ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ Наибольший общий делитель (НОД) и Наименьшее общее кратное (НОК) НОД двух чисел a и b – это наибольшее из чисел, на которое делится и 𝑎, и 𝑏. Для нахождения НОД можно использовать следующий алгоритм: 1. Разложить числа 𝑎 и 𝑏 на простейшие множители; 2. Выбрать числа, которые есть в каждом из разложений; 3. Произведение выбранных простых множителей у одного числа и является НОД(𝑎; 𝑏). Пример: Найти НОД(36; 90) 1. Разложим числа 36 и 90 на простейшие множители: 36 2 90 2 18 2 45 3 | 9 |3 15|| 3 3 3 5 5 1 1 2. Из разложений выделяем общие множители: 36 2 90 2 18 2 45 3 9 || 3 15|| 3 3 3 5 5 1 1 3. НОД равен произведению общих множителей одного числа, т.е. НОД(36; 90) = 2 ∙ 3 = 6 НОК двух чисел a и b – это наименьшее из чисел, которое делится на 𝑎 и на 𝑏. Для нахождения НОК можно использовать следующий алгоритм: 1. Разложить числа 𝑎 и 𝑏 на простейшие множители; 2. Выбрать числа, которые есть в каждом из разложений; 3. Произведение выбранных простых множителей у одного числа и множителей, которые не были выбраны, равно НОК(𝑎; 𝑏). Пример: Найти НОК(36; 90) 1. Разложим числа 36 и 90 на простейшие множители: 36 2 90 2 18 2 45 3 9 || 3 15|| 3 3 3 5 5 1 1 2. Из разложений выделяем общие множители: 36 2 90 2 18 2 45 3 | 9| 3 15|| 3 3 3 5 5 1 1 3. НОК равен произведению общих множителей одного числа и не выделенных множителей из обоих чисел, т.е. НОК(36; 90) = 2 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 = 540 Основное свойство дроби Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится дробь, равная данной. 𝑎 𝑎∙𝑐 = ; 𝑏 ≠ 0, 𝑐 ≠ 0 𝑏 𝑏∙𝑐 Пример: 2 2∙4 8 = = 3 3 ∙ 4 12 Используется данное свойство для того, чтобы сократить дробь, а также для приведения к общему знаменателю при сложении или вычитании обыкновенных дробей. Неправильные дроби Неправильная дробь – это дробь, числитель которой больше знаменателя. На практике, работа с неправильными дробями удобнее, однако в ответ принято записывать либо правильную, либо смешанную, либо десятичную дробь Смешанные дроби Смешанная дробь представляет из себя дробь с выделенной целой частью. 1 Пример 2 2 Для того, чтобы выделить целую часть неправильной дроби, необходимо выполнить следующие действия: o Разделить числитель на знаменатель с остатком o Частное, полученное при делении, является целой частью, а остаток от деления – новый числитель. Знаменатель при этом не меняется. Пример: Выделить целую часть дроби: 23 9 Разделим числитель на знаменатель с остатком: 2 3 9 − 1 8 2 5 Таким образом получаем, что целая часть дроби равна частному (то есть 2), а новый числитель – остатку от деления (то есть 5). В результате получаем следующее: 23 5 =2 9 9 Часто на практике необходимо перевести смешанную дробь в неправильную (например, для выполнения операций умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня и т.д.). Для этого необходимо умножить целую часть дроби на знаменатель и прибавить получившееся число к числителю. Пример: 4 35 + 4 39 Умножим целую часть на знаменатель: 5 ∙ 7 = 35 5 =[ = ]= Прибавим полученное число к числителю 7 7 7 Десятичная дробь Десятичная дробь может быть как конечной, так и бесконечной. Конечная десятичная дробь – это десятичная дробь, которая имеет конечное число знаков после запятой. Не каждая дробь может быть представлена в виде конечной десятичной дроби. Для того, чтобы определить, можно ли привести дробь к десятичному виду, достаточно посмотреть на знаменатель несократимой дроби (несократимая дробь – это дробь, числитель и знаменатель которой не имеют общих делителей, кроме единицы). Если знаменатель можно представить в виде произведения двоек и пятерок, то данную дробь можно привести к десятичному виду. Существует 2 основных способа приведения дроби к десятичному виду: Способ 1: Разложение знаменателя на простые множители. Алгоритм работы следующий: o Разложить знаменатель на простые множители. В результате в знаменателе должно получится произведение вида 2𝑛 ∙ 5𝑚 , где 𝑛 – количество двоек в разложении, 𝑚 – количество пятерок в разложении. o Выровнять количество двоек и пятерок в знаменателе. Для этого необходимо домножить числитель и знаменатель на 2𝑚−𝑛 , если 𝑚 > 𝑛 (на 5𝑛−𝑚 , если 𝑛 > 𝑚). Другими словами, нужно домножить числитель и знаменатель на такие числа, чтобы в знаменателе показатели степени 2 и 5 были равные. o Знаменатель примет вид 10𝑚 при 𝑚 > 𝑛 (10𝑛 при 𝑛 > 𝑚). Для записи в десятичном виде достаточно переписать числитель и, считая от конца числа, отделить запятой 𝑚 знаков (𝑛 знаков, если знаменатель имеет вид 10𝑛 ). Если знаменатель представлен не в виде степени, а в виде числа (т.е. знаменатель имеет вид 10, 100, 1000 и т.д.), то запятой отделяем столько знаков, сколько нулей в знаменателе. При необходимости можно дописывать любое количество нулей перед числом. Пример: Перевести в десятичную дробь: Домножим числитель и знаменатель 17 17 17 ∙ 22 Разложим знаменатель на 2 =[ = = = ]= [ ] на 2 , чтобы выровнять количество простые множители. 250 2 ∙ 53 23 ∙ 53 двоек и пятерок в знаменателе 68 68 Запишем дробь в десятичном виде. Так как числитель содержит = 3 3= 3=[ ] = 0.068 только 2 цифры, а отделить запятой нужно 3 цифры, допишем два нуля 2 ∙5 10 Способ 2: Деление в столбик. Для того, чтобы перевести дробь в десятичную путем деления в столбик, необходимо разделить числитель на знаменатель в столбик. При этом, когда мы дошли до остатка от деления, в частном ставится запятая и далее будут дописываться по одному нулю, пока разность не станет равной нулю. Пример: Перевести в десятичную дробь: 17 250 Произведем деление в столбик: 17 250 0 0 . 068 170 − 0 1700 − 1500 2000 − 2000 0 Для перевода десятичной дроби в обыкновенную достаточно переписать все число в числитель, опустив при этом запятую, а в знаменатель записать число вида 10, 100, 1000 и т.д., причем число нулей в знаменателе равно количеству цифр после запятой. После этого, при необходимости, можно сократить дробь и выделить целую часть. Пример: 235 35 7 2.35 = =2 =2 100 100 20 Бесконечная периодическая десятичная дробь – это десятичная дробь, которая имеет бесконечное количество знаков после запятой, которые, начиная с какого-то момента, образуют повторяющийся блок чисел (период дроби). Периодическая дробь представляет из себя обыкновенную дробь, в знаменателе которой помимо простых множителей вида 2𝑛 и 5𝑚 могут быть и другие простые множители. Для того, чтобы перевести обыкновенную дробь в периодическую необходимо делить в столбик числитель на знаменатель до тех пор, пока остатки от деления не станут повторятся. Повторяющийся блок называется периодом и записывается в круглых скобках. Пример: Привести к периодическому виду дробь: 44 15 Делим числитель на знаменатель: 44 15 − 30 2 . 93 140 − 135 50 − 45 50 При делении мы получили, что первое повторение остатка пришлось на вторую цифру после запятой, поэтому блок между этими цифрами (в нашем случае одна цифра) является периодом. Значит 44 = 2.9(3) 15 Для перевода периодической дроби в обыкновенную используют следующий алгоритм: o Целая часть записывается как целая часть смешанной дроби. o Если в дробной части (после запятой) перед периодом нет ни одной цифры (т.е. период начинается сразу-же после запятой), то в числитель запишется период, а в знаменатель число вида 9, 99, 999 и т.д., причем количество девяток будет равно длине периода (количеству цифр в периоде). o Если в дробной части перед периодом стоят какие-то цифры, то в числитель запишется разность дробной части и числа, стоящего перед периодом в дробной части, а в знаменателе запишется число вида 90, 990, 900 и т.д., причем количество девяток равно длине периода, а количество нулей равно числу цифр, стоящих в дробной части перед периодом. Пример: 129 1. (129) = 1 999 1213 − 12 1201 1.12(13) = 1 =1 9900 9900 − Бесконечная непериодическая дробь – это десятичная дробь, которая имеет бесконечное число знаков после запятой, которые не образуют периода. Обычно, бесконечная непериодическая дробь – это иррациональное число (корень некоторого числа), однако есть математические константы, которые также являются бесконечными непериодическими дробями. Например: 𝜋 ≈ 3.14; 𝑒 ≈ 2.71 Действия над дробями 1. Сложение. При сложении дробей нужно, чтобы знаменатели были равны. Если знаменатели дробей равны, то операция сложения сводится к сложению числителей (знаменатель просто переписывается). Т.е.: 𝑎 𝑐 𝑎+𝑐 + = 𝑏 𝑏 𝑏 Пример: 2 3 2+3 5 + = = 7 7 7 7 Если знаменатели не равны, то необходимо привести дроби к общему знаменателю. Для этого используют основное свойство дроби и умножают числитель и знаменатель на недостающий множитель. При этом общий знаменатель представляет из себя НОК первоначальных знаменателей, а дополнительные множители – частное от деления нового (общего) знаменателя на старые (первоначальные) знаменатели. Пример: Общий знаменатель равен НОК(36; 90) = 540 5 7 5 ∙ 15 7 ∙ 6 75 42 117 13 540 540 + =[ + = + = = ]= 36 90 540 540 540 540 540 60 Дополнительные множители: = 15, =6 36 90 При сложении смешанных дробей (см. Смешанные дроби) необходимо учитывать одну особенность: между 1 1 целой и дробной частью стоит знак «+» (т.е. 3 3 = 3 + 3). Таким образом можно отдельно сложить целые и дробные части, после чего записать сумму в виде смешанной дроби (при необходимости нужно выделить целую часть, если у дроби числитель больше знаменателя) Пример: 11 3 11 3 11 12 23 Приводим к общему + 2 = (5 + 2) + ( + ) = [ = ]=7+( + )=7+ знаменателю 16 4 16 4 16 16 16 7 7 Так как числитель дробной части больше =[ =8 ]=7+1 знаменателя, выделим целую часть дроби 16 16 5 На практике, в большинстве случаев, выгодно перевести дроби в неправильные, после чего производятся вычисления. При сложении десятичных дробей (см. Десятичные дроби) необходимо складывать их как обычные числа в столбик, записав их с учетом положения запятой (запятая под запятой). Пример: 3.14 + 12.9 Произведем сложение в столбик: 3.14 +12.9 _ ___ _ 16.04 Также можно использовать следующий алгоритм: o Дополнить дроби до одинаковой длины после запятой нулями; o Сложить целые части; o Сложить дробные части. Если в результате сложения дробных частей количество цифр увеличилось, то излишек (первые цифры суммы, которые превысили длину дробной части) прибавляется к целой части. o Записать полученную дробь с запятой, удалить при необходимости излишки нулей (убрать все нули после последней ненулевой цифры в дробной части) Пример: Дополним нулями вторую дробь, 3.14 + 12.9 = [чтобы дробные части сравнялись] = 3.14 + 12.90 = по длине. Сложив целые части получаем 3 + 12 = 15. При сложении дробных частей получаем 14 + 90 = 104. Видно, что количество цифр увеличилось, =[ ] = 16.04 поэтому излишек, а именно 1, прибавим к целой части: 15 + 1 = 16. Соответственно дробная часть равна 04 Данная последовательность действий легко проводится в уме. При сложении рациональных дробей используем следующий алгоритм: o Разложим знаменатели на простейшие множители (см. разложение многочлена на множители); o Сформируем общий знаменатель из произведения множителей знаменателей в наибольших степенях; o Домножим числители на множители, которые появились в новом (общем) знаменателе, но которых не было в старом (первоначальном) знаменателе. o Запишем под одну черту дроби, сложив числители, а знаменатель перепишем. Пример: Найти значение выражения при 𝑎 = 1.25; 𝑏 = 0.04: 5 5 + 2 2 𝑎 + 𝑎𝑏 𝑏 + 𝑎𝑏 Преобразуем выражение: 5 5 5 5 Разложим знаменатель на множители: + 2 =[ 2 + = ]= 2 2 𝑎 + 𝑎𝑏 = 𝑎(𝑎 + 𝑏); 𝑏 + 𝑎𝑏 = 𝑏(𝑏 + 𝑎) 𝑎 + 𝑎𝑏 𝑏 + 𝑎𝑏 𝑎(𝑎 + 𝑏) 𝑏(𝑏 + 𝑎) Сформируем общий знаменатель: видно, что у нас есть общий множитель (𝑎 + 𝑏). Каждый из = [ имеющих множителей встечается по одному разу, поэтому общий знаменатель примет вид: ] = 𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏). Дополнительные множители будут соответственно равны 𝑏 и 𝑎 5𝑏 5𝑎 5𝑎 + 5𝑏 5(𝑎 + 𝑏) Разложим числитель = + = =[ = ]= на множители 𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏) 𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏) 𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏) 𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏) Сократим числитель и знаменатель 5 5 5 500 Подставим = [ на общий множитель (сокращать ] = =[ = = = 100 ]= 𝑎 = 1.25; 𝑏 = 0.04 𝑎𝑏 1.25 ∙ 0.04 0.05 5 можно ТОЛЬКО на множитель) 2. Вычитание Вычитание числовых дробей производится аналогично сложению. При вычитании алгебраических дробей важно помнить, что числитель является одним целым и не делимым, поэтому необходимо ставить скобки, чтобы правильно расставить знаки: Пример: Найти значение выражения при 𝑎 = 0.7; 𝑏 = 0.3: 𝑎 𝑏 приведем к 𝑎(𝑎 + 𝑏) 𝑏(𝑎 − 𝑏) − = [общему знаменателю] = − = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) 𝑎−𝑏 𝑎+𝑏 𝑎2 + 𝑎𝑏 𝑎𝑏 − 𝑏 2 𝑎2 + 𝑎𝑏 − (𝑎𝑏 − 𝑏 2 ) Так как перед дробью стоит знак "-", = − =[ = = ] то второй числитель берем в скобки (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) 𝑎2 + 𝑎𝑏 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 𝑎2 + 𝑏 2 0.72 + 0.32 0.49 + 0.09 0.58 58 = = 2 = = = = = 1.45 𝑎2 − 𝑏 2 𝑎 − 𝑏 2 0.72 − 0.32 0.49 − 0.09 0.4 40 3. Умножение. При умножении дробей используем следующее правило: 𝑎 𝑐 𝑎∙𝑐 ∙ = 𝑏 𝑑 𝑏∙𝑑 Пример: 5 3 5∙3 1∙1 1 Для удобства в вычислениях воспользуемся основным ∙ = =[ = = 0.125 ]= свойством дроби: сократим числитель и знаменатель 6 20 6 ∙ 20 2∙4 8 При умножении смешанных дробей (см. Смешанные дроби) необходимо перевести их в неправильные, после чего произвести те же действия, что и при умножении обыкновенных дробей. Пример: 1 2 2∙3+1 2 7 2 1 2 2 Переведем смешанную Сокращать дроби можно не 2 ∙ =[ ∙ = ∙ =[ ]= ]= ∙ = записывая их под одну черту дробь в неправильную 3 7 3 7 3 7 3 1 3 При умножении десятичных дробей (см. Десятичные дроби) можно использовать один из способов: Способ 1: Переход к обыкновенным дробям. Переводим десятичные дроби в неправильные и умножаем. Данный способ удобен, если в десятичной записи много цифр или если в будущем необходимо будет делить дроби или умножать дробь на обыкновенную. Способ 2: Умножение в столбик. Для умножения в столбик необходимо перемножить числа, не учитывая занятой, после чего отделить дробную часть, которая будет содержать столько-же цифр, сколько было в обоих дробных частях. Пример: 0.25 ∙ 13.3 Умножим данные числа, опустив запятую: 25 ∙ 133 = 3325 Отделим запятой три цифры, так как у первой дроби было две цифры после запятой, а у второй – одна (значит всего было три цифры после запятой). В результате получим ответ: 0.25 ∙ 13.3 = 3.325 Данный способ удобен, если далее в вычислениях не ожидается умножения или деление. При умножении рациональных дробей необходимо разложить числители и знаменатели на простейшие множители, чтобы в последствии иметь возможность сократить одинаковые множители. Пример: Найти значение выражения при 𝑎 = 0.5; 𝑏 = 1.25 𝑎3 + 𝑎2 𝑏 𝑎2 − 𝑏 2 + 4𝑏 − 4 Разложим числитель и знаменатель ∙ =[ ]= 2 2 3 на простейшие множители 𝑎 + 2𝑎 + 2𝑏 − 𝑏 𝑎 2 (𝑎 2 2 2 2 𝑎 + 𝑏) 𝑎 − (𝑏 − 4𝑏 + 4) 𝑎 (𝑎 + 𝑏) 𝑎 − (𝑏 − 2)2 = 2 ∙ = ∙ = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) + 2(𝑎 + 𝑏) 𝑎 − 𝑏 2 + 2𝑎 + 2𝑏 𝑎3 𝑎3 (𝑎 − 𝑏 + 2)(𝑎 + 𝑏 − 2) 𝑎2 (𝑎 + 𝑏) 𝑎2 (𝑎 + 𝑏) (𝑎 − (𝑏 − 2))(𝑎 + 𝑏 − 2) = ∙ = ∙ = 3 (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏 + 2) (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏 + 2) 𝑎 𝑎3 𝑎 + 𝑏 − 2 0.5 + 1.25 − 2 0.25 Сокращаем числитель и знаменатель =[ = =− = −0.5 ]= на одинаковые множители 𝑎 0.5 0.5 4. Деление. При делении дробей используют следующее правило: 𝑎 𝑐 𝑎 𝑑 ∶ = ∙ 𝑏 𝑑 𝑏 𝑐 То есть, деление заменяется умножением путем замены делителя на обратное число («переворота» второй дроби). Если дроби смешанные (см. Смешанные дроби) или десятичные (см. Десятичные дроби), то перед выполнением деления необходимо перевести их в неправильные (аналогично, как и при умножении). Рациональное выражения Многочленом называется сумма одночленов. Одночленом называется произведение чисел и переменных в натуральных степенях. При работе с рациональными выражениями необходимо раскладывать многочлены на множители. Существуют следующие основные методы: o Вынесение общего множителя за скобки. Если в выражении у каждого слагаемого есть одинаковый множитель (причем, он может быть как числом, так и некоторой буквой и даже целым выражением, стоящем в скобках), то его можно вынести за скобки. При этом нужно учитывать, что общий множитель должен быть идентичным в каждом слагаемом. Пример: Разложить на множители: 25𝑥 2 𝑦 + 15𝑥𝑦 = [ Видно, что в каждом слогаемом встречается общий числовой ] = 5𝑥𝑦(5𝑥 + 3𝑦) множитель 5, а также буквенные 𝑥 и 𝑦. Вынесем их за скобки В данном примере общим множителем является 5(𝑥 + 𝑦) − 12𝑥(𝑥 + 𝑦) = [ целое выражение (𝑥 + 𝑦), которое мы считаем ] = (𝑥 + 𝑦)(5 − 12𝑥(𝑥 + 𝑦)) целым и не делимым. 2 Часто бывают случаи, когда при вынесении общего множителя одно из слагаемых выносится полностью. В данном случае нужно помнить, что после вынесения общего множителя за скобки количество слагаемых не может измениться, поэтому вместо этого слагаемого мы ставим 1 (объясняется это тем, что у каждого слагаемого есть множитель 1, который мы не пишем. Однако при вынесении за скобки, так как ничего больше не остается, мы должны его прописать). Пример: Разложить на множители: При вынесечении общих множителей видно, что 25𝑥 2 𝑦 2 + 5𝑥𝑦 = [слогаемое 5𝑥𝑦 вынесется полностью. Поэтому вместо] = 5𝑥𝑦(5𝑥𝑦 + 1) него мы пишем 1 При вынесении множителей за скобки можно использовать следующее правило: За скобки выносятся одинаковые множители с наименьшей степенью. o Метод группировки. Суть метода заключается в том, что все выражение разбивается на группы одинаковой длины (т.е. число слагаемых в каждой группе должно быть одинаковым) по какому-то общему свойству (например, по знакам, общим множителям). После этого из каждой группы выносится общий множитель за скобки, причем в результате должны получится одинаковые скобки, которые выносятся из всего выражения. Пример: В данном случае стоит попробовать группировки, 2 2 2 5𝑥 − 𝑥𝑦 + 25𝑥 𝑦 − 5𝑥𝑦 = [так как можно сформировать две группы по два слагаемых.] = Для этого, например, объединим их по знакам. Вынесем из каждой скобки = (5𝑥 2 + 25𝑥 2 𝑦) + (−𝑥𝑦 − 5𝑥𝑦 2 ) = [ ] = 5𝑥 2 (1 + 5𝑦) − 𝑥𝑦(1 + 5𝑦) = общие множители В результате получились Видно, что во вторых скобках есть = [одинаковые скобки. Вынесем] = (1 + 5𝑦)(5𝑥 2 − 𝑥𝑦) = [ ]= общий множитель 𝑥. Вынесем и его. их за скобки. = (1 + 5𝑦)(5𝑥 − 𝑦)𝑥 Замечание: При разложении на множители всегда нужно проверять получившиеся множители на повторное разложение. При решении задач обычно требуется разложить выражение на простейшие множители, поэтому, если есть возможность еще что-то разложить – раскладываем! o Использование формул сокращенного умножения. Зачастую, при разложении используют формулы сокращенного умножения. Основные из них представлены в таблице (обратите внимание, что в качестве букв могут быть как числа, так и целые выражения, скобки и т.п.): Формулы Примеры 4 2 2 25𝑥 𝑦 − 81 = (5𝑥 𝑦)2 − 92 = (5𝑥 2 𝑦 − 9)(5𝑥 2 𝑦 + 9) 𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏 ) (𝑥 + 𝑦)2 − 𝑥 2 = ((𝑥 + 𝑦) − 𝑥)((𝑥 + 𝑦) + 𝑥) = 𝑦(2𝑥 + 𝑦) 𝑥 4 − 10𝑥 2 𝑦 + 25𝑦 2 = (𝑥 2 )2 − 2 ∙ 𝑥 2 ∙ 5𝑦 + (5𝑦)2 = (𝑥 2 − 5𝑦)2 (𝑎 ± 𝑏)2 = 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 2 (𝑥 + 𝑦)2 + 2𝑥(𝑥 + 𝑦) + 𝑥 2 = ((𝑥 + 𝑦) + 𝑥) = (2𝑥 + 𝑦)2 8𝑥 3 + 125 = (2𝑥)3 + 53 = (2𝑥 + 5)((2𝑥)2 − 2𝑥 ∙ 5 + 52 ) = 𝑎3 + 𝑏 3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) = (2𝑥 + 5)(4𝑥 2 − 10𝑥 + 25) (𝑥 − 𝑦)3 − 8𝑥 3 = (𝑥 − 𝑦)3 − (2𝑥)3 = = ((𝑥 − 𝑦) − 2𝑥)((𝑥 − 𝑦)2 + (𝑥 − 𝑦) ∙ 2𝑥 + (2𝑥)2 ) = 𝑎3 − 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) = (−𝑥 − 𝑦)(𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 2𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 4𝑥 2 ) = = −(𝑥 + 𝑦)(7𝑥 2 − 4𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) 8𝑥 3 + 12𝑥 2 𝑦 + 6𝑥𝑦 2 + 𝑦 3 = (2𝑥)3 + 3 ∙ (2𝑥)2 ∙ 𝑦 + 3 ∙ 2𝑥 ∙ 𝑦 2 + 𝑦 3 = (𝑎 ± 𝑏)3 = 𝑎3 ± 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 ± 𝑏 3 = (2𝑥 + 𝑦)3 Замечание: При разложении на множители очень часто используют не один метод, а комбинацию нескольких. Порядок применения следующий: ▪ Выносим за скобки все, что можно вынести; ▪ Ищем формулы сокращенного умножения; ▪ Если ничего не помогло – используем группировку. Если выражение зависит только от одной переменной, т.е. имеет вид: 𝑃𝑛 (𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 то можно использовать следующие формулы и теоремы: o Разложение квадратного трехчлена на множители Для того, чтобы разложить квадратный трехчлен на множители, используют следующую формулу: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ); где 𝑥1 , 𝑥2 − корни многочлена. Пример: Разложить многочлен на множители: 2𝑥 2 − 5𝑥 + 3 2 Найдем корни уравнения 2𝑥 − 5𝑥 + 3 = 0 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 25 − 4 ∙ 2 ∙ 3 = 25 − 24 = 1 𝑥1,2 = 3 −𝑏 ± √𝐷 5 ± 1 = = [𝑥1 = 2 2𝑎 2∙2 𝑥2 = 1 Таким образом, разложение примет вид: 3 2𝑥 2 − 5𝑥 + 3 = 2 (𝑥 − ) (𝑥 − 1) 2 Замечание: Если при нахождении корней многочлена мы получаем только один корень (дискриминант равен 0), то это говорит нам о том, что данный трехчлен представляет из себя полный квадрат и формула примет вид: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥0 )2 , где 𝑥0 − корень уравнения o Теорема Безу и деление многочленов в столбик. Теорема (Безу): Если 𝑥 = 𝑥0 – корень многочлена 𝑃𝑛 (𝑥), то многочлен делится на двучлен (𝑥 − 𝑥0 ) без остатка. Данная теорема позволяет Для того, чтобы делить многочлены, используют деление в столбик. Пример: Разложить на множители: 𝑥 3 − 6𝑥 2 − 𝑥 + 30 Путем подбора нашли корень многочлена: 𝑥 = −2. Разделим заданный многочлен на двучлен (𝑥 + 2): 𝑥 3 − 6𝑥 2 − 𝑥 + 30 𝑥 + 2 − 𝑥 3 + 2𝑥 2 𝑥 2 − 8𝑥 + 15 − 8𝑥 2 − 𝑥 + 30 − − 8𝑥 2 − 16𝑥 15𝑥 + 30 − 15𝑥 + 30 0 При деление многочленов в столбик используется тот-же алгоритм, что и пи делении чисел, только в данном случае мы обращаем внимание на старшие степени и коэффициенты перед ними. Преобразование алгебраических рациональных выражений Пример: Найти значение выражения: 1 1 (4𝑎2 − 9) ∙ ( − ) 2𝑎 − 3 2𝑎 + 3 Первым делом распределяем порядок действий. Первым действием выполним операцию в скобках (приведем к общему знаменателю): (2𝑎 + 3) − (2𝑎 − 3) 1 1 2𝑎 + 3 − 2𝑎 + 3 6 − = = = (2𝑎 − 3)(2𝑎 + 3) (2𝑎 − 3)(2𝑎 + 3) (2𝑎 − 3)(2𝑎 + 3) 2𝑎 − 3 2𝑎 + 3 Вторым действием найдем произведение. При этом будем раскладывать на множители первое выражение (разность квадратов) 6 6(2𝑎 − 3)(2𝑎 + 3) (4𝑎2 − 9) ∙ = =6 (2𝑎 − 3)(2𝑎 + 3) (2𝑎 − 3)(2𝑎 + 3) Ответ: 6
