Тема : ЛОГИКО-ФИЛОСОФСКИЕ ОСНОВЫ ГИПОТЕЗЫ И ПРОБЛЕМА ПУАНКАРЕ Реферат для сдачи кандидатского экзамена по истории и философии науки Подготовил аспирант Кулеш Т.Д. аспирант(соискатель) Предварительная экспертиза проведена ф.и.о. «___» ______________ 20 __ г. _______________________________ Подгаев А.Г. подпись научного руководителя ф.и.о. Окончательная проверка реферата проведена «___» ______________ 20 __ г. Оценка __________________ __________________ __________________ Зачтено(не зачтено) подпись проверяющего Хабаровск, 2021 г. 2 ф.и.о. СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................. 4 1.Глава 1 Логико-философские особенности гипотезы ...................................... 5 1.1 Определение гипотезы ,гносеологическая характеристика и ее место в научном познании. ............................................................................................... 5 1.2 Виды гипотез ................................................................................................ 11 1.3 Логико-методологические требования к построению гипотезы ............ 13 2.Глава 2 Основные исследования в области топологии XVIII – XX вв......... 15 2.1 Некоторые топологические аспекты теоремы Эйлера ............................. 15 2.2 Концепция Анри Пуанкаре и формулировка гипотезы ........................... 18 3.Глава 3 Основные исследования в области топологии в XX – XXI вв ........ 20 3.1 Научный вклад Ричарда Гамильтона в развитие топологии ................... 20 3.2 Научный вклад Григория Перельмана ....................................................... 21 3.3 Основные особенности доказательства гипотезы Пуанкаре ................... 24 ЗАКЛЮЧЕНИЕ ..................................................................................................... 26 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ..................................................................................... 27 3 ВВЕДЕНИЕ С древнейших времен развитие математических знаний всегда сопровождалось появлением разного рода задач, которые не поддавались решению на протяжении длительного времени, несмотря на многочисленные и упорные попытки ученых. Эти задачи называют проблемами и иногда присваивают им имена исследователей, которые первыми сформулировали соответствующий вопрос или обнаружили новый факт, выдвинув соответствующую гипотезу. Некоторые из этих проблем имеют важное прикладное значение, а некоторые носят чисто теоретический характер. В любом случае поиск решения той или иной проблемы всегда приводил к бурному развитию многих областей математики, а главное – к появлению новых методов исследования. Что касается основного (по Пуанкаре) случая n=3, то он оказался самым трудным и продержался до наших дней. Более того, в 2000 г. математический институт в Кембридже (США), основанный бизнесменом Лендоном Клеем, обнародовал список из семи широко известных нерешенных математических проблем, которые, по мнению научного комитета института, будут играть важную роль в математике нового тысячелетия. За решение любой из этих проблем институт Клея назначил награду в один миллион долларов. Под пятым номером в этом списке стоит трехмерная проблема Пуанкаре. Таким образом, эта математическая задача не случайно была объектом пристального внимания на протяжении сотни лет, и есть смысл поговорить о ней более подробно. 4 1.Глава 1 Логико-философские особенности гипотезы 1.1 Определение гипотезы ,гносеологическая характеристика и ее место в научном познании. Гипотеза – это утверждение, которое требует доказательств, выступает в роли предположений или догадок. Гипотеза может выступать формой развития научной стороны знаний, путем выяснения свойств изучаемых объектов и экспериментальных доказательств выдвинутых предположений. Она выступает лишь условным предварительным объяснением причин, свойств или иных характеристик и процессов, касающихся объекта изучения. Эта догадка не представляет собой устойчивое истинное или заранее ложное утверждение, которое требует проверки и последующего доказательства либо опровержения, после чего данное предположение перестает существовать как гипотетическое и обретает форму доказанного или ложного факта. Выдвижение гипотезы является основным инструментом психологического исследования и способом расширения знаний. Так, на первых этапах ставится проблематика исследования, происходит выбор объекта, далее разрабатывается гипотетическая составляющая, исходя из которой, определяются соответствующие экспериментальные методики и обозначаются актуальные приемы сбора данных для анализа информации, после чего производится логическая проверка выдвинутого предположения на истинность. Подтвержденное утверждение не является закрытым для изменений структурой. После доказательства или опровержения выдвинутого предположения возможно внесение дополнений и корректив, при условии наличия или появления новых, не учтенных или не известных ранее факторов, однако сама по себе догадка будет сохранять свое константное значение. Выдвинутое в исследовании предположение может иметь как общенаправленный, так и частный характер применения, носить различную 5 глубину вновь приобретенного знания, касаться четко очерченных областей или находиться на стыке наук, способствуя взаимоинтеграции. Также различны пути возникновения гипотетических предпосылок, что зависит от особенностей мышления автора, так как механизм их порождения схож с механизмом создания новой творческой идеи. Предположение может носить интуитивный и логический характер. Гипотезой считается научно-исследовательское предположение, подлинность которого предстоит установить. Смысловая нагрузка этого предположения касается выявления наличия (отсутствия) определенных причин (связей, последствий) между установленными исследователем процессами (явлениями). В ходе построения и осуществления исследования, имеющего своей сутью определение истинности или ложности предположения, сама формулировка предлагаемого утверждения может претерпевать корректировки и уточнения. Метод гипотезы представляет комплексный подход, результатом осуществления которого является установление, определение и расширение теорий и принципов, объясняющих окружающую реальность. Первоначально используется теоретическое ознакомление с изучаемым явлением и попытками его объяснения посредством имеющихся уже закономерностей. При отсутствии описания необходимых закономерностей, исследователь самостоятельно выдвигает возможные предположения о детерминациях и закономерностях интересующих явлений, из числа которых выбирает наиболее вероятные. Далее гипотетическое предположение при помощи теоретических методов, проверяется на степень соответствия необходимым теориям и принципам, перерабатывается и корректируется в соответствии с ними. В заключении проводится экспериментальная проверка выдвинутого предположения. Гипотетическим предположением признается утверждение, которое удовлетворяет таким характеристикам: включает одно (редко свыше одного) утверждение; процессы и категории, которые являются составляющими 6 догадки, не должны предполагать многозначности толкования и быть четко и однозначно определены исследователем; утверждение должно быть проверяемо, обусловлено определенными фактами и иметь простую логическую конструкцию. Метод гипотез включает этапы выдвижения (где она формулируется с учетом всех вышеизложенных требований) и проверки определенного выдвинутого предположения (в зависимости от исхода проверки – утверждение либо становится теорией, которая включается в непосредственное практическое использование, либо отбрасывается или претерпевает изменения и становится базой для генерирования новых идей). Условно разделить догадки можно на теоретические и эмпирические. Первые охватывают проверку на отсутствие противоречий, наличие возможности исследования, соответствия той теории, в рамках которой выдвигается предположение. Эмпирические элементы охватывают наблюдение и экспериментальное исследование предоставленных факторов. Для того чтобы гипотеза была включена в теорию должен пройти длительный процесс интеграции, вследствие которого бывшее теоретическое умозаключение должно обрести соответствие объяснениям явлений, определяемых теорией. Теория – это постоянная установленная форма, принцип взаимодействия, причинно-следственные связи, которые отражают механизмы функционирования Возникают теоретические определенных закономерности областей вследствие реальности. многократных исследований и тестирований, проверки соответствия гипотетических предпосылок и распространения результатов. При планировании исследования следует учитывать и ссылаться на уже известные факты и теории, касающиеся выбранной темы, а также учитывать небанальность гипотетической предпосылки и потребность ее доказательства. При формулировке предположений бывают допущены ошибки, чтобы избежать таковых, необходимо учитывать некоторые особенности. Так, 7 гипотеза должна формулироваться в терминах той научной области, которой она касается, и соответствовать ранее изученным данным, касательно обозначенной проблематики (в случае абсолютной уникальности и самостоятельности гипотезы – не противоречить имеющимся теориям). Гипотеза - научное допущение или предположение истинное значение которого не определено. Гипотеза - это предположение о существовании какой-то вещи, явления, свойства, связи, отношения и т.д. Однако не всякое предположение в науке является гипотезой. Научная гипотеза должна отвечать ряду требований, главные из которых: соответствие фактам, которые эта гипотеза собирается объяснить; внутренняя непротиворечивость; проверяемость; соответствие ранее накопленному, объективно истинному теоретическому знанию; простота. Различают гипотезы - как метод развития научного знания, включающий в себя выдвижение и последующую экспериментальную проверку предположений, и как структурный элемент научной теории. Каждая гипотеза выдвигается для объяснения, предсказания каких-то фактов. Соответствие фактам - главное условие состоятельности научной гипотезы. Другое требование - требование внутренней непротиворечивости - это требование последовательности, логической безупречности гипотезы вытекает из того, что внутренне противоречивая гипотеза практически бесполезна, так как из нее, как было доказано еще в Средние века Д. Скоттом, можно вывести все, что угодно. Важнейшим требованием к научной гипотезе является ее проверяемость. Если гипотеза не допускает принципиальной проверки, то она становится недоказуемой и неопровержимой, превращается в религиозную догму. Важным требованием к научной гипотезе является ее принципиальная опровержимость. Если гипотеза в принципе не может быть опровергнута, не допускается даже возможность существования фактов, противоречащих гипотез не является научной. Четвертое требование к гипотезе есть проявление, так называемого, принципа соответствия в науке. 8 Гипотеза – это хорошо продуманное предположение, выраженное в форме научных представлений и понятий, которое должно в определенном месте восполнить пробелы эмпирического знания, или связать различные эмпирические знания в единое целое, или же дать предварительное объяснение факту либо группе фактов. Гипотеза является научной лишь в том случае, если она подтверждается фактами. Гипотеза может существовать лишь до тех пор, пока не противоречит достоверным фактам опыта, в противном случае она становится фикцией. Она верифицируется соответствующими фактами опыта, в особенности, экспериментом, получая характер истины; она является плодотворной как эвристическая (познавательная) или рабочая гипотеза, если может привести к научным знаниям и новым путям познания. Существенная функция гипотезы состоит в том, что она ведет к новым наблюдениям и исследованиям, благодаря чему наша догадка подтверждается, опровергается или модифицируется. Факты опыта какой-либо ограниченной научной области вместе с осуществленными, строго доказанными гипотезами или связывающими, единственно возможными гипотезами образуют теорию. Основные правила выдвижения гипотез: 1) гипотеза должна находиться в согласии или быть совместимой со всеми фактами, которых она касается; 2) предпочтительнее та гипотеза, которая единообразно объединяет число других гипотез, выдвинутых ранее для объяснения серии фактов. Такую гипотезу называют рабочей; 3) если серия фактов связана, то число гипотез должно быть минимальным и их связь должна быть более тесной; 4) при выдвижении гипотез необходимо признавать ее вероятностный характер; 5) гипотезы, противоречащие друг другу, не могут быть вместе истинными. Искл: если они объясняют различные стороны и связи одного и того же 9 объекта. Т.о, гипотеза базируется на определенных объективных данных, она имеет возможность быть развитой до степени теории. 10 1.2 Виды гипотез При рассмотрении гипотез выделяются их виды, основанные на различных принципах классификации. Основное различие гипотетических предположений определяют по представленным познавательным функциям, а также классифицируют по объекту исследования. По познавательным функциям выделяют подвиды: описательную гипотезу и объяснительную. Описательная касается свойств, которые характерны объекту, его структуре, составу, особенностям функционирования. Описательная также может касаться тем существования чего-либо (экзистенциальная гипотеза), пример таких умозаключений представляет собой идея о существовании и возможном местонахождении Атлантиды. Объяснительный обусловленность тип гипотезы возникновения рассматривает объекта, механизм природного явления и или обозначенных событий исследования. Если проследить историческую хронологичность возникновения описанных видов гипотез, то можно заметить характерную логическую закономерность. Первоначально в ходе научного интереса в определенной выбранной области возникают догадки экзистенциального спектра. При условии доказательства существования чего-либо, возникают описательные гипотезы, которые изучают объекты, существующие в реальности и их свойства, и только потом возникают объяснительные гипотетические предположения, стремящиеся выяснить механизмы формирования и возникновения. При дальнейшем изучении объекта гипотезы усложняются и детализируются. В зависимости от характеристик и масштабов объекта исследования выделяют общие (сюда относят закономерности связи природных, а также общественных общепланетарное явлений, функционирования подтверждение) и 11 частные психики, (свойства имеющие конкретных единичных проявлений, событий, выделенной отдельной группы объектов, частей психик и) гипотетические умозаключения. На начальных этапах построения исследования формулируется, рабочая гипотеза (основная будет выработана позже), являющаяся условной формулировкой, при наличии и помощи которой возможен сбор и систематизация первичных данных. При дальнейшем анализе полученных результатов, рабочая гипотеза может остаться и принять устойчивую форму, либо претерпеть корректировки в связи с несовместимостью с фактами, обнаруженными в ходе исследования. По типу происхождения гипотезы подразделяются на: — гипотезы, опирающиеся на реальность (для подтверждения актуальности определенной теоретической модели); — научно-экспериментальные (устанавливающие детерминацию различных закономерностей); — эмпирические (были сформулированы для конкретного случая и не могут использоваться для массового объяснения); — экспериментальные гипотезы (необходимы для организации эксперимента и фактического подтверждения); — статистические гипотезы (необходимые для сравнения параметров, участвующих и влияющих на достоверность). 12 1.3 Логико-методологические требования к построению гипотезы Построение или выдвижение гипотезы производится в три этапа: первый этап – анализ отдельных фактов и отношений между ними; второй этап – обобщение фактов, или синтез; третий этап – выдвижение предположения. В процессе построения гипотезы необходимо аналитически исследовать имеющийся фактический материал, т. е. мысленно расчленить его на элементы и изучить каждый из них. Цель данного анализа состоит в выявлении среди множеств фактов – f1 , f 2 , , f n такие конкретные факты – fi , f j , , f k , которые в какой-то степени связаны с исследуемым событием. Следующий шаг в логической обработке фактов – синтез, т. е. мысленное объединение аналитически выделенных фактов fi , f j , , fk в единую систему, который является основной предпосылкой построения гипотезы. Логический механизм выдвижения предположения следующий. На основе анализа и синтеза фактов выявлен эмпирический базис ( f1 , f 2 , , f n ) , который вместе с предшествующими исследованиями служит предпосылкой для вероятностного заключения о возможной причине H , объясняющей происхождение этих фактов. Заключение является проблематичным, т.к. оно лишь частично выводимо из посылок. При построении гипотезы необходимо соблюдать принцип объективности исследования. В психологическом плане объективность означает отсутствие руководствоваться субъективными предвзятости, интересами причинами. то есть установления В исследователь истины, а должен не своими логико-методологическом плане объективность означает всесторонность исследования с целью установления истины. Исследователь должен учитывать весь исходный эмпирический 13 материал, на основе которого необходимо построить целый ряд возможных «промежуточных» гипотез. Построенная гипотеза, чтобы считаться состоятельной, должна удовлетворять следующим условиям: 1. Гипотеза должна быть непротиворечивой, т. е. предположение H не должно противоречить исходному эмпирическому базису, а так же не должно содержать внутренних противоречий; 2. Гипотеза должна быть принципиально проверяемой; 3 Гипотеза должна быть эмпирически и теоретически обоснована; 4 Познавательная ценность гипотезы определяется её информативностью – способностью предсказать, где и как отыскать новые, еще неизвестные факты и дать им рациональное объяснение. Степень обоснованности гипотезы можно выразить в терминах логической вероятности P H : 0 P H 1 . При P H 1 гипотеза считается доказанной; при P H 0 гипотеза считается опровергнутой. В случае P H 1/ 3 о гипотезе говорят как о маловероятной; при P H 1/ 2 – как о равновероятной; при P H 2 / 3 – как о высоковероятной. 14 2.Глава 2 Основные исследования в области топологии XVIII – XX вв. 2.1 Некоторые топологические аспекты теоремы Эйлера Теорема Эйлера – математическое утверждение, связывающее между собой число рёбер, граней и вершин многогранников. Эта теорема была открыта французским ученым Рене Декартом еще в 1640 году, затем забыта более чем на сто лет и лишь в 1752 году переоткрыта российским математиком Леонардом Эйлером, имя которого она носит. Теорема Эйлера хорошо известна и присутствует в продвинутых школьных курсах математики. Однако, там она, как правило, жестко связана с изучением многогранников и используется в основном для выяснения того, какие правильные многогранники могут существовать. Рассмотрим два хорошо известных многогранника – тетраэдр и куб. Условимся обозначать число вершин многогранника буквой B , число ребер – буквой P , число граней – буквой Г . Тогда для выбранных многогранников можно составить следующую таблицу: Таблица 1 B Г P Э В Г Р Тетра 4 4 6 2 Куб 8 6 1 2 эдр 2 В последнем столбце таблицы вычисляется величина Э , которая, по определению, равна В Г Р . Заметим, что, хотя числа B , Г и P для тетраэдра и куба различны, величины Э для них совпадают. Можно было бы подумать, что это совпадение случайно, однако если бы мы подсчитали величины B , Г и P для какого-либо другого многогранника «без дырок», заполнив еще одну строку таблицы (1), то еще раз убедились бы, что, несмотря на различия самих многогранников и различия для них величин B , 15 Г и P , значение Э остается постоянным и равным двум. Таким образом, имеет место равенство: В Г Р 2 (1) которое и называется теоремой Эйлера для многогранников. Опишем условия справедливости равенства (1). Начнем с необходимых определений. Многоугольником называется часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией ограниченная (без самопересечений). многоугольниками, Пространственная называется фигура, многогранником. Мы рассматриваем только так называемые простые многогранники. Чтобы определить их строго, нам необходимо ввести основное для дальнейшего изложения понятие гомеоморфизма или гомеоморфного отображения. Пусть G r | r ( x, y, z) и G ' r ' | r ' ( x ', y ', z ') – два точечных множества в трехмерном пространстве (не исключаем возможности того, что G и G ' лежат на каких-либо кривых или принадлежат каким-либо плоскостям). Определение 1. Отображение r ' f (r ) множества G на множество G ' называется гомеоморфизмом, если выполняются следующие условия: А. Каждой точке r из G отображение f ( r ) ставит в соответствие единственную точку r ' из G ' и для любой точки r ' G ' существует единственная точка r из G , для которой f (r ) r ' . Б. Для любых r1 , r2 из G , r1 ' f (r1 ), r2 ' f (r2 ) : если | r1 r2 | 0 , то | r1 ' r2 ' | 0 ; если | r1 ' r2 ' | 0 , то и | r1 r2 | 0 . Условие А есть требование взаимной однозначности отображения r ' f (r ) : разные точки под действием f ( r ) переходят в разные. Условие Б есть требование непрерывности отображения f ( r ) и его обратного f 1 (r ') : близкие точки r1 и r2 из G должны отображаться в близкие точки из G ' и, наоборот, близкие точки r1 ' и r2 ' из G ' должны иметь близкие прообразы r1 и r2 в G . 16 Таким образом, можно сказать, что гомеоморфизм – это взаимно однозначное соответствие и непрерывное отображение, для которого обратное тоже является непрерывным. Примером гомеоморфизма может служить соответствие между точками поверхности куба и точками содержащей его произвольной сферы. Кроме этого, в качестве распространенного и наглядного примера гомеоморфного отображения поверхности можно рассматривать ее деформацию при условии, что эта деформация не разрывает поверхности (является непрерывной) и не приводит к склеиванию различных точек (то есть является взаимно однозначной). Определение 2. Многогранник называется простым, если его поверхность гомеоморфна сфере. Простыми многогранниками являются, например, пирамиды, призмы, и вообще все выпуклые многогранники (то есть такие, для которых отрезок, соединяющий любые точки многогранника, целиком принадлежит этому многограннику). Пример многогранника, не являющегося простым, – многогранник с «дыркой» (рис. 1) Определение 3. Свойство поверхности называется топологическим, если оно сохраняется при любых гомеоморфных преобразованиях. Ясно, например, что объем, ограниченный поверхностью, или площадь не относятся к топологическим свойствам. В отличие от них эйлерова характеристика является топологическим свойством поверхности. Более того, она определяет тип поверхности в том смысле, что если для какой-то поверхности эйлерова характеристика равна двум, то эта поверхность гомеоморфна сфере. 17 2.2 Концепция Анри Пуанкаре и формулировка гипотезы Все началось с исследований, которые Пуанкаре вел в области алгебраической геометрии. Он работал над одним из краеугольных камней этой науки - теорией гомологий, особого класса топологических инвариантов. В 1900 году он опубликовал статью, в которой доказывал, что если у трехмерной поверхности гомология совпадает с гомологией сферы, то и сама поверхность – сфера; на самом деле это утверждение даже более сильное, чем утверждение гипотезы Пуанкаре. Однако в его рассуждения вкралась ошибка, которую он сам и нашел, к 1904 году разработав важнейшее понятие фундаментальной группы и построив на его базе контрпример к собственной теореме. Тогда же он наконец-то поставил вопрос правильно (здесь приведена формулировка гипотезы Пуанкаре на современном математическом языке): Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие гомеоморфно трёхмерной сфере. Иногда она формулируется чуть иначе: Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере. Разница в этих формулировках состоит в том, что вторая содержит уточнение без края. Дело в том, что в применении к многообразиям используются две терминологические системы. Первая допускает, что многообразия могут как иметь край, так и не иметь его, поэтому в ней необходимо уточнение для конкретизации вида рассматриваемого многообразия: многообразие с краем или многообразие без края. Вторая система называет многообразиями только те объекты, которые в первой системе называются многообразиями без края. Таким образом, две внешне различные формулировки гипотезы Пуанкаре равносильны, дело только в терминологической неоднозначности. 18 Достаточно долго на гипотезу не обращали внимания. Интерес к ней пробудил Генри Уайтхед, который в 1930-е годы объявил о том, что нашел доказательство гипотезы. Почти сразу было обнаружено, что его доказательство оказалось неверным. Однако в процессе поиска и попыток исправить свои неточности он обнаружил интереснейшие классы трехмерных поверхностей и значительно продвинул теорию, которая позднее получила название топологии малых (или низших) размерностей. В 50-е и 60е годы XX века всплеск интереса к проблеме вновь породил несколько ошибочных заявлений о том, что теорему удалось доказать, и после этого математики наконец-то поняли, что гипотезу Пуанкаре так просто не возьмешь: с шестидесятых годов и до работ Григория Перельмана ложные доказательства предъявляли только любители. Топология низших размерностей стала отдельной ветвью математики по удивительной причине - в многомерном случае все гораздо проще. Уже в 50-е и 60-е годы утверждения, аналогичные гипотезе Пуанкаре, были доказаны для более высоких размерностей. Трехмерный же случай продолжал оставаться камнем преткновения. Кроме того, гипотеза Пуанкаре имеет достаточно общепризнанную космологическую интерпретацию. Можно предположить, что Вселенная обладает свойствами односвязного компактного трёхмерного многообразия. Гипотеза утверждает, что Вселенная в известном смысле неотличима от трехмерной сферы. Для большего понимания этого утверждения, скажем, что обычная двумерная сфера – это поверхность обычного трехмерного шара. Трехмерная сфера недоступна для непосредственного восприятия обычными людьми, однако вполне возможно, что в ней мы живем. 19 3.Глава 3 Основные исследования в области топологии в XX – XXI вв 3.1 Научный вклад Ричарда Гамильтона в развитие топологии Ричард Стрейт Гамильтон родился в 1943 году — профессор математики Колумбийского университета, член Национальной академии наук США (с 1999 года), Американской академии искусств и наук (с 2003года). Область научных интересов — дифференциальная геометрия и топология. Гамильтон, в своих исследованиях по топологии многообразий, впервые ввел в рассмотрение так называемые потоки Риччи. Поток Риччи – система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая деформацию многообразии 20 римановой метрики на 3.2 Научный вклад Григория Перельмана Григорий Яковлевич Перельман родился 13 июня 1966 года в Ленинграде. Его отец был инженером-электриком, который в 1993 году эмигрировал в Израиль. Мать осталась в Санкт-Петербурге, работала учителем математики в ПТУ. Георгий Перельман окончил ленинградскую физико-математическую школу №239 с углубленным изучением математики. В 1982 году в составе команды школьников участвовал в Международной математической олимпиаде в Будапеште. В том же году был зачислен на математикомеханический факультет Ленинградского государственного университета без экзаменов. Побеждал на факультетских, городских и всесоюзных студенческих математических олимпиадах. Все годы учебы в ЛГУ получал Ленинскую стипендию, окончил университет с отличием. Поступил в аспирантуру при Ленинградском (ныне Санкт- Петербургском) отделении Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР (ныне РАН). Научным руководителем Перельмана был академик Александр Данилович Александров. Защитив кандидатскую диссертацию, Перельман продолжил работать в лаборатории математической физики ЛОМИ им.В.А. Стеклова (ныне ПОМИ). Перельман был известен работами по теории пространств Александрова, сумел доказать ряд гипотез. В 1992 году Перельмана пригласили провести по семестру в Нью-йоркском университете и Университете Стони Брук (Stony Brook University), затем в 1993 году он продолжил преподавание и научную работу в Беркли. В 1996 году (по другим сведениям - в 1995 году) Перельман вернулся в ЛОМИ, где он начал изучать работы Ричарда Гамильтона7 по потокам Риччи и проводить по ним семинары. В ноябре 2002 – июле 2003 годов Перельман разместил на сайте arXiv.org три научные статьи: • The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications 21 • Ricci flow with surgery on three-manifolds • Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain threemanifolds Эти статьи в предельно сжатом виде содержали решение одного из частных случаев гипотезы геометризации Уильяма Терстона, приводящее к доказательству гипотезы Пуанкаре. Описанный ученым метод изучения потока Риччи получил название теории Гамильтона—Перельмана. Эти работы Перельмана не получили статуса официальной научной публикации, так как arXiv.org является библиотекой препринтов, а не рецензируемы ом. Попыток официальной публикации этих работ Перельман не предпринимал. В 2003 году Перельман прочитал в США серию лекций, посвященных своим работам, после чего вернулся в Санкт-Петербург и поселился в квартире своей матери в Купчино. В декабре 2005 года он ушел с поста ведущего научного сотрудника лаборатории математической физики, уволился из Математического института и практически полностью прервал контакты с коллегами. После появления работ Перельмана несколько групп математиков приступили к проверке правильности его доказательств. За четыре года проверки и детализации выкладок Перельмана ведущие эксперты в этой области ошибок не обнаружили. 22 августа 2006 года Перельману была присуждена Филдсовская премия «за вклад в геометрию и революционные достижения в понимании аналитической и геометрической структуры потока Риччи». Филдсовская премия (англ. Fields Medal) — международная премия и медаль, которые вручаются один раз в 4 года на каждом международном математическом конгрессе двум, трём или четырём молодым математикам не старше 40 лет (или достигших 40-летия в год вручения премии). Приз и медаль названы в честь Джона Филдса, который будучи президентом VII международного математического конгресса, проходившего в 1924 году в Торонто, предложил на каждом следующем конгрессе награждать двух 22 математиков золотой медалью в знак признания их выдающихся заслуг. Филдсовская медаль изготовляется из 14-каратного золота. На лицевой стороне — надпись на латыни: «Transire suum pectus mundoque potiri» («Превзойти свою человеческую ограниченность и покорить Вселенную») и изображение Архимеда. А на обороте: «Congregati ex toto orbe mathematici ob scripta insignia tribuere» («Математики, собравшиеся со всего света, чествуют замечательный вклад в познания»). Сумма денежной премии относительно невелика – 15 000 канадских долларов. Перельман отказался принять филдсовскую премию и не приехал на Математический конгресс в Мадриде, где должно состояться вручение филдсовской медали. С тех пор он прекратил всякое общение с журналистами, объявив, что распрощался с научным сообществом и более не считает себя профессиональным математиком. В опубликованном в октябре 2007 года газетой The Sunday Telegraph списке 100 ныне живущих гениев Перельман поделил с бразильским архитектором Оскаром Нимейером (Oscar Niemeyer) и американским композитором-минималистом Филиппом Глассом девятое место. 23 3.3 Основные особенности доказательства гипотезы Пуанкаре Пытаясь использовать уравнение потока Риччи для доказательства гипотезы Пуанкаре и геометризации 3-многообразий, ученые столкнулись с трудностями, которые сумел преодолеть Григорий Перельман. Применение потока Риччи для постепенного изменения формы 3-многообразия иногда приводит к возникновению особенностей. Например, когда часть объекта имеет форму «гантели», «трубка» между сферами может оказаться пережатой до многообразия. точечного Так сечения, нарушающего же не исключено свойства появления так этого называемой сигарообразной особенности. Перельман показал, что над особенностями можно проводить «хирургические операции». Когда многообразие начинает пережиматься, следует вырезать небольшие участки по обе стороны от точки сужения, места среза закрыть небольшими сферами, а затем снова использовать поток Риччи. Если пережим возникает снова, процедуру можно повторить. Перельман так же доказал, сигарообразная особенность никогда не появляется. Перельман добавил к уравнению потока Риччи новый член. Внесенное изменение не устранило проблему особенностей, но позволило провести гораздо более глубокий анализ. Российский ученый показал, что над многообразием в виде гантели можно провести «хирургическую» операцию: отрезать тонкую трубку по обе стороны от появляющегося пережима и заделать торчащие из шаров открытые трубки сферическими колпачками. Затем следует продолжать изменение «прооперированного» многообразия в соответствии с уравнением потока Риччи, а ко всем возникающим пережимам применять вышеописанную процедуру. Перельман также показал, что сигарообразные особенности появляться не могут. Таким образом, любое 3-многообразие можно свести к набору частей с однородной геометрией. 24 Когда поток Риччи и «хирургическую операцию» применяют ко ъ всем возможным 3-многообразиям, любое из них, если оно столь же простое, как 3-сфера (иначе говоря, характеризуется такой же гомотопией), обязательно сводится к той же самой однородной геометрии, что и 3-сфера. Значит, с топологической точки зрения, рассматриваемое многообразие и есть 3- сфера. Таким образом, при доказательстве гипотезы Пуанкаре начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трёхмерном многообразии M и применяют к нему поток Риччи с хирургией. Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» все. Это означает, что исходное многообразие M можно представить как набор сферических пространственных форм S 3 / Гi , соединенных друг с другом трубками [0,1] S 2 . Подсчет фундаментальной группы показывает, что M диффеоморфно связной сумме набора пространственных форм S 3 / Гi и более того все Г i тривиальны. Таким образом, M является связной суммой набора сфер, то есть сферой. 25 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Замечательное открытие нашего гениального соотечественника – математика Григория Перельмана , позволило в очередной раз отодвинуть границу неопознанного. Конечно же, надо понимать, что многие теоретические выводы из теоремы Пуанкаре-Перельмана еще недостаточно ясны и им еще только предстоит занять свое место в общей научной картине мира. 26 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ [1] Пуанкаре А. О науке. М.: Наука. Гл. ред, физ.- мат. лит.,1990 – 736 с. [2] Аксенов О.О. Григорий Перельман и гипотеза Пуанкаре.М.: Эксмо, 2010 – 256 с. [3] Николаенко С. Проблемы 2000 года: гипотеза Пуанкаре// Компьютерра: Компьютерный еженедельник 2006 URL:https://old.computerra.ru/2006/621/24 7630/ (дата обращения:25.01.2019). [4] Жислин Г. М. Теорема Эйлера для многогранников // Соросовский образовательный журнал. 1999 № 6 С. 116 – 122 [5] Малыхина О.А., Т.Д. Кулеш. Историко-теоретические особенности гипотезы Пуанкаре //Актуальные проблемы современной науки.2019 с.1–4 27
