1 - Воронежский государственный педагогический университет

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
Учебное пособие
для студентов дневного отделения
физико-математического факультета
специальность «математика–физика»
Воронеж 2009
УДК 517.11 (076)
Составитель:
кандидат физико-математических наук, доцент Н.А.Гордиенко
Логика предикатов. Учебное пособие для студентов дневного
отделения
физико-математического
факультета
специальность
«математика–физика» / сост.: Гордиенко Н.А. – Воронежский
госпедуниверситет, 2009. – 85 с.
Учебное пособие охватывает один из основных разделов математической
логики – логику предикатов. Подробно разобраны следующие темы:
основные понятия, связанные с предикатами, логические и кванторные
операции над предикатами, формулы логики предикатов, проблемы
разрешения для общезначимости и выполнимости формул логики
предикатов, применение логики предикатов к логико-математической
практике. В заключении приведен краткий обзор истории формирования и
развития математической логики.
Предназначено для студентов специальности «математика–физика»
дневного отделения физико-математического факультета Воронежского
госпедуниверситета.
© Гордиенко Н.А., составление, 2009
2
Предисловие
В эпоху всеобщего распространения компьютерной грамотности
закономерно возрастание роли математической логики в образовании.
Учитель, вводящий учеников в мир математики, информатики и
вычислительных машин, должен обладать достаточной логической
подготовкой.
Изучение курса математической логики способствует воспитанию
культуры логического мышления. Ее основой является осознание структуры
математической науки, существа ее фундаментальных понятий: аксиом,
доказательств, теорем. При построении любой теории нужно всякий раз
отчетливо осознавать, какие утверждения в данном случае приняты за
аксиомы, каковы условие и заключение той или иной доказываемой теоремы.
За осознанием структуры математической теоремы должно прийти
понимание методов ее доказательства. Специальное рассмотрение и
уточнение всех этих понятий с привлечением логической символики и
примеров из школьной и вузовской математики способствует ясности мысли
по этим вопросам, повышению требовательности к себе в отношении
точности формулировок теорем, обоснованности аргументации в
доказательствах. Ясность мысли приводит к ясности изложения. Это важно
для всех, кто изучает математику, но намного важнее для тех, кто учит
математике других.
Наконец, широчайшее распространение компьютеров, проникающих
буквально во все сферы нашей жизни, требует и массового внедрения,
начиная с самого раннего возраста, компьютерной культуры, т.е. понимание
возможностей компьютера и умения взаимодействовать с ним. Важнейшей
составной частью этой культуры является, в первую очередь, способность и
умение мыслить алгоритмически, т.е. весьма отчетливо определять
последовательность своих действий при решении той или иной задачи.
Конечно, мышление в области математических наук всегда было
наиболее алгоритмичным в сравнении с мышлением в области прочих наук.
Тем не менее, всеобщая компьютеризация наиболее отчетливо проявила
именно эту сторону математического мышления, потребовав от учителя
математики и информатики особым образом сосредоточиться на ее развитии
у своих учащихся. Учитель должен отчетливо осознавать неразрывную связь
методов математической логики и современных компьютеров. Эти методы
используются как при создании самих компьютеров (алгебра высказываний и
булевы функции – математический аппарат для конструирования
переключательных схем), так и при создании математического обеспечения к
ним (в основе многочисленных языков программирования лежит логика
предикатов и теория алгоритмов; например, название языка PROLOG
означает сокращение от слов «программирование логическое»).
3
Кроме того, синтез логики и компьютеров привел к возникновению баз
данных и экспертных систем – важнейших этапов на пути к созданию
искусственного интеллекта – машинной модели человеческого разума.
Понимать все эти взаимосвязи, чтобы квалифицированно учить других, –
сложная задача современного учителя.
В первом параграфе «Недостаточность логики высказываний»
рассматриваются примеры, подтверждающие вывод о том, что на языке
логики высказываний мы не можем отделить логическую структуру
рассуждений от их конкретного содержания, не можем выразить схему этих
рассуждений. Тем самым обосновывается заключение: логика высказываний
не дает нам средств для достаточно тонкого анализа рассуждений.
Следовательно, возникает необходимость в расширении логики
высказываний, в построении такой логической системы, средствами которой
можно было бы исследовать и структуру тех высказываний, которые в
рамках логики высказываний рассматриваются как элементарные. Этой
системой и является логика предикатов.
Во втором параграфе «Основные понятия, связанные с предикатами»
вводится понятие предиката как логической функции
n-предметных
(высказывательных) переменных, приводится классификация предикатов
(тождественно истинные, тождественно ложные, выполнимые и
опровержимые предикаты), изучается множество истинности предиката, а
также равносильность предикатов.
В третьем параграфе «Логические операции над предикатами»
устанавливается, что над предикатами можно проделывать те же самые
логические операции, что и над высказываниями: отрицание, конъюнкцию,
дизъюнкцию, импликацию и эквиваленцию, приводятся определения этих
операций, изучаются их свойства, а также свойства областей истинности
предикатов, являющихся результатами перечисленных операций.
Четвертый параграф «Кванторные операции над предикатами»
посвящен изучению таких операций, которые не имеют аналогов среди
операций над высказываниями. Имеются в виду две кванторные операции
над предикатами (или операции квантификации) с помощью квантора
общности и квантора существования, которые служат для уменьшения
переменных или превращения одноместного предиката в высказывание.
В пятом параграфе «Формулы логики предикатов» приводится
определение (довольно громоздкое и описательное) формул логики
предикатов и изучается классификация формул логики предикатов
(выполнимые, опровержимые, тождественно истинные, тождественно
ложные, общезначимые (тавтологии) и противоречия), а также
рассматриваются примеры различных формул.
В шестом параграфе «Проблемы разрешения для общезначимости и
выполнимости формул» прежде всего, отмечается тот факт, что в алгебре
высказываний существует четкий алгоритм, позволяющий для каждой
4
формулы алгебры высказываний ответить на вопрос, будет ли данная
формула выполнима, тождественно истинна или тождественно ложна. Для
этого нужно, например, составить таблицу истинности формулы и
посмотреть на распределение значений «И» и «Л» в последнем столбце.
После этого ставится вопрос: существует ли единый алгоритм, позволяющий
для каждой формулы логики предикатов определить, будет ли она
выполнимой или общезначимой. При этом получается отрицательный ответ:
такого общего алгоритма не существует. Это было доказано в 1936 году
американским математиком А.Чёрчем. Тем не менее, для некоторых частных
видов формул данная проблема допускает решение (приведены примеры
таких формул). В частности, если формула логики предикатов
рассматривается на конечном множестве, то вместо ее предикатных
переменных могут подставляться конкретные предикаты, определенные на
этом конечном множестве. Ввиду того, что операции квантификации на
конечном множестве сводятся к конъюнкции и дизъюнкции, задача о
выполнимости и общезначимости формулы логики предикатов на конечном
множестве сводится к задаче о выполнимости или общезначимости
некоторой формулы алгебры высказываний. Последняя же задача
эффективно разрешима.
В седьмом параграфе «Применение логики предикатов к логикоматематической
практике»
на
достаточно
простых
примерах
проиллюстрирована суть теории логического вывода и ее применение.
Основное внимание уделено применению тех аспектов логики предикатов,
которые весьма полезны учителю математики не только для формирования
его логической культуры, но и для практического оперирования
рассматриваемыми понятиями и методами непосредственно в процессе
преподавания, а именно: грамотная запись на языке логики предикатов
различных математических предложений; более углубленный, нежели в
алгебре высказываний, анализ строения математических теорем; применение
теории множеств в логике предикатов. Кроме того, в этом же параграфе
изучены основы теории категорического силлогизма, а также разобраны все
19 возможных правильных модусов аристотелевской силлогистики.
В завершение в краткой форме изложена история формирования и
развития математической логики.
5
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЕ
К ЭЛЕМЕНТАРОЙ МАТЕМАТИКЕ
§ 1. Недостаточность логики высказываний
1.1. Рассуждения, не анализируемые средствами логики высказываний
Если при выводе одних высказываний из других учитывается
внутренняя структура элементарных высказываний, то для выяснения
правильности такого рассуждения средства логики высказываний
оказываются недостаточными.
Например, правильность рассуждения
(а) «Всякое целое число – рациональное число. 1-целое число.
Следовательно, 1 – рациональное число»
нельзя установить средствами логики высказываний, так как в нем посылки и
заключение с точки зрения этой логики – элементарные высказывания,
рассматриваемые как целые, неделимые, без учета их внутренней структуры.
Нетрудно заметить, что рассуждение
(б) «Всякий ромб – параллелограмм. ABCD – ромб. Следовательно,
ABCD – параллелограмм» ,
хотя отличается по содержанию от рассуждения (а) , имеет ту же структуру,
и следование заключения из посылок в этих рассуждениях определяется
именно их структурой, а не содержанием.
Однако на языке логики высказываний мы не можем отделить
логическую структуру этих рассуждений от их конкретного содержания, не
можем выразить схему этих рассуждений. Если мы попытаемся это сделать,
заменяя каждое элементарное высказывание переменной, то каждое из
рассуждений (а) и (б) приняло бы форму «Из р и q следует r ».
Совершенно очевидно, что такое представление рассуждений не дает
возможность выяснить, действительно ли следует заключение r из посылок
р и q , так как в нем не отражена структура посылок и заключения.
Таким образом, логика высказываний не дает нам средств для
достаточно тонкого анализа рассуждений. Это объясняется тем, что логика
высказываний построена на весьма существенном ограничении: она
ограничивается сведением сложных высказываний к элементарным, а
последние рассматривает как целые, не расчленяемые далее объекты, хотя
они не являются самыми простыми элементами рассуждений и обладают
внутренней структурой, играющей важную роль в выводах. Поэтому на
языке логике высказываний нельзя получить все те средства вывода, которые
необходимы, в частности, для построения различных математических теорий.
6
Возникает необходимость в расширении логики высказываний, в
построении такой логической системы, средствами которой можно было бы
исследовать и структуру тех высказываний, которые в рамках логики
высказываний рассматриваются как элементарные.
1.2. Расчленение элементарных высказываний
Недостаточность логики высказываний выражается также тем, что она,
не расчленяя элементарные высказывания, не отличает высказывание,
выражающее
свойство
предмета, от высказывания, выражающего
отношение между предметами, не дает нам средств для выражения свойств
и отношений.
В этом же смысле недостаточна и традиционная формальная логика,
хотя она и расчленяет элементарное высказывание на субъект (буквально –
подлежащее, хотя оно может играть и роль дополнения) и предикат
(буквально – сказуемое, хотя оно может играть и роль определения).
Субъект – это то, о чем что-то утверждается или отрицается в
высказывании; предикат – то, что утверждается или отрицается о субъекте.
Например, в высказывании «ромб есть параллелограмм», «ромб» субъект, «параллелограмм» - предикат («есть» - связка). Это высказывание
истолковывается как утверждение о том, что ромб обладает свойством «быть
параллелограммом» или, что множество ромбов включается в множество
параллелограммов.
Такое расчленение элементарного высказывания на субъект и
предикат, характерное для традиционной логики, достаточно лишь в тех
случаях, когда элементарное высказывание выражает свойство предмета, но
не пригодно для случая, когда оно выражает отношение между предметами.
Например, элементарные высказывания «Число 2 меньше числа 3»,
«точка А лежит между точками В и С» и т.п. уже нельзя представить в
виде «S есть Р», где S – субъект, Р – предикат. Можно, конечно, считать,
например, во втором из этих примеров, А – субъектом, а свойство «лежит
между В и С» – предикатом, но такое представление, во-первых,
неоднозначно (можно понимать приведенное высказывание как
высказывание о В или о С) и, во-вторых, при этом происходит далеко не
всегда желательное «склеивание» различных субъектов (в данном случае – В
и С) в один предикат.
Логика предикатов также исходит из расчленения элементарных
высказываний на субъект (или субъекты) и предикат, но это расчленение
осуществляется не так, как в традиционной логике.
Понятие предиката обобщает понятие высказывания, а теория
предикатов представляет собой более тонкий инструмент, по сравнению с
теорией высказываний, для изучения закономерностей процессов
7
умозаключения и логического
математической логики.
следования,
составляющих
предмет
§ 2. Основные понятия, связанные с предикатами.
2.1. Понятие предиката
В высказывании все четко: это конкретное утверждение о конкретных
объектах – истинное или ложное. Предикат – предложение, похожее на
высказывание, но все же им не являющееся: о нем нельзя судить, истинно
оно или ложно. Приведем следующее определение.
Определение 1.
n-местным предикатом Р , определенным на
множестве А1  А2  . . .  Аn , называется
n-арное отношение, или
логическая функция Р n предметных (высказывательных) переменных:
P
И , Л  ,
A1  A2  . . .  An 
или
xi  Ai
P
x1 , x 2 , . . . , x n  
И , Л ,
(i  1, 2 , . . . , n) ;
P x1 , x 2 , . . . , x n   И , Л , .
Множество А1  А2  . . .  Аn называется областью определения n-местного
предиката Р.
Если А1 = А2 = . . . = Аn = А , то областью определения предиката Р
является множество Аn :
P
И , Л .
A n 
Пример 1. Предложение «Река х впадает в озеро Байкал» является
одноместным предикатом, определенным на множестве всех названий рек.
Подставив вместо предметной переменной х название «Воронеж», получим
высказывание «Река Воронеж впадает в озеро Байкал». Это высказывание
ложно. Подставив вместо предметной переменной х название «Баргузин»,
получим истинное высказывание «Река Баргузин впадает в озеро Байкал».
Пример 2. Предложение
« x2  y2  9»
является двухместным предикатом, заданном на множестве R  R = R2 .
Пара действительных чисел 2 , 1 превращает данный предикат в истинное
высказывание
« 2 2  12  9 » ,
а пара чисел 3 , 3 – в ложное высказывание
« 32  32  9 » .
8
2.2. Классификация предикатов
Определение 2. Предикат
А1  А2  . . .  Аn , называется:
P x1 , x2 , . . . , xn  , заданный на множестве
1) тождественно истинным, если при любой подстановке вместо
переменных х1 , х2 , . . . , хn любых конкретных предметов а1 , а2 , . . . ,
аn из множеств А1 , А2 , . . . , Аn он превращается в истинное
высказывание Pa1 , a 2 , . . . , a n  ;
2) тождественно ложным, если при любой подстановке вместо
переменных х1 , х2 , . . . , хn любых конкретных предметов а1 , а2 , . . . ,
аn из множеств А1 , А2 , . . . , Аn он превращается в ложное
высказывание Pa1 , a 2 , . . . , a n  ;
3) выполнимым (опровержимым), если существует по крайней мере один
набор предметов а1 , а2 , . . . , аn из множеств А1 , А2 , . . . , Аn , при
подстановке которого вместо соответствующих предметных
переменных в предикат Pa1 , a 2 , . . . , a n  последний превращается в
истинное (ложное) высказывание.
Пример 3. Одноместный предикат «Город х расположен на берегу
реки Волги», определенный на множестве названий городов, является
выполнимым, потому что существуют города, названия которых превращают
данный предикат в истинное высказывание, или, как говорят, удовлетворяют
данному предикату (например, Ульяновск, Саратов и др.). Но данный
предикат не является тождественно истинным, потому что существуют
города, названия которых превращают его в ложное высказывание
(например, Москва, Прага и др.). Этот же предикат является примером
опровержимого, но не тождественно ложного высказывания.
Пример 4. Одноместный предикат
« sin 2 x  cos 2 x  1 » ,
определенный на множестве действительных чисел, тождественно истинный.
Пример 5. Двухместный предикат
« x2  y2  0 »
определенный на множестве действительных чисел R2, тождественно
ложным предикатом, потому что любая пара действительных чисел
превращает его в ложное высказывание.
Замечание.
Отметим некоторые очевидные закономерности
взаимосвязей между предикатами различных типов:
1)
каждый тождественно истинный предикат является выполнимым, но
обратное неверно;
9
2)
каждый тождественно ложный предикат является опровержимым, но
обратное неверно;
3)
каждый не тождественно истинный предикат будет опровержимым, но,
вообще говоря, не будет тождественно ложным;
4)
каждый не тождественно ложный предикат будет выполнимым, но,
вообще говоря, не будет тождественно истинным.
2.3. Множество истинности предиката
Определение 3. Множеством
истинности
предиката
P x1 , x2 , . . . , xn  , заданного на множестве А1  А2  . . .  Аn , называется
совокупность всех упорядоченных n-систем a1 , a 2 , . . . , a n  , в которых
ai  Ai (i  1, 2 , . . . , n) , таких, что данный предикат обращается в истинное
высказывание Pa1 , a 2 , . . . , a n  при подстановке
x1  a1 , x 2  a 2 , . . . , x n  a n .
Это множество обозначается Р+. Таким образом,
P   a1 , a2 , . . . , an  Pa1 , a2 , . . . , an   И .
Множество Р+ истинности n-местного предиката P x1 , x2 , . . . , xn 
представляет собой n-арное отношение между элементами множеств А1 ,А2 ,
. . . , Аn . Если предикат Р(х) одноместный, заданный на множестве А , то
его множество истинности Р+ является подмножеством множества М :
P  M .
Пример 6. Множеством истинности двухместного предиката «Точка х
принадлежит прямой у», заданного на множестве Е всех точек плоскости и
на множестве F всех прямых этой плоскости, является бинарное отношение
принадлежности (инцидентности) между точками и прямыми плоскости.
Пример 7. Множество истинности двухместного предиката
S (x, y) = « x 2  y 2  9 » ,
заданного на множестве
R2 , есть множество S+ всех таких пар
действительных чисел, которые являются координатами точек плоскости,
образующими окружность с центром в начале координат радиуса 3 .
Пример 8. Множеством истинности одноместного предиката
А(х) = « | x | > 2 »
будет
А+ =   ,  2   2 ,    .
10
В терминах множества истинности легко выразить понятия, связанные
с классификацией предикатов. В самом деле, нетрудно понять, что nместный предикат P x1 , x2 , . . . , xn  , заданный на множестве А1  А2  . . .  Аn,
будет:
1)
тождественно истинным тогда и только тогда, когда
Р+ = А1  А2  . . .  Аn ;
2)
тождественно ложным тогда и только тогда, когда
Р+ = Ø ;
3)
выполнимым тогда и только тогда, когда
Р+  Ø ;
4)
опровержимым тогда и только тогда, когда
Р+  А1  А2  . . .  Аn .
2.4. Равносильность и следование предикатов
P x1 , x2 , . . . , xn 
Определение 4. Два
n-местных предиката
и
Q x1 , x 2 , . . . , x n  , заданных на одном и том же множестве А1  А2  . . .  Аn ,
называются равносильными тогда и только тогда, когда совпадают их
множества истинности:
P+ = Q+ .
Обозначение:
P+  Q+ , или P+  Q+ .
Пример 9. Требуется решить уравнение (найти множество истинности
предиката):
4х – 2 = −3х – 9 .
Преобразуем его равносильным образом:
4х – 2 = −3х – 9  7х = −7  х = −1 .
Ответ:
{−1} – множество всех решений данного уравнения
(множество истинности данного предиката).
Замечание.
Два предиката могут быть равносильными, если их
рассматривать над одним множеством, и неравносильными, если их
рассматривать над другим. Например, предикаты
x  y  15 и
x  y 15
равносильны на множестве (R+)2 и неравносильны на множестве (R−)2.
11
Определение 5. Предикат Q x1 , x 2 , . . . , x n  , заданный на множестве
А1  А2  . . .  Аn , называется следствием предиката P x1 , x2 , . . . , xn  ,
заданного на том же множестве, тогда и только тогда, когда
P+  Q+ .
Утверждение о том, что предикат Q
Р, обозначается
является следствием предиката
P  Q.
Пример 10.
Одноместный предикат « n
делится на
3»,
определенный на множестве натуральных чисел, является следствием
одноместного предиката « n делится на 6», определенного на том же
множестве.
Пример 11.
Из двух предикатов
x  y  15 и
x  y 15
первый будет следствием второго, если считать, что оба предиката заданы на
множестве целых чисел.
Язык множеств истинности позволяет установить взаимосвязь между
понятиями равносильности и следования предикатов: два предиката,
определенные на одном и том же множестве, равносильны тогда и только
тогда, когда каждый из них является следствием другого. Этот язык
позволяет установить также следующие утверждения.
Теорема 1. Каждые два тождественно истинных (тождественно
ложных) предиката, заданных на одном и том же множестве, равносильны.
Теорема 2. Всякий предикат, равносильный тождественно истинному
(тождественно ложному) сам является тождественно истинным
(тождественно ложным).
Теорема 3. Каждый тождественно истинный n-местный предикат
является следствием любого другого n-местного предиката, определенного
на том же множестве.
Теорема 4. Каждый n-местный предикат является следствием любого
тождественно ложного n-местного предиката, определенного на том же
множестве.
Теорема 5. Пусть P x1 , x2 , . . . , xn  и Q x1 , x 2 , . . . , x n  − два nместных предиката, определенных на одном и том же множестве, причем
Q x1 , x 2 , . . . , x n  является следствием P x1 , x2 , . . . , xn  . Тогда:
1)
P x1 , x2 , . . . , xn 
если
тождественно истинный (выполнимый)
предикат, то и Q x1 , x 2 , . . . , x n  также тождественно истинный
(выполнимый);
12
2)
Q x1 , x 2 , . . . , x n 
если
тождественно ложный (опровержимый)
P x1 , x2 , . . . , xn 
предикат, то и
тождественно ложный
(опровержимый).
Докажем последнюю теорему.
Доказательство.
По условию
P  Q,
поэтому
P+  Q+ .
Если теперь Р – тождественно истинный предикат, то
Р+ = А1  А2  . . .  Аn ,
где А1  А2  . . .  Аn − область определения предикатов Р и Q . Но
Q+  А1  А2  . . .  Аn ,
поэтому
Q+ = А1  А2  . . .  Аn ,
следовательно, предикат Q также тождественно истинный.
Если же Р – выполнимый предикат, то
Р+  Ø .
Но
P+  Q+ ,
поэтому
Q+  Ø ,
следовательно, предикат Q также выполнимый.
Если теперь Q – тождественно ложный предикат, тогда
Q+ = Ø ;
но
P+  Q+ ,
поэтому
Р+ = Ø ,
следовательно, предикат Р также тождественно ложный.
Наконец, пусть Q – опровержимый предикат, тогда
Q+  А1  А2  . . .  Аn ,
где А1  А2  . . .  Аn − область определения предикатов Р и Q .
13
Поскольку, кроме того,
P+  Q+ и Р+  А1  А2  . . .  Аn ,
то
Р+  А1  А2  . . .  Аn ,
следовательно, предикат Р также опровержимый.
§ 3. Логические операции над предикатами
Над предикатами можно проделывать те же самые логические
операции, что и над высказываниями: отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию,
импликацию и эквиваленцию. Рассмотрим эти операции в их связи с
операциями над множествами.
3.1. Отрицание предиката
Определение 6. Отрицанием n-местного предиката P x1 , x2 , . . . , xn  ,
определенного на множестве А1  А2  . . .  Аn , называется новый n-местный
P x1 , x 2 , . . . , x n  (читается «неверно, что
P x1 , x2 , . . . , xn  »),
предикат
который превращается в истинное высказывание при всех тех значениях
предметных переменных, при которых исходное высказывание превращается
в ложное высказывание.
Другими словами, предикат P x1 , x 2 , . . . , x n  таков, что для любых
ai  Ai (i  1, 2 , . . . , n)
предметов
высказывание
является отрицанием высказывания P x1 , x2 , . . . , xn  .
P x1 , x 2 , . . . , x n 
Пример 12. Отрицанием одноместного предиката « х  3 » ,
определенного на множестве R , является одноместный предикат « х > 3 » ,
определенный на том же множестве R .
Пример 13. Отрицанием предиката «Река х впадает в озеро Байкал»
является предикат «Река х не впадает в озеро Байкал» (оба одноместных
предиката определены на множестве названий рек).
Пример 14. Отрицанием предиката
« sin 2 x  cos 2 x  1 »
является предикат
« sin 2 x  cos 2 x  1 » ,
(x , y  R).
P x1 , x2 , . . . , xn  ,
Теорема 6.
Для
n-местного предиката
определенного на множестве А1  А2  . . .  Аn , множество истинности его
14
P x1 , x 2 , . . . , x n 
отрицания
истинности данного предиката:
совпадает с дополнением множества
P 

 P .
Замечание. Следует понимать, что дополнение рассматривается в
множестве А1  А2  . . .  Аn , т.е.
P 

  A1  A2  . . .  An  \ P  .
Доказательство. Согласно определениям отрицания и множества
истинности предиката, а также определению дополнения множества имеем:
P

 a1 , a 2 , . . . , a n  Pa1 , a 2 , . . . , a n   Л  =


 a1 , a 2 , . . . , a n  a1 , a 2 , . . . , a n   P  =
  A1  A2  . . .  An  \ P   P  .
Следствие. Отрицание предиката будет тождественно истинным
тогда и только тогда, когда исходный предикат тождественно ложен.
Доказательство. Тождественная истинность предиката, выраженная
на языке множества истинности, означает:
P 

  A1  A2  . . .  An  .

Подставим в это равенство значение для P
 A1  A2  . . .  An  \ P 

из доказанной теоремы:
 A1  A2  . . .  An .
Вспоминая определение разности двух множеств, приходим к выводу, что
P = Ø .
Значит, предикат P x1 , x2 , . . . , xn  тождественно ложен.
Пример 15. Требуется выяснить, является ли предикат
O(f) : « f – нечетная функция»
отрицанием предиката
Е(f) : « f – четная функция»
(оба одноместных предиката определены на множестве всех действительных
функций одного действительного аргумента).
Множество истинности О+ предиката O(f) не является дополнением
множества истинности Е+ предиката Е(f) , потому что не всякая функция, не
являющаяся четной, будет непременно нечетной. Другими словами,
существуют функции общего вида, не являющиеся ни четными, ни
15
нечетными. Следовательно, предикат
предиката Е(f) .
O(f)
не является отрицанием
Замечание.
В алгебре высказываний существенным было не
содержание высказывания, а лишь его значение истинности, т.е.
отождествлялись (не различались) между собой, с одной стороны, все
истинные высказывания, а с другой – все ложные. В некотором смысле
аналогичная ситуация имеется и в алгебре предикатов: здесь не различаются
равносильные предикаты. Подходя с такой точки зрения к определению
отрицания предиката, можно за отрицание данного предиката
P x1 , x2 , . . . , xn 
принять любой из равносильных предикатов,
удовлетворяющих этому определению. Например, отрицанием предиката
« | x | > 2 »,
заданного на R , является каждый из следующих (равносильных между
собой) предикатов:
« | x | ≤ 2 »,
«  x   2   x  2 »,
« x   2 ; 2 » .
Отрицанием предиката
« x 2 ≥ 0 »,
также заданного на R (этот предикат тождественно истинный), является
каждый из следующих (равносильных между собой) предикатов:
« x 2 < 0 »,
« | x | < 0 »,
« ex < 0 »,
« sin x = 2 » .
3.2. Конъюнкция двух предикатов
Определение 7. Конъюнкцией n-местного предиката P x1 , x2 , . . . , xn  ,
определенного на множестве А1  А2  . . .  Аn , и m-местного предиката
Q x1 , x 2 , . . . , x m  , определенного на множестве В1  В2  . . .  Вm ,
называется новый (n+m)-местный предикат, определенный на множестве
А1  А2  . . .  Аn  В1  В2  . . .  Вm ,
P x1 , x2 , . . . , xn   Q x1 , x 2 , . . . , x m 
(читается « P x1 , x2 , . . . , xn  и Q x1 , x 2 , . . . , x m  »), который превращается в
истинное высказывание при всех тех и только тех значениях предметных
переменных, при которых оба исходных предиката превращаются в
истинные высказывания.
P x1 , x2 , . . . , xn   Q x1 , x 2 , . . . , x m 
Другими словами, предикат
ai  Ai (i  1, 2 , . . . , n) ,
таков,
что
для
любых
предметов
b j  B j (i  1, 2 , . . . , m) высказывание Pa1 , a 2 , . . . , a n   Qb1 , b2 , . . . , bm 
является конъюнкцией высказываний Pa1 , a 2 , . . . , a n  и Qb1 , b2 , . . . , bm  .
Пример 16. Конъюнкцией двух одноместных предикатов
16
« x > −3 » и « x < 3 » ,
определенных на R , будет одноместный предикат
«  x   3   x  3 » ,
заданный на R , записываемый короче в виде
равносилен предикату
«  3  x  3 » , который
« | x | < 3 ».
Пример 17. Конъюнкцией двух одноместных предикатов
«x=0» и «y=0»,
заданных на R , будет двухместный предикат
«  x  0    y  0 » ,
заданный на R2 , который равносилен предикату
« x 2  y 2  0 ».
Операцию конъюнкцию можно применять к предикатам, имеющим
общие переменные. В этом случае число переменных в новом предикате
равно числу n + m – k , где n – число переменных первого предиката, m –
число переменных второго предиката, k – число переменных, общих для
обоих предикатов. Именно такой случай представлен в примере 1. Более
того, если оба предиката определены на одних и тех же множествах и зависят
от одних и тех же переменных, то для них справедлива следующая теорема.
P x1 , x2 , . . . , xn 
Теорема 7. Для
n-местных
предикатов
и
Q x1 , x 2 , . . . , x n  , определенных на множестве А1  А2  . . .  Аn ,
P x1 , x2 , . . . , xn   Q x1 , x 2 , . . . , x n 
множество истинности конъюнкции
совпадает с пересечением множеств истинности исходных предикатов:
P  Q  
 P Q .
Доказательство. Согласно определениям конъюнкции и множества
истинности предиката, а также определению пересечения множеств имеем:
P  Q 
Pa1 , a 2 , . . . , a n   И ; 

 a1 , a 2 , . . . , a n 
 =


Q
a
,
a
,
.
.
.
,
a

И
1
2
n


 a1 , a 2 , . . . , a n  Pa1 , a 2 , . . . , a n   И  
 a1 , a 2 , . . . , a n  Qa1 , a 2 , . . . , a n   И  
 P  Q .
Следствие. Конъюнкция двух предикатов будет тождественно
истинной тогда и только тогда, когда оба данных предиката тождественно
истинны.
17
Доказательство. Тождественная истинность предиката, выраженная
на языке множества истинности, означает:
P  Q    A1  A2  . . .  An  .
Тогда на основании доказанной теоремы:
P  Q
 A1  A2  . . .  An ,
т.е. пересечение двух подмножеств Р+ и Q+ множества А1  А2  . . .  Аn
совпадает с самим этим множеством. Следовательно,
P  Q
 A1  A2  . . .  An ,
что означает: предикаты Р и Q тождественно истины.
Значительный раздел школьной математики составляют системы
уравнений и неравенств. При их решении используется только что
доказанная теорема.
Пусть, например, требуется решить систему неравенств
 | x |  3,

 x  2.
Для этого нужно найти множество истинности предиката
«  | x |  3   x  2  » ,
определенного на R . На основании доказанной теоремы
 | x |  3  x  2   | x |  3  x  2
  3 ; 3  [2 ;  )  [2 ; 3) .

Таким образом, решением данной системы является множество [2 ; 3).
P x1 , x2 , . . . , xn 
Следует
отметить,
что
в
предикаты
и
Q x1 , x 2 , . . . , x n  , о которых идет речь в доказанной теореме, некоторые
предметные переменные могут в действительности не входить, т.е. быть
фиктивными. Это нужно понимать так, что значение истинности
высказывания, в которое превращается данный предикат, не зависит от того,
какие предметы подставляются вместо таких фиктивных переменных. При
решении систем уравнений и неравенств данная ситуация встречается часто.
Например, решением системы уравнений
 x  y  1,

 y  z  2,
 z  x 3

является множество, состоящее из одной упорядоченной тройки чисел
(1, 0, 2), хотя первое уравнение не зависит от z , второе – от х , а третье – от
у.
18
3.3. Дизъюнкция двух предикатов
Определение 8. Дизъюнкцией n-местного предиката P x1 , x2 , . . . , xn  ,
определенного на множестве А1  А2  . . .  Аn , и m-местного предиката
Q x1 , x 2 , . . . , x m  , определенного на множестве В1  В2  . . .  Вm ,
называется новый (n+m)-местный предикат, определенный на множестве
А1  А2  . . .  Аn  В1  В2  . . .  Вm ,
P x1 , x2 , . . . , xn   Q x1 , x 2 , . . . , x m 
(читается « P x1 , x2 , . . . , xn  или Q x1 , x 2 , . . . , x m  »), который превращается в
истинное высказывание при всех тех и только тех значениях предметных
переменных, при которых в истинное высказывание превращается по
меньшей мере один из исходных предикатов.
P x1 , x2 , . . . , xn   Q x1 , x 2 , . . . , x m 
Другими словами, предикат
ai  Ai (i  1, 2 , . . . , n) ,
таков,
что
для
любых
предметов
b j  B j (i  1, 2 , . . . , m) высказывание Pa1 , a 2 , . . . , a n   Qb1 , b2 , . . . , bm 
является конъюнкцией высказываний Pa1 , a 2 , . . . , a n  и Qb1 , b2 , . . . , bm  .
Операцию дизъюнкцию, как и операцию конъюнкцию, можно
применять к предикатам, имеющим общие переменные.
Пример 17. Дизъюнкцией двух одноместных предикатов « х – четное
число» и « х – простое число», определенных на N , является одноместный
предикат
« х – четное или простое число».
Пример 18. Дизъюнкцией двух одноместных предикатов
« x  0 » и « y 0 » ,
определенных на R , будет двухместный предикат
« x  0   y  0 » ,
заданный на R2 , который равносилен предикату
« x 2  y 2  0 » над R .
Следующая теорема аналогична теореме о конъюнкции множества
истинности двух предикатов.
P x1 , x2 , . . . , xn 
Теорема 8. Для
n-местных
предикатов
и
Q x1 , x 2 , . . . , x n  , определенных на множестве А1  А2  . . .  Аn ,
P x1 , x2 , . . . , xn   Q x1 , x 2 , . . . , x n 
множество истинности дизъюнкции
совпадает с объединением множеств истинности исходных предикатов:
P  Q  
 P Q .
19
Доказательство. Согласно определениям дизъюнкции и множества
истинности предиката, а также определению объединения множеств имеем:
P  Q  
Pa1 , a 2 , . . . , a n   И или 

 a1 , a 2 , . . . , a n 
 =


Q
a
,
a
,
.
.
.
,
a

И
1
2
n


 a1 , a 2 , . . . , a n  Pa1 , a 2 , . . . , a n   И  
 a1 , a 2 , . . . , a n  Qa1 , a 2 , . . . , a n   И  
 P  Q .
Следствие 1.
Дизъюнкция двух предикатов есть выполнимый
предикат тогда и только тогда, когда по крайней мере один из данных
предикатов выполним.
Доказательство. Выполнимость предиката
P x1 , x2 , . . . , xn   Q x1 , x 2 , . . . , x n 
означает, что
P  Q 
 Ø.
Отсюда на основании теоремы:
P  Q  Ø .
Последнее возможно в том и только в том случае, если
P  Ø и
Q  Ø ,
т.е. если выполнимым является предикат Р или предикат Q .
Следствие 2.
Дизъюнкция двух предикатов тождественно ложна
тогда и только тогда, когда оба данных предиката тождественно ложны.
Доказательство. Тождественная ложность предиката, выраженная на
языке множества истинности, означает:
P  Q 
= Ø.
Тогда на основании доказанной теоремы:
P  Q = Ø ,
т.е. объединение двух подмножеств Р+ и Q+ множества А1  А2  . . .  Аn
есть пустое множество. Следовательно,
P  Q = Ø ,
что означает: предикаты Р и Q тождественно ложны.
Пример 19. Требуется решить уравнение
20
x2  x  6  0 ,
т.е. найти множество истинности этого предиката, определенного на
Находим его, применяя доказанную теорему:
x
R .

x 2  x  6  0  x  x  2  x  3   0 
 x  x  2   0   x  3   0 
 x  x  2   0  x  x  3   0 
  2 3   2 ; 3.
Пример 20. Дизъюнкция двух двухместных предикатов
x
2

 y 2  0  x y  0 ,
определенных на R2 , есть выполнимый предикат, потому что выполнимым
является предикат
ху=0.
3.4. Свойства отрицания, конъюнкции и дизъюнкции
После введения трех операций над предикатами возникает вопрос: как
они влияют на равносильность предикатов, каковы закономерности
образования с помощью этих операций равносильных предикатов. Ответ на
эти вопросы дает следующая теорема.
Теорема 9 (свойства конъюнкции и дизъюнкции).
Следующие предикаты являются равносильными:
1)
PP  P ;
P P  P.
2)
PQ  P ;
P PQ.
3)
P Q  Q P ;
PQ  Q P.
6)
P  Q   R  P  Q  R  ;
P  Q   R  P  Q  R  .
P  Q  R   P  Q   P  R  ;
P  Q  R   P  Q   P  R  .
P  P  Q   P ; P  P  Q   P .
7)
P Q  PQ;
4)
5)
PQ  PQ .
Доказательство. Докажем, например, вторую формулу п.5:
P  Q  R   P  Q   P  R  ,
т.е. докажем равносильность предикатов P  Q  R 
независимо от предикатов Р , Q и R .
21
и
P  Q   P  R 
Каждый из двух указанных предикатов при любой подстановке вместо
предметных переменных конкретных предметов из соответствующих
множеств превращается в такие высказывания, которые имеют одинаковые
значения истинности. На основании определения равносильности
предикатов, это и означает, что данные предикаты равносильны.
3.5. Импликация и эквиваленция двух предикатов
Определение 9. Импликацией n-местного предиката P x1 , x2 , . . . , xn  ,
определенного на множестве А1  А2  . . .  Аn , и m-местного предиката
Q x1 , x 2 , . . . , x m  , определенного на множестве В1  В2  . . .  Вm ,
называется новый (n+m)-местный предикат, определенный на множестве
А1  А2  . . .  Аn  В1  В2  . . .  Вm ,
P x1 , x2 , . . . , xn   Q x1 , x 2 , . . . , x m 
(читается «из P x1 , x2 , . . . , xn  следует Q x1 , x 2 , . . . , x m  »), который
превращается в ложное высказывание при всех тех и только тех значениях
P x1 , x2 , . . . , xn 
предметных переменных, при которых предикат
превращается в истинное высказывание, а предикат Q x1 , x 2 , . . . , x m 
превращается в ложное высказывание.
P x1 , x2 , . . . , xn   Q x1 , x 2 , . . . , x m 
Другими словами, предикат
ai  Ai (i  1, 2 , . . . , n) ,
таков,
что
для
любых
предметов
b j  B j (i  1, 2 , . . . , m) высказывание Pa1 , a 2 , . . . , a n   Qb1 , b2 , . . . , bm 
является импликацией высказываний Pa1 , a 2 , . . . , a n  и Qb1 , b2 , . . . , bm  .
Аналогично определяется эквиваленция двух предикатов. При этом
эквиваленция двух предикатов тождественно истинна тогда и только тогда,
когда исходные предикаты равносильны. Свойства этих операций над
предикатами получаются из соответствующих равносильностей предыдущей
теоремы. Другими словами, справедлива следующая теорема.
Теорема 10 (свойства импликации и эквиваленции).
Следующие предикаты являются тождественно истинными:
3)
P  Q  R   P  Q   P  R  .
P  Q  P  Q  .
P  R   Q  R   P  Q   R  .
4)
P  Q   P  Q  R  .
1)
2)
5)
6)
Q  P  Q   P .
P  P  Q   Q .
22
10)
P  Q   P  R   Q  R  .
P  Q   P  R   Q  R  .
P  Q   Q  R   P  R  .
P  Q   Q  P  .
11)
Q  P   Q  P  Q  .
7)
8)
9)
13)
P  Q   R  Q   P  R   Q  .
P  Q   P  R   P  Q  R  .
14)
PP.
12)
15)
16)
P  Q   Q  P  .
P  Q   Q  R   P  R  .
§ 4. Кванторные операции над предикатами
Рассмотренные ранее операции над предикатами в определенном
смысле аналогичны соответствующим операциям над высказываниями.
Однако специфика природы предикатов позволяет рассматривать над ними
такие операции, которые не имеют аналогов среди операций над
высказываниями. Имеются в виду две кванторные операции над предикатами
(или операции квантификации) – квантор общности и квантор
существования.
4.1. Квантор общности
Известно, что для превращения одноместного предиката в
высказывание нужно подставить вместо его переменной какой-нибудь
конкретный предмет из области определения предиката. Имеется еще один
способ для такого превращения – это применение к предикату операций
связывания квантором общности или квантором существования. Каждая из
этих операций ставит в соответствие одноместному предикату некоторое
высказывание, истинное или ложное в зависимости от исходного предиката.
Определение 10.
Операцией связывания квантором общности
называется правило, по которому каждому одноместному предикату Р(х) ,
определенному на множестве
А , сопоставляется высказывание,
обозначаемое
x P(x) 
23
(читается: «для всякого [значения] х Р(х) [истинное высказывание]»,
которое истинно в том и только в том случае, когда предикат Р(х)
тождественно истинен, и ложно в противоположном случае, т.е.
x P( x)  
И , если Р( х)  тождественно истинный предикат;
 Л , если Р( х)  опровержимый предикат.
При чтении высказывания x P(x)  слова в квадратных скобках
могут опускаться. Символ  происходит от первой буквы английского
слова «All» - все. Сам символ x  также называют квантором общности
по переменной х .
Пример 21. Рассмотрим два одноместных предиката на множестве N :
« 1  х » и « х | 30 » .
Первый предикат тождественно истинный, поэтому применение к нему
операции связывания квантором общности дает истинное высказывание:
x   1  x 
− «для всякого х единица не превосходит х ».
Второй предикат – опровержимый, поэтому операция связывания
квантором общности, примененная к нему, дает ложное высказывание:
x   x | 30 
− «для любого х число х является делителем числа 30 ».
x P(x)  переменная х уже перестает быть
В выражении
переменной в обычном смысле этого слова, т.е. вместо нее невозможно
подставлять какие бы то ни было конкретные значения. Говорят, что
переменная х – связанная, кажущаяся или немая.
Замечание. В математике переменные могут быть связаны не только
кванторами. Так, связанными являются переменные в следующих
выражениях:
2
 x dx ,
lim
0
1
,
n
 x | x  0 .
n
Это означает, что каждое из приведенных выражений не зависит от
связанных переменных, т.е. сущность выражения не изменится, если
связанную переменную обозначить любой другой буквой.
Так, первое из трех выражений, вне зависимости от переменной, равно
2 , второе равно 0 , а третье есть множество [0 ;   ) .
Аналогично, высказывание
x   1  x 
24
может быть прочитано так: «единица не превосходит любое натуральное
число» − и в таком виде оно вообще не содержит переменных.
Если одноместный предикат Р(х) задан на конечном множестве
A  a1 , a 2 , . . . , a m  ,
то высказывание x P(x)  эквивалентно конъюнкции
P(a1 )  P(a 2 )  . . .  P(a m ) .
В самом деле, по определению истинность высказывания x P(x) 
означает, что предикат тождественно истинен, т.е. каждое из высказываний
P(a1 ) , P(a 2 ) , . . . , P(a m )
в которые превращается этот предикат, истинно. Последнее равносильно
истинности конъюнкции
P(a1 )  P(a 2 )  . . .  P(a m ) .
Следовательно, для предикатов, заданных на конечном множестве,
операция связывания квантором общности может быть выражена через
конъюнкцию. Для предикатов, заданных на бесконечном множестве, такого
сделать нельзя, и в этом случае операция связывания квантором общности
является новой.
Можно подметить еще одну особенность операции связывания
квантором общности по сравнению с операциями отрицания, конъюнкции,
дизъюнкции, импликации и эквиваленции двух предикатов. Те операции
ставили в соответствие одному или двум предикатам новый предикат, а
операция связывания квантором общности сопоставляет предикату
высказывание. По этому поводу можно отметить следующее.
Во-первых, каждое высказывание для достижения большей общности
можно рассматривать как предикат, содержащий 0 предметных переменных.
Во-вторых, мы пока применяли квантор общности лишь к
одноместным предикатам. При рассмотрении вопроса о применении
операции связывания квантором общности к предикатам с любым числом
переменных, такая операция станет операцией в полном смысле слова:
предикатам она будет сопоставлять предикаты.
Определение 11. Операцией связывания квантором общности по
переменной х1 называется правило, по которому каждому n-местному
(n  2) P x1 , x 2 , . . . , x n  , определенному на множестве А1  А2  . . .  Аn
сопоставляется новый (n – 1)-местный предикат, обозначаемый
x1   Px1 , x 2 , . . . x n  
P x1 , x 2 , . . . , x n »),
х1
(читается: «для всех
который для любых
предметов а2 , . . . , аn из множеств А2 , . . . , Аn соответственно он
25
превращается в высказывание x1   P x1 , a 2 , . . . a n   , истинное в том и
P x1 , a2 , . . . an  ,
только в том случае, когда одноместный предикат
определенный на множестве А1 , тождественно истинен, и ложное в
противном случае, т.е.
x1 P( x1 , a 2 , . . . , a n )  
 И , если P( x1 , a 2 , . . . , a n )  тождественно истинный предикатот х1 ;

 Л , если P( x1 , a 2 , . . . , a n )  опровержимый предикатот х1 .
Пример 22. Рассмотрим двухместный предикат
y  x,
определенный на множестве N . Применим к нему квантор общности по
переменной х . Получим одноместный предикат
y   y
 x,
зависящий от переменной у . Этот предикат может превратиться как в
истинное высказывание (например, при у = 1), так и в ложное (при
подстановке вместо у любых натуральных чисел, кроме 1).
Пример 23. Двухместный предикат
x
 y   x 2  2 xy  y 2 ,
2
определенный на R2, тождественно истинен. Поэтому применение к нему
квантора общности по любой переменной, например по у , дает одноместный
предикат
y  x
 y   x 2  2 xy  y 2 ,
2
который будет тождественно истинным.
Заметим также, что к (n – 1)-местному предикату
x1   Px1 , x 2 , . . . x n   ,
зависящему от переменных х2 , х3 , . . . , хn , можно снова применить
операцию связывания квантором общности по одной из свободных
переменных. В результате получится (n – 2)-местный предикат и т.д.
Пример 24. Применив к одноместному предикату
x   y
 x,
квантор общности по переменной у , получим нульместный предикат (т.е.
высказывание)
y  x   y
 x.
Очевидно, что полученное высказывание ложно, потому что предикат
x   y
26
 x
опровержим.
Пример 25.
применив квантор общности по переменной х
одноместному предикату из примера 23, получим истинное высказывание
x  y  x
4.2.
к
 y   x 2  2 xy  y 2 .
2
Квантор существования
Определение 12. Операцией связывания квантором существования
называется правило, по которому каждому одноместному предикату Р(х) ,
определенному на множестве
А , сопоставляется высказывание,
обозначаемое
 x P(x) 
(читается: «существует [значение]
х
такое, что
Р(х)
[истинное
высказывание]», которое ложно в том и только в том случае, когда предикат
Р(х) тождественно ложен, и истинно в противоположном случае, т.е.
 x P( x)  
Л , если Р( х)  тождественно ложный предикат;
 И , если Р( х)  выполнимый предикат.
При чтении высказывания  x P(x)  слова в квадратных скобках
могут опускаться. Символ  происходит от первой буквы английского
слова «Exist» - существовать. Сам символ  x  также называют квантором
существования по переменной х .
Пример 26.
на множестве N :
Рассмотрим два одноместных предиката, определенных
«х = х + 1»
и
«х | 30» .
Первый предикат тождественно ложный, поэтому применение к нему
операции связывания квантором существования дает ложное высказывание
 x  x
 x  1 −
«существует натуральное число, равное самому себе плюс 1».
Второй предикат выполним, поэтому операция связывания квантором
существования, примененная к нему, дает истинное высказывание:
 x  x | 30  −
«существует натуральное число, являющееся делителем числа 30».
Подобно выражению x P(x)  , в выражении  x P(x)  переменная
х также перестает быть переменной в обычном смысле слова: это связанная
переменная.
Если одноместный предикат Р(х) задан на конечном множестве
27
A  a1 , a 2 , . . . , a m  ,
то высказывание  x P(x)  эквивалентно дизъюнкции
P(a1 )  P(a 2 )  . . .  P(a m ) .
В самом деле, по определению ложность высказывания  x P(x)  означает,
что предикат Р(х) тождественно ложен, т.е. каждое из высказываний
P(a1 ) , P(a 2 ) , . . . , P(a m )
в которые превращается этот предикат, ложно. Последнее равносильно
ложности дизъюнкции
P(a1 )  P(a 2 )  . . .  P(a m ) .
Следовательно, для предикатов, заданных на конечном множестве,
операция связывания квантором существования может быть выражена через
дизъюнкцию. Для предикатов, заданных на бесконечном множестве, такого
сделать нельзя, и в этом случае операция связывания квантором
существования является новой.
Рассмотрим вопрос о применении операции связывания квантором
существования к предикатам с любым (конечным) числом переменных.
Определение 13. Операцией связывания квантором существования
по переменной х1 называется правило, по которому каждому n-местному
(n  2) P x1 , x 2 , . . . , x n  , определенному на множестве А1  А2  . . .  Аn
сопоставляется новый (n – 1)-местный предикат, обозначаемый
 x1   Px1 , x 2 , . . . x n  
«существует такой х1 , что P x1 , x 2 , . . . , x n  »),
(читается:
который для
любых предметов а2 , . . . , аn из множеств А2 , . . . , Аn соответственно он
превращается в высказывание  x1   P x1 , a 2 , . . . a n   , ложное в том и
P x1 , a2 , . . . an  ,
только в том случае, когда одноместный предикат
определенный на множестве А1 , тождественно ложен, и истинное в
противном случае, т.е.
 x1 P( x1 , a 2 , . . . , a n )  
 Л , если P( x1 , a 2 , . . . , a n )  тождественно ложный предикатот х1 ;

 И , если P( x1 , a 2 , . . . , a n )  выполнимый предикатот х1 .
Пример 27. Рассмотрим двухместный предикат
y  x,
определенный на множестве R2. Применим к нему квантор существования
по переменной х . Получим одноместный предикат
 x   y
28
 x,
зависящий от переменной у . Этот предикат всегда превращается в истинное
высказывание, если вместо у подставлять конкретные числа, т.е. является
тождественно истинным предикатом.
Пример 28. Двухместный предикат
x2  y2  0 ,
определенный на R2, тождественно ложен. Поэтому применение к нему
квантора существования по любой переменной, например по у , дает
одноместный предикат
 y  x 2

 y2  0 ,
который будет тождественно ложным.
Заметим также, что к (n – 1)-местному предикату
 x1  Px1 , x2 , . . . xn   ,
зависящему от переменных х2 , х3 , . . . , хn , можно снова применить
операцию связывания квантором существования по одной из свободных
переменных. В результате получится (n – 2)-местный предикат и т.д.
Пример 29.
предикату
Применив к тождественно истинному одноместному
 x   y
 x,
заданному на R , квантор общности, получим истинное высказывание
y  x   y
«для всякого действительного
действительное число».
 x−
числа
существует
большее
него
Применив к тому же одноместному предикату квантор существования,
получим также истинное высказывание
 y  x   y
 x−
«существуют такие действительные числа
неравенство  y  x  ».
х
и
у , что выполняется
Применив к тождественно ложному предикату
 y  x 2
 y2  0

квантор существования, получим ложное высказывание
 x  y  x 2
«существуют такие действительные числа
неравенство x 2  y 2  0 ».


 y2  0 −

29
х
и
у , что выполняется
4.3. Численные кванторы
В математике часто встречаются выражения вида «по меньшей мере
n», («хотя бы n »), «не более, чем n », «n и только n », («ровно n», «точно
n»), где n – натуральное число.
Эти выражения называют численными кванторами. Они имеют чисто
логический смысл, потому что их можно выразить без числительных на
языке кванторов общности и существования, логических операций над
предикатами и знака «=», обозначающего тождество (совпадение) объектов.
Рассмотрим случай n = 1 . Предложение «По меньшей мере один
объект обладает свойством Р» имеет тот же смысл, что и предложение
«Существует объект, обладающий свойством Р», т.е.
 x P(x)  .
(1)
Предложение «Не более чем один объект обладает свойством Р»
равнозначно по смыслу предложению «Если есть объекты, обладающие
свойством Р, то они совпадают», т.е.
x y  Px   P y  
x  y .
(2)
Предложение «Один и только один объект обладает свойством Р»
равнозначно конъюнкции высказываний (1) и (2) :
 x P(x) 
 x y  P x   P y   x  y  .
(3)
Сопоставление одноместному предикату Р(х) высказывания (3)
носит называние операции связывания квантором существования и
единственности, а само высказывание (3) иногда обозначают так:
! x  P( x) .
(4)
Символ ! x  называют квантором существования и единственности
по переменной х .
Пример 30.
Используя квантор существования и единственности,
запишем высказывание: «Всякая сходящаяся последовательность имеет
точно один предел» −


 lim a n   ! a 
n 

a n  a  a


a

lim
a
n .

n 

Рассмотрим случай n = 2 . Предложение «По меньшей мере два
объекта обладают свойством Р» означает то же, что и предложение
«Существуют два различных объекта, обладающих свойством Р», т.е.
 x  y  Px   P y  
x  y .
(5)
Предложение «Не более чем два объекта обладают свойством Р»
равнозначно по смыслу предложению «Каковы бы ни были объекты х , у и
30
z , если все они обладают свойством Р, то по меньшей мере два из них
совпадают», которое символически записывается так:
x y z  P( x) 
P( y )  P( z )   x  y    x  z    y  z  . (6)
Наконец, предложение «Два и только два объекта обладают
свойством Р» совпадает по смыслу с конъюнкцией высказываний (5) и (6).
Совершенно аналогично выражаются через обычные кванторы и
логические операции численные кванторы при n > 2 .
4.4. Ограниченные кванторы
Нередки в математической практике обороты следующего вида:
«Всякий объект, обладающий свойством Р, обладает также свойством Q» и
«Среди объектов, обладающих свойством
Р, существует объект,
обладающий также и свойством Q».
Первое высказывание «Всякий объект, обладающий свойством Р,
обладает также свойством Q» равнозначно по смыслу высказыванию
«Всякий объект, если он обладает свойством Р, то он обладает свойством
Q», которое на языке логики предикатов записывается в виде
 x  P( x)  Q( x).
(7)
Сопоставление двум данным одноместным предикатам Р(х) и Q(х)
высказывания (7) носит название операции связывания ограниченным
квантором общности, а само высказывание (7) иногда обозначают
 P( x)  Q( x).
Символ
общности.
 P(x) 
(8)
также называют ограниченным квантором
Пример 31. Высказывание «Для всякого x > 1 справедливо
ln x  0  x  R  »
на языке алгебры предикатов записывается как
x  x
 1  ln x  0,
а с использованием ограниченного квантора общности записывается в виде
x
 1  ln x  0 .
Второе высказывание «Среди объектов, обладающих свойством Р,
существует объект, обладающий также и свойством Q» равнозначно по
смыслу высказыванию «Существует объект, обладающий свойством Р и
обладающий свойством
Q», которое на языке алгебры предикатов
записывается в виде
 x  P( x)  Q( x) .
31
(9)
Сопоставление двум данным одноместным предикатам Р(х) и Q(х)
высказывания (9) носит название операции связывания ограниченным
квантором существования, а само высказывание (9) иногда обозначают
 P( x)  Q( x).
Символ
существования.
 P(x) 
(10)
также называют ограниченным квантором
Пример 32.
Ложное высказывание «Существует действительное
число, квадрат которого равен (−1)» на языке логики предикатов запишется
так:
 x  x  R

 x2  1 ,
или с использованием ограниченного квантора существования:
 x  R  x 2

 1 .
§ 5. Формулы логики предикатов
5.1. Понятие формулы логики предикатов
Это понятие вводится аналогично понятию формулы алгебры
высказываний.
Сначала задается алфавит символов, из которых будут составляться
формулы:
предметные переменные: x , y , z , xi , yi , zi (i  N);
нульместные предикатные переменные: P , Q , R , Pi , Qi , Ri (i  N);
n-местные предикатные переменные: P( , . . . , ) , Q( , . . . , ) , R( , . . . , ) ,
Pi ( , . . . , ) , Qi ( , . . . , ) , Ri ( , . . . , ) (i  N) с указанием числа свободных
мест в них;
,,,, ;
символы логических операций:
кванторы:  ,  ;
вспомогательные символы: ( , ) − скобки; , − запятая.
Теперь дадим определение формулы логики предикатов, которое также
носит индуктивный характер.
Определение 14.
1)
Каждая нульместная предикатная переменная есть формула.
2)
Если
P( , . . . , ) − n-местная предикатная переменная, то
P x1 , x2 , . . . xn  есть формула, в которой все предметные переменные
x1 , x 2 , . . . x n  свободны.
32
3)
Если F – формула, то F также формула. Свободные (связанные)
предметные переменные в формуле F те и только те, которые
являются свободными (связанными) в F .
4)
Если F1 и F2 − формулы, и если предметные переменные, входящие
одновременно в обе эти формулы, свободны в каждой из них, то
выражения
F1  F2  , F1  F2  , F1  F2  , F1  F2 
также являются формулами. При этом предметные переменные,
свободные (связанные) хотя бы в одной из формул F1 и F2 ,
называют свободными (связанными) и в новых формулах.
5)
Если F – формула и х – предметная переменная, входящая в
свободно, то выражения
 x F 
F
и  x F 
также являются формулами, в которых предметная переменная х
связанная, а все остальные предметные переменные, входящие в
формулу F свободно или связанно, остаются и в новых формулах
соответственно такими же.
6)
Никаких других формул логики предикатов, кроме получающихся
согласно пунктам 1 – 5 , нет.
Формулы, определенные в пунктах
1
и
элементарными
(или
атомарными).
Формулы,
элементарными, называются составными.
2 , называются
не
являющиеся
Пример 33.
P , Q x , y , z  , R x1 , x 2  −
элементарные формулы, а
 y  Px , y , z  ,
 x  y  Px , y , z ,
 x  P( x)  Q    y R( x , y)  −
составные формулы.
При этом в первой составной формуле предметная переменная у
связана, а переменные х и z – свободные. Во второй составной формуле
свободна лишь переменная z , остальные – связанные. В третьей составной
формуле первое вхождение переменной х связано, а второе – свободно;
переменная у связана. Последнюю формулу было бы более целесообразно
записать в следующем виде (заменив связанную переменную х какойнибудь буквой, не входящей в данную формулу):
33
 z  P( z )   Q    y R( x , y)  .
Как и в алгебре высказываний, внешние скобки у формулы не пишутся,
если только она не является частью более сложной формулы.
Замечание. На основании пунктов 1 , 3 и 4 сформулированного
определения всякая формула алгебры высказываний будет также и формулой
алгебры предикатов.
В формулах вида  x F  и  x F  формула F называется
областью действия квантора  x  или  x  соответственно. Очевидно,
что вхождение предметной переменной в формулу будет связанным, если
эта переменная находится в области действия квантора по этой переменной.
Формулы, в которых нет свободных предметных переменных,
называют замкнутыми, а формулы, содержащие свободные предметные
переменные, − открытыми.
Пример 34. Все приведенные выше формулы логики предикатов,
кроме формулы
Р (которая является замкнутой), будут открытыми.
Примерами замкнутых формул являются следующие формулы логики
предикатов:
 x  y  Px , y  ,
 x  P( x)    x   y R( x , y)  .
5.2. Классификация формул логики предикатов
Если в формулу логики предикатов вместо каждой предикатной
переменной подставить конкретный предикат, определенный на некотором
выбранном множестве А, то формула превратится в конкретный предикат,
заданный на множестве А. При этом, если исходная формула была
замкнутой, то полученный конкретный предикат окажется нульместным, т.е.
будет высказыванием. Если же исходная формула была открытой, т.е.
содержала свободные вхождения предметных переменных, то в результате
подстановки получим предикат, зависящий от некоторых предметных
переменных, если теперь подставить вместо этих предметных переменных
конкретные предметы из множества А, то полученные предикат, а в
конечном итоге – исходная формула, превратится в конкретное
высказывание.
Превращение формулы логики предикатов в высказывание описанным
выше способом, а также само получаемое высказывание, называется
интерпретацией этой формулы на множестве А .
Пример 35. Дадим интерпретацию формуле
 x  y  P( x , y) .
34
В качестве множества А возьмем множество всех мужчин, а вместо
предикатной переменной
Р(х, у)
подставим конкретный предикат,
определенный на А : «х есть отец у». Тогда исходная формула превратится в
следующее ложное высказывание
 x  y  x есть отец y  ,
т.е. «у каждого мужчины есть сын».
Этой же формуле можно дать и другую интерпретацию, Возьмем в
качестве А множество N2 (где N – множество натуральных чисел), а в
качестве предикатной переменной Р(х, у) подставим предикат
x  y,
определенный на N2. Тогда исходная формула превратится в истинное
высказывание
 x  y  x  y  −
«для каждого натурального числа существует большее него натуральное
число».
Пример 36. В предыдущем примере была рассмотрена интерпретация
замкнутой формулы. Дадим интерпретацию открытой формулы.
 z  Px , y , z   Qx , y , z  
R .
В качестве множества А3 возьмем множество N 3 всех натуральных чисел.
Вместо предикатных переменных P(x, y, z) и Q(x, y, z) подставим
трехместные предикаты
x∙y=z
и
x+y=z
соответственно, а вместо нульместного предиката
высказывание
R
подставим ложное
2=4.
Тогда данная формула превратится в двухместный предикат (от предметных
переменных х и у):
 z x y
 z  x  y  z  2  4 .
Посмотрим, в какие высказывания может превращаться данный
предикат при подстановке вместо его переменных х и у конкретных
предметов (чисел) из N.
Легко видеть, что двухместный предикат
 z x y  z  x  y  z 
Превращается в истинное высказывание при любой подстановке вместо его
предметных переменных х и у натуральных чисел. Действительно, для
натуральных m и n получаем высказывание
35
 z m n 
z  m  n  z .
Одноместный предикат (зависящий от z )
m n  z  m  n  z  ,
квантора  z  , выполним, потому
стоящий под знаком
найти такое натуральное число k , что
mn  k
и
mn  k,
m n  k 
и
 m  n  k
что всегда можно
т.е. высказывания
будут ложными, и, значит, высказывание
m n  k
 m  n  k
будет истинным. Следовательно, истинным будет высказывание
 z m n 
z  m  n  z .
Поэтому высказывание
 z x y
 z  x  y  z  2  4 ,
в которое превращается данный предикат, будет ложным.
Таким образом, исходная открытая формула алгебры предикатов
превращается в тождественно ложный предикат.
Если же вместо предикатных переменных P(x, y, z) и Q(x, y, z)
подставить только что рассмотренные предикаты, а вместо нульместной
предикатной переменной R – любое истинное высказывание, то исходная
открытая формула превратится в тождественно истинный предикат.
Определение 15. Формула логики предикатов называется выполнимой
(опровержимой) на множестве А, если при некоторой подстановке вместо
предикатных переменных конкретных предикатов, заданных на этом
множестве, она превращается в выполнимый (опровержимый) предикат.
Другими словами, Формула выполнима (опровержима) на
существует истинная (ложная) ее интерпретация на А.
Формула из
опровержимой.
примера
35
является
как
выполнимой,
А, если
так
и
Пример 37. Проверим, будет ли выполнимой формула
 x  y  P( x) 

P( y ) .
Пусть предметные переменные х и у пробегают множество
натуральных чисел, а предикатная переменная Р(х) означает, что «х – четное
число». Тогда данная формула превращается в высказывание: «Среди
36
натуральных чисел существуют как четные, так и нечетные», которое
истинно. Следовательно, данная формула выполнима.
Если же вместо предикатной переменной
Р(х)
взять «х –
положительное число», то данная формула превращается в высказывание:
«среди натуральных чисел существуют как положительные, так и
неположительные числа», которое ложно. Следовательно, эта же формула
является опровержимой.
Пример 38. Приведем пример формулы, выполнимой на области из
трех элементов, но не выполнимой на области из двух элементов.
Рассмотрим следующую формулу алгебры предикатов:
 x , y , z  R( x , y) 

R( x , z )  R( y , z )  t R(t , t )  .
Покажем, что эта формула выполнима на множестве из трех элементов.
Пусть
А = {a , b , c} – множество из трех элементов. Вместо
двухместной предикатной переменной R подставим предикат неравенства:
N ( x , y)  x  y .
Тогда рассматриваемая формула превращается
конкретный нульместный предикат (высказывание):
 x , y , z  N ( x , y) 
в
следующий

N ( x , z )  N ( y , z )  t  N (t , t )  ,
или в других обозначениях:
 x , y , z  ( x  y)  ( x  z )  ( y  z )  t  (t  t ) .
Этот предикат выполним на
переменных x , y , z
А , так как трехместный предикат от
( x  y)  ( x  z )  ( y  z )  t (t  t )
выполним на А : достаточно взять
x a , y b , z c.
Покажем теперь, что рассматриваемая формула тождественно ложна
(т.е. невыполнима) на всякой области из двух элементов.
Пусть А = {  ,  } − произвольное двухэлементное множество.
Выполнимость рассматриваемой формулы на А означает наличие такого
конкретного предиката В(х , у), заданного на А, что высказывание
 x , y , z  B( x , y) 

B( x , z )  B( y , z )  t B(t , t ) 
истинно. Истинность этого высказывания в свою очередь означает, что
найдутся три таких элемента a , b , c  { ,  } , что высказывание
B(a , b)  B(a , c)  B(b , c)  t B(t , t )
37
истинно. Так как элементов a , b , c три, а в множестве {  ,  } лишь два
различных элемента, то два из элементов a , b , c совпадают. Пусть
a  b  , c  .
Тогда истинно следующее высказывание
B( ,  )  B( ,  )  B( ,  )  t B(t , t )
откуда следует, что истинны высказывания
B( ,  )
Истинность последнего
высказывания
t  B(t , t ) .
и
высказывания
B( ,  )
означает,
что
истинны
оба
B( ,  ) .
и
Таким образом, одновременно истинными являются как высказывание
B( ,  ) , так и его отрицание B ( ,  ) . Это противоречие. Следовательно,
данная формула невыполнима на двухэлементном множестве.


Определение 16. Формула логики предикатов называется
тождественно истинной (тождественно ложной) на множестве А, если
при любой подстановке вместо предикатных переменных любых конкретных
предикатов, заданных на этом множестве, она превращается в тождественно
истинный (тождественно ложный) предикат.
Определение 17. Формула логики предикатов называется
общезначимой,
или
тавтологией
(тождественно
ложной
или
противоречием), если при всякой подстановке вместо предикатных
переменных любых конкретных предикатов, заданных на каких угодно
множествах, она превращается в тождественно истинный (тождественно
ложный) предикат.
Так, формула в примере 36 не является тавтологией, потому что хотя
она и превратилась при одной подстановке в тождественно истинный
предикат, при другой она превратилась в тождественно ложный предикат.
Поэтому данная формула не является и противоречием.
Пример 39. Покажем, что формула
P ( x)   y  P ( y )
является противоречием, т.е. тождественно ложной.
Предположим противное: на некотором множестве
А имеется
конкретный предикат В(х) такой, что данная формула превращается в
выполнимый предикат от х :
B ( x)   y  B ( y ).
38
Последнее означает: найдется предмет a  A такой, что высказывание
B(a)   y  B( y )
истинно. Из истинности конъюнкции следует истинность каждого из
высказываний
B (a )
и
 y  B( y ) .
Из истинности первого следует, что высказывание В(а) ложно, а из
истинности второго следует, что предикат В(у) тождественно истинный,
следовательно, для любого предмета из А , в том числе и для а ,
высказывание
В(а)
истинно. Получаем противоречие, исключающее
предположение о непротиворечивости исходной формулы. Следовательно,
она тождественно ложна.
Нахождение тавтологий является одной из важнейших задач логики
предикатов, как и алгебры высказываний. Но если в алгебре высказываний
имеются общие методы определения, является или нет данная формула
тавтологией (это – разрешающие методы, а именно, составление таблицы
истинности, метод равносильных преобразований и метод косвенного
доказательства), то в логике предикатов такого общего метода не существует.
Каждая формула подлежит изучению индивидуальным методом на
тождественную истинность. Дело здесь в том, что каждое высказывание
имеет только одно из двух логических значений: «истина» или «ложь», тогда
как значение предиката зависит от выбора значений его предметных
переменных, что, вообще говоря, можно сделать бесконечным числом
способов.
Рассмотрим наиболее важные тавтологии логики предикатов.
5.3. Тавтологии логики предикатов
Тавтологии представляют собой схемы построения истинных
высказываний, независимо от содержания и истинности составляющих
высказываний. Так, если для установления того, истинны или нет
высказывания «Саратов основан в 1590 году» и «Солнце вращается вокруг
Земли», необходимо обладать специальными знаниями или заглянуть в
специальную литературу, то для выяснения значения истинности
высказываний «Треугольник АВС прямоугольный или треугольник АВС
не прямоугольный», «Неверно, что информация о наследственных признаках
хранится в генах, и эта информация в генах не хранится» уже не нужно
обладать знаниями ни в математике, ни в генетике. Вывод об истинности
последних высказываний можно сделать, исходя не из их содержания, а из их
формы, структуры. Структура первого высказывания выражается формулой
x x ,
39
а второго – формулой
x x .
Легко видеть, что обе эти формулы – тавтологии. Данные формулы дают две
схемы построения всегда истинных высказываний. Таковой будет каждая
формула, являющаяся тавтологией. Но главное значение тавтологий не в
этом.
Основное значение тавтологий состоит в том, что некоторые из них
представляют собой правильные способы умозаключений, т.е. такие
способы, которые от истинных посылок всегда приводят к истинным
заключениям (выводам). Именно такие рассуждения углубляют наши знания
и обогащают их истинными сведениями. В частности, любая тавтология
алгебры высказываний вида
FG
Соответствует некоторой общей схеме логического умозаключения. Поясним
сказанное на примере.
Пример 40. Рассмотрим высказывание:

 

f  x  y  x  y  x.
Докажем, что это тавтология и попытаемся выяснить, какой схеме
логического умозаключения она соответствует.
Для доказательства тождественной истинности
высказывания построим его таблицу истинности.
приведенного
х
у
x
y
x y
x y
x  y   x  y 
f
И
И
Л
Л
И
И
И
И
И
Л
Л
И
И
И
И
И
Л
И
И
Л
И
Л
Л
И
Л
Л
И
И
Л
И
Л
И
Схема логического умозаключения, описываемая данной тавтологией,
часто используется в математических доказательствах. Она состоит в
следующем. Допустим, что требуется доказать истинность некоторого
утверждения А. Предполагается, что истинно его отрицание A . Затем
доказывается, что существует некоторое такое утверждение В, для которого
истинными являются оба утверждения
40
AB
и
A  B.
Доказательства истинности этих импликаций зависят от содержания
высказываний А и В и устанавливаются на основании методов и законов
той математической теории, к которой они относятся. Будем считать, что
истинность утверждений
AB
и
AB
установлена. Одновременный вывод двух утверждений C и C −
противоречие (абсурд). Тогда делаем вывод, что истинно высказывание А.
Такой метод доказательства называют методом косвенного доказательства
(методом приведения противоположного утверждения к абсурду, или
доказательством от противного).
По сравнению с логикой высказываний язык логики предикатов более
тонок, и поэтому тавтологии логики предикатов более тонко отражают
процессы логических умозаключений.
Рассмотрение тавтологий логики предикатов начнем с установления
того, что простейшие тавтологии логики предикатов получаются из
тавтологий алгебры высказываний, а тавтологии алгебры высказываний
образуют часть тавтологий логики предикатов.
Теорема 11. Всякая формула, получающаяся из тавтологии алгебры
высказываний
заменой
входящих
в
нее
пропозициональных
(высказывательных)
переменных
произвольными
предикатными
переменными, является тавтологией логики предикатов.
Доказательство. Пусть F  X 1 , X 2 , . . . , X n  − тавтология алгебры
высказываний;
P1 x1 , x 2 , . . . , x m1 ,
P2 y1 , y 2 , . . . , y m2 , . . . ,
− предикатные переменные. Подставим их в данную
Pn z1 , z 2 , . . . , z mn
X1 , X 2 , . . . , X n
формулу
вместо
высказывательных
переменных
соответственно. Получим формулу логики предикатов:



 







F P1 x1 , x 2 , . . . , x m1 , P2 y1 , y 2 , . . . , y m2 , . . . , Pn z1 , z 2 , . . . , z mn
.
Если теперь вместо предикатных переменных подставить
произвольные
конкретные
предикаты
A1 x1 , x 2 , . . . , x m1 ,
A2 y1 , y 2 , . . . , y m2 , . . . , An z1 , z 2 , . . . , z mn , то формула превратится в
конкретный предикат



 






F A1 x1 , x 2 , . . . , x m1 , A2 y1 , y 2 , . . . , y m2 , . . . , An z1 , z 2 , . . . , z mn

.
Этот предикат будет тождественно истинным, потому что подстановка
вместо предметных переменных x1 , x2 , . . . , xm1 , . . . , z1 , z2 , . . . , zmn любых
конкретных предметов
a1 , a 2 , . . . , a m1 , . . . , c1 , c 2 , . . . , c mn из
соответствующих множеств превращает данный предикат в высказывание
41
 




F A1 a1 , a 2 , . . . , a m1 , A2 b1 , b2 , . . . , bm2 , . . . , An c1 , c 2 , . . . , c mn
,
которое может быть получено также в результате подстановки в исходную
F  X1 , X 2 , . . . , X n 
тавтологию
алгебры
высказываний
вместо
высказывательных переменных X 1 , X 2 , . . . , X n конкретных высказываний
соответственно, и
A1 a1 , a2 , . . . , am1 , A2 b1 , b2 , . . . , bm2 , . . . , An c1 , c2 , . . . , cmn
F P1 , P2 , . . . , Pn  логики
поэтому истинно. Следовательно, формула
предикатов также является тавтологией. Теорема доказана.

 



В следующих теоремах приводятся наиболее важные тавтологии
логики предикатов, не сводящиеся к тавтологиям алгебры высказываний. Все
такие тавтологии содержат кванторы.
Теорема 12 (законы де Моргана для кванторов).
формулы логики предикатов являются тавтологиями:
Следующие
 
 x P( x)    x  P( x)  .
a) x P( x)    x  P( x) ;
b)
Доказательство.
Докажем тождественную истинность первой
формулы (тождественная истинность второй формулы доказывается
аналогично).
Данная формула замкнута, т.е. не имеет свободных предметных
переменных. Поэтому, подставив в эту формулу вместо предикатной
A(x) ,
переменной P(x) любой конкретный одноместный предикат
определенный на некотором множестве А, получим высказывание
x  A( x)    x  A( x)  .
(*)
Для доказательства его истинности нужно убедиться, что обе части
эквиваленции одновременно истинны или одновременно ложны.
Действительно, высказывание x  A(x)  истинно тогда и только
тогда, когда высказывание  x  A(x)  ложно, что возможно тогда и только
тогда, когда предикат А(х) опровержим. Опровержимость предиката А(х)
означает выполнимость его отрицания A(x) , что равносильно истинности


высказывания  x  A(x) . Следовательно, высказывание x  A(x)  истинно


тогда и только тогда, когда истинно высказывание  x  A(x) . Таким
образом, высказывание (*) истинно, что доказывает тождественную
истинность первой формулы.
Непосредственно из этой теоремы и закона двойного отрицания
вытекает следствие.
Следствие (выражение кванторов друг через друга).
формулы логики предикатов являются тавтологиями:
42
Следующие
  
 x P( x)   x P( x) .
a)  x P( x)    x P( x) ;
b)
Заметим, что законы де Моргана для кванторов напоминают
аналогичные законы для конъюнкции и дизъюнкции в алгебре высказываний.
Можно сказать, что эти законы для кванторов представляют собой
обобщения соответствующих законов для конъюнкции и дизъюнкции
подобно тому, как сами операции квантификации являются обобщениями
операций конъюнкции и дизъюнкции.
Теорема 13 (законы пронесения кванторов через конъюнкцию и
дизъюнкцию).
Следующие формулы логики предикатов являются
тавтологиями:
a)  x P( x)  Q( x)    x P( x)    x Q( x)  ;
b)  x P( x)  Q( x)    x P( x)    x Q( x)  ;
c)  x P( x)  Q    x P( x)   Q ;
d)  x P( x)  Q    x P( x)   Q .
Доказательство. Докажем тавтологии (а) и (d) .
(а)
Подставим вместо предикатных переменных P(x) и Q(x)
конкретные предикаты А(х) и В(х) , определенные на некотором множестве
А . Формула превратится в высказывание
 x  A( x) 
B( x)    x  A( x)    x B( x)  .
(*)
Докажем его истинность.
На основании определения, высказывание
 x  A( x) 
B( x) 
истинно тогда и только тогда, когда предикат  A( x)  B( x)  тождественно
истинен, что возможно в том и только в том случае, когда оба предиката А(х)
и В(х) тождественно истинны. Далее, тождественная истинность предикатов
А(х) и В(х) равносильна истинности высказываний
 x  A( x) 
,  x B( x) 
соответственно, что равносильно истинности их конъюнкции
 x  A( x)    x B( x) .
Следовательно, левая и правая части эквиваленции (*) одновременно
истинны и одновременно ложны, что доказывает истинность всего
высказывания (*) и тождественную истинность формулы (а).
(d) В этой формуле Q – нульместная предикатная переменная.
Поэтому подставим в данную формулу вместо
Р(х)
конкретный
43
одноместный предикат А(х), определенный на некотором множестве А, а
вместо
Q
конкретное высказывание
В. Формула превратится в
высказывание
 x  A( x)  B    x  A( x)  
B.
(**)
Докажем его истинность.
На основании определения, высказывание
 x  A( x)  B 
 A( x)  B  выполним.
Истинно тогда и только тогда, когда предикат
Последнее возможно тогда и только тогда, когда предикаты А(х) и В
выполнимы. Далее, выполнимость предиката
А(х)
и истинность
высказывания В равносильны истинности высказываний
 x  A( x)
, B ,
а, значит, и истинности их конъюнкции
 x  A( x)  
B.
Следовательно, высказывание (**) истинно для любых А(х) и
поэтому рассматриваемая формула – тавтология.
Тождественная истинность формул
аналогично.
(b)
и
(с)
В , и
доказывается
Теорема 14 (законы пронесения кванторов через импликацию).
Следующие формулы логики предикатов являются тавтологиями:
a)  x P( x)  Q    x P( x)   Q  ;
b)  x P( x)  Q    x P( x)   Q  ;
c)  x Q  P( x)   Q   x P( x)  ;
d)  x Q  P( x)   Q   x P( x)  .
Доказательство. Докажем тождественную истинность формул (а) и
(d).
(а) Заметим, что предикатная переменная Q в этой формуле может
быть не только нульместной, но и любой n-местной, важно лишь, чтобы в
нее не входила предметная переменная х .
Пусть Q есть Q y1 , y 2 , . . . , y n  . Будем для краткости считать, что Q
есть одноместная предикатная переменная Q(y) .
Предположим, что данная формула не является тавтологией. Тогда
существуют такие конкретные предикаты А(х) и В(у) , определенные на
множествах А1 и А2 соответственно, что предикат (от у )
 x  A( x)  B( y)   x  A( x)  B( y) 
44
опровержим, т.е. обращается в ложное высказывание при подстановке вместо
предметной переменной у некоторого конкретного предмета b  A2 :
 x  A( x)  B(b)   x  A( x)  B(b) = Л .
Эквиваленция ложна, если ее члены принимают разные значения истинности,
т.е. возможны два случая.
Первый случай:
 x  A( x)  B(b)   И ,

 x  A( x)   B(b)   Л .
(1)
(2)
Второй случай:
 x  A( x)  B(b)   Л ,

 x  A( x)   B(b)   И .
Рассмотрим первый случай. Из
имеем:
(2)
(3)
(4)
по определению импликации
 x  A( x)   И ,

B(b)  Л .
(5)
(6)
Далее, из (5) по определению квантора существования заключаем, что
предикат А(х) выполним, т.е. для некоторого a  A1 :
A(a) 
И.
(7 )
Вернемся к соотношению (1). По определению квантора общности предикат
A( x)  B(b)
тождественно истинен. В частности, если вместо предметной переменной х
подставить a  A1 , то получим истинное высказывание
A(a)  B(b) 
И.
Но, учитывая (6) и (7) , получаем
A(a)  B(b) 
И  Л  Л.
Противоречие.
Рассмотрим второй случай. Из (3) на основании определения квантора
A( x)  B(b) опровержим, т.е. для
общности следует, что предикат
некоторого a  A1 :
A(a)  B(b) 
Л.
Тогда, по определению импликации:
A(a)  И ,

B(b)  Л .
45
(8)
Ввиду последнего соотношения из соотношения (4) заключаем, что
 x  A( x) 
Л.
Последнее означает тождественную ложность предиката А(х) , в частности,
для предмета a  A1 имеем
A(a) 
Л,
что противоречит первому из соотношений (8).
Таким образом, в каждом случае приходим к противоречию,
доказывающему невозможность сделанного предположения. Следовательно,
данная формула – тавтология.
(d) Предположим, что эта формула не является тавтологией. Тогда
существуют такие конкретные предикаты А(х) и В(у) , определенные на
множествах А1 и А2 соответственно, что предикат (от у)
 x B( y) 
A( x)   B( y )   x  A( x) 
опровержим, т.е. обращается в ложное высказывание при подстановке вместо
предметной переменной у некоторого конкретного предмета b  A2 :
 x B(b) 
A( x)   B(b)   x  A( x)   Л .
Эквиваленция ложна в двух случаях. Первый случай:
 x B(b)  A( x)   И ,

B(b)   x  A( x)   Л .
(1)
(2)
Второй случай:
 x B(b)  A( x)   Л ,

B(b)   x  A( x)   И .
Рассмотрим первый случай. Из
заключаем:
(2)
(3)
(4)
по определению импликации
B(b)  И ,

  A( x)   Л .
(5)
Последнее соотношение говорит о том, что предикат А(х) тождественно
ложен. Далее, соотношение (1) показывает, что предикат B(b)  A( x) 
выполним. Учитывая соотношение (5), получаем: существует такой элемент
a  A1 , что
A(a) 
Последнее противоречит
предиката А(х).
доказанной
46
И.
выше
тождественной
ложности
Получить противоречие во втором случае,
соотношениях (3) и (4) , можно аналогичным способом.
выраженном
в
Таким образом, рассматриваемая формула – тавтология.
Аналогично доказывается тождественная истинность формул (b) и (с).
Теорема 15 (законы удаления квантора общности и введения
квантора существования).
Следующие формулы логики предикатов
являются тавтологиями:
a)  x P( x)   P( y ) ;
b) P( y )   x P( x) .
Доказательство.
Докажем, что первая формула тождественно
истинна (тождественная истинность второй формулы доказывается
аналогично).
Предположим, что формула не тождественно истинна. Это значит:
существует такой предикат А(х) , определенный на множестве А , что
предикат (от у)
 x  A( x)  
A( y )
опровержим, т.е. превращается в ложное высказывание при подстановке
вместо у некоторого a  A :
 x  A( x)  
A(a)   Л .
Последнее означает, что
 x  A( x)   И ,

A(a)  Л .
(1)
(2)
Из соотношения (1) заключаем, что предикат А(х) тождественно истинный.
Но это противоречит соотношению (2). Следовательно, сделанное
предположение неверно, и данная формула – тавтология.
Теорема 16 (законы коммутативности для кванторов). Следующие
формулы логики предикатов являются тавтологиями:
a)  x  y P( x, y )    y  x P( x, y )  ;
b)  x  y P( x, y )    y  x P( x, y ) ;
c)  y  x P( x, y )    x  y P( x, y )  .
Доказательство. Тождественная истинность первых двух формул (а)
и (b) очевидна.
Предположим, что третья формула – не тавтология. Тогда существует
такой предикат А(х , у) , определенный на множестве A1  A2 , что
высказывание
47
 y  x  A( x, y)    x  y  A( x, y)
ложно. Импликация ложна тогда и только тогда, когда
 y  x  A( x , y)  И ,

 x  y  A( x , y)  Л .
(1)
(2)
Из (1) по определению квантора существования следует, что предикат (от
у)
 x  A( x, y) 
выполним, т.е. для некоторого b  A2 :
 x  A( x, b) 
И.
Последнее, по определению квантора общности, означает,, что предикат
А(х,b) тождественно истинен на А1. Следовательно, тождественно истинным
на А1 будет и одноместный (от х) предикат
 y  A( x, y) .
Но тогда по определению квантора общности
 x  y  A( x , y) 
что противоречит соотношению
тавтология. Теорема доказана.
И,
(2). Следовательно, данная формула –
Во всех доказанных тавтологиях предикатные переменные нульместны,
одноместны или двухместны. Однако, справедливо следующее утверждение
(которое мы приведем без доказательства).
Теорема 17.
Если в тавтологиях теорем 12 – 16 считать, что
предикатные переменные зависят от произвольного конечного числа
предметных переменных, то полученные формулы будут также тавтологиями
логики предикатов.
Замечание. В распространении взгляда на тавтологии, выраженного в
теоремах 9 – 16 можно пойти еще дальше: считать, что буквы Р и Q
представляют собой произвольные формулы логики предикатов, а не просто
n-местные предикатные переменные (представляющие собой так называемые
элементарные или атомарные формулы). Получаемые формулы также будут
тавтологиями логики предикатов.
48
§ 6. Проблемы разрешения для общезначимости
и выполнимости формул
6.1. Постановка проблемы и ее неразрешимость в общем виде
В алгебре высказываний было установлено, что существует четкий
алгоритм, позволяющий для каждой формулы алгебры высказываний
ответить на вопрос, будет ли данная формула выполнима, тождественно
истинна или тождественно ложна. Для этого нужно, например, составить
таблицу истинности формулы и посмотреть на распределение значений «И»
и «Л» в последнем столбце.
Аналогичная проблема возникает и для формулы логики предикатов:
существует ли единый алгоритм, позволяющий для каждой формулы логики
предикатов определить, будет ли она выполнимой или общезначимой. Ответ
отрицательный: такого общего алгоритма не существует. Это было
доказано в 1936 году американским математиком А.Чёрчем. Тем не менее,
для некоторых частных видов формул данная проблема допускает решение.
6.2. Решение проблемы для формул на конечных множествах
Если формула логики предикатов рассматривается на конечном
множестве, то вместо ее предикатных переменных могут подставляться
конкретные предикаты, определенные на этом конечном множестве. Ввиду
того, что операции квантификации на конечном множестве сводятся к
конъюнкции и дизъюнкции, задача о выполнимости и общезначимости
формулы логики предикатов на конечном множестве сводится к задаче о
выполнимости или общезначимости некоторой формулы алгебры
высказываний. Последняя же задача эффективно разрешима.
Продемонстрируем идею действия этого алгоритма на конкретном
примере.
Пример 41. Рассмотрим формулу логики предикатов
 y  x  P( x, y)  P( y, y)
и выясним, будет ли она выполнима или общезначима на двухэлементном
множестве a , b .
Поскольку на этом множестве высказывание  x R (x)  эквивалентно
конъюнкции R(a)   R(b) , а высказывание  x R (x)  эквивалентно
дизъюнкции R(a)   R(b) , то данная формула равносильна формуле
 x  P( x, a) 



P(a, a)   x  P( x, b)  P(b, b) ,
которая, в свою очередь, равносильна формуле
49
P(a, a)  P(a, a)  P(b, a)  P(a, a) 
 P(a, b)  P(b, b)   P(b, b)  P(b, b) .
Одна двухместная предикатная переменная Р(х , у) исходной формулы
как бы распалась на четыре высказывательных переменных
P(a, a) , P(a, b) , P(b, a) , P(b, b)
последней формулы, потому что при подстановке в исходную формулу
вместо P( x, y ) двухместного предиката, определенного на a , b  , указанные
четыре переменные превратятся в (вообще говоря, различные) конкретные
высказывания. Так что последняя формула есть формула алгебры
высказываний.
Составив таблицу истинности данной формулы алгебры высказываний
(или каким-либо другим способом, как то: методом равносильных
преобразований или методом косвенного доказательства), легко установить,
что формула не является тавтологией, но является выполнимой формулой.
Действительно, обозначим
P(a, a)  P , P(a, b)  R , P(b, a)  Q , P(b, b)  S ,
тогда полученная формула примет вид:
P  P)  Q  P)  R  S )  S  S .
Прежде всего, заметим, что эта формула равносильна формуле
Q  P  R  S.
Составим для последней формулы таблицу истинности.
P
Q
R
S
Q
R
Q  P  R  S
И
И
И
И
Л
Л
Л
И
И
И
Л
Л
Л
Л
И
И
Л
И
Л
И
Л
И
И
Л
Л
Л
И
Л
И
Л
И
И
И
Л
Л
И
Л
И
Л
И
Л
Л
И
Л
Л
И
И
И
И
И
Л
Л
Л
И
И
Л
50
Л
И
И
И
Л
Л
Л
Л
И
И
Л
Л
Л
Л
Л
И
Л
И
Л
И
Л
Л
И
Л
Л
Л
И
Л
Л
Л
И
И
И
Л
Л
Л
Л
И
Л
И
Л
Л
Л
Л
Л
И
И
И
Л
Л
Л
Л
Л
И
И
Л
Таким образом, единственное значение
делает данную формулу выполнимой.
«И»
в последнем столбце
Применительно к исходной формуле логики предикатов это означает,
что она не общезначима на двухэлементном множестве, но выполнима в нем:
она превратится в выполнимый предикат, если вместо предикатной
переменной P( x, y ) подставить в формулу такой конкретный двухместный
предикат, который при одинаковых значениях его предметных переменных х
и у превращается в истинные высказывания, а при разных – в ложные.
6.3. Пример формулы, выполнимой на бесконечном множестве и
невыполнимой ни на каком конечном множестве
Наличие такой формулы позволит сделать, в частности, следующий
вывод относительно проблемы разрешения для выполнимости формул
логики предикатов: по выполнимости формулы на некотором множестве
нельзя судить о выполнимости этой формулы на его подмножествах.
Пример 42. Рассмотрим формулу
 x  y P( x, y)    x  P( x, x)  x  y  z  P( x, y)  P( y, z )  P( x, z ) .
Можно сказать, что она характеризует нерефлексивность (второй член
конъюнкции) и транзитивность (третий член конъюнкции) некоторого
двухместного предиката P( x, y ) . Эта замкнутая формула превращается в
истинное высказывание, если в нее вместо предикатной переменной P( x, y )
подставить двухместный предикат
x < y,
определенный на множестве всех натуральных чисел:
 x  y x  y)    x  x  x    x  y  z  x  y    y  z   x  z  .
51
Покажем, что эта формула не выполнима ни на каком конечном
множестве.
Предположим противное, т.е. что существует конкретный предикат
A( x, y ) , определенный на конечном множестве А, такой, что высказывание
(*):
 x  y  A( x, y)    x  A( x, x)  x  y  z  A( x, y)  A( y, z )  A( x, z )
истинно. Тогда истинным высказыванием будет и каждый член полученной
конъюнкции (*) . В частности, истинно высказывание
 x  y  A( x, y)  .
Возьмем элемент a1  A . Тогда из истинности последнего высказывания
следует: существует такой элемент a 2  A , что высказывание A(a1 , a 2 )
a 3  A , что истинно
истинно. Далее, аналогично существует такой
высказывание A(a 2 , a 3 ) , и так далее. Поскольку множество А конечно, то
не все элементы
a1 , a 2 , a 3 , . . .
попарно различны. Пусть
a p  a p  q , (q  0) .
Тогда из истинности высказываний
Aa p , a p  1  , Aa p  1 , a p  2  , . . . , Aa p  q 1 , a p  q 
в силу истинности высказывания (третий член истинной конъюнкции (*) )
 x  y  z A( x, y)  A( y, z )  A( x, z )
заключаем, что истинно высказывание
Aa p , a p  .
Но это противоречит истинности высказывания (второй член конъюнкции
(*))
 x A( x, x) .
Полученное противоречие доказывает, что никакой конкретный предикат,
определенный на конечном множестве, не сожжет превратить данную
формулу в истинное высказывание, т.е. данная формула невыполнима ни на
каком конечном множестве.
52
§ 7. Применение логики предикатов к логико-математической
практике
Начало теории логического следования в логике предикатов внешне не
отличается от соответствующего раздела алгебры высказываний:
определение логического следствия в логике предикатов фактически точно
такое же, как и в алгебре высказываний. Но более сложное строение формул
логики предикатов дает возможность проводить более сложные
доказательства и в результате получать более тонкие заключения.
Практически важнейшей сферой применения логики предикатов к логикоматематической практике является сфера построения доказательств
различных теорем.
В настоящем разделе мы попытаемся на достаточно простых примерах
проиллюстрировать суть теории логического вывода и ее применение.
Основное внимание уделим применению тех аспектов логики предикатов,
которые будут весьма полезны учителю математики не только для
формирования его логической культуры, но и для практического
оперирования рассматриваемыми понятиями и методами непосредственно в
процессе преподавания: грамотная запись на языке логики предикатов
различных математических предложений; более углубленный, нежели в
алгебре высказываний, анализ строения математических теорем; применение
логики предикатов в теории множеств.
7.1. Запись на языке логики предикатов различных предложений
С помощью кванторной символики удобно записывать формулировки
различных определений и теорем. В процессе такой записи приходится
осмысливать данное предложение, отчетливо выделять в нем посылки и
следствие (если это теорема), очерчивать более широкий круг понятий и
четко выделять ограничивающее условие (если это определение). Одним
словом, перевод расплывчатой словесной формулировки на строгий, не
допускающий противоречивых толкований язык логики предикатов
способствует четкости и ясности мышления.
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 43.
Определение предела последовательности «число а
a n  , если для всякого
называется пределом последовательности
положительного числа  существует такое натуральное число n 0 , что для
всякого n , большего n 0 ,
an  a   »
на языке логики предикатов записывается так:
53
опр.
a  lim a n       0   n 0  n 0  N   n  n  n 0  a n  a    .
n
Используя символику ограниченных кванторов, это определение можно
записать более компактно:
опр.
a  lim a n     0  n 0  N  n  n 0   a n  a    .
n
Нередко требуется доказать, что число а не является пределом
a n . Для доказательства нужно построить
последовательности
утверждение, являющееся отрицанием сформулированного определения. В
этом поможет логика предикатов.
Используя равносильности логики предикатов, преобразуем отрицание
исходной формулы к следующему виду:
 
a  lim a n      0   n 0  n 0  N   n  n  n 0  a n  a    
n


      0   n 0  n 0  N   n  n  n 0  a n  a    


      0   n 0  n 0  N   n  n  n 0  a n  a    
 

 
 



 
     0   n 0  n 0  N   n n  n 0  a n  a  
      0   n0  n0  N   n  n  n0  a n  a  
      0   n0  n0  N   n  n  n0  a n  a   .
Полученное утверждение можно записать компактнее, используя символику
ограниченных кванторов:
a  lim a n     0 n 0  N  n  n 0   a n  a    .
n
Таким образом, утверждение «Число
а
не является пределом
a n »
последовательности
раскрывается так: «Существует такое
положительное число  , что для всякого натурального числа n 0 найдется
такое n  n 0 , что
an  a   .
Несходимость последовательности
не является ее пределом, т.е.

 a   a

a n 

 lim a n  .
n 
Это вместе с полученным утверждением дает:
54
означает, что никакое число
a  lim a n   a    0 n 0  N  n  n 0   a n  a    .
n
7.2. Сравнение логики предикатов и логики высказываний
Мы уже отмечали, что язык и логика алгебры предикатов тоньше и
точнее отражают процессы мышления, недели язык и логика алгебры
высказываний. Приведем два примера, подтверждающих эту мысль.
Пример 44. Рассмотрим высказывание «Каждый человек имеет мать».
Если на языке алгебры высказываний формулировка данного высказывания
сведется лишь к обозначению его некоторой буквой, скажем, А , то на языке
алгебры предикатов возможна формализация, учитывающая внутреннюю
(субъектно-предикатную) структуру этого высказывания.
Действительно, пусть P( x, y ) − двухместный предикат «х есть мать
у» , определенный на множестве всех людей. Тогда данному высказыванию
отвечает формула логики предикатов
 y  x P( x, y) .
Рассматриваемое высказывание можно перевести на язык логики
предикатов и иначе. Если ввести еще одноместный предикат Q( y ) − «у есть
человек», определенный на произвольном множестве, то высказывание
запишется так:
 y  Q( y)   x P( x, y) .
Пример 45.
Этот пример еще более наглядно демонстрирует
возможности логики предикатов по сравнению с логикой высказываний.
Рассмотрим два высказывания: «В Москве живет женщина, имеющая
брата в Воронеже» и «В Воронеже живет мужчина, имеющий сестру в
Москве». Каждое из данных утверждений следует из другого, т.е. они
равносильны. Спрашивается, можно ли выразить эту равносильность на
языке алгебры высказываний и на языке логики предикатов. Оказывается
второе возможно, а первое – нет.
В самом деле, как мы могли бы формализовать данные высказывания
на языке алгебры высказываний? Можно обозначить первое высказывание
через А , второе – через В . Ясно, что ни о какой равносильности формул А
и В говорить не приходится. Можно расчленить данные высказывания на
более простые: A1 − «Женщина живет в Москве» , A2 − «Женщина имеет
брата в Воронеже» , B1 − «Мужчина живет в Воронеже» , B 2 − «Мужчина
имеет сестру в Москве» .Тогда первое исходное высказывание есть
A1  A2 , а второе – конъюнкция B1  B 2 . Но и эти две
конъюнкция
формулы алгебры высказываний не следуют одна из другой.
55
В отличие от алгебры высказываний формализация на языке логики
предикатов позволяет обнаружить равносильность двух данных
высказываний.
Действительно, введем предикаты, определенные на множестве всех
людей:
P1 ( x) − «х – женщина»;
P2 ( x ) − «х – живет в Москве»;
Q1 ( x) − «х – мужчина»;
Q2 ( x) − «х – живет в Воронеже»;
S ( x, y) − «х есть сестра у».
Тогда высказыванию «В Москве живет женщина, имеющая брата в
Воронеже» соответствует следующая формула логики предикатов:
 x  P1 ( x) 
P2 ( x)   y Q1 ( y )  Q2 ( y )  S ( x, y )  ,
а высказыванию «В Воронеже живет мужчина, имеющий сестру в Москве»
соответствует формула
 y  Q1 ( y)  Q2 ( y)   x P1 ( x) 
P2 ( x)  S ( x, y )  .
Покажем, что полученные формулы равносильны.
 x  P1 ( x)  P2 ( x)   y Q1 ( y)  Q2 ( y)  S ( x, y) 
  x  y  P1 ( x)  P2 ( x)  Q1 ( y )  Q2 ( y )  S ( x, y ) 
  y  x  Q1 ( y )  Q2 ( y )  P1 ( x)  P2 ( x)  S ( x, y ) 
  y  Q1 ( y )  Q2 ( y )   x P1 ( x)  P2 ( x)  S ( x, y ) .
7.3 Строение математических теорем
Теория категорического силлогизма
Остановимся на формах теорем четырех видов, выделенных еще в
аристотелевской логике, основоположником которой был один из наиболее
разносторонних мыслителей Древней Греции Аристотель (384 – 322 гг. до
н.э.), и названных категорическими суждениями.
Заметим сразу, что аристотелевская силлогистика не содержится в
трудах Аристотеля. Она является результатом работы многочисленных
комментаторов
и
последователей
Аристотеля:
древнегреческих,
древнеримских, арабских и средневековых логиков. Силлогистика
Аристотеля зачастую просто называется традиционной формальной логикой
и противопоставляется современной формальной логике, возникшей в XIX
веке и базирующейся на математических методах. Нужно отметить, что
вплоть до XVII−XVIII веков знание традиционной формальной логики
56
считалось неотъемлемой частью всякого образования и занимало в нем
примерно то же место, какое сегодня занимает элементарная математика. В
дальнейшем традиционная логика стала отступать на задний план, уступая
свое место естественным наукам и математике.
Теорию категорических суждений и силлогизмов мы рассмотрим как
пример применения понятий логики предикатов. Многие математические
теоремы имеют вид категорических суждений. Логика предикатов позволит
проанализировать их строение, сравнить между собой, и этот анализ будет
более тонким, нежели анализ строения теорем в алгебре высказываний.
В аристотелевской логике выделяют четыре типа категорических
суждений (высказываний):
А:
«Все S суть Р» − общеутвердительное суждение;
Е:
«Никакое S не есть Р» − общеотрицательное суждение;
I:
«Некоторые S суть Р» − частноутвердительное суждение;
О:
«Некоторые S не суть Р» − частноотрицательное суждение.
Рассмотрим более подробно эти виды суждений.
Общеутвердительное суждение («Все S суть Р»).
Примерами математических
являются следующие:
теорем,
имеющих
такое
строение,
«Все прямоугольники – параллелограммы»;
«Все гомотетии суть преобразования подобия»;
«»Все дифференцируемые функции непрерывны»;
«Все сферы – тела вращения».
Можно указать немало суждений нематематического характера,
имеющих такое строение:
«Все люди смертны»;
«Все змеи – пресмыкающиеся»;
«Все планеты солнечной системы – спутники Солнца».
Суждение «Все S суть Р» в терминах логики предикатов понимается
так: каков бы ни был объект х , если он обладает свойством S (т.е. S (x)
истинно), то он обладает также свойством Р (т.е. P(x) истинно). Это
утверждение на языке логики предикатов выглядит следующим образом:
А:
 x S ( x) 
P( x) 
(1)
Логика предикатов дает возможность представить суждение А в
несколько ином виде, с использованием квантора существования. Для этого
преобразуем формулу (1) равносильным образом:
57
 x S ( x) 
P( x)  
  x   S ( x)  P( x)  



 
  x  S ( x)  P( x)  
  x S ( x)  P ( x)  .
  x S ( x)  P( x) 
В этом виде суждение А можно сформулировать так: «Неверно, что
некоторые S не суть Р».
Заметим, что в обыденной речи мы не склонны говорить «Все S суть
Р» , если заведомо знаем, что объектов, удовлетворяющих свойству S , не
существует. Обычно, произнося указанное суждение, мы понимаем под ним
следующее: «Существует объект, удовлетворяющий S , и все S суть Р». В
переводе на язык логики предикатов оно выглядит так:
 x S ( x)    x S ( x) 
P( x)  .
(1*)
В обыденном употреблении возможно и такое понимание исходного
суждения: «Если существует объект, удовлетворяющий свойству S , то все S
суть Р», переводимое на язык логики предикатов следующим образом:
 x S ( x)    x S ( x) 
P( x)  .
(1**)
Всем этим переводам предпочтем перевод (1). Главное соображение
здесь состоит в том, что такой перевод:
o во-первых, проще двух других;
o во-вторых, при теоретико-множественном толковании суждения
«Все S суть Р» он позволяет заключить, что множество S всех
S (x) , является
объектов
х , удовлетворяющих свойству
подмножеством множества
Р объектов, удовлетворяющих
свойству Р(х) , т.е. S  P .
Отметим также, что в повседневной речи слово «все» в
общеутвердительных суждениях порой опускают, так что фраза «Люди
смертны» обозначает «Все люди смертны».
Общеотрицательное суждение («Никакое S не есть Р»).
Приведем примеры математических теорем, имеющих такое строение:
«Никакой эллипс не есть алгебраическая линия первого порядка»;
«Никакая осевая симметрия на плоскости не есть движение первого
рода;
«Никакой треугольник не является окружностью»;
58
«Никакой числовой ряд, у которого предел общего члена не равен
нулю, не сходится».
Примерами нематематических
следующие суждения:
суждений
такого
типа
являются
«Никакие змеи не есть птицы»;
«Никакие камни не разговаривают».
Смысл общеотрицательного суждения: каков бы ни был объект х , если
он обладает свойством S (т.е. S(x) истинно), то он не обладает свойством Р
(т.е. Р(х) ложно). На языке логики предикатов это выражается следующим
образом:
Е:
 x  S ( x)  P( x) .
(2)
Другими словами, общеотрицательное утверждение произносится: «Все S
суть не Р».
Можно выражение (2) записать с помощью ограниченного квантора
общности:
 Sx )  P( x)  .
Логика предикатов дает возможность представить суждение Е в
несколько ином виде, с использованием квантора существования. Для этого
формулу Е необходимо преобразовать равносильным образом, используя те
же равносильности, что и в случае преобразования общеутвердительного
суждения:
 x  S ( x)  P( x)  




  x  S ( x)  P ( x)  


 

  x S ( x)  P( x)  .
  x S ( x)  P( x) 
В этом виде суждение Е формулируется так: «Неверно, что некоторое S
суть Р».
Замечание.
При
теоретико-множественном
толковании
общеотрицательного суждения «Все S суть не Р» запись (2) позволяет
заключить, что множество S всех объектов х , удовлетворяющих свойству
S(x) , включается в множество P всех объектов, не удовлетворяющих
свойству Р(х) , являющееся дополнением множества Р , т.е.
S  P .
59
Частноутвердительное суждение («Некоторые S суть Р»).
Примерами математических теорем с таким строением служат
следующие:
«Некоторые функции – периодические»;
«Некоторые параллелограммы могут быть вписаны в окружность»;
«Некоторые простые числа четны».
Примерами нематематических суждений с таким строением служат
следующие:
«Некоторые люди взошли на Эверест»;
«Некоторые змеи ядовиты».
Частноутвердительному суждению придается следующий смысл:
существует такой объект х , обладающий свойством S(x) , который также
обладает свойством Р(х) . На языке логики предикатов это выражается
следующим образом:
I:
 x S ( x) 
P( x)  .
Это утверждение представляет
ограниченного квантора существования.
(3)
собой
развернутую
запись
Используя снова технику логики предикатов, можно представить
данное суждение в несколько ином виде, с использованием квантора
общности:
 x S ( x)  P( x) 
  x  S ( x)  P( x)  
  x  S ( x)  P( x)  
 

  x S ( x)  P( x) .
Сравнив
теперь
общеотрицательное
суждение
Е
и
частноутвердительное суждение I , видим, что каждое из них является
отрицанием другого.
Замечание.
При
теоретико-множественном
частноутвердительного суждения «Некоторые S суть Р»
позволяет заключить, что выполняется следующее равенство:
толковании
запись (3)
S  P  Ø ,
где S и Р − множества таких объектов
свойствам S(x) и Р(х) соответственно.
х , которые удовлетворяют
Отметим также, что в повседневной речи слово «некоторые» в
частноутвердительных суждениях порой опускают, так что фраза «Люди
взошли на Эверест» обозначает «Некоторые люди взошли на Эверест».
60
Частноотрицательное суждение («Некоторые S не суть Р»).
Примеры математических теорем такого вида:
«Некоторые треугольники неравнобедренные»;
«Некоторые функции не периодические»;
«Некоторые преобразования подобия не являются движениями»;
«Некоторые ромбы нельзя вписать в окружность».
Примеры нематематических суждений такого вида:
«Некоторые грибы несъедобны»;
«Некоторые реки не впадают в моря».
Частноотрицательное суждение «Некоторые S не суть Р» понимается
так: существует такой объект х , который обладает свойством S (т.е. S (x)
истинно), и не обладает свойством Р (т.е. P(x) ложно, а, следовательно,
P (x ) истинно). Это утверждение на языке логики предикатов выглядит
следующим образом:
 x  S ( x) 
О:

P( x) .
(4)
Данное выражение можно записать в виде ограниченного квантора
существования:
 S ( x)  P( x)  .
Преобразовав равносильным образом выражение (4) , получаем:
 x  S ( x) 
  
P ( x )   x S ( x )  P ( x )  .
Эта равносильность показывает, что общеутвердительное суждение А
и частноотрицательное суждение О являются отрицаниями друг друга.
Частноотрицательное суждение О на теоретико-множественном языке
выражается следующим образом:
S  P  Ø ,
где S − множество всех объектов х , удовлетворяющих свойству S(x) , а
множество P − множество всех объектов х , не удовлетворяющих свойству
Р(х) .
Замечание. Общеотрицательное суждение Е и частноутвердительное
суждение I допускают обращение. Такой вывод можно сделать, если
вспомнить выражения для этих суждений на языке алгебры предикатов с
использованием квантора общности и закон коммутативности конъюнкции:
 x S ( x )  P ( x )    x  P ( x )  S ( x )  ,
Е:
 
I:
 x S ( x) 
 
P( x)    x P( x)  S ( x)  .
61
Это означает, что «Никакие S не есть Р» тогда и только тогда, когда
«Никакое Р не есть S» , и аналогично суждение «Некоторые S суть Р»
истинно тогда и только тогда, когда истинно суждение «Некоторые Р суть
S». Соответствующая запись с кванторами существования для суждений А и
О показывает, что в них буквы S и Р переставить нельзя, эти суждения
обращения не допускают.
Сделаем еще одно важное замечание.
Необходимо отчетливо сознавать, что значит доказать теорему того
или иного типа. Так, доказательство общеутвердительных
(А)
и
общеотрицательных (Е) теорем должно состоять в построении строгой
цепочки логических умозаключений, начинающейся с условий теоремы и
заканчивающейся ее заключением.
Например, при доказательстве теоремы «Все дифференцируемые
функции непрерывны» нужно, исходя из определения дифференцируемой (в
точке) функции, построить строгую цепочку логических заключений,
завершающуюся определением непрерывной (в точке) функции.
При доказательстве общеотрицательной теоремы «Никакая осевая
симметрия плоскости не является движением первого рода» нужно, исходя из
определения осевой симметрии, построить неопровержимую цепочку
рассуждений, завершающуюся отрицанием определения движения первого
рода. При этом, конечно, нужно знать последнее определение и уметь
сформулировать его отрицание (возможно и на языке логики предикатов).
Напротив, при доказательстве утверждений частноутвердительных (I)
и частноотрицательных (О) цепочки логических рассуждений строить не
требуется. Здесь нужно находить или строить примеры.
Так, для доказательства частноутвердительного суждения «Некоторые
параллелограммы могут быть вписаны в окружность» следует указать
конкретный пример такого параллелограмма, который можно вписать в
окружность (например, прямоугольник).
Аналогично, для доказательства частноотрицательного суждения
«Некоторые функции не периодические» достаточно привести пример хотя
бы одной непериодической функции.
Подводя итог вышеизложенному, запишем четыре типа категорических
высказываний на языке множеств (логики классов) и свойств (логики
одноместных предикатов).
62
Выражение
Название
Словесное
Выражение
на языке
типа
выражение
на языке
одноместных
множеств
предикатов
AB
А
Все А суть В
или
 x S ( x) 
P( x) 
A B  A
Е
Ни одно А не
есть В
A BØ
 x  S ( x)  P( x)
I
Некоторые А
суть В
A BØ
 x S ( x) 
P( x) 
О
Некоторые А не
есть В
A BØ
 x  S ( x) 
P( x)

В традиционной логике связь между высказываниями А , Е , I и О
изображается в виде логического квадрата, вершины которого изображают
высказывания, а стороны и диагонали – отношения между высказываниями.
А
противоположность
подчинение
подчинение
I
Е
подпротивоположность
Рис. 1
63
О
7.4. Теория категорических силлогизмов
Рассматривая теорию категорических суждений, мы уже отметили ряд
импликаций, которые позволяют из истинности некоторого суждения
выводить истинность или ложность некоторого другого суждения. Сюда
относятся законы отрицания и законы обращения. Напомним их.
Законы отрицания: Суждения А и О , а также суждения Е и I
являются отрицаниями друг друга (т.е. они находятся в отношении
противоречия друг к другу).
Законы обращения:
 x S ( x)  P( x)   x P( x)  S ( x) ,
 x S ( x) 
P( x)    x P( x)  S ( x)  .
Классические силлогизмы (далее будем называть их просто
силлогизмами) представляют собой некоторые правила логических
заключений, позволяющих из истинности двух суждений выводить
истинность некоторого третьего суждения.
Самым известным примером силлогизма является силлогизм Barbara:
Все М суть Р
Все S суть М
В дальнейшем вместо слова «следовательно» будем употреблять
следовательно,
горизонтальную черту. Приведенный
выше силлогизм запишется при этом
так:
Все S суть Р
Все М суть Р
Все S суть М
Например:
Все S суть Р
Все птицы – животные
Все воробьи – птицы__
Все воробьи – животные
Значение силлогизма Barbara следующее: если подставить вместо М ,
Р , S конкретные термины (в нашем случае мы подставили термины
«птицы», «животные», «воробьи») и если при этом посылки становятся
истинными высказываниями, то истинно будет и высказывание-заключение.
Силлогизм Barbara основан на импликации:
Если («Все М суть Р» и «Все S суть М»), то («Все S суть Р»).
64
Эта импликация всегда истинна независимо от того, какие термины
подставляются вместо переменных М , Р , S .
Если теперь известно, что конъюнкция посылок этой импликации
истинна, то на основании правила вывода (modus ponens) можно утверждать
истинность заключения.
Все другие силлогизма имеют аналогичное строение. Они основаны на
импликациях вида
A  B  C ,
где А , В , С – категорические суждения, зависящие от трех переменных
терминов М , Р , S . Эти импликации тождественно истинны, в силу чего из
истинности конъюнкции  A  B  на основании modus ponens можно
выводить истинность суждения С.
Для более подробного описания силлогизмов мы должны ввести ряд
понятий и обозначений.
В силлогизмах участвуют три термина:
S – малый термин;
М – средний термин;
Р – большой термин.
Силлогизмы состоят из трех суждений, каждое из которых содержит
два из трех терминов М , Р , S , две посылки и заключение. Заключение
всегда является суждением, в котором S – подлежащее (субъект – отсюда и
буква S ), а Р – сказуемое (предикат – отсюда буква Р ). Посылки являются
суждениями, содержащими средний термин М и один из терминов S и Р.
Определение 18. Посылка с терминами М и Р называется большой
посылкой , а с терминами S и М – малой посылкой .
При этом во всяком силлогизме сначала помещается большая посылка,
потом малая. Таким образом, общий вид всякого силлогизма следующий:
БОЛЬШАЯ ПОСЫЛКА – суждение, содержащее М и Р ;
МАЛАЯ ПОСЫЛКА – суждение, содержащее М и S ;
ЗАКЛЮЧЕНИЕ – суждение, в котором S – субъект, а Р – предикат.
Таким образом, в классическом силлогизме некоторое суждение о
те6рминах S и Р выводится из двух суждений-посылок, в которых
участвует некоторый термин М , не встречающийся в заключении.
Во всяком силлогизме заключение должно иметь вид SP , а в посылках
порядок следования терминов может быть различным: большая посылка
может иметь вид МР или РМ , а малая – вид SM или MS . В зависимости
от порядка следования терминов в посылках совокупность силлогизмов
распадается на четыре возможных типа, называемых фигурами силлогизмов.
65
К первой фигуре относят силлогизмы, в которых средний термин М –
субъект в большой и предикат в малой посылке.
Во второй фигуре М – предикат в обеих посылках.
В третьей фигуре М – субъект в обеих посылках.
В четвертой фигуре
посылке.
М – предикат в большой и субъект в малой
Этим исчерпываются все возможные фигуры. Выпишем их в
схематической форме:
I фигура
II фигура
III фигура
IV фигура
МР
PM
МР
PM
SM
SM
MS
MS
SP
SP
SP
SP
Каждое из суждений вида UV может быть одного из четырех типов:
А, Е, I, О . Будем их записывать так:
UaV – общеутвердительное суждение;
UeV – общеотрицательное суждение;
UiV – частноутвердительное суждение;
UoV – частноотрицательное суждение.
В зависимости от того, какой из четырех типов имеет посылки и
заключения, каждая фигура распадается на так называемые модусы . Всякая
фигура силлогизмов содержит три суждения и каждое из этих суждений
независимо друг от друга может иметь один из четырех типов: А, Е, I, О .
Таким образом, для всякой фигуры возможны в общей сложности
43 = 64 модуса,
А всех возможных модусов силлогизма, относящихся ко всем четырем
фигурам, имеется
4 ∙ 64 = 256 .
Теперь можно приступить к выяснению основного вопроса теории
силлогизмов о том, какие из модусов позволяют во всех случаях (т.е. при
любых конкретных терминах) из истинных посылок делать истинные
заключения. Таким модусы называются
правильными
модусами
силлогизмов . Задача состоит в том, чтобы установить все правильные
модусы силлогизмов, т.е. для любого из возможных модусов решить,
является ли он правильным или нет. При этом, если для установления
66
неправильности какого-нибудь модуса достаточно найти набор конкретных
терминов, делающих посылки истинными, а заключение ложным, то для
установления правильности модуса нужно провести общее доказательство,
как в математике. Действительно, без такого доказательства, сколько бы
конкретных терминов мы ни подставляли, из того, что для них и посылки, и
заключения будут истинными, не следует, что это всегда будет так и что не
найдутся такие термины, которые сделают посылки истинными, а
заключение ложным. Это совершенно аналогично тому, как в геометрии
нельзя утверждать теорему Пифагора, проверив ее на сколь угодно большом
числе прямоугольных треугольников; эту теорему нужно доказать.
Отбрасывание неправильных модусов и доказательство правильных
было проведено Аристотелем в его «Аналитике». При этом отбрасывание
было обосновано контрпримерами, а доказательство правильности было
проведено, исходя из правильных силлогизмов первой фигуры, принятых в
качестве аксиом, применением правил обращения и отрицания суждений, а
также (в неявной форме) с помощью законов логики высказываний.
Сам Аристотель правильные силлогизмы первой фигуры, положенные
в основу доказательства, называет не аксиомами, а
совершенными
силлогизмами , а все остальные силлогизмы, для которых он дает
доказательство, − несовершенными силлогизмами . Он пишет: «Совершенным
силлогизмом я называю такой, который для выявления необходимости
(заключения) не нуждается ни в чем другом, кроме того, что принято.
Несовершенным я называю такой, который хотя и является необходимым
благодаря положенным в основание (данного силлогизма) терминам, но
нуждается в одном или нескольких (суждениях), которых нет в посылках»
[Аристотель, Аналитика, т. 1, гл. 1, сс. 22-24, Госполитиздат, 1952].
Всего существует 19 правильных силлогизмов.
Правильные силлогизмы (модусы) первой фигуры:
Barbara
Celarent
Darii
Ferio
МaР
МeР
МaР
МeР
SaM
SaM
SiM
SiM
SaP
SeP
SiP
SoP
Правильные силлогизмы (модусы) второй фигуры:
67
Cesare
Camestres
Festino
Baroco
PeM
PaM
PeM
PaM
SaM
SeM
SiM
SoM
SeP
SeP
SoP
SoP
Правильные силлогизмы (модусы) третьей фигуры:
Darapti
Disamis
Datisi
Felapton
Bocardo
Ferison
МaР
МiР
МaР
МeР
МoР
МeР
MaS
MaS
MiS
MaS
MaS
MiS
SiP
SiP
SiP
SoP
SoP
SoP
Правильные силлогизмы (модусы) четвертой фигуры:
Bramantip
Camenes
Dimaris
Fecaro
Fresison
PaM
PaM
PiM
PeM
PeM
MaS
MeS
MaS
MaS
MiS
SiP
SeP
SiP
SoP
SoP
Теория категорического силлогизма может быть построена как на
теоретико-множественном языке (языке логики классов), так и на языке
логики одноместных предикатов.
Покажем на отдельных примерах доказательство правильности
модусов силлогизма средствами логики предикатов и установление
неправильности силлогистических рассуждений с помощью диаграмм
Эйлера-Венна.
Пример 46. Рассмотрим следующее рассуждение: «Все рациональные
числа – действительные. Все целые числа – рациональные. Следовательно,
все целые числа – действительные».
Пусть Q(x) − предикат x  Q ; R(x) − предикат x  R ; Z (x) −
предикат x  Z . Тогда приведенное рассуждение запишется следующим
образом:
 x Q( x)  R( x)   x Z ( x)  Q( x)   x Z ( x)  R( x) .
Построим вывод заключения из посылок.
68
1.  x Q( x)  R( x) 
− посылка;
2. Q( x)  R( x) 
− вывод логической функции
(ВЛ) из посылки (1);
3.  x Z ( x)  Q( x) 
− посылка;
4. Z ( x)  Q( x) 
− вывод логической функции
(ВЛ) из посылки (3);
5. Z ( x)  R( x) 
− правило силлогизма (ПС)
из (4) и (2);
6.  x Z ( x)  R( x) 
− введение квантора
общности (ВКО).
Этим доказана правильность не только приведенного
конкретного рассуждения, но и любого рассуждения вида:
выше
Если («Все М суть Р» и «Все S суть М»), то («Все S суть Р») .
Тем самым обоснован модус Barbara (три гласные этого слова ааа
указывают, что посылки и заключение – высказывания типа А , т.е.
общеутвердительные).
Правильность
любого
рассуждения
такого
проиллюстрировать с помощью диаграммы Эйлера-Венна.
M
типа
можно
P
Рис. 2
Пример 47.
Рассмотрим рассуждение: «Ни одно действительное
число не есть мнимое. Все рациональные числа – действительные.
Следовательно, ни одно рациональное число не есть мнимое».
69
Отвлекаясь от конкретного содержания этого рассуждения, нам нужно
доказать правильность любого рассуждения типа
Если («Ни одно М не есть Р» и «Все S суть М»), то («Ни одно S
не есть Р»).
На языке логики одноместных предикатов это рассуждение запишется
в виде:
 x  M ( x)  P( x)   xS ( x)  M ( x)   x S ( x)  P( x).
Нетрудно заметить, что доказательство правильности данного
утверждения сводится к доказательству рассуждения, приведенного в
предыдущем примере, если заменить в нем Q(x) на M (x) ; R(x) на P (x) и
Z (x) на S (x) .
Правильность
любого
рассуждения
такого
проиллюстрировать следующей диаграммой Эйлера-Венна.
типа
можно
M
P
S
Рис. 3
Тем самым обоснован еще один модус силлогизма, известный под
названием Celarent (тройка гласных еае этого слова указывает тип посылок
и заключения; при этом посылка, содержащая предикат заключения (большая
посылка), указывается первой, а посылка, содержащая субъект заключения
(малая посылка), − второй).
Пример 48.
Рассмотрим рассуждение: «Все целые числа –
рациональные. Некоторые действительные числа – целые. Следовательно,
некоторые действительные числа - рациональные».
Отвлекаясь от конкретного содержания этого рассуждения, нам нужно
доказать правильность любого рассуждения типа
Если («Все М суть Р» и «Некоторые S суть М»), то («Некоторые
S суть Р») .
70
На языке логики одноместных предикатов это рассуждение запишется
в виде:
 x M ( x)  P( x)   x S ( x) 
M ( x)    x S ( x)  P( x)  .
Правильность
любого
рассуждения
такого
проиллюстрировать следующей диаграммой Эйлера-Венна.
типа
можно
M
P
S
Рис. 4
Тем самым обоснован еще один модус силлогизма, известный под
названием Darii (тройка гласных aii этого слова указывает, что первая
посылка – общеутвердительное высказывание, вторая посылка и заключение
– частноутвердительные высказывания).
Пример 49.
Приведем примеры конкретных рассуждений для
остальных правильных модусов (из числа перечисленных выше 19 модусов)
и проиллюстрируем их с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
Модус Ferio (четвертый модус фигуры I): [МeР , SiM  SoP].
«Ни одно действительное число не есть мнимое. Некоторые
комплексные числа – действительные. Следовательно, некоторые
комплексные числа не являются мнимыми».
71
M
P
S
Рис. 5
Модус Cesare (первый модус фигуры II): [PeM , SaM → SeP].
«Ни одно мнимое число не является действительным. Все
рациональные числа – действительные. Следовательно, ни одно
рациональное число не является мнимым».
M
P
S
Рис. 6
Модус Camestres (третий модус фигуры II): [PaM , SeM → SeP].
«Все квадраты – правильные многоугольники. Ни один разносторонний
прямоугольник не является правильным многоугольником. Следовательно,
ни один разносторонний прямоугольник не является квадратом».
72
M
S
P
Рис. 7
Модус Festino (второй модус фигуры II): [PeM , SiM → SoP].
«Ни одно мнимое число не является действительным. Некоторые
комплексные числа – действительные. Следовательно, некоторые
комплексные числа не являются мнимыми».
M
S
P
Рис. 8
Модус Baroco (четвертый модус фигуры II): [PaM , SoM → SoP].
«Все квадраты – ромбы. Некоторые прямоугольники не являются
ромбами. Следовательно, некоторые прямоугольники не являются
квадратами».
73
M
S
P
Рис. 9
Модус Darapti (первый модус фигуры III): [МaР , MaS → SiP].
«Все квадраты – правильные многоугольники. Около каждого квадрата
можно описать окружность. Следовательно, около некоторых правильных
многоугольников можно описать окружность».
P
M
S
Рис. 10
Модус Disamis (второй модус фигуры III): [МiР , MaS → SiP].
«Некоторые правильные многоугольники являются квадратами. В
любой правильный многоугольник можно вписать окружность.
Следовательно, в некоторые квадраты можно вписать окружность».
74
S
P
M
Рис. 11
Модус Datisi (третий модус фигуры III): [МaР , MiS → SiP].
«Все целые числа – рациональные. Некоторые целые числа –
отрицательные. Следовательно, некоторые рациональные числа –
отрицательные».
P
S
M
Рис. 12
Модус Felapton (четвертый модус фигуры III): [МeР , MaS → SoP].
«Ни одно иррациональное число не является целым. Все
иррациональные числа – действительные. Следовательно, некоторые
действительные числа не являются целыми».
75
S
P
M
Рис. 13
Модус Bocardo (пятый модус фигуры III): [МoР , MaS → SoP].
«Некоторые рациональные числа не являются целыми. Все
рациональные числа – действительные. Следовательно, некоторые
действительные числа не являются целыми».
S
P
M
Рис. 14
Модус Ferison (шестой модус фигуры III): [МeР , MiS → SoP].
«Ни одно иррациональное число не является целым. Некоторые
иррациональные числа – действительные. Следовательно, некоторые
действительные числа не являются целыми».
76
S
P
M
Рис. 15
Модус Bramantip (первый модус фигуры IV): [PaM , MaS → SiP].
«Все целые числа – рациональные. Все рациональные числа –
действительные. Следовательно, некоторые действительные числа – целые».
M
S
P
Рис. 16
Модус Camenes (второй модус фигуры IV): [PaM , MeS → SeP].
«Все квадраты – ромы. Ни один ромб не является трапецией.
Следовательно, ни одна трапеция не является квадратом».
77
M
S
P
Рис. 17
Модус Dimaris (третий модус фигуры IV): [PiM , MaS → SiP].
«Некоторые ромбы являются квадратами. Все квадраты – правильные
многоугольники. Следовательно, некоторые правильные многоугольники
являются ромбами».
S
P
M
Рис. 18
Модус Fecaro (четвертый модус фигуры IV): [PeM , MaS → SoP].
«Ни один треугольник не является квадратом. Все квадраты – ромбы.
Следовательно, некоторые ромбы не являются треугольниками».
78
S
P
M
Рис. 19
Модус Fresison (пятый модус фигуры IV): [PeM , MiS → SoP].
«Ни одно целое число не является дробным. Некоторые дробные числа
– рациональные. Следовательно, некоторые рациональные числа не являются
целыми».
M
P
S
Рис. 20
79
Краткий обзор истории формирования и развития математической
логики
Термин «логика» происходит от греческого слова  (логос), что
означает «мысль», «разум», «слово», «понятие». Логика (или формальная
логика) как наука изучает мышление. Но мышление изучается не только
логикой, но и различными другими науками: психологией, физиологией,
кибернетикой, педагогикой и т.д. Каждая из них изучает какую-то одну из
сторон сложного процесса мышления. Логика есть наука о законах и формах
правильного мышления. Она изучает формы правильных рассуждений,
отвлекаясь от их конкретного содержания, устанавливает, что из чего
следует, ищет ответ на вопрос: как мы рассуждаем.
Математическая логика, называемая также символической или
теоретической логикой, выросла из логики традиционной. Эта наука, с одной
стороны, применила математические методы для изучения общих структур
(форм) правильного мышления и тем самым оформилась как раздел
математики. С другой стороны, математическая логика сделала предметом
своего изучения процесс доказательства математических теорем, сами
математические теории. Математическая логика явилась, таким образом,
инструментом для исследований в области оснований математики. Данный
раздел математической логики получил название теории доказательства, или
метаматематики. К сожалению, рамки данной работы не позволили включить
в нее вопросы, связанные с метаматематикой. В частности, в работу не вошла
теорема Курта Гёделя о полноте формализованного исчисления предикатов,
доказанная им в 1930 году (теоремами формализованного исчисления
предикатов являются все те и только те формулы, которые логически
общезначимы, т.е. являются тавтологиями логики предикатов). Не включена
в работу теорема К. Гёделя о неполноте формальной арифметики (любая
непротиворечивая формальная теория, формализующая арифметику
натуральных чисел, не является абсолютно полной), которая означает, что
какая бы система аксиом для арифметики ни была выбрана, всегда найдется
такое высказывание о натуральных числах, выразимое на языке этой
формальной теории, которое в данной теории не может быть ни доказано, ни
опровергнуто.
Основоположником логики как науки является древнегреческий
философ и ученый Аристотель (384 – 322 гг. до н.э.). Он впервые разработал
теорию дедукции, т.е. теорию логического вывода. Именно он обратил
внимание на то, что в рассуждениях мы из одних утверждений выводим
другие, исходя не из конкретного содержания утверждений, а из
определенной взаимосвязи между их формами, структурами.
Древнегреческий математик Евклид (330 – 275 гг. до н.э.) впервые
предпринял попытку упорядочить накопившиеся к тому времени обширные
сведения по геометрии, взглянув на эту науку с общелогических позиций. Он
80
положил начало осознанию геометрии как аксиоматической теории, а всей
математики – как совокупности аксиоматических теорий.
На протяжении многих веков различными философами и целыми
философскими школами дополнялась, усовершенствовалась и изменялась
логика Аристотеля. Это был первый, доматематический, этап развития
формальной логики. Второй этап связан с применением в логике
математических методов, начало которому положил немецкий философ и
математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716). Он пытался построить
универсальный язык, с помощью которого разрешались бы споры между
людьми, а затем и вовсе все «идеи заменить вычислениями».
Важный период становления математической логики начинается с
появления работ английского математика Джорджа Буля (1815 – 1864)
«Математический анализ логики» (1847) и «Исследование законов
мышления» (1854). Он применил к логике методы современной ему алгебры
– язык символов и формул, составление и решение уравнений. Им была
создана своеобразная алгебра – алгебра логики. В этот период она
оформилась как алгебра высказываний и была значительно развита в работах
шотландского логика А. де Моргана (1806 – 1871), английского – У.
Джевонса (1835 – 1882), американского Ч. Пирса (1839 – 1914), немецкого
алгебраиста и логика Э. Шрёдера (1841 – 1902), русского математика,
астронома и логика П.С. Порецкого (1846 – 1907).
Создание алгебры логики явилось заключительным звеном в развитии
формальной логики: алгебра логики поставила и решила в самом общем виде
те задачи, которые рассматривались в аристотелевской логике. Формальная
логика в результате использования в ней развитого символического языка
окончательно оформилась как логика символическая.
Значительный толчок к новому периоду развития математической
логики дало создание в первой половине XIX века великим русским
математиком Н.И.Лобачевским (1792 – 1856) и независимо от него
замечательным венгерским математиком Я.Бойяи (1802 – 1860)
неевклидовой геометрии. Кроме того, создание анализа бесконечно малых
подвело к необходимости обоснования понятия числа как фундаментального
понятия всей математики. Довершали картину парадоксы (антиномии),
обнаруженные в конце XIX века в теории множеств: они отчетливо
показали, что трудности обоснования математики являются трудностями
логического и методологического характера.
Таким образом, перед математической логикой встали задачи, которые
перед логикой Аристотеля не возникали: она должна была исследовать
основания математической науки, исследовать математику как совокупность
аксиоматических теорий, исследовать аксиоматический метод построения
математических теорий.
В развитии математической логики сформировались три направления
обоснования математики, в которых создатели по разному пытались
81
преодолеть возникшие в математике трудности. В каждом из них были
получены фундаментальные результаты, оказавшие влияние на развитие не
только математической логики, но и всей математики.
Основоположником первого направления явился немецкий математик
и логик Г. Фреге (1848 – 1925). Он стремился всю математику обосновать
через логику, применил аппарат математической логики для обоснования
арифметики, построил первую формальную логическую систему,
включавшую в себя значительную часть арифметики. Кроме того, им и
независимо от него Ч.Пирсом были введены в язык алгебры логики
предикаты, предметные переменные и кванторы, что дало возможность
применить этот язык к вопросам основания математики. Задачу
аксиоматического построения арифметики, геометрии и математического
анализа ставил перед собой итальянский математик Дж. Пеано (1858 – 1932).
Сведение чистой математики к логике продолжили в своем трехтомном
труде «Основания математики» (1910 – 1913) английские математики
Б.Рассел (1872 – 1970) и А. Уайтхед (1861 – 1947). Хотя данное направление
и не увенчалось полным успехом (в частности, оказалось невозможным
вывести из число логических аксиом существование бесконечного
множества), но был создан богатый логический аппарат, без которого
математическая логика не смогла бы оформиться как полноценная
математическая дисциплина.
Немецкий математик Д.Гильберт (1862 – 1943) предложил другой путь
преодоления трудностей в основаниях математики, путь, имеющий в своей
основе применение аксиоматического метода: записать все математические
утверждения в виде логических формул, некоторые из них выделить в
качестве аксиом, а остальные логически вывести из выделенных (так
называемый путь формализации математических теорий). Открытие
австрийским логиком К.Гёделем (1906 – 1978) в 1930 – 1931 годах неполноты
формализованной арифметики показало ограниченность гильбертовской
программы обоснования математики. Тем не менее, работы Гильберта и его
последователей привели к глубокой разработке аксиоматического метода и
окончательному осознанию его фундаментальной роли в математике.
Представители направления, основанного голландским математиком Л.
Брауэром (1881 – 1966) в начале ХХ века, предложили отказаться от
рассмотрения бесконечных множеств как завершенных совокупностей, а
также от логического закона исключения третьего. Ими признавались только
такие математические доказательства, которые конструктивно строили тот
или иной объект, и оспаривались чистые доказательства существования. Они
построили специфическую математику, имеющую интересные особенности,
и еще раз подчеркнули различие между конструктивным и
неконструктивным в математике.
ХХ
век стал веком бурного развития математической логики,
формирования ее многочисленных новых разделов. Были построены
82
различные аксиоматические теории множеств, выработано несколько
формализаций понятия алгоритма, а сама теория алгоритмов была настолько
развита, что ее методы стали проникать в другие разделы математической
логики, а также в другие математические дисциплины. Так, на стыке
математической логики и алгебры возникла теория моделей. Были созданы
многочисленные новые неклассические логические системы. Немалый вклад
в развитие математической логики внесли советские математики
Н.А.Васильев, И.И.Жегалкин, А.Н.Колмогоров, П.С.Новиков, А.А.Марков,
А.И.Мальцев, С.А.Яновская. Кроме того, в ХХ веке началось глубокое
проникновение идей и методов математической логики в технику (и прежде
всего в конструирование и создание ЭВМ), кибернетику, вычислительную
математику, а также в структурную лингвистику.
83
Литература
1.
Горбатов В.А., Поспелов К.Н. Задачник по математической логике. – М.:
Просвещение, 1972.
2.
Драбкина М.Е. Логические упражнения по элементарной математике. –
Минск, Авеста, 1965.
3.
Калужнин Л.А. Элементы теории множеств и математической логики в
школьном курсе математики. – М.: Просвещение, 1978.
4.
Клини С.К. Математическая логика. – М.: Мир, 1973.
5.
Колмогоров А.Н. Введение в математическую логику. – М.: Изд-во МГУ,
1982.
6.
Колмогоров
А.Н.,
Драгалин
АГ.
Математическая
Дополнительные главы. – М.: Изд-во МГУ, 1984.
7.
Лавров И.А., Максимов Л.Л. Задачи по теории множеств,
математической логике и теории алгоритмов. – М.: Наука, 1984.
8.
Лихтарников Л.М. Задачи мудрецов. – С.Пб.: Наука, 1980.
9.
Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения
современной формальной логики. – Биробиджан, ИП Тривиум, 2000.
логика.
10. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. – М.: Наука, 1976.
11. Никольская И.Л. Математическая логика. – М.: Просвещение, 1973.
12. Новиков П.С. Элементы математической логики. – М.: Наука, 1973.
13. Столяр А.А. Логическое введение в математику. – Минск, Вышейшая
школа, 1971.
14. Столяр А.А. Элементарное введение в математическую логику. – М.:
Просвещение, 1980.
15. Столяр А.А. Математическая логика. – Минск, Вышейшая школа, 1991.
16. Шапиро С.И. Решение логических и игровых задач. – М.: Просвещение
1984.
17. Шевченко В.Е. Некоторые способы решения логических задач. – Киев:
Наукова думка, 1979.
84
Содержание
Предисловие
3
Логика предикатов
§ 1. Недостаточность логики высказываний
6
§ 2.
Основные понятия, связанные с предикатами
8
§ 3.
Логические операции над предикатами
14
§ 4.
Кванторные операции над предикатами
23
§ 5.
Формулы логики предикатов
32
§ 6.
Проблемы разрешения для общезначимости и
выполнимости формул
§ 7.
49
Применение логики предикатов к логико-математической
практике
53
Краткий обзор истории формирования и развития математической
логики
80
Литература
84
85