МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное образовательное учреждение Высшего образования Ярославский государственный университет имени П.Г.Демидова Кафедра микроэлектроники и общей физики Приближение почти свободных электронов Ярославль 2020 г. Структура доклада 1. Модель Кронига-Пенни 2. Приближение почти свободных электронов 3. Блоховская волна 4. Зоны Брюллюэна 5. Математические выкладки приближения почти свободных электронов 6. Список источников Модель Кронига-Пенни В модели почти свободных электронов, которую предложили Крониг и Пенни, рассматривается движение электрона в линейной цепочке прямоугольных потенциальных ям. Ширина ям равна а, и они отделены друг от друга потенциальными барьерами толщиной Ь и высотой Uo. Длина цепочки равна L, а период цепочки равен с = а + b. Рис. Зависимость потенциальной энергии электрона от межатомного расстояния в модели Кронига —Пенни Пусть Е — энергия электрона. Состояние электрона описывается уравнением Шредингера: 1.Для области I, где потенциальная энергия U = 0, волновая функция, являющаяся решением уравнения (1), может быть представлена в виде: Первое слагаемое в уравнении (2) соответствует прямой волне, а второе — волне, отраженной от потенциального барьера. 2. Для области II, где U = Uo, волновую функцию можно записать в виде: Подставим вместо ψ1 и ψ2 одномерную функцию Блоха: найдем вид периодической функции U(x) в областях I и Ⅱ: и Для того чтобы определить коэффициенты А. В. С. D. используем тот факт, что функция U(х) и ее первая производная непрерывны в местах скачка потенциала. Например, в точке х = О. Кроме того, функции U(х) обладают свойством периодичности с периодом с = а +b: Предельный случай, устремим ширину барьера b к нулю, а высоту барьера устремим к бесконечности(U0∞): Общее представление Перед рассмотрением приближения слабо связанных электронов, необходимо определить систему, в которой находиться электрон, и его функцию. Так как мы работаем с материалами с кристаллической структурой, то мы можем рассматривать движение электрона, как движение частицы в периодическом поле (решетки кристалла). Во многих случаях данная задача может быть представлена как одноэлектронная (т.е. с хорошим приближением описаны уравнениями Хартри – Фока). Симметрия кристалла подсказывает, что Ueff(r) должно обладать периодичностью кристалла. Для периодической решетки с векторами трансляции a̅ n необходимо, чтобы: где амплитудная функция uk(r̄ ) обладает периодичностью кристаллической решетки: Таким образом собственные функции могут быть представлены в виде произведения экспоненты и функции с периодом кристаллической решетки: где k̄̄ - волновой вектор электрона, а амплитудная функция: Эта форма модулированной плоской волны плоскости, характерна для электронов в периодическом потенциале решетки называется – Блоховской функцией. Схематическое изображение функции Блоха (сплошная линия) и ее части являющейся плоской волной (пунктирная линия), точки – узлы решетки. Решение (*) самосогласованно. Сделаем несколько выводов: Решение уравнения Шредингера для электрона в периодическом поле кристалла является бегущая плоская волна, модулированная с периодичностью решетки, а энергия зависит от волнового вектора k̄. Поле периодично в пространстве и периоды совпадают с периодами решетки. Кинетическая энергия электронов значительно больше пространственных изменений его потенциальной энергии, периодический потенциал V(r̄ ) можно рассматривать как малое возмущение свободного движения электронов. Это так называемое приближение почти свободных электронов дает удовлетворительные результаты при решении задач для металлов. Блоховская волна — названная в честь Феликса электрона), расположенной в произведения плоской волны (периодическая часть блоховской периодичность, что и потенциал. где — Блоха волновая функция частицы (обычно периодическом потенциале. Состоит из на некоторую периодическую функцию волновой функции) unk(r), имеющую ту же периодические функции, k — волновой вектор частицы. Согласно т. Блоха, в таком виде можно представить все собственные функции. Соответствующие им собственные значения энергии периодичны по векторам обратной решетки K. Все различные значения En(k) соответствуют векторам k из первой зоны Бриллюэна обратной решётки, и рассмотрению подлежат именно они. Зоны Брюллюэна Для геометрического строения зоны Бриллюэна произвольный узел обратной решетки О соединяется отрезками с остальными узлами решетки и затем через середины этих отрезков проводятся перпендикулярные к ним плоскости. Многогранники, ограниченные этими плоскостями, образуют зоны Бриллюэна. - Первая зона Бриллюэна кубической гранецентрированной решётки Список источников 1.https://ozlib.com/884575/tehnika/priblizhenie_svobodnyh_elektronov_model_ kroniga_penni 2. А. И. Ансельм, Введение в теорию полупроводников, СПб.: Издательство “Лань”, 2016. – 624 с. 3. https://ru.wikipedia.org/
