Материал к ЛР 1 Пусть имеется множество альтернатив X x1, ..., xn , на которых заданы несколько матриц парных сравнений W1 , W2 , , Wm . Если лицо, принимающее решение, затрудняется с определением весовых коэффициентов, то можно составить матрицу парных сравнений на множестве признаков или экспертов. В результате вместо весовых коэффициентов мы имеем матрицу парных сравнений E . В этом случае задача решается следующим образом. Алгоритм решения задачи в случае матрицы парных сравнений на множестве признаков (экспертов) 1. Для каждой матрицы парных сравнений W1, W2 , , Wm мы находим вектор прио w1i wi ритетов 2 . wi n e1 e 2. Для матрицы E также находим вектор приоритетов e 2 . em 3. Общие приоритеты альтернатив находим по формуле 3 w j e1w1j em wmj . Пример. 1 8 E 7 1 2 2 1 1 W4 4 8 5 1 8 1 7 2 1 7 6 1 7 1 6 1 2 4 1 1 1 3 1 3 1 8 1 9 9 1 6 1 5 3 1 5 1 2 1 2 3 3 , W1 4 1 1 5 8 1 1 1 5 1 5 6, W 5 5 8 1 1 2 1 3 1 1 4 1 3 3 1 1 5 1 5 1 5 1 1 8 1 9 9 1 2 1 2 8 1 1 5 , W 6 2 5 8 3 1 6 1 8 1 7 1 7 1 8 1 7 1 1 3 3 8 , W 1 3 4 7 1 1 1 3 1 4 1 9 1 9 1 8 1 3 1 8 , 1 3 1 2 1 2. 2 1 Найдем приоритеты для матрицы E, которые будут выражать ценность мнения каждого эксперта. 1 1 e~1 5 0,447056 , e~2 5 672 3,676833 , e~3 5 9 1,551846 , e~4 5 0,353953 , 56 180 5 e~5 5 1,107566 . 3 ~ e ~ e1 ~ e2 ~ e3 ~ e4 ~ e5 7,137254 . e~ e~ e~ e~ e1 ~1 0,062637 , e2 ~2 0,515161 , e3 ~3 0,217429 , e4 ~4 0,049592 , e e e e e~ e5 ~5 0,155181 . e Найдем приоритеты для матрицы W1 . ~1 4 2 0,903602 , w ~1 1,495349 , w ~1 2,783158 , w ~1 0,265915 . w 2 3 4 1 3 ~1 w ~1 w ~1 w ~1 w ~1 5,448024 . w 1 2 3 4 4 w11 ~1 w 11 0,165859 , w12 0,274475 , w13 0,510856 , w14 0,048809 . ~ w Найдем приоритеты для матрицы W2 . ~ 2 4 1 0,707107 , w ~ 2 1,747870 , w ~ 2 0,635658 , w ~ 2 1,272865 . w 2 3 4 1 4 ~2 w ~2 w ~2 w ~2 w ~ 2 4,3635 . w 1 2 3 4 w12 ~2 w 12 0,162050 , w22 0,400566 , w32 0,145676 , w42 0,291707 . ~ w Найдем приоритеты для матрицы W3 . ~ 3 4 1 0,537285 , w ~3 3,833658 , w ~3 0,620403 , w ~3 0,782542 . w 2 3 4 1 12 ~3 w ~3 w ~3 w ~3 w ~3 5,773888 . w 1 2 3 4 w13 ~3 w 1 0,093054 , w23 0,663965 , w33 0,107450 , w43 0,135531 . 3 ~ w Найдем приоритеты для матрицы W4 . ~ 4 4 1 0,562341, w ~ 4 1,565084 . ~ 4 0,260847 , w ~ 4 4,355877 , w w 4 1 2 3 10 ~4 w ~4 w ~4 w ~4 w ~ 4 6,744149 . w 1 2 3 4 w14 ~4 w 14 0,083382 , w24 0,038677 , w34 0,645875 , w44 0,232065 . ~ w Найдем приоритеты для матрицы W5 . ~ 5 4 1 0,472871 , w ~5 0,725979 , w ~5 3,464102 , w ~5 0,840896 . w 2 3 4 1 20 ~5 w ~5 w ~5 w ~5 w ~ 5 5,503848 . w 1 2 3 4 w15 ~5 w 15 0,085916 , w25 0,131904 , w35 0,629396 , w45 0,152783 . ~ w Найдем теперь окончательные приоритеты альтернатив. w1 e1w11 e2 w12 e3w13 e4 w14 e5w15 0,131, w2 0,390 , w3 0,260 , w4 0,218 . Ответ: оптимальная альтернатива x2 , w2 0,390 . 5 Примечание. В ЛР 1 используются большее число экспертов и альтернатив. Материал к ЛР 3 Рассмотрим множество альтернатив X x1 , x1 ,..., xn , на котором задано несколько нечетких отношений предпочтения R1, R2 , ..., Rm . Для каждого нечеткого отношения предпочтения Ri задан весовой коэффициент i , i 1, 2, ..., m , для которых выполнены условия i 0 и 1 2 ... m 1 . Отношение весовых коэффициентов i показываj ет, во сколько раз мнение i-го эксперта важнее мнения j-го эксперта. Ставится задача: определить оптимальные альтернативы с учетом всех нечетких отношений предпочтения и их важности. Рассматривается следующий алгоритм решения этой задачи. 1. Строим нечеткое отношение предпочтения Q1 R1 R2 ... Rm , Q1 ( xi , x j ) min( R1 ( xi , x j ),...,Rm ( xi , x j )) . 2. Находим нечеткое отношение строгого предпочтения Q1S Q1 \ Q1* . 3. Находим степени недоминируемости альтернатив по нечеткому отношению предпочтения Q1 : н.д., Q1 ( xi ) 1 max QS1 ( x j , xi ) . j 1,2,...,n 4. Строим нечеткое отношение предпочтения Q2 1R1 2 R2 ... m Rm , при этом Q2 ( xi , x j ) 1R1 ( xi , x j ) ... m Rm ( xi , x j ) . 5. Находим нечеткое отношение строгого предпочтения Q2S Q2 \ Q2* . 6. Находим степени недоминируемости альтернатив по нечеткому отношению предпочтения Q2 : н.д., Q2 ( xi ) 1 max QS 2 ( x j , xi ) . j 1,2,...,n 7. Находим общие степени недоминируемости альтернатив по формуле н.д. ( xi ) min( н.д., Q1 ( xi ), н.д., Q2 ( xi )) . Оптимальные альтернативы те, у которых н.д. ( xi ) максимально. 6 Рассмотрим пример. Пример. R1 x1 x2 x4 R2 x1 x2 x4 R3 x1 x2 x1 1 0,3 0,7 0,2 x1 1 0,3 0,5 0,2 x1 1 0,8 0,2 0,7 x2 0,4 x3 1 0,8 0 1 0,9 x3 0,6 0,1 x2 0,9 x3 1 x3 1 0,8 0,1 0,2 1 x2 0,4 1 1 0,7 0 1 x4 0,4 0,5 0,4 1 x4 0,6 0,8 R4 x1 x2 x4 R5 x1 x2 x4 1 0,2; x1 1 0,1 0,4 0,8 x1 1 0,9 0,2 0,6 2 0,3; x2 0,7 1 0,6 0,3 x3 1 0,2 1 x4 0 0,7 0,4 x2 0,1 0,5 1 0,7 0,3 x3 0,8 0,4 1 1 x4 0,2 0,7 0,4 0,9 0,5 x3 0,3 0,2 1 x3 3 0,1; 0,5 4 0,1; 1 5 0,3. Составим нечеткое отношение предпочтения Q1 и запишем для него Q1* . Q1 x1 x2 x1 1 0,1 0,2 0,2 x2 0,1 x3 Q1* x1 x1 x2 x3 x4 1 0,1 0,3 0 0,6 0 x2 0,1 x3 0,3 0,1 1 0,5 x3 0,2 0,6 0 0 1 x4 0,2 x4 1 x4 0,5 1 0 0,1 0,5 1 0 0,5 1 Найдем нечеткое отношение строгого предпочтения Q1s . Q1s x1 x1 x2 x3 x4 0 0 0 0,2 x2 0 0 0,5 0 x3 0,1 0 0 0,5 x4 0 0,5 0 0 max 0,1 0,5 0,5 0,5 н.д. Q ( x) 0,9 0,5 0,5 0,5 1 7 x4 0,6 x4 0,5 0,8 0,3 x3 x3 Составим нечеткое отношение предпочтения Q2 и запишем для него Q2* . Q2 x1 x1 1 x2 0,49 x2 x4 0,51 0,41 0,43 1 x3 0,79 0,24 x4 x3 Q2* x1 x1 0,51 1 x2 0,2 x2 1 0,63 x3 0,41 0,76 1 x4 0,43 x4 0,49 0,79 0,34 0,76 0,34 0,67 0,34 x3 1 0,2 0,24 0,67 1 0,34 0,63 1 Найдем нечеткое отношение строгого предпочтения Q2s . Q2s x1 x1 x2 x3 x4 0 0,02 0 0,09 x2 0 0 0,52 0 x3 0,38 0 0 0,29 x4 0 0,47 0 0 max 0,38 0,47 0,52 0,29 н.д. Q2 ( x ) 0,62 0,53 0,48 0,71 Найдем теперь степени недоминируемости альтернатив. x1 x2 x3 x4 н.д. Q ( x) 0,9 0,5 0,5 0,5 1 н.д. Q ( x) 0,62 0,53 0,48 0,71 2 н.д. ( x) 0,62 0,5 0,48 0,5 Ответ: оптимальная альтернатива x1 , н.д. ( x1 ) 0,62 . Примечание. В ЛР 3 используются большее число экспертов и альтернатив. Материал к ЛР 4 Если экспертов несколько, то есть простой способ проверки согласованности экспертов – с помощью коэффициента конкордации, который был предложен Кендаллом. 8 Коэффициент конкордации может быть вычислен по формуле R 12 S , где S – m 2 (n 3 n) сумма квадратов отклонений суммы рангов альтернатив от среднего значения, m – число экспертов, n – число альтернатив. Поскольку ранги альтернатив у каждого эксперта принимают значения от 1 до n, поэтому средняя сумма рангов равна 1 n m . Приведенная 2 формула применяется обычно при отсутствии связанных (одинаковых) рангов, но может применяться и при наличии таковых. Заметим, что чаще коэффициент конкордации обозначают буквой W, но поскольку этим обозначением также обычно пользуются для обозначения матрицы парных сравнений, будем здесь обозначать его буквой R. Пример. x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 e1 1 2,5 2,5 6 4 5 8 7 e2 1 2 3 4 5,5 5,5 7 8 e3 1 2 3 4 5,5 7,5 5,5 7,5 e4 1 2,5 2,5 4 7 6 5 8 e5 1 2 3,5 3,5 5 6 7 8 e6 1,5 1,5 3,5 7,5 5 6 7,5 3,5 e7 1,5 1,5 3,5 5,5 3,5 7 5,5 8 8 14 21,5 34,5 35,5 43 45,5 50 10 3 4 11,5 14 18,5 Сумма рангов Отклонение от средней суммы 23,5 17,5 S 23,52 17,52 102 32 42 11,52 142 18,52 1654 . R 12 1654 0,804 . 72 (83 8) Ответ: R 0,804 . 9 Наряду с формулой, для вычисления коэффициента конкордации R 12 S расm 2 (n 3 n) сматривается и другая формула для его вычисления, которая применяется обычно в случае связанных рангов: R 12 S S , где T s 3j s j и s j число одинаковых 1 2 3 1 m (n n ) mT j m (n n ) mT 12 12 2 3 (связанных) рангов в оценках j-го эксперта. Выражение T является поправкой на одинаковые ранги. Например, если у эксперта вместо рангов 2 и 3 используются средние ранги 2,5 и 2,5, тогда сумма квадратов рангов будет меньше на 2 2 32 2,52 2,52 0,5 гов, например 3, 4 и 5, сумма 32 4 2 52 4 2 4 2 4 2 34 32 2 1 3 (2 2) . В случае трех одинаковых ран12 квадратов рангов 4, 4, 4 меньше на 1 3 (3 3) . 12 Пример 2. Рассмотрим предыдущий пример. Вычислим сначала T 12 (23 2) 72 . Тогда получим R 12 1654 0,820. 7 2 (83 8) 7 72 Примечание. В ЛР 4 для вычисления коэффициентов конкордации надо использовать формулу для связанных рангов (пример 2). 10
