Решения для 11 класса: Задача № 1 H = 3,4 м

Решения для 11 класса:
Задача № 1
Маленький шарик падает с высоты H = 3,4 м и
попадает
в
вертикально
расположенный
эллиптический
желоб,
представленный
на
рисунке, форма которого описывается уравнением
. Определите высоту h, на которой шарик
оторвётся от желоба. (Эллипс – геометрическое
место точек, описываемое уравнением
,
где a и b – большая и малая полуоси эллипса соответственно).
Решение:
Условие отрыва шарика от желоба: сила реакции опоры становится равной
нулю, а проекция силы тяжести на направление оси Z, совпадающей с
направлением радиусаR кривизны эллипса в точке отрыва, становится равной
центростремительной силе:
,
откуда:
.
Запишем закон сохранения механической энергии:
,
(1)
(2)
где y – искомая высота отрыва h.
Из уравнений (1) и (2) имеем:
(3)
Из соображений симметрии задачи (перпендикуляр к касательной,
проведённой к эллипсу в точке, симметричной точкеА относительно оси Y,
пересечёт эту ось в точке В) очевидно, что отрезок АВ является радиусом
кривизны эллипса в точке А. Поэтому можно записать:
(4)
Из уравнений (3) и (4) получим:
(5)
Для определения
воспользуемся геометрическим смыслом производной
и условием перпендикулярности прямой 1 и оси Z.
Из канонического уравнения эллипса выразим yкак функцию x в первой
координатной четверти:
(6)
Производная от уравнения (6) есть угловой коэффициент прямой 1:
(7)
Из условия перпендикулярности прямой 1 и оси Z получим:
(8)
Приравняв (5) и (8) получим:
Откуда с учётом (6) найдём искомуюh:
Баллы
10
8-9
6-7
4-5
1-3
0
Правильность (ошибочность) решения
Полное верное решение
Верное решение. Имеются ошибки в окончательном расчёте.
Решение в целом верное, однако, содержит существенные
ошибки в математических преобразованиях формул.
Есть понимание физики явления, но не найдено уравнение
для определения угла, в результате полученная система
уравнений не полна и невозможно найти решение.
Есть отдельные уравнения, относящиеся к сути задачи при
отсутствии решения (или при ошибочном решении).
Решение неверное, или отсутствует.
Задача № 2
В парной бане относительная влажность воздуха составляла φ1 = 50 % при
температуре t1 = 100 oC. После того, как температура воздуха уменьшилась до
t2 = 97 оС и пар «осел», относительная влажность воздуха стала φ2 = 45 %. Какая
масса воды выделилась из влажного воздуха парной, если её объём V = 30 м3?
Известно, что при температуре t2 давление насыщенного пара на 80 мм рт. ст.
меньше, чем при t1.
Решение:
Известно, что давление насыщенного пара при t1 = 100 oCсоставляет
рн1 = 760 мм рт. ст. = 105 Па. Тогда при t2 = 97 oC давление насыщенного пара
будет равно рн2 = 680 мм рт. ст. = 0,89·105 Па.
По уравнению состояния, массы пара в парной равны соответственно
,
μ = 18·10-3 кг/моль – молярная масса пара.
Значит, из влажного воздуха сконденсировалась масса воды:
Баллы
Правильность (ошибочность) решения
6
Полное верное решение
5
Верное решение. Имеются ошибки в окончательном расчёте.
Решение в целом верное, однако, содержит существенные
4
ошибки в математических преобразованиях формул.
Есть понимание физики явления, но либо не найдено одно из
необходимых для решения уравнений, либо не использованы
2-3
известные характеристики насыщенного водяного пара, в
результате полученная система уравнений не полна и
невозможно найти решение.
Есть отдельные уравнения, относящиеся к сути задачи при
1
отсутствии решения (или при ошибочном решении).
0
Решение неверное, или отсутствует.
Задача № 3
Верхние концы двух одинаковых невесомых нитей закреплены в одной точке, а на
нижних концах привязаны два одинаковых маленьких шарика, несущих
одинаковые заряды. Расстояние между шариками значительно меньше длины
нитей. Как изменится сила кулоновского отталкивания между шариками, если всё
пространство вокруг них заполнить непроводящей жидкостью диэлектрической
проницаемостью ε?
Решение:
Запишем закон Кулона для первой и второй ситуаций:
,
откуда получим расстояния между шариками:
.
(1)
Уравнение равновесия шариков в вакууме в проекциях на горизонтальную и
вертикальную оси соответственно имеет вид:
,
откуда имеем:
(2)
Аналогично для шариков в жидкости:
(3)
Из уравнений (2) и (3) получим:
(4)
(Учтено, что вертикальные проекции длины нити примерно равны).
Тогда уравнение (4) с учётом (1) примет вид:
,
откуда получим:
,
т.е. сила кулоновского отталкивания шариков уменьшится в
раз.
Баллы
Правильность (ошибочность) решения
8
Полное верное решение
Верное решение. Имеются небольшие недочёты в
6-7
математических преобразованиях формул.
Решение в целом верное, однако, содержит существенные
4
ошибки в математических преобразованиях.
Есть понимание физики явления, но либо не найдено одно из
2
необходимых для решения уравнений, либо неверно
применено одно или из необходимых уравнений.
Есть отдельные уравнения, относящиеся к сути задачи при
1
отсутствии решения (или при ошибочном решении).
0
Решение неверное, или отсутствует.
Задача № 4
Резисторы сопротивлениями R1 = R2 = 1 Ом и R3=2 Ом и
конденсаторы ёмкостью С1=2 нФ и С2=3нФ включены в
цепь с ЭДС ε =10 В, внутренним сопротивлением
которого можно пренебречь. Определите заряды,
установившиеся на конденсаторах.
Решение:
Из определения ёмкости конденсатора заряды на конденсаторах равны:
Ответ: 15нКл, 22,5нКл.
Баллы
6
5
Правильность (ошибочность) решения
Полное верное решение
Верное решение. Имеются небольшие ошибки в
окончательном расчёте.
Решение в целом верное, однако, содержит ошибки в
математических преобразованиях.
Есть понимание физики явления, но не найдено одно из
необходимых для решения уравнений, в результате
полученная система уравнений не полна и невозможно найти
решение.
Есть отдельные уравнения, относящиеся к сути задачи при
отсутствии решения (или при ошибочном решении).
Решение неверное, или отсутствует.
4
2-3
1
0
Задача № 5
Оборудование: Деревянный брусок (прямоугольный параллелепипед), нить,
линейка. Определите коэффициент трения бруска по деревянному столу.
а
Решение:
F
A
h
N
mg
Fтр
B
Поставим брусок торцом на горизонтальную поверхность стола. Привяжем нить к
бруску и потянем за неё. Если нить привязать близко к поверхности стола
(расстояние h от него до точки привязи мало), брусок будет скользить. При
определённой высоте y сила натяжения нити F опрокинет брусок. На рисунке
показаны силы, действующие на брусок: сила F, действующая со стороны нити,
сила тяжести mg, сила реакции опоры N и сила трения Fтр. Запишем уравнение
равновесия (правило моментов сил) для данного случая относительно точки
опрокидывания В:
Fh  mg
В данной ситуации:
F  Fтр  0
N  mg  0
a
 0;
2
.
Из этих выражений с учётом того, что Fтр = μN, получим  
Ответ:  
а
.
2h
а
.
2h
Баллы
8
6-7
4-5
2-3
1
0
Правильность (ошибочность) решения
Полное верное решение
Верное решение. Имеются небольшие недочёты в
математических преобразованиях.
Решение в целом верное, однако, содержит ошибки при
применении условий равновесия.
Есть понимание физики явления, но не найдено одно из
необходимых для решения уравнений, в результате
полученная система уравнений не полна и невозможно найти
решение.
Есть отдельные уравнения, относящиеся к сути задачи при
отсутствии решения (или при ошибочном решении).
Решение неверное, или отсутствует.