Районная математическая олимпиада, Одесса, 197_ г.

Районная математическая олимпиада, Одесса, 197_ г.
6 класс
273  45 55  24 26  34
1. Вычислить значение выражения

 4 .
68
104
6
2. Решите уравнение  x  2 x  5   x  1 x  6
3. Из корзины яиц взяли половину всего количества яиц, потом еще половину остатка,
затем половину нового остатка, и, наконец, половину следуюзего остатка. После этого в
корзине осталось 10 яиц. Сколько яиц было в корзине первоначально?
4. Доказать, что значение выражения 116  146  136 кратно 10.
5. В рукописи 750 страниц. Сколько нужно написать цифр, чтобы пронумеровать все
страницы (каждую цифру считать столько раз, сколько она написана)?
7 класс
11
x3
7x  6
5
 2
 2

.
5 x  5 x  2 x  1 5 x  10 x  5 2  2 x
2. Через точку B проведены четыре прямые так, что (AB)(BD), (BE)  (BC) и проведена
прямая AC, пересекающая данные прямые так, что отрезок AB равен отрезку BC. Прямые
AC и BD пересекаются в точке D, прямые AC и BE пересекаются в точке E. Докажите, что
треугольники ABE и BCD равны.
3. В данном примере восстановите цифры, обозначенные звездочками, и опишите, как вы
при этом рассуждали.
8
42
--7
3
1. Решить уравнение

-----0
4. Из спичек составили пример VI – IV = XI. Переложите только одну спичку, чтобы
решение стало верным.
x4  x2  2x 1
5. Сократите дробь
.
x 4  3x 2  1
8 класс
1. Найдите последнюю цифру числа 307894238  299477238 .
2. Ряд нечетных чисел разбивается на группы так, что n-я группа содержит n чисел:
(1); (3;5); (7;9;11); (13;15;17;19); (21; …); …
Найти сумму чисел в n-й группе.
3. Медиана и высота, проведенные из вершины прямого угла треугольника, вместе с
отрезком гипотенузы образуют новый треугольник, площадь которого равна 2/5 площади
исходного треугольника. Найти отношение катетов исходного треугольника.
4. Решить уравнение в целых положительных числах x 2  y 2  105 .
5. Постройте график функции, заданной формулой y  x  4 x  4  x  4 x  4 при
x   4;8 .
9 класс
1. Что больше – 199! или 100199 ?
2. Найти сумму 1  11  111   11 1 .
n
3. Доказать, что если a  b  c  5 , то a  b  c  4 .
4. Ряд нечетных чисел разбивается на группы так, что n-я группа содержит n чисел:
(1); (3;5); (7;9;11); (13;15;17;19); (21; …); …
Найти сумму чисел в n-й группе.
5. В окружности радиуса R проведены две взаимно перпендикулярные равные хорды MN
и PQ. Найти длину MP, если NQ=a.
2
2
2
10 класс
1. Вычислите бесконечное произведение 2  4 4  8 8   2 2n 
2. Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с его ребрами углы  ,  ,  .
n
cos 2   cos 2   cos 2 
.
x 2 sin 2   sin 2   sin 2 
3. Ряд нечетных чисел разбивается на группы так, что n-я группа содержит n чисел:
(1); (3;5); (7;9;11); (13;15;17;19); (21; …); … Найти сумму чисел в n-й группе.
4. Что больше – 199! или 100199 ?
5. Решите уравнение 1  3sin x  sin 4 x  3sin 3 x .
Решите уравнение sin

