МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Кафедра прикладної математики та інформаційних технологій ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ІННОВАЦІЙНИХ ПРОЦЕСІВ Навчальний посібник Одеса ОНПУ 2017 МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ Одеський національний політехнічний університет Кафедра прикладної математики та інформаційних технологій НАВЧАЛЬНИЙ ПОСІБНИК з дисципліни «ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ІННОВАЦІЙНИХ ПРОЦЕСІВ» для іноземних студентів напряму підготовки 6.040301 «Прикладна математика» Розглянуто та затверджено на засіданні кафедри прикладної математики та інформаційних технологій Протокол № 9 від 1.06.2017 р. Одеса ОНПУ 2017 2 Учебное пособие по курсу “Экономико-математическое моделирование инновационных процессов” для иностранных студентов направления подготовки 6.040301 «Прикладная математика» / составитель: В.А. Диленко, Одесса : ОНПУ, 2017. - 61 с. Составил: Диленко В.А., д.э.н., доцент Предлагаемое учебное пособие предназначено для студентов, которые обучаются по специальности «Прикладная математика». Его целью является изложение возможных подходов к математическому моделированию инновационых процессов, реализуемых на микро-, мезо- и макроэкономическом уровнях. Предназначено для студентов дневной формы обучения. Оглавление ВВЕДЕНИЕ ....................................................................................................................................... 4 1. ИННОВАЦИИ. СОДЕРЖАНИЕ ПОНЯТИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ............................. 5 2. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННОГО ПРЕДПРИЯТИЯ С УЧЕТОМ ИННОВАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ .................................................................................................................................. 11 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИННОВАЦИОННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ В СФЕРЕ ПРОДУКТНЫХ ИННОВАЦИЙ .............................................. 17 4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВНЕДРЕНИЯ ИННОВАЦИЙ В СИСТЕМЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИ ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ ПРОИЗВОДИТЕЛЕЙ ....... 23 5. ОЦЕНКА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИННОВАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В СИСТЕМЕ ПРОИЗВОДИТЕЛЕЙ ................................................................ 31 6. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ОРГАНИЗАЦИИ ИННОВАЦИОННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ В СИСТЕМЕ ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ ПРОИЗВОДИТЕЛЕЙ ......... 37 7. ФАКТОРНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ. УЧЕТ НАУЧНОТЕХНИЧЕСКОГО ПРОГРЕССА ............................................................................................... 45 8. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА С УЧЕТОМ АВТОНОМНОГО И ИНДУЦИРОВАННОГО НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОГО ПРОГРЕССА ................................................................................................................................... 50 9. МОДЕЛИ ОПТИМАЛЬНОГО ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА С УЧЕТОМ АВТОНОМНОГО И ИНДУЦИРОВАННОГО НТП ............................................................... 57 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА ........................................................................................ 61 3 ВВЕДЕНИЕ С целью системного представления возможных подходов к экономикоматематическому моделированию инновационных процессов в учебном пособии приведены математические модели реализации инновационной деятельности на микро-, мезо- и макроэкономическом уровнях. Для микроэкономического уровня в данном пособии приведены экономикоматематические модели основных направлений инновационной деятельности предприятия развития его производственных фондов и совершенствование потребительских свойств выпускаемой продукции. Указанная инновационная деятельность описываются в моделях во взаимодействии с другими важнейшими процессами функционирования производственного предприятия. Мезоэкономический уровень представлен моделями внедрения различного вида производственных инноваций в системе технологически взаимосвязанных производителей. Для математического описания данных инновационных процессов используются модели леонтьевского типа. При этом рассматриваются не только математические модели внедрения инноваций, но и задачи экономического анализа результатов инновационной деятельности и ее рациональной организации в системе производителей. Для демонстрации подходов к математическому моделированию инновационных процессов на макроэкономическом уровне в пособии приведены модели экономического роста (а также оптимального экономического роста) с учетом автономного и индуцированного научно-технического прогресса, в основе которых лежит известная модель экономической динамики Харрода-Домара. 4 1. ИННОВАЦИИ. СОДЕРЖАНИЕ ПОНЯТИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ В настоящее время термин “инновация” широко используется как в научных исследованиях, так и прикладной деятельности в самых различных областях. Говорят об инновационных технологиях, инновационной продукции, инновационных экономических стратегиях отдельных предприятиях и государства в целом, инновационной экономике, инновационных предприятиях, инновационных идеях, инновационных перспективах страны, инновационных направлениях развития, инновационном потенциале различных субъектов хозяйствования и т.п. Вместе с тем, трактовка термина “инновация” не является однозначной. Поэтому в первую очередь неомикроэбходимо уточнить содержание данного понятия, определить его суть. Впервые термин “инновация” появился в научных исследованиях культурологов еще в 19 в. и означал введение некоторых элементов одной культуры в другую. Только в начале 20 в. в связи с работами экономиста Йозефа Шумпетера данное понятие стали употреблять при анализе закономерностей технических нововведений. Йозеф Алоиз Шумпетер родился 8 февраля 1883 г. в моравском городе Триш (Австро-Венгрия) в семье мелкого текстильного фабриканта и дочери венского врача. В десятилетнем возрасте Йозеф поступил в венский лицей Терезианум. Из Терезианума Шумпетер вынес прекрасное знание древних и новых языков древнегреческого, латинского, французского, английского и итальянского (это дало ему возможность читать в подлиннике экономическую литературу всех времен и многих стран, составлять о ней независимое мнение). В 1901 г. Шумпетер поступил на юридический факультет Венского университета, в программу обучения на котором входили также экономические дисциплины и статистика. В процессе обучения Шумпетер продемонстрировал редкую оригинальность и самостоятельность в суждениях. Как известно, австрийская школа принципиально отвергала использование математики в экономическом анализе. Но, учась в Венском университете, Шумпетер самостоятельно (не прослушав ни одной специальной лекции) изучил математику и труды экономистов-математиков настолько, что в год защиты диссертации на звание доктора права (1906) опубликовал глубокую статью "О математическом методе в теоретической экономии", в которой к большому неудовольствию своих учителей сделал вывод о перспективности математической экономии, на которой будет основываться будущее экономической науки. Любовь к математике осталась на всю жизнь: Шумпетер считал потерянным всякий день, когда он не читал книг по математике и древнегреческих авторов. После окончания университета Шумпетер два года проработал "по специальности" в Международном суде в Каире, но его интерес к экономической теории победил и он занялся преподавательской деятельностью в области экономических дисциплин. Два года он преподавал на окраине Австро-Венгерской империи в Черновцах. В 1911 г. Шумпетеру удалось с помощью своего бывшего университетского учителя, занимавшего в Австро-Венгерской монархии высшие государственные должности, получить место профессора в Грацском университете несмотря на то, что факультет проголосовал против его кандидатуры. В 1918 г. Шумпетер был приглашен социалистическим правительством Германии поработать советником при Комиссии по социализации, которая должна была изучить вопрос о национализации германской промышленности и подготовить соответствующие предложения. В 1919 г., вернувшись из Берлина, Шумпетер занял пост министра финансов в австрийском социалистическом правительстве. Однако уже через семь месяцев Шумпетер подал в отставку. Позже Йозеф Шумпетер решил применить свои познания в области финансов на посту президента частного банка "Бидерман Банк". Результаты были достаточно плачевны: в 1924 г. банк обанкротился, а его президент потерял все свое личное состояние и еще несколько лет должен был выплачивать долги. В 1932 г. Шумпетер переезжает за океан и становится профессором Гарвардского университета (курсы экономической теории, теории конъюнктуры, истории экономического анализа и теории социализма). В 1949 г. Шумпетер первым из иностранных экономистов был избран президентом Американской экономической ассоциации. Вскоре после этого в ночь с 7 на 8 января 1950 г. Йозефа Шумпетера не стало. В русскоязычной научной литературе проблемы с толкованием понятия “инновация” проявляются уже на уровне непосредственного перевода. Например, в одном случае слово "инновация" (от английского слова innovation) буквально переводится как “инвестиция в 5 новацию”, в другом – “введение новаций”, а в англо-русском бизнес-словаре переводом является термин "новшество". Понятно, что хотя указанные переводы и имеют некоторые общие черты, но в принципе существенно различаются. Аналогичная ситуация проявляется и при анализе встречающихся в литературе развернутых определений понятия “инновация”. Может быть выделено три основных подхода к трактовке данного понятия, в соответствии с которыми под инновациями понимается: - некоторый результат определенной деятельности; - специфический процесс; - результат и процесс одновременно. Характерным примером первого из подходов может служить следующее определение. Инновация – это “конечный результат инновационной деятельности, получивший реализацию в виде нового или усовершенствованного продукта, реализуемого на рынке, нового или усовершенствованного технологического процесса, используемого в практической деятельности”. Другое подобное толкование данного термина. Инновация – “конечный результат внедрения новшества с целью изменения объекта управления и получения экономического социального, экологического, научно-технического или другого вида эффекта”. При этом под новшеством понимается оформленный результат фундаментальных, прикладных исследований, разработок или экспериментальных работ в какой-либо сфере деятельности по повышению ее эффективности. Практически аналогичные по своему содержанию определения приводятся во многих работах. При этом, наряду с термином “инновация” в качестве синонимов часто используется такой термин как “нововведение”. Согласно второму подходу к трактовке рассматриваемого понятия, которому следует многие авторы, под инновацией понимается “процесс, в ходе которого научная идея или технология изготовления доводится до стадии практического использования и начинают давать экономический эффект”, “комплексный процесс создания нового практического средства (новшества) для новой общественной потребности“ или просто “процесс реализации того или иного научно-технического новшества”, “процесс формирования качественно нового состояния системы”. Известный автор Санто Б. характеризует инновацию как “такой общественный технический - экономический процесс, который через практическое использование идей и изобретений приводит к созданию лучших по своим свойствам изделий, технологий”. Можно привести и многие другие определения в русле данного подхода. Заметим, что Й. Шумпетер также понимал под инновацией процессы научнотехнических изменений с целью создания и использования новых видов потребительских товаров, производственных средств. Однако некоторые ученые-экономисты специально подчеркивают неправомерность включения в понятие “инновация” разработку инноваций, ее создание, внедрение и диффузию. Эти этапы рекомендуется относить к инновационной деятельности как процессу, результатом которого могут быть инновации. Существует также значительное количество работ, в которых указанные два подхода объединяются, т.е. термин “инновация” толкуется двояко – как некоторый процесс и результат соответствующей деятельности одновременно. Например, под инновацией подразумевается с одной стороны “объект, внедренный в производство в результате проведенного научного исследования или сделанного открытия, качественно отличный от предшествующего аналога”, а с другой - “нововведение, комплексный процесс создания, распространения и использования новшеств для удовлетворения определенных потребностей”, или же полагается, что инновация - это “как сам реализованный в общественном производстве научный или технический результат, так и процесс его получения”. Кроме указанных трех основных имеются и иные подходы к толкованию данного 6 понятия. Например, “инновация” определяется как “новая идея” (идея нового товара, технологии, новой модели мотивации персонала, комплексной системы в трудовых отношениях и др.) или понимается как “целевое изменение в функционировании предприятия”. Анализируя различные подходы к трактовке понятия “инновация” представляется, что данный термин естественно понимать и использовать в смысле результата деятельности, направленной на совершенствование существующих свойств некоторого объекта, или создания объекта, обладающего новыми свойствами. При этом принципиальными являются две отличительные черты нового или усовершенствованного объекта: - его потребительские свойства должны удовлетворять сформировавшейся общественной потребности (т.е. новые или усовершенствованные характеристики являются общественно полезными); - он должен предназначаться для практической реализации. Если соответствующий объект не удовлетворяет хотя бы одному из этих требований, то он не является инновацией. Таким образом, инновация – это усовершенствованный или принципиально новый объект, удовлетворяющий посредством своих потребительских свойств сформировавшимся общественным потребностям и реализуемый или предназначенный к реализации в соответствующей области. Заметим, что в официальной экономической статистике инновации также интерпретируются как результат научно-технической и производственной деятельности. Исходным элементом анализа инновационной деятельности зачастую является отнесение рассматриваемых инноваций к тому или иному типу. Известны различные классификационные схемы инноваций. Приведем в качестве примеров некоторые из них. Согласно одной из таких схем для типизации инноваций рассматриваются три классификационных признака: целевой (в соответствии с ним различаются кризисные инновации и инновации развития), внешний (продукт, операция), структурный (производственно-торговая инновация, социально-экономическая, финансовая, управленческая). В соответствии с другим подходом в качестве признаков классификации предлагают использовать причину возникновения инновации (реактивные, стратегические), предмет и сферу приложения (продуктовые, рыночные, инновации-процессы), характер удовлетворяемых потребностей (ориентированные на существующие потребности и формирование новых потребностей). С целью классификации инноваций рекомендуется рассматривать такие признаки как область применения (управленческие, организационные, социальные, промышленные и др.), этапы НТП, результатом которых стала инновация (научные, технические, технологические, конструкторские, производственные, информационные), степень интенсивности (“бум”, равномерная, слабая, массовая), темпы осуществления (быстрые, замедленные, затухающие, нарастающие, равномерные, скачкообразные), масштабы инноваций (трансконтинентальные, транснациональные, региональные, крупные, средние, мелкие), результативность (высокая, низкая, средняя), эффективность инноваций (экономическая, социальная, экологическая, интегральная). Предлагается подразделять инновации на группы с точки зрения масштабности их воздействия: нововведения, воплощающие научные идеи, революционизирующие производительные силы и закрепляющие в их составе новый неотъемлемый элемент; качественные сдвиги в отдельных элементах производительных сил, означающие смену поколений техники при сохранении исходного фундаментального научного принципа; количественные изменения, улучшение отдельных параметров данного поколения техники. Выделяют также крупнейшие, крупные, средние и мелкие инновации. Можно привести и другие системы классификации инноваций. Характерной 7 чертой для них является то, что все используемые в этих системах классификационные признаки имеют достаточно общий характер (высокий уровень агрегирования) и потому не позволяют отразить специфику конкретной области, в которой инновации могут формироваться или непосредственно применяться. Указанное обстоятельство не позволяет применять рассмотренные и многие другие известные системы классификации инноваций для анализа различных сторон инновационной деятельности в конкретной предметной области, и, как следствие, вырабатывать на основе его результатов необходимые управленческие решения, направленные на повышение эффективности инновационных процессов. Поэтому для решения задач комплексного анализа инновационной деятельности и управления различными процессами ее реализации в рамках каждой конкретной области необходимо использовать свою систему классификации, которая учитывает отличительные особенности данной области и специфику функционирования ее основных объектов. В качестве примера рассмотрим задачу классификации инноваций в промышленном производстве. С целью построения системы классификации инноваций в данной предметной области представим основные процессы функционирования некоторого гипотетического промышленного предприятия блок-схемой рис. 1.1. В основе данной схемы лежит представление о том, что в любом целенаправленно функционирующем объекте может быть выделены управляющая и управляемая (в данном случае производственная) подсистемы. Стрелками на схеме обозначены материальные и информационные потоки, которые определяют основные процессы функционирования предприятия, его взаимодействие с внешней экономической средой. Материальные потоки в основном связаны с функционированием производственной подсистемы предприятия. Входными материальными потоками для данной подсистемы являются поступления различных видов сырья, материалов, трудовых ресурсов, производственного оборудования и т.п., выходной поток формирует производимая предприятием продукция, направляемая на соответствующие рынки сбыта. Производственное предприятие Управляющая подсистема Рынок ресурсов продукции Рынок Производственная подсистема Продукция Рис. 1.1. Укрупненная блок-схема -производственного предприятия 8 Важнейшие информационные потоки взаимодействия промышленного предприятия с внешней средой являются носителями данных об особенностях состояния и функционирования рынков сбыта производимой продукции и необходимых ресурсов. На эти рынки предприятие также направляет собственную информацию о выпускаемой продукции и потребностях в производственных ресурсах. Внутри промышленного предприятия циркулируют информационные потоки, которые отражают взаимодействие производственной и управляющей подсистем. Таблица 1.1 Система классификации инноваций в промышленном производстве Тип инноваций Содержание инноваций 1. Организационно-управленческие. Направлены на совершенствование и повышение эффективности процессов управления предприятием, его организационной структуры. 1.1. Ресурсного обеспечения. - Инновации в области совершенствования приемов и методов обеспечения предприятия необходимыми производственными ресурсами. 1.2. Сбытовой деятельности. - Инновации, направленные на повышение эффективности процессов сбыта произведенной продукции. 1.3. Внутрихозяйственной - Инновации в сфере внутрихозяйственного организации и управления. управления и совершенствования структуры предприятия. 1.4. Научно-исследовательских и - Представляют собой новации в методических и опытно-конструкторских работ инструментальных средствах осуществления данной деятельности. 2. Производственно-технологические. Призваны совершенствовать процессы производства выпускаемой предприятием продукции. 2.1. Материально-сырьевые. - Инновации в области сырья, материалов и энергоносителей, применяемых в 2.2. Производственные. соответствующем производственном процессе. - Инновации, связанные с применением усовершенствованных и принципиально новых видов оборудования (машин, аппаратов, приборов), используемого при производстве (и 2.3. Технологические. разработке) промышленной продукции. - Инновации, направленные на совершенствование технологии производства соответствующих видов промышленной продукции. 3. Продуктные. Инновации в области потребительских свойств промышленной продукции. 3.1. Улучшающие. - Промышленная продукция, обладающая по сравнению с известными образцами более высокими значениями параметров отдельных 3.2. Кардинальные. потребительских свойств. Представляют собой продукцию с принципиально новыми потребительскими свойствами, которая не имеет промышленно выпускаемых аналогов. 9 Согласно схеме, приведенной на рис. 1.1, основными элементами функционирующего промышленного предприятия являются его управляющая и производственная подсистемы, а также выпускаемая предприятием продукция. Тогда, если в качестве классификационного признака инноваций в промышленном производстве (производственных инноваций) рассматривать место их формирования (формирования потребности в них) и непосредственного использования, то можно определить три основные группы инноваций: (1) организационно-управленческие; (2) производственно-технологические; (3) продуктные. Организационно-управленческие инновации непосредственно связаны с управляющей подсистемой промышленного предприятия и направлены на совершенствование и повышение эффективности процессов управления предприятием, его организационной структуры. Производственно-технологические инновации призваны совершенствовать процессы производства выпускаемой промышленным предприятием продукции. Примерами инноваций этого типа может служить: переход на новые, более прогрессивные виды сырья, материалов, топлива; применение новых видов станков и другого производственного оборудования, машин, аппаратов, приборов и средств автоматизации (более производительных, высокоточных, энерго и ресурсосберегающих, мало и безотходных и т.д.); использование современных прогрессивных технологий и технологических процессов и т.п. Продуктные инновации представляют собой усовершенствованные или принципиально новые виды промышленной продукции. Первые из них по сравнению с известными образцами выпускаемой продукции обладают более высокими значениями параметров отдельных потребительских свойств, вторые – представляют собой продукцию с принципиально новыми потребительскими свойствами, которая не имеет промышленно выпускаемых аналогов. В целом данная схема классификации инноваций в производстве представлена в таблице 1.1. Предлагаемая система классификация производственных инноваций имеет не только общенаучное, теоретическое значение, но и прикладную направленность. Ее использование при анализе процессов функционирования промышленного предприятия позволяет установить степень комплексности и сбалансированности инновационной деятельности предприятия. 10 2. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННОГО ПРЕДПРИЯТИЯ С УЧЕТОМ ИННОВАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ На уровне производственных предприятий одним из важнейших результатов внедрения инноваций является повышение продуктивности их производственных фондов (ПФ). Для математического описания воздействия инновационных процессов на развитие ПФ предприятия (и соответственно других важнейших процессов его функционирования) в качестве исходной рассмотрим следующую модель P(t ) f (t ) A(t ), A(0) A0 , (2.1) M tot (t ) (1 c) p(t ) , (2.2) M (t ) M tot (t ) N (t ) , N (t ) (1 ) M (t ) , (2.3) dA M (t ) , dt где P (t ) - выпуск продукции в момент t (2.4) (2.5) в стоимостном выражении; f (t ) - показатель фондоотдачи; A(t ) - величина (стоимостная оценка) производственных фондов в момент времени t ; A0 времени t 0 ; - величина основных производственных фондов предприятия в момент c - себестоимость выпуска единицы продукции; M tot (t ) - общая прибыль предприятия; M (t ) - чистая прибыль предприятия; N (t ) - величина налоговых отчислений; - ставка налогообложения на прибыль; - доля чистой прибыли, которая отчисляется на реинвестирование ( 0 1 ). Причем, с целью стимулирования развития производства в модели представлен такой механизм налогообложения (соотношение (2.4)), согласно которому облагается налогом только та часть чистой прибыли, которая не использовалась для реинвестирования, т.е. величина (1 ) M . Для данной математической модели рассмотрим возможности отражения в ней инновационных процессов. Будем полагать, что под воздействием экзогенной инновационной деятельности (научно-технического прогресса) вводимые в действия новые производственные фонды обладают большей производительностью, чем уже действующие. В терминах модели (2.1) – (2.5) это означает, что фондоотдача новых производственных фондов должна рассматриваться как функция времени. Пусть указанная функция имеет вид f (t ) f 0 e rt , где (2.6) f 0 фондоотдача в начальный момент времени t 0 , r - темп роста фондоотдачи. Тогда для новых производственных фондов (вводимых в момент времени t в объеме A(t ) ) можно записать соотношение (2.1) в следующем виде p(t ) f 0e rt A(t ) . (2.7) 11 rt Если (2.7) рассматривать как однофакторную производственную функцию, то e может интерпретироваться как кинетическая компонента, используемая в теории производственных функций для отражения влияния на производственные процессы научнотехнического прогресса (НТП), материализованного в производственных фондах. В этом случае параметр r играет роль темпа научно-технического прогресса (детально вопросы учета НТП в производственных функциях рассматривается в разделе 7 настоящего пособия). Из модели (2.1) – (2.5) можно получить M (t ) 1 c f 0 A(t ) . 1 (1 ) (2.8) Тогда с учетом (2.7) соотношение (2.5), описывающее динамику производственных фондов предприятия, можно представить в виде dA(t ) 1 c f 0 e rt A(t ) , dt 1 (1 ) 2.(9) rt где e может рассматриваться в данном случае как компонента, которая увеличивает объемы вводимых производственных фондов при неизменной их исходной фондоотдаче f 0 . Если для краткости обозначить a 1 c , 1 (1 ) (2.10) то решение дифференциального уравнения (2.9) будет иметь вид A(t ) A0 e ( e rt 1) af 0 r . (2.11) Соответственно, согласно (2.8), динамика чистой прибыли предприятия будет описываться следующим образом M (t ) ( e rt 1) 1 c f 0 A0 e 1 (1 ) af0 r (212) или с учетом (2.10) M (t ) af 0 A0 e ( e rt 1) af0 r . (2.13) Соотношения (2.11) – (2.13) позволяют анализировать динамику результатов функционирования предприятия (в первую очередь его чистой прибыли M (t ) и величины ПФ A(t ) ) при различных значениях темпа НТП r. 12 Кроме того, указанные соотношения дают возможность отслеживать влияние на показатели M (t ) и A(t ) таких экономических параметров внешних и внутренних условий функционирования предприятия, как ставка налога на прибыль , удельная себестоимость продукции c и доля чистого дохода, отчисляемая на развитие производственных фондов . Построенную экономико-математическую модель можно также использовать для описания различных процессов использования чистой прибыли рассматриваемого предприятия вне сферы его производственной деятельности. Например, будем полагать, что за счет части чистой прибыли, которая не инвестируется в развитие производства и остается в распоряжении предприятия после выплаты налогов (1 )(1 ) M (t ) , оно формирует некоторый финансовый фонд F (t ) , динамика которого описывается следующим дифференциальным уравнением dF (t ) kF (1 )(1 ) M (t ) dt (2.14) или с учетом (2.13) ( e rt 1) dF (t ) kF (1 )af 0 A0 e dt где af0 r , (2.15) k - ставка банковского процента по вкладам. Фонд F (t ) может рассматриваться в качестве динамической финансовой составляющей результатов функционирования предприятия за определенный период. Он может использоваться предприятием для реализации различных целей своего социальноэкономического развития. Подобным образом можно представить динамику фонда, который будет отражать прямые интересы государства в результатах функционирования некоторого самостоятельного предприятия. Данный фонд естественно формировать за счет налоговых отчислений (1 ) M (t ) . Изменение его величины Fн (t ) может описываться дифференциальным уравнением аналогичным уравнению (2.14) ( e rt 1) dFн (t ) kFн (1 )af 0 A0 e dt af0 r . (2.16) Решая дифференциальные уравнения (2.15), (2.16) и рассчитывая показатели (2.6), (2.11), (2.12) при различных значениях параметров экономической среды предприятия (и в первую очередь параметра, отражающего воздействие инновационных процессов - темпа НТП r ) можно исследовать их влияние на основные результаты его функционирования, которые могут быть охарактеризованы величинами чистой прибыли M (t ) и финансовых фондов F (t ) и Fн (t ) , производственных фондов A(t ) и продуктивности f (t ) , на конец некоторого анализируемого периода [0, T ] . Например, рассмотрим некоторые результаты численного анализа математической модели (2.14), (2.15). Для этого будем использовать следующие исходные данные: f (t ) 0,15 , A0 1 , c 0,7 , 0,25 , 0,7, k 0,15. На рис. 2.1 и 2.2 представлены графики, которые отражают воздействие НТП на динамику величины производственных фондов предприятия и их фондоотдачи при 13 анализируемом периоде T 20 . Как и следовало ожидать, увеличение темпа технического прогресса приводит к большему росту данных показателей. 2,1 1,9 1,7 1,5 1,3 1,1 0,9 0 5 10 15 20 величина производственных фондов при r = 0,03 величина производственных фондов при r = 0 величина производственных фондов при r = 0,08 Рис. 2.1. Динамика производственных фондов при различных значениях темпов НТП r 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0 5 10 15 20 величина фондоотдачи при r = 0,03 величина фондоотдачи при r = 0 величина фондоотдачи при r = 0,08 Рис. 2.2. Динамика фондоотдачи при различных значениях темпов НТП r Вместе с тем, необходимо отметить, что использованный подход к учету влияния инновационных процессов в форме НТП не позволяет оценить изменение реальных величин производственных фондов и их фондоотдачи. Это связано с тем, что согласно данному подходу к представлению материализованного в производственных фондах технического прогресса в модели фактически полагается, что фондоотдача остается неизменной на уровне f 0 , а ее рост за счет воздействия инновационных процессов по закону e rt у вводимых в момент времени t производственных фондов в объеме A(t ) компенсируется посредством rt «виртуального» увеличения их размера до значения e A(t ) . В результате соотношение (11) описывает динамику не реальной величины производственных фондов, а величины фондов, которая давала бы тот же результат (производила тот же объем продукции), но при исходной фондоотдаче f0 . 14 Аналогична ситуация и с динамикой величины фондоотдачи действующих ПФ. Модель не дает возможности описать ее изменение под воздействием вводимых в различные моменты времени соответствующих объемов производственных фондов, обладающих различной, возрастающей с течением времени под влиянием НТП, фондоотдачей. Указанные недостатки могут быть преодолены при явном описании изменения средней величины фондоотдачи всех производственных фондов предприятия. В каждый момент времени величина фондоотдачи складывается в результате взаимодействия f (t ) и вводимых действующих фондов предприятия A(t ) с фондоотдачей dA(t ) rt производственных фондов с фондоотдачей f 0 e . В результате, прирост средней dt dA(t ) df (t ) фондоотдачи для новой величины производственных фондов A(t ) можно dt dt записать следующим образом df (t ) dt f 0 e rt dA(t ) f (t ) A(t ) dt f (t ) . dA(t ) A(t ) dt (2.17) Производная (2.5) с учетом (2.8) и (2.10) имеет вид dA af (t ) A(t ) . dt (2.18) Поэтому подставляя (2.18) в дифференциальное уравнение соответствующих преобразований получаем его в следующей форме ( f 0e rt f (t ))af (t ) df (t ) . dt 1 af (t ) (2.17) после (2.19) Решая уравнения (2.18) и (2.19) получим динамику реальных значений величин производственных фондов предприятия и их средней фондоотдачи, которые формируются под воздействием так называемого автономного материализованного в фондах научнотехнического прогресса и других рассматриваемых в модели параметров внешних и внутренних экономических условий. Найденные зависимости A(t ) и f (t ) позволят, используя соотношение (2.8), в котором фондоотдача задается функцией f (t ) , описать также изменение величины чистой прибыли предприятия M (t ) , проанализировать эволюцию фондов F (t ) и Fн (t ) . При этом F (t ) должно использоваться дифференциальное уравнение (2.14), а изменение величины фонда Fн (t ) описывается уравнением для вычисления dFн (t ) kFн (1 ) M (t ) . dt (2.20) Построенную модель можно использовать не только для исследования влияния НТП на развитие предприятия, его производственных фондов, но и других экономических 15 параметров, определяющих особенности его функционирования. Например, представляет интерес анализ воздействия значения доли чистой прибыли , которая направляется на реинвестирование (т.е. инновационную деятельность предприятия), на величину налоговых отчислений. Действительно, с одной стороны рост значения снижает в каждый момент времени базу налогообложения, но с другой – приводит к увеличению производственных фондов и средней фондоотдачи предприятия, что должно в перспективе обеспечивать рост объемов производства и, следовательно, налоговых отчислений. Например, на графиках рис. 2.3 представлена (при некоторых гипотетических значениях модельных параметров) динамика величины налоговых отчислений N (t ) для 0.7 и 0.9 . Величина N (t ) определялась на основе результатов численного решения дифференциальных уравнений (2.18) и (2.19) по следующей формуле, которая получена из соотношений (2.4) и (2.8) построенной математической модели N (t ) (1 ) 1 c f (t ) A(t ) . 1 (1 ) (2.21) 2 1,5 1 0,5 0 5 10 15 20 25 30 35 налоговые отчисления при ξ = 0,7 налоговые отчисления при ξ = 0,9 Рис. 2.3. Динамика налоговых отчислений при различных значениях параметра Из графиков следует, что увеличение доли отчислений на реинвестирование с течением времени (в данном примере при t 30 ) может приводить к росту налоговых отчислений. Данное обстоятельство следует учитывать при государственном управлении функционированием производственных предприятий на достаточно длительном плановом периоде T . 16 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИННОВАЦИОННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ В СФЕРЕ ПРОДУКТНЫХ ИННОВАЦИЙ Согласно имеющимся данным подавляющее большинство практически осуществляемых продуктных инноваций связано не с разработкой принципиально новых видов продукции (их потребительских свойств), а с усовершенствованием уже существующих. Поэтому при экономико-математическом моделировании инновационной деятельности производственных предприятий целесообразно в первую очередь уделить внимание отражению инновационных процессов, направленных на улучшение параметров потребительских свойств выпускаемых товаров. Комплексной количественной оценкой потребительских свойств продукции может служить интегральный показатель ее инновационного уровня U. Линейная форма данного показателя имеет вид n U i 1 i 0, pi i , pi0 n i 1 i (3.1) 1, где pi , pi0 - значения параметра потребительского свойства i анализируемой продукции и ее наилучшего аналога (базового образца) соответственно, αi – коэффициент значимости данного потребительского свойства, n – число рассматриваемых параметров (потребительских свойств) продукции. Инновационная деятельность по улучшению потребительских свойств продукта приводит к изменению значений их параметров на некоторую величину pi 0 , что находит отражение в увеличении показателя его инновационного уровня n U i 1 pi pi i . pi0 (3.2) Заметим, что для некоторых параметров i может выполняться равенство pi 0 . Это означает, что потребительское свойство i по тем или иным причинам (например, в связи с его низкой значимостью, характеризуемой коэффициентом αi) не было улучшено в результате соответствующих инновационных процессов. Кроме того, будем полагать, что инновационная деятельность по улучшению одних потребительских свойств не приводит к ухудшению других, и значит все pi 0 . Усовершенствование потребительских свойств продукции требует определенных затрат (на проведение необходимых НИР и ОКР, возможно приобретение дополнительного или более современного производственного оборудования и т.п.). Объем этих затрат z i по каждому потребительскому свойству естественно связать с величиной изменения его параметра pi , то есть записать в виде некоторой функции zi zi (pi ) . Тогда общие затраты Z на совершенствование определенного вида продукции (соответствующих его потребительских свойств) будут определяться соотношением n Z zi (pi ) . (3.3) i 1 17 Очевидно, что продукция, обладающая высоким инновационным уровнем, является для потенциальных потребителей более полезной и предпочтительной по сравнению с конкурирующими аналогами. В связи с эти должны возрастать как ее рыночная цена, так и объемы сбыта. С учетом изложенного задача оптимизации инновационной деятельности промышленного предприятия может быть конкретизирована и сводится к определению (в рамках имеющихся финансовых возможностей) комплекса инновационных мероприятий по совершенствованию потребительских свойств выпускаемой продукции с целью максимизации возможного дохода от ее реализации. Математическая постановка данной задачи может формулироваться в виде следующей оптимизационной модели. F1 m C U V U max , k 1 k k k nk pik pik i 1 pik0 Uk ( ik 0, z iI k ik nk i 1 ik (3.4) k ) ik , k 1, m , (3.5) 1, k 1, m , (pik ) k , k J , 0 pik pik , i I k , k J , (3.6) (3.7) где функция Ck (U k ) определяет цену продукции вида k с инновационным уровнем U k ( k 1, m ), а Vk (U k ) - ожидаемый объем ее реализации (в натуральных единицах); pik , pik0 значения параметра потребительского свойства i продукции вида k данного предприятия и ее базового образца соответственно; pik - величина изменения (улучшения) параметра потребительского свойства i в результате реализации соответствующего инновационного мероприятия; ik - весовой коэффициент значимости параметра i (соответствующего потребительского свойства) в общей количественной оценке инновационного уровня продукции вида k; nk – число анализируемых потребительских свойств (параметров) продукции вида k при количественной оценке ее инновационного уровня; zik (pik ) - функция величины затрат, возникающих в связи с изменением значения параметра i продукции вида k на величину pik ; I k - перечень потребительских свойств продукции вида k, которые могут быть усовершенствованы; J - множество видов продукции предприятия, хотя бы одно потребительское свойство которых возможно улучшить; Ф k - объем финансовых средств, выделенных на совершенствование продукции вида k ; pik величина максимально возможного изменения значения параметра i продукции вида k в результате осуществления соответствующего инновационного мероприятия. Целевая функция (3.4) экономико-математической модели (3.4) – (3.7) предполагает максимизацию суммарного дохода предприятия от продажи выпускаемой продукции за счет реализации инновационных мероприятий по совершенствованию ее потребительских свойств. Соотношения (3.5) модели определяют значения показателя инновационного уровня U k для каждого вида производимой продукции как функцию изменений в результате 18 инновационной деятельности значений параметров ее потребительских свойств pik при фиксированных величинах pik , pik0 и ik . Условие (3.6) представляет собой ограничение на объем финансовых ресурсов, используемых для осуществления инновационной деятельности предприятия в области продуктных инноваций. Форма данного соотношения отвечает случаю, когда соответствующие финансовые ограничения для каждого вида продукции рассматриваются отдельно, т.е. на улучшение потребительских свойств продукции вида k выделяется свой лимит финансовых ресурсов Ф k . Финансовые ограничения могут быть записаны и в более общем виде z kJ iI k ik (pik ) . (3.8) Данное неравенство отражает ситуацию, при которой финансовые ресурсы общим объемом направляются на осуществление всех инновационных мероприятий в целом, без дифференциации по видам продукции. Соотношения (3.7) задают условия неотрицательности и верхнюю границу для искомых величин изменения параметров потребительских свойств продукции. Указанная граница определяется реальными возможностями и потребностями совершенствования выпускаемой предприятием продукции. Понятно, что далеко не всегда все виды выпускаемой предприятием продукции и все ее потребительские свойства могут быть модифицированы в результате соответствующей инновационной деятельности. Поэтому для отражения такой ситуации в условиях (3.6) - (3.8) используются множества J и I k , которые, по сути, вводят ограничения на перечень видов продукции и ее параметров, для которых имеются возможности (и необходимость) по их улучшению в рассматриваемый период времени. Если функции цены производимой продукции Ck U k , объемов ее реализации Vk U k и затрат на инновационную деятельности zik (pik ) являются линейными, например, следующего вида Ck U k Ck0 ck (U k U k ) , k 1, m , Vk U k Vk0 vk (U k U k ) , k 1, m , zik (pik ) bik pik , i I k , k J , (3.9) (3.10) (3.11) где Ck0 , ck , Vk0 , vk , bik - положительные константы, U k - величина инновационного уровня продукции вида k для начальных значений параметров ее потребительских свойств pik , то оптимизационная модель (3.4) – (3.11) относится к классу задач квадратичного программирования. Оптимальные значения pik* , получаемые в результате решения задачи (3.4) – (3.11), задают необходимые изменения параметров потребительских свойств выпускаемой продукции и тем самым определяют оптимальный набор инновационных мероприятий предприятия, направленных на совершенствование выпускаемой продукции. Сформулированная выше модель является простейшей математической постановкой задачи оптимизации исключительно инновационной деятельности (некоторых ее аспектов) промышленного предприятия. С целью комплексного отражения процессов функционирования предприятия она должна быть расширена посредством учета различных 19 сторон его производственно-сбытовой деятельности, ее взаимосвязи с инновационными мероприятиями по совершенствованию потребительских свойств продукции. Будем полагать, что выпускаемая предприятием продукция может быть реализована на различных рынках сбыта. Каждому рынку отвечает своя цена и максимально возможные объемы реализации различных видов продукции, зависящие от ее инновационного уровня. С учетом существующих производственных и финансовых возможностей предприятия требуется определить совокупность инновационных мероприятий, направленных на совершенствование производимой продукции, и объемы ее реализации на возможных рынках сбыта, максимизирующих экономический результат функционирования анализируемого производственного предприятия. Оптимизационная экономико-математическая модель, соответствующая данной задаче, может быть записана следующим образом F2 l m C j 1 k 1 jk (U k ) y jk Z k max , (3.12) kJ Z k zik (pik ), k J , (3.13) iI k l y j 1 jk M k , k 1, m , z kJ iI k ik (pik ) , (3.14) (3.15) y jk E jk (U k ) , j 1, l , k 1, m , (3.16) y jk 0 , j 1, l , k 1, m , (3.17) 0 pik pik , i I k , k J , (3.18) где функции C jk (U k ) - определяют доход от реализации единицы продукции вида k с инновационным уровнем U k на рынке сбыта j (полагается, что предприятие может реализовывать продукции на l рынках сбыта); Z k - затраты на усовершенствование потребительских свойств продукции вида k ; y jk объем продукции вида k , реализуемой на рынке j ; M k - имеющиеся производственные мощности для выпуска продукции вида k; E jk (U k ) - величина максимально возможных объемов реализации на рынке j продукции вида k данного предприятия как функция значения ее инновационного уровня; остальные обозначения данной модели имеют прежний смысл. Критерий (3.12) оптимизационной задачи (3.12) – (3.18) определяет максимум экономического результата функционирования предприятия в условиях осуществления им инновационной деятельности в форме разности между доходами предприятия от реализации усовершенствованной продукции на различных рынках сбыта и затратами на выполнение соответствующих инновационных мероприятий. Суммы (3.13) характеризуют затраты на усовершенствование тех видов продукции предприятия, потребительские свойства которых могут быть улучшены. Неравенства (3.14) представляют собой ограничения на планируемые объемы производства, которые для каждого вида продукции не должны превосходить величины существующих производственных мощностей для ее выпуска. Неравенство (3.15) задает финансовые ограничения на возможности осуществления рассматриваемой инновационной деятельности. 20 Система условий (3.16) определяет ограничения на объемы реализации на различных рынках сбыта производимой предприятием продукции в зависимости от ее инновационного уровня. Соотношения (3.17) и (3.18) определяют ограничения на величину искомых переменных y jk и pik . Неравенства (3.17) задают естественные требования неотрицательности переменных y jk , а соотношения (3.18) – кроме того характеризуют верхнюю границу возможных изменений величины параметров потребительских свойств продукции. Если функции C jk (U k ) , и E jk (U k ) , также как и zik (pik ) , имеют линейный вид E jk (U k ) E 0jk d jk (U k U k ), j 1, l , k 1, m , (3.19) C jk (U k ) rjk0 a jk (U k U k ), j 1, l , k 1, m , (3.20) (где a jk , d jk , E 0jk и r jk0 - положительные постоянные коэффициенты), то экономикоматематическая модель (3.12) – (3.18) представляет собой задачу линейного программирования, решение которой pik* и y *jk не только определяет оптимальный набор инновационных мероприятий предприятия по совершенствованию потребительских свойств l продукции ( pik* ), но и оптимальные для каждого ее вида объемы производства ( y *jk ) и j 1 реализации ( y ) на потенциальных рынках сбыта. В рамках построенной модели полагается, что все имеющиеся финансовые ресурсы предприятие расходует только на осуществление инновационных мероприятий по совершенствованию потребительских свойств продукции. Вместе с тем, инновационную деятельность предприятие может совмещать с работой, направленной на расширение своих производственных мощностей, дополнительная потребность в которых может возникнуть в связи с ростом потенциальных объемов сбыта усовершенствованной продукции. Для отражения указанных процессов в модели ее ограничения (3.14) и (3.15) должны быть соответственно записаны следующим образом * jk l y j 1 jk M k M k ( f k ) , k 1, m , z kJ iI k m ik (pik ) f k , (3.21) (3.22) k 1 где M k ( f k ) - функция, характеризующая прирост производственных мощностей для выпуска продукции вида k при затратах на приобретение и установку соответствующего оборудования в размере f k . Неравенства (3.21) определяют производственные ограничения по выпуску k – го вида продукции с учетом возможностей инвестирования финансовых ресурсов в расширение производственных мощностей по его выпуску. Условия (3.22) определяют финансовые ограничения на осуществление как инновационных мероприятий по совершенствованию выпускаемой продукции, так и инвестирования процессов расширения производства. При использовании в модели финансовых и производственных ограничений в форме (3.21), (3.22) должны также рассматриваться условия неотрицательности переменных f k 21 f k 0 , k 1, m . (3.23) При линейном виде функции прироста производственных мощностей M ( f k ) M ( f k ) ek f k , k 1, m (3.24) (где ek - положительный коэффициент) построенная модель также является задачей линейной оптимизации. Ее исследование позволяет найти значения pik* , f k* и y *jk , которые характеризуют перечень и содержание инновационных мероприятий предприятия по совершенствованию потребительских свойств продукции, задают оптимальное распределение имеющихся у него финансовых ресурсов между данной инновационной деятельностью и процессами расширения производственных мощностей для выпуска соответствующих видов продукции, а также представляют наилучший вариант ее реализации на возможных рынках сбыта. Конкретные значения переменных оптимального решения pik* , f k* и y *jk определяются элементами модели, которые отражают особенности внутренних и внешних экономических условий функционирования предприятия. Характеристиками внутренних экономических условий в рамках модели (3.12) – (3.24) являются параметры его производственных и финансовых возможностей M k и Ф , функции затрат на инновационную деятельность zik (pik ) , существующие параметры потребительских свойств производимой продукции pik . Внешняя экономическая среда описывается в первую очередь функциями E jk (U k ) изменения потенциальных объемов реализации продукции на различных рынках сбыта в связи с ростом ее инновационного уровня и M ( f k ) - прироста производственных мощностей (отражают существующие цены на рынке производственного оборудования), а также параметрами потребительских свойств лучших аналогов выпускаемой предприятием продукции pik0 . Параметры pik и множества I k , J , так как они, по сути, представляют возможности предприятия по осуществлению инновационной деятельности и потребности рынка в улучшении свойств продукции, а также функции дохода C jk (U k ) , формирующиеся под совместным воздействием производственно-экономических факторов предприятия и свойств потенциальных рынков сбыта, характеризуют состояние как внутренней, так и внешней экономической среды моделируемого предприятия. Таким образом, разработанная экономико-математическая модель позволяет анализировать оптимальное поведение предприятия в области рассматриваемого вида инновационной деятельности, а также (во многом определяемых этой деятельностью) процессов производства и сбыта продукции при различных состояниях внутренней и внешней экономической среды. Характерная особенность модели состоят в том, что она в явном виде отражает инновационную деятельность предприятия по совершенствованию выпускаемой продукции, непосредственно связывает продуктные инновации с такими важнейшими процессами функционирования промышленного предприятия как производство (его расширение) и реализация продукции, увеличение объемов ее сбыта на различных рынках. 22 4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВНЕДРЕНИЯ ИННОВАЦИЙ В СИСТЕМЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИ ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ ПРОИЗВОДИТЕЛЕЙ Исходным моментом математического моделирования инновационных процессов в системе производителей является отражение их технологических взаимосвязей. Для решения данной задачи логично использовать представление производственных отношений в этой системе, которое принято в экономико-математических моделях производства и распределения продукции «затраты – выпуск». Математическая модель «затраты – выпуск» для случая n предприятий (каждое из которых выпускает соответствующий вид продукции) представляет собой систему n линейных уравнений, которая в векторно-матричной форме имеет следующий вид: X AX Y (4.1) где A (a ij ) , X ( xi ) , Y ( yi ) , E - технологическая матрица, матрицы валовых выпусков, конечной продукции и единичная матрица соответственно. Будем полагать, что производитель может реализовать два типа инноваций – продуктные и производственно-технологические. Пусть в результате реализации предприятием j инновационных процессов оно внедрило некоторую производственно-технологическую инновацию. Примером инноваций данного вида может быть внедрение малоотходных или безотходных технологий, замена устаревшего оборудования на новое более производительное или переход на новые технологические схемы производственного процесса и т.п. Результатом реализации таких инноваций в рамках модели (4.1) должно стать повышение эффективности соответствующих производственных процессов за счет экономии материальных затрат (сырья, материалов и т.п.), необходимых для выпуска соответствующего вида продукции. Результаты такого внедрения производственно-технологической инновации предприятием j в математической модели «затраты – выпуск» могут быть представлены посредством модификации значений коэффициентов прямых материальных затрат, соответствующих данному предприятию, т.е. элементов столбца j матрицы A . Учитывая, что внедрение производственно-технологической инновации предприятием j приводит к снижению соответствующих материальных затрат на производство единицы продукции вида j, то естественно характеризовать данную производственную инновацию системой n чисел j (1 j , 2 j ,..., nj ) , (4.2) которые отражают величину снижения затрат продукции вида i при производстве единицы продукции вида j. Параметры j фактически отвечают экономическим и технологическим параметрам инновационного проекта, внедряемого производителем j. Если полагать, что внедрение производственно-технологической инновации может приводить только к экономии используемых при выпуске продукции j материальных ресурсов (продукции), то параметры внедряемого предприятием инновационного проекта данного типа ij должны удовлетворять следующим свойствам: ij 0 и ее модуль не превосходит a ij , т.к. модифицированное (под воздействием инновации) значение коэффициента прямых материальных затрат не может быть (согласно его экономическому содержанию) отрицательным; 23 ij a ij отвечает ситуации, когда в результате реализации инновации снижаются удельные затраты продукции i при производстве продукции вида j; ij aij означает, что результатом осуществления производителем j инновации является переход к технологии, которая не использует продукцию вида i при производстве продукции вида j; ij 0 , в случае, когда внедрение производственной инновации данного вида не приводит к снижению удельных затрат продукции вида i при выпуске продукции j,или же продукция вида i, в соответствии с технологией производства продукции j, вообще не применяется. Используя набор технико-экономических параметров внедряемой производственно- j новые значения коэффициентов прямых материальных пт затрат предприятия j (столбца j матрицы A ) aij можно определить по следующей формуле технологической инновации aijпт aij ij , i 1, n . Тогда исходная матрица прямых материальных затрат пт матрицу A A пт a11a12 ...a1 j 1 a1пт j a1 j 1 ...a1n ..................................... a i1 a i 2 ....a ij 1 a ijпт a ij 1 ....a in , ..................................... a n1 a n 2 ...a nj 1 a njпт a nj 1 ...a nn (4.3) A преобразуется в новую (4.4) пт в которой для всех элементов столбца j aij (i 1, n) выполняются следующие неравенства aijпт aij , i 1, n . (4.5) Причем, для i j (где множество j содержит перечень видов продукции, которая в результате реализации предприятием j производственно-технологической инновации используется при производстве единицы продукции j в меньшем количестве; очевидно, что j не может быть пустым, т.к. в противном случае параметры j (1 j , 2 j ,..., nj ) не соответствовали бы инновационному проекту), неравенства (4.5) выполняются как строгие aijпт aij , i j (4.6) . Выше предполагалось, что в результате внедрения предприятием j производственнотехнологической инновации удельная величина используемых в производстве материальных ресурсов может только сокращаться. Однако результат внедрения инноваций может быть не столь однозначным. Действительно, вводимое в действие новое оборудование или переход к новой технологии производственного процесса может иметь следствием снижение объемов 24 использования одних видов материальных ресурсов (продукции соответствующих предприятий рассматриваемой системы) и увеличение потребления других. Кроме того, специфика новой технологии (производственного оборудования) может потребовать использование таких видов материальных ресурсов, которые ранее не применялись. Для того чтобы задать инновацию, обладающую указанными особенностями, как и ранее, набором чисел j (1 j , 2 j ,..., nj ) , необходимо, чтобы этот набор включал параметры ij , которые могут иметь не только отрицательные (или равные нулю), но и положительные значения. Последние и будут определять увеличение в результате внедрения соответствующей инновации объемов потребления некоторых видов ресурсов при производстве данной продукции. Очевидно, что инновация, обладающая указанными особенностями, будет реализована только в том случае, когда это имеет экономический смысл, а именно тогда, когда общие материальные затраты на выпуск единицы продукции после внедрения рассматриваемой инновации окажутся меньшими, чем до ее использования. Реализация производственно-технологической инновации указанного типа некоторым производителем j также приводит к изменению значений элементов a ij столбца jисходной матрицы A по формуле (4.3). Тогда обязательным условием внедрения пт рассматриваемой инновации является выполнение для новых значений aij следующего неравенства n a i 1 пт ij (4.7) n a i 1 ij . При этом соотношения (4.5) выполняются только для некоторых значений новых пт коэффициентов прямых затрат aij . Производственно-технологические инновации, результаты внедрения которых в рассматриваемой математической модели удовлетворяют условиям (4.5) и (4.6), будем называть сильными инновациями. Если же использование производственных инноваций приводит как к снижению, так и росту соответствующих коэффициентов прямых пт материальных затрат, причем, для новых значений элементов a ij справедливо только неравенство(4.7), а соотношения (4.5) выполняются не для всех i, то такие инновации будем называть слабыми. Рассмотрим далее случай внедрения производителем анализируемой системы некоторой продуктной инновации. Например, пусть результатом осуществления производителем i некоторого инновационного проекта стал переход к выпуску продукции нового вида, которой присущи более совершенные (улучшенные) параметры потребительских свойств, чем у продукции, выпускавшейся ранее. В свою очередь, улучшение потребительских свойств продукции должно приводить к росту эффективности ее использования потребителями. В рамках рассматриваемой модели «затраты – выпуск» указанный рост эффективности потребления новой продукции можно представить как снижение величины соответствующих коэффициентов прямых материальных затрат у производителей, которые непосредственно используют данную продукцию в своем производственном процессе. При этом для определенности будем рассматривать продуктные инновации, которые не изменяют имеющийся перечень потребительских свойств выпускаемой предприятием продукции, а только улучшают их параметры (как известно, инноваций такого вида в производстве подавляющее большинство). Соответственно можно полагать, что внедрение таких инноваций не влияет на перечень производителей, потребляющих данную продукцию i для реализации своих технологических потребностей. В 25 этом случае инновация, предполагающая улучшение потребительских свойств продукции производителя i, может описываться следующим образом i ( i1 , i 2 ,..., in ) . (4.8) При этом ij должны обладать следующими свойствами: ij 0 и ij aij - технико-экономическое содержание данных соотношений аналогично тем, которые указаны выше для соответствующих параметров производственнотехнологической инновации; ij 0 - соответствует ситуации, когда внедрение продуктной инновации не изменяет величины использованияпродукции вида i при выпуске единицы продукции j, данное равенство также выполняется, если технология производства продукции вида i не предполагает потребления продукции j; ij 0 - в результате реализации продуктной инновации затраты продукции видаiпри производстве единицы продукцииj снижаются на величину ij . Технико-экономическим параметрам инновации, удовлетворяющим строгим неравенствам ij 0 , соответствует множество производителей i (очевидно, что данное множество не пусто по причинам аналогичным тем, что указывались выше для j ), которые оказываются в сфере непосредственного воздействия продуктной инновации производителя i. В рамках рассматриваемой модели указанное воздействие инновации iприводит к изменению элементов строки i исходной матрицы коэффициентов прямых материальных затрат A , которые получат новые значения aijп aij ij , Тогда исходная матрица A п j 1, n . (4.9) A примет вид матрицы Aп a11a12 .........a1 j .....a1n .............................. п a iп1 a iп2 .......a ijп ......a in .............................. a n1 a n 2 .......a nj ......a nn в которой значения коэффициентов следующих неравенств aijп , j 1, n aijп aij , п aij aij , , (4.10) должны удовлетворять системе j 1, n , (4.11) j i . (4.12) Естественно полагать, что внедрение продуктной инновации i не может приносить ущерб любому потребителю j при использовании им продукции вида i (для новых значений 26 коэффициентов a ij не должны выполняться неравенства aij aij ). Это положение отвечает известному тезису в экономико-математической теории потребления, согласно которому нет вредных благ. Поэтому рассматривать (по аналогии с производственнотехнологическими инновациями) слабые продуктные инновации нецелесообразно. Таким образом, внедрение производственно-технологической инновации отражается в балансовой модели (4.1) путем изменения значений элементов соответствующего столбца технологической матрицы A , а реализация продуктной инновации ее строки. Выше анализировалась простейшая ситуация, когда одно предприятие рассматриваемой системы единовременно внедряет только одну производственную инновацию (реализует единственный инновационный проект) того или иного вида. Обобщим данный случай. Предположим, что один производитель одновременно реализует инновации двух типов - производственно-технологическую и продуктную, определяемые соответственно параметрами (4.2) и (4.8). Отображением таких инновационных процессов, осуществляемых, например, производителем j, в модели «затраты – выпуск» будет изменение исходной матрицы A , которая трансформируется в новую матрицу коэффициентов прямых затрат п п A пт,п A В матрице A пт, п пт, п a11a12 ........a1 j 1 a1пт j a1 j 1 ..........a1n ................................................. ,п a пj1 a пj 2 ........a jj 1 a пт a jj 1 .........a пjn . jj ................................................. a n1 a n 2 .........a nj 1 a njпт a nj 1 ..........a nn (4.13) элементы столбца j и строки j (кроме коэффициента, расположенного пт, п на их пересечении a jj ) формируются под воздействием только производственнотехнологической или только продуктной производственной инновации. Поэтому для заданного j элементы ,п aijпт , принадлежащие данному столбцу (за исключением a пт jj ), п пт, п вычисляются по формуле (4.3), а элементы a ji строки j (кроме a jj ) определяются соотношением (4.9). пт, п Величина элемента a jj матрицы A пт,п может формироваться из коэффициента a jj исходной матрицы A в результате одновременного воздействия производственнотехнологической и продуктной инноваций. Такая ситуация возможна, если - производитель j, который одновременно реализует производственные инновации указанных двух видов, использует при выпуске продукции видаjэту же продукцию, т.е. a jj 0 ; - параметры внедряемых инноваций j и j удовлетворяют соотношениям jj 0 и jj 0 , т.е. каждая из инноваций в отдельности приводит к изменению удельных затрат продукции вида j при производстве продукции предприятиемjрассматриваемой системы. пт, п Тогда для определения коэффициента прямых материальных затрат a jj некоторую функцию введем jj (назовем ее функцией суперпозиции инноваций), которая позволяет рассчитать значение ,п a пт как результат изменения исходной величины jj 27 коэффициента a jj под влиянием как производственно-технологической, так и продуктной инноваций, их соответствующих параметров jj и jj ,п a пт jj (a jj , jj , jj ) . jj (4.14) Логика определения функции jj ( a jj , jj , jj ) в простейшем случае может быть следующей. Параметр производственно-технологической инновации jj представляет собой абсолютную величину изменения (уменьшения при jj 0 или увеличения если jj 0 ) удельных затрат продукции j на производство продукции того же вида. Поэтому jj jj a jj - относительная величина указанного изменения под воздействием внедрения производственно-технологической инновации. Аналогичным образом jj jj a jj - относительная величина изменения a jj за счет реализации продуктной инновации предприятия j. Будем полагать, что производственные инновации являются автономными (непосредственно не взаимодействуют друг с другом), если величина относительного изменения соответствующего коэффициента прямых материальных затрат a jj под их воздействием остается неизменной, т.е. имеет значения jj и jj , вне зависимости от того, были данные инновации реализованы совместно или в индивидуальном порядке. Например, пусть предприятие j реализует некоторую автономную производственнотехнологическую инновацию. Тогда под ее воздействием соответствующий коэффициент прямых материальных затрат получит относительное изменение одной и той же величины jj и для случая когда указанная инновация является единственной (т.е. в рамках рассматриваемой модели применяется к элементу a jj ), и для ситуации, когда на предприятии уже была внедрена продуктная инновация и значит соответствующий п коэффициент прямых затрат был модифицирован и имеет значение a jj . Очевидно, что имеется аналогичная картина, когда внедряется автономная продуктная инновация: величина относительного изменения jj остается неизменной при модификации под влиянием данной инновации коэффициентов прямых материальных затрат пт как a jj , так и a jj . Тогда, если производственно-технологическая и продуктная инновации, внедряемые предприятием j, являются автономными в указанном выше смысле, то функция jj будет иметь вид jj ( a jj , jj , jj ) a jj (1 jj a jj )(1 jj a jj ). (4.15) В случае, если одновременно реализуемые производственно-технологическая и продуктная инновации ввиду особенностей своей природы являются взаимодействующими (например, усиливают или ослабляют воздействие друг друга на соответствующий технологический процесс), то определение аналитического вида функции jj ( a jj , jj , jj ) является более сложной задачей, решение которой предполагает 28 проведения специальных исследований как экономического, так и технического или технологического характера. Изложенный подход к математическому моделированию инновационных процессов в системе взаимодействующих производителей может быть распространен на случай, когда инновации внедряют одновременно r производителей данной системы ( 2 r n ). Рассмотрим, например, ситуацию, при которой r n и каждый из производителей одновременно внедряет производственно-технологическую и продуктную инновации, т.е. общее количество реализуемых инноваций m 2n . В результате, производитель может оказаться под воздействием внедрения до n+1 инноваций (n продуктных, в том числе и собственной, и одной производственно-технологической). В анализируемой модели это приведет к тому, что могут быть изменены значения всех элементов исходной матрицы A . ~ Новую матрицу коэффициентов прямых затрат, получаемую из A , обозначим A . ~ ~ Элементы a ij матрицы A могут формироваться под одновременным влиянием двух инноваций. Одной из указанных двух инноваций обязательно будет собственная производственно-технологическая, а другой – продуктная, причем последняя может быть инновацией как данного производителя (для коэффициентов ~ ), так и других a jj ~ производителей системы (для элементов aij , i j ). Если в наборах параметров, характеризующих все m инновационных проектов j (1 j ,..., ij ,..., nj ) и i ( i1 , ..., ij , ..., in ) , отсутствуют нулевые элементы, то это означает, что каждая продуктная инновация воздействует на всех использующие ее производителей системы (снижает их удельные материальные затраты на данный вид продукции), а каждая производственно-технологическая вызывает изменение всех видов прямых материальных затрат на изготовление единицы продукции производителя, который ~ данную инновацию внедряет. В этом случае с целью определения элементов a~ матрицы A ij необходимо пересчитывать все коэффициенты прямых материальных затрат исходной матрицы A , для чего должны строиться и использоваться функции суперпозиции инноваций ij ~ (a , , ), a ij ij ij ij ij i 1, n, j 1, n , (4.16) ~ в результате A будет иметь вид 11 (a11 , 11 , 11 ) ........1n (a1n , 1n , 1n ) ................................................. ~ A i1 (ai1 , i1 , i1 ) ..........in (ain , in , in ) . ................................................. n1 (an1 , n1 , n1 ) ........ nn (ann , nn , nn ) Таким образом, если известны 2n наборов параметров инноваций j и (4.17) j (причем, ji 0, ij 0, j 1, n, i 1, n ), то определение новой матрицы коэффициентов прямых ~ 2 затрат A в общем случае сводится к построению n функций ij ( aij , ij , ij ) , аргументами которых являются исходное значение коэффициента прямых затрат a ij , 29 элемент ij набора n параметров j (1 j ,..., ij ,..., nj ) , который характеризует производственно-технологическую инновацию предприятия j, и элемент ij набора параметров i ( i1 ,... ij ,..., in ) , описывающего свойства продуктной инновации предприятия i. Если все производственно-технологические и продуктные инновации, одновременно реализуемые каждым из производителей рассматриваемой системы, не взаимодействуют (являются автономными), то функции ij ( aij , ij , ij ) могут иметь вид, аналогичный (4.15) ij ( aij , ij , ij ) aij (1 ij aij )(1 ij aij ). (4.18) В случае, когда некоторые параметры инновационных проектов ij 0, i 1, n или ij 0, j 1, n , то это соответственно означает, что производственно-технологическая инновация производителя j или продуктная инновация производителя i (возможно i j ) не оказывают воздействие на величину удельных затрат продукции i при производстве продукции j. В этом случае функция суперпозиции инноваций ij принимает соответственно вид правой части соотношений (4.3) и (4.9). Естественно, возможна ситуация, когда для заданного j имеются такие i, что ij 0 и ij 0 одновременно. В этом случае соответствующий элемент матрицы A не изменяется ~ под воздействием инновации, т.е. aij aij . Аналогичным образом можно описать ситуацию, когда инновации внедряют r производителей рассматриваемой системы при 2 r n . 30 5. ОЦЕНКА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИННОВАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В СИСТЕМЕ ПРОИЗВОДИТЕЛЕЙ Рассмотрим подходы к определению экономических эффектов и эффективности инновационной деятельности в системе технологически взаимосвязанных производителей. Пусть балансовое соотношение X 0 AX 0 Y 0 (5.1) описывает состояние рассматриваемой системы производителей до внедрения инновации. Внедрение производителем j инновации (производственно-технологической или продуктной) приводит к изменению некоторых элементов матрицы прямых затрат A . ~ Обозначим новую матрицу прямых затрат как A , в зависимости от типа рассматриваемой инновации она будет иметь вид матрицы Aпт или Aп . Будем различать индивидуальные и интегральные эффекты от внедрения инновации производителем j. Индивидуальный экономический эффект проявляется у отдельных производителей непосредственно использующих инновацию. Интегральный экономический эффект от внедрения инновации некоторым производителем формируется в рамках всей системы n предприятий за счет их производственных взаимосвязей, которые отражаются в матрице прямых затрат модели. Для случая внедрения производителем j производственно-технологической инновации индивидуальный экономический эффект у него представляет собой экономию Э пт от j сокращения объемов потребления продукции i при производстве продукции вида j. Этот эффект для условий производства соответствующих соотношению (5.1) может быть вычислен по формуле Э пт j n (a i 1 ij a ijпт )x 0j . (5.2) Если производитель j освоил выпуск продуктной инновации, то индивидуальный экономический эффект Э пji формируется у ее непосредственных потребителей, каждый из которых будет иметь экономию за счет снижения объемов использования в производственном процессе продукции j Э пji (a ji a пji ) xi0 , i 1, n . (5.3) Заметим, что у некоторых производителей локальные эффекты от внедрения продуктной инновации j могут отсутствовать: если параметр l продуктной инновации j jl 0 , то Э jl 0 . Для случая внедрения продуктной инновации кроме локальных эффектов может п определяться и общий эффект Э j у всех ее непосредственных потребителей. Величина этого эффекта определяется формулой п Э jп n (a i 1 ji a пji ) xi0 . (5.4) 31 Интегральный экономический эффект от использования инноваций в системе n производителей может быть определен двумя способами: - как экономия общих производственных затрат всех производителей на изготовление заданной по объему и номенклатуре конечной продукции Y 0 (эффект стабильного выпуска Э С ); - как прирост объемов конечной продукции (по сравнению с базовым Y 0 ) при фиксированных по величине и составу валовых объемах производства X 0 (эффект развития Э Р ). Для расчета величины эффекта стабильного выпуска от внедрения инновации производителем j необходимо первоначально определить новый вектор X 1 валовых объемов производства при прежних объемах производства конечной продукции Y 0 ~ X 1 ( E A) 1 Y 0 , (5.5) ~ 1 ~ где ( E A ) - новая матрица коэффициентов полных затрат, которую обозначим B . Тогда величина эффекта экономии может быть рассчитана по формуле ЭС n ( xio xi1 ) , (5.6) i 1 где x i0 и x i1 - элементы i ( i 1, n ) векторов валового выпуска продукции до и после внедрения инновации соответственно, т.е. векторов X 0 и X 1 . Для определения интегрального экономического эффекта роста Э Р от внедрения в производство инновации в первую очередь следует рассчитать новые объемы выпуска конечной продукции Y 1 при фиксированных значениях валовых выпусков продукции X 0 . ~ Y 1 ( E A) X 0 . (5.7) Используя найденный вектор конечной продукции значение экономического эффекта Э можно вычислить по формуле Р ЭР n (y i 1 1 i yi0 ) , (5.8) где y i0 и y i1 ( i 1, n ) являются элементами векторов конечной продукции Y 0 и Y 1 соответственно. Э В принципе, оба эффекты Э и Э Р могут на равных основаниях использоваться для различных сторон комплексной оценки экономических результатов внедрения инноваций в системе взаимосвязанных производителей. Вместе с тем, каждый из них обладает своей спецификой отражения результатов инновационной деятельности и, соответственно, особенностями использования в экономическом анализе. Эффект стабильного выпуска целесообразно оценивать при анализе системы производителей, выпускающих конечную продукции в объемах, которые удовлетворяют ее потребителей в настоящий момент и в обозримом будущем. В этой ситуации главной задачей является снижение затрат на производство фиксированного объема конечной 32 продукции. Анализу возможностей решения данной задачи путем внедрения С соответствующих инноваций и отвечает показатель эффекта стабильного выпуска Э . Величина показателя эффекта развития Э Р должна определяться при анализе задач, решение которых направлено на увеличение (за счет использования производственных инноваций) объемов выпуска конечной продукции. Внедрение инноваций приводит не только к формированию соответствующих экономических эффектов, но и к повышению эффективности функционирования отдельных производителей и всей системы. Точнее, формирование перечисленных выше экономических эффектов инновационной деятельности является результатом роста указанной эффективности. Поэтому является актуальным исследование эффективности функционирования анализируемой системы производителей. Будем рассматривать индивидуальные и интегральные показатели эффективности функционирования системы производителей. Индивидуальный показатель эффективности E j ( A) (или E j ) определяется на основе матрицы коэффициентов прмых материальных затрат A модели «затраты – выпуск» E j ( A) 1 n aij , j 1, n , (5.9) i 1 * * интегральный показатель E j ( B) (или E j ) строится на базе матрицы полных затрат B E *j ( B ) 1 n b i 1 , j 1, n . (5.10) ij Особенностью показателей эффективности E j является то, что они характеризуют индивидуальную эффективность функционирования конкретных производителей и не учитывают специфику осуществления технологических процессов, которые обеспечивают их деятельность в рамках всей системы. Это вызвано тем, что используемые в соотношении (5.9) коэффициенты a ij (согласно их экономического содержания) отражают только прямые (непосредственные) затраты производителя на выпуск соответствующей продукции, но не представляют всей совокупности производственно-технологических взаимосвязей системы производителей в целом. Интегральные показатели эффективности E *j ( B) , т.к. в их основе лежит матрица полных затрат, которая отражает не только прямые, но и косвенные взаимосвязи производителей, аккумулирует в своих значениях всю совокупоность технологических связей в системе производителей. Таким образом показатели E *j ( B) отражают особенности функционирования производителя j с учетом всего объема взаимосвязей в системе производителей в целом. Эффективность отдельных производителей формирует эффективность функционирования системы взаимосвязанных производителей в целом. Поэтому целесообразно рассматривать не только задачу определения показателей эффективности конкретных производителей, но и всей их системы. 33 * Если известны величины показателей E j ( A) и E j ( B) отдельных производителей, то в простейшем случае эффективность функционирования системы можно рассчитывать как среднее арифметическое их значений. Тогда эффективность системы производителей по показателям индивидуальной E (A) и интегральной определяться соответственно следующими соотношениями E * ( B) эффективности может E ( A) 1 n E j ( A) , n j 1 (5.11) E * ( B) 1 n * E j ( B) n j 1 . (5.12) * Показатели E (A) и E ( B) характеризуют различные аспекты эффективности функционирования системы производителей «в чистом виде» в том смысле, что они отражают только исходные технологические возможности системы и не учитывают особенности их использования. Это означает, что фактическая эффективность функционирующей системы будет отличаться от значений указанных показателей и зависеть от объемов загрузки отдельных производителей, обладающих различной эффективностью. Поэтому для действующих систем производителей представляет интерес определение не * только показателей E (A) и E ( B) , но и таких показателей, которые бы отражали эффективность функционирования системы в целом, фактически сформировавшуюся в результате особенностей использования (объемов загрузки) отдельных ее элементов. Показатели, удовлетворяющие данному условию, можно строить как средние взвешенные * значений показателей E j ( A) и E j ( B) отдельных производителей. Причем, учитывая экономическое содержание данных показателей, в качестве весов использовать соответственно нормированные величины валовых объемов выпуска x j и объемов конечной продукции y j соответствующих видов n E ( A, X ) j 1 n j 1 E j ( A), n x i 1 E * ( B, Y ) (5.13) xj i yj n y i 1 E *j ( B) . (5.14) i * Заметим, что показатели E ( A, X ) и E ( B, Y ) целесообразно использовать не только для анализа воздействия инноваций, внедряемых предприятиями, на эффективность функционирования системы производителей, но и при варьировании объемов выпуска продукции производителями, которое также может приводить к изменению (в ту или иную сторону) эффективности работы системы. Очевидно, что при необходимости могут рассматриваться показатели средней взвешенной эффективности функционирования системы производителей E * ( B, X ) и E ( A, Y ) , рассчитываемые соответственно по формулам (5.14) с весовыми коэффициентами 34 на основе показателей валовых выпусков X и (5.13) с коэффициентами значимости на базе объемов выпусков конечной продукции Y . Используя введенные показатели эффективности можно оценить влияние внедрений инноваций различного типа на эффективность функционирования как отдельных производителей (производства отдельных видов продукции), так и их системы в целом. Во-первых, отметим, что внедрение любых инноваций всегда приводит к росту значений показателей индивидуальной эффективности производителей E j ( A) . Однако экономико-математическое исследование сильних и слабих производственнотехнологических инноваций в системе производителей позволил получить результаты, которые демонстрируют неоднозначность их влияния на интегральные показатели эффективности. Введение сильных производственно-технологических инноваций даже одним производителем всегда приводит к росту интегральной эффективности функционирования не только этого производителя, но и всех производителей, входящих в производственновзаимосвязанную систему, а значит и всей системы в целом. Внедрение отдельным производителем слабой производственно-технологической инновации в системе взаимосвязанных производителей всегда имеет следствием повышение его показателя индивидуальной эффективности. Однако при этом показатели интегральной эффективности как у данного производителя, так и у других производителей системы могут изменяться разнонаправленно - в одних случаях набдюдается их рост, в других падение. Отсюда следует, что если реализация некоторой слабой производственнотехнологической инновации всегда является экономически целесообразным мероприятием для отдельного производителя-инноватора j (повышает индивидуальную эффективность его функционирования в смысле показателя E j ), то это не приводит в обязательном порядке к повышению его интегральной эффективности и эффективности функционирования всей системы взаимосвязанных производителей как при производстве конечной продукции вида j, так и других видов продукции (что должно отражаться посредством роста значений показателей интегральной эффективности E *j ). Более того, экономическая эффективность системы производителей, понимаемая в смысле показателей E *j ( B) , может даже падать. Данные выводы можно сформулировать и в ином виде. Трансформация матрицы прямых материальных затрат, определяющая снижение индивидуальной эффективности соответствующего производителя, может приводить к повышению интегральной эффективности данного производителя и всей системы в целом. В любом случае, итоговый результат зависит от конкретного вида исходной матрицы прямых затрат A и параметров, которые определяют новые значения элементов данной матрицы (в том числе и технико-экономических параметров слабой производственнотехнологической инновации). Из полученных выше результатов следует, что внедрение продуктных и сильных производственно-технологических инноваций всегда инициирует повышение эффективности (как индивидуальной, так и интегральной) функционирования предприятий системы. Осуществление слабых производственно-технологических инноваций в общем случае имеет неоднозначные результаты и может приводить к формированию конфликта интересов отдельного производителя и системы производителей в целом, который с учетом * экономического содержания показателей эффективности E j и E j (первый из них строится на основе коэффициентов прямых производственных затрат, а второй – полных затрат на производство единицы конечной продукции), может рассматриваться как конфликт интересов производства и потребления (соответственно можно считать, что показатель E j ( A) характеризует эффективность в производственной сфере, а E *j ( B) - сфере конечного 35 потребления продукции рассматриваемой системы производителей). Заблаговременная диагностика данной конфликтной ситуации может позволить найти возможности для своевременной корректировки направления инновационной деятельности отдельного производителя, т.к. с общегосударственных позиций интересы системы производителей и конечного потребления должны обладать большим приоритетом, чем интересы отдельного производителя, в частности, и производства, вообще. 36 6. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ОРГАНИЗАЦИИ ИННОВАЦИОННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ В СИСТЕМЕ ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ ПРОИЗВОДИТЕЛЕЙ Естественным развитием построенных выше экономико-математических моделей инновационной деятельности технологически взаимосвязанных производителей, методов экономической оценки результатов данной деятельности является применение указанных моделей и методов для постановки и решения задач эффективного внедрения производственных инноваций в системе производителей. В качестве экономических критериев эффективности инновационной деятельности в первую очередь логично использовать полученные ранее показатели экономических эффектов развития и стабильного выпуска ЭР yi0 ) , (6.1) ( xi0 xi1 ) , (6.2) n (y i 1 ЭС 1 i n i 1 0 1 где, y i и y i ( i 1, n ) объемы конечной продукции вида i до и после внедрения инноваций 0 0 1 соответственно (при фиксированных значениях исходных валовых выпусках X ), x i и x i величины валовых выпусков также до и после реализации инновационных процессов 0 соответственно при заданных исходных объемах конечной продукции Y . На основе показателей (6.1), (6.2) могут быть сформулированы различные постановки задач рациональной организации инновационных процессов в системе взаимосвязанных производителей. Для математической записи данных задач, как и ранее, будем полагать, что осуществление инноваций производителями рассматриваемой системы приводит к снижению удельных материальных затрат на выпуск продукции, т.е. изменяет значения коэффициентов a ij на некоторую величину ij , в результате чего исходная матрица коэффициентов прямых затрат A преобразуется к виду ~ A (aij ij ) i 1, n, j 1, n . (6.3) Тогда совокупность величин ij , i 1, n, j 1, n полностью определяет содержание инновационной деятельности в системе предприятий, ее технико-экономические параметры. Для удобства дальнейшего использования при формулировке математических моделей представим множество ij в виде соответствующей квадратной матрицы 11... 1 j ... 1n ...................... . D i1 ... ij ... in ....................... ... ... n 1 nj nn (6.4) Приведем характерные математические постановки задач рациональной организации инновационной деятельности в системе производственных предприятий с позиций максимизации величины соответствующих экономических эффектов. 37 Задача максимизации экономического эффекта развития Э Р . Содержанием задачи является определение таких значений параметров инновационной деятельности в системе предприятий ij , i 1, n, j 1, n , которые бы максимизировали эффект развития от реализации данной деятельности в условиях дефицита финансовых ресурсов, выделенных на ее осуществление. Если в расчетной формуле величины эффекта Э Р в явном виде отразить параметры осуществляемых инновационных процессов ij , то соотношение (6.1) для его определения приобретает вид n n Э Р ( D) (eij (aij ij )) x 0j yi0 . i 1 j 1 (6.5) Обозначим n n (eij aij ) x 0j yi0 . i 1 j 1 (6.6) Тогда соотношение (6.5) принимает вид n n Э Р ( D) x 0j ij . (6.7) i 1 j 1 n Можно видеть, что 0 , т.к. (e j 1 ij aij ) x 0j yi0 , i 1, n . Поэтому целевая функция оптимизационной модели задачи максимизации эффекта развития Э Р записывается в форме n n Э Р ( D) x 0j ij max , (6.8) i 1 j 1 а ее ограничения могут быть представлены следующей системой неравенств n n z i 1 j 1 ij ( ij ) , zij ( ij ) ij ij , i 1, n , j 1, n , n i 1 ij ij j , j 1, n , (6.9) (6.10) (6.11) 0 ij ij , ij aij , i 1, n , j 1, n , (6.12) ij 0, (i, j )1 , (6.13) ij ˆ ij , (i, j )2 , (6.14) ij ij ij , 0 ij , ij aij (i, j )3 , (6.15) 38 (6.16) n y i (eij (aij ij )) x 0j , i 1 , j 1 (6.17) n y i (eij (aij ij )) x 0j yi , i 2 , j 1 где eij - соответствующие элементы единичной матрицы; - общий объем финансовых ресурсов, направляемых на реализацию инноваций в рассматриваемой системе прпроизводителей; zij ( ij ) - затраты, связанные с изменением a ij на величину ij ; ij параметр функции инновационных затрат zij ( ij ) ; j - максимальный объем финансирования внедрения производственных инноваций на предприятии j; ij , ij нижние и верхние границы величины возможного изменения удельных затрат a ij в результате внедрения соответствующих инноваций; ̂ ij - заранее фиксированная (требуемая) величина изменения a ij под влиянием осуществляемых инновационных процессов; y i , yi определяют значения верхней и нижней границы величины конечной продукции вида i (выпускаемой предприятием i) после реализации производственных инноваций. Условие (6.9) представляет собой финансовое ограничение на реализацию инновационных процессов в системе производственных предприятий. Для простоты полагается, что функции инновационных затрат zij ( ij ) в этом ограничении имеет линейный вид (6.10). Смысл условия (6.11) состоит в том, что оно ограничивает объемы финансовых ресурсов, которые могут быть использованы на инновационную деятельность одного предприятия при распределении общего фонда . Заметим, что ограничения (6.9) и (6.11) не дублируют, а дополняют друг друга. Очевидно, что для указанных условий может выполняться неравенство n j 1 j при обязательном выполнении (6.9). Неравенства (6.12) являются естественными требованиями неотрицательности переменных ij и ограничениями на их максимальное значение, которое не должно превышать (или быть строго меньше) величины a ij . Наряду с ограничениями вида (6.12) на значения переменных ij могут накладываться и другие условия. Если известно, что по тем или иным причинам отдельные удельные затраты a ij , определяемые множеством 1 , не могут быть изменены в результате инновационной деятельности, то это может быть учтено путем введения ограничений (6.13) на соответствующие переменные. С другой стороны, условия (6.14) отражают ситуацию, когда некоторые a ij , перечень которых задается множеством 2 , должны быть в обязательном порядке изменены в процессе внедрения инноваций на фиксированную величину ̂ ij , т.е. в данном случае значения некоторых переменных модели определяются экзогенно. Ограничения (6.15) отвечают требованиям к инновационным процессам, согласно которым их осуществление должно приводить к изменениям некоторых a ij ( (i, j )3 ) в заранее заданных диапазонах. Причем, если в результате внедрения инноваций полностью исключить использование продукции i для производства продукта j невозможно, то в данном ограничении должно рассматриваться строгое неравенство ij a ij . 39 Смысл неравенств (6.16) и (6.17) состоит в том, что после внедрения инноваций, объемы конечной продукции определенных видов (заданных множествами 1 и 2 соответственно) должны быть не меньше некоторой величины (6.16) или находиться в заданном диапазоне (6.17). По сути, данные ограничения представляют собой требования к результативности инновационных процессов в сфере конечного потребления производимой рассматриваемыми предприятиями продукции. Оптимизационная модель (6.8) – (6.17) является математической постановкой задачи линейного программирования и может решаться хорошо известными методами. Задача максимизации экономического эффекта стабильного выпуска Э С Данная задача предполагает поиск таких значений параметров ij , i 1, n, j 1, n инновационных процессов в системе технологически взаимосвязанных производителей, которые бы максимизировали величину образующегося при этом эффекта Э С , записанного в виде критерия (6.18). n n ~ Э С xio bij ( ij ) y 0j max , i 1 j 1 (6.18) ~ ~ где bij ( ij ) является соответствующим элементом матрицы B ~ B ( E ( A D)) 1 . (6.19) Целевая функция (6.18) совместно с ограничениями вида (6.9) – (6.17) формируют задачу нелинейного программирования. Ее особенностью является специфический вид функции (6.18), которая фактически задана вычислительной процедурой определения 1 обратной матрицы ( E ( A D)) при варьировании значений ij элементов матрицы D . Задачи подобного типа рекомендуется решать поисковыми методами оптимизации . При постановке задач рациональной организации инновационной деятельности в системе производителей в качестве целевых критериев могут применяться не только соответствующие показатели экономического эффекта, но и различные виды введенных ранее показателей эффективности функционирования анализируемой системы 1 n E j ( A) , n j 1 n xj E ( A, X ) n E j ( A) , j 1 xi (6.20) 1 E *j ( B) , n j 1 n yj * E ( B, Y ) n E *j ( B) . j 1 yi (6.22) E ( A) E * ( B) i 1 n (6.21) (6.23) i 1 40 Используя данные и некоторые другие производные от них показатели экономической эффективности, рассмотрим возможные математические модели организации инновационных процессов в системе технологических взаимосвязанных производителей. Задача максимизации эффективности инновационных затрат при формировании эффекта развития Задача состоит в нахождении таких величин ij , i 1, n, j 1, n , при которых общие n n затраты на инновационную деятельность в системе предприятий ЗИ ( D) ij ij i 1 j 1 обладают максимальной эффективностью формирования отвечающего им эффекта развития n n в форме Э Р ( D) x 0j ij . i 1 j 1 Соответствующая экономико-математическая модель должна включать целевую функцию (6.24) n n x 0 j i 1 j 1 n n R ( D) Р i 1 j 1 ij ij max (6.24) ij и необходимые условия из описанных выше ограничений (6.9) – (6.17). Например, в качестве ограничений данной задачи могут рассматриваться следующие n n ij i 1 j 1 n i 1 ij ij (6.25) , (6.26) ij j , j 1, n , n y i (eij (aij ij )) xij0 , i, 1 , (6.27) j 1 n y i (eij (aij ij )) xij0 yi , j 1 i 2 , 0 ij ij , ij aij , i 1, n , j 1, n . (6.28) (2.29) В системе ограничений (6.25) – (6.29) содержание всех условий было описано выше. Наряду с указанными условиями в данной постановке целесообразно рассмотреть и неравенство (6.30), представляющее собой ограничение, которое определяет нижнюю Р границу Э величины экономического эффекта развития. n n x i 1 j 1 0 ij ij Э (6.30) Р . Наличие в модели ограничения (6.30) гарантирует при максимизации показателя Р эффективности R получение объема эффекта развития не меньшее, чем экзогенно заданная Р величина Э . 41 Сформулированная таким образом задача (и другие подобные с критерием в форме (6.24)) относится к классу задач дробно-линейного программирования, с помощью известных приемов они могут быть сведены к задачам линейного программирования. Задачи максимизации средней индивидуальной эффективности функционирования системы предприятий. В рамках данных задач при рациональной организации инновационной деятельности (выборе оптимальных значений ij , i 1, n, j 1, n ) в качестве критериев могут рассматриваться арифметическая средняя (6.20) или средняя взвешенная (6.21) показателей индивидуальной эффективности E j ( A) всех предприятий рассматриваемой системы. n E ( A) 1 n j 1 1 n (a ij i 1 x0 j E ( A, X ) n 0 j 1 xj j 1 n max (6.31) ij ) max n (aij ij ) i 1 1 (6.32) При указанных целевых функциях условиями задачи могут выступать соответствующие ограничения из перечня (6.9) – (6.17), (6.30). Модели рациональной организации инновационных процессов в системе предприятий с критериями (6.31), (6.32) представляют собой математические постановки задач нелинейного программирования. Решение этих задач может осуществляться приближенными методами оптимизации. По аналогии с (6.24), (6.31), (6.32) могут быть записаны целевые функции задач - максимизации эффективности инновационных затрат при формировании экономического эффекта стабильного выпуска n n ~ R С ( D) xio bij ( ij ) y 0j i 1 j 1 n n i 1 j 1 ij ij max , (6.33) - максимизации средней интегральной эффективности функционирования системы предприятий n E * ( B) (1 / n) j 1 1 max , ~ bij ( ij ) n (6.34) i 1 n y 0j E * ( B, Y ) n 0 j 1 y j j 1 1 max . n ~ bij ( ij ) i 1 (6.35) Заметим, что в критерии (6.35), как и в (6.32), может быть использована и другая система весов (коэффициентов значимости) рассматриваемых показателей эффективности отдельных предприятий системы. 42 Критерии (6.33) – (6.35) с ограничениями вида (6.9) – (6.17) формируют задачи нелинейного программирования. Причем, целевые функции (6.33) - (6.35), как и ранее (6.18), фактически заданы вычислительной процедурой, включающей определение соответствующей обратной матрицы. Решаться задачи с подобными критериями могут поисковыми методами оптимизации. Задача оптимальной реализации в системе производителей инновационных проектов с фиксированными соотношениями параметров В рассмотренных выше оптимизационных моделях полагалось, что каждый из коэффициентов прямых материальных затрат a ij может модифицироваться независимо от остальных коэффициентов данного производителя j . Однако технологические особенности инновационных проектов, внедряемых производителями, могут требовать изменения параметров a ij в строго фиксированных пропорциях. Кроме того, специфика проектов может быть такова, что отдельные параметры a ij должны не уменьшаться, а возрастать, n a естественно, при общем снижении суммарных затрат i 1 ij . Для указанных условий математическая постановка задачи повышения эффективности функционирования системы производителей может иметь следующий вид. n ˆ ) 1/ n E(A j 1 1 n (aij ij ( y j )) max , i 1 n E * ( Bˆ ) 1 / n j 1 1 E0* n bˆ ( i 1 ij ij , (6.38) 11 ( y1 )... 1 j ( y j )... 1n ( yn ) ........................................... , D i1 ( y1 ) ... ij ( y j ) ... in ( yn ) ........................................... ( y )... ( y )... ( y ) nj j nn n n1 1 ij ( y j ) y j ij , i 1, n, j 1, n i 1 ij 0, j 1, n (6.41) , (6.42) , aij ij ( y j ) a ij , i 1, n, j 1, n , n z j 1 j yj , yj 0 . (6.39) (6.40) , j (1 j , 2 j ,..., nj ), j 1, n (6.37) ( y j )) 1 Aˆ A D , Bˆ ( E Aˆ ) , n (6.36) (6.43) (6.44) (6.45) Задача (6.36) – (6.45) состоит в повышении эффективности функционирования системы производителей согласно критерию (6.36) максимума показателя средней индивидуальной эффективности E (A) при ограничении (6.37) на минимальное значение показателя средней интегральной эффективности системы E * ( B) . В качестве нижней 43 границы данного показателя E 0* может использоваться его значение для исходного состояния рассматриваемой системы. В рамках данной модели для каждого производителя j определен свой инновационный проект j , параметры которого задаются соотношениями (6.41). Причем, некоторые из параметров ij могут быть отрицательными (внедрение проекта может приводить к увеличению исходных значений отдельных коэффициентов a ij ) при общем выполнении требований (6.42). Искомыми величинами являются объемы внедрения проектов y j (в предположении возможности тиражирования проекта и его делимости могут измеряться в единицах исходного проекта), которые и определяют уровень снижения суммарных удельных прямых материальных затрат производителей в соответствии с соотношениями (6.38), (6.40), (6.43) под воздействием соответствующих инновационных мероприятий. Объем реализации проекта y j , естественно, определяет величину финансовых затрат на его реализацию z j y j . Суммарное значение этих затрат по всем проектам не должно превышать общего объема финансовых ресурсов, выделенных на осуществление инновационной деятельности в рассматриваемой экономической системе (ограничение (6.44)). Решение оптимизационной задачи (6.36) – (6.45) позволяет не только максимальным образом повысить (в пределах имеющихся инвестиционных ресурсов Ф ) эффективность функционирования системы производителей, но и избежать (за счет учета ограничения (6.37)) негативных эффектов, связанных с возможным снижением эффективности функционирования системы по показателю средней интегральной эффективности E * ( B) при росте показателя средней индивидуальной эффективности E (A) . Такое повышение эффективности является сбалансированным в том смысле, что обеспечивает рост эффективности отдельных производителей при, как минимум, сохранении прежнего уровня эффективности функционирования рассматриваемой экономической системы в целом. Модель (6.36) – (6.45) является одним из возможных вариантов постановки задачи оптимальной реализации в системе производителей инновационных проектов с фиксированными соотношениями параметров. Она допускает различные модификации, например, в качестве целевой функции может использоваться показатель эффективности E * ( B) при ограничении снизу на значения показателя E (A) , для каждого производителя может рассматриваться не один, а несколько различных инновационных проектов, могут учитываться требования к значениям показателей эффективности E j ( A) и E *j ( B) для отдельных производителей и т.п. 44 7. ФАКТОРНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ. УЧЕТ НАУЧНОТЕХНИЧЕСКОГО ПРОГРЕССА Факторные модели экономического развития характеризуют динамику производства, в зависимости от динамики производственных факторов или используемых производственных ресурсов. На макроэкономическом уровне важнейшими факторами производства выступают живой труд (рабочая сила) и производственные фонды, а результатом производства – конечный общественный продукт, национальный доход (НД) и т.п. Поэтому будем рассматривать двухфакторную модель вида y(t)=F(L(t),K(t)), (7.1) где y(t) – объем НД, L(t), K(t) – объемы используемой рабочая сила и основных производственных фондов соответственно. Математическая модель (7.1) называется макроэкономической производственной функцией (МПФ). Применение МПФ в качестве самостоятельной модели экономического роста предполагает, что y(t) определяется из заданных траекторий L(t) и K(t). Возможно также задавать y(t) и L(t) или y(t) и K(t) и определять соответственно K(t) или L(t). МПФ могут также включаться в состав более сложных макроэкономических моделей, в которых L(t) и K(t) определены эндогенно. Главной проблемой построения МПФ является отражение НТП. В теории производственных функций различают две формы НТП: - нейтральный, то есть не относящийся к каким-либо производственным факторам в отдельности и не изменяющий их относительную эффективность. - материализованный в производственных факторах, что отражается в повышении их эффективности. При этом предполагается, что во времени аналитическая форма МПФ в связи с действием НТП не меняется, а изменяются только ее параметры. При указанных предположениях МПФ с нейтральным НТП записывается так y(t)=A(t)F(L(t),K(t)), (7.2) где A(t) – функция, отражающая влияние всех непосредственно неучитываемых факторов. Условно это совокупное влияние принимают за нейтральное НТП. Коэффициент A(t) обычно имеет вид A(t ) a 0 e t . (7.3) а0 – параметр масштабирования и начальной эффективности производства; непрерывный темп прироста за счет нейтрального НТП. Материализованный в производственных факторах НТП отражается динамикой эффективности L(t) и K(t). y(t)=F(aL(t)L(t),aK(t)K(t)). (7.4) Если удается построить временные функции эффективности производственных факторов от времени aL(t) и aK(t), то МПФ принимает вид (7.4). С помощью aL(t) и aK(t) объемы затрачиваемых ресурсов в различные моменты времени приводятся к одинаковому 45 качеству по их эффективности. За эталон качества при этом принимают ресурсы, используемые в момент времени t = 0. Таким образом, отражение таких форм НТП позволяет исследовать динамику НД за счет трех групп факторов: увеличение объемов используемых ресурсов; изменение общей эффективности производства или нейтральный НТП; изменение эффективности отдельных производственных ресурсов, материализованный НТП. Возможен и несколько иной подход к представлению НТП в производственных функциях, согласно которому различают два основных типа научно-технического прогресса: автономный и овеществленный (материализованный, индуцированный). Автономный НТП определяется как все то, что увеличивает с течением времени объем выпуска продукции без увеличения объемов привлеченных ресурсов. В случае овеществленного (индуцированного) научно-технического прогресса предполагается, что влияние НТП проявляется прежде всего через повышение эффективности производственных фондов в результате создания новых видов оборудования и технологий, при этом влияние НТП на объем выпуска определяется рядом таких показателей, как возрастная структура основных производственных фондов, накопленный объем валовых капитальных вложений, «эффект обучения» и т.д. В рамках автономного НТП двухфакторная производственная функция с учетом научно-технического прогресса в общем виде записывается следующим образом: q F A(t ) K , B(t ) L, (7.5) где A(t ), B(t ) так называемые кинетические компоненты, зависящие только от времени. Различают нейтральный и ненейтральный научно-технический прогресс. При этом выделяют три основных определения нейтральности НТП: нейтральность по Харроду, нейтральность по Солоу и нейтральность по Хиксу. Рассмотрим указанные типы нейтральности. Для случая двухфакторной производственной функции научно-технический прогресс нейтрален по Харроду, если при постоянной фондоотдаче предельная производительность основных фондов также постоянна. Если при постоянной фондоотдаче предельная фондоотдача с течением времени растет, то в соответствии с классификацией Харрода имеет место фондоемкий тип экономического развития. Если при постоянной фондоотдаче предельная фондоотдача убывает, то имеет место трудоемкий тип экономического развития. Для однородной производственной функции A(t ) 1 . Тогда в случае нейтрального по Харроду автономного научно-технического прогресса однородная двухфакторная производственная функция имеет вид: q F K , B(t ) L . (7.6) Нейтральность по Солоу симметрична по отношению к нейтральности по Харроду. В случае нейтральности по Солоу автономного научно-технического прогресса однородная двухфакторная производственная функция имеет вид: q F A(t ) K , L . (7.7) Нейтральный научно-технический прогресс по Харроду выступает в соответствии с (7.6) как фактор, увеличивающий квалификацию рабочей силы, т.е. технический прогресс 46 данного вида отражает рост таких показателей, как средний уровень образования, эффект обучения и т.п. Нейтральный по Солоу научно-технический прогресс в соответствии с (7.7) отражает более высокую производительность новейшей техники. В прикладных работах чаще всего используется нейтральный по Хиксу научнотехнический прогресс, отвечающий условию, что предельная норма замещения не изменяется с течением времени при фиксированной фондовооруженности. Можно показать, что для нейтрального по Хиксу научно-технический прогресса A(t ) B(t ) . Если производственная функция однородная степени , то, подставляя A(t ) B(t ) в (7.5), получаем, что однородная производственная функция с нейтральным по Хиксу научнотехническим прогрессом имеет вид: q C (t ) F ( K , L), где C (t ) A(t ) B(t ) (7.8) Если предельная норма замещения ресурсов растет, то научно-технический прогресс является фондоемким по Хиксу; если предельная норма замещения убывает – трудоемким по Хиксу. Однозначного соответствия между тремя определениями нейтрального научнотехнического прогресса в общем случае нет. Отметим также, что НТП, нейтральный по Харроду, Солоу и Хиксу, иногда называют соответственно трудодобавляющим, капиталодобавляющим и равнодобавляющим техническим прогрессом . Вид кинетических компонент в принципе не фиксирован, но обычно как в теоретических, так и в прикладных исследованиях в качестве кинетических компонент используют экспоненты A(t ) a0 e kt ; B(t ) b0 e t , (7.9) где параметры k и представляют собой темп прироста производства за счет технического прогресса (темп НТП). При анализе соответствующих экономико-математических моделей могут рассматриваться различные типы НТП и различные виды производственных функций. Однако, если для оценки научно-технического прогресса используется функция КоббаДугласа, то полагается, что в этом случае наиболее целесообразно исходить из нейтральности НТП по Хиксу. Наибольшее применение в теоретическом и прикладном анализе имеют следующие виды МПФ: Функция Коба-Дугласа; Функция с постоянной эластичностью замены (ПЭЗ). Эти функции обладают следующими преимуществами: они хорошо экономически интерпретируются; имеют небольшое число параметров, что облегчает их статистическую оценку; соответствующие им показатели экономического роста, эффективности, интенсификации имеют удобную аналитическую форму. Динамическая функция Кобба-Дугласа y(t ) A(t ) L L (t ) K K (t ) . (7.10) 47 От статического варианта данной функции (7.10) отличается множителем A(t). Чаще всего принимается A(t ) a 0 e t . С учетом этого y (t ) a 0 e t L L (t ) K K (t ) . (7.11) Степень однородности функции Кобба-Дугласа определятся суммой K . Для L статической модели обычно принимается K 1 . Но для динамической модели такое L условие слишком жестко. Типично соотношение L K 1 , отражающее рост общей эффективности производственных факторов в динамике. Если сумма K 1 , то можно L осуществить нормировку коэффициентов эластичностей , K : L L L K K . 1 L K Тогда вместо (20) получаем y (t ) a0 e t [ L (t ) K 1 (t )] L K . (7.12) Логарифмируя, а затем, дифференцируя по t функцию (7.11), получаем соотношение между темпами прироста НД и производственных факторов: ln y(t) = ln a0+t+Lln(L(t)) +Kln(K(t)), y = + LL +KK . (7.13) Таким образом, темп прироста НД есть сумма темпа НТП и взвешенной суммы темпов прироста производственных факторов. Динамическая функция с постоянной эластичностью заменяемости ресурсов (ПЭЗ). y(t ) A(t )[ a L L(t ) w a K K (t ) w ] w , (7.14) где aL, aK, w, v – константы, имеющие определенное экономическое содержание. В простейшем случае A(t ) a0 e t , a K 1 a L , 1. МПФ с постоянной эластичностью замены по сравнению с функциями Кобба-Дугласа обладает следующими преимуществами: позволяет более явно разделить влияние НТП между двумя производственными факторами. эластичность заменяемости ресурсов не задается априорно равной 1, а «оценивается». Еще одним видом производственных функций, который стал активно использоваться в последнее время в теоретических и прикладных исследованиях в связи с необходимостью более детального представления НТП, является так называемая функция К. Оппенлендера. В этой функции полагается, что НТП индуцируется кумулятивными капитальными 48 вложениями. Беря за основу двухфакторную макроэкономическую производственную функцию Кобба-Дугласа, К. Оппенлендер предложил учитывать влияние эндогенного технического прогресса на производственный процесс с помощью математической модели t q (t ) A exp[ vl I l /( v1 I 1 )] Lt (ct K t ) , (7.15) l 1 где A, , , - параметры функции; q(t ) - объем производства в интервале времени t; I l объем капиталовложений в периоде l; vl - доля от всех капиталовложений, направляемая на развитие технического прогресса; ct - степень загрузки производственных мощностей в периоде t. 49 8. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА С УЧЕТОМ АВТОНОМНОГО И ИНДУЦИРОВАННОГО НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОГО ПРОГРЕССА Подходы к представлению и анализу НТП в моделях экономического роста рассмотрим на примере модели экономической динамики Харрода-Домара. Данная модель описывает экономическую систему, для которой величина дохода y (t ) представляется в виде суммы инвестиций в развитие производства u (t ) и непроизводственного потребления C (t ) . В свою очередь, величина инвестиций полагается пропорциональной скорости роста доходов, а потребление задается экзогенно, т.е. получаем y (t ) B dy C (t ), dt (8.1) где коэффициент B имеет смысл капиталоемкости прироста дохода. Для математического описания влияния автономного НТП будем исходить из того, что характерной особенностью развития современной экономики является снижение его капиталоемкости. Это явление можно рассматривать как обобщенный на макроуровне результат всего комплекса инновационных процессов, осуществляемых в экономической системы. Для его математического отражения в модели Харрода-Домара будем полагать, что под воздействием автономного научно-технического прогресса величина коэффициента капиталоемкости B снижается с течением времени по экспоненциальному закону B (t ) B0 e kt , (8.2) где B0 - значение коэффициента капиталоемкости в начальный момент времени, k – параметр, определяющий темп снижения указанной капиталоемкости. Данный параметр можно интерпретировать как показатель интенсивности (темпа) реализации автономного НТП. Заметим, что выбор экспоненциальной закона изменения значения капиталоемкости (8.2) связан с тем, что соотношение 1 B0 e kt , в котором 1 B0 понимается как исходная величина эффективности некоторого производственного фактора, имеет форму и отвечает экономическому содержанию кинетических компонент, которые традиционно используются в экономико-математической теории производственных функций для учета влияния НТП. С целью отражения индуцированного научно-технического прогресса в модели (8.1) будем дополнительно выделять элемент доходов G (t ) , который специально используется на развитие инновационной деятельности и в рамках данной модели определяет динамику коэффициента капиталоемкости B (t ) . Тогда модель Харрода-Домара приобретает вид y (t ) B(G (t )) dy C (t ) G (t ). dt (8.3) Для определения общего вида функции B (G (t )) будем использовать два момента: во-первых, как и ранее, полагаем, что инновационные процессы приводят к снижению капиталоемкости развития экономики; во-вторых, принято считать, что результат инвестиций в инновационные процессы определяется их кумулятивной величиной. 50 Тогда, в предположении, что величина капиталоемкости обратно пропорциональна суммарным за определенный период времени инвестициям в инновационную деятельность, функцию B (G (t )) можно представить следующим образом B(G (t )) B0 t , (8.4) 1 G ( )d 0 где - коэффициент пропорциональности, интерпретируемый как параметр индуцированного НТП, который характеризует степень его воздействий на исходное значение показателя капиталоемкости B0 рассматриваемой экономики. Очевидно, что в начальный момент времени при t 0 B(G(t )) B 0 . В качестве G (t ) в случае постоянного роста мгновенной величины инвестиций в инновационную деятельность может использоваться, например, функция G1 (t ) at b, (8.5) для увеличивающегося роста указанных инвестиций G2 (t ) a(1 b) t , (8.6) G3 (t ) a b ln t , (8.7) при их уменьшающемся росте где a, b - параметры. Выбор конкретного вида функции G (t ) должен отвечать инвестиционной специфике анализируемой макроэкономической стратегии экономического роста на основе интенсификации инновационной деятельности. При анализе модели Харрода-Домара функция непроизводственного потребления обычно задается в виде C (t ) 0 , C (t ) С0 или C (t ) С 0 e rt , где r - постоянный темп прироста непроизводственного потребления. Если непроизводственное потребление является постоянным в течение всего анализируемого периода, т.е. C (t ) С0 , то для случая представления автономного НТП в форме (8.2) рассматриваемая модель экономического роста будет иметь вид y (t ) B0 e kt dy C0 . dt (8.8) Решением данного дифференциального уравнения будет функция y (t ) ( y 0 Co )e 1 ( e kt 1) kB0 C0 , (8.9) где y 0 величина дохода в начальный момент времени. Последнее соотношение может использоваться для решения простейших задач прикладного характера, связанных с исследованием динамики величины y (t ) . Например, 51 задача анализа влияния значений непроизводственного потребления С0 и темпа НТП k на величину дохода y y (T ) для заданного конечного момента времени T . Может рассматриваться и в некотором смысле обратная задача – исследование влияния параметров С0 и k на продолжительность периода времени [0, t 0 ] , который необходим для достижения фиксированной величины дохода y y C0 kB0 1 t 0 (ln(ln(( ) )) 1). k y0 C 0 (8.10) Для случая функции непроизводственного потребления исследовании модели Харрода-Домара с учетом автономного НТП y (t ) B0 e kt dy C 0 e rt dt C (t ) С 0 e rt при (8.11) наибольший в прикладном плане интерес может представлять анализ влияния параметраметров непроизводственного потребления С0 и r , на особенности траектории y (t ) развития рассматриваемой экономической системы при заданных параметрах ее исходного состояния B 0 , y 0 и автономного НТП k . На рис. 8.1 и 8.2 приведены результаты численного решения уравнения (8.11) для различных значений темпа роста непроизводственного потребления r и исходной его величины С0 . При этом здесь и далее использовались некоторые условные данные, однако в качестве ориентиров для коэффициента капиталоемкости и темпа НТП рассматривались известные реальные значения B0 3,5 и k 0,02 0,03 . 3.5 r = 0.02 r = 0.05 r = 0.25 3 y(t) 2.5 2 1.5 t1 1 0 1 2 3 4 5 6 t Рис. 8.1. Экономический рост с учетом автономного НТП при различных значениях темпа прироста непроизводственного потребления r Графики рис. 8.1 показывают, что увеличение темпа r (при неизменных других параметрах) приводит к замедлению роста дохода y (t ) , а при относительно больших его значениях для некоторого момента времени t1 рост анализируемой экономической системы сменяется негативной тенденцией ее развития с перспективой снижения получаемого дохода до нуля. Аналогичные графики, но для случая варьирования параметра непроизводственного потребления С0 , представлены на рис. 8.2. Из этих графиков следует, что при различных С0 экономика может демонстрировать качественно различное поведение, вплоть до ситуации, когда ее доходы начинают сокращаться начиная уже с начального момента времени. 52 Анализ траекторий экономического роста, подобных приведенным на рис. 8.1 и 8.2, соответствующих значений t1 может быть полезен при решении задачи оценки допустимых значений параметров непроизводственного потребления для анализируемой экономической системы при некоторых заданных B0 и k . 3 C0 = 0.5 C0 = 0.75 C0 = 0.85 2.5 y(t) 2 1.5 1 0.5 0 1 2 3 4 5 6 t Рис. 8.2. Экономический рост с учетом автономного НТП при различных значениях исходной величины непроизводственного потребления С0 Рассмотрим некоторые задачи анализа модели экономического роста Харрода-Домара с индуцированным НТП. Будем полагать, что C (t ) С0 и функция G (t ) , определяющая величину доходов, направляемых на развитие инновационных процессов, имеет вид G1 (t ) q , где q - некоторая постоянная величина (т.е. в (8.5) для простоты полагаем a 0 ). Тогда модель (8.3) приобретает вид y(t ) B0 dy q C0 . qt 1 dt (8.12) Из (8.12) получаем y(t ) ( y 0 q Co )e q 2 1 t t 2 B0 B0 q C0 . (8.13) Данное соотношение позволяет исследовать различные аспекты влияния параметров индуцированного научно-технического прогресса и исходного состояния моделируемой экономики на характерные моменты формирования соответствующих траекторий ее динамики y (t ) . Например, можно заметить (рис. 8.3), что для рассматриваемой модели существует начальный период времени, для которого экономический рост под воздействием индуцированного НТП является меньшим, чем аналогичный рост без влияния инновационных процессов. На графиках данного рисунка представлены численные решения дифференциального уравнения (8.13), учитывающего влияние индуцированного НТП (при объемах затрат на инновационную деятельность q 0.4 и q 0.1 ), и без учета воздействия технического прогресса ( q 0 ) при одинаковых значениях параметров y0 , B0 , C0 , . Приведенные графики показывают, что для начальных периодов [0, t1] и [0, t 2] соответствующий инновационный рост (при q 0 ) отстает от неинновационного ( q 0 ). Кроме того, можно видеть, что с увеличением объема ресурсов, направляемых на реализацию инновационной деятельности (и соответственно изымаемых из процессов развития действующего производства), продолжительность периода указанного отставания 53 увеличивается с [0, t1] до [0, t 2] . Причем, на участке [0, t1] инновационный экономический рост с меньшими объемами инвестиций в НТП не многим уступает росту без учета влияния инновационных процессов. Однако начиная с момента времени t3 экономическое развитие системы с большими затратами на инновационную деятельность начинает значительно преобладать над экономическим ростом с аналогичными затратами меньшими по величине. 3 q=0 q = 0.4 q = 0.1 2.8 2.6 2.4 y(t) 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 t1 1 0 0.5 t2 1 t3 1.5 2 2.5 3 t Рис. 8.3. Экономический рост без учета и с учетом индуцированного НТП при различных объемах инвестиций q В прикладном аспекте последнее может интерпретироваться в том смысле, что при анализе макроэкономических стратегий развития могут рассматриваться альтернативы: умеренный инновационный рост с относительно небольшими экономическими потерями (по сравнению с неинновационным развитием) на коротком начальном интервале времени и интенсивный инновационный рост, при котором указанные потери на начальном этапе являются более значительными и сам данный этап более продолжительным. Можно также проанализировать влияние на величину начального периода, при котором неинновационный экономический рост опережает инновационный, значения коэффициента капиталоемкости B0 . Соответствующие графики решений уравнения (8.13) представлены на рис. 8.4. Причем, для графиков (а) B0 3.5 и B0 10,0 для (б) при одинаковых значениях остальных параметров модели. 1.8 1.2 q = 0 q = 0.25 1.7 q = 0 q = 0.25 1.18 1.16 1.6 1.14 1.12 y(t) y(t) 1.5 1.4 1.1 1.08 1.3 1.06 1.2 1.04 1.1 1.02 t1 1 0 0.5 1 t t2 1.5 2 1 0 0.5 1 1.5 2 t (а) (б) Рис. 8.4. Экономический рост с учетом и без учета индуцированного НТП при различных значениях коэффициента капиталоемкости B0 54 Из графиков рис. 8.4 видно, что увеличение коэффициента капиталоемкости приводит к росту продолжительности начального периода развития экономической системы ( t 2 t1 ), для которого следствием инвестирования в индуцированный НТП является торможение ее динамики. Можно также говорить, что, т.к. B0 характеризует технологический уровень производства рассматриваемой системы ( 1 B0 - исходный технологический темп развития), то, чем ниже указанный технологический уровень (чем более технологически отсталой является экономическая система), тем более продолжительным будет период, в течение которого результаты инновационных процессов будут проявляться только в негативной форме. Приведенные выше задачи исследования экономического роста с учетом научнотехнического прогресса имели в основном описательный характер. Однако больший интерес представляет постановка и исследование задачи определения оптимального способа реализации индуцированного НТП. В качестве примера подобных задач рассмотрим задачу определения величины инвестиций в индуцированный научно-технического прогресс q * , которая максимизирует (при заданных значениях планового периода T и других параметров экономического роста) доход y (T ) , т.е. оптимизационную модель q 2 1 T T 2 B0 B0 max ( y 0 q Co )e q C 0 , q 0 q y 0 C0 . (8.14) (8.15) Решением данной задачи является q * y 0 C0 2B0 . T 2 (8.16) Можно видеть, что q * y0 C0 при любых возможных значениях параметров модели (8.13), отвечающих ее экономическому содержанию. С другой стороны, для того, чтобы величины q * была положительной необходимо выполнение определенных соотношений для значений параметров y 0 , C 0 , T , , B0 . При фиксированном значении непроизводственного потребления среди указанных параметров управляемым можно считать продолжительность планового периода T . Поэтому рассмотрим зависимость q * (Т ) . Из (8.16) следует, что q * будет положительной величиной, если для значений T выполняется неравенство T 2 B0 Т* . ( y0 C0 ) (8.17) В содержательном плане это означает, что осуществление инновационных процессов (индуцированного НТП) целесообразно только тогда, когда плановый период их реализации превышает некоторую минимально возможную величину Т * . Причем, значение этой величины находится в прямой зависимости от коэффициентом начальной капиталоёмкости прироста дохода B0 , определяющего исходный технологический уровень рассматриваемой экономической системы, и в обратной от имеющихся в начальный момент времени инвестиционных возможностей данной системы для осуществления инновационной 55 деятельности (величина y 0 C 0 ) и степени кардинальности влияния индуцированного НТП на повышение эффективности процессов экономического роста (характеризуется параметром ). Иными словами, чем ниже исходный технологический уровень системы, тем большим является период времени [0, Т * ] , для которого реальное инвестирование в инновации не будет оптимальным путем экономического развития (т.е. проявление позитивных результатов такого инвестирования требует времени большего Т * ). И наоборот, чем более кардинальными являются инновации и имеется больший объем ресурсов для их реализации, тем меньшим будет указанный период [0, Т * ] . . 56 9. МОДЕЛИ ОПТИМАЛЬНОГО ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА С УЧЕТОМ АВТОНОМНОГО И ИНДУЦИРОВАННОГО НТП Рассмотрим модели оптимального экономического роста с учетом влияния различных форм научно-технического прогресса, основой которых является модель Харрода-Домара. Для случая автономного НТП, использую экономико-математическую модель (8.1), (8.2) предыдущего раздела, сформулируем следующую задачу определения траекторий динамики дохода y (t ) и его составляющих u (t ) и c (t ) , доставляющих максимум величине суммарного непроизводственного потребления на интервале времени [0, T ] T ( y(t ) u(t ))dt max , (9.1) 0 dy 1 kt e u (t ) , dt B0 (9.2) 0 u (t ) y (t ) . (9.3) Оптимизационная модель (9.1) – (93) представляет собой постановку задачи оптимального управления, в которой управляющим параметром является величина производственного накопления (инвестиций в развитие производство) u (t ) , а фазовой координатой объем дохода y (t ) . Функция Гамильтона H ( y, u, p, t ) для данной задачи имеет вид H ( y, u, p, t ) y (t ) u (t ) p(t ) 1 kt e u (t ) , B0 (9.4) где p (t ) - сопряженная переменная. Можно показать, что для рассматриваемой задачи p(t ) T t . Тогда функция Гамильтона приобретает вид H ( y, u , p, t ) y (t ) [(T t ) 1 kt e 1]u (t ) . B0 (9.5) Если u * (t ) оптимальное управление, то тогда согласно принципу максимума теории оптимального управления в каждый момент времени t оно доставляет максимум функции H ( y, u, p, t ) . Соответственно, из (9.5) с учетом ограничения (9.3) получаем выражения для u * (t ) y (t ), если (T t )e kt B0 u * (t ) . 0, если (T t )e kt B0 (9.6) Анализ (9.6) показал, что в зависимости от соотношения значений параметров k, T и B0 возможны несколько видов оптимального решения задачи (9.1) – (9.3), однако в качестве принципиально различных можно выделить следующие. 57 Если для указанных параметров выполняются неравенства k 1 1 kT 1 , B0 e , T k (9.7) то оптимальные траектории производственного накопления u * (t ) и непроизводственного потребления c * (t ) имеют вид, представленный на графиках рис. 9.1 ( y 0 величина дохода в начальный момент времени). T T T t Рис. 9.1. Оптимальные траектории и t при условиях (9.7) Для случая, определяемого соотношениями k 1 1 kT 1 , B0 e , B0 T T k (9.8) оптимальное решение рассматриваемой задачи отображается графиками рис. 9.2, где t1c и t 2c соответствующие точки переключения, величина Y c определяется в рамках анализа модели. Согласно полученному оптимальному решению весь доход, имеющийся на начальный момент времени и сформировавшийся к некоторому моменту t 2c , направляется соответственно при 0 t t1c и t2c t T на непроизводственное потребление, производственное накопление осуществляется на интервале времени t1c t t2c . T t Рис. 9.2. Оптимальные траектории T и t при условиях (9.8) 58 При значениях параметров k , T , B0 , для которых справедливы неравенства k 1 1 kT 1 , B0 e , B0 T , T k (9.9) решением задачи (9.1) – (9.3) являются оптимальные траектории u * (t ) и представленные на графиках рис. 5, где точка переключения t 2d определяются в результате исследования рассматриваемой модели. T Рис. 9.3. Оптимальные траектории и величина Y d T T t и c * (t ) , t при условиях (9.9) Проведенный анализ совокупности решений задачи максимизации суммарного непроизводственного потребления (9.1) – (9.3) показал, что оптимальное управления динамикой дохода u * (t ) обладает следующими свойствами: - повышение интенсивности НТП стимулирует стратегию достижения максимального суммарного непроизводственного потребления за счет активизации процессов использования дохода на производственное накопление; - рост продолжительности планового периода T , также приводит к увеличению (в абсолютном и относительном измерении) интервала времени, для которого оптимальным является использование всего дохода на производственное накопление; - увеличение исходной капиталоемкости прироста дохода B0 является сдерживающим фактор производственного накопления, его рост инициирует развитие “стратегии проедания”, вплоть до использования на цели непроизводственного потребления всей массы продуцируемого дохода в течение всего рассматриваемого периода времени. Для представления индуцированного научно-технического прогресса в моделях оптимального экономического роста за основу может быть взята модель экономической динамики Харрода-Домара в виде (8.12). Используя данное дифференциальное уравнение по аналогии с задачей (9.1) – (9.3) можно записать следующую модель оптимального экономического роста с учетом индуцированного НТП T ( y(t ) u(t ) q)dt max , (9.10) 0 59 dy qt 1 u (t ), dt B0 0 u (t ) y (t ) q, (9.11) (9.12) Модель (9.10) – (9.12) является задачей оптимального управления, в которой, как и в модели (9.1) – (9.3), величина инвестиций в развитие производство (производственное накопление) u (t ) - управляющий параметр, объем дохода y (t ) - фазовая координата, а целевой функционал, учитывая, что C (t ) y (t ) u (t ) q , определяет суммарное непроизводственное потребление за анализируемый период [0, T ] . Для модели (9.10) – (9.12), используя принцип максимума, могут быть найдены u * (t ) , c * (t ) и y * (t ) , отвечающие оптимальным траекториям производственного накопления, непроизводственного потребления и продуцируемого дохода соответственно. Далее может рассматриваться задача анализа влияния индуцированного НТП на особенности оптимальной динамики указанных элементов исследуемой экономической системы. С этой целью в качестве обобщенного показателя инновационной деятельности целесообразно использовать величину z q , составляющими которой являются параметры реализации индуцированного научно-технического прогресса и q . 60 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Гранберг А. Г. Моделирование социалистической экономики / А. Г. Гранберг. - М.: Наука, 1988. - 487 с. 2. Диленко В. А. Некоторые подходы к учету и анализу влияния научно-технического прогресса в модели экономического роста Харрода-Домара / В.А. Диленко, Н.А. Гуляева // Проблемы экономики. – 2016. - № 4. – С. 238-243. 3. Диленко В. А. Экономико-математическое моделирование инновационных процессов : монография / В.А. Диленко. – Одесса : Фенікс, 2013. – 348 с. 4. Замков О.О. Математические методы в экономике / О.О. Замков, А.В., Толстопятенко, Ю.В. Черемных. – М.: Дело и сервис, 2001. – 368 с. 5. Плакунов М.К. Производственные функции в экономическом анализе / М.К. Плакунов, Р.Л. Раяцкас. — Вильнюс: Минтис, 1984. — 308 c. 6. Савчук А.В. Теоретические основы анализа инновационных процессов в промышленности: монография / А.В. Савчук. – Донецк: НАН Украины. Ин-т экономики пром-сти, 2003. – 448 с. 61
