Загрузил Sergey Golubitsky

2 Конфигурации с окружностью или кривой

Реклама
1
Игорю Федоровичу Шарыгину,
известному любителю геометрии
посвящаю
Углублённая геометрия (планиметрия)
2. Конфигурации с окружностью или кривой
Интерактивный тематический комплект создан для тех, кто заинтересовался чистой и светлой
наукой геометрией, кому не хватает школьного материала, кто готовится к олимпиадам и
вступительным экзаменам в МГУ, МФТИ, СПбГУ или вузы близкого уровня. Учитель может
использовать комплект на уроках в школе, в кабинете с интерактивной доской либо с мультимедиа
проектором, в компьютерном классе. Ученик с его помощью может самостоятельно изучить тему,
подготовиться к олимпиадам, экзаменам в вуз, конкурсам.
В этом разделе рассмотрены окружности и кривые и их свойства, а также конфигурации,
содержащие кривые. Решения даны в текстовой форме и в виде интерактивных GInMA файлов с
пошаговым решением задачи, интерактивной графикой. Особенность комплекта состоит в том, что
щелкнув по рисунку из текста, Вы попадаете в живой чертеж. Изучайте геометрию наглядно,
образно, в движении, понимая суть происходящего, а не просто заучивая формулы и теоремы.
Чтобы рисунки из комплекта ожили, установите на Вашем компьютере программу GInMA c
сайта http://deoma−cmd.ru/Products/Geometry/GInMA.aspx
Бесплатная базовая версия комплекта позволяет ознакомиться с большинством файлов.
Чтобы научиться управлять рисунком, пользуйтесь Руководством для пользователя комплекта
Смотрите видео Как преобразовать рисунки из текста в интерактивные рисунки
Видео некоторых решений смотрите на Youtube, канал пользователя Vladimir Shelomovskii
Посмотрите пример методики применения комплекта Построение сечения в GInMA
Оглавление
1 Окружность и прямые............................................................................................................................13
1.1 Определения и основы....................................................................................................................13
1.1.1 Центральный угол...................................................................................................................13
1.1.2 Вписанный угол.......................................................................................................................14
1.1.3 Угол с вершиной внутри круга...............................................................................................14
1.1.4 Угол с вершиной вне круга.....................................................................................................15
1.1.5 Угол с между касательной и хордой......................................................................................15
1.1.6 Угол, опирающийся на диаметр.............................................................................................16
1.1.7 Диаметр, проходящий через середину хорды.......................................................................16
1.1.7.a Теорема о диаметре и хорде............................................................................................16
1.1.8 Теорема о диаметре и хорде...................................................................................................17
1.1.9 Касательные.............................................................................................................................17
1.1.10 Касательная и секущая..........................................................................................................18
1.1.11 Пересекающиеся хорды........................................................................................................18
1.1.12 Построение хорды.................................................................................................................18
1.2 Доказательства.................................................................................................................................19
1.2.1 Расстояния до касательной.....................................................................................................19
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
2
1.2.2 Отрезки прямой, соединяющей основания высот................................................................19
1.2.3 Пропорции для касательных..................................................................................................20
1.2.4 Окружность через центр окружности....................................................................................20
2 Окружность и треугольник....................................................................................................................21
2.1 Принятые обозначения...................................................................................................................21
2.2 Основные соотношения..................................................................................................................21
2.2.1 Теорема синусов для треугольника........................................................................................21
2.2.2 Формулы проекций для треугольника...................................................................................21
2.2.3 Теорема косинусов для треугольника....................................................................................21
2.2.4 Площадь треугольника............................................................................................................21
2.2.5 Теорема Карно.........................................................................................................................21
2.2.6 Соотношения в треугольнике.................................................................................................22
2.2.7 Высоты и ортоцентр................................................................................................................22
2.2.8 Двойственность........................................................................................................................23
2.2.9 Медианы и центроид M (G)....................................................................................................24
2.2.10 Симедианы.............................................................................................................................24
2.2.11 Описанная вокруг треугольника окружность.....................................................................24
2.2.12 Биссектрисы и вписанная окружность................................................................................25
2.2.13 Вневписанные окружности...................................................................................................26
2.2.14 Прямоугольный треугольник................................................................................................27
2.2.15 Треугольник с углом 60°.......................................................................................................28
2.2.15.a Положение центров........................................................................................................28
2.2.15.b Положение центров.......................................................................................................28
2.2.15.c Сумма отрезков...............................................................................................................28
2.2.15.d Биссектрисы...................................................................................................................28
2.2.15.e Описанные окружности.................................................................................................29
2.2.15.f Срединные перпендикуляры.........................................................................................29
2.2.15.g Точка Ферма–Торричелли.............................................................................................29
2.2.15.h Окружности пересекаются под углом 60°...................................................................30
2.2.16 Треугольник с углом 120°.....................................................................................................31
2.2.16.a Углы между биссектрисами..........................................................................................31
2.2.16.b Симметрия......................................................................................................................31
2.2.16.c Производный треугольник............................................................................................31
2.2.17 Биссектрисы и угол...............................................................................................................32
2.2.18 Пара вписанных окружностей..............................................................................................33
2.2.19 Важное свойство биссектрисы.............................................................................................33
2.2.20 Дуализм биссектрис и высот вписанного треугольника....................................................34
2.2.20.a Дуализм высот и биссектрис вписанного треугольника............................................34
2.2.20.b Углы и биссектрисы.......................................................................................................34
2.2.21 Касательная к описанной окружности в вершине треугольника......................................35
2.2.22 Теорема Паскаля для треугольника. Прямая Паскаля........................................................35
2.2.23 Окружность, содержащая центр вписанной окружности..................................................36
2.2.23.a Окружность, содержащая центр вписанной окружности..........................................36
2.2.24 Пересекающиеся окружности в треугольнике....................................................................36
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
3
2.2.25 Срединный перпендикуляр...................................................................................................37
3 Окружность и четырёхугольник............................................................................................................38
3.1 Вписанный четырёхугольник.........................................................................................................38
3.1.1 Определение.............................................................................................................................38
3.1.1.a Сумма углов......................................................................................................................38
3.1.1.b Критерий...........................................................................................................................38
3.1.1.c Признак.............................................................................................................................38
3.1.1.d Признак.............................................................................................................................38
3.1.2 Центры дуг вписанного четырёхугольника..........................................................................39
3.1.3 Точки пересечения биссектрис...............................................................................................39
3.1.3.a Точки пересечения биссектрис внешних углов.............................................................39
3.2 Описанный четырёхугольник.........................................................................................................40
3.2.1 Определение.............................................................................................................................40
3.2.1.a Критерий...........................................................................................................................40
3.2.1.b Критерий...........................................................................................................................40
3.2.2 Невыпуклый четырехугольник, ассоциированный с описанным четырехугольником....41
3.2.3 Общие секущие пары окружностей.......................................................................................41
3.2.4 Теорема Ньютона.....................................................................................................................42
3.2.5 Сумма углов.............................................................................................................................42
3.2.6 Расстояния между основаниями перпендикуляров..............................................................43
3.2.6.a Из основания высоты на стороны в треугольнике........................................................43
3.2.6.b Связь с описанной окружностью...................................................................................43
3.2.6.c Из основания высоты на стороны в четырёхугольнике................................................43
3.2.6.d Связь с описанной окружностью...................................................................................43
3.2.7 Полезные свойства..................................................................................................................43
3.2.8 Перпендикулярность диагоналей...........................................................................................44
3.2.9 Отношение расстояний...........................................................................................................44
3.2.9.a Вписанно−описанный четырёхугольник.......................................................................45
3.2.10 Вписанный четырёхугольник и касательные......................................................................46
4 Окружность и многоугольник................................................................................................................47
4.1 Правильный пятиугольник.............................................................................................................47
4.1.1 Золотое отношение..................................................................................................................47
4.1.2 Перпендикулярные диаметры................................................................................................47
4.1.3 Полуправильный шестиугольник..........................................................................................47
5 Несколько окружностей.........................................................................................................................48
5.1 Общая касательная..........................................................................................................................48
5.1.1 Внешняя касательная..............................................................................................................48
5.1.2 Внутренняя касательная..........................................................................................................48
5.1.3 Общая касательная, угол.........................................................................................................48
5.1.3.a Общая касательная касающихся окружностей..............................................................49
5.1.4 Отрезки общих касательных..................................................................................................49
5.1.5 Внутреннее касание.................................................................................................................50
5.1.6 Общая секущая трёх окружностей........................................................................................50
5.1.7 Равные окружности.................................................................................................................51
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
4
5.1.8 Равные окружности ([1], 1.61)................................................................................................51
5.1.9 Разные окружности [1],1.71....................................................................................................52
5.1.10 Разные окружности [1],1.73..................................................................................................52
5.1.11 Множество точек постоянного угла.....................................................................................53
5.1.12 Фиксированная точка............................................................................................................54
5.1.13 Равные хорды.........................................................................................................................54
5.1.14 Построение.............................................................................................................................55
5.1.15 Окружность, вписанная в сегмент.......................................................................................55
5.1.16 Четыре пересекающиеся прямые.........................................................................................56
5.1.17 Теорема о бабочке..................................................................................................................56
5.1.18 Окружности Данделена.........................................................................................................57
6 Степень точки, радикальная ось и центр..............................................................................................58
6.1 Основы.............................................................................................................................................58
6.2 Ортоцентр и радикальная ось........................................................................................................60
6.2.1 Касающиеся окружности........................................................................................................61
6.2.1.a Три попарно касающиеся окружности...........................................................................61
6.2.2 Касающиеся окружности внутри полукруга.........................................................................62
6.2.3 Касающиеся внешним образом окружности........................................................................63
7 Изогональное сопряжение......................................................................................................................64
7.1 Симедианы и точка Лемуана..........................................................................................................64
7.1.1 Симедиана, определение и основные свойства....................................................................64
7.1.2 Точка Лемуана (Гребе), определение.....................................................................................64
7.1.3 Антипараллель и симедиана...................................................................................................65
7.1.4 Антипараллель, симедиана и средняя линия........................................................................65
7.1.5 Антипараллель и перпендикулярные биссектрисы..............................................................66
7.1.6 Антипараллель и описанная окружность..............................................................................67
7.1.7Антипараллель и параллель....................................................................................................67
7.1.8 Касательные в точках пересечения симедианы и описанной окружности........................68
7.1.9 Биссектрисы и симедиана.......................................................................................................68
7.1.10 Окружность концов антипараллелей...................................................................................69
7.1.11Описанная окружность и симедианы...................................................................................69
7.1.12 Точка Лемуана (Гребе), второе определение.......................................................................70
7.1.12.a Свойства..........................................................................................................................70
7.1.13 Окружность Брокара.............................................................................................................70
7.1.14 Точки Аполлония...................................................................................................................71
7.1.15 Прямые, параллельные прямой Эйлера...............................................................................72
7.1.16 Педальные треугольники точек Аполлония........................................................................72
7.1.17 Прямые, содержащие центроид...........................................................................................73
7.1.18 Инверсный правильный треугольник..................................................................................73
7.1.19 Окружность 9 точек (окружность Эйлера, окружность Фейербаха)................................74
7.1.20 Использование свойств окружности Фейербаха................................................................75
7.1.21 Треугольник, разное..............................................................................................................75
7.1.22 Свойства конфигурации Штейнера–Сейфрейда.................................................................76
8 Литература...............................................................................................................................................77
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
5
Окружность и прямые
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
6
Окружность и треугольник
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
7
Окружность и четырёхугольник
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
8
Окружность и многоугольник
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
9
Несколько окружностей
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
10
Радикальная ось и центр
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
11
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
12
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
13
1
Окружность и прямые
1.1
Определения и основы
Окружность – это замкнутая плоская кривая, состоящая из всех точек плоскости, удаленных
от данной точки O, называемой центром окружности, на данное расстояние R.
Круг – это фигура, ограниченная окружностью. Расстояние от любой точки круга до центра
меньше, чем радиус.
Радиус окружности – это любой отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на
окружности (или длина такого отрезка). Радиус принято обозначать буквой R. Радиусом круга
называют радиус соответствующей окружности.
Диаметр окружности – это любой отрезок, соединяющий две точки окружности и
проходящий через центр окружности (или длина такого отрезка). Диаметр принято обозначать
буквой D.
Отрезок, соединяющий произвольные не совпадающие точки окружности, называется
хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром. Хордой круга
называют хорду соответствующей окружности. Диаметром круга называют диаметр
соответствующей окружности.
Дуга окружности – это часть окружности, расположенная между двумя точками окружности.
Сектор круга – это часть круга, расположенная между двумя радиусами соответствующей
окружности.
1.1.1 Центральный угол
Угол с вершиной в центре окружности называется центральным по отношению к этой
окружности. Каждый центральный угол окружности определяет дугу окружности, которая состоит
из точек окружности, принадлежащих этому углу. На рисунке показан центральный угол (синяя
дужка) и соответствующая дуга окружности. Записаны значения угловой меры угла и дуги,
выраженные в градусах. Сравните их величины и установите связь между ними. Нужно ли
доказывать полученное соотношение?
Рис. 1.1. Центральный угол (синяя дужка) и соответствующая дуга окружности.
Равенство значений угловой меры угла и угловой меры дуги следует из определения и не
требует доказательства.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
14
1.1.2 Вписанный угол
Вписанным углом, опирающимся на дугу АВ, называется угол АСВ, вершина C которого
лежит на окружности, но не на дуге АВ. На рисунке показан центральный угол (синяя дужка) и
соответствующая дуга окружности. Записаны значения угловой меры угла и дуги, выраженные в
градусах. Сравните их величины и установите связь между ними. Нужно ли доказывать
полученное соотношение?
Рис. 1.2. Центральный угол, вписанный угол и дуга окружности.
Во всех рассмотренных случаях, вписанный угол вдвое меньше соответствующего центрального,
то есть: 2∠АСВ = ∠AOB. Утверждение, не следующее из определения, требует доказательства.
1.1.3 Угол с вершиной внутри круга
Пусть точка Е расположена внутри круга, причём в этой точке пересекаются хорды BС и AD.
Обозначим дуги α =∪ AB , β =∪CD . Найдите соотношение, связывающее угловые значения
этих дуг и  AED . Нужно ли доказывать полученное соотношение?
Рис. 1.3. Угол с вершиной внутри окружности и дуги окружности, на которые он опирается.
Угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой дуг, одна из которых находится
внутри
этого
угла,
а
другая
–
внутри
угла,
вертикального
к
данному,
α +β
 AEB=
, где α =∪ AB , β =∪CD .
2
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
15
1.1.4 Угол с вершиной вне круга
Пусть точка F расположена внутри круга, причём в этой точке пересекаются секущие BС и
AD. Обозначим дуги α =∪ AB , β =∪CD . Найдите соотношение, связывающее угловые значения
этих дуг и  AFD .
Рис. 1.4. Угол с вершиной вне окружности и дуги окружности, которые он высекает.
Угол с вершиной вне круга каждая из сторон которого пересекает окружность в двух точках,
измеряется
полуразностью
дуг,
заключённых
внутри
этого
угла.
| α −β |
∠ AFB=
, где α =∪ AB , β =∪CD .
2
1.1.5 Угол с между касательной и хордой
Пусть прямая A'B – это касательная к окружности в точке В. Обозначим дугу α =∪ AB .
Найдите соотношение, связывающее угловые значения этой дуги и  A ' BA.
Рис. 1.5. Угол между касательной и хордой.
Угол между касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания,
измеряется половиной дуги, заключённой внутри этого угла  ABA' = α , где α =∪ AB .
2
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
16
1.1.6 Угол, опирающийся на диаметр
Пусть AС – это диаметр окружности, а В – точка этой же окружности, отличная от A и С.
Тогда  ABС =90  . Это утверждение нужно доказать.
Рис. 1.6. Угол, опирающийся на диаметр окружности.
1.1.7 Диаметр, проходящий через середину хорды
Пусть AС – это диаметр окружности, а ВB' – хорда этой же окружности, отличная от AС,
причём диаметр проходит через середину хорды точку М. Тогда диаметр перпендикулярен хорде.
Это утверждение нужно доказать.
Пусть AС – это диаметр окружности, а ВB' – хорда этой же окружности, причём диаметр
перпендикулярен хорде. Тогда диаметр пересекает хорду в её середине.
1.1.7.a Теорема о диаметре и хорде
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.
Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду этой окружности, делит эту хорду
пополам.
Отрезок, соединяющий середину хорды, отличной от диаметра, с центром окружности,
перпендикулярен хорде.
Доказательство:
Рассмотрим хорду АС и отрезок ОВ, как элементы равнобедренного треугольника АОС (АО =
СО). Все утверждения следуют из свойств медианы – высоты ОВ этого треугольника.
Рис. 1.7. Угол между диаметром и хордой.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
17
1.1.8 Теорема о диаметре и хорде
Из концов диаметра АВ на прямую, содержащую хорду CD опущены перпендикуляры AA' и
BB'. Докажите, что A'D = B'C.
Доказательство: Пусть OO' перпендикуляр, опущенный из О на CD.
Тогда O'C = O'D, O'A' = O'B'. A'D = O'D − O'A = O'C − O'B' = B'C. ■
Рис. 1.8. Симметричные хорды
1.1.9 Касательные
Касательной называют прямую, имеющую ровно одну общую точку с окружностью. Точкой
касания называют единственную общую точку касательной и окружности. Через любую точку,
лежащую вне окружности, можно провести к этой окружности ровно две касательные.
Касательной из данной точки называют отрезок, соединяющий данную точку с точкой касания
прямой, проходящей через эту точку, и окружности. Исследуйте связь между отрезками
касательных АВ и АС, проведенных из точки А к окружности.
Рис. 1.8. Касательные к окружности.
Отрезки касательных АВ и АС, проведенных из точки А к окружности, равны между собой.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
18
1.1.10 Касательная и секущая
Секущей называют прямую, имеющую ровно две общие точки с окружностью. Отрезками
секущей называют отрезки от данной точки (А), расположенной вне окружности, до точек
пересечения секущей и окружности. Записаны длины отрезков касательной (АВ) и секущей (АС и
AD). Установите связь между ними.
Рис. 1.9. Касательная к окружности и секущая.
Произведение отрезков секущей АD и АС, проведенных из точки А к окружности, равно
квадрату касательной АВ AB 2=AC⋅AD =OA2−R 2 .
1.1.11 Пересекающиеся хорды
Хордами называют отрезки, концы которых расположены на окружности. Пусть хорды
пересекаются в данной точке (А), расположенной внутри окружности. Записаны длины отрезков
хорд (АВ, АС, AD и AE). Установите связь между ними.
Рис. 1.10. Пересекающиеся хорды окружности.
Произведение отрезков хорд – это постоянная для заданной окружности и заданной точки
величина AB⋅AC = AD⋅AE=R2 −OA2 .
1.1.12 Построение хорды
Дана точка В, расположенная внутри заданной окружности с центром в точке О. Постройте
хорду АС этой окружности, для которой точка В является серединой.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
19
1.2 Доказательства
1.2.1 Расстояния до касательной
Докажите, что расстояние от точки окружности до хорды этой окружности есть среднее
геометрическое расстояний концов хорды до касательной к окружности в этой точке.
Рис. 1.11. Решение в интерактивном файле
1.2.2 Отрезки прямой, соединяющей основания высот
В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты AA1 и BB1. Пусть D и E – проекции А
и В на прямую A1B1. Докажите, что A1E = B1D.
Доказательство. Известно, что ∠ СA1B1 = ∠ СAВ = ∠ A, ∠СB1A1 = ∠ CВА = ∠ В, например,
как углы внутренний и внешний вписанного в полуокружность четырёхугольника АВA1B1.
∠ DB1А = ∠ СB1A1 = ∠В, ∠EA1В = ∠ СА1В1 = ∠ A, как вертикальные.
DB1 AB 1 sin B AB sin A sin B
=
=
=1. ■
EA1 BA 1 sin A BA sin B sin A
Рис. 1.12. Отрезки прямой, соединяющей основания высот
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
20
1.2.3 Пропорции для касательных
AE и BF – касательные к окружности АВС. Докажите, что EG : FG = AE : BF.
1.13. Пропорции для касательных
1.2.4 Окружность через центр окружности
Окружность с центром О вписана в угол, равный α = 60°. Окружность большего радиуса с
центром О' также вписана в этот угол и проходит через точку О. Найдите отношение радиусов r'/r
и длину общей хорды этих окружностей.
Исследование. На интерактивном рисунке построена конфигурация. Управляющие точки О,
А и r. Задайте вершину угла точкой А, окружность точками О и r.
Решение. Построим радиусы OB и O'B' в точки касания и проведём OE||AB, точка Е на
радиусе O'B'. Ищем связь r' и r.
Угол ∠OEO' = 90° по свойству радиуса, проведенного в точку касания.
В прямоугольном треугольнике OEO' известны ∠EОO' = α, ОO' = r', EO' = r' – r.
r ' −r
r
=sin α ⇒r ' =
. Если α = 60°, r' = 2r.
r'
1−sin α
Ищем CD.
В равнобедренном треугольнике OCO' известны OO' = CO' = r', CO = r.
CD = 2CF, где CF высота к боковой стороне.
r2
2
Площадь треугольника COO' СF × OO' = CO × h, где h= r ' −
высота из O'
4
r2
2
2r r ' −
2CO h
4
r2
CD=2 CF =
=
=2 r 1−
=r √ 3+ 2 sin α−sin2 α .
2
OO '
r'
4r '
√
√
√
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
21
2
Окружность и треугольник
2.1
Принятые обозначения
Рассматриваем треугольник ABC со сторонами АВ = c, BC = a, AC = b и углами А, В, С.
Высоты треугольника ha = AA1, hb = BB1, hc = CC1, пересекаются в ортоцентре Н.
Медианы треугольника ma = AA2, mb = BB2, mc = CC2, пересекаются в точке M (G).
Биссектрисы треугольника la = AA3, lb = BB3, lc = CC3, пересекаются в точке I.
p – полупериметр треугольника ABC, 2p = a + b + c. S – площадь треугольника ABC.
Описанная окружность треугольника (O,R) с центром в точке O и радиусом R.
Вписанная окружность треугольника (I,r) с центром в точке I и радиусом r.
2.2
Основные соотношения
2.2.1 Теорема синусов для треугольника
Каждая сторона треугольника равна диаметру описанной около него окружности,
умноженному на синус угла, противолежащего этой стороне
BC
AC
AB
=
=
=2 R.
sin A sin B sin C
2.2.2
Формулы проекций для треугольника
АВ=BC cos B+ AC cos A.
2.2.3
Теорема косинусов для треугольника
⃗ AC
⃗ cos C= BC 2+ AC 2− АВ2 .
АВ =BC + AC −2 BC⋅AC cos C . 2 BC⋅
2
2
2
cos A+ cos B+ cos C +2 cos A cos B cos C =1.
2
2
2
2.2.4
S=
Площадь треугольника
a ha a b sin C
abc
=
= pr=
,
2
2
4R
S = √ p( p−a)( p−b)( p−c) ,
R
R2
S = (a cos A+b cos B+c cos C ) ,
(sin 2 A+sin 2 B+sin 2 C ) ,
2
2
A
A
A
2
2
S = p( p−a) tg ,
S =( p−b)( p−c) ctg ,
4 S tg =a −(b−c ) ,
2
2
2
2
2
c sin A⋅sin B
a sin 2 B+b 2 sin 2 A
2
S=
,
S=
,
S =2 R sin A⋅sin B⋅sin C ,
2
sin C
4
A
B
C
A
B
C
2
S = p tg ⋅tg ⋅tg ,
S =4 R r cos ⋅cos ⋅cos ,
S =R r (sin A+sin B+ sin C) ,
2
2
2
2
2
2
2
A
B
C
p
S 2=a b c p sin ⋅sin ⋅sin ,
S=
,
2
2
2
A
B
C
ctg +ctg + ctg
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
⃗
⃗
⃗
⃗
4 S =CA ⋅CB −( CA⋅CB) ,
16 S =a (b +c −a )+b (a +c −b )+ c (a +b −c ).
S=
2.2.5
Теорема Карно
cos A+ cos B+cos C=1+
r
.
R
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
22
2.2.6
Соотношения в треугольнике
A
A
2
2
2
2
a =(b+ c) −4 S ctg ,
a =(b−c) + 4 S tg .
a 2=b2 +c 2−4 S ctg A ,
2
2
На стороне AB треугольника ABC в одной полуплоскости с ним построен правильный
треугольник ABC1. Тогда 2 CC 21=a 2+ b2 +c 2−4 S √ 3 .
2.2.7 Высоты и ортоцентр
Высоты треугольника ha = AA1, hb = BB1, hc = CC1, пересекаются в ортоцентре Н.
Треугольник A1B1C1, вершинами которого являются основания высот треугольника АВС
называют ортотреугольником АВС.
Теорема. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Она
называется ортоцентром треугольника.
Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон и середин сторон,
лежат на описанной около треугольника окружности.
AH · HA1 = BH · HB1 = CH · HC1 = 4R2|cos A cos B cos C|.
Окружности, описанные около треугольников АВС, ABH, BCH, CAH, равны.
Для непрямоугольного треугольника ABC каждая из четырех точек A, B, C, H является
ортоцентром треугольника, образованного тремя другими точками.
Рис.2.1. Точки, симметричные ортоцентру
Рис.2.2. Окружности АВС, ABH, BCH, CAH
Высота AA1 = BA1 ·tg B = A1C ·tg С. Основание A1 высоты AA1 делит сторону BC в отношении
tg C : tg B, считая от вершины B, то есть BA1 : A1C = tg C : tg B.
CH
cos C
=
.
Ортоцентр треугольника АВС делит высоту в отношении
HC 1 cos A cos B
Прямые A1С1 , Н1Н3 и касательная к описанной окружности в вершине В параллельны.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
23
2.2.8 Двойственность
Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами его ортотреугольникa, то есть
треугольника, вершинами которого являются основания высот. Они пересекаются в центре
вписанной в ортотреугольник окружности.
Подобны треугольники ∆АВС ~ ∆АB1C1 ~ ∆А1BС1 ~ ∆А1B1C. Коэффициент подобия в
соотношении ∆АB1C1 ~ ∆АВС равен АB1 : AB = cos C. A1B1 = AB |cosC|.
Рис.2.3. Биссектриса, радиус, высота
Рис.2.4. Подобные треугольники Рис.2.5. Дуализм О и Н
Расстояние от вершины C до ортоцентра H равно:
2
2
2
2
2
2
2
СН = 2R|cos C| = AB |ctg C|,
a + AH =b + BH =c +CH =4 R .
CH a 2+ b2−c 2
2
2
2
2
2
2 ⃗
2 ⃗
2 ⃗
⃗
=
=2 | cos C | ,
OH + a +b +c =9 R .
a AA
1+ b BB 1+ c CC 1= 0 .
R
ab
⃗ tg B⋅HB
⃗ +tg C⋅HC
⃗ =⃗
2BС3 · АВ = |a² + c² − b²|.
tg A⋅HA+
0.
В остроугольном треугольнике ABC:
AH + BH + CH = 2(R + r),
2(AH · АA1 + BH · ВB1 + CH · СC1) = a2 + b2 + c2.
⃗ 1+ b2 BB
⃗ 1+ c 2 CC
⃗ 1=⃗0 .
AH · HA1 = BH · HB1 = CH · HC1.
a 2 AA
⃗ tg B⋅HB
⃗ +tg C⋅HC
⃗ =⃗
2BС3 · АВ = |a² + c² − b²|.
tg A⋅HA+
0.
В остроугольном треугольнике ABC:
AH + BH + CH = 2(R + r),
2(AH · АA1 + BH · ВB1 + CH · СC1) = a2 + b2 + c2.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
24
2.2.9 Медианы и центроид M (G)
Медианы треугольника ma = AA2, mb = BB2, mc = CC2, пересекаются в точке M (или G),
которую называют центроидом треугольника.
Теорема. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из
них в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.
Характеристическое свойство центроида М треугольника ABC:
⃗ MB
⃗ + MC=0,
⃗
⃗ 2 + BB
⃗ 2 + CC
⃗ 2=⃗0 .
⃗ = ⃗A+ B
⃗ +C
⃗,
AA
M
MA+
Лемма. Для того, чтобы точка Р принадлежала прямой, содержащей медиану AA2
треугольника ABC, необходимо и достаточно, чтобы треугольники AРB и AРC были равновелики и
противоположно ориентированы (то есть если обход вершин АРВ выполняем по часовой стрелке,
то обход вершин АРС выполняем против часовой стрелки).
2
2
2
3
2 a 2+ 2 b2 −c 2
2
2 a + b +c
2
m 2a + m 2b +m 2c = ( a 2 +b2 + c 2),
mc =
,
OM +
=R .
4
4
9
Формула Лейбница. Для произвольной точки Р плоскости
3 PM 2 + MA2 +MB 2 + MC 2 =PA2+ PB2 + PC 2 .
Медиана делит угол при вершине так, что произведение длины стороны и синуса угла между
sin ACC 2 BC
стороной и медианой постоянное: AC sin ACC 2= BC sin BCC 2 ,
=
.
sin BCC 2 AC
2.2.10 Симедианы
Симедиана треугольника симметрична медиане относительно биссектрисы того же угла.
Симедиана делит угол при вершине так, что отношение длины стороны к синусу угла между
стороной и медианой постоянное.
Симедиана содержит центр поворотной гомотетии, переводящей друг в друга стороны
треугольника, выходящие из вершины симедианы.
Симедиана делит сторону треугольника в отношении, равном квадрату отношения
прилежащих сторон.
Симедианы пересекаются в точке Лемуана.
2.2.11 Описанная вокруг треугольника окружность
Срединные перпендикуляры к сторонам треугольника ОA2, ОВ2 и ОС2 пересекаются в одной
точке О, которая равноудалена от трех вершин треугольника и является центром описанной вокруг
треугольника окружности.
⃗ =OA+
⃗ OB+
⃗ OC
⃗ , OH 2= R2 (1−8 cos Acos B cos C ),
OH
⃗
⃗ sin 2 C⋅OC
⃗ =⃗0 .
sin 2 A⋅OA+sin
2 B⋅OA+
2
2
2
OA OB OC
2 R ha = b c,
+
+
=1.
bc a c a b
Пусть точка Р симметрична центру O описанной около треугольника ABC окружности
относительно
прямой
АВ.
Тогда
четырехугольник
СOРH
–
параллелограмм,
2
2
2
2
2
CP =a +b −c + R .
Центр описанной около треугольника окружности является ортоцентром треугольника с
вершинами в серединах сторон данного треугольника.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
25
2.2.12 Биссектрисы и вписанная окружность
Биссектрисы треугольника la = AA3, lb = BB3, lc = CC3, пересекаются в точке I.
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке I, которая равноудалена от трех
сторон треугольника и является центром вписанной в треугольник окружности.
AI b+ c
=
.
Точка пересечения делит биссектрису в отношении
IA3
a
Биссектриса делит пополам угол между радиусом описанной окружности и высотой,
выходящими из одной вершины этого треугольника. Диаметр описанной около треугольника
окружности и его высота, выходящие из одной вершины этого треугольника, симметричны
относительно биссектрисы, выходящей из той же вершины.
Характеристическое свойство центра I треугольника ABC:
⃗ ⃗ ⃗
⃗
⃗ +c IC=0,
⃗
⃗ 3+ b(a+ c) BB
⃗ 3+ c(a+ b) CC
⃗ 3=⃗0 .
⃗I = a A+ b B+c C , a IA+b
IB
a (b+ c) AA
a+ b+c
2
2
2
2
IA · IB · IC = 4Rr2,
CI +4 R r=a b ,
9 I M +16 R r = p + 5 r .
A
cos
a
B
C
2
B
p−b=r ctg ,
=ctg + ctg =
,
r
2
2
B
C
2
sin sin
2
2
C
2 a b cos
4 a b p( p−c)
2
l с=
.
Длина биссектрисы треугольника l с =
,
a +b
(a +b)2
2 p ( p−c )
.
Ортогональная проекция биссектрисы lc = CC3 на сторону CB имеет длину
a+b
Формула Эйлера для расстояния между точками O и I : OI 2=R 2−2 R r .
A
B
C
a2 + b2 + c2 = 2p2 − 2r2 − 8Rr, r =4 R sin ⋅sin ⋅sin .
2
2
2
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
26
2.2.13 Вневписанные окружности
Биссектрисы двух внешних углов треугольника и биссектриса внутреннего угла, не смежного
с этими двумя внешними, пересекаются в одной точке, которая является центром окружности,
касающейся одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон. Такую окружность
называют вневписанной. Всего существует три вневписанные окружности треугольника,
соответствующие трем его сторонам.
Обозначим центр окружности, которая касается стороны а = ВС как I1, а её радиус r1, это
окружность (I1, r1). Аналогично, окружность, которая касается стороны b = AС обозначим (I2, r2),
окружность, которая касается стороны c = AB обозначим (I3, r3). Тогда
Треугольник ABC является ортотреугольником треугольника I1I2I3.
Описанная около треугольника ABC окружность делит пополам каждый из трех отрезков,
соединяющих центр вписанной окружности с центрами вневписанных окружностей.
Две вершины треугольника, центр вписанной окружности и центр вневписанной
окружности, соответствующей третьей вершине, лежат на одной окружности.
2.5. Треугольник ABC является ортотреугольником треугольника I1I2I3.
1 1 1 1
= + + ,
S = r1(p − a) = r2(p − b) = r3(p − c),
4R + r = r1 + r2 + r3 .
r r 1 r2 r3
2 1 1
1 1 1 1 1 1
2
= + ,
+ + = + + ,
r 1 r 2 +r 2 r 3 +r 1 r 3= p .
ha r 2 r 3
ha hb hc r 1 r 2 r 3
⃗
⃗
⃗
⃗ 1= b PB+c PC −a PA .
Для произвольной точки P:
PI
b+c−a
2
Формула Эйлера для вневписанных окружностей OI i =R2 + 2 R r i ,i=1,2,3 .
r1 r2 = p(p − c),
rr1 = (p − b)(p − c),
r1 r2 r3 = pS.
r r1 r2 r3 = S2,
I1I2 = 4Rcos C/2 ,
AI · AI1 = AI2 · AI3.
2
AI · II1 = 4Rr,
r1 + r2 = 4Rcos C,
r + r1 + r2 − r3 = 4Rcos C.
II1 · II2 · II3 = 4rR2,
II1 : II2 : II3 = sin A/2 : sin B/2 : sin C/2.
В треугольник ABC вписана окружность радиуса r. Тогда площадь треугольника с вершинами
в точках касания равна pr2/2R.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
27
Через центр вписанной в треугольник ABC окружности проведена прямая, параллельная AB.
(a +b) c
Отрезок этой прямой, отсекаемый сторонами треугольника, равен
.
a+b +с
Если внутри выпуклого четырехугольника ABCD существует точка Р такая, что треугольники
РAB, РBC, РCD, РDA равновелики, то одна из диагоналей делит другую пополам.
Диаметр описанной около треугольника ABC окружности, проведенный через вершину A,
делит сторону BC в отношении sin 2C : sin 2B, считая от вершины B.
2.2.14 Прямоугольный треугольник
Перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, есть средняя
геометрическая величина отрезков, на которые он делит гипотенузу.
Катет есть средняя геометрическая величина гипотенузы и проекции этого катета на
гипотенузу.
Квадрат отношения произведения биссектрис острых углов прямоугольного треугольника к
произведению радиусов его описанной и вписанной окружностей равен 32.
В прямоугольном треугольнике центр вписанной окружности, середина катета и точка
касания другого катета с вневписанной окружностью лежат на одной прямой.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
28
2.2.15 Треугольник с углом 60°
2.2.15.a Положение центров
Угол А треугольника АВС равен 60°. Тогда центр вписанной окружности равноудален от
центра описанной окружности и ортоцентра IO = IH.
2.2.15.b Положение центров
Угол А треугольника АВС равен 60°. Тогда центр вневписанной окружности, касающейся ВС,
равноудален от центра описанной окружности и ортоцентра I1O = I1H.
2.2.15.c Сумма отрезков
В равнобедренном треугольнике ABC ∠A = ∠B = 40°, AB = c, AA3 – биссектриса. Найдите
сумму AD + CD.
Рис.2.7. ∠A = ∠B = 40°.
2.2.15.d Биссектрисы
Угол А треугольника АВС равен 60°, BB3 и CC3 – биссектрисы. Тогда центр вписанной
окружности равноудален от оснований биссектрис В3 и С3. Точка, симметричная вершине A
относительно прямой B3C3 , лежит на стороне BC.
Рис.2.6. IO = IH, I1O = I1H.
Рис.2.8. Точка, симметричная вершине A
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
29
2.2.15.e Описанные окружности
Описанные окружности треугольников AВВ3 и АСС3 пересекаются в точке, лежащей на
стороне ВC. Тогда угол А равен 60°.
2.2.15.f Срединные перпендикуляры
Угол А треугольника АВС равен 60°. Пусть Р и К – точки пересечения срединных
перпендикуляров к отрезкам ВН и СН со сторонами АВ и АС, соответственно. Тогда точки Н, К, О
и Р лежат на одной прямой.
2.2.15.g Точка Ферма–Торричелли
На сторонах AB, AC треугольника ABC построены наружу равносторонние треугольники ABD
и ACE, соответственно. Прямые CD и BE пересекают стороны AB, AC в точках D' и E'
соответственно и пересекаются в точке F. Известно, что площади треугольника BCF и
четырехугольника AD'FE' равны. Найдите угол BAC.
Размышляем: Площади четырёхугольника и треугольника сравнивать неудобно, поэтому
часто добавляют к обоим фигурам поровну, чтобы перейти к одинаковым фигурам. В данном
случае удобно добавить один из белых треугольников.
Доказательство: Площадь треугольника ACD' больше, чем площадь четырехугольника
AD'FE' на площадь треугольника CE'F.
Площадь треугольника BCE' больше, чем площадь треугольника BCF также на площадь
треугольника CE'F.
S ACD ' S BCE ' AD ' CE '
Значит
=
⇒
=
.
S ABC S ABC
AB
AC
Подобны треугольники ADD' и CЕE' так как равны углы ∠DAD' = ∠ECE' = 60° и
AD ' CE '
=
. Значит, ∠AD'D = ∠CE'E.
пропорциональны содержащие их стороны
AD CE
Четырехугольник AD'FE' вписанный: ∠AE'F + ∠AD'F = ∠CE'E + (180° – ∠AD'D) = 180°.
Известно, что F – точка Ферма–Торричелли, ∠DFE = 120°, значит, ∠ВАС = 60°.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
30
2.2.15.h Окружности пересекаются под углом 60°
Две окружности пересекаются в точках В и D. Хорда АВ первой окружности касается второй
окружности, хорда ВС второй окружности касается первой окружности. Найдите BD, угол ADВ и
площадь треугольника АВС, если угол АВС равен 60°, AD = a, СD = b.
Исследование: На интерактивном рисунке указаны длины отрезков AD, BD и CD. Найдите
связь между ними.
Пользуйтесь активными точками А, В и D. Устанавливайте длины отрезков, близкие к целым.
Результат исследования: Можно заметить, что AD · CD = BD2.
Вывод: Полученное соотношение подсказывает, что треугольники BAD и CBD подобны.
Решение: Угол между касательной АВ к синей окружности и её хордой ВС равен 60°.
Дуга BDC вдвое больше угла АВС и равна 120°.
Вторая дуга ВС дополняет дугу BDC до окружности. Она равна 360° – 120° = 240°.
Угол BDC, опирающийся на дугу ВС, равен 120°.
Аналогично, угол АDВ равен 120°.
Угол АDC в сумме с углами АDВ и ВDС равен полному углу 360°. Он тоже равен 120°.
Угол ∠BAD измеряется половиной дуги BD фиолетовой окружности, как вписанный.
Угол ∠CBD измеряется половиной дуги BD фиолетовой окружности, как угол между
касательной и хордой.
Углы ∠BAD = ∠CBD равны между собой.
Треугольники BAD и CBD подобны по двум углам.
Из пропорции соответственных сторон AD : BD = BD : CD получаем BD2 = AD · CD.
Площадь треугольника со сторонами х и у и углом между ними 120° равна
x y sin 120  √ 3
s=
=
xy.
2
2
Треугольник АВС состоит из трёх треугольников ABD, BCD, ACD с углами 120° и сторонами
√3 (ab +( a+b) √ ab).
a , √ ab , √ ab , b , a , b , соответственно. Его площадь равна
2
Рис.2.9. Окружности пересекаются под углом 60°
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
31
2.2.16 Треугольник с углом 120°
2.2.16.a Углы между биссектрисами
Угол А треугольника АВС равен 120°. Биссектрисы треугольника AA3, BB3, CC3. Тогда угол
B3A3C3 прямой, углы A3C3С и A3В3В равны 30°.
Рис.2.9. Поиск углов
2.2.16.b Симметрия
Угол А треугольника АВС равен 120°. Тогда центр описанной окружности и ортоцентр
симметричны относительно биссектрисы внешнего угла А.
2.2.16.c Производный треугольник
Угол А треугольника АВС равен 120°. Тогда из отрезков длиной a, b, b+c можно составить
треугольник.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
32
2.2.17 Биссектрисы и угол
В треугольнике АВС проведены биссектрисы AA3, BB3, CC3, причём ∠AС3B3 = ∠AA3C.
Найдите угол A3С3В3.
Решение. Пусть D – основание внешней биссектрисы, то есть точка пересечения внешней
биссектрисы угла А AD⊥AA3 и прямой, содержащей противолежащую сторону ВС.
AB3 AB BC 3 BC
DC AC
=
.
По свойствам биссектрис, находим, что
=
,
=
,
BD AB
CB 3 BC AC 3 AC
AB3 BС 3 DC
Точки D, B3 и C3 лежат на одной прямой так как
⋅
⋅
=1 . Это следует из
CB 3 AС 3 BD
теоремы Менелая для треугольника ABC (см. Википедия, Теорема Менелая или Прасолов В.В.,
Задачи по планиметрии, Глава 5, §7, Теорема Менелая).
Четырёхугольник ADLN вписанный так как равны углы ∠AС3B3 = ∠AA3C, опирающихся на
дугу AD.
Углы DAА3 = 90° и DС3А3 опираются на одну дугу, значит они равны и оба прямые.
Рис.2.10. Поиск угла
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
33
2.2.18 Пара вписанных окружностей
Вписанная окружность ω с центром I касается АВ и ВС в точках E и F. J – центр вписанной
окружности Ω треугольника BEF. Докажите, что точка J лежит на окружности ω.
Доказательство. Пусть D точка касания Ω и EF, ∠ IBF = β .
Треугольник ВEF равнобедренный (касательные ВE и ВF равны).
Биссектриса BD является высотой треугольника ВEF.
Точки I и J лежат на биссектрисе угла В, значит, точки B, I, D и J лежат на одной прямой,
перпендикулярной EF.
∠ IBF =∠ IFD= β , как углы с взаимно перпендикулярными сторонами.
Расстояние от J до стороны BF равно JD, значит,
1
IF
1−sin 2 β
BD=JD+ JB=JD(1+
)= BI −ID=
−IF sin β =IF
.
sin β
sin β
sin β
JD
=1−sin β , IJ =ID+ JD= IF sin β + IF (1−sin β )=IF .
Значит,
IF
Рис. 2.11. Пара вписанных окружностей
2.2.19 Важное свойство биссектрисы
Биссектрисы углов А и C треугольника ABC пересекаются в точке I. Биссектриса угла C
вторично пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке C'. Докажите, что
AC' = C'I = BC'.
Рис. 2.12. Три равных отрезка
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
34
2.2.20 Дуализм биссектрис и высот вписанного треугольника
Около треугольника ABC описана окружность ω. Биссектрисы углов A, B, C пересекают ω
соответственно в точках A', B', C'. Докажите, что прямая AA' перпендикулярна B'C'.
2.2.20.a Дуализм высот и биссектрис вписанного треугольника
Прямые AA', BB', CC', содержащие высоты остроугольного треугольника ABC, пересекают
описанную около него окружность в точках A', B', C'. Докажите, что эти прямые содержат
биссектрисы углов треугольника AA', BB', CC'.
Рис. 2.13. Дуализм биссектрис и высот вписанного треугольника
2.2.20.b Углы и биссектрисы
В треугольнике АВС проведены биссектрисы AL, BM и CN, причём ∠ANM = ∠ALC. Найдите
радиус окружности, описанной около треугольника LMN, две стороны которого равны 3 и 4.
Решение.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
35
2.2.21 Касательная к описанной окружности в вершине треугольника
Касательная к окружности, описанной около неравнобедренного треугольника, в его вершине
делит противоположную сторону внешним образом в отношении квадратов прилежащих сторон.
Касательная к окружности, описанной около неравнобедренного треугольника, в его вершине
пересекает продолжение противоположной стороны в середине отрезка, концы которого
совпадают с основаниями биссектрис внутреннего и внешнего углов при этой вершине.
Рис.2.14. Касательная в вершине треугольника
2.2.22 Теорема Паскаля для треугольника. Прямая Паскаля
Касательные в вершинах неравнобедренного треугольника к описанной около него
окружности пересекают прямые, содержащие противоположные стороны этого треугольника, в
трех точках, лежащих на одной прямой.
Рис.2.15. Прямая Паскаля
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
36
2.2.23 Окружность, содержащая центр вписанной окружности
Через две вершины треугольника и центр вписанной в него окружности проведена
окружность. Отрезок касательной, проведенной к этой окружности из третьей вершины, есть
средняя геометрическая величина между сторонами треугольника, сходящимися в этой вершине.
2.2.23.a Окружность, содержащая центр вписанной окружности
Произведение расстояний от вершины треугольника до центра вписанной окружности и до
центра соответствующей этой вершине вневписанной окружности равно произведению сторон
треугольника, сходящихся в этой вершине.
2.2.24 Пересекающиеся окружности в треугольнике
Точки D, E и F расположены на сторонах АВ, АС и ВС треугольника АВС. Докажите, что
окружности ADE, BDF и CEF имеют общую точку.
Доказательство. Пусть Р – точка пересечения окружностей ADE и CEF.
∠ DPE = ∠ DAE = ∠ A, ∠ FPE = ∠ FCE = ∠ C, как углы, опирающиеся на равные дуги для
случая, показанного на рисунке.
∠ DPF + ∠ DBF = ∠ DPE + ∠ FPE + (180° – ∠ A – ∠ C) = 180°, значит, точка Р лежит на
окружности DBF.■
Рис.2.16. Пересекающиеся окружности в треугольнике
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
37
2.2.25 Срединный перпендикуляр
Пусть DEF − это срединный перпендикуляр к стороне АС треугольника АВС, причём D, E и F
лежат на прямых ВС, АВ и АС, соответственно. Докажите, что радиусы окружностей АВС и BDE в
точке В перпендикулярны.
Доказательство: Пусть Н − середина BD. Центр описанной окружности треугольника BDE
точка Q расположена на срединном перпендикуляре, QH⊥BC.
∠BED вписанный, измеряемый половиной дуги BD.
∠BQH равен половине центрального угла и измеряем половиной дуги BD, ∠BQH = ∠BED.
В прямоугольном треугольнике AEF ∠BAC =∠EAF = 90°−∠AEF.
В прямоугольном треугольнике QBH ∠QBH = 90°−∠BQH= 90°−∠AEF.
Значит, ∠QBH = ∠BAC.
Пусть G − середина АВ. Центр описанной окружности треугольника ABC точка O
расположена на срединном перпендикуляре, OG⊥AB.
∠BOG = ∠ACB (∠ACB вписанный, измеряемый половиной дуги BD, ∠BOG − половина
центрального).
∠CBE = ∠BAC + ∠BCA, как внешний для треугольника АВС.
Значит ∠QBE = ∠ACB = ∠BOG.
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике OBG равна 90°.
Значит, ∠QBO = 180°−∠QBE −∠OBG = 180°− 90° = 90°.■
Рис.2.17. Перпендикулярные окружности в треугольнике
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
38
3
Окружность и четырёхугольник
3.1
Вписанный четырёхугольник
3.1.1 Определение
Четырёхугольник называют вписанным, если все его вершины лежат на окружности.
Четырёхугольник называют выпуклым, если все его углы меньше, чем 180  .
3.1.1.a Сумма углов
Пусть точки А, В, С и D расположены на окружности в указанном порядке. В этом случае
получаем четырёхугольник без самопересечения сторон. Такой четырёхугольник называют
простым. Записаны угловые меры углов ВAD и ВСD. Установите связь между ними. Убедитесь,
что сумма противолежащих углов вписанного выпуклого четырёхугольника равна
 BAD+ BAD=180  . Докажите.
3.1.1.b Критерий
Для того, чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и
достаточно, чтобы сумма его противоположных углов была равна 180°.
3.1.1.c Признак
Для того, чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и
достаточно, чтобы серединные перпендикуляры к трем его сторонам пересекались в одной точке.
Рис. 3.1. Вписанный четырёхугольник.
3.1.1.d Признак
Для того, чтобы точки A, B, C, D лежали на одной окружности, необходимо и достаточно,
чтобы углы BAD и BCD (или же углы ABC и ADC) в сумме составляли 180° или же эти углы были
равны.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
39
3.1.2 Центры дуг вписанного четырёхугольника
В окружность вписан четырехугольник ABCD. Точки A', B', C', D' являются соответственно
серединами дуг AD, AB, BC, CD. Докажите, что прямые A'C' и B'D' перпендикулярны.
Заметим, что сумма дуг, на которые опираются вертикальные углы A'ED' и B'EC' равна
половине суммы всех дуг, составляющих окружность.
Рис. 3.2. Свойства середин дуг
3.1.3 Точки пересечения биссектрис
Биссектрисы углов четырёхугольника ABCD попарно пересекаются в точках K, L, M, N.
Докажите, что четырёхугольник KLMN вписанный.
Доказательство: В треугольнике AKD ∠AKD = π − ∠A/2 − ∠D/2, причём ∠LKN = ∠AKD.
Аналогично найдём ∠LMN и получим, что ∠LKN + ∠LMN = 2π − (∠A + ∠B + ∠C + ∠D)/2 = π.
3.1.3.a Точки пересечения биссектрис внешних углов
Биссектрисы внешних углов четырёхугольника ABCD попарно пересекаются в точках K', L',
M', N'. Докажите, что четырёхугольник K'L'M'N' вписанный.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
40
3.2
Описанный четырёхугольник
3.2.1 Определение
Четырёхугольник называют описанным, если все его стороны касаются данной окружности
в своих внутренних точках. Пусть касательные в точках А, В, С и D попарно пересекаются в
точках E, F, G и H причём четырёхугольник EFGH – описанный. Записаны суммы его
противоположных сторон. Установите связь между ними. Проверьте, что суммы противолежащих
сторон описанного четырёхугольника равны между собой EF +GH =EH + FG .
3.2.1.a Критерий
Для того, чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо
и достаточно, чтобы суммы его противоположных сторон были равны.
3.2.1.b Критерий
Для того, чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо
и достаточно, чтобы биссектрисы трех его углов пересекались в одной точке.
Рис.3.3. Описанный четырёхугольник
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
41
3.2.2 Невыпуклый четырехугольник, ассоциированный с описанным четырехугольником
Пусть AC – внешняя диагональ невыпуклого четырехугольника ABCD, причём его
противоположные стороны пересекаются в точках C1 и D1. Для того, чтобы в четырехугольник
BC1DD1 можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из
двух условий:
1) суммы противоположных сторон четырехугольника ABCD равны,
2) AD1 + CD1 = AC1 + CC1.
Рис.3.4. Ассоциированный с описанным четырёхугольник
Известны противолежащие углы
Прямые, содержащие стороны четырехугольника ABCD, касаются некоторой окружности.
Найти её радиус, если AB=a, BC=b, ∠АВС = π/3, ∠АDС = 2π/3.
3.2.3 Общие секущие пары окружностей
Через точки A и B пересечения двух окружностей проведены произвольные секущие DAD' и
CBC' (точки C и D лежат на одной окружности, а C' и D' – на другой). Доказать, что прямые CD и
C'D' параллельны.
Рис.3.5. Общие секущие пары окружностей
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
42
3.2.4 Теорема Ньютона
Доказать, что в описанном четырехугольнике середины диагоналей лежат на одной прямой с
центром его вписанной окружности.
Рис.3.6. Теорема Ньютона
3.2.5 Сумма углов
Докажите, что в описанном четырехугольнике равны суммы углов, под которыми видны из
центра вписанной окружности противоположные стороны.
Доказательство Пусть четырёхугольник EFGH описан вокруг окружности с центром О.
Сумма углов треугольника EFO равна 180°, значит,
∠ EFO +∠ FOE + ∠ OEF =180  , ∠ GHO+ ∠ HOG+ ∠ OGH =180  .
Отрезки EO, FO, GO, HO – биссектрисы углов четырёхугольника EFGH, значит,
E
F
G
H
∠ FEO=∠ , ∠ EFO=∠ , ∠ OGH =∠ , ∠ OHG=∠ . Сумма углов четырёхугольника
2
2
2
2
EFGH равна 360°, сумма половин этих углов равна 180°, значит, ∠ EOF +∠ GOH =180  .
Рис. 3.7. Сумма углов
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
43
3.2.6 Расстояния между основаниями перпендикуляров
3.2.6.a Из основания высоты на стороны в треугольнике
Докажите, что расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных на две стороны
треугольника из основания высоты, проведенной к третьей стороне, не зависит от выбора высоты.
3.2.6.b Связь с описанной окружностью
Докажите, что расстояние между основаниями перпендикуляров, проведенных к двум
S
, S –
сторонам треугольника из основания высоты, опущенной на третью сторону, равно
R
площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.
3.2.6.c Из основания высоты на стороны в четырёхугольнике
Докажите, что расстояние между основаниями перпендикуляров, проведенных из какой–
либо вершины вписанного в окружность четырехугольника к двум его сторонам, не зависит от
выбора вершины.
3.2.6.d Связь с описанной окружностью
Докажите, что расстояние между основаниями перпендикуляров, проведенных из какой–
d1d2
либо вершины вписанного в окружность четырехугольника к двум его сторонам, равно
, d
R
– диагональ четырёхугольника, R – радиус описанной окружности.
Рис. 3.8. Расстояние между основаниями перпендикуляров
3.2.7 Полезные свойства
3.2.7.1. В четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Докажите, что окружности,
вписанные в треугольники ABC и ACD, касаются.
3.2.7.2. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB и AC в точках D и E.
Докажите, что точки пересечения прямой DE с биссектрисами углов B и C лежат на одной
окружности с точками B и C.
3.2.7.3. Биссектрисы углов, образованных противоположными сторонами выпуклого
четырехугольника, перпендикулярны. Докажите, что около этого четырехугольника можно описать
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
44
окружность.
3.2.7.4. В треугольник ABC вписана окружность и к ней проведена касательная, параллельная
стороне AB. Найдите длину отрезка, отсекаемого на этой касательной сторонами треугольника,
если известны длины a, b, c сторон данного треугольника.
3.2.8 Перпендикулярность диагоналей
В четырехугольнике ABCD сумма углов BAC и ACD равна сумме углов BCA и CAD и равна
90°. Докажите, что диагонали четырехугольника перпендикулярны.
(Этот четырёхугольник вписанный)
Диагонали АС и BD вписанного четырёхугольника перпендикулярны и пересекаются в точке
Е. Прямая проходит через Е и перпендикулярна АВ. Докажите, что она делит CD пополам.
Докажите, что прямая, которая делит CD пополам, перпендикулярна АВ.
3.2.9 Отношение расстояний
Докажите, что квадраты расстояний от центра окружности, вписанной в четырехугольник, до
двух его противоположных вершин относятся как произведения сторон, сходящихся в этих
вершинах.
Доказательство. Пусть четырёхугольник ABCD описан вокруг окружности с центром О.
AO 2 AB⋅AD
Требуется доказать, что
=
.
CO 2 BC⋅CD
Пользуемся тем, что в любых треугольниках с вершиной О одинаковая высота из вершины О,
равная радиусу окружности. Заменим отношение произведений сторон отношением произведений
AB⋅R AD⋅R
⋅
S ⋅S
AB⋅AD
2
2
площадей треугольников
=
= ABO ADO .
BC⋅CD BC⋅R CD⋅R S BCO⋅S CDO
⋅
2
2
Вычислим это произведение другим способом.
AO⋅BO sin ∠ AOB AO⋅DO sin ∠ AOD
⋅
S ABO⋅S ADO
2
2
AO 2 sin ∠ AOB⋅sin ∠ AOD
=
=
⋅
.
S BCO⋅S CDO CO⋅BO sin ∠ BOC CO⋅DO sin ∠COD CO 2 sin ∠ BOC⋅sin ∠ DOC
⋅
2
2
Так как ∠ AOB+∠ СOD=180  , то sin ∠ AOB=sin СOD.
Аналогично, sin ∠ AOD=sin BOС .
AO 2 AB⋅AD
AO 2 sin ∠ AOB⋅sin ∠ AOD AO 2
Значит,
и
=
.
⋅
=
2
2
CO 2 BC⋅CD
CO sin ∠ BOC⋅sin ∠ DOC CO
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
45
3.2.9.a Вписанно−описанный четырёхугольник
Четырёхугольник ABCD описан вокруг окружности с центром О. Из вершин В и D опущены
перпендикуляры ВЕ и DЕ' на прямую АО, BF и DF' на СО, соответственно. Докажите, что
четырёхугольник ЕFЕ'F' вписанный и BF⋅DF ' =BE⋅DE ' .
AO 2 AB⋅AD
Доказательство. Известно, что
=
.
CO 2 BC⋅CD
Пользуемся тем, что в любых треугольниках с вершиной О одинаковая высота из вершины О,
равная радиусу окружности.
Заменим отношение произведений сторон отношением произведений площадей треугольников
AB⋅R AD⋅R
⋅
S ⋅S
AB⋅AD
2
2
=
= ABO ADO .
BC⋅CD BC⋅R CD⋅R S BCO⋅S CDO
⋅
2
2
Вычислим это произведение, рассматривая АО и СО, как основания треугольников.
Так как расстояние от В до прямой АО равно ВЕ, до прямой СO равно BE', расстояние от D до
прямой АО равно ВF, до прямой СO равно BF', получаем:
AO⋅BE AO⋅DE '
⋅
S ABO⋅S ADO
2
2
AO 2 BE⋅DE '
BE⋅DE '
BE DF '
=1,
=
.
=
=
⋅
. Значит,
S BCO⋅S CDO CO⋅BF CO⋅DF ' CO 2 BF⋅DF '
BF⋅DF '
BF BE '
⋅
2
2
Треугольники BFE и DE'F' подобны, так как у них пропорциональны стороны содержащие равные
углы FBE и F'DE'. Значит, равны углы BFЕ и DE'F'.
Следовательно, равны углы OFЕ и OE'F', дополняющие равные углы до прямых. Эти углы
опираются на отрезок EF', значит, четырёхугольник ЕFЕ'F' вписанный.
Рис.3.9. Вписанно−описанные четырёхугольники
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
46
3.2.10 Вписанный четырёхугольник и касательные
В окружность вписан четырехугольник ABCD такой, что касательные к окружности в
вершинах A и C пересекаются на прямой BD. Докажите, что касательные в вершинах B и D
пересекаются на прямой AC, биссектрисы углов A и C пересекаются на прямой BD, биссектрисы
углов B и D пересекаются на прямой AC. Докажите, что этим же свойством обладают биссектрисы
внешних углов при противоположных вершинах четырехугольника.
Рис.3.11. Вписанный четырёхугольник и касательные
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
47
4
Окружность и многоугольник
4.1
Правильный пятиугольник
4.1.1 Золотое отношение
Золотое отношение для отрезков диагоналей правильного пятиугольника и его сторон.
Рис. 4.1. Золотое сечение в правильном пятиугольнике
4.1.2 Перпендикулярные диаметры
В окружности с центром O проведены два перпендикулярных диаметра AB и CD. Точка E
−середина радиуса OA. На луче EB отложен отрезок EK, равный отрезку CE. Докажите, что
отрезок KC равен стороне правильного пятиугольника, вписанного в данную окружность.
4.1.3 Полуправильный шестиугольник
Построен шестиугольник вписанный в окружность в котором параллельны пары
противолежащих сторон и диагонали, соединяющие вершины, не принадлежащие этим сторонам.
Пусть построены две оси симметрии, перпендикулярные АВ и ВС. Отсчитываем угол от
направления OR. Пусть в точке А угол равен − α, в точке В он равен α, угол между осями равен ψ.
Выполним поочерёдно симметрии относительно осей. A → B→C→D→E→F→A. Из условия
замыкания найдём, что ψ = 60º, ∠АОС = ∠АОE =∠BОF =∠BОD =120º. Если α = 30º, то
шестиугольник правильный.
В рассматриваемом шестиугольнике противолежащие стороны
попарно равны, три диагонали равны между собой и равноудалены от
центра круга.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
48
5
Несколько окружностей
5.1
Общая касательная
5.1.1 Внешняя касательная
Постройте общую внешнюю касательную к двум данным окружностям.
5.1.2 Внутренняя касательная
Постройте общую внутреннюю касательную к двум данным окружностям.
Рис. 5.1. Построение общих касательных
5.1.3 Общая касательная, угол
Окружности касаются внешне в точке А, CD – общая внешняя касательная. Докажите, что
∠CAD = 90°.
Рис. 5.2. Общая касательная, построение и свойство
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
49
5.1.3.a Общая касательная касающихся окружностей
Две окружности касаются внешним образом. Отрезок общей внешней касательной к ним,
соединяющий точки ее касания, есть среднее геометрическое диаметров окружностей.
5.1.4 Отрезки общих касательных
К окружностям ω и ω' с центрами А и В проведены общие внешние касательные CE (точка С на ω)
и C'E' (точка С' на ω') и общая внутренняя касательная EE' касающаяся в ω точке D и ω' в точке D'.
Докажите, что CE = DE =C'E' = D'E'.
Доказательство. Пусть точки F и F' симметричны точкам С и C', соответственно, относительно АВ.
Из симметрии относительно АВ, CF' = C'F.
ED' = EF', E'D = FE', CE = DE, C'E' = D'E' как отрезки касательных.
CF' = CE + EF' = CE + ED' = CE + ED + DD' = 2ED + DD';
C'F = C'E' + E'F = C'E' + E'D = C'E' + D'E' + DD' = 2E'D' + DD'.
ED = E'D'.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
50
5.1.5 Внутреннее касание
Окружности касаются внутренним образом в точке А. Хорда CD внешней касается
внутренней окружности в точке В. Докажите, что ∠BAC = ∠BAD.
Рис. 5.3. Внутреннее касание окружностей
5.1.6 Общая секущая трёх окружностей
Три окружности имеют две общие точки. Через одну из них проведена секущая,
пересекающая эти окружности вторично в трех точках. Докажите, что отношение этих трех точек
не зависит от выбора секущей. Отношением трех точек A, B, C прямой называется число AB : CB.
Решение: На общую секущую опущены перпендикуляры OE, O'F, OG. Очевидно, что
отношение EF : FG = OO' : O'Q не зависит от выбора секущей.
EF = (AD − BD)/2, FG = (CD + BD)/2, следовательно,
AB : BC = (AD − BD) : (BD + CD) = OO' : O'Q.
Рис. 5.4. Общая секущая трёх окружностей
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
51
5.1.7 Равные окружности
Две окружности ω и ω' радиуса R c центрами в точках О и Q пересекаются в точках А и В.
Точки С и D этих окружностей принадлежат ОQ и находятся в одной полуплоскости от прямой AB.
Докажем, что AB2 + CD2 = 4R2.
Доказательство: Выполним перенос окружности ω на вектор CD Точка С совместится с D,
окружности симметричны относительно OQ, их радиусы равны, значит, результат переноса
совпадёт с ω'.
Точка А переместится в точку A' на окружности ω', причём AA' = CD и AA'||CD.
AB⊥OQ, CD лежит на OQ, значит, AB⊥AA'.
Прямой угол BAA' опирается на A'B, значит, A'B – диаметр окружности ω', равный 2R.
По теореме Пифагора для треугольника AA'В, AB2 + CD2 = 4R2.
Рис.5.5. Перенос для равных окружностей
5.1.8 Равные окружности ([1], 1.61)
Две окружности ω и ω' радиуса R c центрами в точках О и Q касаются внешним образом в
точке E. Хорды EF и EG этих окружностей перпендикулярны. Найдите FG.
Решение: Выполним перенос окружности ω на вектор ОQ. Точка E совместится с
диаметрально противоположной ей точкой E', окружность ω в результате переноса совпадёт с ω'.
Точка F переместится в точку F' на окружности ω', причём FF' = EE' и FF'||EE', FE = F'E'.
В параллелограмме EFF'E' равны треугольники EF'E' и F'EF.
∠EF'E' = 90°, значит, ∠F'EF' = 90°.
Хорда ЕF' перпендикулярна ЕF, значит, она совпадает с EG.
FG = FF' = EE' = 2R.
Ответ: 2R.
Рис.5.6. Перенос для равных окружностей
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
52
5.1.9 Разные окружности [1],1.71.
Даны две окружности ω и Ω c центрами в точках О и Q и прямая l, не параллельная и не
перпендикулярная ОQ. Постройте прямую, параллельную l так, чтобы окружности высекали на
ней равные хорды.
Построение: Пусть проекция точки О на прямую l суть точка А, проекция Q на прямую l –
точка B.
Выполним перенос окружности ω на вектор AB. Обозначим ω' результат переноса.
Пусть точки С' и D' суть образы точек С и D.
Выберем точки С' и D' в точках пересечения ω' и Ω.
Тогда С'D' = С'D, прямая С'D'СD параллельна прямой l.
Рис.5.7. Перенос для построения равных хорд
5.1.10 Разные окружности [1],1.73.
Постройте окружность данного радиуса, касающуюся данной прямой l и данной окружности.
Построение: Пусть ω = (Q,QB) произвольная окружность данного радиуса QB, касающаяся
прямой l, а ω' = (Q',QB) – искомая, полученная путём переноса ω на вектор QQ'.
Тогда расстояние между центрами окружностей ОQ' = R = r + QB.
Чтобы построить точки Q' нужно найти точки пересечения прямых, параллельных данной
прямой l и удалённых от неё на заданное расстояние QB и окружности с центром О и радиусом R.
Рис.5.8. Перенос для построения касающейся окружности
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
53
5.1.11 Множество точек постоянного угла
Найдите геометрическое место точек В таких, что ∠АВС = φ, где А и С – данные точки.
Построение: Пусть M – середина отрезка AC, который размещен вертикально, МO –
срединный перпендикуляр этого отрезка.
Рассмотрим случай φ < 90°. Пусть О – такая точка срединного перпендикуляра, что угол
∠АОM = φ, причём точка О расположена левее, чем М.
Тогда дуга окружности ω = (Q,QА) от А до С, лежащая слева от АС, содержит все точки
искомого ГМТ в левой полуплоскости прямой АС. Для точек D круга с центром О углы АDС > φ.
Для точек D расположенных вне круга с центром О углы АDС < φ.
Рассмотрим случай φ > 90°. Пусть О – такая точка срединного перпендикуляра, что угол
∠АОM = 90° – φ, причём точка О расположена правее, чем М. Вновь дуга окружности ω = (Q,QА)
от А до С, лежащая слева от АС, содержит все точки искомого ГМТ в левой полуплоскости прямой
АС.
Решение в правой полуплоскости прямой АС симметрично найденному относительно
прямой АС.
Доказательство: Центральный угол АОС равен 2φ, значит, вписанный в окружность с
центром О угол АВС равен половине центрального, то есть φ.
Пусть точка D лежит вне круга и выше прямой МО в этой полуплоскости. Отрезок AD
пересечёт дугу АС в некоторой точке В. Для треугольника BCD внутренний угол D меньше
внешнего АВС, то есть меньше, чем φ.
Пусть точка D лежит внутри круга. Прямая AD пересечёт дугу АС в некоторой точке В. Для
треугольника ВСD внутренний угол В меньше внешнего АDС, то есть ∠АDС > φ.
Докажем уть половина искомого ГМТ. Вторая половина симметрична первой относительно
прямой АС либо относительно точки М.
Рис. 5.9. Геометрическое место точек из которых данный отрезок виден под данным углом.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
54
5.1.12 Фиксированная точка
Дана окружность ω и точки A и P вне ее. Через точку A проведена секущая к окружности w,
пересекающая ее в точках B и C. Докажите, что вторая точка пересечения прямой AP с
окружностью, проходящей через точки B, C и P, не зависит от выбора секущей AB.
Рис. 5.10. Решение в интерактивном файле
5.1.13 Равные хорды
В угол вписаны две окружности, одна из которых касается сторон угла в точках A и B, а
другая в точках C и D. Докажите, что на прямой AC эти окружности отсекают равные хорды.
Рис. 5.11. Равные хорды в двух окружностях
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
55
5.1.14 Построение
Постройте окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся заданной прямой.
Рис.5.12. Построение окружности
5.1.15 Окружность, вписанная в сегмент
Хорда АВ разбивает окружность на две дуги. Окружность ω касается хорды АВ и одной из
дуг. Е − середина второй дуги. ЕА = 5. Найдите длину касательной, проведенной из Е к ω.
Рис.5.13. Окружность вписана в сегмент
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
56
5.1.16 Четыре пересекающиеся прямые
Даны четыре прямые, никакие три из которых не проходят через одну точку. Доказать, что
окружности, описанные около четырех треугольников, образованных этими прямыми, имеют
общую точку.
Рис.5.14. Четыре пересекающиеся прямые
5.1.17 Теорема о бабочке
Пусть Е – середина хорды АВ окружности ω с центром О. Точки C и D лежат на меньшей
дуге АВ. Хорды CL и DK проходят через Е, хорды CK и DL пересекают АВ в точках F и F₀.
Докажите, что EF = EF₀.
Рис.5.15. Теорема о бабочке
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
57
5.1.18 Окружности Данделена
Окружности Данделена заданы отрезком AA' с центром О, точками касания F и F', лежащими
на отрезке AA' и параметром α. AA' моделирует ось эллипса, F и F' — фокусы.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
58
6
Степень точки, радикальная ось и центр
6.1
Основы
Пусть через внешнюю относительно окружности ω(O, R) точку Р, расположенную на
расстоянии L от центра окружности точки О, L = PO, проведена произвольная секущая,
пересекающая эту окружность в точках A и B, и касательная РС. Тогда произведение РА⋅ РВ = L2 –
R2 = PC2 и не зависит от выбора секущей и равно квадрату касательной. Чтобы доказать этот факт,
пользуйтесь подобием треугольников РВС и РАС где С точка касания прямой из Р.
Если точка Р лежит внутри окружности ω(O, R), то проведем через нее две хорды–
произвольную хорду AB и хорду CD, перпендикулярную OР. Тогда произведение РА⋅ РВ = |L2 – R2|
Наконец, в случае, когда точка Р лежит на окружности ω(O, R), то L2 – R2 = 0.
Величина РА⋅ РВ, взятая со знаком плюс для точки Р вне окружности и со знаком минус для
точки Р внутри окружности, называется степенью точки Р относительно окружности ω(O, R).
Теорема. Пусть на плоскости даны две неконцентрические окружности S1 и S2, расстояние
между центрами которых равно 2а. Тогда геометрическим местом точек, для которых степень
относительно S1 равна степени относительно S2, является прямая.
Эту прямую называют радикальной осью окружностей.
Радикальная ось перпендикулярна линии центров окружностей.
Теорему удобно доказать методом координат, поместив начало координат на середину
2
2
R −r
отрезка, соединяющего центры окружностей. В результате находим x=
.
4a
Радикальная ось двух пересекающихся окружностей проходит через точки их пересечения.
Это следует из того, что степени точки Р относительно обеих точек пересечения равны, то есть эти
точки лежат на радикальной оси, а через две точки можно провести ровно одну прямую.
Радикальная ось двух касающихся окружностей проходит через точку их касания.
Если окружности лежат одна вне другой, не касаясь, то середина их общей касательной
имеет равные степени относительно их и потому принадлежит радикальной оси.
Понятие радикальной оси двух окружностей остается в силе и в том случае, когда одна из
них вырождается в точку–«нулевую окружность». При R = 0 степень точки P относительно такой
окружности будет равна O2P2. Поэтому радикальная ось окружности (O1, R1) и точки O2 есть
множество точек, степень каждой из которых относительно этой окружности равна квадрату
расстояния ее до точки O2.
Две пересекающиеся окружности называются ортогональными, если касательные к ним в их
общей точке перпендикулярны. Центр каждой из двух ортогональных окружностей лежит на
касательной к другой в их общей точке.
Внешние относительно каждой из двух данных окружностей точки их радикальной оси
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
59
являются центрами окружностей, каждая из которых ортогональна обеим данным окружностям.
Обратно, если окружность ортогональна двум данным окружностям, то ее центр
принадлежит их радикальной оси.
Внутренние относительно каждой из двух данных окружностей точки их радикальной оси
являются центрами окружностей, каждая из которых делится пополам обеими данными
окружностями.
Обратно, если две данные окружности делят пополам третью окружность, то ее центр лежит
на радикальной оси этих окружностей.
Рис. 6.1. Свойства точки на радикальной оси
Пусть на плоскости даны три окружности, центры которых не лежат на одной прямой. Тогда
все три радикальные оси для каждой пары этих окружностей пересекаются в одной точке,
называемой радикальным центром трех окружностей. Действительно, точка пересечения двух
осей имеет равную степень относительно двух окружностей, значит, и относительно третьей.
Пусть на плоскости даны три попарно касающиеся окружности, центры которых не лежат на
одной прямой. Тогда радикальный центр есть центр окружности, вписанной в треугольник,
образованный центрами трёх исходных окружностей. Действительно, это точка пересечения
равных касательных к окружностям через точки касания – её степень относительно любой из трёх
начальных окружностей это радиус вписанной окружности.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
60
6.2
Ортоцентр и радикальная ось
Даны треугольник АВС и точка D, A' и B' – точки пересечения AD c BC и BD c AC. Тогда
радикальная ось окружностей с диаметрами AA' и BB' содержит ортоцентр треугольника АВС.
Рис. 6.2. Ортоцентр и радикальная ось
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
61
6.2.1 Касающиеся окружности
Две окружности (Q,r) и (O,R) радиусов r и R (r < R) касаются друг друга внешним образом.
Третья окружность с центром Р касается их внешним образом в точках А и A'. Общая внешняя
касательная касается первых двух окружностей в точках B и B'. Прямые АA' и BB' пересекаются в
точке С. Найти длину касательной, проведенной из точки С к третьей окружности.
Рис. 6.2. Касающиеся окружности
Решение:
Радикальный центр трёх касающихся окружностей есть центр окружности, вписанной в
треугольник, образованный центрами трёх исходных окружностей, значит, окружность AA'E
вписана в треугольник POQ.
Пусть С' – точка пересечения AA' и линии центров QO. По теореме Менелая для
треугольника QРO находим CQ · A'P · OA = CO · A'Q · AP. Так как AР = A'P, находим
CO AO R OB
=
= =
, то есть BB' пересекает QO в той же точке, C' = C.
CQ A ' Q r QB '
AA' – радикальная ось окружности с центром Р и окружности AA'E, значит, CD = CE.
CO CE + R R
2 Rr
=
= ⇒ CD=CE =
.
Из подобия треугольников OBC и QB'C:
CQ CE −r r
R−r
6.2.1.a Три попарно касающиеся окружности
Пусть на плоскости даны три попарно касающиеся окружности, центры которых не лежат на
одной прямой. Тогда расстояние от точки пересечения касательных С к двум из них до точки их
касания Е равно длине касательной к третьей окружности СK.
Решение: Если А, В и Е – точки касания, то CE2 = CB ⋅ CA = CK2.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
62
6.2.2 Касающиеся окружности внутри полукруга
В полукруг помещены две окружности с диаметрами 2r и 2R (r < R) так, что каждая из них
касается дуги и диаметра полукруга, а так же другой окружности. Через центры окружностей
проведена прямая, пересекающая продолжение диаметра полукруга в точке B. Найти длину
касательной, проведенной из точки B к дуге полукруга.
BO BD−r r
2 Rr
=
= ⇒ BD=
.
Решение: Из подобия треугольников BOG и BQH:
BQ BD + R R
R−r
AP 2 R r ( R 2+ r 2 −2 √ 2 R r )
=
.
Радиус полукруга
4
2 2
4
R −6 R r + r
√R r
Как и ранее доказываем, что искомое расстояние СК равно расстоянию от точки касания
окружностей до точки пересечения линии их центров с касательными CE.
Рис. 6.3. Касающиеся окружности внутри полукруга
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
63
6.2.3 Касающиеся внешним образом окружности
Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A. Прямая, проходящая через
A, пересекает первую окружность в точке B, а вторую – в точке C. Касательная к первой
окружности, проходящая через B, пересекает вторую окружность в точках D и E (D между B и E).
Найти CE и расстояние от A до центра O окружности, вневписанной в угол E треугольника ADE,
если AB = b, BC = a.
Рис. 6.4. Касающиеся окружности и общая секущая
Решение: Доказываем подобие треугольников АЕС и ЕВС. Угол С у них общий. Дуги АВ
первой окружности и АС второй равны (∠ОАВ = ∠QАС как вертикальные, треугольники ОАВ и
QАС равнобедренные значит, равны центральные углы, соответствующие этим дугам. ∠АВЕ
измеряется половиной дуги АВ как угол между касательной и хордой. ∠АЕС измеряется
половиной дуги АС – как вписанный, опирающийся на дугу АС. В треугольниках АЕС и ЕВС по
два равных угла. Из подобия СЕ : ВС = AC : CE ⇒ CE2 = AC ВС = ab.
Доказываем, что АВ есть биссектриса внешнего угла А треугольника АЕС. ∠DАВ = ∠DЕС,
так как четырёхугольник АDЕС вписанный. ∠ЕАС = ∠DЕС, как углы подобных треугольников
АЕС и ЕВС. Значит, равны углы между продолжением ЕА и АВ и между АВ и АD. Центр
вневписанной окружности лежит на АВ, как на биссектрисе внешнего угла.
Находим отношение ВD : AD из подобных треугольников ВАD и ВEС (угол B у них общий,
AD CE √ a b
b
∠DАВ = ∠BEС).
=
=
=
.
BD BC
a
a
Центр вневписанной окружности лежит на биссектрисе угла D, то есть он делит отрезок АВ =
a – b в отношении АD : ВD.
√
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
64
7
7.1
Изогональное сопряжение
Симедианы и точка Лемуана
7.1.1 Симедиана, определение и основные свойства
Пусть точка М – центроид треугольника АВС. Луч, симметричный лучу BМ относительно
биссектрисы BI угла B, пересекает сторону AС в точке B5.
Симедианой угла B треугольника АВС называем отрезок BB5, либо луч BB5, реже прямую BB5.
Пусть прямые BD и BE симметричны относительно биссектрисы ВВ3 и точки D и E лежат на
BD⋅BE AB 2
ВС. Тогда
=
. Утверждение следует из теоремы синусов.
CD⋅CE AC 2
Симедиана BB5 делит AС на части, пропорциональные квадратам прилежащих сторон
AB5 AB 2
=
. Следует из предыдущего, с учётом равенства BE = CE для медианы АЕ.
CB 5 BC 2
Рис. 7.1. Симедиана AA5
7.1.2 Точка Лемуана (Гребе), определение
Точка Лемуана это точка пересечения симедиан. Она является шестой точкой в стандартной
классификации (X6). Её принято обозначать L. Впервые точку Лемуана обнаружил в 1809 г
швейцарский геометр и тополог Симон Антуан Жан Люилье. Этой точке было посвящено
исследование Эрнста Вильгельма Гребе, в честь которого в Германии её называют точкой Гребе
1847 г. Французский геометр Эмиль Лемуан опубликовал доказательство существования точки в
1873 году. Трилинейные координаты точки Лемуана a:b:c. Барицентрические a2 :b2 :c2 .
Aa 2 + B b 2 +C c 2
Декартовы координаты точки Лемуана L=
, a=| BC | ,b=| AC | ,c=| AB| .
2
2
2
a +b + c
Эти утверждения следуют из свойств пересекающихся отрезков один конец каждого из
которых в вершине, а другой делит противолежащую сторону в заданном отношении.
Точка Лемуана изогонально сопряжена с центроидом треугольника.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
65
7.1.3 Антипараллель и симедиана
Антипараллелью к отрезку ВС называют отрезок DF, такой , что точка D лежит на луче АB,
точка F лежит на луче АC и ∠ABC = ∠AFD, ∠ACB = ∠ADF.
Симедиана АЕ делит пополам любой отрезок, антипараллельный ВС. Следует из симметрии
относительно биссектрисы.
Рис. 7.2. Симедиана AL и антипараллель DF
Доказательство: Выполним симметрию относительно биссектрисы AI. Отрезок DF перейдёт
в отрезок D'E', параллельный АВ и гомотетичный ему с центром гомотетии в точке А. Прямая АЕ
перейдёт в прямую АМ, содержащую медиану. Эта прямая делит ВС и любой гомотетичный ему
отрезок пополам. Равенство образов соответствует равенству прообразов, то есть DE = EF.■
7.1.4 Антипараллель, симедиана и средняя линия
Антипараллель CD треугольника АВС пересекает симедиану BE в точке G. Докажите, что G
принадлежит средней линии А1В1, параллельной АВ.
Рис. 7.3. Симедиана и антипараллель DС
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
66
7.1.5 Антипараллель и перпендикулярные биссектрисы
Пусть CD – антипараллель треугольника АВС. Докажите, что биссектрисы углов АВС и ACD
перпендикулярны и пересекаются в точке Q средней линии А₁B₁, причём 2QA₁ = BC.
Доказательство: Прямые AC и CD симметричны относительно биссектрисы CQ.
Прямая, параллельная CD, симметрична АС относительно биссектрисы ВQ.
Оси симметрии двух прямых перпендикулярны.
В прямоугольном треугольнике BCQ вершина Q удалена от середины гипотенузы на
половину гипотенузы.
Доказательство 2: Если углы треугольника АВС равны 2α, 2β, 2γ, то α +β + γ = π/2.
∠CBQ = β, ∠BCQ = ∠BCD + ∠DCQ = 2α + (2γ – 2α )/2 = α + γ
∠BQC = π – (α + γ + β) = π/2.
Рис. 7.4. Симедиана и биссектрисы BQ, CQ.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
67
7.1.6 Антипараллель и описанная окружность
Антипараллель CD пересекает медиану BВ1 треугольника АВС в точке F, а симедиану BE в
точке G. Докажите, что четырёхугольник EGFB₁ вписанный.
Доказательство: Прямые AC и CD симметричны относительно биссектрисы CQ.
Прямые BЕ и BВ1 симметричны относительно биссектрисы CQ.
∠BFC = ∠BEA, в силу симметрии их сторон относительно CQ.
Четырёхугольник EGFB₁ вписанный по свойству противолежащих углов.
Рис. 7.5. Симедиана и окружность EGFB₁.
7.1.7
Антипараллель и параллель
Антипараллель CD пересекает медиану BB₁ треугольника АВС в точке F. BE симедиана.
Докажите, что EF параллельна BС.
Рис. 7.6. Симедиана и параллель
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
68
7.1.8 Касательные в точках пересечения симедианы и описанной окружности
Касательная в точке А к описанной окружности АВС пересекает прямую ВС в точке Р. PG –
вторая касательная из Р к окружности АВС. Докажите, что AG это симедиана.
Касательные в точках С и В к описанной окружности АВС пересекаются в точке Н. Докажите,
что прямая AН содержит симедиану угла А треугольника АВС.
Рис. 7.2. Симедиана и касательные
7.1.9 Биссектрисы и симедиана
Биссектрисы внутреннего и внешнего угла А треугольника АВС пересекают прямую ВС в
точках J и K. Окружность с диаметром JK пересекает описанную окружность АВС в точках А и N.
Докажите, что AN это симедиана.
Рис. 7.3. Симедиана и биссектрисы
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
69
7.1.10 Окружность концов антипараллелей
Если провести через точку Лемуана отрезки, антипараллельные сторонам треугольника, с
концами на сторонах, то концы этих отрезков будут лежать на одной окружности. Точка Лемуана
будет её центром.
7.1.11 Описанная окружность и симедианы
Симедианы треугольника АВС пересекают описанную окружность АВС в точках D, E, F.
Докажите, что L это общая точка Лемуана треугольников АВС и DЕF.
Докажите, что прямые, соединяющие середины сторон треугольника с серединами
соответствующих высот пересекаются в точке Лемуана.
Рис. 7.4. Симедиана и описанная окружность
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
70
7.1.12 Точка Лемуана (Гребе), второе определение
Точка Лемуана это точка пересечения прямых, соединяющих вершину треугольника с
точками пересечения касательных к описанной окружности, проведённых из двух других вершин.
Лемма. Касательные в точках С и В к описанной окружности АВС пересекается в точке Н.
Докажите, что прямая AН содержит симедиану угла А треугольника АВС.
7.1.12.a Свойства
Сумма квадратов расстояний от точки на плоскости до сторон треугольника минимальна,
когда эта точка является точкой Лемуана.
Расстояния от точки Лемуана до сторон треугольника пропорциональны длинам сторон.
Точка Лемуана является точкой пересечения медиан треугольника, образованного
проекциями точки Лемуана на стороны. Более того, такая точка единственна.
Точка Лемуана является точкой Жергонна треугольника, образованного касательными к
описанной окружности в вершинах треугольника.
Точка Лемуана является антиперспектором описанной окружности.
Трилинейные поляры точек описанной окружности проходят через точку Лемуана.
При проективных преобразованиях, сохраняющих описанную окружность треугольника,
точка Лемуана будет переходить в точку Лемуана образа этого треугольника.
7.1.13 Окружность Брокара
Окружность, построенная на отрезке центр описанной окружности О – точка Лемуана L, как
на диаметре, содержит точки Брокара. Эта окружность называется окружностью Брокара.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
71
7.1.14 Точки Аполлония
Точки Аполлония (изодинамические центры X15 и Х16) – это две точки, расстояние от которых
до вершин треугольника обратно пропорциональны сторонам, которые противолежат этим
вершинам. Точки Аполлония изогонально сопряжены точкам Торричелли.
Окружности, построенные как на диаметре на отрезке, соединяющем основания внутренней
и внешней биссектрисы, выпущенных из одного угла, проходят через точки Аполлония.
Точки Аполлония лежат на оси Брокара, соединяющей центр описанной окружности с
точкой Лемуана и изогонально сопряжённой с гиперболой Киперта.
Соотношения для точек Аполлония:
√
(L−X )2 (O−L)2
L+O s
L−O s
OL 2
+
=1,
X
=
,
X
=
,
s=
1−
.
15
16
1+ s
1−s
(O− X )2
R2
R2
Если углы треугольника α, β, γ, то:
A d A + B d B +C d C
, d A =a sin (α+ π ), d B=b sin(β+ π ) , d C =c sin ( γ+ π ).
d A +d B +d C
3
3
3
A d A + B d B +C d C
X 16=
, d A=a sin(α− π ) , d B=b sin (β− π ) , d C =c sin( γ− π ).
d A +d B + d C
3
3
3
X 15=
Точки Аполлония и прямая Брокара
The isodynamic points of a triangle are points associated with the triangle, with the properties that an inversion centered at one
of these points transforms the given triangle into an equilateral triangle, and that the distances from the isodynamic point to the
triangle vertices are inversely proportional to the opposite side lengths of the triangle. Triangles that are similarto each other
have isodynamic points in corresponding locations in the plane, so the isodynamic points are triangle centers, and unlike other
triangle centers the isodynamic points are also invariant under Möbius transformations. A triangle that is itself equilateral has a
unique isodynamic point, at its centroid; every non–equilateral triangle has two isodynamic points. Isodynamic points were
first studied and named by Joseph Neuberg.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
72
7.1.15 Прямые, параллельные прямой Эйлера
Построена пара точек Ферма–Торричелли X₁₃ и X₁₄ и прямая Эйлера ОМ. Три прямые
Эйлера и X₁₃X₁₅ и X₁₄X₁₆ параллельны.
Прямые, параллельные прямой Эйлера
7.1.16 Педальные треугольники точек Аполлония
Построены педальные треугольники точек Аполлония X ₁₅ и X ₁₆ DD ₁D ₂ и EE ₁E ₂. Оба
треугольника правильные.
The pedal triangle of an isodynamic point, the triangle formed by dropping perpendiculars from X ₁₅ and X ₁₆ to each of the
three sides of triangle ABC, is equilateral, as is the triangle formed by reflecting X ₁₅ and X ₁₆ across each side of the triangle.
Among all the equilateral triangles inscribed in triangle ABC, the pedal triangle of the first isodynamic point is the one with
minimum area.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
73
7.1.17 Прямые, содержащие центроид
Построены прямые X₁₃X16 и X₁₄X₁₅ . Они пересекаются в центроиде М.
7.1.18 Инверсный правильный треугольник
Точки A', B' и C' инверсны точкам АВС относительно окружности ω с центром в точке X₁₅.
Треугольник A'B'C' правильный. Окружность АВС инверсна окружности A'B'C' относительно
окружности ω.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
74
7.1.19 Окружность 9 точек (окружность Эйлера, окружность Фейербаха)
Доказываем, что во всяком треугольнике АВС середины сторон, основания высот и середины
отрезков, соединяющих ортоцентр Н с вершинами, лежат на одной окружности ω. Её центр это
середина отрезка OH. где О – центр окружности АВС. Её радиус равен половине радиуса
описанной окружности АВС.
Доказательство 1. Рассмотрим окружность ω, содержащую основания H1, H2, H3 высот
треугольника ABC.
Известно, точки, симметричные ортоцентру H треугольника относительно его сторон, лежат
на описанной окружности. Значит, окружность ω есть образ описанной окружности при гомотетии
с центром H и коэффициентом k = 1/2.
Поэтому ее центром является середина отрезка OH, а радиус равен 0.5R, где R – радиус
описанной окружности.
Образы вершин A, B, C треугольника ABC при гомотетии с центром H и коэффициентом k =
1/2 это точки K1, K2, K3 Эти точки суть середины отрезков HA, HB, HC, соединяющих ортоцентр H
с вершинами A, B, C. Они лежат на окружности ω.
Известно, точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин его сторон,
лежат на описанной около него окружности. Поэтому середины A1, B1, C1 сторон лежат на ω.
Окружность ω имеет множество названий – окружность девяти точек, окружность Эйлера,
окружность Фейербаха.
Доказательство 2. Рассмотрим окружность ω, содержащую середины A1, B1, C1 сторон
треугольника ABC.
По свойству медиан треугольник ABC гомотетичен треугольнику A₁B₁C₁ с вершинами
относительно точки М пересечения медиан, k = −1/2.
По свойству двойственности, центр O описанной около треугольника ABC окружности
является ортоцентром треугольника A₁B₁C₁.
Гомотетия сохраняет величину угла, значит, высоты AH₁, BН₂, CН₃ треугольника ABC
указанной гомотетией отображаются на высоты OA₁, OB₁, OC₁ треугольника A₁B₁C₁.
Гомотетия точку H пересечения высот треугольника ABC переводит в точку O пересечения
высот треугольника A₁B₁C₁. Поэтому точки H и O лежат на одной прямой с центром М гомотетии,
MH = 2 OM. Отсюда ОЕ = ЕН.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
75
7.1.20 Использование свойств окружности Фейербаха
Дан вписанный четырехугольник ABСD. Лучи AB и DС пересекаются в точке K. Точки B, D, и
середины отрезков AC и KC лежат на одной окружности. Найдите угол ADC.
Размышление. Дано несколько середин отрезков, требуется найти угол. Велика вероятность,
что используются свойства окружности Эйлера, которая проходит через середины сторон.
Решение. По свойству секущих KC ⋅ KD = KB ⋅ KA.
Пусть C' – середина AK. Тогда KC = 2 KA', 2 KC' = KA, значит, KA' ⋅ KD = KB ⋅ KC'.
По свойству секущих, точка C' лежит на окружности A'BK'.
Окружность A'C'K' суть окружность Эйлера – Фейербаха треугольника ACK.
D – вторая точка пересечения окружности и прямой, содержащей сторону CK, значит, AD –
высота, перпендикулярная CK. Угол ADC прямой.
Ответ: 90°.
7.1.21 Треугольник, разное
В ΔАВС cо сторонами a,b,c проведена высота СC3. Через точку C3 проведена прямая,
отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и пересекающая сторону ВС в точке P.
Найдите C3 P.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
76
7.1.22 Свойства конфигурации Штейнера–Сейфрейда
Конфигурация Штейнера–Сейфрейда содержит окружность ω, содержащую точки K, K₁, M,
M₁, L, L₁ и, прямую, содержащую точки А, В и С, причем коллинеарны группы точек AL₁L, AM₁K,
AK₁M, BL₁M, BM₁L, BK₁K, CL₁K, CM₁M, CK₁L. На интерактивном рисунке конфигурацию задают
точки A, B, C, O и L.
Окружности с центрами в точках А, В и С, перпендикулярные окружности Сейфрейда,
пересекаются в одной точке, положение которой не зависит от радиуса ω. Проекция этой точки и
центра Сейфрейдовой окружности на прямую АВ совпадает с точкой Лемуана вырожденного
треугольника АВС.
Поляра точки С содержит точки пересечения пар касательных из точек А и В и пар прямых
AL и ВK, AK и ВM, АM и BL, всего пять точек. Аналогично на полярах точек А и B лежат пары
пересечения прямых AM и CK, AK и CL, AL и CM, BL и CK, BM и CL, BK и CM.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
77
8
Литература
1. Я. П. Понарин. Элементарная геометрия. Т.1. – М.: МЦНМО, 2004. – 312 с.
2. И. Ф. Шарыгин. Геометрия 7–9 классы. – М.: Дрофа, 2002. – 368 с.
3. В. В. Прасолов. Задачи по планиметрии – М.: МЦНМО, 2000. – 584 с.
4. И. Ф. Шарыгин. Геометрия 9–11 классы. От учебной задачи к творческой. – М.: Дрофа, 1996. –
398 с.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
Скачать