Лекция № 1 Тема: Производная и дифференциал функции 1 План лекции: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Общие правила для нахождения производной. Производные некоторых функций. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Применение дифференциала для приближенных вычислений. 8. Производные и дифференциалы высших порядков. 9. Физический смысл второй производной. 2 1. Задачи, приводящие к понятию производной Задача о скорости движущейся точки. Пусть s=s(t) представляет закон прямолинейно- го движения материальной точки. Обозначим через Δs путь, пройденный точкой за промежуток времени Δt от момента t до t+Δt, т. е. 3 Отношение называется средней ско- ростью точки за время от t до t+Δt. Чем меньше Δt, тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент времени t. Поэтому естественно ввести понятие скорости в данный момент t, определив ее как предел средней скорости за промежуток от t до t+Δt, когда Δt0: 4 Задача о скорости химической реакции. Пусть дана функция m=m(t), где m — количество некоторого вещества, вступившего в химическую реакцию к моменту времени t. Приращению времени Δt будет соответствовать приращение Δm величины m. Отношение — средняя скорость химической реакции за промежуток времени Δt. Предел этого отношения есть скорость химической реакции в данный момент 5 времени t. Задача о скорости роста популяции. Пусть р = p(t) - размер популяции бактерий в момент времени t. Тогда, рассуждая, как и выше, получим, что есть скорость роста популяции бактерий в данный момент t. 6 2. Определение производной Пусть определена в промежутке (a;b). Возьмем какое-нибудь значение новое значение аргумента x из (a;b). Затем возьмем х+Δх из этого промежутка, придав первоначальному значению х приращение Δх. Этому значению аргумента соответствует значение функции Теперь составим отношение 7 Если существует предел отношения , когда Δх0, то этот предел называется производной от функции в данной точке х и обозначается через . Действие нахождения производной функции называется дифференцированием, а функцию, имеющую производную в точке х, называют дифференцируемой в этой точке. 8 Из рассмотренных выше задач, приводящих к понятию производной следует: 1) Скорость прямолинейного движения есть производная пути по времени : . В этом состоит механический смысл производной. 2) Скорость химической реакции есть производная количества вещества по времени : 3) Скорость роста популяции есть производная размера популяции по времени : По аналогии с этим производную любой функции часто называют скоростью изменения этой функции. 9 Из школьного курса алгебры мы знаем, что геометрический смысл производной заключается в том, производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной (тангенс угла наклона касательной) к графику функции в этой точке. 10 3. Общие правила для нахождения производной 1. Производная суммы 2. Производная произведения 3. Вынесение постоянного множителя за знак производной 4. Производная частного 5. Производная сложной функции. Пусть причем Тогда производная сложной функции равна 11 Пример: Размер популяции бактерий в момент t задается формулой . Найти скорость роста популяции в момент t=5 ч. Решение: Найдем производную В частности, при t=5 скорость роста составляет 1000 бактерий в час. 12 4. Производные некоторых функций 1. Производные тригонометрических функций 2. Производная логарифма 13 3. Производная степенной функции 4. Производная показательной функции 14 5. Дифференциал функции Из определения производной имеем На основании определения предела это означает, что Умножим обе части равенства на Δх Пусть у' ≠0. Первое слагаемое при Δх →0 бесконечно мало, но порядок его малости ниже порядка малости второго слагаемого. 15 Поэтому слагаемое приращения функции. является Это дифференциалом функции главной слагаемое частью называют и обозначают символом 16 6. Геометрический смысл дифференциала Для выяснения геометрического дифференциала к графику функции смысла в точке М(х;у) проведем касательную МТ, обозначив через φ ее угол наклона к положительному направлению оси Ох. 17 18 Так как Поэтому из треугольника MLN, следует что дифференциал есть приращение ординаты касательной, соответствующее приращению аргумента Замечая, что получаем: Таким образом, дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной. Отсюда имеем: Для обозначения производной принят также символ 19 7. Применение дифференциала для приближенных вычислений Задача: Ребро куба длиной 30 см увеличено на 0,1 см. Требуется определить величину изменения объема этого куба. Решение: Обозначая ребро куба через х, имеем для объема Отсюда В нашем случае и, значит Следовательно, 20 8. Производные и дифференциалы высших порядков Производная дифференцируемой функции называемая производной 1-го порядка, представляет собой некоторую новую функцию. Возможно, что эта функция сама имеет производную. Тогда производная от производной 1го порядка называется производной 2-го порядка или 2-ой производной: Аналогично если существует производная от производной 2-го порядка, то она называется производной 3-го порядка или 3-й производной: 21 Производная от производной порядка n-1 называется производной n-го порядка и обозначается Дифференциалом n-го порядка называется произведение производной n-го порядка на n-ю степень приращения аргумента: Отсюда получается другая запись для n-ой производной: 22 9. Физический смысл второй производной. Пусть уравнение прямолинейного дви- жения материальной точки. Как установлено ранее, мгновенная скорость этого движения есть Если эту скорость рассматривать, как функцию времени, то есть ускорение Таким образом получаем, что т.е. 2-я производная пути s по времени t есть ускорение движущейся точки в момент t. 23
