ωC ω0 δ2 + ω02 ( ) ( −δ sin ω0t − ω0 cos ω0t ). ⎡ ax ⎤ e ax e bxdx = a bx − b bx sin sin cos ( ) ⎢∫ ⎥. 2 2 a + b ⎣ ⎦ При δ << ω0 и U Cm = Im ωC UC(t) ≈ UCmcosωt – UCme–δtcosω0t. Начальные максимумы UC(t) примерно в два раза больше амплитуды принужденной составляющей (рис. 20.20). UC ≈2UCm UCm ω0 ω t 0 Рис. 20.20 Если же ω >> ω0, то в контуре с малыми потерями |Z| ≅ ωL, φ ≅ π/2 и ток в контуре будет i(t) = Imsin(ωt – ψ) – Imsinψe–δtcosω0t. При ψ ≅ π/2, т. е. напряжение в момент включения проходит через нуль, имеем i(t) ≈ Imcosωt – Ime–δtcosω0t. Напряжение на емкости Основы теории цепей. Конспект лекций -188- ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLC Включение в цепь RLC гармонического напряжения U C (t ) = ( ) 1 1 i t dt = I m cos ωt − I me −δt cos ω0t dt = ( ) ∫ ∫ C C Im 1 e- δt = sin ωt + I m ( −δ cos ω0t − ω0 sin ω0t ) = ωC C δ2 + ω02 = Im I sin ωt − m e−δt sin ω0t , ωC ω0C (δ ω0 ) . ⎡ ax ⎤ e ax e bxdx = a bx + b bx cos cos sin ( ) ⎢∫ ⎥. 2 2 a + b ⎣ ⎦ Отсюда следует, что в начальный период времени, когда δt << 1, максимальное значение тока в контуре примерно в два раза больше принужденной составляющей (аналогично кривым UC(t) на рис. 20.20). Максимумы напряжения на емкости оказываются много больше амплитуды принужденной составляющей, так как Im ω0C Im = U Cm . ωC Таким образом, при включении гармонической ЭДС в контуре может появиться напряжение очень большой величины (явление перенапряжения). В результате явлений сверхтока и перенапряжения в цепи возникает опасность электрического пробоя конденсатора или пробоя изоляции катушки. Контрольные вопросы 1. При каких условиях в RLC-цепи возникает апериодический процесс? 2. При каких условиях в RLC-цепи возникает колебательный процесс? 3. Как в плоскости комплексного переменного располагаются корни характеристического уравнения RLC-цепи? 4. Чем определяется скорость нарастания колебаний в RLC-цепи? 5. При каких условиях в RLC-цепи возникают биения? Основы теории цепей. Конспект лекций -189- ЛЕКЦИЯ 21. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИ Общая схема применения классического метода. Примеры применения классического метода расчета переходных процессов. Общая схема применения классического метода. Классическим называют метод расчета, в котором решение системы уравнений, описывающих переходные процессы в разветвленной цепи, находят в виде суммы принужденного и свободного решений (составляющих). Определение постоянных интегрирования, входящих в выражения для свободных составляющих, производят путем совместного решения системы алгебраических уравнений по известным значениям корней характеристического уравнения, а также по известным значениям свободных составляющих токов (или напряжений) и их производных по времени, взятых при t = 0, т. е. i(t) = iПР(t) + iCB(t), U(t) = UПР(t) + UCВ(t). Поскольку принужденная составляющая определяется воздействующей ЭДС, то для ее нахождения можно использовать все известные методы расчета цепи в установившемся режиме, метод уравнений Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод эквивалентного генератора и др. Свободные составляющие токов и напряжений представляют собой общее решение системы однородных линейных дифференциальных уравнений, составленных для цепи после коммутации. Свободные составляющие токов (напряжений) в цепи могут быть представлены в виде суммы экспоненциальных слагаемых, число членов которой равно числу корней характеристического уравнения. Для заданной цепи степень характеристического уравнения не зависит от выбора контуров, для которых составляются уравнения по второму закону Кирхгофа. Степень характеристического уравнения равна числу независимых начальных условий в послекоммутационной цепи после максимального ее упрощения (параллельно соединенные емкости заменяются одной емкостью, последовательно включенные индуктивности также заменяются одной индуктивностью и т. д.). Система уравнений составляется обычным образом: а) выбираются положительные направления токов в ветвях и б) по первому и второму законам Кирхгофа составляются уравнения. Если выбрать контуры Основы теории цепей. Конспект лекций -190- ЛЕКЦИЯ 21. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИ Общая схема применения классического метода так, чтобы порядок дифференциальных уравнений был наименьшим, то степень характеристического уравнения не будет превышать суммы порядков исходных уравнений системы. При этом совершенно не обязательно приводить систему дифференциальных уравнений к одному уравнению относительно одной неизвестной функции (току или напряжению). Для свободных составляющих токов в ветвях в уравнениях, составленных по второму закону Кирхгофа, следует освободиться от принуждающих ЭДС, т. е. взять правые части, равные нулю. Поскольку решение для свободных составляющих ищется в виде iСВ ( t ) = Ae , pt ( ) pt diСВ d Ae = = iСВ , dt dt pt ∫ iСВdt ∫ Ae dt = iСВ . p Заменив в исходной системе дифференциальных уравнений L diСВ dt на LpiСВ 1 iСВ dt C∫ и на 1 iСВ , pC получим систему однородных алгебраических уравнений относительно свободных составляющих токов в ветвях. Решив эту систему, получим для тока в k-й ветви ikСВ = Δk , Δ где Δ – определитель системы; Δk – определитель, полученный заменой k-го столбца в определителе системы на столбец из правых частей уравнений, равных нулю, т. е. Δk = 0. А это значит, что система уравнений имеет решение, отличное от нулевого решения, если определитель Δ = 0. Уравнение Δ(p) = 0 называют характеристическим уравнением системы. Единственным неизвестным в нем является р. Корни характеристического уравнения могут быть действительными и комплексными. Если корни комплексные, то они образуют комплексносопряженные пары. Действительные части всех корней отрицательны, что физически обусловлено затуханием свободных составляющих в пассивных цепях с течением времени. Пусть характеристическое уравнение имеет n корней, тогда n iСВ ( t ) = ∑ Ak e pk t , k =1 где Ak – постоянная интегрирования. Основы теории цепей. Конспект лекций -191- ЛЕКЦИЯ 21. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИ Общая схема применения классического метода Число слагаемых в последнем выражении определяется степенью характеристического уравнения: а) уравнение первой степени имеет только один действительный и отрицательный корень (цепи первого порядка RL и RC); б) уравнение второй степени может иметь два действительных отрицательных неравных корня (апериодический режим в RLC-цепи), два действительных равных отрицательных корня (критический режим) либо два комплексно-сопряженных корня с отрицательной действительной частью (колебательный режим в RLC-цепи). В последнем случае свободная составляющая имеет вид i ( t ) = A1e p1t + A2e p2t = A1e −δt e jωk t + A2e−δt e− jωk t = = e −δt ( A1 cos ωk t + A1 j sin ωk t + A2 cos ωk t − A2 j sin ωk t ) = = e −δt ⎡⎣( A1 + A2 ) cos ωk t + j ( A1 − A2 ) sin ωk t ⎤⎦ = = e −δt ( M cos ωk t + N sin ωk t ) = Ae −δt sin ( ωk t + γ ) , N . M В общем случае сложная цепь может иметь все три вида корней характеристического уравнения и решение для свободных составляющих представляет собой совокупность экспонент и затухающих по экспоненте синусоид. Постоянные интегрирования находятся из системы уравнений, полученной (n – 1)-кратным дифференцированием выражения для свободной составляющей с учетом уравнений Кирхгофа для послекоммутационной цепи при t = 0 и независимых начальных условий, т. е. из решения системы уравнений где A = M 2 + N 2 , γ = arctg n ⎧ i 0 i 0 i 0 = − = ⎪ СВ ( ) ( ) ПР ( ) ∑ Ak ; k =1 ⎪ n ⎪ / ′ ( 0 ) = i′ ( 0 ) − iПР ′ ( 0 ) = ∑ pk Ak ; ⎪ iСВ ⎨ k =1 ⎪ −−−−−−−−−−−−−−−−− ⎪ n ⎪ ( n−1) ( n−1) ( n-1) ( 0 ) − iПР ( 0 ) = ∑ pkn−1 Ak . ⎪ iСВ ( 0 ) = i k =1 ⎩ Основы теории цепей. Конспект лекций -192- ЛЕКЦИЯ 21. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИ Общая схема применения классического метода Определив Аk, можем записать полное выражение для искомой величиU(t) = UПР(t) + UCB(t). ны i(t) = iПР(t) + iCB(t), Таким образом, расчет переходных процессов классическим методом производится в следующем порядке: 1. Рассчитывают режим до коммутации, где находят значения токов в индуктивностях и напряжений на емкостях в момент времени t = 0. Используя законы коммутации, находят независимые начальные условия iL(0) и UC(0). 2. Производят расчет принужденного режима после коммутации. 3. Составляют систему уравнений Кирхгофа для цепи после коммутации. 4. Находят общее решение системы однородных уравнений (определяется характеристическое уравнение и находятся его корни). Определяют зависимые начальные условия из независимых начальных условий и системы уравнений Кирхгофа для t = 0. 5. Определяют постоянные интегрирования по начальным условиям. 6. Записывают полное решение в виде i(t) = iПР(t) + iCB(t), U(t) = = UПР(t) + UCB(t). Примеры применения классического метода расчета переходных процессов. Пример 1. В цепи (рис. 21.1) действует постоянная ЭДС Е = 100 В. R1 E R3 i1 I i3 i2 C R2 R4 II L t=0 Рис. 21.1 R1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом, R3 = 50 Ом, R4 = 20 Ом, L = 1м ГН, C = 100 мкФ. Требуется определить закономерность изменения во времени тока iL = i3. Решение. 1. Независимыми начальными условиями будут ток iL(0–) = = i3(0–) и напряжение на емкости UC(0–), определим их: Основы теории цепей. Конспект лекций -193- ЛЕКЦИЯ 21. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИ Примеры применения классического метода расчета переходных процессов iL ( 0 − ) = E 100 = = 1 A; R1 + R2 + R3 + R4 10 + 20 + 50 + 20 U С ( 0 − ) = iL ( 0 − ) ⋅ ( R2 + R4 ) = 1 ⋅ 40 = 40 B. 2. Составим систему уравнений по законам Кирхгофа для послекоммутационной схемы: 1 ⎧ = + + E R R i i2 dt , ( ) 1 3 1 ⎪ C∫ ⎪ 1 di3 ⎪ ⎨0 = − ∫ i2 dt + R2i3 + L , C dt ⎪ ⎪0 = i1 − i2 − i3. ⎪ ⎩ Для свободных составляющих токов эта система имеет вид 1 ⎧ ⎪0 = ( R1 + R3 ) i1CB + C ∫ i2CB dt , ⎪ 1 di3CB ⎪ , ⎨0 = − ∫ i2CBdt + R2i3CB + L C dt ⎪ ⎪0 = i1CB − i2CB − i3CB. ⎪ ⎩ Произведя алгебраизацию системы, получим: 1 ⎧ = + + 0 R R i i2CB , ( ) 1 3 1CB ⎪ pC ⎪ 1 ⎪ i2CB + ( R2 + Lp ) i3CB , ⎨0 = − pC ⎪ ⎪0 = i1CB − i2CB − i3CB. ⎪ ⎩ Данная система имеет решение, отличное от нулевого решения, если определитель системы равен нулю, т. е. Основы теории цепей. Конспект лекций -194- ЛЕКЦИЯ 21. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИ Примеры применения классического метода расчета переходных процессов R1 + R3 Δ( p) = 0 1 1 pC 1 − pC −1 0 R2 + Lp = 0. −1 Раскрывая определитель, получим характеристическое уравнение второй степени: ( R1 + R3 ) 1 1 + ( R2 + Lp ) + ( R1 + R3 ) ( R2 + Lp ) = 0; pC pC ( R1 + R3 ) LCp 2 + ( R1 + R3 ) R2 pC + Lp + R1 + R3 + R2 = 0; ( ) 60 ⋅ 10−3 ⋅ 10−4 p 2 + 60 ⋅ 20 ⋅ 10−4 + 10−3 p + 80 = 0; p1 = −680, p2 = −19480. 3. Общее решение для тока iLCB(t) имеет вид iLСВ ( t ) = A1e p1t + A2e p2t . 4. Найдем принужденную составляющую тока: iLПР = E 100 = = 1,25 A . R1 + R2 + R3 80 5. На основании законов коммутации iL(0–) = iL(0) и UC(0–) = UC(0) опdi ределим производную L в момент времени t = 0 (зависимое начальное усdt ловие). Из второго уравнения системы для t = 0 следует −U С ( 0 ) + R2i3 ( 0 ) + L di3 ( 0 ) = 0, dt отсюда Основы теории цепей. Конспект лекций -195- ЛЕКЦИЯ 21. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИ Примеры применения классического метода расчета переходных процессов U ( 0 ) − R2i3 ( 0 ) 40 − 20 di3 = = 20 ⋅ 103 В/Гн. (0) = С −3 dt L 10 6. Определим постоянные интегрирования A1 и A2: ⎧ i3 ( t ) = i3ПР + A1e p1t + A2e p2t , ⎪ ⎨ di3 di3ПР = + p1 A1e p1t + p2 A2e p2t , ⎪ dt ⎩ dt ⎧i3 ( 0 ) = iL (0) = i3ПР + A1 + A2 , ⎪ ⎨ di3 ⎪⎩ dt ( 0 ) = 0 + p1 A1 + p2 A2 , 1 − 1, 25 = A1 + A2 , ⎧ ⎨ 3 ⎩20 ⋅ 10 = −680 A1 − 19480 A2 , отсюда A1 = 0,805; A2= – 1,055. 7. Запишем выражение для искомого тока в виде i3(t) = i3ПР(t) + i3CB(t) = 1,25 + 0,805e–680t – 1,055e–19480t. i3(t), A i3(t) i3ПР 0,805 е–680t 1,0 t, мс –1,055 е–19480t Рис. 21.2 Графики принужденной, свободных оставляющих и полного тока приведены на рис. 21.2. Пример 2. Решить задачу, приведенную в примере 1, заменив постоянную ЭДС гармонической e(t) = 100cos(ωt + 60°), где ω = 10000P/C. Основы теории цепей. Конспект лекций -196- ЛЕКЦИЯ 21. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИ Примеры применения классического метода расчета переходных процессов Решение. 1. Определим независимые начальные условия UC(0–) и iL(0). На основании закона Ома для докоммутационной цепи имеем UC ( 0 −) = E Z, R1 + R3 + Z R2 + R4 + jωL . 1 + ( R2 + R4 + jωL ) jωC Подставив значения R, L, C, E, получим где Z = Z= ( 20 + 20 + j10410−3 4 1 + 20 + 20 + j10 10 −3 ) j10 10 4 −4 ≈ 1e −89° , 100e j 60° UC (0 −) = 1e −89° = 1,64e j150° , −89° 10 + 50 + 1e IL (0 −) = UC (0 −) = 0,04e j137° . R2 + R4 + jωL Мгновенные значения напряжения и тока UC(t) = 1,64cos(ωt + 150°), iL(t) = 0,04cos(ωt + 137°), для t = 0 UC(0–) = 1,64cos150° = –1,42 В, iL(0–) = 0,04cos137° = 0,03 A. Система уравнений Кирхгофа для цепи после коммутации не зависит от вида ЭДС, следовательно, можно использовать систему из примера 1. Характеристическое уравнение системы и общее решение для тока имеет такой же вид, как и в первом примере. Найдем принужденную составляющую тока i3ПР. Как и в цепи до коммутации I LПР = E Z′ 1 , ⋅ R1 + R3 + Z ′ R2 + jωL R2 + jωL . 1 + ( R2 + jωL ) jωC Подставив значения R, L, C, E, получим где Z ′ = Основы теории цепей. Конспект лекций -197- ЛЕКЦИЯ 21. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИ Примеры применения классического метода расчета переходных процессов I LПР = 0,076 e− j 53° , iLПР ( t ) = 0,076cos ( ωt − 53° ) , для t = 0 iLПР(0) = 0,04cos(–53°) = 0, 046 А. Зависимое начальное условие di3 в момент t = 0 определим из второго dt уравнения системы U ( 0 ) − R2i3 ( 0 ) −1, 42 − 20 ⋅ 0,03 di3 = = −820 В/Гн. (0) = C dt L 10−3 Определим постоянные интегрирования А1 и А2: ⎧ i3 ( t ) = i3ПР + A1e p1t + A2e p2t , ⎪ ⎨ di3 di3ПР = + p1 A1e p1t + p2 A2e p2t , ⎪ dt ⎩ dt di3ПР = −ω ⋅ 0,076sin ( ωt − 53° ) , dt для t = 0 di3ПР ( 0 ) = −104 ⋅ 0,076sin ( −53° ) = 610 B/Гн. dt ⎧ i3 ( 0 ) = iL ( 0 ) = i3ПР ( 0 ) + A1 + A2 , ⎪ ⎨ di3 di3ПР ⎪⎩ dt ( 0 ) = dt ( 0 ) + p1 A1 + p2 A2 , −0,3 = 0,046 + A1 + A2 , ⎧ ⎨ ⎩−820 = 610 − 680 A1 − 19480 A2 , отсюда А1 = –0,1548, А2 = 0,0788. Полное выражение для искомого тока: i3(t) = 0,076cos(ωt – 53°) = –0,546e–680t + 0,0788e–19480t. Графики принужденной и свободных составляющих тока приведены на рис. 21.3. Основы теории цепей. Конспект лекций -198- ЛЕКЦИЯ 21. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИ Примеры применения классического метода расчета переходных процессов i3(t), A 0,0788 е–19480t i3ПР t, мс i3(t) –0,1548 е–680t Рис. 21.3 Следует отметить, что довольно часто при нахождении постоянных интегрирования можно в системе уравнений использовать не производную искомой величины по времени, а интеграл. Например, при нахождении тока через емкость имеем iC(0) = iCПР(0) + А1 + А2. Поскольку в систему уравнений, составленных по законам Кирхгофа, производная di/dt не входит, используем интеграл от тока по времени. Действительно, 1 iC dt = U C , для iCСВ = A1e p1t + A2e p2t , ∫ C ( ) 1 1 iCСВdt = ∫ A1e p1t + A2e p2t dt = U CСВ ( t ), , ∫ C C 1 A1e p1t 1 A2e p2t + = U CСВ ( t ) , C p1 C p2 1 A1 1 A2 + = U CСВ ( 0 ) = U C ( 0 − ) − U CПР ( 0 ) . C p1 C p2 Таким образом, система уравнений для расчета постоянных интегрирования для t = 0 ⎧iC ( 0 ) − iCПР ( 0 ) = A1 + A2 , ⎪ 1 A1 1 A2 ⎨ ⎪U C ( 0 − ) − U CПР ( 0 ) = C p + C p . 1 2 ⎩ Основы теории цепей. Конспект лекций -199- ЛЕКЦИЯ 21. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИ Примеры применения классического метода расчета переходных процессов Аналогичное решение можно предложить, если в задаче необходимо найти напряжение на индуктивности: iL ( t ) = тогда 1 U L dt , L∫ ⎧U L ( 0 ) − U LПР ( 0 ) = A1 + A2 , ⎪ 1 A1 1 A2 ⎨ ⎪iL ( 0 − ) − iLПР ( 0 ) = L p + L p . ⎩ 1 2 Контрольные вопросы 1. Какой метод расчета переходных процессов называют классическим? 2. Какое уравнение называют характеристическим уравнением системы? 3. Каковы особенности корней характеристического уравнения? 4. Каковы основные недостатки классического метод расчета переходных процессов? Основы теории цепей. Конспект лекций -200- ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Преобразование Лапласа. Изображение простейших функций. Основные свойства преобразования Лапласа. Нахождение оригинала по изображению. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме. Последовательность расчета в операторном методе. Расчет переходных процессов в сложных цепях классическим методом очень часто затруднен нахождением постоянных интегрирования. В связи с этим был разработан операторный метод расчета, основанный на понятии изображения функций времени. В операторном методе каждой функции времени соответствует функция новой комплексной переменной p = c + jω и наоборот функции от р отвечает определенная функция времени t. Переход от одной функции к другой осуществляется с помощью преобразования Лапласа. Данный метод облегчает решение системы интегродифференциальных уравнений, составленных для цепи по законам Кирхгофа, а также позволяет освободиться от нахождения постоянных интегрирования путем введения начальных условий в уравнения исходной системы. Таким образом, идея метода заключается в том, что из области действительного переменного t решение переносится в область комплексного переменного p = c + jω, где операции дифференцирования и интегрирования более просты. Операторный метод расчета сводится к четырем последовательным этапам. 1. От искомой функции f(t), называемой оригиналом, переходят с помощью преобразования Лапласа к функции комплексного переменного р. Новую функцию обозначают через F(p) и называют изображением функции f(t). 2. Систему уравнений Кирхгофа для оригиналов, согласно правилам преобразования функций, их производных и интегралов преобразуют в операторные алгебраические уравнения для изображений. 3. Полученные операторные уравнения решают относительно F(p). 4. От найденного изображения F(p) переходят к оригиналу f(t), который и является искомой функцией. Преобразование Лапласа. Пусть дана некоторая функция действительной переменной f(t) (напряжение или ток), удовлетворяющая следующим условиям: Основы теории цепей. Конспект лекций -201- ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Преобразование Лапласа 1. Функция f(t) со своими производными непрерывна на всей оси t. Возможны исключения, а именно: наличие конечного числа точек разрыва первого рода. 2. Функция f(t) равна нулю при отрицательных значениях t: f(t) = 0 при t < 0. 3. Функция f(t) возрастает не быстрее некоторой показательной функции: существуют постоянные числа М > 0 и C0 такие, что для всех t f (t ) |≤ MeС0t . Следует заметить, что практически во всех инженерных задачах функция f(t) отвечает поставленным условиям. Из курса математики известно, что если f(t) имеет ограниченный рост, то интеграл ∞ ∫ f (t ) e − pt dt 0 сходится абсолютно и является аналитической функцией комплексного переменного p = c + jω в полуплоскости Rep = с > c0 (рис. 22.1). jω f(t) +c 0 E c0 t 0 Рис. 22.1 Рис. 22.2 ∞ F ( p ) = ∫ f ( t ) e − pt dt , 0 где f(t) – оригинал; F(p) – изображение: F(p) где f(t), f(t) F(p), – символ соответствия между оригиналом и изображением по Лапласу. Основы теории цепей. Конспект лекций -202- ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Изображение простейших функций. 1. Изображение постоянной величины (рис. 22.2) ⎧ 0 при t < 0, f (t ) = ⎨ ⎩ E при t > 0. ∞ ∞ Ee − pt − pt − pt F ( p ) = ∫ f ( t ) e dt = ∫ E e dt = − p 0 0 ∞ = 0 E E , E i =i . p p Зная изображение постоянной, можно записать изображение единичной функции ⎧0 при t < 0, 1 1( t ) = ⎨ 1 i =i . p ⎩1 при t > 0, 2. Изображение показательной функции f ( t ) = eαt ∞ F ( p ) = ∫ f (t ) e 0 − pt ∞ dt = ∫ e e αt − pt 0 e αt i = i ∞ dt = ∫ e − t ( p −α ) 0 ∞ 1 1 − t p −α , dt = − e ( ) = − α p−α p 0 1 при Rep > Reα. p−α Положив в последней формуле α = jω, получим f ( t ) = e j ωt i = i 1 . p − jω Далее можно найти изображение комплекса гармонического тока и напряжения I me jωt +ψ = I me jωt i =i Im Um , U m e j ωt i = i . p − jω p − jω Основные свойства преобразования Лапласа. Очевидно, что соответствие между оригиналом и изображением взаимно однозначны, т. е. каждой функции f(t) соответствует одна вполне определенная функция F(p) и наоборот. Основы теории цепей. Конспект лекций -203- ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Основные свойства преобразования Лапласа Свойство линейности. При умножении оригинала на постоянную величину на ту же постоянную величину умножается и изображение а f(t) а F(p). Действительно, ∞ F ( p ) = ∫ a f (t ) e 0 − pt ∞ dt = a ∫ f ( t ) e − pt dt = aF ( p ) . 0 Если оригинал представлен суммой функций, то изображение этой суммы равно сумме изображений этих функций (свойство линейности преобразования Лапласа: изображение линейной комбинации функций есть линейная комбинация изображений) n ∑ ak f k ( t ) i= k =1 i n ∑ ak Fk ( p ) . k =1 Теорема дифференцирования. Допустим, что некоторая функция f(t) имеет изображение F(p), требуется найти изображение производной этой функции. Пусть f΄(t) = φ(t). Найти Ф(р) φ(t). ∞ Ф ( p ) = ∫ φ(t ) e − pt 0 ∞ dt = ∫ f ′ ( t ) e − pt dt . 0 Интегрируя по частям, получим Ф( p ) = e − pt ∞ ∞ f ( t ) − ( − p ) ∫ f ( t ) e − pt dt = − f ( 0 ) + pF ( p ) , 0 ( ∫VdU = VU − ∫UdV , 0 V =e− pt , dU = f ′ ( t ) dt , dV = − pe- pt , U = ∫ f ′ ( t ) dt = f ( t ) ) f ′ ( t ) i =i pF ( p ) − f ( 0 ) . Вычисление производной при нулевых начальных условиях [f(0) = 0] соответствует умножению изображения функции на множитель p: f ′ ( t ) i =i pF ( p ) , f k ( t ) i =i p k F ( p ) . Основы теории цепей. Конспект лекций -204- ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Основные свойства преобразования Лапласа Теорема интегрирования. Известно изображение некоторой функции f(t). Требуется определить изображение функции, являющейся интегралом t функции f(t). Пусть ψ ( t ) = ∫ f ( t ) dt , тогда f ( t ) = ψ′ ( t ) i =i pψ ( p ) − ψ ( 0 ) , 0 ⎛0 ⎞ если ψ ( 0 ) = 0 ⎜ ∫ f ( t ) dt = 0 ⎟ , то ⎜ ⎟ ⎝0 ⎠ f ( t ) = ψ′ ( t ) i =i pψ ( p ) , F ( p) t F ( p) , ∫ f ( t ) dt i =i . ( f ) i = F ( p ) , F ( p ) = pψ ( p ) , ψ ( p ) = p p 0 Многократному интегрированию соответствует общее выражение i t t t 0 0 0 i ∫ dt ∫ dt … ∫ f ( t ) dt i= F ( p) . pn n Теорема запаздывания. Теорема позволяет определить изображение функции f(t – t1), отличающейся от функции f(t) тем, что она сдвинута вправо вдоль оси времени на t1 (рис. 22.3) при ⎧0 f ( t − t1 ) = ⎨ ⎩ f ( t − t1 ) при t < t1 , t > t1. f(t) f(t) f(t – t1) t t1 0 Рис. 22.3 ∞ Ф ( p ) = ∫ f ( t − t1 ) e 0 − pt ∞ dt = ∫ f ( t − t1 ) e− pt dt , t1 так как в интервале (0 – t1) функция f(t – t1) = 0. Основы теории цепей. Конспект лекций -205- ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Основные свойства преобразования Лапласа Введем новую переменную τ = t – t1, тогда t = τ + t1, dt = dτ. ∞ Ф ( p ) = ∫ f ( t − t1 ) e − pt =e ∞ − p τ+t dt = ∫ f ( τ ) e ( 1 ) d τ = 0 t1 − pt1 ∞ ∫ f ( τ) e − pτ d τ = e − pt1 F ( p ) . 0 Таким образом, запаздывание функции на время t1 соответствует умножению ее изображения на e− pt1 . Теорема смещения. Теорема смещения позволяет определить, как изменяется изображение при умножении оригинала на показательную функцию e±αt, где α – постоянное число. Пусть новая функция имеет вид ψ(t) = f(t)e±αt. Изображение ∞ Ф ( p ) = ∫ ψ (t ) e 0 − pt ∞ − p∓α t dt = ∫ f ( t ) e ( ) dt = F ( p ∓ α ) . 0 Таким образом, умножение временной функции на экспоненциальный множитель приводит к «смещению» в области изображений независимой переменной p на p ∓ α . Теорему смещения очень удобно применять при определении изображения экспоненциально убывающих функций. Например, необходимо найти изображение функции ψ(t) = sinωte–αt. Im , тогда Выше было показано, что I me jωt +ψ = I me jωt i =i p − jω e jωt = cos ωt + j sin ωt i =i 1 p + jω = 2 . p − jω p + ω2 Разделив вещественную и мнимую части, получим cos ωt i =i p ω , sin ωt i =i 2 . 2 p +ω p + ω2 2 Следовательно, Основы теории цепей. Конспект лекций -206- ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Основные свойства преобразования Лапласа ψ ( t ) sin ωte −αt i =i ω ( p + α) 2 2 +ω . Теорема умножения изображений (теорема свертки – интеграл Бореля) заключается в следующем. Если f1(t) то F1(p), f2(t) Ф ( p ) = F1 ( p ) F2 ( p ) i = i F2(p), t t 0 0 ∫ f1 ( τ ) f2 ( t − τ ) d τ = ∫ f1 ( t − τ ) f 2 ( τ ) d τ. Таким образом, произведению изображений двух функций соответствует свертка их оригиналов. Теорема свертки широко используется при составлении таблиц операторных соотношений. Если изображение искомой функции может быть представлено в виде произведения двух (или более) сомножителей, то по оригиналам каждого из сомножителей можно вычислить оригинал исходной функции. Например, определим оригинал функции, изображение которой имеет вид Ф( p) = 1 ( p + α) 2 . Изображение Ф(р) можно представить как произведение двух изображений: 1 1 Ф( p) = ⋅ = F1 ( p ) F2 ( p ) , p+α p+α F1 ( p ) = F2 ( p ) = 1 i −αt . i= e p+α Следовательно, t ψ (t ) = ∫ e −ατ −α( t −τ ) e dτ = e 0 −αt t ∫ d τ = te −αt . 0 Теорема подобия позволяет определить изображение функции времени при изменении масштаба ее аргумента. Пусть известно изображение функции f(t) F(p). Определим изображение функции φ(t) = f(at), где а – некоторая положительная постоянная. ∞ Ф ( p ) = ∫ f ( at ) e − pt dt . 0 Основы теории цепей. Конспект лекций -207- ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Основные свойства преобразования Лапласа Обозначим at = x, тогда dt = 1 dx и a ∞ Ф( p) = ∫ f ( x) p − x a e 0 1 1 ⎛ p⎞ dx = F ⎜ ⎟ . a a ⎝a⎠ Окончательно имеем 1 ⎛ p⎞ F⎜ ⎟. a ⎝a⎠ Умножение аргумента оригинала на положительное постоянное число а приводит к делению аргумента изображения и самого изображения на то же число а. Предельные соотношения устанавливают существование равенства между значениями функции времени и ее изображения в начале координат и в бесконечно удаленной точке. f (a, t ) i =i lim f ( t ) = lim pF ( p ) , lim f ( t ) = lim pF ( p ) . t →0 p →∞ t →∞ p →0 Ниже будет показано, что комплексную переменную р можно рассматривать как обобщенную (комплексную) частоту, мнимая часть которой представляет собой угловую частоту некоторого гармонического колебания, а вещественная характеризует изменение огибающей этого колебания. Приняв вещественную часть р равной нулю, получим из предельных соотношений связь между функцией времени и частотной характеристикой в начале координат и при бесконечных значениях t и jω. Проиллюстрируем эту связь на примере прохождения импульсного сигнала через усилитель с ограниченной полосой пропускания (рис. 22.4). К(ω) UВХ(t) ВЧ НЧ 0 τи t 0 ω UВХ(t) б.в. м.в t 0 Рис. 22.4 Основы теории цепей. Конспект лекций τи -208- ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Основные свойства преобразования Лапласа Таким образом, характер изменения функции времени в области малых времен определяется частотной характеристикой в области высоких частот и наоборот: характер изменения в области больших времен определяется частотной характеристикой в области низких частот. Нахождение оригинала по изображению. Существует три способа перехода от изображения к оригиналу. Первый способ – с помощью обратного преобразования Лапласа. Переход от изображения к оригиналу выполняется с помощью так называемого интеграла Римана – Мелина, являющегося формулой обратного преобразования Лапласа: c + j∞ 1 f (t ) = F ( p ) e pt dp . ∫ 2πj c − j∞ Для того чтобы функция F(p) являлась изображением функции f(t), необходимо выполнение следующих условий: а) F(p) аналитична в полуплосc + j∞ кости Rep > C0; б) стремится к нулю при |p| → ∞; в) интеграл ∫ F ( p ) dp аб- c − j∞ солютно сходится. Практически чаще применяют теорему о вычетах, согласно которой оригиналом F(p) является функция f ( t ) = ∑ Re s F ( p )e pt (t > 0) , f (t ) = 0 ( t < 0). pk Таким образом, c + j∞ 1 1 pt f (t ) = F p e dp = ( ) 2πj c −∫j∞ 2πj ∫ F ( p)e pt dp = ∑ Re s F ( p )e pt . pk (Интегрирование вдоль бесконечной прямой, параллельной мнимой оси и расположенной на расстоянии с > C0, заменяется интегрированием по замкнутому контуру, охватывающему все полюсы функции F(p)). Полюсы F(p) есть значения p, при которых F(p) = ∞). Вычетом функции в некотором полюсе называют величину, на которую уменьшается разделенный на 2πj контурный интеграл от этой функции, когда контур при его стягивании пересечет этот полюс. Основы теории цепей. Конспект лекций -209- ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Нахождение оригинала по изображению Вычисления по последней формуле требуют применения методов теории вычетов, причем во многих случаях это оказывается весьма сложным. Поэтому большое значение имеют теоремы, позволяющие представить изображение в виде суммы более простых слагаемых и тем самым упростить переход от изображения к оригиналу. Второй способ нахождения оригинала – использование теоремы разложения когда, изображение найдено в виде рациональной дроби: F ( p) F ( p) = 1 , где F1(p) и F2(p) – полиномы относительно р. F2 ( p ) Предположим, что знаменатель F2(p) имеет n простых корней p1, p2, ..., pn, тогда общая формула теоремы разложения: F1 ( p ) i n F1 ( pk ) e pk t . f ( t ) i= i= ∑ ′ F2 ( p ) F p ( ) k =1 k 2 i В случае комплексных корней получаются два сопряженных слагаемых, сумма которых равна удвоенному значению действительной части. Третий способ определения оригинала заключается в использовании таблиц, где приводятся как изображения функций, так и соответствующие им оригиналы. Существуют справочники, содержащие несколько сотен изображений и соответствующих им оригиналов. Следует только изображение привести к табличному виду. При использовании готовых таблиц следует выяснить, с помощью какого преобразования они составлены – Лапласа или Карсона. Если изображение дается по Карсону, то его следует поделить на р для получения изображения по Лапласу. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме. Закон Ома. Пусть имеем участок сложной цепи (рис. 22.5), замыкание ключа в которой приводит к переходному процессу. i4 i1 i2 i R L C e(t) t=0 i5 i3 Рис. 22.5 Разность потенциалов между двумя узлами Основы теории цепей. Конспект лекций -210- ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме U = U R + U L + U C − e ( t ) , U R = Ri, U L = L UC = UC ( 0 −) + Тогда U = Ri + L di , dt 1 idt. C∫ di 1 + U C ( 0 − ) + ∫ idt − e ( t ) . dt C При ненулевых начальных условиях iL(0–) = iL(0), UC(0–) = UC(0) найдем изображение напряжения между узлами по Лапласу: di i i = LpI ( p ) − LiL ( 0 ) , dt U ( 0) I ( p ) 1 U C ( 0 − ) + ∫ idt i =i C + , e ( t ) i =i E ( p ) , C p pC U R i =i RI ( p ) , L U ( p ) = RI ( p ) + LpI ( p ) − LiL ( 0 ) + UC (0) I ( p ) + − E ( p ). p pC Отсюда следует, что I ( p) = UC (0) + E ( p) p , Z ( p) U ( p ) + LiL ( 0 ) − 1 – операторное сопротивление участка цепи. pC Уравнение для изображения тока аналогично закону Ома в операторной форме для участка цепи, содержащего ЭДС, и ненулевых начальных условиях. Слагаемое в числителе LiL(0) представляет собой внутреннюю ЭДС, обусловленную запасом энергии магнитного поля в индуктивности к моменU (0) представляет собой внутреннюю ЭДС, ту коммутации. Слагаемое C p обусловленную запасом энергии электрического поля в конденсаторе к моменту коммутации. Заметим, что ЭДС LiL(0) направлена согласно с током, а UC (0) – всегда навстречу току в ветви. p где Z ( p ) = R + Lp + Основы теории цепей. Конспект лекций -211- ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме В соответствии с выражением для изображения тока можно построить схему замещения участка цепи (рис. 22.6). I1(p) I(p) R U C (0) Li(0) p pL 1 pС E(p) I4(p) t=0 I2(p) I5(p) I3(p) Рис. 22.6 Для участка цепи, не содержащего источника ЭДС при нулевых начальных условиях, запись закона Ома в операторной форме имеет более простой вид: I(p) = U(p)/Z(p). Первый закон Кирхгофа. Используя свойство линейности преобразования Лапласа, в общем случае можно сразу записать выражение первого закона Кирхгофа ∑I(p) = 0. Второй закон Кирхгофа. Пусть имеем участок цепи (замкнутый контур на рис. 22.7). До коммутации i(0–) ≠ 0, UC(0–) ≠ 0. R1 L e1(t) t = 0 i1 i2 R2 R3 C e3(t) i3 Рис. 22.7 Выбрав направление обхода контура по часовой стрелке, запишем уравнение по второму закону Кирхгофа: R1i1 + L di1 1 + R3i3 + ∫ i3dt + U C ( 0 ) − R2i2 = e1 ( t ) − e3 ( t ) . dt C Заменив каждое из слагаемых изображением по Лапласу, получим Основы теории цепей. Конспект лекций -212- ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме R1I1 ( p ) + LpI1 ( p ) − LiL ( 0 ) + R3 I 3 ( p ) + U C ( 0 ) I 3 ( p )1 + − R2 I 2 ( p ) = E1 ( t ) − E3 ( t ) , p pC Z1 ( p ) I1 ( p ) − Z 2 ( p ) I 2 ( p ) + Z 3 ( p ) I 3 ( p ) = E1 ( t ) − E3 ( t ) + EВН ( p ) , где Z1 ( p ) = R1 + Lp, Z 2 ( p ) = R2 , Z 3 ( p ) = R3 + или в общем виде n n k =1 k =1 U (0) 1 , EВН ( p ) = LiL ( 0 ) − C , pC p ∑ Z k ( p )I k ( p ) = ∑ Ek ( p ). Таким образом, уравнение второго закона Кирхгофа в операторной форме содержит внутренние источники ЭДС, характеризующие энергетическое состояние цепи к моменту коммутации. Последовательность расчета в операторном методе. В общем случае порядок расчета переходных процессов операторным методом следующий: 1. Выбираются положительные направления токов в ветвях и записываются интегродифференциальные уравнения Кирхгофа для цепи после коммутации. 2. Записываются те же уравнения для изображений с учетом независимых начальных условий в виде внутренних источников ЭДС. 3. Полученные в операторной форме алгебраические уравнения решаются относительно изображения искомой величины. 4. На основе полученного изображения находится оригинал искомой функции. Выше было показано, что законы Ома и Кирхгофа в операторной форме имеют запись, аналогичную записи в комплексной форме, и отличаются лишь введением внутренних ЭДС, учитывающих ненулевые начальные условия. Следовательно уравнения Кирхгофа для изображений могут быть составлены аналогично методу комплексных амплитуд, заменой в них jω на р и введением внутренних ЭДС. Пример 3. Решить задачу, приведенную в примере 1, операторным методом. Схема цепи (рис. 21.1), параметры элементов и ЭДС даны там же. Решение. 1. Очевидно, независимые начальные условия будут те же, что и в примере 1: iL(0–) = iL(0) = 1 A, UC(0–) = UC(0) = 40 B. Основы теории цепей. Конспект лекций -213- ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Последовательность расчета в операторном методе С учетом внутренних источников ЭДС схема цепи приобретет вид, представленный на рис. 22.8. R1 E p R3 I1(p) I3(p) 1 pС I2(p) R2 U C (0) p pL LiL(0) Рис. 22.8 1. Система уравнений для цепи после коммутации та же, что и в примере 1: 1 ⎧ E R R i i2 dt , = + + ( ) 1 3 1 ⎪ C∫ ⎪ di3 1 ⎪ ⎨0 = − ∫ i2 dt + R2i3 + L , C dt ⎪ ⎪0 = i1 − i2 − i3. ⎪ ⎩ 2. Эта система для изображений с учетом внутренних источников ЭДС имеет вид ⎧ E UC ( 0) 1 = ( R1 + R3 ) I1 ( p ) + I2 ( p ), ⎪ − p p pC ⎪ ⎪⎪U C ( 0 ) 1 I 2 ( p ) + ( R2 + pL ) I 3 ( p ) , + LiL ( 0 ) = − ⎨ p pC ⎪ ⎪0 = I1 ( p ) − I 2 ( p ) − I 3 ( p ) . ⎪ ⎪⎩ 3. Решим последнюю систему относительно изображения искомого тока: Основы теории цепей. Конспект лекций -214- ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Последовательность расчета в операторном методе R1 + R3 ) 1 1 pC −1 UC (0) + LiL ( 0 ) p 0 R1 + R3 ) 0 1 = E UC ( 0) − p p − 0 I3 ( p ) = 1 pC ( 1 pC 1 − pC −1 = 0 R2 + pL −1 60 ⋅ 10−3 p 2 + 2410 p + 106 p 60 ⋅ 10−3 p 2 + 1210 p + 80 ⋅ 104 = F1 ( p ) . F2 ( p ) 4. Перейдем от изображения к оригиналу по теореме разложения F1 ( p ) i n F1 ( pk ) e pk t f ( t ) i= , i= ∑ F2 ( p ) k =1 F2′ ( pk ) i где pk – корни F2(p), в нашем случае F2(p) имеет корни p = 0, p1 = –680, p2 = –19480. F1(p) = 60·10-3p2 + 2410p + 106; ( F2 ( p ) = p 60 ⋅ 10−3 p 2 + 1210 p + 80 ⋅ 104 ; F2′ ( p ) = 3 ⋅ 60 ⋅ 10−3 p 2 + 2 ⋅ 1210 p + 80 ⋅ 104 ; p = 0 F1 ( 0 ) = 106 , F2′ ( 0 ) = 80 ⋅ 104 ; p1 = −680 F1 ( p1 ) = −62,04 ⋅ 104 , F2′ ( p1 ) = −77 ⋅ 104 ; p2 = −19480 F1 ( p2 ) = −23,18 ⋅ 106 , Основы теории цепей. Конспект лекций F2′ ( p2 ) = 21,96 ⋅ 106. -215- ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Последовательность расчета в операторном методе Таким образом, i(t) = 1,25 + 0,805e–680t – 1,055e–19480t. Пример 4. Операторным методом решить задачу, приведенную в примере 2, для гармонической ЭДС e(t) = 100cos(ωt + 60º), где ω = 10000 рад/с. Решение. Очевидно, независимые начальные условия будут те же, что и в примере 2: iL(0–) = iL(0) = –0,03 A, UC(0–) = UC(0) = –1,42 B. Эквивалентная схема цепи для изображений не зависит от вида ЭДС (рис. 22.8), следовательно, и система уравнений остается той же, что и в предыдущем примере: UC ( 0) ⎧ 1 = ( R1 + R3 ) I1 ( p ) + I2 ( p ), ⎪E ( p ) − p pC ⎪ ⎪⎪U C ( 0 ) 1 I 2 ( p ) + ( R2 + pL) I 3 ( p ) , + LiL ( 0 ) = − ⎨ p pC ⎪ ⎪0 = I1 ( p ) − I 2 ( p ) − I 3 ( p ) . ⎪ ⎪⎩ Однако изображение входной ЭДС в данном случае имеет вид 100 ( p cos ϕ − ω sin ϕ ) = E ( p ). p 2 + ω2 Решив последнюю систему относительно изображения искомого тока, получим: e ( t ) = 100cos ( ωt + 60° ) i =i Основы теории цепей. Конспект лекций -216- ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Последовательность расчета в операторном методе − 0 100 ( p cos ϕ − ω sin ϕ ) U C ( 0 ) − p p 2 + ω2 U C (0) + LiL (0) p 0 1 pC R1 + R3 ) 1 I3 ( p ) = 1 pC −1 R1 + R3 ) 0 1 = = 1 pC 1 − pC −1 0 R2 + pL −1 −18 ⋅ 104 p 3 − 85,3 p 2 + 32,4 ⋅ 104 p − 171 ⋅ 108 (p 2 )( + ω2 60 ⋅ 10−3 p 2 + 1210 p + 80 ⋅ 104 ) = F1 ( p ) . F2 ( p ) Перейдем от изображения к оригиналу. F2(p) имеет корни p1 = –680, p2 = –19480, p3,4 = ±j10000. Согласно теореме разложения F ( p) i f ( t ) i= 1 i= F2 ( p ) i F1 ( pk ) e pk t ∑ F′( p ) . k =1 k 2 n F1 ( p1 ) = −18 ⋅ 104 ( −680 ) − 85,3 ( −680 ) + 32,4 ⋅ 104 ( −680 ) − 171 ⋅ 108 = 3 2 = −174 ⋅ 108 ; F1 ( p2 ) = −18 ⋅ 104 ( −19480 ) − 85,3 ( −19480 ) + 32, 4 ⋅ 104 ( −19480 ) − 171 ⋅ 108 = 3 2 = −424 ⋅ 108 ; ( F1 ( p3 ) = −18 ⋅ 104 j104 ) 3 ( − 85,3 j104 ) 2 ( ) + 32,4 ⋅ 104 j104 − 171 ⋅ 108 = = 1010 e j150° ; Основы теории цепей. Конспект лекций -217- ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Последовательность расчета в операторном методе ( F1 ( p4 ) = −18 ⋅ 104 − j104 ) 3 ( − 85,3 − j104 ) 2 ( ) + 32, 4 ⋅ 104 − j104 − 171 ⋅ 108 = = 1010 e − j150° ; F2 ( p ) = 60 ⋅ 10−3 p 4 + 1210 p 3 + 680 ⋅ 104 p 2 + 1210 ⋅ 108 p + 80 ⋅ 1012 ; F2′ ( p ) = 4 ⋅ 60 ⋅ 10−3 p 3 + 3 ⋅ 1210 p 2 + 2 ⋅ 680 ⋅ 104 p + 1210 ⋅ 108 ; F2′ ( p1 ) = 0,24 ( −680 ) + 3630 ( −680 ) + 1360 ( −680 ) + 1210 ⋅ 108 = 11,3 ⋅ 1010 ; 3 2 F2′ ( p2 ) = 0,24 ( −19480 ) + 3630 ( −19480 ) + 1360 ( −19480 ) + 1210 ⋅ 108 = 3 2 = −0,54 ⋅ 1012 ; ( F2′ ( p3 ) = 0,24 j104 ) 3 ( ( + 3630 j104 F2′ ( p4 ) = 0,24 − j104 ) 3 ) 2 ( ) + 1360 j104 + 1210 ⋅ 108 = 2,62 ⋅ 1011 e j 203° ; ( + 3630 − j104 ) 2 ( ) + 1360 − j104 + 1210 ⋅ 108 = = 2,62 ⋅ 1011 e j157° ; 1010 e j150° 1010 e − j150° 174 ⋅ 108 −680t j10000t − j10000t i3 ( t ) = e + e − e + 2,62 ⋅ 1011 e j 203° 2,62 ⋅ 1011 e j157° 11,3 ⋅ 1010 −424 ⋅ 108 −19480t + e = 0,038cos (10000t − 53° ) + j 0,038sin (10000t − 53° ) + −0,54 ⋅ 1012 +0,038cos (10000t + 307° ) − j 0,038sin (10000t + 307° ) − 0,15e −680t + 0,79e −19480t = = 0,076cos (10000t − 53° ) − 0,15e −680t + 0,79e −19480t . Полученный результат совпадает с решением в примере 2. Основы теории цепей. Конспект лекций -218- ЛЕКЦИЯ 22. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Контрольные вопросы 1. На чем основан операторный метод расчета переходных процессов? 2. Что называется преобразованием Лапласа? 3. Что такое оригинал и что такое изображение функции по Лапласу? 4. Каковы основные свойства преобразования Лапласа? 5. Какие методы перехода от изображения к оригиналу используются при расчете переходных процессов в простых цепях? Основы теории цепей. Конспект лекций -219- ЛЕКЦИЯ 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ Единичная функция и переходная характеристика цепи. Интеграл Дюамеля. Импульсная функция и импульсная характеристика. Интеграл наложения. Связь между переходной и импульсной характеристиками. Связь интеграла Дюамеля с интегралом наложения. Рассмотренные выше методы расчета переходных процессов практически не пригодны при сложных формах входных сигналов. В этом случае применяют метод наложения, который заключается в разложении заданного входного воздействия на подобные слагаемые более простой формы, для которых легко найти отклик цепи. Определив отклик цепи на каждую элементарную составляющую, и суммируя эти отклики, находим отклик цепи на все сложное воздействие. Отдельные составляющие целесообразно выбирать такими, чтобы они были простыми математически, и расчет откликов, вызываемых ими, был бы не сложен. Элементарные составляющие и вызываемые ими отклики выражают с помощью двух функций: а) единичной функции (единичного скачка); б) импульсной функции (дельта функции). Единичная функция и переходная характеристика цепи. Единичную функцию определяют как функцию времени, равную нулю при t < 0 и равную единице при t > 0 (рис. 23.1, а): ⎧0 при t < 0, ⎧0 при t < t1 , 1( t ) = ⎨ 1( t − t1 ) = ⎨ ⎩1 при t > 0, ⎩1 при t > t1. l l(t – t1) l(t) l t 0 0 а t t1 б Рис. 23.1 С помощью единичной функции процесс включения напряжения любой формы e(t) = f(t) на вход цепи в момент времени t = 0 может быть представлен в виде произведения 1(t) f(t). Это произведение равно нулю при t < 0 и равно f(t) при t > 0. Основы теории цепей. Конспект лекций -220- ЛЕКЦИЯ 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ Единичная функция и переходная характеристика цепи Если входной сигнал подается на цепь не в момент t = 0, а с запаздыванием на t1 (рис. 23.1, б), то его следует записать с помощью единичной функции с запаздывающим аргументом 1(t – t1) f(t). Отклик цепи на единичную функцию называется переходной характеристикой цепи и обозначается h(t) (единичную функцию можно получить на входе цепи включением в момент t = 0 или t = t1 источника с напряжением 1 В). Если воздействие запаздывает на некоторое время, то на такое же время запаздывает и отклик цепи. Если воздействие увеличивается в а раз, то во столько же раз увеличивается отклик цепи. Размерность переходной характеристики цепи равна отношению размерностей выходной и входной величин. При внешнем воздействии, заданном в виде единичной функции напряжения, и отклике, являющемся тоже напряжением на каком-либо элементе цепи, переходная характеристика оказывается безразмерной величиной, численно равной выходному напряжению. Если же определяется ток в цепи, то переходная характеристика имеет размерность проводимости и называется переходной проводимостью. Для определения переходной характеристики необходимо рассчитать переходный процесс в цепи при нулевых начальных условиях при включении на вход единичной функции напряжения. Таким образом, переходная характеристика является функцией времени и определяется схемой цепи и величиной параметров элементов. Интеграл Дюамеля. Пусть требуется найти ток в пассивном линейном двухполюснике, переходная характеристика которого известна, при включении на вход источника ЭДС сложной формы (рис. 23.2). Начальный запас энергии к моменту включения ЭДС считаем равным нулю. е(t) ∆е2 ∆еk ∆е1 е(0) 0 τ1 τ2 τ3 t τk t Рис. 23.2 Основы теории цепей. Конспект лекций -221- ЛЕКЦИЯ 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ Интеграл Дюамеля Выберем произвольно фиксированный момент наблюдения t и рассчитаем переходный ток к этому времени. Очевидно, что величину тока в этот момент определяет вся кривая входного напряжения от t = 0 до момента наблюдения t. В связи с этим введем новое обозначение текущего времени τ, изменяющегося в пределах 0 ≤ τ ≤ t, и в дальнейшем будем различать e(t), i(t) как функции момента наблюдения t и e(τ) и i(τ) как функции текущего времени τ. Заменим плавную кривую e(τ) ступенчатой. Это дает основание считать, что в момент времени τ = 0 включается постоянное напряжение e(0)1(t), воздействующее на цепь в течение всего интервала времени от нуля до ∞. Затем через промежуток времени τ1 воздействует Δe1, затем вступает через τ2 Δe2 и т. д. Тогда e ( t ) ≈ e ( 0 )1( t ) + Δe11( t − τ1 ) + Δe21( t − τ2 ) + … + Δek 1( t − τk ) + … + Δen1( t − τn ) = n = e ( 0 )1( t ) + ∑ Δek 1( t − τk ) . k =1 Под влиянием каждого скачка напряжения возникает переходный процесс, начинающийся в соответствующий момент τ. Под влиянием составляющей e(0)1(t) в цепи появится составляющая тока i(t) = e(0)h(t), поскольку отклик на единичную функцию есть переходная характеристика. Через τ1 под воздействием Δe11(t – τ1) в цепи появится составляющая тока Δi1 = Δe1h(t – τ1), так как Δe1 воздействует в промежутке времени t – τ1. В последующий момент времени τ2 вновь происходит скачкообразное изменение напряжения на величину Δe2, которое вызовет вновь составляющую тока Δi2 = Δe2h(t – τ2). Аналогично найдем, что в момент τk скачок напряжения Δek вызовет ток Δik = Δekh(t – τk). На основании метода наложения искомый переходный ток будет равен сумме составляющих, найденных для момента t, т. е. i ( t ) = e( 0) h( t ) + Δe1h( t − τ1 ) + Δe2h( t − τ2 ) +…+ Δek h( t − τk ) +…+ Δenh( t − τn ) = n = e( 0) h( t ) + ∑Δek h( t − τk ) . k =1 Для того чтобы получить выражение тока, соответствующее плавно изменяющемуся входному напряжению, необходимо число скачков увеличивать до бесконечности (n → ∞), промежутки времени уменьшать до бесконечно малой величины dτ. Величину каждого скачка напряжения de можно представить в виде произведения скорости изменения напряжения de/dt на продолжительность этого промежутка dτ, т. е. de = e′ ( τ ) d τ. Основы теории цепей. Конспект лекций -222- ЛЕКЦИЯ 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ Интеграл Дюамеля R1 I1(p) а e(t) R2 Em I2(p) 1 рС 1 р I3(p) (Em = 10 В) Em 2 pL R3 0 b τи 2 τи t Рис. 23.3 Сумма в пределе перейдет в интеграл и для фиксированного момента времени значение тока будет t i ( t ) = e ( 0 ) h ( t ) + ∫ e′ ( τ ) h ( t − τ ) d τ . 0 Полученное выражение носит название интеграла Дюамеля. Используя теорему свертки функций, можно получить еще одно выражение интеграла Дюамеля: t i ( t ) = e ( 0 ) h ( t ) + ∫ e′ ( t − τ ) h ( τ ) d τ . 0 Пример 5. Для электрической цепи, приведенной в примере 1, рассчитать отклик на входной импульс (рис. 23.3). Решение. Рассчитаем переходную характеристику цепи как отклик на единичную функцию на входе. При нулевых начальных условиях изображение переходной характеристики – изображение тока в индуктивной ветви – можно определить по закону Ома: H ( p ) = I3 ( p ) = U ab ( p ) I1 ( p ) Z ab ( p ) 1 = , I1 ( p ) = , R2 + pL R2 + pL p ( R1 + R2 + Z ab ( p ) ) 1 R2 + pL pC , Z ab ( p ) = = 1 1 R + pL pC + ( ) 2 R2 + pL + pC ( R2 + pL ) Основы теории цепей. Конспект лекций -223- ЛЕКЦИЯ 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ Интеграл Дюамеля H ( p) = ( R2 + pL ) = ⎞ ( ( R2 + pL ) pC + 1) ( R2 + pL ) 1 ⎛ R2 + pL p ⎜ R1 + R2 + ⎟ ( R2 + pL ) pC + 1 ⎠ ⎝ = 1 . 60 ⋅ 10−7 p 3 + 1210 ⋅ 10−4 p 2 + 80 p Перейдем от изображения к оригиналу по теореме разложения: F1 ( p ) i n F1 ( pk ) e pk t , f (t ) i= i= ∑ ′ F2 ( p ) F p ( ) k =1 2 k i где pk – корни F2(p), в нашем случае F2(p) имеет корни p = 0, p1 = –680, p2 = –19480. F1 ( p ) = 1; F2 ( p ) = 60 ⋅ 10−7 p 3 + 1210 ⋅ 10−4 p 2 + 80 p; F2′ ( p ) = 3 ⋅ 60 ⋅ 10−7 p 2 + 2 ⋅ 1210 ⋅ 10−4 p + 80; При p = 0 F1(0) = 1; F2′ = 80 ; При p1 = –680, F2′ ( p1 ) = 76,2 ; При p2 = –19480, F2′ ( p2 ) = 2196 Таким образом, h(t) = 1,25·10–2–1,3·10–2e–680t+ 4,56·10–4e–19480t. Соответствующий график h(t) приведен на рис. 23.4. h(t), Сим t, мс Рис. 23.4 Основы теории цепей. Конспект лекций -224- ЛЕКЦИЯ 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ Интеграл Дюамеля Проверим правильность расчета переходной характеристики. При t = 0 h(0) должна быть равна нулю, так как переходная характеристика представляет собой ток через индуктивность при нулевых начальных условиях (на основании закона коммутации ток в индуктивности скачком измениться не может). Действительно, h(0) 0. При t → ∞ в цепи устанавливается стационарный режим, ток i3 = 1 , h ( ∞ ) = 0,0125 = i3ПР. R1 + R2 + R3 Рассчитаем отклик цепи на входной сигнал. τ На интервале 0 ≤ t ≤ и e11 = kt , 2 E ′ ( τ) = k . где k = m и e11 τи Представим переходную проводимость в общем виде h ( t ) = A0 + A1e p1t + A2e p2t , где A0 = 1,25·10–2, A1 = –1,3·10–2, A2 = 4,56·10–4. τ В течение промежутка времени от 0 до и ток в индуктивности 2 t i3 ( t ) = e ( 0 ) h ( t ) + ∫ e′ ( τ ) h ( t − τ ) d τ . 0 Поскольку е(0) = 0, то первый член в выражении для искомого тока отсутствует и тогда t t Em ⎡ p t −τ p t −τ A0 + A1e 1( ) + A2e 2 ( ) ⎤ d τ = ⎦ τ ⎣ 0 и i3 ( t ) = ∫ e′ ( τ ) h ( t − τ ) d τ = ∫ 0 е е е ⎤ Em ⎡ p1t p2t − p1τ −p τ = ⎢ A0 ∫ d τ + A1e ∫ e d τ + A2e ∫ e 2 d τ ⎥ = τи ⎣⎢ 0 0 0 ⎦⎥ t Em ⎡ A1e p1t e − p1τ A2e p2t e − p2τ ⎤ = + ⎢ A0 τ + ⎥ = τи ⎣ − p1 − p2 ⎦ 0 Em ⎡ A1 A2 A1e p1t A2e p2t ⎤ = + + ⎢ A0t − − ⎥. τи ⎣ p1 p2 p1 p2 ⎦ Основы теории цепей. Конспект лекций -225- ЛЕКЦИЯ 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ Интеграл Дюамеля τи ′ ( τ ) = 0 . Кроме того, до τи е12(t) = Em, e12 2 τ E при t = и входное напряжение скачком изменяется на величину m . 2 2 На интервале времени от Следовательно, i3 ( t ) = τи 2 Em ⎡ E ⎛ τ ⎞ p t −τ p t −τ A0 + A1e 1( ) + A2e 2 ( ) ⎤ d τ + m h ⎜ t − и ⎟ + ⎦ 2 ⎝ 2⎠ τи ⎣ ∫ 0 t ′ ( τ ) ⎡ A0 + A1e p1( t −τ ) + A2e p2 (t −τ) ⎤ d τ. + ∫ e12 ⎣ ⎦ τи 2 i3 ( t ) = τи 2 ∫ 0 = Em ⎡ E ⎛ τ ⎞ p t −τ p t −τ A0 + A1e 1( ) + A2e 2 ( ) ⎤ d τ + m h ⎜ t − и ⎟ + 0 = ⎦ τи ⎣ 2 ⎝ 2⎠ Em ⎡ A1e e ⎢ A0 τ + τи ⎣ − p1 p1t − p1τ + p2t − p2 τ A2e e − p2 τи 2 ⎤ ⎥ + ⎦0 ⎛ τ ⎞ ⎛ τ ⎞ p1⎜ t − и ⎟ p2 ⎜ t − и ⎟ ⎤ Em ⎡ 2⎠ ⎝ ⎢ A0 + A1e + + A2e ⎝ 2 ⎠ ⎥ = 2 ⎢ ⎥⎦ ⎣ ⎡ A A p1⎛⎜ t − τи ⎞⎟ A p2 ⎛⎜ t − τи ⎞⎟ A = Em ⎢ 0 + 1 e ⎝ 2 ⎠ + 2 e ⎝ 2 ⎠ + 0 + 2 2 2 ⎢⎣ 2 ⎛ τ ⎞ p1⎜ t − и ⎟ ⎝ 2 ⎠ Ae + 1 − p1τи ⎛ τ ⎞ p2 ⎜ t − и ⎟ ⎝ 2⎠ Ae + 2 − p2 τи ⎤ A1e p1t A2e p2t ⎥ − − . − p1τи − p2τи ⎥⎥ ⎦ В момент времени t = τи входное напряжение скачком уменьшается до нуля, что эквивалентно включению постоянной ЭДС обратной полярности и величиной, равной Em. Следовательно, при t > τи отклик цепи необходимо рассчитывать из выражения Основы теории цепей. Конспект лекций -226- ЛЕКЦИЯ 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ Интеграл Дюамеля i3 ( t ) = τи 2 ∫ 0 Em ⎡ E ⎛ τ ⎞ p t −τ p t −τ A0 + A1e 1( ) + A2e 2 ( ) ⎤ d τ + m h ⎜ t − и ⎟ − Em h ( t − τи ) = ⎦ τи ⎣ 2 ⎝ 2⎠ ⎛ τ ⎞ ⎡ p1⎜ t − и ⎟ ⎛ τи ⎞ ⎛ τи ⎞ ⎢ A0 A1 p1⎜⎝ t − 2 ⎟⎠ A2 p2 ⎜⎝ t − 2 ⎟⎠ A0 A1e ⎝ 2 ⎠ = Em ⎢ + e + e + + + − τ 2 2 2 2 p 1 и ⎢ ⎣ + ⎛ τ ⎞ p2 ⎜ t − и ⎟ ⎝ 2⎠ A2e − p2 τи ⎤ Ae Ae p t −τ p t −τ ⎥ − 1 − 2 − A0 − A1e 1( и ) − A2e 2 ( и ) ⎥ . − p1τи − p2 τи ⎥ ⎦ p1t p2t График зависимости тока в индуктивной ветви от времени при заданном входном сигнале приведен на рис. 23.5 (для случая τи = 3/|p1|). i(t), А i(t) τи 2 t τи Рис. 23.5 Импульсная функция и импульсная характеристика. Введем функцию, определяющую прямоугольный импульс длительностью Δt, высотой 1/ Δt и площадью S = 1 (рис. 23.6). ⎧ 0 при ⎪ δ ( t , Δt ) = ⎨ 1 ⎪⎩ Δt при t < 0, t > Δt , Основы теории цепей. Конспект лекций 0 < t < Δt. -227- ЛЕКЦИЯ 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ Импульсная функция и импульсная характеристика δ(t, ∆t) 1 Δt 1 Δt t 0 ∆t Рис. 23.6 Такой импульс получается из двух единичных функций, смещенных одна относительно другой на длительность импульса: δ ( t , Δt ) = 1( t )1( t − Δt ) 1 1 1( t ) − 1( t − Δt ) = . Δt Δt Δt Наибольший интерес представляет предельный случай прямоугольного импульса, когда его длительность стремится к нулю (Δt → 0), а высота – к бесконечности (A = 1/Δt → ∞): 1( t )1( t − Δt ) = δ ( t ). Δt →0 Δt lim ⎡⎣δ ( t , Δt ) ⎤⎦ = lim Δt →0 Эта функция называется импульсной функцией и обозначается δ(t). Ее часто называют также дельта-функцией или функцией Дирака. Импульсная функция обладает следующими свойствами: 1) равна нулю при t < 0 и t > 0, т. е. δ(t) = 0 при t ≠ 0; 2) бесконечно велика в точке t = 0: δ(0) = ∞, 3) кроме того, ∞ ∫ δ ( t )dt = 1. −∞ Если импульсная функция отлична от нуля не в момент t = 0, а в момент τ, т. е. запаздывает на время τ, то она записывается с запаздывающим аргументом δ (t – τ). При этом сохраняется основное свойство функции ∞ ∫ δ ( t − τ )dt = 1. −∞ Основы теории цепей. Конспект лекций -228- ЛЕКЦИЯ 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ Импульсная функция и импульсная характеристика Поскольку импульсная функция получена предельным переходом от единичной функции, следовательно, она является производной от единичной функции. δ ( t ) = 1′ ( t ) = d1( t ) . dt Из последнего выражения следует и обратное соотношение: t 1( t ) = ∫ δ ( t )dt. −∞ Важнейшим свойством дельта-функции является фильтрующее свойство, записываемое в виде интегральных соотношений ∞ ∫ f ( t ) δ ( t )dt = f ( 0 ) ∞ ∫ f ( t ) δ ( t − τ )dt = f ( τ ) , и −∞ −∞ где f(t) – произвольная непрерывная функция. Подынтегральная функция в последней формуле равна нулю всюду, кроме точки t = τ. Функция f(t) в этой точке равна f(τ). Тогда f(τ) можно вынести за знак интеграла, а интеграл будет равен единице в силу свойства импульсной функции: ∞ ∞ −∞ −∞ ∫ f ( t ) δ ( t − τ )dt = f ( τ ) ∫ δ ( t − τ )dt = f ( τ ) . Таким образом, интеграл от произведения импульсной функции и любой непрерывной функции равен значению непрерывной функции при том значении переменной интегрирования, при котором аргумент дельтафункции обращается в нуль. Для определения отклика цепи на сложное воздействие оказывается достаточно знать отклик цепи на дельта-функцию, который называется импульсной характеристикой. Ее можно определить так: g (t ) = Y (t ) , S где S = δ(t) – воздействие; Y (t) – отклик. Импульсная характеристика = [отклик ] [воздействие][t ] Основы теории цепей. Конспект лекций . -229- ЛЕКЦИЯ 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ Импульсная функция и импульсная характеристика Если воздействие увеличивается в а раз, в силу линейности во столько же раз возрастает и отклик. Если воздействие запаздывает на t1, то на такое же время запаздывает и отклик. Интеграл наложения. Рассмотрим применение импульсной характеристики для расчета отклика цепи на сложное воздействие. Как и в предыдущем случае, найдем ток в цепи при воздействии входного напряжения e(t) (рис. 23.7). e(t) 0 τk ek ∆τ t t е(τk) 0 t τk ∆τ Рис. 23.7 Аппроксимируем e(τ) последовательностью прямоугольных импульсов en(t) малой длительности Δτ: ek ( t ) = e ( τk ) ⎡⎣1( t − τk ) − 1( t − τk − Δτ) ⎤⎦ = e ( τk ) Δτ 1( t − τk ) − 1( t − τk +1 ) , Δτ τk = k ⋅ Δτ, при Δτ → 0 e ( τk ) = e ( τ ) d τδ ( t − τ ) . Каждый отдельный прямоугольный (элементарный) импульс с площадью e(τ) dτ δ(t – τ) вызовет ответный отклик в виде составляющей тока dik(t) = e(τ)g(t – τ)dτ, где g(t – τ) – значение импульсной характеристики в момент наблюдения t при воздействии импульса на цепь в момент τ. Основы теории цепей. Конспект лекций -230- ЛЕКЦИЯ 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ Интеграл наложения Результирующий отклик на все воздействие получим, используя принцип наложения, суммируя бесконечно малые составляющие di(t), вызванные последовательностью бесконечно малых по длительности прямоугольных импульсов напряжения: t i (t ) = ∫ e ( τ) g (t − τ) d τ . 0 Полученный интеграл называется интегралом наложения. Используя теорему свертки, получим еще одну форму интеграла наложения t i (t ) = ∫ e (t − τ) g ( τ) d τ . 0 Связь между переходной и импульсной характеристиками. Поскольку h(t) и g(t) описывают одну цепь, то, очевидно, они жестко связаны. Выше было показано, что импульсная функция представляет собой производную от единичной функции: δ ( t ) = 1′ ( t ) = d1( t ) . dt Отклик цепи на единичную функцию является переходной характеристикой h(t), а так как в линейных цепях следствия находятся в тех же соотношениях, что и вызывающие их причины, то отклик цепи на воздействие импульсной функции должен быть производной отклика единичной функции, т. е. импульсная характеристика g(t) должна быть производной от переходной характеристики h(t): g ( t ) = h′ ( t ) = dh ( t ) . dt Связь между характеристиками g(t) и h(t) можно получить также, рассматривая отклик цепи на воздействие скачка напряжения Em1(t). При таком воздействии отклик цепи i(t) = Emh(t). С другой стороны, t t 0 0 i ( t ) = ∫ Em ( t − τ ) g ( τ ) d τ = Em ∫ g ( τ ) d τ , откуда Основы теории цепей. Конспект лекций -231- ЛЕКЦИЯ 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ Связь между переходной и импульсной характеристиками t ⎞ dh ⎛ h′ ( t ) = ⎜ ∫ g ( τ ) d τ ⎟ = g ( t ) . ⎟ dt ⎜⎝ 0 ⎠ h(t) h(0) 0 t h1(t) h1(t) t 0 h2(t) h(0) 1(t) h(0) t 0 Рис. 23.8 Выражение связи между импульсной и переходной характеристиками цепи несколько отличается в случае, когда переходная характеристика h(t) не равна нулю при t = 0 (рис. 23.8). h(t) = h1(t) + h2(t) = h1(t) + h(0)·1(t) тогда g ( t ) = h′ ( t ) = h1′ ( t ) + h ( 0 ) ⋅ δ ( t ) . Заменив переходную характеристику суммой двух функций h1(t) и h2(t) = h(0), представляющую собой скачок величиной h(0), возникающий при t = 0, получим импульсную характеристику, в которой этот скачок учтен производной второй функции h(0) · δ(t). Так как функции h(t) и h1(t) подобны при всех значениях t, кроме t = 0, то их производные одинаковы во всех точках, кроме скачка при t = 0. Связь интеграла Дюамеля с интегралом наложения. Подставив выражение для импульсной характеристики в интеграл наложения, получим t t t 0 0 0 i ( t ) = ∫ e ( t − τ ) g ( τ ) d τ = ∫ e ( t − τ ) h′ ( τ ) d τ + h(0) ∫ e ( t − τ ) δ ( τ ) d τ . На основании фильтрующего свойства импульсной функции Основы теории цепей. Конспект лекций -232- ЛЕКЦИЯ 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ Связь интеграла Дюамеля с интегралом наложения t ∫ e (t − τ) δ ( τ) d τ = e (t ) . 0 Тогда t t 0 0 ∫ e ( t − τ ) g ( τ ) d τ = e ( t ) h ( 0 ) + ∫ e ( t − τ ) h′ ( τ ) d τ . Таким образом, t t 0 0 e ( 0 ) h ( t ) + ∫ e′ ( τ ) h ( t − τ ) d τ = e ( t ) h ( 0 ) + ∫ e ( t − τ ) h′ ( τ ) d τ. Интеграл Дюамеля Интеграл наложения Пример 6. Для электрической цепи, приведенной в примере 1, рассчитать ток в индуктивной ветви с помощью импульсной характеристики при входном напряжении e(t) (рис. 23.3). Решение. Ранее была определена переходная характеристика h ( t ) = A0 + A1e p1t + A2e p2t , где A0 = 1,25·10–2, A1 = –1,3·10–2, A2 = 4,56·10–2. Найдем импульсную характеристику как g ( t ) = h′ ( t ) = dh ( t ) = p1 A1e p1t + p2 A2e p2t = 8,9e−680t − 8,9e−19480t . dt График импульсной характеристики приведен на рис. 23.9 Основы теории цепей. Конспект лекций -233- ЛЕКЦИЯ 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ Связь интеграла Дюамеля с интегралом наложения g(t), Сим/с t, мс Рис. 23.9 Отклик цепи на первом интервале 0 ≤ t ≤ τи 2 e11 ( τ ) = k τ , где k = Em , τи t i3 ( t ) = kt ( A0 + A1 + A2 ) + ∫ e11 ( τ ) g ( t − τ ) d τ = 0 t p t −τ p t −τ = kt ( A0 + A1 + A2 ) + ∫ k τ ⎡ p1 A1e 1( ) + p2 A2e 2 ( ) ⎤ d τ. ⎣ ⎦ 0 После несложных преобразований с учетом A0 + A1 + A2 = h(0) = 0 получим выражение, совпадающее с выражением, приведенным в примере 5. ⎡ A A p1⎛⎜ t − τи ⎞⎟ A p2 ⎛⎜ t − τи ⎞⎟ A i3 ( t ) = Em ⎢ 0 + 1 e ⎝ 2 ⎠ + 2 e ⎝ 2 ⎠ + 0 + 2 2 2 ⎢⎣ 2 ⎛ τ ⎞ p1⎜ t − и ⎟ ⎝ 2⎠ Ae + 1 − p1τи На интервале времени от ⎛ τ ⎞ p2 ⎜ t − и ⎟ ⎝ 2⎠ Ae + 2 − p2 τи ⎤ A1e p1t A2e p2t ⎥ − − . − p1τи − p2 τи ⎥⎥ ⎦ τи до τи 2 Основы теории цепей. Конспект лекций -234- ЛЕКЦИЯ 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ Связь интеграла Дюамеля с интегралом наложения i3 ( t ) = τи 2 ∫ 0 Em ⎡ p t −τ p t −τ τ p1 A1e 1( ) + p2 A2e 2 ( ) ⎤ d τ + ⎣ ⎦ τи + Em h ( 0 ) + t ∫τ Em ⎡⎣ p1 A1e p1( t −τ ) p t −τ + p2 A2e 2 ( ) ⎤ d τ. ⎦ и 2 Учитывая, что –A0 = A1 + A2, получим результат, совпадающий с решением в примере 5. ⎡ A A p1⎛⎜ t − τи ⎞⎟ A p2 ⎛⎜ t − τи ⎞⎟ A i3 ( t ) = Em ⎢ 0 + 1 e ⎝ 2 ⎠ + 2 e ⎝ 2 ⎠ + 0 + 2 2 2 ⎢⎣ 2 + ⎛ τ ⎞ p1⎜ t − и ⎟ ⎝ 2 ⎠ A1e − p1τи + ⎛ τ ⎞ p2 ⎜ t − и ⎟ ⎝ 2⎠ A2e − p2 τи ⎤ Ae Ae ⎥ − 1 − 2 . − p1τи − p2 τи ⎥⎥ ⎦ p1t p2t Расчет отклика цепи при t > τи следует проводить с учетом всего входного сигнала i3 ( t ) = τи 2 ∫ 0 Em ⎡ p t −τ p t −τ τ p1 A1e 1( ) + p2 A2e 2 ( ) ⎤ d τ + ⎦ τи ⎣ τи p t −τ p t −τ + ∫ Em ⎡ p1 A1e 1( ) + p2 A2e 2 ( ) ⎤ d τ. ⎣ ⎦ τи 2 ⎛ τ ⎞ ⎡ p1⎜ t − и ⎟ ⎛ τи ⎞ ⎛ τи ⎞ p t p t − − ⎢ A0 A1 1⎜⎝ 2 ⎟⎠ A2 2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ A0 A1e ⎝ 2 ⎠ + e + + + i3 ( t ) = Em ⎢ + e − τ 2 2 2 2 p 1 и ⎢ ⎣ + ⎛ τ ⎞ p2 ⎜ t − и ⎟ ⎝ 2 ⎠ A2e − p2 τи ⎤ Ae Ae p t −τ p t −τ ⎥ − 1 − 2 − A0 − A1e 1( и ) − A2e 2 ( и ) ⎥ . − p1τи − p2 τи ⎥ ⎦ p1t p2t Полученные результаты полностью совпадают с откликом, рассчитанным с помощью интеграла Дюамеля. Основы теории цепей. Конспект лекций -235- ЛЕКЦИЯ 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ Контрольные вопросы 1. Что представляет собой единичная функция? 2. Что называется переходной характеристикой цепи? 3. Какова размерность переходной характеристики цепи? 4. Какие ограничения накладываются на цепи при расчете переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля? 5. Что представляет собой импульсная функция? 6. Что называется импульсной характеристикой цепи? Основы теории цепей. Конспект лекций -236- ЛЕКЦИЯ 24. ОПЕРАТОРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ Отклик на экспоненциальное воздействие. Понятие об операторных характеристиках. Определение операторных характеристик. Отклик на экспоненциальное воздействие. Во многих случаях воздействующая функция может быть представлена в обобщенной форме e ( t ) = Ee st , где E и s – комплексные числа: обобщенная (комплексная) амплитуда E = Ee jψ , обобщенная (комплексная) частота s = σ + jω . В зависимости от величин, определяющих экспоненциальное воздействие, получается тот или иной закон изменения e(t). Если мнимая часть обобщенной частоты не равна нулю Jms ≠ 0 , то e(t) = Eejψeσtejωt и характер воздействующей функции зависит от вещественной части σ (рис. 24.1): а) при σ = 0 e ( t ) = Ee jψ e jωt ; б) при σ > 0 e ( t ) = Ee jψ eσt e jωt ; в) при σ < 0 e ( t ) = Ee jψ e −σt e jωt ; если Jms = ω = 0 , то e ( t ) = Ee jψ eσt ; г) при σ = 0 e ( t ) = Ee jψ ; д) при σ > 0 e ( t ) = Ee jψ eσt ; е) при σ < 0 e ( t ) = Ee jψ e −σt . Таким образом, s = σ + jω имеет мнимую часть, которая может быть рассмотрена как угловая частота некоторого гармонического колебания, а вещественная часть как коэффициент, характеризующий изменение огибающей этого колебания. Вследствие того, что интегрирование и дифференцирование экспоненциальной функции не изменяет ее вида, отклик цепи на данное воздействие Основы теории цепей. Конспект лекций -237- ЛЕКЦИЯ 24. ОПЕРАТОРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ Отклик на экспоненциальное воздействие является экспоненциальной функцией той же частоты, причем отношение отклика цепи к воздействию в этом случае не зависит от времени. e(t) e(t) t 0 t 0 а г e(t) e(t) t 0 t 0 б д e(t) e(t) t 0 t 0 в е Рис. 24.1 При e ( t ) = Ee st Ee st dU C 1 1 IR = = sCEe st , I L = ∫ U L dt = Ee st . , IC = C R dt L sL Входное сопротивление пассивного линейного двухполюсника Z (s) = e(t ) 1 , Z R ( s ) = R, Z C ( s ) = , Z L ( s ) = sL. I (t ) sC Основы теории цепей. Конспект лекций -238- ЛЕКЦИЯ 24. ОПЕРАТОРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ Отклик на экспоненциальное воздействие Полагая s = p, получим выражения для операторных сопротивлений идеализированных элементов цепи, полагая s = jω – выражения для комплексных входных сопротивлений элементов при гармоническом воздействии. Следовательно, оператор преобразования Лапласа можно рассматривать как обобщенную (комплексную) частоту экспоненциального воздействия вида e ( t ) = Ee st . Понятие об операторных характеристиках. Рассмотрим идеализированную линейную цепь, не содержащую независимых источников тока и напряжения (рис. 24.2). i г Ii Ik→k Ui Zk i Uk k Рис. 24.2 Операторной, или обобщенной, частотной характеристикой Hki(p) линейной цепи называется отношение операторного изображения отклика цепи Y(p) к операторному изображению внешнего воздействия X(p) при нулевых начальных условиях: H ki ( p ) = Yk ( p ) , Yk ( p ) i =i yk ( t ) , Xi ( p) X i ( p ) i =i xi ( t ) . Операторная характеристика линейной цепи численно равна отношению отклика цепи к внешнему воздействию при внешнем воздействии вида X i = X i e pt , H ki ( p ) = Yk Xi . X i = X ie pt Для перехода от операторной характеристики цепи к ее комплексной частотной характеристике (КЧХ) необходимо заменить р на jω, т. е. КЧХ есть частный случай обобщенной частотной характеристики при р = jω. Операторная характеристика цепи определяется только видом цепи и параметрами входящих в нее элементов. Как и КЧХ, операторные характеристики делятся на входные и передаточные. В зависимости от того, какая величина выступает в качестве внешнего воздействия, а какая в качестве отклика, различают: 1. Операторное входное сопротивление Основы теории цепей. Конспект лекций -239- ЛЕКЦИЯ 24. ОПЕРАТОРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ Понятие об операторных характеристиках Ui ( p ) ; Ii ( p ) 2. Операторную входную проводимость Z ii ( p ) = Yii ( p ) = Ii ( p ) ; Ui ( p ) 3. Операторный коэффициент передачи по напряжению K ki ( p ) = Uk ( p) ; Ui ( p ) 4. Операторный коэффициент передачи по току K Iki ( p ) = Ik ( p ) ; Ii ( p ) 5. Операторное передаточное сопротивление Z ki ( p ) = Uk ( p) ; Ii ( p ) 6. Операторную передаточную проводимость Yki ( p ) = Ik ( p ) ; Ui ( p ) Определение операторных характеристик. Для расчета обобщенной характеристики цепи можно применить любые известные методы, например метод контурных токов, метод узловых напряжений, метод эквивалентного генератора и др. Если сложная цепь содержит только один источник Ei(p), включенный в i-м контуре, то контурный ток, создаваемый при этом в другом k-м контуре I k ( p ) = Ei ( p ) Δ ik ( p ) , ΔZ ( p ) Основы теории цепей. Конспект лекций -240- ЛЕКЦИЯ 24. ОПЕРАТОРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ Определение операторных характеристик где ΔZ(p) – определитель системы уравнений, составленных методом контурных токов (в операторной форме); Δik(p) – алгебраическое дополнение элемента в операторной форме Δik(p) = (–1)i + kΔikm(p). Минор Δikm(p) равен определителю системы, из которого исключена i-я строка, соответствующая i-му контуру, где действует ЭДС Ei(p), и k-й столбец, соответствующий искомому k-му току. Следовательно, U k ( p ) = Ik ( p ) Zk ( p ) = Ei ( p ) Δ ik ( p ) Z k ( p ) ΔZ ( p ) и тогда Z ii ( p ) = K ki ( p ) = Ei ( p ) Δ Z ( p ) I ( p ) Δ ii ( p ) = = ; Yii ( p ) = i ; I i ( p ) Δ ii ( p ) Ei ( p ) Δ Z ( p ) U k ( p ) Δ ik ( p ) Z k ( p ) U ( p ) Δ ik ( p ) Z k ( p ) = = ; Zki ( p ) = k ; Ei ( p ) ΔZ ( p ) Ii ( p ) Δ ii ( p ) K Iki ( p ) = I k ( p ) Δ ik ( p ) I ( p ) Δ ik ( p ) = = ; Yki ( p ) = k . I i ( p ) Δ ii ( p ) Ei ( p ) Δ Z ( p ) Поскольку ΔZ(p), Δii(p), Δik(p) представляют собой полиномы от собственных и взаимных операторных сопротивлений независимых контуров цепи, а сопротивления являются рациональными функциями р с вещественными коэффициентами, любая операторная характеристика линейной цепи также является рациональной функцией р с вещественными коэффициентами, т. е. может быть представлена в виде отношения двух полиномов N ( p ) an p n + an−1 p n−1 + … + a1 p + a0 . = H ki ( p ) = M ( p ) bm p m + bm−1 p m−1 + … + b1 p + b0 Решив уравнения N(p) = 0 и M(p) = 0 и разложив N(p) и M(p) на множители, получим H ki ( p ) = K ( p − p01 )( p − p02 )…( p − p0n ) , ( p − p X 1 )( p − p X 2 )…( p − p Xm ) Основы теории цепей. Конспект лекций -241- ЛЕКЦИЯ 24. ОПЕРАТОРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ Определение операторных характеристик an – масштабный коэффициент; p01, p02, ..., p0n – нули функции; pX1, bm pX2, ..., pXm – полюсы функции Hki(p). Таким образом, операторная характеристика может быть задана распределением нулей и полюсов (значений р, при которых функция обращается в бесконечность), а также масштабным коэффициентом K. Операторные характеристики цепи удобно использовать при нахождении переходной и импульсной характеристик. Действительно, исходя из определения операторной характеристики, изображение отклика где K = Yk(p) = Hki(p)Xi(p). С другой стороны, изображение отклика цепи на единичную функцию на входе является изображением переходной характеристики H ( p ) = H ki ( p ) X i ( p ) 1 X i ( p )= p или h(t ) i =i H ( p ) = H ki ( p ) 1 . p Аналогично изображение отклика цепи на дельта-функцию является изображением импульсной характеристики G ( p ) = H ki ( p ) X i ( p ) X i ( p )=1 , g ( t ) i =i G ( p ) = H ki ( p ) , ∞ ⎛ ⎞ − pt i i ⎜⎜ X i ( p ) = 1 i = δ ( t ) δ ( t ) i = ∫ δ ( t )e dt = 1⎟⎟ . 0 ⎝ ⎠ Пример 7. Для электрической цепи, приведенной в примере 1, определить переходную и импульсную характеристики, используя операторную характеристику. Решение. Найдем операторную характеристику цепи (рис. 24.3). R1 E1(р) R3 I1(р) 1 рС I3(р) I2(р) R2 рL Рис. 24.3 Y31 ( p ) = I3 ( p ) E1 ( p ) Z ( p) 1 , = E1 ( p ) ( R1 + R3 + Z ( p ) ) ( R2 + pL ) E1 ( p ) Основы теории цепей. Конспект лекций -242- ЛЕКЦИЯ 24. ОПЕРАТОРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ Определение операторных характеристик где R2 + pL . 1 + ( R2 + pL ) pC Подставив значения R, L, C в последнее выражение, получим Z ( p) = Y31 ( p ) = 1 , 60 ⋅ 10 p + 1210 ⋅ 10-4 p + 80 -7 2 отсюда переходная характеристика h ( t ) i =i Y31 ( p ) p и импульсная характеристика g ( t ) i =i Y31 ( p ) . Контрольные вопросы 1. Что представляет собой экспоненциальное воздействие? 2. Что называется операторной, или обобщенной, частотной характеристикой линейной цепи? 3. Как определяются операторные характеристики цепи? 4. Как определить переходную и импульсную характеристики, используя операторную характеристику цепи? Основы теории цепей. Конспект лекций -243- ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ Основные уравнения теории фильтров и их анализ. Условие пропускания реактивного фильтра. Фильтры типа k. Фильтры нижних частот. Влияние сопротивления нагрузки на ФНЧ. Электрические цепи, предназначенные для выделения колебаний, лежащих в определенном диапазоне частот, называются электрическими фильтрами. Электрические фильтры широко применяются в радиотехнике, многоканальной проводной связи, автоматике, измерительной технике и во многих других областях современной радиоэлектроники, использующих принцип частотной селекции сигналов. Электрический фильтр представляет собой четырехполюсник, пропускающий без заметного ослабления колебания определенных частот и с большим ослаблением колебания других частот. Полоса частот, в которой затухание фильтра мало, – полоса пропускания (прозрачности). Остальная область частот – полоса задерживания (подавления). Электрические фильтры классифицируют по различным признакам. 1. Классификация по расположению полосы (полос) пропускания: а) Фильтры, у которых полоса пропускания от ω = 0 (постоянный ток) до некоторой граничной частоты ωгр, называются фильтрами нижних частот (ФНЧ). На рис. 25.1 изображены амплитудно-частотные характеристики идеального фильтра нижних частот в координатах a(ω) и K(ω), где a(ω) – затухание; K(ω) – модуль передаточной функции по напряжению. В реальном фильтре достичь таких характеристик невозможно. Поэтому при проектировании фильтра задается допустимое максимальное затухание в полосе пропускания и необходимое минимальное затухание в полосе задерживания. Между этими полосами находится промежуточная полоса – полоса перехода (рис. 25.2). В эффективной полосе пропускания от ω = 0 до частоты ωX задано допустимое максимальное затухание Δa, в полосе от частоты ωk до бесконечности – необходимое минимальное затухание amin. В полосе перехода от ωX до ωk затухание не задается. б) Если полоса пропускания находится в пределах от ωгр до бесконечности, то такие фильтры называются фильтрами верхних частот (рис. 25.3). в) Полосовые фильтры (рис. 25.4) имеют две частоты, ограничивающие полосу пропускания: 0 < ωгр1 < ωгр2 < ∞. Основы теории цепей. Конспект лекций -244- ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ К(ω) а(ω) К(ω) а(ω) 1 amin ωгр 0 ω 0 ωгр ω ∆a ωХ 0 ω ωk Рис. 25.1 1 1 2 0 ω ωгр Рис. 25.2 К(ω) а(ω) 1 1 2 ω 0 0 ωгр ω Рис. 25.3 К(ω) 1 1 1 2 Кmin 0 ωгр1 ωгр2 ω 0 Рис. 25.4 ωгр1 ωгр2 ω Рис. 25.5 г) Заграждающий, или режекторный, фильтр (ЗФ, РФ) имеет вместо полосы пропускания полосу режекции с граничными частотами 0 < ωгр1 < ωгр2 < ∞, которые определяются на заданном минимальном уровне Kmin (рис. 25.5). д) При приеме радиолокационных и других импульсных сигналов используются фильтры, имеющие ряд одинаковых полос пропускания – полосовые гребенчатые фильтры (ПГФ) с кратными средними частотами полос пропускания (рис. 25.6). е) Гребенчатые фильтры, имеющие дискретный ряд полос режекции, называются заграждающими, или режекторными, гребенчатыми фильтрами (ЗГФ, РГФ), рис. 25.7. Основы теории цепей. Конспект лекций -245- ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ К(ω) 0 К(ω) ПГФ ω0 2ω0 3ω0 4ω0 ω 0 ω0 РГФ 2ω0 Рис. 25.6 Z1/2 4ω0 ω Рис. 25.7 Z1/2 2Z2 3ω0 Z1/2 Z2 Z1 2Z2 2Z2 Рис. 25.8 Z1 Z2 Z2 Z1 Рис. 25.9 Рис. 25.10 2. Классификация по схемам звеньев. Фильтры могут быть составлены из Г-, Т- и П-образных звеньев (рис. 25.8). Широкое применение нашли также мостовые (рис. 25.9) и цепочечные (лестничные), рис. 25.10, фильтры. 3. Классификация фильтров по типу характеристик: а) фильтры типа k (простейшие Г-, Т- и П-образные); б) фильтры типа m (производные фильтры более высокого порядка); в) фильтры типа mm΄, m1m2 и др.; г) фильтры с максимально гладкими характеристиками (фильтры Баттерворта); д) Оптимальные фильтры (фильтры Чебышева). 4. Классификация по типу используемых элементов: а) реактивные (LC-фильтры); б) безындукционные (RC-фильтры); в) активные RC-фильтры; Основы теории цепей. Конспект лекций -246- ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ г) фильтры из волновых четырехполюсников (четырехполюсников с распределенными параметрами); д) электромеханические фильтры (фильтры, использующие пьезоэлектрические или магнитострикционные материалы). Основные уравнения теории фильтров и их анализ. Условие пропускания реактивного фильтра. Четырехполюсник обладает свойствами фильтра только в том случае, когда сопротивления Z1 = ±jX1 и Z2 = ±jX2, входящие в Г-образные или симметричные Т- и П-образные схемы (рис. 25.8), имеют разные знаки. Электрический фильтр наилучшим образом выполняет свои функции, если он нагружен на сопротивление, равное характеристическому сопротивлению. В теории фильтров, основанной на характеристических параметрах четырехполюсников, решаются следующие основные задачи: устанавливаются условия, при которых фильтр имеет полосу прозрачности; определяется ширина полосы прозрачности; находятся уравнения частотных характеристик (АЧХ и ФЧХ). Z1 2 I1 ZT U1 I2 2Z 2 U2 ZН = ZП Рис. 25.11 Для Г-образного звена-прототипа (рис. 25.11) справедлива система уравнений в параметрах прямой передачи: ⎧⎪U1 = A11U 2 + A12 I 2 , ⎨ ⎪⎩ I1 = A21U1 + A22 I 2 . Определим А-параметры из режимов холостого хода и короткого замыкания на выходе: Основы теории цепей. Конспект лекций -247- ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ Основные уравнения теории фильтров и их анализ. Условие пропускания реактивного фильтра A11 = A22 = U1 U2 U1 = I 2 = 0( ХХ на вых ) I1 I2 U Z1 + 2Z 2 2 = 2= 0( КЗ на вых ) A21 = I1 U2 A12 = U1 I2 U U1 ⋅ 2Z 2 Z1 , 4Z 2 I1 = 1, I1 = I 2 = 0( ХХ на вых ) = 2= =1+ 0( КЗ на вых ) I1 1 = , I1 ⋅ 2 Z 2 2 Z 2 U1 Z1 = . U1 2 Z1 2 В теории четырехполюсников показано, что характеристические сопротивления (входные сопротивления в режиме двустороннего согласования) Гобразного звена-прототипа определяются так: Z C1 = Z T = ⎛ ⎛ A11 A12 Z ⎞Z Z ⎞ = ⎜1 + 1 ⎟ 1 ⋅ 2 Z 2 = Z1Z 2 ⎜1 + 1 ⎟ , A21 A22 ⎝ 4Z 2 ⎠ 2 ⎝ 4Z 2 ⎠ ZC 2 = Z П = A22 A12 = A21 A11 Z1Z 2 . Z1 1+ 4Z 2 Постоянная передачи (мера передачи) g = a + jb может быть определена из соотношения sh g Z1 = A12 A21 = . 2 4Z 2 Т- и П-образные симметричные четырехполюсники получаются каскадным согласованным соединением двух Г-образных четырехполюсников (рис. 25.12), поэтому их постоянные передачи равны удвоенному значению постоянной передачи Г-образного звена-прототипа. Для Т- и П-образных симметричных схем Основы теории цепей. Конспект лекций -248- ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ Основные уравнения теории фильтров и их анализ. Условие пропускания реактивного фильтра ch g = A11 A22 = A11 = A22 = 1 + Z1 2 Z1 . 2Z 2 Z1 2 2Z 2 2Z 2 Z1 2 2Z 2 2Z 2 Рис. 25.12 Характеристические сопротивления полученных звеньев остаются равными соответствующим сопротивлениям Г-образного звена. Так как фильтр нагружен на сопротивление, равное характеристическому сопротивлению, соотношение напряжений и токов его на входе и выходе U1 I1 = = eg . U 2 I2 Из определения полосы прозрачности следует, что затухание а = 0; фазовая же постоянная b в этой полосе частот может быть отличной от нуля. Поэтому в полосе прозрачности g = a + jb оказывается мнимой величиной и ch g = ch jb = cos b = 1 + Z1 . 2Z 2 e jb + e − jb 1 ch g = ch jb = = ( cos b + j sin b + cos b − j sin b ) = cos b. 2 2 Поскольку cosb не может быть больше единицы, то необходимым условием наличия полосы прозрачности является разный характер сопротивлений Z1 и Z2, т. е. если Z1 = jX1 положительно (имеет индуктивный характер), то Z2 = –jX2 должно быть отрицательным (емкостным) и наоборот. Это условие необходимо, но не является достаточным. cosb может изменяться в пределах от –1 до +1, следовательно, −1 ≤ 1 + Z1 Z X ≤ 1, − 1 ≤ 1 ≤ 0, − 1 ≤ 1 ≤ 0 . 2Z 2 4Z 2 4X2 Основы теории цепей. Конспект лекций -249- ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ Основные уравнения теории фильтров и их анализ. Условие пропускания реактивного фильтра Таким образом, для существования полосы пропускания необходимо и достаточно, чтобы сопротивления X1 и X2 имели разные знаки, а по абсолютной величине X1 было бы меньше 4 X2: |X1| < 4| X2|. Граничные частоты полосы пропускания (частоты среза) можно определить несколькими способами, используя основное неравенство теории фильтров −1 ≤ Z1 ≤ 0. 4Z 2 1. Если задан вид функций Z1(ω) и Z2(ω), то граничные частоты находятся из решения системы уравнений ⎧ Z1 ωгр ⎪ = −1, 4 ω Z ⎪⎪ 2 гр ⎨ ⎪ Z1 ωгр = 0. ⎪ ω 4 Z 2 гр ⎪⎩ ( ( ( ( ) ) ) ) 2. Если частотные зависимости Z1(ω) и Z2(ω) заданы графически, то граничные частоты полосы пропускания могут быть также определены графически (рис. 25.13). 3. Граничные частоты могут быть найдены из рассмотрения зависимости входного сопротивления фильтра, согласованного на выходе, т. е. с помощью характеристического сопротивления: ⎛ Z ⎞ Z1Z 2 ZT = Z1Z 2 ⎜1 + 1 ⎟ , Z П = . Z 4 Z 1 ⎝ 2 ⎠ 1+ 4Z 2 L1 2 Z L1 2 Z Z1(ω) Z1(ω) Z2(ω) L2 C2 ω 0 –4Z2(ω) 0 ωгр ω Рис. 25.13 Основы теории цепей. Конспект лекций -250- ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ Основные уравнения теории фильтров и их анализ. Условие пропускания реактивного фильтра При разных знаках Z1(ω) и Z2(ω), а также при −1 ≤ Z1 4Z 2 и 1+ Z1 ≥0 4Z 2 произведение (ω) на Z2(ω) − действительное положительное число, следовательно, характеристические сопротивления в полосе пропускания являются действительными. Поскольку характеристическое сопротивление четырехполюсника является средним геометрическим входных сопротивлений в режиме холостого хода ZXХ и короткого замыкания ZKЗ, то граничные частоты могут быть определены как частоты, в пределах которых ZXХ и ZKЗ имеют разные знаки (рис. 25.14). Выше было показано, что ch g = A11 = 1 + где A11 = U1 U2 , I 2 = 0(ХХ на вых) A11 = Z1 , 2Z 2 1 U , К ХХ = 2 – комплексный коэффициК ХХ U1 ент передачи по напряжению в режиме холостого хода на выходе. В полосе пропускания −1 ≤ A11 ≤ 1 , следовательно, −1 ≤ 1 ≤ 1 и − 1 ≥ К ХХ ≥ 1. К ХХ Из последнего выражения для модуля коэффициента передачи получим КХХ ≥ 1. Для граничных частот это неравенство обращается в равенство: КХХ(ωгр) = 1. Основы теории цепей. Конспект лекций -251- ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ Основные уравнения теории фильтров и их анализ. Условие пропускания реактивного фильтра ZT = Z КЗ Z ХХ Z L1 2 ZКЗ(ω) ZХХ(ω) L2 С2 0 ω 0 ωгр ω Рис. 25.14 Таким образом, граничные частоты могут быть определены как частоты, на которых коэффициент передачи при холостом ходе равен единице. Это определение особенно удобно при экспериментальном исследовании фильтров. Частотными характеристиками фильтра являются зависимости: а(ω) – амплитудно-частотная характеристика; b(ω) – фазочастотная характеристика. Для нахождения уравнений частотных характеристик используем выражение для постоянной передачи Г-образного звена sh g Z1 b⎞ a b a b X1 ⎛a = = sh ⎜ + j ⎟ = sh cos + j ch sin = ± j 2 4Z 2 2⎠ 2 2 2 2 4X2 ⎝2 при Z1 = ±jZ1 и Z2 = ∓ jZ2. Разделив вещественную и мнимую части, получим a b ⎧ sh cos = 0, ⎪ 2 2 ⎪ ⎨ ⎪ch a sin b = ± X 1 . ⎪⎩ 2 2 4X2 В полосе пропускания а = 0, следовательно, sh a a = 0, ch = 1 и 2 2 b X1 =± . 2 4X2 Поскольку сопротивления X1 и X2 зависят от частоты, то из последнего уравнения получим зависимость коэффициента фазы от частоты в полосе пропускания (ФЧХ) в виде sin Основы теории цепей. Конспект лекций -252- ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ Основные уравнения теории фильтров и их анализ. Условие пропускания реактивного фильтра b ( ω) = ±2arcsin X 1 ( ω) . 4 X 2 ( ω) Амплитудно-частотная характеристика в полосе пропускания а(ω) = 0 сливается с осью частот. a b В полосе подавления a ≠ 0, sh ≠ 0, следовательно, cos = 0, 2 2 отсюда b = ±π и sin b a x1 = ±1 , значит, ch = . 2 4 x2 2 Уравнение амплитудно-частотной характеристики в полосе подавления a ( ω) = 2Arch x1 . 4 x2 Фазочастотная характеристика в полосе подавления b(ω) = ±π. Фильтры типа k. Реактивные фильтры, составленные из звеньев, параметры элементов которых во всем диапазоне частот удовлетворяют условию 1 Z1 ⋅ 2 Z 2 = Z1Z 2 = Z T Z П = k 2 2 (k – постоянная положительная величина), называются фильтрами типа k. Фильтры нижних частот. Фильтром нижних частот (ФНЧ) называют четырехполюсник, у которого затухание в диапазоне от ω = 0 до граничной частоты ωгр мало, а в диапазоне от ωгр до ω = ∞ велико. Физическое действие фильтров объясняется тем, что на низких частотах сопротивления индуктивностей малы, а сопротивления емкостей велики; на высоких же частотах наоборот: сопротивления индуктивностей велики, а емкостей малы. Граничные частоты полосы пропускания фильтров нижних частот (рис. 25.15) определяются из соотношений Z1 = 0 и Z1 = –4Z2. Для ФНЧ имеем Z1 = jωL, Z 2 = Основы теории цепей. Конспект лекций 1 . j ωC -253- ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ Фильтры нижних частот L 2 L 2 L 2 С 2 L С 2 С С 2 Рис. 25.15 2 . ωгрC LC Таким образом, фильтры нижних частот имеют полосу пропускания, определяемую Поэтому Z1 = 0 при ω = 0 и 4 ωгр L = 0 ≤ ωгр ≤ при ωгр = 2 . LC Такой же результат получается путем графического расчета (рис. 25.16) Z Z1(ω) –4Z2(ω) 0 ωгр ω Рис. 25.16 Выше было показано, что амплитудно-частотная a(ω) и фазочастотная b(ω) характеристики в полосе пропускания определяются по формулам: a ( ω) = 0, b ( ω) = 2arcsin X1 ωLωC ω = 2arcsin = 2arcsin , ωгр 4X2 4 ⎛ 2 ⎞ LC = ⎜⎜ ⎟⎟ . ω гр ⎠ ⎝ В полосе задерживания Основы теории цепей. Конспект лекций -254- ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ Фильтры нижних частот X1 ω = 2Arch , b ( ω) = π . 4X2 ωгр a ( ω) = 2Arch Графики АЧХ и ФЧХ показаны на рис. 25.17. а неп b 2 π АЧХ ФЧХ π 2 1 0 ω ωгр 1,0 0 0,5 1,0 ω ωгр Рис. 25.17 Приведенные на рис. 25.17 частотные характеристики имеют такой вид только при условии, что фильтр нагружен на сопротивление, равное характеристическому сопротивлению. Для Т-образного фильтра 2 ⎛ ω ⎞ ⎛ Z ⎞ Z T = Z1Z 2 ⎜1 + 1 ⎟ = k 1 − ⎜ ⎟⎟ , ⎜ ω 4 Z ⎝ 2 ⎠ ⎝ гр ⎠ для П-образного фильтра ZП = Z1Z 2 k = . 2 Z1 ⎛ ω ⎞ 1+ 1− ⎜ 4Z 2 ⎜ ωгр ⎟⎟ ⎝ ⎠ На рис. 25.18 приведены графики зависимости Z Т и Z П от частоты. Таким образом, для осуществления согласования фильтра необходимо для каждой частоты подбирать свое сопротивление (в полосе пропускания – активное, в полосе задерживания – реактивное). Из фазочастотной характеристики (рис. 25.17) следует, что в полосе пропускания выходное напряжение отстает от входного напряжения на угол b, зависящий от частоты. Основы теории цепей. Конспект лекций -255- ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ Фильтры нижних частот ZТ k ZП Активное Индуктивное 0,5 0 ω ωгр 1,0 Активное Емкостное k 0 ω ωгр 1,0 0,5 Рис. 25.18 Для доказательства положительности фазочастотной характеристики рассмотрим векторные диаграммы, например Т-образного фильтра нижних частот (рис. 25.19), нагруженного на согласованное сопротивление. Пусть на входе ФНЧ действует напряжение U1 = U1e jψ , тогда в полосе пропускания фильтр имеет активное входное сопротивление и входной ток I1 совпадает с входным напряжением по фазе (рис. 25.20). Напряжение на входной индуктивности опережает ток I1 на π/2. L I1 2 U L1 U1 IС L n 2 U L1 I2 U L2 С U С Im UС ZТ U 2 I1 ψ U1 Re Рис. 25.19 Рис. 25.20 Из выражения второго закона Кирхгофа для входного контура U C = U1 − U L1 , следовательно, напряжение на конденсаторе отстает от входного напряжения и тока на некоторый угол, определяемый соотношением между величинами сопротивлений индуктивности и емкости на заданной частоте (рис. 25.20). Ток в емкостной ветви опережает напряжение на емкости на π/2 (рис. 25.21). Для узла n (рис. 25.19) выполняется первый закон Кирхгофа, откуда Основы теории цепей. Конспект лекций -256- ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ Фильтры нижних частот I 2 = I1 − I C . Im U L1 Im U L1 IС IС U1 I1 0 I1 Re I2 U L2 0 b>0 U1 Re I2 UС U2 Рис. 25.21 UС Рис. 25.22 Напряжение на выходе фильтра в полосе пропускания совпадает с выходным током, а напряжение на выходной индуктивности опережает выходной ток на π/2 (рис. 25.22). Таким образом, из векторной диаграммы (рис. 25.22) видно, что напряжение и ток на выходе согласованного фильтра нижних частот отстают от напряжения и тока на входе (для того чтобы совместить векторы U 2 и I 2 с векторами U1 и I1 , необходимо поворачивать их против часовой стрелки – в область положительных углов). Основы теории цепей. Конспект лекций -257- ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ Влияние сопротивления нагрузки на ФНЧ. Поскольку в действительных условиях работы сопротивление нагрузки является практически не зависящим от частоты активным сопротивлением RH, то в диапазоне частот фильтр работает на несогласованную нагрузку и к режиму согласования можно только в известной степени приблизиться. Для оценки влияния сопротивления нагрузки на частотные характеристики фильтра рассмотрим схему фильтра нижних частот (рис. 25.23), нагруженного на активное сопротивление RH. Ri Е L I С 2 U1 С 2 U2 RН Рис. 25.23 Передаточная функция этой схемы K= где Y ′ = U 2 IZ ′ U1 ⋅ Z ′ 1 = = = , U1 U1 ( jωL + Z ′ )U1 1 + jωLY ′ 1 1 ωC . = +j Z ′ RH 2 Модуль коэффициента передачи K = 1 2 2 ⎛ 2 C⎞ 2 L ⎜1 − ω L ⎟ + ω 2 2⎠ RH ⎝ где ρ = 1 = 2 , ⎛ ω ⎞ ωρ ⎜⎜1 − 2 2 ⎟⎟ + 4 2 2 ωгр ⎠ ωгр RH ⎝ 2 2 2 L . C Основы теории цепей. Конспект лекций -258- ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ Влияние сопротивления нагрузки на ФНЧ |К| RН = ∞ b 2ρ π ZН = ZП ρ 1,0 1,0 0,5 RН = ∞ ZН = ZП π 2 0,5ρ 0 ФЧХ ω ωгр 0 RН = 2ρ 1,0 0,5 а ω ωгр б 8 |К| 6,4 RН = 10 кОм 4,8 3,2 1,6 RН = 2 кОм f0 10 2 20 30 f, кГц b, град 240 RН = 10 кОм 180 120 RН = 2 кОм 60 10 2 20 30 f, кГц в Рис. 25.24 По этой формуле можно рассчитать частотную характеристику при любом сопротивлении нагрузки фильтра RH (рис. 25.24, а). При холостом ходе (RH = ∞) 1 . K XX = ω2 1− 2 2 ωгр На частоте ω = ωгр коэффициент передачи становится бесконечно 2 большим, что объясняется резонансом в последовательном колебательном контуре L, С/2, резонансная частота которого Основы теории цепей. Конспект лекций -259- ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ Влияние сопротивления нагрузки на ФНЧ ω0 посл = 1 L C 2 = 1 ωгр . 2 В реальных условиях колебательный контур имеет потери и напряжение на реактивных элементах на резонансной частоте в Q раз больше, чем на входе (Q – добротность). Добротность нагруженного контура с учетом внутреннего сопротивления генератора QЭ = ρ ρ2 Ri + RП + RH , где Ri – внутреннее сопротивление генератора; RП – сопротивление потерь контура. Выше было показано, что в полосе пропускания a ( ω) = 0, и U1 = eg , U2 следовательно, K = U2 U1 = e− a , т. е. на границах полосы пропускания модуль коэффициента передачи равен единице. Из графика (рис. 25.24, а) видно, что действительно для частот ω = 0 и ω = ωгр |КХХ| = 1. Фазочастотная характеристика (рис. 25.24, б) при несогласованной нагрузке может рассматриваться как фазочастотная характеристика последовательного контура L, С/2, нагруженного на произвольное сопротивление. При частоте ω = ω0посл все кривые проходят через точку b = π/2, поскольку на резонансной частоте ток в контуре совпадает по фазе с входным напряжением, а напряжение на емкости (выходное напряжение фильтра) отстает от тока на π/2. Угол наклона кривых в окрестности резонансной частоты определяется добротностью контура: чем выше добротность Q, тем больше крутизна кривых. На рис. 25.24, в приведены АЧХ и ФЧХ П-образного ФНЧ с параметрами L = 20 мГн, RL = 30 Ом, C = 15 нФ, питающегося от источника ЭДС Основы теории цепей. Конспект лекций -260- ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ Влияние сопротивления нагрузки на ФНЧ с внутренним сопротивлением Ri = 30 Ом при различных сопротивлениях нагрузки. Пример 1. Для схемы П-образного ФНЧ (рис. 25.25), согласованного с нагрузкой, рассчитать токи во всех ветвях и напряжения на элементах при заданном входном напряжении. Построить векторные диаграммы рассчитанных токов и напряжений. L = 25 мГн, C = 10 мкФ, U1 = 150e j 60° B, ω = 2500 рад/с. I1 IL I2 L UL С U1 С U2 I С1 I С 2 ZН = ZП Рис. 25.25 Решение. Для П-образного фильтра нижних частот Z1 = jωL = j 2500 ⋅ 25 ⋅ 10−3 = j 62,5 Ом, 2Z 2 = 1 1 = − j 20 Ом. , Z2 = − j j ωC 2 ⋅ 2500 ⋅ 10−5 Z1 < 4 Z 2 , следовательно, фильтр работает в полосе пропускания и за- тухание а = 0. Характеристическое сопротивление ZC 2 = Z П = Z1Z 2 = 75 Ом . Z1 1+ 4Z 2 Коэффициент фазы b ( ω) = 2arcsin Z1 4Z 2 = Основы теории цепей. Конспект лекций 62,5 ≈ 124° . 80 -261- ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ Влияние сопротивления нагрузки на ФНЧ Рассчитаем граничную частоту фильтра ωгр = где C ′ = 2C 2 ωгр = 2 ⋅ 25 ⋅ 10−3 ⋅ 10−5 2 , LC ′ = 2820 рад/с . (Заданная по условию частота находится в полосе пропускания фильтра.) Выходное напряжение U 2 = U1e− g = U1e− jb = 150e j 60° ⋅ e − j124° = 150e − j 64° = 65,8 − j135 В. Напряжение на индуктивности U L = U1 − U 2 = 75 + j130 − ( 65,8 − j135 ) = 9, 2 + j 265 В. Токи в ветвях: U1 150e j 60° I1 = = = 2e j 60° = 1 + j1,73 A, 75 ZП U1 150e j 60° = = 3,75e j150° = −3,25 + j1,88 A, I C1 = 2 Z 2 2 ⋅ ( − j 20 ) I2 = U 2 150e − j 64° = = I1e − g = 2e − j 64° = 0,87 − j1,8 A, 75 ZП U 2 150e − j 64° = = 3,75e j 26° = 3,37 + j1,64 A, IC 2 = 2 Z 2 2 ⋅ ( − j 20 ) IL = UL = I1 − I C1 = 1 + j1,73 − ( −3, 25 + j1,88 ) = 4,25 − j 0,15 A. Z1 Векторная диаграмма токов и напряжений, построенная по результатам расчетов, приведена на рис. 25.26. Основы теории цепей. Конспект лекций -262- ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ Влияние сопротивления нагрузки на ФНЧ UL Im U1 I С1 I1 IС 2 I L Re 0 I2 U2 Рис. 25.26 Пример 2. Изменим в предыдущем примере частоту так, чтобы получить полосу подавления, например ω = 4000 рад/с. Z1 = jωL = j 4000 ⋅ 25 ⋅ 10−3 = j100 Oм, Тогда 2Z 2 = 1 1 = − j12,5 Oм. , Z2 = − j j ωC 2 ⋅ 4000 ⋅ 10−5 Z1 > 4 Z 2 , значит, фильтр работает в полосе подавления b = 180° и ха- рактеристическое сопротивление ZП = Z1Z 2 = − j 35 Ом. Z1 1+ 4Z 2 Затухание a = 2Arch Z1 4Z 2 = 100 ≈ 1,76 . 4 ⋅ 12,5 Выходное напряжение U 2 = U1e − g = U1e− a e − jb = 150e j 60° ⋅ e −1,76e − j180° = 25,7e − j120° В. Напряжение на индуктивности U L = U1 − U 2 = 150e j 60° − 25,7e − j120° = 175,7e j 60° В . Основы теории цепей. Конспект лекций -263- ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ Влияние сопротивления нагрузки на ФНЧ Токи в ветвях: I1 = U1 150e j 60° = = 4, 24e j150°A, − j 35 ZП U1 150e j 60° I C1 = = = 6e j150°A, 2 Z 2 2 ⋅ ( − j12,5 ) U 2 25,7e − j120° I2 = = = I1e − g = 0,73e − j 30°A, ZП − j 35 IC 2 = U2 25,7e − j120° = = 1,03e − j 30°A, 2 Z 2 2 ⋅ ( − j12,5 ) UL 175,7e j 60° IL = = 1,757e − j 30°A. = I1 − I C1 = Z1 j100 UL Im U1 I С1 I1 IС 2 U2 I2 IL Re Рис. 25.27 Векторная диаграмма токов и напряжений в полосе подавления приведена на рис. 25.27. Контрольные вопросы 1. Какие цепи называются электрическими фильтрами? 2. Что такое полоса пропускания (прозрачности)? 3. Что такое полоса задерживания (подавления)? 4. По каким признакам классифицируются электрические фильтры? 5. Какие основные задачи решаются в теории фильтров? 6. Как выглядят амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики фильтров нижних частот? Основы теории цепей. Конспект лекций -264- ЛЕКЦИЯ 26. ФИЛЬТРЫ ВЕРХНИХ ЧАСТОТ Определение граничной частоты. Частотные характеристики ФВЧ. Определение граничной частоты. Фильтром верхних частот (ФВЧ) называют четырехполюсник, у которого затухание в диапазоне от ω = 0 до граничной частоты ωгр велико, а в диапазоне от ωгр до ω = ∞ мало. Определим полосу пропускания фильтров верхних частот (рис. 26.1). 2С С 2С 2С 2L L 2L 2L Рис. 26.1 Поскольку Z1 = откуда ωгр = 1 2 LC 1 , Z 2 = jωL, то j ωC Z1 1 = −1 при = 1, 4Z 2 4ωгрСωгр L и Z1 = 0 при ω = ∞ , т. е. полоса пропускания 1 до ∞. 2 LC На рис. 26.2 представлено графическое определение граничных частот ФВЧ лежит от ωгр = ФВЧ. jХ Х2 0 ωгр ω Х1 –4Х2 Рис. 26.2 Основы теории цепей. Конспект лекций -265- ЛЕКЦИЯ 26. ФИЛЬТРЫ ВЕРХНИХ ЧАСТОТ Определение граничной частоты Амплитудно-частотная a(ω) и фазочастотная характеристики b(ω) в полосе пропускания определяются: ω X1 a ( ω) = 0, b ( ω) = −2arcsin = −2arcsin гр ; 4X2 ω в полосе задерживания a ( ω) = 2 Arch ω Z1 = 2Arch гр , b ( ω) = −π . 4Z 2 ω Фазочастотная характеристика фильтров верхних частот отрицательна, т. е. напряжение и ток на выходе ФВЧ опережают напряжение и ток на входе. На рис. 26.4 приведены векторные диаграммы напряжений и токов в ветвях Т-образного фильтра верхних частот (рис. 26.3), из которых следует, что для совмещения векторов выходного напряжения и тока с входными, их следует повернуть по часовой стрелке (в область отрицательных углов). UL Im UС 2 U2 I1 U1 2С 2С IL L U С1 I2 UС 2 UL U 2 b<0 I2 U1 I1 0 ZH = ZП Re IL U С1 Рис. 26.3 Рис. 26.4 а b 1,0 0 π − 2 0 1,0 ω ωгр ω ωгр –π Рис. 26.5 Основы теории цепей. Конспект лекций -266- ЛЕКЦИЯ 26. ФИЛЬТРЫ ВЕРХНИХ ЧАСТОТ Определение граничной частоты Графики АЧХ и ФЧХ при согласованной нагрузке во всем диапазоне частот имеют вид, показанный на рис. 26.5. Частотные характеристики ФВЧ. Так же как и в фильтрах нижних частот, в ФВЧ наилучшие частотные характеристики достигаются в режиме согласованной нагрузки, т. е. 2 ⎛ ωгр ⎞ 1− ⎜ ⎟ , ⎝ ω ⎠ ⎛ Z ⎞ ZT = Z1Z 2 ⎜1 + 1 ⎟ = k ⎝ 4Z 2 ⎠ ZП = Z1Z 2 k . = 2 Z1 ⎛ω ⎞ 1+ 1 − ⎜ гр ⎟ 4Z 2 ⎝ ω ⎠ Зависимость характеристических сопротивлений Z T и Z П от частоты представлена на рис. 26.6. Таким образом, при достаточно высоких частотах в полосе пропускания Z T и Z П имеют активный характер и могут быть приближенно приняты равными k = Z1Z 2 = ZT L . C ZП Емкостное Активное Индуктивное k k Активное 0 1,0 ω ωгр 1,0 0 ω ωгр Рис. 26.6 |K(f)| Основы теории цепей. Конспект лекций -267- ЛЕКЦИЯ 26. ФИЛЬТРЫ ВЕРХНИХ ЧАСТОТ Частотные характеристики ФВЧ 7,5 6,0 4,5 RН = 5ρ 3,0 RН = 3ρ 1,5 0 RН = ρ 10 3 30 f, кГц 30 f, кГц b, град 50 0 RН = 5ρ –50 –100 RН = ρ RН = 3ρ –150 –200 3 10 Рис. 26.7 Как и в фильтрах нижних частот, в ФВЧ частотные характеристики определяются величиной сопротивления нагрузки. На рис. 26.7 приведены АЧХ и ФЧХ П-образного фильтра верхних частот при различных сопротивлениях нагрузки. Контрольные вопросы 1. Какова полоса пропускания фильтров верхних частот? 2. Чем определяются амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики фильтров верхних частот? 3. Какой знак имеет фазочастотная характеристика фильтров верхних частот? Основы теории цепей. Конспект лекций -268- ЛЕКЦИЯ 27. ПОЛОСОВЫЕ ФИЛЬТРЫ Эквивалентные схемы полосовых фильтров. Частотные характеристики полосовых фильтров. Заграждающие фильтры. Эквивалентные схемы полосовых фильтров. Для повышения избирательности вместо колебательных контуров используются полосовые фильтры, представляющие собой два связанных контура, сопротивление связи между которыми резко изменяется с частотой, что приводит к значительному улучшению частотных характеристик. Полосовые фильтры (рис. 27.1) имеют в продольной ветви резонанс напряжений на частоте ω0, а в поперечной – резонанс токов; причем резонансные частоты последовательного и параллельного контуров одинаковы. L1 2 L1 2 2С1 2L2 С2 2 L1 2 2С1 2С1 С2 L2 а С1 L1 2L2 2L2 С2 2 С2 2 б в Рис. 27.1 Z1 = 0 Z1 = 0 L1Э 2 L1Э 2 L2Э С2Э Z2 = ∞ а 2С1Э 2С1Э б в Рис. 27.2 Рассмотрим работу полосового (например, Т-образного) фильтра при холостом ходе. На частоте ω0 оба последовательных контура являются коротким замыканием, а параллельный контур имеет бесконечно большое сопротивление (рис. 27.2, а). Напряжение на выходе фильтра равно входному напряжению, т. е. a = 0 (|КХХ| = 1). На частотах ω > ω0 последовательные контуры имеют индук- Основы теории цепей. Конспект лекций -269- ЛЕКЦИЯ 27. ПОЛОСОВЫЕ ФИЛЬТРЫ Эквивалентные схемы полосовых фильтров тивное сопротивление, а параллельный – емкостное сопротивление (рис. 27.2, б). Следовательно, эквивалентная схема полосового фильтра представляет собой фильтр нижних частот, имеющий полосу пропускания от ω = 0 до некоторой граничной частоты ω = ωB. На частотах ниже резонансной частоты ω < ω0 последовательные контуры имеют емкостное сопротивление, а параллельный – индуктивное. Из эквивалентной схемы (рис. 27.2, в) видно, что она является фильтром верхних частот, в полосе пропускания которого от ωH до ω = ∞, а = 0. Из соотношений для граничных частот и сопротивлений ⎛ ω ω0 ⎞ ⎛ 1 ⎞ Z1 = j ⎜ ωL1 − − ⎟, ⎟ = jρ1 ⎜ C ω ω 1⎠ ⎝ ⎝ 0 ω⎠ Z2 = L2 C2 ⎛ 1 ⎞ j ⎜ ωL2 − ⎟ ωC2 ⎠ ⎝ = ρ2 . ⎛ ω ω0 ⎞ j⎜ − ⎟ ω ⎝ 0 ω⎠ L1 L2 , ρ2 = , получим граничные частоты (частоты среза) полоC1 C2 где ρ1 = сового фильтра ωB, H = ω0 ( q + 1 ± q ) , 1 1 L C = , q = 2 = 1 , причем ω0 = ωH ωB , т. е. резонансL1 C2 L1C1 L2C2 ная частота каждого контура равна среднему геометрическому частот среза ωH и ωB. На рис. 27.3 показано графическое определение граничных частот полосового фильтра. где ω0 = Частотные характеристики полосовых фильтров. Амплитудно-частотная характеристика a(ω) и фазочастотная характеристики b(ω) в полосе пропускания фильтра, нагруженного на согласованное сопротивление a ( ω) = 0, b ( ω) = 2arcsin Z1 1 ⎛ ω ω0 ⎞ = 2arcsin ⎜ − ⎟; 4Z 2 2q ⎝ ω0 ω ⎠ в полосе подавления b ( ω) = ±π, a ( ω) = 2Arch Z1 1 ⎛ ω ω0 ⎞ = 2Arch ⎜ − ⎟. 4Z 2 2q ⎝ ω0 ω ⎠ Основы теории цепей. Конспект лекций -270- ЛЕКЦИЯ 27. ПОЛОСОВЫЕ ФИЛЬТРЫ Частотные характеристики полосовых фильтров Графики АЧХ и ФЧХ показаны на рис. 27.4. jХ –4Х2 0 ωн –4Х2 ω0 Х1 ω ωв а 0 ωн ω ωв ω0 Рис. 27.3 а b ФЧХ АЧХ π ωн 0 ω0 ωн 0 ωв ω ω0 ωв ω –π ФНЧэ ФВЧэ а б Рис. 27.4 Основы теории цепей. Конспект лекций -271- ЛЕКЦИЯ 27. ПОЛОСОВЫЕ ФИЛЬТРЫ Частотные характеристики полосовых фильтров Передаточная функция полосового фильтра в режиме холостого хода K XX = U2 U1 Z2 = Z2 + Z1 2 = 1 1 = . 2 Z1 ⎛ ⎞ 1 ω ω0 1+ 2 Z 2 1 + 2q ⎜ ω − ω ⎟ ⎝ 0 ⎠ Очевидно, что модуль коэффициента передачи равен единице при частотах ω = ω0, ω = ωH и ω = ω. На частотах ω = ω1 возможен «всплеск» коэффициента передачи (рис. 27.5), вызванный последовательным резонансом контура 2C1э, L2э, а на частоте ω = ω11 наблюдается второй «всплеск» кривой K XX ( ω) , соответствующий последовательному резонансу контура L1э/2 C2э. |KХХ| ZН = ∞ ZН = ZТ 1 0 ωн ωI ω ω0 ωII ωв Рис. 27.5 Для того чтобы достичь равномерности коэффициента передачи в полосе пропускания, необходимо нагружать фильтр на сопротивление, равное характеристическому сопротивлению. Для Т-образного фильтра ⎛ Z ⎞ L1 Z T = Z1Z 2 ⎜1 + 1 ⎟ = C2 ⎝ 4Z 2 ⎠ 2 1 ⎛ ω ω0 ⎞ 1− ⎜ − ⎟ . 4q ⎝ ω0 ω ⎠ Зависимость Z T от частоты показана на рис. 27.6, а. Для П-образного фильтра ZП = L1 C2 Z1Z 2 . = 2 Z1 1 ⎛ ω ω0 ⎞ 1+ 1− ⎜ − ⎟ 4Z 2 4q ⎝ ω0 ω ⎠ Основы теории цепей. Конспект лекций -272- ЛЕКЦИЯ 27. ПОЛОСОВЫЕ ФИЛЬТРЫ Частотные характеристики полосовых фильтров Зависимость Z П от частоты показана на рис. 27.6, б. Влияние сопротивления нагрузки на частотные характеристики полосового фильтра можно оценить так же, как и в случае ФНЧ и ФВЧ (рис. 27.7). ZП ZТ Индуктивное Емкостное L1 C2 Активное 0 Емкостное Индуктивное ωН ω0 а ωВ ω Активное L1 C2 ωН 0 ω0 ωВ ω б Рис. 27.6 |K(f)| 2,5 RН = 4500 Ом 2,0 1,5 1,0 0,5 RН = 1500 Ом 10 1 100 f, кГц b(f), град 240 RН = 4500 Ом 120 0 RН = 1500 Ом –120 –240 10 1 100 f, кГц Рис. 27.7 Основы теории цепей. Конспект лекций -273- ЛЕКЦИЯ 27. ПОЛОСОВЫЕ ФИЛЬТРЫ Заграждающие фильтры. Заграждающие фильтры (рис. 27.8) можно получить, поменяв в полосовых фильтрах местами последовательный и параллельный контуры. L1 2 2C1 L1 2 L1 2 2L2 С2 2 L2 2C1 C2 2C1 L1 2L2 С2 2 2L2 С2 2 C1 Рис. 27.8 При частоте ω = ω0 продольная ветвь окажется разомкнутой, а поперечная – замкнутой накоротко (рис. 27.9, а), т. е. затухание фильтра бесконечно велико. На частотах ω > ω0 последовательная ветвь становится емкостным сопротивлением, а параллельная – индуктивным, т. е. схема обращается в фильтр верхних частот (рис. 27.9, б), пропускающий частоты выше граничной частоты ωB. Наконец, при частотах, меньших ω0, последовательная ветвь приобретает характер индуктивного сопротивления, а параллельная – емкостного сопротивления. В этом случае цепь выполняет роль фильтра нижних частот (рис. 27.9, в), пропускающего без ослабления частоты ниже граничной. Z1 = ∞ Z1 = ∞ 2С1Э Z2 = 0 а 2С1Э L1Э 2 L1Э 2 C2Э L2Э б в Рис. 27.9 Основы теории цепей. Конспект лекций -274- ЛЕКЦИЯ 27. ПОЛОСОВЫЕ ФИЛЬТРЫ Заграждающие фильтры Определив граничные частоты заграждающего фильтра (рис. 27.10) для Z1 = L1 C1 ⎛ 1 ⎞ j ⎜ ωL1 − ⎟ ωC1 ⎠ ⎝ = ⎛ ω ω0 ⎞ ⎛ 1 ⎞ и Z 2 = j ⎜ ωL2 − − ⎟, ⎟ = jρ2 ⎜ C ω ω 2 ⎠ ⎝ ⎝ 0 ω⎠ ρ1 ⎛ ω ω0 ⎞ j⎜ − ⎟ ω ⎝ 0 ω⎠ получим ωB, H = где q = ω0 ⎛ 1 1 ⎞ + 16 ± ⎜⎜ ⎟, 4 ⎝ q q ⎟⎠ L2 C1 = . L1 C2 jХ –4Х2 Х1 0 ωВ ωН ω0 ω Х1 Рис. 27.10 Уравнения частотных характеристик в полосе пропускания a ( ω) = 0, b ( ω) = 2arcsin Z1 = 2arcsin 4Z 2 1 , ⎛ ω ω0 ⎞ 2q ⎜ − ⎟ ⎝ ω0 ω ⎠ Z1 = 2Arch 4Z 2 1 . ⎛ ω ω0 ⎞ 2q ⎜ − ⎟ ω ⎝ 0 ω⎠ в полосе подавления b ( ω) = ±π, a ( ω) = 2Arch Графики АЧХ и ФЧХ показаны на рис. 27.11. Основы теории цепей. Конспект лекций -275- ЛЕКЦИЯ 27. ПОЛОСОВЫЕ ФИЛЬТРЫ Заграждающие фильтры b a π АЧХ ФЧХ 0 ωН ω ω –π ωВ ω0 ωВ ω0 ωН 0 Рис. 27.11 Характеристические сопротивления Т- и П-образных заграждающих фильтров определяются по формулам: ⎛ Z ⎞ L1 ZT = Z1Z 2 ⎜1 + 1 ⎟ = C2 ⎝ 4Z 2 ⎠ Z1Z 2 = Z1 1+ 1− 4Z 2 ZП = 1− 1 ⎛ ω ω0 ⎞ 4q ⎜ − ⎟ ω ⎝ 0 ω⎠ L1 C2 2 , . 1 ⎛ ω ω0 ⎞ − 4q ⎜ ⎟ ⎝ ω0 ω ⎠ 2 Частотные зависимости Z T и Z П приведены на рис. 27.12. ZП ZТ Емкостное Емкостное Индуктивное Активное Индуктивное L1 C2 L1 C2 Активное Активное Активное 0 ωН ω0 ωВ ω 0 а ωН ω0 ωВ ω б Рис. 27.12 Основы теории цепей. Конспект лекций -276- ЛЕКЦИЯ 27. ПОЛОСОВЫЕ ФИЛЬТРЫ Заграждающие фильтры |K(f)| 3,0 2,4 RН = 4500 Ом 1,8 1,2 RН = 1500 Ом 0,6 100 f, кГц 10 1 b(f), град 200 100 RН = 1500 Ом RН = 4500 Ом 0 –100 –200 1 10 100 f, кГц Рис. 27.13 Поскольку заграждающий фильтр может быть представлен либо ФНЧ при ω < ω0, либо ФВЧ при ω > ω0, то влияние сопротивления нагрузки на коэффициент передачи по напряжению аналогично влиянию сопротивления нагрузки на соответствующий фильтр (рис. 27.13). Контрольные вопросы 1. Что представляют собой полосовые фильтры? 2. Чем определяются граничные частоты (частоты среза) полосового фильтра? 3. Какое влияние оказывает сопротивление нагрузки на частотные характеристики полосового фильтра? 4. Что представляют собой заграждающие фильтры? 5. Чем определяется полоса подавления заграждающего фильтра? Основы теории цепей. Конспект лекций -277- ЛЕКЦИЯ 28. ФИЛЬТРЫ ТИПА M Фильтры нижних частот типа m. Фильтры верхних частот типа m. Полосовые и заграждающие фильтры типа m. Рассмотренные выше фильтры типа k имеют характеристические сопротивления, в сильной степени зависящие от частоты, что приводит к отсутствию согласования с нагрузкой в значительной части полосы пропускания и, следовательно, к ухудшению формы частотных характеристик. Кроме того, избирательность k-фильтров на границах полосы пропускания недостаточно велика, вследствие чего полосы пропускания и подавления разделяются недостаточно резко. Устранение указанных недостатков фильтров типа k в значительной мере удается в фильтрах типа m за счет лучшего согласования их с нагрузкой. Фильтры типа m используются для увеличения избирательности в области частот, примыкающей к граничной частоте, а также для улучшения формы частотных характеристик в полосе пропускания за счет меньшей зависимости характеристического сопротивления от частоты. Для построения фильтров типа m используется Г-образное звено (рис. 28.1, a) фильтра типа k, у которого изменяются величины Z1 и Z2 так, что, с одной стороны, характеристическое сопротивление остается тем же, что и у k-звена, а с другой – приобретает новые свойства. Если у вновь полученного звена (рис. 28.1, б) неизменным осталось характеристическое сопротивление с Т-стороны, то при Z1m = mZ1 , где 0 < m < 1, из ZT = ZTm имеем ⎛ ⎛ Z ⎞ Z ⎞ Z1Z 2 ⎜1 + 1 ⎟ = Z1m Z 2 m ⎜1 + 1m ⎟ ; ⎝ 4Z 2 ⎠ ⎝ 4Z 2m ⎠ ⎛ ⎛ Z ⎞ Z ⎞ Z1Z 2 ⎜1 + 1 ⎟ = Z1m Z 2 m ⎜1 + 1m ⎟ = ⎝ 4Z 2 ⎠ ⎝ 4Z 2m ⎠ ⎛ mZ1 ⎞ m 2 Z12 , = mZ1Z 2 m ⎜1 + ⎟ = mZ1Z 2 m + 4 4 Z 2m ⎠ ⎝ откуда Z 2m Z 2 1 − m2 = + Z1 , m 4m Основы теории цепей. Конспект лекций -278- ЛЕКЦИЯ 28. ФИЛЬТРЫ ТИПА M т. е. Z2m состоит из двух последовательно соединенных сопротивлений. Поэтому рассматриваемое звено типа m (рис. 28.1, в) называется последовательно-производным. Из таких звеньев могут быть составлены Т- и П-образные фильтры типа m. ZП ZТ = ZТm 2Z2 mZ1 2 Z1m 2 Z1 2 а 2Z2m 2Z 2 m 1 − m2 Z1 2m ZПm б в Рис. 28.1 Если же в k-звене-прототипе не изменяется характеристическое сопроZ тивление с П-стороны, то при Z 2 m = 2 , где 0 < m < 1 , m Z П = Z Пm , из Z1Z 2 Z1m Z 2 m = , получим Z1 Z1m 1 + 1 + 4Z 2 4Z 2m Z2 Z1Z 2 m ; Z Z + mZ1Z1m = Z1m Z 2 + Z1m Z1 , = 1 2 Z1 Z1m m m 4 4m 1+ 1+ 4Z 2 4Z 2 Z1m откуда 1 1 1 − m2 1 = + , 4m Z 2 Z1m mZ1 т. е. Z1m представляет собой два параллельно соединенных сопротивления (рис. 28.2, а) и получается параллельно-производное звено. Из таких звеньев могут быть составлены симметричные Т- и П-образные фильтры (рис. 28.2, б, в). Основы теории цепей. Конспект лекций -279- ЛЕКЦИЯ 28. ФИЛЬТРЫ ТИПА M mZ1 2 ZТm 2m 1− m 2 mZ1 2 2m Z2 1− m ZПm 2Z 2 m 2 Z2 а mZ1 2 mZ1 2m Z2 1 − m m 2 4m 2Z 2 m Z2 1 − m2 б Z2 2Z 2 m в Рис. 28.2 Подставив значения Z1m и Z2m в соответствующие формулы характеристических сопротивлений, получим для последовательно-производного звена типа m Z Пm = Z1m Z 2 m Z 1 + 1m 4Z 2m ⎛Z 1 − m2 ⎞ mZ1 ⎜ 2 + Z1 ⎟ m 4m ⎠ ⎡ Z1 ⎤ ⎝ = = Z П ⎢1 + 1 − m 2 ⎥ mZ1 4Z 2 ⎦ ⎣ 1+ ⎛ Z2 1 − m2 ⎞ + Z1 4⎜ ⎟ m 4m ⎠ ⎝ ( ) и для параллельно-производного звена ⎛ Z ⎞ ZT ZTm = Z1m Z 2 m ⎜1 + 1m ⎟ = . ⎝ 4 Z 2 m ⎠ ⎡1 + 1 − m 2 Z1 ⎤ ⎢ 4 Z 2 ⎥⎦ ⎣ ( ) Очевидно, что k Z = Tm = Z Пm k Z1Z 2 1 + Z1 4Z 2 ⎡ Z1 ⎤ Z1Z 2 ⎢1 + 1 − m 2 4Z 2 ⎥⎦ ⎣ ( ) 1+ = Z1 4Z 2 ⎡ 2 ⎢1 + 1 − m ⎣ ( ) ⎛ Z1 = F⎜ Z1 ⎤ ⎝ 4Z 2 4 Z 2 ⎥⎦ ⎞ ⎟. ⎠ На рис. 28.3 изображена зависимость полученной функции от частоты, так как для ФНЧ Z1 ω , = 4 Z 2 ωгр Основы теории цепей. Конспект лекций -280- ЛЕКЦИЯ 28. ФИЛЬТРЫ ТИПА M для ФВЧ ω Z1 = гр . 4Z 2 ω k Z Пm , Z Тm k m = 0,4 m = 0,3 1,5 m = 0,6 1,0 0,5 0 m = 0,75 m=1 0,5 Z1 4Z 2 1,0 (ω = ωгр) ω – для ФНЧ ωгр ωгр ω – для ФВЧ Рис. 28.3 Таким образом, правильный выбор величины m обеспечивает намного меньшую зависимость характеристического сопротивления от частоты. Особенно малы изменения ZПm и ZTm при m = 0,6, поэтому такие фильтры чаще всего используются на практике. Границы полосы пропускания фильтров типа k и полученных из них фильтров типа m совпадают. Действительно, m2 Z1 4Z 2 Z1m = . 4 Z 2 m 1 + 1 − m 2 Z1 4Z 2 ( Отсюда видим, что ) Z1m Z1m Z Z = 0 , когда 1 = 0 , и = −1 , когда 1 = −1 . 4Z 2m 4Z 2 4Z 2m 4Z 2 Эти условия соответствуют граничным частотам фильтров типа m. Амплитудно-частотная характеристика в полосе пропускания a(ω) = 0, в полосе задерживания Основы теории цепей. Конспект лекций -281- ЛЕКЦИЯ 28. ФИЛЬТРЫ ТИПА M a ( ω) = 2Arch ( ) 4ZZ m2 Z1 4Z 2 Z1m . = 2Arch Z1 4Z 2m 2 1+ 1− m 4Z 2 ( ) Z1m , следовательно, и затухание обращаются Z 4 2 2m в бесконечность. Это явление объясняется тем, что в последовательнопроизводном звене (рис. 28.1, в) в параллельной ветви на некоторой частоте ω∞ наступает резонанс напряжений, при котором ее сопротивление равно нулю, а затухание фильтра бесконечно. В параллельно-производном звене (рис. 28.2) на частоте ω∞ возможен резонанс токов в последовательной ветви, при котором ее сопротивление бесконечно и затухание фильтра также бесконечно. Z При 1 → ∞ , когда затухание фильтра типа k стремится к бесконечно4Z 2 сти, затухание фильтра типа m имеет конечную величину, так как Z1m m2 → . Амплитудно-частотные характеристики фильтров типа m 4Z 2m 1 − m2 представлены на рис. 28.4. Таким образом, чем меньше m, тем ближе частота бесконечного затухания к граничной частоте фильтра и тем круче кривая затухания a(ω). При 1 + 1 − m 2 1 =0 а, неп 6 m = 0,6 m = 0,75 m = 0,3 4 m=1 2 0 1,0 (ω = ωгр) 1,5 2,0 Z1 4Z 2 ω – для ФНЧ ωгр ωгр ω – для ФВЧ Рис. 28.4 Основы теории цепей. Конспект лекций -282- ЛЕКЦИЯ 28. ФИЛЬТРЫ ТИПА M Фильтры нижних частот типа m. Фильтры нижних частот типа m имеют однотипные реактивные элементы как в продольной, так и в поперечной ветвях (рис. 28.5, б, в) – последовательно-производное звено ФНЧ; рис. 28.6 – параллельно-производное звено ФНЧ). L 2 ZП ZТ = ZТm С 2 а mL 2 mL 1 − m2 L 2m ZПm mС 2 1 − m2 L 2m 1 − m2 L 2m mС 2 mС 2 б в Рис. 28.5 mL 2 L 2 ZП = ZПm mС 2 С 2 ZТ а 1 − m2 С 2m б ZТm mL 2 mL 2 1 − m2 С 2m 1 − m2 С mС 2m в Рис. 28.6 Наличие дополнительных по сравнению с фильтрами типа k (рис. 28.5, а) элементов приводит к тому, что на некоторой частоте коэффициент передачи оказывается равным нулю. Например, в поперечной ветви схемы (рис. 28.6, б, в), при резонансе напряжений сопротивление равно нулю, а затухание идеального фильтра бесконечно большое. Аналогично для фильтра (рис. 28.6) на частоте резонанса токов в продольной ветви сопротивление фильтра бесконечно большое, коэффициент передачи равен нулю, а затухание – бесконечности. Частоты бесконечного затухания представляют собой резонансные частоты последовательного (рис. 28.5, б, в) и параллельного (рис. 28.6) контуров: Основы теории цепей. Конспект лекций -283- ЛЕКЦИЯ 28. ФИЛЬТРЫ ТИПА M Фильтры нижних частот типа m ω∞ = ω0посл = 1 (1 − m ) L mC 2 2m 2 = LC 1 − m 2 ωгр = 1 − m2 , 2 ω∞ = ω0парал = 1 (1 − m ) C mL 2 2m = ωгр 1 − m2 . 2 При m = 1 фильтр типа m вырождается в фильтр типа k (рис. 28.5, а). Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики ФНЧ типа m приведены на рис. 28.7. а b π 0 ωгр ω∞ ω а 0 ω∞ ωгр ω б Рис. 28.7 В отличие от фильтров типа k у фильтров нижних частот типа m ФЧХ на частотах выше частоты бесконечного затухания равна нулю (рис. 28.7, б), т. е. фазовый сдвиг между напряжениями и токами на входе и выходе отсутствует. Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим векторные диаграммы ФНЧ в полосе подавления на частотах ω > ω∞. Последовательный колебательный контур на частотах выше резонансной частоты имеет индуктивный характер входного сопротивления, значит, последовательно-производное звено эквивалентно индуктивному делителю напряжений (рис. 28.8, а). Параллельный колебательный контур, стоящий в продольной ветви параллельно-производного звена, на частотах ω > ω0 эквивалентен емкости, следовательно, ФНЧ типа m могут быть представлены схемой замещения (рис. 28.8, б). Ток в индуктивной цепи отстает от напряжения на входе на π/2 (рис. 28.8, в), напряжение же на выходной индуктивности опережает ток также на π/2, значит на векторной диаграмме напряжения на входе и выходе совпадают по фазе. В емкостной ветви (рис. 28.8, б) ток опережает напряжение на Основы теории цепей. Конспект лекций -284- ЛЕКЦИЯ 28. ФИЛЬТРЫ ТИПА M Фильтры нижних частот типа m входе на π/2 (рис. 28.8, г), выходное же напряжение отстает от тока также на π/2, следовательно, напряжения на входе и выходе совпадают по фазе. Следует отметить, что повышение избирательности фильтров типа m на границе полосы пропускания, по сравнению с фильтрами типа k, обязательно сопровождается уменьшением затухания далеко в полосе подавления. Действительно, из зависимости модуля коэффициента передачи по напряжению от частоты при различных сопротивлениях нагрузки (рис. 28.9, а) видно, что на частотах ω > ω∞ у фильтров типа k коэффициент передачи меньше, чем у фильтров типа m. На рис. 28.9, в приведены АЧХ и ФЧХ последовательно-производного ФНЧ типа m, полученного из П-образного фильтра нижних частот типа k с параметрами L = 20 мГн, RL = 30 Ом, C = 15 нФ, m = 0,6 питающегося от источника ЭДС с внутренним сопротивлением Ri = 30 Ом. Таким образом, фильтры типа m, как и фильтры типа k, обладают характерными недостатками. Дальнейшего улучшения частотных характеристик можно достичь, построив фильтр по сложной схеме, представляющей собой сочетание звеньев k и m. Возможно каскадное согласованное соединение звеньев k и m, поскольку у них хотя бы с одной стороны характеристические сопротивления одинаковы. На рис. 28.10 в качестве примера изображена схема симметричного фильтра, составленного из двух последовательно-производных Г-звеньев типа m и одного звена типа k. На рис. 28.11 представлена схема фильтра, составленного из двух параллельно-производных П-звеньев типа m и одного звена типа k. I I U1 U2 U1 U2 а б Im Im U1 U1 I –90° U2 0 90° 0 Re U2 Re I в г Рис. 28.8 Основы теории цепей. Конспект лекций -285- ЛЕКЦИЯ 28. ФИЛЬТРЫ ТИПА M Фильтры нижних частот типа m К ZН = ∞ b ZН = ZТ, Пm 1 2ρ 0 k ZН = ZТ, П ZН = ∞ π 2 ω ω0 ωгр ω∞ ZН = ZТ, Пm π 0 2ρ ω0 ωгр ω ω∞ а б 5 |K| RН = 4 кОм 4 3 2 1 RН = 1 кОм 10 2 20 30 f, кГц 225 b, град RН = 4 кОм 150 75 RН = 1 кОм 0 –75 2 в 10 20 30 f, кГц Рис. 28.9 mL 2 1 − m2 L 2m ZПm L 2 mL 2 2 ZТm = ZТ mС 2 L 2 C ZТ = ZТm 1 − m L 2m ZПm mС 2 Рис. 28.10 Основы теории цепей. Конспект лекций -286- ЛЕКЦИЯ 28. ФИЛЬТРЫ ТИПА M Фильтры нижних частот типа m mL 1 − m2 С 2m mL L mС 2 mС 2 С С 2 2 1 − m2 С 2m Рис. 28.11 a a = аk + аm аm 0 ωгр ω∞ К 1 аk ω 0 ω ωгр ω∞ а б 1,25 |K| 1 RН = 800 Ом 0,75 m k 0,5 0,25 k+m 10 2 480 30 20 f, кГц b, град 360 k+m 240 120 k m 0 –120 2 10 20 30 f, кГц в Рис. 28.12 Основы теории цепей. Конспект лекций -287- ЛЕКЦИЯ 28. ФИЛЬТРЫ ТИПА M Фильтры нижних частот типа m Результирующее затухание сложных фильтров равно сумме затухания звеньев k и m: а = ak + am , где ak и am затухания звеньев k и m соответственно (рис. 28.12, а). На рис. 28.12, б приведена зависимость коэффициента передачи сложного фильтра от частоты при согласованной нагрузке. На рис. 28.12, в приведены АЧХ и ФЧХ фильтров нижних частот: последовательно-производного ФНЧ типа m, полученного из П-образного фильтра нижних частот типа k с параметрами L= 20 мГн, RL = 30 Ом, C = 15 нФ, m = 0,6, питающегося от источника ЭДС с внутренним сопротивлением Ri = 30 Ом, а также сложного фильтра (рис. 28.10), нагруженных на сопротивление RH = 800 Ом. Фильтры верхних частот типа m. Фильтры верхних частот типа m получаются из Г-образного звена типа k (рис. 28.13, а, г) в виде последовательно-производных (рис. 28.13, б, в) и параллельно-производных (рис. 28.13, д, е) звеньев. 2С m 2С 2L 2m 1 − m2 С m С а 1 − m2 б 2m 2С 2L г 2L m 2m 2L m 2m С 1 − m2 2L m 1− m 2С m 2 в 2m L 1− m 2L m д С 2С m 2 2m L 1 − m2 L m L 2С m е Рис. 28.13 Основы теории цепей. Конспект лекций -288- ЛЕКЦИЯ 28. ФИЛЬТРЫ ТИПА M Фильтры верхних частот типа m a b ω∞ ωгр ω 0 ω ωгр ω∞ 0 –π а б 5 |K| RН = 4 кОм 4 3 2 1 RН = 1 кОм 2 1 50 10 20 30 40 f, кГц 20 30 40 f, кГц b, град RН = 4 кОм 0 –50 RН = 1 кОм –100 –150 –200 2 1 10 в Рис. 28.14 Частотные характеристики фильтров верхних частот типа m, согласованных с нагрузкой, показаны на рис. 28.14, а, б. Основы теории цепей. Конспект лекций -289- ЛЕКЦИЯ 28. ФИЛЬТРЫ ТИПА M Фильтры верхних частот типа m Фазочастотная характеристика ФВЧ в диапазоне от ω = 0 до ω = ω∞ постоянна и равна нулю, как и у фильтров нижних частот в полосе ω > ω∞, что также объясняется одинаковым характером сопротивлений продольной и поперечной ветвей. На рис. 28.14, в показаны АЧХ и ФЧХ П-образного фильтра верхних частот типа m, полученного из П-образного ФВЧ типа k с параметрами L= 20 мГн, RL = 30 Ом, C = 15 нФ, m = 0,6, питающегося от источника ЭДС с внутренним сопротивлением Ri = 30 Ом при разных сопротивлениях нагрузки. а a = аk + аm 2С m 2m 1− m 2 С 2С 2L m 2С 2С m аm 2L m 2m L 1 − m2 аk С 0 ω∞ ω ωгр а б 1,25 |K| 1,00 m 0,75 k 0,5 0,25 k+m 1 2 10 20 30 40 f, кГц 20 30 40 f, кГц b, град 100 0 m –100 k k+m –200 –300 –400 1 2 в 10 Рис. 28.15 Основы теории цепей. Конспект лекций -290- ЛЕКЦИЯ 28. ФИЛЬТРЫ ТИПА M Фильтры верхних частот типа m Затухание ФВЧ на низких частотах оказывается недостаточно большим. Для улучшения частотных характеристик можно использовать комбинированную схему фильтра из k- и m-звеньев (рис. 28.15, а), зависимость затухания от частоты которой показана на рис. 28.15, б. На рис. 28.15, в приведены АЧХ и ФЧХ фильтров верхних частот: последовательно-производного ФВЧ типа m, полученного из П-образного фильтра верхних частот типа k с параметрами L = 20 мГн, RL = 30 Ом, C = 15 нФ, m = 0,6, питающегося от источника ЭДС с внутренним сопротивлением Ri = 30 Ом, а также сложного фильтра (рис. 28.15, а), нагруженных на сопротивление RH = 800 Ом. Полосовые и заграждающие фильтры типа m. Как и в случае фильтров нижних и верхних частот, возможно построение полосовых и заграждающих фильтров типа m в виде последовательнопроизводного и параллельно-производного звеньев Г-, Т- и П-образных схем. На рис. 28.16, а показано Г-образное звено полосового фильтра типа k, из которого построены симметричные параллельно-производное Т-образное (рис. 28.16, б) и последовательно-производное П-образное (рис. 28.16, в) звенья полосового m фильтра. 2m L1 2 L2 2С1 1− m m 2 mL1 2 2С1 С2 2 2L2 а 2С1 m 1 − m2 С2 L 2 2m 2 mС2 2m 1 − m2 L2 mL1 2 1 − m2 L1 2m 2m 1 − m2 С С2 1 − m 2 1 2m 2L2 m б 2L1 С1 2 mС2 2 mС2 2 1 − m2 L1 2m 2m С1 1 − m2 2L2 m в Рис. 28.16 Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики фильтров (рис. 28.16, б, в) показаны на рис. 28.17, а, б. Из приведенных графиков видно, что на границе полосы пропускания крутизна кривых выше, чем у фильтров типа k, за пределами частот бесконечного затухания избирательность полученных фильтров оказывается меньше, чем у фильтров типа k. На рис. 28.17, в показаны амплитудно-частотные характеристики Т-образного полосового фильтра типа k, и полосового m-фильтра (рис. 28.16, б), нагруженных на сопротивление RH = 1,5 кОм. Основы теории цепей. Конспект лекций -291- ЛЕКЦИЯ 28. ФИЛЬТРЫ ТИПА M Полосовые и заграждающие фильтры типа m a b π ω∞1 ωгр1 0 0 ω∞1 ωгр1 ω0 ω ωгр2 ω∞2 ω ω0 ωгр2 ω∞2 –π а б 1,6 |K| 1,2 RН = 1,5 кОм 0,8 m 0,4 0 k 0,3 1 20 30 в 100 f, кГц Рис. 28.17 L1 2 2m mL1 2L2 m 2С1 mС2 2 С2 2L 2 2 1 − m2 L1 2m 2L2 m mС2 2 С1 m 2m 1 − m2 2m 1 − m2 а 1 − m2 С1 1 − m2 L1 2m С1 б L2 2m L2 mL1 1 − m2 2 mL1 2 2С1 2L2 1 − m2 С2 m m 2m 2С1 m 1 − m2 С2 2m mС2 2 в Рис. 28.18 Основы теории цепей. Конспект лекций -292- ЛЕКЦИЯ 28. ФИЛЬТРЫ ТИПА M Полосовые и заграждающие фильтры типа m a b π ωгр1 ω∞1 0 0 ωгр1 ω∞1 ω0 ω∞2 ωгр2 ω ω0 ω∞2 ωгр2 ω –π а б 1,6 |K| RН = 1 кОм 1,2 k 0,8 0,4 0 m 1 10 в 20 30 40 f, кГц Рис. 28.19 Последовательно-производное П-образное звено и параллельнопроизводное Т-образное звено заграждающего фильтра типа m, полученные из Г-образного звена типа k (рис. 28.18, а), показаны на рис. 28.18, б, в. Графики амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик согласованных фильтров показаны на рис. 28.19, а, б. На рис. 28.19, в показаны амплитудно-частотные характеристики П-образного заграждающего фильтра типа k и заграждающего m-фильтра (рис. 28.18, б), нагруженного на сопротивление RH = 1 кОм. Контрольные вопросы 1. За счет чего происходит увеличение избирательности фильтров типа m? 2. Какой выбор величины m обеспечивает намного меньшую зависимость характеристического сопротивления фильтров типа m от частоты? 3. Чем определяется частота бесконечного затухания фильтров типа m? 4. Каковы преимущества и недостатки фильтров типа m по сравнению с фильтрами типа k? Основы теории цепей. Конспект лекций -293- ЛЕКЦИЯ 29. БЕЗЫНДУКЦИОННЫЕ ФИЛЬТРЫ RC-фильтры нижних частот. RC-фильтры верхних частот. Полосовые RC-фильтры. Заграждающие RC-фильтры. Изготовление фильтров, работающих на очень низких частотах, часто затруднено изготовлением катушек индуктивности с высокой добротностью. В этом случае применяют безындукционные фильтры (RC-фильтры), составленные из резисторов и конденсаторов. Наилучшим образом они работают, если сопротивление нагрузки очень велико, т. е. теоретически стремится к бесконечности. RC-фильтры нижних частот. При низких частотах сопротивление емкости велико и напряжение на выходе фильтра нижних частот (рис. 29.1) практически равно входному напряжению. Следовательно, затухание фильтра мало. С увеличением частоты сопротивление емкости уменьшается, напряжение на выходе также уменьшается, а затухание растет. Рассчитаем коэффициент передачи по напряжению, например, Г-образного ФНЧ (рис. 29.1, а). I R 2 R 2 С 2 U1 R 2 U2 R а С 2 С 2 С б в Рис. 29.1 φ К 1 1 2 0 ω ωгр 0 π − 4 π − 2 а ω ωгр б Рис. 29.2 Основы теории цепей. Конспект лекций -294- ЛЕКЦИЯ 29. БЕЗЫНДУКЦИОННЫЕ ФИЛЬТРЫ RC-фильтры нижних частот K= U2 U1 2 , U2 = I ⋅ , I= , R 2 U1 j ωC + 2 j ωC U2 = U1 2 R + 2 j ωC ⋅ 2 U1 = . jωC 1 + jωCR 4 Таким образом, K= где U2 1 = , U1 1 + j Ω 4 ω – граничная частота (часто= Ω – относительная частота; ωгр = RC ωгр та, на которой R 2 ). = 2 ωгрC K = K e jϕ . Уравнения амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик K (Ω) = 1 1+ Ω 2 , ϕ ( Ω ) = − arctg Ω . Графики частотных характеристик, построенные по этим уравнениям, приведены на рис. 29.2. RC-фильтры верхних частот. Если в RC-фильтрах нижних частот поменять местами резистор и конденсатор, то получим RC-фильтры верхних частот (рис. 29.3). Как и в случае фильтра нижних частот, коэффициент передачи по напряжению K= U2 1 , = U1 1 + 1 jΩ Основы теории цепей. Конспект лекций -295- ЛЕКЦИЯ 29. БЕЗЫНДУКЦИОННЫЕ ФИЛЬТРЫ RC-фильтры верхних частот где ωгр = 1 . 4RC I 2С 2С U1 2R R U2 2R С 2С а 2R б в Рис. 29.3 К φ 1 1 2 0 π 2 π 4 0 ω ωгр ω ωгр а б Рис. 29.4 Уравнения частотных характеристик 1 K (Ω) = 1+ 1 Ω2 , ϕ ( Ω ) = arctg 1 . Ω Графики АЧХ и ФЧХ приведены на рис. 29.4. Полосовые RC-фильтры. Полосовой RC-фильтр получается при каскадном соединении двух Г-образных безындукционных ФНЧ и ФВЧ (рис. 29.5). Первое звено не пропускает колебания высоких частот, а второе – колебания низких частот. I1 U1 R I2 m U min С С R U2 n Рис. 29.5 Основы теории цепей. Конспект лекций -296- ЛЕКЦИЯ 29. БЕЗЫНДУКЦИОННЫЕ ФИЛЬТРЫ Полосовые RC-фильтры Найдем коэффициент передачи по напряжению полосового фильтра, как и в случае ФНЧ: U 2 = I 2 R, I 2 = U mn , U mn = I1Z mn , 1 R+ j ωC где I1 = U1 , Z mn R + Z mn ⎞ 1 ⎛ 1 + R ⎟ jωC ⎜⎝ jωC ⎠. = 1 1 + +R j ωC j ω C После несложных преобразований получаем K= = U1 R 1 ⋅ Z mn ⋅ ⋅ = 1 U1 R + Z mn R+ jωC 1 1 ⎞ ⎛ 3 + j ⎜ ωCR − ⎟ ωCR ⎠ ⎝ = 1 1⎞ ⎛ 3+ j⎜Ω − ⎟ Ω⎠ ⎝ , 1 ω ; = Ω – относительная частота. RC ω0 Уравнения частотных характеристик где ω0 = K = 1⎛ 1⎞ , ϕ = − arctg ⎜ Ω − ⎟ . 2 3⎝ Ω⎠ 1⎞ ⎛ 2 3 + ⎜Ω − ⎟ Ω⎠ ⎝ 1 Графики АЧХ и ФЧХ показаны на рис. 29.6. Из приведенных характеристик видно, что избирательность полосового RC-фильтра мала, полоса пропускания чрезвычайно широкая (Δω = 3ω0). Действительно, определив полосу пропускания как полосу частот, на границах которой коэффициент передачи уменьшается до значения в 2 раз меньше максимального, получим 1 ⎛ 1 ⎞ 32 + ⎜ Ωгр − ⎟⎟ ⎜ Ω гр ⎠ ⎝ 2 Основы теории цепей. Конспект лекций = 1 3 2 . -297- ЛЕКЦИЯ 29. БЕЗЫНДУКЦИОННЫЕ ФИЛЬТРЫ Полосовые RC-фильтры К К max = 1 3 К max 2 0 0,3ω0 ω0 φ π 2 π 4 0 0,3ω0 ω0 π ω −4 π − 2 3,3ω0 3,3ω0 а ω б Рис. 29.6 Из приведенного выше соотношения следует 2 ⎛ 1 ⎞ 2 9 + ⎜ Ωгр − ⎟⎟ = 18 и Ωгр − 11Ωгр + 1 = 0, ⎜ Ωгр ⎠ ⎝ откуда Ωгр1 = 0,3 Ωгр2 = 3,3 или ωгр1 = 0,3, ω0 ωгр2 ω0 = 3,3 и ωгр1 = 0,3ω0, ωгр2 = 3,3ω0. Малое значение коэффициента передачи даже на частоте ω0 делает такой фильтр пригодным только в исключительных случаях, когда не требуется высокая избирательность. Заграждающие RC-фильтры. Наиболее распространен заграждающий RC-фильтр (рис. 29.7), называемый двойным Т-образным мостом. Он представляет собой параллельное соединение симметричных RC-фильтров нижних и верхних частот. I2 С С R U1 R I1 2С R 2 U2 Рис. 29.7 Основы теории цепей. Конспект лекций -298- ЛЕКЦИЯ 29. БЕЗЫНДУКЦИОННЫЕ ФИЛЬТРЫ Заграждающие RC-фильтры К φ π 2 1 0 ω0 0 а ω − π 2 ω0 ω б Рис. 29.8 Колебания в схеме проходят на выход с малым ослаблением на низких частотах (через ФНЧ) и на высоких частотах (через ФВЧ). Поскольку фазочастотные характеристики ФНЧ и ФВЧ имеют разные знаки, то соответствующим подбором элементов фильтра можно получить токи на выходе обеих Т-образных схем, равные по величине и противоположные по знаку, вследствие чего суммарный ток в нагрузке будет равен нулю. Следовательно, на этой частоте коэффициент передачи по напряжению будет равен нулю, а затухание будет бесконечно большим (рис. 29.8). RC-фильтры чаще всего используются в активных фильтрах или фильтрах с обратными связями в сочетании с усилителями. В этом случае резко повышается избирательность устройств, а также в полосе пропускания затухание не только отсутствует, но, наоборот, возможно усиление сигнала. Контрольные вопросы 1. На какую нагрузку наилучшим образом работают RC-фильтры? 2. Какой знак имеет фазочастотная характеристика RC-фильтра нижних частот? 3. Чем определяется граничная частота RC-фильтров верхних частот? 4. Чему равен максимальный коэффициент передачи по напряжению полосового фильтра? Основы теории цепей. Конспект лекций -299- ЛЕКЦИЯ 30. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ Типы линий передач. Уравнения однородной линии передачи. Типы линий передач. В современной радиотехнике все более широкое применение находят устройства, геометрические размеры которых соизмеримы или больше длины волны распространяющихся в них электромагнитных колебаний. Например, рассматривая передачу электромагнитной энергии в линиях связи, фидере, волноводе, антенне и т. п., следует учитывать, что магнитные и электрические поля распределены по всей длине этих устройств, и превращение электромагнитной энергии в тепло также происходит по всей длине устройств. Такие цепи характеризуются распределенными по всей длине индуктивностями, емкостями, активными сопротивлениями и называются цепями с распределенными параметрами. Воздействие генератора на такую цепь проявляется в некоторой точке цепи не мгновенно, а с запаздыванием на время, определяемое длиной пути тока между генератором и этой точкой и скоростью распространения колебаний в цепи. Поэтому мгновенное значение тока в реальной цепи с конечными размерами принципиально не может быть везде одинаково. Простейшими цепями с распределенными параметрами являются длинные линии (двухпроводные воздушные линии связи, симметричные и коаксиальные кабельные линии проводных систем связи, полосковые линии передачи и т. п., имеющие длину ℓ ≥ (0,05–0,1)λ, λ – длина волны электромагнитных колебаний). Воздушные (открытые) двухпроводные линии состоят из двух параллельных медных, бронзовых или алюминиевых проводов диаметром 1–6 мм, закрепленных на изолирующих распорках, которые фиксируют взаимное расположение проводов (рис. 30.1, а). Расстояние между проводами меньше четверти длины волны. Достоинством воздушной линии является простота ее устройства. К недостаткам этой линии относятся потери на излучение и индукционные токи в окружающих предметах, влияние внешних электромагнитных полей, неудобства прокладки и крепления. Потери энергии в линии резко возрастают при осадках. Воздушные линии применяются на частотах до 200 МГц. На более высоких частотах воздушные линии не применяются из-за больших потерь, вызываемых антенным эффектом. Изолированная линия отличается от воздушной тем, что ее провода окружены высокочастотным диэлектриком (рис. 30.1, б), защищенным от механических повреждений наружной изоляцией (резиной). Основы теории цепей. Конспект лекций -300- ЛЕКЦИЯ 30. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ Типы линий передач Так как пробивное напряжение диэлектрика больше, чем воздуха, по изолированной линии можно передавать большую мощность, чем по воздушной линии тех же размеров. Изолированная линия более удобна при монтаже. Наружная изоляция Провода Диэлектрик Провода Изолятор а б Рис. 30.1 Диэлектрическая оболочка Диэлектрическая оболочка Металлический экран Оплетка Гибкий диэлектрик Диэлектрик а б Рис. 30.2 Экранированная линия (двухпроводный кабель) отличается от изолированной линии наличием экрана (рис. 30.2, а) – медной гибкой оплетки или свинцовой оболочки. Экран полностью устраняет антенный эффект и влияние внешних электромагнитных полей. Для прокладки экранированной линии не требуются изоляторы. Коаксиальная линия состоит из внешнего и внутреннего проводов, расположенных коаксиально (рис. 30.2, б). Внешний провод представляет собой медную оплетку или медную трубку жесткой конструкции. Провода изолированы один от другого сплошным эластичным диэлектриком или колпачками из высокочастотного диэлектрика. Коаксиальная линия несимметрична, электромагнитное поле, заключенное между проводниками, создается только токами и зарядами внутреннего провода. Токи внешнего провода не создают Основы теории цепей. Конспект лекций -301- ЛЕКЦИЯ 30. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ Типы линий передач внутри него ни магнитного, ни электрического полей. Как и у экранированной линии, у коаксиальной линии отсутствует излучение и влияние внешних полей. Уравнения однородной линии передачи. Линии передачи, геометрическая конфигурация, а также свойства материалов (проводников и диэлектриков), которых остаются неизменными по всей длине, называются однородными, или регулярными. Рассмотрим в качестве примера двухпроводную линию передачи с известным сопротивлением нагрузки на конце (рис. 30.3). Электромагнитные свойства такой линии характеризуются первичными параметрами, т. е. параметрами, отнесенными к единице длины линии: dL L1 = – погонная индуктивность, Гн/м; C1 = dC – погонная емкость, dx dx dR dg – погонное сопротивление, Ом/м; g1 = – погонная проводиФ/м; R1 = dx dx мость, Сим/м. ZГ ZН Е ∆Х Х Рис. 30.3 Строгое решение задачи о зависимости тока в линии от времени и координаты х может быть получено из системы уравнений Максвелла. Однако этот метод имеет существенный недостаток, заключающийся в том, что решение системы уравнений Максвелла удается довести до конца только для ограниченного класса линий передачи с достаточно простой конфигурацией. Если же представить длинную линию в виде отрезков длиной ΔX << λ каждый, то в пределе при ΔX → 0 такие малые элементы линии могут быть описаны методами, принятыми в теории цепей. В этом случае любой малый отрезок линии можно представить в виде эквивалентной схемы (рис. 30.4), состоящей из сосредоточенных малых элементов ΔL = L1·ΔX, ΔC = C1·ΔX, ΔR = R1·ΔX, Δg = g1·ΔX. Основы теории цепей. Конспект лекций -302- ЛЕКЦИЯ 30. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ Уравнения однородной линии передачи R1ΔХ L1ΔХ g1ΔХ С1ΔХ i ( Х + ΔХ ) i(Х ) Z1ΔХ Z1ΔХ Z1ΔХ Y1ΔХ Y1ΔХ U (Х ) U ( Х +ΔХ ) ∆Х Рис. 30.4 Х Рис. 30.5 Вся же линия может быть представлена каскадным соединением элементарных четырехполюсников (рис. 30.5), где Z1 = R1+jωL1 – погонное комплексное сопротивление, Y1 = g1 + jωC1 – погонная комплексная проводи. . . . мость. Обозначив символами U ( X + ΔX ) , U ( X ) , I ( X + ΔX ) , I ( X ) комплексные амплитуды напряжений и токов соответственно на входе и выходе элементарного четырехполюсника для внутреннего контура и узла А на основании второго и первого законов Кирхгофа, получим тождества U ( x + Δx ) − U ( x ) − Z1Δx ⋅ I ( x ) = 0, I ( x + Δx ) − I ( x ) − Y1Δx ⋅ U ( x + Δx ) = 0. С точностью до малых величин второго порядка I ( x + Δx ) − I ( x ) − Y1Δx ⋅ U ( x ) = 0 . Представим последние тождества системой разностных уравнений: ⎧U ( x + Δx ) − U ( x ) = Z1 ⋅ I ( x ) , ⎪⎪ Δx ⎨ ⎪ I ( x + Δx ) − I ( x ) = Y ⋅ U x . ( ) 1 ⎪⎩ Δx Совершая предельный переход при ΔX → 0, получим систему двух дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которые называются телеграфными уравнениями Основы теории цепей. Конспект лекций -303- ЛЕКЦИЯ 30. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ Уравнения однородной линии передачи ⎧ dU ⎪⎪ Δx = Z1 ⋅ I ( x ) , ⎨ ⎪ dI = Y ⋅ U ( x ) . ⎪⎩ Δx 1 Если продифференцировать обе части телеграфных уравнений по х, то последняя система может быть сведена к двум дифференциальным уравнениям второго порядка как относительно напряжения, так и относительно тока: ⎧ d 2U dI ⎪⎪ 2 = Z1 ⋅ = Z1YU 1 , dx Δx ⎨ 2 ⎪ d I = Y ⋅ dU = Z YI , 1 1 ⎪⎩ Δx 2 dx d 2U − Z1YU 1 = 0, Δx 2 d 2I − Z1Y1I = 0. Δx 2 В теории волновых процессов эти уравнения носят название уравнений Гельмгольца, их общее решение записывается следующим образом: ⎧⎪U ( x ) = Ae kx + Be − kx , ⎨ kx − kx ⎪⎩ I ( x ) = Ce + De , где k = Z1Y1 – комплексный коэффициент распространения. Первые слагаемые в выражениях для напряжения и тока определяют комплексные амплитуды падающих волн, а вторые – отраженных волн напряжения и тока. Постоянные интегрирования определяются из начальных условий: При Х = 0 U ( x ) = U H , I ( x ) = I H и ⎧U ( 0 ) = A + B = U H , ⎪ ⎪I (0) = C + D = IH , ⎪⎪ ⎨ dU ( 0 ) = k A − B = Z I , 1 H ⎪ dx ⎪ ⎪ dI ( 0 ) = k C − D = YU 1 H, ⎪⎩ dx ( ( ) ) отсюда Основы теории цепей. Конспект лекций -304- ЛЕКЦИЯ 30. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ Уравнения однородной линии передачи 1 (U H + Z B I H ) , 2 1⎛ U ⎞ C = ⎜ IH + H ⎟, 2⎝ ZB ⎠ 1 (U H − Z B I H ) , 2 1⎛ U ⎞ D = ⎜ IH − H ⎟, 2⎝ ZB ⎠ A= B= Z1 – волновое сопротивление линии. Y1 где Z B = Подставив постоянные интегрирования в уравнения для U ( x ) и I ( x ) , получим ⎧U ( x ) = U H ch kx + Z B I H sh kx , ⎪ ⎨ U ⎪ I ( x ) = I H ch kx + H sh kx . ZB ⎩ ( ) ( ) ( ) ( ) Для линии без потерь R1 = g1 = 0, . k= ( R1 + jωL1 )( g1 + jωC1 ) = jω L1C1 = jβ , где β – фазовая постоянная, показывающая отставание фазы колебаний за время их распространения на единице длины линии. ZB = R1 + jωL1 L = 1 = ρ, g1 + jωC1 C1 ⎧U ( x ) = U H cos ( βx ) + jρI H sin ( βx ) , ⎪ ⎨ UH sin ( βx ) . ⎪ I ( x ) = I H cos ( βx ) + j ρ ⎩ В зависимости от соотношения сопротивления нагрузки и волнового сопротивления линия работает в режиме бегущих, стоячих или смешанных волн. Контрольные вопросы 1. 2. 3. 4. Какие линии передачи называются однородными или регулярными? Что представляют собой первичные параметры линии передачи? Что характеризует комплексный коэффициент распространения? Что такое волновое сопротивление линии? Основы теории цепей. Конспект лекций -305- ЛЕКЦИЯ 31. РЕЖИМ БЕГУЩИХ ВОЛН Распределение напряжений и тока в линии передачи. Вторичные (волновые) параметры однородной линии. Распределение напряжений и тока в линии передачи. Бегущие волны имеют место, когда линия нагружена на сопротивление, равное волновому сопротивлению. Для линии без потерь RH = ρ, U H = ρI H, ⎧⎪U ( x ) = U H cos ( βx ) + jU H sin ( βx ) = U H e jβx , ⎨ jβx ⎪⎩ I ( x ) = I H cos ( βx ) + jI H sin ( βx ) = I H e . При питании линии от генератора гармонической ЭДС j ωt +ψ ) U H = U mH e ( , ⎧⎪U ( x ) = U mH e j( ωt +βx+ψ ) ⎨ j ( ωt +βx +ψ ) , ⎪⎩ I ( x ) = I mH e откуда мгновенные значения напряжения и тока в линии уравнения бегущих волн ⎪⎧u ( x, t ) = U mH cos ( ωt + β x + ψ ) , ⎨ ⎪⎩i ( x, t ) = I mH cos ( ωt + β x + ψ ) . Из последних выражений следует: 1. В каждом сечении линии напряжение и ток изменяются по гармоническому закону во времени, напряжение и ток на любом участке линии совпадают по фазе. 2. В любой момент времени напряжение и ток распределены вдоль линии также по гармоническому закону. Кривые распределения напряжения и тока в линии для двух моментов времени отличаются одна от другой сдвигом вдоль линии на некоторое расстояние ΔX = V(t2 – t1) (рис. 31.1). Основы теории цепей. Конспект лекций -306- ЛЕКЦИЯ 31. РЕЖИМ БЕГУЩИХ ВОЛН Распределение напряжений и тока в линии передачи 3. Колебания в сечении с координатой х имеют опережение по фазе на угол βx относительно колебаний в конце линии (рис. 31.2) и отставание на угол β(ℓ – x) относительно колебаний на входе линии. t2 > t1 U(х, t) I(х, t) U(х, t2) U(х, t1) I(х, t2) I(х, t1) х 0 λ ∆х = V(t2 – t1) Рис. 31.1 t t t U(x, t) T= х х2 t ′′ = βx2 ω х1 t′ = βx1 ω 2π ω 0 Рис. 31.2 При распространении колебаний на расстояние x = λ происходит отста2π вание по фазе на 2π, т. е. βx = βλ = 2π, β= . λ Основы теории цепей. Конспект лекций -307- ЛЕКЦИЯ 31. РЕЖИМ БЕГУЩИХ ВОЛН Распределение напряжений и тока в линии передачи V 2πV , где V – фазовая скорость. С другой сторо= f ω ωλ ω 1 ны, β = ω L1C1 , следовательно, V = , т. е. фазовая скорость = = 2π β L1C1 Длина волны λ = волн в линии передачи является функцией первичных параметров L1 и С1. 4. Амплитуда колебаний напряжения и тока в линии без потерь не зависит от расстояния. 5. Входное сопротивление линии для любого сечения х Z BX = U ( x) = ρ, I ( x) отсюда вытекает физический смысл волнового сопротивления как сопротивления, которое оказывает линия бегущей волне тока. В реальной линии с потерями k= ( R1 + jωL1 )( g1 + jωC1 ) = α + jβ , где α – коэффициент затухания (характеризует изменение амплитуды волн на единице длины линии); β – фазовая постоянная. В общем случае α и β являются функциями частоты. Для получения режима бегущих волн в линии с потерями необходимо иметь Z H = Z B . Тогда ( ) ( ) U ( x ) = U H ⎡ch kx + sh kx ⎤ = U H e kx , ⎣ ⎦ j ωt +βx +ψ ) U ( x ) = U mH eαx e ( , u ( x, t ) = U mH eαx cos ( ωt + βx + ψ ) . Ток в линии ( ) ( ) I ( x ) = I H ⎡ch kx + sh kx ⎤ , ⎣ ⎦ I ( x) = U H kx U mH αx j( ωt +βx +ψ−ϕZ ) e = e e , ZH ZB i ( x, t ) = U mH αx e cos ( ωt + βx + ψ − ϕZ ) . ZB Основы теории цепей. Конспект лекций -308- ЛЕКЦИЯ 31. РЕЖИМ БЕГУЩИХ ВОЛН Распределение напряжений и тока в линии передачи Амплитуды напряжения и тока в начале линии U m 0 = U mН eα , I m 0 = I mН eα , где – длина линии, отсюда α= 1 n U m0 1 I m0 = n . U mH I mH Таким образом, в линии с потерями амплитуды напряжения и тока уменьшаются при увеличении длины линии (рис. 31.3). U mn , I mn U m0 Um U mn I m0 Im I mn Z= − x 0 Рис. 31.3 U, i U i х 0 Δх = ϕz ω Рис. 31.4 Фазы напряжения и тока изменяются вдоль линии по линейному закону. На рис. 31.4 приведены кривые распределения вдоль линии напряжения и тока для фиксированного момента времени. Следует отметить, что ток опережает напряжение на угол ϕz, определяемый реактивной составляющей волнового сопротивления. Основы теории цепей. Конспект лекций -309- ЛЕКЦИЯ 31. РЕЖИМ БЕГУЩИХ ВОЛН Вторичные (волновые) параметры однородной линии. Вторичными (волновыми) параметрами линии являются комплексный коэффициент распространения k и волновое сопротивление Z B . В однородной линии с потерями k 2 = α 2 + 2 jαβ − β2 = R1g1 − ω2 L1C1 + jω ( L1 g1 + C1R1 ) , ⎧⎪α 2 − β2 = R1 g1 − ω2 L1C1 , ⎨ ⎪⎩ 2αβ = ω ( L1 g1 + C1R1 ) . Совместное решение этой системы: α= 1⎡ R1 g1 − ω2 L1C1 + ⎢ 2⎣ (R 2 1 + ω2 L12 g12 + ω2C12 ⎤ , ⎥⎦ )( ) β= 1⎡ 2 ω L1C1 − R1 g1 + 2 ⎢⎣ (R 2 1 + ω2 L12 g12 + ω2C12 ⎤ . ⎥⎦ )( ) В радиотехнике обычно применяются линии с малыми потерями, для которых в рабочем диапазоне частот R1 << ωL1, g1 << ωC1. Тогда ⎛ ⎛ ⎛ R ⎞ g ⎞ R ⎞⎛ g ⎞ jωL1 ⎜1 − j 1 ⎟ jωC1 ⎜1 − j 1 ⎟ = jω L1C1 ⎜1 − j 1 ⎟⎜1 − j 1 ⎟ . ωL1 ⎠ ωC1 ⎠ ωL1 ⎠⎝ ωC1 ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ R g1 Поскольку 1 1 и 1 , то ωL1 ωC1 k= 1− j R1 R ≈1− j 1 , ωL1 2ωL1 1− j g1 g ≈1− j 1 , ωC1 2ωC1 ⎛ x x2 ⎜ 1 − x ≈ 1 − − − … при 2 4 ⎝ x ⎞ 1⎟ . ⎠ ⎛ R g Rg ⎞ k ≈ jω L1C1 ⎜1 − j 1 − j 1 − 21 1 ⎟ . 2ωL1 2ωC1 4ω L1C1 ⎠ ⎝ Основы теории цепей. Конспект лекций -310- ЛЕКЦИЯ 31. РЕЖИМ БЕГУЩИХ ВОЛН Вторичные (волновые) параметры однородной линии С учетом того, что R1g1 много меньше остальных членов в скобках, 4ω2 L1C1 получим k ≈ R1 C1 g1 L1 + + jω L1C1 . 2 L1 2 C1 Таким образом, коэффициент затухания α изменяется в пределах от R C1 g1 L1 α ( 0 ) ≈ R1 g1 до α ( ∞ ) ≈ 1 + (рис. 31.5), фазовая постоянная β 2 L1 2 C1 неограниченно растет при увеличении частоты. Учитывая, что проводимость утечки g1 → 0, R C1 R1 . α= 1 ≈ 2 L1 2ρ Зависимость α и β от частоты при передаче по линии сигналов, спектр которых состоит из колебаний разных частот, вызывает появление амплитудных и фазовых искажений. α, β R1 C1 g1 L1 + 2 L1 2 C1 α β R1g1 ω 0 Рис. 31.5 Волновое сопротивление ZB = R1 + jωL1 = g1 + jωC1 ( )=Z g (1 + jω ) R1 1 + jω RL11 1 Основы теории цепей. Конспект лекций C1 g1 B e jϕ z . -311- ЛЕКЦИЯ 31. РЕЖИМ БЕГУЩИХ ВОЛН Вторичные (волновые) параметры однородной линии R1 , при ω → ∞ Z B = g1 При ω = 0 Z B = L1 . C1 ωL ωC ⎞ R12 + ω2 L12 1⎛ ZB = 4 2 , ϕ z = ⎜ arctg 1 − arctg 1 ⎟ . 2 2 2⎝ R1 g1 ⎠ g1 + ω C1 C L Поскольку в реальной линии 1 > 1 , то реактивная составляющая g1 R1 волнового сопротивления имеет емкостный характер (рис. 31.6). Z B , ϕZ R1 g1 ZB L1 C1 ω 0 ϕZ Рис. 31.6 В связи с тем, что фазовая постоянная в общем случае зависит не только от частоты, но и от потерь в линии, фазовая скорость распространения также является функцией частоты и величины потерь. V= = ω = β ω 1⎡ 2 ω L1C1 − R1 g1 + 2 ⎢⎣ 1 ⋅ L1C1 ( R12 + ω2 L12 )( g12 2 +ω C12 ) ⎤⎥⎦ 1 ⎛ Rg 1⎡ ⎢1 − 2 1 1 + ⎜1 + 2 ⎢ ω L1C1 ⎝ ⎣ R12 ω2 L12 ⎞⎛ ⎟⎜1 + ⎠⎝ g12 ω2C12 ⎞⎤ ⎟⎥ ⎠ ⎥⎦ = . т. е. наличие потерь уменьшает фазовую скорость. Например, V для кабельных линий может оказаться в 2–2,5 раза меньше скорости света. На рис. 31.7 Основы теории цепей. Конспект лекций -312- ЛЕКЦИЯ 31. РЕЖИМ БЕГУЩИХ ВОЛН Вторичные (волновые) параметры однородной линии приведены зависимости фазовой скорости от частоты для различных линий связи. V, м/с f, Гц Рис. 31.7 Кривая 1 – для медных и биметаллических воздушных линий связи, кривая 2 – для стальных воздушных линий, кривая 3 – для телефонных и морских телеграфных кабелей. Зависимость V от f показывает, что колебания разных частот распространяются с различной скоростью; это вызывает фазовые искажения при передаче сигналов в линии. В соответствии с уменьшением фазовой скорости длина волны в линии с потерями всегда меньше длины волны в воздухе (в линии без потерь): λЛ = V = VT < λ . f Контрольные вопросы 1. 2. 3. 4. 5. 6. При каких условиях в линии передачи имеют место бегущие волны? По какому закону изменяются напряжение и ток в линии во времени? Что такое фазовая скорость? Чему равно входное сопротивление линии в режиме бегущих волн? Что такое коэффициент затухания? Что такое фазовая постоянная? Основы теории цепей. Конспект лекций -313- ЛЕКЦИЯ 32. РЕЖИМ СТОЯЧИХ ВОЛН Разомкнутая линия. Короткозамкнутая линия. Линия, нагруженная на реактивное сопротивление. Стоячие волны в линии передачи возникают в трех случаях: а) линия разомкнута на конце; б) линия замкнута накоротко; в) линия нагружена на реактивное сопротивление (L или C). Разомкнутая линия. В режиме холостого хода передачи энергии в нагрузку нет, поскольку в разомкнутой на конце линии нет тока, следовательно, вся энергия отражается от конца линии и возвращается к генератору, устанавливая в линии режим стоячих волн как совокупность падающей и отраженной волн. Уравнения линии без потерь в режиме холостого хода ⎧U ( x ) = U H cos ( βx ) = ⎡U mH cos ( βx ) ⎤ e j( ωt +ψ ) , ⎣ ⎦ ⎪⎪ π⎞ ⎛ ⎨ ⎡U mH ⎤ j⎜⎝ ωt +ψ+ 2 ⎟⎠ UH sin ( βx ) = ⎢ sin ( βx ) ⎥ e . ⎪I ( x ) = j ρ ⎪⎩ ⎣ ρ ⎦ Мгновенные значения напряжения и тока ⎧u ( x, t ) = ⎡⎣U mH cos ( βx ) ⎤⎦ cos ( ωt + ψ ) , ⎪ ⎨ ⎡U mH ⎤ π⎞ ⎛ sin ( βx ) ⎥ cos ⎜ ωt + ψ + ⎟ . ⎪i ( x, t ) = ⎢ 2⎠ ⎝ ⎣ ρ ⎦ ⎩ Из полученных выражений следует: 1. В любом сечении линии напряжение и ток изменяются по гармоническому закону во времени. 2. Распределение напряжения вдоль линии пропорционально cosβx, а тока – sinβx (рис. 32.1). Как видно из графиков, напряжение и ток в отдельных точках при любых t оказываются равными нулю. Положение этих точек, называемых узлами напряжения или тока, определяются из условий cosβx = 0 для напряжения и sinβx = 0 для тока, откуда следует, что координата n-го узла напряжения λ λ при X n 0 = ( 2n + 1) и n-го узла тока при X n 0 = n , где n = 0, 1, 2... 4 2 Основы теории цепей. Конспект лекций -314- ЛЕКЦИЯ 32. РЕЖИМ СТОЯЧИХ ВОЛН Разомкнутая линия Точки, в которых амплитуды напряжения и тока максимальны, называются пучностями напряжения и тока. Положение пучностей напряжения при λ λ cosβx = 1 для напряжения X nm = n и при sinβx = 1 для тока X nm = ( 2n + 1) . 4 2 3. Начальная фаза напряжения и тока в разных сечениях линии одинакова или отличается на угол π, что соответствует изменению знака амплитуды напряжения и тока при переходе через узел (рис. 32.2). Umn i (x, t ) t1 t1 = t6 X 5λ 4 λ 3λ 4 t2 t3 λ 2 λ 4 t4 X t5 5λ 4 λ 3λ 4 λ 2 Т , 8 Т t3 = t1 + , 4 3Т , t4 = t1 + 8 Т t5 = t1 + , 2 3Т . t6 = t1 + 4 t2 = t1 + 0 t5 t6 ψ , ω i (x, t ) U mn ρ t1 t2 t4 λ 4 0 t3 Рис. 32.1 Основы теории цепей. Конспект лекций -315- ЛЕКЦИЯ 32. РЕЖИМ СТОЯЧИХ ВОЛН Разомкнутая линия t t t 3Т 5Т 2 Т 4 U(x, t) X 5λ 4 λ 3λ 4 λ 2 Т Т 2 04 3Т 4 λ 4 Рис. 32.2 4. Входное сопротивление разомкнутой линии Z BX = U ( x ) U H cos βx = = − jρ ctg βx , UH I ( x) sin βx j ρ т. е. входное сопротивление имеет только реактивную составляющую. Активная составляющая равна нулю, отсюда следует, что средняя мощность, отдаваемая генератором в линию, тоже равна нулю. График изменения величины входного сопротивления от длины линии приведен на рис. 32.3. Знак XBX меняется через четверть длины волны, в нечетных четвертях XBX имеет емкостный характер, а в четных – индуктивный. В точках λ λ X BX = n X = ( 2n + 1) сопротивление равно нулю, подобно сопротивле2 4 нию последовательного колебательного контура без потерь. В точках λ X = n XBX принимает бесконечное значение, подобно сопротивлению иде2 ального параллельного контура. В разомкнутой линии с потерями ( ) U ( x ) = U H ch kx , I ( x ) = Основы теории цепей. Конспект лекций UH sh kx ZB ( ) -316- ЛЕКЦИЯ 32. РЕЖИМ СТОЯЧИХ ВОЛН Разомкнутая линия Эти выражения неудобны для расчета и построения кривых распределения напряжения и тока, поскольку в них содержатся гиперболические функции комплексного аргумента. XВХ X λ 3λ 4 λ 2 λ 4 0 Рис. 32.3 Для практических расчетов модулей напряжения и тока можно использовать формулы, которые несложно получить, если подставить выражения для гиперболических косинуса и синуса суммы α + jβ в формулы для напряжения и тока: U ( x ) = U H ch ( α + jβ ) x = U H [ ch αx cos βx + j sh αx sin βx ] , I ( x) = UH U sh ( α + jβ ) x = H [sh αx cos βx + j ch αx sin β x ]. ZB ZB С учетом ch 2αx = ch 2 αx + sh 2 αx, cos 2βx = cos 2 βx − sin 2 βx, ch 2 αx − sh 2 αx = 1 получим Основы теории цепей. Конспект лекций -317- ЛЕКЦИЯ 32. РЕЖИМ СТОЯЧИХ ВОЛН Разомкнутая линия U ( x) = U H I ( x) = UH ρ 1 ( ch 2αx + cos 2βx ) , 2 1 ( ch 2αx − cos 2βx ). 2 На рис. 32.4 приведено примерное распределение амплитуд напряжения и тока. Из рис. 32.4 видно, что при удалении от конца линии разница между максимальными и минимальными значениями амплитуд напряжения и тока постепенно уменьшается. |I(х)| |U(х)| |UН| X 0 X 0 Рис. 32.4 С физической точки зрения это объясняется тем, что в линии с потерями амплитуды падающей и отраженной волн непрерывно изменяются с расстоянием. На больших расстояниях от конца линии отраженная волна становится значительно меньше падающей волны, поэтому распределение напряжения и тока постепенно приближается к распределению, соответствующему режиму бегущих волн. На небольших расстояниях от конца линии падающая и отраженная волны имеют почти равные амплитуды, и режим в этой части линии близок к режиму стоячих волн. В линии с потерями входное сопротивление Z BX = U ( x) U ch kx = H = Z B cth kx = RBX + jX BX . UH I ( x) sh kx ZB Основы теории цепей. Конспект лекций -318- ЛЕКЦИЯ 32. РЕЖИМ СТОЯЧИХ ВОЛН Разомкнутая линия RВХ X 3λ 4 λ λ 2 λ 4 0 а ХВХ X λ 3λ 4 λ 2 λ 4 0 б Рис. 32.5 Подставив значения chkx и shkx в формулу для входного сопротивления и разделив вещественную и мнимую части, для линии с малыми потерями получим RBX = ρ th αx , th αx cos 2 β x + sin 2 β x 2 1 ⎛ 1 ⎞ sin 2β x . X BX = ρ ⎜1 − 2 ⎟ 2 ⎝ th αx ⎠ cos 2 β x + 1 sin 2 βx th 2 αx Основы теории цепей. Конспект лекций -319- ЛЕКЦИЯ 32. РЕЖИМ СТОЯЧИХ ВОЛН Разомкнутая линия Графики изменения активной и реактивной составляющих входного сопротивления от длины линии показаны на рис. 32.5. Короткозамкнутая линия. В линии в режиме короткого замыкания Z H = 0 и U H = 0 , поэтому уравнения линии имеют вид ⎪⎧U ( x ) = jρI H sin βx, ⎨ ⎪⎩ I ( x ) = I H cos β x. Мгновенные значения напряжения и тока ⎧ π⎞ ⎛ ⎪u ( x, t ) = [ρI mH sin βx ] cos ⎜ ωt + ψ + ⎟ , 2⎠ ⎝ ⎨ ⎪i ( x, t ) = [ I cos βx ] cos ( ωt + ψ ) . mH ⎩ Полученные выражения показывают, что, как и в разомкнутой линии, имеют место стоячие волны. Однако имеются следующие отличия: 1. Распределение напряжения вдоль линии пропорционально sinβx, а тока – cosβx, следовательно, положение пучностей и узлов напряжения и тока сместилось относительно конца на четверть длины волны в сторону генератора. 2. Фазовые соотношения между напряжением и током изменились на π в связи с тем, что от короткозамкнутого конца линии волна напряжения отражается с изменением фазы на π, а волна тока – без изменения фазы. 3. Входное сопротивление Z BX = U ( x ) jρI H sin β x = = jρ tg β x = jX BX , I ( x) I H cos β x т. е. наличие стоячих волн и присущего им сдвига по фазе между напряжением и током на π/2 определило реактивный характер входного сопротивления. На рис. 32.6 показана зависимость входного сопротивления от длины линии. В линии, длина которой равна нечетному числу λ/4, на входе получаются пучность напряжения и узел тока, и поэтому входное сопротивление стремится к бесконечности. При длине линии, равной четному числу λ/4, на входе ее, как и на конце, наблюдаются пучность тока и узел напряжения, поэтому входное сопротивление равно нулю. Основы теории цепей. Конспект лекций -320- ЛЕКЦИЯ 32. РЕЖИМ СТОЯЧИХ ВОЛН Короткозамкнутая линия Примером практического использования короткозамкнутых отрезков служит металлический изолятор, который применяется как в открытых двухпроводных, так и в коаксиальных линиях (рис. 32.7). Возникающие в четвертьволновом отрезке стоячие волны имеют в точках 1–1 пучность напряжения и узел тока, а это равнозначно очень большому сопротивлению между ними. В итоге энергия из основной линии почти не ответвляется в короткозамкнутый отрезок, т. е. отрезок служит очень прочной механической опорой для главной линии. ХВХ X λ 3λ 4 λ 2 λ 4 0 Рис. 32.6 1 1 λ 4 λ 4 Рис. 32.7 В короткозамкнутой линии с потерями ( ) ( ) U ( x ) = Z B I H ch kx , I ( x ) = I H sh kx . Отсюда распределение амплитуд напряжения и тока: Основы теории цепей. Конспект лекций -321- ЛЕКЦИЯ 32. РЕЖИМ СТОЯЧИХ ВОЛН Короткозамкнутая линия 1 ( ch 2αx − cos 2βx ) , 2 U ( x) = ρ I H 1 ( ch 2αx + cos 2βx ). 2 I ( x) = I H Графики распределения амплитуд напряжения и тока приведены на рис. 32.8. Входное сопротивление линии с потерями Z BX = Z B I H sh kx = Z B th kx = RBX + jX BX . I H ch kx |U(х)| |I(х)| |IН| Х 0 Х 0 Рис. 32.8 RВХ Х λ 3λ 4 λ 2 λ 4 0 Рис. 32.9 Основы теории цепей. Конспект лекций -322- ЛЕКЦИЯ 32. РЕЖИМ СТОЯЧИХ ВОЛН Короткозамкнутая линия ХВХ Х λ 3λ 4 λ 2 0 λ 4 Рис. 32.10 Активная и реактивная составляющие входного сопротивления линии с малыми потерями RBX = ρ 1 th αx 1 cos 2 β x + sin 2 β x 2 th αx , 1 1 sin 2β x X BX = ρ ⋅ 2 ⋅ . 2 ch αx cos 2 β x + th 2 αx sin 2 β x Графики изменения реактивной и активной составляющих входного сопротивления от длины линии приведены на рис. 32.9, рис. 32.10. Линия, нагруженная на реактивное сопротивление. В данном случае сопротивление нагрузки Z H = jX H , а напряжение в конце линии U H = I H ⋅ jX H . Уравнения линии ⎧ ⎛ ⎞ ρ sin β x ⎟ , ⎪ U ( x ) = U H ⎜ cos β x + XH ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ ⎪ I x = j U H ⎛ sin β x − ρ cos β x ⎞ . ⎜ ⎟ ⎪ ( ) ρ ⎝ XH ⎠ ⎩ Основы теории цепей. Конспект лекций -323- ЛЕКЦИЯ 32. РЕЖИМ СТОЯЧИХ ВОЛН Линия, нагруженная на реактивное сопротивление X H2 + ρ2 и полагая XH Введя множитель получим . XH X H2 + ρ2 X H2 + ρ2 ⎛ ⎜ cos β x ⋅ cos b + ⎜ XH ⎝ . U ( x) = U H = cos b , U I ( x) = j H ρ X H2 + ρ2 sin ( β x − b ) , XH . = sin b , ⎞ sin β x ⎟ , ⎟ X H2 + ρ2 ⎠ U ( x) = U H . X H2 + ρ2 ρ X H2 + ρ2 cos ( β x − b ) , XH . ρ ρ . XH Мгновенные значения напряжения и тока в линии где b = arctg ⎡ ⎤ X Н2 + ρ2 ⎢ u ( x, t ) = U mn cos ( βx − b ) ⎥ cos ( ωt + ψ ) , X ⎢⎣ ⎥⎦ Н ⎡U ⎤ X Н2 + ρ2 π⎞ ⎛ mn sin ( β x − b ) ⎥ cos ⎜ ωt + ψ + ⎟ . i ( x, t ) = ⎢ 2⎠ XН ⎝ ⎢⎣ ρ ⎥⎦ Из последних выражений следует: 1) линия, замкнутая на реактивное сопротивление, работает в режиме стоячих волн; 2) амплитудные значения напряжения и тока в X H2 + ρ2 раз больше, XH чем в разомкнутой линии; 3) узлы напряжения находятся в точках, где сos(βx – b) = 0, т. е. π λ bλ βx − b = ( 2n + 1) , X 0 n = ( 2n + 1) + ; 2 4 2π 4) узлы тока определяются из условия sin(βx – b) = 0, т. е. λ bλ X 0i = n + . 2 2π ⎛ 1 ⎞ Если линия нагружена на емкостное сопротивление ⎜ X H = − ⎟ , то ω C ⎝ H ⎠ ρ ⎛ π ⎞ < 0 ⎜ − < b < 0⎟ b = arctg XH ⎝ 2 ⎠ Основы теории цепей. Конспект лекций -324- ЛЕКЦИЯ 32. РЕЖИМ СТОЯЧИХ ВОЛН Линия, нагруженная на реактивное сопротивление λ 3 λ… вправо к на; 4 4 грузке (рис. 32.11). Очевидно, СН может быть заменена отрезком разомкнуλ той линии ′ < . Для расчета ′ имеем 4 1 − jρ ctg β ′ = − j , ω CH и узлы напряжения смещаются относительно точек откуда ⎛ 1 ⎞ 1 ′ = arcctg ⎜ ⎟. ρω C β ⎝ H ⎠ Если линия нагружена на индуктивное сопротивление (XН = ωLН > 0), то узлы напряжения будут располагаться слева от точек λ 3 λ X 0n = ; λ…( 2n + 1) (рис. 32.12). 4 4 4 |U|, |I| |U| |I| Х λ 3λ 4 λ 2 λ 4 0 СН ′ ′ ХВХ Х 0 λ 3λ 4 λ 2 λ 4 Х ВХ = Х Н = −1 ωСН Рис. 32.11 Основы теории цепей. Конспект лекций -325- ЛЕКЦИЯ 32. РЕЖИМ СТОЯЧИХ ВОЛН Линия, нагруженная на реактивное сопротивление |U|, |I| |I| |U| Х λ 3λ 4 λ 2 λ 4 0 ′ LН ′ ХВХ Х ВХ = Х Н = ωLН Х λ 3λ λ 4 2 λ 4 0 Рис. 32.12 Поскольку входное сопротивление короткозамкнутой линии длиной λ имеет индуктивный характер, всегда можно подобрать такой добавоч4 ный отрезок ′ , входное сопротивление которого было бы равно XН = ωLН. Для расчета ′ имеем jρ tg β ′ = jωLH , откуда ⎛ ωL ⎞ λ ′= arctg ⎜ H ⎟ . 2π ⎝ ρ ⎠ < Основы теории цепей. Конспект лекций -326- ЛЕКЦИЯ 32. РЕЖИМ СТОЯЧИХ ВОЛН Контрольные вопросы 1. В каких случаях возникают стоячие волны в линии передачи? 2. В каких точках линии возникают узлы и пучности напряжения в разомкнутой линии? 3. Какой характер имеет входное сопротивление линии в режиме стоячих волн? 4. Каковы фазовые соотношения между напряжением и током в линии в режиме короткого замыкания? 5. Чему равно входное сопротивление короткозамкнутой линии, длина которой равна нечетному числу λ/4? Основы теории цепей. Конспект лекций -327- ЛЕКЦИЯ 33. РЕЖИМ СМЕШАННЫХ ВОЛН Линия без искажений. Коэффициент полезного действия линии передачи. В линии без потерь, нагруженной на активное сопротивление, не равное волновому сопротивлению RH ≠ ρ, или на комплексное сопротивление, устанавливается режим смешанных волн. Отсутствие согласования приводит к появлению отраженной волны, амплитуда которой меньше амплитуды падающей волны благодаря потреблению мощности сопротивлением нагрузки RH. Для линии без потерь, нагруженной на RH ≠ ρ, U H = RH ⋅ I H , ⎛ ⎞ ρ U ( x ) = U H ⎜ cos βx + j sin βx ⎟ , RH ⎝ ⎠ I ( x) = ⎞ UH ⎛ R cos βx + j H sin βx ⎟ . ⎜ RH ⎝ ρ ⎠ Для амплитуд напряжения и тока имеем U ( x ) = U mH 2 ⎛ ρ ⎞ cos βx + ⎜ sin βx ⎟ , ⎝ RH ⎠ 2 2 ⎛R ⎞ U I ( x ) = mH cos 2 β x + ⎜ H sin β x ⎟ . RH ⎝ ρ ⎠ Характер распределения амплитуд напряжения и тока вдоль линии определяется соотношением между сопротивлением нагрузки и волновым сопротивлением линии. На рис. 33.1 приведены графики распределения напряжения и тока в линии при RH > ρ. λ Максимумы напряжения и тока чередуются через расстояния . Оче2 видно, минимальные значения тока и напряжения могут быть представлены бегущей волной тока и напряжения, а максимальные – как сумма бегущей и стоячей волн: U U U ρ ⋅ ρ = K БВ ⋅ ρ, RBX min = min = min ⋅ max = I max U max I max K CB U max = U mН , U min = Основы теории цепей. Конспект лекций U mНρ . RН -328- ЛЕКЦИЯ 33. РЕЖИМ СМЕШАННЫХ ВОЛН |U(x)| |Umax| Ст. в. |Umin| Бег. в. Х λ 3λ 4 λ 2 λ 4 0 |I(x)| |Imax| Ст. в. Бег. в. |Imin| Х λ 3λ 4 λ 2 λ 4 0 Рис. 33.1 По мере увеличения сопротивления нагрузки |Umin| и |Imin| будут уменьшаться, в пределе при RH → ∞ обращаясь в нуль, что означает вырождение смешанных волн в стоячие. При уменьшении RH (RH → ρ) стоячие волны уменьшаются и режим смешанных волн стремится к режиму бегущих волн. Для оценки степени близости режима смешанных волн к режиму бегущих волн вводится коэффициент бегущей волны (КБВ) K БВ = U min I ρ = min = < 1. U max I max RH Величина, обратная КБВ, получила название коэффициента стоячей волны (КСВ) K СВ = U I 1 = max = max > 1 . K БВ U min I min Степень согласования линии с нагрузкой оценивают также коэффициентом отражения. Различают коэффициент отражения по напряжению как отношение напряжения отраженной волны к напряжению падающей волны Основы теории цепей. Конспект лекций -329- ЛЕКЦИЯ 33. РЕЖИМ СМЕШАННЫХ ВОЛН ГU = U ОТР U ПАД и коэффициент отражения по току Гi = I ОТР . I ПАД Выше было показано, что U ( x ) = A e kx + B e − kx = U ПАД + U ОТР , I ( x ) = С e kx + В e − kx = I ПАД + I ОТР . Тогда ГU = Гi = B −2 kx U H − Z B I H −2 kx e = e , A U H + ZBIH D −2 kx U − Z B I H −2 kx e =− H e . C U H + ZBIH т. е. ГU = −Гi . При x = 0 Г = ГU = U H − ZBIH ZH − ZB = . U H + ZBIH ZH + ZB Очевидно, коэффициент отражения жестко связан с KБВ и KСВ. Действительно, K БВ = U ПАД − U ОТР 1 − Г U min . = = U max U ПАД + U ОТР 1 + Г Если линия нагружена на сопротивление RН < ρ, то графики распределения напряжения и тока вдоль линии аналогичны предыдущим, однако на конце линии теперь имеет место минимум напряжения и максимум тока. Коэффициент бегущей волны в этом случае K БВ = U min RН 1 = = . U max ρ K СВ Основы теории цепей. Конспект лекций -330- ЛЕКЦИЯ 33. РЕЖИМ СМЕШАННЫХ ВОЛН Входное сопротивление линии, нагруженной на активное сопротивление, Z BX = U ( x ) U H cos βx + jρI H sin βx R cos βx + jρ sin βx = =ρ H . UH I ( x) ρ cos β x + jRH sin βx sin β x I H cos β x + j ρ Разделив вещественную и мнимую части Z BX = RBX + jX BX , получим RBX ρ2 RH = 2 , ρ cos 2 β x + RH2 sin 2 βx X BX = ( ) ρ ρ2 − RH2 sin 2βx 2 2 ρ cos β x + RH2 sin 2 β x . Графики зависимостей RВХ и XВХ от длины линии при RН > ρ приведены на рис. 33.2. RВХ RН =5 ρ 5ρ RН =2 ρ 2ρ Х λ 3λ 4 λ 2 λ 4 0 XВХ 2ρ RН =5 ρ Х λ 3λ 4 λ 2 λ 4 RН =2 ρ 0 –2ρ Рис. 33.2 Основы теории цепей. Конспект лекций -331- ЛЕКЦИЯ 33. РЕЖИМ СМЕШАННЫХ ВОЛН Зависимости RВХ и XВХ от длины линии при RН < ρ аналогичны показанным на рис. 33.2, однако при Х = 0 имеется минимум активной составλ ляющей входного сопротивления и на интервале 0 < x < реактивная со4 ставляющая имеет индуктивный характер. Таким образом, входное сопротивление линии длиной = nλ/4 (n = 1, 2, 3, ...), нагруженной на активное сопротивление, неравное волновому, является активным – большим (эквивалентный параллельный колебательный контур) либо малым (последовательный эквивалентный колебательный контур). В этом случае напряжение на нагрузке имеет либо максимум либо минимум. Входное сопротивление линии длиной ≠ nλ/4 комплексное. Если участок линии справа от сечения ≠ nλ/4 отбросить и вместо него включить новое сопротивление нагрузки, равное входному сопротивлению этого участка, распределение напряжения и тока в оставшейся части линии останется неизменным. На основании этого можно утверждать, что при комплексной нагрузке Z H = RH + jX H в линии устанавливается режим смешанных волн. Однако в отличие от активной нагрузки амплитуды напряжения и тока на конце линии имеют промежуточную величину (рис. 33.3). |U(х)|, |I(х)| |U(х)| |I(х)| |UН| |IН| Х ′ + λ ′ + 3λ ′ + λ 4 2 ′+ ′ 0 RВХ, XВХ λ 4 RВХ ХВХ Х ′+λ ′+ 3λ 4 ′+ λ 2 ′+ λ 4 RН 0 ′ ХН Рис. 33.3 Основы теории цепей. Конспект лекций -332- ЛЕКЦИЯ 33. РЕЖИМ СМЕШАННЫХ ВОЛН Формулы для активной и реактивной составляющих входного сопротивления можно получить, выделив вещественную и мнимую части выражения комплексного входного сопротивления: Z BX = U ( x ) U H cos β x + jρI H sin β x Z cos βx + jρ sin βx = =ρ H , UH I ( x) ρ cos β x + jZ H sin β x I H cos βx + j sin βx ρ отсюда RBX ρ2 RH = 2 , ρ cos 2 βx + ( RH2 + X H2 )sin 2 βx − ρX H sin 2βx X BX = (ρ 2 2 ) − RH2 − X H2 sin βx cos βx + ρX H cos 2βx 2 ρ cos βx + ( RH2 + X H2 )sin 2 βx − ρX H sin 2β x . Наличия этих составляющих следовало ожидать, так как бегущим волнам соответствует входное сопротивление активного характера, а стоячим – реактивного. Во всех резонансных сечениях линии реактивная составляющая входного сопротивления равна нулю, активная составляющая имеет максимум, когда напряжение максимально, а ток минимален, и минимум, когда напряжение в линии минимально, а ток максимален: RBX max = U max U max U min = ⋅ = K CB ⋅ ρ, I min U min I min RBX min = U U min U 1 = min ⋅ max = ⋅ ρ = K БВ ⋅ ρ. I max U max I max K CB Таким образом, входное сопротивление линии, работающей в режиме смешанных волн, имеет в резонансных сечениях чисто активный характер, причем это сопротивление при параллельном резонансе больше волнового, а при последовательном – меньше волнового в KCB раз. Линия без искажений. Вследствие зависимости волновых параметров линии от частоты, каждое из гармонических колебаний, входящих в спектр передаваемого сигнала, распространяется от генератора к приемнику со своим затуханием и фазовой Основы теории цепей. Конспект лекций -333- ЛЕКЦИЯ 33. РЕЖИМ СМЕШАННЫХ ВОЛН Линия без искажений скоростью, что приводит к амплитудным и фазовым искажениям, изменяющим форму сигнала на входе приемника. Очевидно, что для неискаженной передачи сигналов в линии должны соблюдаться следующие условия: 1. Все составляющие частотного спектра должны испытывать одинаковое ослабление, т. е. коэффициент затухания не должен зависеть от частоты. 2. Все составляющие частотного спектра должны распространяться с одинаковой фазовой скоростью, т. е. V не должна зависеть от частоты; так как V = ω/β, то независимость от ω имеет место лишь в том случае, если β прямо пропорционален частоте. Кроме того, к искажениям формы основного сигнала приводит наложение сигналов, отраженных от несогласованной с линией нагрузки и вторично отраженных от несогласованного с линией внутреннего сопротивления генератора, что приводит к трем дополнительным условиям неискаженной передачи. 3. Волновое сопротивление линии должно иметь активный характер. 4. Сопротивление нагрузки линии также должно иметь активный характер. 5. Нагрузка и линия должны быть согласованы. Активным и независящим от частоты волновое сопротивление можно сделать подбором первичных параметров линии. Действительно, R 1+ 1 R1 + jωL1 jωL1 jωL1 = , ZB = g1 + jωC1 jωC1 1 + g1 jωC1 R1 g1 L R1 . ZB = ρ = 1 = = L1 C1 C1 g1 В этом случае комплексный коэффициент распространения при k = ( R1 + jωL1 )( g1 + jωC1 ) = ( g1 + jωC1 ) Z B = g1 = R1 L + jωC1 1 = g1 C1 R1 g1 + jω L1C1 = α + jβ. Таким образом, из последних выражений следует, что при выполнении R g условия 1 = 1 (условие Хевисайда; впервые получено в 1893 г.) затухание L1 C1 α не зависит от частоты, а фазовая постоянная β прямо пропорциональна ω, а это и является необходимым для неискаженной передачи сигналов в линии. Основы теории цепей. Конспект лекций -334- ЛЕКЦИЯ 33. РЕЖИМ СМЕШАННЫХ ВОЛН Линия без искажений Практически для существующих типов воздушных и кабельных линий связи условие Хевисайда не выполняется. Обычно имеет место неравенство L1 C1 < . Следовательно, для получения неискаженной передачи сигналов R1 g1 требуется увеличение L1 или g1 либо уменьшение R1 или C1. Для уменьшения R1 потребовалось бы увеличение диаметра проводов линии, что экономически нецелесообразно. Увеличение g1 привело бы к росту затухания. Для уменьшения C1 потребовалось бы увеличить расстояние между проводами, что не всегда возможно. Наилучшим способом приближения первичных параметров линии к оптимальному соотношению является искусственное увеличение индуктивности линии путем включения в жилы кабеля катушек индуктивности через определенные промежутки, что впервые было предложено в 1900 г. При передаче высокочастотных сигналов вопрос об искажениях не возникает, поскольку в области высоких частот при увеличении ω: а) затухание α стремится к постоянному значению; б) β линейно зависит от частоты; в) волновое сопротивление слабо зависит от частоты, приближаясь к постоянному значению ρ. Иначе говоря, условия неискаженной передачи высокочастотных сигналов в узкой полосе частот выполняются без соблюдения равенства Хевисайда. Для полного отсутствия искажений на высоких частотах достаточно лишь согласовать нагрузку с линией. Коэффициент полезного действия линии передачи. Мощность, передаваемая линией в нагрузку, может быть в любом сечении представлена как разность мощностей переносимых падающей и отраженной волнами. Поэтому коэффициент полезного действия η= PH , P0 где PH – мощность, потребляемая нагрузкой PH = PПАД.H – PОТР.H; P0 – мощность, отдаваемая генератором в линию P0 = PПАД 0 – PОТР 0. η= PПАД.Н − РОТР.Н PПАД 0 − РОТР 0 = 2 2 − U ОТР.Н U ПАД.Н 2 2 U ПАД 0 − U ОТР 0 , 2 2 2 2 ⎛ ⎞ U ПАД U ОТР U ПАД.Н U ОТР.Н 0 0 P = , Р = , P = , Р = ⎜ ПАД.Н ⎟. ОТР.Н ПАД 0 ОТР 0 ⎜ ⎟ Z Z Z Z B B B B ⎠ ⎝ Основы теории цепей. Конспект лекций -335- ЛЕКЦИЯ 33. РЕЖИМ СМЕШАННЫХ ВОЛН Коэффициент полезного действия линии передачи 2 ⎛ U ОТР.H ⎞ 2 1− ⎜ 2 ⎟⎟ 2 ⎜U ⎛ U ПАД.Н ⎞ ⎛ ⎞ U 1 − ГН ПАД.Н ПАД.Н ⎝ ⎠ η=⎜ ⋅ =⎜ , ⎟⎟ ⋅ 2 2 ⎜ U ПАД 0 ⎟⎟ ⎜ U 1 − Г ⎛U ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ПАД 0 ⎠ 0 1 − ⎜ ОТР 0 ⎟ ⎜ U ПАД 0 ⎟ ⎝ ⎠ U U где Г Н = ОТР.H , Г 0 = ОТР 0 – коэффициенты отражения на нагрузке и на U ПАД.Н U ПАД 0 входе линии. С учетом UПАД.H = UПАД 0 е − α и UОТР 0 = UОТР.H е − α , |Г0| = |ГН| е − α , η=е −2 α ⋅ 1 − ГН 2 1 − Г0 2 =е −2 α 1 − ГН 2 2 1 − Г Н е −4 α α = 0, 01 α = 0, 02 = 1 − ГН 2 2 е 2α − Г Н е −2α . α = 0, 03 α = 0, 08 α = 0,12 Рис. 33.4 Таким образом, с ростом коэффициента отражения КПД линии уменьшается. Графики зависимости η = η(|ГН|) приведены на рис. 33.4. Очевидно, что максимум КПД получается в режиме бегущих волн (|ГН| = 0). Подставив в последнюю формулу значение |ГН| = 0, найдем максимальный коэффициент полезного действия: ηmax = е−2α , при α << 1 ηmax ≈ 1 – 2 α . Из рис. 33.4 видно, что при |ГН| = 1 (режим стоячих волн), η = 0, т. е. передачи энергии в нагрузку не происходит. Основы теории цепей. Конспект лекций -336- ЛЕКЦИЯ 33. РЕЖИМ СМЕШАННЫХ ВОЛН Контрольные вопросы 1. При каких условиях возникают смешанные волны в линии передачи? 2. Как определяется коэффициент бегущей волны? 3. Как определяется коэффициент стоячей волны? 4. Что собой представляет коэффициент отражения? 5. Какой характер имеет входное сопротивление линии в режиме смешанных волн? 6. Чем определяется максимальный коэффициент полезного действия линии передачи? Основы теории цепей. Конспект лекций -337- ЛЕКЦИЯ 34. СОГЛАСОВАНИЕ ЛИНИИ С НАГРУЗКОЙ Задачи согласования линии передач с нагрузкой. Согласование с помощью реактивных шлейфов. Задачи согласования линии передач с нагрузкой. Выше было показано, что для получения неискаженной передачи сигналов, а также для достижения максимального коэффициента полезного действия необходимо, чтобы линия работала в режиме бегущих волн. На практике нагрузкой линии может оказаться любое активное или комплексное сопротивление, не удовлетворяющее условию согласования ( Z H ≠ Z B ) . В связи с этим возникает задача обеспечения бегущих волн в линии, нагруженной любым образом. Задача согласования решается с помощью устройств, трансформирующих произвольное комплексное или активное сопротивление Z H в активное, равное волновому ρ. Согласующее устройство, или трансформатор сопротивления, включается как можно ближе к нагрузке, чтобы по всей длине линии была только бегущая волна. Согласование с помощью реактивных шлейфов. Бегущая волна может быть получена в линии слева от сечения 1–1 (рис. 34.1, а) при условии, что проводимость в этом сечении Y11 является чисто активной и равной волновой проводимости YB = 1/ρ. Выполнение этого условия достигается с помощью реактивного шлейфа, предложенного В. В. Татариновым в 1931 г. Х Е (t ) Е (t ) ШЛ Сэкв RВХ = ρ ZН а б Um Е (t ) 1 ρ Lэкв Сэкв 1 Е (t ) ZН 1 1 в г Рис. 34.1 Основы теории цепей. Конспект лекций -338- ЛЕКЦИЯ 34. СОГЛАСОВАНИЕ ЛИНИИ С НАГРУЗКОЙ Задачи согласования линии передач с нагрузкой Реактивный шлейф представляет собой короткозамкнутый или разомкнутый отрезок линии, имеющий чисто реактивное входное сопротивление (при отсутствии потерь). Короткозамыкающая перемычка делается подвижной, что позволяет изменением длины шлейфа менять величину его входной проводимости. Когда линия не согласована, ее входное сопротивление и входная проводимость имеют активные и реактивные составляющие, изменяющиеся в зависимости от длины линии в больших пределах. Подобрав Х таким образом, чтобы в сечении 1–1 активная составляющая входной проводимости стала равной волновой YB = 1/ρ, получим в этом сечении (рис. 34.1, б) некоторую реактивную составляющую (например, емкостного характера). Для согласования линии необходимо скомпенсировать реактивную составляющую входной проводимости в сечении 1–1 с помощью параллельно подключенного короткозамкнутого отрезка линии длиной ШЛ , чтобы его входная проводимость была равна по величине и противоположна по знаку реактивной составляющей входной проводимости Y11 (в нашем случае YШЛ должна иметь индуктивный характер). Эти две равные по величине и противоположные по знаку проводимости на рабочей частоте образуют параллельный колебательный контур (рис. 34.1, в), резонансное сопротивление которого ZK очень велико. Поэтому можно считать, что нагрузкой линии в сечении 1–1 служит активное сопротивление, равное волновому сопротивлению линии, т. е. линия на отрезке от генератора до сечения 1–1 работает в режиме бегущих волн. На участке линии от сечения 1–1 до нагрузки линия работает в режиме смешанных волн. В короткозамкнутом шлейфе устанавливаются стоячие волны, пример распределения амплитуд напряжения в согласованной линии показан на рис. 34.1, г. Физическая сущность согласования состоит в том, что волны, отраженные от нагрузки и короткозамкнутого шлейфа, взаимно компенсируются в сечении 1–1. Для согласования линии с помощью шлейфа необходимо определить расстояние Х от нагрузки до точки подключения шлейфа, а также длину шлейфа ШЛ . Выше было получено выражение для входного сопротивления линии в режиме смешанных волн Z ВХ = ρ при Z H = RH YBX = Z H + jρ tg ( βx ) , ρ + jZ H tg ( βx ) 1 1 ρ + jRH tg ( β x ) . = Z ВХ ρ RH + jρ tg ( βx ) Основы теории цепей. Конспект лекций -339- ЛЕКЦИЯ 34. СОГЛАСОВАНИЕ ЛИНИИ С НАГРУЗКОЙ Задачи согласования линии передач с нагрузкой Разделив вещественную и мнимую части комплексной входной проводимости, получим YBX 2 2 2 1 ρRH + ρRH tg ( βx ) 1 RН tg ( βx ) − ρ tg ( βx ) . = ⋅ +j ⋅ ρ RН2 + ρ2 tg 2 ( βx ) ρ RН2 + ρ2 tg 2 ( βx ) Найдем параметр Х , при котором активная составляющая входной проводимости равна 1/ρ из условия 2 1 1 ρRH + ρRH tg ( β X ) , = ⋅ ρ ρ RН2 + ρ2 tg 2 ( β X ) RН2 + ρ2 tg 2 ( β X ) = ρRH + ρRH tg 2 ( β X ) , ρRH − RН2 RH = tg ( β X ) = 2 , tg ( β ρ ρ − ρRH 2 X = X)= RH , ρ λ R arctg H . ρ 2π Второй параметр ШЛ найдем из условия равенства нулю суммы проводимости шлейфа и реактивной составляющей входной проводимости линии правее сечения 1–1: а) для короткозамкнутого шлейфа Z ВХ ШЛ = jρ tg ( β 1 jρ tg ( β ШЛ ), 2 2 1 RН tg ( β X ) − ρ tg ( β = j ⋅ ρ RН2 + ρ2 tg 2 ( β X ) ШЛ ) − jρ сtg ( β ШЛ )= j ( X ), ) RH 2 RН − ρ2 ρ , RН2 + ρRH откуда ШЛ КЗ = ⎛ ρ − RH λ RH ⎞ arcсtg ⎜ ⋅ ⎟; ρ 2π R H ⎝ ⎠ Основы теории цепей. Конспект лекций -340- ЛЕКЦИЯ 34. СОГЛАСОВАНИЕ ЛИНИИ С НАГРУЗКОЙ Задачи согласования линии передач с нагрузкой б) для разомкнутого шлейфа ШЛ ХХ ⎛ ρ − RH λ RH ⎞ arctg ⎜ ⋅ ⎟. ρ 2π R H ⎝ ⎠ = Часто на практике возможно экспериментальное определение коэффициента бегущей волны U K БВ = min . U max При RH < ρ K БВ = RH , ρ тогда X λ = 1 arсctg K БВ , 2π ШЛ ХХ λ = ШЛ KЗ λ = ⎛ K БВ ⎞ 1 arctg ⎜ , ⎜ 1 − K БВ ⎟⎟ 2π ⎝ ⎠ ⎛ K БВ ⎞ 1 arcctg ⎜ . ⎜ 1 − K БВ ⎟⎟ 2π ⎝ ⎠ На рис. 34.2 приведены графики для определения длины шлейфа и расстояния Х от максимума напряжения до точки его подключения, построенные по последним выражениям. Согласование с помощью одного реактивного шлейфа удобно при применении двухпроводных (открытых) линий, поскольку не возникает затруднений при перестройке такого устройства с переходом на другую рабочую волну. λ ШЛ КЗ λ Х λ ШЛ ХХ λ Кбв Рис. 34.2 Основы теории цепей. Конспект лекций -341- ЛЕКЦИЯ 34. СОГЛАСОВАНИЕ ЛИНИИ С НАГРУЗКОЙ Задачи согласования линии передач с нагрузкой Х Е (t ) ZН ШЛ1 ШЛ2 Нагрузка 2 1 Плунжеры Рис. 34.3 При использовании коаксиальных кабелей не представляет труда сделать регулируемой длину короткозамкнутого шлейфа (с помощью плунжера), однако очень трудно осуществить перемещение шлейфа вдоль кабеля, не нарушая устойчивости его экрана. В подобных случаях для согласования используются два неподвижных реактивных шлейфа (рис. 34.3). Расстояние от нагрузки Х задается по конструктивным соображениям, а расстояние между шлейфами выбирается обычно равным 3/8λ. В процессе согласования регулировкой длины второго шлейфа добиваются, чтобы активная составляющая входной проводимости в сечении 1–1 стала равной 1/ρ. Компенсация же реактивной составляющей проводимости в этом сечении достигается подбором длины первого шлейфа. При заданной нагрузке и выбранных и Х искомыми величинами являются ШЛ1 и ШЛ2 . Входная проводимость в сечении 2–2 без учета второго шлейфа Y22 = 1 1 ρ + j Z H tg ( β = ⋅ Z BX ρ Z H + jρ tg ( β ) = G′ + H X) X jBH′ , с учетом второго шлейфа YΣ 22 = GH′ + j ( BH′ + BШ2 ) . Эта входная проводимость является нагрузкой для сечения 1−1 на расстоянии . Основы теории цепей. Конспект лекций -342- ЛЕКЦИЯ 34. СОГЛАСОВАНИЕ ЛИНИИ С НАГРУЗКОЙ Задачи согласования линии передач с нагрузкой Входная проводимость в сечении 1–1 без учета первого шлейфа 1 tg ( β 1 GH′ + j ( BH′ + BШ2 ) Y11 = ⋅ 1 ρ + jρ tg ( β GH′ + j ( BH′ + BШ 2 ) ρ+ j ) ) ′ + jB11 ′, = G11 с учетом проводимости первого шлейфа ′ + j ( B11 ′ + BШ1 ) = G11 ′ + jBΣ′ 11 . YΣ11 = G11 Условия получения бегущей волны в линии слева от точки подключения первого шлейфа записываются в виде двух равенств: 1 ′ = , BΣ′ 11 = 0 . G11 ρ Решение этой системы уравнений приводит к следующим выражениям для BШ1 и BШ2: ⎡ ⎢ 1 ⎢1 ± BШ1 = ρ tg ( β ) ⎢ ⎢ ⎣ BШ2 1 − GH′ sin 2 β ρ GH′ cos 2 β ⎤ ⎥ ⎥, ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎛1 ⎞⎤ 2 ′ ′ G G − β sin ⎢ H⎜ H ⎟⎥ ρ 1 1 ⎝ ⎠ ⎥ − В′ . ⎢ = ± Н 2 ⎢ ⎥ tg ( β ) ρ cos β ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ Таким образом, согласование двумя шлейфами возможно, если выполняется условие 1 > GH′ sin 2 β , ρ т. е. двойной реактивный шлейф может применяться лишь при изменении сопротивления нагрузки в определенных пределах. Длина шлейфов находится из условий: jBШ1 = 1 jρ tg ( β ШЛ1 ) , jBШ2 = Основы теории цепей. Конспект лекций 1 jρ tg ( β ШЛ2 ) . -343- ЛЕКЦИЯ 34. СОГЛАСОВАНИЕ ЛИНИИ С НАГРУЗКОЙ Задачи согласования линии передач с нагрузкой Е (t ) 1 2 3 1 2 3 ШЛ3 ШЛ2 ШЛ1 ZН Нагрузка 2 1 3 Плунжеры Рис. 34.4 Для согласования линии с любой нагрузкой применяется тройной реактивный шлейф (рис. 34.4). Расстояние между соседними шлейфами берут равным λ/8 или 3λ/8. Процедура согласования с помощью такого устройства заключается в следующем. Длину одного из крайних шлейфов (например, третьего) берут равной λ/4. Тогда этот шлейф превращается в изолятор и не влияет на работу согласующего устройства, состоящего из двух других шлейфов (первого и второго). Если согласования при таком включении шлейфов достигнуть не удается, то в изолятор превращают крайний левый шлейф (первый), а согласование производят регулировкой двух других шлейфов (второго и третьего). Оба варианта обеспечивают согласование линии при любой нагрузке. Контрольные вопросы 1. С какой целью производится согласование линии с нагрузкой? 2. В чем заключается физическая сущность согласования реактивного шлейфа? 3. Какова полоса согласования реактивного шлейфа? 4. В чем заключаются преимущества двойного и тройного реактивных шлейфов по сравнению с одним реактивным шлейфом? Основы теории цепей. Конспект лекций -344- ЛЕКЦИЯ 35. ЧЕТВЕРТЬВОЛНОВЫЙ ТРАНСФОРМАТОР Частотная зависимость входного сопротивления четвертьволнового трансформатора. Частотная компенсация четвертьволнового трансформатора. Ступенчатые четвертьволновые трансформаторы. Четвертьволновый трансформатор представляет собой отрезок коаксиальной, двухпроводной линии или волновода длиной λ/4, который включается в линию передачи последовательно (рис. 35.1). U 0 Х 1 Е (t ) ρ 1 а U RН Е ( t ) ρТ 0 Х λ 4 1 ρ 1 б 2 ρТ 2 ρ ZН λ 4 Рис. 35.1 Выше было показано, что входное сопротивление нагруженной линии Z ВХ = ρT Z H + jρT tg ( βx ) . ρT + jZ H tg ( βx ) λ 2π λ π ρ2 βx = = , Z ВХ = T . 4 λ 4 2 ZH Следовательно, четвертьволновый трансформатор преобразует комплексную нагрузку в новое комплексное сопротивление. Если Z H имеет чисто активный характер ( Z H = RH ) , то для согласова- При x = ния линии Z ВХ должно быть равно волновому сопротивлению ρ. Отсюда волновое сопротивление трансформатора ρT = ρRH . Таким образом, линия левее сечения 1–1 (рис. 35.1, а) работает в режиме бегущих волн. Смешанные волны на четвертьволновом трансформаторе образуются от сложения падающей волны с волной, отраженной от нагрузки. Основы теории цепей. Конспект лекций -345- ЛЕКЦИЯ 35. ЧЕТВЕРТЬВОЛНОВЫЙ ТРАНСФОРМАТОР Отраженная от нагрузки волна не попадает в основную линию, так как она компенсируется на входе трансформатора отраженной от основной линии волной. Для согласования двух линий необходимо иметь трансформатор с волновым сопротивлением ρT = ρ1ρ2 . Например, для коаксиальной линии с диэлектрическим заполнением волновое сопротивление ρ= 60 D n , ε d где ε – диэлектрическая проницаемость; D – диаметр внешнего проводника; d – диаметр внутреннего проводника. Таким образом, увеличивая или уменьшая диаметр внутреннего проводника при неизменном внешнем, можно получить нужное сопротивление согласования (рис. 35.2). n D = dT n D D n . d1 d 2 λ 4 D d1 dт d2 Рис. 35.2 Четвертьволновый трансформатор можно использовать для согласования не только активных, но и комплексных сопротивлений нагрузки. В этом случае трансформатор необходимо включить на таком расстоянии от нагрузки, где входное сопротивление линии чисто активное (рис. 35.1, б). В сечении, в котором имеет место узел напряжения, входное сопротивление активно и равно RBX1 = ρ/KCB. В пучности напряжения сопротивление также активно и равно RBX2 = ρ·KCB. Поэтому волновое сопротивление трансформатора также может иметь два значения: ρT1 = ρ , ρT2 = ρ K CB . K CB Основы теории цепей. Конспект лекций -346- ЛЕКЦИЯ 35. ЧЕТВЕРТЬВОЛНОВЫЙ ТРАНСФОРМАТОР Расстояние от нагрузки, на котором следует включить трансформатор, можно определить из условия равенства нулю мнимой составляющей входного сопротивления: ⎡ Z + jρ tg ( β ) ⎤ Im ⎢ρ H ⎥ = 0, ρ + β jZ tg ( ) H ⎣ ⎦ отсюда tg ( 2β )= 2 xHρ RH2 + xH2 − ρ2 = и λ 2 xHρ arctg 2 . 4π RH + xH2 − ρ2 Частотная зависимость входного сопротивления четвертьволнового трансформатора. При изменении частоты сигнала входное сопротивление трансформатора будет изменяться как в результате изменения сопротивления нагрузки, так и вследствие изменения длины волны сигнала, т. е. в полосе частот произойдет расстройка трансформатора как амплитудная, так и фазовая. Рассмотрим случай согласования двух линий с разными волновыми сопротивлениями. Для средней частоты диапазона ρT = ρ1ρ2 . Входное сопротивление трансформатора на любой частоте Z ВХ = ρT tg ( β T ρ2 + jρT tg ( β ρT + jρ2 tg ( β ), T) T ⎛π ω ⎞ 2π λ 0 ⎞ ⎛ π λ0 ⎞ ⎟= ⎟ = tg ⎜ ⎟ = tg ⎜ ω 2 ⎝ λ 4 ⎠ ⎝ 2λ ⎠ 0 ⎠ ⎝ ) = tg ⎜⎛ ⎡ π ⎛ Δω ⎞ ⎤ ⎡ π π Δω ⎤ = tg ⎢ ⎜ 1 + ⎟ ⎥ = tg ⎢ + ⎥ = − ctg δ, ω ω 2 2 2 0 ⎠⎦ 0 ⎦ ⎣ ⎣ ⎝ π Δω . 2 ω0 С учетом этого выражения получим где δ = Z ВХ = ρT ( ) ( ) ρTρ2 1 + ctg 2 δ − j ρТ2 − ρ22 ctg δ ρТ2 + ρ22 ctg δ Основы теории цепей. Конспект лекций . -347- ЛЕКЦИЯ 35. ЧЕТВЕРТЬВОЛНОВЫЙ ТРАНСФОРМАТОР Частотная зависимость входного сопротивления четвертьволнового трансформатора В области малых расстроек Δω ρ ρ − j (ρТ2 − ρ22 ) tg δ 1, tg δ 1 и Z ВХ ≈ ρT T 2 . ω0 ρ22 Введем понятие о коэффициенте трансформации N= ρ2 , ρ1 тогда с учетом ρT = ρ1ρ2 получим ⎡ Z ВХ ≈ ρ1 ⎢1 + ⎣ 1⎞ ⎤ ⎛ j ⎜ N − ⎟ tg δ ⎥ . N⎠ ⎝ ⎦ Из последнего выражения следует, что при малых расстройках питающего генератора активная составляющая входного сопротивления трансформатора остается, в первом приближении, постоянной, но зато возникает реактивная составляющая, величина и знак которой определяется величиной и знаком расстройки, а также коэффициентом трансформации. Коэффициент отражения в линии у входа трансформатора 1⎞ ⎛ ρ1 j ⎜ N − ⎟ tg δ Z − ρ1 N⎠ ⎝ Г = ВХ = . Z ВХ + ρ1 1⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ρ1 ⎢ 2 + j ⎜ N − ⎟ tg δ ⎥ N⎠ ⎝ ⎣ ⎦ При tgδ << 1 1⎛ 1⎞ Г ≈ j ⎜ N − ⎟ tg δ . 2⎝ N⎠ Коэффициент бегущей волны в линии 1⎛ ⎜N − 1− Г 2⎝ K БВ = = 1⎛ 1+ Г 1+ ⎜ N − 2⎝ 1− 1⎞ ⎟ tg δ N⎠ 1 ≈ 1 − N − ⋅ tg δ . N 1⎞ ⎟ tg δ N⎠ При данном значении расстройки |δ| коэффициент бегущей волны оказывается тем меньше, чем больше коэффициент трансформации N. Ограничиваясь допустимым значением KБВ, можно определить полосу согласования Основы теории цепей. Конспект лекций -348- ЛЕКЦИЯ 35. ЧЕТВЕРТЬВОЛНОВЫЙ ТРАНСФОРМАТОР Частотная зависимость входного сопротивления четвертьволнового трансформатора ξ= КБВ 1 0,9 0,8 1 − K БВдоп 2Δω 4 = arctg . 1 ω0 π N− N КБВ доп 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 N=2 N=3 N=4 N=5 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 Δω ω0 Рис. 35.3 На рис. 35.3 показана зависимость коэффициента бегущей волны в лиΔω нии от относительной расстройки при разных коэффициентах трансфорω0 мации. Таким образом, при заданном допустимом KБВ полоса согласования тем шире, чем меньше коэффициент трансформации. Частотная компенсация четвертьволнового трансформатора. Для расширения полосы частот, в пределах которой четвертьволновый трансформатор обеспечивает хорошее согласование, необходимо скомпенсировать реактивную составляющую входного сопротивления ⎡ Z ВХ ≈ ρ1 ⎢1 + ⎣ 1⎞ ⎤ ⎛ j ⎜ N − ⎟ tg δ ⎥ . N⎠ ⎝ ⎦ Если трансформатор работает на нагрузку ρ2 < ρ1 (N < 1), т. е. является понижающим, то реактивная часть его входного сопротивления имеет индуктивный характер при ω < ω0 (δ < 0) и емкостный характер при ω > ω0 (δ > 0). Выше было показано, что разомкнутая на конце линия длиной, равной четверти длины волны λ0, на частоте ω = ω0 имеет нулевое входное сопротивление, с уменьшением частоты (ω < ω0, λ > λ0) приобретает входное сопротивление емкостного характера, а с увеличением частоты (ω > ω0, λ > λ0) – Основы теории цепей. Конспект лекций -349- ЛЕКЦИЯ 35. ЧЕТВЕРТЬВОЛНОВЫЙ ТРАНСФОРМАТОР Частотная компенсация четвертьволнового трансформатора индуктивного. Следовательно, такой отрезок линии можно использовать для компенсации реактивной составляющей входного сопротивления в полосе частот, включив его последовательно с трансформатором в месте подключения линии с более высоким волновым сопротивлением (на высокоомной стороне), рис. 35.4. ρТ ρТ ρ1 λ0 4 ρк ρ2 ρ1 ρ2 < ρ 1 ρк λ0 4 λ0 4 а б Рис. 35.4 При небольшой расстройке входное сопротивление компенсирующего отрезка линии ⎛π ω ⎞ ⎛ 2π λ 0 ⎞ X K = −ρK ctg ⎜ = −ρ ctg ⎜ ⎟= K ⎟ ⎝ λ 4 ⎠ ⎝ 2 ω0 ⎠ ⎡ π π Δω ⎤ = − ρK ctg ⎢ + ⎥ = ρK tg δ. ω 2 2 0 ⎦ ⎣ Входное сопротивление четвертьволнового трансформатора с компенсатором будет ⎡ Z ВХ ≈ ρ1 ⎢1 + ⎣ ⎤ 1⎞ ⎛ j ⎜ N − ⎟ tg δ ⎥ + jρK tg δ = ρ1 + N⎠ ⎝ ⎦ ⎡ 1 ⎞⎤ ⎛ j ⎢ρK + ρ1 ⎜ N − ⎟ ⎥ tg δ . N ⎠⎦ ⎝ ⎣ Для полной компенсации реактивной составляющей входного сопротивления при небольшой расстройке необходимо выбрать волновое сопротивление компенсатора из условия 1⎞ 1− N 2 ⎛ , ρK = −ρ1 ⎜ N − ⎟ = ρ1 N⎠ N ⎝ ( N ≤ 1) . Задавшись допустимым коэффициентом бегущей волны, можно получить следующую формулу для полосы согласования трансформатора с компенсатором: Основы теории цепей. Конспект лекций -350- ЛЕКЦИЯ 35. ЧЕТВЕРТЬВОЛНОВЫЙ ТРАНСФОРМАТОР Частотная компенсация четвертьволнового трансформатора 1 − K БВ доп 2Δω 4 = arctg ω0 π ξ= . 1 1 N− 2 N N Таким образом, за счет применения компенсатора полоса согласования увеличивается в 2–3 раза, причем наибольший выигрыш получается при большем коэффициенте трансформации. Аналогичной компенсации входной реактивности можно достичь при включении короткозамкнутого компенсатора на низкоомной стороне трансформатора (рис. 35.5). λ0 4 λ0 4 ρТ ρ2 ρТ ρ1 < ρ 2 ρ1 < ρ 2 ρ2 ρк λ0 4 λ0 4 ρк а б Рис. 35.5 λ0 4 λ0 4 ρ2 λ0 4 ρ1 < ρ 2 ρТ ρТ ρ1 < ρ 2 ρ2 ρк1 ρк1 λ0 4 ρк2 λ0 4 ρк2 а б Рис. 35.6 Если трансформатор повышающий (N > 1), то реактивная составляющая его входного сопротивления положительна при увеличении частоты (δ > 0) и отрицательна при уменьшении частоты (δ < 0). На средней частоте Основы теории цепей. Конспект лекций -351- ЛЕКЦИЯ 35. ЧЕТВЕРТЬВОЛНОВЫЙ ТРАНСФОРМАТОР Частотная компенсация четвертьволнового трансформатора ω0 компенсатор играет роль металлического изолятора и не влияет на работу трансформатора. Подобрав определенным образом волновое сопротивление компенсатора, можно расширить полосу согласования путем компенсации реактивной составляющей входного сопротивления трансформатора реактивным сопротивлением противоположного знака короткозамкнутого компенсатора. Полная компенсация реактивностей при небольших расстройках обеспечивается при ρK = ρ1 N , N −1 2 ρ2 > 1. ρ1 Полоса согласования определяется такой же формулой, как и в случае разомкнутого компенсатора. Дальнейшее расширение полосы согласования можно получить, если применить одновременно компенсацию на обеих сторонах трансформатора (рис. 35.6). где N = Ступенчатые четвертьволновые трансформаторы. Для достижения широкополосного согласования используют многоэлементные трансформаторы, состоящие из нескольких последовательно включенных четвертьволновых секций. С увеличением количества секций уменьшаются коэффициенты трансформации, приходящиеся на каждую секцию, а это приводит к расширению полосы согласования. Кроме того, соотношение между волновыми сопротивлениями соседних четвертьволновых секций можно выбрать таким образом, чтобы осуществлялась частотная компенсация возникающих при расстройке реактивных составляющих их входных сопротивлений. Рассмотрим согласование линий с помощью двухсекционного трансформатора (рис. 35.7). 0 ρ1 ρТ1 λ0 4 ρТ2 0 ρ2 λ0 4 Рис. 35.7 Основы теории цепей. Конспект лекций -352- ЛЕКЦИЯ 35. ЧЕТВЕРТЬВОЛНОВЫЙ ТРАНСФОРМАТОР Ступенчатые четвертьволновые трансформаторы В соответствии с полученным выше, входное сопротивление четвертьволнового трансформатора ⎡ Z ВХ ≈ ρ1 ⎢1 + ⎣ ρ2 С учетом N = и ρ1 ⎤ ρρ ρρ 1⎞ 1 ⎞ ⎛ ⎛ j ⎜ N − ⎟ tg δ ⎥ = 1 2 + j 1 2 N ⎜1 − 2 ⎟ tg δ . N⎠ ρ2 ⎝ ⎝ N ⎠ ⎦ ρ2 ρT = ρ1ρ2 Z ВХ = ⎛ ρ2 ⎞ ρT2 + jρT ⎜1 − T2 ⎟ tg δ . ρ2 ⎝ ρ2 ⎠ Тогда входное сопротивление секции, расположенной слева от сечения 0–0, Z ВХ = 2 ⎛ ρ2 ⎞ ρT1 + jρT1 ⎜1 − T1 tg δ , 2 ⎟ ρ1 ρ 1 ⎠ ⎝ а для секции, расположенной справа, Z ВХ 2 2 ⎛ ρT2 ⎞ ρT2 = + jρT2 ⎜1 − 2 ⎟ tg δ . ρ2 ρ2 ⎠ ⎝ Поскольку ρ1 < ρ2, то при δ > 0 мнимые части входных сопротивлений имеют разные знаки. Для полной взаимной компенсации необходимо лишь подобрать значения волновых сопротивлений ρT1 и ρT2. Таким образом, из условий согласования секций слева и справа от сечения 0–0 приходим к следующей системе уравнений: 2 2 ⎧ ρT1 ρT2 = , ⎪ ρ1 ρ2 ⎪ ⎨ 2 2 ⎪ρ ⎛1 − ρT1 ⎞ = − ρ ⎛1 − ρT2 ⎞ . ⎟ ⎟ T2 ⎜ ⎪ T1 ⎜ ρ12 ⎠ ρ22 ⎠ ⎝ ⎩ ⎝ Решение этой системы имеет вид ρT1 = ρ1 ρ1ρ2 , ρT2 = ρ2 ρ1ρ2 . Основы теории цепей. Конспект лекций -353- ЛЕКЦИЯ 35. ЧЕТВЕРТЬВОЛНОВЫЙ ТРАНСФОРМАТОР Ступенчатые четвертьволновые трансформаторы Можно показать, что коэффициент бегущей волны в линии, подключенной к входу двухсекционного трансформатора, равен 1 2 tg δ . N Отсюда следует выражение для определения полосы согласования K БВ ≈ 1 − N − ξ= 1 − K БВ доп 2Δω 4 = arctg . ω0 π 1 N− N Дальнейшее увеличение числа секций позволяет еще больше расширить полосу согласования. Так, в четырехсекционном ступенчатом трансформаторе полоса согласования расширяется примерно вдвое по сравнению с двухсекционным трансформатором. Следует отметить, что наряду с описанным способом выбора волновых сопротивлений ступеней существуют и другие способы. Например, можно потребовать, чтобы компенсация реактивностей происходила на краях заданной полосы частот либо на нескольких дискретных частотах в пределах заданной полосы. Однако наиболее часто при построении ступенчатых трансформаторов исходят из условия обеспечения во всей заданной полосе некоторого допустимого значения коэффициента бегущей волны (или коэффициента отражения); за пределами заданной полосы допускается сильное ухудшение согласования. В этом случае речь идет о построении так называемых оптимальных переходов, обеспечивающих при заданном общем коэффициенте трансформации N и длине перехода nλ0/4 получение наименьшего коэффициента отражения в заданной полосе частот. Задача построения оптимального перехода может формулироваться и иначе: при заданных коэффициенте трансформации N, допустимом коэффициенте отражения |Гдоп| и рабочей полосе час2Δω тот требуется построить переход с минимальной общей длиной. Чаще ω0 всего при построении оптимальных ступенчатых переходов используют оптимизирующие свойства полиномов Чебышева. Однако изложение теории построения оптимальных ступенчатых переходов выходит за рамки программы курса основ теории цепей и данного учебного пособия. Основы теории цепей. Конспект лекций -354- ЛЕКЦИЯ 35. ЧЕТВЕРТЬВОЛНОВЫЙ ТРАНСФОРМАТОР Контрольные вопросы 1. Что представляет собой четвертьволновый трансформатор? 2. Для согласования каких сопротивлений нагрузки можно использовать четвертьволновый трансформатор? 3. Какова полоса согласования четвертьволнового трансформатора? 4. Каковы способы расширения полосы согласования четвертьволнового трансформатора? 5. Что представляют собой ступенчатые четвертьволновые трансформаторы? Основы теории цепей. Конспект лекций -355- ЛЕКЦИЯ 36. ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙ Свойства входных функций пассивных цепей. Энергетические функции цепи. Критерии реализуемости двухполюсника по заданной входной функции. Современная система передачи и обработки информации представляет собой ряд устройств, каждое из которых выполняет определенные операции над сигналами, такие, например, как выделение их из смеси с помехами, разделение сигналов различных источников информации, преобразование формы сигналов и т. д. Все эти операции выполняются с помощью электрических цепей с соответствующими характеристиками. Примерами таких цепей являются различные фильтры с требуемыми характеристиками передачи, корректирующие согласующие цепи, используемые в совокупности с активными элементами, фазовращатели, цепи обратной связи в усилителях, следящих системах, цепи формирования сигналов сложной формы и др. Важнейшей задачей, возникающей при проектировании радиоаппаратуры, является задача построения электрических цепей с заданными характеристиками – задача синтеза цепей по заданным частотным или временным характеристикам, т. е. обратная задача теории цепей. Результатом решения задачи синтеза является физически осуществимая электрическая цепь, состоящая из элементов с вещественными положительными параметрами, сопротивлений R, емкостей C, индуктивностей L (или взаимных индуктивностей M), в задаче синтеза активных цепей – также и зависимых источников. Задача синтеза имеет неоднозначное решение, поскольку одни и те же заданные характеристики могут быть реализованы несколькими различными цепями. Следует отметить, что не для всякой функции, описывающей заданную характеристику, может быть найдена физически реализуемая цепь, в этом случае задача синтеза вообще не имеет решения. В зависимости от того, в какой форме задана требуемая характеристика, процесс синтеза может быть разбит на три этапа. Первый этап заключается в установлении необходимых и достаточных условий, которым должны удовлетворять функции, выражающие заданные характеристики электрических цепей, т. е. условий, характеризующих возможность построения хотя бы одной физически реализуемой цепи с заданными свойствами. Второй этап сводится к нахождению функции, удовлетворяющей условиям физической реализуемости и с требуемой точностью воспроизводящей заданную характеристику. Часто требуемая характеристика задана в виде таблицы, графика функции или в виде функции, не удовлетворяющей условиям физической реализуемости цепи. В этих случаях возникает задача вос- Основы теории цепей. Конспект лекций -356- ЛЕКЦИЯ 36. ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙ произведения заданной характеристики (частотной или временной) с требуемой точностью с помощью функций, удовлетворяющих условиям физической реализуемости. Эта задача − задача аппроксимации, относящаяся к области математики и решаемая ее методами. Третий этап. Необходимо найти электрические цепи, обладающие характеристиками, найденными в результате решения задачи аппроксимации, и выбирать одну из них для практического осуществления, т. е. решение задачи реализации электрической цепи. Свойства входных функций пассивных цепей. Поведение цепи (в области комплексного переменного р) описывается некоторыми функциями, определяемыми отношением изображения по Лапласу реакции цепи к изображению по Лапласу воздействия при нулевых начальных условиях. Если к входным зажимам цепи (рис. 36.1) подключить источник тока, то реакцией будет напряжение и функцией цепи будет входное сопротивление Z ( p) = U ( p) . I ( p) i n I U Рис. 36.1 Если же источником воздействия является напряжение, то функцией цепи будет входная проводимость Y ( p) = I ( p) . U ( p) 1 . Z ( p) Поскольку любая сложная цепь может быть рассмотрена как совокупность двухполюсников, рассмотрим входные функции многоэлементных двухполюсников. Очевидно, что Y ( p ) = Основы теории цепей. Конспект лекций -357- ЛЕКЦИЯ 36. ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙ Свойства входных функций пассивных цепей Если двухполюсник является многоконтурной цепью, то, согласно методу контурных токов, ⎧ Z11 ( p ) I1 ( p ) + Z12 ( p ) I 2 ( p ) + … + Z1n ( p ) I n ( p ) = E11 ( p ) , ⎪ ⎪ Z 21 ( p ) I1 ( p ) + Z 22 ( p ) I 2 ( p ) + … + Z 2 n ( p ) I n ( p ) = E22 ( p ) , ⎨ ⎪ ⎪Z ( p ) I ( p ) + Z ( p ) I ( p ) + … + Z ( p ) I ( p ) = E ( p ) , n2 nn n nn 1 2 ⎩ n1 1 – операторное взаимное или собственное (при i = k) pCik сопротивление контуров; Eii – изображение по Лапласу контурной ЭДС. Решая систему уравнений относительно тока I1(p), получим где Z ik = Rik + pLik + I1 ( p ) = Δ1 , Δ где Δ – определитель системы; Δ1 – определитель, полученный из определителя системы заменой первого столбца правыми частями уравнений. Δ= Z11 Z12 Z1n Z 21 Z 22 Z 2n Z n1 Zn2 Z nn , Δ1 = E11 Z12 Z1n E22 Z 22 Z 2n Enn Zn2 Z nn . Если двухполюсник пассивен, то можно считать контур, в котором находится генератор, первым, а в остальных контурах источников нет, т. е. E11 ( p ) = E1 ( p ) , E22 ( p ) = E33 ( p ) = … = Enn ( p ) = 0. Δ11 ( p ) E1 ( p ) , где Δ11(p) – алгебраическое дополнение, Δ( p) полученное из определителя Δ(p) вычеркиванием первой строки и первого столбца. Δ( p) Δ ( p) Следовательно, Z ( p ) = , а Y ( p ) = 11 . Δ11 ( p ) Δ( p) Раскрывая определители Δ(p) и Δ11(p), получим входные функции Z(p) и Y(p) как отношение двух полиномов с целыми степенями р и вещественными коэффициентами: Тогда I1 ( p ) = Основы теории цепей. Конспект лекций -358- ЛЕКЦИЯ 36. ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙ Свойства входных функций пассивных цепей 1 an p n + an−1 p n−1 + … + a1 p + a0 M ( p ) = = . Z ( p) = m m −1 bm p + bm−1 p + … + b1 p + b0 N ( p ) Y ( p ) Корни полинома pk′ М(р) являются нулями, а корни pk полинома N(p) – полюсами функции Z(p). Представляя числитель и знаменатель в виде произведения двучленов, можно записать Z(p) через нули и плюсы: n ∏ an ( p − p1′ )( p − p2′ )…( p − pn′ ) = H ⋅ km=1 Z ( p) = bm ( p − p1 )( p − p2 )…( p − pm ) ( p − pk′ ) ∏ ( p − pk ) , k =1 an – коэффициент нормирования. bm Из этого выражения следует, что функция цепи имеет полюсы при p = p1, p = p2, ..., p = pm. Все они являются простыми при условии p1 ≠ p2 ≠ ... ≠ pm. Если k полюсов равны между собой, тогда это полюс k-го порядка (кратности). Функция цепи имеет нули при p = p1′ , p = p2′ , ..., p = pn′ . Они являются простыми, если p1′ ≠ p2′ ≠ ... ≠ pn′ , если же k из нулей равны между собой, то такой нуль имеет порядок k. Следует отметить, что функция цепи определяется полностью и однозначно расположением и порядком ее полюсов и нулей и величиной коэффициента Н. При рассмотрении гармонических процессов p = σ + jω заменяется на jω, и тогда получим Z(jω) и Y(jω) – частотные характеристики. Как и всякое комплексное число, Z(jω) и Y(jω) могут быть представлены в показательной форме: где H = Z(jω) = Z(ω)ejφ(ω), Y(jω) = Y(ω)e–jφ(ω), где Z(ω) и Y(ω) – амплитудно-частотные характеристики; φ(ω) – фазочастотная характеристика. В этом случае нули и полюсы функций Z(ω) и Y(ω) представляют собой собственные частоты при замкнутых и разомкнутых зажимах. Основы теории цепей. Конспект лекций -359- ЛЕКЦИЯ 36. ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙ Энергетические функции цепи. Если умножить каждое из уравнений системы контурных токов на со∗ пряженный ток I k , то для k-го контура получим n ∗ ∗ 1 n 1 R I I + p L I I + I I = E I k k k ∑ ki i ∑ ki i p ∑ C ki i kk k . i =1 i =1 i =1 Просуммировав левые и правые части n уравнений, получим n n ∗ n ∗ n ∗ ∗ 1 n n 1 ∑∑ Rki Ii I k + p∑∑ Lki Ii I k + p ∑∑ C ki Ii I k = ∑ Ekk I k . k =1 i =1 k =1 i =1 k =1 i =1 k =1 ∗ n n ∗ Правая часть последнего уравнения представляет собой полную мощность, отдаваемую источниками. Обозначив выражения n n ∗ F0 = ∑∑ Rki I i I k , k =1 i =1 n n ∗ T0 = ∑∑ Lki I i I k , k =1 i =1 n n ∗ 1 Ii I k , k =1 i =1 C ki V0 = ∑∑ последнее уравнение можно записать в виде F0 + pT0 + 1 V0 = S , p где F0, T0, V0 – энергетические функции. В установившемся синусоидальном режиме (p = jω) правая часть этих уравнений представляет комплексную мощность, отдаваемую источниками. Энергетическая функция F0 приобретает значение удвоенной мощно⎛ RI 2 ⎞ сти потерь в сопротивлениях ⎜ F0 = 2 ⎟. 2 ⎝ ⎠ Основы теории цепей. Конспект лекций -360- ЛЕКЦИЯ 36. ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙ Энергетические функции цепи T0 – удвоенное значение энергии, запасаемой в индуктивностях ⎛ ⎞ LI 2 = 2WL ⎟ . ⎜ T0 = 2 2 ⎝ ⎠ V0 – умноженное на ω2 удвоенное значение энергии, запасаемой в ем2 ⎛ ⎞ I2 2 CU = 2ω = 2ω2WC ⎟ . костях ⎜ V0 = 2 C ⎝ ⎠ Таким образом, последние уравнения выражают баланс мощностей в цепи – в левой части имеем активную и реактивную мощность, потребляемую цепью, в правой – полную мощность, отдаваемую источниками V ⎞ ⎛ F0 + jω ⎜ T0 − 02 ⎟ = S . ω ⎠ ⎝ Из физического смысла энергетических функций следует, что они могут принимать только вещественные положительные значения F0, T0, V0 ≥ 0. Для пассивного двухполюсника матрицы (E) и (I) содержат по одному элементу Е(р) и I(p). Тогда уравнение баланса мощностей принимает вид F0 + pT0 + ∗ V0 = EI. p ∗ 2 Если разделить обе части этого уравнения на I ⋅ I = I , то получим F0 + pT0 + I 2 V0 p ∗ = E⋅I ∗ I ⋅I = E ( p) = Z ( p) . I ( p) Деление на |I|2 можно считать нормированием. При возбуждении двухполюсника током |I| = 1 ⎛ V ⎞ Z ( p ) = ⎜ F0 + pT0 + 0 ⎟ . p ⎠ I 2 =1 ⎝ Поскольку F0, T0, V0 – вещественные неотрицательные при всех возможных р, |I|2 положительна, то: а) Z(p) вещественно при вещественном р. Основы теории цепей. Конспект лекций -361- ЛЕКЦИЯ 36. ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙ Энергетические функции цепи Действительно, Re Z ( p ) = F0 + T0 Re p + V0 Re 1 = p ∗ ⎛∗ ⎞ = F0 + T0 Re p + 2 Re p, ⎜ p = σ − jω, Re p = Re p ⎟ ; ⎝ ⎠ p V0 ∗ б) ReZ(p) ≥ 0 при Rep ≥ 0. Аналогично для Y(p) = 1/Z(p): а) Y(p) вещественна при вещественном р, б) ReY(p) ≥ 0 при Rep ≥ 0. Действительно, Y ( p) = = 1 1 1 = = = Z ( p ) Z ( σ + jω) R ( σ, ω) + jX ( σ, ω) R ( σ, ω) X ( σ, ω) − j . R 2 ( σ, ω) + X 2 ( σ, ω) R 2 ( σ, ω) + X 2 ( σ, ω) По определению, R(σ,ω) ≥ 0 при σ > 0, поэтому ReY(p) ≥ 0 при Rep ≥ 0. Функции, удовлетворяющие требованиям пп. (а) и (б), называются положительными вещественными функциями (ПВФ). Таким образом, входные функции пассивных двухполюсников положительны и вещественны. Нулями функций двухполюсника являются значения р, при которых 2 ⎛ F ⎞ V F p1,2 = − 0 ± ⎜ 0 ⎟ − 0 . 2T0 ⎝ 2T0 ⎠ T0 Из этого выражения нельзя непосредственно получить значения p1,2, так как F0, T0, V0 сами являются функциями р. Однако можно сделать следующие выводы. 1. Так как F0, T0, V0 – вещественные неотрицательные, то из выражения для p1,2 следует, что все нули Z(p) расположены в левой полуплоскости (рис. 36.2). V 2. Для двухполюсников без потерь (LC-цепей) F0 = 0 и p1,2 = ± j 0 , T0 т. е. все нули расположены на мнимой оси (границе левой полуплоскости) (рис. 36.2, а). V Z(p) = 0, откуда Z ( p ) = F0 + pT0 + 0 = 0 и p Основы теории цепей. Конспект лекций -362- ЛЕКЦИЯ 36. ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙ Энергетические функции цепи Im Im Im Im р1 р1 p= Re 0 F0 T0 p= 0 Re V0 F0 Re 0 Re р2 р2 а 0 б в г Рис. 36.2 V0 , T0 т. е. все нули расположены на мнимой оси (границе левой полуплоскости) (рис. 36.2, а). F 4. Для RL-цепей V0 = 0 и p = − 0 все нули лежат на отрицательной T0 вещественной оси (рис. 36.2, б). V 5. Для RС-цепей T0 = 0 и p = − 0 и все нули также лежат на отрицаF0 тельной вещественной оси (рис. 36.2, в). 3. Для двухполюсников без потерь (LC-цепей) F0 = 0 и p1,2 = ± j Критерии реализуемости двухполюсника по заданной входной функции. Выше было показано, что входные функции цепи являются положительными вещественными функциями, следовательно, можно утверждать, что если какая-либо функция имеет подобные свойства, то она может быть реализована в качестве входной функции пассивного двухполюсника. Для проверки функций используют ряд критериев, основанных на свойствах положительных вещественных функций и связанных: а) с внешним видом функции; б) с расположением нулей и полюсов; в) со свойствами полюсов на мнимой оси и вычетов в них; г) с поведением вещественной части функции. Критерии приведены в порядке возрастающей сложности проверки. Если в последовательном процессе проверки функция не удовлетворяет хотя Основы теории цепей. Конспект лекций -363- ЛЕКЦИЯ 36. ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙ Критерии реализуемости двухполюсника по заданной входной функции бы одному из критериев, то проверку следует прекратить, поскольку функция уже не является положительной вещественной. Проверка по внешнему виду функции. Поскольку рациональная функция F(p) вида an p n + an−1 p n−1 + … + a1 p + a0 M ( p ) = F ( p) = bm p m + bm−1 p m−1 + … + b1 p + b0 N ( p ) должна принимать вещественные значения при вещественном Р, то все коэффициенты an, an–1, ... a0, bm, bm–1, ... b0 должны быть вещественными. Выше было показано, что F(p) (Z(p) или Y(p) представляют собой отношение определителей, порядок которых отличается не более чем на единицу. Следовательно, высшие степени полиномов M(p) и N(p) так же, как и их низшие степени, не могут отличаться более чем на единицу. Действительно, при неограниченном возрастании частоты: ω → ∞ (p → ∞) пассивный двухполюсник ведет себя либо как эквивалентная индук1 , либо тивность, т. е. Z(p) → pL, либо как эквивалентная емкость Z ( p ) → pC как сопротивление Z(p) → R. a С другой стороны, F ( p ) = Z ( p ) → n p n−m при p → ∞. bm Следовательно, случай Z(p) → pL соответствует n – m = 1, случай 1 m – n = 1 и случай Z(p) → R соответствует m = n. Z ( p) → pC Выше было показано, что все нули и полюсы входных функций лежат в левой полуплоскости, т. е. в M(p) и N(p) допустимы сомножители типа (p + α), (p + α ± jβ) или p 2 + α k2 , где α, β, αk неотрицательны. Отсюда следу- ( ) ет, что все коэффициенты an, an–1, ... a0, bm, bm–1, ... b0 должны быть неотрицательны. Кроме того, при перемножении указанных сомножителей никакие члены не могут быть исключены путем вычитания, а значит, в полиномах M(p) и N(p) никакие степени не могут быть пропущены между высшей и низшей степенями, кроме случая, когда отсутствуют все четные или все нечетные степени (LC-цепи). Условие положительности и вещественности коэффициентов полиномов является необходимым, но не достаточным, чтобы функция F(p) была положительной вещественной. Необходимо также, чтобы нули функций M(p) и N(p) лежали в левой полуплоскости (в крайнем случае, на мнимой оси). Основы теории цепей. Конспект лекций -364- ЛЕКЦИЯ 36. ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙ Критерии реализуемости двухполюсника по заданной входной функции Полиномы с вещественными коэффициентами, все нули которых находятся в левой полуплоскости, называются строгими полиномами Гурвица. Если полином имеет простые нули на мнимой оси, то он называется модифицированным полиномом Гурвица. Таким образом, положительная вещественная функция должна представлять собой отношение полиномов Гурвица. Для того чтобы установить, является ли заданный полином полиномом Гурвица, существует несколько критериев, например, Рауса, Найквиста. Чаще всего используется критерий Гурвица. Пусть полином L(p) является числителем или знаменателем функции F(p). Представим L(p) в виде суммы двух частей: L(p) = m(p) + n(p), где m(p) – четная часть от L(p) содержащая все четные степени p: p0, p2, p4, ..., а n(p) − нечетная часть от L(p) со всеми нечетными степенями p: p, p3, p5, ... Показано [5], что полином L(p) является полиномом Гурвица, если при разложении отношения его четной части к нечетной (или обратное ему со старшей степенью в числителе) в цепную дробь получаются только положительные коэффициенты. Пример 1. Проверить, является ли полином L(p) = 36p5 + 12p4 + 48p3 + 10p2 + 15p + 1 полиномом Гурвица. Решение. Образуем отношение нечетной части полинома к четной, поскольку старшая степень нечетная. 36 p 5 + 48 p 3 + 15 p n ( p ) ψ( p) = = . m( p) 12 p 4 + 10 p 2 + 1 Проведем один шаг деления числителя на знаменатель: 36 p 5 + 48 p 3 + 15 p ( − 36 p 5 + 30 p 3 + 3 p ) 12 p 4 + 10 p 2 + 1 3p . 18p 3 + 12 p ψ ( p ) = C0 + n1 ( p ) 18 p 3 + 12 p = 3p + , C0 > 0 . m( p) 12 p 4 + 10 p 2 + 1 m( p) , степень числителя которой n1 ( p ) выше степени знаменателя на единицу, и осуществим следующий шаг деления: Обозначим новую функцию ψ1 ( p ) = Основы теории цепей. Конспект лекций -365- ЛЕКЦИЯ 36. ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙ Критерии реализуемости двухполюсника по заданной входной функции 12 p 4 + 10 p 2 + 1 ( − 12 p 4 + 8 p 2 ) 18p 3 + 12 p 2 p 3 . 2p 2 + 1 2 2 p2 + 1 p+ . 3 18 p 3 + 12 p Далее осуществим следующий шаг деления для функции В результате получим ψ1 ( p ) = 18p 3 + 12 p n1 ( p ) 18 p 3 + 12 p ψ2 ( p ) = = , m1 ( p ) 2 p2 + 1 2p 2 + 1 ( − 18p 3 + 9 p ) 9p 3p n2 ( p ) 3p = + 9 p . m1 ( p ) 2 p2 + 1 Аналогично следующий шаг деления ψ2 ( p ) = 9 p + 2p 2 + 1 3 p − 2p 2 2 p 3 1 дает ψ 3 ( p ) = m ( p) 2 1 2 . = p+ 2 p+ n2 ( p ) 3 3p 3 3p 1 И наконец, последний шаг деления дает −3 p 3p . 0 В итоге получим разложение в цепную дробь: ψ( p) = 3 p + 1 2 1 p+ 1 3 9p + 2 1 p+ 3 3p Основы теории цепей. Конспект лекций , -366- ЛЕКЦИЯ 36. ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙ Критерии реализуемости двухполюсника по заданной входной функции в которой все коэффициенты положительны, следовательно, полином L(p) – полином Гурвица. Пример 2. Проверить, является ли полином L(p) = 2p5 + 3p4 + 7p3 + 7p2 + 6p + 1 полиномом Гурвица. 2 p5 + 7 p3 + 6 p и разложим ее в цепную Образуем функцию ψ ( p ) = 3 p4 + 7 p2 + 1 дробь: n( p) 2 1 ψ( p) = = p+ . 9 1 m( p) 3 p+ 49 1 7 p+ 1 1 3 − p+ 77 −11 p Поскольку в разложении имеются отрицательные коэффициенты, полином L(p) не является полином Гурвица. Свойства вычетов в полюсах на мнимой оси. Возможны три случая расположения полюсов на мнимой оси: 1) p = 0 (начало координат), 2) p = ∞, 3) p = ± jωi. M ( p) Разложение функции F ( p ) = на простые дроби в общем случае N ( p) записывается следующим образом: ν kj k0 q 2ki p + +H, F ( p ) = k∞ p + + ∑ 2 ∑ p i =1 p + ωi2 j =1 p − p j где k∞, k0, ki, kj – вычеты функции F(p) в простых полюсах в бесконечности, в нуле, на мнимой оси и на вещественной оси. Для определения kj-вычета в простом полюсе p = pj умножим обе части последнего разложения на (p – pj) и определим их при p → pj. В этом случае в правой части все члены, исключением kj, исчезают. В результате получаем M ( p) p − pj = kj . p→ p j N ( p ) lim ( Основы теории цепей. Конспект лекций ) -367- ЛЕКЦИЯ 36. ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙ Критерии реализуемости двухполюсника по заданной входной функции Если функция F(p) имеет общий множитель p в знаменателе, то она имеет полюс при p = 0 и вычет в этом полюсе k0 = lim F ( p ) p = p →0 M ( p) N ( p) . p =0 Поскольку все коэффициенты полиномов M(p) и N(p) положительные вещественные числа, то вычет k является вещественным положительным. Функция F(p) имеет полюс в бесконечности, если степень полинома числителя на единицу выше полинома знаменателя. Один шаг деления полиномов дает вычет k∞ в p = ∞, который, так же как и k0, вещественный положительный. Если функция F(p) имеет полюсы на мнимой оси p = ± jωi, то знаменатель N(p) имеет сомножители ( p − jωi )( p + jωi ) = p 2 + ωi2 . В разложении ( ) на простые дроби появляются члены вида где 2ki = 2lim 2 ( ki ki 2k p + = 2 i 2, p + jωi p − jωi p + ωi F ( p ) p 2 + ωi2 ), p которые также являются вещественными положительными числами. p →−ωi Проверка неотрицательности вещественной составляющей функции на мнимой оси. Для того чтобы функция F(p) была положительной вещественной, необходимо иметь ReF(p) ≥ 0 при Rep ≥ 0, т. е. для проверки F(p) нужно найти ее вещественную часть и убедиться, что она нигде не будет отрицательной при изменении p = jω в пределах от –∞ до +∞. Запишем F(p) как отношение полиномов, имеющих четные и нечетные части числителя и знаменателя: F ( p) = M ( p ) m1 + n1 = , N ( p ) m2 + n2 где m1 и m2 − четные, n1 и n2 − нечетные части числителя и знаменателя. F ( p) = m1 + n1 m2 − n2 ( m1m2 − n1n2 )( m2n1 − m1n2 ) ⋅ = . m2 + n2 m2 − n2 m22 − n22 Основы теории цепей. Конспект лекций -368- ЛЕКЦИЯ 36. ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙ Критерии реализуемости двухполюсника по заданной входной функции Знаменатель F(p) − четная функция, первая скобка числителя также четная, а вторая − нечетная, поэтому для p = jω m1m2 − n1n2 m22 − n22 m2 n1 − m1n2 m22 − n22 = Re F ( jω) , p = jω = Im F ( jω) . p = jω Поскольку знаменатель m22 − n22 = N ( jω) N ( − jω) = N ( jω) не может быть отрицательным, то очевидно: для того чтобы ReF(jω) ≥ 0, необходимо A ω2 = ( m1m2 − n1n2 ) p = jω ≥ 0 при –∞ ≤ ω ≤ ∞. Полином A(ω2) − четный, сле2 ( ) довательно, можно рассматривать интервал 0 ≤ ω ≤ ∞ вместо –∞ ≤ ω ≤ ∞. Введя переменную x = ω2, получим A(ω2) = A(x) = Cnxn + Cn – 1xn – 1 + ... + C1x + C0 = k(x – x1)(x – x2)...(x – xn), где xi = ωi2 − нули полинома A(x) = A(ω2). Знак полинома A(x) зависит от знаков множителей, определяемых его нулями. Вещественный отрицательный нуль всегда дает положительный множитель. Также положительный множитель дает пара комплексных сопряженных нулей. Действительно, если xi = a ± jb, то (x – a + jb)(x – a + jb) = = (x – a)2 + b2 ≥ 0 при 0 ≤ x ≤ ∞. Очевидно, что отрицательный множитель может давать только любой положительный нуль нечетной кратности. В случае положительного нуля четной кратности пара отрицательных одинаковых множителей дает положительный множитель. Таким образом, для неотрицательности ReF(jω) необходимо и достаточно, чтобы полином A(x) не имел положительныx корней нечетной кратности. Проверку данного условия проводят разными методами: Будана, Труди, Штурма и др. Чаще всего используется теорема Штурма, позволяющая установить число вещественных положительных корней уравнения A(x) = 0, заключенных в любом интервале a ≤ x ≤ b (a и b не являются корнями полинома A(x). Согласно теореме Штурма, число вещественных положительных корней полинома в интервале a ≤ x ≤ b равно разности |na – nb|, где na − число перемен знака в ряде функций Штурма при нижнем a и nb − верхнем b пределах переменного x. Определение таким образом количества корней есть при- Основы теории цепей. Конспект лекций -369- ЛЕКЦИЯ 36. ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙ Критерии реализуемости двухполюсника по заданной входной функции менение правила Декарта для знаков. Сначала составляется последовательность функций Штурма в порядке понижения степени: S0(x) = A(x); S1(x) = A΄(x); S2(x); ...; Sm = const, где S0(x) S1(x) − заданный полином и его производная; S2(x) − взятый с обратным знаком остаток отделения S0(x) на S1(x); S3(x) − взятый с обратным знаком остаток отделения S1(x) на S2(x) и т. д.; Sm − последний остаток − постоянная величина. Далее определяется число na перемен знака в ряде чисел S0(a), S1(a); S2(a); ...; Sm и число nb перемен знака в ряде чисел S0(b), S1(b); S2(b); ...; Sm, а затем число вещественных положительных корней |na – nb|. Пример 1. Определить, является ли положительной вещественной функция 5 p 2 + 10 p + 9 . p 2 + 0,5 p + 4 Решение. Определим числитель ReF(p) при p = jω. F ( p) = ( ) ( )( ) A ω2 = m1m2 − n1n2 = 5 p 2 + 9 p 2 + 4 − 10 p ⋅ 0,5 p = = 5 p 4 + 20 p 2 + 9 p 2 + 36 − 5 p 2 = 5 p 4 + 24 p 2 + 36 p = jω = = 5ω4 − 24ω2 + 36. ( ) A ω2 = A ( x ) = 5 x 2 − 24 x + 36. Составим последовательность полиномов Штурма: S0(x) = A(x) = 5x2 – 24x + 36 S1(x) = A΄(x) = 10x – 24x. Основы теории цепей. Конспект лекций -370- ЛЕКЦИЯ 36. ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙ Критерии реализуемости двухполюсника по заданной входной функции Чтобы получить S2(x), осуществим деление S0(x)/S1(x) 5 x 2 − 24 x + 36 10 x − 24 ( − 5 x 2 − 12 x −S ( x ) S0 ( x ) = α1 x + β1 + 2 , S1 ( x ) S1 ( x ) ) 1 6 x− 2 5 −12 x + 36 144 ⎞ ⎛ − ⎜ −12 x + ⎟ 5 ⎠ ⎝ 36 5 36 S0 ( x ) 1 6 = x− + 5 , 5 S1 ( x ) S1 ( x ) 2 S2 ( x ) = − 36 . 5 Определим последовательность полиномов Штурма при нижнем и верхнем пределах x(x = 0, x = ∞); S0 ( x ) = 5 x 2 − 24 x + 36, S0 ( 0 ) = 36, S0 ( ∞ ) = ∞, S1 ( x ) = 10 x − 24, S0 ( 0 ) = −24, S0 ( ∞ ) = ∞, S2 ( x ) = − 36 36 36 , S2 ( 0 ) = − , S2 ( ∞ ) = − . 5 5 5 Таким образом, na = 1, nb = 1, na – nb = 0 полином A(x) не имеет положительных вещественных корней в интервале 0 ≤ x ≤ ∞, а следовательно, функция F(p) является положительной вещественной. Пример 2. Определить, является ли положительной вещественной функция 2 p 4 + 3 p3 + 5 p 2 + 5 p + 1 F ( p) = . 2 p 4 + p3 + 3 p 2 + p + 2 ( ) Решение. Составим выражение m1m2 – n1n2. A(p) = (2p4 + 5p2 + 1)(2p4 + 6p2 + 4) – (3p3 + 5p)(2p3 + 2p) = = 4p8 + 16p6 + 24p4 + 16p2 + 4. При p = jω A(ω2) = 4ω8 – 16ω6 + 24ω4 – 16ω2 + 4. При ω2 = x A(x) = 4x4 – 16x3 + 24x2 – 16x + 4. Основы теории цепей. Конспект лекций -371- ЛЕКЦИЯ 36. ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙ Критерии реализуемости двухполюсника по заданной входной функции Известно, что на любом этапе любые из полиномов Штурма могут быть умножены на положительную постоянную, что не влияет на результаты проверки. Умножим A(x) на 0,25, получим A(x) = S0(x) = x4 – 4x3 + 6x2 – 4x +1. S1 ( x) = S0′ ( x) = 4 x3 − 12 x 2 + 12 x − 4 . Чтобы получить S2(x), осуществим деление S0(x)/S1(x), x 4 − 4 x3 + 6 x 2 − 4 x + 1 4 x3 − 12 x 2 + 12 x − 4 ( − x 4 − 3x3 + 3x 2 − x ) 1 1 x− 4 4 − x3 + 3x 2 − 3x + 1 ( ), − − x3 + 3x 2 − 3x + 1 0 S0 ( x ) 1 1 = x− . S1 ( x ) 4 4 Процесс образования полиномов Штурма заканчивается преждевременно. Таким образом, S1(x) = 4(x3 – 3x2 + 3x – 1) представляет собой общий множитель x3 – 3x2 + 3x – 1 = [x(x2 – 2x + 1)] = (x – 1)3. Это значит, что (x – 1)3 является сомножителем S0(x), т. е. уравнение S0(x) = 0 имеет корень кратности 3 при x = 1 в правой полуплоскости, полином A(x) не является неотрицательным в интервале 0 ≤ x ≤ ∞, а функция F(p) не является положительной вещественной. Контрольные вопросы 1. Что представляет собой обратная задача теории цепей? 2. На какие этапы может быть разбит процесс синтеза электрических цепей? 3. Каковы свойства положительных вещественных функций? 4. Каковы критерии реализуемости двухполюсника по заданной входной функции? Основы теории цепей. Конспект лекций -372- ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ Методы реализации двухполюсника по заданной входной функции. Свойства и реализация входных функций LC-двухполюсников. Методы реализации двухполюсника по заданной входной функции. Убедившись, что заданная функция F(p) удовлетворяет условиям физической реализуемости, можно перейти к нахождению двухполюсника, входной функцией которого она является. К настоящему времени разработано большое количество методов синтеза пассивных цепей, чаще всего используются два из них: первый − метод разложения входной функции на сумму простейших составляющих (метод последовательного выделения полюсов и постоянной); и второй − метод представления входной функции в виде непрерывной дроби. 1. Метод последовательного выделения полюсов и постоянной. Сущность метода состоит в разложении функции F(p) на простые составляющие, реализацию которых можно определить непосредственно по их виду. M ( p) Пусть F ( p ) = имеет полюс в бесконечности. Тогда один шаг N ( p) деления M(p)/N(p) дает F(p) = H·p + F1(p), где H − положительная вещественная величина. Таким образом, выделяется полюс в бесконечности. Если F(p) = Z(p) − сопротивление двухполюсника, то Z(p) = H·p + Z1(p) и H·p − сопротивление индуктивности; а если F(p) = Y(p) − проводимость, то Y(p) = H·p + Y1(p) и H·p − проводимость емкости. Если знаменатель функции F(p) имеет корень p = 0, то в разложении на простые дроби имеется член k0/p и F ( p) = M ( p ) k0 = + F1 ( p ) , N ( p) p где k0 − вычет функции F(p) в полюсе p = 0. При F(p) = Z(p)-сопротивлении член k0/p представляет собой последовательно включенную емкость, при F(p) = Y(p)-проводимости k0/p соответствует параллельно включенной индуктивности. Таким образом, выделяется полюс в начале координат. Если F(p) имеет простой полюс на мнимой оси p = ±jωk, то F ( p) = kk kk 2k p + + F1 ( p ) = 2 k 2 + F1 ( p ) , p − jωk p + jωk p + ωk где kk − вычет в полюсе p = ±jωk. Основы теории цепей. Конспект лекций -373- ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ Методы реализации двухполюсника по заданной входной функции При F(p) = Z(p)-сопротивлении сопротивление параллельно соединен1 2k и Lk = 2k ных Ck = 2k k ωk 2k k p 1 . = 2 2 2 p + ωk p ω2k + 2k k p 2kk p При F(p) = Y(p)-проводимости проводимость последовательно вклю1 2k ченных Lk = и Ck = 2k 2k k ωk 2k k p 1 . = 2 2 2 p + ωk p ω2k + 2k k p 2kk p Если число пар сопряженных полюсов функции F(p) q, то и параллельных или последовательных контуров также q. После выделения из функции F(p) полюсов на мнимой оси остается функция минимального реактивного сопротивления или минимальной реактивной проводимости в зависимости от того, что представляет собой F(p)-сопротивление или проводимость. В частном случае может остаться положительная постоянная величина, которая реализуется последовательным активным сопротивлением, если F(p) = Z(p), или шунтирующим активным сопротивлением, если F(p) = Y(p). Следует отметить, что величина этого сопротивления R = k ≤ minReF(jω), так как разность F(p) – k = F1(p) − положительная вещественная функция (если k > minReF(jω), то ReF1(jω) станет отрицательной для некоторых частот, а это значит, F(p) не будет положительной вещественной функцией). Если же оставшаяся функция минимального реактивного сопротивления или минимальной реактивной проводимости имеет все нули и полюсы, лежащие на вещественной отрицательной полуоси, то двухполюсник, обладающий такой входной функцией, реализуется совокупностью RL- или RC-элементов. Таким образом, каждое выделение полюса понижает сложность входной функции, и, в конце концов, эта функция будет исчерпана полностью, в результате получается одна из двух схем (рис. 37.1). Схемы рис. 37.1 называются первой и второй каноническими схемами Фостера. Любая из них содержит минимальное количество реактивных элементов, которое необходимо для построения заданной частотной зависимости входного сопротивления или входной проводимости. Основы теории цепей. Конспект лекций -374- ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ Методы реализации двухполюсника по заданной входной функции L1 = 1 k0 Н 2k1 Lq = ω12 2k q ω2q R=k С1 = F(p) = Z(p) 1 2k1 Сq = 1 2k q а 1 2k1 L1 = F(p) = Y(p) 1 k0 Н C1 = Lq = 1 2k q R= 2k1 Сq = ω12 2k q 1 k ω2q б Рис. 37.1 2. Метод представления входной функции в виде непрерывной дроби. Наряду со схемами Фостера возможно построение канонических схем в виде цепной или лестничной схем (рис. 37.2). Очевидно, Z(p) = Z1(p) + Zab(p), Z ab ( p ) = 1 1 Y2 ( p ) + Z 3 ( p ) + Z cd ( p ) Z ( p ) = Z1 ( p ) + Z1(p) a Z(p) 1 Y2 ( p ) + Z3(p) Y2(p) b и т. д. . 1 Z3 ( p ) + 1 Y4 ( p ) + … + 1 Yn ( p ) Zn–1(p) c Y4(p) Yn(p) d Рис. 37.2 Основы теории цепей. Конспект лекций -375- ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ Методы реализации двухполюсника по заданной входной функции Для построения лестничной схемы следует представить входную функцию в виде отношения полиномов, не разложенных на множители: M ( p ) an p n + an−1 p n−1 + … + a1 p + a0 = . F ( p) = N ( p ) bm p m + bm−1 p m−1 + … + b1 p + b0 Если функция F(p) = Z(p) − сопротивление и n = m + 1, то имеется полюс при p = ∞, который устраняется одним шагом деления числителя на знаменатель: M 1( p ) Z ( p ) = A1 p + = A1 p + Z1′ ( p ) . N ( p) Функция Z1′ ( p ) обращается в нуль при p = ∞, обратная ей функция 1 Y1′( p ) = имеет при p = ∞ простой полюс и после выделения целой часZ1′ ( p ) ти может быть представлена в виде суммы двух функций: Y1′( p ) = A2 p + Y2′ ( p ) . Поступая аналогично, находим Z 2′ ( p ) = 1 Y2′ ( p ) = A3 p + Z 3′ ( p ) . Повторяя подобные преобразования n раз, получим Z ( p ) = A1 ( p ) + 1 A2 ( p ) + . 1 A3 ( p ) + 1 A4 ( p ) + … + 1 An ( p ) Очевидно, двухполюсник эквивалентен приведенной схеме (рис. 37.2), если A1(p) = Z1(p), A3(p) = Z3(p), ..., An–1(p) = Zn–1(p), A2(p) = Y2(p), A4(p) = Y4(p), ..., An(p) = Yn(p). Основы теории цепей. Конспект лекций -376- ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ Методы реализации двухполюсника по заданной входной функции Описанный процесс деления и обращения (инверсии) идентичен методу проверки полиномов Гурвица. Возможен второй вариант разложения в непрерывную дробь по пара1 метру , при котором устраняется полюс функции в точке p = 0. Разделив p 1 числитель и знаменатель функции F(p) на pn и обозначив = q , получим p F (q) = an + an−1q + an−2q 2 + … + a1 p n−1 + a0q n . bm q n−m + bm−1q n−m+1 + … + b1q n−1 + b0 q n Если F(q) = Z(q) − сопротивление, то разложение в цепную дробь дает Z ( q ) = B1 ( q ) + 1 B2 ( q ) + . 1 B3 ( q ) + 1 B4 ( q ) + … + 1 Bn ( q ) Как и в первом варианте, двухполюсник эквивалентен приведенной схеме (рис. 37.2) при B1 ( q ) = B1 B B = Z1 ( p ) , B3 ( q ) = 3 = Z 3 ( p ) , …, Bn−1Bn−1 ( q ) = n−1 = p p p = Z n−1 ( p ) = B2 ( q ) = Bn−1 = Z n−1 ( p ) , p B2 B B = Y2 ( p ) , B4 ( q ) = 4 = Y4 ( p ) , …, Bn ( q ) = n = Yn ( p ) . p p p Соответствующие двум вариантам разложения цепные схемы называются первой и второй каноническими схемами Кауэра. Основы теории цепей. Конспект лекций -377- ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ Свойства и реализация входных функций LC-двухполюс-ников. Выше было показано, что функция входного сопротивления двухполюсника без потерь (LC) записывается в виде Z ( p ) = F0 + pT0 + V0 V = pT0 + 0 , p p F0 ≡ 0 − энергетическая функция, характеризующая потери в сопротивлениях. V Нули сопротивления Z(p) p = ± j 0 находятся на мнимой оси. T0 Учитывая, что p = σ + jω, получим Z ( p ) = ( σ + jω) T0 + V0 σV ⎞ ⎛ = ⎜ σT0 + 2 0 2 ⎟ + σ + jω ⎝ σ +ω ⎠ ωV ⎞ ⎛ j ⎜ ωT0 − 2 0 2 ⎟ = σ +ω ⎠ ⎝ = R ( σ, ω) + jX ( σ, ω) . Наибольший интерес представляет случай p = jω (σ = 0) Z(jω) = jX(ω), R(σ,ω) = 0. Аналогично для функции входной проводимости Y(p) = 1/Z(p) при p = jω: Y(p) = G(σ,ω) + jB(σ,ω) = jB(ω). Таким образом, входные функции LC-двухполюсников являются реактансными, т. е. имеющими нули и полюсы только на мнимой оси. Одним из важнейших свойств входных функций является положительный наклон графиков их частотных зависимостей. Действительно, на основании условий Коши – Римана необходимыми и достаточными условиями того, чтобы функция u + jv = f(x + jy) была аналитической, являются ∂u ∂v = , ∂x ∂y ∂u ∂v =− , ∂y ∂x и чтобы эти частные производные в рассматриваемой области были непрерывны. Для Z(p) = R(σ,ω) + jX(σ,ω) Основы теории цепей. Конспект лекций -378- ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ Свойства и реализация входных функций LC-двухполюс-ников ∂R ( σ, ω) ∂X ( σ, ω) = , ∂σ ∂ω ∂X ( σ, ω) dX ( ω) d ⎛ ωV0 ⎞ V0 = = ω T − = T + > 0. 0 ⎜ 0 ⎟ dω dω ⎝ ∂ω σ=0 σ2 + ω2 ⎠ σ=0 ω2 Из монотонного нарастания X(ω) и B(ω) следует, что нули и полюсы функций Z(p) и Y(p) чередуются. Это свойство называется разделительным. Простые и сопряженные полюсы и нули на мнимой оси обусловлены сомножителями в числителе и знаменателе Z(p) или Y(p) вида p 2 + ωk2 и p. ( ) Кроме того, независимо от вида и сложности LC-цепь ведет себя как одиночная индуктивность или как одиночная емкость на очень низких и очень высоких частотах, а это значит, что функции Z(p) и Y(p) всегда имеют полюс или нуль при p = 0 и p = ∞. Следовательно, высшая и низшая степени полиномов числителя и знаменателя входных функций двухполюсника должны отличаться на единицу. Таким образом: ( ( p 2 + ω12 ⎧⎪ Z ( p ) ⎫⎪ F ( p) = ⎨ ⎬=H ⋅ 2 p + ω22 ⎪⎩ Y ( p ) ⎪⎭ )( p )( p ) , + ω )… 2 + ω32 … 2 2 4 где ω1 ω3,... − нули: ω2,... − полюсы − 0 ≤ ω1 < ω2 < ω3 < ω4 ... Если полином M(p) − четный, то полином N(p) − нечетный, и наоборот, если N(p) − четный, то M(p) − нечетный. Следует отметить, что в зависимости от наличия внешних нулей и полюсов возможны четыре варианта входных функций двухполюсника (рис. 37.3). а) − степень M(p) меньше степени N(p), в числителе сомножитель p; б) − степень M(p) больше степени N(p), сомножитель p в числителе; в) − степень M(p) больше степени N(p), сомножитель p в знаменателе; г) − степень M(p) меньше степени N(p), сомножитель p в знаменателе. Х(ω) Х(ω) Основы теории цепей. Конспект лекций -379- ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ Свойства и реализация входных функций LC-двухполюс-ников ω 0 0 а Х(ω) ω б Х(ω) 0 ω0 в ω г Рис. 37.3 Наиболее простыми цепями, реализующими заданную входную реактанстную функцию, являются канонические цепи Фостера и Кауэра. Первая цепь Фостера получается при разложении входного сопротивления на сумму простых дробей, число которых определяется числом полюсов Z(p): k0 q 2 k k p Z ( p) = H ⋅ p + + ∑ 2 . p k =1 p + ωk2 Коэффициенты разложения (вычеты) определяются: ( ⎡ Z ( p ) p 2 + ωk2 Z ( p) , k0 = lim ⎡⎣ Z ( p ) ⋅ p ⎤⎦ , 2kk = 2lim 2 ⎢ H = lim p →∞ p →0 p →−ωk ⎢ p p ⎣ ) ⎤⎥ . ⎥ ⎦ Суммированию простых дробей Zk(p) соответствует последовательное соединение реализующих простых элементов L, C0 и параллельных контуров. Полная реализация двухполюсника в этом случае имеет вид, показанный на рис. 37.4. Основы теории цепей. Конспект лекций -380- ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ Свойства и реализация входных функций LC-двухполюс-ников Н L1 = 1 k0 С1 = Z(p) 2k1 Lq = ω12 1 2k1 Сq = 2k q ω2q 1 2k q Рис. 37.4 Наличие внешних нулей и полюсов функции Z(p) определяет наличие в цепи индуктивности L = H и емкости C0 = 1/k0. Если Z(p) имеет два внешних нуля (частотная характеристика вида – рис. 37.3, а), то в цепи отсутствуют индуктивности L = H и емкости C0, если имеет два внешних нуля (частотная характеристика (рис. 37.3, в), то индуктивность L = H и емкость C0 в цепи имеются. При наличии одного внешнего нуля и полюса у Z(p) (частотные характеристики (рис. 37.3, б, г) в цепи присутствует один из элементов либо L, либо C0. Пример 1. Реализовать первую цепь Фостера для функции ( )( p + 8 ⋅10 ) . Z ( p) = ( p + 2 ⋅10 )( p + 6 ⋅10 )( p + 10 ⋅10 ) 102 p p 2 + 4 ⋅ 104 2 4 2 2 4 4 2 4 Решение. Построим график, характеризующий частоты нулей и полюсов входного сопротивления − характеристическую строку двухполюсника. Нули Z(p) при ω1 = 0, ω3 = 2 ⋅ 102 , ω5 = 8 ⋅ 102 , ω3 = ∞ , полюсы при ω2 = 2 ⋅ 102 , ω4 = 6 ⋅ 102 , ω6 = 10 ⋅ 102 . ω1 = 0 ω2 ω3 ω4 ω5 ω6 ω=∞ Частотная зависимость |Z(ω)| имеет вид рис. 37.5. Разложение Z(p) на простые дроби дает Z ( p) = 2k2 p 2k p 2k p + 2 4 2+ 2 6 2. 2 2 p + ω2 p + ω4 p + ω6 Следовательно, в канонической цепи имеется три параллельных колебательных контура (рис. 37.6) с резонансными частотами ω2, ω4, ω6. Основы теории цепей. Конспект лекций -381- ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ Свойства и реализация входных функций LC-двухполюс-ников |Z(ω)| 0 2 ⋅102 6 ⋅102 2 ⋅102 ω 10 ⋅102 8 ⋅102 Рис. 37.5 L2 Z(p) С2 L4 L6 С4 С6 Рис. 37.6 Определим элементы контуров: ( ⎡ Z ( p ) p 2 + ωk2 1 = 2kk = 2lim 2 ⎢ p →−ωk ⎢ Ck p ⎣ 1 = C2 )( )( ⎥ ⎦ ⎡102 p p 2 + 4 ⋅ 104 p 2 + 8 ⋅ 104 p 2 + 2 ⋅ 104 lim ⎢ p 2 →−2⋅104 ⎢ p 2 + 2 ⋅ 104 p 2 + 6 ⋅ 104 p 2 + 10 ⋅ 104 p ⎣ 1 = C4 1 = C6 ( ) ⎤⎥ , ( )( ( )( )( ) )( ) ⎤⎥ = 300 ⎡ 1 ⎤ , 8 ⎢⎣ Ф ⎥⎦ ⎥ ⎦ ⎡102 p p 2 + 4 ⋅ 104 p 2 + 8 ⋅ 104 p 2 + 6 ⋅ 104 lim ⎢ p 2 →−6⋅104 ⎢ p 2 + 2 ⋅ 104 p 2 + 6 ⋅ 104 p 2 + 10 ⋅ 104 p ⎣ ( ( )( )( )( )( ) ⎡102 p p 2 + 4 ⋅ 104 p 2 + 8 ⋅ 104 p 2 + 10 ⋅ 104 lim ⎢ p 2 →−10⋅104 ⎢ p 2 + 2 ⋅ 104 p 2 + 6 ⋅ 104 p 2 + 10 ⋅ 104 p ⎣ ( )( )( Основы теории цепей. Конспект лекций ) ) ⎤⎥ = 25, ⎥ ⎦ ) ⎥⎤ = 300 ⎡ 1 ⎤ . ⎥ ⎦ 8 ⎢⎣ Ф ⎥⎦ -382- ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ Свойства и реализация входных функций LC-двухполюс-ников C2 = 0,0267 Ф, C4 = 0,04 Ф, C6 = 0,0267 Ф. Индуктивности Lk = L4 = 2k k 300 , L2 = = 1,88 ⋅ 10−3 Гн , 2 4 8 ⋅ 2 ⋅ 10 ωk 25 300 −3 0, 42 10 Гн, L = ⋅ = = 0,375 ⋅ 10−3 Гн . 6 4 4 6 ⋅ 10 8 ⋅ 10 ⋅ 10 Вторая цепь Фостера получается при разложении на простые дроби функции входной проводимости Y(p). Пример 2. Реализовать двухполюсник, если его входная проводимость Y ( p) = ( 10−3 p 2 + 2 ⋅ 106 ( )( p 2 + 6 ⋅ 106 p p 2 + 4 ⋅ 106 )( p 2 )( p 2 + 10 ⋅ 106 + 8 ⋅ 106 ) ). Решение. Функция Y(p) имеет полюсы при ω0 = 0, ω2 = 2 ⋅ 103 , ω4 = 8 ⋅ 103 , ω = ∞ , нули при ω1 = 2 ⋅ 103 , ω3 = 6 ⋅ 103 , ω5 = 10 ⋅ 103 . Частотная зависимость |Y(ω)| представлена на рис. 37.7. |Y(ω)| 0 2 ⋅10 2 2 ⋅102 6 ⋅102 8 ⋅102 10 ⋅102 ω Рис. 37.7 Основы теории цепей. Конспект лекций -383- ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ Свойства и реализация входных функций LC-двухполюс-ников L0 = Y(p) L1 1 k0 С=Н L3 C1 C3 Рис. 37.8 Разложение Y(p) на простые дроби: Y ( p) = H ⋅ p + k0 2k p 2k p + 2 1 6+ 2 3 6. p p + 4 ⋅ 10 p + 8 ⋅ 10 Вторая схема Фостера имеет вид, приведенный на рис. 37.8. Определим элементы цепи ⎡Y ( p ) ⎤ −3 C = H = lim ⎢ ⎥ = 10 Ф, p →∞ ⎣ p ⎦ 1 = k0 = lim ⎡⎣Y ( p ) p ⎤⎦ = p 2 →0 L0 ( )( )( ) ⎡10−3 p 2 + 2 ⋅ 106 p 2 + 6 ⋅ 106 p 2 + 10 ⋅ 106 p ⎤ 18 1 ⎢ ⎥ = ⋅ 103 ⎡ ⎤ , = lim ⎢⎣ Гн ⎥⎦ p 2 →0 ⎢ ⎥ 4 p p 2 + 4 ⋅ 106 p 2 + 8 ⋅ 106 ⎣ ⎦ L0 = 0,022·10–3 Гн, ( )( Основы теории цепей. Конспект лекций ) -384- ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ Свойства и реализация входных функций LC-двухполюс-ников ( 1 = L1 ⎡ Y ( p ) p 2 + 4 ⋅ 106 lim 6 ⎢ ⋅ p 2 →−410 p ⎢ ⎣ 1 = L3 ⎡ Y ( p ) p 2 + 8 ⋅ 106 lim 6 ⎢ ⋅ p 2 →−810 p ⎢ ⎣ ( ) ⎤⎥ = 2 ⋅10 3⎡ ⎥ ⎦ 1 ⎤ −3 ⎢⎣ Гн ⎥⎦ , L1 = 0,5 ⋅ 10 Гн, ) ⎤⎥ = 1,5 ⋅10 3⎡ 1 ⎤ −3 ⎢⎣ Гн ⎥⎦ , L3 = 0,67 ⋅ 10 Гн, ⎥ ⎦ 2k1 2 ⋅ 103 2k3 1,5 ⋅ 103 −3 C1 = 2 = = 0,5 ⋅ 10 Ф, C3 = 2 = = 0,187 ⋅ 10−3 Ф. 6 6 8 ⋅ 10 ω2 4 ⋅ 10 ω4 Первая каноническая цепь Кауэра получается последовательным выделением полюсов при p = ∞. Пример 3. Реализовать цепь Кауэра первого типа для функции входного сопротивления ( )( p + 8 ⋅10 ) . Z ( p) = ( p + 2 ⋅10 )( p + 6 ⋅10 )( p + 10 ⋅10 ) 102 p p 2 + 4 ⋅ 104 2 4 2 2 4 4 2 4 Решение. Представим Z(p) в виде отношения полиномов 102 p 5 + 12 ⋅ 106 p 3 + 32 ⋅ 1010 p Z ( p) = 6 . p + 18 ⋅ 104 p 4 + 92 ⋅ 108 p 2 + 120 ⋅ 1012 Поскольку Z(p) не имеет полюса в бесконечности, то в первой схеме Кауэра отсутствует элемент Z1(p). Обратная функция Y(p) = 1/ Z(p) имеет полюс в бесконечности, выделяя который, получим элемент цепи Y2(p); p 6 + 18 ⋅ 104 p 4 + 92 ⋅ 108 p 2 + 120 ⋅ 1012 102 p 5 + 12 ⋅ 106 p 3 + 32 ⋅ 1010 p ( ) − p 6 + 18 ⋅ 104 p 4 + 92 ⋅ 108 p 2 + 120 ⋅ 1012 10-2 p = Y2 ( p ) = C2 p . 6 ⋅ 104 p 4 + 60 ⋅ 108 p 2 + 120 ⋅ 1012 От полученного остатка от деления возьмем обратную функцию 102 p 5 + 12 ⋅ 106 p 3 + 32 ⋅ 1010 p . 6 ⋅ 104 p 4 + 60 ⋅ 108 p 2 + 120 ⋅ 1012 Z ′ ( p ) имеет полюс при p = ∞, выделяя который, получим Z3(p): Z ′( p ) = Основы теории цепей. Конспект лекций -385- ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ Свойства и реализация входных функций LC-двухполюс-ников 102 p 5 + 12 ⋅ 106 p 3 + 32 ⋅ 1010 p 6 ⋅ 104 p 4 + 60 ⋅ 108 p 2 + 120 ⋅ 1012 ( − 102 p 5 + 12 ⋅ 106 p 3 + 32 ⋅ 1010 p ) 1 -2 10 p = Z 3 ( p ) = L3 p 6 . 2 ⋅ 106 p 3 + 12 ⋅ 1010 p Следующий шаг обращения и выделения полюса дает следующий элемент цепи Y4(p): 6 ⋅ 104 p 4 + 60 ⋅ 108 p 2 + 120 ⋅ 1012 2 ⋅ 106 p 3 + 12 ⋅ 1010 p ( ) − 6 ⋅ 104 p 4 + 60 ⋅ 108 p 2 + 120 ⋅ 1012 3 ⋅ 10-2 p = Y4 ( p ) = C4 p . 24 ⋅ 108 p 2 + 120 ⋅ 1012 и т. д. 2 ⋅ 106 p 3 + 12 ⋅ 1010 p 24 ⋅ 108 p 2 + 120 ⋅ 1012 ( − 2 ⋅ 106 p 3 + 12 ⋅ 1010 p ) 1 ⋅ 10-2 p = Z 5 ( p ) = L5 p. 12 2 ⋅ 1010 p 24 ⋅ 108 p 2 + 120 ⋅ 1012 2 ⋅ 1010 p ( ) − 24 ⋅ 108 p 2 + 120 ⋅ 1012 12 ⋅ 10-2 p = Y6 ( p ) = C6 p, 120 ⋅ 1012 2 ⋅ 1010 p 120 ⋅ 1012 ( − 2 ⋅ 1010 p ) 1 ⋅ 10-2 p = Z 7 ( p ) = L7 p. 60 0 Таким образом, первая схема Кауэра имеет вид, представленный на рис. 37.9. L3 = 1,67 · 10–3 Гн Z(p) С2 = 10–2 Ф L5 = 0,83 · 10–3 Гн С4 =3 · 10–2 Ф L5 = 0,167 · 10–3 Гн С6 =12 · 10–2 Ф Рис. 37.9 Основы теории цепей. Конспект лекций -386- ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ Свойства и реализация входных функций LC-двухполюс-ников Выше было показано, что возможен второй вариант разложения входной функции в цепную дробь по параметру 1/p, при котором последовательно выделяются полюсы при p = 0. В этом случае реализуется каноническая цепь Кауэра второго типа. Пример 4. Реализовать цепь Кауэра второго типа для функции входного сопротивления 102 p 5 + 12 ⋅ 106 p 3 + 32 ⋅ 1010 p Z ( p) = 6 . p + 18 ⋅ 104 p 4 + 92 ⋅ 108 p 2 + 120 ⋅ 1012 Решение. Разложим Z(p) в цепную дробь, расположив полиномы числителя и знаменателя по возрастающим степеням. Поскольку Z(p) не имеет полюса при p = 0, то возьмем функцию Y(p) = 1/Z(p), у которой имеется полюс при p = 0. Выделяя первый полюс делением полинома знаменателя Z(p) на полином числителя, получим элемент цепи Y2(p): 120 ⋅ 1012 + 92 ⋅ 108 p 2 + 18 ⋅ 104 p 4 + p 6 32 ⋅ 1010 p + 12 ⋅ 106 p 3 + 102 p 5 ( − 120 ⋅ 1012 + 45 ⋅ 108 p 2 + 3,75 ⋅ 104 p 4 + p 6 ) 375 1 = Y2 ( p ) = p L2 p . 47 ⋅ 108 p 2 + 14,25 ⋅ 104 p 4 + p 6 От полученного остатка от деления возьмем обратную функцию Z ′( p ) = 32 ⋅ 1010 p + 12 ⋅ 106 p 3 + 102 p 5 . 47 ⋅ 108 p 2 + 14,25 ⋅ 104 p 4 + p 6 Функция Z΄(p) имеет полюс при p = 0, выделяя который, получим Z3(p): 32 ⋅ 1010 p + 12 ⋅ 106 p 3 + 102 p 5 47 ⋅ 108 p 2 + 14, 25 ⋅ 104 p 4 + p 6 ( − 32 ⋅ 1010 p + 9,7 ⋅ 106 p 3 + 68 p 5 ) 68 1 = Z3 ( p ) = p C3 p . 2,3 ⋅ 106 p 3 + 32 p 5 Продолжая операции обращения и выделения полюсов при p = 0, получаем: 47 ⋅ 108 p 2 + 14,25 ⋅ 104 p 4 + p 6 2,3 ⋅ 106 p 3 + 32 p 5 ( − 47 ⋅ 108 p 2 + 6,54 ⋅ 104 p 4 + p 6 ) 2040 1 = Y4 ( p ) = p L4 p 2,3 ⋅ 106 p 3 + 32 p 5 7,71 ⋅ 104 p 4 + p 6 ( − 2,3 ⋅ 106 p 3 + 30 p 5 ) 30p = Z ( p ) = C1p 5 Основы теории цепей. Конспект лекций 5 -387- ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ Свойства и реализация входных функций LC-двухполюс-ников 7,71 ⋅ 104 p 4 + p 6 2 p 5 4 −7,71 ⋅ 10 p 3,855 ⋅ 103 1 = Y6 ( p ) = p L6 p 4 2 p5 −2 p 5 . p6 2 1 = Z7 ( p ) = p C7 p 0 Таким образом, получаем Z(p) в виде цепной дроби: Z ( p) = . 1 1 + 2,7 ⋅ 10−3 p 1 1 + 0,015 p 1 1 + 0,5 ⋅ 10−3 p 1 1 + 33,3 ⋅ 10−3 p 1 1 + 26 ⋅ 10−3 p 1 1 0,5 p Соответствующая вторая схема Кауэра представлена на рис. 37.10. С3 =0,015 Ф L2 = 2,7 · 10–3 Гн С5 =33,3 · 10–3 Ф L4 = 0,5 · 10–3 Гн С7 =0,5 Ф L3 = 26 · 10–6 Гн Рис. 37.10 Наряду с рассмотренными выше каноническими схемами возможны и другие типы схем, которые получаются как комбинации цепей Кауэра первого и второго типов, а также комбинации цепей Фостера и Кауэра. Одним из наглядных примеров является одновременное выделение полюсов при p = ∞ и p = 0, что эквивалентно процессу деления для высших степеней p, деления для низших степеней, последующего получение обратной функции и повторения того же цикла. Контрольные вопросы 1. Каковы основные методы реализации двухполюсника по заданной входной функции? 2. Что представляют собой первая и вторая канонические схемы Фостера? 3. Что представляют собой первая и вторая канонические схемы Кауэра? 4. Какими свойствами обладают входные функции LC-двухполюсников? Основы теории цепей. Конспект лекций -388- ЛЕКЦИЯ 38. СВОЙСТВА И РЕАЛИЗАЦИЯ ВХОДНЫХ ФУНКЦИЙ RC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ Свойства входных функций RC-двухполюсников. Примеры реализации входных функций RC-двухполюсников. Свойства и реализация входных функций RL-двухполюсников. Свойства входных функций RC-двухполюсников. Функция входного сопротивления RC-двухполюсников Z ( p ) = F0 + V0 . p (T0 ≡ 0 − отсутствуют индуктивности.) Нули ZRC(p) должны удовлетворять V0 , следовательно, нули, а также полюсы входных функций F0 RC-цепей являются отрицательными вещественными, поскольку V0 и F0 положительные и вещественные. условию p = − Z RC ( p ) = F0 + V0 σV ωV = F0 + 2 0 2 − j 2 0 2 = R ( σ, ω) − jX ( σ, ω) . p σ +ω σ +ω Очевидно, что реактивная составляющая входного сопротивления в верхней полуплоскости (ω > 0) отрицательна. Отсюда следует, что ZRC(p) не может иметь полюса при p = ∞, поскольку выделение его дало бы слагаемое H·p, реализуемое индуктивностью. Кроме того, мнимая часть H·ω > 0 при ω > 0, что противоречит условию отрицательности X(σ,ω). Таким образом, степень полинома числителя ZRC(p) может быть равна или на единицу меньше степени полинома знаменателя. Пользуясь одним из условий Коши – Римана, получим ∂R ∂X = , ∂σ ∂ω ∂Z RC ( p ) ∂X ∂ ⎛ ωV0 ⎞ V0 = = = − < 0. ⎜− 2 ⎟ ∂σ ω=0 ∂ω ω=0 ∂ω ⎝ σ + ω2 ⎠ σ2 Аналогично для проводимости: YRC ( p ) = 1 Z RC ( p ) ∂YRC ∂σ , YRC ( σ, ω) = g ( σ, ω) − jb ( σ, ω) , = ω=0 ∂b V0 = > 0, ∂ω ω=0 F0σ + V0 т. е., как и в случае LC-двухполюсников, справедливо разделительное свойство (нули и полюсы ZRC(p) и YRC(p) чередуются на вещественной оси), на- Основы теории цепей. Конспект лекций -389- ЛЕКЦИЯ 38. СВОЙСТВА И РЕАЛИЗАЦИЯ ВХОДНЫХ ФУНКЦИЙ RC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ Свойства входных функций RC-двухполюсников клон графика входного сопротивления всегда отрицательный, а входной проводимости − положительный (рис. 38.1). YRC(p) ZRC(p) Z(0) 0 σ Z(∞) Y(0) Y(∞) а 0 σ б Рис. 38.1 Обобщенную функцию сопротивления RC-цепи можно записать в виде Z RC ( p ) = H ( p + σ2 )( p + σ4 )…( p + σn ) = ( p + σ1 ) ( p + σ3 )…( p + σm ) p n + an−1 p n−1 + … + a1 p + a0 , =H m p + bm−1 p m−1 + … + b1 p + b0 где 0 ≤ σ1 < σ2 < σ3..., m = n или n = m – 1. Разложение ZRC(p) на простые дроби дает m k0 kk Z RC ( p ) = + ∑ +H, p k =1,3,5... p + σ k где k0 − вычет в полюсе p = 0; k0 = lim ⎡⎣ pZ RC ( p ) ⎤⎦ , H = lim ⎡⎣ Z RC ( p ) ⎤⎦ . p →0 p →∞ Вещественные положительные вычеты: kk = lim ⎡⎣ Z RC ( p ) ( p + σk ) ⎤⎦ . p →−σk Основы теории цепей. Конспект лекций -390- ЛЕКЦИЯ 38. СВОЙСТВА И РЕАЛИЗАЦИЯ ВХОДНЫХ ФУНКЦИЙ RC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ Свойства входных функций RC-двухполюсников Из полученного разложения ZRC(p) следует, что ⎧∞ Z RC ( 0 ) = ⎨ , Z RC ( ∞ ) = H , ⎩R m kk , т.е. Z RC ( 0 ) ≥ Z RC ( ∞ ) . k =1,3,5... σ k Ближайшая к началу координат критическая частота является полюсом функции ZRC(p) (полюс может быть при p = 0). Ближайшая к бесконечности критическая частота является нулем функции ZRC(p) (нуль может быть при p = ∞). Простейшая составляющая Zk = kk/(p + σk) представляет собой параллельное соединение двух ветвей. Действительно, где R = H + ∑ Yk = 1 p + σk p σ = = + k, Zk kk kk kk Yk = pCk + k 1 1 , Ck = , Rk = k . Rk kk σk Таким образом, получаем схему Фостера первого типа (рис. 38.2). C1 = C0 = 1 k0 1 k1 Cm = 1 km R=H ZRC(p) R1 = k1 σ1 Rm = km σm Рис. 38.2 Примеры реализации входных функций RC-двухполюсников. Пример 1. Реализовать двухполюсник первой схемой Фостера по функции входного сопротивления Основы теории цепей. Конспект лекций -391- ЛЕКЦИЯ 38. СВОЙСТВА И РЕАЛИЗАЦИЯ ВХОДНЫХ ФУНКЦИЙ RC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ Примеры реализации входных функций RC-двухполюсников Z ( p) = ( )( p + 5 ⋅10 ) . ( p + 2 ⋅10 )( p + 4 ⋅10 ) 103 p + 3 ⋅ 103 3 3 3 Решение. Нули Z(p) при σ2 = –3·103, σ4 = –5·103, полюсы при σ1 = –2·103, σ3 = –4·103. ZRC(σ) Z(∞) 3 Z(0) σ 0 3 –4 · 10 –2 · 10 Рис. 38.3 C1 C3 R=Н ZRC(σ) R3 Рис. 38.4 Зависимость ZRC(σ) показана на рис. 38.3. Поскольку нет полюса Z(p) при p = 0, то k0 = 0, ( )( )( ⎡103 p + 3 ⋅ 103 p + 5 ⋅ 103 H = R = lim ⎡⎣ Z RC ( p ) ⎤⎦ = lim ⎢ p →∞ p →∞ ⎢ p + 2 ⋅ 103 p + 4 ⋅ 103 ⎣ ( ) ) ⎤⎥ = 10 Ом . 3 ⎥ ⎦ Разложение Z(p) на простые дроби дает Z ( p) = H + k1 k3 + , p + 2 ⋅ 103 p + 4 ⋅ 103 Основы теории цепей. Конспект лекций -392- ЛЕКЦИЯ 38. СВОЙСТВА И РЕАЛИЗАЦИЯ ВХОДНЫХ ФУНКЦИЙ RC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ Примеры реализации входных функций RC-двухполюсников где ( ) ( ) k1 = lim 3 ⎡ Z ( p ) p + 2 ⋅ 103 ⎤ = 1,5 ⋅ 106 , ⎦ p →−2⋅10 ⎣ k3 = lim 3 ⎡ Z ( p ) p + 4 ⋅ 103 ⎤ = 0,5 ⋅ 106. ⎣ ⎦ p →−410 ⋅ Соответствующая разложению Z(p) первая схема Фостера представлена на рис. 38.4. Определим элементы цепи C1 = 1 1 = 0,667 ⋅ 10−6 Ф, C3 = = 2 ⋅ 10−6 Ф, k1 k3 k3 0,5 ⋅ 106 k1 1,5 ⋅ 106 R3 = = = 125 Ом, R1 = = = 750 Ом. σ3 σ1 2 ⋅ 103 4 ⋅ 103 Вторая цепь Фостера получается при разложении на простые дроби функции входной проводимости YRC(p). Из характера кривой YRC(σ) (рис. 38.1, б) видно, что ближайшей к началу координат критической точкой является нуль (нуль может быть и при p = 0), кроме того, YRC(0)p ≤ YRC(∞). Если разлагать на простые дроби непосредственно YRC(p), то получаются отрицательные вычеты, что является специфическим свойством функции YRC(p). Чтобы получить простые дроби с положительными вычетами, следует разлагать функцию YRC(p)/p, степень числителя которой равна или на единицу меньше степени знаменателя. m YRC ( p ) k0 kk = + ∑ +H. p p k =2,4,6... p + σk Умножив обе части разложения на p, получим YRC ( p ) = k0 + m kk p + H ⋅ p, k = 2,4,6... p + σ k ∑ ⎡Y ( p )( p + σ k ) ⎤ ⎡Y ( p ) ⎤ где k0 = YRC ( 0 ) , H = lim ⎢ RC , kk = lim ⎢ RC ⎥. ⎥ p →∞ p →−σ k p p ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Очевидно, k0 = 1/R0 − постоянная проводимость; H·p − величина, характеризующая полюс при p = ∞, H = C. Основы теории цепей. Конспект лекций -393- ЛЕКЦИЯ 38. СВОЙСТВА И РЕАЛИЗАЦИЯ ВХОДНЫХ ФУНКЦИЙ RC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ Примеры реализации входных функций RC-двухполюсников Простейшая составляющая Yk = kk p представляет собой последоваp + σk тельное соединение Rk и Ck. Действительно, Zk = σ 1 p + σk 1 1 k = = + k , Rk = , Ck = k . σk Yk kk p kk kk p kk R1 Rm C Y(p) R0 C1 Cm Рис. 38.5 Таким образом, вторая схема Фостера имеет вид, представленный на рис. 38.5. При реализации RC-цепей применяется также и метод разложения входной функции в цепную дробь. Деление начиная со старших степеней применяется для функций входного сопротивления, имеющего одинаковые степени числителя и знаменателя. Если степень числителя ZRC(p) меньше степени знаменателя, то в схеме Кауэра первого типа отсутствует сопротивление R1 и реализацию цепи следует начинать с обратной величины YRC(p) =1/ZRC(p). Цепь Кауэра второго типа получается при делении начиная с младших степеней выражения YRC с одинаковыми показателями степеней числителя и знаменателя, а также к функции, обратной входной проводимости, если степень числителя входной проводимости больше степени знаменателя. Свойства и реализация входных функций RL-двухполюсников. Функция входного сопротивления RL-двухполюсников Z RL ( p ) = F0 + pT0 = F0 + ( σ + jω) T0 . Z RL ( p ) = F0 + F0σ + jωT0 = R ( σ, ω) + jX ( σ, ω) . Пользуясь одним из условий Коши – Римана, получим Основы теории цепей. Конспект лекций -394- ЛЕКЦИЯ 38. СВОЙСТВА И РЕАЛИЗАЦИЯ ВХОДНЫХ ФУНКЦИЙ RC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ Свойства и реализация входных функций RL-двухполюсников ∂R ∂X ∂Z RL ( σ ) = = = T0 > 0 . ∂σ ∂ω ∂σ ω=0 Аналогично для проводимости YRL ( p ) = 1 Z RL ( p ) , YRC ( σ, ω) = g ( σ, ω) − jb ( σ, ω) , ∂YRL ( σ ) ∂b T0 = =− < 0, ∂σ ω=0 ∂ω ω=0 F0 + σT0 YRL ( σ, ω) = g ( σ, ω) + jb ( σ, ω) . F0 − вещественные и отрицательные, следоваT0 тельно, нули и полюсы входных функций RL-цепей лежат на отрицательной вещественной полуоси и, учитывая, что наклон графиков ZRL(σ) всегда положительный, а YRL(σ) − отрицательный, можно утверждать справедливость разделительного чередования нулей и полюсов. Типичные зависимости ZRL(p) и YRL(σ) аналогичны зависимостям YRC(σ) и ZRC(σ), приведенным на рис. 38.1. Очевидно, что функция входного сопротивление RL-цепи может иметь полюс при p = ∞, выделение которого дает индуктивность и не может иметь полюс при p = 0, поскольку выделение его дало бы емкость. Таким образом, ZRL(p) имеет степень числителя, равную или на единицу большую степени знаменателя. Аналогично, функция входной проводимости может иметь степень числителя, равную или на единицу меньшую степени знаменателя. Следует также отметить, что критическая точка, ближайшая к началу координат функции ZRL(p), является нулем, а YRL(p) − полюсом, и наоборот, ближайшая к бесконечности критическая точка ZRL(p) является полюсом, а YRL(p) − нулем. Кроме того, ZRL(∞) ≥ ZRL(0), YRL(∞) ≤ YRL(0). Обобщенные формы функций ZRL(p) и YRL(p) имеют вид, аналогичный функциям YRC(p) и ZRC(p), следовательно, методы синтеза RL-двухполюсников полностью аналогичны методам синтеза RC-двухполюсников. Выражение для входной проводимости ZRL(p) и разложение его на простые дроби аналогично разложению ZRC(p): Нули ZRL(p) при p = − YRL ( p ) = m k0 kk + ∑ +H. p k =1,3,5... p + σ k Основы теории цепей. Конспект лекций -395- ЛЕКЦИЯ 38. СВОЙСТВА И РЕАЛИЗАЦИЯ ВХОДНЫХ ФУНКЦИЙ RC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ Свойства и реализация входных функций RL-двухполюсников Соответствующая данному разложению вторая схема Фостера приведена на рис. 38.6. Rm R1 YRL(p) H= 1 R L0 = Lm L1 1 k0 Рис. 38.6 k0 = lim ⎡⎣ pYRL ( p ) ⎤⎦ , H = lim ⎡⎣YRL ( p ) ⎤⎦ . p →0 p →∞ Вещественные положительные вычеты kk = lim ⎡⎣YRL ( p ) ( p + σ k ) ⎤⎦ . p →−σk 1 kk = представляет собой послеZ k p + σk 1 σ и Rk = k . довательное соединение Lk = kk kk p + σk p σk + = pLk + Rk . Действительно, Z k = kk kk kk Первую схему Фостера можно получить разложением на простые дроби функции ZRL(p)/p, которое аналогично разложению функции YRC(p)/p: Простейшая составляющая Yk = Z RL ( p ) = k0 + m kk p + H ⋅ p, p + σ k = 2,4,6... k ∑ ⎡ Z RL ( p ) ( p + σ k ) ⎤ ⎡ Z ( p) ⎤ где k0 = Z RL ( 0 ) , H = lim ⎢ RL , lim k = ⎢ ⎥. k ⎥ p →∞ p →−σk p ⎣ p ⎦ ⎣ ⎦ Очевидно, k0 = R0 = ZRL(0) − постоянное сопротивление: H·p = L·p − величина, характеризующая полюс при p = ∞. k p представляет собой параллельПростейшая составляющая Z k = k p + σk ное соединение Rk и Lk. Действительно, Основы теории цепей. Конспект лекций -396- ЛЕКЦИЯ 38. СВОЙСТВА И РЕАЛИЗАЦИЯ ВХОДНЫХ ФУНКЦИЙ RC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ Свойства и реализация входных функций RL-двухполюсников Yk = 1 p + σk 1 σ k = = + k , Rk = kk , Lk = k . Zk kk p kk kk p σk Таким образом, первая схема Фостера имеет вид (рис. 38.7). Lm L=H ZRL(p) R0 = k0 R2 Rm Рис. 38.7 Реализация лестничных цепей Кауэра первого и второго типа аналогична реализации RC-цепей, если поменять местами функции ZRL(p) и YRC(p). Для получения схемы Кауэра первого типа осуществляют последовательное деление начиная со старших степеней функции ZRL(p), степень числителя которой на единицу больше степени знаменателя, а также функции YRL(p), имеющей одинаковые степени числителя и знаменателя. Для получения схемы Кауэра второго типа осуществляют поочередное деление начиная с младших степеней функции ZRL(p) с одинаковыми степенями числителя и знаменателя, а также функции YRL(p), степень числителя которой меньше степени знаменателя. Контрольные вопросы 1. Где на комплексной плоскости лежат нули и полюсы входных функций RC-цепей? 2. Чем является ближайшая к началу координат критическая частота входных функций RC-цепей? 3. Чем является ближайшая к началу координат критическая частота входных функций RL-цепей? Основы теории цепей. Конспект лекций -397- ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ Общий метод синтеза двухполюсников с потерями по О. Бруне. Примеры реализации RLC-двухполюсников. Общий метод синтеза двухполюсников с потерями по О. Бруне. Рассмотренные выше методы реализации цепей с двумя типами элементов практически неприменимы в случае положительных вещественных функций с комплексными нулями и полюсами, так как в разложении на простые дроби положительность и вещественность вычетов не гарантируется. Общий метод синтеза, разработанный О. Бруне, завершает доказательство основной теоремы синтеза демонстрацией того, что если рациональная функция является положительной и вещественной, то всегда существует линейный пассивный с сосредоточенными и неизменными во времени параметрами двухполюсник, сопротивлением (или проводимостью) которого эта функция является. Метод Бруне состоит из нескольких этапов, последовательно снижающих порядок заданной входной функции. 1. Поскольку полюсы положительной вещественной функции на мнимой оси простые, а вычеты в них вещественные и положительные, то соответствующие члены в разложении ее на элементарные дроби всегда могут быть реализованы одной из схем Фостера. Таким образом, при выделении из положительной вещественной функции полюсов на мнимой оси, включая p = 0 и p = ∞, достигается частичная реализация и упрощение данной функции. После выделения полюсов оставшаяся функция проверяется на наличие нулей на мнимой оси и, если такие нули появляются, то берется обратная функция от оставшейся и выделяются получающиеся при обращении полюсы на оси jω. В результате остается функция, являющаяся положительной вещественной и не имеющая полюсов и нулей на мнимой оси, она называется функцией минимального реактивного сопротивления или минимальной реактивной проводимости F(p). Основы теории цепей. Конспект лекций -398- ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ Общий метод синтеза двухполюсников с потерями по О. Брунее Re F(jω) min Re F(jω) 0 ω ω1 Рис. 39.1 2. Полученная функция минимальной реактивности может быть упрощена выделением минимального значения вещественной составляющей этой функции на мнимой оси (рис. 39.1). Выделение minReF(jω) соответствует реализации последовательного сопротивления R1, если F(p) − входное сопротивление, или параллельного (шунтирующего) сопротивления, если F(p) − входная проводимость двухполюсника (рис. 39.2). Оставшаяся функция F1(p) = F(p) – minReF(jω) является положительной вещественной, не имеет полюсов и нулей на мнимой оси и ее вещественная часть равна нулю при p = jω1(ReF(jω1) = 0), ее называют минимальной функцией. LC Z(p) LC R1 LC Z1(p) Y(p) LC R1 Y1(p) Рис. 39.2 Частичная реализация заданной функции, вплоть до момента получения минимальной функции, приводит к цепи, состоящей из реактивных элементов L и C и активных сопротивлений R1 (рис. 39.2), которая называется предварительной цепью Фостера. 3. Очевидно, если минимум R1 выделяется на конечной частоте jω1, то оставшаяся после его выделения минимальная функция F1(jω1) является чисто мнимой величиной. Основы теории цепей. Конспект лекций -399- ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ Общий метод синтеза двухполюсников с потерями по О. Брунее Предположим F1(p) = Z1(p) − минимальное сопротивление двухполюсника M ( p ) an p n + an−1 p n−1 + … + a1 p + a0 = . Z1 ( p ) = N ( p ) bm p m + bm−1 p m−1 + … + b1 p + b0 При p = jω1, ReF(jω1) = 0, Z1(jω1) = ±jx1, т. е. Z1(jω1) чисто реактивное. Возможно два случая Z1(jω1) = –jx1 и Z1(jω1) = +jx2. В первом случае Z1(jω1) = –jx1 можно представить отрицательной инx дуктивностью L1 = − 1 (рис. 39.3). ω1 L1 < 0 Z1(jω1) Рис. 39.3 L1 < 0 Z1(p) L2 Y3(p) C Рис. 39.4 Выделив из сопротивления Z1(p) сопротивление индуктивности pL1, получим Z2(p) = Z1(p) – pL1, которое имеет нуль на мнимой оси при p = +jω1 (действительно, Z2(jω1) имеет ReZ1(jω1) = 0 и при выделении индуктивности L1 Z2(jω1) = 0). M ( p) Z 2 ( p ) = Z1 ( p ) − pL1 = 2 . N ( p) Степень полинома M2(p) на единицу больше степени полинома M(p) (числителя функции Z1(p)). 4. Функция Y2(p) = 1/Z2(p) имеет полюс при p = +jω1, вычет в котором вещественный положительный. Выделение из функции Y2(p) полюса при Основы теории цепей. Конспект лекций -400- ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ Общий метод синтеза двухполюсников с потерями по О. Брунее p 2 = −ω12 дает последовательный колебательный контур (рис. 39.4) с положительными L2 и C. Из рис. 39.4 видно, что на частоте ω1 возникает последовательный резонанс контура L2C и правая часть схемы оказывается короткозамкнутой. ( ) Y2 ( p ) p 2 + ω12 1 1 , C = 2 , 2k2 = 2lim 2 L2 = . p →−ω1 2k 2 p ω1 L2 5. Оставшаяся после выделения контура L2C-функция M ( p) 2k2 p = 3 2 2 p + ω1 N3 ( p) имеет степень числителя M3(p), равную n – 2, а степень знаменателя n – 1, а значит, имеет нуль в бесконечности. Положительная вещественная функция Z3(p) = 1/Y3(p) имеет полюс при p = ∞ с положительным вещественным вычетом, который выделяется и реализуется индуктивностью L3 > 0 (рис. 39.5). Y3 ( p ) = Y2 ( p ) − L1 < 0 Z1(p) L3 < 0 L2 > 0 Z4(p) C Рис. 39.5 M4 ( p) является положительной вещеN4 ( p ) ственной функцией со степенями полиномов M4(p) и N4(p), равными n – 2. На этом завершается один цикл синтеза по Бруне, к оставшейся после него функции Z4(p) также может быть применен следующий цикл Бруне до полной реализации двухполюсника. Полученные три индуктивности, одна из которых отрицательна, могут быть заменены трансформатором (рис. 39.6). Функция Z 4 ( p ) = Z 3 ( p ) − pL3 = I 2′ Основы теории цепей. Конспект лекций -401- ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ Общий метод синтеза двухполюсников с потерями по О. Брунее L1 I1 L3 I1 L2 U1 U2 I 2′ M LS U1 LP а U2 б Рис. 39.6 Условием эквивалентности цепей (рис. 39.6, а, б) является равенство их параметров: ⎧ U1 = Z11I1 + Z12 I 2′ . ⎨ ⎩U 2 = Z 21I1 + Z 22 I 2′ Для Т-образного четырехполюсника (рис. 39.6, а) U U1 U Z11 = 1 = = p ( L1 + L2 ) , Z12 = 1 I1 I ′ =0 U1 I 2′ 2 pL pL + ( 1 2) Z 22 = U2 I 2′ = p ( L1 + L3 ) , Z 21 = I1 =0 U2 I1 = pL2 I1 =0 = pL2 . I 2′ =0 Для трансформатора (рис. 39.6, б) справедлива система уравнений: ⎧U1 = pLP ⋅ I1 + pM ⋅ I 2′ , ⎨ ⎩U 2 = pM ⋅ I1 + pLS ⋅ I 2′ , откуда Z11 = pLp, Z22 = pLS, Z12 = pM. ⎡ L1 + L2 ⎣ L2 [ ZT ] = p ⎢ ⎤ ⎡ LP = L2 + L3 ⎥⎦ ⎢⎣ M L2 M⎤ . LS ⎥⎦ Таким образом, для цикла Бруне Lp = L1 + L2, LS = L2 + L3, M = L2. Коэффициент связи трансформатора kCB = M = LP LS L2 ( L1 + L2 ) ( L2 + L3 ) Основы теории цепей. Конспект лекций . -402- ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ Общий метод синтеза двухполюсников с потерями по О. Брунее Если kCB = 1, то трансформатор называется совершенным, практически можно реализовать трансформатор, близкий к совершенному (kCB = 0,99). Тогда L22 ( L1 + L2 ) ( L2 + L3 ) L1L2 + L1L3 + L2 L3 = 1, ( L1 + L2 ) ( L2 + L3 ) =1− откуда L1L2 + L1L3 + L2L3 = 0. Для выполнения последнего равенства необходимо, чтобы одна из индуктивностей была отрицательной. Примеры реализации RLC-двухполюсников. Пример 1. Методом Бруне реализовать входную функцию p 5 + 3 ⋅ 103 p 4 + 7 ⋅ 106 p 3 + 12 ⋅ 109 p 2 + 11 ⋅ 1012 p + 6 ⋅ 1015 . 2 p 5 + 103 p 4 + 107 p 3 + 4 ⋅ 109 p 2 + 8 ⋅ 1012 p Решение. 1. Разложим функцию Z(p) на множители Z ( p) = Z ( p) = ( )( ) ( )( ) 103 p2 + 3⋅106 2 p2 +103 p + 2 ⋅106 + p2 + 4 ⋅106 p2 +103 p + 2 ⋅106 p ( )( 10 ( p + 3 ⋅ 10 ) p + 10 p + 2 ⋅ 10 = + p ( p + 4 ⋅ 10 ) 2 p + 10 p + 2 ⋅ 10 p p2 + 4 ⋅106 2 p2 +103 p + 2 ⋅106 3 2 2 6 6 2 2 3 6 3 6 ) = = Z P ( p ) + Z1′ ( p ) . Zp(p) является входным сопротивлением реактивного двухполюсника. Нули Zp(p) при p = ± j 3 ⋅ 103 , p = ∞; полюсы при p = 0, p = ±j2·103. Zp(p) реализуется первой схемой Фостера, представленной на рис. 39.7. L2′ Ca ZP(p) С2′ Рис. 39.7 Основы теории цепей. Конспект лекций -403- ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ Примеры реализации RLC-двухполюсников Элементы схемы: 1 3 = k0 = lim ⎡⎣ pZ P ( p ) ⎤⎦ = 103 , C0 = 1,33 ⋅ 10−3 Ф, p →0 4 C0 1 2k2′ = = C2′ 2 lim p →−4⋅10 L2′ = ( Z P ( p ) p 2 + 4 ⋅ 106 6 p ) = 10 3 4 , C2′ = 4 ⋅ 10−3 Ф, 1 1 = = 62,5 ⋅ 10−6 Гн. −3 2 6 ω C2′ 4 ⋅ 10 ⋅ 4 ⋅ 10 Оставшаяся функция Z1′ ( p ) является положительной вещественной и не имеет полюсов и нулей на мнимой оси, Z1′ ( p ) − функция минимального реактивного сопротивления. 2. Выделим из функции Z1′ ( p ) минимальное значение вещественной составляющей на мнимой оси. Для p = jω −ω2 + j103 ω + 2 ⋅ 106 Z1′ ( jω) = . −2ω2 + j103 ω + 2 ⋅ 106 Разделяя вещественную и мнимую составляющие, получим Z1′ ( jω) = 2ω4 − 5 ⋅ 106 ω2 + 4 ⋅ 1012 103 ω3 . −j 4 4ω4 − 7 ⋅ 106 ω2 + 4 ⋅ 1012 4ω − 7 ⋅ 106 ω2 + 4 ⋅ 1012 Вещественная составляющая имеет минимум в одной из точек, где d производная ( Re Z1′ ( jω) ) = 0 . Определим значения ω и min Re Z1′ ( jω) из dω этого условия: ⎡ 2ω4 − 5 ⋅ 106 ω2 + 4 ⋅ 1012 ⎤′ = 0, 3ω5 − 8 ⋅ 106 ω3 + 4 ⋅ 1012 ω = 0 , ⎢ 4 6 2 12 ⎥ ⎣ 4ω − 7 ⋅ 10 ω + 4 ⋅ 10 ⎦ откуда ω1 = 0, ω22,3 8 ⋅ 106 ± 64 ⋅ 1012 − 48 ⋅ 1012 2 = , ω22 = 2 ⋅ 106 , ω32 = ⋅ 106 . 3 6 Основы теории цепей. Конспект лекций -404- ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ Примеры реализации RLC-двухполюсников При полученных ω вещественная составляющая принимает следующие значения: 1 2 ⎛ ⎞ 7 Re Z1′ ( ω = 0 ) = 1, Re Z1′ ω22 = 2 ⋅ 106 = , Re Z1′ ⎜ ω32 = ⋅ 106 ⎟ = . 3 3 ⎝ ⎠ 5 ( ) Очевидно, вещественная часть Z1′ ( p ) принимает минимальное значе1 при ω2 = 2 ⋅ 103 . 3 Выделив R1, получим ние R1 = Z1 ( p ) = Z1′ ( p ) − R1 = p 2 + 103 p + 2 ⋅ 106 1 p 2 + 2 ⋅ 103 p + 4 ⋅ 106 − = , 2 p 2 + 103 p + 2 ⋅ 106 3 3 2 p 2 + 103 p + 2 ⋅ 106 ( ) которая является минимальной функцией. Частичная реализация входной функции дает предварительную цепь Фостера (рис. 39.8). L2′ Ca Z(p) R1 С2′ Z1(p) Рис. 39.8 3. Определим значения вещественной и мнимой частей Z1(p) при ω2 = 2 ⋅ 103 . Z1 ( jω) = = −ω2 + j 2 ⋅ 103 ω + 4 ⋅ 106 ( 3 −2ω2 + j103 ω + 2 ⋅ 106 2ω4 − 8 ⋅ 106 ω2 + 8 ⋅ 1012 ( 3 4ω4 − 7 ⋅ 106 ω2 + 4 ⋅ 1012 ) −j ) = 103 ω3 . 4ω4 − 7 ⋅ 106 ω2 + 4 ⋅ 1012 Основы теории цепей. Конспект лекций -405- ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ Примеры реализации RLC-двухполюсников Re Z1 ( p ) ω 2= 2 ⋅103 = 0 , что и следовало ожидать, поскольку Z1(jω) − ми- нимальная функция. Im Z1 ( jω) ω 2= L1 = − 3 2 ⋅10 =− 2 = − x1 = ωL1, 3 x1 2 1 =− = − 10−3 Гн. 3 ω 3 3 2 ⋅ 10 Выделив индуктивность L1 из Z1(p), получим Z 2 ( p ) = Z1 ( p ) − pL1 = = ( p 2 + 2 ⋅ 103 p + 4 ⋅ 106 ( 3 2 p 2 + 103 p + 2 ⋅ 106 2 10−3 p 3 + p 2 + 2 ⋅ 103 p + 2 ⋅ 106 ( 3 2 p 2 + 103 p + 2 ⋅ 106 ) ) 10−3 p + = 3 ) = 2 ( p + 2 ⋅10 )(10 p + 1) . 3 ( 2 p + 10 p + 2 ⋅ 10 ) 2 6 2 3 −3 6 Функция Z2(p) имеет степень числителя на единицу выше степени функции Z1(p), а также имеет нуль на мнимой оси при p = ± j 2 ⋅ 103 . 1 L1 = ⋅10−3 Гн 3 Z1(p) L2 Y3(p) С Рис. 39.9 4. Функция Y2(p) = 1/Z2(p) имеет полюс при ω2 = 2 ⋅ 103 . Выделение этого полюса дает последовательный колебательный контур L2C (рис. 39.9). Основы теории цепей. Конспект лекций -406- ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ Примеры реализации RLC-двухполюсников 2k 2 = ( Y2 ( p ) p 2 + 2 ⋅ 106 lim 2 ⋅ p →−210 C= p 6 ) = 1500, L2 = 0,67 ⋅ 10−3 Гн, 1 1 = = 0,75 ⋅ 10−3 Ф. 2 6 −3 ω1 L2 2 ⋅ 10 ⋅ 0,67 ⋅ 10 5. Определим Y3 ( p ) = Y2 ( p ) − = ( 3 2 p 2 + 103 p + 2 ⋅ 106 ( ) − ) ( 2 p 2 + 2 ⋅ 106 )(10−3 p + 1 2k 2 p = p + 2 ⋅ 106 2 3 ⋅ 103 p 2 p 2 + 2 ⋅ 106 ) = ( 3 ) 2 10−3 p + 1 1 Положительная вещественная функция Z 3 ( p ) = = . ( ) 2 10−3 p + 1 Y3 ( p ) 3 имеет полюс при p = ∞, который реализуется индуктивностью L3. 2 2 Z 3 ( p ) = 10−3 p + = L3 p + R, 3 3 L3 = 0,67 ⋅ 10−3 Гн, R = 0,67 Ом. Полная и эквивалентная схемы, реализующие входную функцию, показаны на рис. 39.10, рис. 39.11. С0 Z(p) L3 L1 R1 L2′ L2 С2′ R C Z1′ ( p ) Z1(p) Z2(p) Z3(p) Рис. 39.10 Основы теории цепей. Конспект лекций -407- ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ Примеры реализации RLC-двухполюсников С0 R1 L2′ M LP = L1 + L2 С2′ Z(p) LP LS R LS = L2 + L3 M = L2 C Рис. 39.11 Во втором случае Z1(jω1) = + jx1 можно представить индуктивностью x L1 = 1 > 0 и выделить pL1 из Z1(p). Функция Z2(p) = Z1(p) – pL1 не будет поω1 ложительной Z1 ( p ) − pL1 = вещественной, поскольку при вычитании M1 ( p ) − pL1 получим в числителе Z2(p) члены с отрицательныN ( p) ми коэффициентами. Однако функция Z2(p) имеет нуль при p = ±jω1, и если из обратной функции Y2(p) = 1/Z2(p) выделить полюс при p = ±jω1, в котором положительный вещественный вычет, то получится параллельная ветвь из L2 и C (рис. 39.9). 2k p Оставшаяся функция Z3(p) = 1/Y3(p), где Y3 ( p ) = Y2 ( p ) − 2 2 2 , имеет p + ω1 полюс в бесконечности с отрицательным вычетом, выделяя который, можно получить L3 < 0 (рис. 39.12). L1 > 0 L3 > 0 L2 Z1(p) Z4(p) C Z2(p) Z3(p) Рис. 39.12 Основы теории цепей. Конспект лекций -408- ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ Примеры реализации RLC-двухполюсников M Z1(p) LP LS Z4(p) C Рис. 39.13 После выделения L3 остается положительная вещественная функция Z4(p), к которой может быть применен следующий цикл Бруне. Полученные три индуктивности, как и в первом случае, могут быть заменены совершенным трансформатором (рис. 39.13). Контрольные вопросы 1. Из каких этапов синтеза состоит метод Бруне? 2. Какая функция называется функцией минимального реактивного сопротивления или минимальной реактивной проводимости? 3. Какую функцию называют минимальной функцией? 4. Что называется предварительной цепью Фостера? 5. При каких условиях трансформатор называется совершенным? Основы теории цепей. Конспект лекций -409- ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ Свойства передаточных функций четырехполюсников. Свойства Z-параметров четырехполюсников. Нули передачи и свойства K12XX. Условия Фиалкова − Герста. Синтез передаточных функций четырехполюсников. Свойства передаточных функций четырехполюсников. Определение передаточных функций четырехполюсников I1 ZГ I 2′ ZН U2 U1 UГ Рис. 40.1 U Г = U1 + I1 ⋅ Z Г , U 2 = − I 2′ ⋅ Z H . Передаточная функция по напряжению (рис. 40.1) K12 = − I 2′ ⋅ Z H − I 2′ ⋅ Z H U2 = = , U Г U1 + I1 ⋅ Z Г Z11I1 + Z12 I 2′ + I1Z Г ⎧ U1 = Z11I1 + Z12 I 2′ , ⎨ ⎩U 2 = Z 21I1 + Z 22 I 2′ , K12 = U2 = UГ = − Z 21I1 . Z H + Z 22 Z H Z 21I1 = ⎛ ⎞ − Z 21I1 + I1 ⋅ Z Г ⎟ ( Z H + Z 22 ) ⎜ Z11I1 + Z12 + Z Z ⎝ ⎠ H 22 Z H Z 21 = Z11Z 22 − Z 21Z12 + Z H Z Г + Z 22 Z Г + Z H Z11 = − I 2′ ⋅ Z H = Z 21I1 + Z 22 I 2′ , I 2′ = Z H Z 21 . Z H Z Г + Z 22 Z Г + Z H Z11 + Z Основы теории цепей. Конспект лекций -410- ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ Свойства передаточных функций четырехполюсников Для более простых случаев (если четырехполюсник обратимый Z21 = Z12) Z ( p ) −Y12 ( p ) U 1. Z Г = 0, Z H → ∞, K12XX ( p ) = 22XX = 12 . = U1 Z11 ( p ) Y22 ( p ) 2. При Z Г = 0, K12 ( p ) = Z12 ( p ) ⋅ Z H ( p ) . Z11 ( p ) ⋅ Z H ( p ) + Z 3. При ZГ = 0 и ZH = 0 передаточной функцией является I 2′ ( p ) = −Y12 ( p ) . U1 ( p ) 4. Учитывая связь |Z|- и |Y|-параметров, получим Y12 ( p ) = Y12 ( p ) ⋅ YH ( p ) − передаточная проводимость. Y22 ( p ) + YH ( p ) 5. При YГ = 0 Z12 ( p ) = U 2 ( p ) Z12 ( p ) ⋅ Z H ( p ) − передаточное сопротивление. = I1 ( p ) Z 22 ( p ) + Z H ( p ) При сопротивлении нагрузки R = 1 Oм Z12 ( p ) = Z12 ( p ) Y ( p) ; Y12 ( p ) = 12 . Z 22 ( p ) + 1 Y22 ( p ) + 1 Свойства Z-параметров четырехполюсников. Для четырехполюсника (рис. 40.2) справедливы выражения: ⎧ U1 = Z11I1 + Z12 I 2′ , U = a1U1 + a2U 2 , I1 = a1I , I 2′ = a2 I . ⎨ ′ = + , U Z I Z I ⎩ 2 21 1 22 2 U = a1Z11I1 + a1Z12 I 2′ + a2 Z 21I1 + a2 Z 22 I 2′ . При Z 21 = Z12 , U = a12 Z11I + 2a1a2 Z12 I + a22 Z 22 I . Основы теории цепей. Конспект лекций -411- ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ Свойства Z-параметров четырехполюсников U = a12 Z11 + 2a1a2 Z12 + a22 Z 22 − квадратичная форма. I Z(p) – положительная вещественная функция (Z(p) ≥ 0) при Re P ≥ 0. Z ( p) = I1 I I 2′ a1 : 1 1 : a2 U2 U1 U Рис. 40.2 Поскольку Z11(p) и Z22(p) – входные функции цепи, то они не имеют полюсов в правой полуплоскости и вычеты на оси jω должны быть простыми. Следовательно, Z(p) не имеет полюсов в правой полуплоскости. Пусть k11, k12 и k22 – вычеты функций Z11(p), Z12(p) и Z22(p) в полюсе jω. Известно, что вычеты Z11(p) и Z22(p) в полюсах на мнимой оси вещественные и положительные, тогда вычет функции Z(p) в этом полюсе также k > 0. k = a12 k11 + 2a1a2 k12 + a22 k22 > 0 . Отсюда очевидно, что при k11 ≥ 0, k22 ≥ 0 k12 – вещественная величина. Из анализа квадратичной формы получается условие вычетов k11k22 − k122 ≥ 0 . Аналогично для вещественных составляющих Z(p) Re Z ( jω) = a12 r11 + 2a1a2 r12 + a22 r22 ≥ 0 . При r11 > 0 r22 > 0 r11r22 − r122 ≥ 0 (Re P ≥ 0). Таким образом, на вещественную составляющую r12 накладывается ограничение, если Z(p) – положительная вещественная функция. Основы теории цепей. Конспект лекций -412- ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ Нули передачи и свойства K12XX. K12XX ( p ) = U 22XX Z12 ( p ) = . U1 Z11 ( p ) 1. K12XX − рациональная функция с вещественными коэффициентами. 2. Нулями передачи являются те нули Z12(p), которые не являются нулями Z11 (p). Полюсы Z11 (p) (частные, которых нет у Z12(p) являются нулями K12XX. Так как расположение нулей Z12(p) не ограничено левой полуплоскостью, то K12XX может иметь нули любой кратности по всей плоскости комплексного переменного Р. (Z12(p) не является функцией двухполюсника, поэтому на расположение ее нулей не накладывается ограничений.) 3. Полюсы K12XX могут быть только в левой полуплоскости, так как они являются нулями Z11(p), или на оси jω (Z12(p) не имеет полюсов в правой полуплоскости). 4. Вычет K12XX в полюсе на оси jω является мнимым. Действительно, при Z11(jω) = 0, r11 = 0 и если r22 ≠ ∞, то из условия вещественных составляющих получаем r12 = 0 и следовательно, Z12(jω) − чисто мнимая величина. K12XX ( p ) = Разложим ( Z12 ( p ) Z = 2 122 Z11 ( p ) ′ p + ω1 Z11 ( ) ( Z11′ ( jω) ≠ 0 ) . ⎛ 2k1 p A ⎞ Z = + ⎜ ⎟. 12 2 2 ′ Z p + ω ′ p 2 + ω12 Z11 11 ⎠ ⎝ 1 Z12 ) Вычет K12XX при p = jω1 ⎡ ⎤ Z12 ⎢ ⋅ ( p − jω1 ) ⎥ = ′ ⎢ p 2 + ω12 Z11 ⎥ ⎣ ⎦ p = jω1 ( ) A ( p − jω1 ) ⎤ ⎪⎫ ⎪⎧ ⎡ 2k p = ⎨ Z12 ⎢ 2 1 + = ( Z12 k1 ) p = jω . ⎥⎬ 1 ′ Z11 ⎪⎩ ⎣ p + jω1 ⎪ ⎦ ⎭ p = jω1 Поскольку Z12(jω) − чисто мнимая величина, то вычет K12XX − чисто мнимая величина. Основы теории цепей. Конспект лекций -413- ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ Нули передачи и свойства K12XX 5. K12XX не имеет полюса при Р = 0 и Р = ∞. Действительно, если Z11(0) = 0, а Z12(0) ≠ 0, то Z12(0) должна быть постоянной. Однако, если Z12(0) постоянная величина, то при r11 = 0 нарушается условие для вещественных составляющих ( r11r22 − r122 ≥ 0 ). Условия Фиалкова − Герста. Неуравновешенный четырехполюсник (рис. 40.3) может быть заменен схемой замещения (рис. 40.4). I1 I 2′ U2 U1 I1 Z12 U1 Рис. 40.3 Z22 – Z12 Z11 – Z12 I 2′ U2 Рис. 40.4 Если (Z11 – Z12), (Z22 – Z12) и Z12 − положительные вещественные функции, то в полиномах их описывающих не могут появляться знаки «минус». Тогда am p m + am−1 p m−1 + … + a1 p + a0 Z12 ( p ) = , q( p) bn p n + bn−1 p n−1 + … + b1 p + b0 Z11 ( p ) = , q( p) ck p k + ck −1 p k −1 + … + c1 p + c0 Z 22 ( p ) = , q( p) все Z − параметры имеют одни и те же полюсы. И так как (Z11 – Z12), (Z22 – Z12) и Z12 не могут содержать отрицательных членов, то ai ≥ 0; bi ≥ai; ci ≥ai − условия Фиалкова − Герста. m ≤ n или m ≤ k в зависимости от того, что меньше n или k. Z ( p) Поскольку K12XX ( p ) = 12 , то все коэффициенты не отрицательны, Z11 ( p ) коэффициенты при соответствующих степенях Р в числителе меньше (или по крайней мере, равны) соответствующим коэффициентам знаменателя. Следует отметить, что на вещественной оси выполняется соотношение Основы теории цепей. Конспект лекций -414- ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ Условия Фиалкова − Герста 0 < K12XX(σ) ≤ 1. Для уравновешенной цепи (рис. 40.5) K12XX = U 22′ ( p ) U 21′ ( p ) − U 2′1′ ( p ) = , U11′ ( p ) U11′ ( p ) K12XX = U 21′ ( p ) U 2′1′ ( p ) − . U11′ ( p ) U11′ ( p ) 1 2 1′ 2′ Рис. 40.5 Для уравновешенного четырехполюсника числитель K12XX может иметь отрицательные коэффициенты. Условия Фиалкова − Герста в этом случае bi ≥ |ai|; ci ≥ |ai| и –1 ≤ K12XX (σ) ≤ 1. Синтез передаточных функций четырехполюсников. Разница между синтезом только по входной функции (синтезом двухполюсников) и синтезом по передаточной функции состоит в том, что в первом случае задана только одна функция (входная); во втором случае входную функцию (например, Z11(p) реализуют с учетом ограничивающих условий, определяемых передаточной функцией (скажем Z12(p)). Симметричная ненагруженная скрещенная цепь. Мостовой четырехполюсник (рис. 40.6) ⎧ U1 = Z11I1 + Z12 I 2′ , ⎡ Z11 ⎨ ⎢ ⎩U 2 = Z 21I1 + Z 22 I 2′ , ⎣ Z 21 1 ⎡1 ⎤ Z Z Z Z + − ( ) ( ) b a b a ⎥ Z12 ⎤ ⎢ 2 2 = ⎢ ⎥. Z 22 ⎥⎦ ⎢ 1 1 Zb − Z a ) Zb + Z a )⎥ ( ( 2 ⎣⎢ 2 ⎦⎥ Основы теории цепей. Конспект лекций -415- ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ Синтез передаточных функций четырехполюсников I1 Za U1 Zb Zb Za I 2′ Zb U2 Za Рис. 40.6 Теорема. Если существует реализация в виде симметричной четырехполюсной цепи, то для нее всегда можно использовать симметричную скрещенную цепь (мостовой четырехполюсник). Иными словами, если заданы Z11, Z12 и Z11 = Z22, удовлетворяющие условиям реализуемости, то всегда существует реализация в виде мостового четырехполюсника. Из матрицы [Z] Za = Z11 – Z12 = Z22 – Z12, Zb = Z11 + Z12 = Z22 + Z12. Так как Z(p) − входная функция, положительная вещественная функция, то для вещественных составляющих rik = ReZik(jω) справедливо соотношение r11r22 − r122 ≥ 0 при Rep ≥ 0. Если r11 = r22, то r112 − r122 ≥ 0 , (r11 – r12)(r11 – r12) ≥ 0 или (ReZa)(ReZb) ≥ 0 при Rep ≥ 0. Так как r11 > 0, то последнее выражение можно удовлетворить лишь одним образом, ReZa ≥ 0 и ReZb ≥ 0 при Rep ≥ 0. Это означает, что Za и Zb − положительные вещественные функции. Отсюда следует, что симметричная цепь всегда может быть скрещенной цепью (мостовой). Пример 1. Пусть имеем Основы теории цепей. Конспект лекций -416- ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ Синтез передаточных функций четырехполюсников Z11 = 3 p 4 + 9 p3 + 7 p 2 + 5 p + 2 ( ) 2 p p 2 + 1 ( 2 p + 1) Z12 = p 4 + p3 + p 2 − 3 p − 2 ( ) 2 p p 2 + 1 ( 2 p + 1) , . Тогда 2 p 4 + 8 p3 + 6 p 2 + 8 p + 4 Z a = Z11 − Z12 = = ( ( ) 2 p p 2 + 1 ( 2 p + 1) ) ( ) ( p ( p + 1) ( 2 p + 1) = )= p2 p2 + 1 + 4 p p2 + 1 + 2 p2 + 1 2 p2 + 4 p + 2 p 2 = = + . p ( 2 p + 1) 2 p + 1 p Z b = Z11 + Z12 = = = ( 4 p 4 + 10 p 3 + 8 p 2 + 2 p ( ) 2 p p 2 + 1 ( 2 p + 1) = )= 2 p 2 p3 + p 2 + 4 p 2 + 2 p + 2 p + 1 ( ) 2 p p 2 + 1 ( 2 p + 1) p 2 ( 2 p + 1) + 2 p ( 2 p + 1) + ( 2 p + 1) ( = ) p 2 + 1 ( 2 p + 1) p2 + 2 p + 1 (p 2 ) +1 =1+ 2p (p 2 ) +1 = . Реализуем Za и Zb. 1. Za имеет полюс при р = 0, который выделяется последовательно включенной емкостью C0. Основы теории цепей. Конспект лекций -417- ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ Синтез передаточных функций четырехполюсников Z a = Z a′ + Z a′′; Z a′′ = Z a′ = p при 2 p +1 2 1 1 ; = lim pZ ′′ = 2; C0 = Ф. 2 p C0 p→0 p → 0 Z a′ → 0 при 1 p → ∞ Z a′ → , 2 т. е. представляет собой соединенные параллельно индуктивность и сопротивление (рис. 40.7). R2 = k2 , kk = lim p →−σk Z a′ ( p + σ k ) 1 , σk = − , 2 p 1⎞ ⎛ 1 p⎜ p + ⎟ 1 k 2⎠ 1 k2 = lim ⎝ = , R2 = Ом, L2 = 2 = 2 = 1 Гн. 1 ⎛ 1⎞ 2 2 σ2 1 p →− 2 2⎜ p + ⎟ p 2 2⎠ ⎝ L2 R2 Рис. 40.7 L2 С0 R2 Рис. 40.8 Таким образом, Za имеет вид, представленный на рис. 40.8. 2. Z b = Zb′ + Zb′′, Zb′′ = 1 Ом реализуется сопротивлением. Основы теории цепей. Конспект лекций -418- ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ Синтез передаточных функций четырехполюсников Z b′ = 2p реализуется параллельным колебательным контуром с паp2 + 1 ( ⎡ Z b′ p 2 + ω22 1 = lim ⎢ раметрами C2′ p 2 →−ω22 ⎢ p ⎣ ) ⎤⎥ , ⎥ ⎦ ω22 = 1, C2′ = 1 1 Ф, L2′ = 2 = 2 Гн. 2 ω2C2′ Таким образом, Zb имеет вид, показанный на рис. 40.9. И окончательно имеем мостовой четырехполюсник (рис. 40.10). L2′ С2′ R Рис. 40.9 L2 С0 R2 R L2′ С2′ Рис. 40.10 Рассмотрим метод реализации ненагруженной симметричной скрещенной цепи по одному заданному параметру Z12. Действительно, Zb – Za = 2Z12. Необходимо найти Za и Zb. Если ограничиться схемами с элементами двух типов (LC, RC или RL), то можно применить разложение 2Z12 на простые дроби. 1 −2 p 3 + 3 p 2 − 12 p . Пример 2. Пусть Z12 = ⋅ 2 p2 + 9 ( p + 2) ( ) Тогда Основы теории цепей. Конспект лекций -419- ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ Синтез передаточных функций четырехполюсников 2 Z12 = Z b − Z a = = 3 p 2 + 6 p − 2 p 3 − 18 p (p ( 3 p ( p + 2) − 2 p p2 + 9 (p 2 ) ) + 9 ( p + 2) 2 + 9 ( p + 2) )= = 3p 2p − . 2 p +9 p+2 Реализуем Za и Zb. 2p представляет собой параллельно соединенные индуктив1. Z a = p+2 ность и сопротивление (рис. 40.7). Z a ( p + σ2 ) 2 p ( p + 2 ) = = 2 Ом. p →−σ 2 p ( p + 2) p R2 = k2 = lim L2 = 2. Z b = k2 2 = = 1 Гн. σ2 2 3p реализуется параллельным колебательным контуром с p2 + 9 параметрами ( ⎡ Z b p 2 + ω22 1 = lim ⎢ C2′ p 2 →−ω22 ⎢ p ⎣ ) ⎤⎥ = ⎥ ⎦ lim 2 p →−9 ( 3 p p2 + 9 (p 2 ) ) =3 1 , +9 p Ф ω22 = 9, 1 1 1⋅ 3 1 = Гн. Ф, L2′ = 2 = 3 9 3 ω2C2′ Полученное решение не единственное, так как любую положительную вещественную функцию Z0Z0 можно добавить к Za и Zb не изменяя при этом Z12. И окончательно имеем мостовой четырехполюсник (рис. 40.11). C2′ = Основы теории цепей. Конспект лекций -420- ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ Синтез передаточных функций четырехполюсников L2 Z0 R2 Z0 L2′ С2′ Рис. 40.11 Для того чтобы метод не приводил к неудаче необходимо так распределять вычеты в полюсах Z12, чтобы простые дроби Za и Zb порознь были положительными вещественными функциями. Основные недостатки мостовых четырехполюсников: 1. Мостовой четырехполюсник − уравновешенная структура, невозможно заземление выводов входа и выхода. 2. Очень большое число элементов в схеме. Контрольные вопросы 1. Какими свойствами обладают Z-параметры четырехполюсников? 2. Какие соотношения выполняются для вещественных составляющих Z(p)? 3. Какие ограничения накладываются на расположение полюсов и нулей коэффициента передачи по напряжению в режиме холостого хода? 4. В чем заключаются условия Фиалкова − Герста? 5. Каковы преимущества и недостатки мостовой реализации четырехполюсников? Основы теории цепей. Конспект лекций -421- ЛЕКЦИЯ 41. ЛЕСТНИЧНЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ ТИПОВ Лестничные RC-цепи. Лестничные LC-цепи. Другие возможности лестничной реализации четырехполюсников. За основу для синтеза принята передаточная функция по напряжению K12XX ( p ) = U2 U1 = I 2 =0 Z12 ( p ) . Z11 ( p ) Следует отметить, что реализация получается только с точностью до постоянного множителя. Структура цепи представлена на рис. 41.1. U1 U2 Рис. 41.1 Для лестничных цепей характерны два вида нулей передачи – это частоты, при которых: 1) функция полного сопротивления последовательной ветви равна ∞ (ХХ − сигнал на выход не проходит); 2) функция полного сопротивления параллельной ветви равна 0 (КЗ − сигнал шунтируется на общую шину). Лестничные RC-цепи. Поскольку нули и полюсы входной функции RC-двухполюсника лежат на отрицательной вещественной оси, то нули передаточной функции K12XX(p) могут также лежать только на вещественной отрицательной оси. Если каждая ветвь лестничной схемы содержит один элемент (R или C), то нуль передачи может быть только в двух случаях: Р = 0 и Р = ∞, поскольку конденсатор, включенный последовательно, порождает нуль при Р = 0, а включенный параллельно порождает нуль при Р = ∞. Основы теории цепей. Конспект лекций -422- ЛЕКЦИЯ 41. ЛЕСТНИЧНЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ ТИПОВ Лестничные RC-цепи Первая схема Кауэра (рис. 41.2), реализующая входные RC-функции, порождает нули передачи при Р = ∞. U1 U2 Рис. 41.2 U1 U2 Рис. 41.3 Вторая схема Кауэра (рис. 41.3) содержит последовательно включенные конденсаторы и потому порождает нули передачи при Р = 0. n ( p) n ( p) Z ( p) , Z12 ( p ) = 12 , тогда K12XX ( p ) = 12 , положим Z11 ( p ) = 11 d11 ( p ) d12 ( p ) Z11 ( p ) n12 ( p ) ⋅ d11 ( p ) . d12 ( p ) ⋅ n11 ( p ) Ранее было показано, что условие пассивности четырехполюсника заключается в том, что Z12(p) не может иметь полюса, который не имелся бы у Z11(p) и Z22(p), т. е. d11(p) содержит все сомножители, имеющиеся у d12(p). (Это следует и из условия для вычетов k11k22 − k122 ≥ 0 .) В этой связи полюсы Z12XX(p) − вещественные отрицательные простые. Передаточная функция лестничных RC-схем имеет вид K12XX ( p ) = kp m kp m K12XX ( p ) = n = , p + bn−1 p n−1 + … + b1 p + b0 B ( p ) где 0 ≤ m ≤ n; B(p) − полином с вещественными отрицательными простыми корнями. Основы теории цепей. Конспект лекций -423- ЛЕКЦИЯ 41. ЛЕСТНИЧНЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ ТИПОВ Лестничные RC-цепи ⎛k ⎞ При p → 0, если m ≠ 0, lim K12XX ( p ) ≅ lim ⎜ p m ⎟ , т. е. K12XX(p) p →0 p →0 b ⎝ 0 ⎠ m приближается к нулю со скоростью p . При p → ∞ и m ≠ n ( lim K12 XX ( p ) ≅ lim kp ( p →∞ ближается к нулю со скоростью p →∞ m−n ) ) , т. е. K 12XX(p) при- 1 . p Следовательно, K12XX(p) имеет m нулей передачи при p → 0 и (n – m) нулей передачи при p → ∞. Реализация передаточной функции предполагает, что параметры матрицы сопротивлений Z11(p) и Z22(p) имеют одинаковые знаменатели d11(p) = d12(p). n ( p) Таким образом, K12XX ( p ) = 12 , n11 ( p ) = B ( p ) , a n12 ( p ) = kp m . n11 ( p ) ( n−m ) Возможны три случая: 1) m = 0, все нули передачи при p = ∞; 2) m = n, все нули передачи при p = 0; 3) 0 < m < n, m нулей передачи при p = 0, n – m нулей передачи при p = ∞. k Случай 1. m = 0, K12XX ( p ) = n , нули передачи p + bn−1 p n−1 + … + b1 p + b0 при p = ∞. Реализация K12XX(p) достигается путем реализации выбранной Z11(p) первой формой Кауэра, т. е. разложением Z11(p) в непрерывную дробь при p = ∞. Пример 1. Синтезировать четырехполюсник с передаточной функцией K12XX ( p ) = k ( p + 3)( p + 5) . Решение. K12XX ( p ) = Z12 ( p ) k = 2 . Z11 ( p ) p + 8 p + 15 Можно выбрать разные Z11(p) при условии, что нули ее при p = –3 и p = –5 и чтобы Z11(p) удовлетворяла всем свойствам входной функции полного сопротивления. Примем Z11 ( p ) = ( p + 3)( p + 5) = ( p + 1)( p + 4 ) p 2 + 8 p + 15 , p2 + 5 p + 4 Основы теории цепей. Конспект лекций -424- ЛЕКЦИЯ 41. ЛЕСТНИЧНЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ ТИПОВ Лестничные RC-цепи отсюда Z12 ( p ) = k ( p + 1)( p + 4 ) . Реализуем лестничную цепь по первой схеме Кауэра 1 . Z11 ( p ) = 1 + 1 1 p+ 9 1 3 + 4 2 p+ 1 1 3 2 Соответствующая схема Кауэра представлена на рис. 41.4. 1 Ом 1 Ф 3 U1 9 Ом 4 2 Ф 3 1 Ом 2 U2 Рис. 41.4 Очевидно, что при p = ∞ K12XX(p) = 0, следовательно, схема реализует заданные K12XX(p) и Z12(p). Случай 2. m = n, kp n kp n K12XX ( p ) = n = , p + bn−1 p n−1 + … + b1 p + b0 B ( p ) все нули передачи при p = 0. Реализация цепи по второй форме Кауэра приводит к схеме, представленный на рис. 41.3. Пример 2. Синтезировать четырехполюсник с передаточной функцией K12XX kp 2 kp 2 = = . ( p + 2 )( p + 4 ) p 2 + 6 p + 8 Основы теории цепей. Конспект лекций -425- ЛЕКЦИЯ 41. ЛЕСТНИЧНЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ ТИПОВ Лестничные RC-цепи Решение. ( p + 2 )( p + 4 ) = Z11 ( p ) = ( p + 1)( p + 3) Примем p2 + 6 p + 8 , p2 + 4 p + 3 отсюда kp 2 . ( p + 1)( p + 3) Реализуем лестничную цепь по второй схеме Кауэра Z12 ( p ) = Y11 ( p ) = 1 3 1 . = + 1 Z11 ( p ) 8 32 + 1 7 p 49 + 88 22 ⋅ 44 + 1 3 21 p 44 Соответствующая схема Кауэра представлена на рис. 41.5. 21 Ф 968 7 Ф 32 U1 8 Ом 3 88 Ом 49 44 Ом 3 U2 Рис. 41.5 Случай 3. 0 < m < n, m нулей передачи при p = 0, n – m нулей передачи при p = ∞. kp m kp m K12XX ( p ) = n = . p + bn−1 p n−1 + … + b1 p + b0 B ( p ) В этом случае входная функция RC-цепи Z11(p) подвергается частичному разложению в непрерывную дробь при p = 0, а затем при p = ∞. Начать можно с разложения любой формы. Первое разложение прекращается, когда получены требуемые нули передачи. Пример 3. Синтезировать четырехполюсник с передаточной функцией Основы теории цепей. Конспект лекций -426- ЛЕКЦИЯ 41. ЛЕСТНИЧНЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ ТИПОВ Лестничные RC-цепи kp . ( p + 2 )( p + 5) K12XX = Решение. ( p + 2 )( p + 5) = Z11 ( p ) = ( p + 1)( p + 4 ) Примем p 2 + 7 p + 10 , p2 + 5 p + 4 отсюда kp . ( p + 1)( p + 4 ) Прежде всего разложим Z11(p) при p = ∞ (первая форма Кауэра) Z12 ( p ) = p 2 + 7 p + 10 p 2 + 5 p + 4 ( ) − p2 + 5 p + 4 1 p2 + 5 p + 4 2p + 6 ( 1 p 2 . − p2 + 3 p ) 2p + 4 Поскольку при p = ∞ имеется один нуль передачи, то, выделив первый ⎛1 ⎞ шунтирующий конденсатор ⎜ p ⎟ , закончим разложение Z11(p) в цепную ⎝2 ⎠ дробь, получив цепь (рис. 41.6). Z11 ( p ) = 1 + 1 1 p + Y ′( p ) 2 , Y ′( p ) = 2p + 4 . 2p + 6 2 1 Ом 1 Ф 2 Y ′( p) Рис. 41.6 Основы теории цепей. Конспект лекций -427- ЛЕКЦИЯ 41. ЛЕСТНИЧНЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ ТИПОВ Лестничные RC-цепи 1 Ф 9 3 Ом 2 3 Ом Рис. 41.7 Оставшаяся часть полной проводимости раскладывается во вторую форму Кауэра (рис. 41.7) 2 1 Y ′( p ) = + . 3 9+1 p 1 3 И окончательно получим цепь (рис. 41.8). Следует останавливать первый процесс, как только будет выделено требуемое число конденсаторов. Еще одна реализация K12XX(p) достигается путем разложения Z11(p) при p = 0. Разложение прекращается, как только выделяется последовательный конденсатор (рис. 41.9). ( p + 1)( p + 4 ) . 1 = Z11 ( p ) ( p + 2 )( p + 5 ) 47 p2 + p 11 Далее разложение оставшейся функции Z ′ ( p ) = осуществ3 2 11 p + p 5 5 ляется при p = ∞ (рис. 41.10) Z ′( p ) = 5 1 + . 3 99 p + 1 100 100 33 ⋅ 11 Основы теории цепей. Конспект лекций -428- ЛЕКЦИЯ 41. ЛЕСТНИЧНЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ ТИПОВ Лестничные RC-цепи 1 Ф 9 2 1Ом 1 Ф 2 3 Ом 2 3 Ом Рис. 41.8 11 Ф 50 5 Ом 2 Z ′( p) Рис. 41.9 5 Ом 99 3 Ф 100 100 Ом 33 ⋅11 Рис. 41.10 11 Ф 50 5 Ом 2 5 Ом 99 3 Ф 100 100 Ом 33 ⋅11 Рис. 41.11 И окончательно получим цепь, представленную на рис. 41.11. Основы теории цепей. Конспект лекций -429- ЛЕКЦИЯ 41. ЛЕСТНИЧНЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ ТИПОВ Лестничные LC-цепи. Все нули и полюсы передаточных функций лестничных цепей лежат на мнимой оси kp m kp m K12XX ( p ) = n = , p + bn−1 p n−1 + … + b1 p + b0 B ( p ) где m и n – четные. Корни полинома B(p) простые лежат на мнимой оси 0 ≤ m ≤ n. Как и в RC-цепи возможны три случая: 1) m = 0, все нули передачи при p = ∞; 2) m = n, все нули передачи при p = 0; 3) 0 < m < n, m нулей передачи при p = 0, n – m нулей передачи при p = ∞. Случай 1. m = 0, K12XX ( p ) = k , p n + bn−1 p n−1 + … + b1 p + b0 нули передачи при p = ∞. Реализация K12XX(p) достигается путем осуществления выбранной Z11(p) первой формой Кауэра, т. е. разложением Z11(p) в непрерывную дробь при p = ∞. Пример 1. Синтезировать четырехполюсник с передаточной функцией K12XX ( p ) = (p k 2 )( + 4 p2 + 9 ) Решение. K12XX ( p ) = . Z12 ( p ) k k = 2 = . Z11 ( p ) p 4 + 13 p 2 + 36 p + 4 p2 + 9 ( )( ) Можно выбрать разные Z11(p) при условии, что нули ее при p1,2 = ±j2 и p3,4 = ±j3 и чтобы Z11(p) удовлетворяла всем свойствам входной функции полного сопротивления. Основы теории цепей. Конспект лекций -430- ЛЕКЦИЯ 41. ЛЕСТНИЧНЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ ТИПОВ Лестничные LC-цепи Z11 Примем Z12 ( p ) = ( k p p2 + 6 ) (p ( p) = 2 )( + 4 p2 + 9 ( p p2 + 6 ) )= p 4 + 13 p 2 + 36 , p3 + 6 p отсюда . Реализуем лестничную цепь по первой схеме Кауэра Z11 ( p ) = 1 p + 1 1 1 p+ 49 1 7 p+ 1 6 p 42 . Соответствующая схема Кауэра представлена на рис. 41.12. 49 Гн 6 1 Гн 1 Ф 7 1 Ф 42 Рис. 41.12 Случай 2. m = n, kp n kp n K12XX ( p ) = n = , p + bn−1 p n−1 + … + b1 p + b0 B ( p ) все нули передачи при p = 0. Пример 2. Синтезировать четырехполюсник с передаточной функцией K12XX ( p ) = ( kp 4 )( p2 + 4 p2 + 9 ) . Решение. Реализуем лестничную цепь по второй схеме Кауэра. Основы теории цепей. Конспект лекций -431- ЛЕКЦИЯ 41. ЛЕСТНИЧНЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ ТИПОВ Лестничные LC-цепи Z11 Примем (p ( p) = 2 )( + 4 p2 + 9 ( p p2 + 6 ) )= p 4 + 13 p 2 + 36 , p3 + 6 p отсюда kp 4 Z12 ( p ) = . p ( p 2 + 6) Реализация цепи по второй форме Кауэра приводит к схеме (рис. 41.13) Z11 ( p ) = 6 1 + . 6 1 p + 7 p 49 + 1 1 p 7p Случай 3. 0 < m < n, m нулей передачи при p = 0, n – m нулей передачи при p = ∞. kp m kp m K12XX ( p ) = n = . p + bn−1 p n−1 + … + b1 p + b0 B ( p ) 1 Ф 6 1 Ф 49 7 Гн 6 7 Гн Рис. 41.13 Пример 3. Синтезировать четырехполюсник с передаточной функцией K12XX ( p ) = (p kp 2 2 )( + 4 p2 + 9 ) . Решение. Передаточная функция имеет два нуля при p = 0 и два нуля при p = ∞. Для выделения нулей при p = ∞ используем первую форму Кауэра. Примем Z11 p ( p = ( ) 2 )( + 4 p2 + 9 ( p p2 + 6 ) )= p 4 kp 2 + 13 p 2 + 36 , тогда Z p = . 12 ( ) p3 + 6 p p p2 + 6 Основы теории цепей. Конспект лекций ( ) -432- ЛЕКЦИЯ 41. ЛЕСТНИЧНЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ ТИПОВ Лестничные LC-цепи 6 p 1 7 Z11 ( p ) = 1 p + . , Y ′( p ) = 2 1 7 36 + p p + Y ′( p ) 7 Частичная реализация цепи по первой форме Кауэра приводит к схеме, показанной на рис. 41.14. Для реализации нулей при p = 0 используем лестничную цепь по второй схеме Кауэра 1 Z ′( p ) = . Y ′( p ) Сопротивлению Z΄(p) соответствует схема, приведенная на рис. 41.15. 1 Гн 1 Ф 7 Y ′( p) Рис. 41.14 1 Ф 42 49 Гн 6 Рис. 41.15 И окончательно имеем результирующую цепь как каскадное соединение двух схем Кауэра (рис. 41.16). 1 Ф 42 1 Гн 1 Ф 7 49 Гн 6 Рис. 41.16 Основы теории цепей. Конспект лекций -433- ЛЕКЦИЯ 41. ЛЕСТНИЧНЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ ТИПОВ Лестничные LC-цепи Возможен второй вариант реализации заданной передаточной функции. Выделим сначала нули при p = 0 Z11 ( p ) = 6 1 + , 6 p + Y ′( p ) 7p 1 3 p 7 ′ Y ( p) = 2 . 7 p + p4 Реализуем Z ′ ( p ) = 1 Y ′( p ) , выделяя нули при p = ∞, 1 . p 49 Z ′( p ) = 7 p + Таким образом, имеем результирующую цепь как каскадное соединение двух схем Кауэра (рис. 41.17). 1 Ф 6 7 Гн 7 Гн 6 1 Ф 49 Рис. 41.17 Другие возможности лестничной реализации четырехполюсников. Ранее было показано, что K12XX ( p ) = Z12 ( p ) Y ( p) = − 12 . Z11 ( p ) Y22 ( p ) Следовательно, реализацию заданной передаточной функции можно проводить по Y22(p), т. е. синтез аналогичен рассмотренному выше, но начинается со стороны выходных зажимов. Основы теории цепей. Конспект лекций -434- ЛЕКЦИЯ 41. ЛЕСТНИЧНЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ ТИПОВ Другие возможности лестничной реализации четырехполюсников Пример 4. Синтезировать четырехполюсник с передаточной функцией K12 XX ( p ) = ( k )( p2 + 4 p2 + 9 ) Решение. K12XX ( p ) = . −Y12 ( p ) k k = 2 = . 4 2 2 Y22 ( p ) p + 13 p + 36 p +4 p +9 ( )( ) Можно выбрать разные Y22(p) при условии, что нули ее при p1,2 = ±j2 и p3,4 = ±j3 и чтобы Y12(p) удовлетворяла всем свойствам входной функции полного сопротивления. Примем Y22 p ( p = ( ) 2 1 Гн 42 U1 6 Ф 7 )( + 4 p2 + 9 ( p p2 + 6 ) ) , тогда Y 12 ( p) = ( −k p p2 + 6 ) . 1 Гн 7 1Ф U2 Y22(р) Рис. 41.18 Основы теории цепей. Конспект лекций -435- ЛЕКЦИЯ 41. ЛЕСТНИЧНЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ ТИПОВ Другие возможности лестничной реализации четырехполюсников Реализуем лестничную цепь по первой схеме Кауэра (рис. 41.18) Y22 ( p ) = 1 p + 1 1 1 p+ 49 1 7 p+ 1 6 p 42 . Контрольные вопросы 1. Реализация в виде какой лестничной цепи возможна, если нули передаточной функции K12XX(p) лежат только на вещественной отрицательной оси? 2. При каких условиях используется первая схема Кауэра для реализации лестничных RC-цепей? 3. При каких условиях используется вторая схема Кауэра для реализации лестничных RC-цепей? 4. При каких условиях используется реализация лестничных LC-цепей? Основы теории цепей. Конспект лекций -436- ЛЕКЦИЯ 42. РЕАЛИЗАЦИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ МЕТОДОМ ДАРЛИНГТОНА Реализация схемы без потерь с нагрузкой R2. Реализация схемы без потерь, нагруженной только со стороны источника сигнала. Реализация четырехполюсника без потерь с двухсторонними нагрузкам. Метод Дарлингтона можно рассматривать двояко: как метод реализации функции входного сопротивления или как метод реализации заданного модуля функции передачи четырехполюсника без потерь с одним резистивным элементом на выходе и определенным входным сопротивлением. Главное достоинство метода Дарлингтона состоит в том, что на его основе можно реализовать функцию передачи с учетом внутреннего сопротивления источника и нагрузки на выходе четырехполюсника. Рассматриваются три схемные структуры Дарлингтона (рис. 42.1). I1 I1 I2 1 2 U1 U2 1′ R2 2′ I2 1 U1 2 R1 U2 1′ 2′ а б I1 I2 1 U1 2 R1 U2 1′ R2 2′ в Рис. 42.1 Если четырехполюсник без потерь (LC-цепь), то функции полного сопротивления (полной проводимости) нечетные, рациональные функции с простыми и чередующимися полюсами и нулями на мнимой оси. Следовательно, матрица вычетов четырехполюсника в полюсе pi Основы теории цепей. Конспект лекций -437- ЛЕКЦИЯ 42. РЕАЛИЗАЦИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ МЕТОДОМ ДАРЛИНГТОНА k ⎤ ⎡k ki = ⎢ 11 12 ⎥ − вещественные и положительные. ⎣ k21 k22 ⎦ Все полюсы Z12(Y12) являются полюсами Z11 и Z22, (Y11, Y22) и Z12(Y12) также являются нечетными рациональными функциями. U 1. Передаточная функция схемы (рис. 42.1, а) (ZГ = R1 = 0) 2 = K ( p ) = U1 Z12 Z H (получено выше). = Z11Z H + Z Z Z Учитывая связь между Z- и Y-параметрами, Y22 = 11 , Y12 = 12 , Z Z |Z| = Z11Z22 – Z12Z21, Z12 = Z21, K ( p) = Z12 ⎛Z 1 ⎞ Z ⎜ 11 + ⎟ ZH ⎠ ⎝ Z = −Y12 . 1 + Y22 R2 2. Передаточная функция схемы (рис. 42.1, б) (ZГ = R1, R2 = ∞) K ( p) = Z12 . R1 + Z11 3. Передаточная функция схемы (рис. 42.1, в) K ( p) = Z12 R2 . R1R2 + Z11R2 + Z 22 R1 + Z Рассмотрим отдельно все три случая. Реализация схемы без потерь с нагрузкой R2 (рис. 42.2). I1 I2 1 2 U1 R2 = 1 Ом 1′ 2′ Рис. 42.2 Основы теории цепей. Конспект лекций -438- ЛЕКЦИЯ 42. РЕАЛИЗАЦИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ МЕТОДОМ ДАРЛИНГТОНА Реализация схемы без потерь с нагрузкой R2 −Y12 ( p ) U2 = . U1 1 + Y22 ( p ) Поскольку Y12(p) и Y22(p) нечетные рациональные функции, имеющие одинаковые знаменатели, то можно записать При R2 = 1 Ом K ( p ) = Y12 ( p ) = n12 ( p ) m12 ( p ) = d 22 ( p ) n12 ( p ) и Y22 ( p ) = n22 ( p ) m22 ( p ) = , d 22 ( p ) n22 ( p ) где m12(p) и m22(p) − нечетные полиномы, если n22(p) = n12(p) − четный полином, и, обратно m12(p) и m22(p) − четные полиномы, если n22(p) = n12(p) − нечетный полином. K ( p) = − m12 ( p ) A( p ) = . m22 ( p ) + n22 ( p ) B ( p ) A(p) − либо четный, либо нечетный полином. B(p) = m22(p) + n22(p) − полином Гурвица. Таким образом, K ( p) = A( p ) m1 ( p ) = B ( p ) m2 ( p ) + n2 ( p ) K ( p) = A( p ) n1 ( p ) , = B ( p ) m2 ( p ) + n2 ( p ) или где m1(p) и m2(p) − четные полиномы; n1(p) и n2(p) − нечетные полиномы; B(p) = m2(p) + n2(p) − полином Гурвица. −Y12 ( p ) , получим Сравнивая последние выражения с K ( p ) = 1 + Y22 ( p ) Y12 ( p ) = − m1 ( p ) m ( p) , Y22 ( p ) = 2 ; n2 ( p ) n2 ( p ) Y12 ( p ) = − n1 ( p ) n ( p) , Y22 ( p ) = 2 . m2 ( p ) m2 ( p ) или Следовательно, проблема реализации K(p) сводится к одновременной реализации Y12(p) и Y22(p). Основы теории цепей. Конспект лекций -439- ЛЕКЦИЯ 42. РЕАЛИЗАЦИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ МЕТОДОМ ДАРЛИНГТОНА Реализация схемы без потерь с нагрузкой R2 Пример 1. Реализовать четырехполюсник с нагрузкой R2 = 1 Ом и k K ( p) = 3 . 2 p + 6 p + 15 p + 15 Решение. K ( p) = K ( p) = A( p ) . B( p) A(p) − четный полином, тогда m1 ( p ) m ( p) m ( p) . Y12 ( p ) = − 1 , Y22 ( p ) = 2 ; m2 ( p ) + n2 ( p ) n2 ( p ) n2 ( p ) B ( p ) = p 3 + 6 p 2 + 15 p + 15, ( ) ( ) m2 ( p ) + n2 ( p ) = 6 p 2 + 15 + p 3 + 15 p , k 6 p 2 + 15 Y12 ( p ) = − 3 , Y22 ( p ) = 3 . p + 15 p p + 15 p 1 Гн 6 5 Гн 6 U1 12 Ф 25 1 Ом U2 Рис. 42.3 Поскольку Y22(p) имеет полюс при p = 0, то Z 22 ( p ) = Z 22 ( p ) = 1 Y22 ( p ) p 1 + 6 12 p + 1 5 25 p 6 Основы теории цепей. Конспект лекций -440- ЛЕКЦИЯ 42. РЕАЛИЗАЦИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ МЕТОДОМ ДАРЛИНГТОНА Реализация схемы без потерь с нагрузкой R2 имеет нуль при p = 0 и может быть реализована в виде первой схемы Кауэра (рис. 42.3). Реализация схемы без потерь, нагруженной только со стороны источника сигнала (рис. 42.4). I1 I2 1 2 R1 U1 U2 1′ 2′ Рис. 42.4 При R1 = 1 Ом K ( p ) = Z12 . 1 + Z11 Таким образом, K ( p ) = A( p ) m1 ( p ) = B ( p ) m2 ( p ) + n2 ( p ) или K ( p) = A( p ) n1 ( p ) = , B ( p ) m2 ( p ) + n2 ( p ) где m1(p) и m2(p) − четные полиномы; n1(p) и n2(p) − нечетные полиномы; B(p) = m2(p) + n2(p) − полином Гурвица. Z Сравнивая последние выражения с K ( p ) = 12 , получим 1 + Z11 Z12 ( p ) = m1 ( p ) m ( p) , Z11 ( p ) = 2 ; n2 ( p ) n2 ( p ) Z12 ( p ) = n1 ( p ) n ( p) , Z11 ( p ) = 2 . m2 ( p ) m2 ( p ) или Следовательно, проблема реализации K(p) сводится к одновременной реализации Z12(p) и Z11(p). Пример 2. Реализовать Основы теории цепей. Конспект лекций -441- ЛЕКЦИЯ 42. РЕАЛИЗАЦИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ МЕТОДОМ ДАРЛИНГТОНА Реализация схемы без потерь, нагруженной только со стороны источника сигнала K ( p) = k . p + 4 p + 10 p 2 + 16 p + 9 4 3 Числитель функции передачи четный, следовательно, k 3 4 p + 16 p K ( p) = , p 4 + 10 p 2 + 9 1+ 4 p 3 + 16 p k т. е. Z12 ( p ) = 3 , 4 p + 16 p p 4 + 10 p 2 + 9 Z11 ( p ) = . 4 p 3 + 16 p Поскольку нули передачи могут быть при p = ∞, то реализуем первую схему Кауэра (рис. 42.5). Z11 ( p ) = 1 Ом p 1 + . 1 4 2 p+ 3 1 3 p+ 10 5 p 9 1 Гн 4 3 Гн 5 2 Ф 3 U1 10 Ф 9 U2 Z11(р) Рис. 42.5 Основы теории цепей. Конспект лекций -442- ЛЕКЦИЯ 42. РЕАЛИЗАЦИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ МЕТОДОМ ДАРЛИНГТОНА Реализация четырехполюсника без потерь с двухсторонними нагрузками (рис. 42.6). I1 I2 1 2 U1 LC U2 1′ R2 2′ ZВХ Рис. 42.6 Выше было показано, что передаточная функция K ( p) = Z12 R2 , R1R2 + Z11R2 + Z 22 R1 + Z т. е. ее вид не позволяет простым образом идентифицировать Z- или Y-параметры четырехполюсника без потерь. Поэтому используется иной подход к реализации передаточной функции по входной функции полного сопротивления. Вводятся два коэффициента − коэффициент передачи τ(jω) и коэффициент отражения ρ(jω) (через отношение мощностей). U 2 ( jω ) U1 ( j ω ) U1 ( j ω ) P = ВЫХ , PВЫХ = , РВХ = , РВХm = РВХm R2 R1 + R2 4 R1 2 τ ( jω ) 2 2 2 , R1 = R2 где PВЫХ − мощность, выделяемая в нагрузке R2; PВХ − мощность, отдаваемая генератором (при четырехполюснике реактивном); PВХm − максимальная мощность, отдаваемая генератором при R1 = R2. 2 P 4 R U 2 ( jω ) 4R = ВЫХ = 1 = 1 K ( jω ) . 2 РВХm R2 U1 ( jω) R2 2 τ ( jω ) 2 K(jω) − передаточная функция по напряжению. Поскольку PВЫХ < PВХm, то |τ(jω)|2 ≤ 1. Определим коэффициент отражения как дополнение коэффициента передачи до единицы |ρ(jω)|2 + |τ(jω)|2 = 1. Основы теории цепей. Конспект лекций -443- ЛЕКЦИЯ 42. РЕАЛИЗАЦИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ МЕТОДОМ ДАРЛИНГТОНА Реализация четырехполюсника без потерь с двухсторонними нагрузками При четырехполюснике без потерь мощность, отдаваемая на вход четырехполюсника, равна мощности, выделяемой в нагрузке. U 2 ( jω ) РВХ ЧП = Re ⎡⎣ Z BX ( jω) ⎤⎦ I1 ( jω) = 2 R2 2 , R2 Re ⎡⎣ Z BX ( jω) ⎤⎦ I1 ( jω) = U 2 ( jω) . 2 2 U1 = R1 + Z BX ( jω) . I1 K ( jω ) 2 R2 Re ⎡⎣ Z BX ( jω) ⎤⎦ U U I = 2 = 2 ⋅ 1 = . 2 U1 I1 U1 R1 + Z BX ( jω) 2 2 2 4 R1 R2 Re ⎡⎣ Z BX ( jω) ⎤⎦ ⋅ = R2 R1 + Z BX ( jω) 2 ρ ( jω ) = 1 − τ ( jω ) = 1 − 2 =1− 2 4 R1R ( ω) R1 + R ( ω) + jX ( ω) 2 , ( Z BX ( jω) = R ( ω) + jX ( ω) ). ρ ( jω ) ⋅ ρ ( − j ω ) = 1 − = 4 R1R ( R1 + R ) 2 +X R12 + 2 R1R2 + R22 + X 2 − 4 R1R ( R1 + R ) 2 R1 − R ) + X 2 ( = = ( R1 + R )2 + X 2 2 +X 2 2 = = Z BX ( jω) − R1 2 Z BX ( jω) + R1 2 . Z BX ( p ) − R1 1 ± ρ( p) , т. е. заили Z BX ( p ) = Z BX ( p ) + R1 1 ∓ ρ( p) дача сводится к реализации ZВX(p), содержащего LC-четырехполюсник и одно активное сопротивление R2. Таким образом, ρ ( p ) = ± Основы теории цепей. Конспект лекций -444- ЛЕКЦИЯ 42. РЕАЛИЗАЦИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ МЕТОДОМ ДАРЛИНГТОНА Реализация четырехполюсника без потерь с двухсторонними нагрузками kp m Этапы реализации K ( p ) = в виде схемы Дарлингтона при B( p) R1 = 1 Ом. Этап 1. Находим ρ(p) из выражения ρ( p )ρ( − p ) = 1 − 4 R1 K ( p) K (− p) . R2 Если правая часть этого выражения не обладает квадрантной симметрией (нули и полюсы в плоскости комплексного переменного не симметричны относительно реальной и мнимой осей), то такая K(p) не реализуется. Если же правая часть последнего выражения обладает квадрантной симметрией, то имеется больше чем один ρ(p), удовлетворяющий последнему выражению. В этом случае в качестве решения выбирается минимальнофазовая функция ρ(p) (функция, не имеющая нулей и полюсов в правой полуплоскости). Если ρ(p) не минимально-фазовая функция, то ZВX(p) реализуется L и C отрицательными (как в методе Бруне). 1 + ρ( p) Этап 2. После нахождения ρ(p) определим Z BX ( p ) = или 1 − ρ( p) 1 − ρ( p) , т. е. имеется две возможности. 1 + ρ( p) Поскольку обе формы взаимно обратные, то очевидно одна дает окон1 . чательно R2, а вторая R2 Чтобы определить значение R2, нужно определить соотношение m и n. Если m = 0, то четырехполюсник реализуется первой формой Кауэра и R2 = ZBX(0); при m = n четырехполюсник реализуется второй формой Кауэра R2 = ZBX(∞). При m ≠ n (0 < m < n) передаточная функция обеспечивает пропускание полосы частот (полосовой фильтр), R2 находят по окончательному результату одной из форм Кауэра. Z BX ( p ) = Этап 3. Реализуется ZBX(p). Чтобы реализовать K(p) по ZBX(p), необходимо удовлетворить требования к нулям передачи так, как это делалось в предыдущих случаях. kp 0 Случай 1. K ( p ) = , m = 0. B( p) Основы теории цепей. Конспект лекций -445- ЛЕКЦИЯ 42. РЕАЛИЗАЦИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ МЕТОДОМ ДАРЛИНГТОНА Реализация четырехполюсника без потерь с двухсторонними нагрузками k при R1 = 1 Ом и R1 = 1 Ом . p + 2 p +1 Поскольку нули передачи при p = ∞, то четырехполюсник реализуем первой формой Кауэра, т. е. схема − фильтр нижних частот (рис. 42.7). Пример 3. Реализовать K ( p ) = 2 1 Ом 1 Ом U2 U1 ZВХ(р) Рис. 42.7 Определим ρ(p). k = K ( 0 ) = R2 1 = , R1 + R2 2 ρ( p )ρ( − p) = 1 − 4 R1 K ( p) K (− p) = R2 1 1 4 ⋅1 =1− ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 = 1 p + 2 p +1 p − 2 p +1 = (p p4 − 2 p2 + 1 − 1 2 )( = ( ) (p + 2 p + 1 p2 − 2 p + 1 ) ( p p + 2 (− p) − p + 2 2 )( ). ) + 2 p + 1 p2 − 2 p + 1 ρ(p) может быть любым из следующих: Основы теории цепей. Конспект лекций -446- ЛЕКЦИЯ 42. РЕАЛИЗАЦИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ МЕТОДОМ ДАРЛИНГТОНА Реализация четырехполюсника без потерь с двухсторонними нагрузками ρ( p) = ρ( p) = ρ( p) = ρ( p) = ( p p+ 2 ); ρ( p) = ); ρ( p) = ); ρ( p) = ( p 2 + 2 p + 1) ( p −p + 2 (p ) 2 + 2 p +1 ( −p p + 2 (p 2 ) + 2 p +1 ( −p −p + 2 (p 2 ); ); ( p 2 − 2 p + 1) ( p −p + 2 (p (p ); ) 2 − 2 p +1 ( −p p + 2 ρ( p ) = ) + 2 p +1 ( p p+ 2 2 ); ) − 2 p +1 ( −p −p + 2 (p 2 ). ) − 2 p +1 Из восьми возможных вариантов только первый вариант является минимально-фазовым решением (нули и полюсы лежат в левой полуплоскости). ρ( p) = Тогда Z BX1 ( p ) = ( p p+ 2 ( ) ) p2 + 2 p + 1 . 1 + ρ( p) 1 − ρ( p ) . , Z BX2 ( p ) = 1 − ρ( p ) 1 + ρ( p) p2 + 2 p + 1 + p2 + 2 p = Z BX1 ( p ) = 2 p + 2 p + 1 − p2 − 2 p = ( ) 2 p2 + 2 + 2 p + 1 (2 − 2 ) p +1 2 p 2 + 3, 41 p + 1 . = 0,59 p + 1 Реализуем четырехполюсник первой формой Кауэра (рис. 42.8) Основы теории цепей. Конспект лекций -447- ЛЕКЦИЯ 42. РЕАЛИЗАЦИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ МЕТОДОМ ДАРЛИНГТОНА Реализация четырехполюсника без потерь с двухсторонними нагрузками 2p 2 + 3,41 p + 1 0,59 p + 1 ( 3,41 p − 2p 2 + 3,41 p ) 0,59 p + 1 1 − 0,59 p 1 −1 0,59 p 1 1 0 1 Ом U1 3,41 Гн 0,59 Ф 1 Ом U2 ZВХ(р) Рис. 42.8 k при R1 = 1 Ом и R2 = 4 Ом. p + 3p +1 Поскольку нули передачи при p = ∞, то четырехполюсник реализуем первой формой Кауэра. Пример 4. Реализовать K ( p ) = 2 Основы теории цепей. Конспект лекций -448- ЛЕКЦИЯ 42. РЕАЛИЗАЦИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ МЕТОДОМ ДАРЛИНГТОНА Реализация четырехполюсника без потерь с двухсторонними нагрузками k = K (0) = R2 4 = . R1 + R2 5 4 4 ⋅ 4 1 ρ( p)ρ( − p) = 1 − ⋅ 2 5 ⋅ 2 5 = 4 p + 3p +1 p − 3p +1 ⎛ 2 41 3 ⎞⎛ 2 41 3⎞ + + − + p p p p ⎜ ⎟⎜ ⎟ 5 5 ⎠⎝ 5 5⎠ ⎝ = . 2 2 p + 3p +1 p − 3p +1 ( )( ρ( p ) = Z BX ( p ) = ) 41 3 p+ 5 5. 2 p + 3p +1 p2 + p 2 + 3 p + 1 + p 2 + 2,86 p + 0,6 2 p 2 + 5,86 p + 1,6 = . 0,14 p + 0,4 p 2 + 2 p + 1 − p 2 − 2,86 p − 0,96 2p 2 + 5, 86 p + 1,6 0,14 p + 0,4 ( − 2p 2 + 5,86 p ) 14,2 p 0,14 p + 0, 4 − 0,14 p 1,6 0,087 p 1,6 . 0,4 − 1,6 4 0 Таким образом, в схеме (рис. 42.8) L = 14,2 Гн, С = 0,087 Ф, R2 = 4 Ом. kp 3 Пример 5. Реализовать K ( p ) = 3 при R1 = 1 Ом и p + 2 p2 + 2 p + 1 R2 = 0,25 Ом. Поскольку нули передачи при p = 0, то четырехполюсник реализуем второй формой Кауэра (рис. 42.9). Основы теории цепей. Конспект лекций -449- ЛЕКЦИЯ 42. РЕАЛИЗАЦИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ МЕТОДОМ ДАРЛИНГТОНА Реализация четырехполюсника без потерь с двухсторонними нагрузками 1 Ом U1 1 Ф 4 1Ф U2 0,25 Ом 1 Гн 1, 25 ZВХ(р) Рис. 42.9 k= R2 1 = . R1 + R2 5 ( ) 1 3 1 p − p3 4 ⋅1 5 ρ( p)ρ(− p) = 1 − ⋅ 3 ⋅ 3 5 2 = 2 1 p + 2 p + 2 p +1 − p + 2 p − 2 p +1 4 15 6 p 25 = 3 = p + 2 p 2 + 2 p + 1 − p3 + 2 p 2 − 2 p + 1 − p6 + 1 + ( )( ) ⎛ 3 3 ⎞⎛ 3 3 ⎞ ⎜1 + p ⎟⎜1 − p ⎟ ⎝ 5 ⎠⎝ 5 ⎠ = 3 . 2 p + 2 p + 2 p + 1 − p3 + 2 p 2 − 2 p + 1 ( )( ) 3 3 p 5 ρ( p) = 3 . p + 2 p2 + 2 p + 1 1+ 3 3 p 5 = Z BX ( p ) = 3 p + 2 p 2 + 2 p + 1 − p3 + 2 p 2 − 2 p + 1 p3 + 2 p 2 + 2 p + 1 + 1 + ( )( ) 1,6 p 3 + 2 p 2 + 2 p + 2 = . 0,4 p 3 + 2 p 2 + 2 p Основы теории цепей. Конспект лекций -450- ЗАКЛЮЧЕНИЕ Считать себя изучившими современную теорию электрических цепей читателям, познакомившимся с конспектом, разумеется, не следует. Однако изложенного материала достаточно для чтения и понимания литературы по специальным дисциплинам, связанным с изучением методов и устройств формирования и приема сигналов, расчетом цепей и устройств СВЧ-диапазона, а также методов построения цепей по заданным характеристикам. Опыт чтения лекций автором показал, что подход к изложению основ теории цепей, основанный на достаточном количестве примеров расчета и анализа характеристик конкретных цепей, позволяет в рамках небольшого количества часов, выделенных в учебном плане специальности, подготовить студентов к самостоятельному изучению последующих разделов дисциплины. Следует отметить, что расчет фильтров по характеристическим параметрам, приведенный в пособии, не всегда приводит к требуемым результатам в связи с невозможностью согласования фильтров с нагрузкой в широком диапазоне частот. Расчеты фильтров по рабочим параметрам существенно усложняются и требуют проведения значительной вычислительной работы. Ограниченный объем конспекта не позволил в полной мере раскрыть основные методы теории цепей, поэтому автор отсылает читателя к учебникам и монографиям, содержащим изложение вопросов, не вошедших в данное пособие. Основы теории цепей. Конспект лекций -451- БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Антенны / Н. П. Гавеля, А. Д. Истрашкин, Ю. К. Муравьев, В. П. Серков. – Л.: ВКАС, 1963. 2. Атабеков, Г. И. Основы теории цепей / Г. И. Атабеков. – СПб.: Лань, 2006. 3. Бакалов, В. П. Основы теории электрических цепей и электроники / В. П. Бакалов, А. Н. Игнатов, Б. И. Крук. – М.: Радио и связь,1989. 4. Балабанян, Н. Синтез электрических цепей / Н. Балабанян. – М.: Госэнергоиздат, 1961. 5. Белецкий, А. Ф. Основы теории линейных электрических цепей / А. Ф. Белецкий. – М.: Связь. 1969. 6. Белоцерковский, Г. Б. Основы радиотехники и антенны / Г. Б. Белоцерковский. – М.: Сов. радио, 1968. 7. Бессонов, Л. А. Теоретические основы электротехники / Л. А. Бессонов. – М.: Высш. шк., 1973. 8. Бычков, Ю. А. Основы теории электрических цепей / Ю. А. Бычков, В. М. Золотницкий, Э. П. Чернышев. – СПб.: Лань, 2002. 9. Гиллемин, Э. А. Синтез пассивных цепей / Э. А. Гиллемин. – М.: Связь, 1970. 10. Добротворский, И. Н. Лабораторный практикум по основам теории цепей / И. Н. Добротворский. – М.: Высш. шк., 1986. 11. Добротворский, И. Н. Теория электрических цепей / И. Н. Добротворский. – М.: Радио и связь, 1989. 12. Зернов, Н. В. Теория радиотехнических цепей / Н. В. Зернов, В. Г. Карпов. – М.: Энергия, 1972. 13. Калашников, А. М. Основы радиотехники и радиолокации / А. М. Калашников, Я. В. Степук. – М., 1972. 14. Карни, Ш. Теория цепей. Анализ и синтез / Ш. Карни. – М.: Связь, 1973. 15. Лосев, А. К. Линейные радиотехнические цепи / А. К. Лосев. – М.: Высш. шк., 1971. 16. Лосев, А. К. Теория линейных электрических цепей / А. К. Лосев. – М.: Высш. шк., 1987. 17. Лэм, Г. Аналоговые и цифровые фильтры / Г. Лэм. – М.: Мир, 1982. 18. Матханов, П. Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи / П. Н. Матханов. – М.: Высш. шк., 1972. 19. Попов, В. П. Основы теории цепей / В. П. Попов. – М.: Высш. шк., 2003. 20. Прянишников, В. А. Теоретические основы электротехники / В. А. Прянишников. – СПб.: Корона принт, 2000. 21. Теория линейных электрических цепей: учеб. пособие для радиотехнических специальностей вузов / Б. П. Афанасьев, О. Е. Гольдин, И. Г. Кляцкин и др. – М.: Высш. шк., 1973. Основы теории цепей. Конспект лекций -452-
