Занятие N «Алгебраический метод решения квадратных неравенств» Отметим, что множество решений квадратного неравенства вида 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0, где 𝑎, 𝑏, 𝑐 — фиксированные числа, причем 𝑎 ≠ 0 может быть: а) пустым множеством; б) точкой; в) промежутком конечной длины; г) объединением двух бесконечных промежутков; д) всей числовой прямой. Аналогичные выводы можно сделать относительно множества решений квадратных неравенств вида 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0, 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0, 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0. Для получения решений конкретного квадратного неравенства можно сначала получить равносильное ему квадратное неравенство с положительным коэффициентом при 𝑥 2 , затем представить график соответствующей квадратной функции найти корни соответствующего квадратного уравнения, когда они существуют, после чего получить ответ. Разберем решение квадратного неравенства 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0, 𝑎 ≠ 0 алгебраическим методом. (1) Дискриминант 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 квадратного уравнения 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 обозначим через 𝐷, то есть 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐. Выделив полный квадрат, получим 2 b b2 a x c 0 2a 4a или 2 b D a x 0 2a 4a (2) Последнее неравенство (2) равносильно исходному (1). Рассмотрим теперь шесть возможных случаев. Сначала разберем те из них, когда 𝑎 > 0. Случай 1. Пусть 𝒂 > 𝟎 и 𝑫 < 𝟎. Тогда a x 2ba 0 при всех 𝑥, число − 2 𝐷 4𝑎 > 0, а поэтому неравенство (2) верно для всех действительных значений 𝑥, так как в этом случае левая часть неравенства (2) есть сумма двух положительных чисел. Равносильное неравенство (1) при 𝐷 < 0 также верно для всех действительных чисел. Случай 2. Пусть 𝒂 > 𝟎 и 𝑫 > 𝟎. Разделив обе части неравенства (2) на число 𝑎 > 0, получим равносильное неравенство 2 2 b D a x 0 2a 2a (3) Квадратное уравнение 2 2 b D a x 0 2a 2a имеет корни 𝑥1 = −𝑏 − √𝐷 2𝑎 𝑥2 = −𝑏 + √𝐷 , 2𝑎 и причем 𝑥1 < 𝑥2 . Отсюда следует, что левая часть уравнения может быть разложена на два множителя. Тогда само уравнение запишется в виде (𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) = 0. Значит, парабола 𝑦 = (𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) пересекает ось 𝑂𝑥 в точках 𝑥1 и 𝑥2 , а так как коэффициент при 𝑥 2 равен 1, то ее ветви направлены вверх (рисунок 1). Следовательно, множество решений неравенства (3) и равносильного ему неравенства (1) есть объединение (−∞; 𝑥1 ) ∪ (𝑥2 ; +∞) двух бесконечных промежутков с исключенными концами. Случай 3. Пусть 𝒂 > 𝟎 и 𝑫 = 𝟎. В этом случае неравенство имеет вид a x 2ba 0 . Поэтому неравенство (2), а 2 следовательно, и неравенство (1) верно для всех действительных чисел 𝑥 ≠ − (рисунок 2). 𝑏 2𝑎 Разберем теперь случаи решения квадратного неравенства 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 > 𝟎, когда 𝒂 < 𝟎. Случай 4. Пусть 𝒂 < 𝟎 и 𝑫 < 𝟎. Тогда левая часть неравенства (2) отрицательна при любом значении 𝑥, а поэтому неравенство (2), а вместе с ним и неравенство (1) не имеют решений. Случай 5. Пусть 𝒂 < 𝟎 и 𝑫 > 𝟎. Разделив обе части неравенства (2) на число 𝑎 < 0 и изменив знак неравенства на противоположный, получим равносильное неравенство 2 2 b D a x 0 2a 2a (4) 2 2 b D Квадратное уравнение a x 0 перепишем в виде 2a 2a 2 b D a x 2a 2a 2 Отсюда 𝑏 √𝐷 √𝐷 =± =∓ , 2𝑎 2|𝑎| 2𝑎 так как 𝑎 < 0. Следовательно, корнями уравнения будут числа 𝑥+ −𝑏 + √𝐷 −𝑏 − √𝐷 и𝑥2 = , 2𝑎 2𝑎 причем 𝑥1 < 𝑥2 . Для решения неравенства (4) мы можем снова использовать рисунок 1, но выбирать уже те значения 𝑥, для которых значения функции 𝑦 = (𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) отрицательны. Это будут значения, заключенные между 𝑥1 и 𝑥2 . Таким образом, при 𝑎 < 0 и 𝐷 > 0 множество решений неравенства (1) есть интервал (𝑥1 ; 𝑥2 ), где 𝑥1 = −𝑏 + √𝐷 −𝑏 − √𝐷 и𝑥2 = . 2𝑎 2𝑎 Случай 6. Пусть 𝒂 < 𝟎 и 𝑫 = 𝟎. 𝑥1 = В этом случае неравенство имеет вид a x 2ba 0 . Поэтому неравенство (4) и 2 равносильное ему неравенство (1) при 𝑎 < 0 не имеют решений. Пример. Найдем решения неравенства −𝑥 2 + 𝑥 + 1 > 0. Составим и решим квадратное уравнение −𝑥 2 + 𝑥 + 1 = 0, 𝑥 2 − 𝑥 − 1 = 0, 𝐷 = 1 + 1 ⋅ 4 = 5, 𝑥1 = 1−√5 2 , 𝑥2 = 1+√5 2 . Так как коэффициент при 𝑥2 1−√5 1+√5 ; ). 2 2 отрицательный и 𝐷 > 0, то по правилу ответом является интервал ( Пример. Найдем решения неравенства 𝑥 2 − 2𝑥 + 3 > 0. Составим квадратное уравнение 𝑥 2 − 2𝑥 + 3 = 0. Тогда 𝐷 = 22 − 4 ⋅ 3 = −8 < 0. Так как коэффициент при 𝑥 2 положительный и 𝐷 < 0, то по правилу ответом является множество всех действительных чисел. Пример. Найдем при каждом значении параметра 𝑎 множество решений неравенства (𝑎 + 1)𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 𝑎 − 1 ≥ 0. Данное неравенство является квадратным, если 𝑎 + 1 ≠ 0. При 𝑎 + 1 = 0, то есть 𝑎 = −1, неравенство имеет вид −𝑥 − 2 ≥ 0, откуда 𝑥 ≤ −2. Следовательно, при 𝑎 = −1 множеством решений данного неравенства является промежуток (−∞; −2]. Пусть 𝑎 + 1 ≠ 0. Составим квадратное уравнение (𝑎 + 1)𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 𝑎 − 1 = 0. Найдем его дискриминант 𝐷 = 𝑎2 − 4(𝑎2 − 1) = 4 − 3𝑎2 . Найдем решения неравенства 𝐷 ≥ 0 или 4 − 3𝑎2 ≥ 0. Это неравенство равносильно неравенству 2 2 2 2 a 2 23 0 . Поэтому 𝐷 ≥ 0 при 𝑎 ∈ [− ; ] и 𝐷 < 0 при 𝑎 ∈ (−∞; − ) ∪ √ 3 √3 ( 2 √3 ; +∞). Разберем теперь четыре случая. Случай 1. Пусть 𝒂 + 𝟏 < 𝟎 и 𝑫 < 𝟎. √3 Одновременно эти условия выполняются при 2 𝑎 ∈ (−∞; − )∪( 2 ; +∞) √3 √3 (рисунок 3). По правилу при каждом таком значении 𝑎 множество решений исходного неравенства пусто. Случай 2. Пусть 𝒂 + 𝟏 > 𝟎 и 𝑫 < 𝟎. Одновременно эти условия выполняются при 𝑎 ∈ ( 2 √3 ; +∞). По правилу при каждом таком значении 𝑎 множеством решений исходного неравенства является множество всех действительных чисел. Случай 3. Пусть 𝒂 + 𝟏 > 𝟎 и 𝑫 ≥ 𝟎. Одновременно эти условия выполняются при 𝑎 ∈ (−1; − 2 ) (рисунок 4). При √3 2 каждом таком значении 𝑎 квадратное уравнение (𝑎 + 1)𝑥 + 𝑎𝑥 + (𝑎 − 1) = 0 имеет корни 𝑥1 = −𝑎−√4−3𝑎2 2(𝑎+1) и 𝑥2 = −𝑎+√4−3𝑎2 2(𝑎+1) , причем 𝑥1 ≤ 𝑥2 . По правилу множество решений исходного неравенства запишется в виде (−∞; 𝑥1 ] ∪ [𝑥2 ; ∞). Заметим, что при 𝑎 = 2 √3 корни 𝑥1 и 𝑥2 равны, и тогда объединение (−∞; 𝑥1 ] ∪ [𝑥2 ; ∞) совпадает с множеством всех действительных чисел. Случай 4. Пусть 𝒂 + 𝟏 < 𝟎 и 𝑫 ≥ 𝟎. Одновременно эти условия выполняются при 𝑎 ∈ ( 2 √3 ; −1). При каждом таком значении 𝑎 квадратное уравнение (𝑎 + 1)𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 𝑎 − 1 = 0 имеет корни, которые теперь в порядке возрастания будут выглядеть так: 𝑥1 = −𝑎−√4−3𝑎2 2(𝑎+1) −𝑎+√4−3𝑎2 2(𝑎+1) и 𝑥2 = . Записанные в этом виде корни 𝑥1 и 𝑥2 удовлетворяют неравенству 𝑥1 ≤ 𝑥2 . По правилу при каждом значении 𝑎 из промежутка ( 2 √3 ; −1) множество решений исходного неравенства запишется в виде [𝑥1 ; 𝑥2 ]. Заметим, что при 𝑎 = − 2 √3 корни 𝑥1 и 𝑥2 равны, а поэтому множество решений исходного неравенства состоит из одной точки 𝑥1 = −2 2 . 2 2 − 3 √ √3 (1 − ) √3 Подведем итог проделанной работе и запишем окончательный ответ: при 𝑎 ∈ (−∞; 2 ) решений нет; √3 = при 𝑎 = − при 𝑎 ∈ ( 2 √3 2 √3 решение 𝑥 = 2 ; 2−√3 ; −1) множество решений −𝑎 + √4 − 3𝑎2 −𝑎 − √4 − 3𝑎2 ; [ ]; 2(𝑎 + 1) 2(𝑎 + 1) при 𝑎 = −1 множество решений (−∞; −2]; при 𝑎 ∈ (−1; 2 ) множество решений √3 −𝑎 − √4 − 3𝑎2 −𝑎 + √4 − 3𝑎2 −∞; ∪ ; ∞) ; 2(𝑎 + 1) 2(𝑎 + 1) при 𝑎 ∈ ( 2 √3 ; ∞) множество решений совпадает с множеством 𝑅 всех действительных чисел. Задачи и упражнения 1. Решите неравенство: а) 𝑥 2 − 1 ≤ 0; б) 𝑥 2 − 𝑥 ≤ 0; б) 𝑥 2 − 𝑥 + 1 < 0; г) 2𝑥 2 − 4𝑥 + 1 > 0; в) 3 − 𝑥 − 𝑥 2 ≥ 0; е) −5𝑥 2 + 6𝑥 − 1 < 0; г) 2𝑥 2 − 5𝑥 + 2 ≤ 0; з) 𝑥 2 − 1996𝑥 + 1995 < 0.
