Загрузил Олег Лука

Алгебраический метод решения квадратных неравенств

Реклама
Занятие N
«Алгебраический метод решения квадратных
неравенств»
Отметим, что множество решений квадратного неравенства вида
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0,
где 𝑎, 𝑏, 𝑐 — фиксированные числа, причем 𝑎 ≠ 0 может быть:
а) пустым множеством;
б) точкой;
в) промежутком конечной длины;
г) объединением двух бесконечных промежутков;
д) всей числовой прямой.
Аналогичные выводы можно сделать относительно множества решений
квадратных неравенств вида
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0,
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0,
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0.
Для получения решений конкретного квадратного неравенства можно сначала
получить равносильное ему квадратное неравенство с положительным
коэффициентом при 𝑥 2 , затем представить график соответствующей квадратной
функции найти корни соответствующего квадратного уравнения, когда они
существуют, после чего получить ответ.
Разберем решение квадратного неравенства
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0, 𝑎 ≠ 0
алгебраическим методом.
(1)
Дискриминант 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 квадратного уравнения 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 обозначим
через 𝐷, то есть
𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐.
Выделив полный квадрат, получим
2
b  b2

a x 
 c  0
 
2a  4a

или
2
b 
D

a x 
0
 
2a  4a

(2)
Последнее неравенство (2) равносильно исходному (1). Рассмотрим теперь
шесть возможных случаев. Сначала разберем те из них, когда 𝑎 > 0.
Случай 1. Пусть 𝒂 > 𝟎 и 𝑫 < 𝟎.
Тогда a x  2ba   0 при всех 𝑥, число −
2
𝐷
4𝑎
> 0, а поэтому неравенство (2) верно
для всех действительных значений 𝑥, так как в этом случае левая часть неравенства
(2) есть сумма двух положительных чисел. Равносильное неравенство (1) при 𝐷 <
0 также верно для всех действительных чисел.
Случай 2. Пусть 𝒂 > 𝟎 и 𝑫 > 𝟎.
Разделив обе части неравенства (2) на число 𝑎 > 0, получим равносильное
неравенство
2
2
b   D

a x    
 0
2a   2a 

(3)
Квадратное уравнение
2
2
b   D

a x    
 0
2a   2a 

имеет корни
𝑥1 =
−𝑏 − √𝐷
2𝑎
𝑥2 =
−𝑏 + √𝐷
,
2𝑎
и
причем 𝑥1 < 𝑥2 .
Отсюда следует, что левая часть уравнения может быть разложена на два
множителя. Тогда само уравнение запишется в виде
(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) = 0.
Значит, парабола 𝑦 = (𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) пересекает ось 𝑂𝑥 в точках 𝑥1 и 𝑥2 , а так
как коэффициент при 𝑥 2 равен 1, то ее ветви направлены вверх (рисунок 1).
Следовательно, множество решений неравенства (3) и равносильного ему
неравенства (1) есть объединение
(−∞; 𝑥1 ) ∪ (𝑥2 ; +∞)
двух бесконечных промежутков с исключенными концами.
Случай 3. Пусть 𝒂 > 𝟎 и 𝑫 = 𝟎.
В этом случае неравенство имеет вид a x  2ba   0 . Поэтому неравенство (2), а
2
следовательно, и неравенство (1) верно для всех действительных чисел 𝑥 ≠ −
(рисунок 2).
𝑏
2𝑎
Разберем теперь случаи решения квадратного неравенства 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 >
𝟎, когда 𝒂 < 𝟎.
Случай 4. Пусть 𝒂 < 𝟎 и 𝑫 < 𝟎.
Тогда левая часть неравенства (2) отрицательна при любом значении 𝑥, а
поэтому неравенство (2), а вместе с ним и неравенство (1) не имеют решений.
Случай 5. Пусть 𝒂 < 𝟎 и 𝑫 > 𝟎.
Разделив обе части неравенства (2) на число 𝑎 < 0 и изменив знак неравенства
на противоположный, получим равносильное неравенство
2
2
b   D

a x    
 0
2a   2a 

(4)
2
2
b   D

Квадратное уравнение a x    
  0 перепишем в виде
2a   2a 

2
b   D

a x 

 
2a   2a 

2
Отсюда
𝑏
√𝐷
√𝐷
=±
=∓
,
2𝑎
2|𝑎|
2𝑎
так как 𝑎 < 0. Следовательно, корнями уравнения будут числа
𝑥+
−𝑏 + √𝐷
−𝑏 − √𝐷
и𝑥2 =
,
2𝑎
2𝑎
причем 𝑥1 < 𝑥2 . Для решения неравенства (4) мы можем снова использовать
рисунок 1, но выбирать уже те значения 𝑥, для которых значения функции 𝑦 =
(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) отрицательны. Это будут значения, заключенные между 𝑥1 и 𝑥2 .
Таким образом, при 𝑎 < 0 и 𝐷 > 0 множество решений неравенства (1) есть
интервал (𝑥1 ; 𝑥2 ), где
𝑥1 =
−𝑏 + √𝐷
−𝑏 − √𝐷
и𝑥2 =
.
2𝑎
2𝑎
Случай 6. Пусть 𝒂 < 𝟎 и 𝑫 = 𝟎.
𝑥1 =
В этом случае неравенство имеет вид a x  2ba   0 . Поэтому неравенство (4) и
2
равносильное ему неравенство (1) при 𝑎 < 0 не имеют решений.
Пример. Найдем решения неравенства
−𝑥 2 + 𝑥 + 1 > 0.
Составим и решим квадратное уравнение −𝑥 2 + 𝑥 + 1 = 0, 𝑥 2 − 𝑥 − 1 = 0,
𝐷 = 1 + 1 ⋅ 4 = 5,
𝑥1 =
1−√5
2
,
𝑥2 =
1+√5
2
.
Так
как
коэффициент
при
𝑥2
1−√5 1+√5
;
).
2
2
отрицательный и 𝐷 > 0, то по правилу ответом является интервал (
Пример. Найдем решения неравенства
𝑥 2 − 2𝑥 + 3 > 0.
Составим квадратное уравнение 𝑥 2 − 2𝑥 + 3 = 0. Тогда 𝐷 = 22 − 4 ⋅ 3 =
−8 < 0. Так как коэффициент при 𝑥 2 положительный и 𝐷 < 0, то по правилу
ответом является множество всех действительных чисел.
Пример. Найдем при каждом значении параметра 𝑎 множество решений
неравенства
(𝑎 + 1)𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 𝑎 − 1 ≥ 0.
Данное неравенство является квадратным, если 𝑎 + 1 ≠ 0. При 𝑎 + 1 = 0, то
есть 𝑎 = −1, неравенство имеет вид −𝑥 − 2 ≥ 0, откуда 𝑥 ≤ −2. Следовательно,
при 𝑎 = −1 множеством решений данного неравенства является промежуток
(−∞; −2].
Пусть 𝑎 + 1 ≠ 0. Составим квадратное уравнение (𝑎 + 1)𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 𝑎 − 1 =
0. Найдем его дискриминант 𝐷 = 𝑎2 − 4(𝑎2 − 1) = 4 − 3𝑎2 . Найдем решения
неравенства 𝐷 ≥ 0 или 4 − 3𝑎2 ≥ 0. Это неравенство равносильно неравенству
2
2 2
2
a 2   23   0 . Поэтому 𝐷 ≥ 0 при 𝑎 ∈ [− ; ] и 𝐷 < 0 при 𝑎 ∈ (−∞; − ) ∪
√ 3 √3
(
2
√3
; +∞).
Разберем теперь четыре случая.
Случай 1. Пусть 𝒂 + 𝟏 < 𝟎 и 𝑫 < 𝟎.
√3
Одновременно эти условия выполняются при
2
𝑎 ∈ (−∞; −
)∪(
2
; +∞)
√3
√3
(рисунок 3). По правилу при каждом таком значении 𝑎 множество решений
исходного неравенства пусто.
Случай 2. Пусть 𝒂 + 𝟏 > 𝟎 и 𝑫 < 𝟎.
Одновременно эти условия выполняются при 𝑎 ∈ (
2
√3
; +∞). По правилу при
каждом таком значении 𝑎 множеством решений исходного неравенства является
множество всех действительных чисел.
Случай 3. Пусть 𝒂 + 𝟏 > 𝟎 и 𝑫 ≥ 𝟎.
Одновременно эти условия выполняются при 𝑎 ∈ (−1; −
2
) (рисунок 4). При
√3
2
каждом таком значении 𝑎 квадратное уравнение (𝑎 + 1)𝑥 + 𝑎𝑥 + (𝑎 − 1) = 0
имеет корни 𝑥1 =
−𝑎−√4−3𝑎2
2(𝑎+1)
и 𝑥2 =
−𝑎+√4−3𝑎2
2(𝑎+1)
, причем 𝑥1 ≤ 𝑥2 . По правилу
множество решений исходного неравенства запишется в виде (−∞; 𝑥1 ] ∪ [𝑥2 ; ∞).
Заметим, что при 𝑎 =
2
√3
корни 𝑥1 и 𝑥2 равны, и тогда объединение (−∞; 𝑥1 ] ∪
[𝑥2 ; ∞) совпадает с множеством всех действительных чисел.
Случай 4. Пусть 𝒂 + 𝟏 < 𝟎 и 𝑫 ≥ 𝟎.
Одновременно эти условия выполняются при 𝑎 ∈ (
2
√3
; −1). При каждом таком
значении 𝑎 квадратное уравнение (𝑎 + 1)𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 𝑎 − 1 = 0 имеет корни,
которые теперь в порядке возрастания будут выглядеть так: 𝑥1 =
−𝑎−√4−3𝑎2
2(𝑎+1)
−𝑎+√4−3𝑎2
2(𝑎+1)
и 𝑥2 =
. Записанные в этом виде корни 𝑥1 и 𝑥2 удовлетворяют неравенству 𝑥1 ≤
𝑥2 .
По правилу при каждом значении 𝑎 из промежутка (
2
√3
; −1) множество
решений исходного неравенства запишется в виде [𝑥1 ; 𝑥2 ].
Заметим, что при 𝑎 = −
2
√3
корни 𝑥1 и 𝑥2 равны, а поэтому множество решений
исходного неравенства состоит из одной точки
𝑥1 =
−2
2
.
2
2
−
3
√
√3 (1 − )
√3
Подведем итог проделанной работе и запишем окончательный ответ:
при 𝑎 ∈ (−∞;
2
) решений нет;
√3
=
при 𝑎 = −
при 𝑎 ∈ (
2
√3
2
√3
решение 𝑥 =
2
;
2−√3
; −1) множество решений
−𝑎 + √4 − 3𝑎2 −𝑎 − √4 − 3𝑎2
;
[
];
2(𝑎 + 1)
2(𝑎 + 1)
при 𝑎 = −1 множество решений (−∞; −2];
при 𝑎 ∈ (−1;
2
) множество решений
√3
−𝑎 − √4 − 3𝑎2 −𝑎 + √4 − 3𝑎2
−∞;
∪
; ∞) ;
2(𝑎 + 1)
2(𝑎 + 1)
при 𝑎 ∈ (
2
√3
; ∞) множество решений совпадает с множеством 𝑅 всех
действительных чисел.
Задачи и упражнения
1. Решите неравенство:
а) 𝑥 2 − 1 ≤ 0; б) 𝑥 2 − 𝑥 ≤ 0;
б) 𝑥 2 − 𝑥 + 1 < 0;
г) 2𝑥 2 − 4𝑥 + 1 > 0;
в) 3 − 𝑥 − 𝑥 2 ≥ 0;
е) −5𝑥 2 + 6𝑥 − 1 < 0;
г) 2𝑥 2 − 5𝑥 + 2 ≤ 0;
з) 𝑥 2 − 1996𝑥 + 1995 < 0.
Скачать