Спектральный анализ периодических сигналов

1
Лекция 28.
Спектральний аналіз періодичних сигналів.
1 Періодичні сигнали і ряди Фур'є.
2 Спектри амплітуд і фаз.
3 Спектр періодичної послідовності прямокутних відео імпульсів.
4 Комплексна форма ряду Фур'є. Поняття негативної частоти.
5. Спектральний аналіз періодичної послідовності радіоімпульсів.
Л и те р а т у р а
Л1. с. 20-27, Л2. с. 40-47, Л3. 299- 312.
1. Периодические сигналы и ряды Фурье.
Периодическим сигналом называется любой сигнал, для которого выполняется условие
лов.
S (t )  S (t  nT ) , где n=1,2,3…,
Т- период следования сигна-
S(t)
T
tu

tu
2
tu
2
Um
t
Любой периодический сигнал можно представить в виде суммы элементарных составляющих (базисных функций). Если базисной функцией является
гармонический сигнал то ряд Фурье имеет вид:

0
n
1
n
(28.1)
n 1
a
S (t ) 
  A cos( n t   )
2
1 
2
T -круговая частота, определяемая величиной периода.
Введем основные формулы ряда Фурье: зададим на отрезке времени ортонормированный базис, образованный гармоническими функциями с кратными частотами: U 0 
и т.д.
1
2
2
2
2
2
2
cos
2t ; U 3 
sin
t ; U2 
sin
3t ;
; U1 
T
T
T
T
T
T
T
(28.2)
На основании принятой Фурье за базисные функции набора ортонормированных гармонических функций можно вывести формулы для нахождения коэффициентов и параметров ряда Фурье.
2
a 0 1 
  S (t )dt -постоянная составляющая ряда Фурье.
2 T 

2
a n   S (t ) cos n 1tdt
T 
- косинусная составляющая ряда Фурье.

2
bn   S (t ) sin n1tdt
T 
An  an  bn
2
-синусная составляющая ряда Фурье.
2
 n  arctg
bn
an
Запишем вторую тригонометрическую форму записи ряда Фурье:

a0
S (t ) 
  (a n cos n 1t  bn sin n 1t )
2
n 1
(28.3)
Согласно последним формулам в общем случае периодический сигнал
представляется как сумма постоянной составляющей и гармоник, частота первой
из которых равна 1 , второй 21 ,третьей 3 1 , и т. д. Число гармоник в сумме
для полного представления сигнала должно быть бесконечно велико.
2. Комплексная форма ряда Фурье. Понятие отрицательной частоты.
Ряд Фурье часто записывается в комплексной форме, что объясняется
удобством анализа прохождения сигнала через РТ цепи. Гармонический сигнал
вида S (t )  A cos( 0 t   ) можно представить в виде комплексного сигнала
отображаемого вектором на комплексной плоскости, по формуле Эйлера имеем:
1
cos( 0 t   )   (e j ( 0t  )  e  j ( 0t  ) )
2
(28.4)
Следовательно сигнал S (t ) можно представить в виде:
1   j j0t  j  j0t
A j0t A   j0t
S (t )  ( Ae e
 Ae e
) e

e
2
2
2
(28.5)
A -комплексная амплитуда.
A  -комплексно сопряженная амплитуда.
На комплексной плоскости оси абсцисс соответствует действительная
1 j  0t
e
часть комплексного числа, а оси ординат – мнимая. Колебания
отобра2
жаются вектором ОА1, а комплексно-сопряжонный ему вектор ОА2.
3
Im
ОА1
0
( 0 t   )
0
 ( 0 t   )
B
Re
 0
ОА2
А
и вращаются с угловой частотой  0 во взаим2
но противоположных направлениях. Суммарный вектор ОВ отображающий гар-
Оба вектора имеют длину
моническое колебание S (t ) и в любой момент времени совпадает с осью действительных чисел. Следовательно мнимая часть S (t ) равна 0. Вектор OA1 вращается
против часовой стрелки с положительной частотой с положительной частотой
 0 . Вектор OA2 вращается по часовой стрелке с отрицательной частотой   0 .
Отрицательная частота  0 носит чисто математический характер соответствую-
щий комплексному разложению и ни какого физического смысла не имеет.
Ряд Фурье в комплексной форме получается путем замены тригонометрических выражений на функции показательного вида, рассмотренные в комплексной плоскости. Для такой замены используются такие выражения.
e jn1t  cos(n1t )  j sin( n1t )
e jn1t  cos(n1t )  j sin( n1t )
А так же формулы Эйлера в прямом виде:
1 jn1t
(e
 e  jn1t )
2
1
sin( n1t ) 
(e jn1t  e  jn1t )
2j
cos( n1t ) 
Заменяя таким образом тригонометрические функции в ряде Фурье вида:

a0
S (t ) 
  (a n cos n 1t  bn sin n 1t )
2
n 1
Получим.
(28.6)
4
S (t ) 

jn1t
C
e
 n
(28.7)
n 1
1
Cn 
T
 (T
2
)
 S (t )e
 ( T
2
 jn1t
dt
(28.8)
)
За тем как был введен сопряженный ряд легко проследить рассмотрев следующие подстановки.
a n jn1t a n  jn1t bn jn1t j bn  jn1t j
e
 e
 e
 e

2
2
2j
j 2j
j
jb
jb
a  jbn jn1t a n  jbn  jn1t
 n e jn1t  n e jn1t  n
e

e
2
2
2
2
a n cos n1t  bn sin n1t 

a n jn1t a n  jn1t
e
 e
2
2
Введем в рассмотренное выражение комплексно сопряженные величины.
a n  jbn   a n  jbn

Cn 
и C n 
. Таким образом мы показали, что
2
2
a n cos n 1t  bn sin n 1t  c n e jn t  c  n e  jn t
1
1
На основании этого можно записать


a0
jn

t
S (t ) 
  C n e 1   C  n e  jn1t
2 n 1
n 1
(28.9)
Т.к. bn является нечетной функцией от n вида bn  bn (sin( n1t )) 
 sin( n1t ) , то C  n  C  n .И на основании этого вторая сумма ряда Фурье с комплексно-сопряженной заменяется на сумму с обычными коэффициентами C n , однако пределы суммирования изменяются от –1 до +  .

jn1t
0
n
(28.10)

Попробуем доказать правильность формулы для C n :
S (t )  C   C e
5

a

jb
1 2
n
С n  n
 
2
2T


2
2T


2
S
(
t
)
cos
n

tdt

j
S
(
t
)
sin
n

tdt

1
1
T
T T



2
2

T
2
T
2
T
2
 S (t )cos n1t  j sin n1t dt 

T
2
1
T
T
2
 jn1t
S
(
t
)
e
dt


T
2
Коэффициенты C n связаны с коэффициентами тригонометрического ряда
  1 a 2  b 2  An   arctg bn
C
n
n
n
выражением. n
an
2
2 ,
Общее выражение комплексного ряда Фурье можно привести к виду.

S (t )  C 0   C n e  j ( n1t  )

Смысл удвоения коэффициентов C n в тригонометрическом ряде становится
ясным из рассмотрения векторной диаграммы.
Im
A 
 Cn
2
Re
0
A
2
3. СПЕКТРЫ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ВИДЕОИМПУЛЬСОВ
Пусть w(t) определяет периодическую последовательность прямоугольных видеоимпульсов с амплитудой Um, длительностью tИ и периодом следования T 
2

(рис. 15.4). Такие импульсы применяются, например, в радиолокации, телевидении, автоматике.
6
Функция u(t) в пределах периода может быть описана как
Переходя к спектральному представлению, определим коэффициенты ее разложения в ряд Фурье. Расчет удобно вести в комплексной форме:
где q 
T
скважность импульсов,
tИ
Таким образом, в соответствии с выражением (15.7) получаем
Используя формулы Эйлера, от этой формы легко перейти к тригонометрической:
C0 U m

- постоянная составляющая
2
q
n
sin
2U m
q
- амплитуда n-й гормоники.
 Cn 
n
q
q
Здесь U 0 
U mn
Анализ полученных выражений позволяет сделать следующие выводы:
7
1. Постоянная составляющая и амплитуды всех гармоник пропорциональны амплитуде импульсов и уменьшаются с ростом их скважности, что объясняется
физически уменьшением энергии в импульсе (уменьшается его относительная
площадь).
2. Амплитуды Сп гармоник не зависят от сдвига импульсов во времени t0, а зависят лишь от их длительности (скважности). С другой стороны, начальные фазы гармоник зависят лишь от сдвига импульсов и не зависят от их амплитуды и
длительности, т. е. сдвиг сигнала во времени не влияет на его АЧС, а изменяет
только ФЧС.
3. Распределение амплитуд гармоник по величине подчиняется закону арочного
синуса: x 
n
n
, где x 
.Такая функция имеет арочную структуру (рис. 15.5) и
q
q
определяет появление перед амплитудами знака плюс или минус, что соответствует изменению от арки к арке фазы гармоник на ±π. С учетом этого выражение
(15.24) можно записать иначе:
где k=1, 2, 3, ...— номер арки или интервала значений переменной x 
n
,
q
при которых функция Sa ( x) 
sin x
x
принимает
определенные по знаку значения (положительные или отрицательные),
Переходя к анализу спектров, их особенности в общих чертах можно сформулировать так:
1. Спектральные линии находятся друг от друга на одинаковом расстоянии, равном частоте следования импульсов Ω.
2. Распределение спектральных линий по высоте определяется огибающей спектра, характер которой зависит от формы сигнала.
3. Для построения спектров можно воспользоваться методикой, суть которой в
следующем. В точках nΩ на расстоянии Ω одна от другой проводятся линии, перпендикулярные оси частот. В тех же координатах в нужном масштабе строится огибающая спектра. Точки пересечения перпендикуляров с огибающей спектра
определяют высоту спектральных линий.
4. Для построения огибающей удобно пользоваться типовыми кривыми или рассчитывать значения их ординат в характерных точках.
8
4. Амплитудно-частотный спектр
Огибающая АЧС последовательности прямоугольных видеоимпульсов описывается функцией
x  n
t И n

.
2
q
Рассмотрим комплексный спектр периодической последовательности прямоугольных видео импульсов.
С n
An
а0
2
0
1  2  3  4
c
A1  1
2

  4   3   2  1 0
С1
С n С2
С n
1  2  3  4

cn
An 
n2
и пересекает ось частот, когда х кратно л, т. е. п кратно q, τ. е. при частотах, кратных скважности. Поэтому именно эти частоты, равные
qn  n
2
tИ
отсутствуют в спектре.
Обычно при построении спектров откладывают относительные
9
величины, т. е.
C n U mn sin x


 Sa( x)
C0
2U 0
x
и получают
относительный или нормированный спектр (рис. 15.6).
Спектральные составляющие с наибольшей амплитудой расположены под первыми арками, в них сосредоточена и основная часть энергии сигнала. Поэтому эффективную ширину спектра можно определить как
(15.26)
C  (1  2,5)q .
Теоретически ширина спектра бесконечна, однако не все его составляющие оказывают действенное влияние на форму сигнала и имеют практическое значение.
Поэтому под шириной спектра обычно понимают ограниченный диапазон частот,
внутри которого распределена большая часть энергии сигнала. Ширина спектра,
так же как, например, полоса пропускания контура,— понятие условное.
Рассмотрим особенности АЧС при изменении длительности и частоты следования
импульсов (рис, 15.7).
С уменьшением частоты следования Ω при tИ=const происходит сгущение спектра: расстояние между спектральными линиями уменьшается. Ширина спектра,
определяемая его огибающей, не
меняется, а основная часть энергии распределяется на большем числе гармоник.
С увеличением длительности импульсов при Ω=const ширина арок и связанная с
ней ширина спектра уменьшаются: происходит относительное сжатие спектра.
Основная часть энергии распределяется на меньшем числе гармоник и сосредоточивается в области все более низких частот.
10
Таким образом, чем короче импульсы и больше их скважность, тем шире и гуще их спектр, и наоборот,
11
На практике часто приходится учитывать в спектре лишь конечное число гармоник. Точность аппроксимации исходной функции в этом случае зависит от числа учтенных гармоник. Она оказывается достаточной, если учитываются все гармоники, определяемые заданной шириной спектра.
Для периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов
значения спектральных составляющих изменяются по закону арочного синуса -
x
).
x
sin(sin
An
Um
q
A1
A2
A3
A5
1
2
3
A6
A7

4
Скважность q - количество гармоник под одной аркой + нулевая (постоянная величина). Так если скважность равна 4 то под первой аркой хранится 85%
всего сигнала. С увеличением частоты амплитуда спектральных составляющих
уменьшается
.
n
  arctg (nt0 )

1
2
3
4
5
6
7

5. Спектральный анализ периодической последовательности
радио импульсов.
S (t )
T
2

Um

tи
2
t
tи
2
TH 
2
H
tи
12
 Н  (єквивалентно  1 )
 Н -несущая частота.
Аналитическая форма записи.

U n
S (t )  
 0


tU
t
t  U
2
2
t
t U
2
(28.11)
а0
Найдем постоянную составляющую
:
2
a0 1

2 T
tи
2

U m cos  H tdt
t
и
2
H
H

Um
T  H

t
 t 
 sin  H и  sin  H   и  
2
 2 

(28.12)
2U m
t
U 
t

sin  H и  m sin  H и
T H
2 H
2
Т. к.
 Н достаточно большая величина  10 7 1012 и находится в знаменателе постоянной
а0
для радиоимпульсов можно пренебречь.
2
составляющей,
Найдем а n ряда Фурье.
an 


2
T
tи
2
 U m cos  H t  cos ntdt 

tи
2
2 Um

T 2
tи
2


cos( H  n)tdt
tи
2
2U m sin(  H  n)
T ( H  n)
tи
2
tи
2
2 Um

T 2
 H  n 
 H  n
tи
2


cos( H  n)tdt
tи
2
2U m sin(  H  n) 
T ( H  n)
tи
2
 H  n 
 n  n
tи
2 
13
Знаменатель второго слагаемого содержит большое число, тем более постоянно нарастающее,
значит им можно пренебречь.
Тогда:
an 
Um

q
sin(H  n) 
(H  n) 
tи
2
tи
2
Найдем bn ряда Фурье: .
Так как функция симметрична относительно начала отсчета, то
Запишем ряд Фурье для данного типа сигнале в общем виде.
равно 0.
tи
sin(H  n)
Um
2  cos( nt   (n  1))
S (t ) 

t
q n 1
(H  n) и
2

Нарисуем АЧС радиоимпульса.
АЧС-видеоимпульса.
An
а0
2
A1
A2
A3
A5
1
2
3
A6
A7
4
АЧС-радиоимпульса.

Аn
Н+2
Н+
Н-
Н-2
Н

Спектр периодической последовательности радиоимпульсов отличается от спектра
периодической последовательности видеоимпульсов только тем, что он смещен в
14
область высокой частоты
 Н , и амплитуда спектра уменьшилась в 2 раза.
S(t)
Um
tu
t0 
tu
2
t0
t0 
tu
2
t
Т 